Matrisestatikk utdrag by Fagbokforlaget

Boken består av to deler, hvorav den første og største delen omfatter beregninger etter lineær (1. ordens) teori, mens den andre delen inneholder en innføring i 2. ordens teori og knekking. Det er lagt vekt på en grundig fremstilling, og det nære slektskapet med elementmetoden er fremhevet.

Kolbein Bell

Matrisestatikk – Statiske beregninger av fagverk, rammer og buer, 4. utgave er et verk som siden foreløpig utgave fra 1986 er tilpasset undervisningen i matrisemetoder i statikk ved NTNUs 5-årige siv.ing.-program i Byggog miljøteknikk. For tiden er boken pensumlitteratur i kurset TKT4180 (Konstruksjonsmekanikk – Beregningsmetoder).

Boken er rikt illustrert med informative skissetegninger og inneholder symbolliste samt et appendiks med en innføring i matriseregning, formelsamling og utvalgte oppgaver med svarantydninger.

4. UTGAVE

Andre titler av samme forfatter: Konstruksjonsmekanikk – Del I Likevektslære, 2014 An engineering approach to FINITE ELEMENT ANALYSIS of linear structural mechanics problems, 2013 Dimensjonering av trekonstruksjoner, 2017 ISBN 978-82-450-2406-7

,!7II2E5-aceagh!

4. UTGAVE

Konstruksjonsmekanikk – Del II Fasthetslære, 2015

MATRISESTATIKK

Kolbein Bell er pensjonert professor ved Institutt for konstruksjonsteknikk, NTNU. Med unntak av et tiår rundt tusenårsskiftet, hvor han underviste i trekonstruksjoner, har han undervist i konstruksjonsmekanikk og anvendt programmering fra 1981 og frem til 2009. Han er dr.ing. fra NTH i 1968 og har hatt studie- og forskeropphold i USA, England og Nederland. Bell skrev sin hovedoppgave den høsten NTH fikk sin første egentlige datamaskin (GIER, 1962), og han har siden vært engasjert i utviklingen av programverktøy for konstruksjonsberegninger, først i SINTEF og senere ved NTH og NTNU.

Kolbein Bell

Statiske beregninger av fagverk, rammer og buer

0 $ 7 5 , 6 (

6 7 $ 7 , . .

3 5 2 * 5 $ 0

.ROEHLQ %HOO

0$75,6(67$7,.. 6WDWLVNH EHUHJQLQJHU DY IDJYHUN UDPPHU RJ EXHU XWJDYH

Copyright © 2018 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved ISBN: 978-82-450-2406-7 1. utgave 1987 2. utgave 1994 3. utgave 2011 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forfatteren og forlaget Sats: Forfatteren

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

)RURUG WLO I¡UVWH XWJDYH Denne boken samler mellom to permer innholdet i tre trykksaker som har vært benyttet som pensumlitteratur i emnet Konstruksjonsmekanikk - beregningsmetoder som undervises i 3. årskurs for studenter innen studieprogram for Bygg- og miljøteknikk ved NTNU. Boken er delt i to deler hvorav den første og største delen dekker det som tradisjonelt har vært kalt matrisestatikk og er begrenset til lineær eller såkalt 1. ordens teori. Del II gir en innføring i ikkelineær teori med hovedvekt på såkalt 2. ordens teori og dennes anvendelse mot stabilitet og knekking. Oppgaver og eksempler, som tidligere var et eget hefte, er nå tatt med i boken og fordelt på de enkelte kapitler. I motsetning til sin forgjenger, en håndskrevet trykksak med samme tittel og av samme forfatter som her, og som ble utgitt første gang i 1987, vil nok oppgavene og eksemplene få denne boken til å fremstå som en mer tradisjonell lærebok. Med unntak av et tiår rundt årtusenskiftet, hvor jeg undervisningsmessig var mer opptatt av trekonstruksjoner, har jeg undervist innen det tema som boken omfatter siden tidlig på 1980 tallet. For 30 år siden var IKT landskapet et annet enn i dag. Datamaskinen var den gang stort sett forbeholdt universiteter og høgskoler, forskningsinstitutter og større bedrifter. Det var et meget beskjedent utbud av programverktøy for konstruksjonsberegninger, og programmering var noe de fleste studenter ved NTH fikk (begrenset) utdanning i, og som de bedrev i forbindelse med problemløsning innen ingeniørfag. Således ble “matrisestatikk-kurset” på 1980 tallet etterfulgt av et kurs innen “programmering av konstruksjonsberegninger” - på slutten av 1980 tallet tok ca 75% av studentene som hadde tatt matrisestatikk dette programmeringskurset. I grupper utviklet studentene et rammeprogram som noen av dem benyttet i andre kurs. Tidlig på 1990 tallet endret bildet seg. De personlige datamaskinene (PC) ble kraftigere og vesentlig billigere enn de grafiske arbeidsstasjonene, og fokus ble dreid mer mot bruken av programvaren enn utviklingen av den, også på NTH. Antallet studenter som fulgte vårt programmeringskurs sank utover 90 tallet, og like etter årtusenskiftet gikk kurset inn, og det ble mer eller mindre slutt på at “bygg-studenter” fikk undervisning i programmering. Dette har også satt sitt preg på “matrisestatikk-kurset” som har seilt under mange navn de siste 10-15 årene, fra Matrisestatikk, via Konstruksjonsanalyse og Elementmetoden for rammer til dagens navn. Innholdet har også endret seg noe ved at det programmeringsmessige er tonet sterkt ned, mens matrisestatikkens nære slektskap med elementmetoden er viet større oppmerksomhet. Det siste henger også sammen med en viss reduksjon og omlegging av mekanikkundervisningen som har funnet sted i løpet av de siste 10-15 årene. Bokens innhold avspeiler disse forholdene, og for noen år siden fikk det omtalte kurset også ansvaret for å gi en introduksjon til 2. ordens teori og knekking, derfor DEL II. Mens denne delen (II) ikke gir seg ut for å være mer enn en innføring, er det i DEL I lagt vekt på å gi en rimelig grundig og fullstendig fremstilling, både for å gi brukeren av moderne rammeprogram den innsikt og bakgrunn som er nødvendig for effektiv

og sikker bruk av disse verktøyene, og samtidig gi et godt grunnlag for å kunne gi seg i kast med den litt mer matematiske elementmetoden som tar en videre til 2- og 3dimensjonale problemer innen kontinuumsmekanikken. Boken er litt spesiell i sin layout ved at det, med unntak av kapittel 1, finnes tekst bare på “høyresider”, mens venstresidene er forbeholdt figurer og annen informasjon som støtter opp om teksten på motstående side. Dette fører nødvendigvis til en del blanke venstresider, og dermed sløsing av papir, men leseren kan forhåpentligvis bruke noe av denne plassen til egne notater. Løsningen, som jeg har lånt fra en dyktig kollega ved TU Delft, hvor jeg oppholdt meg i studieåret 1997-98, har den fordel at man får illustrasjonene nært opp til der de kan støtte teksten best mulig, og ofte kan man kopiere en figur slik at en slipper å bla tilbake. I utgangspunktet forelå “manus” til de tre trykksakene som har vært utgangspunktet for boken i farger (som ble gråtoner ved trykking). For noen av figurene er fargene beholdt da de antas å gi litt ekstra informasjon, men for de aller fleste av illustrasjonene er det benyttet sjatteringer i grått - dette for at ikke prisen på boken skal bli urimelig høy. Før jeg runder av vil jeg gjerne få takke kolleger ved Institutt for konstruksjonsteknikk, NTNU, og mange av de studentene jeg i årenes løp har “plaget” med dette stoffet, for nyttige kommentarer og påvisning av feil og/eller uklarheter. Ingen nevnt, ingen glemt. Tre navngitte personer vil jeg imidlertid gjerne få rette en spesiell takk til. Den første er min mentor, professor Ivar Holand, som dessverre gikk bort så altfor tidlig. Den andre er professor Ray W. Clough ved UC Berkeley (mannen som ga navn til elementmetoden - Finite Element Metod, FEM). Jeg har fortsatt notatene mine fra Cloughs kurs CE 290C Matrix Analysis of Structures som jeg fulgte høsten 1965, og når jeg blar i dem er det ikke vanskelig å se hvor grunntanken i boken min kommer fra. Hadde det ikke vært for disse to markante personene ville jeg neppe ha gjort de valg som førte meg inn på den veien jeg har gått, og slik sett ville da heller ikke denne boken ha sett dagens lys. Sist, men ikke minst vil jeg takke min kone Janet for hennes store tålmodighet med mine mange avstikkere til hjemmekontoret og PC’en, ikke bare i min yrkesaktive periode, men også nå som jeg er pensjonist.

Trondheim, november 2010, Kolbein Bell kolbein.bell@ntnu.no

)RURUG WLO Q\ XWJDYH Selv om denne utgaven er merket som ny, er det, innholdsmessig, små endringer fra forrige (første) utgave. Den største forskjellen er bruken av farger, og en vesentlig bedre utnyttelse av venstresidene – det finnes nå nesten ingen blanke venstresider. På bekostning av noen flere sider er det, for å bedre lesbarheten, benyttet litt større font i denne utgaven, og både venstre og høyre marg er rettstilt. Boken har fått en litt mer dekkende tittel, og det er tatt med et nytt tillegg (APPENDIKS C) som viser en alternativ måte å utlede de viktigste matrisene for et rett bjelkeelement på. Tillegget med bjelkeformler (APPENDIKS D) er utvidet med en god del flere formler. Noen mindre feil er rettet, og for enkelte problemstillinger er det forsøkt litt andre, og forhåpentligvis, bedre forklaringer. Flere av disse er inspirert av professor Kjell Magne Mathisen som skal ha takk for gode råd. På tross av iherdig innsats er det nok fortsatt feil og uklarheter, og det er helt sikkert rom for forbedringer. Alle forslag til rettelser og/eller forbedringer mottas med takk. Trondheim, januar 2018, Kolbein Bell kolbein.bell@ntnu.no

YLL

,QQKROG Forord til første utgave

Forord til ny utgave

vii

Symboler

DEL I 1. ordens teori 1. Innledning

1.1 Hva og hvorfor – omfang og begrensning

1.2 Organisering og anbefalt bruk

2. Definisjoner og forutsetninger

2.1 Definisjon av problemet – forutsetninger, krav og antakelser

2.2 Superposisjonsprinsippet

2.3 Fortegnsregler og andre konvensjoner

2.4 Bøyning av bjelke – differensialligningen

2.5 Statisk bestemte, ubestemte og ustabile konstruksjoner

3. Tradisjonell formulering

3.1 Innledning

3.2 Kraftmetoden

3.3 Forskyvningsmetoden

3.4 Kommentarer

4. Grunnlaget på matriseform

4.1 Manuelle versus programstyrte beregninger

4.2 Modell – frihetsgrader, knutepunkter og elementer

4.3 Fleksibilitet og stivhet

4.4 Fundamentalkravene på matriseform

4.5 Virtuelle forskyvningers prinsipp (VFP)

105

4.6 Koordinat-transformasjoner

107

4.7 Oppsummering

111

5. Forskyvningsmetoden

131

5.1 Formell etablering av stivhetsrelasjonen

131

5.2 Stivhetsrelasjonen (.U = 5) ved direkte betraktning

133

5.3 Formell oppbygging av stivhetsmatrisen .

137

5.4 Belastning – komplementær- og partikulærløsning

139

5.5 Randbetingelser og løsning

143

5.6 Oppsummering

145

6. Elementanalysen

161

6.1 Innledning

161

6.2 Bøyning av bjelke – sterk og svak form

163

6.3 Bjelkeelementets stivhetsrelasjon

171

6.4 Generell prosedyre

185

6.5 Generaliserte forskyvninger

191

6.6 Naturlige koordinater

197

6.7 Transformasjoner

199

6.8 Bjelkeelement for romlig (3D) analyse

203

7. Systemanalysen

[

233

7.1 Programstyrt oppbygging av . og 5

233

7.2 Randbetingelser

241

7.3 Ligningsløsning og numeriske problemer

249

7.4 Beregning av indre krefter

261

8. Spesielle emner

289

8.1 Skjærdeformasjoner

289

8.2 Initialtøyninger (temperatur)

305

8.3 Eksentrisiteter og stive partier

311

8.4 Romlig bjelkeelement med vilkårlig tverrsnitt

315

8.5 Statisk kondensering – substrukturer og superelementer

317

8.6 Influenslinjer

325

9. Modellering og kontroll

341

9.1 Beregningsmodell – elementinndeling

341

9.2 Takstol med skjøt i gurt

351

9.3 Buetak i fotballhall

355

9.4 Betongvegg med utsparinger

359

9.5 Bruk og kontroll

361

DEL II 2. ordens teori ŗŖǯ Problemet

375

10.1ȱ Innledning

375

10.2ȱ Noen enkle eksempler

379

10.3ȱ Grunnleggende ligninger

385

ŗŗǯ Analytisk løsning

399

11.1ȱ Ideellǰ rett søyle – EULER-last

399

11.2ȱ Kritisk spenning og slankhetȱ

409

11.3ȱ Stabilitetsfunksjoner

411

ŗŘǯ Geometrisk stivhet – knekkingȱ 12.1ȱ Innledning – fra sterk til svak form

423 423

12.2 Elementformulering

429

12.3 Systemanalysen

435

12.4 Knekking

437

12.5 Eksempler på linearisert knekkingsberegning

441

13. Litt om knekklengder og avstivninger

467

13.1 Knekklengder

467

13.2 Avstivninger

473

14. Referanser

485

APPENDIKS A Enkel matriseregning A.1 Definisjoner

489

A.2 Enkle regneregler

491

A.3 Spesielle, kvadratiske matriser

501

A.4 Oppspalting av matriser – submatriser

505

A.5 Litt om determinanter

507

A.6 Lineær avhengighet – rang

511

A.7 Lineære ligningssystemer

513

A.8 Invertering av matriser

515

A.9 Kvadratiske former og definit-het

519

A.10 Egenverdiproblemet

521

B Løsningsmetoder for ikkelineære ligninger

[LL

489

523

B.1 Innledning

523

B.2 Inkrementell metode

525

B.3 Inkrementell metode med likevektskorreksjoner

527

B.4 Iterasjonsmetoder – NEWTON-RAPHSON

527

B.5 Ikkelineære beregninger i fap2D

529

C Alternativ elementanalyse

535

D Bjelkeformler

551

E Svarantydninger til utvalgte oppgaver

557

Index

559

[LLL

6\PEROHU Nedenfor er angitt, i alfabetisk rekkefølge, de viktigste symbolene som er benyttet i boken sammen med en kort forklaring. For enkelte av symbolene er der også en sidehenvisning til der symbolet er introdusert og/eller definert. 6NDODUH VW¡UUHOVHU Disse angis med vanlige latinske eller greske bokstaver. A E G I L M N P R S V f k p q r

u,v,w

x,y,z

α ε φ γ δ λ θ ρ σ

tverrsnittsareal elastisitetsmodul skjærmodul kvadratisk arealmoment (element)lengde bøyemoment aksialkraft (og formfunksjon) last kraftkomponent (knutepunktskraft på systemet) kraftkomponent (knutepunktskraft på elementet) skjærkraft fleksibilitetskoeffisient stivhetskoeffisient lastintensitet (kraft/lengdeenhet) generalisert forskyvning forskyvningskomponent (knutepunktsforskyvning på systemet) forskyvningskomponenter (i henholdsvis x-, y- og z-retning); v angir også knutepunktsforskyvning på elementnivå kartesiske koordinater, merk at ved plan (2D) analyse arbeider vi i x-z planet skjærparameter (s 291) aksialtøyning (s 29) stavaksedreining eller helning (s 28) skjærtøyning (s 291) Kronecker delta (s 501) termisk utvidelseskoeffisient (s 307) tverrsnittsdreining (tverrsnittsrotasjon – s 28) krumningsradius (s 28) aksialspenning (s 26)

τ η ξ

- skjærspenning (s 26) - influenslinje (s 325) - naturlig (dimensjonsløs) koordinat (s 197)

0DWULVHU RJ YHNWRUHU Disse angis med uthevet skrift (“IHWH” typer). Et vilkårlig element i en matrise angis med samme bokstav som matrisen, men med vanlig (ikke uthevet) skrift, og med indekser som angir linje- og spaltenummer. For eksempel angir Aij elementet i linje i og spalte j i matrisen $. $ D % E & ' ) I J , . N / 1 T 5 U 6 7 7, W 8 X Y ' H V

[YL

- angir sammenhengen mellom knutepunktsforskyvningene Y og generaliserte forskyvninger T (s 173) - kompatibilitetsmatrise (s 103) - tøynings-forskyvnings-matrisen (s 187) - likevektsmatrise (s 101) - elastisitetsmatrisen (angir sammenhengen mellom V og H, s 187) - angir en diagonalmatrise - systemets fleksibilitetsmatrise (s 85) - elementets fleksibilitetsmatrise (s 99) - likevektsmatrise (s 99) - enhetsmatrisen (s 501) - systemets stivhetsmatrise (s 89) - elementets stivhetsmatrise (s 95) - angir en nedre trekantmatrise (s 505) - formfunksjonsmatrisen (s 171) - generalisert forskyvningsvektor (s 171) - systemets lastvektor/lastmatrise (s 80) - systemets knutepunktsforskyvninger (systemets kinematiske frihetsgrader – s 80) - elementets knutepunktskrefter (s 80) - overflatekrefter eller traksjoner (s 189) - diverse transformasjonsmatriser - angir en øvre trekantmatrise (s 505) - vektor av forskyvningskomponenter (s 187) - elementets knutepunktsforskyvninger (frihetsgrader) (s 80) - nullmarisen (s 501) - (differensial)operator-matrise (s 187) - tøyningsvektor (s 185) - spenningsvektor (s 187)

,QGHNVHU En superindeks på et vektor/matrisesymbol angir vanligvis elementnummer, mens en subindeks vanligvis angir knutepunktsnummer. 7 som superindeks på et vektor/matrisesymbol angir alltid transponering. En asterisk (*) som superindeks på et vektor/matrisesymbol angir at symbolet er knyttet til en ren deformasjonstilstand, dvs. en forskyvningstilstand som ikke inkluderer stivlegemebevegelsene. En horisontal strek over et symbol, f.eks N , angir at de størrelser som symbolet representerer er referert til globale referanseakser. En tilde (~) over et symbol angir vanligvis en virtuell størrelse.

0 som superindeks på et vektor/matrisesymbol, f.eks 6 , angir “fastholdningstilstand” (Y = ).

[YLL

'(/ , RUGHQV WHRUL

)RUUHWQLQJVE\JJ %\JJ0DNNHU 7LOOHU IRWR . %HOO

+DOONRQVWUXNVMRQ 9LNLQJVNLSHW +DPDU IRWR 0RHOYHQ /LPWUH $6

%UX 7\QVHW IRWR . %HOO

)LJXU (NVHPSOHU Sn NRQVWUXNVMRQHU YL VยกNHU OยกVQLQJHU IRU

,QQOHGQLQJ Kort om hensikten med og omfanget av boken. Klargjøring av en del sentrale begreper. Krav til forkunnskaper og litt om notasjon og symbolbruk. Organisering av både stoff og layout, samt noen råd til den seriøse leser. +YD RJ KYRUIRU ± RPIDQJ RJ EHJUHQVQLQJ Vår problemstilling er å undersøke hvordan konstruksjoner som er bygd opp av staver og bjelker, dvs. 1-dimensjonale elementer, bærer belastningen ned/inn til oppleggene. Dette innebærer å bestemme ikke bare de indre kreftene i konstruksjonens elementer, i form av aksialkrefter (N), momenter (M ) og skjærkrefter (V ), men også deformasjonen av elementene, målt ved karakteristiske forskyvninger (inkl. rotasjoner). Konstruksjonsanalyse (structural analysis) er et annet navn som benyttes på disse oppgavene som står meget sentralt i all prosjektering av typiske bygningskonstruksjoner som f.eks. forretningsbygg, haller og broer, se figur 1.1. Når det gjelder de indre kreftene nøyer vi oss her med å bestemme snittkreftene (N, M og V ), dvs. resultantene av spenningene på snittflatene. Selve spenningsberegningen og kontrollen av at materialfasthetene ikke overskrides behandles i de materialspesifikke dimensjoneringsfagene. For en spesiell, men viktig klasse av konstruksjoner, nemlig de vi betegner som statisk bestemte, er det å finne snittkreftene en relativt grei oppgave. Disse konstruksjonenene er slik utformet og satt sammen at vi kan bestemme både opplagerkrefter og indre krefter ved kun å benytte likevektsbetingelsene. Det bygges både fagverk, rammer og buer som er statisk bestemte, men de fleste bærende konstruksjoner faller utenfor denne gruppen, og det er derfor viktig å ha tilgang til mer generelle metoder. Det er gjennom årene utviklet en rekke mer eller mindre forskjellige metoder, men ved nærmere undersøkelser vil vi finne at så godt som alle er varianter av en av de to grunnleggende metodene: kraftmetoden (force method) og forskyvningsmetoden (displacement method). Begge kan formuleres med utgangspunkt i konstruksjonsmekanikkens tre fundamentale krav til

/LQH U RUGHQV WHRUL

,QQOHGQLQJ

.LQHPDWLVN .RPSDWLELOLWHW 6DPVYDU PHOORP IRUVN\YQLQJHU RJ GHIRUPDVMRQHU

6WDWLVN /LNHYHNW

Σ Fx = 0 Σ Fz = 0 ΣM = 0

x σ

ε = du dx dx

0DWHULDOORY

σ = Eε

)LJXU .RQVWUXNVMRQVPHNDQLNNHQV IXQGDPHQWDOH ./0 NUDY

'HO ,

+YD RJ KYRUIRU ± RPIDQJ RJ EHJUHQVQLQJ

• kinematisk kompatibilitet, • statisk likevekt, • og tilfredsstillelse av materialloven(e), se figur 1.2.

Vi skal i et tidlig kapittel se litt nærmere på begge metodene, men vi kommer relativt fort til å parkere kraftmetoden. Grunnen til det er at den ikke egner seg for “automatiserte” (programstyrte) beregninger. Det gjør derimot forskyvningsmetoden. Vi vil vise prinsippene for “håndregning”, og gjennomføre noen enkle eksempler, men vårt fokus i denne boken er programstyrte beregninger. Fra en spe begynnelse sent på 1950 tallet har vi vært vitne til en nesten utrolig utvikling innen datateknikken. På utstyr som nå er så godt som allemanns eie har vi tilgang til ufattelig mye både regnekraft og lagerkapasitet, samt glimrende presentasjonsmuligheter. På dette utstyret kan det utføres tildels meget avanserte tekniske beregninger i løpet av sekunder, og resultatene kan presenteres som fargerike figurer og animasjoner. Parallelt med utviklingen av maskinvaren har det også foregått en rivende, om enn ikke like spektakulær utvikling innen programvaren, og vi har nå tilgang til programmer for de aller fleste beregningsoppgaver; noen programmer er skreddersydd for spesifikke oppgaver, som for eksempel statiske beregninger av rammer, andre er mer generelle. Det er all grunn til å tro at disse verktøyene vil bli enda bedre og mer slagkraftige, slik at det i tiden fremover vil være liten grunn til å utføre omfattende og tidkrevende beregninger “for hånd”. Denne boken er derfor tuftet på følgende overbevisning: Få, om noen av de ingeniører som nå er under utdanning vil noen gang komme til å utføre manuelle, statiske beregninger for annet enn ganske enkle, stort sett statisk bestemte konstruksjoner- for alle konstruksjoner av noen kompleksitet vil det bli benyttet programverktøy i en eller annen form, men disse programmene er og blir verktøy, og forsvarlig bruk forutsetter kyndige brukere. Disse verktøyene gjør en dyktig ingeniør bedre, tildels mye bedre, mens de kan forsterke uheldige vurderinger til en middels ingeniør. I hendene på ukyndige eller lite kyndige personer kan de være direkte farlige. Når det er snakk om programstyrte beregninger kommer vi ikke utenom matriseformuleringer. Matrisene og de enkle regnereglene disse er underlagt gjør det mulig å gi beregningene en konsis og kompakt fremstilling. Det kan nok diskuteres om denne formuleringen er den mest hensiktsmessige dersom vi er henvist til å utføre de numeriske operasjonene “for hånd”. For en programmerbar regnekvern som datamaskinen, er derimot matriseregningen ideell. De grunnleggende operasjonene, som addisjon og multiplikasjon, representerer en særdeles enkel systematikk som er lett å programmere for effektiv utførelse i en datamaskin.

/LQH U RUGHQV WHRUL

,QQOHGQLQJ

0$75,6(67$7,.. NLQHPDWLVN IULKHWVJUDG IRUVN\YQLQJ vi

L EI, A,

VDPKยกUHQGH VWยกUUHOVHU NUDIW Si

EMHONHIRUPOHU EMHONHQV GLIIHUHQVLDOOLJQLQJ

IRUVN\YQLQJVYHNWRU

NUDIWYHNWRU

6 NY VWLYKHWVPDWULVH DQWDWWH IRUVN\YQLQJVIXQNVMRQHU YLUWXHOOH IRUVN\YQLQJHUV SULQVLSS

' HOHPHQW

(/(0(170(72'(1

'HO ,

+YD RJ KYRUIRU ± RPIDQJ RJ EHJUHQVQLQJ

Det kan være nyttig allerede her å presisere og definere to viktige begreper innen programstyrte beregninger av bærende konstruksjoner: matrisestatikk (matrix structural analysis) og elementmetode ( finite element method – FEM). Matrisestatikk er betegnelsen på en kompakt og programmeringsvennlig formulering av de grunnleggende beregningsmetodene innen stav- og bjelkesystemer, først og fremst (og nesten bare) forskyvningsmetoden. Den formaliserer og generaliserer begreper som frihetsgrad, knutepunkt, element, stivhet og fleksibilitet. Og helt sentralt står matrisen og enkel matrisealgebra. Men matrisestatikk er en formulering, snarere enn en metode. De første matriseformuleringer finner vi på 1950 tallet, og den klassiske referansen er til ARGYRIS [1]. De viktige sammenhengene mellom krefter og forskyvninger som virker på det enkelte element kan etableres direkte fra elementær bjelketeori. Elementmetoden er i dag en av de aller viktigste numeriske løsningsmetoder for en rekke problemer som matematisk lar seg beskrive av differensialligninger. Metoden, som fikk sitt navn av CLOUGH [2] i 1960, ble utviklet av ingeniører innen styrkeberegninger, som en generalisering av matrisestatikken til 2- og 3-dimensjonale elementer. Flyindustrien ledet an, men også bygningsstatikken kom tidlig med i utviklingen. Metoden skiller seg fra matrisestatikken i det som har med selve elementene å gjøre, den såkalte elementanalysen; ellers er det ingen vesentlige forskjeller. Mens matrisestatikken representerer en korrekt løsning av den matematiske modellen (f.eks. EULER-BERNOULLI bjelketeori), vil en element-metode-løsning av problemer som krever 2- og/eller 3-dimensjonale elementer så godt som alltid være en tilnærmet løsning av det matematiske problem som den underliggende teori gir. I boken vil vi bare omtale problemer som beskrives av 1-dimensjonale elementer, og slik sett kunne vi ha seilt under matrisestatikkens flagg. Vi kan imidlertid utlede elementrelasjonene også for 1-dimensjonale elementer etter nøyaktig de samme metoder som benyttes for 2- og 3dimensjonale elementer. Vi vil vise begge metodene, men vi velger å fremstille elementanalysen med hovedvekten på elementmetoden. På denne måten vil vi forhåpentligvis lette overgangen til de mer omfattende, og kanskje litt vanskeligere problemer innen kontinuumsmekanikken, uten at vi dermed gjør stavstatikken særlig mer “mystisk”. Og når alt kommer til alt er det mye mer som forener enn som skiller de to formuleringene. Uansett hvilken type bærende konstruksjon det dreier seg om er vi, som ingeniører, opptatt av spesielt to forhold: konstruksjonen må ha tilfredsstillende styrke, dvs. sikkerhet mot å bryte sammen, og den må ha tilfredsstillende stivhet. Mens styrken først og fremst har med sikkerhet å gjøre, har stivheten mer med bruksegenskapene å gjøre. Dimensjonene

/LQH U RUGHQV WHRUL

,QQOHGQLQJ

6W\UNH

6WLYKHW

6WDELOLWHW

)LJXU .RQVWUXNVMRQVPHNDQLNNHQV WUH 6Â¶HU

'HO ,

+YD RJ KYRUIRU Âą RPIDQJ RJ EHJUHQVQLQJ

pĂĽ et gulvbjelkelag vil f.eks. ofte vĂŚre bestemt ut fra hensynet til en begrenset nedbĂ¸yning, bĂĽde med tanke pĂĽ komfort (et â&#x20AC;&#x153;myktâ&#x20AC;? gulv vil kunne fĂ¸les utrygt) og med tanke pĂĽ mulige skader pĂĽ andre komponenter som fĂ¸lge av store nedbĂ¸yninger. Et tredje forhold, som ogsĂĽ kan ha stor betydning for konstruksjonen og som er knyttet til slanke konstruksjonselemeneter pĂĽkjent av trykkrefter, har med stabilitet (â&#x20AC;&#x153;knekkingâ&#x20AC;?) ĂĽ gjĂ¸re. De tre Sâ&#x20AC;&#x2122;er er anskueliggjort i figur 1.3. For svĂŚrt mange konstruksjoner kan styrke og stivhet behandles tilfredsstillende etter enkel lineĂŚr teori, ogsĂĽ kalt 1. ordens teori, mens stabilitet eller knekking som det vanligvis kalles krever at vi mĂĽ gi avkall pĂĽ en av de viktige forenklingene i lineĂŚr teori. For ĂĽ si noe fornuftig om knekking mĂĽ vi benytte sĂĽkalt 2. ordens teori, den â&#x20AC;&#x153;laveste gradâ&#x20AC;? av ikkelineĂŚr teori. Vi har valgt ĂĽ holde disse to teoriene adskilt, og i den fĂ¸rste og stĂ¸rtse bolken av boken, Del I, er vi kun i den lineĂŚre verden, mens knekking er behandlet i Del II. For Del I er behandlingen relativt grundig og dekker problemomrĂĽdet rimelig fullstendig. Del II derimot pretenderer ikke ĂĽ vĂŚre mer enn en innfĂ¸ring i et omfattende problemkompleks. Boken har et tosidig mĂĽl. Det fĂ¸rste, og viktigste, er ĂĽ gi en grundig innfĂ¸ring i det metodemessige grunnlaget for et typisk rammeprogram, og beskrive de modelleringsmuligheter og begrensninger som ligger i et slikt program. Dette er forutsetninger for forsvarlig og hensiktsmessig bruk av denne type verktĂ¸y. I tillegg Ă¸nsker vi ĂĽ gi en innfĂ¸ring i elementmetoden, slik den kommer til uttrykk for 1-dimensjonale elementer. Hovedvekten legges pĂĽ plane (2D) rammer, men det er ogsĂĽ gitt plass til litt 3D. Det bĂ¸r presiseres at vi i boken er fokusert pĂĽ selve analysen av en konstruksjon som har kjent geometri og stivhet (materialegenskaper) og som er pĂĽkjent av kjente laster. Det er altsĂĽ bare en begrenset, men allikevel svĂŚrt viktig del av prosjekteringsarbeidet vi vil befatte oss med. Fremstillingen er generell, men for ĂĽ konkretisere vil det i diverse sammenhenger bli henvist til et konkrete program, nemlig fap2D1. Dette er et typisk program for statiske beregninger av plane rammekonstruksjoner, og selv om det nok vil kunne avvike litt fra andre, tilsvarende programmer i hvordan enkelte ting er lĂ¸st, er slike program i hovedsak bygd over samme lest. )RUXWVHWQLQJHU QÂĄGYHQGLJ EDNJUXQQ

Fremstillingen forutsetter godt kjennskap til grunnleggende likevektslĂŚre og fasthetslĂŚre. Vi forutsetter ogsĂĽ operative ferdigheter innen den delen av den lineĂŚre algebra som omhandler enkel matriseregning â&#x20AC;&#x201C; er fap2d HU HW SURJUDP IRU VWDWLVN RJ G\QDPLVN DQDO\VH DY SODQH UDPPHNRQVWUXNVMRQHU XWYLNOHW YHG ,QVWLWXWW IRU NRQVWUXNVMRQVWHNQLNN 1718 KRYHGVDNHOLJ L IRUELQGHOVH PHG SURVMHNW RJ PDVWHURSS JDYHU Âą L DOW L SHULRGHQ WLO

/LQHÂ U RUGHQV WHRUL

,QQOHGQLQJ

(Q YLONnUOLJ PDWULVH $

$ =

A j

A n

A j

A n

mÃ&#x2014;n

Am Am

Aij

Amj

Ain

Aij OLQMH i

Amn

VSDOWH j

b E =

& =

OLQMHPDWULVH HOOHU OLQMHYHNWRU

bn VSDOWHPDWULVH HOOHU VSDOWHYHNWRU HOOHU EDUH YHNWRU

'HO ,

+YD RJ KYRUIRU ± RPIDQJ RJ EHJUHQVQLQJ

denne kunnskapen rusten bør den friskes opp, ved for eksempel å lese APPENDIKS A. Jo mer fortrolig man er med enkel matisealgebra jo lettere blir det å tilegne seg matrisestatikken/elementmetoden. 1RWDVMRQ Sammenlignet med tradisjonell mekanikk vil nok matriseformuleringen kunne oppfattes som litt abstrakt. Dette henger delvis sammen med matrisebegrepet som sådan; det tar en viss tid å bli såpass fortrolig med disse størrelsene at en kan “tenke i matriser”. Dessuten kan selve mengden av symboler, både matrisesymbolene og de mange indeksene, virke litt skremmende til å begynne med. At ikke alle symbolene er like godt forankret i tradisjonell mekanikk gjør det ikke enklere. Mange forfattere har forsøkt å innføre nye og mer konsistente symboler, uten at noen synes å ha fått bred aksept. Vi fortsetter derfor å benytte symboler som etterhvert er godt innarbeidet i miljøet ved NTNU, selv om de er mer historisk enn logisk betinget. At det i litteraturen finnes betydelige variasjoner, ikke bare med hensyn til symbolbruken, men også når det gjelder koordinatssystemer og fortegnsregler, er dessverre et faktum vi må leve med. Forhåpentligvis er vi konsekvente mellom disse permene. Fremst i boken finnes en liste over de symboler og konvensjoner som er brukt. Med hensyn til skrivemåter og andre konvensjoner som er benyttet i tilknytning til matriser og vektorer i denne boken henvises det til APPENDIKS A hvor dette er beskrevet i detalj. Noen viktige skrivemåter er vist på motstående side. Dette symbolet i venstre marg er ment å fremheve ting som påkaller ekstra oppmerksomhet. Bokens “layout” er litt spesiell ved at det finnes tekst bare på høyresidene; venstresidene er forbeholdt figurer og andre ting som kan støtte opp om teksten på motstående side. Dette har både fordeler og ulemper. Den største fordelen er at figurer kan plasseres nært opp til teksten de skal illustrere, og en figur kan kopieres slik at leseren slipper å bla tilbake. Ulempen er at det totalt blir noen flere sider enn strengt tatt nødvendig (det er ikke alle venstresider som er fullt utnyttet).

/LQH U RUGHQV WHRUL

,QQOHGQLQJ

p N1 P

P , 3(

,3(

352%/(0

,3(

P P

S v r XNMHQW

IRUVN\YQLQJ

NMHQW ODVW R

S , v

S v r

S , v

S v

(/(0(17 $1$/<6(1

6 NY ร

(/(0(17

02'(//

S v

6<67(0$1$/<6(1 E\JJHU RSS . IUD DOOH HOHPHQWHQHV N RJ OยกVHU OLJQLQJVV\VWHPHW PKS U

R XNMHQW RSSODJHUNUDIW

r NMHQW IRUVN\YQLQJ

.U 5

U . 5

)LJXU )RUVN\YQLQJVPHWRGHQ Sn PDWULVHIRUP

'HO ,

2UJDQLVHULQJ RJ DQEHIDOW EUXN

2UJDQLVHULQJ RJ DQEHIDOW EUXN Vi begynner med å presisere problemstillingen og viktige antakelser i kapittel 2, hvor vi også rekapitulerer noen viktige sammenhenger og prinsipper fra fasthetslæren. Vi definerer våre koordinatsystemer og fortegnsregler, og vi avslutter kapitlet med noen betraktninger omkring dette med statisk bestemte, ubestemte og ustabile konstruksjoner. I kapittel 3 oppsummerer vi den “klassiske” formuleringen av våre to grunnleggende beregningsmetoder, kraftmetoden og forskyvningsmetoden, og belyser dem ved hjelp av noen enkle eksempler. Kapittel 4 vender seg mot programstyrte beregninger. Her defineres og generaliseres en del viktige begreper og de grunnleggende sammenhengene formuleres på matriseform. En særdeles viktig og nyttig transformasjonsregel etableres. Isolert sett er dette kanskje det viktigste kapitlet i boken. I kapittel 5 formulerer vi forskyvningsmetoden på matriseform, og vi viser to måter å etablere stivhetsrelasjonen på for problemer med få frihetsgrader som lar seg løse med “håndregning”. Videre viser vi hvordan vilkårlig belastning, f.eks. fordelte laster, behandles, og vi ser litt på hvordan problemets randbetingelser tas hensyn til og hvordan vi bestemmer de primære ukjente størrelsene. Kapittel 6 står sentralt i fremstillingen. Her tar vi for oss analysen av det enkelte element, dvs. elementanalysen, og vi viser hvordan vi kommer frem til elementmatrisene, for både stivhet og last, ved å benytte de samme betraktningsmåter som i elementmetoden. Av hensyn til 2- og 3-dimensjonale elementer, som ikke behandles i boken, er det viktig å få på plass en generell prosedyre som kan benyttes uansett konstruksjonstype. Vi viser imidlertid at det også finnes enklere og mer direkte måter å utlede matrisene på for våre spesielle, 1-dimensjonale elementer. Kapittel 7 er også et viktig kapittel. Det tar for seg systemanalysen, dvs. alt som har å gjøre med oppbyggingen av systemmatrisene, innføring av randbetingelsene og løsningen av det endelige ligningssytem. Denne delen av beregningen er så godt som helt uavhengig av elementtypen (og dermed konstruksjonen), og den tas derfor relativt grundig. Fremstillingen vektlegger programstyrt beregning, uten å gå inn på de mer programmeringsmessige detaljer. I kapittel 8 ser vi på en del spesielle emner, som skjærdeformasjoner, initialtøyninger (temperaturbelastning) og eksentrisiteter. Vi har også med et avsnitt om vilkårlige bjelketverrsnitt for romlige, dvs. 3D problemer, og vi ser litt på en spesiell løsningsteknikk som går under navnet statisk kondensering og dens slektninger, substrukturteknikk og superelementer. Vi avslutter kapitlet med et avsnitt om influenslinjer, et redskap som kan være nyttig ved bevegelige laster, som trafikklaster på bruer.

/LQH U RUGHQV WHRUL

,QQOHGQLQJ

U Î´maks = Y

6 NY

)RUVN\YQLQJ >PP@

%Â¡\HPRPHQW >N1P@

6NMÂ UNUDIW >N1@

$NVLDONUDIW >N1@

)LJXU 5HVXOWDWHU IRU SUREOHPHW L ILJXU

'HO ,

2UJDQLVHULQJ RJ DQEHIDOW EUXN

I det siste kapitlet i Del I forsøker vi å si litt om den praktiske bruken av programverktøy. Et viktig, men vanskelig tema, hvor modellering og kontroll er sentrale stikkord. Som allerede nevnt er vi i hele Del I i den lineære, dvs. 1. ordens, verden, med de forenklinger og begrensninger det innebærer. For å si noe fornuftig om problemer knyttet til instabilitet og knekking må vi bevege oss over i såkalt 2. ordens teori. Det gjør vi i Del II hvor vi gir en innføring i dette temaet. Del II begynner med kapittel 10 hvor vi definerer og eksemplifiserer problemet. Her etablerer vi også de grunnleggende ligningene. I kapittel 11 løser vi problemet analytisk, formulert både ved differensialligninger og som et ikkelineært system av algebraiske ligninger på matriseform ved hjelp av såkalte stabilitetsfunksjoner. I kapittel 12 introduserer vi geometrisk stivhet og etablerer en tilnærmet, men effektiv løsningsmetode på matriseform som også er velegnet for å studere knekkings-fenomenet. I praktisk konstruksjonsarbeid er knekklengde og slankhet viktige begreper, og nært beslektet er avstivning av slanke trykkelementer. Begge deler er behandlet i kapittel 13 som avslutter fremstillingen. Fem APPENDIKS, inklusive ett (E) med svarantydninger til noen utvalgte oppgaver, avslutter boken. Vi presiserer igjen, at mens Del I er relativt grundig og dekker problemområdet rimelig fullstendig, er Del II mer å betrakte som en innføring i et omfattende problemkompleks. Eksempler og oppgaver Eksempler blir det sjelden nok av; det gjelder sannsynligvis også her. Det er forsøkt lagt inn noen eksempler i selve teksten der de åpenbart kan tjene til å klargjøre problemstillinger, og i slutten av de aller fleste kapitler er det lagt inn ett eller flere eksempler, noen relativt omfattende. Løsningene er i noen tilfeller mer omfattende enn strengt tatt nødvendig da det også er forsøkt å forklare litt av selve tankegangen som ligger bak løsningen. De fleste kapitlene avsluttes med et utvalg av oppgaver som omhandler de problemstillinger kapitlet er viet eller som er behandlet i tidligere kapitler. For de fleste oppgavene, som stort sett er knyttet til fagverk, bjelker, rammer og buer, er det meningen å benytte “manuelle” metoder, dvs. regne “for hånd”, eventuelt med hjelp av kalkulator, men det anbefales å kontrollere de manuelle beregninger ved hjelp av programstyrte beregninger hvor det er mulig/naturlig. Noen av oppgavene er for omfattende for manuelle beregninger, og her er det meningen å utføre programstyrte beregninger. Dette vil fremgå av oppgaveteksten. /LQH U RUGHQV WHRUL

,QQOHGQLQJ

NQHNNODVW

pkr Ã&#x2014; N1 P Â³NQHNNIDNWRUÂ´ EHVWHPW YHG HQ OLQHDULVHUW NQHNNLQJVDQDO\VH

)LJXU /LQHDULVHUW NQHNNLQJVDQDO\VH Â± NQHNNIRUP

'HO ,

2UJDQLVHULQJ RJ DQEHIDOW EUXN

For alle bjelke- og rammeproblemer, hva enten de løses “for hånd” eller ved hjelp av programverktøy, anbefales det at du, for deg selv, og på et eget ark, skisserer deformasjonsfiguren og formen på momentdiagrammet før du foretar noen som helst beregninger. Sammenlign så disse skissene med resultatet av beregningene og prøv å forklare for deg selv eventuelle uoverensstemmelser. For en del oppgaver, merket med en asterisk (*), er svaret eller deler av svaret gitt i APPENDIKS E. At det ikke finnes flere svar er et bevisst valg. I praksis gis det sjelden fasit på de oppgaver man stilles overfor, og det er viktig å øve opp evnen til å kontrollere det man kommer frem til av løsninger. Svært mange oppgaver i boken kan f.eks. kontrolleres ved hjelp av programverktøy som leseren forutsetningsvis har tilgang til. Det finnes også enkle manuelle kontroller for mange typer problemer. Vi runder av disse innledende bemerkninger med en liten advarsel og noen velmente råd. Matrisestatikken og elementmetoden kan virke både uvant og abstrakt for nybegynneren, men den oppfattes som presis, kompakt og elegant av de fleste som tar seg bryet med å arbeide seg inn i tankegangen. Det er ikke grunnleggende vanskelig, men det krever en innsats og ikke så rent lite (modnings) tid. Her er ingen snarveier. Skal en mestre denne materien må en arbeide systematisk og målbevisst, og enkelte ting må en nok terpe litt på. Merk også at: Boken er skrevet for å leses, det er ikke et oppslagsverk for kjappe løsninger. Den forsøker å beskrive sammenhenger og metoder på en grundig og systematisk måte, ovenfra og ned. Det vil si at det generelle og overordnede kommer først og så detaljene.

/LQH U RUGHQV WHRUL

.216758.6-21 PHG JLWWH HJHQHVNDSHU GLP HOHPHQWHU GYV IDJYHUN Â± EMHONHU Â± UDPPHU Â± EXHU

*,77

$1$/<6(

6Â&#x2018;.7

3c.-(11,1* /$67

NRQVHQWUHUWH RJ IRUGHOWH ODVWHU WHPSHUDWXU HWF

PRGHOO PHWRGH

/$679,5.1,1* 5(63216

IRUVN\YQLQJHU NUHIWHU PRPHQWHU VSHQQLQJHU

3UREOHPVWLOOLQJ

'HO ,

Kolbein Bell

Boken er rikt illustrert med informative skissetegninger og inneholder symbolliste samt et appendiks med en innføring i matriseregning, formelsamling og utvalgte oppgaver med svarantydninger.

4. UTGAVE

,!7II2E5-aceagh!

4. UTGAVE

Konstruksjonsmekanikk – Del II Fasthetslære, 2015

MATRISESTATIKK

Kolbein Bell

Statiske beregninger av fagverk, rammer og buer