ÍNDICE CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS 1.1 – Definição ..................................................................................................
1-1
1.2 – Propriedades ...................................................................................................
1-1
CAPÍTULO 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1 – Números Naturais ...........................................................................................
2-1
2.2 – Números Inteiros ............................................................................................
2-1
2.3 – Números Racionais .........................................................................................
2-1
2.4 – Números Irracionais ........................................................................................
2-2
2.5 – Números Reais ................................................................................................
2-3
CAPÍTULO 3 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 3.1 – Introdução .......................................................................................................
3-1
3.2 – Sistema Binário ...............................................................................................
3-1
3.3 – Sistema Octal ..................................................................................................
3-8
3.4 – Sistema Hexadecimal ......................................................................................
3-11
CAPÍTULO 4 – RAZÃO E PROPORÇÃO 4.1 – Razão ..............................................................................................................
4-1
4.2 – Proporção ........................................................................................................
4-2
CAPÍTULO 5 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 5.1 – Potenciação .....................................................................................................
5-1
5.2 – Radiciação ......................................................................................................
5-4
CAPÍTULO 6 – GEOMETRIA PLANA 6.1 – Ângulos ...........................................................................................................
6-1
6.2 – Triângulos .......................................................................................................
6-8
CAPÍTULO 7 – TRIGONOMETRIA 7.1 – Relações Métricas no Triângulo Retângulo ....................................................
7-1
7.2 – Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo .......................................
7-2
7.3 – Lei dos Senos num Triângulo Qualquer .........................................................
7-6
7.4 – Lei dos Cossenos num Triângulo Qualquer ....................................................
7-6
7.5 – Circunferência Trigonométrica .......................................................................
7-7
ANEXO A – Bibliografia ................................................................................................... A-1 ANEXO B – Respostas dos Exercícios de Aprendizagem ................................................... B-1
CAPÍTULO 1 CONJUNTOS 1.1 - DEFINIÇÃO Como o próprio nome indica, conjunto dá uma idéia de coleção. Assim, toda coleção de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto. Exemplos: a) conjunto dos alunos desta sala, b) conjunto dos meses do ano, c) conjunto dos números pares. Os objetos que formam um conjunto são denominados elementos. Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas (a, b c, ...) e os conjuntos, por letras maiúsculas (A, B, C, …). 1.2 - PROPRIEDADES 1.2.1 - Relação de Pertinência Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado conjunto. Para se indicar que um elemento pertence a um dado conjunto, utilizamos o símbolo ∈ e quando não pertence usamos ∉. x ∈ A (lê-se: x pertence a A) x ∉ B (lê-se: x não pertence a B) Observação: Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionar elemento com conjunto. Um conjunto pode ser representado por três formas: a) por extensão Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas. Por exemplo, o conjunto dos dias da semana: A = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} Podemos também utilizar a representação por extensão mesmo que o conjunto seja infinito ou finito mas com um número elevado de elementos. Exemplos: - conjunto dos números ímpares: A = {1, 3, 5, ...} → conjunto infinito - conjunto dos números pares positivos menores que 200: B = {2,4,6,..., 198} → conjunto finito b) por compreensão O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos. Exemplos: A = {x / x ∈ N e x < 8}
- 1-1 -
B = {x / x é vogal} Observe que a propriedade que caracteriza o conjunto permite estabelecer se um dado elemento pertence ou não ao conjunto. c) por figuras Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada diagrama de Venn 1. Por exemplo, o conjunto A = {1,2,3,4} pode ser representado por:
Os elementos de A são representados por pontos internos desta figura. Observe que 2 ∈ A (é um ponto interno); 7 ∉ A (é um ponto externo). 1.2.2 - Igualdade de Conjuntos Observe os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 3, 2, 1}. Você nota que A e B possuem os mesmos elementos. Dizemos então que o conjunto A é igual ao conjunto B, pois possuem os mesmos elementos. Indica-se: A = B (A é igual a B). A negação da igualdade é indicada por A ≠ B (A é diferente de B). Exemplo: A = [1,3,5} e B = {0,1,4,8}, então A ≠ B Daí define-se: Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. 1.2.3 - Conjunto Vazio Sejam: •
A é o conjunto dos números primos rnenores que 2. Este conjunto não possui
elementos, pois não há número primo menor que 2. •
B = {x / x é inteiro e solução da equação 2x = 1}. Este conjunto não possui
elementos, pois a solução da equação dada é x =
1 , 2
que não é número inteiro.
Daí define-se: Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou ∅ . O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. 1.2.4 - Subconjuntos 1
John Venn, lógico inglês; 1834-1923
- 1-2 -
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é, também, um elemento do conjunto B. Indicamos esta relação por: A ⊂ B → lê-se: A está contido em B. Ou também por: B ⊃ A → lê-se: B contém A. Exemplo: O conjunto A = {0,2,4} é um subconjunto do conjunto B = {0,1,2,3,4,5}, pois cada elemento pertencente a A também pertence a B. Indicamos: {0,2,4} ⊂ {0,1, 2, 3,4,5} ou A ⊂ B.
Observando o diagrama, podemos escrever que B ⊃ A. Observações: - Todo conjunto A é subconjunto dele próprio →A ⊂ A; - O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; - Dois conjuntos A e B serão iguais somente se o conjunto A for subconjunto de B e B for subconjunto de A →A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A. são utilizados para relacionar conjunto com conjunto. - Os símbolos ⊂ , ⊃ , ⊄ e 1.2.5 – União de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B o conjunto representado por A ∪ B, formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B, ou a ambos: A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B} Exemplos: A = {0,1,2,3,4} B = {1,3,5,7} A ∪ B = {0,1,2,3,4,5,7} Em diagrama:
- 1-3 -
A = {0,1,2} e B = {0,1,2,3,4} A ∪ B = {0,1,2,3,4} = B Em diagrama:
A = {0,2} B = {1,3,5} A ∪ B = {0,1,2,3,5} Em diagrama:
Observação: a operação união possui as seguintes propriedades: A ∪ A=A A ∪ B=B ∪ A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∪ ∅ =A
- 1-4 -
1.2.6 - Interseção de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∩ B, formado por todos os elementos que pertencem a A e também pertencem a B: A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B} Exemplos: A = {0,1,2,3,4} B = {1,3,5,7} A ∩ B = (1,3} Em diagrama:
A = {0,1,2} B = {0,1,2,3,4} A ∩ B = (0,1,2} Em diagrama:
A = {0,2} B = {1,3,5} A ∩ B= ∅ Em diagrama:
Quando A ∩ B = ∅ , os conjuntos A e B são chamados disjuntos. Observação: a operação interseção possui as seguintes propriedades: A ∩ A=A
- 1-5 -
A ∩ B=B ∩ A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A∩ ∅=∅ 1.2.7 - Diferença de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B: A - B = {x / x ∈ A e x ∉ B} Exemplo: A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,8} A – B = {1,3,5} Em diagrama:
1.2.8 – Complementar de um Conjunto Dados dois conjuntos A e B, tais que B A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, isto é, a diferença de A e B: CAB = A - B Exemplo: Se B = {2,3} e A = {0,1,2,3,4}, então CAB = A - B = {0,1,4} Em diagrama:
O complementar de B em relação a A é o que falta para o conjunto B ficar igual ao conjunto A.
- 1-6 -
1.2.9 - Conjunto das Partes de um Conjunto Dado um conjunto qualquer A, pode-se obter um outro conjunto, cujos elementos são todos os possíveis subconjuntos do conjunto A. Este subconjunto, representado por P(A), denomina-se conjunto das partes de A: P(A) = {X / X ⊂ A} Exemplo: A = {1,2,3} P(A) = {{1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3}; ∅ } Observação: se o conjunto A possuir “n” elementos, então o conjunto P(A) possui 2n elementos. 1.2.10 - Número de Elementos de um Conjunto Dado um conjunto A, representa-se o número de elementos de A por n(A). A seguinte relação é verdadeira e de fácil verificação: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Exemplo: Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem o canal A, 250 assistem o canal B e 70 assistem outros canais, distintos de A e B. O número de pessoas que assistem A e não assistem B é: Resolução n(A ∪ B) = 500 - 70 = 430
n (A) = 280
n(A ∩ B) = ? n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 430 = 280 + 250 - n(A ∩ B) 430 + n(A ∩ B) = 530 n(A ∩ B) = 100 Resolvendo no diagrama:
- 1-7 -
n (B) = 250
Portanto, 180 pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B. 1.2.11 - Exercícios de Aprendizagem 1. Considere os conjuntos A = {1,2,3} e B = {2,5}. Utilizando os símbolos de ∈ e ∉ , relacione: a) 1 ___ A
b) 3 ___ B
c) 4 ___ A
d) 5 ___ B
2. Classifique os conjuntos abaixo em vazio, unitário, finito ou infinito. a) B = {0,1,2, ..., 70} b) C = {0,2,4,6,8, ...} c) E = {x / x é um numero ímpar, solução da equação x2 = 4} 3. Sejam A = {1}, B = {0,1}, C = {1,2,3} e D = (0,1,2,4}. Usando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione entre si os conjuntos: a) A ___ B
b) A ___ C
c) A ___ D
d) B ___ C
e) B ___ D
f) C ___ D
4. Dado o conjunto A = {0,1,2,{3}}, diga se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas: b) 1 ⊂ A c) {3} ∈ A d) {3} ⊂ A a) 0 ∈ A e) {1,2} ⊂ A
f) ∅ ⊂ A
g) ∅ ∈ A
h) 3 ∈ A
5. Dados A = {0,2,4} e B = {2,3}, calcule: a) P(A)
b) P(B)
6. Quantos elementos tem um conjunto de 2048 subconjuntos? 7. Sendo A = {0,1,2,3}, B = {0,2,3,5}, C = {0,2,4,6,8} e D = {x / x é número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine: b) A ∪ C c) A ∪ D d) B ∪ C a) A ∪ B f) C ∪ D g) (A ∪ B) ∪ C h) (A ∪ C) ∪ D e) B ∪ D
- 1-8 -
i) (B ∪ C) ∪ D 8. Dados A = {0,1,2,3}, B = {0,2,4}, C = {1,3,5} e D = {2,3}, determine: b) (B ∪ D) ∩ A a) (A ∩ B) ∪ C c) (A ∪ C) ∩ D e) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
d) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) f) (A ∩ C) ∩ (B ∪ D)
9. Dados A = {0,1,2,3}, B = {1,2,3} e C = {2,3,4,5},determine: a) A - B
b) A - C
c) B - C
d) (A ∩ B) - C
e) (A - C) ∩ (B - C)
f) A - ∅
10. Dados U = {0,1,2,3,4,5,6,7}, A = {0,2,5}, B = {1,3,5,7} e E = {2,4,6}, determine: a) CUA
b) CUB
c) CUE
11. Numa pesquisa realizada, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum dos jornais. Quantas pessoas foram consultadas? 12. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?
- 1-9 -
CAPÍTULO 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1 - NÚMEROS NATURAIS O conjunto dos números naturais é dado por: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}. Excluindo-se o 0 (zero) deste conjunto, obtemos o conjunto N* = {1,2,3,4,5,...}. Como todo elemento de N* é elemento de N, temos que N* ⊂ N. Observação: quando colocamos o asterisco na letra que representa um conjunto estamos com isso indicando que o zero foi excluído desse conjunto. 2.2 - NÚMEROS INTEIROS O conjunto dos números inteiros é dado por: Z = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Os principais subconjuntos de Z são: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} → conjunto dos números inteiros não-nulos; Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} → conjunto dos números inteiros não negativos (Z+ = N); * Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} → conjunto dos números inteiros positivos*(Z+ = N*); Z- = {..., -3, -2, -1, 0} → conjunto dos números inteiros não-positivos; * Z- = {..., -3, -2, -1} → conjunto dos números inteiros negativos. Como todo número natural é identificado com um número inteiro, consideramos que N ⊂ Z. Representando esta inclusão em diagrama, temos:
2.3 - NÚMEROS RACIONAIS a , em que a b ∈ Z é o numerador e b ∈ Z* é o denominador. Ele é indicado pela letra Q e, em linguagem a simbólica, temos: Q = x/ x = , a ∈ Z e b ∈ Z* . b É o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma de fração
- 2-1 -
Se considerarmos a representação de um número racional
a , dividindo a por b podemos obter b
decimais exatos e decimais periódicos (dízimas periódicas). Exemplos: 4 = 0,8 5
é um decimal exato.
3 = 0,3 7 5 8 2 = 0,666... 3 período 6).
é um decimal exato. é um decimal periódico (
5 = 0,4 5 4 .5. 1 1 0,454545... de período 45).
2 é a fração geratriz da dízima periódica 0,666... de 3
é um decimal periódica (
5 é a fração geratriz da dízima periódica 11
a representa um inteiro; logo, b podemos identificar todo número inteiro com um número racional e considerar que Z ⊂ Q. Repare que quando a é múltiplo de b, o número racional
Representando esta inclusão em diagrama, temos:
Os principais subconjuntos de Q são: Q* → conjunto dos números racionais não-nulos; Q+ → conjunto dos números racionais não-negativos; *Q → conjunto dos números racionais positivos; + Q- → conjunto dos números racionais não-positivos; * Q- → conjunto dos números racionais negativos. 2.4 - NÚMEROS IRRACIONAIS São aqueles que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros) e que, quando escritos na forma decimal, apresentam um número infinito de casas decimais sem, contudo, formar períodos, como nos decimais periódicos.
- 2-2 -
Exemplos: 2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508...
Um número irracional bastante conhecido é o número π = 3,1415926535... Este conjunto é indicado pela letra “I”. 2.5 - NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais, indicado pela letra R, é o conjunto obtido através da união do conjunto Q dos números racionais com o conjunto “I” dos números irracionais, ou seja: R=Q∪I O diagrama abaixo representa as principais inclusões dos conjuntos numéricos estudados até aqui:
Os principais subconjuntos de R são: R* → conjunto dos números reais não-nulos; R+ → conjunto dos números reais não-negativos; * R → conjunto dos números reais positivos; + R- → conjunto dos números reais não-positivos; * R → conjunto dos números reais negativos. 2.5.1 - Exercícios de Aprendizagem 1. Relacione utilizando os símbolos ∈ ou ∉ : 1 ___ Z 2 2 e) ___ Q 3
a) 2 ___ N
b)
d) –3 ___ Z g)
7 ___ Q 8
j)
7 ___ R
m)
3 ___ R*
c) –3 ___ N f)
−4 ___ Z 5
7 ___ Q
i)
7 ___ I
1 k) * ___ Q+ 7
l)
4 ___ N
h)
n) 8 ___ Q
o)
2. Relacione usando ⊂ ou ⊄ : a) N ___ Z d) Z ___ Q+
b) Z ___ Q e) Q* ___ R
−7 ___ Q8
c) Q ___ R f) I ___ R
- 2-3 -
CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 3.1 - INTRODUÇÃO O homem através dos tempos sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam: o sistema decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui dez algarismos, com os quais podemos formar qualquer número, através da lei de formação. Os sistemas: binário, octal e hexadecimal são muito importantes na área de técnicas digitais e computação. 3.2 - SISTEMA BINÁRIO O sistema binário de numeração é um sistema no qual existem apenas dois algarismos: - algarismo “0” (zero) e - algarismo “1” (um). Para representarmos a quantidade zero, utilizamos o algarismo (0), para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo (1). E para representarmos a quantidade dois, se nós não possuímos o algarismo (2) nesse sistema? É simples. No sistema decimal, nós não possuímos o algarismo dez e nós representamos a quantidade de uma dezena utilizando o algarismo um (1) seguido do algarismo zero (0). Neste caso, o algarismo um (1) significa que temos um grupo de uma dezena e o algarismo zero (0) nenhuma unidade, o que significa dez. No sistema binário agimos da mesma forma, para representarmos a quantidade dois utilizamos o algarismo um (1) seguido do algarismo zero (0). O algarismo (1) significará que temos um grupo de dois elementos e o (0) significará um grupo de nenhuma unidade, representando assim o número dois. Seguindo esta lógica de pensamento, podemos montar a tabela 3.1 a seguir: DECIMALBIN ÁRIO 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 .. .. Tabela 3.1 - Números decimais e seus equivalentes binários
3.2.1 - Conversão do sistema binário para o sistema decimal Tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, o número 594. Este número significa:
Esquematicamente temos:
Neste exemplo, podemos notar que o algarismo menos significativo (no caso o quatro) multiplica a unidade (1 ou 100), o segundo algarismo (o nove) multiplica a dezena (10 ou 101) e o mais significativo (no caso o 5) multiplica a centena (100 ou 102). A soma desses resultados irá representar o número. Podemos notar que a base deste sistema é o número 10 (dez). A base do sistema binário é o número 2 (dois). Tomemos, agora, um número binário qualquer, por exemplo, o número 101. Da tabela anterior podemos reparar que o número 101 no sistema binário equivale ao número 5 no sistema decimal. Utilizando o conceito básico de formação de um número podemos também mostrar que o número 101 na base 2 (sistema binário), é igual ao número 5 na base 10 (sistema decimal). Vejamos a seguir:
Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Daqui por diante, colocaremos como índice do número a base do sistema em que estamos trabalhando, ou seja: 2010 → número vinte na base dez (sistema decimal) 1102 → número seis na base dois (sistema binário) No caso calculado acima podemos escrever então: 1012 = 510 Vamos fazer a conversão do número 10012 para o sistema decimal:
Então: 10012 = 910.
A tabela 3.2 abaixo representa os números da potência de dois: 20=1 21=2 7 2 =128 28=256 214=16384......
22=4 29=512
23=8 210=1024
24=16 211=2048
25=32 212=4096
26=64 213=8192
Tabela 3.2 - Potência de dois 3.2.2 - Conversão do sistema decimal para o sistema binário A necessidade da conversão do sistema binário para o decimal é evidente, pois, se tivermos um número grande no sistema binário fica difícil perceber a quantidade que este representa. Agora, veremos a transformação de um número decimal em um número binário. O modelo matemático mais utilizado para fazer tal conversão está fundamentado em um método prático de divisões sucessivas por dois (2). Para usar como exemplo, transformaremos o número 4710:
O último quociente será o número mais significativo, seguido do último resto até o primeiro. Ficando na forma:
Então: 1011112 = 4710 Agora, já temos elementos para converter um número decimal em binário, ou um número binário em decimal, ou seja, após fazer uma conversão do sistema decimal para o sistema binário, ou vice-versa, já podemos conferir se esta conversão foi efetuada corretamente. Para exemplificar a explicação acima, tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, o número 35, e vamos convertê-lo em binário:
Então, 3510 = 1000112 Vamos conferir: 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 1 x 25 + 1 x 21 + 1 x 20 = 32 + 2 + 1 = 3510
3.2.3 - Números binários e decimais fracionários e suas conversões Até agora tratamos de números inteiros. Mas, se tivéssemos de converter o número 101,1012 para a base dez, qual seria o nosso procedimento? Para responder isso, vamos recordar, primeiramente, como procedemos no sistema decimal. Tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, o número 10,5. É só lembrar que ele significa:
Para um número binário, agimos da mesma forma, por exemplo, no nosso caso, temos:
daí, podemos escrever: 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 +0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 1x4+0x2+1x1+1x
1 1 1 +0 x + 1 x = 2 4 8
4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 5 + 0,5 + 0,125 = 5,62510 Portanto: 101,1012 = 5,62510 Tomemos, agora, um número binário qualquer, por exemplo, o número 1010,11012. Vamos verificar qual seu valor decimal:
Portanto: 1010,11012 = 10,812510 A tabela 3.3 apresenta as potências negativas de dois: 3.2.4 - Conversão de um número decimal fracionário em binário Podemos também converter um número decimal fracionário em binário, para isso, vamos utilizar uma regra prática: Por exemplo, para transformarmos o número 8,375 em binário.
Este número significa: 8 + 0,375 = 8,375 Transformamos primeira mente a parte inteira do número, como já explicado anteriormente.
Temos, então: 810 = 10002 Isso feito, o passo a seguir é transformar a parte fracionária, para tal utilizamos a seguinte seqüência:
Quando atingimos o número 1 e a parte do número após a vírgula não for nula, separamos esta última e reiniciamos o processo, no caso:
Teremos, então:
Logo o número 8,37510, em binário ficará:
Vamos, agora, transformar um outro número decimal em binário, por exemplo, o número 4,810: 1º) Separamos a parte inteira do número: 4,8 = 4 + 0,8 onde:
4 é a parte inteira 0,8 é a parte fracionária
2º) Convertemos primeiramente a parte inteira: 410 = 1002
3º) Iniciamos o processo de conversão do número fracionário:
Separamos a parte posterior à vírgula não nula e reiniciamos o processo.
Novamente reiniciamos o processo.
Podemos reparar que o número 0,8 tornou a aparecer, logo se continuarmos o processo teremos a mesma seqüência já vista até aqui. Este é o caso de uma dízima. Teremos então: 3.3 - SISTEMA OCTAL O sistema octal de numeração é um sistema no qual existem oito algarismos que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Para representarmos a quantidade oito (8), agimos do mesmo modo que visto anteriormente para números binários e decimais. Colocamos o algarismo um (1) seguido do algarismo zero (0). Desta pequena introdução já podemos mostrar a seqüência da numeração octal, representada na tabela 3.4: 3.3.1 - Conversão do sistema octal para o sistema decimal Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos os conceitos básicos de formação de um número. Vamos, por exemplo, converter o número 1448 em decimal:
Então: 1448 = 10010 Vamos, agora, converter os números 778 e 1008 para o sistema decimal:
Portanto: 778 = 6310
Então: 1008 = 6410 Dos exemplos acima podemos notar que após o 778 vem o 1008. 3.3.2 - Conversão do sistema octal para o sistema binário Trata-se de uma conversão extremamente simples, bastando-se utilizar a regra prática descrita abaixo. Tomemos, por exemplo, o número octal 278. Desmembremos esse número em dois algarismos e transformemos cada algarismo no seu correspondente binário:
Portanto: 278 = 101112 3.3.3 - Conversão do sistema binário para o sistema octal Tomemos um número binário qualquer, por exemplo, o número 1100102. Para transformarmos esse número em octal, dividimos em grupos de três algarismos a partir da direita: 110 010 Fazemos, agora, a conversão desses grupos de algarismos para o sistema decimal. Podemos notar que o maior número que se pode formar com três algarismos binários é o número 7. Esta conversão irá resultar diretamente o número no sistema octal.
Então: 1100102 = 628 Podem ocorrer casos em que, separando-se o número binário em grupos de três algarismos, a partir da direita, sobre um grupo de dois ou de um algarismo. Nesses casos, basta adicionarmos zeros à esquerda até completarmos o grupo de três algarismos. Por exemplo, para convertermos o número 10102 em octal, teremos: Acrescentamos zeros à esquerda até completarmos o grupo de três algarismos.
Daí continuamos o processo visto anteriormente.
Portanto: 10102 = 128 3.3.4 - Conversão do sistema decimal para o sistema octal Existem dois métodos para efetuarmos esta conversão. O primeiro é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, somente que nesse caso utilizaremos a divisão por oito (8), pois o sistema é octal. Vamos converter o número 9210 para o sistema octal.
Então: 9210 = 1348 O outro método é a conversão do número decimal em binário e após, a conversão do sistema binário em octal.
Portanto: 9210 = 1348 3.4 - SISTEMA HEXADECIMAL O sistema hexadecimal é um sistema que possui dezesseis algarismos, assim enumerados: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Notamos que a letra A representa o algarismo A que por sua vez representa a quantidade dez (10). A letra B representa o algarismo B que representa a quantidade onze (11), e assim sucede-se até a letra F que representa a quantidade quinze (15). Para representarmos a quantidade dezesseis (16), utilizamos o conceito básico da formação de um número, ou seja, colocamos o algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Vejamos a tabela 3.5. 3.4.1 - Conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal Análogo aos outros sistemas. Tomemos, por exemplo, o número hexadecimal 3F16 e vamos convertê-lo em decimal:
3.4.2 - Conversão do sistema hexadecimal para o sistema binário É análogo à conversão do sistema octal para o sistema binário. Só que, nesse caso, necessitamos de quatro algarismos binários para representarmos um algarismo hexadecimal. Vamos, então, converter o número C1316 para o sistema binário:
Portanto: C1316 = 1100000100112 3.4.3 - Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal É análogo à conversão do sistema binário para octal, somente que, nesse caso, agrupamos de quatro em quatro algarismo da direita para a esquerda. Exemplo: converter o número 100110002 para hexadecimal.
Então: 100110002 = 9816 3.4.4 - Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal Assim, como no caso do sistema octal, poderemos utilizar dois métodos: - 1º método: através da divisão sucessiva do número decimal pela base do sistema, no caso dezesseis (16). Exemplo: converter o número 100010 para hexadecimal.
A seqüência do número é: 3 14 8 , lembrando que 1410 = E. Portanto: 100010 = 3E816 - 2º método: transforma-se primeiramente o número decimal em binário e logo a seguir em hexadecimal. Utilizaremos o mesmo número do exemplo anterior (100010).
Então: 100010 = 3E816 3.4.5 - Exercícios de Aprendizagem 1. Converter os seguintes números binários em decimal: a) 10011002
b) 11112
c) 111112
d) 100002
2. Converter os seguintes números decimais em binários: a) 78
b) 102
c) 215
d) 5429
3. Transformar para decimal os seguintes números binários: b) 11,112 c) 1011,112
a) 1010,10102 4. Transformar os seguintes números decimais em binários: a) 0,125
b) 0,92
c) 47,47
5. Converter os seguintes números octais em decimal. a) 148
b) 678
c) 4768
6. Converter os seguintes números octais em binário: a) 348
b) 5368
c) 446758
7. Converter os seguintes números binários em octal: a) 101112
b) 110101012
c) 10001100112
8. Converter os números decimais abaixo em octal: a) 7410
b) 51210
c) 71910
9. Converter os seguintes números hexadecimais para decimal: a) 1C316
b) 23816
c) 1FC916
10. Converter para o sistema binário os seguintes números hexadecimais: a) 1ED16
b) ABF16
c) 3716
d) 6CF916
11. Converter para o sistema hexadecimal os seguintes nĂşmeros binĂĄrios: a) 11000112
b) 110001111000111002
12. Converter para o sistema hexadecimal os seguintes nĂşmeros decimais: a) 13410
b) 38410
c) 388210
.
CAPÍTULO 4 RAZÃO E PROPORÇÃO 4.1 - RAZÃO 4.1.1 - Razão entre dois Números A razão entre dois números a e b, nesta ordem, é o quociente de a por b. a razão a para b b Os números a e b de uma razão, são denominados de termos da razão, onde a é o antecedente e b é o conseqüente. Exemplos: A razão de 10 para 2 é:
10 =5 2
1 1 A razão de para 27 é: 3 =1 ⋅ 1 =1 3 27 3 27 81 1 0,1 1 1 1 A razão entre 0,1 para 12 é: = 10 = ⋅ = 12 12 10 12 120 4.1.2 - Razão entre duas Grandezas A razão entre duas grandezas é o quociente entre duas medidas dadas numa certa ordem. Existem duas situações a considerar: - grandezas de mesma espécie; - grandezas de espécies distintas. a) Grandezas de Mesma Espécie Se as medidas são expressas ou podem ser reduzidas numa mesma unidade, então a razão será um número determinado pelo quociente entre as medidas dadas. Exemplos: A razão de 25 Kg para 15 Kg é:
25kg 25 5 = = 15kg 15 3
2h 2 × 60 min 120 min = = 4 A razão de 2 horas para 30 min é: = 30 min 30 min 30 min 2h 2h 2 = = = 4 ou 30 min 1 h 1 2 2 b) Grandezas de Espécies Distintas Se as medidas não são de uma mesma espécie e não podem ser reduzidas a mesma espécie, então a razão entre elas será um número com unidade, conforme as unidades envolvidas.
- 4-1 -
.
Exemplos: A razão de 20 metros para 5 segundos é:
m 20m = 4= 4 m / s , o que significa 4 metros a cada s 5s
segundo, ou seja, velocidade. A razão de 400 km e 50 litros é:
400 Km = 80km / l , o que significa 8Km a cada litro, ou seja, 50l
consumo. A razão de R$ 21,00 por 7 metros é:
R$ 21, 00 = 3 R$ / m , o que significa R$ 3,00 a cada 7m
metro, ou seja, gasto por metro.
4.2 - PROPORÇÃO A igualdade entre duas razões é denominada proporção, ou seja: Razão
a b
Razão
c d
a c = ou a ÷ b = c ÷ d , que se lê: “a” b d está para “b” assim como “c” está para “d”, onde a e d são chamados de extremos e b e c são chamados de meios. Proporção:
Exemplo: os números 8, 24, 9 e 27 formam, nesta ordem, uma proporção: 8 9 = pois, 24 27 8 1 9 1 = = e 24 3 27 3 4.2.1 - Propriedade Fundamental Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. a c = b d
→ a × d =b × c
Exemplo1: seja
3 4 = , 6 8
logo
3× 8 = 6 × 4
→
24 = 24
A propriedade fundamental das proporções é de muita importância, principalmente quando desejamos saber o valor de um termo desconhecido da mesma. Exemplo2: determinar o valor de a na seguinte proporção
- 4-2 -
8 2 = a 5
.
40 → a= → a= 20 2 x − 2 2x +1 = Exemplo3: calcule x na proporção 3 4 8 × 5 =× a 2
→
40 = 2a
4.( x − 2)= 3.(2 x + 1) 4x − 8 = 6x + 3 4 x − 6 x =3 + 8 −2 x = 11 11 x= − 2 4.2.2 - Propriedade Inversa ou Recíproca Se o produto de dois números quaisquer (diferentes de zero), for igual ao produto de dois outros números (diferentes de zero), poderemos afirmar que esses quatro números formam uma proporção sendo extremos os fatores de um dos produtos, e meios os fatores do outro produto. Exemplo: 4 1 = 16 4 4.2.3 - Proporções Contínuas - Média Proporcional - Terceira Proporcional 4 × 4 = 16 × 1
→
São contínuas as proporções cujos meios são iguais. Assim, temos: a b = → a ÷b = b ÷d b d O valor comum aos meios é chamado de média proporcional. No nosso caso, o termo b é a média proporcional (ou geométrica) entre os extremos a e d. O quarto termo d é chamado de terceira proporcional depois de a e b. 4.2.4 - Quarta Proporcional Denomina-se quarta proporcional entre três números dados numa certa ordem, a um quarto número, tal que forme com os três primeiros números uma proporção. Assim, temos: a ÷ b = c ÷ d , então o termo d é chamado de quarta proporcional depois de a, b e c. 4.2.5 - Propriedades das Proporções a) Adição dos Termos Em toda a proporção, a soma entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo) assim como a soma entre os dois últimos está para o terceiro (ou quarto) termo. A+ B C + D = A C A+ B C + D = B D b) Subtração dos Termos
- 4-3 -
.
Em toda a proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou quarto) termo. A− B C − D = A C A− B C − D = B D c) Adição dos Antecedentes e Conseqüentes Em toda a proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente. A+C A C = ou B+D B D d) Subtração dos Antecedentes e Conseqüentes Em toda a proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente. A−C A C = ou B−D B D e) Multiplicação dos Antecedentes e Conseqüentes Em toda a proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes assim como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado de seu conseqüente. A × C A2 C2 = 2 ou B× D B D2
f) Divisão dos Antecedentes e Conseqüentes Em toda a proporção, o quociente dos antecedentes está para quociente dos conseqüentes, sendo identicamente unitário. A÷C =1 B÷D g) Potenciação dos Antecedentes e Conseqüentes Dada uma proporção qualquer, se elevarmos cada termo a uma mesma potência enésima, então os termos assim determinados formarão também uma proporção. A C An C n = → = B D Bn Dn h) Radiciação dos Antecedentes e Conseqüentes Dada uma proporção qualquer, se extrairmos a raiz enésima de cada termo, então os termos assim determinados formarão também uma proporção.
- 4-4 -
. n A C A nC = → = n B D B nD 4.2.6 - Exercícios de Aprendizagem
1. Determine as razões entre os seguintes pares de grandezas dados nesta ordem: a) 2 e 4
b) 3 e 3
c) 7 e 3
e) 0,2 e 0,02
f) 27 e 9
g)
d) 7 e 28
3 1 e 5 3
h) 0,72... e 0,36...
2. Determine o valor das seguintes razões: a) 2 m e 4 dam
b) 30 hm e 60 m
c) 4 g e 5 Kg
3. Calcule o valor de x em cada uma das proporções, para que se tornem verdadeiras: a)
x 10 = 3 5
d)
3 7 = 5 x
b)
3 27 = x 81 e)
c)
3 x = 5 25
7 3 = 3 x
f)
1, 2 x = 4,8 2, 4
4. Calcular a terceira proporcional, dados os seguintes numerais: a) 6 e 3 (meio comum)
b) 8 e 7 (meio comum)
c) 7 e 4 (meio comum)
d) 7 e 9 (meio comum)
5. Calcular a quarta proporcional, depois dos seguintes números: a) 6; 3 e 10
b) 7; 4 e 28
c) 3; 9 e 81
d) 3; 9 e 27
6. Calcule o valor de a e b nos seguintes sistemas: 48 a + b = a) a 7 b = 5
12 a − b = b) a 7 b = 5
270 a × b = c) a b 6 = 5
a 2 + b 2 = 125 d) a 10 = b 5
- 4-5 -
CAPÍTULO 5 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 5.1 - POTENCIAÇÃO Potência é um produto indicado de fatores iguais. a n = a × a × a × a , n vezes Vamos chamar de base o fator que se repete e de expoente o número de vezes pelo qual o fator se multiplica. Assim, 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 . n Uma potência é representada da seguinte forma: a , que lemos “a elevado a n”. O número a é chamado de base e n, de expoente.
Figura 5.1 - Fórmula da potência Observação: Se a base é negativa e o expoente é par, então a potência é positiva. Se a base é negativa e o expoente é ímpar, então a potência é negativa. Exemplos:
( −3) = ( −3) × ( −3) × ( −3) × ( −3) = 81 3 ( −5) =( −5) × ( −5) × ( −5) =−125 4
Atenção: −42 = − ( 4 × 4) = − (16 ) = −16 −23 = − ( 2 × 2 × 2) = − (8) = −8 Se o expoente for negativo, teremos uma fração que possui no numerador a unidade, e para o denominador, a mesma base somente com o sinal do expoente trocado. = a−n
1 , para a ≠ 0 an −2
1 1 1 1 = = =25 − = 2 1 1 1 Exemplo: 5 1 − × − 25 − 5 5 5 5.1.1 - Propriedades a) Produto de potências de mesma base Para multiplicar potências de mesma base, deve-se conservar a base e adicionar os expoentes, m n a m+n . isto é: a × a = Exemplo: 32 × 33 = ( 3 × 3) × ( 3 × 3 × 3) = 35 ou 32 × 33 = 32+3 = 35 b) Quociente de potências de mesma base
-
6-1
-
Para dividir potências de mesma base, deve-se conservar a base e subtrair os expoentes, isto é: m
a = a m−n , a ≠ 0 . n a Exemplo: 34 3 × 3 × 3 × 3 34 2 = = 3 = 3 4− 2 = 3 2 ou 32 3× 3 32 c) Potência de potência Para elevar uma potência a um expoente, deve-se conversar a base e multiplicar os expoentes,
( )
m isto é: a
n
= a m×n . 3) ( ) (= 2×5
5
32 Exemplo: =
310
( ) = (a )
Devemos observar que a n 2) ( ) (= 2×3
3
22 Exemplo: =
m
m n
( )
n e que d
m
m
≠ dn .
( )
26 e 2 23 = 2 8 . Logo, 2 2
3
≠ 22 . 3
d) Potência de um produto Para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator a esse expoente, isto é:
(a × b)
n
=a n × b n .
3 3 Exemplo: ( 2 × 3) =2 × 3 =8 × 27 =216 3
e) Potência de um quociente Para elevar um quociente a um expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse n
an a = ,b ≠ 0 . expoente, isto é: bn b 3
23 8 2 = = Exemplo: 3 2 7 3 3 f) Potência de expoente um (1) Toda potência de expoente um (1) é igual a base. Considere o quociente: 2 5 ÷ 2 4 . Aplicando a propriedade do quociente de potências de bases iguais, temos: 2 5 ÷ 2 4 = 2 5− 4 = 21 . 5 4 Calculando o valor de cada potência e efetuando a divisão, temos: 2 ÷ 2 = 3 ÷21 =6 2 .
Como os resultados devem ser iguais, podemos escrever: 21 = 2 . 1 1 1 Da mesma forma: 3 = 3 , 10 = 10 , 25 = 25 . Sempre que o expoente for um (1), o resultado será a própria base.
g) Potência de expoente zero (0) Toda potência de expoente zero e base diferente de zero é igual a um (1). -
6-2
-
Considere o quociente: 2 5 ÷ 2 5 . Aplicando a propriedade do quociente de potências de bases iguais, temos: 2 5 ÷ 2 5 = 2 5−5 = 2 0 . 5 5 Calculando o valor de cada potência e efetuando a divisão, temos: 2 ÷ 2 = 3 ÷2 3 =2 1 .
Como resultados devem ser iguais, podemos escrever: 2 0 = 1 . = 30 1,= 100 1,= 250 1 . Sempre que o expoente for zero (0), o resultado Da mesma forma: será igual a um (1). h) Potência de base dez Observe os seguintes múltiplos de dez: 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 10n = 1000...000 n zeros
O expoente indica o número de zeros. Vejamos, agora, os submúltiplos de dez: 1 = 0,1 10 1 1 −2 10= = = 0, 01 2 10 100 1 1 −3 10= = = 0, 001 3 10 1000 −1 10=
O expoente indica o número de casas decimais. Como conseqüência das potências de dez, podem-se manipular os números decimais de duas formas simples: - 1ª Forma Se a vírgula de um número decimal for deslocada para a direita “n” casas decimais, então −n deve-se multiplicar o referido número por 10 , a fim de não alterar o resultado. As igualdades abaixo são verdadeiras: 0, 023 =0, 23 ×10−1 =2,3 ×10−2 =23 ×10−3 =230 ×10−4 - 2ª Forma Se a vírgula de um número decimal for deslocada para a esquerda “n” casas decimais, então n deve-se multiplicar o referido número por 10 , a fim de não alterar o resultado. As igualdades abaixo são verdadeiras: 230 =23 ×101 =2,3 ×102 =0, 23 ×103 =0, 023 ×104
-
6-3
-
5.2 - RADICIAÇÃO Radiciação é a operação inversa da potenciação. Define-se como raiz de índice “n” de um número “a” ao número “b” tal que “b” expoente “n” é igual a “a”, ou seja: a =b ⇔ b n =a a = radicando
n
n = índice do radical b = raiz n ∈ ¥ tal que n í 1 Exemplos: 3 = pois 23 8 a) 8 2,=
b)
4
±3, pois ( ±3) = 81 = 81 4
2 16 = ±4, pois ( ±4 ) = 16 c) 16 = 2
d)
2
−4 =não é definida em ¡
A raiz de índice “n” de um número “a” pode ser definida como sendo uma potência de “a”, onde o expoente é o inverso de “n”, ou seja: n
1
a = an
n ∈ ¥ tal que n ≥ 1 Exemplos: 1
1 3 3
( 2 )=
3 a) 3 = 8 8= 1
4 b) 4 = 81 81 = 1 2 c) 2 = 16 16 =
d)
1
1 3
2 = 2
1 4 4
(3 = ) 1 2 2
3×
(4 = )
4×
1 4
3= 3 2×
1 2
4= 4
1 1
5= 5= 5
5.2.1 - Propriedades dos radicais Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos, temos: A raiz enésima de um produto a × b é igual ao produto das raízes enésimas dos fatores. a×b = n a ×n b Exemplo: n
3
2×7 = 3 2 × 3 7 .
A raiz enésima de um quociente
a é igual ao quociente das enésimas dos termos da divisão. b
-
6-4
-
a na ,b ≠ 0 = b nb Exemplo: n
4 4 4 8 8 8 8 =4 = = . 8 1 8 1 4 34 3 Multiplicando-se ou dividindo-se o índice de um radical e o expoente do radicando por um 4
mesmo número, não-nulo, o valor do radical não se altera. n× p
a m× p
Exemplo:
2 7 9
n
am =
5 =2
÷79
5 9 ÷9 = 3 5 .
Elevar um radical de índice n a um expoente m é elevar o radicando desse radical ao expoente m.
( a)
m
= n am Exemplo: n
( 3)
9
= 3 3 9 = 3÷3 3 9 ÷3 = 3 3 = 2 . Extrair a raiz de índice n de uma raiz de índice m é obter um radical de índice m x n com o 3
mesmo radicando. n m
a = n×m a
Exemplo:
5 4
2 = 5×4 2 = 2 02
5.2.2 - Redução de radicais ao mesmo índice Em algumas situações, é necessário transformar dois ou mais radicais de índices diferentes em outros equivalentes e que possuam um índice comum. Exemplo: reduzir ao mesmo índice os radicais
3
5,
4
3 e
7.
Solução: tomando como índice comum o m.m.c. (2, 3, 4) = 12, temos: 3 = 5
3×4
12
54
4 = 3
4×3
12
33
= 7
2×6
12
= 51×4
= 31×3 = 71×6
76
5.2.3 - Potências de expoente fracionário Todo número a ∈ ¡ elevado a um expoente fracionário do tipo enésima do número elevado ao expoente m. m
a n = n am 2
Exemplo: 5 3 = 3 5 2 = 3 2 5
-
6-5
-
m (n ≠ 0) é igual à raiz n
5.2.4 - Operações com radicais a) Adição e Subtração É possível reduzir os radicais em uma soma (ou subtração) a um radical apenas, desde que eles sejam semelhantes. Em uma soma (ou subtração) de radicais pode ocorrer: Todos os radicais são semelhantes entre si. Os radicais dados não são semelhantes a princípio, tornando-se ao se retirar um ou mais fatores do radicando. Existem apenas alguns termos semelhantes. n n n SOMA: a b + c b = (a + c ) b
Exemplo: 3 2 + 5 2 = (3 + 5) 2 = 8 2 n n n SUBTRAÇÃO: a b − c b = (a − c ) b 3 3 3 3 Exemplo: 5 2 − 3 2 = (5 − 3) 2 = 2 2
b) Multiplicação e Divisão Existem dois casos a considerar: Se os radicais forem do mesmo índice, a operação (multiplicação e divisão) deve ser efetuada conforme as propriedades apresentadas. Se os radicais forem de índices diferentes deve-se, inicialmente, reduzi-los ao mesmo índice. Para isto, basta obter o m.m.c. entre eles. a cn b×d MULTIPLICAÇÃO: a n b × c n d =× Exemplo: I) 2 3 2 × 3 3 4 = 2 × 3 3 2 × 4 = 6 3 8 = 6 3 23 = 6 × 2 = 12 II) 2 3 2 × 3 3 . Inicialmente, precisamos obter os mesmos índices. Assim: m.m.c. (2,3) = 6. Logo: 3 23 2 ×3 = 3 23×2 21×2 × 32×3 31×=
2 6 22 × 3 6 33 =2 × 3 6 22 × 33 = 6 6 4 × 27 = 6 6 108 an b a n b DIVISÃO: n= × (com c ≠ 0 e d ≠ 0) d c d c 23 4 2 3 4 3 =2 Exemplo: 3 = × 2 2 2 2
-
6-6
-
c) Racionalização Racionalizar uma fração consiste em eliminar, através de propriedades algébricas, o radical ou os radicais que estiverem no denominador. Esta operação é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da correspondente fração pelo fator de racionalização. Consideram-se três casos de racionalização: - 1º Caso: Quando a expressão fracionária apresenta no denominador apenas um radical da forma
a.
Exemplo: 1 1 3 3 3 3 = × = = = 2 3 3 3 3 3× 3 3 - 2º Caso: Quando a expressão fracionária apresenta no denominador apenas um radical da forma (n>2). Exemplo: 2 2 = = 3 3 2 4 2 - 3º Caso
2 3
2
2
×
3
23 − 2
3
3− 2
2
=
2 × 3 21 3
2 ×2 2
1
2× 3 2
=
3
2
3
2× 3 2 = = 2
3
2
Quando a expressão fracionária apresenta no denominador a soma de radicais. Exemplo: 3 3 = × 2 −1 2 −1
( (
) =3 × ( 2 + 1) =3 ( 2 + 1) = 3( 2 −1 2 + 1) ( 2 ) − 1 2 +1
2
)
2 +1
2
5.2.5 - Exercícios de Aprendizagem 1. Efetue as seguintes potências: 30 − 32 a) 0 −1 3 +3
3 b) − 2
x
1 1 d) × 3 3
2− x
−2 x + 3 ÷ 33− 2 x g) 3
(
−2
j) a × b
)
−1 −4
1 × 3
−3
c) 20 − 4−1 + 2−2
−1
e)
( )
( 5) ×( 5) ×( 5) 3
−2 h) a
−1 4
x −3 k) 2 y
−2
-
−1
3
6-7
4
3
f)
i) ( 2 × 3)
-
( −2 ) −6 ( −2 ) −4
−3
4
n
am
2. Simplifique as expressões a seguir: 4−2. ( −3)3 c) −1 ( −3)
2
42 23 32 × 3−2 × 32 b) 4 × 3 ÷ 4 −5 2 4 2 ×2 ×2
6.10−3.10−4.108 a) 3.10−1.105
−2
3. Transforme em potência de dez:
( 0, 002 ) × ( 0, 2 ) 6 ( 0, 0002 ) 5
a) ( 0, 0002 ) ÷ ( 0, 003) 3
−4
b)
10
0, 001× 23 × 502 × 5 1 1 c) × 0,1 0, 0001 4. Simplifique aplicando as propriedades dos radicais: a) f) 3
3
b) 5 104
8 4×9
x6 8
g) l)
3
4
c) 3
27x
)
h) 12
m)
5
(
d) 3 2
25
4 3
e) i)
n)
6
2
64 4
x3 y
5. Determine as seguintes somas algébricas de radicais: a) 9 10 − 5 10 + 2 10
b) 2 3 a + 5 3 a − 7 3 a + 2 3 a
c) 5 40 − 3 10
d) 2 49a − 5 16a + 3 25a − 7 a
e) 2 300 + 3 50 − 2 243 6. Determine os seguintes produtos ou divisões: a) 2 3 × 6 12
b) 3 3 2a 2b × 3 4a 2b 2
c) 3 5 2 × 3
d) 2 3.
e) 10 ÷ 5 10
f)
(
(
2 −2 5
)(
3 + 2 −1 .
) )
3 − 2 +1
7. Racionalize as seguintes frações: a)
2 32
2 b)
5
10
8. Escreva a expressão
2
4
2 3 2+ 3
c)
x3 . x. 5 x na forma de potência.
3 4 = E x ÷ 9. Simplifique a expressão:
( )
-
6-8
3
x
2
3 2
+
-
x 3 2 x
d)
3 6− 2
6
53 j)
3
81 k) 27
CAPÍTULO 6 GEOMETRIA PLANA 6.1 - ÂNGULOS Ângulo é uma figura geométrica formada por duas semi-retas de mesma origem e nãocoincidentes. Na figura 6.1 abaixo, o ponto O é denominado vértice do ângulo, e as semi-retas OA e OB são chamadas de lados do ângulo. Indicamos o ângulo AOB escrevendo AÔB (lê-se: ângulo AOB).
Figura 6.1 – Ângulo 6.1.2 - Medida de Ângulo A unidade de medida de ângulo mais usada é o grau que possui com submúltiplos o minuto e o segundo. Um grau tem sessenta minutos: 1° = 60’. Um minuto tem sessenta segundos: 1’ = 60”. Exemplo: m(AÔB) = 12°6’20”, onde AÔB mede 12 graus, 6 minutos e 20 segundos. a) Conversões de Medidas de Ângulos I) Conversão de graus para minutos Para converter graus em minutos, basta multiplicarmos a quantidade de graus por sessenta. Exemplo: 10° 1° = 60’ → 10° = 10 × 60 = 600’ II) Conversão de graus para segundos Para converter graus em segundos, basta transformar de graus para minutos e depois multiplicarmos a quantidade de minutos por sessenta. Exemplo: 5° 5 × 60 = 300’ 300 × 60 = 18000” III) Conversão de minutos para graus Para convertermos de minutos a graus, basta dividirmos por sessenta. O quociente representa os graus e o resto, se houver, os minutos.
-
6-9
-
Exemplo: 150’ 150 ÷ 60 =2°30 ' IV) Conversão de segundos para minutos Para convertermos de segundos a minutos, basta dividirmos por sessenta. O quociente representa os minutos e o resto, se houver, continua representando os segundos. Ex: 7510” 7 5 1÷ 60 0= 1 2' b) Operações com Medidas de Ângulos I) Adição Calcular: 10°40 '18"+ 32°29 '55" 10°40 '18" +32°29 '55" 42°69 '73" Vemos que 73” pode ser convertido a 1’13”, pois: 73"÷60 é igual a 1’ com um resto de 13”. 42°70 '13". Logo: 42°69 '73" = Observe que 70 ' = 1°10 ' . Finalmente resulta 43°10 '13" . II) Subtração Efetue: 90° − 32°10 ' . Convertendo: 90°= 89°60 ' (para efetuar a subtração) 89°60 ' −32°10 ' 57°50 ' III) Multiplicação Efetue: 10°25'32"× 5 10°25'32" × 5 50°125'160" Como sobram minutos (125’) e segundos (160”), vamos reduzir as unidades da seguinte forma: 1 6" = 20'4 " (01 2"+40")0 50°127 ' 40" . Logo: 50°125'160" = 127 ' = 2°7 ' (120 '+ 7 ') Logo: 50°127 ' 40" = 52°7 ' 40" ⇒ 50°125'160" = 52°7 ' 40" . IV) Divisão Efetue: 36°12 ' 20"÷ 5
- 6-10 -
36°2'20" 5 1°12'20" 7°14 ' 28" 72'20" 2'20" 140" 0
6.1.3 - Posições Relativas de dois Ângulos a) Ângulos Consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando um lado de um deles é também lado do outro.
Figura 6.2 - Ângulos Consecutivos ∧
∧
No exemplo, os ângulos A O B e B O C são ângulos consecutivos. b) Ângulos Adjacentes Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não têm pontos interiores comuns.
Figura 6.3 - Ângulo Adjacente ∧
∧
Na figura 6.3, os ângulos A O B e B O C são ângulos adjacentes. 6.1.4 - Classificação de Ângulos a) Ângulo Reto Ângulo reto é aquele que tem por medida 90°.
- 6-11 -
Figura 6.4 - Ângulo Reto b) Ângulo Agudo É aquele cuja medida é menor que 90°.
Figura 6.5 - Ângulo Agudo c) Ângulo Obtuso É aquele cuja medida é maior que 90°.
Figura 6.6 - Ângulo Obtuso d) Ângulo Raso Chamamos de ângulo raso aquele cuja medida é de 180°.
Figura 6.7 - Ângulo Raso
6.1.5 - Ângulos Complementares Dois ângulos são chamados complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°.
- 6-12 -
Exemplos: 1) As medidas dos ângulos de 30° e 60° representam ângulos complementares: 30° é o complemento de 60°; 60° é o complemento de 30°.
Figura 6.8 - Ângulos Complementares
2) Veja bem: se o ângulo é “a”, o seu complemento é igual a “90° - a”. 6.1.6 - Ângulos Suplementares Dois ângulos são chamados suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Exemplos: 1) As medidas dos ângulos de 70° e 110° representam ângulos suplementares: 70° é o suplemento de 110°; 110° é o suplemento de 70°.
Figura 6.9 - Ângulos Suplementares
2) Veja bem: se o ângulo é igual a “a”, o seu suplemento é igual a “180° - a”. Note que dois ângulos adjacentes são sempre suplementares. 6.1.7 - Ângulos Replementares Dois ângulos são chamados replementares quando a soma de suas medidas é igual a 3600.
- 6-13 -
Figura 6.10 - Ângulos Replementares 3600 . Se o ângulo é “a”, o seu replemento é igual a “360° - a”. Neste caso: α + β = 6.1.8 - Ângulos Opostos pelo Vértice Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são as semi-retas opostas ∧
∧
∧
∧
dos lados do outro. Os ângulos a e b são opostos pelo vértice e os ângulos x e y são opostos pelo vértice.
Figura 6.11 - Ângulos Opostos pelo Vértice Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida, por isso são congruentes: x + a = 180° × ( −1) x + b = 180° a −b= 0° a=b 6.1.9 - Bissetriz de um Ângulo Observe o ângulo AÔB:
Figura 6.12 - Bissetriz de um Ângulo
- 6-14 -
A semi-reta OC , que divide o ângulo AÔB em dois ângulos congruentes, é chamada de bissetriz do ângulo AÔB. Na figura 6.13 vemos que a bissetriz de um ângulo de 40° vai dividi-lo em dois ângulos de 20° cada um.
Figura 6.13 - Bissetriz de um Ângulo de 400 6.1.10 - Ângulos entre Retas Paralelas e uma Transversal
Figura 6.14 - Ângulos Formado entre Retas Paralelas a) Ângulos Correspondentes ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
1 ≡ 5; 2 ≡ 6; 3 ≡ 7; 4 ≡ 8
b) Ângulos Alternos Internos ∧
∧
∧
∧
3 ≡ 5; 4 ≡ 6 c) Ângulos Alternos Externos ∧
∧
∧
∧
1 ≡ 7; 2 ≡ 8 d) Ângulos Colaterais Internos ∧
∧
∧
∧
3+ 6 = 4+ 5 =1800 e) Ângulos Colaterais Externos
- 6-15 -
∧
∧
∧
∧
1+ 8 = 2+ 7 =1800 6.2 - TRIÂNGULOS 6.2.1 - Conceito O triângulo é o polígono de três lados. No triângulo ABC da figura 6.15, temos:
Figura 6.15 - Triângulo os lados são: AB, BC e CA ; os vértices são: A, B e C; ∧
∧
∧
os ângulos internos são: A , B e C . Representamos o triângulo ABC por Δ ABC. 6.2.2 - Classificação Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos internos. a) Quanto aos lados Os triângulos quantos aos lados se classificam em isósceles, eqüilátero ou escaleno. I) Isósceles É o triângulo que possui dois lados congruentes.
Figura 6.16 - Triângulo Isósceles O ΔABC da figura 6.16 é isósceles, pois AB ≅ AC . Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice, o lado oposto a esse ângulo é chamado base e os ângulos adjacentes à base são chamados ângulos da base.
- 6-16 -
∧
∧
∧
Nesse triângulo, o ângulo do vértice é A , a base é o lado BC e os ângulos da base são B e
C . Se o triângulo isósceles tem dois lados congruentes, então possui dois ângulos iguais. Neste ∧
∧
caso: B = C Observação: nas figuras, os segmentos congruentes serão cortados com um mesmo número de “traços”. II) Eqüilátero É o triângulo que possui os três lados congruentes. O ∆ABC da figura 6.17 é equilátero, pois A B≅ A C≅ B C.
Figura 6.17 - Triângulo Equilátero ∧
∧
∧
O triângulo equilátero possui três ângulos iguais. Portanto: A= B= C . III) Escaleno É o triângulo que não possui lados congruentes. O ∆ABC da figura 6.18 é escaleno, pois não possui lados congruentes, ou seja, os três lados possuem comprimentos distintos.
Figura 6.18 - Triângulo Escaleno b) Quanto aos ângulos Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em acutângulo, obtusângulo ou retângulo. I) Acutângulo É o triângulo que possui os três ângulos agudos.
- 6-17 -
Figura 6.19 - Triângulo Acutângulo ∧
∧
∧
O ∆ABC é acutângulo, pois A < 90° , B < 90° e C < 90° . II) Obtusângulo É o triângulo que possui um ângulo obtuso. ∧
O ∆ABC da figura 6.20 é obtusângulo, pois C > 90° .
Figura 6.20 - Triângulo Obtusângulo III) Retângulo É o triângulo que possui um ângulo reto. ∧
O ∆ABC da figura 6.21 é retângulo, pois B= 90° . AC é hipotenusa. AB e BC são catetos.
Figura 6.21 - Triângulo Retângulo 6.2.3 - Elementos de um Triângulo a) Mediana e Baricentro
- 6-18 -
Mediana de um triângulo é o segmento que tem por extremidades um vértice e o ponto médio do lado oposto. Todo triângulo tem três medianas, que se encontram no ponto chamado baricentro. Baricentro é o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo.
Figura 6.22 - Mediana de um Triângulo - AM A é a mediana relativa ao lado BC . - BM B é a mediana relativa ao lado AC . - CM C é a mediana relativa ao lado AB . - G é o baricentro do ∆ABC. b) Altura e Ortocentro Denomina-se altura de um triângulo o segmento de reta que é perpendicular a um lado e contém o vértice oposto a este lado. O ponto de encontro das três alturas é o ortocentro do triângulo.
Figura 6.22 - Altura de um Triângulo - AH A é a altura relativa ao lado BC . - BH B é a altura relativa ao lado AC . - CH C é a altura relativa ao lado AB . - O ponto O é o ortocentro do ∆ABC. c) Bissetriz e Incentro Bissetriz interna de um triângulo é o segmento de reta traçado do vértice na região interior e dividindo o ângulo interno em duas partes iguais. O ponto de encontro das três bissetrizes é chamado incentro (centro da circunferência inscrita).
- 6-19 -
Figura 6.23 - Bissetriz de um Triângulo ∧
- ASA é a bissetriz relativa ao ângulo A . ∧
- BSB é a bissetriz relativa ao ângulo B . ∧
- CSC é a bissetriz relativa ao ângulo C . - O ponto I é o incentro do ∆ABC. 6.2.4 - Propriedades das Medidas dos Ângulos de um Triângulo a) 1ª Propriedade A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. ∧
∧
∧
A + B+ C= 180°
Figura 6.24 - Ângulos Internos de um Triângulo A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por S i = (n − 2 ) × 1 8° , onde n é o número de lados do polígono. No caso de o polígono ser um triângulo, temos n = 3 , portanto: Si = ( n − 2 ) ×180° Si = ( 3 − 2 ) ×180° Si = 1×180° = Si 180° b) 2ª Propriedade A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. ∧
∧
∧
x= A + C
- 6-20 -
Figura 6.25 - Medida do Ângulo Externo de um Triângulo c) 3ª Propriedade Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos nãoadjacentes. ∧
∧
∧
∧
x > B; x > A
∧
∧
∧
∧
Figura 6.26 - 3ª Propriedade ( x > B; x > A )
6.2.5 - Exercícios de Aprendizagem 1. Determinar: a) 27° + 32° − 14°
b) 21°30 '+ 28°12 '
b) 92°15'− 48°12 '
c) 92°15'− 48°25'
d) 3 ×14°06 '
e) 3 ×14°26 '
2. Dada a medida do ângulo: 27°32 ' 43'' . Determine: a) complemento
b) suplemento
c) replemento
3. Determinar: 96°46 '÷ 3 4. O dobro da medida de um ângulo, somado ao seu complemento é 130°. Qual é esse ângulo? 5. Qual é o ângulo, que é igual a quarta parte de seu replemento? 6. O valor de x na figura é:
- 6-21 -
7. O valor de y na figura é:
8. Calcular o valor de x, dados r//s e t transversal:
9. Em um triângulo isósceles o ângulo do vértice tem medida igual ao triplo da medida dos ângulos da base. Qual é o ângulo do vértice. 10. Os três ângulos de um triângulo têm as seguintes medidas: x + 43°, x + 50° e x - 10°. Qual a medida do menor ângulo?
- 6-22 -
CAPÍTULO 7 TRIGONOMETRIA 7.1 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Dado um triângulo retângulo ABC, conforme a figura 7.1, temos:
Figura 7.1 - Relações Métricas no Triângulo Retângulo - a → medida do lado oposto ao ângulo reto, denominada hipotenusa; - b, c → medidas dos lados que formam o ângulo reto, são denominados catetos; - h → medida da altura do triângulo relativamente à hipotenusa; - m, n → são as medidas das projeções (sombras) ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Os triângulos ABC, AHC e AHB são, dois a dois, semelhantes. De imediato, vem: a= m + n ( I ) Comparando os triângulos AHC e ABC, vem: BC AC = ⇒ b2 = a×m AC CH
( II )
Comparando os triângulos AHB e ABC, vem: BC AB = ⇒ c 2 =× a n AB BH
( III )
Somando, membro a membro, (II) e (III), tem-se: b 2 + c 2 = a 2 ⇒ Teorema de Pitágoras
( IV )
Comparando os triângulos AHB e AHC, tem-se: AH HB = ⇒ h2 = m× n HC AH
(V)
Multiplicando, membro a membro, (II) e (III), vem: b×c = a×h ⇒
( VI )
-
7-1
-
7.2 - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Dado o triângulo retângulo ABC, temos: AB e AC : catetos; BC : hipotenusa.
Figura 7.2 - Triângulo Retângulo ABC
É importante mostrar que: Em relação ao ângulo α:
Em relação ao ângulo β:
- b é o cateto oposto.
- c é o cateto oposto;
- c é o cateto adjacente;
- b é o cateto adjacente.
Tabela 7.1 - Relação entre os ângulos α e β
7.2.1 - Seno Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. sen a =
medida do cateto oposto a a AC b a = ou sen= medida da hipotenusa BC a
7.2.2 - Cosseno Cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. cos a =
medida do cateto adjacente a a AB c a = ou cos= medida da hipotenusa BC a
7.2.3 - Tangente Tangente de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele. tg a =
medida do cateto oposto a a AC b α = ou tg= medida do cateto adjacente a a AB c
-
7-2
-
Com relação ao ângulo β: sen= β
AB c = BC a
AC b = BC a
b cos=
= b tg
AB c = AC b
Observando os resultados obtidos podemos chegar a algumas conclusões com base na definição das razões trigonométricas: 1ª) Conclusão: sabemos que α + β = 90° (α e β são complementares). b sen a = a = cos ⇒ sen ab b cos b = a b tg α = 1 c ⇒ tg α = c tg b tg b = b
c cos a = a sen β ⇒ cos a = c sen β = a
“O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complemento e a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente de seu complemento.” 2ª) Conclusão: b sen a a b a b b sen α = = × = Porém, tg α = . Logo, tg α = c cos a a c c c cos α a 3ª) Conclusão: b b2 =∴ sen 2 = sen aa b2 c2 a a2 2 2 ⇒ + =+ aa sen cos a2 a2 c c2 2 =∴ cos = cos aa a a 2 b2 + c2 ⇒ sen 2aa + cos 2 = a2 a 2 ; então: Porém, pelo teorema de Pitágoras, sabemos que b 2 + c 2 = a2 + cos = sen aa a2 2
2
2 2 1 Logo, sen α + cos α =
7.2.4- Ângulos Notáveis Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com freqüência nos cálculos e, por isso são chamados notáveis.
-
7-3
-
Vamos, então, calcular o seno, o cosseno e a tangente desses ângulos. Consideremos o triângulo equilátero ABC da figura 7.3.
Figura 7.3 - Triângulo Equilátero Nesse triângulo, observamos que: Cada ângulo interno mede 60°; µC e a mediana relativa ao lado BC ; AH é bissetriz de B A A medida h da altura é: 2
l 3l 2 l l = h + ⇒ h2 = l 2 − ⇒ h2 = 4 4 2 Então, podemos escrever: 2
2
l sen 30°= 2 l
⇒ sen 30°=
⇒ h=
3l 2 4
⇒ h=
l 1 1 × ⇒ sen 30°= 2 l 2
l 3 l 3 1 3 2 ⇒ cos 30°= × ⇒ cos 30°= l l 2 2 l l 2 3 2 ⇒ tg 30°= × ⇒ tg 30°= 2 l 3 3 3 2 l 3 h l 3 1 3 2 sen 60°= = ⇒ sen 60°= × ⇒ sen 60°= 2 2 l l l l l 1 1 cos 60°= 2 ⇒ cos 60°= × ⇒ cos 60°= l 2 l 2 l 3 h l 3 2 2 tg 60°= = ⇒ tg 60°= × ⇒ tg 60°= 3 l l 2 l 2 2 h cos 30°= = l l tg 30°= 2 = h l
-
7-4
-
l 3 2
Para calcular as razões trigonométricas para o ângulo de 45°, vamos considerar o quadrado ABCD da figura 7.4:
Figura 7.4 - Quadrado ABCD A diagonal d forma um ângulo de 45° com os lados e sua medida é: d 2 =l 2 + l 2 ⇒ d 2 =2 l 2 = d
2l 2 ⇒ = d l 2
Como o triângulo ABC é retângulo, temos: - sen 45°=
l l = d l 2
⇒ sen 45°=
- cos 45°=
l l = d l 2
⇒ cos 45°=
° - tg 45=
l l
2 2 2 2
⇒ tg 45= ° 1
Colocando os valores calculados numa tabela, temos: 30°
45°
60°
Sen
1 2
√2 2
√3 2
Cos
√3 2
√2 2
1 2
Tg
√3 3
1
√3
Tabela 7.2 – Ângulos Notáveis 7.3 - LEI DOS SENOS NUM TRIÂNGULO QUALQUER A Lei dos Senos, também conhecida como Teorema dos Senos, é uma proporção existente entre as medidas dos lados de um triângulo qualquer e os senos dos ângulos opostos.
-
7-5
-
Em todo triângulo, as medidas de seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a esses lados.
Figura 7.5 - Triângulo ABC Qualquer a b c = = ∧ ∧ ∧ sen A sen B sen C Exemplo: Calcule a medida de x no triângulo abaixo:
Resolução: x 100 = ⇒ x . sen 30° = 100 . sen 45° sen 45° sen 30° 1 2 = x. = ⇒ x 100 2 100 . 2 2 7.4 - LEI DOS COSSENOS NUM TRIÂNGULO QUALQUER A Lei dos Cossenos, também conhecida como Teorema dos Cossenos, é uma relação entre as medidas dos quadrados dos lados de um triângulo e do cosseno de um de seus ângulos. Em todo triângulo o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
Figura 7.6 - Triângulo ABC Qualquer ∧
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A ∧
b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B ∧
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C Exemplo: Calcule a medida de x indicada na figura a seguir:
-
7-6
-
Resolução: x 2 = 252 + 502 − 2.25.50.cos 60° x 2 =625 + 2500 − 2500.
1 2
x 2 =625 + 2500 − 1250 = x 2 3125 − 1250 x 2 = 1875 x = 1875 x = 25 3
7.5 - CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 7.5.1 - Arco de Circunferência Consideremos um móvel descrevendo a trajetória circular indicada na figura 7.7:
Figura 7.7 Suponhamos que o móvel parta do ponto A e chegue ao ponto B percorrendo a circunferência no sentido anti-horário. Observemos que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada arco de circunferência. Assim, temos:
» arco AB
» . arco BA
Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos. Arco da circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. Se o móvel efetuar uma volta completa na circunferência, o ponto B coincidirá com o ponto A e, neste caso, eles determinam os seguintes arcos: » é o arco de uma volta. AB
» é o arco nulo. BA
-
7-7
-
Figura 7.8 Consideremos uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a ela.
Figura 7.9 Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, determinamos o ângulo central AÔB. Utilizando as mesmas medidas para um arco unitário (arco de medida igual a 1) e seu correspondente ângulo central, dizemos que as medidas do arco e do ângulo central que determina são iguais. Na figura 7.9, temos: » subtende o ângulo central AÔB ⇒ med (AÔB) = med ( AB » ). O arco AB Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Exemplo:
Figura 7.10 » possuem a mesma medida α , porém não têm o mesmo » e CD Na figura 7.10, os arcos AB comprimento. -
7-8
-
Observe também que cada arco determina um ângulo e cada ângulo determina um arco. Por isso, as unidades utilizadas para medir arcos são as mesmas usadas para medir ângulos. 7.5.2 - Medidas de Arcos As unidades de medida de arcos e de ângulos centrais são: o grau (°), o radiano (rad) e o grado (gr). a) Grau (°) O arco ou ângulo central de um grau é aquele cuja medida do comprimento corresponde a 1 da circunferência. 360
Figura 7.11 Um minuto é igual a
1 1 do grau. Um segundo é igual a do minuto. 60 60
Símbolos: grau (°), minuto (’) e segundo (”). Então, podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360°. b) Radiano (rad) O arco ou ângulo central de 1 radiano é aquele cuja medida do comprimento é igual à medida do comprimento do raio da circunferência a que pertence.
Figura 7.12 » Da figura 7.12, temos: r = AB
⇒
» = 1 rad . AB
Sabemos da Geometria que a medida do comprimento da circunferência é dada por: C = 2.π .r . Como a medida de uma circunferência é dada por 2.π .r , e r = 1.ra d , podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 2.π .rad . -
7-9
-
c) Grado (gr) O arco ou ângulo central de 1 grado é aquele cuja medida do comprimento é igual a
1 do 400
comprimento da circunferência.
Figura 7.13 7.5.3 - Transformação de Unidades A partir da definição de grau, radiano e grado temos: Grau 360° 270°
180°
3π rad 2
π rad
Radiano
Grado 400gr 300gr
200gr
90°
π 2
rad
100gr
Tabela 7.3 Exemplos: Transformar 60° em radianos: Resolução: 180° 60°
π rad
⇒
180° π rad = 60° x
x 3π rad em graus: Transformar 4
⇒ = 3 x π rad ⇒ = x
π rad 3
Resolução: 3π rad 3 3 = ⋅ π rad ⇒ ⋅180°= 135° 4 4 4 » mede 3cm e o raio da circunferência é igual a 2cm. Calcule o ângulo central α O arco AB em radianos: Resolução:
- 7-10 -
1 rad a rad
2cm 3cm
⇒
1
a
=
2 3
⇒ a = 1,5
Uma pessoa numa bicicleta dá oito voltas em torno de uma pista circular de raio 20 metros. Determinar a distância percorrida pela bicicleta. (Adotar π = 3,14 ). Resolução: O comprimento da circunferência é dado por: C=2π r C= 2 × 3,14 × 20 C = 125, 6 metros Em oito voltas, temos: distância = 8 × C ⇒ distância = 8 ×125, 6 ⇒ distância = 1804,8 metros 7.5.4 - Comprimento de um Arco de Circunferência Consideremos a figura 7.14 a seguir:
Figura 7.14 » s ¼ m= = MN ; MN e AB ; AB Por semelhança, temos: ΔOMN : ΔOAB
⇒
m s = 1 r
⇒
a 1
=
s r
s ⇒ aa = ( em radianos) r
A medida do ângulo α em radianos é igual ao quociente entre o comprimento “s” do arco » pelo raio da circunferência. AB Exemplo: O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 cm. Qual a distância que sua extremidade percorre durante 20 minutos? Resolução:
- 7-11 -
O ponteiro dos minutos percorre, em cinco minutos,
1 da circunferência, ou seja, 12
1 × 360°= 30° . 12 ° 120° . De acordo com o problema, em vinte minutos o ponteiro percorre 4 × 30= Assim, temos: r = 12cm 180°
120°
= 120° ⇒ = ⇒ = aa π rad a
2π rad 3
O percurso feito pode ser calculado por: 2π ⇒ s =× 8 3,14 ⇒ s = 25,12 cm 3 Em vinte minutos, a extremidade do ponteiro percorre 25,12 cm. s= r .α
⇒ s= 12 ×
7.5.5 - Circunferência Trigonométrica ou Ciclo Trigonométrico a) Circunferência orientada ou arco orientado É uma circunferência de raio unitário onde se estabelece uma origem e um sentido de percurso. Uma circunferência se diz orientada quando nela fixamos um sentido positivo de percurso. Em trigonometria, convencionou-se estabelecer como sentido positivo o sentido antihorário. Naturalmente, o sentido negativo é o sentido horário.
Figura 7.15 - Circunferência Orientada Todo arco de uma circunferência orientada chama-se arco orientado.
Figura 7.16 - Arco Orientado
- 7-12 -
» , onde A é a origem e B é a extremidade, está associado um número A cada arco orientado AB α real , que é a sua metade; o módulo de α é o comprimento do arco orientado. Arco nulo é aquele cujo comprimento é zero; observemos que o arco nulo tem a origem e a extremidades coincidentes.
Figura 7.17 - Arco Nulo b) Circunferência trigonométrica ou arco trigonométrico Vamos fixar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x Ô y no plano. A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.
Figura 7.18 - Circunferência Trigonométrica A partir de agora, consideraremos apenas os arcos orientados da circunferência trigonométrica com origem no ponto A (1,0), que são chamados arcos trigonométricos. c) Quadrantes As retas x e y, eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x Ô y, dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes iguais, que são chamadas quadrantes.
Figura 7.19 - Quadrantes
- 7-13 -
Os quadrantes do ciclo trigonométrico apresentam as seguintes variações em graus e radianos:
Figura 7.20 - Variações em Graus e Radianos d) Arcos côngruos Quando dois ou mais arcos possuem as mesmas extremidades na circunferência trigonométrica, diferindo entre si quanto ao número inteiro de voltas, são chamados de arcos côngruos. Exemplo: 60° e 780° e) Expressão geral de um arco Dado um arco positivo “x” na circunferência trigonométrica tal que 0 ≤ x < 360 ou 0 ≤ x < 2π rad existem infinitos arcos que possuem as mesmas extremidades de “x”.A expressão geral de todos os arcos que são côngruos a “x” é dada por: E.G = x + 360° K ou E.G = x + 2π K , sendo K um número inteiro. K → indica o número de voltas e o sentido do arco x ç é a menor determinação ou a primeira determinação positiva de todos os arcos côngruos Exemplos: −660°= −300°= 60°= 420°= 780°=
60° − 2 . 360° 60° − 1 . 360° 60° + 0 . 360° 60° + 1 . 360° 60° + 2 . 360°
. . E.G =x + 360° . k 7.5.6 - Função Seno
- 7-14 -
Define-se como seno de um arco “x”, numa circunferência trigonométrica, o segmento orientado OM , conforme figura 7.21.
Figura 7.21 - Eixo dos Senos
Se a cada arco “x” corresponde um único valor para o segmento OM , teremos uma função = y f= ( x) sen x que é dada pela relação: a) Valores extremos da função seno x = 0° → y = sen 0° = 0 x= 90° → y= sen 90°= 1 = ° 0 x 180° → = y sen 180= x = 270° → y = sen 270° = −1 = ° 0 x 360° → = y sen 360= b) Sinais nos quadrantes
Figura 7.22 - Sinas nos Quadrantes c) Gráfico da função seno O gráfico da função seno é constituído atribuindo-se valores para o arco “x”:
- 7-15 -
Figura 7.23 - Gráfico da Função Seno As principais características da função seno são: Domínio: R Imagem: [−1;1] − sen x Função ímpar: sen (− x) = Função periódica: 2p rad 7.5.6 - Função Cosseno Define-se como cosseno de um arco “x”, numa circunferência trigonométrica, o segmento orientado ON , conforme figura a seguir.
Figura 7.24 - Eixo dos Cossenos
Se a cada arco “x” corresponde um único valor para o segmento ON , teremos uma função = y f= ( x) cos x que é dada pela relação: a) Valores extremos da função cosseno x = 0° → y = cos 0° = 1 x= 90° → y= cos 90°= 0 x = 180° → y = cos 180° = −1 = ° 0 x 270° → = y cos 270= = ° 1 x 360° → = y cos 360=
- 7-16 -
b) Sinais nos quadrantes
Figura 7.25 - Sinais nos Quadrantes c) Gráfico da função cosseno O gráfico da função cosseno é constituído atribuindo-se valores para o arco “x”:
Figura 7.26 - Gráfico da Função Cosseno As principais características da função cosseno são: Domínio: R Imagem: [−1;1] Função par: cos (− x) = cos x Função periódica: 2p rad 7.5.7 - Função Tangente Define-se como tangente de um arco “x”, numa circunferência trigonométrica, o segmento orientado AT , conforme figura a seguir.
- 7-17 -
Figura 7.27 - Eixos das Tangentes
Se a cada arco “x” corresponde um único valor para o segmento AT , teremos uma função que = y f= ( x) tg x é dada pela relação: a) Valores extremos da função tangente x = 0° → y = tg 0° = 0 x = 90° → y = tg 90° = ∃/ = ° 0 x 180° → = y tg 180= x = 270° → y = tg 270° = ∃/ = ° 0 x 360° → = y tg 360= b) Sinais nos quadrantes
Figura 7.28 - Sinais nos Quadrantes c) Gráfico da função tangente O gráfico da função tangente é constituído atribuindo-se valores para o arco “x”:
- 7-18 -
Figura 7.29 - Gráfico da Função Tangente As principais características da função tangente são: Domínio: x ≠ kp +
p
2 Imagem: R Função ímpar: tg (− x) = −tg x Função periódica: p rad 7.5.8 - Função Cotangente Define-se como cotangente de um arco “x”, numa circunferência trigonométrica, o segmento orientado QR , conforme figura a seguir.
Figura 7.30 - Eixo das Cotangentes
Se a cada arco “x” corresponde um único valor para o segmento QR , teremos uma função = y f= ( x) cotg x que é dada pela relação: a) Valores extremos da função cotangente
- 7-19 -
x = 0° → y = cotg 0° = ∃/ x= 90° → y= cotg 90°= 0 x = 180° → y = cotg 180° = ∃/ = x 270° → = y cotg 270= ° 0 x = 360° → y = cotg 360° = ∃/ b) Sinais nos quadrantes
Figura 7.31 - Sinais nos Quadrantes c) Gráfico da função cotangente O gráfico da função cotangente é constituído atribuindo-se valores para o arco “x”:
Figura 7.32 - Gráfico da Função Cotangente As principais características da função cotangente são: Domínio: x ≠ kp Imagem: R −cotg x Função ímpar: cotg (− x) = Função periódica: p rad 7.5.9 - Função Cossecante Define-se como cossecante de um arco “x”, numa circunferência trigonométrica, o segmento orientado OS , conforme figura a seguir.
- 7-20 -
Figura 7.33 - Eixo das Cossecantes
Se a cada arco “x” corresponde um único valor para o segmento OS , teremos uma função que = y f= ( x) cos sec x é dada pela relação: a) Valores extremos da função cossecante x = 0° → x= 90° → x = 180° → x = 270° → x = 360° →
y = cos sec 0° = ∃/ y= cos sec 90°= 1 y = cos sec 180° = ∃/ y = cos sec 270° = −1 y = cos sec 360° = ∃/
b) Sinais nos quadrantes
Figura 7.34 - Sinais nos Quadrantes c) Gráfico da função cossecante O gráfico da função cossecante é constituído atribuindo-se valores para o arco “x”:
- 7-21 -
Figura 7.35 - Gráfico da Função Cossecante As principais características da função cossecante são: Domínio: x ≠ kp Imagem: [−∞; −1] ∪ [1; ∞] Função ímpar: cos sec (− x) = − cos sec x Função periódica: 2p rad 7.5.10 - Função Secante Define-se como secante de um arco “x”, numa circunferência trigonométrica, o segmento orientado OU , conforme figura a seguir.
Figura 7.36 - Eixo das Secantes
Se a cada arco “x” corresponde um único valor para o segmento OU , teremos uma função = y f= ( x) sec x que é dada pela relação:
- 7-22 -
a) Valores extremos da função secante x = 0° → y = sec 0° = 1 x = 90° → y = sec 90° = ∃/ x = 180° → y = sec 180° = −1 x = 270° → y = sec 270° = ∃/ = x 360° → = y sec 360= ° 1 b) Sinais nos quadrantes
Figura 7.37 - Sinais nos Quadrantes c) Gráfico da função secante O gráfico da função secante é constituído atribuindo-se valores para o arco “x”:
Figura 7.38 - Gráfico da Função Secante As principais características da função secante são: Domínio: x ≠ kp +
p
2 Imagem: [−∞; −1] ∪ [1; ∞] Função par: sec (− x) = sec x Função periódica: 2p rad
- 7-23 -
7.5.11 - Exercícios de Aprendizagem 1. Em um triângulo retângulo as medidas dos catetos são 7cm e 24 cm. Determine a altura do triângulo retângulo relativamente à hipotenusa. 2. Em um triângulo retângulo o cateto tem medida igual ao dobro da medida do outro cateto. Qual a razão entre as medidas das projeções ortogonais dos catetos, maior e menor, sobre a hipotenusa? 3. Um triângulo retângulo isósceles é tal que a hipotenusa mede 5cm. Calcule a medida de um de seus catetos. 4. Um arquiteto, situado a 200m de uma torre avista o topo desta sob um ângulo de 30° relativamente à linha da base da mesma. Calcule a altura da torre. 5. Uma rampa plana de 36m de comprimento faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente quantos metros? 6. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem, respectivamente, 10 3 cm e 20cm. Eles formam entre si um ângulo de 30°. Qual a medida da diagonal menor desse paralelogramo? 7. Expresse em radiano: a) 60°
b) 210°
c) 350°
d) 150°
e) 12°
f) 2°
8. Expresse em graus: a) d)
10π rad 9
π 20
rad
b)
11π rad 18
c)
e)
4π rad 3
f)
π 9
rad
3π rad 5
9. Calcule o comprimento de uma circunferência de raio 30cm. Adote π = 3,14 . 10. Numa circunferência de raio 12cm, um arco subtende um ângulo central de 120°. Qual é o comprimento desse arco?
ANEXO A - 7-24 -
BIBLIOGRAFIA a) DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações, São Paulo: Ática, 1999. b) BONJORNO, José Roberto. Matemática (2º Grau) Volume I, São Paulo: FTD, 1992. c) LOGEN, Adilson Curso Prático de Matemática Volume I .Curitiba: Bolsa Nacional do Livro, 2005. d) IDOETA, Ivan & CAPUANO, Francisco G. Elementos de Eletrônica Digital. 33a ed. Rio de Janeiro: ERICA, 2002. e) JUNIOR, Frank Ayres. Trigonometria Plana e Esférica, Rio de Janeiro: AO LIVRO TÉCNICO, 1958.
- 7-25 -
ANEXO B RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM Capítulo 1 1. a) ∈ b) ∉ 2. a) finito 3. a) ⊂ b) ⊂
c) ∉ b) infinito
d) ∈ c) vazio
d) ⊄ e) ⊂
c) ⊂ f) ⊄
4. a) V b) F
c) V
d) F
e) V f) V
g) F
h) F
5. a) P(A) = {{0},{2},{4}, {0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4}, ∅ } b) P(B) = {{2},{3},{2,3}, ∅ } 6. 11 7. a) {0,1,2,3,5}
b) {0,1,2,3,4,6,8}
c) {0,1,2,3,5,7,9}
d) {0,2,3,4,5,6,8}
e) {0,2,3,5,7,9}
f) {0,2,4,5,6,7,8,9}
g) {0,1,2,3,4,5,6,8}
h) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
i) {0,2,3,4,5,6,7,8,9} 8. a) {0,1,2,3,5} d) {0,2,3} 9. a) {0} d) {1}
b) {0,2,3}
c) {2,3}
e) {0,1,2,3}
f) {3}
b) {0,1}
c) {1}
e) {1}
f) {0,1,2,3}
10. a) {1,3,4,6,7}
b) {0,2,4,6}
c) {0,1,3,5,7}
11. 340 12. 1520 Capítulo 2 1. a) ∈ f) ∉ k) ∈ 2. a) ⊂
b) ∉ g) ∈
c) ∉ h) ∉
d) ∈ i) ∈
e) ∈ j) ∈
l) ∈ b) ⊂
m) ∈ c) ⊂
n) ∈
o) ∈ e) ⊂
d)
Capítulo 3 1. a) 7610
b) 1510
c) 3110
d) 1610
2. a) 10011102
b) 11001102
- B-1 -
⊄
f) ⊂
c) 110101112
d) 10101001101012
3. a) 10,62510
b) 3,7510
c) 11,7510
4. a) 0,0012
b) 0,1110101112
c) 101111,01111000012
5. a) 1210
b) 5510
c) 31810
6. a) 111002
b) 1010111102
c) 1001001101111012
7. a) 278
b) 3258
c) 10638
8. a) 1128
b) 10008
c) 13178
9. a) 45110
b) 56810
c) 813710
10. a) 1111011012
b) 1010101111112
c) 001101112
d) 1101100111110012
11. a) 6316
b) 18F1C16
12. a) 8616
b) 18016
c) F2A16
1 2
b) 1
c)
7 3
d)
e) 10
f) 3
g)
9 5
h) 2
b) 50
c)
2 2500
b) 9
c) 15
Capítulo 4 1. a)
2. a)
1 20
3. a) 6 d) 4. a)
35 3
e)
9 7
f) 0,6
3 2
b)
49 8
c)
16 7
d)
1 4
81 7
5. a) 5
b) 16
c) 243
d) 81
a = 28 6. a) b = 20
a = 42 b) b = 30
a = 18 c) b = 15
a = 10 d) b = 5
c) 1
d)
8 h) a
Capítulo 5 8 27
1. a) −6
b) −
e) 1
f) 4
g) 1
i) 1296
8 4 j) a b
6 4 k) x y
9 64
−3 2. a) 2.10
b)
3 4 −24 3. a) 2 .3 .10
9 −1 b) 2 .10
4 c) 4 . ( −3) −3 c) 10
- B-2 -
−8
1 3
4
4. a) 2 5
e) i) 4 m)
12
f) 6
g) 3 3 x
h) 2 3
3
3
6
k)
x2 2
x3 y
b) 2 3 a
c) 7 10
e) 2 3 + 15 2
d) 2 a
b) 6ab 3 a
6. a) 72 d) 2 6 − 4 15
e)
10
c) 310 22.35
103
f) 2 2 5
2 4
b)
(
2. 3 2 − 3
c)
d) 18
n)
5. a) 6 10
7. a)
c) 5 2 ou 5
j) 6
1
b) 10 5
)
d)
103 5 3.
15
(
6+ 2
)
4
9
8. x10 9. 2 3 x Capítulo 6 1. a) 45° d) 43°50’ 2. a) 62°27’17’’
b) 49°42’
c) 44°03’
e) 42°18’
f) 43°18’
b)152°27’17’’
c) 332°27’17’’
3. 32°15’20’’ 4. 40° 5. 72° 6. 45° 7. 96°46’00’’ 8. x = 110° 9. 108° 10. 22°20’ Capítulo 7 1. h = 6, 72cm 2.
m =4 n
- B-3 -
l)
6
5
3. x =
5 2 cm 2
4. h =
200 3 m 3
5. 18m 6. d = 10cm 7. a)
π 3
rad
8. a) 200°
b)
7π rad 6
b) 110°
c)
35π rad 18
c) 20°
d)
5π rad 6
d) 9°
9. 188,40cm 10. 25,12cm
- B-4 -
e)
π 15
rad
e) 240°
f)
π 90
rad
f) 108°