Algebra de Boole

Apuntes de Algrebra de Boole Electr贸nica Digital

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Contenidos Artículos Álgebra de Boole

1

Puerta lógica

9

Tabla de verdad

15

Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo

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Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

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Licencias de artículos Licencia

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Álgebra de Boole

1

Álgebra de Boole Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

Una álgebra de Boole es es una tripleta además para cualquier 1. Propiedad conmutativa:

. Donde

se cumplen los siguientes axiomas:

2. Propiedad asociativa:

3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros. Existen

5. Propiedad de los opuestos. Existe

tales que:

tal que:

,

y

son operaciones internas en

y

Álgebra de Boole

2

Como retículo El álgebra de Boole esta conformada solo por dos elementos el 0, y 1el 0 primero que el 1:

Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas: 1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

Operaciones Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma a b a+b 0 0

0

0 1

1

1 0

1

1 1

1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Álgebra de Boole

3

Operación producto a b a b 0 0

0

0 1

0

1 0

0

1 1

1

La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación a 0 1 1 0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones combinadas

Álgebra de Boole

4

a b 0 0

1

0 1

1

1 0

0

1 1

1

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.

Leyes fundamentales El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

1. Ley de idempotencia:

2. Ley de involución:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

Álgebra de Boole

5

6. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8. Leyes de De Morgan:

Principio de dualidad El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

Adición

Producto

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Otras formas de notación del álgebra de Boole En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , cómoda de representar.

) siendo la forma más usual y la más

Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y

Álgebra de Boole

6

pueden tomar los valores {0, 1} Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

En su aplicación a la lógica se emplea la notación verdadero, equivalentes a {0, 1}

y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o

Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: En esta notación las leyes de De Morgan serían así:

Desde el punto de vista practico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.

La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:

y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:

Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.

Álgebra de Boole aplicada a la informática Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico.

Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.

Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. ..

Álgebra de Boole

El 0 lógico El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0".

El 1 lógico En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico).

Véase también • • • • • • •

Función booleana Formas Canónicas (Álgebra de Boole) Circuitos de conmutación Lógica binaria Puerta lógica Sistema digital Tabla de verdad

Enlaces externos • • • • • •

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra de Boole. Commons Álgebra de Boole y puertas lógicas [1] Álgebra de Boole [2] Álgebra de Boole [3] Álgebra de Boole [4] BOOLE-DEUSTO SW didáctico: Tablas de verdad, V-K, autómatas... [5]

7

Álgebra de Boole

Bibliografía 1. González Carlomán, Antonio. Universidad de Oviedo. Servicio de Publicaciones. ed. Retículo completo de Boole, lógica matemática, teoría de conjuntos (2006 edición). ISBN 84-8317-534-7.

2. García Zubia, Javier; Sanz Martínez, Jesús; Sotomayor Basilio, Borja. Universidad de Deusto. Departamento de Publicaciones. ed. Boole-Deusto v2.1 entorno de diseño lógico (2005 edición). ISBN 84-7485-973-5.

3. Giménez Pradales, José Miguel. Universidad Politécnica de Cataluña. Departamento de Matemática Aplicada III. ed. Álgebra de Boole para ingeniera técnica (2004 edición). ISBN 84-933451-0-5.

4. García Zubia, Javier; Sanz Martínez, Jesús; Sotomayor Basilio, Borja. Universidad de Deusto. Departamento de Publicaciones. ed. Boole-Deusto entorno de diseño lógico (2004 edición). ISBN 84-7485-929-8.

5. Ginés Gómez, José Carlos. Gines Gómez, José Carlos. ed. Puertas lógicas y álgebra de Boole, electrónica digital técnica de telecomunicación (1998 edición). ISBN 84-607-9518-7.

6. Montes Lozano, Antoni. Editorial UOC, S.L.. ed. Álgebras de Boole (2002 edición). ISBN 84-8429-979-1.

7. Montes Lozano, Antoni. Editorial UOC, S.L.. ed. Álgebras de Boole (2002 edición). ISBN 84-8429-926-0.

8. González Carlomán, Antonio. Universidad de Oviedo. Servicio de Publicaciones. ed. Retículo completo de Boole.

Lógica matemática teoría de conjuntos (2001 edición). ISBN 84-8317-264-X. 9. Tiñena Salvañà, Francesc. Editorial UOC, S.L.. ed. Àlgebres de Boole (gestió) (1998 edición). ISBN 84-8318-582-2.

10. Tiñena Salvañà, Francesc. Editorial UOC, S.L.. ed. Àlgebres de Boole (1998 edición). ISBN 84-8318-614-4.

11. Permingeat, Noel; Glaude, Denis. Editorial Vicens-Vives, S.A.. ed. Álgebra de Boole (1993 edición). ISBN 84-316-3294-1.

12. Masip Bruin, Xavier; Román Jiménez, José Antonio; Sánchez López, Sergio. Ediciones UPC, S.L.. ed. Álgebra de Boole y funciones lógicas (1996 edición). ISBN 84-89636-20-6.

13. Jane Ihnsa, Ignacio. Universidad de Barcelona. Publicaciones y Ediciones. ed. Álgebras de Boole y lógica (1989 edición). ISBN 84-7875-040-1.

14. Casanova, Gaston. Editorial Tecnos. ed. El álgebra de Boole (1975 edición). ISBN 84-309-0580-4.

Referencias [1] [2] [3] [4] [5]

http:/ / apuntes. rincondelvago. com/ algebra-de-boole-y-puertas-logicas. html http:/ / serbal. pntic. mec. es/ ~cmunoz11/ boole. pdf http:/ / electronred. iespana. es/ alg_boole. htm http:/ / usuarios. lycos. es/ bnunez/ Archivos%20propios/ Digitales/ Algebra_Boole. pdf http:/ / paginaspersonales. deusto. es/ zubia

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Puerta lógica

9

Puerta lógica Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de conmutación. Cada puerta lógica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son esencialmente circuitos de conmutación integrados en un chip.

Claude Elwood Shannon experimentaba con relés o interruptores electromagnéticos para conseguir las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana Y (AND) colocaba interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de éstos que tuviera la condición «abierto», la salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una compuerta O (OR), la conexión de los interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.

La tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración de transistores actuando como conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito integrado. El chip de la CPU es una de las máximas expresiones de este avance tecnológico.

En nanotecnología se está desarrollando el uso de una compuerta lógica molecular, que haga posible la miniaturización de circuitos.

Lógica directa Puerta SÍ o Buffer La puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (buffer en inglés).

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SÍ es:

Símbolo de la función lógica SÍ a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

Su tabla de verdad es la siguiente: Entrada

Salida

0

0

1

1

|+Tabla de verdad puerta SI

Puerta AND

Símbolo de la función lógica Y a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND (

), realiza la función booleana

de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.

Puerta lógica

10

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:

Su tabla de verdad es la siguiente: Entrada

Entrada

Salida

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

|+Tabla de verdad puerta AND

Puerta OR

Símbolo de la función lógica O a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR (

), realiza la operación de suma

lógica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:

Su tabla de verdad es la siguiente: Entrada

Entrada

Salida

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

|+Tabla de verdad puerta OR Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si al menos una de sus entradas está a 1.

Puerta OR-exclusiva (XOR) La puerta lógica OR-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A'B+AB'. Su símbolo es el mas (+) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es: |-

Símbolo de la función lógica O-exclusiva. a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

Puerta lógica

11

Su tabla de verdad es la siguiente: Entrada

Entrada

Salida

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

|+Tabla de verdad puerta XOR Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas).

Si la puerta tuviese tres o más entradas , la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa, para tres entradas escribiríamos: a (b c) o bien (a b) c. Su tabla de verdad sería: Entrada

Entrada

Entrada

Salida

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

|+XOR de tres entradas

Lógica negada Puerta NO (NOT) La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión o negación de una variable lógica. Una variable lógica A a la cual se le aplica la negación se pronuncia como "no A" o "A negada".

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Símbolo de la función lógica NOT a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizada

Puerta lógica

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Entrada

Salida

0

1

1

0

|+Tabla de verdad puerta NOT Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en su entrada.

Puerta NO-Y (NAND) La puerta lógica NO-Y, más conocida por su nombre en inglés NAND, realiza la operación de producto lógico negado. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NAND es:

Símbolo de la función lógica NO-Y. a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

Su tabla de verdad es la siguiente: Entrada

Entrada

Salida

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

|+Tabla de verdad puerta NAND Podemos definir la puerta NO-Y como aquella que proporciona a su salida un 0 lógico únicamente cuando todas sus entradas están a 1.

Puerta NO-O (NOR) La puerta lógica NO-O, más conocida por su nombre en inglés NOR, realiza la operación de suma lógica negada. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOR es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Símbolo de la función lógica NO-O. a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

Puerta lógica

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Entrada

Entrada

Salida

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

|+Tabla de verdad puerta NOR Podemos definir la puerta NO-O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico sólo cuando todas sus entradas están a 0. La puerta lógica NOR constituye un conjunto completo de operadores.

Puerta equivalencia (XNOR) La puerta lógica equivalencia, realiza la función booleana AB+~A~B. Su símbolo es un punto (·) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XNOR es: Símbolo de la función lógica equivalencia. a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

Su tabla de verdad es la siguiente: Entrada

Entrada

Salida

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

|+Tabla de verdad puerta XNOR Se puede definir esta puerta como aquella que proporciona un 1 lógico, sólo si las dos entradas son iguales, esto es, 0 y 0 ó 1 y 1 (2 encendidos o 2 apagados).

Conjunto de puertas lógicas completo Un conjunto de puertas lógicas completo es aquel con el que se puede implementar cualquier función lógica. A continuación se muestran distintos conjuntos completos (uno por línea): • • • • •

Puertas AND, OR y NOT. Puertas AND y NOT. Puertas OR y NOT. Puertas NAND. Puertas NOR.

Además, un conjunto de puertas lógicas es completo si puede implementar todas las puertas de otro conjunto completo conocido. A continuación se muestran las equivalencias al conjunto de puertas lógicas completas con las funciones NAND y NOR.

Puerta lógica

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Conjunto completo de puertas lógicas utilizando sólo puertas NAND. Equivalencias.

Conjunto de puertas lógicas completo : Salida función

Salida función

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

Equivalencias del conjunto completo anterior con sólo puertas

:

• • • • Equivalencias del conjunto completo anterior con sólo puertas

:

• • • •

Enlaces Externos • Using Logic Gates [1]

Véase también • • • • • • • • •

Álgebra de Boole Función booleana Leyes de De Morgan Mapa de Karnaugh Diagrama de Venn Circuito integrado Condición de carrera Cálculo Lenguaje formalizado

Referencias [1] http:/ / knol. google. com/ k/ max-iskram/ digital-electronic-design-for-beginners/ 1f4zs8p9zgq0e/ 23

Tabla de verdad

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Tabla de verdad Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.[1] Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Definición y algoritmo fundamental Considérese dos proposiciones A y B.[2] Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

Considérese además a "·" como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B. 1

2

3

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A

B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

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F

F

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V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función "·".

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.

De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos.

Tabla de verdad

Definiciones en el cálculo lógico Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos: • Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos • Como construcción de un sistema matemático puro • Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

Los operadores fundamentales se definen así: Negación

La negación es un operador que opera sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso.

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

16

Tabla de verdad

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

Bicondicional

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Tabla de verdad

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.

Tablas de verdad Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:

Verdad Indeterminada o Contingencia Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A /\ (B \/ C).

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera: Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3) Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de B \/ C aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4) Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna B \/ C, (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa A /\ (B \/ C), cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos.

(Columnas 1,4 → 5)

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Tabla de verdad

19

1

2

3

4

5

A

B

C

B\/C

A/\(B\/C)

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

V

F

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F

F

F

V

V

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F

F

F

F

F

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición A/\(B\/C) es V y cuándo es F

Contradicción Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas con otras. Sea el caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C Procederemos de manera similar al caso anterior. Aplicamos (Columna 4) la definición de conjuntor a los valores de A y B.(columnas 1,2 → 4) Después aplicamos la definición de disyuntor a los valores de A y B. (columnas 1,2 → 5) Aplicamos en la columna siguiente (Columna 6) el negador a los valores de la columna anterior. Aplicamos el conjuntor a los valores de la columna (A/\B)(Columna 4) con los de la columna ¬(A\/B).(Columna 6) Por último (Columna 8) aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C (Columna 3) con la columna última (Columna 7)cuyo resultado nos da los valores de [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C, siempre falsos cualquiera que sea la fila que consideremos.

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

C

A/\B

A\/B

¬(A\/B)

(A/\B)/\¬(A\/B)

[(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

F

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F

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F

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F

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F

Tabla de verdad

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Tautologías Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras.

Sea el caso: [(A→B)/\(B→C)] →(A→C) Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad: A

B

C

A→B B→C (A→B)/\(B→C) (A→C) [(A→B)/\(B→C)] →(A→C)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

.

Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

• La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

• Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas: Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

Tabla de verdad

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Aplicaciones La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modeliza el lenguaje natural sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede verse en el cálculo lógico.

Lógica de circuitos Una aplicación importante de las tablas de verdad procede del hecho de que, interpretando los valores lógicos de verdad como 1 y 0 (lógica positiva) en el sentido que • valor "1" permite el paso de corriente eléctrica; y • valor "0" corta el paso de dicha corriente.

Los valores de entrada o no entrada de corriente a través de un diodo pueden producir una salida 0 ó 1 según las condiciones definidas como función según las tablas mostradas anteriormente.

Puertas lógicas para circuitos eléctricos

Así se establecen las algunas funciones básicas: AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR (o NXOR), que se corresponden con las funciones definidas en las columnas 8, 9, 2, 15, 10 y 7 respectivamente, y la función NOT. En lugar de variables proposicionales, considerando las posibles entradas como EA y EB, podemos armar una tabla análoga de 16 funciones como la presentada arriba, con sus equivalentes en lógica de circuitos.

EA EB Verdad

EA OR EA OR EA EB NOT BUFFER NOT(EA) BUFFER XNOR (EB) EA OR EB EB EB

EA EA AND NAND EB EB

EA XOR EB

EA AND NOT NOT(EB) NOT(EA) NOT(EA) EB OR EB

NOR Falso

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Esta aplicación hace posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones a alta velocidad, y la construcción de circuitos que utilizan este tipo de análisis se hace por medio de puertas lógicas.

La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperación de datos en las bases de datos como Internet con los motores de búsqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados. Así mismo se utilizan para programar simulaciones lógicas de inteligencia artificial con lenguajes propios. También en modelos matemáticos predictores: meteorología, marketing y otros muchos.

Tabla de verdad

Desarrollo algoritmo fundamental La definición de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, así como a implementaciones en cada una de las tecnologías que pueden representar funciones lógicas en binario, como las puertas lógicas o los circuitos de conmutación.

Caso 1

El primer caso en una función lógica que para todas las posibles combinaciones de A y B, el resultado siempre es verdadero, es un caso de tautología, su implementación en un circuito es una conexión fija.

Caso 2

En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos, si una de las dos variables es cierta el resultado es cierto.

La función seria:

Caso 3

En el tercer caso el resultado es cierto si A es cierto y cuando A y B son falsos el resultado también es cierto.

Su función seria:

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Tabla de verdad

Caso 4

En el cuarto caso la función es cierta si A es cierta, los posibles valores de B no influyen en el resultado.

La función solo depende de A:

Caso 5

En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero, y si A y B son verdaderos el resultado también es verdadero, puede verse que este caso es idéntico al tercero permutando A por B. Y si función es:

Véase también • • • • • • • • •

Operador lógico Anexo:Tabla de símbolos matemáticos Lenguaje formalizado Álgebra de Boole Cálculo lógico Lógica binaria Lógica proposicional Puerta lógica Función lógica

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Tabla de verdad

Notas y referencias [1] « truth table (http:/ / www. oxfordreference. com/ views/ ENTRY. html?subview=Main& entry=t82. e2895)» (en inglés), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, , consultado el 8 de octubre de 2009 [2] Las letras A y B son metavariables, es decir que simbolizan cualquier proposición, atómica o no, del lenguaje de la lógica proposicional.

Enlaces externos • http://www.mitecnologico.com/Main/TablasDeVerdad

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Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes y contribuyentes del artículo Álgebra de Boole Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43572131 Contribuyentes: Acuario2253, AlemanI2.0, Alhen, Almorca, Angel GN, Angus, Antur, Ascánder, Balderai, Bucho, Charada, Chuck es dios, Cinabrium, Dangelin5, Diegusjaimes, Digigalos, Dnu72, Dodo, Drake 81, Ecemaml, Edgar, Eduardosalg, Elliniká, Elwikipedista, Emijrp, EnWILLYado, Er Komandante, Erty 16, Estoymuybueno, Farisori, Fer31416, FrancoGG, Futbolero, Galandil, Gelo71, Genba, GermanX, Gogiva, Goodvibezone, Gsrdzl, Gustavo Piña, HIPATIA2006, Hari Seldon, Icvav, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Isha, Iusdfn78, JorgeGG, Joseaperez, Joxemai, Jtico, Kang, Klemen Kocjancic, Kokoo, Kved, Leonaro, Linkedark, Lotesse, Lourdes Cardenal, Lucien leGrey, Luis Felipe Schenone, Mac, Matdrodes, Mautt10, MiguelAngelCaballero, Millars, Miss Manzana, Moriel, Mpagano, Neochuky, Netito777, Nicop, PaLuLaCkZ, Pabloallo, PoLuX124, Poco a poco, Porao, Raystorm, Roblespepe, Roque Villán, Sergiofigo, Spitz, Super braulio, Superzerocool, Tano4595, Tareasigmg, Telemonica, Tirithel, Tomatejc, Tostadora, Unnio, Vicaram, Willtron, conversion script, 280 ediciones anónimas Puerta lógica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43429395 Contribuyentes: Aalvarez12, Acuario2253, Airunp, Alberto Salguero, Alvaro e rod, Alvaro6900, Antoniotortosa, BValiente, Baned, Bcoto, Bedwyr, Camilo, Cidel, Delphidius, Diegusjaimes, Digigalos, Domaniom, Drever, ECAM, Eduardosalg, Fajro, Guevonaso, Hawking, Hprmedina, Humberto, Ingolll, Jarke, Jkbw, Julie, Kokoo, Linkedark, Lotesse, MONIMINO, Maldoror, Manwë, Matdrodes, MiguelAngelCaballero, Misigon, Miuler, MoN 02, Murphy era un optimista, Museo8bits, Máximo de Montemar, Neofrek, Netito777, Nissan power, NudoMarinero, ONDIA, PACO, Phirosiberia, PoLuX124, Porao, Queninosta, Ramonserra, Rosarinagazo, RoyFocker, Rutrus, Sabbut, Santiperez, Shooke, Switcher6746, Taichi, Tirithel, Tolitose, TorQue Astur, Triku, Unaiaia, 258 ediciones anónimas Tabla de verdad Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43418238 Contribuyentes: -jem-, .Sergio, Alephcero, Angel verde, Antur, Arctosouros, Banfield, BetoCG, C'est moi, Cebrianm, Dangelin5, Danie1996, Dansanti, Dianai, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Edgar, Edmenb, Eligna, FAR, Filipo, Fortefranco, Gabri-gr-es, GermanX, Hprmedina, JKD, Jarisleif, Jhon97, Julian Colina, Kokoo, L30nc1t0, Lagarto, Laura Fiorucci, Lauranrg, Luis Felipe Schenone, MONIMINO, Mansoncc, Matdrodes, Mecamático, Melocoton, Miss Manzana, Muro de Aguas, Pabloallo, Sabbut, Taichi, Tirithel, Vivero, Wilfredor, XalD, Xenocrates, Xenoforme, Xuankar, Yrithinnd, conversion script, 266 ediciones anónimas

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