Matematikkens historie 3

Forsiden på dette bindet bærer portrettet av den store logikeren Allan Turing. Turings arbeid var sentralt i å knekke den tyske Enigma-koden.

Denne krigsinnsatsen var uvurderlig i kampen mot Tyskland og nazistene under den andre verdenskrig. Hans skjebne bærer på samme måte som Hausdorffs et manende budskap til oss alle i dag.

Audun Holme er professor emeritus i matematikk ved Universitetet i Bergen. I tillegg til matematikkens historie omfatter hans interessefelt algebra og geometri og bruken av informasjonsteknologi i forskning og undervisning.

Matematikkens historie 3

I vår nære fortid ligger den skjebne som mange av de jødiske matematikerne fikk. En av dem var Felix Hausdorff. Han unnslapp, sammen med sin hustru og svigerinne, nazistenes gasskammer ved å begå selvmord. Deres skjebner vil sammen med lidelsesfellene alltid berøre oss dypt. Dette tredje og siste bindet slutter med en omtale av to andre ruvende skikkelser i moderne matematikk, nemlig Alexander Grothendieck og John Nash. Så forskjellige som de var, viser de hvor bredt dagens matematikk favner.

Audun Holme

Dette tredje bindet av Matematikkens historie dekker tiden fra Niels Henrik Abel og frem til dagens matematikk. Siden Abel selv ble revet bort da hans egen eksplosive innsats i matematikken ennå sto ved sin begynnelse, ble det andre som fikk æren av å videreføre hans ideer.

Boken forteller om noen av de matematikerne som på ulike måter ble viktige for Niels Henrik Abel, blant dem Jacobi og Dirichlet.

Audun Holme

Matematikkens historie 3

Fra Abels tid

www.fagbokforlaget.no ISBN 978-82-450-1579-9

,!7II2E5-abfhjj!

Audun Holme

MATEMATIKKENS HISTORIE 3 Fra Abels tid

Copyright © 2015by Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved ISBN: 978-82-450-1579-9 Sats og layout av Audun Holme Omslagsdesign ved forlaget Omslagsfoto: Elliott & Fry © National Portrait Gallery, London

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven.

Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Innhold 1 Generalisering og ny innsikt. Fra Galois til Hinton 1.1 Évariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Litt mer om Galois’ matematikk . . . . . . . . .

1.3 Friedrich Wilhelm Bessel . . . . . . . . . . . . .

1.4 Carl Gustav Jacob Jacobi . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Lejeunne Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Dirichletproblemet og Dirichlets prinsipp . . .

1.7 August Ferdinand Möbius . . . . . . . . . . . . .

1.8 Gabriel Lamé og Émile Clapeyron . . . . . . . .

1.9 Hermann Günter Grassmann . . . . . . . . . . .

1.10 Ludwig Schläfli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.11 George Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.12 Pieter Hendrik Schoute . . . . . . . . . . . . . .

1.13 Alicia Boole Stott . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.14 Étienne Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

12 12 17 19 23 28 31 35 36 39 43 50 55 56 57

2 Tiden rundt Weierstrass 2.1 Ernst Eduard Kummer . . . . . . . . .

2.2 Jakob Steiner . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Heinrich Eduard Heine . . . . . . . . .

2.4 Leopold Kronecker . . . . . . . . . . .

2.5 Kroneckers Jugendtraum . . . . . . .

2.6 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass . .

2.7 Wilhelm Karl Joseph Killing . . . . . .

2.8 Hermann Amandus Schwarz . . . . .

2.8.1 Cauchy-Schwarz-ulikheten . .

2.9 Magnus Gösta Mittag-Leffler . . . . .

2.10 Carl Louis Ferdinand von Lindemann 2.11 Kurt Hensel . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

58 58 60 63 64 69 70 74 75 77 78 81 82

3

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41

Minnefest for Niels Henrik Abel i 1939 . . . . . . . . . . . . .

Georg Landsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Otto Ludwig Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

William Henry og Grace Emily Young . . . . . . . . . . . . .

Joseph Antoine Ferdinand Plateau . . . . . . . . . . . . . . .

Jacques Charles François Sturm . . . . . . . . . . . . . . . .

2.17.1 Sturms teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jean Baptiste Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Joseph Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.19.1 Sturm-Liouville teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Charles Bossut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gaspard Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Louis Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Michel Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bedrageren Denis Vrain-Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . .

Victor Alexandre Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

René Just Haüy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Julius Plücker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.27.1 Plücker-koordinater og linjer i det projektive 3-rom .

Sylvestre François Lacroix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jean Baptiste Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jean Marie Constant Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . .

Georg Simon Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ohms lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Martin Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Joseph Louis François Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pafnuty Lvovitsj Tsjebysjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ferdinand Georg Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Friedrich Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Charles Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hieronymous Georg Zeuthen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jules Henri Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Axel Thue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fra Schur til Riemann 3.1 Issai Schur . . . . . . . . . . .

3.2 Wilhelm Wirtinger . . . . . .

3.2.1 Litt om tetafunksjoner 3.3 Hans Hahn . . . . . . . . . . .

4

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 85 86 88 90 92 95 97 100 103 104 105 109 111 112 114 115 117 119 119 122 125 126 130 131 133 134 138 139 140 144 145 149

. . . .

152 152 156 158 158

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41

Stefan Banach . . . . . . . . . . . . . .

Antoni Marian Lomnicki . . . . . . . .

Thoralf Albert Skolem . . . . . . . . .

Hugo Dyonizy Steinhaus . . . . . . . .

Otto Schreier . . . . . . . . . . . . . . .

Karl Menger . . . . . . . . . . . . . . .

Wilhelm Johann Eugen Blaschke . . .

Oswald Veblen . . . . . . . . . . . . . .

Max Karl Ernst Ludwig Planck . . . . .

Godfrey Harold Hardy . . . . . . . . .

Alfred North Whitehead . . . . . . . .

Friedrich Ludwig Gottlob Frege . . . .

Bertrand Arthur William Russell . . .

3.16.1 Russels Paradoks . . . . . . . .

John Edensor Littlewood . . . . . . . .

Francis Sowerby Macaulay . . . . . . .

Srinivasa Aiyangar Ramanujan . . . .

Louis Joel Mordell . . . . . . . . . . . .

Nikolai Ivanovitsj Lobachevskij . . . .

János Bolyai . . . . . . . . . . . . . . .

Erich Hecke . . . . . . . . . . . . . . .

Oscar Zariski . . . . . . . . . . . . . . .

Solomon Lefschetz . . . . . . . . . . .

Kurt Werner Friedrich Reidemeister .

Hanibal Schubert . . . . . . . . . . . .

Adolf Hurwitz . . . . . . . . . . . . . .

Max Wilhelm Dehn . . . . . . . . . . .

Carl Ludwig Siegel . . . . . . . . . . .

Wilhelm Süss . . . . . . . . . . . . . .

Erhard Schmidt . . . . . . . . . . . . .

Rudolf Otto Sigismund Lipschitz . . .

Karl Theodor Vahlen . . . . . . . . . .

Henri Paul Cartan . . . . . . . . . . . .

André Weil . . . . . . . . . . . . . . . .

Bernhard Hermann Neumann . . . .

Hanna Neumann . . . . . . . . . . . .

Joseph Henry MacLagen Wedderburn Robert Erich Remak . . . . . . . . . . .

Hermann Weyl . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160 165 166 169 171 174 176 179 182 185 187 190 194 197 199 201 202 208 210 212 214 215 217 220 221 222 223 227 229 231 234 234 235 238 240 242 245 246 251

3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 3.50 3.51

Rudolf Friedrich Alfred Clebsch . . .

Johann Benedict Listing . . . . . . .

Franz Ernst Neumann . . . . . . . .

James Joseph Sylvester . . . . . . . .

Florence Nightingale . . . . . . . . .

Georg Friedrich Bernhard Riemann Julius Wilhelm Richard Dedekind .

William Rowan Hamilton . . . . . .

Arthur Cayley . . . . . . . . . . . . .

Cayley-tallene . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

252 253 256 257 259 263 267 270 274 276

4 Fra Kovalevskaja til Lie 4.1 Sofia Vasilyevna Kovalevskaja . . . . . . .

4.2 Giuseppe Peano . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Suksessive approksimasjoner . . .

4.2.2 Peano-kurven . . . . . . . . . . . .

4.3 Ole Jacob Broch . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Peter Ludwig Mejdell Sylow . . . . . . . .

4.5 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 4.6 Transfinite tall . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7 Carl Gottfred Neumann . . . . . . . . . .

4.8 Cato Guldberg . . . . . . . . . . . . . . . .

4.9 Felix Christian Klein . . . . . . . . . . . .

4.9.1 Kleins flaske . . . . . . . . . . . . .

4.10 Marius Sophus Lie . . . . . . . . . . . . .

4.11 Paul Albert Gordan . . . . . . . . . . . . .

4.12 Charles Émile Picard . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

277 277 279 280 282 283 285 287 290 291 292 293 294 295 300 301

5 Fra Hilbert til Nash 5.1 David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Familien Noether og deres skjebne . . . . . . . . . .

5.3 Emmy Amalie Noether . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Emmy Noether og algebraisk invariantteori 5.3.2 Invariantteori . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Noethers problem . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Grunnlaget for Einstein . . . . . . . . . . . .

5.3.5 Ingen kvinne som professor, takk! . . . . . .

5.3.6 Revolusjonen i algebraen . . . . . . . . . . .

5.3.7 Emmy Noethers bidrag til topologien . . . .

5.4 Gustav Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

304 304 306 307 309 310 312 313 314 315 318 321

6

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13

Hermann Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo . . . . . . . .

Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach . . . . . . .

Edmund Georg Hermann Landau . . . . . . . . .

Rolf Herman Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . .

Paul Julius Oswald Teichmüller . . . . . . . . . . .

Alfred Theodor Brauer . . . . . . . . . . . . . . . .

Richard Dagobert Brauer . . . . . . . . . . . . . .

Emil Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.13.1 Flettverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.14 Ernst Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.15 Gustav Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.16 Heinrich Martin Weber . . . . . . . . . . . . . . . .

5.17 Helmut Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.18 Otto Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.19 Ernst David Hellinger . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.20 Felix Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.21 Richard Courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.22 Hans Rademacher . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.23 Olga Taussky-Todd og John Todd . . . . . . . . . .

5.24 Kurt Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.25 Alan Mathison Turing . . . . . . . . . . . . . . . .

5.25.1 Hemmelige koder . . . . . . . . . . . . . . .

5.26 Albert Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.26.1 Ekvivalensprinsippet . . . . . . . . . . . . .

5.27 Atle Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.28 Primtallsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.29 Viggo Brun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.29.1 Goldbachs hypotese og primtallstvillinger 5.30 Jean Alexandre Eugène Dieudonné . . . . . . . . .

5.31 Jean-Pierre Albert Achille Serre . . . . . . . . . . .

5.32 Alexander Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . .

5.33 John Forbes Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323 325 327 329 332 335 338 340 343 343 347 351 351 352 354 355 358 362 365 367 370 373 378 381 383 385 387 389 389 391 393 394 396 395

Forord I dette tredje bindet av Matematikkens historie begynner vi der det andre bindet slutter, med tiden umiddelbart etter Niels Henrik Abels død. Siden Niels Henrik Abel selv ble revet bort da hans egen eksplosive innsats i matematikken ennå sto ved sin begynnelse, ble det andre som fikk æren av å videreføre hans ideer. Ofte gjorde de dette uten selv å være helt klar over at de var Abels etterfølgere. Men det er intet forkleinende i det å være en etterfølger, og særlig ikke i dette tilfellet, fordi Abels ideer ble både ivaretatt og etter evne tilskrevet sin rette opphavsmann. Men siden Abels banebrytende innsats gjennom hans korte liv ofte var så langt forut for sin tid, kan nok enkelte i god tro ha tilskrevet ideene til andre, senere, matematikere enn Abel. Dette stoffet er behandlet i bind 2 og vil ikke bli gjentatt her.

Som for de to tidligere bindene har mange kilder vært i bruk. De er som tidligere oppført i litteraturlisten. Nettstedet til University of St. Andrews, the MacTutor History of Mathematics archive, [37] på litteraturlisten, har vært nyttig. Når annet ikke er oppgitt, er denne referansen kilde for årstall og for navn.

Vi tar med noe om den historiske bakgrunnen for å gi et inntrykk av denne tiden da matematikken vi forteller om, ble til. Her kommer skjebnen til den briljante unge matematikkstudenten Évariste Galois. Vi forteller om noen av de matematikerne som på ulike måter ble viktige for Niels Henrik Abel, blant dem Jacobi og Dirichlet.

Möbius var viktig for forståelsen av rommet, möbius-båndet er en flate med bare en side, noe som utfordrer vår intuisjon. Grassmann tok algebraen et langt skritt videre og viste hvorledes geometriske objekter selv kan utgjøre punkter i et mystisk rom, et rom som parametriserer mengden av disse geometriske objektene. Hans nærmest profetiske algebra var langt forut for sin tid. Alicia Boole Stott var en av kvinnene som ble matematikkens pionerer. Rundt henne dannet det seg et livskraftig matematisk miljø som har preget matematikken frem til vår egen tid og fortsatt gjør det. En viktig aktør 8

i dette miljøet var George Boole, som la grunnlaget for en en ny regnemåte, der en regnet med logiske utsagn som kunne ta verdiene sann, S, og falsk, F. Dette ble begynnelsen på den matematiske logikk, et fagfelt som ligger til grunn for de moderne datamaskinene.

En matematisk gigant var Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, som fikk en enorm betydning for matematikkens utvikling. En annen som fikk betydning for matematikere og matematikken i sin tid, var den svenske matematikeren Magnus Gösta Mittag-Leffler, grunnleggeren av journalen Acta Matematica. Han er ikke først og fremst kjent for sine egne matematiske oppdagelser, men desto mer for sine miljøskapende evner.

Charles Hermite beviste i 1873 at tallet e, grunntallet for de naturlige logaritmene, er transcendent. Carl Louis Ferdinand von Lindemann beviste i 1882 at tallet π er transcendent, det er ikke løsningen i noen ligning med rasjonale koeffisienter. Disse to innsiktene er knyttet sammen ved den mystiske relasjonen e i π = −1.

Det matematiske ekteparet William Henry og Grace Emily Young er interessante i matematikkens historie, vi forteller om dem og mange andre sentrale matematikere i kapittel 2. Her finner vi også falskneren Denis Vrain Lucas, han forfalsket såvidt forfatteren vet, aldri noe matematikk, men derimot brever og andre dokumenter angivelig fra berømte presonligheter fra matematikkens historie. Men Bonnet og Puiseux var ingen bedragere, men tvert imot kompetente og vesentlige matematikere som har satt betydelige spor etter seg i matematikken. Julius Plücker innførte det vi i dag kaller Plücker-koordinater for linjer i det projektive rom, et av de første skritt på veien mot dagens enumerative geometri. Serret og Frenets navn er knyttet til geometri i rommet med begreper som krumning og evolute. Lacroix var så gammel da Abel kom til Paris, at han bare avfeies med «er frygtelig skaldet og udmærket Gammel», dette i ett av Abels brev til hans gode venn og tidligere lærer Bernt Michael Holmboe. Så synd, en tapt mulighet for den unge Niels Henrik.

I et annet brev til Holmboe forteller den unge Niels Henrik dette: «Hjemme hos Crelle blir det holdt noen sammenkomster, der det først og fremst blir snakket om musikk, som jeg dessverre ikke forstår mye av. Men jeg har likevel glede av det, fordi jeg alltid møter unge matematikere jeg kan snakke med. Hos Crelle har det også tidligere vært en ukentlig sammenkomst av bare matematikere, men disse måtte opphøre fordi professor Martin Ohm, den berømte fysikerens bror, var så ubehagelig med sin skrekkelige arroganse. Det er tilforlatelig tungt at en enkelt mann således legger hindringer i veien for vitenskapelighet.» Vi forteller her både om den berømte fysiker selv 9

og om hans bror.

Vi avslutter kapittel 2 med å fortelle om to skandinaviske matematikere, dansken Hieronimous Georg Zeuthen og nordmannen Axel Thue, men ikke minst også Jules Henri Poincaré. Uten forkleinelse av noen må en kunne slå fast at det nok er den sistnevnte som ruver mest betydelig i matematikkens historie. Han var sentral i utvikling av fagfeltet topologi, og hans berømte formodning sto lenge som en utfordring til matematikerne. Vi forteller om dette i seksjon 2.40.

I kapittel 3 finner vi to tema: Issai Schur, hans biografi innleder dette kapitlet her, ble født i 1875 i daværende Russland og døde 1941 i Tel Aviv, daværende Palestina, nå Israel. Schur var jøde, og dette var den store årsaken til alle vanskelighetene han møtte i sitt liv og sin karriere. For det var i hans levetid at Adolf Hitler og hans naziparti grep makten i Tyskland. Som 13-åring kom Schur til Latvia, og han gikk på gymnaset i daværende Libau, som nå heter Liepaja. 1894 begynte Schur på Universitetet i Berlin for å studere matematikk. Han begynte på en strålende karriere som vitenskapsmann og universitetslærer, men som vi forteller i hans biografi, fikk han etter 1933 sparken av Tysklands daværende nazimyndigheter. Vi har fortalt om behandlingen han fikk av tyske, og dessverre til dels også andre, demokratiske og presumptivt ikke-antisemittiske, myndigheter. Issai Schur døde to år etter ankomsten til Israel, på sin 66. årsdag. Dette er det ene temaet: forfølgelsen av og mordene på jødiske matematikere i nasjonalsosialismens Europa. Det andre temaet er at til tross for det herskende barbari, så var dette en blomstringstid for matematikk og matematisk forskning. Kan hende det var slik at på dette området kunne menneskene ustraffet søke sannheten?

Thoralf Albert Skolem var en norsk matematiker som representerte ett av de store navn innen matematisk logikk. Forfatteren av denne boken var så heldig å følge den siste fullstendige forelesningsrekken som Skolem fullførte før sin død. Han var en inspirerende lærer, og han hadde liten respekt for autoritetene. Om utvalgsaksiomet sa han dette: Man kan jo ikke forby noen å studere et hvilket som helst system av aksiomer, men man må likevel kunne stille seg litt skeptisk til de setninger man kan avlede fra et slikt sett av antakelser. Så gikk han meget grundig gjennom en oppdeling av en kuleflate ved hjelp av utvalgsaksiomet, mener jeg å huske, i mange biter som så etterpå ble satt sammen til mange andre kuleflater, alle kongruente med den opprinnelige kuleflaten. Mine medstudenter, som etter hvert falt fra disse forelesningene, hadde en bekymring: Ville han rekke å komme gjennom hele pensum på denne måten? Først senere gikk det opp for meg at her dreide det seg ikke om målbare mengder. Her møter vi også de britiske matematikerne 10

Godfrey Harold Hardy og Alfred North Whitehead som oppdaget det indiske geniet Srinivasa Aiyangar Ramanjuan. Han fikk et tragisk kort liv, men han rakk å oppdage forbløffende og dype tallteoretiske sammenhenger.

Bertrand Arthur William Russell har sammen med Cantor skapt grunnleggende paradokser som historisk utfordret matematikernes selvsikkerhet.

Vi møter også Nikolai Ivanovich Lobachevskij og János Bolyai, som sammen ga opphav til ikke-euklidsk geometri. Det er underlig å tenke på at disse tankene en gang var så kontroversielle. Vi treffer også gigantene Oscar Zariski og Solomon Lefschetz.

En annen skikkelse fra matematikkens historie har blitt tilsidesatt som den milde sykepleiersken med lampen, som pleiet de sårede fra Krimkrigen. Men hun var først og fremst grunnleggeren av medisinsk statistikk. Vi forteller om Florence Nightingale i seksjon 3.46.

En ruvende matematiker fra denne epoken er Georg Friedrich Bernhard Riemann som dominerer innen matematisk analyse. Dessuten forteller vi om Julius Wilhelm Richard Dedekind, som ledet veien til vår forståelse av tallenes verden. William Rowan Hamilton og Arthur Cayley bidro til en utvidelse av tallbegrepet som ennå ikke er blitt allemannseie, men fortsatt har stort potensial for anvendelser.

Sofia Vasilyevna Kovalevskaja er best kjent under den maskuline formen av hennes russiske navn, Kovalevskij. En ruvende matematiker, som ikke fikk det helt lett i sitt liv. To sentrale norske matematikere fra denne epoken er Cato Guldberg og Sophus Lie, og en som fikk stor betydning for norsk matematikk og Lie er Felix Klein.

Den store matematikeren David Hilbert ruver i matematikkens historie, vi forteller om ham i kapittel 5. Her finner vi også beretningen om den matematiske familien Noether og deres skjebne. Her har vi også fått med korte – altfor korte – omtaler av en lang rekke betydelige matematikere fra vår egen tid. Andre, som kunne ha skrevet sine navn med store bokstaver i matematikkens historie, representerer forspilte muligheter. Et slikt tragisk tilfelle er den unge tyskeren Paul Julius Oswald Teichmüller, som ble en fanatisk nazist. Han ledet mange i ulykke, til sist også seg selv. Men for å avslutte dette forordet på lysere toner: Mange store norske matematikere skulle fått en større og bredere plass, men det ville krevd ett bind til: Den store gruppen av matematikere med etternavnet Selberg er imponerende, og stadig økende.

Nok en gang er det en fornøyelse å takke forlaget, spesielt forlagsredaktør Trond Soldal, for et godt samarbeid gjennom hele arbeidet.

11

Kapittel 1

Generalisering og ny innsikt.

Fra Galois til Hinton 1.1 Évariste Galois Évariste Galois innleder den matematiske epoken etter Niels Henrik Abel.

Som Abel levde han et intenst og kort – enda kortere – liv enn Abel. Galois kastet seg over det første problemet Abel hadde arbeidet med, nemlig muligheten til å løse en algebraisk ligning ved aritmetiske operasjoner i koeffisientene og rottegn. I dette arbeidet ble han ledet til å identifsere det vi i dag kaller en kropp, en samling av objekter der alle vanlige aritmetiske operasjoner vi kjenner fra rasjonale tall, lar seg utføre og adlyder de samme eller lignende lover. At dette for ham ikke bare var tenkt som rene tallmengder, blir klart ved at han foreslo å betrakte de endelige kroppene.

Disse kalles i dag for Galoiskropper, til ære for ham. Évariste Galois ble født i Bourg-la-Reine, en liten by nær Paris den 25. oktober 1811, og han døde i Paris i 1832. Faren, Nicolas-Gabriel Galois, ledet en liten skole og skal ha vært en omgjengelig mann, vittig og intelligent.

Faren var republikaner og ledet det liberale partiet i byen. Moren, AdelaïdeMarie Demante, kom fra en juristfamilie og hadde fått en god utdannelse.

Hun hadde en sterk personlighet, og skal ha vært noe eksentrisk. Da hun tok hånd om Évaristes skolegang, la hun vekt på streng religion, stoisk etikk og klassisk kultur.

De politiske begivenhetene i Frankrike på denne tiden kom til å legge sin tunge hånd over Évariste og hans liv, som i likhet med Abels ble både kort og tragisk. Etter Napoleons nederlag ble en bror av Louis 16. konge under navnet Louis 18. Da ble faren til Évariste medlem av bystyret og i 1815 12

borgermester.

Men så kom julirevolusjonen i 1830, da ble etterfølgeren til Louis 18.1 avsatt og erstattet med den såkalte borgerkongen Louis-Philippe. Det var i den urolige tiden etter dette statskuppet at Évariste Galois møtte sin tragiske død. De politiske forholdene i Frankrike på denne tiden er behandlet mer utførlig i bind 2. Évariste var knyttet til sin far og sin mor, med deres ulike personligheter, dessuten til en eldre søster, og ser ut til å ha hatt en tidlig ungdom preget av både lærdom og munterhet. Det var Évaristes mor som sto for hans skolegang og undervisning, og siden hun var misfornøyd med de tilgjengelige skolene, holdt hun gutten hjemme og underviste ham selv til han var 12 år gammel. Da begynte han på gymnaset, Lycée Louis-le-Grand, en prestisjetung eliteskole i Paris. Dette var altså i 1823.

Figur 1.1: Evariste Galois. Public domain. Creative Commons Attribution ShareAlike License.

Évariste gjorde det til å begynne med bra på skolen og fikk flere priser, og han holdt seg utenfor uroligheter som resulterte i at en god del elever ble utvist.

Riktignok strøk han i retorikk i 1826, men så begynte han med matematikk året etter. Matematikken ble hans altoppslukende interesse, og hans lærer skrev at det beste ville være å la denne eleven studere bare matematikk og 1 Louis 18. var død i 1824.

13

intet annet! Men samtidig ble Evariste mer og mer sær og lukket.

I 1828 forsøkte Galois å ta opptakseksamen til École Polytechnique uten de vanlige forberedelsene i matematikk. Han strøk, visstnok fordi han ikke ga nok forklaringer på den muntlige eksaminasjonen. I stedet begynte han på École Préparatoire, som ikke hadde den samme høye status som École Polytechnique. Her fortsatte han å studere matematikk, men mer og mer på egen hånd. Han studerte Adrien Marie Legendres Éléments de Géométrie og dessuten artikler av Joseph Louis Lagrange og Niels Henrik Abel.

Galois fikk sin første avhandling, som var om kjedebrøk, publisert i tidsskriftet Annales de Mathématiques i april 1929. Artikkelen skal ha vært kompetent men heller ikke mer. Men allerede i mai og juni samem år sendte han to artikler om løsning av algebraiske ligninger til Académie des Sciences, Vitenskapsakademiet. Dette er innledningen til en serie av fundamentale oppdagelser i teorien for algebraiske ligninger. Artiklene ble gitt til Augustin Louis Cauchy til bedømmelse, han ble valgt til såkalt referee, som vi sier i dag, for arbeidene. Vi forteller om ham i [23], han var jo også referee for Abels store avhandling med et nokså katastrofalt resultat – eller rettere sagt, mangel på resultat.

Dessverre ser det ikke ut til å ha gått særlig bedre med Galois’ artikler.

Cauchy avviste dem, ifølge enkelte kilder av grunner som «fortsatt synes uklare». Noen hevder at Cauchy anerkjente betydningen av Galois’ arbeid om algebraiske ligninger, og at han bare ville anbefale at artiklene ble trukket tilbake og at resultatene ble samlet i én avhandling, som burde sendes inn til konkurransen om Akademiets store pris i matematikk. Cauchy skal etter dette ha ment at Galois hadde gode muligheter til å vinne denne prisen.

Men så begikk Évaristes far selvmord kort tid senere, etter en bitter strid med landsbypresten. Noen dager senere forsøkte Galois for andre gang å ta opptaksprøven til École Polytechnique. Han strøk igjen, og denne siste eksamenen er omspunnet av anekdoter og legender. Det er ingen tvil om at han burde ha bestått med god margin, men den professoren som eksaminerte ham, var ikke helt av samme matematiske kaliber som kandidaten. Galois syntes, og la ikke skjul på, at spørsmålene han fikk, var uinteressante og irrelevante, eksaminator forsto ikke Galois’ forklaringer fordi han gikk for fort frem og utelot detaljer, og i det hele tatt var kjemien mellom student og professor ikke god. Galois skal ha avsluttet seansen med å kaste svampen, eller enda verre: vaskekluten, i fjeset på professoren. Dette foregikk få dager etter farens tragiske selvmord, så utgangspunktet for Évariste var så dårlig som det kunne blitt.

Etter dette tok Galois baccalaureate-eksamenen, altså det vi i dag kaller 14

videregående eller artium, og kom så inn på École Normale. Han arbeidet videre med ligningene, men fikk så se en artikkel i Bulletin de Férussac av Abel, utgitt etter hans død. Der fant han flere resultater som lignet på dem han hadde liggende i de to artiklene som Cauchy hadde bedt ham om å omarbeide. Han fulgte nå Cauchys anbefalinger og slo sammen de to artiklene til én avhandling, som han etter forslag fra Cauchy sendte til Akademiets sekretær Joseph Fourier, for at den kunne vurderes for Akademiets store pris.

Men like etterpå døde Fourier, og avhandlingen forsvant. Prisen ble dette året delt mellom Abel posthumt og Carl Gustav Jacob Jacobi.

Galois publiserte tre andre artikler samme år, to av dem la grunnlaget for det vi i dag kaller Galois-teori, mens den tredje for første gang innfører begrepet endelig kropp. Slike kropper kalles i dag for Galois-kropper.

Som vi allerede har minnet om, kom julirevolusjonen i 1830. Under uroen da Louis-Philippe kom til makten, ble alle studentene ved École Normale sperret inne, så de ikke skulle forårsake eller selv komme i vanskeligheter.

Dette gjorde Galois rasende, og han skrev en artikkel under fullt navn til Gazette des Écoles, der han kom med kraftig kritikk av skolens ledelse. Dermed ble han utvist.

Dette må ha vært et hardt slag for Galois. Sophie Germain, som vi forteller om i bind 2, altså [23], var ikke bare en svært fremragende matematiker, men hadde også et varmt hjerte og viste omsorg for sine medmennesker. Det er to egenskaper som dessverre ikke alltid følges ad. Men hun skrev et brev til sin venn Libri, eller Grev Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja, opprinnelig italiener med en viss innflytelse siden han hadde mange venner og var medlem av Akademiet. Sophie Germain skrev: « Fouriers død har vært for mye for denne studenten Galois, som til tross for sin uforskammethet har vist gode matematiske evner. Alt dette har ført til at han nå er blitt utvist fra École Normale, og er uten penger. Folk sier at han holder på å miste forstanden. Jeg frykter for at de kan ha rett.»

Imidlertid hadde Simon Dénise Poisson, som vi forteller om i bind 2, altså [23], bedt ham om å levere sin avhandling om teorien for algebraiske ligninger til Akademiet. Det hadde han gjort i januar 1831, men i juli erklærte Poisson at arbeidet var «uforståelig». Men han foreslo at Galois skulle publisere stoffet sitt samlet, slik at en kunne bedømme holdbarheten bedre. Galois bestemte seg da for å utgi det privat og ikke gå gjennom Akademiet. Han fortsatte dermed å bearbeide artiklene sine.

Men Galois hadde da sluttet seg til en artillerienhet av Nasjonalgarden som var spesielt sterkt republikansk. Siden dette ikke harmonerte særlig godt med «borgerkongens» interesser, ble denne avdelingen oppløst. Noen av 15

offiserene ble arrestert, men senere frifunnet. For å feire dette ble det arrangert en bankett. Uheldigvis var Galois sterkt tilstede på denne banketten.

Banketten fant sted 9. mai 1931, og mange kjente personer deltok. Blant dem var Alexandre Dumas. Da Évariste Galois løftet glasset og foreslo en skål for Louis-Philippe, bredte det seg en misfornøyd mumling i denne sterkt republikanske forsamlingen. Men de som sto nærmere, hadde hørt alle ordene Galois sa: Det var Til Louis-Philippe, dersom han forråder! De som sto aller nærmest, så at han hadde en dolk skjult i hånden som løftet glasset. Nå ble den misfornøyde mumlingen gradvis avløst av anerkjennende tilrop, og så brøt det ut ellevill jubel. Alexandre Dumas ble så forskrekket at han hoppet ut av vinduet og løp som en hare. Det hadde neppe noen av de tre musketerer gjort! Dagen etter ble Galois arrestert, men senere frifunnet. Imidlertid ble han senere arrestert igjen, for å ha ledet et demonstrasjonstog på årsdagen for stormen på Bastillen 19. juli, iført uniformen til den oppløste artillerienheten og tungt bevæpnet. Denne gangen ble han dømt til seks måneders fengsel, som han måtte sone. Han ble løslatt fra fengselet 29. april 1832.

Galois hadde arbeidet med matematikk i fengselet, og han ville fortsette med det i tiden etterpå. Men det var ikke mye tid han fikk. I mars 1832 hadde nemlig et utbrudd av kolera i fengselet ført til at Galois sammen med andre fanger ble overført til Pension Sieur Faultrier. Der traff han Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, som var datter av institusjonens lege. Galois forelsket seg i henne, en forelskelse som etter alt å dømme ikke var gjensidig. Såpass er det rimelig enighet om blant de historikere og skribenter som har befattet seg med Évariste Galois’ biografi. Men så er det mange ulike mer eller mindre konspiratoriske teorier.

Noen forfattere har følgende litt enklere oppfatning, hvis man da i det hele tatt skal mene noe om slike ting. En av Galois’ kamerater i fengslet næret også varme følelser for Stéphanie. Om hun foretrakk den andre eller om hun ikke brydde seg om noen, får være som det vil, men hun skal ha sendt brev til Galois der hun avviste ham. Han skrev så et brev til sin venn Auguste Chevalier der han karakteriserte henne som en coquette infâme, på godt norsk et helsikes ludder. Dermed duellerte Galois og hans kamerat, som forresten het Ernest Duchâtelet2 , dagen etter at de slapp ut av fangenskap. Duellen var med pistoler, visstnok på kort hold, og Galois ble truffet i magen. Motstanderen og alle sekundantene stakk av, og lot Galois ligge igjen i en åker der bonden fant ham. Et slikt sår var den gangen ganske håpløst, det er vanskelig nok å behandle i dag.

2 Flere andre unge menn nevnes som Galois’ drapsmann, ett av navnene er Perscheux

d’Herbinville.

16

Han ble brakt til et hospital der han døde neste morgen, broren Alfred satt ved dødsleiet.

Galois må ha forstått at han ikke var verdensmester med pistol, og at dersom en av duellantene måtte dø, hadde han oddsen i sin disfavør. I alle fall hadde han sittet oppe om natten, etter det en går ut fra, og skrevet ferdig så langt han rakk sitt matematiske testamente. I hvert fall er dette hva legendene som omspinner hans skjebne, forteller oss. Dette dokumentet skal være sendt i et brev til hans venn Auguste Chevalier. Men i tillegg til at han hadde skrevet et slikt sammendrag, kopierte vennen Chevalier og broren Alfred hans matematiske manuskripter og sendte dem til Gauss, Jacobi og andre av tidens fremragende matematikere. Disse tekstene kom også til Liouville, som vi forteller om i seksjon 2.19. I september 1843 meldte han til Akademiet at Galois’ arbeider inneholdt en konsis løsning av et viktig problem, nemlig å gi et kriterium for når en gitt algebraisk ligning i en ukjent har en løsning som kan uttrykkes i ligningens koeffisienter ved de aritmetiske operasjonene og rottegn. En spesiell konsekvens av dette er at for alle ligninger av grad fra og med 5 finnes det ikke noen slik generell formel for løsningene når koeffisientene er vilkårlige. Liouville lot disse arbeidene trykke i sin journal Journal des mathématiques pures et appliquées i nummeret for oktober–november 1846.

Dette ble utgangspunktet for det vi i dag kaller galoisteori.

1.2 Litt mer om Galois’ matematikk Evariste Galois var opptatt av tallmengder der en kan utføre de vanlige regneoperasjonene addisjon, multiplikasjon og divisjon med tall som ikke er null, og slik at alle de vanlige regnereglene gjelder. En slik tallmengde kalles i dag for en tallkropp. Dette hadde ikke minst sammenheng med hans interesse for løsning av algebraiske ligninger, som vi skal se.

Men Galois fremholdt at en også måtte studere andre mengder enn tallmengder der en kunne addere og multiplisere, og dessuten utføre de omvendte regneoperasjonene, på enn slik måte at de vanlige regnereglene holdt.

Det kunne godt være endelige mengder, hevdet han. Slike endelige kropper er viktige i dagens matematikk, og som nevnt ovenfor har de fått navn etter Galois.

Den aller enkleste galoiskroppen vi har, består av to elementer, nemlig 0 og 1. Vi har en multiplikasjonstabell og en addisjonstabell, som vi viser på figur 1.2.

17

Figur 1.2: Den enkleste galoiskroppen.

Det finnes en lang rekke av slike endelige kropper, og de spiller en helt sentral rolle i dagens matematikk og i all anvendelse av matematikk.

Problemet som Galois arbeidet mest med, var spørsmålet om å avgjøre hvilke algebraiske ligninger som lar seg løse ved de aritmetiske operasjonene og rottegn brukt på ligningens koeffisienter. Men vær på vakt: Denne formuleringen som en ofte ser av problemet, er ikke presis nok. Det finnes nemlig metoder som bare bruker aritmetiske operasjoner og som gjør det mulig å løse en hvilken som helst algebraisk ligning med så stor nøyaktighet en vil.

En slik metode er beskrevet i [22], den stammer egentlig fra Kina, men kalles i dag gjerne for Horners metode, eller Horner-Ruffinis metode.

Det problemet Galois var opptatt av, er imidlertid å avgjøre for hvilke algebraiske ligninger det eksisterer en formel som uttrykker røttene i ligningen ved hjelp av koeffisientene og de aritmetiske operasjonene addisjon, multiplikasjon, differens, divisjon og dessuten rottegn.

Galois tok da utgangspunkt i en kropp k som inneholdt kroppen av de rasjonale tallene Q og koeffisientene til ligningen.

Så betraktet Galois tallkroppen K generert av k og alle røttene til ligningen, K kalles for ligningens rotkropp. Galois studerte så alle avbildninger γ : K −→ K slik at γ(α) = α for alle α ∈ k og slik at γ(ββ0 ) = γ(β)γ(β0 ) og γ(β + β0 ) = γ(β) + γ(β0 ), og slik at to forskjellige elementer aldri avbildes på samme element, og alle elementer er bilde av et element. Altså det vi kaller k− isomorfismer av K på 18

seg selv. Disse elementene kan settes sammen, og denne sammensetningen gjør mengden av slike avbildninger til en endelig gruppe. Denne gruppen kalles i dag for Galois gruppen til K over k og betegnes med G al(K /k).

Når vi nå starter ved å foreta en aritmetisk operasjon med koeffisientene til ligningen, vil resultatet fortsatt ligge i k. Men første gang vi foretar en rotuttrekning vil resultatet enten fortsatt ligge i k, eller så vil det ligge i en p kropp k(u) som oppstår ved at u = n α føyes til, eller som vi sier, adjungeres til k. u er da en rot i ligningen X n − α = 0.

Vi føyer nå alle røttene i denne ligningen til k, slik at vi får en større tallkropp k1 som inneholder k og alle disse røttene. Vi fortsetter denne prosessen til vi har løst ligningen ved skritt bestående av aritmetiske operasjoner og rotuttrekninger av størrelser vi allerede har funnet. Da vil altså prosessen terminere hvis og bare hvis det finnes en formel som løser ligningen ved rottegn og aritmetiske operasjoner. Rotkroppen K vil da ligge inne i en tallkropp L som er oppstått ved slike skritt. Slik tallkroppen L er kommet i stand, vil gruppen G al(L/k) ha en viktig egenskap: Det finnes en kjede av undergrupper {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ G2 ⊂ · · · ⊂ Gm ⊂ G = G al(L/k) slik at undergruppen til venstre er en normal undergruppe av den til høyre og kvotientgruppen er syklisk. Vi sier da at G er oppløsbar. Denne egenskapen arves av undergruppen G al(K /k), slik at også den er oppløsbar. Det hele munner ut i følgende: TEOREM (Galois) En ligning er løsbar ved en formel av rottegn og aritmetiske operasjoner hvis og bare hvis Galois-gruppen til rotkroppen er oppløsbar.

Nå kan man konstruere en ligning av grad 5 slik at dens Galois gruppe er isomorf med gruppen A5 av jevne permutasjoner av orden 5. Denne gruppen er imidlertid ikke oppløsbar, som en forholdsvis lett ser i et innføringskurs i gruppeteori.

1.3 Friedrich Wilhelm Bessel Bessel ble født i 1784 i Tyskland og døde i 1846 i Königsberg, som da var tysk, men nå er russisk under navnet Kaliningrad.

19

Han gikk på gymnaset i Minden i fire år, men han gjorde det ikke særlig godt på skolen. Så 14 år gammel droppet han skolen og ble lærling i et firma i Bremen som drev med import og eksport.

Til å begynne med arbeidet han uten lønn, men etter som han fikk mer erfaring og hans evner som regnskapsfører gikk opp for firmaets ledelse, tok de til å betale ham en beskjeden lønn. Men denne kontakten med internasjonal business vekket ungdommens interesse for landene hans arbeidsgiver handlet med, og dermed ble han interessert i geografi og fremmede språk. Slik ble også interessen vakt for navigasjon og for ett av tidens store problemer, nemlig å finne posisjonen til et skip til havs. Som tilfellet var for mange andre som var opptatt av dette problemet, ledet det ham til å studere astronomi og matematikk, og han begynte å foreta observasjoner for å bestemme lengdegraden.

I 1804 skrev Bessel en avhandling om Halleys komet, der han beregnet kometens bane ut fra observasjoner av den engelske astronomen Thomas Harriot i 1607. Bessel sendte sin avhandling til Heinrich Olbers. Han var tidens ledende ekspert på kometer, og han så straks at Bessels arbeid var av fremragende kvalitet. Olbers ga Bessel i oppdrag å videreføre dette arbeidet, og det resulterte i en avhandling på nivå med en doktorgrad, som ble publisert på Olbers’ anbefaling. Fra da av konsentrerte Bessel seg om astronomi, celest mekanikk og matematikk.

Det var Olbers som foreslo for læregutten Wilhelm at han skulle satse på å bli astronom. Dette førte til at Bessel tok imot en stilling som assistent ved det private Lilienthal-observatoriet ved Bremen. Denne karrieren var nok adskillig mindre lukrativ enn den kommersielle løpebanen han nå avbrøt, men han fikk gode vitenskapelige arbeidsforhold.

Ved Lilienthal-observatoriet fikk han verdifull erfaring, ikke minst i observasjon av planeter, spesielt Saturn og dens ringer og satellitter. I 1807 begynte han å arbeide med observasjoner av den engelske astronomen James Bradley, som omfattet observasjon av 3222 stjerner, observert rundt 1750 i Greenwich.

Bessels arbeid ved observatoriet vakte oppmerksomhet internasjonalt, og han fikk tilbud både fra observatoriet i Leipzig og i Greifswald. Imidlertid avslo han tilbudene, og i 1809 ble han som 26-åring utnevnt til direktør for det nye observatoriet i Königsberg. Men for en slik stilling måtte man ha doktorgraden, en vanskelighet som ble ryddet av veien ved en anbefaling fra selveste Gauss, som hadde møtt Bessel i Bremen i 1807 og var blitt overbevist om Bessels talent.

Observatoriet var fortsatt under bygging, men Bessel tiltrådte sin still20

ing der allerede 10. mai 1810. Han fortsatte å bruke Bradleys observasjoner mens observatoriet ble bygget ferdig fra 1810 til 1813. Bessels arbeid ble etter hvert internasjonalt kjent, han mottok flere priser og ble i 1812 innvalgt i vitenskapsakademiet i Berlin.

Observatoriet i Königsberg sto ferdig i 1813, og Bessel begynte sitt arbeid der. Han kom til å bli værende i Königsberg, der han kunne konsentrere seg om sin forskning. Denne muligheten for å arbeide rimelig uforstyrret med forskningen satte han stor pris på, og han avslo et fristende tilbud om å bli direktør for observatoriet i Berlin, nettopp fordi han fryktet for at alle de administrative forpliktelsene ville komme i veien for forskningen.

I Königsberg tok Bessel fatt på oppgaven å bestemme posisjon og bevegelse til mer enn 50 000 stjerner. 61 Cygni er en stjerne i stjernebildet Svanen.

Denne stjernen, som egentlig er en dobbeltstjerne, befinner seg 11 lysår fra Solen. 61 Cygni var den første fiksstjernen hvor avstanden fra Jorden ble bestemt. 61 Cygni kommer fra John Flamsteeds stjernekatalog fra 1700-tallet og betyr at det var den 61. stjerne i Svanen (Cygnus), målt fra vest. Avstanden fra Jorden ble funnet ved en metode som Bessel selv oppdaget i 1838, og som i dag kalles parallaksemetoden.

Parallakse er den tilsynelatende forflytningen av et objekt i forhold til en bakgrunn på grunn av endring i observatørens posisjon. Ved å observere parallakse kan man bestemme avstanden til forskjellige objekter. Når man bruker dette i forbindelse med stjerner, kalles effekten for stellar parallakse.

Den første målingen av stellar parallakse i nyere tid ble gjort av Bessel i 1838, nettopp for denne stjernen 61 Cygni.

For enkelhets skyld regner vi i dette eksemplet med at Jordens bane er en sirkel med radius AD = r . Med et sikteapparat sikter vi inn stjernen C når Jorden er i de diametralt motsatte posisjonene A og B, altså med seks måneders mellomrom. Dermed finner vi vinkelen v ved punktet C . Da blir hr = tan(v), og altså h = r cotan (v).

Bessel innså at før observasjonene kunne brukes i beregninger, måtte en kjenne de mulige observasjonsfeilene. Han skal ha brukt observasjonene til Bradley og Maskelyne fra Greenwich på 1700-tallet fordi disse astronomene var de første til å gi fullstendig analyse av sine instrumenters nøyaktighet, sammen med temperatur og lufttrykk da observasjonene ble gjort. På denne måten kunne Bessel eliminere mange feilkilder.

Bessels arbeid med disse problemene var epokegjørende og resulterte i at han i 1815 ble tildelt en pris fra Berlins vitenskapsakademi. Bessel publiserte Bradleys stjerneposisjoner i 1818 i et arbeid der han også gir stjernenes 21

Figur 1.3: Avstandsberegning ved måling av parallakse. Basert på bilde fra Wikipedia.

egenbevegelser. I 1825 ble han hedret med medlemskap i det britiske vitenskapsakademiet, The Royal Society.

Bessel arbeidet også med Keplers trelegemeproblem: Det er å bestemme banene til tre stjerner eller andre himmellegemer som beveger seg under påvirkning av hverandres gravitasjon og ingen andre krefter. Dette er et vanskelig problem, og løsningen er komplisert og lar seg nok best behandle med en mer eller mindre kraftig datamaskin. Men hvorom allting er, så angrep Bessel problemet ved å innføre en klasse funksjoner som i dag bærer navnet besselfunksjoner. Disse er løsninger av differensialligningen x2

dy d2 y +x + (x 2 − α2 )y = 0, 2 dx dx

der det komplekse tallet α kalles Besselfunksjonens orden. Disse funksjonene har spilt en stor rolle i matematisk fysikk og astronomi, og Bessels oppdagelse er imponerende, ikke minst i lys av at den ble utført av en mann uten noen formell universitetsutdannelse overhodet. At også Bessel her «sto på kjempers skuldre», gjør ikke hans innsats mindre: Blant disse kjempene finner vi Jacob Bernoulli, Daniel Bernoulli, Euler og Lagrange, som vi forteller om i bind 2.

22

Bessel hadde også, til tross for sin manglende universitetsutdannelse eller kanskje nettopp derfor, stor betydning som reformator av universitetsdidaktikken i matematikk i Tyskland, Europa og etter hvert verden forøvrig.

1.4 Carl Gustav Jacob Jacobi Jacobi ble født i 1804 og døde 1851 i Tyskland. Jacobi var jøde, men på grunn av de antisemittiske holdningene i Tyskland på denne tiden ble han opprinnelig gitt det franskklingende navnet «Jacques Simon». Faren, som het Simon Jacobi, var en velstående bankier, Carl var sønn nummer to, den eldste kom til å bli en betydelig fysiker. Der var to søsken til, en søster og en bror.

Broren Eduard ble bankier som sin far, om søsteren Therese tier historien.

Figur 1.4: Carl Gustav Jacob Jacobi. Wikimedia Commons. Public domain.

Jacobis tidlige skolegang ble besørget som privatundervisning av en onkel på morsiden. Men i tolvårsalderen begynte han på gymnaset i Potsdam.

Onkelens undervisning hadde vært vellykket, og i 1817 ble han tatt opp i avslutningsklassen der. Dette innebar at i skoleåret 1816–17 var han faglig klar for et universitetsstudium, bare tolv år gammel. Men Universitetet i Berlin var av en annen oppfatning, de tok ikke opp studenter under 16 år, slik at Jacobi ble gående i samme klasse til våren 1821.

23

Jacobi kastet likevel ikke bort tiden, men leste seg opp på andre fag enn naturfagene og matematikk. Så da Jacobi var ferdig med gymnaset, hadde han topp karakterer i latin, gresk og historie, men drev det jo lengst i matematikken. Der hadde han slukt Eulers Introductio in analysin infinitorum og hadde allerede forsøkt seg på ett av tidens store åpne problemer, nemlig å løse den generelle femtegradsligningen ved aritmetiske operasjoner på koeffisientene og rottegn.

Da Jacobi begynte på Universitetet i Berlin i 1821, var han fortsatt usikker på hvilke emner han skulle konsentrere seg om. Han skal ha fulgt forelesninger innen filosofi, klassiske studier og matematikk i to år før han for alvor valgte å fordype seg i matematikken. Men grunnlaget for dette var nok ikke det beste, for på denne tiden skal nivået på matematikkundervisningen i tysk videregående skole ha vært heller mangelfullt. Siden Jacobi hadde eksepsjonelle evner i matematikk, kunne han løse dette problemet ved å studere arbeidene til ledende matematikere som Lagrange og andre på egen hånd.

I 1824 hadde Jacobi tatt de nødvendige eksamener for å undervise i matematikk, gresk og latin i den videregående skolen, og i 1825 fikk han en stilling ved et av de ledende gymnasene i Berlin. Da hadde han levert sin doktoravhandling, og han kunne nå arbeide videre med sin habilitasjon, det som i gamle akademiske kretser ble kalt venia legendi, eller også jus docendi, rett til å forelese.

Jacobi presenterte en artikkel om itererete, eller gjentatte, funksjoner til vitenskapsakademiet i Berlin i 1825.

En iterert funksjon er definert som følger: La X være en mengde, og f : X −→ X være en funksjon. Vi definerer fn som den n-te gjentatte av f , der n er et naturlig tall eller 0: f 0 = idX og f n+1 = f ◦ f n Følgende identitet holder for alle naturlige tall m og n: f n ◦ f m = f m ◦ f n = f m+n Dette er analogt til regelen a m a n = a m+n som er spesialtilfellet f (x) = ax.

24

Dette representerer det enkle utgangspunktet for en teori som innbefatter Schröders ligning og Tsjebysjev polynomer.

Schröders ligning må ikke forveksles med Schrödingers ligning. Schröders ligning har navn etter Ernst Schröder og er en funksjonalligning med en uavhengig variabel: Man har gitt en funksjon h(x) og skal finne funksjonen Ψ(x) slik at Ψ(hs) = sΨ(x). Dette er en egenverdi ligning for den sammensatte operatoren som sender en funksjon f til den sammensatte funksjonen f ◦ h.

Men artikkelen var nok litt forut for sin tid, den ble ikke publisert av Berlin-akademiet men kom på trykk først i 1961, i en artikkel av K.R. Biermann med tittelen Eine unveröffentlichte Jugendarbeit C G J Jacobis über wiederholte Funktionen, J. Reine Angew. Math. 207 (1961), 96–112.

Biermann siterer fra de sakkyndiges rapport om arbeidet og levner disse sakkyndige liten ære.

Rundt 1825 lot Jacobi seg døpe. Slik ble han stueren for en universitetsstilling i Tyskland. Han underviste da også i Berlin gjennom det akademiske året 1825–26. Men utsiktene var ikke så gode i Berlin, kristen eller ikke. Så blant annet etter råd fra kolleger flyttet Jacobi til Universitetet i Königsberg.

Jacobi hadde allerede gjort viktige arbeider i tallteori i tiden før han dro til Königsberg. Nå skrev han til Gauss for å fortelle om resultater om kubiske rester som han hadde funnet. Dette var inspirert av Gauss’ arbeider om kvadratiske og bikvadratiske rester. Før vi går videre, skal gi en liten forklaring på disse ordene.

La a og b 6= 0 være relativt primiske hele tall, altså hele tall uten noen felles faktor > 1. Dersom kongruensligningen x 2 ≡ a (mod b) har en løsning i Z, sier vi at a er en kvadratisk rest modulo b. For alle odde primtall p og alle hele ³ tall ´ a som ikke er delelig med p, definerer vi det såkalte

Legendre-symbolet pa til å være 1 eller -1, etter som a er eller ikke er en kvadratisk rest modulo ³ ´p. Dersom altså [a] ∈ Z/(p) betegner restklassen til a modulo p, da betyr pa = 1 at restklassen [a] ∈ Z/(p)∗ er et kvadrat i denne gruppen. Denne gruppen er syklisk av jevn orden, nemlig p − 1. Altså følger identiteten µ

¶ µ ¶µ ¶ ab a b = , p 6 |a, b p p p

Følgende resultat kalles kvadratisk resiprositet: 25

Teorem 1.4.1 (Kvadratisk resiprositet) For to vilkårlige odde primtall p og q er µ ¶µ ¶ p−1 q−1 p q = (−1) 2 2 q p Vi viser til bøkene [27] og [30] for flere detaljer og bevis.

Teorem 1.4.1 er altså et teorem om modulær aritmetikk som gir betingelser for løsbarhet av kvadratiske ligninger modulo primtall, x 2 ≡ p(mod q) Teorem 1.4.1 kan gis flere ekvivalente formuleringer, men dette faller utenfor rammene for denne boken.

Tilsvarende problemstillinger er betraktet for ligninger av grad 3 (kubisk) og 4 (kvartisk eller bikvadratisk). Også dette vil det føre for langt å gå nærmere inn på her.

Da Gauss fikk brevet fra Jacobi, ble han imponert. Han skrev til Bessel etter opplysninger om denne unge Jacobi. Men Jacobi hadde også nye resultater om elliptiske funksjoner, resultater som også Abel hadde funnet uavhengig av Jacobi og omtrent samtidig med ham.

Legendre innså straks at Jacobi hadde oppnådd vesentlige resultater, og han tok det svært pent at hans posisjon som den ledende eksperten på feltet elliptiske funksjoner nå var overgått av Abel og Jacobi.

Jacobi møtte Legendre i 1829 da han besøkte Paris den sommeren. På reisen til Paris hadde han besøkt Gauss i Göttingen. Jacobis grunnleggende arbeid om elliptiske funksjoner hadde imponert Legendre, og hans artikkel Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum, som ble publisert i 1829, ga sammen med senere supplementer fundamentale bidrag til teorien for elliptiske funksjoner. Men Jacobi hadde langt ifra dette feltet for seg selv: Tvert imot hadde Abel gitt helt vesentlige bidrag, og det hadde funnet sted en intens kappestrid mellom de to. Legendre skrev dette i et brev til Jacobi tidlig i 1829: Dere går så fort frem i alle disse vidunderlige spekulasjoner at det er nesten umulig å følge dere – spesielt for en gammel mann ... Jeg gratulerer meg selv for å ha levd lenge nok til å ha sett disse storartede kappestrider mellom to likeverdige atleter, som retter sine krefter til å styrke den vitenskap hvis grenser de skyver tilbake stadig lengre og lengre.

26

Mens Legendre skrev dette, lå Niels Henrik Abel døende på Froland prestegård, han døde i mai 1832. Vi forteller om dette i bind 2, [23]. Jacobi, derimot, giftet seg i 1831, ble forfremmet til full professor, og fikk tallrike studenter som ble innflytelsesrike matematikere.

Jacobi arbeidet også med første ordens differensialligninger, med anvendelser i dynamikk. Han arbeidet dessuten med determinanter, og studerte funksjonal determinanten som i dag har navn etter ham. Jacobi var ikke den første til å studere denne, den opptrer for første gang i et arbeid av Cauchy fra 1815. Men Jacobi skrev et langt memoir, med tittelen De determinantibus functionalibus i 1841 om denne determinanten.

I 1843 ble Jacobi syk, og legen diagnostiserte sukkersyke. Rådet fra legen var at han skulle tilbringe noe tid i Italia, der klimaet var gunstigere enn i Nord-Europa. Jacobi var ikke noen rik mann lenger, de politiske forholdene hadde trukket med seg en depresjon i Europa, der Jacobis formue etter hans far var gått tapt. Men nå skrev Dirichlet til Alexander von Humboldt etter hjelp til økonomisk støtte for Jacobi fra Friedrich Wilhelm IV. Med energisk støtte fra Alexander von Humboldt ble søknaden innvilget.

Jacobi dro av sted til Italia med Borchardt og Dirichlet. De ankom i Rom vinteren 1843, også Schläfli og Steiner var med, Schläfli var tolk.

Jacobi ble ganske riktig bedre, han begynte igjen å arbeide og å publisere.

I Italia hadde han dessuten kunnet dyrke sin interesse for matematikkens historie og benytte seg av Vatikanets gode samling av antikke matematiske tekster. Selv om nå helbreden var bedre, følte han at klimaet i Königsberg var for strengt for ham, og han søkte Friedrich Wilhelm IV om tillatelse til å flytte til Berlin, og om et tilskudd til lønnen som gjorde dette mulig. Dette ble innvilget, og han ble værende i Berlin til juni 1844, selv om han ikke maktet å gi så mange forelesninger der.

Jacobi foreleste i Berlin 1847–1848. Her drøftet han Lagranges mekanikk.

I 1848 var forholdene ugunstige i Det tyske forbund. Arbeidsløshet og uår førte til misnøye og uroligheter. Nyhetene om at Louis-Philippe hadde blitt styrtet ved et opprør i Paris, februarrevolusjonen, i 1848 ledet til revolusjoner mange andre steder, og kamper i Berlin. Republikanere og sosialister sto mot monarkiet, og Jacobi kom i skade for å holde en tale i Den konstisjonelle klubb i Berlin, som gjorde både monarkister og republikanere rasende. Dermed ble han søknad om overføring til Universitetet i Berlin avslått av den Prøyssiske regjeringen.

Sommeren 1849 var «revolusjonen» fullstendig slått i Tyskland. Regjeringen var misfornøyd med Jacobis holdninger i prøvelsenes tid og trakk tilbake det supplementet til hans lønn som han hadde nytt godt av, og som hadde 27

gjort det mulig for ham å oppholde seg i Berlin. Han måtte altså flytte, og han slo seg da ned i den lille byen Gotha. Her bodde han med familien, og noen måneder senere tok han imot en lærestol i Wien. Siden den prøyssiske regjering tross alt ikke var interessert i å miste en så berømt matematiker, ga de noen økonomiske innrømmelser som gjorde det mulig for ham å fortsette som før.

Jacobi hadde planlagt å tilbringe universitetsferien med familien, og han var sammen med dem sommeren 1850 i Gotha. Men i januar 1851 fikk han influensa, og før han var over dette, fikk han kopper. Han døde så få dager senere.

1.5 Lejeunne Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ble født 13. februar 1805 i Düren, en prøyssisk by som den gangen var erobret av Napoleons soldater og lå under Frankrike, men nå er tysk igjen. Han døde 5. mai 1859 i Göttingen. Familien kom imidlertid fra den belgiske byen Richelet i nærheten av Liège, og navnet Lejeune Dirichlet betyr rett og slett «Den unge fra Richelet».

Figur 1.5: Lejeune Dirichlet. Wikimedia Commons. Public domain.

28

Som sønn av byens postmester vokste han opp i et godt borgerlig hjem, og allerede da han begynte på gymnasiet i Bonn 12 år gammel, var han en usedvanlig flink og veloppdragen elev som var interessert både i matematikk og i historie. Men etter bare to år i Bonn fant foreldrene ut at den unge Johann Peter heller burde gå i skole hos jesuittene, og han ble dermed innrullert ved jesuittenes gymnasium i Köln. Der fikk han en fremragende lærer i Georg Simon Ohm, som skulle komme til å bli en av de store fysikerne.

Ohm hadde fått en svært god utdannelse i matematikk, og på denne tiden holdt jesuittenes gymnasium i Köln en høy standard. Ohm hadde for øvrig selv protestantisk bakgrunn.

16 år gammel var Dirichlet klar for universitetet, og han bestemte seg for å dra til Paris, som på denne tiden var matematikkens sentrum i Europa. Men han hadde med seg det beste fra Tyskland også, nemlig Johann Carl Friedrich Gauss’ meget innflytelsesrike bok Disquisitiones Arithmeticae.

Denne boken skattet han høyt, og det er skrevet at han hadde den alltid med seg, omtrent som Bibelen.

Han kom til Paris i mai 1822, og etter en dårlig start med et angrep av kopper begynte han studiene der. Han fikk da en rekke helt fremragende lærere, blant dem Fourier, Hachette, Laplace, Lacroix, Legendre og Poisson.

Legendre var på dette tidspunkt pensjonist. Men i 1824 nektet han å stemme for regjeringens kandidat til Vitenskapsakademiet (Institut National), og som et resultat av dette ble han fratatt sin pensjon!

Men Dirichlet må ha brukt tiden godt. I bind 2 forteller vi om at da Niels Henrik Abel ankom Paris 10. juli 1826, var Dirichlet allerede en etablert matematiker i miljøet. 24. oktober skrev Abel dette i et brev hjem til sin lærer Holmboe i Christiania (nåværende Oslo):3 Indtil dette Øyeblikk har jeg kun gjort Bekjentskab med Legendre, Cauchy og Hachette, samt et par mindre Mathematikere men ret flinke Monsieur Saigery, Redakteur af Bulletin des sciences etc. og Herrn Dirichlet en Preusser, som forleden Dag kom bort til mig da han ansaae mig som sin Landsmann. Det er en meget skarpsindig Mathematiker. Han har i Forening med Legendre bevist Umuligheden af at oppløse i hele Tal Ligningen x 5 + y 5 = z 5 og andre smukke Ting.

3 Norges hovedstad figurerer i kildene under ulike navn. I de eldste finner vi navnet Oslo, som ble navnet på rikshovedstaden i 1299. I 1624 blir hovedstaden omdøpt til Christiania, som senere ble fornorsket til Kristiania. Disse to skrivemåtene ble til dels brukt om hverandre. I 1925 fikk byen tilbake navnet Oslo.

29

Det resultatet som Abel forteller om, er et spesialtilfelle av Fermats formodning: Når n ≥ 3 er et naturlig tall, fins det ingen positive hele tall x, y og z slik at x n + y n = z n . Fermat hadde skrevet en bemerkning i randen til sitt eksemplar av Diofantos’ Arithmetica, oversatt til latin av Calude Caspard Bachet: «Jeg har oppdaget et virkelig bemerkelsesverdig bevis for dette, men margen har ikke nok plass for det.» Den generelle setningen motsto alle forsøk på bevis helt frem til Andrew Wiles lyktes i å fullføre sitt bevis i 1994. Fermat selv hadde bevis for tilfellene n = 3 og 4, men ingen trodde lenger at han kjente et riktig generelt bevis. Tilfellet n = 4 var kjent av allerede av den arabiske matematikeren Kamal al-Din al-Farisi, 1260–1320. På Dirichlets tid var tilfellet n = 5 en nyhet som vakte oppmerksomhet, og Dirichlet hadde bevist en del av dette tilfellet. Det er nemlig klart at dersom x, y, x er løsninger av ligningen, da kan ikke alle tre tallene x 5 , y 5 , z 5 være odde, og derfor heller ikke alle x, y, z være det. Videre må ett av tallene være delelig med 5, for ellers ville Fermats «lille Ssats» gi at alle femtepotensene er kongruente med 1 modulo 5, og altså gi selvmotsigelsen 1 = 0. Dirichlet lyktes i å utelukke muligheten at det jevne tallet er delelig med 5. Dermed gjensto det å utelukke at ett av tallene er delelig med 5 og et annet er delelig med 2.

Dirichlet skrev sitt bidrag ned i en artikkel som han presenterte for Vitenskapsakademiet, og det var Legendre som fikk oppdraget med å kontrollere arbeidet, til å være « referee». Da han leste arbeidet, greide han å fullføre beviset ved å utelukke den siste gjenstående muligheten også. Senere utvidet Dirichlet sitt eget bevis slik at metoden ga påstanden i begge tilfeller, dessuten beviste han også Fermats formodning for tilfellet n = 14.

I bind 2 forteller vi om kretsen rundt baron Ferrusac, som hadde et fremragende bibliotek og utga et tidsskrift der den naturvitenskapelige delen ble redigert av Jaques Frédérique Saigery. I dette miljøet vanket både Abel og Dirichlet, dessuten deres felles venn August Leopold Crelle, som akkurat hadde startet et matematisk tidsskrift i Berlin som kom til å få stor betydning. I dette miljøet opererte også François-Vincent Raspail, vitenskapsmann og radikal politiker. Det er ikke uten grunn at en av hovedavenyene i Paris er oppkalt etter ham.

Fra 1823 hadde Dirichlet en stilling som huslærer hos en av Napoleons nå pensjonerte generaler, der han ble godt betalt og behandlet som et familiemedlem. Men senhøstes 1825 døde generalen, og Dirichlet fant at han måtte returnere til Tyskland. Den mektige Alexander von Humboldt ga ham de beste anbefalinger, men siden han ikke hadde tysk doktorgrad, og derfor ikke kunne få sin habilitasjon, støtte han på vanskeligheter. Dessuten kunne han ikke latin. Disse vanskelighetene ble etter hvert overvunnet, og i 1827 30

fikk han en stilling i Breslau, deretter ansettelse ved krigsskolen i Berlin og ved Universitetet i Berlin fra 1828. Det er sannsynlig at Stubhaug har rett når han antar at Dirichlet her, uten å være klar over det, var den som «i første omgang knuste Abels forhåpninger om en stilling». For Crelle hadde etter alt å dømme arbeidet for å skaffe Abel akkurat denne stillingen i Berlin. Men Dirichlet var jo også en meget lovende matematiker og en god venn som hadde møtt vanskeligheter.

I 1831 ble Dirichlet medlem av Vitenskapsakademiet i Berlin, og da han også fikk en bedre stilling ved universitetet, kunne han gifte seg med Rebecca Mendelsohn, en søster av Felix Mendelsohn.

Dirichlet beviste et viktig resultat i 1837, i dag kjent som Dirichlets teorem. Det er at dersom a og b er hele tall uten noen felles faktor, da finnes det uendelig mange primtall av formen p = an + b, der n er et naturlig tall.

Gauss hadde fremsatt dette som en formodning. Beviset for dette resultatet bygger på Eulers produktidentitet, se bind 2, altså [23], side 336. Dessuten støttet Dirichlet seg på den nye Fourier-analysen, som han først måtte legge på et stringent grunnlag.

I 1837 formulerte Dirichlet den presise definisjonen på en funksjon som vi i dag tar som en selvfølge: Dersom en variabel y står i et slikt forhold til en variabel x, at hver gang en numerisk verdi er tilordnet x, da er der en regel som tilordner en entydig bestemt verdi til y, da sies y å være en funksjon av x.

Et annet viktig område som er knyttet til Dirichlets navn, er fenomenene rundt det såkalte Dirichlets prinsipp. Vi skal ta med litt om dette i seksjon 1.6.

Dirichlet har hatt en enorm betydning, ikke bare gjennom sine egne oppdagelser, men også gjennom sine elever, vi kan nevne Riemann og Kronecker. En nær venn var dessuten Carl Gustav Jacobi.

Da Gauss døde i 1855, ble det Dirichlet som fikk tilbudet om å bli hans etterfølger i Göttingen. Men allerede i 1859 ble han syk under en reise til Sveits, han fikk et hjerteinfarkt under et opphold i Montreux. Han døde samme år i Göttingen.

1.6 Dirichletproblemet og Dirichlets prinsipp Dirichletproblemet og det tilhørende prinsippet gjelder mer generelt, men vi skal først og fremst behandle tilfellet med tre variabler x, y og z. Vi minner 31

først om noen betegnelser.

Dersom v = (v1 , v2 , v3 ) er en vektorfunksjon (vektorfelt) i de tre variablene, setter vi ∂v1 ∂v2 ∂v3 div(v) = + + . ∂x ∂y ∂z div(v) betegnes gjerne med ∇(v).

Dersom videre ϕ er en partielt deriverbar funksjon av x, y, z, setter vi grad(ϕ) = (

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , ). ∂x ∂y ∂z

grad betegnes også med ∇.

Når v er en vektorfunksjon, skriver en gjerne ∇ · v i stedet for bare ∇(v) slik at disse to måtene å bruke differensialoperatoren ∇ på ikke kommer i konflikt med hverandre.

Med denne differensialoperatoren kan vi skrive div · grad = ∇2 =

∂2 ∂2 ∂2 + + , ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

tilsvarende defineres ∇3 , ∇4 og så videre.

Laplaces differensialligning er ligningen ∇2 (ϕ) = 0, eller

∂2 ϕ ∂2 ϕ ∂2 ϕ + + = 0. ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Løsninger av denne ligningen kalles harmoniske funksjoner. Ligningen ∇2 (ϕ) = f kalles Laplaces ligning.

Med ligninger av denne typen er det viktig å kunne finne løsninger som oppfyller visse tilleggsbetingelser. En klasse av slike betingelser kaller vi randkrav.

Det første randkravet for Laplaces ligning kalles Dirichlet-problemet. Vi har gitt et område i rommet med en rand, for eksempel en kule, der randen da er kuleflaten som omslutter dette området. Eller vi kan tenke oss en ellipsoide eller en vridd og deformert variant. I alle fall, vi kaller området for D og randen for ∂D. På randen ∂D er det gitt en kontinuerlig funksjon g . Vi 32

ønsker nå en løsning ϕ av Laplaces ligning, som er kontinuerlig på D ∪ ∂D og faller sammen med g på ∂D. Et annet randverdiproblem kalles Neumann-problemet, etter den tyske matematikeren Carl Gottfried Neumann.

I Neumann problemet er randkravet ikke som i Dirichlet-problemet at løsningen selv skal falle sammen med en gitt funksjon g på randen ∂D, men at den deriverte av funksjonen skal falle sammen med en gitt funksjon g på ∂D. Med den deriverte menes det her den retningsderiverte i retningen langs normalen til flaten ∂D. Dersom n er enhetsvektoren langs normalen i punktet x = (x1 , x2 , x3 ), da er den retningsderiverte langs n definert som ∇n ϕ(x) = l i mh→0

ϕ(x + hn) − ϕ(x) h

altså ∇n ϕ(x) = ∇ϕ(x) · n.

Et tredje og vanskeligere problem er Cauchy-problemet, der randkravet er en kombinasjon av de to randkravene fra Dirichlet- og Neumann-problemene: Da er det en lineærkombinasjon av funksjonen og den deriverte som skal anta foreskrevne verdier på randen ∂D, nemlig en funksjon ∇n ϕ(x) + αϕ der α er en konstant.

Betegnelsen Dirichlets prinsipp ble først brukt av Riemann, som vi forteller om i seksjon 3.47. Dette prinsippet sier følgende: Vi betrakter mengden F av funksjoner ψ(x) som er C 1 på området D og dets rand ∂D, og som dessuten oppfyller kravet om at de faller sammen med funksjonen g på randen ∂D.4 For alle disse funksjonene ψ betrakter vi størrelsen DI(ψ), som vi skal kalle Dirichlet-integralet, og som er definert ved 5 Z DI(ψ) =

D

|∇(ψ)|2 dV =

Z ( D

∂ψ 2 ∂ψ 2 ∂ψ 2 + + )dV. ∂x ∂y ∂z

Dirichlets prinsipp sier at da er alltid DI(ϕ) ≤ DI(ψ).

4C 1 betyr at funksjonen er en gang deriverbar i alle de variable, med kontinuerlige partielle deriverte.

5 Dette navnet brukes også om andre integraler.

33

Dirichlet selv beviste ikke dette prinsippet matematisk, men kom frem til det ved en fysisk betraktning: En kan tolke Dirichlet-integralet som energien i et system, for eksempel et elektrisk potensial oppstått ved en gitt fordeling av elektrisk ladning på randen ∂D. Da sier Dirichlets prinsipp at stabil likevekt svarer til at energien er minimal.

Men det gjenstår å bevise at dette minimum virkelig oppnås.

Riemann tok det for gitt at minimum ville bli antatt, altså at en likevekt ville innstille seg. Weierstrass ga imidlertid et moteksempel, og det var Hilbert som til slutt ga den endelige begrunnelse for Riemanns bruk av Dirichlets prinsipp.

Vi kan illustrere at en stabil likevekt av et system svarer til at energien i systemet er minimal6 , mens maksimal energi gir en ustabil likevektstilstand som ikke kan vedvare. Da tenker vi oss at systemet er en glatt flate, der en har små topper og små dalsøkk. En kule ligger på flaten. Vi tenker oss så at denne flaten utsettes for en serie av små og store “jordskjelv”, der kulen beveger seg og ved store skjelv kan komme til å hoppe over en topp og trille ned i en “nabodal”. Se figur 1.6, til venstre.

Figur 1.6: Til venstre: En kule triller fra dal til dal i et landskap med jordskjelv. I midten: Stabil likevekt. Til høyre: ustabil likevekt.

Når kulen slenges opp til et høyere punkt, tilføres systemet energi av jordskjelvet. Når den så ruller nedoverbakke, minker systemets energi. Dersom systemet har maksimal energi, ligger kulen på en topp. Da skal det bare et aldri så lite skjelv til før kulen triller utfor, og energien avtar. Dermed svarer maksimal energi ikke til en stabil likevekt som kan vedvare. Dette ser vi til høyre på figuren. Er derimot energien minimal, da vil en liten rystelse bare føre til at kulen ruller et stykke oppover bakke og deretter finner tilbake til utgangspunktet. Så det er en stabil likevekt. Vi ser dette i midten.

Man kan forholdsvis forholdsvis lett bevise Dirichlets teorem ved hjelp 6 Eller rettere sagt, energien ligger på et lokalt minimum.

34

av dagens kalkulus, eller mer presist, differensialanalyse. Det vi trenger, er det såkalte divergensteoremet som også kalles Gauss’ Teorem: Teorem 1.6.1 Dersom v er et glatt vektorfelt og D er som ovenfor, da gjelder formelen Z Z D

div(v)dV =

∂D

v · ndS

der n er den normalen til flaten S = ∂D som peker utover.

For den presise formuleringen av dette teoremet og dets bevis, samt hvorledes en så løser både Dirichlet- og Neumann- problemene, viser vi til læreboken [1], seksjon 16.4.

1.7 August Ferdinand Möbius August Ferdinand Möbius ble født 1790 i Schulpforta i Tyskland og døde 1868 i Leipzig.

Hans mor underviste ham hjemme til han var 13 år gammel. Da han begynte på gymnaset i Schulpforta i 1803, var han blitt interessert i matematikk, men familien foretrakk at han arbeidet mot et jusstudium.

Han begynte derfor på et slikt studium i Leipzig, i 1809, men det varte ikke lenge før han skiftet over til matematikk, astronomi og fysikk. Her fikk han en lærer i astronomi, som i ettertiden også er kjent som en kompetent matematiker: Karl Mollweide. Mollweides viktigste matematiske bidrag var oppdagelsen av visse trigonometriske relasjoner og studiet av arealbevarende kartprojeksjoner.

I 1813 dro Möbius til Göttingen, der han begynte sine studier under Carl Friedrich Gauss, som vi forteller om i bind 2, altså [23]. Gauss var ikke bare sin tids ledende matematiker, han var også astronom og direktør for det viktige astronomiske observatoriet i Göttingen. Möbius fortsatte sine studier i Halle, der han studerte under en annen matematiker og astronom, nemlig Johann Pfaff, som hadde vært en av Gauss’ lærere. Han fortsatte hovedsakelig å studere matematikk også her.

Men hans lavere doktorgradsarbeid fra 1815 handlet om et tema fra astronomien, nemlig okultasjon av fiksstjerner. Avhandlingen til hans høyere doktorgrad, habilitasjon, fulgte forholdsvis raskt etterpå. Den handlet imidlertid om et matematisk tema, nemlig om trigonometriske ligninger. Det er ligninger som involverer trigonometriske funksjoner i den ukjente størrelsen, altså ikke helt uten sammenheng med astronomien og hans lærer Mollweides arbeid.

35

Mollweide hadde nå fått et professorat i matematikk i Leipzig. Ved sin habilitasjon ble Möbius såkalt ekstraordinær professor, som egentlig bare ga rett til å forelese for studenter uten betaling. Möbius søkte nå om et ordinært professorat i astronomi, som selvfølgelig var en langt bedre stilling.

Men denne forfremmelsen lot vente på seg.

Han avslo tilbud fra andre universiteter utenfor Sachsen, og det må ha vært en bitter skuffelse for ham at da Mollweide døde i 1825, ble en annen søker foretrukket som hans lærers etterfølger. Det var først i 1844, da universitetet i Jena ga ham et tilbud, at Leipzig forfremmet ham til ordinær professor i astronomi.

En av grunnene til at Möbius var motvillig til å forlate Leipzig, selv for å motta en bedre universitetsstilling, kan ha vært at han tidlig ble knyttet til observatoriet i byen.

Først var han bare observatør, men fra 1818 til 1821 ledet han en prosjekt for gjenoppbygning av observatoriet. I 1848 ble han observatoriets direktør.

1.8 Gabriel Lamé og Émile Clapeyron Gabriel Lamé ble født 1795 i Tours, Frankrike, og døde 1870 i Paris.Han var student ved École Polytechnique, der han begynte sine studier i 1813 og fullførte i 1817. Allerede som ung student skrev Lamé matematiske artikler på høyt nivå, han hadde sin første publikasjon i Mémoire sur les intersections des lignes et des surfaces i Annales de mathématiques pures et appliquées, kjent som Gergonne’s Journal, i 1816–17. Etter eksamen fra École Polytechnique studerte Lamé ingeniørfag ved École des Mines i Paris, der han tok eksamen i 1820. Under studiene der publiserte et annet arbeid, med en metode han hadde utviklet for beregning av vinkler mellom sidene i krystaller.

I 1820 dro Lamé til Russland sammen med sin kollega Émile Clapeyron.

Bakgrunnen for dette var at Alexander I, som var tsar 1801–1825, hadde sluttet at den franske revolusjonen og de etterfølgende begivenheter i Frankrike viste at vitenskapelig kunnskap var svært viktig for militær teknikk og industriell utvikling. Han følte at om Russland skulle bli mektig, måtte de følge Europas eksempel. Han oppmuntret derfor europeiske lærere til å komme til Russland og etablere kontakter mellom Russland og resten av Europa. Ut fra dette sendte han en forespørsel til Frankrike, som resulterte i at Lamé og Clapeyron ble sendt til St. Petersburg.

Lamé ble utnevnt til professor og ingeniør ved Institut et Corps du Genie des Voies de Communication i St. Petersburg. På denne tiden foregikk mye i 36

dannede kretser på fransk i Russland.

Clapeyron og Lamé kom til å bli værende i Russland i ti år. I denne tiden samarbeidet de vitenskapelig og publiserte flere artikler om matematikk og ingeniørfag i vitenskapelige tidsskrift. Etter 1830 dro de tilbake til Frankrike, den politiske utviklingen i Russland gjorde deres stilling der mer usikker.

I Frankrike var bygging av jernbaner i ferd med å komme i gang, men de tidlige prosjektene var ikke økonomisk vellykkede. Men disse to så store muligheter på dette området og satte i gang med å studere ingeniørfaglige problemer i tilknytning til jernbane utvikling og -drift.

Clapeyron foreslo en jernbanelinje fra Paris til St. Germain og søkte finansiering av prosjektet. Og i 1835 ble linjen fra Paris til St. Germain vedtatt, og Clapeyron og Lamé fikk ansvar for prosjektet. Men Lamé fikk tilbud om en lærestol i fysikk ved École Polytechnique like før jernbaneprosjektet kom i gang, og Clapeyron fikk prosjektledelsen alene.

I 1836 dro Clapeyron til England, der han arbeidet med konstruksjon av spesialiserte damplokomotiver. Clapeyron kontaktet Stevenson, den mest berømte av lokomotivbyggerne. Men Stevenson fant Clapeyrons konsept for vanskelig, og avslo en kontrakt. Clapeyron kontaktet da firmaet Sharp, Roberts, and Company. Dette firmaet spesialiserte seg på lokomotiver med deler som kunne skiftes ut. I England fortsatte han senere denne virksomheten, som han utvidet til også å omfatte metallbroer.

I 1844 ble Clapeyron utnevnt til professor ved École des Ponts et Chaussées, og i 1848, ble han innvalgt i Académie de Sciences. Her fikk han mange viktige oppgaver, blant annet som medlem av komiteen som kontrollerte konstruksjonen av Suezkanalen og en komité som utredet bruk av dampmaskiner i marinen.

Til å begynne med var det ikke så lett for Lamé i Russland, men etter hvert ble det bedre og hans tid i Russland ble meget produktiv. Han foreleste om analyse, fysikk, mekanikk, kjemi og emner fra ingeniørfag. Han publiserte artikler både i russiske og franske tidsskrifter i løpet av sine 12 år i Russland, noen av dem sammen med Clapeyron. Blant tidsskriftene de publiserte i finner vi Journal des voies de communications, Journal du genie civil, Bulletin des sciences mathématiques, Receuil des savants etrangers, og Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), den siste etter 1826 da dette tidsskriftet startet opp.

I 1832 returnerte Lamé til Paris. Her var han aktiv i et ingeniørfirma, og samme år tok han imot en lærestol i fysikk. I 1836 ble han utnevnt til sjefsingeniør for gruvedrift, og han var også aktiv da jernbanen fra Paris til Versailles og fra Paris til St. Germain ble bygget, denne ble åpnet i 1837.

37

Lamé ble innvalgt i Académie des Sciences i 1843 da Louis Puissant døde, og Lamé etterfulgte ham i geometriseksjonen i Akademiet. Året etter sluttet han i sitt professorat i fysikk og ble i stedet professor i matematisk fysikk ved Sorbonne.

Han arbeidet med mange ulike emner. Ofte var det slik at problemer han støtte på i ulike ingeniørprosjekter, ledet ham til å studere matematiske problemstillinger. Dette gjaldt for eksempel hans arbeid med stabilitet av hvelv og konstruksjon av hengebroer. Dette ledet ham til å arbeide med elastisitet. Lamé kom med dette som utgangspunkt til å gi vesentlige bidrag til elastisitetsteori. Et annet eksempel er hans arbeid med varmeledning, som ledet til hans generelle teori for krumme koordinatsystemer.

Dette er koordinatsystemer for det euklidske rom, der koordinatlinjene kan være krumme. Disse koordinatene kan utledes fra vanlige koordinater ved å bruke transformasjoner som er lokalt en-entydige i hvert punkt. Slik kan en gå frem og tilbake mellom vanlige euklidske koordinater og de krumme koordinatene.

De vanligste eksemplene på krumme koordinatsystemer i det tredimensjonale rommet R3 er kartesiske, sylinderiske og sfæriske polarkoordinater.

En kartesisk koordinatflate er et plan, z = 0 definerer x, y− planet. I samme rom er koordinatflaten r = 1 i sfæriske koordinater flaten gitt ved enhetskulen. Formalismen for krumme koordinatsystemer gir en generell beskrivelse av alle standard koordinatsystemer.

Avhengig av situasjonen kan krumme koordinatsystemer være enklere å arbeide med enn det vanlige kartesiske systemet. For eksempel er et fysisk problem med sfærisk symmetri i R3 , så som partikler som beveger seg under påvirkning av en sentral kraft, eller planeter i bane om en sentral stjerne, vanligvis enklere å behandle i sfæriske enn i kartesiske koordinater.

Likeledes kan ligninger med randkrav som følger koordinatflater for et krumt koordinatsystem, være lettere å løse i dette koordinatsystemet. I Lamés hender ble krumme koordinatsystemer et nyttig redskap. Han brukte dem til å transformere Laplaces ligning over i elliptiske koordinatsystemer og så separere de variable og deretter løse ligningen i det nye koordinatsystemet.

Karakteristisk for Lamés arbeid var at han beveget seg fra ett emne til et annet, med en logikk som ofte ledet til å studere problemer svært fjernt fra utgangspunktet. Dette skjedde med krumme koordinater da han ble ledet til å studere ligningen (x/a)n + (y/b)n + (z/c)n = 0, som han på ikke-homogen form skrev 38

(x/a)n + (y/b)n = 1, som med a = b blir xn + y n = an.

Så han ble ledet til Fermats «Siste Teorem».

Selv om Lamé var en anvendt matematiker, ga han et vesentlig bidrag til mysteriet med Fermat’s Siste Teorem. Han besvarte problemet for n = 7.

Faktisk trodde han selv at han hadde løst hele problemet, men dette viste seg ikke å være riktig.

Lamé gjorde også viktig arbeid i differensialgeometri. Han viste dessuten, i en annen artikkel om tallteori, at antall divisjoner man må utføre i Euklids algoritme, aldri overstiger fem ganger antall sifre i det minste av tallene.

Lamé ble ansett som den ledende franske matematiker i sin tid av Gauss, og mange med ham. Underlig nok var hans anseelse høyere utenfor Frankrike enn innenfor.

1.9 Hermann Günter Grassmann Grassmann ble født 1809 i Stettin, i daværende Vorpommern som den gangen var en del av Tyskland men nå er polsk, og døde i samme by i 1877. Hermann Grassmann var nummer 3 av 12 barn av Justus Günter Grassmann og Johanne Luise Friederike Medenwald, en prestedatter fra Klein-Schönfeld.

Også Hermanns far var ordinert, men ble i stedet lærer på gymnasiet i Stettin med matematikk og fysikk som fag. Han var også aktiv som lærebokforfatter og drev forskning innen krystallografi. Hermanns bror Robert ble også matematiker, i ettertiden mindre kjent enn Hermann, men de to samarbeidet om flere prosjekter i matematikken.

Hermann Grassmann imponerte ikke som gymnasiast, og hans far skal ha ment at gutten burde satse på en jobb som håndverker eller gartner. Men etter hvert gjorde han det bedre på skolen, og da han tok opptakseksamen til prøyssiske universiteter gjorde han det riktig bra. Fra 1827 begynte han som student ved Universitetet i Berlin. Som sin far og bestefar studerte han teologi og dessuten klassiske språk, filosofi og litteratur. Noe matematikk eller fysikk ser det ikke ut til at han studerte.

Likevel, da han kom hjem igjen til Stettin i 1834 etter fullførte studier i Berlin, var det matematikken som interesserte ham mest. Han bestemte seg 39

Figur 1.7: Hermann Günter Grassmann. Wikimedia Commons. Public domain. nå for å følge i farens fotspor og ikke bli prest, men gymnaslærer i matematikk. Etter å ha arbeidet i ett år med matematikken, reiste han igjen til Berlin for å ta den nødvendige eksamenen og bli godkjent som matematikklærer. Men det gikk ikke helt etter planen, for han gjorde det ikke spesielt godt på denne eksamenen. Imidlertid ble han godkjent på et lavere nivå.

Våren 1832 fikk han derfor jobb på gymnaset i Stettin som assistent. Det var først i 1840 at han oppnådde kompetanse som en fullverdig matematikklærer!

Hans matematiske uttrykksform ble oppfattet som uklar, og den tids matematikere hadde vanskeligheter med å forstå ham. Dette var noe han kom til å slite med gjennom hele sin karriere, slik at han i sin levetid faktisk fikk mer anerkjennelse som lingvist enn som matematiker.

Selv om Grassmanns lærebøker heller ikke ble særlig vellykkede i hans tid, fikk han etter hvert en viss anerkjennelse. I 1842 ble han fullverdig lektor ved Friedrich Wilhelm-gymnaset i Stettin, fem år senere ble han forfremmet til Oberlehrer eller hovedlærer.

Grassmann begynte nå på sin matematiske forskning, som skulle lede 40

til vesentlige oppdagelser av stor betydning for matematikkens utvikling.

Dette skrev han ned i en avhandling i 1844, som er blitt karakterisert som et mesterverk. Tittelen på avhandlingen er «Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik», eller Lineær utvidelsesteori, en ny gren av matematikken.

Begynnelsen til dette arbeidet var at Grassmann hadde skrevet en avhandling om tidevann i 1840, som et ledd i strevet med å bli anerkjent som en kompetent matematikklærer. Denne avhandlingen ble ikke publisert da, den ble offentliggjort først i 1911. Men avhandlingen inneholder det meste av de begreper som Grassmann utviklet i sin «Ausdehnungslehre». Mange av anvendelsene på fysikk kom imidlertid ut i 1877, det siste året Grassmann levde, i en artikkel i Mathematische Annalen. Saken er at Grassmann fant et nytt synspunkt på matematisk analyse, eller kalkulus som vi mer og mer sier på norsk, som gjorde det mulig å anvende deler av Pierre-Simon Laplaces verk Traité de Mécanique céleste om himmellegemenes mekanikk på sitt studium av tidevann. Dette førte til den tidligste matematiske behandling av analyse i et n-dimensjonalt rom der n > 3.

Hans studie av tidevann, Theorie der Ebbe und Flut, ble en lang avhandling på 200 sider og inneholdt en analyse basert på vektorfunksjoner i høyere dimensjoner, med alle de moderne operasjonene vi tar som en selvfølge i dag. Avhandlingen ble akseptert av eksamenskommisjonen, men disse herrene forsto ikke på noen måte rekkevidden av de ideene som Grassmann satte frem. Men arbeidet med dette stoffet hadde overbevist ham selv om at hans oppdagelser var viktige, og han kom nå til å arbeide videre med dem gjennom hele sin karriere.

Den moderne definisjonen av et lineært rom, eller et vektorrom, ble først allment kjent blant matematikere på 1920-tallet da Hermann Weyl og andre ga formelle definisjoner. Men definisjonen var blitt gitt allerede 30 år tidligere av Giuseppe Peano, se seksjon 4.2. Han var vel kjent med Grassmanns avhandling. Grassmann ga imidlertid ingen formell definisjon på dette tidlige tidspunkt, for matematikernes begrepsapparat var ikke tilstrekkelig utviklet da til at dette var mulig for ham.

Grassmann forklarte sine ideer på en generell, filosofisk måte. Når geometrien var uttrykt i den algebraiske form som han argumenterte for, viste han at det ikke lenger var noen grunn til å holde på antall romlige dimensjoner som 3, men at antall dimensjoner kunne være hva som helst, ja til og med uendelig. Det var tanker som den gangen Grassmann skrev sitt verk, var langt forut for sin tid! Vi skal gå nærmere inn på dette profetiske arbeidet i neste avsnitt.

41

Men, som sagt, matematikerne på hans tid forsto ikke hans ideer. For eksempel dro Grassmann i 1844 til Möbius, som vi har fortalt om i seksjon 1.7. Grassmann prøvde å få Möbius til å skrive en anmeldelse av hans mesterverk, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik.

Dessverre forsto ikke Möbius arbeidet, selv om det inneholdt mange resultater i samme retning som Möbius selv hadde publisert tidligere. Så denne innflytelsesrike matematikeren avslo å skrive en anmeldelse. Boken ble ignorert, men Grassmann arbeidet ufortrødent videre med sine ideer og anvendte dem på en rekke helt forskjellige områder. I 1845 publiserte han sin nye teori om elektrodynamikk, og i tiden som fulgte kom en lang rekke av arbeider om kurver og flater som strakte seg over de neste ti årene. Det er kanskje riktig å si at Grassmann fikk mest anerkjennelse i sin ettertid for disse arbeidene, som altså ligger innen fagfeltet algebraisk geometri. I 1846 publiserte han et arbeid som samtiden ga ham en viss anerkjennelse for. Dette var om et problem opprinnelig foreslått av Leibniz om geometrisk analyse.

Etter forslag fra Möbius sendte Grassmann dette arbeidet inn til en konkurranse om løsning av Leibniz’ problem. Grassmann vant prisen, men han hadde levert den eneste besvarelsen! Dessuten satt Möbius selv i bedømmelseskomitéen, og han var ikke udelt positiv. Han kritiserte Grassmann for å innføre så abstrakte ideer uten en intuitiv knagg å henge dem på.

Grassmann følte seg med rette nokså oppgitt over situasjonen han var i: Her produserte han høyst originale og nyskapende arbeider, men han fikk ikke noe gjennombrudd blant matematikerne i sin samtid, og han underviste fortsatt i elementær matematikk i den videregående skolen!

Dessverre skrev han så til det prøyssiske utdanningsministerium og søkte om å bli vurdert for en stilling som universitetsprofessor. Ministeriet ba Kummer om en uttalelse, men Kummer ga en så negativ vurdering at det for alltid lukket dørene til et professorat ved et universitet for Grassmann. Vi forteller om Kummer i seksjon 2.1.

Grassmann giftet seg i 1849 med Therese Knappe, de fikk mange barn hvorav syv levde opp. En av dem var sønnen Hermann Ernst Grassmann, som tok doktorgraden i 1893 på avhandlingen Anwendung der Ausdehnungslehre auf die Allgemeine Theorie der Raumkurven und Krummen Flächen, fra Universitetet i Halle-Wittenberg. Han ble professor i Giessen, og hans arbeid bidro til at farens ideer langsomt ble forstått og anerkjent. Men for å gå litt tilbake i tiden igjen, så døde Grassmanns far Justus i 1852, og da ble Grassmann utnevnt til farens etterfølger. Nå fikk han en professortittel, selv om han altså fortsatt var gymnaslærer.

Ved siden av matematikken og hans andre store lidenskap lingvistikken 42

arbeidet Grassmann med fysikk og fargelære. I 1853 publiserte han en teori for blanding av farger som sto i motsetning til Helmholtz’ teori. Kontroverser omkring fargelæren har det vært flere av i tiden etter Newton. Men dette er et tema vi ikke skal forfølge her.

Grassmann fortsatte med sine matematiske ideer. Han bestemte seg for å ikke skrive et bind 2 til sin Ausdehnungslehre, men i stedet skrive det hele om fra grunnen av i et forsøk på endelig å få sine matematikerkolleger til å forstå denne nye matematikken. Resultatet ble Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet. Verket kom ut i 1862, og i dag kan det leses som en utmerket moderne lærebok! Men hans samtidige matematikere forsto fortsatt lite av hans banebrytende arbeider.

Men Grassmann selv fikk likevel den anerkjennelsen som han så gjerne ville hatt for matematikken sin, men på et helt annet fagfelt. Han hadde en annen stor interesse som forsker, nemlig lingvistikken. Her hadde han forsket på to gamle utdødde språk, sanskrit og gotisk. Den fremherskende oppfatningen blant lingvistene var, og er vel fortsatt, at sanskrit er utgangspunkt for dagens indo-europeiske språkfamilie.

Grassmann kom imidlertid frem til at det finnes indikasjoner på at gotisk er eldre enn sanskrit, og at det derfor kan antas at det er gotisk som et opphavet til de indo-europeiske språkene! Disse arbeidene fikk en adskillig bedre mottagelse enn hans matematikk, og han ble nå innvalgt i den prestisjetunge American Oriental Society, og han ble æresdoktor i Tübingen.

I de siste leveårene vendte han imidlertid tilbake til matematikken og forberedte en ny utgave av sin Ausdehnungslehre. Denne kom ut etter hans død.

Etter hvert ble Grassmanns arbeider kjent, ikke minst gjennom bøker utgitt av to av hans sønner. Langsomt ble hans arbeider tatt opp av andre, og betydelige matematikere som Élie Cartan, Hankel, Peano, Whitehead og Klein tok dem i bruk. I dag er Grassmanns arbeider anerkjent som svært betydelige og banebrytende.

1.10 Ludwig Schläfli Ludwig Schläfli ble født 1814 i Bern, som er hovedstaden i Sveits. Han døde samme sted i 1895. Hans far var håndverker, og han hadde nok foretrukket at sønnen ville følge i farens fotspor, men det ble tidlig klart at den unge Ludwig var usedvanlig klosset med hendene, til gjengjeld hadde han et minst like usedvanlig talent for matematikk. Så verden tapte en middelmådig håndverker, men vant en fremragende og banebrytende matematiker. Det ble 43

faktisk tidlig klart at den unge Ludwig hadde gode anlegg for matematikk, og han gjorde det så godt på skolen at han ble tildelt et stipendium til gymnaset i Bern, der han begynte i 1829.

Schläfli var altså 15 år gammel da han begynte på gymnaset, som i Norge svarer til videregående skole. Men til tross for sin unge alder var han i full gang med å studere forholdsvis avanserte emner i matematikken, nemlig differensialanalyse fra en berømt bok på denne tiden, Mathematische Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen, av en berømt matematisk pedagog fra denne tiden ved navn Abraham Gotthelf Kästner. Men i 1831, i en alder av 17 år, sluttet han på gymnaset og tok fatt på et studium av teologi, ved akademiet i Bern. Men i 1834 ble Universitetet i Bern grunnlagt, og den teologiske skolen, som var blitt oppretter i 1528, inkorporert i universitetet.

Så nå ble Schläfli automatisk en universitetsstudent. Teologistudiet fullførte han i 1836, og Schläfli ble nå ansatt som lærer i matematikk og naturfag ved en « Burgerschule» i Thun, siden han hadde besluttet å ikke forfølge en teologisk karriere. Burgerschule svarte muligens til realskole eller handelsskole i Norge.

Schläfli arbeidet nå i ti år som lærer i Thun. I denne tiden studerte han matematikk i sin fritid, og han dro en dag i uken til Bern for å følge forelesninger ved universitetet der.

Nå kommer et tilsynelatende blindspor til nytte, nemlig hans tidlige teologistudium. Han hadde nemlig opparbeidet seg solide språkkunnskaper, over et bredt spektrum: Han behersket ikke bare sanskritt og Rigveda, den eldste av vedaene, men han behersket også de moderne språkene fransk og italiensk flytende. Da han så møtte Steiner i Bern i 1843, ble Steiner imponert over hans matematiske og språklige kunnskaper. Senere samme år reiste Steiner, Jacobi og Dirichlet til Roma, og de inviterte da Schläfli til å slå følge som tolk.

Schläfli lærte mye fra samværet med disse tre ledende matematikerne.

Dirichlet ga ham for eksempel daglig undervisning i tallteori. Oppholdet i Roma varte i et halvt år, og i løpet av denne tiden oversatte Schläfli noen av vennenes arbeider til italiensk.

Etter oppholdet i Italia gjenopptok Schläfli sin undervisning i Thun, men han fortsatte også sin korrespondanse med Steiner til 1856. Han fikk nå tilbud om å bli Privatdozent ved Universitetet i Bern i 1847, og han begynte i denne stillingen året etter. Men lønnen han fikk var temmelig sparsom, og han skrev til venner og klaget over hvordan han måtte klare seg med et stipendium på 400 sveitserfranc og måtte gi avkall på mye.

Han måtte klare seg med denne magre lønnen til 1853, da han fikk status 44

som « ekstraordinær professor». Dette er en tittel som ble en del brukt i tysktalende land, lønnen var en god del lavere enn for en vanlig professor, for en ordinær professor. Schläfli fikk litt bedre økonomi, men det var først i 1868, da han i en alder av 54 år ble utnevnt til ordinær professor i matematikk i Bern, at han ble i stand til å leve uten økonomiske problemer.

Schläfli arbeidet nå på to vitenskapelige prosjekter. Det ene av disse var om eliminasjonsteori, som han publiserte under en tittel som på norsk ville lyde slik: Om resultanten til et system av flere algebraiske ligninger. Ideen bak dette er elegant og gjennomskuelig, i sin enkleste form dreier det seg om følgende: Vi betrakter to polynomer i X med reelle eller komplekse tall som koeffisienter f (X ) = a0 + a1 X + · · · + am X m , g (X ) = b0 + b1 X + · · · + bn X n .

Da har vi følgende resultat: Teorem 1.10.1 Polynomene f (X ) og g (X ) har en felles ikke-konstant faktor h(X ) hvis og bare hvis følgende matrise ikke er invertibel: 

a0

      R( f , g ) =   b  0    

a1 a0

··· ··· ···

b1 b0

··· ··· ···



am am−1

··· am · · ·

a0

··· bn bn−1

··· bn · · ·

b0

···

am

            

bn

Her har matrisen n rekker av a-er og m rekker av b-er, så matrisen har formatet (m + n) × (m + n).

Eksempel 1.10.1 Vi betrakter de to polynomene f (X ) = a0 + a1 X + a2 X 2 , g (X ) = b0 + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3 .

Da blir 45

    R( f , g ) =   

a0 0 0 b0 0

a1 a0 0 b1 b0

a2 a1 a0 b2 b1

0 a2 a1 b3 b2

0 0 a2 0 b3

      

Bevis for teoremet: Anta først at polynomene har en felles ikke-konstant faktor. Siden polynomene har komplekse koeffisienter, vil de da ha en felles rot, si x1 . Vi har dermed følgende:

a0 +

b0 +

a1 x1 + a0 x1 +

b1 x1 + b0 x1 +

··· a1 x12 ··· a0 x1n−1 ··· b1 x12 ··· b0 x1m−1

+ + ··· + + + ··· +

am x1m ···

+

am x1m+1

a1 x1n bn x1n ···

+

···

+

bn x1n+1

b1 x1m

+

···

=0 =0 +

am x1m+n−1

=0 =0 =0

+

bn x1m+n−1

=0

Vi ser altså at det homogene lineære systemet med denne (m + n) × (m + n) matrisen har en løsning forskjellig fra nullvektoren, determinanten til matrisen er derfor null.

Anta omvendt at matrisen ikke er invertibel, altså at determinanten er null. Vi betrakter da det lineære systemet av ligninger som har den transponerte matrisen til koeffisient matrise. Dette systemet har et sett av løsninger forskjellig fra null, det fins altså elementer αi , i = 1, . . . , m og β j , j = 1, . . . n i k som ikke alle er null, slik at a0 β1 a1 β1

+

a0 β2 ···

= = ··· am βn = bn αm

b0 α1 b1 α1 ···

+

b0 α2

Altså fins det polynomer forskjellig fra null φ(X ) = α1 + α2 X + · · · αm X m−1 og ψ(X ) = β1 + β2 X + · · · βn X n−1 slik at ψ(X ) f (X ) = φ(X )g (X ).

46

Siden k[X ] er et entydig faktoriseringsområde, kan vi faktorisere g (X ) i primiske polynomer, og alle disse primfaktorene må forekomme i faktoriseringen av φ(X ) eller f (X ), og siden φ(X ) er av lavere grad enn m, som er graden til f (X ), må minst en av dem, si h(X ), gå opp i f (X ). Altså må f (X ) og g (X ) ha en felles ikke-konstant faktor h(X ), og beviset for Teorem 1.10.1 er fullført.

Merk at vi ikke bruker at k er en kropp, bare at den er et entydig faktoriseringsområde. Nemlig, i den første delen av beviset, der vi ønsker å redusere til en felles rot, altså til h(X ) = X − x1 , passerer vi først til kvotientkroppen til k. Videre, teorien for lineære ligningssystemer holder over alle integritetsområder, så vi trenger bare å bruke at k[X ] er et entydig faktoriseringsområde. Spesielt kan vi anvende teoremet på F [X ] der F = k[X 1 , . . . , X r ] er en polynomring i vilkårlig mange variable, eller ubestemte, over en kropp k.

Vi kan nå gi følgende definisjon, som er spesielt nyttig i tilfellet med flere variable: Definisjon 1.10.1 Determinanten R i Teorem 1.10.1 kalles resultanten til f og g med hensyn på X , og betegnes med Res( f , g , X ).

På denne tiden fullførte Schläfli også et arbeide som på mange måter fremstår som et hovedverk. Det har tittelen Theorie der vielfachen Kontinuität, der temaet er det vi i dag ville kalle topologiske mangfoldigheter. En mangfoldighet er et rom, vi skulle egentlig si et topologisk rom, som lokalt ser ut som et «vanlig» euklidsk rom, men der alle disse småbitene er limt sammen på en uvant og ofte overraskende måte. Et av de mange eksemplene på dette fra dagliglivet er det indre i et oppblåst bildekk. I nærheten av et punkt kan denne mangfoldigheten virke som det vanlige euklidske rommet, men en nokså avgjørende forskjell et at her kan en dra ut på en flytur rett frem, og uten å snu komme tilbake til utgangspunktet. Lokalt er dette et 3-dimensjonalt vanlig euklidsk rom, men globalt er det et rom vi kaller en torus. Litt forenklet kan vi si at en n-dimensjonal mangfoldighet er et rom hvor hvert punkt har en åpen omegn som er lik en åpen delmengde av det euklidske n-dimensjonale rommet Rn .

Eksempler på endimensjonale mangfoldigheter inkluderer den reelle tallinjen R, sirkelen S 1 , kuleflaten S 2 og overflaten eller randen til torusen, som vi nettopp stiftet bekjentskap med. Den reelle linjen og sirkelen er eksempler på endimensjonale mangfoldigheter. Kuleflaten og torusen er eksempler på todimensjonale mangfoldigheter.

De endimensjonale mangfoldighetene kalles for kurver, de todimensjonale kalles flater.

47

Schläfli skrev dette viktige arbeidet mellom 1850 og 1852, og han sendte det til det Østerrikske vitenskapsakademiet som var grunnlagt noen år tidligere. I dag er Schläflis verk anerkjent som et mesterverk, men det ble forkastet av Akademiet! Mange har siden grublet på denne skandaløse beslutningen, men noen fester seg ved den forklaringen at hans avhandling var lang. Sannheten er nok at matematikeren Ludwig Schläfli var forut for sin tid, og at herrene i Akademiet rett og slett ikke forsto de geniale ideene som lå bak arbeidet. Men Schläfli ga seg ikke og sendte sitt verk til Akademiet i Berlin. Men også her ble arbeidet forkastet, og Schläfli var nå henvist til å dele arbeidet sitt opp i mindre deler, og slik gikk det til at Schläflis epokegjørende arbeid, meget forsinket, begynte å komme på trykk i flere deler i ulike tidsskrift. Den fulle teksten kom først samlet ut i 1901, etter forfatterens død, og først da begynte viktigheten av arbeidet å gå opp for de toneangivende matematikerne. Den nederlandske matematikeren Pieter Hendrik Schoute, som vi forteller om i seksjon 1.12, skrev om dette verket 50 år senere: Dette arbeidet overgår i vitenskapelig verdi en god del av alt som er publisert opp til i dag innen feltet geometri i høyere dimensjoner. Forfatteren opplevde den triste vanskjebne felles for dem som er forut for sin tid: Frukten av hans dypeste studier ga ham hverken anerkjennelse eller berømmelse [...]

Schläfli studerte det vi i dag kaller polytoper, som han kalte polyskjema. Navnet polytop skyldes for øvrig en av de betydelige kvinnene blant matematikkens pionerer, nemlig Alicia Boole Stott, som vi forteller om i seksjon 1.13.

Litt forenklet kan vi si at en polytop er en geometrisk figur med flate sider, og dette finnes i alle dimensjoner. En polygon er en polytop av dimensjon 2, et polyeder er en polytop med dimensjon 3, og så videre.

Schläfli oppfattet begrepet som en høyere dimensjonal analog til polygoner og polyedere, se figur 1.8 for noen viktige eksempler i dimensjon 3.

Schläfli innførte det vi i dag kaller Schläfli symbolet. Det er definert rekursivt, som vi skal illustrere ved noen eksempler. For det første skal {n} betegne en regulær n-kant, så {4} er altså et kvadrat. Vi går nå opp en dimensjon til {4, 3}, som er kuben, altså et regulært polyeder der 3 kvadrater {4} møtes i hvert hjørne. Når denne notasjonen videreføres til det 4-dimensjonale tilfellet, får vi at symbolet for den 4-dimensjonale «hyperkuben» der 3 kuber {4,3} møtes i hvert hjørne, blir {4, 3, 3}. Vi illustrerer dette på figur 1.9.

Euklid beviser i Elementene, at der er nøyaktig fem regulære polyeder i dimensjon 3. Schläfli beviser at der er seks regulære polytoper i dimensjon 4, 48

Figur 1.8: De 13 arkimediske polyederne med et prisme og et antiprisme.

Figur 1.9: En kube til venstre og (den tredimensjonale projeksjonen av) en firedimensjonal hyperkube til høyre. Kilde: [26] nemlig {3, 3, 3}, {4, 3, 3}, {3, 3, 4}, {3, 4, 3}, {5, 3, 3}, og {3, 3, 5}, mens der bare er tre i dimensjon n ≥ 5: {3, 3, ..., 3}, {4, 3, 3, ....,3}, og {3, 3, ...,3, 4}.

Mesteparten av Schläflis arbeid var i geometri, aritmetikk og funksjonsteori. Men han ga også betydelige bidrag til kompleks funksjonsteori, med blant annet integralformlene for gamma og Bessel-funksjonene.

Schläfli ga viktige bidrag til ikke-euklidsk geometri, og han arbeidet med en lang rekke andre viktige temaer som opptok matematikerne på denne tiden.

49

Schläfli fikk aldri full anerkjennelse for sine fremragende resultater i sin levetid, men mot slutten begynte hans betydning å gå opp for de matematiske miljøene i Europa, og han fikk plass i prestisjetunge lærde selskaper og akademier.

1.11 George Boole Boole ble født 1815 i Lincoln, Lincolnshire, England og døde 1864 i Ballintemple, Irland.

George Booles foreldre var Mary Ann Joyce og John Boole. John var skomaker, men han var mer interessert i åndsverk enn i håndverk, hans store interesse var bruk av matematikk i konstruksjon av vitenskapelige instrumenter. Mary Ann og John giftet seg i 1806. Familien hadde det trangt økonomisk, kanskje også fordi John var mer interessert i matematikk og vitenskap enn å dyrke sitt håndverk. Over de neste fem årene fikk Mary Ann og John tre barn til.

Det gikk også bra med George. Han vokste til og ble både kraftig og frisk, og han gjorde det bra på skolen også. Han hadde gode lærere, og sin første matematikkundervisning fikk han av sin far. Fra faren fikk han også interessen for optiske instrumenter, og han ble også interessert i å lære språk, ikke minst latin der faren skaffet ham en privatlærer. Deretter tok han fatt på et selvstudium av gresk. Fra 1828 var han elev ved en handelsskole, som han supplerte med selvstudium slik at han alt i alt fikk en god akademisk allmenndannelse, med solide innslag av tysk og fransk.

Da Boole var 16 år gammel, kollapset firmaet til hans far, og dermed måtte den unge George ta jobb som lærerassistent for å understøtte foreldre og søsken. Han beholdt sin interesse for språk, men begynte også på et seriøst matematikkstudium. Den første avanserte matematikkboken han ga seg i kast med, var Lacroixs lærebok i differensial- og integralregning, som vi har sett i bind 2 at også Abel også hadde lært mye fra. Han startet sin egen skole bare 19 år gammel, men da Robert Hall, som hadde grunnlagt Hall’s Academy i Waddington, døde i 1838, ble han bedt om å overta skolen, hvilket han gjorde. Han flyttet nå til Waddington sammen med hele familien, og sammen drev de nå skolen, som både var en kostskole og hadde dagelever.

Boole leste nå arbeider av Laplace og Lagrange og tok notater som senere skulle danne basis for hans egen første avhandling. Men han kunne ikke forfølge sine matematiske interesser fullt ut fordi familien trengte inntekten fra skolen. Imidlertid begynte han å publisere noen arbeider, og han tok opp en korrespondanse med Augustus de Morgan i 1842. De Morgan ble født i 50

Figur 1.10: George Boole. Wikimedia commons. Public domain.

1806 og døde i 1871, hans far var en oberstløytnant i den britiske hær, han var stasjonert i India. Augustus de Morgan selv må ha vært en litt sær og spesiell type, men var en fremstående matematiker. Begrepet matematisk induksjon skal skyldes ham. Han ble professor i matematikk ved Trinity College Cambridge, men trakk seg to ganger «av prinsipielle grunner». Han ble aldri medlem av the Royal Society siden han nektet å la seg foreslå.

I 1843 sendte Boole et nyskrevet arbeid til de Morgan om en generell algebraisk metode til løsning av differensialligninger, «On a general method of analysis applying algebraic methods to the solution of differential equations». Arbeidet ble publisert i Transactions of the Royal Society i 1844, og i november 1844 ble Boole tildelt Royal Societys medalje for det.

Boole ble nå utnevnt til professor ved Queens College i Cork, som er en by sydvest i Irland, i 1849. Boole underviste der resten av livet, til tross for den religiøse uroen som preget forholdene i regionen på denne tiden.

I 1855 giftet Boole seg med Mary Everest, en niese av Sir George Everest.

En annen onkel var professor i gresk ved universitetet og en venn av Boole.

Boole selv var da 37 år gammel, mens Mary Everest bare var 20. De fikk etter 51

og eller ikke ∪ ∧ + × − Figur 1.11: Vanlig språk, mengdeteoretiske og logiske tegn og matematiske symboler. hvert fem døtre, en av dem var Alicia, senere gift som Alicia Boole Stott, som vi forteller om i seksjon 1.13.

Booles viktigste verk ble publisert i 1854. Det har tittelen An investigation into the Laws of Thought, on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Boole finner her en ny metode for å forstå logikk, ved at han inkluderer logikken som en gren av algebraen. Denne grenen av algebra kalles i dag for boolsk algebra. Hans utgangspunkt er den viktige observasjonen at det består en grunnleggende analogi mellom algebraiske symboler som opererer på algebraiske størrelser, og logiske symboler eller operasjoner som og, eller, ikke etc. Vi viser noe av dette på den neste figuren.

Der er første linje operasjoner i vanlig språk, andre linje tegn fra matematisk logikk og siste linje de tilsvarende algebraiske tegnene eller operasjonene.

I 1851 skrev Boole om dette arbeidet: Jeg er nå for alvor i gang med publiseringen av min teori om logikk og sannsynlighet, som jeg ser på som det mest verdifulle, hvis ikke det eneste virkelig verdifulle jeg har bidratt med, og det som jeg mest ville ønske å bli husket for i ettertiden ...

Vi skal gi en liten smakebit av det som i ettertiden kalles boolsk logikk.

Matematikkhistorikere mener at det tidligste eksemplet på bevis ved induksjon finnes i Platons dialog Parmenides. Mer moderne kilder finner vi hos al-Karaji, Pascal og Fermat. Men den første systematiske og stringente behandlingen av dette tema skyldes George Boole.

Et utsagn P kan oppfattes som en variabel som kan ha to verdier, nemlig S for Sann og F for Falsk. På engelsk skriver en T og F , for True og False. Vi kunne like godt satt 1 eller 0, men S, F brukes av historiske og pedagogiske grunner når en skal kommunisere med mennesker. Datamaskinene foretrekker 0, 1 ... En slik variabel kaller vi en boolsk variabel, og en funksjon av en eller flere Boolske variable som antar verdiene S, T kalles en boolsk funksjon. Regning med slike funksjoner utgjør altså den boolske algebra, som er av stor vitenskapelig betydning, ikke minst fordi vi trygt kan si at 52

hele det teoretiske grunnlaget for våre datamaskiner hviler på et fundament av boolsk algebra.

Vi kan definere de boolske funksjonene ved hjelp av deres sannhetsverdi tabeller. Vi begynner med å definere negasjonen ¬P: P

¬P

S F

F S

Vi skal så gi sannhetsverditabellene for de mest grunnleggende boolske funksjonene. Vi sammenfatter dem i en felles tabell: P

Q

P ∧Q P og Q

P ∨Q P eller Q

P =⇒ Q P medfører Q

P ⇐= Q P medf. av Q

P ⇐⇒ Q P ekviv. Q

S S F F

S F S F

S F F F

S S S F

S F S S

S S F S

S F F S

Enkelte finner det vanskelig å forstå at en implikasjon P =⇒ Q alltid er sann dersom utsagnet P er falskt. Da får en bare ta med seg sitatet: “Når utgangspunktet er som galest, blir resultatet originalest.” Fra et galt utgangspunkt kan en nemlig slutte hva som helst, selv om arbeidet er helt bortkastet fordi resultatet er verdiløst. Q er nemlig vist å være riktig under forutsetningen P, som imidlertid altså er gal, så vi har ikke oppnådd noe som helst.

Vi skal vise en nyttig bruk av sannhetsverditabeller. Vi kan nemlig avgjøre om to sammensatte utsagn er ekvivalente. Vi betrakter tabellen nedenfor: P

Q

¬P

¬Q

¬P ∨ ¬Q

¬(P ∧Q)

¬Q =⇒ ¬P

S S F F

S F S F

F F S S

F S F S

F S S S

F S S S

S F S S

Ved å sammenligne sannhetstabeller ser en at (¬P ∨ ¬Q) = (¬(P ∧Q)) og at 53

(P =⇒ Q) = (¬Q =⇒ ¬P).

Vi står ofte overfor oppgaven å bevise et utsagn P(n) for alle naturlige tall n = 1, 2, 3, . . . Det kan for eksempel være det kjente resultatet at Sats 1.11.1 (binomialformelen) For alle naturlige tall n er (a + b)n = a n + na n−1 b + · · · +

n(n − 1) · · · (n − k + 1) n−k k a b + · · · + bn. k!

Her er k! = 1 · 2 · · · k.

Vi skal vise dette resultatet ved først å verifisere at utsagnet P(1) er sant. Men det er klart, for det uttrykker bare at a + b = a + b.

Vi antar så at utsagnet er vist for n − 1. Vi antar altså at vi har (a + b)n−1 = a n−1 +(n−1)a n−2 b+· · ·+

(n − 1)(n − 2) · · · (n − 1 − k + 1) n−1−k k a b +· · ·+b n−1 . k!

Vi får da at (a + b)n = (n − 1)(n − 2) · · · (n − 1 − k + 1) n−1−k k a b + · · · + b n−1 ), k! som utmultiplisert gir (a + b)(a n−1 + · · · +

(a + b)n = a n + na n−1 b + · · · + A k a n−k b k + · · · + b n , der Ak = (n − 1)(n − 2) · · · (n − 1 − k + 1) (n − 1)(n − 2) · · · (n − 1 − (k − 1) + 1) + k! (k − 1)! (n − 1)(n − 2) · · · (n − k) (n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) + k! (k − 1)!

54

=

(n − 1) · · · (n − k) 1 1 ( + )= (k − 1)! k n−k n(n − 1) · · · (n − k + 1) . k!

Vi har nå vist generelt at P(n − 1) =⇒ P(n).

Siden vi vet at P(1) er sann, kan vi derfor slutte at også P(2) er sann, og så videre at P(3) er sann, etc. Dette fullfører beviset.

Induksjonsprinsippet består i at for å bevise utsagnet P(n) for alle naturlige tall n er det nok å • bevise P(1) og • at P(n − 1) =⇒ P(n) Dette er en svært nyttig bevisteknikk.

En annen variant av dette prinsippet er følgende: For å vise P(n) er det nok å • bevise P(1) og • at P(k)∀k < n =⇒ P(n) De siste to implikasjonene ovenfor kalles induksjonshypotesen i induksjonsbeviset. De to første er startpunktet for induksjonen. Ofte starter induksjonen ved n = 0 istedenfor 1.

Dessverre kom Booles karriere til en brå slutt, da han gikk bort i en alder av bare 49 år.

1.12 Pieter Hendrik Schoute Pieter Hendrik Schoute ble født 1846 i Wormerveer Nederland. Han døde 1913 i Groningen, Nederland.

Pieter Hendrik Schoute var utdannet som ingeniør fra Det Polytekniske universitetet i Delft i 1867. Imidlertid dro han deretter til Leiden, som hadde et godt miljø i matematikk. Der tok han opp forskning i matematikk, og han ble utnevnt til professor i Groningen i 1881. Denne utnevnelsen var med på å gi miljøet der et oppsving, det hadde ikke vært så bra i tiden etter at den betydelige matematikeren Johann Bernoulli hadde forlatt universitetet i 1705.

55

Schoute studerte geometriske emner som algebraiske kurver og enumerativ geometri.

Men fra 1891 studerte Schoute euklidsk geometri i mer enn tre dimensjoner, noe som resulterte i 28 artikler, og av disse var noen felles arbeider med Alica Boole Stott, som vi forteller om i seksjon 1.13. Ett av disse arbeidene har tittelen «On the sections of a block of eightcells by a space rotating about a plane», eller Om snittet mellom en blokk av 8-celler med et (3dimensjonalt) rom som roterer om et plan. En 8-celle er det firedimensjonale analoge til en tredimensjonal kube, andre navn er tesserakt, regulært oktaeder eller kubisk prisme. En rotasjon om et plan beskrives analogt til det tredimensjonale tilfellet med en rotasjon om et punkt eller en linje. Vi skal ikke forfølge disse begrepene videre her. Begrepet regulært polytop generaliserer begrepet regulært polyeder til høyere dimensjoner. Dette navnet ble innført av Alica Boole Stott.

1.13 Alicia Boole Stott Alicia Boole Stott var en britisk matematiker, datter av George Boole som vi forteller om i seksjon 1.11. Hun er blant annet kjent for oppfinnelsen av navnet « polytop» for et konvekst «legeme» i dimensjon 4, og mer generelt alle høyere-dimensjonale generaliseringer av polyeder.

Alicia Boole vokste opp i et intellektuelt miljø i datidens England. Navnet hennes peker jo direkte på boolsk algebra, etter hennes far George Boole, men en onkel på morsiden var dessuten Sir George Everest. Hennes far var en god del eldre enn moren, og da han dessuten døde forholdsvis ung, ble hans kone Mary etterlatt som enke med fem døtre, hvorav den eldste var åtte år gammel, mens den yngste bare var seks måneder. Penger var det lite av, og den fire år gamle Alicia ble sendt bort til slektninger. Da hun noe senere kom tilbake til sin nærmeste familie i London, ble hun forskrekket over forholdene de levde under.

Jentene fikk lite skolegang, men Alicia skal ha lært seg de første to av Euklids bøker. Men Mary Boole hadde mange besøkende som kunne holde familien oppdatert om det som foregikk i tidens britiske vitenskap. Mary skal ha korrespondert med Darwin og hatt kontakt med H.G. Wells, kjent som en betydelig sciencefiction forfatter. En annen av gjestene som vanket i Alicias barndomshjem, hadde en sønn som het Howard Hinton, i [29] er han karakterisert som en «briljant polymath», på godt norsk flogvit. Den eldste av søstrene og Howard ble forelsket, og etter hvert ble de forlovet og senere gift. Howard var fascinert av firedimensjonal geometri, en av mange sære 56

interesser som var levende i familien Booles omgangskrets. Howard hadde med seg et omfattende system av modeller i tre, som han hadde utviklet for å anskueliggjøre firedimensjonal geometri. Alicia, som da var rundt atten år, begynte å samarbeide med Howard om disse modellene og overgikk etterhvert Howard selv i denne firedimensjonale kunsten. Hun utarbeidet de seks regulære polytopene i dimensjon 4 og laget tredimensjonale pappmodeller av deres snitt med parallelle tredimensjonale underrom.

Alicia bygget sine modeller som en hobby, men etter hvert begynte det å komme litteratur om denne «hobbyen» fra «seriøse» matematikere. Så giftet hun seg med Walter Stott i 1890, han viste henne figurene som var blitt publisert av den hollandske matematikeren Pieter Schoute. De lignet mye på hennes egne figurer, og hun tok kontakt. Schoute ble nå en entusiastisk støttespiller for henne, og gjennom ham ble diagrammene publisert i tidsskriftet til Det kongelige nederlandske vitenskapsakademi.

1.14 Étienne Bézout Étienne Bézout ble født i 1730 i Nemours, Frankrike og døde i 1783 i BassesLoges i samme land. Både Étienne Bézouts far og hans bestefar hadde vært dommere, men Étienne fulgte ikke i deres fotspor. Sannsynligvis var det møtet med Leonard Eulers matematikk som ble avgjørende her. Denne tidens matematikkelever hadde en stor fordel sammenlignet med elever i våre dager: Lærebøkene deres var ofte ikke skrevet av lærebokforfattere og didaktikere, men var i mange tilfeller originalarbeidene til de store matematikerne som sto frem på denne tiden. Matematikken var jo på mange måter, om ikke i sin barndom, så i hvert fall i sin ungdomstid. Veien var kortere for en interessert og flink elev fra tidens originale forskning til egne oppdagelser. Så i 1756 publiserte Bézout et skrift med tittelen Dynamique. Andre artikler om integrasjon fulgte året etter og i 1758.

I 1758 ble Bézout lærer i mekanikk ved Académie des Sciences. Han fikk også andre verv innen datidens høyere undervisning. Han skrev en rekke lærebøker i matematikk, mange av dem er berømte den dag i dag. Han utførte viktig arbeid innen teorien for løsning av algebraiske ligninger. Disse og andre artikler publisert av Bézout om teorien for ligninger ble samlet i Théorie générale des équations algébraiques, som ble publisert i 1779.

Bézouts teorem. Graden til den endelige ligningen en får fra et sett av ligninger i det samme antall ukjente av vilkårlige grader, er lik produktet av alle gradene til ligningene som inngår.

57

MATEMATIKKENS HISTORIE 1

Fra Babylon til mordet p책 Hypatia

ISBN 978-82-7674-678-5

www.fagbokforlaget.no

MATEMATIKKENS HISTORIE 2

Fra de arabiske vise til Niels Henrik Abel

ISBN 978-82-7674-814-7

www.fagbokforlaget.no

Forsiden på dette bindet bærer portrettet av den store logikeren Allan Turing. Turings arbeid var sentralt i å knekke den tyske Enigma-koden.

Denne krigsinnsatsen var uvurderlig i kampen mot Tyskland og nazistene under den andre verdenskrig. Hans skjebne bærer på samme måte som Hausdorffs et manende budskap til oss alle i dag.

Audun Holme er professor emeritus i matematikk ved Universitetet i Bergen. I tillegg til matematikkens historie omfatter hans interessefelt algebra og geometri og bruken av informasjonsteknologi i forskning og undervisning.

Matematikkens historie 3

I vår nære fortid ligger den skjebne som mange av de jødiske matematikerne fikk. En av dem var Felix Hausdorff. Han unnslapp, sammen med sin hustru og svigerinne, nazistenes gasskammer ved å begå selvmord. Deres skjebner vil sammen med lidelsesfellene alltid berøre oss dypt. Dette tredje og siste bindet slutter med en omtale av to andre ruvende skikkelser i moderne matematikk, nemlig Alexander Grothendieck og John Nash. Så forskjellige som de var, viser de hvor bredt dagens matematikk favner.

Audun Holme

Dette tredje bindet av Matematikkens historie dekker tiden fra Niels Henrik Abel og frem til dagens matematikk. Siden Abel selv ble revet bort da hans egen eksplosive innsats i matematikken ennå sto ved sin begynnelse, ble det andre som fikk æren av å videreføre hans ideer.

Boken forteller om noen av de matematikerne som på ulike måter ble viktige for Niels Henrik Abel, blant dem Jacobi og Dirichlet.

Audun Holme

Matematikkens historie 3

Fra Abels tid

www.fagbokforlaget.no ISBN 978-82-450-1579-9

,!7II2E5-abfhjj!