L Æ R E RV E I L E D N I N G
VOLUM 5B
– et nytt læreverk i matematikk for barneskolen etter fagfornyelsen 2020. Verket har en tydelig og forutsigbar struktur, og et stort og variert oppgavemangfold. Lærerveiledningen er lærerens verktøykasse for å oppfylle VOLUMs grunnideer om å gi elevene læringsglede og mestring i matematikkfaget. Undring og tid til å diskutere matematikk i fellesskap står sentralt.
Åse Marie Bugten, Morten Johannessen
5B
Boka gir faglig og didaktisk støtte til undervisningen gjennom forslag til struktur, gjennomføring av timen og veiledning til oppgaver og aktiviteter. Lærerens rolle som veileder er uvurderlig for elever på alle nivåer, og lærerveiledningen utfyller elevboka underveis i dette viktige arbeidet. I et trygt og raust læringsfellesskap kan elevene argumentere og dele ideer – og på den måten bidra til å utvikle et felles, presist og hensiktsmessig matematisk språk.
ISBN 978-82-11-03527-1
LÆRERVEILEDNING
Les mer om verket på www.fagbokforlaget.no
VOLUM MATEMATIKK FOR BARNETRINNET 5B
5A 5B Audun Rojahn Olafsen LÆRERVEILEDNING
Helene E. Taasaasen Korsvold Åse Marie Bugten Gina Onsrud Morten Johannessen
HVA KAN LÆRERVEILEDNINGEN HJELPE DEG MED? Elevboka, lærerveiledningen og løsningsforslaget er nært knyttet sammen og danner en komplett enhet i læreverket Volum. Lærerveiledningen har som hovedmål å gi faglig og didaktisk støtte til læreren i arbeidet med å nå elevenes kompetansemål. Lærerveiledningen kan brukes i forarbeidet til hver time og er ei nyttig håndbok å ha med seg i timen. Lærerveiledningen gir hjelp til strukturering og gjennomføring av timen. For hver økt i elevboka har lærerveiledningen ∙ faksimile som viser til elevboka ∙ forslag til plan og gjennomføring av timen ∙ kommentarer til oppgaver og aktiviteter, samt forslag til veiledning av elevene Plan for timen ∙ Læringsmål sammenfatter lærestoffet som elevene skal øve på. ∙ Oppstart introduserer dagens emne med definisjon av begreper og utredning av aktuell teori. Her kan læreren finne forslag til spørsmål og drøfting knyttet til forståelse av og framgangsmåten i oppgavene. ∙ Arbeid med oppgavene inneholder forslag til organisering av arbeidet, utdyping av matematisk innhold og didaktiske vinklinger. ∙ Avslutning gir forslag til gjennomgang av sentrale oppgaver som oppsummerer øktens læringsmål. Her er det rom for spørsmål fra elevene og drøfting av spesielle utfordringer og misoppfatninger. Kommentarer til oppgavene og hvordan veilede elevene God veiledning forutsetter matematisk kunnskap og kjennskap til egnede didaktiske metoder. Et overordnet prinsipp er at læreren skal veilede og ikke forelese. Det er derfor svært viktig at de faglige og didaktiske kommentarene til oppgavene brukes til å stille ledende spørsmål til elevene. Den matematiske samtalen skal bidra til undring og analytisk tenkning hos elevene. Dette krever tid, tålmodighet og arbeidsro. Kommentarene til aktivitetssidene i elevboka gir utfyllende forklaring til hvordan spill og aktiviteter kan gjennomføres. Det gis praktiske tips, forslag til variasjon og alternativ gjennomføring der det er aktuelt. Noe av hemmeligheten til læring ligger kanskje i glede og mestring? Grunntanken i verket bygger på å skape et trygt læringsfellesskap der elevene motiveres til å ha tro på utvikling av egne evner. Lærerens innsats er avgjørende for å støtte og inspirere den enkelte elev i sitt arbeid med å utforske, prøve og feile, og drøfte tanker og ideer med medelever. God veiledning!
T f c t
INNHOLD LEKSJON 1
LEKSJON 10
LEKSJON 2
LEKSJON 11
SANNSYNLIGHET......................................................................... 4 SANNSYNLIGHET 2.................................................................. 12
LEKSJON 3
PROBLEMLØSING.....................................................................20
LEKSJON 4
REGNEREKKEFØLGE.............................................................. 22
LEKSJON 5
TALL, VARIABLER OG UTTRYKK................................... 30
LEKSJON 6
ANVEND OG REPETER LEKSJON 4 OG 5............. 38
LEKSJON 7
REPETISJON AV BRØK......................................................... 58 ADDISJON OG SUBTRAKSJON MED ULIKE NEVNERE.........................................................................................66
LEKSJON 12
ANVEND OG REPETER LEKSJON 10 OG 11........... 74
LEKSJON 13
MULTIPLIKASJON MED BRØK......................................... 76
LEKSJON 14
DIVISJON MED BRØK............................................................ 84
LEKSJON 15
ANVEND OG REPETER LEKSJON 13 OG 14..........92
SETTE PRØVE PÅ LIKNINGER OG LØSE LIKNINGER...................................................................................... 40
LEKSJON 16
LEKSJON 8
LEKSJON 17
LEKSJON 9
LEKSJON 18
LØSE LIKNINGER....................................................................... 48 ANVEND OG REPETER LEKSJON 7 OG 8..............56
HODEREGNING MED BRØK OG PROSENT..........96 TID OG BRØK............................................................................. 104 ANVEND OG REPETER LEKSJON 16 OG 17......... 112
LEKSJON 1
LEKSJON 1
1.1
SANNSYNLIGHET
Myntkast. 2 eller 3 spiller mot hverandre. Dere trenger en mynt og to brikker hver. Første spiller kaster en mynt.
Læringsmål
Resultatet er enten mynt (M) eller kron (K). Resultatet bestemmer hvilken vei brikken skal flyttes, se skjemaet til høyre.
• Elevene skal gjøre seg kjent med presentasjoner, valgtre og bruk av tabeller i forbindelse med sannsynlighetsregning.
Første spiller kaster mynten to ganger til. Legg en brikke dit du kommer. Dersom tre kast gir M, K, M, skal brikken flyttes slik det er vist i skjemaet med rødt. Alle spiller i samme skjema. Neste spiller gjør det samme. Fortsett å kaste etter tur. Spilleren som klarer å gjenta den samme ruta to ganger på rad og får to brikker i samme felt, vinner.
Dere trenger
• 2 brikker og 1 mynt til hver spiller • kopioriginal 1.2 Oppstart Del elevene i grupper. La elevene lese og sette seg inn i reglene. Bruk illustrasjonen som hjelp til forklaring og veiledning.
6
LEksjon 1 / Sannsynlighet
Arbeid med oppgavene Figuren i 1.1 kan brukes som spillebrett. I oppgave 1.2 finnes det tilgjengelig kopioriginal. Avslutning Sett av tid til å oppsummere og lage en statistikk av elevenes resultater i oppgave 1.2. Følg framgangsmåten som er beskrevet under Lærer i veiledningen til oppgaven. Drøft og se om dere kommer fram til en konklusjon.
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene De to følgende presentasjonene kommer også til å bli brukt i senere leksjoner. 1.1 Myntkast. Figurene viser en oversikt over alle mulige traseer som kan oppstå når en mynt kastes tre ganger. Når en mynt er kastet, kaller vi resultatet ofte for utfallet av kastet. Traseen som er merket med svart i figuren øverst på siden, kom fram etter å ha oppnådd mynt, kron og mynt, MKM. Elevene vil oppdage at rekkefølgen av utfallene kan gi andre veier. Det gjelder for eksempel KMM, som betyr kron i første kast, mynt i andre og tredje kast, og MMK, mynt – mynt – kron. Vis noen eksempler med de ulike veitraseene slik at det blir klart for alle. Figuren viser alle de åtte mulige utfallene ved kast av tre mynter.
4
Leksjon 1 / SANNSYNLIGHET
Hvor mange ruter er det i rutenettet? 1.2
Hvilke summer er det som forekommer færrest ganger? Sum 2 og 12 forekommer kun én gang av 36 mulige.
sum av to terninger. Dere trenger to terninger. Tegn rutenettet nedenfor. 2 eller 3 elever spiller mot hverandre med hvert sitt rutenett. Kast to terninger og summer tallene. Alle setter et kryss over dette tallet i sitt rutenett.
Summene 3 og 11 forekommer begge to ganger av 36 mulige summer.
Den som først får krysset av alle tallene på en vannrett rad, vinner. Spill gjerne flere ganger, og skriv resultatliste.
Hvilken sum dukker hyppigst opp? Sum 7 dekker hele diagonalen, det vil si 6 av 36 mulige svar. Kan elevene, på bakgrunn av disse funnene, tenke seg til hvilke rader det vil lønne seg å krysse ut?
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
Det vil være rader som inneholder de tallene som forekommer oftest. I det lange løp vil raden 4, 5, 6, 7, 8, 9 og raden 5, 6, 7, 8, 9, 10 vinne. Lærer:
LEksjon 1 / Sannsynlighet
7
1.2 Sum av to terninger. Del ut kopioriginal 1.2. Resultatlisten som hver gruppe skriver, skal vise hvilken rad vinneren fikk krysset ut i hver spilleomgang. I begynnelsen vil nok elevene krysse av vilkårlig. Men etter en stund vil de kanskje oppdage hvilken eller hvilke rader det lønner seg å krysse av i. Hvilke er det, og hva er forskjellen på radene? Tabellen i boka er en forenklet versjon av denne addisjonstabellen. +
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Tegn en oversikt på tavla med seks vannrette rader som representerer radene i tabellen i 1.2. Skriv gjerne det første tallet i raden slik at den gjenkjennes. Tegn deretter en loddrett kolonne til venstre, med Tellestreker som overskrift. Lag en liten statistikk ved å la gruppene fortelle hvilke rader som vant i spillene sine. Skriv én tellestrek ved tilsvarende rad i tabellen på tavla for hvert spilleresultat som leses opp. Summer til slutt tellestrekene i hver rad og skriv antallet. Hvordan stemmer resultatet fra klassen med det teoretiske resultatet, der 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 5, 6, 7, 8, 9, 10 forekommer hyppigst? Spør elevene hva årsaken kan være dersom klassens resultat avviker fra dette. Svaret er at det teoretiske resultatet er avhengig av svært mange spill.
5
Læringsmål
SANNSYNLIGHET
• Lære å vurdere sannsynligheten for at en hendelse kan skje.
Sannsynlighet er et mål for hvor stor sjanse det er for at en hendelse vil skje når den er en av flere muligheter.
Dere trenger
Målet for sannsynlighet blir oppgitt i desimaltall, brøk eller prosent, og er alltid mellom 0 og 1 (0–100 %).
• 1 terning per elevpar
Sannsynlighet lik 1 betyr at resultatet er gitt, det vil alltid skje. Umulig
Liten sjanse
Sannsynlighet lik 0,5 betyr at det i det lange løp skjer halvparten av gangene. 50 %
Stor sjanse
Sikkert
Sannsynlighet lik 0 betyr at dette er et umulig resultat, det vil aldri skje.
Oppstart Sannsynlighet og sjanse er begreper med samme betydning, og de blir brukt om hverandre.
1.3
Hvilket av lykkehjulene på platene A og B, lønner det seg å spille på? Gult felt gir gevinst.
Sirklene med pil kalles lykkehjul. Pila står stille, og lykkehjulet snurres rundt og gir gevinst dersom pila peker på et gult felt. 1.4
Spørsmål til figuren i gul boks.
Hva er sannsynligheten for tilfeldig å trekke en rød kule fra glassene? Er det 0, 1 eller 0,5?
Hvorfor er det første lykkehjulet plassert under Liten sjanse? Hvorfor er det andre lykkehjulet plassert under Stor sjanse? Hvis det skulle vært et lykkehjul under Umulig, hvordan skulle det sett ut? Hvis det skulle vært et lykkehjul under Sikkert, hvordan skulle det sett ut? Hvis du skulle byttet ut de to myntene med et lykkehjul, hvordan skulle lykkehjulet sett ut da? Vi sier at sannsynligheten er 0 eller 0 % dersom resultatet er umulig, og 1 eller 100 % dersom resultatet er sikkert. Hva vil du anslå at sannsynligheten er for gevinst i det første lykkehjulet? Svaret er 1/6. 1 av 6 ganger vil pila peke mot gult felt, teoretisk sett, altså i løpet av et stort antall ganger. Hva vil du anslå at sannsynligheten for gevinst er i det andre lykkehjulet? Fem av seks mulige gir gevinst, altså 5/6. Arbeid med oppgavene Sannsynlighet er et nytt og annerledes tema for elevene. Gi elevene tid til å tenke og til å samarbeide med en naboelev om de ønsker. Minn elevene på at tallene vi regner ut i sannsynlighet, gjelder teoretisk sett. Vi nærmer oss det teoretiske resultatet jo flere ganger vi spiller, men resultatet er først gyldig etter svært mange ganger. Avslutning Drøft oppgave 1.7 i klassen.
6
Leksjon 1 / SANNSYNLIGHET
a)
8
b)
c)
d)
e)
f)
LEksjon 1 / Sannsynlighet
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 1.3 A: Begge lykkehjulene er delt i seks like deler. I venstre lykkehjul vil pila teoretisk sett peke på et gult felt 2 av 6 ganger, som gir sannsynlighet lik 2/6. I høyre hjul er tilsvarende tall 3/6. Det vil med andre ord lønne seg å spille på det høyre lykkehjulet. B: Når vi sammenlikner lykkehjulene i B, har pila en sannsynlighet for å treffe gult felt 4 av 8 ganger i venstre hjul og 3 av 8 ganger i høyre hjul. I hvilket hjul har da pila størst sjanse for å treffe i gult felt? 1.4 I tre av glassene finnes ingen røde kuler. Hva er da sjansen for å trekke en rød kule? 0. I b) og c) er det kun røde kuler, så trekket vil uansett gi en rød kule. Sannsynligheten i b): Vi vil trekke rød kule 4 av 4 ganger: 4/4 = 1. I c) 1 av 1 trekk: 1/1 = 1. I f) vil vi trekke rød kule 2 av 4 ganger. Det gir sannsynlighet lik 2/4 = 1/2 = 0,5. Be elevene lese gul boks parallelt, for der omtales de samme resultatene.
1.5
1.9
sorter lykkehjulene fra minst til størst sannsynlighet for gevinst. Gult felt gir gevinst.
Vurder sannsynligheten til hvert utsagn. Dette er en del av et sjakkbrett. For å løse oppgaven bør du vite reglene for hvordan brikkene flyttes, eller samarbeide med en som kan det. Her blir ingen brikker tatt, og alle mulige trekk er like gode. Umulig, sikkert eller kanskje?
1
1.6
2
4
3
a) b) c) d) e) f) g)
sorter glassene fra minst til størst sannsynlighet for gevinst. Trekk av rød kule gir gevinst.
1
1.7
3
4
5
1.10
Jeg får 2 på neste terningkast. I neste uke er det 2 onsdager. Klæbo blir nummer 2 i neste skirenn i sprint. Neste vinner i hopp i Holmenkollen er 2 år gammel. Neste år har vi minst 2 ferier fra skolen.
Magiske regneegenskaper.
1) Kast alle terningene og summer tallene. 2) Velg ut én terning. Legg bunntallet til summen. 3) Kast samme terning på nytt, og legg det nye tallet til summen. Når elev 1 har gjort alt dette, får elev 2 se terningene. Elev 2 summerer alle øynene og legger til tallet 7. Dermed har elev 1 og 2 samme summen.
Tegn eller beskriv muntlig en situasjon der det er a) b) c) d) e)
Antall øyne under terningen kalles bunntallet.
Elevene arbeider parvis. Elev 1 skal kaste tre terninger som elev 2 ikke skal se utfallet av. Elev 2 sier:
skjer det sikkert, skjer det kanskje, eller er det umulig? a) b) c) d) e)
1.8
2
En hest i svart rute flytter til en svart rute. Bonden i F7 flytter til hvit rute. Hvit konge i G8 flytter til hvit rute. En løper i svart rute flytter til hvit rute. Bonden i G7 flytter til svart rute. Tårnet flytter til svart rute. Dronningen beveger seg på skrått og flytter til hvit rute.
Var dette flaks? Eller et triks?
ingen mulighet for å vinne sikker gevinst/sikkert å vinne stor sjanse for å vinne liten sjanse for å vinne 50 % sjanse for å vinne
Bytt roller og finn ut hvordan dette virker.
LEksjon 1 / Sannsynlighet
9
1.5 Her er det viktig å legge merke til at lykkehjulene er delt inn ulikt. Sirklene har nevnere som varierer fra 6 til 3. Vi skriver sannsynligheten som antall vinnersektorer (gule felt) delt på antall sektorer totalt. Brøkene er 2/6, 2/5, 1/4 og 2/3. Husker elevene at i brøker med like tellere vil brøken med minst nevner være størst? For å få 2 i alle tellerne utvider vi 1/4 til 2/8. Rekkefølgen blir: hjul 3 (2/8), hjul 1 (2/6), hjul 2 (2/5) og hjul 4 (2/3). Svaret kan kontrolleres ved å sammenlikne arealet til de gule feltene. 1.6 Elevene følger samme framgangsmåte. For hvert glass kan de spørre: Hvor mange røde kuler finnes det? Og hva er det totale antallet kuler? Brøkene som beskriver sannsynligheten, har ulike nevnere. Hva må gjøres for å kunne sammenlikne dem? Omgjøring til desimaltall gir disse svarene: 1: 2/4 = 0,5, 2: 3/3 = 1, 3: 4/9 (dvs. mindre enn 0,5), 4: 1/3 = 0,33 og 5: 0/2 = 0. Rekkefølgen blir: Boks 5 (0), boks 4 (1/3), boks 3 (mindre enn 0,5), boks 1 (0,5) og boks 2 (1). Sannsynligheten står i parentes. 1.7 Elevene må stille spørsmålene til hvert utsagn og vurdere. Vi anbefaler å gjennomgå oppgaven muntlig i slutten av timen.
10
LEksjon 1 / Sannsynlighet
1.8 Forslag til hjelpemidler som kan brukes: lykkehjul, kortstokk, kron og mynt. 1.9 Bildet viser løsningene på a, b, og c. a) En hest vil alltid måtte flytte til en annen farge. d) En løper beveger seg diagonalt og holder seg alltid til samme farge. e) En bonde kan flytte én eller to plasser rett fram i første trekk. f) Tårnet kan gå både vannrett og loddrett, men bør gå til hvitt felt og slå ut dronningen. g) Dronningen kan bevege seg én eller flere ruter i alle retninger. 1.10 Gjennomfør oppgaven med terninger. Forklaringen ligger i at antall øyne pluss bunntallet er lik 7.
7
Læringsmål
• Elevene skal forstå at sannsynlighet regnes ut ved å dele antall gunstige på antall mulige.
Dere trenger
• noen kortstokker til oppgave 1.17
SANNSYNLIGHET – ANTALL GUNSTIGE OVER ANTALL MULIGE • • • •
Totalt antall kuler i bollen er 9. Ved ett trekk er det 9 mulige kuler å trekke. Det er 4 røde kuler. Dersom det er ønskelig å trekke en rød kule, er det 4 gunstige kuler å kunne trekke.
Sannsynligheten for å trekke en rød kule kan skrives som P(rød kule) der P står for probability – sannsynlighet. Sannsynlighet =
Oppstart
4 9
P(rød kule) = — 4 9
5 9
P(ikke rød kule) = 1 – — = —
La elevene studere presentasjonen i gul boks. Hvis tegneren i boka legger til én rød kule til i bollen, hva blir da sannsynligheten for å trekke én rød kule?
1.11
Arbeid med oppgavene Skriv på tavla:
Bruk kulene i eksempelet ovenfor, og regn ut. a) P(gul kule) =
1.12
Hva blir sannsynligheten for å trekke en annen farge?
10
antall gunstige antall mulige
b) P(grønn kule) =
c) P(ikke grønn kule) =
Hva er sannsynligheten ved trekk av én kule? a) P(rød kule) = c) P(ikke rød kule) = e) P(rød kule) + P(blå kule) =
1.13
b) P(blå kule) = d) P(ikke blå kule) = f) P(grønn kule) =
Hva er sannsynligheten ved trekk av én kule? a) P(rød kule) = c) P(gul kule) = e) P(rød kule) + P(blå kule) + P(gul kule) =
b) P(blå kule) = d) P(ikke blå kule) = f) P(ikke gul kule) =
Sannsynligheten for en hendelse er antall gunstige delt på antall mulige. LEksjon 1 / Sannsynlighet
Denne definisjonen av sannsynlighet er sentral og viktig å kjenne til på alle nivåer i sannsynlighetsregning. Skriv videre: Sannsynligheten for å trekke en rød kule er: P(rød kule) = antall gunstige / antall mulige = antall røde kuler / totalt antall kuler Avslutning Gjør følgende oppgave sammen med klassen, og skriv løsningen på tavla, veiledet av elevene. Vi trekker en tilfeldig elev i klassen. Hva er sannsynligheten for at den som trekkes, er ei jente? P(jente) = antall gunstige / antall mulige = antall jenter / antallet i klassen Hva er sannsynligheten for at den som trekkes, er en gutt? P(gutt) = antall gunstige / antall mulige = antall gutter / antallet i klassen Skriv inn antallet i klassen og regn ut begge. Minn elevene på at utregninger med formelen i gul boks gir teoretisk sannsynlighet. Når et forsøk gjentas mange ganger, vil antall gunstige delt på antall mulige nærme seg den teoretiske sannsynligheten.
8
Leksjon 1 / SANNSYNLIGHET
LEksjon 1 / Sannsynlighet
11
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 1.11 Sannsynligheten for å trekke en gul kule, P(gul kule) = antall gule kuler / totalt antall kuler = 3/9 = 1/3. P(grønn) = 2/9. P(ikke grønn) kan løses ved å regne 1 − 2/9 = 7/9 eller ved å telle dem som ikke er grønne. 1.12 a) P(rød kule) = antall gunstige / antall mulige = antall røde kuler / totalt antall kuler = 5/7 Antall mulige er konstant og lik 7 i alle oppgavene. b) P(blå kule) = 2/7 c) P(ikke rød) = 1 − 5/7 = 2/7 d) P(ikke blå kule) = 1 − 2/7 = 5/7 e) P(rød kule) + P(blå kule) = 5/7 + 2/7 = 7/7 = 1 Dette angir sannsynligheten for å få en rød eller en blå kule. f) P(grønn kule) = 0/7 = 0 1.13 Det nye her er tre ledd. P(rød kule) + P(blå kule) + P(gul kule) = 3/10 + 5/10 + 2/10 = 10/10 = 1 Hva betyr det at sannsynligheten er lik 1?
1.14
1.15
1.17
Regn ut sannsynlighetene nedenfor.
kortstokken.
Vi trekker en tilfeldig danser.
Alle oppgavene på denne siden handler om kortstokken, og gjelder ett trekk.
a) b) c) d) e) f)
En kortstokk består av 4 sorter som hver har 13 kort. De fire sortene er hjerter, ruter, kløver og spar.
P(gutt) = P(jente) = P(jente med blå kjole) = P(gutt med rød bukse) = P(ikke gutt med blå bukse) = P(danser med blå klær) =
a) Hvor mange kort er det til sammen? Hjerter og ruter er røde, mens kløver og spar er svarte. b) Hvor mange kort er røde?
Esset kan ha verdi 1 eller 14. Det brukes oftest som det sterkeste kortet.
Hva er sannsynligheten for å vinne på lykkehjulene? Gevinst på gule felt.
a)
Bildekortene består av Knekt med verdi 11 Dame med verdi 12 Konge med verdi 13
c) Hva er sannsynligheten for å trekke en hjerter? P(hjerter) = 1
2
d) Regn ut sannsynlighetene.
4
3
1) P(spar) =
2) P(ikke spar) =
3) P(rødt kort) =
4) P(ikke rødt kort) =
e) Regn ut sannsynlighetene. 1) P(bildekort) =
b)
2) P(ess) =
3) P(konge) =
f) >, < eller = 1
1.16
2
4
3
1) P(ess)
Tegn en boks med blå, røde og grønne kuler. Tegn en boks til hver oppgave, slik at disse sannsynlighetene stemmer med ett trekk. 4 a) P(rød kule) = —
2 P(blå kule) = —
1 P(grønn kule) = —
1 b) P(rød kule) = —
1 P(blå kule) = —
2 P(grønn kule) = —
1 c) P(rød kule) = —
3 P(blå kule) = —
1 3 P(grønn kule) = 1 – — – —
7
3
4
12
7
2 8
■ P(toer)
3) P(knekt)
7
12
4
■ P(dame)
2) P(spar dame) 4) P(kløver)
4) P(ikke bildekort) =
■ P(ruter 10)
■ P(svart) – P(spar)
g) Hva er sannsynligheten? Kortet er en hjerter – hva er da sannsynligheten for at det er konge?
Kortet er et bildekort – hva er da sannsynligheten for at det er ruter?
Kortet er et ess – hva er da sannsynligheten for at det er hjerter ess?
Kortet er rødt – hva er sannsynligheten for at det er et bildekort?
8
LEksjon 1 / Sannsynlighet
LEksjon 1 / Sannsynlighet
13
1.14 Be elevene følge formelen som er skrevet på tavla. Antall mulige er 8. Antall gunstige er dem det spørres etter, og disse finner man ved å telle.
1.17 Det vil være en fordel å ha noen kortstokker som elevene kan bruke som hjelp i denne oppgaven.
1.15 a) P(gevinst) = antall gunstige/antall mulige = 2/6 = 1/3. Antall gunstige (gule) og antall mulige (totalt antall deler = nevner) varierer og må telles.
b) Antall røde = 2 ∙ 13 = 26.
1.16 a) Elevene kan se av svarene på de ulike sannsynlighetene at de kan tegne 4 røde, 2 blå og 1 grønn kule. Det totale antallet / antall mulige skal være 7. Bollen med kulene kan tegnes slik:
a) Antall kort = antall mulige = 4 ∙ 13 = 52. Elevene øves videre i å sette opp ulike uttrykk for sannsynlighet. De må avgjøre hva det spørres etter, dette er de gunstige. Hvor mange gunstige er det? Hvor mange mulige er det? I c–f er det 52 mulige. Be elevene se formelen på tavla og tenke antall gunstige delt på antall mulige. g) Her varierer antall mulige. To eksempler. Kortet er en hjerter – hva er da sannsynligheten for at det er konge?
P(rød) = 4/7 P(blå) = 2/7 og P(grønn) = 1/7
Kortet er en hjerter – hvor mange mulige gir det? 13. Det spørres etter konge – hvor mange gunstige kan det være? Det er kun én konge i hjerter, så sannsynligheten blir: gunstige/mulige = 1/13. Kortet er et bildekort – hva er da sannsynligheten for at det er ruter? Hvor mange bildekort? Antall mulige: Knekt, dame og konge i fire farger = 3 ∙ 4 = 12. Hvor mange er ruter blant disse? Svaret er 3/12.
9
Læringsmål
AKTIVITET
oppgaver til drøfting
• Forstå og bruke sannsynlighet i dagligdagse situasjoner. • Elevene skal lage spill med egne regler.
1.18
Utsagn om været. a) Værmeldingen varsler at det er 25 % sjanse for regn i morgen. Drøft om disse utsagnene stemmer. 1. På 1 av de neste 4 dagene vil det regne.
Dere trenger
2. Det vil regne 6 timer i løpet av det neste døgnet.
• 5 steiner eller brikker
3. Det vil regne på en fjerdedel av området. 4. Det vil regne en av fire ganger med et slikt varsel. b) Hva skal stå i de tomme feltene dersom oppgaven ovenfor hadde vært gitt med ca. 33 % sjanse for regn?
Oppstart
■ av de neste ■ dagene vil det regne. ■ timer i løpet av det neste døgnet. Det vil regne på ■ av området. Det vil regne én av ■ ganger med et slikt varsel.
1. På
2. Det vil regne
La elevene arbeide i grupper.
3. 4.
Arbeid med oppgavene Det som kanskje er mest krevende og morsomt, er å lage spilleregler.
Har du hørt den siste mattevitsen?
Sannsynligvis!
Alternativer: – La elevene gruppevis bestemme reglene. – Klassen kan fokusere på å lage spill og deretter spille dem. Gruppene kan bytte og spille hverandres spill. Avslutning Oppgave 1.19 La elevene komme med eksempler på utsagn som de har lagd til at noe sikkert, kanskje eller umulig kan skje. Gjennomgå og drøft oppgave 1.18 a) i klassen. Oppgaven gir øvelse i hvordan elevene kan strukturere og analysere en tekstoppgave.
1.19
skjer det sikkert, skjer det kanskje, eller er det umulig? Lag utsagn til hver av de tre alternativene.
14
LEksjon 1 / Sannsynlighet
Kommentarer til aktivitetene og veiledning av elevene 1.18 Utsagn om været. Hva sier/innebærer/betyr påstanden: Værmeldingen varsler at det er 25 % sjanse for regn i morgen? Hva er den gunstige her? Sannsynligheten angir sjansen for at det vil regne. Mulige dreier seg om når, og tidsrommet er avgrenset til i morgen. Hva sier/innebærer/betyr hvert utsagn? Innholdet må tolkes for å forstå om det omhandler påstanden over. Sorter vekk utsagn som dreier seg om andre forhold. a) Utsagnene må sjekkes i forhold til om de dreier seg om sannsynlighet for regn i morgen. 1. Utsagnet stemmer ikke fordi det omtaler de neste 4 dagene. 2. 6 timer er 1/4 av 24 timer, men det er ikke lengden med regnvær den gunstige handler om. 3. Nei, det er ikke areal med regn det handler om. 4. Ja!
10
Leksjon 1 / SANNSYNLIGHET
AKTIVITET
1.20
Lag et spill der du er sikret å vinne i lengden.
Eksempel på et spill som viser gevinst for ulike resultater: MMM og KKK gir 10 steiner i gevinst. Dette vil gi spilleren 10 (gevinst) − 5 (innsats) = 5 steiner i overskudd.
Deltaker satser 5 steiner.
MMK og KKM gir 5 steiner i gevinst. Dette vil gi 5 (gevinst) − 5 (innskudd) = 0 i overskudd. Vil denne gevinstfordelingen sikre at du som «bank» vinner i det lange løp? 1.21
Lag et spill der du er sikret å vinne i lengden. Deltaker satser 5 steiner.
+
1
2
3
4
5
6
Sum 2:
■
Sum 8:
■
■
Sum 9:
■
1
2
3
4
5
6
7
Sum 3:
2
3
4
5
6
7
8
Sum 4:
■
Sum 10:
■
3
4
5
6
7
8
9
Sum 5:
■
Sum 11:
■
4
5
6
7
8
9
10
Sum 6:
■
Sum 12:
■
5
6
7
8
9
10
11
Sum 7:
6
7
8
9
10
11
12
■
LEksjon 1 / Sannsynlighet
15
I b) går oppgaven ut på å fylle inn tallstørrelser på samme måte som i a). Kopier a), men bruk verdien 33 % i stedet for 25 %. 1.19 Skjer det sikkert, skjer det kanskje, eller er det umulig? Elevene skal lage utsagn som har de tre variantene av sannsynlighet som resultat. Oppfordre elevene til å hente ideer fra situasjoner i dagliglivet. Elevene kan også få tips ved å se på oppgaver tidligere i leksjonen.
MMM MMK MKM MKK 10 5 2 1
KMM KMK KKM KKK 1 2 5 10
1.21 Lag et spill der du er sikret å vinne i lengden. Dette er en fortsettelse av oppgave 1.2. Prinsippet er som i forrige oppgave. Når det gjelder gevinstfordeling kan det for eksempel gis høyere gevinst til de summene som oppnås sjelden, som 2 og 12. Gevinsten kan være lav for de summene som oppnås oftest, slik som 7, 8 og 6.
1.20 Lag et spill der du er sikret å vinne i lengden. Dette er en fortsettelse av oppgave 1.1. Elevene skal lage egne regler. Eleven som lager spillet er «banken» og skal selv ikke delta. Målet er å lage en gevinstfordeling som gjør at «banken» vinner. Hver spiller skal stille med en innsats, det vil si en verdi i form av brikker, steiner eller annet som legges i en pott. Oppgaven informerer om at hver deltaker satser 5 steiner.
11
SANNSYNLIGHET 2 LEKSJON 2
LEKSJON 2
2.1
SANNSYNLIGHET 2
Hvor mange blå og røde kuler? Arbeid i grupper på tre eller fire. En av elevene skal være kuletrekker. Kuletrekkeren fyller opp en kopp med røde og blå kuler, slik det er vist i tegningen nedenfor. Oppgaven går ut på å gjette fordelingen av røde og blå kuler i en kopp. Elevene vet at det totalt er 10 kuler, men skal ikke se innholdet. Kuletrekkeren trekker en kule, viser den til gruppa og legger den tilbake igjen. Elevene holder oversikt over antall røde og blå kuler som er trukket.
Læringsmål
• Elevene skal bli kjent med sannsynlighet gjennom lek og spill.
Når gruppa (minus kuletrekkeren) mener de har sett nok kuler, gjetter de antallet av hver farge. Ved feil svar fortsetter kuletrekkeren å trekke kuler, inntil gruppa ønsker å gjette for andre og siste gang. Gruppa noterer resultatet av gjettingene, se nederste boks. Alle gruppene bør rekke å gjette antallet i seks ulike kopper. Elevene bytter på å være kuletrekker.
Dere trenger
Drøft i klassen hvor mange trekk som må gjøres for å være sikker på å gjette rett fordeling.
• 2.1: Brikker, kuler eller annet med to ulike farger. Eventuelt papirlapper merket med A eller B • 9 pappkrus • 2.2: 1 terning til hver gruppe • kopioriginal 2.2
Gjetting etter:
■ trekk er: ■ blå, ■ rød.
Forberedelser 2.1 For å spare tid og unngå feil kan du gjerne gjøre ferdig pappkrusene med riktig fordeling av de fargede kulene. Skriv nummer på kruset slik at elevene kan holde orden på hvilke krus de har gjettet innholdet i. Oppstart Del elevene i grupper på 3 eller 4. La elevene lese oppgaven i 2.1 grundig, mens du velger en elev i hver gruppe som skal trekke kuler. Arbeid med oppgavene Begge oppgavene har som mål at elevene skal erfare de store talls lov: Når et forsøk gjentas mange ganger, vil antall gunstige delt på antall mulige nærme seg den teoretiske sannsynligheten. Avslutning Bruk oppgave 2.2 som avslutning, beregn ca. 10 minutter.
12
Leksjon 2 / SANNSYNLIGHET 2
■ trekk er: ■ blå, ■ rød. 16
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 2.1 Hvor mange blå og røde kuler? La kuletrekkeren notere antall trekk som gruppa foretar, før de gjetter antallet i koppen. Kuletrekkeren kan bruke oppsettet nederst på siden: Gjetting etter: … Når elevene har gjettet antall kuler av hver farge i seks pappkrus, kan det gjøres en oppsummering. Det sentrale spørsmålet er: Hvor mange trekk må dere ha for å fastslå antallet av hver farge?
Egne notater 2.2
Elevene fordeles i grupper på tre eller fire. En terning til hver gruppe.
Antall
Kast terningen 18 ganger. Noter resultatet fra hvert kast ved å skrive én tellestrek i tabellen. Lag et diagram slik som det nedenfor. Høyden på søylene viser hvor mange ganger de ulike terningene dukket opp i de 18 kastene.
7 6
ANTALL
5 4 3 2 1 0
2
1
3
4
5
6
ANTALL ØYNE PÅ TERNINGEN
Læreren tegner tabellen under på tavla, og skriver inn det summerte resultatet fra hele klassen.
ANTALL
Elevene tegner søyler i diagrammet på bakgrunn av tallene i tabellen. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
1
2
3
4
5
Antall
6
ANTALL ØYNE PÅ TERNINGEN
Drøft i klassen: Hva er forskjellen mellom resultatet i gruppenes tabeller og resultatet i tabellen for hele klassen? LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
17
2.2. Lag diagram eller bruk kopioriginal 2.2. Hver elev skal føre inn resultatene fra gruppas terningkast i tabellen, og tegne søyler i diagrammet. Når læreren innhenter resultatene fra gruppene, skal elevene også fylle inn tall i den nederste tabellen og tegne tilhørende diagram som viser klassens resultater. Er det jevnere høyde på søylene i diagrammet til klassen? Disse er tegnet på grunnlag av ca. 100 terningkast, mens gruppene kastet kun 18 ganger. Dermed er sjansen større for at resultatet fra trekningene nærmer seg det teoretiske resultatet. Teoretisk sett er det 1/6 sannsynlighet for å få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 i hvert kast. Det innebærer at søylene skal bli like høye etter svært mange kast. Vises denne trenden i søylene som gjengir klassens resultater?
13
Læringsmål
SANNSYNLIGHET – ANTALL GUNSTIGE OVER ANTALL MULIGE
• Elevene skal forstå de store talls lov, og ta hensyn til loven, både i utregninger og i drøftingsoppgaver.
kast en terning. Det er 6 mulige resultater. Dersom ønskelig resultat er 5 eller 6 øyne, er det 2 gunstige resultater.
Dere trenger
sannsynligheten for å få 5 eller 6 på ett kast er:
• terninger og mynter
2
P(5 eller 6) = — 6 sannsynligheten for å få noe annet enn 5 eller 6 er:
De store talls lov Når et forsøk gjentas mange ganger, vil antall gunstige delt på antall mulige nærme seg den virkelige sannsynligheten. Sannsynlighet =
2 4 P(5 eller 6) = 1 – — = — 6 6
Oppstart
Streken over (5 eller 6) betyr ikke.
La elevene lese teorien i den gule boksen.
2.3
Hva menes med de store talls lov? Her kan kuletrekkingen fra forrige time trekkes inn. Spør hvor mange trekkinger elevene måtte ha for å si med sikkerhet antallet av hver farge.
2.4
Sannsynligheten for å få 5 eller 6 er den samme som summen av sannsynligheten for å få 5 og sannsynligheten for å få 6: P(5 eller 6) = P(5) + P(6) Årsaken er at både 5 og 6 er gunstige.
antall gunstige antall mulige
2.5
Regn ut sannsynligheten. Terningen er 6-sidet. a) P(1) =
b) P(6) =
c) P(6) =
d) P(partall) =
e) P(oddetall) =
f) P(1 eller 2) =
g) P(1 eller 2)=
h) P(1, 2, 3, 4, 5 eller 6) =
i) P(primtall) =
Regn ut sannsynligheten. Terningen er 4-sidet. a) P(1) =
b) P(4) =
c) P(4) =
d) P(partall) =
e) P(oddetall) =
f) P(1 eller 2) =
g) P(1 eller 2) =
h) P(1, 2, 3, eller 4) =
i) P(primtall) =
Drøft utsagnene: rett, galt eller kanskje. Dette gjelder en 6-sidet terning. a) b) c) d)
18
Dersom jeg kaster en terning 6 ganger, vil jeg alltid få en sekser. Dersom jeg kaster en terning 6 ganger, vil jeg få partall halvparten av gangene. Dersom jeg kaster en terning 6 ganger, vil jeg få like mange primtall som oddetall. På ett kast vil det være enklere å få 1 eller 2, enn 5 eller 6.
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
Hva betyr P(5)? Legg merke til streken over 5-tallet. Se forklaringen nederst i gul boks.
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene
Arbeid med oppgavene
2.3 Antall mulige er 6 i alle deloppgavene. Hvorfor? Fordi terningen har 6 sider, og de mulige utfallene er: 1, 2, 3, 4, 5 og 6 øyne.
I oppgaver med terninger bør elevene ha sine egne terninger som de prøver seg fram med. Avslutning Drøft oppgave 2.9 i fellesskap. Oppgaven legger opp til forståelse av de store talls lov.
f) P(1 eller 2) = 2/6 fordi det er to gunstige. Her kan det også regnes P(1) + P(2) = 1/6 + 1/6 g) P(1 eller 2) betyr sannsynligheten for ikke å få 1 eller 2. Det vil si at de gunstige er 3, 4, 5 og 6. Utregning: 1 − 2/6 = 4/6 Antall gunstige kan alternativt telles. i) Primtall er kun delelige med seg selv og 1. 2.4 Oppgaven er helt lik 2.3, men her er antall mulige 4 dersom det brukes en 4-sidet terning. 2.5 Legg merke til at utsagnene gjelder resultatet etter seks kast og ikke etter «uendelig mange». a) Galt. Men i det lange løp vil jeg få en sekser i løpet av seks kast. b) Kanskje. I det lange løp vil det bli partall halvparten av gangene. c) I det lange løp vil det være like mange oddetall som primtall fordi antall oddetall er 3: (1, 3, 5) og antall primtall er 3: (2, 3, 5). d) Galt, det er 2/6 sjanse for begge utfallene.
14
Leksjon 2 / SANNSYNLIGHET 2
2.6
Kron
sannsynlighet i myntkast.
2.10
Mynt
b) Hva er P(kron) og P(mynt)? c) Du har kastet fire tikroninger og fått fire kron. Du kaster en ny tikroning. Hva er det størst sjanse for å få da?
a) Hva er P(liten straight)? b) Hva er P(stor straight)? c) Hva er P(liten eller stor straight)?
?
2.7
straight i Yatzy. Liten straight: 1, 2, 3, 4 og 5. Stor straight: 2, 3, 4, 5 og 6. Terningene til spillerne under viser resultatet av kastene så langt. Den femte terningen skal kastes.
a) Hvor mange mulige resultater finnes det ved kast av en mynt?
Et nyfødt barn er en gutt eller ei jente. Vi antar at det er like stor sjanse for å få gutt som å få jente. a) Hva er P(jente) og P(gutt)? b) På et sykehus er det født fire jenter på en kveld, og de venter ett barn til. Er det størst sjanse for at det femte barnet blir jente eller gutt?
2.8
kast med en 6-sidet terning. a) Etter kast av to terninger er resultatet to seksere. 1 Sannsynligheten for å få to seksere er — . 36
Hva er sannsynligheten for å få en sekser på det tredje kastet? b) Etter kast med tre terninger er resultatet tre seksere. 1 216
Sannsynligheten for å få tre seksere er — . Hva er sannsynligheten for å få en sekser på det fjerde kastet?
2.9
2.11
Hus i Yatzy. Hus er kombinasjon av tre like terninger, og to like terninger med en annen verdi.
Drøft to og to. a) Hvor mange kast med ett kronestykke må du gjøre for å være sikker på å få kron?
b) Hvor mange kronestykker må du kaste for å være sikker på å få to kron eller to mynt?
c) Hvor mange kast med en 6-sidet terning må du gjøre for å være sikker på å få en sekser?
d) Hvor mange 6-sidete terninger må du kaste for å være sikker på å få to like?
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
a) Du kan kaste en terning på nytt. Hva er sannsynligheten for å få hus? b) Du kan kaste en terning på nytt. Hva er sannsynligheten for å få hus? c) Du kan kaste en terning på nytt. Hva er sannsynligheten for å få hus?
19
20
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
2.6 a) En mynt har to sider: kron og mynt. Det er altså 2 mulige resultater.
d) Sju. Ved seks ulike utfall vil neste kast bli lik én av de forrige.
b) P(kron) = P(mynt) = 1/2
2.10 Terningene i båten viser 2, 3, 4 og 5.
c) Kastene som har gitt fire tikroner, har ingenting med det nye kastet å gjøre. Nytt kast og nye muligheter gir fremdeles den samme sannsynligheten for å få kron: P(kron) = 1/2.
a) For å få liten straight mangler 1.
2.7 a) Mulig resultat er enten jente eller gutt, altså to mulige. P(jente) = P(gutt) = 1/2.
P(6) = 1/6
b) Ser elevene et fellestrekk med oppgave 2.6 c)? Den siste fødselen har ikke noen sammenheng med de andre fødslene, og sannsynligheten for å få jente eller gutt er den samme og lik 1/2. 2.8 Her er det samme problematikk som i 2.6 c) og 2.7 b). I både a) og b) er det siste kastet et uavhengig kast med én terning. Sannsynligheten for å få en sekser, P(6) = 1 gunstig/6 mulige = 1/6. 2.9 Her er det de store talls lov som gjelder. a) Jo flere kast, desto større sjanse. Med andre ord kan det ikke oppgis et antall som gir kron med 100 % sikkerhet. b) Tre. La elevene prøve dette ut.
P(1) = 1/6 b) For å få stor straight mangler 6. c) Om utfallet er 1 eller 6, blir det en type straight. P(1) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 2.11 a) Her mangler 5 eller 6 for å få hus, og 4 kastes på nytt. Sannsynligheten for å få 5 eller 6 på ett kast er P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6, eller P(5 eller 6) = 2/6. b) Her er det to muligheter. Kast terningen med 5 øyne med ønske om 3: P(3) = 1/6. Eller kast terningen med 3 med ønske om 5: P(5) = 1/6. Sannsynligheten for hus vil være P(3) = P(5) = 1/6, uansett om man velger å kaste 3 eller 5 på nytt. Hva lønner det seg å gjøre med tanke på poeng? Tre firere og to femmere er best, så kast 3 på nytt. c) Ifølge reglene må en sekser kastes på nytt for å få hus med 3 seksere og 2 toere. P(2) = 1/6.
c) Jo flere kast, desto større sjanse. Med andre ord blir man aldri sikker.
15
Læringsmål
• Valgtre og tabell brukes for å sette opp alle de mulige på en systematisk måte. Elevene skal kunne bruke disse presentasjonene for å beregne sannsynlighet.
Dere trenger
SANNSYNLIGHET VIST I TABELL OG VALGTRE Alle mulige resultater for å få mynt og kron ved å kaste to mynter kan presenteres i et valgtre. Kast 1
Ved kast av to mynter er det fire mulige resultater: MM, KM, MK og KK.
M
Oppstart
M, M
Kan elevene forklare hvordan valgtreet er bygd opp? Det vil gi samme sluttresultat om vi kaster én mynt to ganger eller to mynter én gang. Illustrasjonen viser én mynt som kastes to ganger, og gir fire mulige utfall.
M, K
Kast 2
K
K, M
K, K
Mulige
Hva er sannsynligheten for å få to mynt, det vil si MM?
Hva er sannsynligheten for å få en kron og en mynt?
Det er én gunstig (MM) og fire mulige.
Det er to gunstige (MK og KM) og fire mulige.
Vi kan si at P(MM) = — 4
P(MK og KM) = — 4
1
La elevene studere innholdet i gul boks.
M
K
M
• 2 terninger • kopioriginal 2.14
K
2.12
2
Bruk valgtreet over. a) Hva er P(KK)?
2.13
b) Hva er P(KK)?
Valgtre med kjønnsfordeling. Skriv først alle mulige. Regn ut. a) P(2 gutter) = b) P(gutt og jente) = c) P(2 jenter) = d) P(en av hvert kjønn) =
J
G G
J
J
1 barn
G
2 barn
Arbeid med oppgavene 20
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
La dette stå på tavla:
Sannsynlighet = antall gunstige / antall mulige I de fleste oppgavene må elevene være bevisst på hva som er antall mulige, og hva som er den/ de gunstige i oppgaven.
21
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 2.12 I valgtreet over er det 4 mulige: KK, KM, MK og MM.
Avslutning
a) P(KK) = 1 gunstig av 4 mulige = 1/4
Drøft 2.15 h) i fellesskap. Se løsningsforslag for ideer.
b) P(KK) = 1 − 1/4 = 3/4. Elevene kan kontrollere utregningen ved å telle opp dem som ikke er KK. 2.13 Valgtreet viser 4 mulige ved to ukjente kjønn. Oppgave b) og d) har ulik formulering, men etterspør det samme. 2.14 Oppgaven viser alle kombinasjoner av kast med to terninger. Rødt tall står for terning 1, svart tall står for terning 2. a) Det er totalt 6 ∙ 6 = 36 muligheter.
1
2
3
6
2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,1
2
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
3
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
4
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
5
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
6
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
c) P(to like) = 6/36 (grønn diagonal)
Leksjon 2 / SANNSYNLIGHET 2
5
1
b) P(2 seksere) = 1/36
16
4
2.14
2.16
Tabellen viser alle mulige resultater for kast med to terninger. a) Hvor mange resultater er det totalt?
a) Skriv opp de 8 mulige resultatene for de tre kastene. Det ene er KKK.
2,1 er ikke det samme som 1,2
b) Hva er P(2 seksere)?
3
4
5
6
c) Hva er P(MMM)?
1,1
2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
d) Hva er sannsynligheten for å få to kron?
e) Hva er P(minst én femmer)?
2
1,2
2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
f) Hva kan du ha regnet ut 11 dersom svaret er ? 36
3
1,3
2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
e) Hvorfor er sannsynligheten for å få to kron den samme som det er å få en kron?
4
1,4
2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
5
1,5
2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
6
1,6
2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
f) Hvis du vet at to av kastene har blitt kron, hva er da sannsynligheten for at det tredje blir kron?
2.17
Hvilken sum forekommer oftest? Hva er P(sum 7)? Hva er P(sum 6)? Hva er P(sum 2)? Hva er P(sum 1)? Hva er P(sum 2 eller sum 12)? Er det størst sjanse for å få en sum som er partall eller oddetall? h) Hva kan du ha regnet ut dersom svaret er: 1)
3 36
2)
18 36
3)
34 36
4)
10 36
Hvilket alternativ er rett? Forklar. a) Vi antar at alle mødre i Norge med to barn har krysset av på et skjema om de har to gutter, to jenter eller én av hver. Vi trekker et tilfeldig skjema. Hva er sannsynligheten for at det er krysset av på én av hver?
Tabellen viser summene fra kast med to terninger. a) b) c) d) e) f) g)
22
2
1
d) Hva er P(to like)?
2.15
b) Hva er P(KKK)? 1
c) Hva er P(to like)?
Figuren viser mulige resultater for kast med én tikroning tre ganger.
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
1)
1 2
2)
1 3
3)
1 4
b) Hvis en far har to barn og du vet at det ene barnet er en gutt, hva er da sannsynligheten for at begge er gutter? 1)
1 2
2)
1 3
3)
1 4
c) Thomas er en middels straffesparkskytter. Det er cirka 50 % sjanse for at han skårer mål på straffe. Hva er sannsynligheten for at han skårer på minst én straffe dersom det blir to straffer i løpet av kampen? 1)
1 2
2)
2 3
3)
3 4
22 2 LEksjon 2 / Sannsynlighet 2 LEksjon / Sannsynlighet 2
23 2 2 / Sannsynlighet LEksjon 2 LEksjon / Sannsynlighet 2
d) P(to like) = 1 − 6/36 = 30/36 e) Antall gunstige er alle kombinasjoner med én eller to femmere. Bruk kopioriginal 2.14 til å fargelegge i. P(minst én femmer) = 11/36 (grønne felt)
1
2
3
4
5
6
2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1
1,1
2
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
3
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
4
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
5
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
6
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
f) Liknende som over, for eksempel P(minst én firer). 2.15 Elevene arbeidet med nesten samme tabell i 1.2, der de undersøkte frekvensen av tallene. h) Den gunstige tilsvarer telleren. Nevneren er antall mulige. Elevene må lete etter summer som stemmer overens med telleren. 1) 3/36 kan være P(sum 4). 2) 18/36 kan være P(sum partall).
23
2.16 a) Mulighetene er KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK, MMM. e) Se på mulighetene i a). Sannsynligheten for å få 2 kron er den samme som for å få 2 mynt. Kombinasjonene med 2 mynt har 1 kron: KMM, MKM og MMK. f) Her skjer det noe nytt. Det tas utgangspunkt i kombinasjonene med 2 kron. Det vil si at mulighetene er KKK, KKM, KMK og MKK. Når vi vet at det allerede er 2 kron, regner vi ut: P(KKK) = 1 gunstig av 4 mulige = 1/4. 2.17 a) Elevene bør først skrive alle mulige utfall: GG, GJ, JG, JJ: Én av hver kan være først gutt og deretter jente, eller først jente og deretter gutt. Det vil si 2/4 som tilsvarer 1/2 i oppgaven. b) Kombinasjoner med minst én gutt er GG, GJ, JG. Altså 3 mulige. Sannsynligheten for 2 gutter, GG, er da 1/3. c) Her står M for mål og B for bom. Mulighetene er MM, MB, BM og BB.
M M
B B
3) 34/36 kan være P(sum 11).
Skåring på minst én straffe gir disse gunstige:
4) 10/36 kan være P(sum < 6).
MM, MB og BM, Sannsynligheten er 3/4.
M
B
17
Læringsmål
AKTIVITET
2.18
• Elevene skal bruke det de har lært innen sannsynlighet, og bruke sin kreativitet i ulike problemstillinger.
Dere har en terning med 6 sider og en terning med 4 sider. Jobb sammen to og to. a) Sett opp en tabell som viser alle mulige resultater for ett kast med hver av terningene. b) Hvilken sum av terningene vil forekomme oftest? c) Lag fire sannsynlighetsoppgaver til tabellen som et annet elevpar skal løse.
Oppstart
2.19
Elevene jobber med 2.18 og 2.19 i par.
Figuren under er resultat av en undersøkelse i en klasse. Jobb sammen to og to. a) Tolk tallene i figuren.
2.20 er et spill som kan bedre forståelsen av posisjonssystemet. Dette spillet kan gjerne tas fram flere ganger.
b) Lag fire sannsynlighetsoppgaver som et annet elevpar skal løse.
Avslutning En variant av spillet er at læreren spiller alene mot alle parene, dersom det er tid. Parene kan kaste terningen etter tur.
24
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
Kommentarer til aktivitetene og veiledning av elevene 2.18 Sum av kast med 6-sidet og 4-sidet terning. a) Tabellen viser alle mulige summer som kan oppnås når to terninger kastes. +
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
Antall mulige er 6 ∙ 4 = 24. b) Ved å studere tabellen kan elevene finne hvilke summer som det er flest av: 5, 6 og 7. c) Sannsynlighetsoppgavene kan starte slik: Hva er sannsynligheten for … Dersom elevene trenger tips, kan de slå tilbake til eksempler på spørsmål i oppgave 2.15.
18
Leksjon 2 / SANNSYNLIGHET 2
AKTIVITET
2.20
2.20 Nærmest 1000. Målet er å få en sum nærmest 1000 etter å ha fylt inn tall fra terningkastene i regnestykket.
nærmest 1000. Spill to mot to. Parene kaster en terning annenhver gang, og fyller ut ett og ett spill. Begge parene plasserer tallene hvor de vil i sitt spill. Fortsett til de hvite feltene er fylt ut. Summer de tresifrede tallene og se hvem som kommer nærmest 1000.
Resultatet i spillet avgjøres av hvilke tall terningene gir, og hvor spillerne plasserer tallene i regnestykket.
Spill gjerne flere ganger.
Derfor er det viktig for elevene å tenke på verdien til tallposisjonene, i tillegg til hvilke tall som kan forventes å dukke opp. Elevene vil kanskje oppdage at det lønner seg å få sum lik 9 på hundreplassen, og dernest gjerne 9 på tierplassen.
+
+
=
+ =
LEksjon 2 / Sannsynlighet 2
25
2.19 Undersøkelse. a) Det grønne tauet som omslutter alt, er skiltet med Alle elevene. Vi kan derfor tenke at summen: 5 + 12 + 10 + 3 = 30 tilsvarer alle elevene. Hvor mange elever er innenfor rød ring med bringebær? 5 + 12. Av disse er 12 også innenfor sjokoladeringen. Tilsvarende kan beskrives innenfor blå ring. 3 elever er utenfor begge ringene. Elevene skal bruke disse opplysningene og formulere spørsmål knyttet til sannsynlighet. Eksempel: Vi vil gå ut fra at ringene viser hvor mange elever som liker bringebær og sjokolade. Hva er sannsynligheten for at denne klassen med 30 elever liker kun sjokolade? Svar: P(liker kun sjokolade) = 10/30 Tilsvarende spørsmål om bringebær, om hvor mange elever som liker både bringebær og sjokolade, og om hvor mange som ikke liker noen av delene, vil gi følgende sannsynligheter: P(liker kun bringebær) = 5/30 P(liker både sjokolade- og bringebær) = 12/30 P(liker ikke bringebær eller sjokolade)) = 3/30
19
SE ETTER SAMMENHENGER
LEKSJON 3
PROBLEMLØSING
LEKSJON 3
Se etter sammenhenger Helt siden første trinn har vi brukt bilder og sammenhenger for lettere å gjenkjenne et antall. Eksempler på dette er: 5+5
Læringsmål
• Elevene skal undersøke og forstå oppbygging av trekanttall og kvadrattall. • Elevene skal bruke problemløsingsstrategi for å løse oppgaver med liknende sammenhenger.
Forklar hvordan kvadrattall kan skrives som summen av to trekanttall. · Forstå problemet · Lag en plan · Utfør planen · Kontroller og reflekter Arbeid med oppgavene I gjennomgangen på denne siden er det viktig å aktivisere elevene ved å stille spørsmål og la dem få tid til å tenke og komme med forslag. Minn om at feil svar gir ekstra god mulighet for læring. Elevene skal øve seg på å bruke punktene i problemløsingsstrategien når de løser oppgavene 3.1–3.5. Avslutning La elevene komme med eksempler på hvordan de har brukt problemløsingsstrategien. Spesielt viktig er punktet Lag en plan, fordi det dreier seg om hvordan elevene har tenkt for å kunne løse oppgaven.
20
Leksjon 3 / PROBLEMLØSING
3
6
10
Kvadrattall
1
4
9
16
Forstå problemet. To trekanttall kan legges sammen til et kvadrattall. Det kan vises gjennom sammenheng mellom tallene og figurene. Lag en plan. Vurder hvilke tall som har sammenheng med hverandre. Vurder hvilke trekanter som kan legges sammen for å danne et kvadrat. Eller omvendt, hvordan dele et kvadrat slik at det blir to trekanter? Figurene deles eller tegnes på nytt. Utfør planen. Del et kvadrat slik at det blir to trekanter:
Kvadrattallet 16 = trekanttallet 10 + trekanttallet 6 Hva med andre kvadrattall?
Tegn de to første figurene av trekanttall og kvadrattall på tavla. La elevene foreslå de to neste figurene som skal føyes til på hver.
Gå gjennom problemløsingsstrategien med utgangspunkt i løsningsforslaget til oppgaven:
1
Oppgave: Forklar hvordan kvadrattall kan skrives som summen av to trekanttall.
Oppstart
Hva er systemet i oppbyggingen av figurene? Vi kan kalle slike figurer for figurtall fordi bestemte figurer uttrykker bestemte antall/mengder. Hvilke tall skal stå under hver figur? Hva er sammenhengen mellom figurtallene? Hva er sammenhengen mellom tallene?
Trekanttall
Tegn og del kvadratene for å se om de kan danne to trekanter. Sammenhengen mellom kvadrattallene og trekanttallene ser ut til å stemme. kontroller og reflekter. Vi har denne sammenhengen: I tabellen er kvadrattallene summen av trekanttallene under. Kvadrattall Trekanttall
4 1
9 3
16 6
10
Gjelder denne sammenhengen for alle kvadrattall og trekanttall? Kan vi finne ut dette ved å fylle ut og utvide tabellen?
26
LEksjon 3 / Problemløsing
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 3.1 Disse tallfølgene ble brukt på forrige side. Den første tallfølgen viser kvadrattall og framkommer ved å regne: 1 ∙ 1 = 1, 2 ∙ 2 = 4, 3 ∙ 3 = 9, 4 ∙ 4 = 16 osv. Neste tallfølge viser trekanttall. Tallene som trekantene bygges opp av, er: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 osv. Trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, … Elevene kan gjerne regne ut differansen mellom tallene i begge tallfølgene og se hva de oppdager. 3.2 Fibonacchi-tallene er en tallfølge der hvert tall er summen av de to forrige tallene, bortsett fra det første. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
PROBLEMLØSING
3.1
Hva er de tre neste tallene i tallfølgene? 1, 4, 9, 16, …
3.2
1, 3, 6, 10, …
Denne tallfølgen er kjent som Fibonacchi-tallene.
3.5 Her bør elevene gå systematisk fram.
Hva er de tre neste tallene? 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Forklar hvordan du finner neste tall i tallfølgen.
3.3
Rød diagonal er eksempel på en ny tallfølge fra gangetabellen, og den viser seg å være lik kvadrattallene. Det betyr at faktorene som multipliseres, er like.
Det er ett veivalg fra start til a: gå til høyre.
Dette er en del av gangetabellen.
Fra start til b er det 4 mulige veier:
Hva oppdager du om du regner 6 ∙ 15 og 9 ∙ 10? Hva med 6 ∙ 20 og 12 ∙ 10? Hva med 6 ∙ 25 og 15 ∙ 10? Hvorfor er det slik? Gjelder denne sammenhengen for alle utklipp av gangetabellen?
3.4
Fra start til c er det 10 mulige veier.
Merk disse tallfølgene i gangetabellen. 3, 6, 9,
■, ■, ■ og 5, 12, 21, ■, ■, ■
Skissene viser de ulike veivalgene:
Hvordan kan du bruke gangetabellen til å lage nye tallfølger? Hvor i gangetabellen finner du kvadrattallene? Forklar.
3.5
Hvor mange veier? Du kan kun gå til høyre eller rett ned. Hvor mange måter kan du komme fram til punktene a, b, c og d på?
4
3
2
3
2
1
2
1
1
Hvordan er systemet?
27
3.3 6 ∙ 15 = 6 ∙ (10 + 5) = 60 + 30 = 90 9 ∙ 10 = 90 Regnestykkene kan faktoriseres. 6 ∙ 15 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 9 ∙ 10 = 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 5
1
I regnestykkene over er 3 4 5 faktorene 6 ∙ 15 og 9 ∙ 10 delt 2 6 8 10 opp i lavest mulige faktorer. Faktorene på venstre side av 3 9 12 15 begge likhetstegnene er ulike produkter av grunnfaktorene: 2, 3, 3 og 5. 3.4 Tallfølgen 3, 6, 9, … finnes i grønn kolonne. 5, 12, 21, … finnes i blåfarget diagonal. Vi finner faktorene til det enkelte produktet ved å lese av i tabellen. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24 27 30
4
4
8
12
16
20 24 28 32 36 40
5
5
10
15
20 25 30 35 40 45 50
6
6
12
18
24 30 36 42 48 54 60
7
7
14
21
28 35 42 49 56 63 70
8
8
16
18
32 40 48 56 64 72 80
9
9
18
27 36 45 54 63 72
10
10
20 30 40 50 60 70 80 90 100
81
Fra start til d er det 20 muligheter. Hver av de ti figurene over viser mulige kombinasjoner for å komme ned til linje 3. Tallet under hver figur angir antall mulige veier fra punktet der grønn strek treffer linje 3, til d. Antall veivalg fra start til a, b, c og d gir følgende tallfølge: 1, 4, 10 og 20. Økningen mellom tallene i tallfølgen er sammenfallende med trekanttallene: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 6 og 1 + 3 + 6 + 10. En utvidet tegning har fem linjer og et rødt punkt merket med e. Kan du bruke fortsettelsen av tallfølgen over til å finne ut hvor mange ulike veivalg som finnes fra start til e?
90
21
REGNEREKKEFØLGE LEKSJON 4
REGNEREKKEFØLGE
LEKSJON 4
4.1
Finn fram prikkebrikkene. Arbeid i grupper med tre eller to elever. Hver elev skal legge opp to samlinger med brikker, og skrive tilhørende regnestykke på et ark. Hver samling består av én eller to brikker, og tilsvarer et ledd i et addisjonsstykke. Se de to eksemplene nedenfor. Elevene må skjule brikkene for de andre med et ark.
Læringsmål
En elev viser regnestykket sitt, og de andre regner ut. Så fjernes arket, og de andre vurderer om de regnet rett.
• Regnerekkefølge. I denne økta skal elevene oppdage at vi må multiplisere før vi adderer.
Deretter viser neste elev sitt regnestykke, og de andre gjør som beskrevet ovenfor. Gjenta hele prosessen noen ganger. Her vises to eksempler på valg av brikker med tilhørende regnestykker.
Dere trenger
• brikker med prikker Oppstart
2∙6+4=
4.2
Del ut brikker til hver gruppe og forklar framgangsmåten i oppgave 4.1. Gjennomgå de to eksemplene som viser ulike samlinger av brikker med tilhørende regnestykker. Be elevene legge merke til at vi legger sammen brikker og derfor har et addisjonsstykke. Men det ene leddet i addisjonsstykket skal uttrykkes ved hjelp av multiplikasjon.
5+3∙3=
Tre samlinger med brikker Oppgaven er lik den forrige, men her skal det legges opp brikker i tre samlinger, som danner tre ledd i regnestykket. Eksempel:
3∙4+5+4∙4=
28
LEksjon 4 / Regnerekkefølge
Tallene som adderes, kalles addender eller ledd.
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene
Arbeid med oppgavene
4.1 Prikkebrikker.
Følg med på at regnestykkene som elevene lager, inneholder multiplikasjon og ikke kun addisjon.
Elevene mottar regnestykker uten å se brikkene. For å komme fram til riktig svar vil elevene erfare at de må multiplisere før de adderer.
Avslutning Oppsummer timen ved å høre eksempler fra elevene på noen løsningsforslag til oppgave 4.2. La elevene komme med forslag til regnestykker og svar som du skriver på tavla. I 4.3 kan samtalen ledes ved å stille spørsmål til ulike regnestykker, for eksempel: Hvordan fant dere ut hvilke figurer / hvilken figur som hører til regnestykket 3 + 2 · 4? Konklusjon Vi må multiplisere før vi adderer. Skriv på tavla: Regnerekkefølgen er: – Regn ut parenteser – Multipliser – Adder
22
Leksjon 4 / REGNEREKKEFØLGE
Brikkene vil gi et visuelt bilde på hvorfor. I oppgaver som 2 · 6 + 4 vil nok mange regne riktig selv om de ikke kan regnerekkefølgen, siden det fungerer å regne fra venstre mot høyre. Derimot vil man få feil svar i oppgaver som 5 + 3 · 3 om man regner fra venstre mot høyre. Gå rundt og observer elevene. Se at alle klarer å skrive ett av leddene med multiplikasjon. I stedet for 8 brikker kan de skrive 2 ∙ 4.
4.3
Hvilken regnerekkefølge gir riktig svar? Har noen et tips til hvordan vi skal huske riktig rekkefølge?
Hvilken eller hvilke figurer tilhører regnestykket? Diskuter i gruppa. a
b
c
d
e
f
Hvis elevene ikke får 10 som svar, bør de sjekke brikkene. Har antall brikker endret seg fra forrige eksempel? Brikkene har bare byttet plass. Da må antall prikker være det samme; svaret på regnestykket 4 + 2 · 3 må være lik svaret på regnestykket 2 · 3 + 4.
3+2∙4=
2∙4+3=
4.2 Tre samlinger med brikker. Denne oppgaven er nesten lik den forrige, forskjellen er at tre mengder av brikker skal adderes i stedet for to. Elevene som eventuelt ikke har fått til 4.1, bør fortsette å jobbe med den eller liknende oppgaver.
2 ∙ (4 + 3) =
g
h
i
j
2∙4+2∙3=
4.3 Hvilken eller hvilke figurer tilhører regnesykket?
4+3+4+3=
3 + 2 ∙ 4 = 3 + 8 = 11 LEksjon 4 / Regnerekkefølge
29
Tilhører f) siden det er én treer + to firere. 2 ∙ 4 + 3 = 8 + 3 = 11
Felles gjennomgang av 4.1 Be om eksempler fra gruppene. En gruppe kan ha lagt opp følgende:
Tilhører a) siden det er to firere + én treer. 2 ∙ (4 + 3) = 2 · 7 = 14 Tilhører c) og g) siden det er to par der hvert par består av 4 + 3. 2 ∙ 4 + 2 ∙ 3 = 8 + 6 = 14 Tilhører d) og g) siden det er to firere + to treere. 4 + 3 + 4 + 3 = 14 Tilhører j) siden det er én firer + én treer + én firer + én treer.
Spør hvilket regnestykke som er lagd til disse brikkene. Regnestykket må inneholde multiplikasjon. Følger vi oppsettet fra oppgavebeskrivelsen, kan det være 2 · 3 + 4 = Hvordan har elevene som fikk dette regnestykket, regnet? For å få riktig antall brikker må det først multipliseres og deretter adderes. Kontroller svaret med brikkene som er lagt opp. La deretter brikkene bytte plass.
Hvilket regnestykke passer her? 4+2·3=
23
L Æ R E RV E I L E D N I N G
VOLUM 5B
– et nytt læreverk i matematikk for barneskolen etter fagfornyelsen 2020. Verket har en tydelig og forutsigbar struktur, og et stort og variert oppgavemangfold. Lærerveiledningen er lærerens verktøykasse for å oppfylle VOLUMs grunnideer om å gi elevene læringsglede og mestring i matematikkfaget. Undring og tid til å diskutere matematikk i fellesskap står sentralt.
Åse Marie Bugten, Morten Johannessen
5B
Boka gir faglig og didaktisk støtte til undervisningen gjennom forslag til struktur, gjennomføring av timen og veiledning til oppgaver og aktiviteter. Lærerens rolle som veileder er uvurderlig for elever på alle nivåer, og lærerveiledningen utfyller elevboka underveis i dette viktige arbeidet. I et trygt og raust læringsfellesskap kan elevene argumentere og dele ideer – og på den måten bidra til å utvikle et felles, presist og hensiktsmessig matematisk språk.
ISBN 978-82-11-03527-1
LÆRERVEILEDNING
Les mer om verket på www.fagbokforlaget.no
VOLUM MATEMATIKK FOR BARNETRINNET 5B