Complemeto alla Logica sulla base di Principi Generali

“D'altra parte gli strumenti elettronici sono più utili quando si tratta di rispondere a domande quantitative. Rivelatori elettronici come i contatori Geiger, che misurano la radioattività nelle cantine di vecchie case, si fondano sulla logica. Essi sono programmati in modo da rispondere a domande semplici ogni volta che rivelano una particella, e a registrare se le risposte alle domande sono sì o no. Possono scoprire collisioni di particelle a frequenze di milioni al secondo, suddividerle in sì e no, e contare il numero di risposte sì e il numero di risposte no. La storia della fisica delle particelle può essere divisa in due periodi: nel primo, che ebbe termine intorno al 1980, furono determinanti rilevatori ottici e immagini ottiche, mentre nel secondo subentrarono rivelatori elettronici e la logica. Prima di questa transizione, la scienza avanzava facendo scoperte qualitative di nuove particelle e di nuove relazioni fra particelle”.* “La scienza teorica può essere divisa grosso modo in due parti: analitica e sintetica. La scienza analitica riduce fenomeni complessi alle loro componenti più semplici. La scienza sintetica costruisce strutture complicate a partire dalle loro parti più semplici.[...] Un'altra ragione per cui credo che la scienza sia inesauribile è il teorema di Godel. Il matematico Kurt Godel scoprì e dimostrò il suo teorema nel 1931. Il teorema dice che, data una qualsiasi serie finita di regole per fare matematica, ci sono proposizioni indecidibili, ossia proposizioni matematiche che non possono essere né dimostrate né confutate usando tali regole. Godel fornì esempi di proposizioni indecidibili che non possono essere dimostrate né vere né false usando le regole normali della logica e dell'aritmetica. Il suo teorema implica che la matematica pura sia inesauribile. Per quanti problemi possiamo risolvere, ce ne saranno sempre altri che non potranno essere risolti con le regole esistenti.

Ora io sostengo che, in conseguenza del teorema di Godel, è inesauribile anche la fisica.* Le leggi della fisica sono un insieme finito di regole, e comprendono le regole per fare matematica, cosicchè il teorema di Godel si applica anche a esse. Il teorema implica che, anche entro l'ambito delle equazioni basilari di fisica,* la nostra conoscenza sarà sempre incompleta”. *F. Dyson, Lo scienziato come ribelle, La biblioteca delle scienze, 2009, pag. 156 *F. Dyson, Lo scienziato come ribelle, La biblioteca delle scienze, 2009, pag. 171 *The British journal for the philosophy of science, volume 61, numero 4, dicembre 2010, Articolo di W. Aitken e J. A. Barrett, A note on the Physical Possibility of Transfinite Computation, pag. 867.

“While the notion of such transfinite computations is perfectly coherent, whether or not an α-Turing machine is physically realizable for a given ordinal α depends on what physical theory one takes to characterize physical possibility. An α x α partition of space-time into computational steps and tape positions is realizable in a space-time constructed from R if and only if α is computable. On the other hand, the ω1-Turing machine, where ω1 is the first uncountable ordinal, is in principle realizable in a nonstandard space-time, constructed from the hyperreals (the nonstandard reals of nonstandard analysis) *R or from the long line ω1 x [0,1), since both spaces allow for uncountable ordered partitions. That is, what computations are physically possible depends in part on the topological properties of space-time. In order to see this more clearly, we begin with the theorem just mentioned concerning order-preserving injections into the reals.

Theorem 1. (Real injection Theorem). There is an order-preserving injection of an ordinal α into R if and only if α is countable.”

“Similarly, an α partition of space that represents an ordered tape is possible if and only if there is an order-preserving injection from α to the parameter representing physical tape locations”.

“Theorem 2. (Hyperreal Injection Theorem). There is an order-preserving injection from the first uncountable ordinal ω1 into the hyperreals (the nonstandard line ) *R.”