CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS NUMÉRICOS by Fátima Abigail Porras Noriega

Área de Tecnologías de la Información

Programa Académico de Tronco Común

Materia: Desarrollo de Habilidades de Pensamiento Lógico

Título: Conversiones Entre Sistemas Numéricos

Profesor(a): Miguel Ángel Arias Gutiérrez

Alumno(a): Fátima Abigail Porras Noriega

Grupo: TI112

León, Guanajuato. 17 de septiembre de 2018

Objetivo El objetivo del presente ensayo pretende explicar los métodos principales de conversión entre los sistemas numéricos que existen. Así pues, se busca que de una manera más clara estos distintos métodos puedan ser comprendidos de la manera más fácil posible, además de entender la importancia que tiene el hecho de saber convertir de un sistema numérico a otro.

Introducción Dado que desde la antigüedad el hombre se ha visto en la necesidad de contar las cosas para lograr llevar un adecuado control, fue ésta una de las principales razones por las cuales el hombre ideó un sistema de numeración. Los egipcios fueron los primeros habitantes en la tierra que contaron con un sistema numérico, que fue el sistema decimal. Con el paso del tiempo se pudo determinar que la base 10 ha sido la más utilizada, sin embargo, existen y existieron muchos otros sistemas de numeración también muy importantes como lo son el romano, egipcio o maya. Los sistemas numéricos tienen como principal objetivo, lograr realizar el conteo de los diferentes elementos que tiene un conjunto. Por medio de ellos podemos llegar a construir todos los números válidos dentro del sistema de números. Su finalidad es la de representar números. Dicho todo esto, en el siguiente ensayo se abordará acerca de los sistemas numéricos de la antigüedad, además se profundizará en tres de los sistemas numéricos más importantes y sus conversiones utilizadas a nivel mundial.

Desarrollo Sistemas numéricos posicionales Sistema Decimal Se trata de un sistema numérico que tiene una base 10, es decir, que sus agrupaciones se forman de 10 en 10. Actualmente se utiliza el sistema numérico decimal para indicar magnitudes o cantidades, el sistema consta de diez símbolos llamados cifras, que son: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Es un sistema posicional, ya que las cifras adquieren un valor relativo de acuerdo con el lugar donde se encuentren. Sistema Binario El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras 0 y 1, es decir solo 2 dígitos (bi = dos). Esto en informática y en electrónica tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles: hay o no hay de Tensión, hay o no hay corriente, pulsado o sin pulsar, etc. Sistema Hexadecimal El sistema hexadecimal es un tipo de sistema de numeración posicional que utiliza como base el número 16. Sus números están representados por los 10 dígitos de la numeración decimal, y el intervalo que va del número 10 al 15 están representados por las letras del alfabeto: A, B, C, D, E y F. El uso que le damos hoy en día al sistema hexadecimal se encuentra estrechamente ligado a la rama de la informática y las ciencias de la computación. Conversión Decimal-Binario: Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar). La lista de ceros y unos leídos de abajo a arriba es el resultado. Procedimiento: 1. Dividir entre dos la cifra que se desea convertir y sucesivamente con los resultados que vaya dando cada división. 2. Anotar el resultado y el resto de cada operación. 3. Anotar la lista de 0 y 1 de abajo hacia arriba.

Ejemplo: Convertir 58(10) 58 Cociente

Residuo

2 29 0

2 14

2 7 2

2 1 2

1 1

1 Resultado: 1110100(2)

Conversión Binario-Decimal: Para pasar a decimal un número binario, empezamos por la derecha y vamos multiplicando cada cifra por las sucesivas potencias de 2, avanzando hacia la izquierda. Procedimiento: 1. Es importante recordar que empezamos por la derecha, o sea, en el orden inverso de la lectura tradicional. Para que nos sea más fácil el cálculo, es recomendable escribir también el valor de cada potencia. 2. El segundo paso es escribir debajo el número binario, colocando cada cifra en el valor correspondiente de la potencia de dos. Acto y seguido, sumamos solamente las potencias de dos que tienen valor 1, pues la que tienen valor 0 suman exactamente eso, 0. 3. Sumamos los valores correspondientes de estas potencias y el resultado de esta suma es el número decimal correspondiente. Ejemplo: Convertir 1000011011(2)

2^9

2^8

2^7

2^6

2^5

2^4

2^3

2^2

2^1

2^0

512

256

128

512 + 16 + 8 + 2 + 1 = 539

Conversión Hexadecimal-Binario: Para pasar del hexadecimal al binario sólo debemos transformar cada cifra independientemente al binario usando la transformación binario-decimal o la siguiente tabla: Número hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Número binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Ejemplo: Convertir F3A F=1111, 3=0011, A=1010  Resultado= 111100111010

Conversión Binario-Hexadecimal: Para establecer la conversión escribiremos los números de 0 a F, tanto en hexadecimal como en binario: Número hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Número binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Convertir el siguiente número binario a hexadecimal: 10110101111(2) 1. Para convertirlo comenzaremos agarrando los cuatro primeros dígitos del número binario “1111” de derecha a izquierda, luego los cuatro siguientes “1010” y, por último, como nos faltan dígitos le agregaremos un cero “0101”. 2. Representaremos cada uno de estos números observando la tabla mostrada anteriormente: 1111 = F 1010 = A 101 3. Agrupamos los números hexadecimales en el orden del binario: Resultado = 5AF (16)

Conversión Hexadecimal-Decimal: Método 1: para encontrar el equivalente decimal de un número hexadecimal, primero, convertir el número hexadecimal a binario, y después, el binario a decimal. Ejemplo: Convertir a decimal el siguiente número hexadecimal: A85(16) Solución: 1. Primero, hay que convertir a binario el número hexadecimal, y después a decimal: A=1010, 8=1000, 5=0101 = 2^11 + 2^9 + 2^7 + 2^2 + 2^0 = 2048 + 512 + 128 + 4 + 1 = 2693(10) Método 2: para convertir un número hexadecimal a su equivalente decimal, multiplicar el valor decimal de cada dígito hexadecimal por su peso, y luego realizar la suma de estos productos. Los pesos de un número hexadecimal crecen según las potencias de 16 (de derecha a izquierda).

Ejemplo: Convertir a decimal el siguiente número hexadecimal: E5(16) Solución: 1. Las letras de la A hasta la F representan los números decimales de 10 hasta 15, respectivamente. E5 = (Ex16) + (5x1) = (14x16) + (5x1) = 224 + 5 = 229 (10)

Conversión Decimal-Hexadecimal: Convertir 174 (10) Para convertir un número decimal a hexadecimal, primero convertiremos el decimal a binario, dividiendo el número 174 entre 2, todas las veces necesarias, hasta llegar al final de las divisiones posibles. (Posteriormente, convertiremos fácilmente el número binario a hexadecimal). Al final recogemos el último cociente, y añadimos todos los restos de las divisiones, de derecha a izquierda, de esta forma:

174 2 87 0 1

2 43 1

2 21 1

2 10 2 5 2

1 0

2 1

Después de hacer la división, recogemos el resultado final (1), junto con los restos de las divisiones, de derecha a izquierda y el resultado final es: 10101110 y en hexadecimal sería AE según la tabla.

Conversión de Binario-Octal: El Sistema octal está compuesto por 8 números que van desde el 0 hasta el 7, de esta manera la base utilizada es 8, ya que se manejan las potencias de 8 para escribirlos. Para establecer la conversión escribiremos los números de 0 a 7, tanto en octal como en binario:

Binarios

Octal

001

010

011

100

101

110 111

6 7

Ejemplo: Convertir 1011101(2) Para convertirlo comenzaremos tomando los tres primeros dígitos del número binario “101” de derecha a izquierda, luego los tres siguientes “011” y, por último, como nos faltan dígitos, le agregaremos ceros “001”. Representaremos cada uno de estos números observando la tabla mostrada anteriormente: 101 = 5 011 = 3 001 = 1 Agrupamos los números octales en el orden del binario: Resultado: 1011101(2) → 135(8)

Sistemas numéricos no posicionales Convertir de Romano-Decimal, Decimal-Romano: Los números romanos son un sistema numérico desarrollado por los antiguos romanos con los propósitos de la medición y la comunicación en el comercio y las transacciones. El sistema usa letras en lugar de dígitos para representar los valores. Ciertos nombres, títulos y documentos formales aún emplean el uso de los números romanos. Pasos: 1. Interpreta la letra "I" como el dígito "1". Escrito en forma decimal, esto sería 1,0. Como los números romanos equivalen a números enteros, todos se traducen a un número, más el punto decimal y un cero. El número I es utilizado para los números 1 al 3 como sigue: I, II y III. Cuando "I" está escrito a la izquierda de otro número, significa que se debe restar 1 a ese número. 2. Traduce la letra "V" al número "5". Interpreta el numeral "IV" como 4, ya que "V" equivale a 5 y un "I" a la izquierda de un número significa que hay que restar 1 de ese valor. 3. Lee los números "I" a la derecha de un número como adiciones por unidad. Por ejemplo, "VI" es 6, "VII" es 7 y "VIII" es 8. 4. Traduce el numeral "X" como 10. Si ves "IX", equivale a 9, ya que 10 menos 1 es 9. 5. De los números entre el 10 y el 39 de acuerdo con los mismos patrones mencionados en los Pasos 1 al 4. Por ejemplo, "XX" sería 20. "XXXV" sería 35. "XXXIX" sería 39. "XXVII" sería 27. 6. Interpreta la letra "L" como 50, la letra "C" como 100, la letra "D" como 500 y la letra "M" como 1.000.

Ejemplo: 2365 = MMCCCLXV

Conversión Egipcio–Decimal, Decimal-Egipcio: Los egipcios utilizaron un sistema de escritura decimal, sus números tienen de base al 10, utilizando jeroglíficos tomados de la naturaleza, para su representación, íconos que representaban a las unidades, decenas, centenas, millares y así sucesivamente hasta llegar a los millones. Los números egipcios tiene una particular escritura de derecha a izquierda y de arriba a abajo. Tenían un sistema determinado para los números cardinales, y otro para los números ordinales.

Ejemplo: Convertir 397

Conclusión Como resultado del ensayo presentado, puedo concluir que, dentro de los sistemas numéricos, el sistema decimal es de gran importancia debido a que, para convertir, el sistema con base 10 puede tomarse como un referente para que, después de haber pasado por la conversión decimal, se pase a otro tipo de sistema como lo son el binario, hexadecimal, romano, etcétera. Actualmente sería imposible vivir en un mundo en el que no existiera un sistema numérico ya que como se mencionó, el hombre siempre buscó contar para llevar un control de las cosas. Este tema es muy enriquecedor debido a que todos los sistemas, aunque claro está que algunos ya no se utilizan, son o han sido muy importantes en el paso del tiempo, ya que básicamente los sistemas numéricos se utilizan en cualquier ámbito que se desee. Aprendidos ya los distintos métodos de conversión entre los distintos tipos de sistemas numéricos, puedo concluir también que es bastante sencillo manejar cualquiera de éstos, pero sobre todo los posicionales, como lo son el octal, decimal, hexadecimal y binario.

Referencias • • • • • • • •

El sistema decimal. (s.f.). Obtenido de PPS: http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso1/htmlb/SE C_29.HTM Código binario, decimal y hexadecimal. (s.f.). Obtenido de Recursos Tic: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esotecnologia/quincena5/ 4q2_contenidos_2c.htm CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL. (s.f.). Obtenido de Mi Profe: https://miprofe.com/conversion-de-binarios-a-hexadecimal/ Dany. (s.f.). Cómo Convertir de Binario a Decimal. Obtenido de ¿Don Cómos?: https://educar.doncomos.com/convertir-binario-decimal SISTEMA BINARIO. (s.f.). Obtenido de Área Tecnología: http://www.areatecnologia.com/sistema-binario.htm V., G. B. (s.f.). EUSTON. Obtenido de Sistemas Numéricos: https://www.euston96.com/sistemas-numericos/ V., G. B. (s.f.). Sistema hexadecimal. Obtenido de Euston: https://www.euston96.com/sistema-hexadecimal/ Nova Roma: On Roman Numerals (Sobre números romanos) Ohio Literacy Resource Center: Roman Numerals Chart (Tabla de números romanos)