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Qué es el Álgebra?
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El Álgebra (del árabe: al-ŷarabi ‘reintegración, recomposición) es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).
Babilonia
Egipcios
Origen del Álgebra Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas.
no sólo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y que lo hacían para desarrollar técnicas de solución y ejercitarse en su aplicación.
Uno de ellos, en términos modernos, dice: “He sumado Entre las tablillas babilónicas el área del cuadrado con descubiertas se han los dos tercios del lado del encontrado ejemplos de cuadrado y el resultado es tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y Se requiere hallar la longitud solución de varios problemas del lado del cuadrado”. En puramente algebraicos, cuanto que, hasta la mitad entres ellos algunos del siglo XIX, el álgebra se equivalentes a lo que hoy se ocupó principalmente de conoce como una ecuación resolver ecuaciones de este cuadrática. tipo, puede decirse que fue en Babilonia donde tuvo su Un examen cuidadoso de las origen esta ciencia. tablillas babilónicas muestra claramente que mediante Fueron los árabes quienes le esos cálculos sus autores dieron a la nueva ciencia de
plantear y resolver ecuaciones un nombre: aljabr. La nueva civilización que surgió en la península arábiga en la primera mitad del siglo VII, habría de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de un siglo después de la captura de La Meca por Mahoma en el año 630 d.C., el ejército islámico había convertido a las tribus politeístas dcl Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de Siria y Egipto. La conquista de Persia se completó hacia el año 641 d.C. Los sucesores de Mahoma, los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien años de guerras, el califato se dividió en varias partes.
a fundación en 766 d.C. por parte del califa al — Mansur de Bagdad como la nueva capital de su califato, significó el comienzo de una etapa más tolerante del islamismo y permitió el desarrollo intelectual de sus habitantes.
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Su sucesor, el califa Harun al — Rashid, quien gobernó entre 786 y 809, estableció en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales habían sido establecidas por miembros de las antiguas academias de Atenas y Alejandría que tuvieron que cerrarse a raíz de la persecución de los romanos. Un programa de traducciones al árabe de textos clásicos de la matemática y ciencia de los griegos y los hindúes era una de las actividades del Bayal al—Iliktna (Casa de la sabiduría), un instituto de investigaciones que fundara el califa al — Ma’ mun y que funcionó durante más de 200 años. Muhammmad ibn Musa al — Khwarizmi, un miembro del Bayal al— Hikma fue el autor de varios tratados sobre astronomía y matemáticas, entre ellos uno de los primeros tratados islámicos acerca del álgebra.
Fue gracias a la traducción al latín de su libro acerca del sistema de numeración hindú, Algorithmi de numero indorum, que Europa Occidental conoció ese novedoso sistema de numeración. Su obra más importante, sin embargo, fue su tratado de álgebra que, con el título Ílisab al—/abra wal— muqabala (La ciencia de la reducción y confrontación) probablemente significaba la ciencia de las ecuaciones.
ad uhamm M e d a br es El Álge ruccion t s n i e r contien resolve a r a p y s práctica iones lineales ecuac a gente l e u ciertas q Lo ticas. “ cuando , r o t u cuadrá a un dice el lo.., es quiere, u c l á c ás sus o es m n o r realiza e . úm cuación ”. Ese n e o r a e n m u ú n n de solució a l e u q sta algebri e t n a t r po am Otro im r Khayy ido a m O e u noc árabe f ejor co m , ) 1 3 11 baiyat, (1048— nte por su Ru 00 ide s6 en Occ de uno n ó i c c ro e l prime una col e l é e n s. Fu ificació s poema a l c a r un nes en hace de la ecuacio e tica as d sistemá esolver algun yr cúbicas ellas.
s n de lo ó i c u b i r de los s La cont o c i m á lo stas isl esarrol d l e algebri n e más l y XII siglos X ra habría sido b dado del álge o hubiera tar en si n uencia fl n i notoria u s spués, ejercer e d n e o c o o t p tan nde, un consolidarse o d , a p de Euro habría a r b e g l ente. m el á a v i t i n defi
Historia uo n el antig e ó z n e m a co aces del álgebr eron cap ia fu r to e is d h n o y a d L ax = b) abilonia, ( B s y le a e n to es Egip nes li o ecuacion r ecuacio m e o lv c í o s s a e r , ) c de x= varias s (ax2 + b = z2, con 2 y + 2 cuadrática x ían das como ios resolv a n o in il m b r a b te e ind tiguos pleando . Los an ática em oy se r d a u c incógnitas e h ecuación étodos qu m s o cualquier m is ente los m esencialm enseñan. nte rón y Diofa , e H s o in r nd onia áticos aleja ipto y Babil Los matem on la tradición de Eg de iofante es c D n o e r d a s u a n c ti con ritméti iones libro Las a chas soluc l u e m e u ta q n n e s u s a terminada nivel y pre e s d á in m s te e n n basta cuacio ción tes para e bre resolu n o e s d ía n r e r u p id r l b so ogida en e antigua sa c a ta , s z E e . v s e u difícil ó, a s cia amó “cien es encontr ll n io la c a e u s c e e de dond e almico, en labra árab la mundo islá y equilibrio”. (La pa origen de l n e ió c s c e u ’, d n e de r educció ignifica `r s e u q r b a ebra). palabra álg rizmi co al-Jwa ti á m te a l m bes de lo IX, e libros ára s o r e la im En el sig r de los p ática de o m n te u is s ió ib n r esc plos entació una pres s, con ejem e , n a io r c b a e u lg c á de e damental teoría fun incluidas. s e n io c a tr y demos
ostró ció y dem n u n e il n m blemas ta io Abu Ka o c r p ip g e ió lv o o c s y re 2= temáti l álgebra, 10, x2 + y IX, el ma e d = lo z s ig e s + d l a y e d d identi len x + A finales entales e que cump m z a , d y n , x fu s s ntrar la las leye omo enco c s o d a c li braicas comp nes alge io s e . r 2 p y x e ia, = z2, y xz edad med ribían las la c s n e e , e o s e la mbarg tiguas potencia d nte; sin e r e ciones an ie lm a u a iz lq n il a io u iv e s c c En las describir ios, aunqu s sólo oca a m e r o d tu n s li ia e o v c p e a r ab de los traer ron cap utilizando damental ividir y ex rabes fue n d á fu r, s a a o c r c li b ti e ip á l lt lg orema de los matem incluía mu llaron el á te o a r r l r b e a e d s e lg d á to x, y . Esta cimien incógnita modernos o el cono s m lo o o c b í s ím a s s mios, sin usar lo de polino s a d a r d a raíces cu binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas. A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.
Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo. En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas.
Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas.
Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna — también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.
Abel Henrik Niels (1802-1829) Probó la imposibilidad de resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado. La vida de Abel estuvo dominada por la pobreza. Después de muerto su padre, quien era un ministro protestante, Abel tuvo que asumir la responsabilidad de mantener a su madre y familia, en 1820. Abel publicó en 1823 escritos de ecuaciones funcionales e integrales. En esto Abel dio la primera solución de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado y de su propio costo realizó publicaciones con la esperanza de obtener reconocimiento por su trabajo. Eventualmente ganó un premio de escolaridad del gobierno para viajar al extranjero, visitó Alemania y Francia.
Diofante (325-409 D.C.) Matemático griego perteneciente a la escuela de Alejandría. Vivió en Egipto, donde se ocupó principalmente del análisis diofántico, siendo merecedor del título de padre del álgebra. Escribió Las aritméticas, obra de la que sólo quedan 6 libros de los 13 que la componían. Fue sin embargo el primero en enunciar una teoría clara sobre las ecuaciones de primer grado. También ofreció la formula para la resolución de las ecuaciones de segundo grado.
Abel fue el instrumento que le dio estabilidad al análisis matemático sobre bases rigurosas. Su mayor trabajo “Recherches sur les fonctions elliptiques” fue publicado en 1827 en el primer volumen del diario Crelle, el primer periódico dedicado enteramente a las matemáticas. Abel visitó este periódico en su visita a Alemania.
Herón de Alejandría (20-62 D.C.) Matemático y científico griego. Su nombre también podría ser Hero (aproximadamente 18 escritores griegos se llamaron Hero o Herón, creándose cierta dificultad a la hora de su identificación). Herón de Alejandría nació probablemente en Egipto y realizó su trabajo en Alejandría (Egipto). Escribió al menos 13 obras sobre mecánica, matemáticas y física. Inventó varios instrumentos mecánicos, gran parte de ellos para uso práctico: la aelípila, una máquina a vapor giratoria; la fuente de Herón, un aparato neumático que produce un chorro vertical de agua por la presión del aire y la dioptra, un primitivo instrumento geodésico. Sin embargo, es conocido sobre todo como matemático tanto en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de su ubicación de áreas concretas).
Leonardo Fibonacci (1170-1240) Fibonacci nació en Italia pero fue educado en África del Norte donde su padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho acompañando a su padre, así conoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usados en esos países. Liber abaci, publicado en el 1202 después de retornar a Italia, está basado en trozos de aritmética y álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. Liber abacci introduce el sistema decimal Hindú-Arábico y usa los números arábicos dentro de Europa. Un problema en Liber abaci permite la introducción de los números de Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales Fibonacci es recordado hoy en día. El Diario Trimestral de Fibonacci es un moderno periódico dedicado al estudio de las matemáticas que llevan estas series.
Al-Jwarizmi (780-835) Matemático árabe, nacido en Jwrizm (actualmente Jiva, Uzbekistán). Fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático y fue el primero en utilizar la expresión al jabr (de la que procede la palabra álgebra) con objetivos matemáticos. La versión latina (por el traductor italiano Gerardo de Cremona) del tratado de al-Jwrizm sobre álgebra fue responsable de gran parte del conocimiento matemático en la Europa medieval. Su trabajo con los algoritmos (término derivado de su nombre) introdujo el método de cálculo con la utilización de la numeración arábiga y la notación decimal.
Évariste Galois (1811-1832) Matemático Francés. Hace conocer sus primeros trabajos sobre fracciones continuas, cuestiones de análisis, teoría de las ecuaciones y teoría de números, así como un resumen de una segunda memoria presentada a la Academia para optar al gran premio de matemática, el que también se pierde. En 1831, envuelto en los acontecimientos políticos, se le expulsa de la escuela normal, donde entonces estudiaba, y con el propósito de dedicarse a la enseñanza privada, anuncia un curso de álgebra superior que abarcaría “Una nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las ecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones elípticas, tratadas por álgebra pura”. El curso no tuvo oyentes y Galois ingresa en el ejército, a la vez que redacta una memoria, la última, hoy llamada “Teoría de Galois”, que remite a la Academia y que poisson califica de “incomprensible “.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, d e t e r m i n a n t e s , probabilidad y física matemática Cauchy, trabajó como un ingeniero militar y en 1810 llegó a Cherbourg a trabajar junto a Napoleón en la invasión a Inglaterra. En 1813 retornó a París y luego fue persuadido por Laplace y Lagrange para convertirse en un devoto de las matemáticas. Él ayudó ocupando diversos puestos en la Facultad de Ciencia de París, El Colegio de Francia y La Escuela Politécnica. En 1814 él publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.
Carl Friedeich Gaus (1777-1855) Matemático alemán llamado El Príncipe De Las Matemáticas Probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. Para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es un clásico en el campo de las matemáticas. Desarrolló el teorema de los números primos. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss.
George Boole (1815-1864) Recluyó la lógica a una álgebra simple. Trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad. Boole fue nominado para una cátedra de matemática en el Queens College, Cork en 1849. Aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola a una álgebra simple, incorporando lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Comenzaba el álgebra de la lógica llamada Algebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadoras, circuitos eléctricos, etc. El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación el switch telefónico y en el diseño de computadoras modernas. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución de las computadoras hoy en día.
Utilidad del algebra Realizando actividades de resolución de problemas reales de la vida diaria y otros relacionados con los hábitos de consumo y de compra, elaborando y verificando presupuestos sencillos, utilizando números y porcentajes extraídos de la prensa y de los medios de comunicación, y poniendo en práctica los conceptos adquiridos para comprender mejor la cuantificación de fenómenos que se usan como procedimientos en otras materias, como en Geografía e Historia y en Ciencias de la Naturaleza. Ayuda en el desarrollo de la facultad de razonamiento (Comprender, analizar, interpretar, formalizar) y de abstracción. La capacidad humana de razonar encuentra en ellas un aliado privilegiado para desarrollarse, y ese desarrollo debe constituir, contribuyen, hoy día, tanto al desarrollo como a la formalización de las Ciencias Experimentales y Sociales, a las que prestan un adecuado apoyo instrumental.
en la vida diaria Además, el lenguaje matemático, aplicado a los distintos fenómenos y aspectos de la realidad, es un instrumento eficaz que nos ayuda a comprender mejor la realidad que nos rodea y adaptarnos a un entorno cotidiano en continua evolución, el algebra tiene relación directa con muchas carreras, tales como ingeniería, arquitectura, economía; a todas les sirve como una herramienta.
necesario para manejarse en aspectos prácticos de la vida diaria, así como para acceder a otras ramas de la ciencia ,ayuda a Resolver problemas utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos, desde la intuición hasta los algoritmos
Desarrollar técnicas y métodos relacionados con los hábitos de trabajo, la curiosidad y el interés para investigar, también ayuda en la búsqueda de soluciones para los Proporciona a los adolescentes la problemas cotidianos ya que podemos llevar oportunidad de descubrir las posibilidades muchos problemas a una forma algebraica de su propio entendimiento y afianzar su y resolverlos con mayor facilidad con solo personalidad, además de un fondo cultural usar la cabeza.
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Sabías qué...
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El álgebra tiene muchos usos. Para empezar es formativa y didáctica, ya que enseña una forma y metodología de razonar y atacar problemas, te enseña a pensar de manera lógica, ya que el álgebra manipula símbolos, independientemente de las cantidades concretas que tenga. Por ejemplo, la simple fórmula del triángulo podría ser un problema de álgebra práctico: si se tiene que el área del mismo es multiplicar su base por la altura dividida por dos, lo expresamos en símbolos en lugar de palabras: a=b*h/2. Si lo que quieres no es el área, porque ya la tienes, sino la altura por ejemplo, sería cosa de despejar (es decir, “hacer álgebra”) la “h”; lo cual sería: h=2*a/b. Todo eso sin siquiera poner un solo número concreto; el álgebra es eso, llevar las operaciones matemáticas a su forma más general.
Te podremos decir que el álgebra la utilizan sobre todo los ingenieros, matemáticos, etc. y es cierto, y en un grado mucho más complejo, pero como pueden ver, el álgebra la usamos hasta en casos prácticos todo el mundo. Si alguna vez (o muchas veces) has sentido que estudiar el álgebra es una pérdida de tiempo que no nos va a llevar a nada, como nosotros sentimos muchas veces, espero que de ahora en adelante lo consideres nuevamente.
¿Chiste o acertijo? Qué tal si te cuento un chiste y te digo que iba un águila pasando por donde estaban un montón de palomas reposando en el piso, y ésta les dice “adiós mi cien palomas”, a lo que una de ellas diría “no somos 100 palomas, pero con otras tantas como estas, más la mitad de estas, seríamos tus 100 palomas”. ¿Cuántas palomas son en realidad?
Una vez más, ser resuelve fácilmente haciendo álgebra. Si tenemos que el número de palomas, que no lo sabemos, lo representaremos con una X, entonces tenemos que 100=2X+X/2, lo que da: 100=5/2X, y despejando la X: X=2(100)/5, nos da X=40. En realidad eran cuarenta palomas. Y así es; “con otras tantas como estas...”: 40*2=80, “más la mitad de estas...” 40/2=20; por tanto 80+20=100... “nos dan tus cien palomas”.