Ellos no saben by Felipe Chacana Cañas

Ellos no saben, yo debo saber,... ¿qué es lo que no saben?, ¿qué es lo que yo debo saber?1 Algunos pocos aprenden matemática: ¿tiene que ser necesariamente así? Escucho y olvido, veo y recuerdo, hago y ¡comprendo!”(Anónimo). Si usted está contento o contenta con su manera de enseñar matemática, este escrito no es para usted, de algún modo ya ha resuelto lo que aquí nos proponemos buscar. Fidel Oteiza Morra Agosto 2009 En este capítulo se propone desenfocar el tema de la enseñanza de la matemática, en el sentido de entornar los ojos, de mirar alrededor, de apartarnos de la mirada habitual. Se propone mirar lo que hacemos y lo que no hacemos. El tema de fondo: la convicción de que hay algo que no estamos viendo, algo que la profesión, como conjunto, hace y otras cosas que no hace y que perpetúan la noción de que la matemática es para unos pocos, opaca, difícil y ajena. Esta situación se opone, abiertamente, con la convicción - expresada por todos los currículos del mundo – de que todos deben aprender matemática. El dilema es claro. Los padres desean que sus hijos sepan matemática, los estados lo ponen como un objetivo preferente de sus escuelas, probablemente usted, como nosotros, piensa que la matemática es una poderosa manera de comprender el mundo. La mayoría es evaluada en sus capacidades cognitivas, a través de la matemática; las pruebas nacionales evalúan a los establecimientos educacionales, fundamentalmente, por su capacidad para enseñar matemática, las pruebas internacionales clasifican a los países Y…, la profesión de profesor de matemática, actúa como si se tratase sólo de seleccionar a los mejores y trabajar con ellos. Se usa la expresión: “la profesión”, porque lo que observamos es una situación generalizada, que cruza niveles educacionales, establecimientos y países, de modo que estamos forzados a buscar causas, también, muy generales. Se puede aducir la dificultad intrínseca de la matemática o las características e intereses de los niños y jóvenes, a la cultura, pero, la experiencia muestra que en condiciones especialmente cuidadas es posible que una mayoría de los estudiantes aprendan y aprendan pronto, con buena actitud y en un buen nivel. En todo caso es mejor buscar las soluciones en las variables que sí podemos modificar. Nuestra actitud y comportamiento está entre esas variables. En este capítulo se propone explorar la hipótesis de trabajo siguiente: Al contar acerca de la matemática, dando definiciones, enunciando y demostrando teoremas, explicando procedimientos y luego pidiéndoles a nuestros alumnos que apliquen esas ideas a problemas especialmente elegidos, se oculta parte importante del proceso de hacer matemática, de pensar, de dudar, de buscar soluciones y el resultado es 1

Este escrito está en desarrollo, ha sido usado en diversos cursos pero no ha sido publicado, ruego usarlo con las precauciones y cuidado que corresponde a un trabajo en construcción. El autor agradecerá sus observaciones o sugerencias.

una versión aguada de la experiencia matemática. Sólo personas que ya tienen la motivación propia para aprender, aprenden. Otra forma de expresar la idea, sería: el aprendizaje es el resultado de un proceso personal, único, intransferible que realiza el que aprende; el papel del docente es crear condiciones favorables para que ese proceso se dé, deseablemente, en todos los alumnos de los que es responsable.

Se trata entonces de detonar en otros un proceso que sólo ellos pueden realizar. Es posible que “contar el cuento de la matemática” sea más una acción que adormece, esto es, que no sirve para detonar el interés. ¿Qué es lo que nuestros alumnos no saben y que nosotros podemos ayudarles a aprender? En el centro de la actuación del profesor está el hecho de que algunos saben o creen saber, lo que otros no saben y alguien cree que deben saber. El currículo no es otra cosa que la materialización de ese pensamiento hecha por quién tiene la autoridad para hacerlo. ¿Qué les comunicamos a los jóvenes con nuestra actuación? ¿Qué es lo que no saben y que pensamos que deben saber? Si somos profesores de matemática los que respondemos esas preguntas, lo más probable es que pensemos en temas de la matemática. Si leemos los planes y programas o el marco curricular, es precisamente matemática lo que contiene la propuesta de la especialidad. Y, enseñando matemática, en general, no lo hemos conseguido. Sólo un puñado de jóvenes se interesa, le pone energía y aprende. La mayoría queda fuera, siente la matemática extraña, difícil, fuera de su alcance o de sus intereses. En esta oportunidad quisimos buscar la respuesta por otro lado, principalmente porque lo que estamos logrando no es bueno, ni suficiente, ni para todos. Un profesor nos señaló una cita de Albert Einstein: “un error frecuente es pensar que haciendo lo mismo, lograremos algo diferente”. ¿Qué es lo que no estamos viendo para no darnos cuenta de qué otra cosa podemos hacer? ¿Qué es lo que nuestros alumnos no saben y que nosotros podemos ayudarles a aprender? Piense en un “currículo” diferente al obvio. Puede que nuestros alumnos no sepan: Que pueden aprender. Que aprender puede ser entretenido. Que son capaces de hacer matemática. Pueden que no tengan conciencia de que son máquinas procesadoras de información de última generación, con un potencial mayor que el mayor de los computadores. Con capacidades innatas para conjeturar, verificar si sus conjeturas son ciertas o falsas y actuar de acuerdo con los resultados de su verificación. Puede que no sepan que como seres humanos, “hacemos matemática” a la velocidad del rayo. Al caminar, al manejar una bicicleta, al manejar un automóvil, calculamos velocidades instantáneas, es decir derivamos; calculamos distancias a partir de esas velocidades y posiciones iniciales, es decir

integramos y… con esa capacidad instalada, puede que le tengamos miedo a una suma de fracciones. Puede que nuestros alumnos no sepan que están extraordinariamente equipados para descubrir relaciones y resolver problemas. Puede que no hayan tenido la experiencia – me refiero a tenerla en clase, ya que la vida se las ha provisto con creces - que resolver, hacer, ser causa, es placentero. En síntesis, nos referimos a aprendizajes que anteceden, acompañan y siguen el aprender matemática. Los que aprenden matemática “saben” estas cosas. Saben que pueden aprender, que son capaces, que es entretenido y varias cosas más. Una manera de pensar es que nos hemos preparado para “enseñar matemática” y lo que nos enseñaron como efectivo para enseñar es “contar el cuento de la matemática”. De poco valen los “relatos de poder”2, lo que necesitamos es la experiencia del poder, experimentar el poder hacer, experimentar el placer de ser causa3. ¿Cómo les pasamos el bastón?, ¿cómo les entregamos las herramientas? Nadie le enseña nada a nadie, simplemente algunos aprenden. ¿Cómo aumentar la cantidad de los que aprenden y cómo elevar la calidad de lo que aprenden? De acuerdo, lo que estamos describiendo como “objetivo de aprendizaje” no es matemática, pero si seguimos “enseñando matemática” tal como lo hemos hecho hasta ahora obtendremos lo mismo que hemos obtenido hasta este momento. Esto es, muchos le temerán, odiarán o serán indiferentes frente a la matemática y unos pocos aprenderán. Si es ese el “currículo” que nuestros alumnos no saben, ¿Lo sabemos nosotros? Si nuevamente partimos de la premisa que el que enseña debe saber lo que el alumno ignora, ¿Sabemos aprender, sabemos por qué aprendemos, sabemos del placer de ser causa, sabemos enseñar el interés, la emoción del descubrir? Bueno, en nuestra formación el acento estuvo en el conocimiento. Ahora resulta que el corazón y la adrenalina son importantes para aprender axiomática y racionalidad abstracta. ¿Sabemos enseñar a sistemas complejos, potentes, con intereses múltiples, tal como son nuestros alumnos?, ¿Sabemos despertar esos potentes sistemas a la aventura de hacer matemática? Tal vez simplificamos y definimos como incapaces a quiénes no hemos podido interesar. Tal vez el “pensar acerca del pensar”, comprender las motivaciones y los sentidos del conocimiento, está fuera de nuestros alcances. Si es así, sabemos por dónde comenzar, sabemos algo de lo que nos falta. ¿Qué antecede, acompaña y sigue al aprendizaje de la matemática? ¿Cómo funciona nuestro complejo y potente sistema de pensamiento, memoria, creencias, intereses, actitudes, autopercepciones y emociones? Si no nos conocemos, si no podemos dar cuenta, al menos, de una fracción de esos procesos en nosotros, difícilmente los podremos despertar y cultivar en otros. Algunas pistas A continuación algunos de los “cuentos” que oculta el “contar la matemática”. Consecuentes con la intención de desenfocar el problema, de mirar el aprendizaje de la matemática desde diferentes 2

Título de un libro de Carlos Castaneda, antropólogo estadounidense. Expresión de Jean Piaget, en el juego, en la actividad espontánea, el niño experimenta ese placer, el de ser causa y sigue y persigue el juego. No es necesario explicarle que es entretenido jugar con la arena, la pelota o cualquier elemento interactivo, que responda, siente el placer y se interesa, juega. 3

puntos de vista y con base en experiencias exitosas en cuanto a lograr una alta proporción de estudiantes interesados, haciendo y aprendiendo matemática, se sugieren pistas para orientar el pensamiento personal y la actuación que podría seguir a ese pensamiento. ¿Para qué, cómo, cuándo se descubrió? El libro de Geometría Descriptiva que se usa en Ingeniería, comienza: “Dado un plano θ y un punto P fuera de él, se llama proyección de ese punto en el plano θ al pié de la perpendicular bajada…”. No dice que inicia la geometría de las calderas, de las estructuras metálicas o la geometría del “latonero”. Y, nada explica mejor el sentido de un modelo matemático, de un concepto, de una relación, que las razones por las que entró en el edificio matemático y de por qué se lo sigue considerando lo suficientemente importante como para que está en la lista de las cosas que todos deben saber. ¿Qué problema resolvió? El origen, su posición y rol en el edificio de la matemática. Debiéramos estar listos, listas, para responder esa pregunta en relación con los conceptos, modelos o relaciones matemáticas que enseñamos. ¿Cuándo, quién, en qué circunstancias? Otra fuente es la historia del pensamiento matemático. Los creadores fueron, en general, seres interesantes, muchos, de excepción y sus vidas son fuente de inspiración y de admiración. El docente que conoce a Galois, Decartes, Euclides, Arquímedes, Euler,… para nombrar algunos, puede comunicar la vida detrás del concepto, de la idea, del teorema, de la matemática. ¿Qué lugar ocupa en el edificio de la matemática? El que aprende tiene un complejo “árbol de conocimiento” el que va creciendo y completándose en la medida que la persona crece, aprende y toma conciencia de su conocimiento. No existe ninguna razón para que un árbol de conocimiento particular tenga una correspondencia con la estructura, que la matemática ha adquirido en el transcurso del tiempo. Tener conciencia del lugar que ocupa un conocimiento dado en el conjunto de la matemática, facilita su comprensión, facilita la comprensión del sentido que tiene el aprenderlo y luego facilita su memorización y la recuperación del conocimiento en el momento que es oportuno para una aplicación. Esto es pura ganancia. La claridad en las estructuras, las relaciones fuertes y dinámicas, son parte del conocimiento de quién hace matemática. Este conocimiento no aparece, necesariamente, explícito en los textos. Pertenece al acervo de los que hacen matemática, no se ofrece a los que leen matemática. ¿En qué contexto se usan los modelos matemáticos? La física, la química, las ciencias y el contexto. Las aplicaciones y el contexto son formas poderosas de relacionar lo abstracto y formal con la experiencia previa del estudiante. La física es una fuente importante de aplicaciones. Muchos conceptos matemáticos vieron la luz en la mente de físicos, astrónomos o astrofísicos. Resulta particularmente interesante leer lo que Galileo dice acerca de la “nueva ciencia que estoy formulando”. Al referirse a la Física, como una nueva ciencia, se refiere a la posibilidad de expresar las leyes del mundo material por medio de la matemática, llamándola, “el lenguaje de la naturaleza”. Un aspecto de la reforma en curso que suele ser mal tratado es la propuesta de usar el contexto como recurso didáctico. Por momentos pareciera que el contexto en que se da una idea matemática es “una materia más”, esto es, algo que hay que es necesario agregar. Otra distorsión de la idea metodológica detrás de la propuesta curricular actual es la trivialización, es decir, quedarse en la representación material o en la aplicación, sin levantar vuelo y llevar la idea a la matemática, al contexto propio en el que vive, la abstracción y la generalización, propias del pensamiento matemático. Las preguntas anteriores apuntan a comprender el sentido de un conocimiento, al considerar: su origen, la ubicación en la historia, y su posición en el conjunto de la matemática y el contexto en

que esos modelos se dan o se usan. Al final del capítulo se incluye una bibliografía para avanzar en cuestiones de historia y de reflexión acerca del desarrollo del pensamiento matemático4. Estos tres aspectos sugieren algunas acciones personales posible. De una parte, la lectura referente a las tres preguntas, de otra, el avanzar en un cierto repertorio. La tecnología es una buena aliada. De una parte, la Web es fuente abundante de información acerca de lo recién expuesto, de otra, los archivos son fácilmente coleccionables, de modo de disponer de elementos de contexto, fotos digitales o vídeos acerca del conocimiento matemático que enseñamos. A continuación, otras formas de analizar y deseablemente enriquecer y/o hacer más accesibles conceptos, procedimientos, teoremas y otras ideas matemáticas. Estos aspectos son de elaboración personal y de análisis de la propia experiencia. ¿Por qué aprendemos matemática? ¿Por qué algunos se interesan por la matemática? Antes de seguir usted puede responderse la pregunta, comprender nuestro interés puede ayudar a generar el interés en otros. La respuesta más frecuente a esta pregunta es “porque me iba bien”, el éxito llama al interés. Jean Pieget se refiere al “placer de ser causa”, al referirse al niño que juega auto motivado, la clase de matemática da amplias oportunidades para ser causa y para experimentar el éxito y la experiencia muestra que ofrecer oportunidades de éxito es una forma de generar el interés. ¿Cuál es el modelo básico?, ¿cuál es la idea central? En definitiva, ¿a qué se reduce? La mayor parte de las ideas potentes de la matemática descansan en una noción o un modelo relativamente simple. Una ecuación es un formalismo de la idea de una balanza equilibrada; un grupo cíclico finito, se puede modelar mirando la esfera de un reloj analógico; una fracción común es una representación de una parte del total; extraer una raíz cuadrada es buscar el lado de un cuadrado. Los p-grupos de Sylow, se desprenden de las propiedades de los números primos. Einstein explicó que la metáfora básica detrás de su búsqueda que lo condujo a la relatividad, era imaginarse que cabalgaba en un fotón y pensar ¿cómo se ve el mundo desde allí? Esto es, una forma de acercar, de mostrar el sentido y de tener un soporte para el pensamiento, es ofrecer a los estudiantes esos modelos de base. Roberto Araya, ingeniero, empresario e investigador con el que compartimos ideas y proyectos de enseñanza de la matemática, usa un solo modelo para cualquier variable aleatoria, ¡una ruleta! La pregunta que proponemos hacer es ¿Cuál es la idea detrás del concepto, del teorema, del procedimiento matemático? Como docentes tendremos muchos recursos a nuestra mano si podemos responder esa pregunta. Deje la pregunta difícil para después, para después de que el estudiante haya “cabalgado” tiempo suficiente en el nuevo modelo. Simple, las base primero, los muros, el techo y el resto de la estructura, después. ¿Cómo lo hice?, ¿Cómo lo pensé? “Pensar el pensar”, observar cómo funciona nuestra mente. ¿Puede la mente observar cómo funciona la mente? En psicología se habla de meta cognición, la cognición del acto cognitivo. Pensemos en despertar nuestro observador interno. Si vamos a guiar a otros, necesitamos conocer como funciona la mente, el sistema que nos permite resolver problemas, memorizar, comparar, operar, argumentar,… entre otras acciones. La experiencia dice que es posible entrenar a este observador interno. Es parte del mandamiento del sabio griego: “conócete a ti mismo”. La conciencia acerca de los procesos internos nos acercará a comprender lo que acompaña al acto de aprender, de hacer matemática. Tenemos un lenguaje muy reducido para 4

Durante años, uno de los autores, mantuvo en su velador libros de historia de la matemática, de la ciencia y del pensamiento científico. ¿Qué fecha tiene la ecuación de segundo grado más antigua registrada por escrito?, ¿Cómo nacieron los logaritmos? ¿Quién introdujo el sigo igual?

referirnos a nuestros procesos internos. Con cursos, en la universidad, con los que he hecho la experiencia, he observado que los jóvenes usan muy pocas palabras para responder a las preguntas: ¿Cómo lo hiciste?, ¿Cómo lo pensaste?, ¿Cómo le explicarías a otro cómo descubrirlo? Luego, hacia el final del curso, podían hacer explicaciones más completas, más complejas y habíamos desarrollado un lenguaje para expresar los procesos internos. La metacognición es una herramienta a conocer y a utilizar. La metacognición es la capacidad de observar los procesos propios al pensar. La psicología ha preparado el camino. El error es una joya. Las situaciones de aprendizaje de la matemática tienen el privilegio de dar una cantidad enorme de oportunidades para que el que aprende responda, arriesgue una respuesta y, consecuentemente, tenga muchas oportunidades para acertar y para errar. Los acierto, se suman a la necesaria cuota de éxito que nos hace felices y nos incentiva a aprender. Y, ¿el error? Si tiene que elegir un indicador de la calidad de un docente, intente con el manejo que hace del error. ¿Lo reconoce?, ¿Cómo reacciona frente al alumno que se equivoca? ¿Usa el error como un arma para convencer al alumno que él o ella, el o la profesora es un ser superior? ¿Castiga con el error? Si lo reconoce, lo puede aislar y lo observa, con sus estudiantes, para aprender de él, seguramente estamos frente a un docente que logra aprendizajes de orden superior y actitudes complejas y positivas frente al aprendizaje. Los errores permiten aprender, permiten observar otros derroteros de la mente, sugiere soluciones, permite aprender a no tropezar dos veces con la misma piedra. El error es una joya que hay que aprender a usar. Las malas notas son para superarlas. Las malas notas y, por lo demás, las notas mismas son un producto de la forma en que se administra la enseñanza. El único sentido que puede tener una nota es el de un feedback del educador al estudiante. Todo otro uso que se haga de una nota, es espurio, no pertenece a la didáctica, pertenece a las necesidades de administrar procesos masivos. Un niño obtuvo una mala nota por no saber aplicar la noción de congruencia, luego obtiene una muy buena nota porque aprendió ese concepto. ¿Qué sentido tiene promediar esas notas para dejar una constancia escrita en su historia escolar? Detrás de una mala nota hay errores, los errores son joyas, ¿recuerda?, bueno, una mala nota es una oportunidad para saber lo que un alumno no sabe, excelente momento para aprender. ¿Por qué no es así? Porque estamos en un proceso masificado en el que las notas pasan a ser una mercancía, son una carga para quienes las obtienen y para quienes las asignan. Aquí no hay recetas. ¿Cómo se libera un docente de una carga administrativa tan pesada? Hemos hecho muchas cosas para salvar este escollo, lo retomamos en el apartado siguiente. ¿Cuál es su concepto de evaluación? Personalmente me inclino por pensar en la evaluación de los aprendizajes como información en la ruta. Cada persona podría ser autodidacta, definir su propio currículo y aprender a saber si progresa o no, si lo que hace le interesa o no y en definitiva no necesitar “notas”. Si usted como yo está en la aventura de la educación, aceptó lo que le dijeron sus padres, sus mayores: entra a la escuela, se buen alumno y tendrás una buena entrada a la vida. Si aceptamos la escuela (en el apartado siguiente doy la opinión de Facundo Cabral al respecto) entonces aceptamos un currículo definido por otros y varias consecuencias más. En el contexto de la escuela concibo el currículo como un mapa, una carta de navegación y la evaluación como información en la ruta. ¿Para dónde voy?, ¿Estoy avanzando?, ¿Cuánto me falta?, ¿Cómo sigo?, ¿Llegué? Esas son las preguntas que – en este modelo – se espera responda. Si es así, tenemos que repensar y rehacer los instrumentos con que evaluamos los aprendizajes. Si a eso le agregamos que la medición influye en el proceso o estado que mide, entonces debemos preguntarnos, no sólo por la eficacia de los instrumentos y procedimientos de evaluación, sino que también acerca de sus efectos.

Esta forma de pensar la evaluación es coherente con la visión del proceso de aprendizaje que usa la metáfora del árbol5. El mapa es una propuesta externa para desarrollar el árbol de conocimiento de nuestros estudiantes. La evaluación es la información que orienta el recorrido de ese mapa relacionándolo con la construcción personal, individual e intransferible que realiza el estudiante en el proceso de desarrollarse como persona. Frente a esa metáfora, la nota deja – definitivamente – de ser un fin en sí misma. Sólo importa si la información que le brindamos a cada uno de nuestros estudiantes le ayuda en su camino. La creatividad es para todos. Es frecuente asociar la creatividad con los grandes creadores. En este trabajo nos interesa las acciones y capacidades creativas de todos los seres humanos. El programa “Aprender Matemática Creando Soluciones6”, es un intento por ofrecer a todos los alumnos la oportunidad para generar sus propias preguntas y sus propias respuestas. Creamos todo el tiempo. Es más, no podemos no crear. Observe su cuarto, sus pertenencias, el entorno inmediato que le rodea; observe su cuerpo, su salud, su alimentación, sus relaciones personales. ¿De dónde vienen?, ¿Quién lo creo?, ¿Puede ser diferente?, ¿Quién lo puede cambiar? El pulso de la vida es un pulso creativo. Movemos, arreglamos, elegimos nuestra ropa, nuestra alimentación, el cuidado o descuido de nuestro cuerpo, de nuestro entorno, en definitiva creamos a un ser humano, nosotros mismos. En cada decisión, en cada acto pequeño, estamos creando una vida, la nuestra. Lo que nos toca a los educadores es reconocer que cada uno de nuestros alumnos es un ser en creación con capacidad para crear y ofrecerle un ambiente en el que esa creación sea lo que puede ser. Es el conocido objetivo de la educación: ayudar a cada quié a desarrollar al máximo su potencial. Vale la pena, entonces que desarrollemos en nosotros mismos la capacidad para reconocer esos potenciales y a facilitar su expresión. Mi padre demostró admiración por los productos de mi pequeña inventiva desde que lo recuerdo. Bastaba ese reconocimiento para que yo tuviese un impulso para crear. Fuese un mecanismo con el Meccano7o una tarea, lo que recibí fue reconocimiento de mi capacidad. Agradezco a mis padres ese reconocimiento y la lección de pedagogía implícita en su comportamiento. El primer paso es reconocer, luego viene el facilitar el desarrollo de los potenciales de cada estudiante, potenciales, por cierto, muy diversos. De alguna manera “pasar la materia” o simplemente atenerse al currículo oficial, es un sustituto a la capacidad de un maestro de orientar a un aprendiz en el crecimiento de su propio camino – recuerde que la palabra currículo viene de las pistas que recorrían los carros romanos en sus carreras -. Más vale un paso dado por el aprendiz que todo un camino recorrido por el maestro. Lo hemos dicho en otra parte de este escrito. “Aprendemos más cuando emitimos que cuando escuchamos, leemos o recibimos” y esto es un descubrimiento de la psicología cognitiva contemporánea. De allí la importancia de dar la oportunidad de hacer. La escritura es un “hacer” característico del desarrollo cognitivo. Pintar, interpretar, exponer, diseñar, fabricar, exponer, armar, conjeturar, poner a prueba ideas propias, son verbos potentes, conducen a la creación y la creación, especialmente si reconocida, invita a nuevas y mayores creaciones. Estudiar para la nota es como la negación de la capacidad creativa de los niños y los jóvenes. Recuerdo un dicho de Facundo Cabral, artista argentino propuesto para el Nóbel de la Paz, alguna vez respondió una pregunta por su propia educación, diciendo “iba muy bien hasta que la escuela la 5

Ver “El árbol del Conocimiento” de Francisco Varela y Humberto Maturana, editorial universitaria. Proyecto de investigación y desarrollo, desarrollado con el auspicio de la Comisión Nacional de Ciencia y Tecnología de Chile: programa Fondef de la CONACYT. 7 Un juguete metálico para armar, algo como un antecesor del LEGO. 6

interrumpió”. Una afirmación lapidaria, pero que nos puede ayudar a analizar críticamente lo que hacemos. Creamos todo el tiempo, no podemos no crear, la cuestión es qué deseamos que sea el fruto de esa creación continua en nuestros alumnos y antes, en nosotros mismos. Somos sistemas que generan espontáneamente conjeturas y las ponen a prueba Escuchamos un ruido y ¡Ya! Conjetura: “Llegó mi hija”. Unos pasos, una mirada y confirmamos o refutamos. Vemos un destello y conjeturamos: “Un vehículo”, una segunda mirada y verificamos. La lectura se basa en esa capacidad, la comprensión verbal se basa en ella. En una sala de clases hay un sistema, usted o yo, que le explica teoremas a 20, 30 o 50 sistemas que espontánea y automáticamente están en condiciones de generar conjeturas y verificarlas y estos últimos, nuestros alumnos, se aburren, dicen no entender y preguntan si los teoremas y las demostraciones hay que aprenderlas de memoria o – lo que es parecido – si “entran para la prueba”. Algo estamos haciendo mal, ¿por qué a niños y jóvenes, que conjeturan todo el tiempo y también continuamente verifican esas conjeturas, no comprenden teoremas y demostraciones que son la forma que en matemática se manifiestan esas capacidades? No somos capaces de detonar la acción espontánea de esos “sistemas” naturalmente hechos para generar y verificar conjeturas. Claro, para conjeturar se requieren algunas condiciones y la motivación. Esta es una invitación para que el lector detecte esas condiciones y luego las transforme en didáctica. Una condición es conocer el espacio en el que conjeturamos, sus reglas de funcionamiento y sus lenguajes. Conozco la calle, conozco sus ruidos, conozco las leyes básicas de la naturaleza y, claro, el sonido que anuncia un vehículo por mi espalda lo interpreto correctamente y antes de verificar, salto a un lado y luego valido mi conjetura. Además, tengo un instinto de conservación que provee a esas acciones de la energía necesaria. ¿Qué hacemos para que frente a un teorema y su correspondiente demostración, nuestros alumnos “estén en un espacio del que conocen los objetos sus relaciones y las reglas que los rigen y, nada trivial, sientan que les importa, que eso se relaciona con sus vidas? Jean Piaget dice que toda conducta tiene dos polos, uno estructurante y organizado que se encarga del conocimiento y el otro, indisolublemente unido al anterior, es energético, afectivo. Un polo apunta a la razón y el otro al sentimiento. Un organiza, conecta, generaliza, ordena y eventualmente genera nuevas estructuras y el otro provee la energía para que esas acciones cognitivas se realicen, además “colorea” y contribuye a la forma en que la acción es registrada y eventualmente grabada en memoria. Si relacionamos estas condiciones con un docente que “genera espacios en los que las probabilidades de descubrir una relación o un patrón matemático sean altas” observamos que esas situaciones serán efectivas si los estudiantes conocen los objetos matemáticos, sus leyes y lenguajes y tienen el interés por habitar en forma inteligente ese espacio. Hacer esto es la alternativa que percibo a “Contar el cuento de la matemática y luego asustar con las pruebas para movilizar a los jóvenes”. De más está decir que lo que descubrimos, lo que podemos mostrar con orgullo a los demás, no se olvida y que, muy difícilmente, nos preguntaríamos ¿para que sirve esto?, ¿Tengo que aprenderlo de memoria? O ¿Para qué sirve? Esas respuestas ya fueron respondidas por la situación en que pude, personalmente, acercarme al conocimiento por mis propios medios. En matemática “ver lo que une “por debajo” de lo aparente, encontrar el patrón que subyace, es una acción central. Descubrir patrones, lo que une eventos u objetos aparentemente separados, es una

capacidad innata al ser humano, somos, además, capaces de generar conjeturas y de verificarlas o refutarlas. Los docentes podemos generar espacios en que esas capacidades generen conocimientos duraderos y con sentido. Un concepto de educador: ¿qué es un profesor de matemática para usted? Varios de mis estudiantes en una licenciatura que los prepara como profesores de matemática y computación que han trabajado conmigo este escrito – la primera versión es de febrero 2006 – han comentado que este intento por “desenfocar” el acto de enseñar matemática propone un concepto de docente que difiere de lo que ellos habían percibido, tanto en las prácticas de escuelas y liceos, como en su propia formación. ¿Puedo identificar ese concepto? Obviamente no es ni nuevo ni totalmente original. Lo que considero valioso es poder identificarlo, enunciarlo y haber generado instrumentos y procedimientos para ponerlo en práctica8. La noción de docente que subyace a este trabajo remite a un profesional con las capacidades para generar situaciones de aprendizaje, concebidas como espacios en los que se “dan” las matemáticas que le proponemos a nuestros alumnos aprender, facilitar el tránsito de sus estudiantes por esos espacios especialmente diseñados, apoyar a esos estudiantes mediante la información que requieren para adelantar o enmendar sus caminos y – central en esta concepción – las capacidades para optimizar esos espacios y los procesos asociados como efecto de la información, que el docente, obtiene de su puesta en práctica. Las capacidades de diseño y de facilitador de los aprendizajes, están en el centro de la noción. Basta contrastar lo dicho con un docente preparado para “hacer clases, pasar la materia y luego aplicar pruebas” que el la metáfora que se desprende de la mayor parte de las prácticas de enseñanza, para comprender que esos estudiantes de pedagogía piensen que las nociones propuestas en este “desenfocado” documento, apunte a otro docente, a otro concepto de profesor. Un simple análisis muestra que en la formación de un docente que responda a esa visión, en su formación se requiere formación en capacidades de diseño, observación de procesos complejos, redacción de documentos técnicos, medición, en varias áreas, tales como: aprendizajes, actitudes, expectativas y otras variables centrales en el aprendizaje; así como las competencias para producir y evaluar recursos de aprendizaje y las competencias asociadas a la mediación adulta9 en procesos de aprendizaje. Si regresamos a la hipótesis de trabajo enunciada en la primera página de este escrito: “Contar el cuento de la matemática es una acción dormitiva”, en el sentido que inhibe más que alienta el aprendizaje, la propuesta, una respuesta, de un educador que crea situaciones para que sus estudiantes “encuentren” y luego elaboren el conocimiento, es una respuesta consistente. Un profesional independiente y original Así como le educación tiene como uno de los propósitos centrales apoyar el desarrollo de seres independientes y originales, nuestra tarea es formarnos para tener independencia y originalidad. El conocimiento es un paso hacia la independencia. El conocimiento matemático sólido, con múltiples 8

El varias veces citado “Modelo Interactivo para Aprender Matemática”, resultado del proyecto FONDEF N° DOOI 1073, “Aprender Matemática Creando Soluciones”, nos permitió crear los recursos que un docente puede poner en práctica para aplicar ese modelo. 9 Mediación adulta, en el sentido que le dio Reuben Feuerstein, ver en: http://www.ceame.cl/publicaciones/DetalleArticulo.asp?IdArticulo=3

entradas, provisto de una visión del campo de la matemática como disciplina, es una garantía de independencia. Una metáfora de un profesor de matemática es la de un explorador que aprende continuamente acerca de su campo y que puede “apuntar su linterna” y mostrar las bellezas de lo que está aprendiendo. Otra independencia es la capacidad para crear currículo y recursos para ponerlo en práctica. En esta oportunidad me concentraré en las bases para ser un constructor de currículum. De pasada, los currículos nacionales sólo pasarían a ser una referencia si los docentes tuviesen esta capacidad y la ejerciesen. Un cuento para comenzar. En los años setenta se realizó una conferencia acerca de currículum auspiciada por la UNESCO10. En una contribución para esa conferencia, Desmond Brooms, un educador matemático de Barbados, América Central respondió a una discusión frecuente en ese momento: la existencia muchas “definiciones” de currículum y la consiguiente preocupación por una vaguedad en el campo de la educación. El argumento de Brooms fue el siguiente. El currículo es consecuencia de los valores, creencias y circunstancias de quienes lo definen. Así como existen tantas álgebras como sistemas de axiomas se elijan, así, de diferentes principios, eminentemente valóricos, se desprenden diferentes currículos. Una respuesta elegante a la vez que poderosa. En el anexo puede encontrar una tabla que muestra, siguiendo a Eisner (1974) y McNeil (1977), cinco enfoque curriculares: humanista, académico, orientado al cambio social, tecnológico y cognitivo. La clasificación sugiere que usted puede tomar decisiones y generar su enfoque personal, algo así como agregar una columna a las existentes y reflejar, en las diferentes variables sus opciones. La sugerencia es desarrollar un conjunto propio de “Principios orientadores” que actuarán luego como una axiomática para lo que usted hace en educación. Tiene varias ventajas, por una parte explicitar valores permite aclararnos nosotros mismos, primero, y que los que reciban el efecto de nuestra trabajo sepan con quién están trabajando. Adicionalmente, los principios, operacionalizados, conducen a criterios de evaluación y permiten que usted los revise a la luz de la experiencia, mejorando su expresión o modificándolos, según los resultados de su puesta en práctica. Un respiro para reflexionar ¿Cansada, cansado? O tal vez confundidos. Si ha llegado hasta este punto puede que le hallamos comunicado algo. Un minuto de respiro, un instante para mirar el conjunto y hacer algo de introspección. Si nadie la enseña nada a nadie, sólo habríamos tenida éxito si hemos detonado en usted algún pensamiento, algún proceso propio. ¿Le dice algo el observador interno? Este es un concepto que puede dar origen a trabajos personales de desarrollo. Usted puede proponerse observar su actuación, sale de la clase, termina la conversación, tiene unos minutos para usted. ¿Cómo me siento?, ¿Qué es lo que hice?, ¿Cómo lo hice?, ¿Porqué con Anita me resultó y con Juan siento que aún no llego? El ejercicio lo puede combinar con acciones en la sala de clases. “Veamos ahora cómo lo hicimos, ¿Pueden explicar cómo pensaron, de dónde sacaron la idea?, ¿hay otras maneras de hacerlo?” Se trata de avanzar en nuestra capacidad para “pensar el pensar”. Con más claridades en ese aspecto ampliaremos el repertorio de lo que podemos ofrecer a nuestros alumnos. Algunas pistas de más largo plazo

Conferencia de Allenton Park, en el Boletín N° 14 de la UNESCO, 1973.

Estamos pensando en usted, en docentes, como sistemas altamente complejos que interactúan con sistemas, también, altamente complejos, sus alumnos. Entre más elaborada y depurada sea su preparación, con mayores desafíos se encontrarás sus estudiantes y con mayores recursos se encontrará usted. Como padres deseamos que nuestros hijos sean formados por personas del más alto nivel de formación, de la más alta calidad moral y con el más completo equipo emocional. En pedir no hay engaño. ¿Hasta dónde estamos dispuestos a llegar? ¿Cuánto debemos o deseamos dedicar a nuestro desarrollo profesional y personal? Imposible que nadie responda esas preguntas por otro. Sólo nos remitimos a proponer lo que la experiencia nos ha proporcionado. Más que enseñar, nos proponemos mostrar. Una metáfora atractiva acerca del educador es la del explorador que va buscando con una linterna. De vez en cuando puede decir: “mira eso”, sea porque lo encontró, sea porque le interesó o sea porque de alguna manera lo valoró. A continuación, algunas ventanas que nos dieron luces. Formular una hipótesis y mantenerla durante un tiempo. Si a, entonces: b, c,… Muchos capítulos de libros de matemática comienzan por formular una hipótesis y continúan mostrando las implicaciones de la hipótesis y suelen concluir con aplicaciones de lo obtenido a partir de suponer la hipótesis como verdadera. A continuación una historia personal y una proposición para que usted considere alguna de las lecciones obtenidas de esa historia. El día de un examen de grado en educación matemática, supe que un decano, especialmente difícil, sería miembro del comité examinador. Mientras esperaba el inicio del examen, tomé una revista del estante cercano y leí parte de un artículo de Iván llic, un educador de origen centroeuropeo, que publicó artículos muy influyentes en la década de los años sesenta y setenta. Ilic estuvo entre los iniciadores de la pedagogía crítica y fue especialmente ácido en sus críticas a la escuela. En Desescolarizando la Sociedad, propone eliminar la escuela. En su acidez, la llama “esa vieja vaca sagrada”. Es una hipótesis audaz. No me di cuenta que mi examinador había observado el tema de mi lectura. Cuando tuvo su oportunidad para preguntar, en mi examen de grado, lo hizo con evidente repugnacia al objeto de su pregunta: “Así que leyendo a Ilic, ¿Está de acuerdo con sus ideas?” No era el momento de polemizar con quíén yo no conocía y que tenía el sartén por el mango. La presión fuerza la creatividad. Respondí: “Si usted tuvo la oportunidad de observar lo que leía puede que haya visto que llegaba a la mitad del escrito. No tengo una opinión formada, me parece una hipótesis audaz, me propongo perseguirla durante un tiempo y ver dónde me lleva”. Pasé con éxito el momento y el examen y aprendía algo. Ahora lo comparto con usted. Durante toda mi vida profesional he mantenido en la mente alguna hipótesis fuerte, exigente, a veces insultante inicialmente y he dejado que mi razonamiento, las experiencias y los interlocutores que quisieron – o se atrevieron – a escucharme, me permitiesen poner a prueba esas ideas. Ha sido muy productivo. “Supongamos que…, entonces”. Ahora se lo proponemos a usted. Retomando el hilo. La práctica es la siguiente. Si usted encuentra una idea, lee una propuesta, escucha de una forma de pensar la enseñanza que de alguna manera desafíe su modo de pensar, o lo ratifique o tenga un interés particular para usted, permítase formularla con toda sus palabras y déjela en su mente por el tiempo que le parezca que produce pensamientos, ideas, que lo desafía o que le sigue interesando. El juego es: “Supongamos que… es verdadero, verdadera, que se sostiene, entonces:…” Permítase conversar sobre la idea,

discutirla, primero con interlocutores más benignos que el examinador de la historia, luego con otros más exigentes y tome nota de sus inferencias, de las consecuencias de la hipótesis. Por ejemplo, sigue la historia personal: Durante más de dos años perseguí la hipótesis de Carroll: “no existen alumnos buenos y alumnos malos, sólo existen alumnos más rápidos y más lentes, todos pueden llegar”. Es una hipótesis particularmente interesante si se la formula en Términos de la curva normal. En su análisis Carroll dice que el efecto que observamos en los resultados de una prueba con un número suficiente de alumnos, se distribuyen según la curva normalcomo en el SIMCE o la PSU - , es un efecto de la forma que administramos el tiempo. A todos los alumnos le pedimos que hayan aprendido en un tiempo dado, como hay alumnos rápidos, lentos y todas las alternativas intermedias, los resultados se distribuyen según la referida curva. A la inversa, si le damos a todos los alumnos la oportunidad para aprender, todos llegan a la calificación máxima y lo que se distribuye según la distribución del error, es el tiempo que los estudiantes se demoran en aprender. Luego, Benjamín Bloom formuló la hipótesis del “Aprendizaje hasta la maestría”: todos los alumnos pueden aprender, es cosa de darles las condiciones y el tiempo necesario. Pruebe a dejar esas hipótesis en la mente, póngalas a prueba, saque conclusiones y observe si tienen algún efecto en sus creencias y en sus prácticas. ¿Cómo sería una sociedad sin escuelas? ¿Pueden todos los alumnos aprender todo lo que enseñamos? O lo que es parecido, ¿Existen los objetivos fundamentales y contenidos mínimos obligatorios? (se supone que para todos). Ahora, lo invito a considerar estas dos hipótesis de trabajo: ¿Cómo sería la enseñanza si estuviesen prohibidos exponer o “pasar la materia”? ¿Cómo sería la enseñanza si estuviese prohibido poner notas? Hagamos el ejercicio, obtengamos las inferencias a partir de una o de las dos hipótesis en forma conjunta y describamos cómo serían nuestras prácticas docentes y cómo serían los textos, los horarios, los informes de avance, entre otras características de lo que llamamos clase, escuela o sistema de educación. Siempre hay un paso más allá, sólo enseña bien el que está aprendiendo. Hoy, para mí, algunos desafíos son: Las ciencias cognitivas y las nuevas miradas para el aprendizaje que está generando. ¿Qué hay allí para la educación matemática?, ¿para la comprensión de lo que hacemos en educación? Otro desafío son las redes cooperativas de aprendizaje. ¿Qué potencial tiene la red de datos para generar comunidades de aprendizaje?

Uno no nuevo pero crecientemente retador se refiere a volcar en la educación lo que aprendemos en desarrollo personal. Educación emocional, meditación, artes marciales, conciencia y desarrollo, el despertar del observador interno, el meta aprendizaje y la conciencia, medicinas alternativas, alimentación, conciencia ecológica. Para nombrar algunos desarrollos en el área del crecimiento personal. ¿Cómo pueden reflejarse en nuestras prácticas, en nuestros programas, en los textos, en los currículos?

ANEXO

Enfoques curriculares presentados en forma sintética “Para ver lo que han hecho otros y decidir qué hace uno”

Fidel Oteiza Morra Santiago, 12 de Junio de 1999 Una nueva visita a un trabajo antiguo. La primera versión es de 1979 y fue hecho en un trabajo para la Universidad Simón Rodríguez de Caracas, Venezuela, con la contribución de Graciela Messina. En 1996 agregué el enfoque cognitivo. Ahora, 2009, debería incluir los avances que generan las ciencias cognitivas. Si se acepta el supuesto de que un currículo específico es resultado de opciones valóricas y que, por lo tanto, la noción de currículum es una noción derivada de esas opciones, se puede iniciar un proceso de diseño tomando decisiones acerca de los aspectos centrales que definirán el estilo curricular. Como una orientación para esas opciones se propone una tabla que presenta opciones tipo o tipificadas, para que el diseñador adopte sus propias orientaciones. La clasificación en currículos humanista, académico, orientado al cambio social y tecnológico es de McNeil (1977), en esta oportunidad se agregó un currículo con orientación cognitiva.

Humanista

Académico

Cambio social

Tecnológico

Cognitivo

Currículo centrado en (foco)

La persona

Conocimiento

El cambio de la sociedad, la justicia

Los sistemas, los medios

La inteligencia

El proceso liberador del yo, orientado a promover experiencias que contribuyan al desarrollo personal integral, la clarificación de valores y la resolución de problemas de identidad y sociabilidad.

Es el vehículo por medio del cuál se trasmite el conocimiento acumulado por la humanidad.

Facilitar la toma de consciencia como fuerza liberadora y transformadora.

El aprendizaje individual, a partir del punto en que cada uno se encuentra y de acuerdo con el ritmo personal.

El currículo es un conjunto estructurado de experiencias, especialmente diseñadas para ampliar los límites de la acción inteligente.

Objeto principal del currículo

También, los objetivos elegidos por los diseñadores del sistema.

3. Aspecto o dimensión humana que enfatiza.

Identidad, el Yo real, la naturaleza intrínseca.

El intelecto, la razón. El ser humano como depositario y creador de conocimiento.

Diálogo, capacidad crítica, el ser humano como un agente de cambio.

La resolución de problemas,

Persona - mundo

Persona medios

La cognición, el pensamiento

Homo faber

Homo sapiens 4. Interacciones propiciadas.

Persona persona

Persona disciplina

ser en relación

Relación entre maestro y alumno.

Textos y formación de maestros.

Preparación de grupos de base en la acción.

Desarrollo de medios estructurados en sistemas.

Diseño de materiales y preparación de entrenadores por un especialista

Maestro como facilitador, animador, receptivo, no impositivo. Aprende de sus alumnos, con sus alumnos.

Maestro “conocedor” de su disciplina expone y orienta el aprendizaje.

Se supera la barrera jerárquica, las personas aprenden del diálogo mediatizado por el mundo, la sociedad y la cultura.

Maestro, crea ambientes en que los medios facilitan el acceso al conocimiento.

La de un entrenador con su discípulo.

Determinados entre planificadores y docentes, con apertura a los objetivos emergentes.

Determinados por los docentes e incluso por alumnos, de entre los seleccionados por los diseñadores.

Alumno, autónomo, responsable de su aprendizaje. Los alumnos aprenden los unos de los otros. 7. Determinació n de los fines y objetivos.

Persona sistema

Formación de maestros.

Política preferente de desarrollo curricular. 6.

Persona espacio simbólico

Los objetivos los determina el alumno con el apoyo del profesor.

Alumno, receptivo, activo buscador de información.

Determinados por la autoridad académica en consulta con los especialistas de cada disciplina.

Alumno, trabajador independiente, busca información y la aplica a la solución de problemas.

A partir de una determinada teoría del desarrollo de la inteligencia.

8. Criterios de organización curricular.

Las vivencias personales, los contenidos tienen importancia pero se organizan según intereses y vivencias Se orienta hacia la solución de problemas y las actitudes.

La estructura de la o las disciplinas. La tradición académica. Los textos son una buena guía para comprender la estructura del currículo.

El núcleo organizador es el problema, la situación problematizadora Los contenidos tienen importancia y son seleccionados y organizados a partir y para la solución de problemas.

Grupos de encuentro,

Prácticas pedagógicas y ambiente escolar.

10. Evaluación.

Centrada en los procesos. La autoevaluacion y la puesta en común grupal son practicas recomendadas.

Las estructuras que la teoría propone.

Los modelos básicos utilizan objetivos formulados en forma operacional.

Organización jerárquica. Mapas conceptuales.

Enfoque de sistemas. Los análisis de tareas y de procedimientos son dos organizadores básicos.

La organización debe facilitar las opciones de los estudiantes.

Se utilizan diversos criterios de organización

Clase expositiva, se propicia el docente “conocedor” de las materias.

Encuentro en el dialogo.

La prueba escrita, la presentación de trabajos por parte del estudiante a partir de temas propuestos por el profesor.

Se evalúa el efecto del programa sobre la comunidad, la solución de los problemas abordados.

Practicas liberadores y de toma de conciencia.

Interacción entre el estudiante individual con material especialmente diseñando y validado.

Interacción entre el estudiante y un material especialmente preparado con el apoyo de un maestro altamente capacitado.

Diagnostica, formativa, y acumulativa .

Centrada en los logros del estudiante según especificaciones

Evaluación de productos y de programas, no solo se evalúan los aprendizajes también los materiales y los sistemas.

Observación Mapas conceptuales, proyectos.

11. Concepción acerca del conocimiento

12. Concepción acerca de la sociedad.

13. Acerca del Aprendizaje

El conocimiento sirve para que el ser humano se conozca a si mismo . Construcción de valores y de estructuras para comprender el entorno físico, pero principalmente el simbólico social.

El conocimiento es un producto de alto nivel generado por la aplicación sistemática del método científico.

La sociedad es el resultado de la acción de los seres humanos como personas.

Fenomenologia psicología humanista.

El conocimiento construye estructuras a partir de la experiencia y tiene por finalidad la solución de los problemas del hombre.

El conocimiento proviene de la ciencia y de las sistematizacione s científicas.

El conocimiento es una construcción humana.

Se valora la aplicación sistemática de los resultados de la investigación, la tecnología.

Todos construimos conocimiento.

La sociedad es una estructura jerárquica y la educación contribuye en la formación de esas jerarquías.

La sociedad es una organización en cuestionamiento.

La sociedad es un suprasistema, la educación es uno de los subsistemas.

Producto de la interacción humana, su calidad depende del desarrollo de cada individuo.

Teorías clásicas pre Piaget o ninguna teoría.

Usa los conceptos de aprendizaje del materialismo dialéctico y del neoculturalismo de Erich From.

La ciencia representa el paradigma básico, el conocimiento científico no es comparable con el conocimiento vulgar o popular.

La educación prepara a las personas para ser agentes activos en los cambios que la organización social requiere.

Es importante estudiar, conocer y tener en cuenta las múltiples relaciones que se produce entre los sistemas y componentes. Neoconductismo posturas eclécticas del neoconductismo y los aportes de Piaget y del cognositivismo.

Aprender es construir conocimiento.

14. Representantes

Carl Rogers Abraham Maslow

Nadie la defiende casi todos la usamos. Algunos ejemplos diseñados: El proyecto SMSG, en Matemática. El Programa Paideia de Mortimer Adler

Paulo Freire

Robert Mager

Iván Illich

James Block

Proyecto Inteligencia de Venezuela.

Jhon Carroll

César Coll

Robert Gagne

Edward DeBono Feuerstein En estos momentos – 2009 – las ciencias cognitivas están cambiando significativame nte el escenario de las teorías de la enseñanza.