Eksamenshefte i matematikk forkurs utdrag by Fagbokforlaget

Å K E JÜN GE

for å være til hjelp for de g som skal opp til skriftlig eksamen i matem atikk for forkurs for 3-åri g ingeniørutdanning og integrert masterstud ium i teknologiske fag og tilhørende realfagskurs. Enten du er privatist og har stude rt på egen hånd eller er student ved forkursu ndervisning ved høgsko le eller universitet, så vil dette heftet være til nytte. Heftet inneholder råd og

vink for eksamen i forku

ÅKE JÜNGE er lektor med utdanning i matematikk, geografi og historie fra universitetene i Oslo og Trondheim. Han har undervist i ungdomsskole, videregående skole og høgskole i over 40 år og vært sensor i matematikk i mer enn 30 år. Han har også vært nettverksleder i matematikk i sitt fylke.

ISBN 978-82-11-02607-1

,!7II2B1-acgahb!

FORKURS FOR 3-ÅRIG INGENIØRUTDANNING OG INTEGRERT MASTERSTUDIUM I TEKNOLOGISKE FAG

rsmatematikk og greper innen funksjonsd røfting, derivasjon og integrasjon. Du finner og så oppgavene som ble gitt til eksamen våren 2015, våren 2016 og våren 2017. Alle oppg avene har fullstendige løsningsforslag. Du kan prøve å løse oppgaven e selv først, for deretter å se hvordan forfatteren har gjort det. Eller du ka n gå gjennom forfatterens løsningsfor slag fortløpende, for de retter å prøve å løse oppgavene på egen hå nd. Du kan også velge ut oppgaver etter hvilk et emne du vil øve deg sp esielt på. en omtale av sentrale be

Eksamenshefte i MATEMATIKK

Dette heftet er skrevet

ÅKE JÜNGE

Eksamenshefte i MATEMATIKK FORKURS FOR 3-ÅRIG INGENIØRUTDANNING OG INTEGRERT MASTERSTUDIUM I TEKNOLOGISKE FAG

Eksamenshefte i

Matematikk Forkurs for 3-årig ingeniørutdanning og integrert masterstudium i teknologiske fag Åke Jünge

Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen

ISBN 978-82-11-02607-1

Omslagsdesign ved forlaget Layout og sideombrekking ved forlaget

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00, faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Forord Dette heftet er skrevet for å være til hjelp for deg som skal opp til skriftlig eksamen i matematikk for forkurs for 3-årig ingeniørutdanning og integrert masterstudium i teknologiske fag og tilhørende realfagskurs. Enten du er privatist og har studert på egen hånd eller er student ved forkursundervisning ved høgskole eller universitet, så vil dette heftet være til nytte. Forkurset innebærer for de fleste at de må sette seg inn i ganske mye matematikk på veldig kort tid. Det er tre år av den mest avanserte matematikken på studieforberedende studieretning i videregående skole som skal trenges sammen på ett år eller til og med et halvt år for de mest ambisiøse. Det er lurt å forberede seg skikkelig til eksamen. For det første så innebærer det å kjenne eksamensordningen og «spillereglene» ved eksamen godt. Dette har jeg oppsummert ganske grundig i kapitlet «Råd og vink til eksamen». For det andre innebærer det å bli fortrolig med det faglige nivået som kreves for å gjøre det bra til eksamen. Derfor har jeg laget grundige løsningsforslag til tre ferske eksamenssett. Forslagene mine er nok litt mer omfattende og mer forklarende enn det som kreves til eksamen. Men jeg har gjort det slik for at løsningene skal ha læringseffekt. Jeg har regnet plasskrevende og langsomt, av hensyn til dem som ikke har forstått alt dypt og grundig. Her kan det nok gå opp et og annet lys som ikke har gått opp før. Til eksamen går det nok an å regne raskere. Men det er en god regel å merke seg at et korrekt svar er nokså verdiløst dersom det ikke er med forklaring, hjelperegning eller figur. Et godt forsøk og en logisk tankegang som forklares, kan gi mye bedre uttelling enn et korrekt svar. Løsningsforslagene kan du bruke på forskjellige måter. Du kan prøve å løse oppgavene selv først, for deretter å se hvordan jeg har gjort det. Eller du kan gå gjennom mine løsningsforslag fortløpende, for deretter å prøve å løse på egen hånd. Du kan også velge ut oppgaver etter hvilket emne du vil øve deg spesielt på. Hvert løsningsforslag er forsynt med faglige temastikkord. Bakerst i heftet er det et register du kan lete i for å finne hvilke oppgaver som kommer inn på det emnet du vil øve på. Spesielt privatister som ikke har fått tips av lærere gjennom løpende undervis-

Matematikk – forkurs til ingeniørhøgskolen

ning, tror jeg vil ha stor nytte av å se hvordan en eksamensløsning bør se ut. I motsetning til alle matematikkeksamener i videregående skole er det ikke lov å bruke andre digitale hjelpemidler ved forkurseksamen enn grafisk kalkulator av godkjent type. Det vil si at kalkulatoren ikke må kunne regne symbolsk, altså ikke kunne regne med algebraiske uttrykk. Dette betyr at Texas-kalkulatorene TI-82, TI-83 og TI-84 er greie å bruke. Og Casio-seriene 9750, 9850 og 9860 går bra. Selv har jeg brukt den vanligste grafiske kalkulatoren her i Midt-Norge, nemlig Casio CFX-9850G, til å skrive tastetrykk-forklaringene til noen av oppgavene. Det heter seg at vitale tastetrykk skal skrives ved litt mer avanserte operasjoner. Derfor skal du skrive opp kalkulatortypen din på eksamensarket. Godkjent formelsamling er det også lov å ha med på eksamen. Men den må være fri for ekstra innføringer. Formelsamling med håndskrevne ekstraformler eller innlimte ekstrautskrifter blir beslaglagt på eksamen om det oppdages. Og enkelte eksamensinstitusjoner vil se på dette som forsøk på juks, så det er lurt å ha med ei plettfri formelsamling til eksamensbordet. Den mest velegnede formelsamlinga for forkursmatematikken er Tor Andersen: Aktiv formelsamling i matematikk for videregående skole (Fagbokforlaget 2009). Denne er organisert etter tema og dermed lett å finne fram i. Kanskje kan mine løsningsforslag inspirere deg til å få til litt mer enn du ellers ville fått til, og til å forstå litt mer matematikk enn du ellers har forstått. Da er hensikten med dette heftet oppnådd. Lykke til med bruken av heftet. Og lykke til med eksamen. Levanger, 2017 Åke Jünge

Innhold

Innhold Forord ....................................................................................... 3 Råd og vink for eksamen i forkursmatematikk ..................... 7 Før eksamen ......................................................................................... 7 Oppmelding til eksamen....................................................................... 7 Eksamen ............................................................................................... 7 Funksjonsdrøfting, derivasjon og integrasjon.................... 13 Parabel ................................................................................................ 13 Nullpunkt ............................................................................................ 13 Toppunkt ............................................................................................ 13 Bunnpunkt .......................................................................................... 13 Potensfunksjoner ................................................................................ 14 Polynomfunksjon ............................................................................... 14 Vekstfart ............................................................................................. 14 Eksponentialfunksjoner ...................................................................... 14 Fortegnsdrøfting ................................................................................. 15 Derivasjonsregler for forkursmatematikken....................................... 16 Integrasjonsregler for forkursmatematikken ...................................... 18 Eksamen våren 2017 ............................................................. 21 Oppgaver ............................................................................................ 22 Løsningsforslag .................................................................................. 26 Eksamen våren 2016 ............................................................. 57 Oppgaver ............................................................................................ 58 Løsningsforslag .................................................................................. 61 Eksamen våren 2015 ............................................................. 85 Oppgaver ............................................................................................ 86 Løsningsforslag .................................................................................. 90 Stikkord ................................................................................ 113

Råd og vink

Råd og vink for eksamen Dette kapitlet er basert på forfatterens mange år med erfaringer fra undervisning og eksamenssensur på forkurs for ingeniørhøgskolen. For noen kan det å følge rådene her være utslagsgivende for å stå til eksamen, altså å unngå karakteren F. For andre kan dette være avgjørende for at helhetsvurderingen til sensorene blir så positiv at du kommer på riktig side av A-grensa. Før eksamen Før eksamen gjør du klokt i ikke bare å bla gjennom eksamensløsningene i dette heftet, men også se på småprøver og heldagsprøver med løsningsforslag og rettekommentarer som du har liggende. Gamle prøver er viktige og nyttige læringsdokumenter som du må ta vare på om du følger vanlig undervisning. Om du kan dokumentere dysleksi, pollenallergi eller har liknende saklig grunn, kan du søke om én time ekstra eksamenstid. Men dette må gjøres i god tid før eksamen, aller helst når du melder deg opp. Enkelte institusjoner har strenge frister for når dette må gjøres. Det gjelder også andre former for spesiell tilrettelegging til eksamen. Og du bør be om skriftlig bekreftelse på at søknaden er innvilget. Denne må du ta med til eksamen og vise fram i tillegg til legitimasjon. Oppmelding til eksamen Fristene for oppmelding til eksamen og innbetaling av eksamensavgift må overholdes. Fristene kan variere fra institusjon til institusjon, men de fleste har nettsider med oppmeldingsfrister og mulighet for digital oppmelding. Det er som regel slik at eksamensavgift må være betalt inn før fristen går ut. Du må sjekke oppmeldingsfrist og betale eksamensavgift på den aktuelle undervisningsinstitusjonen i god tid, gjerne ved semesterstart. Da slipper du å måtte stå over eksamen på grunn av at formalitetene ikke er i orden eller fristen nettopp har gått ut. Eksamen Eksamensoppgavesettet er laget for å løses på fem klokketimer. Om du sitter tida ut og er i tidsnød, er det vanlig at du får et kvarter ekstra for å ordne og nummerere ark. Det skal ikke stå navn på arkene, bare det

Matematikk – forkurs til ingeniørhøgskolen

eksaminandnummeret du får utdelt før oppstart, pluss navnet på eksamensinstitusjonen. Ved oppstart på eksamensdagen er det lurt å være ute i god tid. Utdeling av eksaminandnummer og kontroll av identitet kan ta litt tid. Når du kommer inn i eksamenslokalet og får velge plass, velg gjerne den plassen hvor du tror du får minst trafikk forbi. Matematikk krever konsentrasjon. Før du får oppgavene, bør du be om 5–6 innføringsark (ruteark) og starte med å føre på eksaminandnummeret ditt og institusjonsnavnet. Slik sparer du litt av den verdifulle tida du har til rådighet for oppgaveløsing. Når du får utlevert oppgavene, er det lurt å lese fort gjennom hele oppgavesettet. Da får du oversikt over de temaene du skal prøves i, og hjernen setter i gang å arbeide litt. Ellers spiller det ingen rolle i hvilken rekkefølge du fører inn oppgavene. Du kan godt starte arbeidet med den oppgaven du syns ser greiest ut for å få en god start. Når du har flere innføringsark, kan du ha ett ark for hver oppgave slik at du likevel kan sørge for at oppgavene kommer i rett rekkefølge. Da slipper sensorene å bla for mye fram og tilbake for å få evaluert. God skriftlig orden og bruk av linjal til to streker under svar, en strek under delsvar, er en fordel både for deg og for dem som skal sensurere besvarelsen din. Norske matematikkeksamener er som regel travle greier. Derfor er det viktig at du har innarbeidet rutiner på å føre rett inn til eksamen, nettopp for å spare tid. Da vil du ha bedre sjanse til å frigjøre litt tid til å løse «nøttene» som dukker opp undervegs. I nødsfall kan du hoppe over det du står fast på, men sette av den plassen du antar trengs for å løse problemet. Så kan du lett hoppe tilbake dit når du har gjort de oppgavene som er greie å få til. Det er viktig at du er klar over at sensorene fastsetter karakteren din på grunnlag av en helhetlig vurdering av besvarelsen. Det innebærer at du hele tida bør tenke på hvordan du skal vise at du − viser regneferdigheter og matematisk forståelse − kan gjennomføre logiske resonnementer − kan se sammenhenger, være oppfinnsom og ta i bruk fagkunnskap − kan forklare framgangsmåter og begrunne svar − skriver tydelig og oversiktlig

Råd og vink

− er nøyaktig med utregninger, benevninger i svar, tabeller og grafiske framstillinger − kan vurdere om svar er rimelige og logiske Enkelte oppgaver kan være så enkle at du «ser» svaret. Da er det viktig at du merker deg dette: Ingen svar må komme uten ei mellomregning, ei forklaring eller en figur. Et svar uten noe av dette er verdiløst, selv om det er korrekt. Eksamen skal først og fremst vise at du kan matematiske metoder. Du må gjerne forklare hvordan du tenker. Du må ta med mellomregning og mellomresultater i rimelig omfang, også når du bruker grafisk kalkulator. Er du i tvil om hvor detaljert det skal være, er det bedre å ta med for mye enn for lite. Vurdering av svar

Det er fort gjort i en travel og stressende eksamenssituasjon å glemme å vurdere om svarene er fornuftige og logiske. Av og til er det ikke så lett å gjøre dette, for eksempel ved algebraiske omforminger og ekle brøkuttrykk. På kalkulatoren er det svært vanlig å glemme parentes rundt hele nevneren i brøk når den består av flere faktorer eller flere ledd. Husk da at det er bedre å ta med en parentes for mye enn en for lite. Spesielt i praktiske oppgaver bør du ha som fast rutine å vurdere svar. Hvis du for eksempel skal finne sider i et rektangel og får både positive og negative svar på kalkulatoren, må du reagere og ikke godta negative lengdemål. Kom med en kjapp begrunnelse for hvorfor du kutter ut foreslåtte løsninger. Eller det kan dreie seg om kommafeil som fører til at lengde av personer blir urimelige, eller at vekt og blandingsforhold blir ulogiske. Da må du helst lete etter feil og rette dem opp. Om du ikke finner feil, må du i det minste kommentere at svaret synes å være urimelig. Eksamen i matematikk er alltid travel – spar tid

For å spare tid til eksamen er det lurt å føre direkte inn uten å kladde først. Det forutsetter at du har øvd på det på forhånd. Å kladde gjør du bare når du er usikker. Men så snart du har kladdet og kommet fram til en løsning, fører du den inn og fortsetter å føre rett inn til du støter på neste «skjær i sjøen». Småfeil kan du rette med korrekturpenn eller lignende. Om du fører inn et lengre avsnitt som blir feil, trenger du ikke kaste vekk tid med korrekturlakk eller overklussing. Det er nok at 9

Matematikk – forkurs til ingeniørhøgskolen

du setter en pen skråstrek med linjal over «feilskjæret» ditt. Da vil ikke sensorene se på det. Eksamenssettene er laget slik at du skal ha en brukbar sjanse til å løse alt sammen dersom du ikke sløser med tida. Men det krever effektiv jobbing. Store og små «feilskjær» kan føre til at du ikke får tid til å løse oppgaver du ellers ville klart å løse. Til hjelp for å disponere eksamenstida fornuftig kan det være greit å vite dette: Som oftest er det slik at hver deloppgave er vektet likt, med 2 poeng. Forkurseksamen er som regel på mellom 50 og 60 poeng. Enkel hoderegning gir da i gjennomsnitt ca. fem minutter per poeng. Følger du med på klokka og poengfordelinga undervegs, har du et bra veiledende redskap for å beregne hvordan du ligger an. Da blir det lettere å unngå å komme i tidsnød. Sensur, karaktergrenser og helhetsvurdering

Eksamensbesvarelsen din vil bli vurdert av to erfarne sensorer. Hver enkelt oppgave blir vurdert og poengsatt, men i tillegg blir det gjort ei helhetsvurdering av kompetansen din. Det er for eksempel positivt for helhetsvurderinga om besvarelsen er oversiktlig og lett å lese, med god skriftlig orden. Det er positivt om alle oppgavene er forsøkt besvart, og at svarene er funnet ved mellomregning, hjelperegning, logisk forklaring eller skisser og figurer. Tilsvarende negativt er det om det er rot og kaos, uoversiktlig føring, manglende utheving av sluttsvar med linjalstreker. Det trekker også ned om du ikke viser forsøk på å få til oppgaver, men lar dem stå blanke. Et forsøk på å løse en oppgave du ikke fikser alt på, kan gi positiv uttelling og vise at du er på sporet. Da må du ta med det du har prøvd og helst kommentere litt, selv om du ikke lyktes med å komme helt fram. I alle tilfeller vil sensorene lete etter positive løsningsforsøk, fornuftige forklaringer og logiske resonnementer, også i oppgaver der sluttsvaret er feil eller bare kom et stykke på veg. De skal tilstrebe en positiv sensur og finne ut hva du kan av matematikk heller enn å lete etter feil. Noen oppgaver henger sammen slik at en feil i starten trekkes med videre i nye deloppgaver. Da blir det følgefeil. Om du har brukt fornuftige metoder, så blir en følgefeil lagt lite vekt på av sensorene. Men om svaret blir urimelig, så må du selvsagt kommentere det.

Råd og vink

I alle tilfelle skal det gjøres en helhetsvurdering før karakter fastsettes. Karaktergrensene er alltid et tema ved eksamenssensur. Det viktigste er vel å merke seg at det kreves mellom 30 og 40 % av totalscoren for å få ståkarakter, altså vesentlig høyere prosent enn ved eksamener i videregående skole, hvor man i enkelte matematikkfag kan bestå på rundt 20 % av totalscoren. Det er heller ikke faste prosentgrenser mellom ståkarakterene A, B, C, D og E. Så her er vi nok inne i et mer skjønnsbasert system enn det som er i videregående skole. Endringer på gang

Fra og med studieåret 2016–17 er det gjort justeringer i læreplanen fra 2008. Slik står det i referatet fra møtet til de eksamenssamarbeidende forkursinstitusjoner: I hovedsak beholdes pensum som beskrevet i læreplan fra 2008. For å dekke læringsutbyttebeskrivelsene som beskrevet i «Nasjonale retningslinjer for ingeniørutdanning, juni 2011» med nytt Vedlegg 6 fra desember 2014 har vi gjort følgende justeringer: • Kombinatorikk og sannsynlighetsregning: Pensumet utvides til også å omfatte grunnleggende kombinatorikk. Eksempler på sannsynlighetsberegning med ordnede/uordnede utvalg med og uten tilbakelegging. • Differensiallikninger: Første ordens separable diff. likninger oppgraderes til å være eksamensstoff. Andre ordens diff. likninger tas med som orienteringsstoff. • Andre momenter: – Inverse funksjoner tas inn som orienteringsstoff. – Formelregning knyttes mer opp mot fysikken. Benytt fysikkformler mer. – Metoden med fullstendige kvadrater tones ned. Det er viktig å komme i gang med andregradsformelen hurtigst mulig, ikke minst for fysikkfaget. – Periferi- og sentralvinkel kan tas ut av pensum. I hovedsak er det da slik at Læreplan 2008 gjelder videre, men med de justeringene som er nevnt i dette referatet. Og den dominerende læreboka på området, Sinus matematikk Forkurs (Cappelen Damm), inne-

Matematikk – forkurs til ingeniørhøgskolen

holder alt nødvendig lærestoff. Andre lærebøker fins, men dem har jeg ikke sjekket. I eksamensoppgavene fra mai 2017 inneholdt forkursmatematikken for første gang ei differensiallikning. Oppgave 1j var ei førsteordens separabel differensiallikning med randkrav (initialbetingelse). Samme oppgavesett inneholdt også en oppgave i sannsynlighetsregning som kanskje bryter med det som har vært gitt tidligere år. Men ellers var det meste i tråd med den forkursmatematikken som har vært gitt de siste tiårene.

Funksjonsdrøfting, derivasjon og integrasjon

Funksjonsdrøfting, derivasjon og integrasjon Her er en del sentrale begreper i funksjonslære som du skal ha kjennskap til: Parabel Parabel er navnet på grafen til en andregradsfunksjon på generell matematisk form f ( x) = a x 2 + b x + c. Her er a, b og c de konstante koeffisientene til andregradsfunksjonen. Parabelen har hul side ned (er «sur») dersom a < 0, har hul side opp (er «blid») dersom a > 0. Loddrett symmetrilinje har likning b x = − . Det gir alltid førstekoordinat til topp- eller bunnpunkt for 2a parabelen. Andrekoordinaten til topp- eller bunnpunkt vil du finne ved  b  å regne ut f  −  .  2a  Nullpunkt Nullpunkt til en funksjon er x-verdien til punkt hvor funksjonsgrafen skjærer x-aksen. Toppunkt Toppunkt er det høyeste punktet på en graf i en omegn. En funksjon kan ha flere toppunkt. I et toppunkt er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene. Koordinatene til toppunkt har egne navn: maksimalpunkt, maksimalverdi. Bunnpunkt Bunnpunkt er det laveste punktet på en graf i en omegn. En funksjon kan ha flere bunnpunkt. I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Koordinatene til bunnpunkt har egne navn: minimalpunkt, minimalverdi.

Matematikk – forkurs til ingeniørhøgskolen

Potensfunksjoner Potensfunksjoner kan skrives på formen f ( x) = a ⋅ xb , der a og b er reelle tall ulik 0, mens argumentet x er grunntall i potensdelen av funksjonen. Polynomfunksjon Polynomfunksjon er samlenavnet for funksjoner som består av flere ledd, der hvert ledd er en potensfunksjon eller konstant. Både førstegrads, andregrads og tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner. Vekstfart Vekstfarten til en funksjon i et punkt på grafen til funksjonen er lik stigningstallet til tangenten til grafen i punktet, som igjen er lik den deriverte til funksjonen beregnet i punktet. Vekstfarten måles i yenheter per x-enhet. Dette siste er nøkkelen til å forstå den praktiske tolkinga av den deriverte som momentan vekstfart. Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner kan skrives på formen f ( x) = a ⋅ k x , der a er et reelt tall ulik 0 og k er vekstfaktoren til det fenomenet funksjonen beskriver. Det er tre viktige forhold som angår den deriverte som du må være hundre prosent sikker på:

1) Den matematiske definisjonen av den deriverte som grensef ( x + Δx ) − f ( x ) Δy = lim verdi: f ′ ( x ) = lim Δx →0 Δx Δx →0 Δx 2) Den geometriske tolkinga av den deriverte som stigningstallet til tangenten i et punkt på grafen til f. 3) Den fysiske tolkinga av den deriverte som momentan veksthastighet til moderfunksjonen f i et punkt. I tillegg er det lurt å repetere litt om fortegnsdrøfting og metoden med fortegnsdiagram. Funksjoner, deres deriverte og andrederiverte kan bare bytte fortegn når argumentet x passerer nullpunkt eller bruddpunkt (ikke-eksistenspunkt). 14

Funksjonsdrøfting, derivasjon og integrasjon

Fortegnsdrøfting Med fortegnsdrøfting finner vi ut følgende: − Når funksjonen f ( x ) er positiv, ligger f-grafen over x-aksen.

− Når funksjonen f ( x ) er negativ, ligger f-grafen under xaksen. − Når f ( x ) = 0 , så er x nullpunkt til funksjonen.

− Når f ′ ( x ) = 0 , har f et stasjonært punkt, enten toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt. − Når den deriverte funksjonen f ′ ( x ) er positiv, er moderfunksjonen f ( x ) voksende.

− Når den deriverte funksjonen f ′ ( x ) er negativ, er moderfunksjonen f ( x ) minkende.

− Når f ′′ ( x ) = 0 og skifter fortegn ved passering, har f-grafen et vendepunkt. Vi må derfor tegne fortegnsdiagram for f ′′ for å påvise vendepunkt. − Når den andrederiverte funksjonen f ′′ ( x ) er positiv, har moderfunksjonen f ( x ) graf med den hule sida opp.

− Når den andrederiverte funksjonen f ′′ ( x ) er negativ, har moderfunksjonen f ( x ) graf med den hule sida ned.

Matematikk – forkurs til ingeniørhøgskolen

Derivasjonsregler for forkursmatematikken Det er avgjørende viktig at en flink matematiker er fjellstø på derivasjonsreglene. I tabellen finner du dem du skal beherske.

Funksjon f ( x ) 1 2 3

x2 x3 x4

5 6 7 8

x k 1 = x −1 x 1

x = x2

11 12

u ⋅v u v ex ax

ln x

k ⋅ g ( x)

9 10

15 sin x 16 cos x 17 tan x 18 sin cx 19 cos cx 20 tan cx

Den deriverte f ′ ( x )

2x 3x 2 4x 3 n ⋅ x n −1 Potensderivasjonsregelen (Nr. 1,2,3,5,7,8 er spesialtilfeller av denne regelen.) 1 0 Alenekonstant derivert blir 0 1 − 2 = − x −2 x 1 2 x u′ ⋅ v + u ⋅ v′ Produktderivasjonsregelen u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ Brøkderivasjonsregelen v2 ex ln a ⋅ a x 1 x k ⋅ g ′( x) Konstant i produkt går utom derivasjonen cos x − sin x 1 = 1 + tan 2 x 2 cos x c ⋅ cos cx −c ⋅ sin cx c = c ⋅ (1 + tan 2 cx) cos 2 cx

Funksjonsdrøfting, derivasjon og integrasjon

I tillegg kommer den viktige kjerneregelen for derivasjon av sammensatte funksjoner (funksjonsfunksjoner): Vi lar f og g være to funksjoner slik at f ( x ) = g ( u ) , der kjernen u er

en funksjon av x. Da er f ′ ( x ) = g ′ ( u ) ⋅ u′ .

Her er det meningen at vi skal derivere g med hensyn på u og multiplisere med u derivert med hensyn på x. Dette kan vi presisere ved å skrive kjerneregelen på den litt mer omstendelige Leibniz-måten, ved hjelp av differensialer: d ( g ( u ) ) du ( x ) dg du = ⋅ f ′( x) = ⋅ du dx du dx

Matematikk – forkurs til ingeniørhøgskolen

Integrasjonsregler for forkursmatematikken Ubestemt integral av integranden f(x)

Integrasjonen gir den antideriverte funksjonen av f(x) pluss integrasjonskonstanten C Definisjon:

 f ( x)dx = F ( x) + C hvor

F ′( x) = f ( x) = integranden 1

 x dx

 x dx  e dx  e dx

 a dx

 cos x dx  sin x dx  cos(kx + ϕ )dx

7 8

k ⋅x

 sin(kx + ϕ )dx

 cos

dx x 1 1  cos2 (kx) dx =  cos2 kx dx 2

 k ⋅ g ( x)dx

 1dx  kdx  (u ( x) + v( x))dx

14 15

1 ⋅ x r +1 + C , r +1

r ≠ −1

ln x + C , x ≠ 0

ex + C 1 k ⋅x ⋅e + C k 1 ⋅ ax + C ln a

sin x + C − cos x + C 1 ⋅ sin(kx + ϕ ) + C k 1 − ⋅ cos(kx + ϕ ) + C k tan x + C 1 ⋅ tan(kx) + C k k ⋅  g ( x)dx = k ⋅ G ( x) + C Konstant i produkt kan settes utenfor integraltegnet

x+C kx + C

 u ( x)dx +  v( x)dx = U ( x) + V ( x) + C

Å K E JÜN GE

vink for eksamen i forku

ISBN 978-82-11-02607-1

,!7II2B1-acgahb!

FORKURS FOR 3-ÅRIG INGENIØRUTDANNING OG INTEGRERT MASTERSTUDIUM I TEKNOLOGISKE FAG

Eksamenshefte i MATEMATIKK

Dette heftet er skrevet

ÅKE JÜNGE

Eksamenshefte i MATEMATIKK FORKURS FOR 3-ÅRIG INGENIØRUTDANNING OG INTEGRERT MASTERSTUDIUM I TEKNOLOGISKE FAG