Cercurile Apollonius de rangul đ?’Œ Profesor Ion PătraČ™cu, Colegiul NaČ›ional FraČ›ii BuzeČ™ti, Craiova, România Professor Florentin Smarandache, Universitatea New Mexico, USA
Scopul acestui articol este de a introduce noČ›iunea de cerc Apollonius de rangul đ?’Œ Č™i de a generaliza anumite rezultate privind cercurile Apollonius.
DefiniČ›ia 1. Se numeČ™te ceviană interioară de rangul k dreapta đ??´đ??´đ?‘˜ cu đ??´đ?‘˜ ∈ (đ??ľđ??ś), astfel ĂŽncât
đ??ľđ??´ đ??´đ?‘˜ đ??ś
đ??´đ??ľ đ?‘˜
= ( ) (đ?‘˜ ∈ â„?). đ??´đ??ś
Dacă đ??´â€˛đ?‘˜ este conjugatul armonic al punctului đ??´đ?‘˜ ĂŽn raport cu đ??ľ Č™i đ??ś, despre dreapta đ??´đ??´â€˛đ?‘˜ spunem că este ceviană exterioară de rang đ?’Œ.
DefiniČ›ia 2. Numim cerc Apollonius de rangul đ?’Œ ĂŽn raport cu latura đ??ľđ??ś a triunghiului đ??´đ??ľđ??ś cercul care are ca diametru segmentul đ??´đ?‘˜ đ??´â€˛đ?‘˜ .
Teorema 1. Cercul lui Apollonius de rang đ?‘˜ este locul geometric al punctelor đ?‘€ din planul triunghiului đ??´đ??ľđ??ś care satisfac relaČ›ia:
đ?‘€đ??ľ đ?‘€đ??ś
đ??´đ??ľ đ?‘˜
=( ) . đ??´đ??ś
DemonstraČ›ie. Fie đ?‘‚đ??´đ?‘˜ centrul cercului Apollonius de rang đ?‘˜ relativ la latura đ??ľđ??ś a triunghiului đ??´đ??ľđ??ś (vezi Figura 1) Č™i đ?‘ˆ, đ?‘‰ punctele de intersecČ›ie ale acestui cerc cu cercul circumscris triunghiului đ??´đ??ľđ??ś. Notăm cu đ??ˇ mijlocul arcului đ??ľđ??ś, prelungim đ??ˇđ??´đ?‘˜ până intersectează cercul circumscris in đ?‘ˆ ′ . ĂŽn triunghiul đ??ľđ?‘ˆ ′ đ??ś, đ?‘ˆ ′ đ??ˇ este bisectoare, rezultă că
đ??ľđ??´đ?‘˜ đ??´đ?‘˜ đ??ś
=
đ?‘ˆâ€˛đ??ľ đ?‘ˆâ€˛đ??ś
đ??´đ??ľ đ?‘˜
= ( ) , deci đ?‘ˆ ′ đ??´đ??ś
aparČ›ine locului geometric. Perpendiculara ĂŽn đ?‘ˆ ′ pe đ?‘ˆ ′ đ??´đ?‘˜ intersectează pe BC ĂŽn đ??´â€˛â€˛ đ?‘˜ , care este piciorul bisectoarei exterioare a triunghiului đ??ľđ?‘ˆđ??ś, deci
1
′ ′ conjugatul armonic al lui đ??´đ?‘˜ ĂŽn raport cu đ??ľ Č™i đ??ś, deci đ??´â€˛â€˛ đ?‘˜ = đ??´đ?‘˜ . Prin urmare, đ?‘ˆ
este pe cercul Apollonius de rang đ?‘˜ relativ la latura đ??ľđ??ś, deci đ?‘ˆ ′ = đ?‘ˆ.
Figura 1
Fie � un punct care satisface relația din enunț, atunci
đ?‘€đ??ľ đ?‘€đ??ś
=
đ??ľđ??´đ?‘˜ đ??´đ?‘˜ đ??ś
rezultă
folosind reciproca teoremei bisectoarei că đ?‘€đ??´đ?‘˜ este bisectoarea interioară a unghiului đ??ľđ?‘€đ??ś. Acum procedăm ca mai ĂŽnainte, adică ducem bisectoarea exterioară Č™i va rezulta că đ?‘€ aparČ›ine cercului Apollonius de centru đ?‘‚đ??´đ?‘˜ . Considerăm acum un punct đ?‘€ pe acest cerc, construim đ??ś ′ astfel ca âˆ˘đ??ľđ?‘ đ??´đ?‘˜ ≥ ̂′ ). Deoarece âˆ˘đ??´đ?‘˜ đ?‘ đ??ś ′ (deci (đ?‘ đ??´đ?‘˜ este bisectoarea interioară a unghiului đ??ľđ?‘ đ??ś đ??´â€˛đ?‘˜ đ?‘ ⊼ đ?‘ đ??´đ?‘˜ rezultă că đ??´đ?‘˜ Č™i đ??´â€˛đ?‘˜ sunt conjugate armonic ĂŽn raport cu đ??ľ Č™i đ??ś ′ . Pe de altă parte, aceleaČ™i puncte sunt conjugate armonic ĂŽn raport cu đ??ľ Č™i đ??ś, de aici rezultă đ??ś ′ = đ??ś Č™i avem
đ?‘ đ??ľ đ?‘ đ??ś
=
đ??ľđ??´đ?‘˜ đ??´đ?‘˜ đ??ś
đ??´đ??ľ đ?‘˜
=( ) . đ??´đ??ś
DefiniČ›ia 3. Se numeČ™te patrulater complet figura geometrică obČ›inută dintr-un patrulater convex prin prelungirea, până când se intersectează, a laturilor opuse. Un patrulater complet are 6 vârfuri, 4 laturi Č™i 3 diagonale. 2
Teorema 2. (Gauss - 1810) ĂŽntr-un patrulater complet mijloacele celor trei diagonale sunt coliniare.
DemonstraČ›ie. Fie đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸đ??š patrulaterul complet dat (vezi Figura 2). Notăm cu đ??ť1 , đ??ť2 , đ??ť3 , đ??ť4 respectiv ortocentrele triunghiurilor đ??´đ??ľđ??š, đ??´đ??ˇđ??¸, đ??śđ??ľđ??¸, đ??śđ??ˇđ??š Ĺ&#x;i fie đ??´1 , đ??ľ1 , đ??š1 picioarele ĂŽnălĹŁimilor triunghiului đ??´đ??ľđ??š.
Figura 2
După cum s-a mai arătat, au loc relaĹŁiile: đ??ť1 đ??´. đ??ť1 đ??´1 − đ??ť1 đ??ľ. đ??ť1 đ??ľ1 = đ??ť1 đ??š. đ??ť1 đ??š1 ; acestea exprimă faptul că punctul đ??ť1 are puteri egale faĹŁÄƒ de cercurile de diametri đ??´đ??ś, đ??ľđ??ˇ, đ??¸đ??š deoarece aceste cercuri conĹŁin respectiv punctele đ??´1 , đ??ľ1 , đ??š1 , Ĺ&#x;i đ??ť1 este punct interior lor. Analog se arată că punctele đ??ť2 , đ??ť3 , đ??ť4 au puteri egale faĹŁÄƒ de aceleaĹ&#x;i cercuri, deci aceste puncte sunt situate pe axa radicală comună a acestor cercuri, prin urmare cercurile fac parte dintr-un fascicul Ĺ&#x;i ca atare centrele lor care sunt mijloacele diagonalelor patrulaterului complet sunt coliniare. Această dreaptă a mijloacelor diagonalelor unui patrulater complet se numeĹ&#x;te dreapta lui Gauss sau dreapta lui GaussNewton. 3
Teorema 3. Cercurile lui Apollonius de rang k ale unui triunghi fac parte dintr-un fascicol.
DemonstraĹŁie. Fie đ??´đ??´đ?‘˜ , đ??ľđ??ľđ?‘˜ , đ??śđ??śđ?‘˜ ceviene concurente de rangul k Ĺ&#x;i đ??´đ??´â€˛đ?‘˜ , đ??ľđ??ľđ?‘˜â€˛ , đ??śđ??śđ?‘˜â€˛ cevienele exterioare de rangul k (vezi Figura 3). Figura đ??ľđ?‘˜â€˛ đ??śđ?‘˜ đ??ľđ?‘˜ đ??śđ?‘˜â€˛ đ??´đ?‘˜ đ??´â€˛đ?‘˜ este un patrulater complet Ĺ&#x;i se aplică Teorema 2.
Figura 3
Teorema 4. Cercurile Apollonius de rangul k ale unui triunghi sunt ortogonale cercului circumscris triunghiului.
DemonstraĹŁie. Unim đ?‘‚ cu đ??ˇ Ĺ&#x;i đ?‘ˆ (vezi Figura 1), đ?‘‚đ??ˇ ⊼ đ??ľđ??ś Ĺ&#x;i ′ ′ ′ 0 Ě‚ Ě‚ Ě‚ Ě‚ đ?‘š(đ??´Ě‚ đ?‘˜ đ?‘ˆđ??´đ?‘˜ ) = 90 rezultă đ?‘ˆđ??´đ?‘˜ đ??´đ?‘˜ = đ?‘‚đ??ˇđ??´đ?‘˜ = đ?‘‚đ?‘ˆđ??´đ?‘˜ . CongruenĹŁa đ?‘ˆđ??´đ?‘˜ đ??´đ?‘˜ ≥
Ě‚đ?‘˜ arată că OU este tangentă cercului Apollonius de centru đ?‘‚đ??´ . Analog se đ?‘‚đ?‘ˆđ??´ đ?‘˜ demonstrează pentru celelalte cercuri Apollonius.
ObservaĹŁia 1. Din Teorema anterioară rezultă că axa radicală a cercurilor Apollonius de rang k este perpendiculara dusă din đ?‘‚ pe dreapta đ?‘‚đ??´đ?‘˜ đ?‘‚đ??ľđ?‘˜ .
4
Teorema 5. Centrele cercurilor Apollonius de rang k ale unui triunghi sunt pe polara triliniară asociată punctului de intersecĹŁie a cevienelor de rang 2k.
DemonstraĹŁie. Din Teorema anterioară rezultă că đ?‘‚đ?‘ˆ ⊼ đ?‘ˆđ?‘‚đ??´đ?‘˜ , deci đ?‘ˆđ?‘‚đ??´đ?‘˜ este ceviana exterioarăde rangul 2 pentru triunghiul đ??ľđ??śđ?‘ˆ , deci simediana exterioară. Prin urmare
đ?‘‚đ??´ đ?‘˜ đ??ľ đ?‘‚đ??´ đ?‘˜ đ??ś
đ??ľđ?‘ˆ 2
=(
đ??´đ??ľ 2đ?‘˜
) = (đ??´đ??ś ) đ??śđ?‘ˆ
(ultima egalitate are
loc pentru că đ?‘ˆ aparĹŁine cercului Apollonius de rang đ?‘˜ asociat vârfului đ??´).
Teorema 6. Cercurile Apollonius de rangul k ale unui triunghi intersectează cercul circumscris triunghiului ĂŽn două puncte care aparĹŁin cevienelor interioară Ĺ&#x;i exterioară de rangul đ?‘˜ + 1.
DemonstraĹŁie. Fie đ?‘ˆ Ĺ&#x;i đ?‘‰ punctele de intersecĹŁie ale cercului Apollonius de centru đ?‘‚đ??´đ?‘˜ cu cercul circumscris triunghiului đ??´đ??ľđ??ś (vezi Figura 1). Ducem din đ?‘ˆ Ĺ&#x;i đ?‘‰ perpendicularele đ?‘ˆđ?‘ˆ1 , đ?‘ˆđ?‘ˆ2 Ĺ&#x;i đ?‘‰đ?‘‰1 , đ?‘‰đ?‘‰2 pe đ??´đ??ľ Ĺ&#x;i respectiv đ??´đ??ś . Patrulaterele đ??´đ??ľđ?‘‰đ??ś , đ??´đ??ľđ??śđ?‘ˆ sunt inscriptibile, rezultă asemănarea triunghiurilor đ??ľđ?‘‰đ?‘‰1 , đ??śđ?‘‰đ?‘‰2 Ĺ&#x;i đ??ľđ?‘ˆđ?‘ˆ1 , đ??śđ?‘ˆđ?‘ˆ2 , de unde obĹŁinem relaĹŁiile: đ??ľđ?‘‰ đ?‘‰đ?‘‰1 = , đ??śđ?‘‰ đ?‘‰đ?‘‰2
ĂŽnsă
đ??ľđ?‘‰ đ??śđ?‘‰
đ??´đ??ľ đ?‘˜ đ?‘ˆđ??ľ
đ??´đ??ľ đ?‘˜
đ?‘ˆđ??ľ đ?‘ˆđ?‘ˆ1 = . đ?‘ˆđ??ś đ?‘ˆđ?‘ˆ2 đ?‘˜
đ?‘˜
đ??´đ??ľ đ?‘ˆđ?‘ˆ đ??´đ??ľ 1 =( ) , = ( ) , đ?‘‰đ?‘‰ = (đ??´đ??ś ) Ĺ&#x;i đ?‘ˆđ?‘ˆ1 = (đ??´đ??ś ) , relaĹŁii care arată că đ?‘‰ Ĺ&#x;i đ?‘ˆ đ?‘‰đ?‘‰ đ??´đ??ś đ?‘ˆđ??ś đ??´đ??ś 2
2
aparĹŁin respectiv cevienei interioară Ĺ&#x;i cevienei exterioară de rangul đ?‘˜ + 1.
DefiniĹŁia 4. Dacă cercurile Apollonius de rangul k asociate unui triunghi au două puncte comune, atunci aceste puncte le numim izodinamice de rangul đ?‘˜ (le notăm đ?‘Šđ?‘˜ , đ?‘Šđ?‘˜â€˛ ).
5
Proprietatea 1. Dacă đ?‘Šđ?‘˜ , đ?‘Šđ?‘˜â€˛ sunt centre izodinamice de rangul k, đ?‘Šđ?‘˜ đ??´. đ??ľđ??ś đ?‘˜ = đ?‘Šđ?‘˜ đ??ľ. đ??´đ??ś đ?‘˜ = đ?‘Šđ?‘˜ đ??ś. đ??´đ??ľđ?‘˜
atunci:
;
đ?‘Šđ?‘˜â€˛ đ??´. đ??ľđ??ś đ?‘˜ = đ?‘Šđ?‘˜â€˛ đ??ľ. đ??´đ??ś đ?‘˜ =
đ?‘Šđ?‘˜â€˛ đ??ś. đ??´đ??ľđ?‘˜ . DemonstraĹŁia acestei proprietÄƒĹŁi rezultă imediat din Teorema 1.
ObservaĹŁia 2. Cercurile Apollonius de rangul 1 sunt chiar cercurile Apollonius studiate (ceviene de rangul 1 sunt bisectoarele). Dacă đ?‘˜ = 2, cevienele interioare de rangul 2 sunt simedianele, iar cele exterioare de rangul 2 sunt simedianele exterioare, adică tangentele ĂŽn vârfurile triunghiului la cercul circumscris acestuia. ĂŽn acest caz, pentru cercurile Apollonius de rangul 2, Teorema 3 devine:
Teorema 7. Cercurile Apollonius de rangul 2 intersectează cercul circumscris triunghiului ĂŽn câte două puncte care aparĹŁin respectiv isogonalei antibisectoarei Ĺ&#x;i cevienei exterioară a acesteia.
DemonstraĹŁia rezultă din DemonstraĹŁia Teoremei 6. Facem precizarea că antibisectoarea este izotomica bisectoarei, iar izogonala antibisectoarei este ceviana de rangul 3.
Bibliografie. [1] N. N. Mihăileanu: LecČ›ii complementare de geometrie, Editura Didactică Č™i Pedagogică, BucureČ™ti, 1976. [2] C. Mihalescu: Geometria elementelor remarcabile, Editura Tehnică, BucureČ™ti, 1957. [3] V. Gh. Vodă: Triunghiul – ringul cu trei colČ›uri, Editura Albatros, BucureČ™ti, 1979. [4] F. Smarandache, I. PătraČ™cu: Geometry of Homological Triangle, The Education Publisher Inc., Columbus, Ohio, SUA, 2012.
6