L Æ R E RV E I L E D N I N G
VOLUM 6A
– et nytt læreverk i matematikk for barneskolen etter fagfornyelsen 2020. Verket har en tydelig og forutsigbar struktur, og et stort og variert oppgavemangfold. Lærerveiledningen er lærerens verktøykasse for å oppfylle VOLUMs grunnideer om å gi elevene læringsglede og mestring i matematikkfaget. Undring og tid til å diskutere matematikk i fellesskap står sentralt.
Bugten, Johannessen, Rojahn Olafsen
6A
Boka gir faglig og didaktisk støtte til undervisningen gjennom forslag til struktur, gjennomføring av timen og veiledning til oppgaver og aktiviteter. Lærerens rolle som veileder er uvurderlig for elever på alle nivåer, og lærerveiledningen utfyller elevboka underveis i dette viktige arbeidet.
Les mer om verket på www.fagbokforlaget.no
ISBN 978-82-11-04118-0
LÆRERVEILEDNING
I et trygt og raust læringsfellesskap kan elevene argumentere og dele ideer – og på den måten bidra til å utvikle et felles, presist og hensiktsmessig matematisk språk.
MATEMATIKK FOR BARNETRINNET 6A
6A LÆRERVEILEDNING Åse Marie Bugten Morten Johannessen Audun Rojahn Olafsen
HVA KAN LÆRERVEILEDNINGEN HJELPE DEG MED? Elevboka, lærerveiledningen og løsningsforslaget er nært knyttet sammen og danner en komplett enhet i læreverket Volum. Lærerveiledningen har som hovedmål å gi faglig og didaktisk støtte til læreren i arbeidet med å nå elevenes kompetansemål. Lærerveiledningen kan brukes i forarbeidet til hver time og er ei nyttig håndbok å ha med seg i timen. Lærerveiledningen gir hjelp til strukturering og gjennomføring av timen. For hver økt i elevboka har lærerveiledningen ∙ faksimile som viser til elevboka ∙ forslag til plan og gjennomføring av timen ∙ kommentarer til oppgaver og aktiviteter, samt forslag til veiledning av elevene Plan for timen ∙ Læringsmål sammenfatter lærestoffet som elevene skal øve på. ∙ Oppstart introduserer dagens emne med definisjon av begreper og utredning av aktuell teori. Her kan læreren finne forslag til spørsmål og drøfting knyttet til forståelse av og framgangsmåten i oppgavene. ∙ Arbeid med oppgavene inneholder forslag til organisering av arbeidet, utdyping av matematisk innhold og didaktiske vinklinger. ∙ Avslutning gir forslag til gjennomgang av sentrale oppgaver som oppsummerer øktens læringsmål. Her er det rom for spørsmål fra elevene og drøfting av spesielle utfordringer og misoppfatninger. Kommentarer til oppgavene og hvordan veilede elevene God veiledning forutsetter matematisk kunnskap og kjennskap til egnede didaktiske metoder. Et overordnet prinsipp er at læreren skal veilede og ikke forelese. Det er derfor svært viktig at de faglige og didaktiske kommentarene til oppgavene brukes til å stille ledende spørsmål til elevene. Den matematiske samtalen skal bidra til undring og analytisk tenkning hos elevene. Dette krever tid, tålmodighet og arbeidsro. Kommentarene til aktivitetssidene i elevboka gir utfyllende forklaring til hvordan spill og aktiviteter kan gjennomføres. Det gis praktiske tips, forslag til variasjon og alternativ gjennomføring der det er aktuelt. Grunntanken i verket bygger på å skape et trygt læringsfellesskap der elevene opplever glede og mestring og motiveres til å utvikle egne evner. Lærerens innsats er avgjørende for å støtte og inspirere den enkelte elev i sitt arbeid med å utforske, prøve og feile, og drøfte tanker og ideer med medelever. God veiledning!
INNHOLD LEKSJON 1
KVADRAT, REKTANGEL OG PARALLELLE LINJER ............................................................................ 4
LEKSJON 2
LEKSJON 12
ANVEND OG REPETER LEKSJON 9, 10 OG 11 ...80
LEKSJON 13
VINKELSTØRRELSER ................................................12
DESIMALTALL – MULTIPLIKASJON OG DIVISJON.....................................................................82
LEKSJON 3
LEKSJON 14
LEKSJON 4
LEKSJON 15
LEKSJON 5
LEKSJON 16
LEKSJON 6
LEKSJON 17
LEKSJON 7
LEKSJON 18
LEKSJON 8
LEKSJON 19
LEKSJON 9
LEKSJON 20
LEKSJON 10
LEKSJON 21
KONSTRUKSJON ......................................................20 ANVEND OG REPETER LEKSJON 1, 2 OG 3 ......28 VINKELSUM I TREKANTER OG FIRKANTER ......30 TREKANTER ................................................................38 FIRKANTER .................................................................46 ANVEND OG REPETER LEKSJON 5, 6 OG 7 .....54 REGNEARTENE ..........................................................56 DESIMALTALL .............................................................64
LEKSJON 11
DESIMALTALL – ADDISJON OG SUBTRAKSJON .......................................................... 72
BRØK, DESIMALTALL OG PROSENT....................90 ANVEND OG REPETER LEKSJON 13 OG 14 .......98 FIRKANTER – AREAL OG OMKRETS ................. 100 TREKANTER – AREAL OG OMKRETS................ 108 ANVEND OG REPETER LEKSJON 16 OG 17 ...... 116 TRAPES ....................................................................... 118 MANGEKANTER ...................................................... 126 ANVEND OG REPETER LEKSJON 19 OG 20 ....134
OG PARALLELLE LINJER LEKSJON 1
LEKSJON 1
KVADRAT, REKTANGEL OG PARALLELLE LINJER
Læringsmål
• Elevene skal gjenkjenne, beskrive og utforske geometriske figurer.
Dere trenger
• kopioriginal 1.1
Oppstart Elevene skal beskrive, tegne, konstruere og bruke vinkler, linjer og mangekanter i 6B. Elevene har arbeidet med disse emnene på småskoletrinnet og med omkrets og areal på 5. trinn. Her skal elevene drøfte form og egenskaper til ulike geometriske figurer.
6
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
Start på oppgave 1.1 ved å tegne på kopioriginal 1.1.
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene
Arbeid med oppgavene
1.1 Del ut kopioriginal 1.1.
Elevene kan gjerne tenke og finne løsninger på egen hånd før de drøfter og sammenlikner med en annen elev.
Fra småskoletrinnet skal elevene være kjent med trekanter, firkanter, vinkler og parallelle linjer. I 6B blir definisjonene for de ulike mangekantene presentert og drøftet. Drøfting kan gå ut på å diskutere forskjeller og likheter mellom for eksempel trapes og parallellogram. Elevene vil erfare at et parallellogram også er et trapes, men ikke nødvendigvis omvendt.
Avslutning La elevene tegne på tavla de ulike geometriske formene de finner. Still spørsmål til figurene som tegnes, for eksempel: Hvordan vet du at det er et rektangel? Finner du flere rektangler? Dersom elevene finner en trekant med like lange sider, kan du spørre om de vet at den er likesidet, og om de finner flere likesidede trekanter. Hva kalles en firkant med like lange sider der vinklene er rette? Finnes det ett eller flere kvadrater i tegningen?
Elevene gjenkjenner så mange geometriske figurer som mulig i bildet. De kan drøfte og forsøke å huske hva som skiller formene fra hverandre.
Om det er tid til overs, kan spørsmålene til 1.2 c) gjennomgås.
4
Leksjon 1 / KVADRAT, REKTANGEL OG PARALLELLE LINJER
1.1
1.2 c) Figurene kan skilles fra hverandre ved at elevene ser på ulike egenskaper som lengden på sidekantene, parallelle sider og størrelsen på vinkler.
samtalebilde. Kan dere finne eksempler på geometriske former i illustrasjonen? Med geometriske former begrenser vi oss her til todimensjonale figurer som er avgrenset av linjer eller linjestykker.
1.2
Mangekanter. a) Hvilke mangekanter finner dere i illustrasjonen? b) Hvor skjuler disse formene seg: rektangel – kvadrat – parallellogram – trapes – drake – sekskant – likesidet trekant – likebeint trekant – rettvinklet trekant – sirkel. c) Studer mangekantene under som er merket med bokstaver. Sammenlikn figurene og finn likheter og forskjeller. Se etter parallelle sider, like vinkler, lengder av sidekanter, og så videre.
A
F
B
C
G
H
D
I
E
J
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
7
Hvilke firkanter har – fire like lange sider? Parallellogrammet D. Tegn også et kvadrat på tavla. – to nabosider som er like lange? D og I – kun to parallelle sider? C, E, F – to og to parallelle sider? A, C, D, H, J – ingen parallelle sider? G og I – to rette vinkler? B, F, J – fire rette vinkler? B og J – to og to motstående vinkler som er like store? A, B, D, H, I og J – like lange diagonaler? B og J
1.2 a) Hvilke mangekanter finner dere i illustrasjonen? Spørsmålene kan forstås som at vi skal finne samtlige mangekanter i hver kategori. Denne figuren er et lite utklipp fra samtalebildet. Utklippet inneholder rektangler (3), trekanter (2), trapeser (5), sekskanter (2?) og sirkler (hodet til naglene). Spørsmålet kan også tolkes som hvor mange ulike mangekanter som finnes.
b) Be elevparene beskrive form og egenskaper til figurene de finner. Finner de flere figurer av samme type, og er figurene like eller ulike med tanke på størrelse og form?
5
Læringsmål
DEFINISJON AV REKTANGEL OG KVADRAT
Elevene skal kunne • definisjonene på rektangel og kvadrat • sette navn på hjørner og sidekanter
D
A
Elevene bør forsøke å løse oppgavene selv og deretter drøfte løsningene med en medelev. De to første oppgavene er øvelse i å gjenkjenne navn/betegnelser på linjestykker, hjørner og vinkler. For å løse de øvrige oppgavene må elevene anvende definisjonene. Avslutning En gjennomgang med drøfting av oppgave 1.5 gir en nyttig oversikt over egenskapene til figurene. Still for eksempel følgende tilleggsspørsmål: – I hvilke figurer er alle sidekantene like lange? – I hvilke figurer er to nabosider like lange? – I hvilke figurer er to motstående sidekanter like lange? – Hvordan vil du argumentere for at figur A er en firkant?
6
s
B
a
E
F
s
kVADRAT er en firkant der alle vinklene er 90 grader, (90°), og alle sidene er like lange. Kvadratet er bestemt av punktene EFGH. Sidekantene s = 3 cm.
REkTAnGEl er en firkant der alle vinklene er 90 grader, (90°). Rektangelet over er bestemt av punktene ABCD. Sidekant AB kalles a. Lengden av a = 5 cm. Sidekant BC, b = 3 cm. Vinkelen i B kan vi skrive som ∠ ABC = ∠ B = 90°.
Kvadrat og rektangel har elevene jobbet med siden 2. trinn. I gul boks presenteres definisjonene. Gjør oppmerksom på hvordan hjørner og sidekanter er merket. A er for eksempel et punkt som beskriver hvor hjørnet ligger. Sidekant AB kalles a, og er et linjestykke med en bestemt lengde.
Arbeid med oppgavene
G
b
Oppstart
La elevene tegne rektangelet og kvadratet som er tegnet i gul boks, i et rutenett. De skal merke hjørner og mål på sidekantene med bokstaver. Ser de et system i hvordan bokstavene er fordelt? Vanligvis er rekkefølgen på bokstavene i hjørnene satt slik: Start nede til venstre og gå mot klokka, følg alfabetisk rekkefølge. Det samme gjelder for sidekantene, bortsett fra i kvadrater, der s angir lik sidelengde på alle sidene.
H
C
I rektangler og kvadrater er diagonalene like lange.
1.3
Hvor lange er sidekantene i firkantene over? BC =
1.4
■
■
EF =
■
GH =
■
Hvilke av vinklene er like i firkantene over? ∠A
∠ EFG
1.5
CD =
∠ ABC
∠ DAB
∠ BCD
∠B
∠C
∠F
EH =
■ ∠ FGH ∠G
A B
Hvilke figurer er a) firkanter
C
D
s
s
b) kvadrater c) rektangler
E
s
F
G
s
8
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 1.3 Ved å studere de oppgitte målene på figurene i gul boks ser vi at 1 cm tilsvarer lengden av en side i ei rute. Følg med på at elevene forstår hvor de ulike sidene befinner seg på firkanten. 1.4 ∠ A er her lik ∠ BAD eller ∠ DAB. I noen situasjoner er det behov for å oppgi hvilke linjestykker som er vinkelbeina til den aktuelle vinkelen.
1.5 For å finne ut om mangekanten er en firkant, kan man telle sidekanter eller antall hjørner. Figur A er en firkant selv om den er konkav. Konkav vil si at den har et «innvendig» hjørne.
Leksjon 1 / KVADRAT, REKTANGEL OG PARALLELLE LINJER
1.6
1.9
Del mangekantene med én strek, og lag
kvadrater. Tegn kvadrater slik at hjørnene ligger på punkter. Hvor mange kvadrater klarer du å lage?
1.7
a) to like rektangler
b) to kvadrater
c) et kvadrat og et rektangel
d) to kvadrater
Figur 1
skriv koordinatene.
1.10
Tegn de to kvadratene ABCD og EFGH. Hvilke koordinater har D og H? Den loddrette linja har verdi lik 4, x = 4. Den vannrette linja har verdi lik 2, y = 2. Skjæringspunktet mellom de to linjene har koordinatene (4, 2).
y 6 G
4
C
3
y
F
2
3 (4, 2)
2
1 A
1 0
Rektangler. Tegn rektangler slik at hjørnene ligger på punkter. Hvor mange rektangler klarer du å lage?
5
-1
Figur 2
-2 1
2
3
4
5
6
x
-1
0
E
B 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
-1
-1
Figur 1
1.8
Tegn punkter i koordinatsystemet.
1.11
y 7
Sidelengden i hver rute er 1 cm.
Figur 2
Drøft om arealene av rektanglene o og B er like store.
6
O
5
a) Tegn punktene A (3, 2) og B (7, 2).
4 3
b) Hvor langt er linjestykket AB?
B
2
I rektangelet ABCD er lengden BC = 3 cm. c) Tegn punktene C og D.
1 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
x
9
1.7 og 1.8 La elevene vise det som Hexa sier. Koordinatsystemet er kjent fra 3. trinn, men forståelsen av det utvides stadig. Her skal kunnskap om koordinater og definisjoner om kvadrat og rektangel brukes. 1.9 I figur 1 kan man finne til sammen 6 kvadrater. Her er to av dem tegnet.
10
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
1.10 Det er viktig å huske at kvadrater også er rektangler. Dermed blir det mange mulige rektangler. I figur 1 er det 10 muligheter. I figur 2 er det 44 muligheter. Det lønner seg å jobbe systematisk. Start for eksempel med det minste arealet:
I figur 2 er det til sammen 20 kvadrater. Blant disse er det 2 som er like store som dette. … og så videre. 1.11 Arealet av O er lik arealet av B. Det ser vi ved å se på resten av rektangelet. Den lyseblå A A O trekanten = den rosa trekanten. D B O+D+A=B+D+A D O=B
7
Læringsmål
PARALLELLE LINJER linje linje
3 cm
cm
Be elevene studere det som presenteres i gul boks. Be dem deretter tegne to skrå linjer som er parallelle. Hvordan vet de at linjene er parallelle? Stigningsforholdet eller gradienten til ei linje bestemmes ved å undersøke hvor mye linja stiger eller synker når vi går én enhet vannrett til høyre. Med andre ord: Hvor mye stiger eller synker y-verdien til linja når x øker med 1?
linje
De rette linjene l og m har lik avstand fra hverandre. De er parallelle, og vi skriver l ∥ m.
m
m
ac
3 cm
Under veiledning av den enkelte elev er det fornuftig å stille spørsmål som trinnvis hjelper eleven fram til en løsning. Etter å ha tegnet parallelle linjer bør de kunne forklare hvordan de gikk fram. Avslutning Oppgave 1.16 gir repetisjon i bruk av koordinater. For å finne punkt D må elevene bestemme stigningsforholdet på den parallelle linja. Tegn og ta imot forslag fra elevene.
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
11
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 1.12 Bruk informasjonen i gul boks for å avgjøre om linjene er parallelle eller ikke. Linjene j og k er parallelle. 1.13 Linjer med likt stigningsforhold er parallelle. Linjene f og k har likt stigningsforhold. For begge gjelder følgende: Fra et punkt på linja kan du gå 4 vannrett til høyre og 3 loddrett ned og treffe et annet punkt på linja. Linjene g og i er også parallelle. 1 4
4 2
1 3
8
bc
m
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
Oppmuntre elevene til å løse oppgaven alene før de sammenlikner med en naboelev.
Tegnet betyr ikke parallell.
bc
m
ac
Linjer med likt stigningsforhold er parallelle. Arbeid med oppgavene
Velg et punkt på linje l. Gå 1 cm til høyre og 3 cm loddrett ned for å treffe et nytt punkt på linja. Dersom vi kan gjenta det samme på linje m, er linjene parallelle: l ∥ m.
Er linjene parallelle? Svar for eksempel f ∥ g eller f ∦ g.
2 cm
Spør elevene hva stigningsforholdet til linjene i den høyre figuren er. Ved å gå 1 cm til høyre må vi gå 3 cm loddrett ned for å treffe linja. Linjene synker med 3 for hver enhet vi går til høyre.
linje
Er linje l og m parallelle?
Linje m og l vil aldri krysse hverandre siden de er parallelle.
1.12
3 cm
cm
1 cm
2
Oppstart
10
1 cm
2
• Elevene skal kunne avgjøre om linjer er parallelle, og de skal kunne tegne parallelle linjer.
Leksjon 1 / KVADRAT, REKTANGEL OG PARALLELLE LINJER
2
3
1.13
1.16
Hvilke av linjene er parallelle?
Foreslå et punkt D som gjør at linjestykkene AB og CD blir parallelle. Skriv koordinatene. a)
b)
6
3 A
5
C
1
3
-3
2 1 -2 -1
0
B
2
4 -2
-1
0 -1
B
1
2
3
4
C
A 1
2
3
4
5
6
-1
1.14
Hvilke sider i firkantene er parallelle?
D
D
C D
D
C
C
1.17
a) Lag begge pilene med brikkene. De illustrerer to hytter.
C
b) Lag en tegning av hyttene med markering av hvilke brikker som ble brukt. c) Hva er likt og ulikt på hyttene?
A A
B
A A
1.15
B
1.18 E
a) AB ∥ DE betyr at AB er parallell med DE. Hvilke andre sider er parallelle i sekskanten?
C
A
Blir bordet kvadratisk?
D
F
E
Jeg måler sidene. Dersom alle sidene er like lange, får bordet riktig form.
Jeg måler vinklene. o Dersom de er 90 , får bordet riktig form.
Jeg måler diagonalene. Hvis de er like lange, er bordet kvadratisk.
B
D
C
F
a) Er påstandene riktige? A
12
d) Lag dine egne hytter. Tegn hyttene med markering av hvilke brikker du bruker.
B
B
Parallelle sidekanter.
b) Hvilke sider er parallelle i denne sekskanten?
Bruk brikkene du har i konvolutten.
B
12 1 /lEksjon 1 / Kvadrat, og parallelle linjer lEksjon Kvadrat, rektangel og rektangel parallelle linjer
1.14 I alle firkantene gjelder AB ‖ CD, men i rektangelet og i parallellogrammet er også AD ‖ BC.
1.15 a) Det ser ut til at BC ‖ EF og CD ‖ AF. b) AB ‖ DE siden de ligger på linjer som er parallelle. CD ‖ EF fordi begge linjestykkene har lik gradient. Begge linjene synker med 2 når vi går 3 til høyre. BC ‖ AF. Det samme gjelder her; linjene synker med 2 når vi går 3 til høyre. 1.16 a) AB har en gradient som tilsvarer 4 til høyre og 1 opp. Fra C ligger D 4 til høyre og 1 opp, til punktet (2,4). b) AB har gradient som tilsvarer 3 til høyre og 1 opp. Fra C ligger D 3 til høyre og 1 opp, til punktet (4,0).
b) Hvordan vil du sjekke om et bord har kvadratisk form?
13 linjer 1 / Kvadrat, og parallelle lEksjon 1 /lEksjon Kvadrat, rektangel og rektangel parallelle linjer
13
1.17 b) og c) Begge hyttene er illustrert som et rektangel, med en trekant som tak. Bredden er lik. Veggene er parallelle. Takvinklene er ulike, det samme er høyden på veggene. 1.18 Hunden glemmer at vinklene må være rette, og at diagonalene må være like lange. Som eksempel har figur D på utforskende side like lange sider, men er ikke et kvadrat. Reven glemmer at sidene også må være like lange, ellers kan det bli et rektangel. Haren glemmer at sidene må være like lange.
9
Læringsmål
AKTIVITET
• Elevene skal bruke kunnskapen om egenskapene til rektangel, kvadrat og parallelle linjer i ulike situasjoner.
snekkerens triks. Dere trenger • 8 m hyssing • metermål • saks
elevene trenger • • • •
8 m hyssing metermål kopi av figurene i 1.20 ark med ruter
1.19
lag rektangler og kvadrater med hyssing. a) Finn et område inne eller ute hvor dere kan lage rektangler og kvadrater med hyssing. Hyssingen er 8 meter lang. Knyt den sammen. Lag et rektangel. 1) Hvordan kan dere være sikre på at det er et rektangel? 2) Hva er omkretsen og arealet av rektangelet?
Oppstart
b) Lag et annet rektangel der langsiden er ca. 2 meter lengre enn kortsiden. Hva er omkretsen og arealet av rektangelet?
Del elevene i grupper på 4 eller 3 elever.
c) Lag et kvadrat med hyssingen. 1) Hvordan vet dere at det er et kvadrat? 2) Hva er omkretsen og arealet av kvadratet?
Økta kan legges opp som stasjonsundervisning. Følgende trengs på stasjonene: Stasjon 19: hyssing og metermål Stasjon 20: kopi av figurene Stasjon 21: metermål Stasjon 22: ark med ruter Elevene kan bruke opptil ca. 9 minutter per stasjon. Avslutning Løsning og konklusjon på oppgave 1.19 og 1.22 kan være nyttig å sammenfatte i fellesskap. Dette er problemstillinger som gjentas lenger ut i boka.
d) Hvordan kontrollere om en vinkel er 90°?
60 cm
80 cm
100 cm
1: Marker et punkt på sidekanten, 60 cm fra hjørnet. 2: Marker et punkt på den andre sidekanten, 80 cm fra hjørnet. 3: Avstanden mellom de to merkene skal være 100 cm.
14
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer
Kommentarer til aktivitetene og veiledning av elevene 1.19 a) 1) Det er enklest å lage en firkant der de to diagonalene er like lange. Da er vinklene også rette, og kriteriene for et rektangel er oppfylt. 2) Mål lengdene for å regne ut omkrets og areal: Omkretsen er 2 m + 2 m + 2 m + 2 m = 8 m. Arealet er 2 m ∙ 2 m = 4 m2. b) Omkretsen blir her 1 m + 3 m + 1 m + 3 m = 8 m. Arealet er 1 m ∙ 3 m = 3 m2. c) 1) Hver side må være 2 m. Og vinklene må være rette, det vil si 90°. Én måte å sjekke det på er å måle at diagonalene er like lange. Her må de være ca. 2,8 m lange.
10
Leksjon 1 / KVADRAT, REKTANGEL OG PARALLELLE LINJER
AKTIVITET
1.20
Hvilken skal ut? Hva er felles egenskaper for tre av figurene, som den fjerde ikke har?
1.21
studer klasserommet ditt. Hvor finner du – rektangler – kvadrater – parallelle linjer – linjer som ikke har en parallell linje – mangekanter uten parallelle linjer
1.22
Finn ut! – Er det mulig å tegne en trekant med to parallelle sider?
Ta gjerne imot flere løsninger.
– Er det mulig å tegne en femkant med to og to parallelle sider? – Er det mulig å tegne en sekskant der ingen sider er parallelle?
lEksjon 1 / Kvadrat, rektangel og parallelle linjer l
15
d) Dersom du har et metermål, kan du følge beskrivelsen som Hexa gir. Med et metermål på 2 m, kan du doble sidene. Mål og sett merke på 120 cm og 160 cm. Dersom vinkelen er 90°, vil lengden mellom merkene være 200 cm. Dette kalles snekkertrekanter. De som murer, bruker gjerne lengdene 3 m, 4 m og 5 m. 1.20 Gi den enkelte ro og tid til å finne løsningene. Argumentene skal beskrive hvilke egenskaper tre figurer har som den fjerde mangler. Elevene kan drøfte mulige løsninger i par eller grupper før dere oppsummerer i klassen.
Forslag til løsninger: • Den grønne trekanten skal ut fordi de andre er firkanter. • Rektangelet skal ut. De andre inneholder spiss vinkel, mens rektangelet kun har rette vinkler. • Romben skal ut. De andre har vannrette grunnlinjer, men denne romben har en vinkel nederst. • Alle vinklene i figurene har en vinkel som er like stor. Trapeset skal ut fordi det har én vinkel som er ulik de andre vinklene i trapeset. • Trekanten skal ut. De andre inneholder minst to parallelle sidekanter, mens trekanten ikke har noen.
1.21 Elevene bør sjekke funnene sine og måle om de ulike formene oppfyller kriteriene. Er avstanden mellom parallelle linjer konstant? Er rektanglene virkelig rektangler? Og så videre. 1.22 Det er ikke mulig å tegne to parallelle sider i en trekant. To parallelle sider er del av en mangekant med minst fire sider. Femkant med to og to parallelle sider? Ja, for eksempel denne:
E
D C
B
A
Sekskant der ingen sider er parallelle? Ja, her vises en utgave: E
D
F C A B
11
LEKSJON 2
LEKSJON 2
VINKELSTØRRELSER
Læringsmål
• Elevene skal bli kjent med vinkler, kunne anslå størrelsen på dem og bruke gradskive.
elevene trenger • gradskive • linjal Oppstart Fra tidligere har elevene lært om rette, stumpe og spisse vinkler. Dette blir gjentatt i neste økt. Her skal elevene bli kjent med gradskive og prøve å måle vinkler uten instruksjon. Dere kan vurdere å starte økta med oppgave 2.2, slik at elevene får et innblikk i vinkelstørrelser først.
Elevene skal veksle mellom å gjette og måle størrelsen på vinkler. Det kan være en fordel å arbeide sammen to og to gjennom hele økta. Avslutning Snakk litt om takvinkler. Jamfør ekstraoppgaven. Prøv å gjette takvinkelen på det røde huset. Hva er takvinkelen på det gule huset? Osv. Vinklene er tegnet inn i figuren under.
o
50
o
lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene
Arbeid med oppgavene
53
16
56
2.1 a) Elevene kan først snakke om og beskrive ulike vinkler fritt. Men det kan være nyttig å ha noen spørsmål/oppgaver klar. – Hvilket av husene har brattest tak? – Sorter husene fra slakest til brattest takvinkel. – Hvilke hus har takvinkel mindre enn 26°? Sammenlikn med Fløibanen, som her er tegnet med en vinkel på 26°. Forklar for elevene hvor vinkelen måles, se tegningen under.
o
o
67
o
o
30 o
45
12
Leksjon 2 / VINKELSTØRRELSER
26
b) Vinklene må tegnes med linjal.
2.1
2.2 Vinklene i sirklene finner vi ved å dividere 360° på antall sektorer. Vinklene er fra venstre: 180°, 90°, 60° og 45°.
Vurder vinkelstørrelsene. a) Beskriv ulike vinkler i tegningen fra Fløien.
o
45
b) Tegn seks forskjellige vinkler, og kall dem vinkel A, B, C, D, E og F.
Ekstraoppgave: Elevene kan gjette og deretter måle takvinklene på husene ved Fløien.
c) Lag denne tabellen. Gjett størrelsen på vinklene som du har tegnet. Vinkel
Jeg gjetter
Nabo gjetter
Målt vinkel
Min differanse
Mine poeng
Nabo differanse
Nabo poeng
A B C D E F sum
d) Vent med å måle vinklene. Bytt bok med en annen elev, og gjett vinkelstørrelsene. Skriv dem inn i tabellen. e) Bytt tilbake. Mål vinklene dine med vinkelmåleren, og skriv resultatet inn i tabellen. f) Regn ut differansene mellom hva dere gjettet og de målte vinklene.
sum
Differanse
Poeng
0–5
12
6–10
9
11–16
6
17–20
3
21–25
1
g) Samarbeid om å regne ut poeng og summere. Vurder resultatene.
2.2
Vinkler i sirkler.
Vinkelsummen i en sirkel er 360°. Hvor mange grader er vinklene? lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
17
c) og d) Elevene skal gjette vinkelstørrelsen på sine egne tegnede vinkler og en annen elevs vinkler. Det er ikke lett å anslå størrelsen på vinkler. For eksempel kan like vinkler med ulik lengde på vinkelbeina lure oss. De røde vinklene her er like store. e) Sjekk om elevene bruker vinkelmåleren rett. Vis til gul boks i tredje økt for nærmere beskrivelse. g) Elevene skal vurdere resultatene, og kan stille seg selv noen spørsmål: Hva kunne ha hjulpet meg til å gjette riktigere? Hva er grunnen til at jeg gjettet bedre på enkelte vinkler enn andre?
13
Læringsmål
VINKLER
• Elevene skal kunne definere og gjenkjenne stumpe, spisse og rette vinkler. • Elevene skal anslå og regne ut vinkelstørrelser.
En vinkel avgrenses av to vinkelbein. Vinkelbeina møtes i vinkelens toppunkt. Vinkelstørrelsen måles i grader, og skrives med gradtegnet °. Vinkelen ABC er markert med et blått felt. Vi kan skrive ∠ ABC eller ∠ B.
∠ ABC er 90° og kalles en rett vinkel.
D
En vinkel som er større enn 0º og mindre enn 90°, er en spiss vinkel. C
En vinkel som er større enn 90°, men mindre enn E 180°, er en stump vinkel.
Rett vinkel = 90°
F
I
0° < spiss vinkel < 90°
E
2.3
F
I
H
C D
G
90° < stump vinkel < 180°
H
Er vinkelen F spiss, rett eller stump? G
I
H G
2.4
Arbeid med oppgavene
Det er fornuftig å gjennomgå oppgave 2.7 med tanke på å gjenkjenne ulike typer av vinkler og linjestykker.
B Toppunkt C
E
La elevene jobbe på egen hånd. Etterpå kan de sammenlikne svarene med en medelev.
Avslutning
A
D
B
Ta imot eventuelle spørsmål. Drøft følgende: – Er en vinkel på 0° spiss? – Hvorfor er ikke en vinkel på over 180° stump? Se forklaring under kommentar til oppgavene.
De fleste oppgavene kan løses ved kun å se størrelsen på vinklene. Et par steder kan elevene ha nytte av å måle vinklene med gradskive.
Vinkelbein
Vinkelbein B
A
La elevene studere definisjonen av vinklene i gul boks.
A
A
B
Oppstart
C
sett sammen begrepene med rett figur og gradtall. Rett vinkel
90°
Stump vinkel
120°
Spiss vinkel
18
B
E
H
60°
lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 2.3 De rette vinklene, 90°, er markert med et lite kvadrat som symbol. Om elevene er usikre på vinkeltypene, vis til gul boks. En vinkel er stump i intervallet fra 90° til 180°. Hva er årsaken til at vinkler som er større enn 180°, ikke er stumpe? En vinkel er definert som åpningen mellom to linjer. 2.5 a) Vinklene er like store. Lengden på vinkelbeina har ingen innvirkning på vinkelstørrelsen. b) Vinklene kalles toppvinkler. De har felles vinkelbein og er like store.
14
Leksjon 2 / VINKELSTØRRELSER
2.5
2.8
Hvilke av vinklene er størst? a
Hvilket gradtall er riktig? a)
b
b)
70° 110°
2.6
Toppunkt og vinkelbein.
d)
C
Tegn en spiss, en rett og en stump vinkel der vinkelbeina er linjestykker på 6 cm. Merk toppunktet med A.
2.9
f)
55°
15° 180° - 15°
Bestem vinkelen mellom den store og den lille viseren på klokka.
a) 12.30 A
2.10
b) Hva mangler i teksten under?
■ og ∠ ■ = w
c) Hvilket vinkelbein er felles i disse vinklene? ∠ CDE og ∠ BCD
b) 18.15
c) 21.20
d) 16.10
Vinduer. På tur i gamlebyen la Ida merke til disse fire vindusformene.
u
∠ ABC og ∠ BCD
180°
Er vinkelen mellom viserne spiss, stump eller rett når klokka er
B
∠ ABC = u, ∠ BCD =
125°
100°
B
kassiopeia. a) Hvilke vinkler er spisse, stumpe og rette i stjernebildet Kassiopeia?
e)
40°
Vinkelbein AB A
Toppunkt A
2.7
80°
135°
Vinkelbein AC
c)
30°
C
I hvilke av vinduene finner du
v w
a) rette vinkler
E
b) spisse vinkler c) stumpe vinkler
D
d) flere størrelser på vinklene i samme vindu lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
19
2.7 a) Elevene finner svarene ved å studere stjernebildet. Det er bra om elevene går tilbake til gul boks for å bli sikker på forståelsen av begrepene. b) og c) I ∠ BCD er C toppunktet, og vinkelstørrelsen er lik v. Vinkelbeina er BC og CD.
20
lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
2.10 I søket etter ulike vinkler i vinduene kan vi se på hvilke vinkler den ytre ramma i vinduene har. Vi kan også sjekke sprossene i vinduene og se hvilke vinkler disse danner. Det øverste vinduet i det hvite og blå huset har blandede vinkler. Elevene bør finne både den spisse og den stumpe vinkelen i disse vinduene.
2.9 a) Stump vinkel. b) Spiss vinkel. c) Stump vinkel. d) Spiss vinkel. Dersom vi skal regne ut størrelsen på vinklene, er det mer komplisert. Årsaken er at timeviseren også er i bevegelse. Løsningsforslaget viser utregning på dette.
15
Læringsmål
• Elevene skal kunne måle vinkler og kombinere kjente vinkler for å finne nye.
MÅLING MED VINKELMÅLER 1. Sjekk om vinkelen er spiss eller stump. 2. Plasser vinkelmåleren med nullpunktet i vinkelens toppunkt og vinkelmålerens langside langs det ene vinkelbeinet. 3. Les av gradtallet.
Oppstart
C
Gradtallet
Elevene har testet bruk av vinkelmåler i den utforskende økta. Gul boks beskriver gradvinkelen og hvordan den brukes. Tegn denne på tavla og spør:
C
Gradtallet
A
A
Vinkel BAC er spiss, og gradtallet er 40°. ∠ BAC er 40°.
∠ ABC er 110°.
2.11
A
Hvor store er vinklene? lag en tabell som beskriver hver vinkel, antall grader og type vinkel. D E C
D
F
B
C
B
B
Vinkel ABC er stump, og gradtallet er 110°.
E
A
B
Hvor er ∠ AED? Hvor stor er ∠ AEB? Hvor er ∠ DEA? Det er vilkårlig om elevene skriver ∠ DEA eller ∠ AED, det er samme vinkel. Arbeid med oppgaver
På flere av oppgavene kan elevene finne løsningen uten vinkelmåler. Men de kan kontrollere med vinkelmåler om vinklene er riktige. Avslutning Oppgave 2.18 egner seg til gjennomgang selv om ikke alle har kommet dit. Her kan vinklene regnes ut, men de kan også måles.
2.12
Vinkel
Grader
Egenskap
AHB
20°
Spiss
AHC
…
G
H
B
stjernebildet til jomfruen. omfruen.
Hvor stor er ∠ ABC og ∠ BCD? ∠ CDE? ∠ DGH? ∠ HGI? ∠ IGD?
A C D G E F
I
H lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
21
Kommentarer til oppgavene og veiledning av elevene 2.11 Utvid tabellen og skriv inn alle vinklene. Vinkelstørrelsen leses av på vinkelmåleren. 2.12 Det kan være vanskelig å lese av alle vinklene, men det hjelper å forlenge vinkelbeina med linjal. 2.13 Vinklene bør sammenliknes med vinkler som elevene kjenner størrelsen på. Er vinkelen større eller mindre enn 90°? Er vinkelen større eller mindre enn 45° (som er halvparten av 90°)? Ser det ut til at vinkelen er større eller mindre enn 60°? 2.14 a) og b) Her skal vinklene måles. c) og d) Vinklene i a) skal summeres. Det samme kan vinklene i b), men siden de sammenlagt danner ei rett linje, er summen 180°. e) Siden de to vinklene danner ei rett linje, er summen 180°. 180° – målt vinkel = vinkelen som ikke er målt.
16
Leksjon 2 / VINKELSTØRRELSER
2.13
2.15
Hvilken vinkel er … 25°
115° B
A
C
b) Hva er summen av vinklene i firkant ABCD?
A
D
S
60° B
D
S
75°
2.16
2.14
C
C
A
c) Hvor store er vinklene i firkant EFGH?
b) Hva er summen av vinklene i firkant ABCD?
d) Hva er summen av vinklene i firkant EFGH?
a) Hvor stor er ∠ ASB og ∠ DSC?
b) Hvor stor er ∠ ASB og ∠ CSB?
2.17
S
D
A
S
E
B
F
Hva viser klokka når minuttviseren har beveget seg a) 90°
B
b) 180°
c) 60°
d) 30°
GH er parallell med EF, GH ∥ EF, i begge firkantene.
2.18 A
G
D
S
C
B
H
C
A
Mål vinklene.
B
a) Hvor store er vinklene i firkant ABCD?
D
S
A
Mål vinklene.
B
A
C
a) Hvor stor er hver av vinklene i firkant ABCD?
B
C
D
Mål vinklene.
Hvor store er de to vinklene som mangler? Du kan kontrollere ved å måle etterpå.
C
H
c) Hva er summen av vinklene i a)?
H
G 130o
G 125o
110o
d) Hva er summen av vinklene i b)? e) Kan du angi begge vinklene i b) ved å måle kun én vinkel?
22
22 2 lEksjon 2 / Vinkelstørrelser lEksjon / Vinkelstørrelser
2.15 Vinklene skal måles. ∠A = ∠C = 60° og ∠B = ∠D = 120° Summen er 360°.
2.16 a) og b) ∠A = ∠C ≈ 73° og ∠B = ∠D ≈ 107° c) og d) ∠E = 55° og ∠H = 180° – 55° = 125° ∠F ≈ 70° og ∠G = 180° – 70° = 110°
55o
100o
E
F
E
70o
F
23 2 / Vinkelstørrelser lEksjon 2 lEksjon / Vinkelstørrelser
23
2.18 Siden EF ‖ GH, så gjelder det at ∠E + ∠H = 180°. Den sammenhengen kan man se på firkanten til høyre. ∠E = 180° – 130° = 50° ∠G = 180° – 100° = 80°
Summen av vinklene i en firkant er 360°. Legg merke til at ∠E + ∠H = 180°. Det gjelder når EF ‖ GH. Dersom vi måler ∠E, vet vi dermed hvor stor ∠H er. ∠F + ∠G = 180°
2.17 Oppgaven er enklere enn 2.9, fordi vi nå kun skal måle vinkelen mellom minuttviseren og 12 på klokka. Utregningen i løsningsforslaget til 2.9 viser at hvert minutt langviseren beveger seg, tilsvarer 6°. Dermed tilsvarer en rotasjon på 5 minutter 30°.
17
Læringsmål
AKTIVITET
2.19
• Elevene skal bruke det de har lært i leksjon 1 og 2, i ulike situasjoner.
Hva er vinkelen?
elevene trenger • • • •
Hvilket ord kan du lage av bokstavene i løsningen? Bokstav
1. 35° mer enn en rett vinkel.
12° = l
2. Det dobbelte av en rett vinkel.
45° = R
3. Halvparten av en rett vinkel.
geobrikker A4-ark eller A3-ark vinkelmåler linjal
4. En tidel av en stump vinkel på 120°. 1 3
5. — av en rett vinkel. 6. En kvart sirkel.
2.20
el. i nk r t v ha ret ene . En e sid gde All k len uli
In i n gen ge vi n sid nkle er r e er r l pa ike ra , o lle g lle . To stumpe og to spisse vinkler. To og to sider er parallelle.
e, og er rett e. nklene lang Alle vi ne er like de alle si
Arbeid med oppgavene Elevparene kan gjerne utveksle løsningene med andre par for å få en idé om hvorvidt de er på rett spor. Avslutning La elevene vise tegningene sine av Karlsvogna. Sammenlikn tegningene med løsningen som er skissert her. Lekse til neste time kan være å se etter Karlsvogna på stjernehimmelen. Finn også Nordstjernen.
30° = I 180° = E
Hvilken mangekant er dette?
Oppstart Oppgave 2.21 inneholder mange punkter i en tegneinstruks, og skal resultere i et stjernebilde. Gi beskjed om at elevene må arbeide nøye og systematisk.
125° = H
90° = G
Bruk brikkene i konvolutten med konkreter.
Elevene arbeider parvis der de ønsker det.
■ ■ ■ ■ ■ ■
En re tt parall vi nkel og elle si ingen der.
tte, er re nge. la lene vink er like e n av Inge lle siden a men
Alle vinkle ne er rette, og to og to sider er like lange.
og elle, lle. e arall er p e parall der k To si er er ik d to si
Inge n To si sider er der er li paralle ll ke la nge. e.
Stjernebildene Storebjørn og Lillebjørn var en gang en mor og hennes unge datter. De skrøt så mye av hvor pene de var, at gudene skapte dem om til bjørner. Til trøst fikk de plass på stjernehimmelen.
24
lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
Kommentarer til aktivitetene og veiledning av elevene 2.19 Hvilket ord kan du lage av bokstavene i løsningen? Riktige utregninger og svar gir ordet: HERLIG. 2.20 Hvilken mangekant er dette? Bruk geobrikkene. Elevene må studere formene for å finne hvilke(n) av geobrikkene som passer til beskrivelsen. Legg ei brikke på hver av beskrivelsene. Enkelte like brikker vil ligge på ulike beskrivelser. Hvordan kan det gå an? La elevene sjekke løsningen med andre. Dersom de har ulike svar, må de drøfte og komme fram til riktig svar.
18
Leksjon 2 / VINKELSTØRRELSER
G
AKTIVITET
2.21
Tegn firkanten til høyre. D
C
A
B
4 cm
Dere trenger linjal og gradskive. a) Hjørnene i firkanten er ABCD.
o
b) Tegn en ny firkant med disse målene. La punktet A starte omtrent midt på et ark. AB er vannrett.
3 cm E
1. Side AB = 7,5 cm
180
2. ∠ DAB = 103°
3. Side AD = 3,5 cm
o
4. ∠ ABC = 99°
D
103
8. DE = 4 cm
4 cm
A
7. Mot nordvest: ∠ ADE = 128°
o
c) Tegningen fortsetter:
3 cm
6. Tegn linjestykket DC og sjekk om det er ca. 9 cm.
128
5. Side BC = 4 cm
o
9. ∠ DEF = 180° 10. EF = 3 cm
Svaret er en del av stjernebildet Storebjørn. lEksjon 2 / Vinkelstørrelser
25
9 cm
12. FG = 4 cm
7,5 cm
11. Vest: ∠ EFG = 140° Hvilket kjent stjernemønster er dette?
F
140
∠ DAB tilsvarer ∠ A.
AB = 4 cm
99 o
C
4 cm
B
2.21 Hvilket stjernebilde blir dette? Del ut ark til å tegne på og sørg for at elevene er utstyrt med linjal og vinkelmåler. A3-ark gir best plass, men dersom A4-arket legges, kan det gå. Starten på oppgaven har sammenheng med resten av oppgaven. Den gir et hint om plassering av bokstavene i hjørnene på mangekanten som skal tegnes. Dette er nyttig å vite for lettere å kunne følge beskrivelsen av tegningen nedenfor. a) og b) Følg instruksjonene nøye. La elevene tegne på et A3-ark eller et liggende A4-ark. Løsningen er tegnet i høyre kolonne. Tegningen viser stjernebildet Karlsvogna i Store bjørn, som er tegnet i elevboka.
19
L Æ R E RV E I L E D N I N G
VOLUM 6A
– et nytt læreverk i matematikk for barneskolen etter fagfornyelsen 2020. Verket har en tydelig og forutsigbar struktur, og et stort og variert oppgavemangfold. Lærerveiledningen er lærerens verktøykasse for å oppfylle VOLUMs grunnideer om å gi elevene læringsglede og mestring i matematikkfaget. Undring og tid til å diskutere matematikk i fellesskap står sentralt.
Bugten, Johannessen, Rojahn Olafsen
6A
Boka gir faglig og didaktisk støtte til undervisningen gjennom forslag til struktur, gjennomføring av timen og veiledning til oppgaver og aktiviteter. Lærerens rolle som veileder er uvurderlig for elever på alle nivåer, og lærerveiledningen utfyller elevboka underveis i dette viktige arbeidet.
Les mer om verket på www.fagbokforlaget.no
ISBN 978-82-11-04118-0
LÆRERVEILEDNING
I et trygt og raust læringsfellesskap kan elevene argumentere og dele ideer – og på den måten bidra til å utvikle et felles, presist og hensiktsmessig matematisk språk.
MATEMATIKK FOR BARNETRINNET 6A
