INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C
Calculo
PROFESOR(A): M. C. Ofelia M. Izquierdo Valladares PORTAFOLIO DIGITAL
ALUMNO: Jaimes Pérez Ma. Fernanda
GRADO Y GRUPO: 3°B
CICLO ESCOLAR 2013 - 2014
SEMESTRE “A”
SEMESTRES A
CALCULO
PRIMER PARCIAL
RELACIONES Y FUNCIONES
INDICE
EVALUACION DE FUNCIONES OPERACIONES CON FUNCIONES TIPOS DE FUNCIONES RELACIONES Y FUNCIONES GUIA DE PRIMER PARCIAL
SEGUNDO PARCIAL
LIMITES
INDICE
FUNCION POR PARTES CASOS DE LIMITES APLICACIÓN DE LA DEFINICION DE LIMITES DE UNA FUNCION Y SUS PROPIEDADES LIMITES EN EL INFINITO GUIA DE EXAMEN DEL SEGUNDO PARCIAL
TERCER PARCIAL
INTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIAL
INDICE
LIMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES RAZON DE CAMBIO PROMEDIO RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA DERIVADA DE FUNCIONES
CUARTO PARCIAL
INTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIAL
INDICE
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR TRABAJO ESPECIAL
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C
CALCULO
PROFESOR(A): M. C. Ofelia M. Izquierdo Valladares
Portafolio
ALUMNOS: Jaimes Pérez Ma. Fernanda GRADO Y GRUPO: 3°B
CICLO ESCOLAR 2013 - 2014
SEMESTRE “A”
INTRODUCCION
En cálculo hay dos significaciones de la palabra "máximo", y se distinguen mediante los adjetivos absoluto y relativo. Para máximo absoluto: Sea f una función de valores reales definida en un conjunto S de números reales. Se dice que la función f tiene un máximo absoluto en el conjunto S si existe por lo menos un punto c en S tal que f(x)≤f(c) para todo x en S El número f(c) se llama máximo absoluto de f en S. Y para máximo relativo: Una función f, definida en un conjunto S, tiene un máximo relativo en un punto c de S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal que f(x)≤f(x) para todo x situado en I∩S Para mínimo absoluto se tiene: Para una función con las mismas características que la definida en el máximo absoluto, se dice que f tiene un mínimo absoluto en S si existe un punto d en S tal que f(x)≥f(d) para todo x en S
INDICE
Definicion de maximo y minimo…………………………………………………. 4 Maximo absoluto y relativo………………………………………………………...5 Ejemplos……………………………………………………………………………….6 Puntos de inflexion y concavidad de la curva…………………………………..10 Ejemplos……………………………………………………………………………….11 Conclusion …………………………………………………………………………….15 Bibliografia……………………………………………………………………………..16
Maximo y Minimo de una funcion
Entre los valores que puede tener una funcion (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeños. A estos valores se les llama respectivamente punto maximo y punto minimo absoluto. Si una funcion continua es acendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico maximo relativo, aunque comunmente se le llama solo maximo. En un punto en el que l aderivada se anule y antes sea positiva y despues del punto sea negativa, se dice que la funcion tiene un maximo relativo. Es decir, que F´(x)= 0 y en ese punto, la funcion, pase de creciente a decreciente. En x=a la funcion tiene un maximo relativo y se obseva que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa (se annula y cambia de signo). Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto critico minimo relativo. En el punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y despues del punto positiva, se dice que la funcion tiene un minimo relativo. Es decir, que f´(x0)= 0 y en ese punto, la funcion, pase de decreciente a creciente. En x=b la funcion tiene un minimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Para que una funcion tenga maximo o minimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, ademas, cambiar de signo). Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.
Curva sin máximos ni mínimos, función sin máximos y mínimos
Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo
M áximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a s i la orden ada es mayor o igual que en cualquier ot ro punto del dominio d e la función.
a = 0
M ínimo absoluto Una función tien e su mínimo absoluto en el x = b si la orden ada es m enor o igual que en cualquier ot ro punto del dominio d e la función.
b = 0
M áximo y mínimo relativ o Una función f tiene un máximo relat ivo en el punto a, s i f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es m enor o igual que los puntos próximos al punto b.
a = 3.08
b = -3.08
EJEMPLOS: Calc u l ar los m á x im os y m í n im os d e las fu n c ion es :
1
f( x) = x 3 − 3 x + 2 f' ( x) = 3 x 2 − 3 = 0
x = − 1
Can d id at os a e xt r em os : − 1 y 1 .
f' '( x ) = 6 x f' '( −1 ) = −6 < 0
M á x im o
x = 1
f' '(1 ) = 6 > 0
Mí n im o
f(−1 ) = (−1 ) 3 − 3 ( −1 ) + 2 = 4 3
f(1 ) = (1 ) − 3 (1 ) + 2 = 0 M á x im o (−1 , 4 ) M í n im o (1 , 0 )
2
Can d id at os a e xt r em os : − 2 , 0 y 2 .
f( −2 ) = (−2 ) 4 − 8 · ( − 2 )² + 3 = − 1 3 f(0 ) = 0 4 − 8 · 0 ² + 3 = 3 f(2 ) = 2
4
− 8 · 2² + 3 = − 13
M á x im o s: ( − 1 , − 13 ) , ( 2 , − 1 3 ) Mí n im o(0 , 3 )
3
Can d id at o a e xt r em o: 7 / 5 .
4
Can d id at os a e xt r em os : 1 y â&#x2C6;&#x2019; 7 / 2 .
5
Can d id at o a e xt r em o:
Concavidad y puntos de inflexión La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente: Definición de concavidad Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada
la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo cóncava hacia abajo en el intervalo
y
Ejemplos: 1. El punto es positiva si
es un punto de inflexión de la curva con ecuación , y negativa si
cóncava hacia abajo para
, de donde f es cóncava hacia arriba para
.
Gráficamente se tiene:
2. Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
Se tiene que
, pues
por lo que
,y
Resolvamos las desigualdades
Como si esos intervalos.
entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo
Luego los puntos puntos de inflexión.
y
pues en él
.
son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son
La gráfica de la función f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.
3. Considere la función f con ecuación
La segunda derivada de f es
Note que
si
.
.
, y,
Luego, f es cóncava hacia arriba para
Se tiene entonces que
Evaluando la segunda derivada de f en expresado en el teorema anterior.
si
, y cóncava hacia abajo para
es un punto de inflexión.
resulta que
con lo que se verifica lo
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión. 4. Considere la función f con ecuación
.
La segunda derivada de f es
Note que
si
.
, y,
Luego, f es c贸ncava hacia arriba para
Se tiene entonces que
Evaluando la segunda derivada de f en expresado en el teorema anterior.
si
, y c贸ncava hacia abajo para
es un punto de inflexi贸n.
resulta que
con lo que se verifica lo
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexi贸n.
CONCLUSION:
La diferencia entre cada concepto es que un máximo relativo en c es un máximo absoluto en un cierto entorno de c, si bien no es necesariamente in máximo absoluto en todo el conjunto S. Naturalmente, cualquier máximo relativo es, en partícula, un máximo absoluto.
BibliografĂas:
http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/math/maxmin.html http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/12maximo-min.htm#up http://www.vitutor.com/fun/5/x_e.html