DSm Super Vector Space of Refined Labels by Florentin Smarandache

W. B. Vasantha Kandasamy Florentin Smarandache

ZIP PUBLISHING Ohio 2011

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Peer reviewers: Prof. Catalin Barbu, V. Alecsandri National College, Mathematics Department, Bacau, Romania Prof. Zhang Wenpeng, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shaanxi, P.R.China. Prof. Mihàly Bencze, Department of Mathematics Áprily Lajos College, Braúov, Romania

Many books can be downloaded from the following Digital Library of Science: http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/eBooks-otherformats.htm

ISBN-13: 978-1-59973-167-4 EAN: 9781599731674

Printed in the United States of America

1.1 Supermatrices and their Properties 1.2 Refined Labels and Ordinary Labels and their Properties

7 7 30

101

165

245

247

289

293

297

In this book authors for the first time introduce the notion of supermatrices of refined labels. Authors prove super row matrix of refined labels form a group under addition. However super row matrix of refined labels do not form a group under product; it only forms a semigroup under multiplication. In this book super column matrix of refined labels and m Ă&#x2014; n matrix of refined labels are introduced and studied. We mainly study this to introduce to super vector space of refined labels using matrices. We in this book introduce the notion of semifield of refined labels using which we define for the first time the notion of supersemivector spaces of refined labels. Several interesting properties in this direction are defined and derived.

We suggest over hundred problems some of which are simple some at research level and some difficult. We give some applications but we are sure in due course when these new notions become popular among researchers they will find lots of applications. This book has five chapters. First chapter is introductory in nature, second chapter introduces super matrices of refined labels and algebraic structures on these supermatrices of refined labels. All possible operations are on these supermatrices of refined labels is discussed in chapter three. Forth chapter introduces the notion of supermatrix of refined label vector spaces. Super matrix of refined labels of semivector spaces is introduced and studied and analysed in chapter five. Chapter six suggests the probable applications of these new structures. The final chapter suggests over hundred problems. We also thank Dr. K.Kandasamy for proof reading and being extremely supportive.

This chapter has two sections. In section one we introduce the notion of super matrices and illustrate them by some examples. Using these super matrices super matrix labels are constructed in later chapters. Section two recalls the notion of ordinary labels, refined labels and partially ordered labels and illustrate them with examples. These concepts are essential to make this book a self contained one. For more refer [47-8]. !" # $ ! % ! # We call the usual matrix A = (aij) where aij â&#x2C6;&#x2C6; R or Q or Z or Zn as a simple matrix. A simple matrix can be a square matrix like 0 2 1Âş ÂŞ 3 ÂŤ â&#x2C6;&#x2019;4 7 â&#x2C6;&#x2019;8 0 Âť Âť A= ÂŤ ÂŤ 0 â&#x2C6;&#x2019;2 1 9 Âť ÂŤ Âť ÂŤÂŹ 2 0 1/ 4 0 ÂťÂź or a rectangular matrix like

ª8 « « −2 « B= « 0 « « −7 «¬ 1

0 7

5 8

1 4

−3

2 0 0 1

5 −2

2 1

or a row matrix like T = (9, column matrix like

3º » 5» » 7» » 0 » 8 »¼

2 , -7, 3, -5, − 7 , 8, 0, 1, 2) or a

ª 2 º « 0 » « » « 7» « » « −8 » . P= « 3 » « » « 2 » « » « 51 » « 9 » ¬ ¼ So one can define a super matrix as a matrix whose elements are submatrices. For instance ª a11 a12 º A = ««a 21 a 22 »» «¬ a 31 a 32 »¼

where ª9 0 º a11 = ««1 2 »» , a12 = ¬«5 −7 ¼» 3º ª9 « −1 2 » « » a31 = « 3 −7 » , a22 = « » « −9 0 » «0 8 »¼ ¬

ª3 7 8º « −1 0 9 » , a = « » 21 ¬« 2 7 −6 ¼»

ª8 −4 º «4 5 » , « » «¬1 2 »¼

ª1 2 3 º « 4 5 0 » and a = 32 « » «¬ 0 8 −1»¼

ª9 «0 « «3 « «0 «¬ 8

2 0º 1 2 »» 0 4» » 5 7» 0 0 »¼

are submatrices. So submatrices are associated with a super matrix [47]. The height of a super matrix is the number of rows of submatrices in it and the width of a super matrix is the number of columns of submatrices in it [47]. We obtain super matrix from a simple matrix. This process of constructing super matrix from a simple matrix will be known as the partitioning. A simple matrix is partitioned by dividing or separating the simple matrix of a specified row and specified column. When division is carried out only between the columns then those matrices are called as super row vectors; when only rows are partitioned in simple matrices we call those simple matrices as super column vectors. We will first illustrate this situation by some simple examples. Example 1.1.1: Let ª0 7 5 7 8 4 2 3 0 1 2º A = «« 2 3 0 3 4 5 6 7 8 9 0 »» «¬ 5 1 3 1 1 1 2 1 3 1 4 »¼ be a 3 × 11 simple matrix. The super matrix or the super row vector is obtained by partitioning between the columns. ª0 7 5 7 8 4 2 3 0 1 2º A1 = «« 2 3 0 3 4 5 6 7 8 9 0 »» «¬ 5 1 3 1 1 1 2 1 3 1 4 »¼ is a super row vector. ª0 7 5 7 8 4 2 3 0 1 2º A2 = «« 2 3 0 3 4 5 6 7 8 9 0 »» «¬ 5 1 3 1 1 1 2 1 3 1 4 »¼ is a super row vector. We can get several super row vectors from one matrix A. Example 1.1.2: Let V = (1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 9 4 7 2 4 3) be a simple row vector we get a super row vector V1 = (1 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 1 0 | 9 4 7 | 2 4 3) and many more super row vectors can be found by partitioning V differently.

Example 1.1.3: Let ª3 0 1º «0 5 7» « » «1 2 3 » « » V = «4 5 7» «8 9 0 » « » «1 0 7 » «0 1 4» ¬ ¼ be a simple matrix. We get the super column vector by partitioning in between the columns as follows: ª3 0 1º ª3 0 1º «0 5 7» «0 5 7» « » « » «1 2 3 » «1 2 3 » « » « » V1 = « 4 5 7 » and V2 = « 4 5 7 » «8 9 0 » «8 9 0 » « » « » «1 0 7 » «1 0 7 » «0 1 4» «0 1 4» ¬ ¼ ¬ ¼ are super column vectors.

Example 1.1.4: Let ª1 º «2» « » «3» « » «4» «5» X= « » «6» «7 » « » «8 » « » «9 » «¬ 0 »¼

be a simple matrix.

ª1 º «2» « » «3» « » «4» «5» X′ = « » «6» «7 » « » «8 » « » «9 » «¬ 0 »¼

is a super column vector. We can get several such super column vectors using X. Example 1.1.5: Let us consider the simple matrix; ª0 1 2 3 4 5 º « 6 7 8 9 10 11» », P= « « 1 4 −8 −4 7 3 » « » ¬ 2 5 1 −5 8 2 ¼ we get the super matrix by partitioning P as follows: ª0 1 2 3 4 5 º « 6 7 8 9 10 11» » P1 = « « 1 4 −8 −4 7 3 » « » ¬ 2 5 1 −5 8 2 ¼ is a super matrix with 6 submatrices. ª3º ª4 5º ª0 1 2 º a1 = « , a2 = « » , a3 = « », » ¬9¼ ¬10 11¼ ¬6 7 8 ¼ ª 1 4 −8º a4 = « » , a5 = ¬2 5 1 ¼ ªa Thus P1 = « 1 ¬a 4

a2 a5

ª −4 º « −5 » and a6 = ¬ ¼

ª7 3 º «8 2 » . ¬ ¼

a3 º . Clearly P1 is a 4 × 6 matrix. a 6 »¼

Example 1.1.6: Let ª3 6 « 1 −3 V= « «2 4 « ¬ 7 −1

3 1º 8 2 »» 9 3» » 4 4¼

be a super matrix. ªa a2 º V= « 1 » ¬a 3 a 4 ¼ where a1, a2, a3 and a4 are submatrices with ª3 6 º a1 = « » , a2 = ¬1 −3¼

ª3 1 º «8 2 » , a 3 = ¬ ¼

ª2 4 º « 7 −1» and a4 = ¬ ¼

ª9 3 º «4 4» . ¬ ¼

We can also have the notion of super identity matrix as follows. Let ª I t1 º « » I t2 0 « » S= « » « » «¬ 0 I t r »¼ where I t i are identity matrices of order ti × ti where 1 < i < r. We will just illustrate this situation by some examples. Consider ª ª1 0 0 0 º ª 0 0 0 º º «« » « »» « «0 1 0 0» «0 0 0 » » « «0 0 1 0» «0 0 0 » » «« 0º » « »» ªI P = « ¬0 0 0 1 ¼ ¬0 0 0 ¼ » = « 4 » ¬ 0 I3 ¼ « 0 0 0 0 » 1 0 0 ª º ª º « » « «0 0 0 0» «0 1 0 » » » « »» «« « » « »¼ ¼» 0 0 0 0 0 0 1 ¼ ¬ ¬« ¬ is a identity super diagonal matrix.

Consider ª ª1 0 º ª 0 0 0 º ª 0 0 º º «« » « » « »» « ¬0 1 ¼ ¬0 0 0¼ ¬0 0 ¼ » « ª0 0º ª1 0 0º ª0 0 º » ª I2 0 0 º «« » » « » « » S = « « 0 0» «0 1 0» «0 0 » » = «« 0 I3 0 »» «« «¬ 0 0 I 2 »¼ » « » « »» « ¬0 0¼ ¬0 0 1 ¼ ¬0 0 ¼ » « ª0 0º ª0 0 0º ª1 0 º » «« » « » « »» «¬ ¬ 0 0¼ ¬0 0 0¼ ¬0 1 ¼ »¼ is the super diagonal identity matrix [47]. We now proceed onto recall the notion of general diagonal super matrices. Let ª3 0 0 0 0 0 º «1 7 0 0 0 0 » « » «8 9 0 0 0 0 » 0º ªm « » S = «1 2 0 0 0 0 » = « 1 » ¬ 0 m2 ¼ «3 4 0 0 0 0 » « » «0 0 4 5 3 2 » « 0 0 −1 0 7 −4 » ¬ ¼ where ª3 0 º «1 7 » « » ª4 5 3 2º m1 = «8 9 » amd m2 = « », « » ¬ −1 0 7 −4 ¼ «1 2 » «¬ 3 4 »¼ S is a general diagonal super matrix. Take ª3 4 5 7 8 4 0 0 0 0º «1 2 4 0 3 1 0 0 0 0 » « » « 0 1 0 2 0 5 0 0 0 0 » ª k1 0 º K= « » = « » «0 0 0 0 0 0 9 6 2 0 » ¬ 0 k 2 ¼ «0 0 0 0 0 0 0 4 1 2» « » ¬« 0 0 0 0 0 0 5 7 8 1 ¼»

is a general diagonal super matrix. Also take ª1 0 0 0º «1 0 0 0» « » «0 0 0 0» « » «0 1 0 0» «0 1 0 0» « » «0 0 1 0» V= « 0 0 1 0» « » «0 0 1 0» «0 0 1 0» « » «0 0 0 1 » « » «0 0 0 1 » «¬ 0 0 0 1 »¼ is again a general diagonal super matrix. Now [47] defines also the concept of partial triangular matrix as a super matrix. Consider ª6 2 1 4 6 2 1 º «0 7 8 9 0 3 4» » = [M1 M2] S= « «0 0 1 4 4 0 5 » « » ¬0 0 0 3 7 8 9 ¼ is a upper partial triangular super matrix. Suppose ª2 0 0 0 0º «1 4 0 0 0 » « » «2 3 5 0 0» « » 1 2 3 4 0 » ª M1 º « = P= « 5 4 7 8 0 » «¬ M 2 »¼ « » «8 0 1 2 3» «1 1 0 2 4» « » ¬« 0 1 2 0 3¼»

is a lower partial triangular matrix. This is a 2 by 1 super matrix where the first element in this super matrix is a square lower triangular matrix and the second element is a rectangular matrix. We have seen column super vectors and row super vectors. Now we can define as in case of simple matrices the concept of transpose of a super matrix. We will only indicate the situation by some examples, however for more refer [47]. Consider ª9 º «3» « » «1 » « » «0» V = «2» « » «4» «6» « » «7 » «2» ¬ ¼ be the super column vector. Now transpose of V denoted by Vt = [9 3 1 | 0 2 4 6 | 7 2]. Clearly Vt is a super row vector. Thus if ª v1 º V = «« v2 »» «¬ v3 »¼ then t

ª v1t º ª v1 º « » Vt = «« v 2 »» = « v2t » = ª¬ v1t « v3t » «¬ v3 »¼ ¬ ¼

For

v 2t

ª9º v1 = «« 3»» and v1t = (9 3 1), v2 = «¬1 »¼

v3t º¼ . ª0º «2» « » and «4» « » ¬6¼

ª7 º v t2 = (0 2 4 6) and v3 = « » and v3t = (7 2). ¬2¼

Hence the claim. Example 1.1.7: Let P = [3 1 0 2 5 | 7 3 2 | 6] be a super row vector. Now transpose of P denoted by ª3º «1 » « » «0» « » «2» t P = «5» . « » «7 » «3» « » «2» «6» ¬« ¼» Thus if P = [P1 P2 P3] where P1 = (3 1 0 2 5), P2 = (7 3 2) and P3 = (6) then ª3º «1 » ª7 º « » t t P1 = « 0 » , P2 = «« 3 »» and P3t = 6. « » «¬ 2 »¼ «2» «¬ 5 »¼

Thus ª P1t º « » Pt = « P2t » . « P3t » ¬ ¼

Example 1.1.8: Consider the super row vector ª8 1 0 3 9 2º X = «« 0 2 1 6 4 5 »» . «¬ 0 0 4 1 0 1 »¼

Now define the transpose of X.

ª8 «1 t « ª8 1 0 3 9 2 º «0 Xt = «« 0 2 1 6 4 5 »» = [A1 A2] = « «3 «¬ 0 0 4 1 0 1 »¼ «9 « «¬ 2

0 0º 2 0 »» 1 4» ª A1t º »=« ». 6 1 » ¬ A 2t ¼ 4 0» » 5 1 »¼

Example 1.1.9: Let ª0 «5 « «9 « «3 W = «1 « «2 «3 « «4 «5 ¬

1 2 3 4º 6 0 7 8 »» 0 1 0 2» » 1 4 0 3» ª W1 º 6 0 5 1» = « » W » 7 1 0 7» ¬ 2 ¼ 8 0 2 0» » 9 1 2 4» 0 4 0 3»¼

be a super column vector. Now the transpose of W given by ª0 «1 « Wt = « 2 « «3 «¬ 4

5 9 3 1 2 3 4 5º 6 0 1 6 7 8 9 0 »» 0 1 4 0 1 0 1 4 » = ª¬ W1t » 7 0 0 5 0 2 2 0» 8 2 3 1 7 0 4 3 »¼

W2t º¼ .

Now having see examples of transpose of a super row vector and super column vector we now proceed onto define the transpose of a super matrix.

Example 1.1.10: Let ª9 0 1 «6 7 8 « «1 2 1 M= « «5 1 6 «1 9 2 « «¬ 2 0 0

2 3 4 5º 9 0 1 1 »» 3 1 4 1» » 1 7 1 8» 0 2 1 2» » 3 4 0 1» ¼ be a super matrix, where ª9 0 º ª1 2 M1 = « , M2 = « » ¬6 7 ¼ ¬8 9 ª1 2 º M4 = «« 5 1 »» , M5 = «¬1 9 »¼

ª M1 = «« M 4 «¬ M 7

M3 º M 6 »» M 9 »¼

M2 M5 M8

3º , M3 = 0»¼

ª 4 5º «1 1 » , ¬ ¼

ª1 3 1 º «6 1 7» , M = 6 « » «¬ 2 0 2 »¼

ª4 1º «1 8 » , « » «¬ 1 2 »¼

M7 = (2, 0), M8 = (0, 3, 4) and M9 = [0 1]. Consider ª9 «0 « «1 « t M = «2 «3 « «4 «5 ¬

6 1 5 1 2º 7 2 1 9 0 »» 8 1 6 2 0 » ª M1t » « 9 3 1 0 3 » = « M 2t 0 1 7 2 4 » «¬ M3t » 1 4 1 1 0» 1 1 8 2 1 »¼

M 4t M5t M 6t

M 7t º » M8t » M9t »¼

where ª1 8 º ª9 6 º ª4 t M = « , M 2 = «« 2 9 »» , M3t = « » ¬0 7 ¼ ¬5 «¬ 3 0 »¼ ª1 6 2 º ª1 5 1 º ª4 t t M4 = « , M5 = «« 3 1 0 »» , M t6 = « » ¬2 1 9¼ ¬1 «¬1 7 2»¼ t 1

1º , 1»¼ 1 1º 8 2»¼

ª0º ª0 º ª2º t M = « » , M8 = «« 3 »» and M9t = « » . ¬0¼ ¬1 ¼ «¬ 4 »¼ Mt is the transpose of the super matrix M. t 7

Example 1.1.11: Let ª1 9 «3 0 « «6 7 « M = «2 3 «0 1 « «5 0 «6 1 ¬ be the super matrix where ª1 M1 = « ¬3 ª6 «2 M3 = « «0 « ¬5

0 2 7º 4 0 5 »» 8 9 0 » ª M1 » 4 0 5» = «M3 « 0 2 1 » «¬ M 5 » 8 0 9» 0 8 0» ¼ 9 0º , M2 = 0 4»¼ 7 8º 3 4 »» , M4 = 1 0» » 0 8¼

ª2 «0 ¬ ª9 «0 « «2 « ¬0

M2 º M 4 »» M 6 »¼

7º , 5 »¼ 0º 5 »» , 1» » 9¼

M5 = (6 1 0) and M6 = (8, 0). Consider Mt, the transpose of M. ª1 3 6 2 0 5 6º «9 0 7 3 1 0 1 » « » ª M t M 3t M5t º Mt = « 0 4 8 4 0 8 0» = « 1t t t » « » ¬M2 M4 M6 ¼ 2 0 9 0 2 0 8 « » «¬ 7 5 0 5 1 9 0»¼ where ª1 3 º ª6 2 0 5º ª2 0º « » t t t M1 = « 9 0 » M 2 = « , M3 = «« 7 3 1 0 »» , » ¬7 5 ¼ «¬ 0 4 »¼ «¬ 8 4 0 8 »¼

ª6 º ª8 º ª9 0 2 0 º t M = « , M5 = «« 1 »» , M t6 = « » » ¬0 5 1 9 ¼ ¬0 ¼ «¬ 0 »¼ is the transpose of the super matrix M. We say two 1 × m super row vectors are similar if and only if have identical partition. That is partitioned in the same way. Consider X = (0 1 2 | 3 4 | 5 0 9) and Y = (3 0 5 | 2 1 | 8 1 2) two similar super row vectors. However Z = (0 | 1 2 3 | 4 5 0 | 9) is not similar with X or Y as it has a different partition though X = Z = (0 1 2 3 4 5 0 9) as simple matrices. Likewise we can say two n × 1 super column vectors are similar if they have identical partition in them. For consider ª9 º ª2º «8 » «1 » « » « » «7 » «0» « » « » «0» «3» X = « 1 » and Y = « 7 » « » « » «2» «8 » «3» «0» « » « » «4» «1 » «5» «2» ¬ ¼ ¬ ¼ two super column vectors. Clearly X and Y are similar. However if ª8º «10» « » «2» « » «3» Z= «1» « » «4» «9» « » «0» «2» ¬ ¼ t 4

is a 9 × 1 simple column matrix but X and Y are not similar with Z as Z has a different partition. We now proceed onto give examples of similar super matrices. Example 1.1.12: Let ª3 7 «0 1 « «2 0 « «0 3 «4 0 X= « «5 1 «3 1 « «2 2 « «4 4 «0 5 ¬

1 2º 0 1 »» 1 0» » 0 4» 1 0» » and Y = 2 1» 1 1» » 2 2» » 4 4» 5 0» ¼

ª0 «4 « «8 « «1 «1 « «1 «1 « «1 « «2 «2 ¬

1 2 3º 5 6 7 »» 9 1 0» » 1 1 2» 3 1 4» » 5 1 6» 7 1 8» » 9 2 0» » 0 2 2» 3 2 4» ¼

be two super column vectors. Clearly X and Y are similar super column vectors. Consider ª1 2 º «3 4» « » «5 6» « » «7 8 » «9 1 » » P= « «1 2 » «1 3 » « » «5 1» « » «7 0 » «9 2 » ¬ ¼ a super column vector. Though both P and Y have similar partition yet P and Y are not similar super matrices.

Thus if P and Y are similar in the first place they must have same natural order and secondly the partitions on them must be identical. Example 1.1.13: Let ª 2 3 7 0 2 5 7 9 0 1 4º X = «« 0 5 8 1 3 6 1 0 8 2 5 »» «¬ 1 6 9 1 1 1 8 1 3 3 6 »¼ be a super row vector. Take ª1 3 0 1 8 9 1 7 6 3 1 º Y = «« 0 4 0 0 1 7 0 4 0 9 2 »» «¬ 2 5 7 0 2 8 2 2 1 1 3 »¼ be another super row vector. Clearly X and Y are similar super row matrices. That is X and Y have identical partition on them. Example 1.1.14: Let ª3 1 2 5 «7 8 9 0 « « 1 −1 0 3 X= « «2 0 4 0 « 3 2 −1 0 « ¬« 1 0 2 −4

4º 1 »» 8» » 9» 1» » 2 ¼»

and ª 1 2 3 4 5º « 6 7 7 9 0» « » « 1 1 1 2 3» Y= « » « −1 4 5 −1 0 » « 7 0 0 0 7» « » ¬« 0 1 −2 3 1 ¼» be two super matrices. Both X and Y enjoy the same or identical partition hence X and Y are similar super matrices.

Example 1.1.15: Let ª1 2 3 4 5º «3 0 1 0 2» « » « 7 8 0 −1 2 » « » « −1 4 −1 0 −2 » X = « 0 −5 1 0 1 » « » « 1 2 −1 4 0 » «0 1 2 0 1» « » «1 0 0 1 2» « −2 4 3 4 −1» ¬ ¼

and ª4 0 2 1 5º « 0 −2 1 0 2» « » « 7 −1 1 6 2» « » « 0 8 0 −7 0 » Y = « 1 −4 8 1 6 » « » «8 0 0 9 1 » «3 1 7 0 2» « » « 2 −1 6 4 0 » «0 4 0 2 1» ¬ ¼ be two super matrices. Clearly X and Y are similar super matrices as they enjoy identical partition. We can add only when two super matrices of same natural order and enjoy similar partition otherwise addition is not defined on them.

We will just show how addition is performed on super matrices. Example 1.1.16: Let X = (0 1 2 | 1 -3 4 5 | -7 8 9 0 -1) and Y = (8 -1 3 | -1 2 3 4 | 8 1 0 1 2) be any two similar super row vectors. Now we can add X with Y denoted by X + Y = (0 1 2 | 1 -3 4 5 | -7 8 9 0 -1) + (8 -1 3 | -1 2 3 4 | 8 1 0 1 2) = (8 0 5 | 0 0 -1 7 9 | 1 9 9 1 1). We say X + Y is also a super row vector which is similar with X and Y.

Now we have the following nice result. THEOREM 1.1.1: Let S = {(a1 a2 a3 | a4 a5 | a6 a7 a8 a9 | … | an-1, an) | ai ∈ R; 1 ≤ i ≤ n} be the collection of all super row vectors with same type of partition, S is a group under addition. Infact S is an abelian group of infinite order under addition.

The proof is direct and hence left as an exercise to the reader. If the field of reals R in Theorem 1.1.1 is replaced by Q the field of rationals or Z the integers or by the modulo integers Zn, n < ∞ still the conclusion of the theorem 1.1.1 is true. Further the same conclusion holds good if the partitions are changed. S contains only same type of partition. However in case of Zn, S becomes a finite commutative group. Example 1.1.17: Let P = {(a1 | a2 a3 | a4 a5 a6 | a7 a8 a9 a10) | ai ∈ Z; 1 ≤ i ≤ 10} be the group of super row vectors; P is a group of infinite order. Clearly P has subgroups. For take H = {(a1 | a2 a3 | a4 a5 a6 | a7 a8 a9 a10) | ai ∈ 5Z; 1 ≤ i ≤ 10} ⊆ P is a subgroup of super row vectors of infinite order. Example 1.1.18: Let G = {(a1 a2 | a3 ) | ai ∈ Q; 1 ≤ i ≤ 3} be a group of super row vectors.

Also we have group of super row vectors of the form given by the following examples. Example 1.1.19: Let § a1 a 4 a 7 °¨ G = ®¨ a 2 a 5 a 8 °¨ a a a 6 9 ¯© 3

½ a19 · ° ¸ a11 a14 a17 a 20 ¸ a i ∈ Q,1 ≤ i ≤ 21¾ ° a12 a15 a18 a 21 ¸¹ ¿ be the group of super row vectors under super row vector addition, G is an infinite commutative group.

Example 1.1.20: Let °§ a a 3 V = ®¨ 1 °¯© a 2 a 4

a10

a 13

a16

a5 a6

a7 a8

½° a9 · ¸ a i ∈ R,1 ≤ i ≤ 10¾ a10 ¹ °¿

be a group of super row vectors under addition. Now having seen examples of group super row vectors now we proceed onto give examples of group of super column vectors. The definition can be made in an analogous way and this task is left as an exercise to the reader. Example 1.1.21: Let § a1 · ½ °¨ ¸ ° °¨ a 2 ¸ ° °¨ a ¸ ° °¨ 3 ¸ ° °¨ a 4 ¸ ° °¨ ¸ ° M = ® a 5 a i ∈ Z,1 ≤ i ≤ 9 ¾ °¨ a ¸ ° °¨ 6 ¸ ° °¨ a 7 ¸ ° °¨ ¸ ° °¨ a 8 ¸ ° ¨ ¸ °© a 9 ¹ ° ¯ ¿

be the collection of super column vector with the same type of partition. Now we can add any two elements in M and the sum is also in M. For take § 3· §7· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2¸ ¨0¸ ¨ −1 ¸ ¨1¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨2¸ ¨ 4¸ x = ¨ −7 ¸ and y = ¨ −1¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨5¸ ¨ 8¸ ¨9¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨2¸ ¨ 5¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © −1¹ © 2¹ in M. Now

§ 3 · § 7 · § 10 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2¸ ¨0¸ ¨ 2¸ ¨ −1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 4¸ ¨2¸ ¨ 6¸ x + y = ¨ −7 ¸ + ¨ −1¸ = ¨ −8 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 8 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 13 ¸ ¨ 0¸ ¨9¸ ¨ 9¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 5¸ ¨2¸ ¨7¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © −1¹ © 1 ¹ is in M. Thus M is an additive abelian group of super column vectors of infinite order. §0· ¨ ¸ ¨0¸ ¨0¸ ¨ ¸ ¨0¸ Clearly ¨ 0 ¸ acts as the additive identity in M. ¨ ¸ ¨0¸ ¨0¸ ¨ ¸ ¨0¸ ¨ ¸ ©0¹

Example 1.1.22: Let § a1 · ½ °¨ ¸ ° °¨ a 2 ¸ ° °¨ a ¸ ° °¨ 3 ¸ ° °¨ a 4 ¸ ° P = ®¨ ¸ a i ∈ Q,1 ≤ i ≤ 8¾ a °¨ 5 ¸ ° °¨ a 6 ¸ ° °¨ ¸ ° °¨ a 7 ¸ ° °¨ a ¸ ° ¯© 8 ¹ ¿

be a group of super column vectors under addition.

Example 1.1.23: Let § a1 °¨ °¨ a 4 °¨ a °°¨ 7 M = ®¨ a 10 °¨ a °¨ 13 °¨ a 16 °¨ ¯°© a 19

a2 a5 a8 a11 a 14 a17 a 20

½ a3 · ° ¸ a6 ¸ ° ° a9 ¸ °° ¸ a12 ¸ a i ∈ R,1 ≤ i ≤ 21¾ ° a15 ¸ ° ¸ a18 ¸ ° ° ¸ a 21 ¹ ¿°

be a group of super column vectors under addition of infinite order. Clearly M has subgroups. For take § a1 a 2 a 3 · ½ °¨ ° ¸ °¨ a 4 a 5 a 6 ¸ ° °¨ a 7 a 8 a 9 ¸ ° °¨ ° ¸ V = ®¨ a 10 a11 a12 ¸ a i ∈ Q,1 ≤ i ≤ 21¾ ⊆ M °¨ a ° a 14 a15 ¸ °¨ 13 ° ¸ °¨ a 16 a17 a18 ¸ ° °¨ ° ¸ ¯© a 19 a 20 a 21 ¹ ¿ is a subgroup of super column vectors of M. Now we proceed onto give examples of groups formed out of super matrices with same type of partition. Example 1.1.24: Let § a1 a 2 °¨ °¨ a 6 a 7 °°¨ a a 12 M = ®¨ 11 °¨ a16 a17 °¨ a 21 a 22 °¨¨ °¯© a 26 a 27

a3 a8

a4 a9

a13 a18

a14 a19

a 23

a 24

a 28

a 29

½ a5 · ° ¸ a10 ¸ ° °° a15 ¸ ¸ a i ∈ Q,1 ≤ i ≤ 30 ¾ a 20 ¸ ° ° a 25 ¸ ¸¸ ° a 30 ¹ °¿

be the collection of super matrices of the same type of partition. Consider ª0 1 «5 6 « «1 0 x= « «3 0 « 1 −4 « «¬ 2 0

2 3 4º 0 1 2»» 2 0 1» » 1 2 0» 2 0 1» » 0 1 2»¼

and ª3 «8 « «7 y =« «1 «3 « ¬« 5

0 1 0 1 3 6 6 1 6 2 5 1 4 7 0 6 0 1

2º 0 »» 2» » 0» 2» » −2 ¼»

be two super matrices in M. ª3 «13 « «8 x+y= « «4 «4 « ¬« 7

1 3 3 6º 7 3 7 2»» 6 3 6 3» » 2 6 3 0» 0 9 0 3» » 6 0 2 0¼»

is in M and the sum is also of the same type. Thus M is a commutative group of super matrices of infinite order.

Example 1.1.25: Let § a1 a 2 °¨ °¨ a 6 a 7 °¨ a11 a 12 °¨ °¨ a16 a17 ° P = ®¨ a 21 a 22 °¨ a a 27 °¨ 26 ¨ ° a 31 a 32 °¨ °¨ a 36 a 37 °¨© a 41 a 42 ¯

a3 a8

a4 a9

a13

a14

a18 a 23

a19 a 24

a 28

a 29

a 33 a 38

a 34 a 39

a 43

a 44

½ a5 · ° ¸ a10 ¸ ° ° a15 ¸ ° ¸ a 20 ¸ ° ° a 25 ¸ a i ∈ Z,1 ≤ i ≤ 45¾ ¸ ° a 30 ¸ ° a 35 ¸ ° ¸ ° a 40 ¸ ° ¸ ° a 45 ¹ ¿

be a group of super matrices of infinite order under addition. Consider the subgroups H = {A ∈ P | entries of A are from 3Z} ⊆ P; H is a subgroup of super matrices of infinite order. Infact P has infinitely many subgroups of super matrices. Consider § 0 0 a1 0 ½ 0· °¨ ° ¸ 0¸ °¨ 0 0 a 2 0 ° °¨ 0 0 a ° ¸ 0 0 3 °¨ ° ¸ °¨ a 4 a 5 0 a 8 a 9 ¸ ° ° ° W = ®¨ a 6 a 7 0 a10 a 11 ¸ a i ∈ 3Z,1 ≤ i ≤ 15¾ ¨ ¸ ° 0 0 a ° 0 0¸ 12 °¨ ° 0¸ °¨ 0 0 a13 0 ° ¸ °¨ ° 0¸ °¨ 0 0 a14 0 ° ¸ °¨© 0 0 a15 0 ° 0 ¹ ¯ ¿ ⊆ P is a subgroup of super matrices of infinite order under addition of P. Now we cannot make them as groups under multiplication for product of two super matrices do not in general turn out to be a super matrix of the desired form.

Next we leave for the reader to refer [47], for products of super matrices.

& '! $ ( )# $ $! * ( )# $ ! % ! # In this section we recall the notion of refined labels and ordinary labels and discuss the properties associated with them. Let L1, L2, â&#x20AC;Ś, Lm be labels where m â&#x2030;Ľ 1 is an integer. Extend this set of labels where m â&#x2030;Ľ 1 with a minimum label L0 and maximum label Lm+1. In case the labels are equidistant i.e., the qualitative labels is the same, we get an exact qualitative result, and the qualitative basic belief assignment (bba) is considered normalized if the sum of all its qualitative masses is equal to Lmax = Lm+1 [48]. We consider a relation of order defined on these labels which can be â&#x20AC;&#x153;smallerâ&#x20AC;? â&#x20AC;&#x153; less in qualityâ&#x20AC;? â&#x20AC;&#x153;lowerâ&#x20AC;? etc. L1 < L2 < â&#x20AC;Ś < Lm. Connecting them to the classical interval [0, 1] we have 0 â&#x2030;Ą L1 < L2 < â&#x20AC;Ś < Li < â&#x20AC;Ś < Lm < Lm+1 â&#x2030;Ą 1 and i Li = m +1 for i â&#x2C6;&#x2C6; {0, 1, 2, â&#x20AC;Ś, m, m + 1}. [48] The set of labels L â&#x2030;&#x2026; {L0, L1, â&#x20AC;Ś, Lm, Lm+1} whose indices are positive integers between 0 and m+1, call the set 1-tuple labels. The labels may be equidistact or non equidistant [ ] call them as ordinary labels. Now we say a set of labels {L1, â&#x20AC;Ś, Lm} may not be totally orderable but only partially orderable. In such cases we have at least some Li < Lj, i â&#x2030; j; 1 < i, j < m, with L0 the minimum element and Lm+1 the maximum element. We call {L0, L1, â&#x20AC;Ś, Lm, Lm+1} a partially ordered set with L0 = 0 and Lm+1 = 1. Then we can define min {Li, Lj} = Li â&#x2C6;Š Lj and max {Li, Lj} = Li â&#x2C6;Ş Lj where Li â&#x2C6;Š Lj = Lk or 0 where Li > Lk and Lj > Lk and Li â&#x2C6;Ş Lj = Lt or 1 where Lt > Li and Lt > Lj ; 0 â&#x2030;¤ k, t, i, j â&#x2030;¤ m + 1. Thus {0 = L0, L1, â&#x20AC;Ś, Lm, Lm+1 = 1, â&#x2C6;Ş, â&#x2C6;Š (min or max)} is a lattice.

When the ordinary labels are not totally ordered but partially ordered then the set of labels is a lattice. It can also happen that none of the attributes are â&#x20AC;&#x153;comparableâ&#x20AC;? like in study

of fuzzy models only “related” in such cases they cannot be ordered in such case we can use the modulo integers models for the set of modulo integers Zm+1 (m+1 < ∞) (n = m+1) is unorderable. Now [48] have defined refined labels we proceed onto describe a few of them only to make this book a self contained one. For more please refer [48]. The authors in [48] theoretically extend the set of labels L to the left and right sides of the interval [0, 1] towards - ∞ and respectively to ∞. So define j ½ LZ ® j∈ Z¾ ¯m +1 ¿ where Z is the set of all positive and negative integers zero included. Thus Lz = {.., L-j, …, L-1, L0, L1, …, Lj, …} = {Lj / j ∈ Z} that is the set of extended labels with positive and negative indexes. Similarly one can define LQ {Lq / q ∈ Q} as the set of labels whose indexes are fractions. LQ is isomorphic with Q q through the isomorphism fQ (Lq) = , for any q ∈ Q. m +1 Even more general we can define r ½ LR ® r∈ R¾ ¯m +1 ¿ where R is the set of reals. LR is isomorphic with R through the r for any r ∈ R. The authors in [ ] isomorphism fR (r) = m +1 prove that {LR, +, ×} is a field, where + is the vector addition of labels and × is the vector multiplication of labels which is called the DSm field of refined labels. Thus we introduce the decimal or refined labels i.e., labels whose index is decimal. For instance L3/10 = L0.3 and so on. For [L1, L2], the middle of the label is L1.5 = L3/2. They have defined negative labels L-i which is equal to –Li.

(LR, +, ×, .) where ‘.’ means scalar product is a commutative linear algebra over the field of real numbers R with unit element and each non null element in R is invertible with respect to multiplication of labels. This is called the DSm field and Linear Algebra of Refined labels (FLARL for short). Operators on FLARL is described below [48]. Let a, b, c ∈ R and the labels a b c , Lb = and Lc = . La = m +1 m +1 m +1 Let the scalars α, β ∈ R. La + Lb =

a b a+b + = = La+b. m +1 m +1 m +1

La – Lb =

a b a−b – = . m +1 m +1 m +1

La × Lb = L(ab)/m+1 since a b ab / m + 1 . = . m +1 m +1 m +1

For α ∈ R, we have

α. La = La α = Lαa

since α.La = α.

a αa . = m +1 m +1

For α = –1; –1La = L– a = –La.

Also

La 1 = La ÷ β = La = La/β. β β

(β ≠ 0) ( La =

a 1 a a and × = ). β m + 1 β(m + 1) m +1

La ÷ Lb = L(a b )(m +1) since a b a (a / b)m + 1 ÷ = = m +1 m +1 b m +1

= L§ a ·

¨ ¸ m +1 ©b¹

(La)p = La p

(m +1)p−1

since p

for all p ∈ R.

p p −1 § a · a (m + 1) ¨ ¸ = m +1 © m +1¹

La = (La)1/k

L 1/ k a

(m +1)

1 −1 k

this is got by replacing p by 1/k in (La)p. [ ] Further (LR, +, ×) is isomorphic with the set of real numbers (R, +, ×); it results that (LR, +, ×) is also a field, called the DSm field of refined labels. The field isomorphism fR : LR → R; fR (Lr) = such that

r m +1

fR (La + Lb) = fR (La) + fR (Lb) since fR (La + Lb) = fR (La+b) a+b = m +1 so fR (La) + fR (Lb) =

a b a+b + = . m +1 m +1 m +1

fR (La × Lb) = fR (La). fR (Lb) since fR (La × Lb) = fR (L(ab)/(m+1)) =

ab (m + 1) 2

and fR (La) × fR (Lb) = =

a b . m +1 m +1

a.b . (m + 1) 2

(LR, +, .) is a vector space of refined labels over R. It is pertinent to mention here that (LR, +, .) is also a vector space over LR as LR is a field. So we make a deviation and since LR ≅ R, we need not in general distinguish the situation for we will treat both (LR, +, .) a vector space over R or (LR, +, .) a vector space over LR as identical or one and the same as LR ≅ R. Now we just recall some more operations [48]. Thus (LR, +, ×, .) is a linear algebra of refined labels over the field R of real numbers called DSm linear algebra of refined labels which is commutative. It is easily verified that multiplication in LR is associative and multiplication is distributive with respect to addition.

Lm+1 acts as the unitary element with respect to multiplication. La. Lm+1

= = = = =

La.m+1 Lm+1.a Lm+1.La La(m+1)/m+1 La.

All La ≠ L0 are invertible, 1 . La

(La)-1

L(m +1)2 / a =

La. (La)-1

La. L(m +1)2 / a

L(a( m +1)2 / a ) / m +1

Lm+1.

Also we have for α ∈ R and La ∈ LR; La + α

α + La

La+α (m+1)

α(m + 1) + La m +1

Lα(m+1) + La

Lα(m+1)+a

La + Lα(m+1)

La+α (m+1).

La –

La – Lα (m+1)

La – α (m+1)

since α + La

La – α

α(m + 1) m +1

and α – La

Lα (m+1) – a .

Further La 1 = La × = L. a α α α

for a ≠ 0. α ÷ La = L α (m +1)2 a

as α ÷ La

α(m + 1) ÷ La m +1

Lα(m+1) ÷ La

L(α(m+1)/a).m+1

Lα a

(m +1) 2

[48].

It is important to make note of the following. If R is replaced by Q still we see LQ ≅ Q and we can say (LQ, +, .) is a linear algebra of refined labels over the field Q. Further (LR, +, .) is also a linear algebra of refined labels over Q. However (LQ, +, .) is not a linear algebra of refined labels over R. For more please refer [48].

In this chapter we for the first time introduce the notion of super matrices whose entries are from LR that is super matrices of refined labels and indicate a few of the properties enjoyed by them. DEFINITION 2.1: Let X = ( La1 , La2 , , Lan ) be a row matrix of refined labels with entries Lai â&#x2C6;&#x2C6; LR; 1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n. If X is partitioned in between the columns we get the super row matrix of refined labels.

(

)

Example 2.1: Let X = La1 L a 2 L a3 La 4 La5 La 6 L a7 ; ai â&#x2C6;&#x2C6; LR; 1 < i < 7, be a super row matrix (vector) of refined labels. Example 2.2: Let

(

)

Y = L b1 L b2 Lb3 L b4 Lb5 L b6 Lb7 L b8 Lb9 Lb10 ; Lbi â&#x2C6;&#x2C6; LR, 1 < i < 10, be a super row matrix of refined labels.

Now for matrix of refined labels refer [48]. We can just say if we take a row matrix and replace the entries by the refined

labels in LR and partition, the row matrix with refined labels then we get the super row matrix (vector) of refined labels. Now we see that two 1 × n super row matrices (vectors) are said to be of same type or similar partition or similar super row vectors if they are partitioned identically. For instance if x =

L a2 La 3 ... L an

)

and y =

L b2 Lb3 ... Lbn

)

are two

super row vectors of refined labels then x and y are similar or same type super row vectors.

(

Suppose z = L c1 L c2 Lc3 Lc4 ... Lcn −1 Lcn

)

then z and x

are not similar super row vectors as z enjoys a different partition from x and y. Thus we see we can add two super row vectors of refined labels if and only if they hold the same type of partition. For instance if

(

)

(

)

x = L a1 La 2 L a3 L a4 La 5 La 6 and

y = L b1 L b2 L b3 L b4 L b5 L b6

where Lai , L bi ∈ LR we can add x and y as both x and y enjoy the same type of partition and both of them are of natural order 1 × 6.

(

x + y = L a1 La 2 L a3 L a4 La 5 La 6

(

L b2 L b3 L b4 L b5 L b6

)

= La1 + Lb1 La2 + Lb2 La3 + Lb3 La4 + Lb4 La5 + Lb5 La6 + Lb6

(

)

= L a1 + b1 L a2 + b2 La3 + b3 La 4 + b4 La5 +b5 L a6 +b6 . We see x + y is of the same type as that of x and y. In view of this we have the following theorem. THEOREM 2.1: Let V=

{( L

La2 La3 La4 La5 ... Lan−1 Lan

)

}

Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ n

be the collection of all super row vectors of refined labels of same type. Then V is an abelian group under addition.

Proof is direct and hence is left as an exercise to the reader. Now if ª L a1 º « » «La2 » «L » « a3 » X = «La4 » « » « La5 » « » « » «L » ¬ an ¼ denotes the super matrix column vector (matrix) of refined labels if (i) Entries of X are elements from LR. (ii) X is a super matrix. Thus if a usual (simple) row matrix is partitioned and the entries are taken from the field of refined labels then X is defined as the super column matrix (vector) of refined labels. We will illustrate this situation by an example. Example 2.3: Let ª L a1 º «L » « a2 » « La3 » X = « La 4 » « » « L a5 » «La » « 6» «¬ La 7 »¼

where La i ∈ LR; 1 < i < 7 be the super column vector of refined labels. Example 2.4: Consider the super column vector of refined labels given by

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» « La 5 » P= « » « La 6 » «L » « a7 » « La » « 8» « La 9 » « » ¬« La10 ¼»

where La i ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 10. Example 2.5: Let

where La i

ª L a1 º « » « La 2 » M= « » L « a3 » « La » ¬ 4¼ ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 4 is a super column vector of refined

labels. Now we can say as in case of super row vectors of refined labels, two super column vectors of refined labels are similar or of same type is defined in an analogous way. We will illustrate this situation by some examples. Consider ª L a1 º ª L b1 º « » « » « La 2 » « L b2 » «L » «L » a3 b3 A = « » and B = « » « La » «Lb » « 4» « 4» « L a5 » « L b5 » « » « » «¬ L a6 »¼ «¬ L b6 »¼

be two super column vectors of same type of similar refined labels; Lai , L b j ∈ LR; 1 ≤ i, j ≤ 6 . Take ª L b1 º « » « L b2 » «L » b3 P= « » «Lb » « 4» « L b5 » « » ¬« L b6 ¼»

be a super column vector of refined labels, we see P is not equivalent or similar or of same type as A and B. Now having understood the concept of similar type of super column vectors we now proceed onto define addition. In the first place we have to mention that two super column vectors of refined labels are compatible under addition only if; (1) Both the super column vectors of refined labels A and B must be of same natural order say n × 1. (2) Both A and B must be having the same type of partition. Now we will illustrate this situation by some examples. Let ª L a1 º ª L b1 º « » « » « La 2 » « L b2 » «L » «L » « a3 » « b3 » « La » «Lb » 4 4 A = « » and B = « » « L a5 » « L b5 » « » « » « L a6 » « L b6 » «L » «L » « a7 » « b7 » « La » « Lb » ¬ 8¼ ¬ 8¼

be two super column vectors of refined labels over LR; that is Lai , L b j ∈ LR; 1 < i, j < 8. Clearly A and B are of same type super column vectors of refined labels. Consider ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » 4 M= « » « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼ the super column vector of refined labels is not of same type A and B. Clearly all A, B and M are of same natural order 8 × 1 but are not of same type as M enjoys a different partition from A and B. In view of this we have the following theorem. THEOREM 2.2: Let ª La º ½ °« 1 » ° °« La2 » ° °« ° » °« La3 » ° °« L » ° °« a4 » ° °« L » ° K = ® a5 Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ n ¾ °« » ° » °« ° °« Lan−2 » ° » °« ° °« Lan−1 » ° » °« ° °¯«¬ Lan »¼ °¿ 42

be a collection of super column vectors of refined labels of same type with entries from LR. K is a group under addition of infinite order. The proof is direct and simple hence left as an exercise to the reader. Let ª L a1 º ª L b1 º « » « » « La 2 » « L b2 » «L » «L » « a3 » « b3 » « La » «Lb » « 4» « 4» A = « L a5 » and B = « L b5 » « » « » « L a6 » « L b6 » «L » «L » « a7 » « b7 » « La » « Lb » « 8» « 8» «¬ L a9 »¼ «¬ L b9 »¼ where Lai , L b j ∈ LR; 1 ≤ i, j ≤ 9 and ª L a1 º ª L b1 º ª La1 + L b1 º ª La1 + b1 º « » « » « » « » « La 2 » « L b2 » « L a 2 + L b2 » « L a 2 + b2 » «L » «L » «L + L » «L » b3 » « a3 » « b3 » « a3 « a3 + b3 » « La » «Lb » « La + L b » « La + b » 4 « 4» « 4» « 4 » « 4 4» A + B = « L a5 » + « L b5 » = « La5 + L b5 » = « La 5 + b5 » . « » « » « » « » « L a6 » « L b6 » « L a 6 + L b6 » « L a 6 + b6 » «L » «L » «L + L » «L » b7 » « a7 » « b7 » « a7 « a 7 + b7 » « La » « Lb » « La + L b » « L a + b » 8 « 8» « 8» « 8 » « 8 8» «¬ L a9 »¼ «¬ L b9 »¼ «¬ La9 + L b9 »¼ «¬ La9 + b9 »¼

It is easily seen A + B is again of same type as that of A and B. Now the super row vectors of refined labels and super column vectors of refined labels studied are simple super row vectors and simple column vectors of refined labels. We can

extend the results in case of super column vectors (matrices) and super row vectors (matrices) of refined labels which is not simple. We give just examples of them. Example 2.6: Let ª L a1 « V = « La 2 « «¬ La3

La 4

L a7

L a10

La11

La 5

La8

L a12

La13

La 6

La9

L a14

L a15

L a16 º » L a17 » » La18 »¼

where La i ∈ LR; 1 < i < 18 be a super row vector of refined labels. Example 2.7: Let ª L a1 « « La 5 «L « a9 « La « 13 « La17 M =« « La 21 «L « a 25 «L « a 29 « La33 « ¬« La 37

La 2

La3

La 6

L a7

L a10

L a11

L a14

La15

L a18

La19

L a22

La 23

L a26

L a 27

La30

La31

La34

La 35

La38

La 39

La 4 º » L a8 » La12 » » La16 » » La 20 » » La 24 » La 28 »» L a32 » » L a36 » » La 40 ¼»

where La i ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 40 be a super column vector of refined labels. When we have m × n matrix whose entries are refined labels we can partition them in many ways while by partition we get distinct super column vectors (super row vectors); so the study of super matrices gives us more and more matrices.

For instance take

where La i

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » 4 V= « » « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼ ∈ LR; 1 < i < 8. Now how many super matrices of

refined labels can be built using V. ª L a1 º ª L a1 º « » « » « La 2 » « La 2 » «L » «L » « a3 » « a3 » « La » « La » 4 4 « » V1 = , V2 = « » , V3 = L L « a5 » « a5 » « » « » « L a6 » « L a6 » «L » «L » « a7 » « a7 » « La » « La » ¬ 8¼ ¬ 8¼ ª L a1 º ª L a1 º « » « » « La 2 » « La 2 » «L » «L » « a3 » « a3 » « La » « La » 4 4 « » , V6 = « » , V7 = V5 = « L a5 » « L a5 » « » « » « L a6 » « L a6 » «L » «L » « a7 » « a7 » « La » « La » ¬ 8¼ ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4 » , V4 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼ ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4 » , V8 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4», « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼ ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4», « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » 4 V9 = « » , V10 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4 » , V11 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4 » , V12 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4», « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » V13 = « 4 » , V14 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4 » , V15 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4 » , V16 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4», « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » V17 = « 4 » , V18 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4 » , V19 = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

and so on. 46

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » « La » ¬ 8¼

Thus using a single ordinary column matrix of refined labels we obtain many super column vectors of refined labels. So we can for each type of partition on V get a group under addition. This will be exhibited from the following: Consider ª L a1 º « » « La 2 » X= « » L « a3 » « La » ¬ 4¼ be a column vector of refined labels. ª L a1 º ª L a1 º « » « » « La 2 » « La 2 » X1 = « » , X2 = « » , X3 = L L « a3 » « a3 » « La » « La » ¬ 4¼ ¬ 4¼ ª L a1 º « » « La 2 » X5 = « » , X6 = L « a3 » « La » ¬ 4¼

ª L a1 º « » « La 2 » « L » , X4 = « a3 » « La » ¬ 4¼

ª L a1 º « » « La 2 » « L » and X7 = « a3 » « La » ¬ 4¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » , « a3 » « La » ¬ 4¼

ª L a1 º « » « La 2 » «L » . « a3 » « La » ¬ 4¼

Thus we have seven super column vectors of refined labels for a given column vector refined label X. Now if ½ ª L a1 º ° ° « » «L a 2 » °° °° T1 = ®X1 = « » L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ L ° ° « a3 » ° ° «L a » ¬ 4¼ ¯° ¿° be the collection of all super column vectors of refined labels. Then T1 is a group under addition of super column vectors of refined labels.

Likewise ½ ª L a1 º ° ° « » °° °° «L a2 » T2 = ®X 2 = « » L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ L ° ° « a3 » ° ° «L a » ¬ 4¼ ¯° ¿° is a super column vector group of refined labels.

{

}

Thus Ti = Xi La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 is a super column vector of refined labels i=1,2, 3, …, 7. Hence we get seven distinct groups of super column vectors of refined labels.

Consider Y =

L a 2 La 3 La 4 La 5

)

be a super rows

vector (matrix) of refined labels.

( Y = (L Y = (L Y = (L Y = (L Y = (L Y = (L

) ( L L L L ) , Y = (L L L L L ) , Y = (L L L L L ) , Y = (L L L L L ) , Y = (L L L L L ) , Y = (L L L L L ) , Y = (L and Y = ( L L L L

) L ), L ), L ), L ), L ), L )

Y1 = L a1 L a 2 La 3 La 4 La5 , Y2 = L a1 L a 2 La 3 La 4 La5 3

L a 2 La 3 La 4

)

a5 a5 a5

La 5 .

Thus we have 15 super row vectors of refined labels built using the row vector Y of refined labels. Hence we have 15 groups associated with the single row vector

(

X = L a1 L a 2 La 3 La 4 La5

)

of refined labels. This is the advantage of using super row vectors in the place of row vectors of refined labels. Consider the matrix

ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « La 4 La5 La6 » P= « L La8 La9 » « a7 » « La » L L a11 a12 ¼ ¬ 10 of refined labels. How many super matrices of refined labels can be got from P. ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » « La 4 La5 La6 » « La 4 La5 La6 » P1 = « , P2 = « , L La8 La9 » L La8 La9 » « a7 » « a7 » « La » « La » ¬ 10 La11 La12 ¼ ¬ 10 La11 La12 ¼ ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » « La 4 La5 La6 » « La 4 La5 La6 » P3 = « , P4 = « , La 7 La8 La9 » La 7 La8 La9 » « » « » « La » « La » L L L L a a a a 11 12 ¼ 11 12 ¼ ¬ 10 ¬ 10 ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » « La 4 La5 La6 » « La 4 La5 La6 » , P6 = « , P5 = « L La8 La9 » L La8 La9 » « a7 » « a7 » « La « La » La11 La12 » ¬ 10 La11 La12 ¼ ¬ 10 ¼ ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » « La 4 La5 La6 » « La 4 La5 La6 » P7 = « , P8 = « , La 7 La8 La9 » La 7 La8 La9 » « » « » « La » « La » L L L L a a a a 11 12 ¼ 11 12 ¼ ¬ 10 ¬ 10 ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » « La 4 La5 La6 » « La 4 La5 La6 » P9 = « , P10 = « , L La8 La9 » L La8 La9 » « a7 » « a7 » « La « La » La11 La12 » ¬ 10 La11 La12 ¼ ¬ 10 ¼

ª L a1 « « La 4 P11 = « L « a7 « La ¬ 10 ª L a1 « « La 4 P13 = « L « a7 « La ¬ 10 ª L a1 « « La 4 P15 = « L « a7 « La ¬ 10 ª L a1 « « La 4 P17 = « L « a7 « La ¬ 10 ª L a1 « « La P19 = « 4 L « a7 « La ¬ 10 ª L a1 « « La 4 P21 = « L « a7 « La ¬ 10

La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11

ª L a1 La 3 º « » La6 » « La 4 P = 12 «L La9 » « a7 » « La » La12 ¼ ¬ 10 La 3 º ª L a1 » « La6 » « La , P14 = « 4 » La9 L « a7 » « La La12 »¼ ¬ 10 La 3 º ª L a1 » « La6 » « La , P16 = « 4 » La9 L » « a7 « La La12 » ¬ 10 ¼ La 3 º ª L a1 « » La6 » « La 4 , P = 18 «L La9 » « a7 » « La La12 » ¬ 10 ¼ ª L a1 La 3 º « » La6 » « La 4 , P = 20 «L La9 » « a7 » « La La12 »¼ ¬ 10 La 3 º ª L a1 » « La6 » « La , P22 = « 4 » La9 L » « a7 « La La12 » ¬ 10 ¼

La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11 La 2 La5 La8 La11

La 3 º » La6 » , La9 » » La12 » ¼ La 3 º » La6 » , La9 » » La12 »¼ La 3 º » La6 » , La9 » » La12 »¼ La 3 º » La6 » , La9 » » La12 » ¼ La 3 º » La6 » , La9 » » La12 » ¼ La 3 º » La6 » , La9 » » La12 »¼

ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » « La 4 La5 La6 » « La 4 La5 La6 » P23 = « , P24 = « , L La8 La9 » L La8 La9 » « a7 » « a7 » « La « La La11 La12 » La11 La12 » ¬ 10 ¼ ¬ 10 ¼ ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » « La 4 La5 La6 » « La 4 La5 La6 » P25 = « , P26 = « L La8 La9 » L La8 La9 » « a7 » « a7 » « » « La » L L L L L a11 a12 a11 a12 ¬ a10 ¼ ¬ 10 ¼

and ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « La 4 La5 La6 » . P27 = « L La8 La9 » « a7 » « La La11 La12 » ¬ 10 ¼ Thus the matrix P of refined labels gives us 27 super matrix of refined labels their by we can have 27 groups of super matrices of refined labels using P1, P2, …, P27. Now suppose we study the super matrix of refined labels using L R + ∪{0} = {Lr | r ∈

R+ ∪ {0}} then also we can get the super matrix of refined labels. In this case any super matrix of refined labels collection of a particular type may not be a group but only a semigroup under addition. Let X=

{( L

La 2 L a3 La 4 La5 La 6

)

Lai ∈ L R + ∪{0}

}

be a collection of super row vector of refined labels with entries from L R + ∪{0} . Clearly X is only a semigroup as no element has inverse. Thus we have the following theorem. THEOREM 2.3: Let X=

{( L

La2

La3

... Lan−1

Lan

)

}

Lai ∈ LR + ∪{ 0 } ;1 ≤ i ≤ n

be a collection of super row vectors of refined labels. X is a commutative semigroup with respect to addition. The proof is direct and simple and hence left as an exercise to the reader. Now consider ª La º ½ °« 1 » ° °« L a2 » ° °« » ° °« La3 » ° °« L » ° °« a4 » ° M =® Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ n ¾ °«« La5 »» ° °« La » ° ° 6 ° « » °« » ° ° ° « » °¬ La n ¼ ° ¯ ¿ be the super column vector of refined labels. Now we say as in case of other labels that two super column vectors of refined labels x and y from L R + ∪{0} are equivalent or similar or of same type if both x and y have the same natural order and enjoy identical partition on it. We can add only those two super column vector refined labels only when they have similar partition. Consider ª L a1 º ª L b1 º « » « » « La 2 » « L b2 » «L » «L » « a3 » « b3 » « » L and Y = « L b4 » X= a « 4» « » « L a5 » « L b5 » « » « » « L a6 » « L b6 » «L » «L » «¬ a 7 »¼ «¬ b7 »¼ where La i ∈ L R + ∪{0} ; 1 ≤ i ≤ 7.

X+Y is defined and X+Y is again a super column vector of refined labels of same type. In view of this we have the following theorem. THEOREM 2.4: Let ª La º ½ °« 1 » ° °« La2 » ° °« ° » °« La3 » ° ° ° M = ®« » Lai ∈ LR+ ∪{ 0 } ;1 ≤ i ≤ n ¾ « » ° L ° °« an−2 » ° °« L » ° °« an−1 » ° °«¬ Lan »¼ ° ¯ ¿ be the collection of super column vectors of refined labels of same type with entries from LR + ∪{0} . M is a semigroup under addition. This proof is also direct and hence left as an exercise to the reader. Now we show how two super column vectors of refined labels are added. Let ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » 4 X = « » and Y = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » ¬ a8 ¼

ª L b1 º « » « L b2 » «L » « b3 » «Lb » « 4» « L b5 » « » « L b6 » «L » « b7 » «L » ¬ b8 ¼

be any two super column vectors of refined labels. Both X and Y are of same type and X+Y is also of the same type as X and Y. We see now as in case of usual super column vector of refined labels we have ª L a1 « « La 4 «L « a7 X =« L « a10 « L a13 « «¬ La16

La3 º » L a6 » L a9 » » La12 » » La15 » » La18 » ¼

La 2 L a5 La8 La11 L a14 La17

is a super column vector of refined labels from the set L R + ∪{0} . Likewise ª La La L a La ½ L a17 L a21 º 5 9 13 °« 1 ° » °°« La 2 La 6 L a10 L a14 La18 La 22 » °° La i ∈ L R + ∪{0} ¾ Y = ®« » °« L a3 La 7 La11 La15 La19 La 23 » ° °« L ° » L a8 L a12 L a16 L a 20 La 24 ¼ ¯°¬ a 4 ¿° is a super row vector of refined labels and it is easily verified Y is not a simple super row vector of refined labels.

Now it is interesting to note L R + ∪{0} = {set of all refined labels with positive value} is a semifield of refined labels or DSm semifield of refined labels and L R + ∪{0} ≅ R+ ∪ {0} [48]. Thus we see further ªL « a1 A = « La 5 « « La 9 ¬

La 2

La3

La 6

La 7

La10

La11

La 4 º » La8 » » La12 » ¼

is a super matrix of refined labels with entries from L R + ∪{0} . Suppose ª L a1 L a 2 La 3 La 4 º « » « La5 La6 La7 L a8 » A= « L La10 La11 La12 » « a9 » « La » L L L a14 a15 a16 ¼ ¬ 13 be a super matrix of refined labels with entries from L R + ∪{0} .

Now if we consider super matrices of refined labels with entries from L R + ∪{0} of same natural order and similar type of partition then addition can be defined. We will just show how addition is defined when super matrices of refined labels are of same type. ª L a1 « « La 6 Let A= « L « a11 « La ¬ 16

La 2

La3

La 4

La 7

La8

L a9

L a12

La13

L a14

La17

La18

L a19

ª L b1 Lb 2 « L b7 « Lb B =« 6 L L b12 « b11 «Lb ¬ 16 L b17 be any two super matrices L R + ∪{0} ; 1 ≤ i ≤ 20. ª L a1 « « La A+B= « 6 L « a11 « La ¬ 16

La5 º » L a10 » and La15 » » L a 20 »¼

L b5 º » L b8 L b9 L b10 » L b13 Lb14 Lb15 » » L b18 Lb19 L b20 »¼ of refined labels with entries from L b3

L b4

La 2

La3

La 4

La 7

La8

L a9

L a12

La13

L a14

La17

La18

L a19

La5 º » L a10 » + La15 » » L a 20 »¼

ª L b1 « « L b6 «L « b11 «Lb ¬ 16 ª L a1 « « La 6 =« L « a11 «L a ¬ 16

Lb 2

L b3

L b4

L b7

L b8

L b9

L b12

L b13

Lb14

L b17

L b18

Lb19

L b5 º » L b10 » Lb15 » » L b20 »¼

+ L b1

L a 2 + L b2

L a 3 + L b3

L a 4 + L b4

+ L b6

L a 7 + L b7

L a 8 + L b8

La 9 + L b9

+ L b11 L a12 + L b12 L a13 + Lb13 La14 + L b14 + L b16 La17 + L b17 La18 + Lb18 La19 + L b19

ª La1 + b1 « « L a 6 + b6 = « L « a11 + b11 « La + b ¬ 16 16

L a 2 + b2

La3 + b3

L a 4 + b4

L a 7 + b7

La8 + b8

L a 9 + b9

La12 + b12

La13 + b13

La14 + b14

La17 + b17

La18 + b18

La19 + b19

L a 5 + L b5 º » La10 + Lb10 » La15 + Lb15 » » La 20 + Lb 20 »¼

L a5 + b5 º » L a10 + b10 » . L a15 + b15 » » La 20 + b20 »¼

We see A+B, A and B are of same type. In view of this we have the following theorem. ª a1 °« THEOREM 2.5: Let A = ®« a4 °« a ¯¬ 7

a2 a5 a8

a3 º a6 »» ai are submatrices of a9 »¼

refined labels with entries from LR+ ∪{ 0 } ; 1 ≤ i ≤ 9}. A is a

semigroup under addition. Here A is a collection of all super matrices of refined labels where a1, a2 and a3 are submatrices of refined labels with same number of rows. Also a4, a5 and a6 are submatrices of refined labels with same number of rows. a7, a8 and a9 are submatrices of refined labels with same number of rows. Similarly a1, a4 and a7 are submatrices of refined labels with same number of columns. a2, a5 and a6 are submatrices of

refined labels with same number of columns. a3, a6 and a9 are submatrices of refined labels with same number of columns. Thus A is a semigroup under addition. Now LQ+ ∪{0} gives the collection of all refined labels and LQ+ ∪{0} ≅ Q+ ∪ {0}, infact LQ+ ∪{0} ⊆ L R + ∪{0} .

Suppose we take the labels 0 = L0 < L1 < L2 < . . . < Lm = Lm+1 = 1, that the collection of ordinary labels; then with min or max or equivalently ∩ or ∪, these labels are semilattices or semigroups. That is L = {0 = L0 < L1 < L2 < ... < Lm < Lm+1 = 1} is a semilattice. Infact when both ∪ and ∩ are defined L is a lattice called the chain lattice. Let P =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

)

}

L ai ∈ L = L0 < L1 <

... < Lm < Lm+1= 1} be a super row vector of ordinary labels. We say two super row vector ordinary labels are similar or identical if they are of same natural order and hold same or identical partition on it. We call such super row vectors of ordinary labels as super row vectors of same type. Let

(

X= La1

L a2

(

Y = L b1

La 3

L b2

La 4

L b3

)

L a5

L b4

La 6 and

L b5

L b6

)

be two super row vectors of ordinary labels; Lai , L b j ∈ L = {0 = L0 < L1 < L2 < ... < Lm < Lm+1 = 1}, 1 ≤ i, j ≤ 6. Now ‘+’ cannot be defined. We define ‘∪’which is max ( Lai , L b j ).

(

Thus X ∪ Y = La1

(

L b2

L b3

L a2

L b4

= La1 ∪ Lb1 La2 ∪ Lb2

La 3

L b5

La 4

L b6

L a5

)

La 6 ∪

La3 ∪ Lb3 La4 ∪ Lb4 La5 ∪ Lb5 La6 ∪ Lb6

)

= (max{ La1 , Lb1 } | max { La 2 , L b2 }, max { La3 , L b3 }| max { La 4 , L b4 } max { La5 , L b5 } max { La 6 , L b6 })

(

= Lc1

Lc 2

L c3

Lc 4

L c5

)

L c6 .

We see X, Y and X ∪ Y are same type of super row vectors of ordinary labels. In an analogous way we can define X ∩ Y or min {X,Y}. X ∩Y is again of the same type as X and Y. Now we have the following interesting results. THEOREM 2.6: Let V =

{( L

La2

La3

La4

La5

La6

La7

... ... Lan−1

Lan

)

Lai

∈ L= {0 = L0 < L1 < . . . < Lm < Lm+1= 1}; 1 ≤ i ≤ an} be the collection of super row vectors of ordinary labels. V is a semigroup under ‘∪’. THEOREM 2.7: Let V=

{( L

La2

La3

La4

La5

La6

La7

... ... Lan−1

Lan

)

Lai

∈ L = {0 = L0 < L1 < . . . < Lm = Lm+1 = 1}; 1 ≤ i ≤ an} be the collection of super row vectors of ordinary labels. V is a semigroup under ‘∩’. The proof is left as an exercise to the reader. In the theorem 2.7 if ‘∩’ is replaced by ‘∪’, V is a semigroup of super row matrices (vector) of ordinary labels. Now consider ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » P= « 4» « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » ¬ a8 ¼

where La i ∈ L = {0 = L0 < L1 < . . . < Lm < Lm+1=1}, 1≤ i ≤ 8, P is a super column vector of ordinary labels. Now we cannot in general define ∪ or ∩ on any two super column vectors of ordinary labels even if they are of same natural order. Any two super column vectors of ordinary labels of same natural order can have ∪ or ∩ defined on them only when the both of them enjoy the same type of partition on it. We will now give a few illustrations before we proceed on to suggest some related results. Let ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» T = « L a5 » and S = « » « L a6 » «L » « a7 » «L » « a8 » « L a9 » ¬ ¼

ª L b1 º « » « L b2 » «L » « b3 » «Lb » « 4» « L b5 » « » « L b6 » «L » « b7 » «L » « b8 » « L b9 » ¬ ¼

be two super column vector matrices of ordinary labels where Lai , L b j ∈ {L; 0 = L0 < L1 < L2 < ... < Lm < Lm+1}; 1 ≤ i , j ≤ 9. Now we define min {T, S}= T ∩ S as follows min {T,S}=

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» min { « L a5 » , « » « L a6 » «L » « a7 » «L » « a8 » « L a9 » ¬ ¼

ª L b1 º « » « L b2 » «L » « b3 » «Lb » « 4» « L b5 » } = « » « L b6 » «L » « b7 » «L » « b8 » « L b9 » ¬ ¼

ª min{La1 , L b1 } º « » « min{La 2 , L b2 }» « min{L , L }» a3 b3 » « « min{La , L b }» 4 4 « » « min{L a5 , L b5 }» « » « min{La 6 , L b6 }» « min{L , L }» a7 b7 » « « min{L , L }» a8 b8 « » « min{La 9 , L b9 }» ¬ ¼

ª L a1 º ª L b1 º ª L a1 ∩ L b1 º ª La1 ∩ b1 º « » « » « » « » « L b2 » « L a 2 ∩ L b2 » « L a 2 ∩ b2 » « La 2 » «L » «L ∩ L » «L » «L » b3 » « b3 » « a3 « a 3 ∩ b3 » « a3 » «Lb » « La ∩ L b » « La ∩ b » « La » 4 « 4» « 4 » « 4 4» « 4» L L L L ∩ « » « » « » ∩ = = « La5 ∩ b5 » =T∩S= a5 b5 a5 b5 « » « » « » « » « L b6 » « L a 6 ∩ L b6 » « L a 6 ∩ b6 » « L a6 » «L » «L ∩ L » «L » «L » b7 » « b7 » « a7 « a 7 ∩ b7 » « a7 » «L » «L ∩ L » «L » «L » b8 « b8 » « a8 » « a8 ∩ b8 » « a8 » « L b9 » « La9 ∩ L b9 » « La9 ∩ b9 » « L a9 » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

ª Lmin{a1 ,b1 } º « » « L min{a 2 ,b2 } » «L » « min{a3 ,b3 } » « L min{a ,b } » 4 4 « » = « L min{a5 ,b5 } » . « » « L min{a 6 ,b6 } » «L » « min{a 7 ,b7 } » «L » « min{a8 ,b8 } » « Lmin{a 9 ,b9 } » ¬ ¼

We make a note of the following. This min = ∩ (or max = ∪) are defined on super column vectors of ordinary labels only when they are of same natural order and enjoy the same type of partition. THEOREM 2.8: Let ª La º °« 1 » °« La2 » °« » °« La3 » °« L » °« a4 » °°« La » 5 K = ®« » Lai ∈ L L °« a6 » °« L » °« a7 » °« » » °« °« Lan−1 » » °« °¯¬« Lan ¼» = {0 = L0 < L1 < L2 < ... < Lm < Lm+1 = 1}} be the collection of all super column vectors of ordinary labels which enjoy the same form of partition.

(i) (ii) (iii)

{K, ∪} is a semigroup of finite order which is commutative ( semilattice of finite order) {K ,∩} is a semigroup of finite order which is commutative ( semilattice of finite order) {K ,∪, ∩} is a lattice of finite order.

Now we study super matrices of ordinary labels. Consider ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » H= « L La 6 » « a5 » « La L a » 8 ¬ 7 ¼ is a super matrix of ordinary labels. Let ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » M= « L La 6 » « a5 » « La L a » 8 ¼ ¬ 7 again a super matrix of ordinary labels with entries from L= {0 = L0 < L1 < L2 < . . . < Lm < Lm+1 =1}.

Take ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » P =« , L La 6 » « a5 » « La L a » 8 ¬ 7 ¼ P is again a super matrix of ordinary labels.

ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » R =« L La 6 » « a5 » « La L a » 8 ¼ ¬ 7 is a supermatrix of ordinary labels. ª L a1 L a 2 º ª L a1 « » « « La3 La 4 » « La3 and W= V= « «L L La 6 » « a5 » « a5 « La L a » « La 8 ¼ ¬ 7 ¬ 7 are super matrices ordinary labels.

La 2 º » La 4 » La 6 » » L a8 »¼

ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » and B = T= « L La 6 » « a5 » « La L a » 8 ¬ 7 ¼ are super matrices of ordinary labels.

ª L a1 « « La3 «L « a5 « La ¬ 7

La 2 º » La 4 » La 6 » » L a8 »¼

ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » and D = C= « L La 6 » « a5 » « La L a » 8 ¬ 7 ¼ are super matrices of ordinary labels.

ª L a1 « « La3 «L « a5 « La ¬ 7

La 2 º » La 4 » La 6 » » L a8 »¼

ª L a1 « « La3 «L « a5 « La ¬ 7

La 2 º » La 4 » La 6 » » L a8 » ¼

ª L a1 « « La3 E= « L « a5 « La ¬ 7

La 2 º » La 4 » and F = La 6 » » L a8 » ¼

are super matrices of ordinary labels.

ª L a1 ª L a1 L a 2 º « « » « La3 « La3 La 4 » and L = G= « «L L La 6 » « a5 « a5 » « La « La L a » 8 ¼ ¬ 7 ¬ 7 are super matrices of ordinary labels. Now ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » Q= « L La 6 » « a5 » « La L a » 8 ¬ 7 ¼

La 2 º » La 4 » La 6 » » L a8 » ¼

is again a super matrix of ordinary labels. Thus we have H , M , P , R , V , W , T , B , C , D , E , F , G , L and Q; 15 super matrices of ordinary labels of natural order 4 × 2. Now we can also get 15 super matrix semigroups under ‘∪’ and 15 super matrix semigroup under ∩ of finite order. Thus by converting an ordinary label matrices into super matrices makes one get several matrices out of a single matrix. THEOREM 2.9: Let A = {all m × n super matrices of ordinary labels of same type of partition}. A is a semigroup under ∩ (or semigroup under ∪) of finite order which is commutative. Now having seen examples and theorems about super matrices of ordinary labels, we in the chapter four proceed on to define linear algebra and vector spaces of super matrices. It is important to note that in general usual products are not defined among super matrices. In chapter three we define products and transpose of super label matrices. However even the collection of super matrices of same type are not closed in general under product.

In this chapter we proceed on to define transpose of a super matrix of refined labels (ordinary labels) and define product of super matrices of refined labels. Let ÂŞ L a1 Âş ÂŤ Âť ÂŤ La 2 Âť ÂŤL Âť ÂŤ a3 Âť A = ÂŤ La 4 Âť ÂŤ Âť ÂŤ L a5 Âť ÂŤ Âť ÂŤ L a6 Âť ÂŤL Âť ÂŹ a7 Âź be a super column matrix of refined labels with entries from LR. Clearly the transpose of A denoted by

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » t A = « La 4 » = ª¬ La1 « » « L a5 » « » « La 6 » «L » ¬ a7 ¼

L a2

La 3

La 4

L a5

L a6

La 7 º¼ ;

Thus we see the transpose of A is the super row vector (matrix) of refined labels. If we replace the refined labels by ordinary labels also the results holds good. Consider

(

P = L a1

L a2

La 3

La 4

L a5

La 6

La7

L a8

La9

La10

)

be a super row vector (matrix) of refined labels. Now La i ∈ LR ; 1 ≤ i ≤ 9. Now the transpose of P denoted by Pt is ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» « La 5 » t La1 La 2 L a3 La 4 La5 L a6 La7 La8 La 9 La10 = « »; « La 6 » «L » « a7 » «L » « a8 » « La 9 » « » «¬ La10 »¼ we see Pt is a super column matrix (vector ) of refined labels. However if we replace the refined labels by ordinary labels still the results hold good.

(

)

Let ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 º « » « La 6 L a7 La8 L a9 La10 » « » A = « La11 La12 La13 L a14 La15 » «La La17 La18 L a19 La 20 » « 16 » «¬ La 21 La 22 La 23 L a 24 La 25 »¼ be a super matrix of refined labels with entries from LR; ie La i ∈

LR ; 1 ≤ i ≤ 25. t

ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 º « » « L a6 La7 La8 La9 La10 » At = «« La11 La12 La13 La14 La15 »» «La La17 La18 La19 La 20 » « 16 » «¬ La 21 La 22 La 23 La 24 La 25 »¼ ª La1 La6 La11 La16 La 21 º « » « La 2 L a7 La12 La17 L a22 » « » = « La3 La8 La13 La18 L a 23 » « La La La La19 L a24 » 9 14 « 4 » «¬ L a5 La10 La15 La 20 L a 25 »¼ is again a supermatrix of refined labels with entries from LR; La i ∈ LR ; 1 ≤ i ≤ 25.

Let ª L a1 « « La7 «L a13 P= « « La « 19 « La 25 « ¬« La31

La 2

L a3

L a4

La5

L a8

L a9

La10

La11

La14

L a15

La16

La17

La 20

La 21

La 22

La 23

La 26

La 27

La 28

La 29

L a32

La33

La34

La 35

La 6 º » La12 » La18 » » La 24 » » L a30 » » L a36 ¼»

be a super matrix of refined labels with entries from LR; La i ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 36. ª L a1 « « La7 «L a Pt = « 13 « La « 19 « La 25 « «¬ La31

La 2

La3

La 4

L a5

L a8

L a9

La10

La11

La14

La15

La16

La17

La 20

La 21

La 22

L a 23

La 26

L a27

La 28

La 29

L a32

La 33

La 34

La35

ª L a1 L a 7 « « La 2 La8 «L La9 « a3 = « L La10 « a4 « L a5 L a11 « «¬ La 6 La12 is again a supermatrix of La i ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 36.

L a6 º » L a12 » La18 » » L a 24 » » La30 » » La36 »¼

La 31 º » La14 L a 20 La 26 L a32 » L a15 La 21 La 27 La33 » » La16 L a 22 La 28 L a34 » » La17 La 23 La 29 L a35 » » L a18 L a 24 La 30 L a36 » ¼ refined labels with entries from LR; L a13

L a19

La 25

ª La1 « « La 4 «L « a7 « La « 10 X = « L a13 « « La16 «L « a19 «L « a 22 «¬ La 25

La 2

La3 º » La 6 » L a9 » » L a12 » » L a15 » » L a18 » La 21 »» L a24 » » La 27 »¼

Suppose

La 5 L a8 La11 La14 La17 La 20 L a23 La 26

be a super column vector (matrix); with entries from LR ( La i ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 27 ) . The transpose of X denoted by ª L a1 « « La 4 «L « a7 « La « 10 Xt = « L a13 « « La16 «L « a19 «L « a 22 «¬ L a25

ª L a1 « = « La 2 « ¬« La3

La 2 L a5 La8 La11 L a14 L a17 L a20 La 23 L a 26

La 3 º » La6 » La9 » » La12 » » La15 » » La18 » L a 21 »» La 24 » » La 27 »¼

La 4

L a7

La10

L a13

L a16

L a19

La 22

La 5

La8

La11

La14

La17

L a 20

La 23

La 6

La9

La12

La15

L a18

La 21

La 24

La 25 º » La 26 » » La 27 ¼»

is a super row vector (matrix) of refined labels with entries from LR. Let ª La1 L a7 L a13 L a19 La 25 L a31 La37 º « » « La 2 La8 La14 L a20 La 26 La32 La 38 » «L La9 La15 La 21 L a 27 La 33 La39 » a3 « » M= « La La » L L L L L a a a a a 10 16 22 28 34 40 « 4 » « L a5 L a11 La17 L a 23 La 29 La 35 La 41 » « » «¬ La 6 La12 La18 L a24 La30 La36 La 42 »¼ be a super row vector (matrix) of refined labels with entries from LR.

ª L a1 « « La7 «L « a13 t M = « La19 « « La 25 « « La31 «L ¬ a 37

La 2

L a3

L a4

La5

L a8

L a9

La10

La11

La14

L a15

La16

La17

La 20

La 21

La 22

La 23

La 26

La 27

La 28

La 29

L a32

La33

La34

La 35

L a38

La39

La 40

L a 41

La 6 º » La12 » La18 » » La 24 » » L a30 » » L a36 » La 42 »¼

is the transpose of M which is a super column vector (matrix) of refined labels with entries from LR. Now we find the transpose of super matrix of refined labels which are not super row vectors or super column vectors. Let ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 º « » « La 6 L a7 La8 L a9 La10 » « » P = « La11 La12 La13 L a14 La15 » «La La17 La18 L a19 La 20 » « 16 » «¬ La 21 La 22 La 23 L a 24 La 25 »¼ where La i ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 25 be a super matrix of refined labels. ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 º « » « La 6 L a7 La8 L a9 La10 » « » Pt = « La11 La12 La13 L a14 La15 » «La La17 La18 L a19 La 20 » « 16 » «¬ La 21 La 22 La 23 L a 24 La 25 »¼ is the transpose of P and is again a super matrix of refined labels. Now we will show how product is defined in case of super matrix of refined labels. We just make a mention that if in the super matrix the refined labels are replaced by ordinary labels still the concept of transpose of super matrices remain the same

however there will be difference in the notion of product which will be discussed in the following: Suppose A = ª¬ La1 La 2 La3 L a4 La5 º¼ be a super matrix (row vector) of refined labels then we find ª L a1 º « » « La 2 » « » t A = « La3 » , « La » « 4» «¬ L a5 »¼ which is a super column vector of refined labels. We find ª L a1 º « » « La 2 » « » t AA = ª¬ La1 La 2 La3 L a4 La5 º¼ « La3 » « La » « 4» «¬ L a5 »¼ ª La3 º ª L a1 º « » = ª¬ La1 La 2 º¼ « » + ª¬ La 3 La 4 La 5 º¼ « L a4 » « » ¬« La 2 ¼» «¬ La5 »¼ = ª¬ La1 .L a1 + La 2 .La 2 º¼ + ª¬ La 3 .La3 + La 4 .La 4 + La 5 .La 5 º¼ = ª La 2 /(m +1) + La 2 /( m+1) º + ª La 2 /(m +1) + La 2 /(m +1) + La 2 /(m+1) º 2 4 5 ¬ 1 ¼ ¬ 3 ¼ = ª La 2 /(m +1) + a 2 /( m+1) º + ª La 2 /(m +1) + a 2 /( m+1)+ a 2 /(m +1) º 2 4 5 ¼ ¬ 1 ¼ ¬ 3 = ª La 2 + a2 /(m +1) º + ª La 2 + a2 + a 2 /(m+1) º ¬ 3 4 5 ¼ ¬ 1 2 ¼ = ª La 2 + a 2 + a2 + a 2 + a 2 /(m+1) º . ¬ 1 2 3 4 5 ¼

Clearly AAt ∈ LR but it is not a super row vector matrix. Now we see if we want to multiply a super row vector A with a

super column vector B of refined labels then we need the following. (i) (ii)

If A is of natural order 1 × n then B must be of natural order n × 1. If A is partitioned between the columns ai and ai+1 then B must be partitioned between the rows bi and bi+1 of B this must be carried out for every 1 ≤ i ≤ n.

We will illustrate this situation by some examples. Let A = ª¬ La1

L a2

La 3

La 4

La 5

La6 º¼ be a super row

ª L b1 º « » « L b2 » «L » « b3 » vector of natural order 1 × 6. Consider B = « » , a super L « b4 » « L b5 » « » «¬ L b6 »¼ column vector of natural order 6 × 1. Clearly A is partitioned between the columns 2 and 3 and B is partitioned between the rows 2 and 3 and A is partitioned between the columns 5 and 6 and B is partitioned between the rows 5 and 6.

Now we find the product

AB = ª¬ La1

L a2

La 3

La 4

La 5

ª L b1 º « » « L b2 » «L » « b3 » La6 º¼ « » L « b4 » « L b5 » « » «¬ L b6 »¼

= ª¬ La1

ª Lb1 º La2 º¼ « » + ª¬ La 3 «¬ Lb2 »¼

La 4

ª L b3 º « » La 5 º¼ « L b4 » + ª¬ La 6 × L b6 º¼ « » ¬« Lb5 ¼»

= ª¬ La1 .L b1 + La 2 .Lb2 º¼ + ª¬ La 3 .L b3 + La 4 .L b4 + L a5 .L b5 º¼ La 6 .L b6 = ª¬ La1b1 /(m +1) + La 2 b2 /(m+1) º¼ ª¬ La 3b3 /( m+1) + L a4 b4 /(m +1) + La5 b5 /(m+1) º¼ + La 6 b6 /(m+1) = ª¬ La1b1 + a 2 b 2 /( m+1) º¼ + ª¬ L(a3 b3 + a4 b4 + a5 b5 ) /(m +1) º¼ + La 6 b6 /(m+1) = ª¬ L(a1b1 + a 2 b2 +a3 b3 +a 4 b 4 +a 5 b5 +a 6 b6 ) /( m+1) º¼ is in LR. Suppose ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» A = « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » « a8 » «¬ L a9 »¼

and B = ª¬ La1 L a2 La3 La 4 L a5 La 6 La7 L a8 La9 º¼ be super column vector and super row vector respectively of refined labels. BA is not defined though both A and B are of natural order 9 × 1 and 1 × 9 respectively as they have not the same type of partitions for we see A is partitioned between row three and four but B is partitioned between one and two columns and so on.

Let us consider ª L b1 º « » «Lb » B = ª¬ La1 La 2 La3 L a4 º¼ and A = « 2 » L « b3 » «Lb » ¬ 4¼ be super row vector and super column vector respectively of refined labels. We see ª L b1 º « » «Lb » BA = ª¬ La1 La 2 La3 L a4 º¼ « 2 » L « b3 » «Lb » ¬ 4¼

(

= L a1 .Lb1 + L a 2 + L b2

(

= La1 b1 /(m +1) + La 2 + b2 /(m +1)

) ( L .L ) | (L a3

+ L a 4 + L b4

a 3 b3 /(m +1)

)

+ La 4 + b4 /(m +1)

)

= L(a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 + a4 b 4 ) / m +1 . Let us now define product of a super column vector with a super row vector of refined labels. Let ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » A = « 4 » and B = ª¬ Lc1 « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » ¬ a8 ¼

Lc 2

L c3

L c4

L c5

L c6 º¼

be a super column vector and super row vector respectively of refined labels. We see the product AB is defined even though they are of very different natural order and distinct in partition. Consider ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » AB = « 4 » ª¬ Lc1 « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » ¬ a8 ¼ ª «ªL º « « a1 » « «L a2 » Lc1 L c2 «« » « «¬ La3 »¼ « « « « = « La 4 Lc1 Lc2 « « « « « ª La5 º «« » « «L a6 » L « «L » c1 L c2 « « a7 » « «¬ La8 »¼ ¬

(

)

L c3

ª L a1 º « » « L a 2 » L c3 « » «¬ La 3 »¼

(

)

(

Lc 2

L a 4 L c3

)

ª La 5 º « » « La 6 » « L » L c3 « a7 » «La » ¬ 8¼

(

L c4

Lc4

L c4

Lc4

L c5

)

L c5

)

L c6 º¼

º ª L a1 º » « » » « L a 2 » L c6 » « » » «¬ L a3 »¼ » » » » » La 4 .L c6 » » » » » ª L a5 º » « » » « La 6 » » « L » L c6 » « a7 » » «La » » ¬ 8¼ ¼

ª « La Lc « 1 1 « La 2 Lc1 « « La3 L c1 « « « « = « La 4 Lc1 « « « «L L « a5 c1 « La 6 Lc1 « « La 7 Lc1 « «¬ La8 L c1 ª « L a c / m+1 « 11 «L a 2 c1 / m +1 « « La 3 c1 / m+1 « « « « = «L a 4 c1 / m +1 « « « «L « a5 c1 / m +1 « La6 c1 / m +1 « «L a7 c1 / m +1 « «¬ La8 c1 / m+1

L a1 L c 2

L a1 L c3

L a1 L c 4

L a1 L c5

L a 2 L c2

L a 2 L c3

La 2 Lc4

L a 2 L c5

L a3 Lc2

L a 3 L c3

L a 3 L c4

L a 3 L c5

L a 4 L c2

L a 4 L c3

La 4 Lc4

L a 4 L c5

La 5 Lc2

L a 5 L c3

L a 5 L c4

L a 5 L c5

L a 6 L c2

L a 6 L c3

La 6 Lc4

L a 6 L c5

L a 7 L c2

L a 7 L c3

La 7 Lc4

L a 7 L c5

L a8 Lc2

L a 8 L c3

L a 8 L c4

L a 8 L c5

L a1 c2 / m +1

º L a1 Lc6 » » L a 2 L c6 » » L a 3 L c6 » » » » » L a 4 L c6 » » » » La 5 Lc6 » » L a 6 L c6 » » L a 7 L c6 » » L a8 L c6 » ¼

La1 c3 / m +1

La1 c4 / m+1

La1 c5 / m+1

La 2 c2 / m +1 L a 2 c3 / m+1

La 2 c4 / m +1

La 2 c5 / m +1

L a3 c2 / m+1

La 3 c3 / m +1

La3 c4 / m +1

L a3 c5 / m +1

La 4 c2 / m +1 L a 4 c3 / m+1

La 4 c4 / m +1

La 4 c5 / m +1

La 5 c2 / m+1

La5 c3 / m +1

La5 c4 / m +1

L a5 c5 / m +1

La 6 c2 / m +1

La6 c3 / m+1

L a6 c4 / m +1

La 6 c5 / m +1

La 7 c2 / m +1 L a7 c3 / m+1

La 7 c4 / m +1

La 7 c5 / m +1

L a8 c2 / m +1

La8 c4 / m +1

L a8 c5 / m+1

La8 c3 / m +1

º La1 c6 / m +1 » » La 2 c6 / m +1 » » L a3 c6 / m +1 » » » » » La 4 c6 / m +1 » » » » L a5 c6 / m+1 » » La 6 c6 / m+1 » » La 7 c6 / m +1 » » L a8 c6 / m +1 » ¼

is a super matrix of refined labels. We can multiply any super column vector with any other super row vector and the product is defined and the resultant is a super matrix of refined labels. Let ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » C= « 4» « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » ¬ a8 ¼ be a super column vector of refined labels. Ct =

La2

La 3

La 4

La 5

La 6

La 7

La 8

)

be the

transpose of C. Clearly C is a super row vector of refined labels. We now find ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » CCt = « 4 » « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » ¬ a8 ¼

La2

La 3

La 4

La 5

La 6

La 7

La 8

)

ª « « La1 La1 « « « « «ªLa2 º ««L » La1 «¬« a3 ¼» = «« ªL º «« a 4 » ««La » La «« 5 » 1 «¬«La6 ¼» « « «ªLa7 º «« » La1 ««¬La8 »¼ «¬

(

La1 La2 La3

)

( )

ªLa2 º « » La 2 La3 ¬«La3 ¼»

(

La1 La4

La5 La6

)

(

)

ªLa2 º « » La4 La5 ¬«La3 ¼»

La6

)

( )

ªLa4 º « » «La5 » La2 La3 « » ¬«La6 ¼»

)

ªLa4 º « » «La5 » La4 La5 La6 « » ¬«La6 ¼»

)

( )

ªLa7 º « » La 2 La3 «¬La8 »¼

)

ªLa7 º « » La4 La5 «¬La8 »¼

)

ª L a1 L a1 « « L a 2 L a1 «L L « a 3 a1 « La La =« 4 1 « L a 5 L a1 « « L a 6 L a1 «L L « a 7 a1 « La L a ¬ 8 1

( ( (

La6

º » La1 La7 La8 » » » » » ªLa2 º » « » La7 La8 » L ¬« a3 »¼ » » » ªLa4 º » « » «La5 » La7 La8 » » « » » ¬«La6 ¼» » » ªLa7 º » « » La7 La8 » «¬La8 »¼ » »¼

)

(

)

(

)

(

)

L a1 L a 2

L a1 L a 3

L a1 L a 4

L a1 L a 5

L a1 L a 6

L a1 L a 7

La2 La2

La 2 La 3

La 2 L a 4

La 2 La5

La 2 L a 6

La 2 La7

La3 La 2

La3 La3

La3 La4

La3 La5

La3 La6

La 3 La 7

La5 La 2

La 4 La 3

La 4 L a 4

La 4 La5

La 4 L a 6

La 4 La7

La5 La 2

La5 La3

La5 La 4

La5 La5

La5 La6

La 5 La7

L a 6 La 2

La6 La3

La 6 L a 4

La 6 L a 5

La 6 L a 6

La 6 La7

La7 La2

La 7 La 3

La 7 L a 4

La 7 La5

La 7 L a 6

La7 La7

La8 La 2

La8 La3

La8 La4

La8 La5

La8 La6

L a8 L a 7

L a1 L a 8 º » La2 La8 » La3 La8 » » La4 La8 » » L a 5 La 8 » » L a 6 L a8 » L a7 L a8 »» L a8 L a8 »¼

ª La12 /m+1 « «La2a1 /m+1 « «La3a1 /m+1 « «La4a1 /m+1 =« «La5a1 /m+1 «L « a6a1 /m+1 «L « a7 a1 /m+1 «La a /m+1 ¬ 81

La1a2 /m+1 La1a3 /m+1 La1a4 /m+1 La1a5 /m+1 La1a6 /m+1 La1a7 /m+1 La1a8 /m+1 º » La2a2 /m+1 La2 a3 /m+1 La2 a4 /m+1 La2 a5 /m+1 La2 a6 /m+1 La2 a7 /m+1 La2 a8 /m+1» » La3a2 /m+1 La3 a3 /m+1 La3 a4 /m+1 La3a5 /m+1 La3a6 /m+1 La3 a7 /m+1 La3a8 /m+1» » La5a2 /m+1 La4 a3 /m+1 La4 a4 /m+1 La4 a5 /m+1 La4 a6 /m+1 La4 a7 /m+1 La4 a8 /m+1» » La5a2 /m+1 La5 a3 /m+1 La5 a4 /m+1 La5a5 /m+1 La5a6 /m+1 La5 a7 /m+1 La5a8 /m+1» La6a2 /m+1 La6 a3 /m+1 La6 a4 /m+1 La6a5 /m+1 La6a6 /m+1 La6 a7 /m+1 La6 a8 /m+1» » La7 a2 /m+1 La7 a3 /m+1 La7 a4 /m+1 La7 a5 /m+1 La7 a6 /m+1 La7 a7 /m+1 La7 a8 /m+1» » La8 a2 /m+1 La8 a3 /m+1 La8a4 /m+1 La8 a5 /m+1 La8a6 /m+1 La8a7 /m+1 La8a8 /m+1» ¼

is a super matrix of refined labels, we see the super matrix is a symmetric matrix of refined labels. Thus we get by multiplying the column super vector with its transpose the symmetric matrix of refined labels. We will illustrate by some more examples. Let ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » P= « » L « a4 » « L a5 » « » «¬ L a6 »¼ be a super column vector of refined labels. Pt = ª¬ La1 L a2 La 3 La 4 La5 La6 º¼ be the transpose of P. ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » t P.P = « » ª¬ La1 L « a4 » « L a5 » « » «¬ L a6 »¼

L a2

La 3

La 4

La 5

La6 º¼

ª «ªL º « « a1 » ª L a L a º 2 ¼ « «¬L a2 »¼ ¬ 1 « « « ª La3 º «« » = « «L a4 » ª¬L a1 La 2 º¼ «« » « ¬« La5 ¼» « « « L ªL La 2 º¼ « a 6 ¬ a1 « ¬ ª L a1 L a1 « « L a 2 L a1 «L L « a3 a1 = « L L « a 4 a1 « L a 5 L a1 « «¬ La 6 La1 ª La12 / m +1 « « L a 2 a1 / m+1 « « La 3 a1 / m +1 =« « L a 4 a1 / m+1 « « La5 a1 / m +1 «L «¬ a6 a1 / m +1

ª L a1 º « » ª¬ La3 «¬ La 2 »¼

La4

La 5 º¼

ª L a3 º « » « La 4 » ª¬ La3 « » ¬« La 5 ¼»

La4

L a5 º¼

L a6 ª¬ La 3

La 4

º » ª L a1 º « » L a6 » » «¬ La 2 »¼ » » ª La 3 º » « » » « La 4 » L a6 » « » » » ¬« La 5 ¼» » » L a6 .La 6 » » » ¼

L a5 º¼

L a1 L a 2

L a1 L a 3

L a1 L a 4

L a1 L a 5

La 2 La 2

La 2 La3

L a2 La 4

La 2 La5

La3 L a 2

L a3 La 3

La3 La 4

L a3 L a5

La 4 La 2

La 4 La3

L a4 La 4

La 4 La5

L a5 La 2

La 5 La 3

La5 La 4

L a5 L a5

L a6 La 2

La 6 L a3

L a6 La 4

La 6 La5

L a1 L a 6 º » La 2 La6 » La 3 La 6 » » La 4 La6 » » La 5 La 6 » » La 6 L a6 » ¼

La1 a 2 / m+1

La1 a3 / m+1

La1 a 4 / m+1

La1 a5 / m +1

La 2 / m +1

La 2 a3 / m+1

La 2 a4 / m+1

La 2 a5 / m+1

L a3 a 2 / m +1

La 2 / m+1

L a3 a 4 / m +1

L a3 a5 / m +1

La 4 a2 / m+1

La 4 a3 / m+1

La 2 / m +1

La 4 a5 / m+1

L a5 a 2 / m +1

L a5 a3 / m +1

L a5 a 4 / m +1

La 2 / m +1

La 6 a2 / m +1

La 6 a 3 / m +1

La 6 a 4 / m +1

La 6 a 5 / m+1

is a symmetric super matrix of refined labels.

La1 a6 / m+1 º » La 2 a6 / m +1 » » La3 a 6 / m +1 » » La 4 a6 / m +1 » » L a5 a 6 / m +1 » La 2 / m +1 » »¼ 6

Let ª L a1 La 2 La 7 La10 La11 L a12 º « » A = « La 3 La 4 L a8 La13 La14 L a15 » « » ¬« La 5 La 6 La 9 La16 La17 L a18 ¼» be a super matrix of row vectors of refined labels. ª L a1 L a 3 L a 5 º « » « La 2 La 4 La 6 » «L L a8 L a9 » a7 t « » A = « La L a13 L a16 » « 10 » « La11 La14 L a17 » « » «¬ La12 L a15 La18 »¼ be the transpose the super row vectors. A of refined labels. To find

ª L a1 « A.At = « La 3 « ¬« La 5

ª La « 1 « La 3 « ¬« La 5

La 2

La 7

La10

La11

La 4

L a8

La13

La14

La 6

La 9

La16

La17

La 2 º » ª L a1 La 4 » « » « La 2 La 6 ¼» ¬ ª La10 « + « L a13 « ¬« La16

L a3 La 4

La11 L a14 L a17

L a12 º » L a15 » » L a18 ¼»

ª L a1 « « La 2 «L « a7 « La « 10 « La11 « ¬« La12

L a3 La 4 L a8 L a13 La14 L a15

ª La 7 º La 5 º « » » + « La8 » ª¬ La 7 La 6 »¼ « » ¬« L a9 »¼ La12 º ª La10 »« La15 » « La11 »« La18 ¼» ¬« La12

La13 L a14 L a15

La16 º » L a17 » » La18 ¼»

La8

L a5 º » La 6 » L a9 » » L a16 » » L a17 » » La18 ¼»

La 9 º¼

ª L a La + La 2 L a 2 « 1 1 « L a 3 L a1 + L a 4 L a 2 « ¬« La 5 La1 + La 6 La 2

L a1 L a 3 + L a 2 L a 4 L a3 L a3 + La 4 La 4 L a5 La3 + La 6 La 4

ª La 7 La 7 « « La8 L a7 « ¬« L a9 La7

L a1 L a 5 + L a 2 L a 6 º » L a3 L a5 + La 4 La 6 » » L a5 L a5 + La 6 La 6 ¼»

La 7 La9 º » L a8 La 9 » » La 9 L a9 ¼»

La7 L a8 La8 La8 La9 La8

ªLa10 La10 +La11 La11 + La12 La12 La10 La13 +La11 La14 + La12 La15 La10 La16 +La11 La17 +La12 La18 º « » +«La13 La10 + La14 La11 + La15 La12 La13 La13 +La14 La14 +La15 La15 La13 La16 + La14 La17 + La15 La18 » « » «¬La16 La10 + La17 La11 + La18 La12 La16 La13 + La17 La14 + La18 La15 La16 La16 + La17 La17 + La18 La18 »¼

ª L2 + La 2 / m +1 2 « a1 / m+1 « = L a3 a1 / m+1 + La 4 a 2 / m +1 « «L a5 a1 / m+1 + La 6 a 2 / m +1 ¬

La1 a3 / m +1 + La 2 a 4 / m+1 La 2 / m +1 + L a 2 / m+1 3

La5 a3 / m+1 + La6 a 4 / m +1

La1 a5 / m +1 + La 2 a6 / m+1 º » L a3 a5 / m +1 + L a4 a 6 / m+1 » » La 2 / m +1 + La 2 / m +1 » 5 6 ¼

ªL2 L a7 a8 / m +1 L a7 a9 / m +1 º « a 7 / m +1 » « L a a / m+1 L 2 La8 a 9 / m+1 » + a 8 / m +1 8 7 « » « La 9 a 7 / m +1 La9 a8 / m+1 La 2 / m +1 » 9 ¬ ¼

ªL 2 +L 2 + L 2 La10 a13 /m+1 +La11a14 /m+1 +La12a15 /m+1 La10a16 /m+1 + La11a17 /m+1 + La12a18 /m+1º « a10 /m+1 a11 /m+1 a12 /m+1 » La13a16 /m+1 +La14a17 /m+1 + La15a18 /m+1» «La13a10 /m+1 +La14a11 /m+1 +La15a12 /m+1 La132 /m+1 + La142 /m+1 +La152 /m+1 «La16a10 /m+1 + La17 a11 /m+1 + La18a12 /m+1 La16 a13 /m+1 +La17a14 /m+1 +La18a15 /m+1 La2 /m+1 +La2 /m+1 +La2 /m+1 » 16 17 18 ¬ ¼

ª La 2 + a 2 + a2 + a 2 + a 2 + a 2 / m +1 La1 a 3 + a 2 a 4 + a7 a8 + a10 a13 + a11a14 + a12 a15 / m+1 1 2 7 10 11 12 « L a2 + a 2 + a 2 + a2 + a 2 + a 2 / m +1 = « L a3 a1 + a 4 a 2 + a8a 7 + a13 a10 + a14 a11 + a15 a12 / m +1 3 4 8 13 14 15 « « La5 a1 + a6 a 2 + a9 a 7 + a16 a10 + a17 a11 + a18a12 / m+1 L a5 a 3 + a6 a4 + a 9 a8 + a16 a13 + a17 a14 + a18a15 / m +1 ¬

La1 a5 + a 2 a6 + a7 a9 + a10 a16 + a11a17 + a12 a18 / m +1 º » La3 a 5 + a 4 a 6 + a8 a9 + a13 a16 + a14 a17 + a15a18 / m +1 » . » La 2 + a2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 / m +1 »¼ 5 6 9 16 17 18

We see AAt is a ordinary matrix of refined labels. Clearly AAt is a symmetric matrix of refined labels. Thus using a product of super row vectors with its transpose we can get a symmetric matrix of refined labels. Consider ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » «L La 6 » « a5 » H= « La 7 L a8 » « » « L a9 La10 » « » «¬ La11 La12 »¼ a super column vector of refined labels. Clearly ª La La 3 La5 La7 La 9 La11 º Ht = « 1 » «¬ La 2 La 4 L a6 L a8 L a10 L a12 »¼ is the transpose of H which is a super row vector of refined labels. Now we find ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » «L La 6 » ª La La La La La La º « a5 » 3 5 7 9 11 T H H= « × « 1 » La 7 L a8 » « La La L a L a L a L » a12 ¼ 2 4 6 8 10 ¬ « » « L a9 La10 » « » «¬ La11 La12 »¼

ª L a1 = « «¬ La 2 ª La 7 « ¬« La8

L a3 La 4

La9 º ª La 7 »« La10 ¼» ¬« L a9

ª La La5 º « 1 » « La La6 »¼ « 3 ¬« L a5

La2 º » La4 » + » La6 ¼»

La8 º ª La11 º »+« » ª La La10 ¼» ¬« La12 ¼» ¬ 11

ª La La + La3 La3 + La 5 L a5 = « 1 1 «¬ La 2 La1 + La 4 La3 + L a6 La5

La12 º¼

L a1 La 2 + L a3 La 4 + La5 La 6 º » + La 2 La 2 + La 4 La 4 + La6 La 6 »¼

ª L a7 L a7 + La9 L a9 « ¬« La8 La 7 + L a10 La9

L a7 La8 + L a9 La10 º » La8 La8 + La10 L a10 ¼»

ª La La + « 11 11 «¬ La12 L a11

La11 La12 º » La12 L a12 »¼

L a1a 2 / m +1 + La 3a 4 / m +1 + La 5a 6 / m +1 º ª La12 / m +1 + L a32 / m +1 + La52 / m +1 » =« La 2 / m +1 + L a2 / m +1 + La 2 / m+1 » «¬ L a 2 a1 / m +1 + La 4 a3 / m +1 + La 6 a5 / m +1 2 4 6 ¼ ª La72 / m +1 + La 92 / m +1 +« «¬ La8 a7 / m +1 + La10 a 9 / m +1 ª La 2 / m +1 + « 11 «¬ La12 a11 / m +1

L a7 a8 / m +1 + La 9 a10 / m +1 º » La 2 / m +1 + La 2 / m +1 » 8 10 ¼ La11a12 / m +1 º » La 2 / m+1 » 12 ¼

La 2 + a 2 + a2 + a 2 + a 2 + a2 / m+1 La1a2 + a3 a 4 + a5 a6 + a7 a8 + a9 a10 + a11a12 / m+1 º ª 1 3 5 7 9 11 » = « La 2 + a2 + a 2 + a 2 + a2 + a2 / m +1 «¬ La 2 a1 + a 4 a3 + a6 a5 + a8 a7 + a10 a 9 + a12 a11 / m+1 »¼ 2 4 6 8 10 12 is a symmetric matrix of refined labels which is not a super matrix of refined labels.

Thus in applications we can multiply two super matrices of refined labels and get a symmetric matrix of refined labels,

likewise we can multiply super matrices to get back super matrices. For consider ª L a1 L a 2 º « » « La3 La 4 » «L La 6 » L L b3 L b4 º a » and Y = ª b1 X= « 5 « » « La L a8 » «¬ L b2 L b5 L b6 »¼ « 7 » « L a9 La10 » « » «¬ La11 La12 »¼ two super matrices of refined labels. Now we find ª L a1 « « La3 «L a XY = « 5 « La « 7 « L a9 « «¬ La11 ª « ª La «« 1 « ¬« La3 « « « « = « La 5 « « « « ª L a7 «« L « « a9 « «« L a «¬ ¬ 11

(

La 2 º » La 4 » La 6 » » L a8 » » La10 » » La12 »¼

ª L b1 « «¬ L b2

L b3 L b5

L b4 º » L b6 »¼

L a2 º ª L b1 º »« » L a4 ¼» ¬« L b2 ¼»

ª L a1 « ¬« La3

L a 2 º ª L b3 »« L a4 ¼» «¬ Lb5

ª L b1 º La 6 « » «¬ L b2 »¼

ª L b3 La 6 « «¬ L b5

L a8 º » ª L b1 º La10 » « » » ¬« Lb 2 ¼» La12 »¼

ª La7 « « La9 « «¬ La11

)

La8 º » ª L b3 L a10 » « » ¬« L b5 L a12 »¼

º L b4 º » »» L b6 »¼ » » » » L b4 º » »» L b6 »¼ » » » Lb4 º »» » Lb6 ¼» » » »¼

ª L a1 Lb1 + L a 2 L b2 « « L a3 L b1 + La 4 Lb2 «L L +L L a b a 6 b2 = « 5 1 « L a L b + La L b 8 2 « 7 1 « L a9 Lb1 + L a10 Lb2 « ¬« La11 L b1 + La12 Lb 2

La1 L b3 + La 2 L b5

La1 L b4 + La 2 L b6 º » L a 3 L b4 + L a 4 L b6 » L a 5 L b4 + L a 6 L b6 » » L a 7 L b4 + L a 8 L b6 » » L a9 Lb4 + La10 L b6 » » La11 L b4 + La12 L b6 ¼»

L a3 L b3 + L a4 L b5 L a5 L b3 + La6 L b5 L a7 L b3 + L a8 L b5 L a9 Lb3 + La10 L b5 La11 L b3 + La12 L b5

ª La1 b1 + a 2 b2 / m +1 L a1 b3 + a 2 b5 / m +1 La1 b4 + a2 b6 / m+1 º « » « L a3 b1 + a 4 b 2 / m+1 L a3 b3 + a 4 b5 / m +1 L a3 b4 + a 4 b6 / m+1 » «L L a5 b3 + a 6 b5 / m +1 L a5 b4 + a 6 b6 / m+1 » a b + a b / m +1 » = « 51 6 2 « L a b + a b / m +1 L a b + a b / m +1 L a b + a b / m+1 » 7 3 8 5 7 4 8 6 « 7 1 8 2 » « L a9 b1 + a10 b2 / m+1 La 9 b3 + a10 b5 / m+1 L a9 b4 + a10 b6 / m+1 » « » «¬ La11 b1 + a12 b 2 / m+1 La11 b3 + a12 b5 / m+1 La11 b4 + a12 b6 / m +1 »¼ is a super matrix of refined labels. We find ª L b1 L b2 º « » t t Y X = « L b3 L b4 » « » «¬ L b5 Lb6 »¼ ª L a1 « «¬ La 2 ª « L b1 « =« « ª L b3 «« «¬ «¬ L b4

(

ª La L b2 « 1 «¬ L a2 L b5 º ª La1 »« L b6 »¼ «¬ L a2

)

La 3 º » L a4 »¼ La 3 º » L a 4 »¼

L a3

L a5

L a7

La9

La 4

L a6

La8

La10

ª L b3 « «¬ L b4

ª La º L b2 « 5 » ¬« La 6 ¼»

L b5 º ª L a5 º »« » L b6 »¼ «¬ La 6 »¼

ª L b3 « «¬ L b4

)

La11 º » La12 »¼ ª La L b2 « 7 ¬« L a8

)

L b5 º ª L a7 »« L b6 »¼ «¬ La8

La 9 L a10 La 9 L a10

L a11 º º »» La12 ¼» » » La11 º » » L a12 ¼» »» ¼

ª Lb1 La1 + L b2 La 2 « « L b3 La1 + Lb5 L a 2 «L L + L L b a b6 a 2 = « 4 1 « Lb La + L b La 2 8 « 1 7 « L b3 L a7 + L b5 La8 « ¬« L b4 La 7 + L b6 La8 ª Lb1 a1 + b2 a2 / m+1 « « Lb3 a1 + b5 a 2 / m+1 «L b a + b a / m +1 = « 41 62 « Lb a + b a / m+1 « 17 2 8 « L b3 a 7 + b5 a8 / m+1 « «¬ L b4 a7 + b6 a8 / m +1

Lb1 La3 + L b2 La 4 L b3 L a 3 + L b5 L a 4 L b4 L a 3 + L b6 L a 4 Lb1 La9 + Lb 2 L a10 L b3 La9 + L b5 L a10 L b4 La9 + Lb6 La10

L b1 a 3 + b2 a4 / m+1 L b3 a3 + b5 a 4 / m +1 Lb 4 a3 + b6 a 4 / m +1 L b1 a 9 + b 2 a10 / m +1 L b3 a9 + b5 a10 / m+1 Lb 4 a9 + b6 a10 / m +1

L b1 L a5 + L b2 La6 º » L b3 L a 5 + L b5 L a 6 » L b4 L a 5 + L b6 L a 6 » » Lb1 La11 + L b2 La12 » » L b3 La11 + L b5 La12 » » L b4 La11 + L b6 La12 ¼»

L b1 a 5 + b2 a6 / m+1 º » L b3 a5 + b5 a6 / m +1 » Lb 4 a5 + b6 a6 / m +1 » ». L b1 a11 + b2 a12 / m+1 » » L b3 a11 + b5 a12 / m +1 » » Lb4 a11 + b6 a12 / m +1 »¼

We see XY = Yt Xt are super matrix of refined labels. Now we proceed onto define another type of product of super matrix of refined labels. Let ª La1 La8 L a15 « « La 2 La9 La16 «L La10 La17 « a3 M = « La 4 L a11 La18 « « L a5 La12 La19 « « La 6 La13 La 20 «L La14 La 21 ¬« a 7 be a super matrix of refined labels.

L a 22

La 29

La 23

La 30

L a 24

La31

La 25

La 32

L a 26

L a33

L a27

La 34

La 28

L a35

L a36 º » L a37 » La38 » » L a39 » » La 40 » » La 41 » La 42 »» ¼

Consider ª L a1 « « L a8 «L a MT = « 15 « La « 22 « La 29 « ¬« L a36

La 2

L a3

La 4

La5

La 6

La 9

L a10

La11

La12

L a13

L a16

L a17

La18

La19

La 20

L a 23

L a24

La 25

La 26

La 27

L a30

L a31

La32

La 33

L a34

L a37

La38

La39

La 40

La 41

ª L a1 « « La 2 «L « a3 T M.M = « La 4 « « L a5 « « La 6 «L «¬ a 7 ª L a1 « « L a8 «L « a15 « La « 22 « La 29 « «¬ L a36

La8

L a15

L a 22

La 29

La9

La16

La 23

La 30

La10

La17

L a 24

La31

L a11

La18

La 25

La 32

La12

La19

L a 26

L a33

La13

La 20

L a27

La 34

La14

La 21

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La33

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La8 La9 + La15 La16

La8 La10 + La15 La17

La8 La11 + La15 La18

La9 La9 + La16 La16

La9 La10 + La16 La17

La9 La11 + La16 La18

La10 La9 + La17 La16

La10 La10 + La17 La17

La10 La11 + La17 La18

La11 La9 + La18 La16

La11 La10 + La18 La17

La11 La11 + La18 La18

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La12 La11 + La19 La18

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La8 La14 + La15 La21 º » La9 La14 + La16 La21 » La10 La14 + La17 La21 » » La11 La14 + La18 La21 » + » La12 La14 + La19 La21 » » La13 La14 + La20 La21 » La14 La14 + La21 La21 »» ¼

La22 La23 + La29 La30 + La36 La37 La22 La24 + La29 La31 + La36 La38 La23 La23 + La30 La30 + La37 La37 La23 La25 + La30 La31 + La37 La38 La24 La23 + La31 La30 + La38 La37 La24 La24 + La31 La31 + La38 La38 La25 La23 + La32 La30 + La39 La37 La25 La24 + La32 La31 + La39 La38 La26 La23 + La33 La30 + La40 La37 La26 La24 + La33 La31 + La40 La38 La27 La23 + La34 La30 + La41 La37 La27 La24 + La34 La31 + La41 La38 La28 La23 + La35 La30 + La42 La37 La28 La24 + La35 La31 + La42 La38

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La1 a 2 / m+1

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La 3 a 2 / m +1

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La1 a 4 / m +1

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La 3 a 4 / m +1 La3 a5 / m +1 La3 a6 / m +1 La 2 / m +1 4

La 5 a 2 / m +1 La5 a3 / m +1 La 5 a 4 / m +1

La 4 a 5 / m +1 La 4 a 6 / m +1 La 2 / m +1

La 5 a 6 / m +1

La 6 a 2 / m +1 La 6 a 3 / m+1 La 6 a 4 / m +1 La 6 a 5 / m +1

La 2 / m +1

La7 a 2 / m +1 La 7 a 3 / m +1 La 7 a 4 / m +1 La 7 a 5 / m +1 La 7 a 6 / m +1

La1 a 7 / m +1 º » La 2 a 7 / m +1 » » La 3 a 7 / m+1 » » La 4 a 7 / m +1 » » La5 a 7 / m+1 » La6 a 7 / m +1 » » La 2 / m+1 » 7 ¼»

ª La82 + a152 / m +1 « « L a9 a8 + a16 a15 / m +1 « « La10 a8 + a17 a15 / m +1 « + « L a11 a8 + a18 a15 / m +1 « « L a12 a8 + a19 a15 / m +1 «L « a13 a8 + a 20 a15 / m +1 « La14 a8 + a 21 a15 / m +1 ¬

La8 a9 + a15 a16 / m+1

L a8 a10 + a15 a17 / m+1

L a8 a11 + a15 a18 / m+1

La 9 a10 + a16 a17 / m +1

La9 a11 + a16 a18 / m +1

La10 a9 + a17 a16 / m +1

La 2 + a 2 / m+1

La10 a11 + a17 a18 / m +1

La11 a9 + a18 a16 / m +1

La11 a10 + a18 a17 / m +1

La 2 + a 2 / m+1

La12 a9 + a19 a16 / m +1

La12 a10 + a19 a17 / m +1

La12 a11 + a19 a18 / m +1

L a13 a9 + a20 a16 / m+1

La13 a10 + a 20 a17 / m+1

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La14 a10 + a 21 a17 / m +1

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/ m +1

La8 a12 +a15 a19 / m+1

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La11 a12 +a18 a19 / m+1 La11 a13 +a18 a20 / m+1 La12 a13 + a19 a20 / m+1

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La8 a14 +a15 a21 / m+1 º » La9 a14 +a16 a21 / m+1 » La10 a14 + a17 a21 / m+1 » » La11 a14 +a18 a21 / m+1 » + » La12 a14 +a19 a21 / m+1 » » La13 a14 +a20 a21 / m+1 » » La2 +a2 / m+1 » 14 21 ¼

La10 a12 + a17 a19 / m+1 La10 a13 +a17 a20 / m+1 La2 +a2 / m+1

La 22 a 23 + a 29 a30 + a 36 a37 / m +1 L a2

2 2 23 + a 30 + a 37

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La 24 a 23 + a31 a30 + a38 a37 / m +1

L a22 a 24 + a 29 a31 + a36 a 38 / m +1 La 23 a 25 + a30 a 31 + a37 a38 / m +1 La 2

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/ m +1

La 25 a 23 + a 32 a30 + a39 a 37 / m +1

La 25 a24 + a 32 a31 + a 39 a38 / m +1

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La 26 a 24 + a 33 a 31 + a 40 a38 / m +1

L a27 a 23 + a34 a 30 + a41 a37 / m +1

La 27 a 24 + a34 a 31 + a 41 a38 / m +1

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La 22 a 25 + a 29 a 32 + a 36 a39 / m +1

La 22 a 26 + a 29 a33 + a 36 a40 / m +1

La 22 a 27 + a 29 a34 + a 36 a41 / m +1

La 23 a 25 + a 30 a32 + a37 a 39 / m +1

La 23 a 26 + a30 a33 + a37 a 40 / m +1

L a 23 a 27 + a30 a 34 + a37 a 41 / m +1

La 24 a 25 + a 31 a 32 + a 38 a39 / m +1

La 24 a 26 + a31 a33 + a 38 a 40 / m +1

La 24 a 27 + a 31 a 34 + a 38 a41 / m +1

La 25 a 26 + a32 a33 + a39 a 40 / m +1

L a25 a 27 + a 32 a34 + a39 a 41 / m +1

L a2

2 2 25 + a 32 + a 41 / m +1

La 26 a 25 + a33 a 32 + a40 a39 / m +1

La 2

2 2 26 + a 33 + a 40

L a26 a 27 + a 33 a 34 + a 40 a 41 / m +1

/ m +1

L a27 a 25 + a34 a 32 + a41 a39 / m +1

La 27 La 26 + a34 a33 + a 41 a 40 / m +1

La 28 a 25 + a 35 a 32 + a42 a39 / m +1

La 28 a 26 + a35 a33 + a 42 a 40 / m +1

La 2

2 2 27 + a 34 + a 41 / m +1

L a28 a 27 + a35 a 34 + a 42 a 41 / m +1

La 22 a 28 + a 29 a 35 + a 36 a42 / m +1 º » La 23 a 28 + a 30 a35 + a37 a 42 / m +1 » La 24 a 28 + a 31 a 35 + a 38 a 42 / m +1 » » La 25 a 28 + a 32 a35 + a39 a 42 / m +1 » » La 26 a 28 + a33 a 35 + a 40 a 42 / m +1 » » La 27 a28 + a34 a35 + a 41 a 42 / m +1 » L a2 + a 2 + a 2 / m +1 »» 28 35 42 ¼ La 2 + a2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 / m +1 ª 1 8 15 22 29 36 « « La 2 a1 + a 9 a8 + a16 a15 + a 23 a22 + a30 a29 + a37 a36 / m +1 « « La 3a1 + a10 a8 + a17 a15 + a 24 a 22 + a 31a29 + a38a36 / m +1 « = « La 4 a1 + a11a8 + a18 a15 + a 25 a 22 + a32 a29 + a39 a36 / m +1 «L « a 5a1 + a12 a8 + a19 a15 + a 26 a 22 + a33 a 29 + a 40 a36 / m +1 « L a6 a1 + a13a8 + a 20 a15 + a 27 a 22 + a34 a 29 + a 41a36 / m +1 « «¬ L a7 a1 + a14 a8 + a 21a15 + a 28 a 22 + a35a 29 + a42 a36 / m +1

L a1a 2 + a8 a9 + a15 a16 + a 22 a 23 + a29 a30 + a36 a37 / m +1 L a 2 +a 2 +a 2 +a 2 + a 2 +a 2 2

/ m +1

La3 a2 + a10 a 9 + a17 a16 + a 24 a 23 + a31 a30 + a38a37 / m +1 L a4 a 2 + a11a9 + a18 a16 + a 25 a 23 + a32 a30 + a39a 37 / m +1 La5 a 2 + a12 a9 + a19 a16 + a 26a 23 + a33 a 30 + a 40 a37 / m +1 La 6 a 2 + a13a9 + a 20a16 + a27 a 23 + a34 a 30 + a 41a37 / m +1 La 7 a 2 + a14 a9 + a 21a16 + a 28 a 23 + a35 a30 + a42 a37 / m +1

La1a 3 + a8 a10 + a15 a17 + a 22 a 24 + a 29 a31 + a36 a38 / m +1

L a1a 4 + a8 a11 + a15 a18 + a 22 a25 + a29 a32 + a 36 a39 / m +1

La 2 a3 + a9 a10 + a16a17 + a 23 a24 + a30a 31 + a37 a38 / m +1

L a2 a 4 + a9 a11 + a16 a18 + a 23 a 25 + a30 a 32 + a37 a39 / m +1

La 2 + a 2 + a 2 + a 2 3

2 2 24 + a 31 + a 38

La3a 4 + a10 a11 + a17 a18 + a 24 a25 + a31 a32 + a 38 a39 / m +1

/ m +1

La 4 a3 + a11a10 + a18a17 + a 25 a 24 + a32 a31 + a39 a38 / m +1

La 2 + a2 + a 2 + a 2 4

2 2 25 + a 32 + a 39

/ m +1

L a5 a3 + a12a10 + a19 a17 + a 26 a 24 + a33 a31 + a 40 a 38 / m +1

La5 a 4 + a12 a11 + a19 a18 + a26 a 25 + a33 a32 + a40 a39 / m +1

La6 a 3 + a13 a10 + a 20 a17 + a 27 a 24 + a34 a31 + a 41a38 / m +1

La 6 a 4 + a13a11 + a 20 a18 + a 27 a 25 + a34 a32 + a41a 39 / m +1

La7 a3 + a14 a10 + a21a17 + a 28 a 24 + a35a 31 + a42 a38 / m +1

La 7 a 4 + a14 a11 + a21a18 + a 28 a 25 + a35 a32 + a 42a 39 / m +1

La1a5 + a8 a12 + a15 a19 + a 22 a 26 + a 29 a33 + a36 a40 / m +1

La1a 6 + a8a13 + a15 a 20 + a 22 a 27 + a29 a34 + a36 a 41 / m +1

La 2 a5 + a 9 a12 + a16 a19 + a 23 a26 + a30 a33 + a37 a40 / m +1

La 2 a 6 + a 9 a13 + a16a 20 + a23a 27 + a30 a34 + a37 a 41 / m +1

L a3a 5 + a10 a12 + a17 a19 + a 24 a 26 + a 31a33 + a38a 40 / m +1

La 3a 6 + a10 a13 + a17 a 20 + a 24 a 27 + a31 a34 + a38 a 41 / m +1

La 4 a5 + a11a12 + a18 a19 + a 25 a 26 + a32 a33 + a39 a40 / m +1

La 6 a6 + a11a13 + a18a 20 + a25 a27 + a32 a34 + a 39 a 41 / m +1

La 2 + a 2 + a 2 + a 2 5

2 2 26 + a 33 + a 40

L a5 a6 + a12 a13 + a19 a 20 + a 26 a 27 + a33 a34 + a 40 a 41 / m +1

/ m +1

La 6 a5 + a13a12 + a 20 a19 + a 27 a 26 + a34 a33 + a 41a 40 / m +1 La 7 a5 + a14 a12 + a 21a19 + a 28 a 26 + a35a 33 + a42 a 40 / m +1

L a2 +a 2 + a 2 6

2 2 2 20 + a 27 + a 34 + a 41 / m +1

La7 a6 + a14 a13 + a 21a20 + a 28 a 27 + a35 a34 + a 42 a41 / m +1

La1a 7 + a8a14 + a15a 21 + a 22 a 28 + a 29 a35 + a36 a42 / m +1 º » La 2 a7 + a9 a14 + a16 a 21 + a 23 a 28 + a30 a 35 + a37 a 42 / m +1 » » La 3a7 + a10 a14 + a17 a 21 + a 24 a 28 + a31a 35 + a38a 42 / m +1 » La 4 a7 + a11a14 + a18 a 21 + a 25 a 28 + a32a 35 + a39 a42 / m +1 » . » La 5a 7 + a12 a14 + a19a 21 + a 26a 28 + a 33 a35 + a 40 a 42 / m +1 » » L a6 a 7 + a13 a14 + a20 a 21 + a27 a 28 + a34 a35 + a 41a 42 / m +1 » » La 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 / m +1 » 7 14 21 28 35 42 ¼

We see the product is again super matrix of refined labels but is clearly a symmetric super matrix of refined labels of natural order 7 × 7. Thus by this technique of product we can get symmetric super matrix of refined labels which may have applications in real world problems.

We see at times the product of two super matrices of refined labels may turn out to be just matrices or symmetric super matrices of refined labels depending on the matrices producted and the products defined [48]. Now we proceed onto define the notion of M – matrix of labels Z – matrices labels and the corresponding subdirect sums. Let A =

{( L

)

m× n

La i ∈ LR

we say A > 0 if each La i =

} be a m × n refined label matrix

ai > 0. (A ≥ 0 if each La i = m +1

ai ≥ 0). Thus if A ≥ B we see A – B ≥ 0. Square matrices m +1 with refined labels which have non positive off – diagonal entries are called Z-matrices of refined labels.

We see –La = L-a = ª L a1 « A = « − La 4 « ¬« − La7 where ai > 0.

− La 2

La5 − L a8

−a . m +1 −La 3 º » − La 6 » is a Z-matrix of refined labels » La9 ¼»

We call a Z-matrix of refined labels A to be a non singular M-matrix of refined labels if A-1 ≥ 0. We have following properties to be true for usual Mmatrices which is analogously true in case of M-matrices of refined labels. (i) (ii)

The diagonal of a non singular M-matrix of refined labels is positive. If B is a Z-matrix of refined labels and M is a non singular M-matrix and M ≤ B then B is also a non singular M-matrix.

In particular any matrix obtained from a non singular Mmatrix of refined labels by setting off-diagonal entries is zero is also a non singular M-matrix. Thus ª L a1 L a 2 L a 3 º « » a1 A = « L a 4 L a 5 L a 6 » ; L a1 = > 0, m +1 « » «¬ La 7 L a8 L a9 »¼ La5 =

a5 a9 > 0 and La9 = >0 m +1 m +1

La 2 =

a3 a2 a4 < 0, La3 = < 0, La 4 = < 0, m +1 m +1 m +1

La 6 =

a6 a7 < 0, La 7 = < 0 and m +1 m +1

La8 =

a8 < 0. m +1

A is a non singular M-matrix and the diagonal elements are positive. A matrix M is non singular M-matrix if and only if each principal submatrix of M is a non singular M-matrix. For instance take ª L a1 − L a 2 − L a 3 º « » A = « − La 4 La5 − La 6 » « » ¬« − La7 −L a8 La9 ¼» to be a non singular M-matrix then La1 ≠ 0 ∈ LR and − La 6 º » are non singular La i > 0 La9 »¼ ai > 0. 1 ≤ i ≤ 9 and La i ∈ LR. that is m +1 ª La 5 « «¬ − La8

Finally a Z-matrix A is non singular M-matrix if and only if there exists a positive vector Lx > 0 such that ALx > 0. Thus all results enjoyed by simple M-matrices can be derived analogously for M-matrices of refined labels. Now we can realize these structures as super matrices of refined labels. Suppose ª L a1 − L a 2 − L a 3 º « » A = « − La 4 La5 − La 6 » « » «¬ − La7 −L a8 La9 »¼ and ªL − L b2 − L b3 º « b1 » B = « − L b4 L b5 − L b6 » « » « − Lb7 −L b8 L b9 » ¬ ¼ Lb1 = La5 be −L a6 = −L b2 −L a9 = Lb5 and −L b4 = La8 .

Two super matrices of refined labels then A ⊕2 B = C is not a M-matrix of refined labels. ª L a1 « « − La 4 C= « −L « a5 « 0 ¬

− La 2

− La3

L 2b1

−L 2b2

− L 2b4

L 2b5

− L b7

−L b8

0 º » − L b3 » − L b6 » » L b9 » ¼

We can find C-1. We see C is super matrix of refined labels and the sum is not a usual sum of super matrices. This method of addition of over lapping super matrices of refined labels may find itself useful in applications. All results studied can be easily defined for matrices of refined labels with simple appropriate operations.

We can also define the P-matrix of refined labels as in case of P-matrix. Further it is left as an exercise for the reader to prove that in general k-subdirect sum of two P-matrices of refined labels is not a P-matrix of refined labels in general. If ªL ª L a1 L a 2 L a 3 º 0 L b2 º b1 « » « » 0 » and B = « 0 Lb3 Lb4 » A = « La 4 La 5 « » « » 0 L a7 ¼» « L b7 L b6 L b7 » ¬« La 6 ¬ ¼ be two P-matrices of refined labels then we have the 2-subdirect sum as L a2 L a3 0 º ª L a1 « » 0 Lb 2 » « La 4 La5 +b1 C = A ⊕2 B = « L 0 L a 7 + b3 L b 4 » « a6 » « 0 L b5 L b6 L b7 » ¬ ¼ is not a P-matrix of refined labels as det (C) < 0.

Thus the concept of M-matrices, Z-matrices and P-matrices can also be realized as the super matrices of refined labels. Also the k-subdirect sum is also again a super matrix but addition is different. For in usual super matrices addition can be carried out for which the resultant after addition enjoy the same partition. Here we see the k-subdirect sum is defined only in those cases of different partition and however the k-subdirect sum of super matrices do not enjoy even the same natural order as that of the their components. Thus they do not form a group or a semigroup under k-subdirect addition.

100

In this chapter we for the first time introduce the notion of supervector space of refined labels using the super matrices of refined labels. By using the notion of supervector space of refined labels we obtain many vector spaces as against usual matrices of refined labels. We proceed onto illustrate the definitions and properties by examples so that the reader gets a complete grasp of the subject. DEFINITION 4.1 : Let V =

{( L

La2

La3

La4

La5

... Lar

Lar +1

Lar + 2

... Lan

)

Lai â&#x2C6;&#x2C6; LR ;1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n } be the collection of all super row vectors of

same type of refined labels. V is an additive abelian group. V is a super row vector space of refined labels over R or LR (as LR â&#x2030;&#x2026; R). We will illustrate this situation by some examples.

101

Example 4.1: Let V=

{( L

La 2

L a3

La 4

}

)

La 6 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 6

La5

be a super row vector space of refined labels over the field LR (or R). Example 4.2: Let

{( L

La 2

L a3

La 4

}

)

La 6 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 6 be a

La5

super row vector space of refined labels over the field LR (or R). Example 4.3: Let

{( L

La 2

L a3

La 4

}

)

La 6 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 6 be a

La5

super row vector space of refined labels over the field LR (or R). Example 4.4: Let

{( L

La 2

L a3

La 4

}

)

La 6 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 6 be a

La5

super row vector space of refined labels over the field LR (or R).

We a1

see

L a2

La 3

for La 4

L a5

a La 6

)

given

row

vector

of refined labels we can get

several super row vector space of refined labels over the field LR or R. Thus this is one of the main advantage of defining super row vectors of refined labels over LR or R. Example 4.5: Let X=

{( L

La 2

La 3

La 4

La5

L a6

La 7

La8

La 9

La10

)

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10 } be a collection of all super row vectors of

refined labels. X is a group under addition and X is a super row vector space of refined labels over LR (or R). Now having seen examples of super row vector spaces of refined labels we now proceed onto define substructures in them.

102

DEFINITION 4.2 : Let V=

{( L

La2

La3

La4

La5

La6

La7

... Lan −1

Lan

)

Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ n } be a super row vector space of refined labels

over the field LR. Suppose W ⊆ V; W a proper subset of V; if W is a super row vector space of refined labels over LR. then we define W to be super vector subspace of V over the field LR. Example 4.6: Let P=

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

}

)

La 7 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7

La6

be a super vector space of V over the field LR (or R). Consider S=

{( L

0 La 2

}

)

0 L a4 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ⊆ P

0 L a3

is a super row vector subspace of refined labels of P over the field LR (or R). Take T=

{( 0

L a1

0 La 2

}

)

0 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3 ⊆ P,

0 L a3

T is a super row vector subspace of refined labels of P. Example 4.7: Let X=

{( L

La 2

}

)

La 4 Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 4

La 3

be a super row vector space of refined labels over LR (or R). Consider

{( L X = {( 0 X = {( 0 X1 =

La 2

0 La3

and X4 =

{( 0

) 0) L 0) L

} ∈ L } ⊆ X, ∈L } ⊆ X

0 0 0 Lai ∈ L R ⊆ X, 0

)

0 0 La 4 Lai ∈ L R

} ⊆X

be four super row vector subspaces of refined labels of X over LR.

103

We see X =

and Xi ∩ Xj = (0 | 0 0 0) if i ≠ j; 1 ≤ i, j ≤ 4.

i =1

However X has more than four super row vector subspaces of refined labels.

{( L

For take Y1 =

}

)

0 0 Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ X is

La 2

a super row vector subspace of refined labels. Consider Y2 =

{( L

a super row vector subspace of X of refined labels. Take Y3 =

{( 0

}

)

0 0 La 2 Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ X is

L a1

La 2

)

}

⊆ X is

0 Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 2

again a super row vector subspace of X of refined labels over LR. DEFINITION 4.3: Let V be a super row vector space of refined labels over the field LR (or R). Suppose W1, W2, …, Wm are super row vector subspaces of refined labels of V over the field m

LR (or R). If V =

and Wi ∩ Wj = (0) if i≠j, 1 ≤ i, j ≤ m

i =1

then we say V is a direct union or sum of super row vector subspaces of V. If W1, …, Wm are super row vector subspaces of refined m

labels of V over LR (or R) and V =

but Wi ∩ Wj ≠ (0) if

i =1

i≠j, 1 ≤ i, j ≤ m then we say V is a pseudo direct sum of super vector subspaces of refined labels of V over LR (or R). Example 4.8: Let V=

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

La6

}

)

La 7 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7

be a super row vector space of refined labels over LR (or R). Consider W1 =

{( L

La 2

)

}

0 0 0 0 0 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V,

104

{( L W = {( L W = {( L

W2 =

0 La 2

W5 =

{( 0

)

0 0 La3 0 La 2

}

)

0 0 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3 ⊆ V,

L a4

0 La 4

L a3

)

}

La 5 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5 ⊆

V and L a1

}

0 0 L a4 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 ⊆ V,

L a3

}

)

0 0 0 L a5 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 3 ⊆ V

La 2

be super row vector subspaces of refined labels of V over LR. 5

Clearly V =

but Wi ∩ Wj ≠ (0 0 | 0 | 0 0 0 | 0) if i≠j, 1 ≤ i,

i =1

j ≤ 5. Thus V is only a pseudo direct sum of Wi, i = 1, 2, …, 5 and is not a direct sum. Now we see the supervector space of refined labels as in case of other vector spaces can be written both as a direct sum as well as pseudo direct sum of super vector subspaces of refined labels over LR (or R). Example 4.9: Let V =

{( L

La 2

L a3

La 5

La 6

L a7

La8

be a super vector. Consider

{( L 0 0 0 0 0 W = {( 0 L 0 0 0 0 0 0 0 W = {( 0 0 L 0 0 W = {( 0 0 0 L 0 W = {( 0 0 0 0 L W = {( 0 0 0 0 0 L W = {( 0 0 0 0 0 0 L W1 = 2

105

) } 0 0 ) L ∈ L } ⊆ V, 0 0 ) L ∈ L } ⊆ V, 0 0 ) L ∈ L } ⊆ V, 0 0 ) L ∈ L } ⊆ V, 0 0 ) L ∈ L } ⊆ V, 0 ) L ∈ L } ⊆ V and 0 0 Lai ∈ L R ⊆ V,

}

)

La 4 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 8

W8 =

{( 0

}

)

0 0 0 0 0 0 L a1 Lai ∈ L R ⊆ V;

are super row vector subspaces of V over the field LR. Clearly 8

but Wi ∩ Wj = (0 0 | 0 0 | 0 0 0 0) if i≠j, 1 ≤ i, j ≤ 8.

i =1

V is a direct sum of super row vector subspaces W1, W2, …, W8 of V over LR. Consider

{( L L 0 0 0 0 0 L ) L ∈ L ;1 ≤ i ≤ 3} ⊆ V, W = {( L 0 L L 0 0 0 0 ) L ∈ L ;1 ≤ i ≤ 3} ⊆ V, W = {( 0 L 0 0 L L 0 0 ) L ∈ L ;1 ≤ i ≤ 3} ⊆ V

W1 =

and W4 =

{( L

)

}

0 La 2 0 La 3 0 La 4 0 L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3 ⊆ V

be super row vector subspaces of V over the refined field LR (or 4

R). Clearly V =

is a pseudo direct sum of super row

i =1

vector subspaces of V over the field LR as Wi ∩ Wj ≠ (0 0 | 0 0 | 0 0 0 0) if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 4. Now having seen examples of direct sum and pseudo direct sum of super row vector subspaces of V over LR we now proceed onto define linear operators, basis and linear transformation of super row vector spaces of refined labels over LR. It is pertinent to mention here that LR ≅ R so whether we work on R or LR it is the same.

106

DEFINITION 4.4 : Let V =

{( L

La2

}

)

Lan Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ n be a super row

... Lan −1

vector space of refined labels over the field LR. We say a subset of elements {x1, x2, …, xt} in V are linearly dependent if there exists scalar labels La1 ... Lat in LR not all of them equal to zero such that La1 x1 + La2 x2 + ... + Lat xt = 0 . A set which is not linearly dependent is called linearly independent.

{( L

We say for the super row vector space of refined labels V =

La2

La3

La4

La5

... Lan−1

}

)

Lan Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ n

a subset B of V to be a basis of V if (1) B is a linearly independent subset of V. (2) B generates or spans V over LR. We will give examples of them. It is pertinent to mention in LR; Lm+1 is the unit element of the field LR. Example 4.10: Let V =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

La6

}

)

La 7 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 be a

super row vector space of refined labels over the field LR. Consider the set B = {(Lm+1, 0 | 0 | 0 0 0 | 0), (0, Lm+1 | 0 | 0 0 0 | 0), (0 0 | Lm+1 | 0 0 0 | 0), (0 0 | 0 | Lm+1 0 0 | 0), (0 0 | 0 | 0 Lm+1 0 | 0), (0 0 | 0 | 0 0 Lm+1 | 0), (0 0 | 0 | 0 0 0 |Lm+1)} ⊆ V is a super basis of over LR. Clearly V is finite dimensional over LR.

(

Consider P = La1

(0 (0

0 L a2

L a2

)

0 0 0 0 L a7 ,

0 0 0) , ) ( 0 ) ⊆ V; P is only a super linearly

0 0 0 0 , 0 0 0 La 3

0 0 0 La 4

La 5

independent subset of V but is not a basis of V.

107

Example 4.11: Let V =

{( L

}

)

La 3 Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3;

La2

be a super row vector space of refined labels over LR. Consider B = {(Lm+1 | 0 0), (0, | Lm+1 0), (0 | 0 Lm+1)} ⊆ V is a super basis of V over LR.

{(

Clearly dimension of V is three over LR.

)(

= L a1

0 0 , 0 L a1

La 2

Consider M

)} ⊆ V; M is only a linearly

independent set of V over LR and is not a basis of V over LR. Take K =

)(

{( L

)(

0 La 2 , L a1

0 0 , 0 L a2

L a1

)(

0 , 0 L a1

)(

La 2 , 0 0 L a 2

)} ⊆ V.

)

La 2 ,

0 , 0 L a1

)} ⊆ V, K is a linearly dependent

subset of V. Consider B =

{( 0

)(

La 2

B is also a

linearly dependent subset of V over LR. Now having seen examples of linearly dependent subset, linearly independent subset and not a basis and linear independent subset of V which is a super basis of V, we now proceed onto define the linearly transformation of super row vector spaces of refined labels over LR. Let V and W be two super row vector space of refined labels over LR. Let T be a map from V to W we say T : V → W is a linear transformation if T (cv + u) = cT (v) + T (u) for all u, v ∈ V and c ∈ LR. Example 4.12: Let V =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

}

)

La 6 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 6 be a super

row vector space of refined labels over LR. W =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

La6

La 7

}

)

La8 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 8

be a super row vector space of refined labels over LR. Define a

(

map T : V → W by T La1

0 La2

0 L a3

La 4

L a2 La 5

La 3 L a6

verified to be a linear transformation.

108

La 4

L a5

)

La 6 =

0 ; T is easily

Let P : V → W be a map such that

L a2

La2

La 3

La 4

)

L a5

La 5

La 6 =

La 6

)

0 0 ; It is easily verified P

is a linear transformation of super row vector space V into W. Example 4.13: Let V =

{( L

La 2

La 3

La 4

}

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10

La5

L a6

La 7

La8

La 9

)

La10

be a super row vector space of refined

labels over the field LR. Let T be a map from V to V defined by

L a2

0 L a3

La 3

La 4

0 La 5

L a5

La 6

0 L a7

La 7

L a8

La 9

La10

)

0 La 9

)

0 ; T is a linear

operator on V. It is clear T is not one to one. Ker T is a non zero subspace of V. Consider a map P : V → V defined by P

(( L

La 2

La3

L a1

L a4

La 5

La 4

La 6

L a7

La10

La8

La 9

La 8

La9

La10

)

))

L a7 . P is

a linear operator with trivial kernel.

{( L

Now suppose V = a1

La 2

L a3

La 4

La5

La6

La 7

}

)

La8 L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 8

be a super row vector space of refined labels over the field LR.

{( L

Consider W = a1

La 2

La 3

)

}

0 0 0 0 La8 Lai ∈ LR ;i = 1, 2,3,8 ⊆V;

W is a super row vector subspace of V of refined labels over the field LR. Let T : V → V if T (W) ⊆ W, W is invariant under T, we can illustrate this situation by some examples.

109

{( L

(( L L a2

La 2

La3

L a4

La 5

La 6

L a7

La8

)

La 3

)) =

0 0 0 0 La8 ;is such that T(W)⊆ W.

Suppose M = 0 La 2

0 La3

}

)

0 L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 ⊆ V;

0 L a4

then M is a super row vector subspace of V of refined labels over LR. Define η : V → V by η

(( L

La 2

0 L a2

La3

L a4

0 La 3

La 5

La 6

0 La 4

L a7

)

La8

)) =

0 ; η is a linear

transformation and M is invariant under η as η (M) ⊆ M. As in case of usual vector spaces in case of super row vector space of refined labels over the field LR we can have the following theorem. THEOREM 4.1: Let V and W be two finite dimensional super vector spaces of refined labels over the field LR such that dim V = dim W. If T is a linear transformation from V into W, the following are equivalent. (i) T is invertible (ii) T is non singular (iii) T is onto, that is range of T is W. The proof is left as an exercise to the reader. Further we can as in case of usual vector space define in case of super row vector space of refined labels also the following results. THEOREM 4.2: If {α1, α2, …, αn} is a basis for V then {Tα1, Tα2, …, Tαn} is a basis for W. (dim V = dim W = n is assumed), V a finite dimensional super vector space over LR and Ta is a linear transformation from V to W. This proof is also direct and hence left as an exercise to the reader.

110

THEOREM 4.3: Let V and W be two super row vector spaces of same dimension over the real field LR. There is some basis {α1, α2, …, αn} for V such that {Tα1, Tα2, …, Tαn} is a basis for W. The proof of this results is direct. THEOREM 4.4: Let T be a linear transformation from V into W, V and W super row vector spaces of refined labels over the field LR then T is non singular if and only if T carries each linearly independent subset of V onto a linearly independent subset of W. We make use of the following theorem to prove the theorem 4.4. THEOREM 4.5: Let V and W be any two super row vector spaces of refined labels over the field LR and let T be a linear transformation from V into W. If T is invertible then the inverse function T -1 is a linear transformation from W onto V. Also as in case of usual vector space we see in case of super row vector space V of refined labels over a field F = LR if T1, T2 and P are linear operators on V and for c ∈ LR we have (i) IP = PI = P (ii) P (T1 + T2) = PT1 + PT2 (iii) (T1 + T2) P = T1P + T2P (iv) c (PT1) = (cP)T1 = P (cT1). All the results can be proved without any difficulty and hence is left as an exercise to the reader. Also if V, W and Z are super row vector spaces of refined labels over the field LR and T : V → W be a linear transformation of V into W and P a linear transformation of W into Z, then the composed function PT defined by (PT) (α) = P (T(α)) is a linear transformation from V into Z. This proof is also direct and simple and hence is left as an exercise to the reader. Now having studied properties about super row vector spaces of refined labels we now proceed onto define super column vector spaces of refined labels over LR.

111

ª La º ½ °« 1 » ° ° « La2 » ° °« ° » ° « La3 » ° L ∈ LR ; 1 ≤ i ≤ n ¾ be a DEFINITION 4.5: Let V = ® « » ai °« ° » °« L » ° ° « an−1 » ° ° « La » ° ¯¬ n ¼ ¿ super column vector space of refined labels over the field LR (or R); clearly V is an abelian group under addition.

We will illustrate this situation by some examples. ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° L L ;1 i 8 ∈ ≤ ≤ Example 4.14: Let V = ® ¾ be group ai R °« L a5 » ° °« L » ° °« a 6 » ° ° « La » ° °« 7 » ° °«¬ La8 »¼ ° ¯ ¿ under addition. V is a super column vector space of refined labels over the field LR (or R). ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° Example 4.15: Let V = ®« La3 » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5¾ be super °« L » ° °« a 4 » ° °« L » ° ¯¬ a5 ¼ ¿ column vector space of refined labels over the field LR.

112

ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° Example 4.16: Let V = ® a 4 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ be a super « » °« L » ° °« a5 » ° ° « La » ° °« 6 » ° ° « La 7 » ° ¯¬ ¼ ¿ column vector space of refined labels over the field LR (or R). ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° Example 4.17: Let V = ® a 4 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ be a super « » °« L » ° °« a5 » ° ° « La » ° °« 6 » ° ° « La 7 » ° ¯¬ ¼ ¿ column vector space over the field LR.

We can define the super column vector subspace of V, V a super column vector space over LR. We will only illustrate the situation by some examples.

113

ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« » ° Example 4.18: Let V = ® La 4 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ be a super °« L » ° °« a5 » ° °« L » ° °« a 6 » ° °«¬ La 7 »¼ ° ¯ ¿ column vector space over LR. ª La º ½ °« 1 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« » ° Let W1 = ® 0 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V be a super °« L » ° °« a3 » ° °« 0 » ° °« » ° °«¬ La 4 »¼ ° ¯ ¿ column vector subspace of V over LR. ª 0 º ½ °« » ° °« 0 » ° °« » ° ° « L a1 » ° °« » ° W2 = ® La 2 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V is a super column « » ° L ° °« a3 » ° °« 0 » ° °« » ° °«¬ 0 »¼ ° ¯ ¿ vector subspace of V over LR.

114

ª 0 º ½ °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° W3 = ® 0 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 2¾ ⊆ V is a super column °« 0 » ° °« » ° °« L » ° a1 » « ° ° ° «¬ La 2 »¼ ° ¯ ¿ vector subspace of V of refined labels over LR.

ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° ° Example 4.19: Let V = ®« L a5 » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ be a super °« L » ° °« a 6 » ° °« L » ° °« a 7 » ° ° « La8 » ° °« » ° °¯«¬ L a9 »¼ °¿ column vector space of refined labels over LR.

115

ª 0 º ½ °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« 0 » ° °« » ° ° ° Take W1 = ®« La1 » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V; is a super °« L » ° °« a 2 » ° °« L » ° °« a3 » ° °« 0 » ° °« » ° °¯«¬ La 4 »¼ °¿ column vector subspace of refined labels over LR. ª 0 º ½ °« » ° ° « L a1 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° °« » ° ° ° W2 = ®« 0 » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V is a super column °« L » ° °« a3 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °¯«¬ 0 »¼ °¿ vector subspace of refined labels over LR.

116

ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° ° 5 ° » L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ be a Example 4.20: Let V = ®« ° « La 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° ° « L a8 » ° » °« ° ° « La9 » ° » °« ° °¯«¬ La10 »¼ °¿ super column vector space of refined labels over LR. ª La º ½ °« 1 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La » ° ° 3 ° Consider W1 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5¾ ⊆ V, is a super °« 0 » ° °« L » ° °« a 4 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° L °¯«¬ a5 »¼ °¿ column vector subspace of refined labels over LR.

117

ª 0 º ½ °« » ° ° « L a1 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« L » ° °« a3 » ° °« 0 » ° ° ° Take W2 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆ V is a super ° « La 4 » ° °« L » ° °« a5 » ° ° « La 6 » ° °« » ° ° « La 7 » ° °« » ° °¯«¬ 0 »¼ °¿ column vector subspace of refined labels over LR.

ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° °« 5 » ° °°« La 6 » °° Example 4.21: Let V = ®« L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 12 ¾ be a » ° « La7 » ° °« L » ° ° « a8 » ° ° « La » ° °« 9 » ° °« La10 » ° °« ° » °« La11 » ° °« L » ° ¯°¬ a12 ¼ ¿° super column vector space of refined labels over the field LR. Consider the following super column vector subspaces of refined labels over LR of V.

118

ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °°« 0 » °° W1 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆ V is a super column ° « La 4 » ° °« L » ° °« a5 » ° ° « La » ° °« 6 » ° ° « La 7 » ° °« » ° °« 0 » ° °« 0 » ° ¯°¬ ¼ ¿° vector subspace of V over LR. ª 0 º ½ °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« L » ° ° « a1 » ° ° « La » ° °« 2 » ° °°« La3 » °° W2 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V is a super column °« 0 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 4 » ° °« 0 » ° ¯°¬ ¼ ¿° vector subspace of V over LR.

119

ª 0 º ½ °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °°« 0 » °° W3 = ®« » L a1 ∈ LR ¾ ⊆ V is a super column vector °« 0 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« L » ° ¯°¬ a1 ¼ ¿° 3

subspace of refined labels of V over LR. We see V =

i =1

ª0 º «0 » « » «0 » « » «0 » «0 » « » «0 » Wi ∩ Wj = « » if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 3. 0 « » «0 » «0 » « » «0 » « » «0 » «¬ 0 »¼

120

and

ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ be a super Example 4.22: Let V = ® « La » a i °« 4 » ° °« L » ° °« a5 » ° ° « La » ° ¯¬ 6 ¼ ¿ column vector space of refined labels on LR. Take W1 = ª 0 º ½ ª La º ½ °« » ° °« 1 » ° ° « L a1 » ° °« 0 » ° °« » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 2¾ ⊆ V, W2 = ®« » Lai ∈ L R ¾ ⊆ V °« 0 » ° °« 0 » ° °« 0 » ° °« 0 » ° °« » ° °« » ° °« 0 » ° °« 0 » ° ¯¬ ¼ ¿ ¯¬ ¼ ¿ ª 0 º ½ °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° and W3 = ® L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V be three super column « La » a i °« 1 » ° °« L » ° °« a 2 » ° ° « La » ° ¯¬ 3 ¼ ¿ vector subspace of refined labels of V over LR. ª0 º «0 » « » 3 «0 » We see V = Wi and Wi ∩ Wj = « » if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 3. i =1 «0 » «0 » « » ¬« 0 ¼» Thus V is a direct union of super vector column subspaces of V over LR.

121

ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° ° a4 ° Example 4.23: Let V = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 8¾ be a super L « » ° a5 ° °« L » ° °« a 6 » ° ° « La » ° °« 7 » ° °«¬ La8 »¼ ° ¯ ¿ column vector space of refined labels over LR (or R). Consider ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« 0 » ° ° ° W1 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V, be a super column vector 0 « » ° ° °« 0 » ° °« » ° ° « La » ° °« 4 » ° °«¬ 0 »¼ ° ¯ ¿ subspace of refined labels of V over LR, ª 0 º ½ °« » ° ° « L a1 » ° °« » ° °« 0 » ° °« L » ° ° a2 ° W2 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V be a super column L °« a3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° °« 0 » ° °« » ° °«¬ 0 »¼ ° ¯ ¿ vector subspace of refined labels of V over LR.

122

ª La º ½ °« 1 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° ° ° W3 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V be a super column L « » ° a3 ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °«¬ La 4 »¼ ° ¯ ¿ vector subspace of refined labels of V over LR. ª 0 º ½ °« » ° ° « L a1 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° ° ° W4 = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ ⊆ V be a super column L « » ° a3 ° °« L » ° °« a 4 » ° °« L a » ° °« 5 » ° °«¬ La 6 »¼ ° ¯ ¿ vector subspace of refined labels over LR of V. ª0 º «0 » « » «0 » « » 4 0 Clearly V = Wi and Wi ∩ Wj ≠ « » ; i ≠ j, 1 ≤ i ≤ 4. «0 » i =1 « » «0 » «0 » « » «¬ 0 »¼ Thus V is a pseudo direct sum of super column vector subspaces of V over LR.

123

It is pertinent to mention that we do not have super column linear algebras of V of refined labels over LR. However we can also have subfield super column vector subspace of refined labels over LR. We will illustrate this by some examples. Just we know LQ is a field of refined labels and LQ ⊆ LR. Thus we can have subfield super column vector subspaces as well as subfield super row vector subspaces of refined labels over the subfield LQ of LR (or Q of R). ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° Example 4.24: Let V = ® La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 8¾ be a super L « » a °« 5 » ° ° « La » ° ° 6 ° « » ° « La 7 » ° ° ° °«¬ La8 »¼ ° ¯ ¿ column vector space of refined labels over the field LR (or R). ª La º ½ °« 1 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« L » ° °« a 2 » ° Take M = ® La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V be a super °«« 0 »» ° °« 0 » ° ° ° « » °« 0 » ° ° ° « » ° ¬ La3 ¼ ° ¯ ¿ column vector space of refined labels over the refined labels field LQ. (LQ ⊆ LR). M is thus the subfield super column vector subspace of refined labels over the subfield LQ of LR.

124

Example 4.25: Let M =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

La6

La 7

La8

L a9

La10

)

}

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10 be a super row vector space of refined labels over LR.

{( L

Take P = a1

La 2

L a3

La 4

}

Lai ∈ LQ ;1 ≤ i ≤ 10

La5

La6

La 7

La8

L a9

La10

)

⊆ M; P is a super row vector space of

refined labels over LQ; thus P is a subfield super row vector subspace of V of refined labels over the subfield LQ of LR. We have several such subfield vector subspaces of V. ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° ° a4 ° Example 4.26: Let V = ®« » La i ∈ LQ ;1 ≤ i ≤ 8¾ be a super L « » °« a5 » ° ° « La » ° ° 6 ° °«« La 7 »» ° ° ° °«¬ La8 »¼ ° ¯ ¿ column vector space of refined labels over the field LQ. Clearly V has no subfield super column vector subspaces of refined labels of V over the subfield over LQ as LQ has no subfields. In this case we call such spaces as pseudo simple super column vector subspaces of refined labels of V over LQ. However V has several super column vector subspaces of refined labels of

125

ª La º ½ °« 1 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° °« » ° V over LQ. For instance take K = ® La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ L « » °« a3 » ° °« 0 » ° ° ° °«« La 4 »» ° ° ° °«¬ 0 »¼ ° ¯ ¿ V, K is a super column vector subspace of V over the field LR of refined labels.

Example 4.27: Let V =

{( L

La 2

L a3

La 4

}

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10

La5

La6

La 7

La8

L a9

La10

)

be a super row vector space of refined

labels over the field LQ. Clearly LQ has no proper subfields other than itself as LQ ≅ Q. Hence V cannot have subspaces which are subfield super row vector subspace of refined labels over a subfield of LQ so V is a pseudo simple super row vector space of refined labels over LQ.

126

ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° ° 5 ° » L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ be a super Example 4.28: Let V = ®« ° « La 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° ° « L a8 » ° » °« ° ° « La9 » ° » °« ° °¯«¬ La10 »¼ °¿ column vector space of refined labels over LQ. V is a pseudo simple super column vector space of refined labels. However V has several super column vector subspaces of refined labels over LQ of V. ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° ° ° For instance T = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V is a super 0 « » ° ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °« 0 » ° °« » ° °¯«¬ La 4 »¼ °¿ column vector subspace of V of refined labels over LQ.

Now we can as in case of other vector spaces define basis linearly independent element linearly dependent element linear

127

operator and linear transformation. This task is left as an exercise to the reader. However all these situations will be described by appropriate examples. ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ be a super Example 4.29: Let V = ® « » ° « La 4 » ° °« L » ° °« a5 » ° ° « La » ° ¯¬ 6 ¼ ¿ column vector space of refined labels over the refined field LR.

Consider the set B = ª L m+1 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ½ °« » « » « » « » « »° °« 0 » « L m +1 » « 0 » « 0 » « 0 » ° °°« 0 » « 0 » « L m+1 » « 0 » « 0 » °° »,« »,« »,« »,« » ¾ ⊆ V. It is easily ®« °« 0 » « 0 » « 0 » «L m +1 » « 0 » ° °« 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « L m+1 » ° » « » « » « » « »° °« °¯¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» °¿ verified B is a linearly independent subset of V but is not a basis of V. We see B cannot generate V. ª L a1 º ª 0 º ª 0 º½ °ª L m+1 º « » « » ª 0 º « » ° °« 0 » « 0 » « La1 » « L m+1 » « 0 » ° » « » « » « » « »° °« °« 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » ° Now consider C = ®« »,« »,« »,« »,« »¾ ⊆ ° « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « L a1 » ° °« 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » ° » « » « » « » « »° °« °¬« 0 ¼» « 0 » « La » ¬« 0 ¼» « 0 » ° ¬ ¼ ¬ 2¼ ¬ ¼¿ ¯ V; It is easily verifield the subset C of V cannot generate V so is not a basis further C is not a linearly independent subset of V as

128

ª L a1 º ª L m +1 º « » « 0 » « 0 » « » « 0 » « 0 » « » are linearly dependent on each other. we see « and » « 0 » 0 « » « » « 0 » « 0 » « » « » «¬ 0 »¼ ¬« 0 ¼» These are more than one pair of elements which are linearly dependent.

Now consider H = ª L m+1 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ½ °« » « » « » « » « » « »° °« 0 » « L m +1 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » ° °°« 0 » « 0 » « Lm +1 » « 0 » « 0 » « 0 » °° »,« »,« »,« »,« »,« » ¾ ⊆ V is a basis ®« °« 0 » « 0 » « 0 » « L m+1 » « 0 » « 0 » ° °« 0 » « 0 » « 0 » « 0 » «L m +1 » « 0 » ° » « » « » « » « » « »° °« ¯°¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» ¬« 0 ¼» ¬« Lm +1 ¼» ¿° of V and the space is of finite dimension and dimension of V over LR is six. Now if we shift the field LR from LQ we see the dimension of V over LQ is infinite. Thus as in case of usual vector spaces of dimension of a super column vector space of refined labels depends on the field over which they are defined. This above example shows if V is defined over LR it is of dimension six but if V is defined over LQ the dimension of V over LQ is infinite. Example 4.30: Let V =

{( L

La 2

L a3

La 4

}

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10

La5

La6

La 7

La8

L a9

La10

)

be a super row vector space of refined

labels over the refined field LQ.

129

Clearly V is of infinite

dimension over LQ. Further V has a linearly independent as well as linearly dependent subset over LQ. Consider B =

(0 (0 (0 (0

0 L a2

{( L

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,

) 0) ,

0 0 0 0 0 0 0 ,

0 0 0 0 La 3

0 0 0

0 0 0 0 0 La 5

0 L a6

0 0 0 0 0 0 La 7

0 La8

) )

}

La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 8

⊆ V, B is a linearly independent subset of V over LQ. Take P =

(0 (0 (L (0 (0

{( L

0 L a1 L a2

L a2

0 0

La 2

) 0 0 0 0 0) , L 0 0 0 0) , 0 0 0 L ) 0 0 0 0 0 )} ⊆

0 0 0 0 0 0 ,

0 0 0 0 0 0 L a1

)

0 0 0 0 0 0 0 0 ,

0 0 La2

0 L a1

La 2

L a3

V, P is a

linearly dependent subset of V over LQ. We have seen though V is of infinite dimension over LQ still V can have both linearly dependent subset as well as linearly independent subset.

Example 4.31: Let V =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

)

}

L ai ∈ L Q ;1 ≤ i ≤ 5 be a super row

vector space of refined labels over the field LQ. Clearly V is finite dimensional and dimension of V over LQ is given by B = {( L m +1 0 0 0 0 ) , ( 0 L m+1 0 0 0 ) , ( 0 0 L m +1 0 0 ) ,

0 0 Lm +1

0 ) , ( 0 0 0 0 L m +1 )} ⊆ V, which is the

basis of V over LQ.

130

{( L (0

Consider M =

)

0 0 0 0 , ( L m +1

L m +1

(

0 0 ) , 0 0 0 L a1

L m +1

}

( 0),(0

0 0 0 0 ) , 0 L a1

La 2

) 0)

0 0 ,

0 0 Lb1

Lb1 , Lai ∈ LQ ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V is a subset of V but is clearly not a linearly independent set only a linearly dependent subset of V. Now we will give a linearly independent subset of V which is not a basis of V.

{( L

Consider T =

)

0 0 0 0 , ( 0 0 L m +1

0 0 ) , ( 0 0 0 L m +1

in V; clearly T is not a basis but T is a linearly independent subset of V over LQ. Now having seen the concept of basis, linearly independent subset and linearly dependent subset we now proceed onto define the notion of linear transformation and linear operator in case of the refined space of labels over LR (or LQ). DEFINITION 4.6: Let V and W be two super row vector spaces of refined labels defined over the refined field LR (or LQ). Let T be a map from V into W. If T (cα + β) = cT (α) + T (β) for all c ∈ LR (or LQ) and α, β ∈ V then we define T to be a linear transformation from V into W. Note if W = V then we define the linear transformation to be a linear operator on V. We will illustrate these situations by some examples. Example 4.32: Let V =

{( L = {( L

La 2

L a3

La 2

La 4

La3

}

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10

L a4

La5 La5

La6

)

La 6

}

Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 6 L a7

La8

L a9

and W La10

)

be two super row vector spaces of refined

labels over LR.

131

}

L m +1 )

Define T : V → W be such that

(( L

(

= L a1

La 2

La2

La3

La4

La 5

0 0 0 L a3

La 6

La 4

)) La 5

)

0 La 6 ; it is easily

verified T is a linear transformation of super row vector space of refined labels over LR. It is still interesting to find the notions of invertible linear transformation and find the algebraic structure enjoyed by the collection of all linear transformations from V to W. ª La º ½ °« 1 » ° °« La 2 » ° °« » ° °« La3 » ° L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ and Example 4.33: If V = ® « La » a i °« 4 » ° °« L » ° °« a5 » ° °« La » ° ¯¬ 6 ¼ ¿ ª L a º ½ °« 1 » ° °« La 2 » ° °« ° » °« La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° °« La » ° ° 5 ° » L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ be two super column W = ®« °« La 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° ° « L a8 » ° » °« ° °« La9 » ° » °« ° °¯«¬ La10 »¼ °¿ vector spaces of refined labels over LR.

132

We can define the map T : V → W by ª L a1 º « » « La 2 » «L » a3 T ( « » ) = L a1 « La » « 4» « L a5 » « » «¬ L a6 »¼

(

La2

La 3

La 4

La 5

L a6

)

0 0 0 0 .

It is easily verified T is a linear transformation of V into W. Infact we see kernel T is just the zero super vector subspace of V. ª La º ½ °« 1 » ° °« La 2 » ° °« » ° °« La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° °« L » ° Example 4.34: Let V = ® a5 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ be a super °« L » ° °« a 6 » ° °« La » ° °« 7 » ° °« La8 » ° °« » ° °«¬ L a9 »¼ ° ¯ ¿

column vector space of refined labels over LR.

133

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» Define T : V → V by T = ( « La » ) = 5 « » L « a6 » «L » « a7 » «L » « a8 » « L a9 » ¬ ¼

ª L a1 º « » « 0 » « 0 » « » « La » « 2» « La 3 » ; « » « La 4 » « 0 » « » « 0 » « » « La 5 » ¬ ¼

it is easily verified that T is a linear operator on V and kerT is a non trivial super vector column subspace of V. Clearly T is not one to one. Interested reader can define one to one maps and study the algebraic structure enjoyed by Hom LR (V,V) = {set of all linear operators of V to V}. Further it is informed that the reader can derive all the results and theorems proved in the case of super row vector spaces with appropriate modifications in case of super column vector spaces. This task is a matter of routine and hence is left for the reader as an exercise. Now we proceed onto define the notion of super vector spaces of m × n super matrices of refined labels over the field LR. DEFINITION 4.7: Let V = {All m × n super matrices of refined labels with the same type of partition with entries from LR}; V is clearly an abelian group under addition. V is a super vector space of m × n matrices of refined labels over the field LR (or R or LQ or Q). We will illustrate this situation by some simple examples.

134

Example 4.35: Let V = ª L a La ½ La 3 º 2 °« 1 ° » °° « La 4 La5 La6 » °° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 12¾ be the super matrix ®« » ° « La7 La8 La9 » ° °« L ° » L L a11 a12 ¼ ¯°¬ a10 ¿° vector space of refined labels over LR. ª La ½ La 2 º °« 1 ° » ° « L a3 La 4 » ° °« ° » °« L a5 L a6 » ° °« L ° » La8 °« a 7 ° » °« L ° L » Example 4.36: Let M = ® a 9 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 18¾ be a a10 » °« L ° L a12 » °« a11 ° » °« L a ° L a14 » °« 13 ° °« L a15 L a16 » ° » °« ° °«¬ La17 La18 »¼ ° ¯ ¿ super matrix vector space of refined labels over LR. M is also known as the super column vector vector space of refined labels over LR. These super matrices in M are also known as the super column vectors (refer chapter I of this book).

Example 4.37: Let T = ª L ½ La 4 L a7 L a10 La13 La16 º °° « a1 °° » ® « La 2 La 5 La8 La11 L a14 La17 » L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 18¾ be a » °« ° °¯ «¬ La3 La 6 La9 L a12 La15 La18 »¼ °¿ super matrix of vector space of refined labels over the refined field LR. We can also call T to be a super row vector – vector space of refined labels over LR.

135

Example 4.38: Let K = § L a L a ½ La 3 La 4 · 2 °¨ 1 ° ¸ °°¨ La 5 La6 L a7 La8 ¸ °° Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ be the super ®¨ ¸ °¨ La9 La10 La11 La12 ¸ ° °¨ L ° ¸ La14 La15 La16 ¹ ¯°© a13 ¿° matrix of vector space of refined labels over LR. Now it is pertinent to mention here that we cannot construct super linear algebra of refined labels even if the natural order of the super matrix is a square matrix. Thus we find it difficult to obtain linear algebras expect those using LR or LQ over LR or LQ respectively.

{

Thus we see if V = LR = La i L ai ∈ LR

} then V is a vector

space as well as linear algebra over LR or LQ however it is not a super linear algebra of refined labels over LR or LQ.

{

Likewise LQ = La i L ai ∈ LQ

} is only a linear algebra over

LQ, however it is not super linear algebra over LQ. Now we can define the notion of super vector subspaces, basis, linear operator and linear transformation as in case of super row vector spaces or super column vector spaces. This task is left as an exercise to the reader. We only give examples of all these concepts so that the reader has no difficulty in following them.

136

ª L a ½ La 2 º °« 1 ° » ° « La 3 La 4 » ° °« ° » ° « La 5 La 6 » ° °« L ° » ° « a 7 L a8 » ° Example 4.39: Let V = ® L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ be a L L « » a10 °« a9 ° » ° « La ° L a » 12 ° 11 ° ° «« La13 La14 »» ° ° ° ° «¬ La15 La16 »¼ ° ¯ ¿ super matrix of vector space of refined labels over LR. (super column vector, vector space of refined labels). ª La La º ½ 2 °« 1 ° » 0 » °« 0 ° °« ° » ° « L a3 La 4 » ° °« 0 ° » 0 °« ° » Consider M = ® Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 8¾ ⊆ V, is the L L « » a6 °« a5 ° » °« 0 ° 0 » ° ° ° «« La 7 L a8 »» ° ° ° 0 » ° «¬ 0 ° ¼ ¯ ¿ super column vector subspace of V over LR.

137

ª 0 ½ 0 º °« ° » 0 » °« 0 ° °« ° » ° « L a1 La 2 » ° °« L ° » ° « a 3 La 4 » ° Take P = ® Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 6¾ ⊆ V is a super L L « » a6 °« a 5 ° » °« 0 ° 0 » ° ° ° «« 0 ° 0 »» ° ° 0 » ° «¬ 0 ° ¼ ¯ ¿ column vector, vector subspace of V over LR of V.

Example 4.40: Let K = § La ½ La 2 La 3 La 4 L a5 La 6 · °¨ 1 ° ¸ °°¨ La 7 La8 La9 L a10 La11 La12 ¸ °° Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 24 ¾ be ®¨ ¸ °¨ L a13 L a14 La15 L a16 La17 La18 ¸ ° °¨ L ° ¸ L L L L L a 20 a 21 a 22 a 23 a 24 ¹ ¯°© a19 ¿° a super row vector, vector space of refined labels over LR.

Consider M = § 0 0 La 0 L a La · ½ 1 5 9 °¨ ° ¸ °°¨ 0 0 L a2 0 L a6 La10 ¸ °° L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 12¾ ⊆ K, is a ®¨ ¸ °¨ 0 0 La3 0 La 7 L a11 ¸ ° °¨ 0 0 L ° ¸ 0 La8 La12 ¹ a4 ¯°© ¿° super row vector, vector subspace of K over LR. We can have many such super row vector, vector subspaces of K over R.

138

§ L ½ La 4 · °°¨ a1 °° ¸ Example 4.41: Let V = ®¨ La 2 La 5 ¸ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 6¾ be a ¸ °¨¨ ° L La 6 ¸¹ ¯°© a3 ¿° super matrix vector space of refined labels over the field LR (or R).

Example 4.42: Let P = § La ½ La 2 La3 · °¨ 1 ° ¸ °¨ La 4 L a5 L a6 ¸ ° °¨ ° ¸ °¨ La 7 La8 La9 ¸ ° L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 18¾ be a super matrix ®¨ ¸ °¨ La10 La11 La12 ¸ ° °¨ L ° ¸ L a14 La15 °¨ a13 ° ¸ ¸ °¨ La ° L L a17 a18 ¹ ¯© 16 ¿ vector space of refined labels over the field LR. Take M = § 0 ½ 0 L a1 · °¨ ° ¸ 0 La 2 ¸ °¨ 0 ° °¨ ° ¸ 0 ¸ °¨ La3 La 4 ° L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 8¾ ⊆ P is a super matrix ®¨ ¸ ai 0 0 L a5 °¨ ° ¸ °¨ L ° La 7 0 ¸ °¨ a6 ° ¸ ¸ °¨ 0 ° 0 L a8 ¹ ¯© ¿ vector subspace of P over LR. § ½ · °¨ La1 La 2 La 3 ¸ ° °¨ ° ¸ Example 4.43: Let V = ® L a4 L a5 La 6 Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ¸ °¨ ° °¯¨© L a7 La8 La9 ¸¹ °¿ be a super matrix vector space of refined labels over LR.

139

§ ½ 0 L a1 · °¨ 0 ° ¸ ° ° 0 La 2 ¸ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ ⊆ V, be a Take M = ®¨ 0 ¸ °¨ ° 0 ¸ °¯¨© L a3 La 4 °¿ ¹ super matrix vector subspace of refined labels over LR of V.

Now as in case of super row vector space of refined labels we can in the case of general super m × n matrix of refined label of vector space define the notion of direct sum of vector subspaces and pseudo direct sum of super vector subspaces. This task is simple and hence is left as an exercise to the reader. However we illustrate this situation by some examples. Example 4.44: Let V = ª L a La ½ La 3 º 2 °« 1 ° » °° « La 4 La5 La6 » °° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 12¾ be a super matrix ®« » ° « La7 La8 La9 » ° °« L ° » La11 La12 ¼ ¯° ¬ a10 ¿° vector space of refined labels over the field LR. Consider W1 = § La ½ 0 0· °¨ 1 ° ¸ 0 0¸ °°¨ L a2 °° L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V, be a super matrix row ®¨ ¸ °¨ 0 La 3 0 ¸ ° °¨ 0 ° ¸ 0 0¹ °¯© °¿ vector subspace of V over LR. § 0 La 0 · ½ 3 °¨ ° ¸ 0 0¸ °°¨ 0 °° W2 = ®¨ L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V, ¸ 0 0¸ °¨ La1 ° °¨ L ° ¸ 0 0 ¹ °¯© a2 °¿

140

§ 0 °¨ °°¨ 0 W3 = ®¨ °¨ 0 °¨ 0 ¯°©

½ 0 L a1 · ° ¸ 0 L a2 ¸ °° L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 2 ¾ ⊆ V, ¸ 0 0 ¸ ° ° ¸ 0 0 ¹ ¿°

§ 0 0 °¨ °°¨ 0 L a1 W4 = ®¨ °¨ 0 0 °¨ 0 0 ¯°©

½ 0 · ° ¸ 0 ¸ °° Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 2¾ ⊆ V and ¸ La 2 ¸ ° ° ¸ 0 ¹ ¿°

§ 0 0 °¨ °°¨ 0 0 W5 = ®¨ °¨ 0 0 °¨ 0 L a1 °¯©

½ 0 · ° ¸ 0 ¸ °° Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 2¾ ⊆ V, be super matrix ¸ 0 ¸ ° ° ¸ La 2 ¹ °¿ 5

vector subspaces of V over LR. We see clearly V =

and

i =1

§ 0 0 0· ¨ ¸ 0 0 0¸ if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 5. Thus V is the direct Wi ∩ Wj = ¨ ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ © 0 0 0¹ sum of super matrix vector subspaces of V over LR.

Example 4.45: Let V = § L ½ La 2 L a3 La 4 L a5 L a6 La7 · °°¨ a1 °° ¸ ®¨ L a8 La9 L a10 La11 L a12 La13 La14 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 21¾ ¸¸ °¨¨ ° °¯© La15 La16 La17 La18 L a19 L a 20 La 21 ¹ °¿ be a super row vector, vector space of refined labels over LR.

141

Consider § L ½ 0 0 0 0 0 0· °°¨ a1 °° ¸ W1 = ®¨ L a2 0 0 0 0 0 0 ¸ L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V, ¸ °¨¨ ° L 0 0 0 0 0 0 ¸¹ ¯°© a3 ¿° § 0 L a1 °°¨ W2 = ®¨ 0 L a2 °¨¨ 0 La3 ¯°©

½ 0 0 0 0 0· °° ¸ 0 0 0 0 0 ¸ L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V, ¸ ° 0 0 0 0 0 ¸¹ ¿°

§ 0 0 L a1 °°¨ W3 = ®¨ 0 0 0 °¨¨ 0 0 L a3 ¯°© § 0 0 0 °°¨ W4 = ®¨ 0 0 L a1 °¨¨ 0 0 0 ¯°©

La 2 0 La 4

½ 0 0 0· °° ¸ 0 0 0 ¸ L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ ⊆ V, ¸ ° 0 0 0 ¸¹ ¿°

La 3

La 2

L a4

La5

½ 0 0· °° ¸ 0 0 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5¾ ⊆ V, ¸ ° 0 0 ¸¹ ¿°

§ 0 0 0 0 0 L a1 °°¨ W5 = ®¨ 0 0 0 0 0 La 2 °¨¨ 0 0 0 0 0 L a3 ¯°©

½ 0· °° ¸ 0 ¸ L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V and ¸ ° 0 ¸¹ ¿°

§ 0 0 0 0 0 0 L · ½ a1 °°¨ °° ¸ W6 = ®¨ 0 0 0 0 0 0 La 2 ¸ L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V be ¸ °¨¨ ° 0 0 0 0 0 0 L a3 ¸¹ ¯°© ¿° super row vector, vector subspaces of V over the field LR.

142

Clearly V =

and Wi ∩ Wj =

i =1

§ 0 0 0 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ; if i ≠ j. Thus we see V is a direct ¨ 0 0 0 0 0 0 0¸ © ¹ sum of super row vector subspace of V over LR.

Example 4.46: Let V = § L a L a ½ La 3 La 4 · 2 °¨ 1 ° ¸ °°¨ La 5 La6 L a7 La8 ¸ °° Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ be a super ®¨ L ¸ °¨ a9 La10 La11 La12 ¸ ° ¸ °¨ L a ° L L L a14 a15 a16 ¹ ¯°© 13 ¿° matrix vector space of refined labels over LR. § La 0 0 0 · ½ °¨ 1 ° ¸ °°¨ L a2 0 0 0 ¸ °° Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V, Consider W1 = ®¨ ¸ °¨ La3 0 0 0 ¸ ° °¨ 0 0 0 0 ¸ ° ¹ ¯°© ¿° § 0 °¨ °°¨ 0 W2 = ®¨ °¨ 0 °¨ La ¯°© 1 § 0 °¨ °°¨ 0 W3 = ®¨ °¨ 0 °¨ 0 ¯°©

½ 0 · ° ¸ 0 0 ¸ °° L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ ⊆ V, ¸ 0 0 ¸ ° ° 0 La 4 ¸ ¹ ¿° 0

0 L a2 La3 0

0 L a1

½ La 2 · ° ¸ L a3 ¸ °° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ ⊆ V; ¸ La 4 ¸ ° ° 0 ¸ ¹ ¿°

143

§ 0 La 1 °¨ °°¨ 0 L a2 W4 = ®¨ °¨ 0 0 °¨ 0 0 ¯°©

0 0 La3 0

½ 0· ° ¸ 0¸ °° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V and ¸ 0¸ ° ° 0¸ ¹ ¿°

§ 0 0 L a 0 · ½ 1 °¨ ° ¸ °°¨ 0 0 L a 2 0 ¸ °° Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V W5 = ®¨ ¸ °¨ 0 0 0 0 ¸ ° °¨ 0 0 0 0 ¸ ° ¹ ¯°© ¿° be super matrix vector subspaces of V over the refined field LR.

§0 0 ¨ 0 0 Clearly V = Wi and Wi ∩ Wj = ¨ ¨0 0 i =1 ¨ ¨0 0 © 1 ≤ i, j ≤ 5. Thus V is the direct sum of super of V over LR. 5

0 0· ¸ 0 0¸ if i ≠ j, 0 0¸ ¸ 0 0 ¸¹ vector subspaces

Now having seen the concept of direct sum we now proceed onto give examples of pseudo direct sum of subspaces. Example 4.47: Let V = § L ½ La 2 La3 L a4 La5 · °°¨ a1 °° ¸ ®¨ L a6 La7 La8 La9 La10 ¸ L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 15¾ be a super ¸ °¨¨ ° L La12 La13 La14 La15 ¸¹ ¯°© a11 ¿° row vector, vector space of refined labels over LR.

144

Consider § L °°¨ a1 W1 = ®¨ L a2 °¨¨ L ¯°© a3 § 0 °°¨ W2 = ®¨ 0 °¨¨ L ¯°© a1 § 0 °°¨ W3 = ®¨ 0 °¨¨ L ¯°© a1 § 0 °°¨ W4 = ®¨ L a1 °¨¨ 0 ¯°©

½ 0 · °° ¸ 0 0 ¸ L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 5¾ ⊆ V, ¸ ° 0 La 5 ¸¹ ¿°

0 La 4 0

La 3

L a2

½ 0 · °° ¸ 0 0 ¸ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V, ¸ ° 0 La 4 ¸¹ ¿° 0

L a4

½ 0 0 0· °° ¸ 0 0 0 ¸ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V, ¸ ° 0 0 0 ¸¹ ¿°

La2

La 3

La 4

L a2 La3

½ La5 · °° ¸ 0 ¸ Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 6¾ ⊆ V and ¸ ° La6 ¸¹ ¿°

§ 0 L ½ La3 0 0 · a2 °°¨ °° ¸ W5 = ®¨ 0 0 La 4 La5 La 6 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ V are ¸ °¨¨ ° L 0 La 7 La8 La 9 ¸¹ ¯°© a1 ¿° super row vector subspaces of V over LR. 5

We see clearly V =

and Wi ∩ Wj ≠

i =1

§0 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 0 0 0 0 ¸ if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 5. ¨0 0 0 0 0¸ © ¹

Thus V is not the direct sum of super row vector subspaces of V but only a pseudo direct sum of super row vector subspaces of V over LR.

145

Example 4.49: Let V = § La °¨ 1 °¨ La 4 °¨ °¨ La 7 °¨ L °¨ a10 °¨ ® La13 °¨ L °¨ a16 °¨ L °¨ a19 °¨ L a22 °¨ °¯¨© L a25

La 2 La5 La8 La11 La14 L a17 L a 20 La 23 L a 26

½ La 3 · ° ¸ La 6 ¸ ° ° ¸ La9 ¸ ° ° La12 ¸ ° ¸ ° La15 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 27 ¾ ¸ ° La18 ¸ ° ¸ ° La 21 ¸ ° ° La 24 ¸ ¸ ° La 27 ¸¹ °¿

be a super column vector, vector space of refined labels over LR. § La °¨ 1 °¨ 0 °¨ °¨ L a4 °¨ 0 °¨ ° Consider W1 = ®¨ 0 °¨ L °¨ a7 °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¨ °¯¨© 0

La 2 0 L a5 0 0 La8 0 0 0

½ La 3 · ° ¸ 0 ¸ ° ° ¸ La 6 ¸ ° ° ¸ 0 ° ¸ ° 0 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ V, ¸ ° La9 ¸ ° ¸ ° 0 ¸ ° ° 0 ¸ ¸ ° 0 ¸¹ °¿

146

§ La °¨ 1 °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¨ 0 °¨ ° W2 = ®¨ 0 °¨ 0 °¨ °¨ L °¨ a4 °¨ 0 °¨ °¯¨© L a7 § La °¨ 1 °¨ L a2 °¨ °¨ 0 °¨ L °¨ a6 ° W3 = ®¨ 0 °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¨ °¯¨© 0

0 0 La 2 0 0 0 L a5 0 La8 0 La3 L a5 La 7 0 0 0 0 0

½ 0 · ° ¸ 0 ¸ ° ° ¸ 0 ¸ ° ° ¸ 0 ° ¸ ° 0 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ V, ¸ ° La 3 ¸ ° ¸ ° La 6 ¸ ° ° 0 ¸ ¸ ° La9 ¸¹ °¿ ½ 0 · ° ¸ La 4 ¸ ° ° ¸ 0 ¸ ° ° L a8 ¸ ° ¸ ° 0 ¸ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 8¾ ⊆ V, ¸ ° 0 ¸ ° ¸ ° 0 ¸ ° ° 0 ¸ ¸ ° 0 ¸¹ °¿

147

§ La °¨ 1 °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¨ 0 °¨ ° W4 = ®¨ L a4 °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¨ °¯¨© 0

0 0 0 0 La 5 0 0 0 0

½ 0 · ° ¸ La 2 ¸ ° ° ¸ 0 ¸ ° ° ¸ La3 ° ¸ ° La 6 ¸ L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆ V and ¸ ° 0 ¸ ° ¸ ° 0 ¸ ° ° 0 ¸ ¸ ° La 7 ¸¹ °¿

§ La ½ 0 0 · °¨ 1 ° ¸ 0 L a2 ¸ °¨ 0 ° °¨ ° ¸ 0 0 ¸ °¨ La3 ° °¨ 0 L ° ¸ 0 a4 °¨ ° ¸ ° ° 0 La5 ¸ L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 11¾ ⊆ V are super W5 = ®¨ 0 ¸ °¨ 0 L ° 0 ¸ a6 °¨ ° ¸ °¨ L ° 0 0 ¸ °¨ a7 ° °¨ La8 La 9 La10 ¸ ° ¸ °¨ ° 0 0 ¸¹ °¯¨© L a11 °¿ column vector, vector subspaces of V over LR.

148

ª0 «0 « «0 « «0 5 Clearly V = Wi and Wi ∩ Wj ≠ « 0 « i =1 «0 «0 « «0 «0 ¬

j ≤ 5.

0 0º 0 0 »» 0 0» » 0 0» 0 0 » if i ≠ j, 1 ≤ i, » 0 0» 0 0» » 0 0» 0 0 »¼

Thus V is only a pseudo direct sum of super column vector, vector subspaces of V over LR. Example 4.49: Let V = § La ½ La 2 La 3 L a 4 · °¨ 1 ° ¸ °¨ La5 La 6 La7 La8 ¸ ° °¨ ° ¸ °¨ L a9 La10 La11 La12 ¸ ° ®¨ L ¸ L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 24 ¾ be a super L L L a14 a15 a16 °¨ a13 ° ¸ °¨ L a ° ¸ L L L a a a 18 19 20 °¨ 17 ° ¸ °¨ La 21 La 22 La 23 La 24 ¸ ° ¹ ¯© ¿ matrix vector space of refined labels over LR. Consider W1 = § La 0 0 La · ½ 3 °¨ 1 ° ¸ °¨ L a2 0 0 L a4 ¸ ° °¨ ° ¸ °¨ 0 0 0 0 ¸ ° ®¨ 0 0 0 0 ¸ Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V, °¨ ° ¸ °¨ 0 0 0 0 ¸ ° °¨ ° ¸ °¨ 0 0 0 0 ¸ ° ¹ ¯© ¿

149

§ L a °¨ 1 °¨ 0 °¨ °¨ 0 W2 = ®¨ °¨ 0 °¨ 0 °¨ °¨ 0 ¯©

La2

L a3

La4

L a5

§ 0 °¨ °¨ La1 °¨ °¨ 0 W3 = ®¨ °¨ 0 °¨ 0 °¨ °¨ L a5 ¯©

La 2

L a3

La 6

§ La °¨ 1 °¨ 0 °¨ °¨ La 4 W4 = ®¨ °¨ La5 °¨ L a °¨ 6 °¨ 0 ¯©

La 2

§ La °¨ 1 °¨ 0 °¨ °¨ L a2 W5 = ®¨ °¨ 0 °¨ 0 °¨ °¨ La3 ¯©

La 9

La 4

L a5

La 6

La 7

0 0 0 0 0

½ 0 · ° ¸ L a6 ¸ ° ° ¸ 0 ¸ ° L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ ⊆ V, ¸ 0 ° ¸ ° 0 ¸ ° ¸ ° 0 ¸ ¹ ¿ ½ L a4 · ° ¸ 0 ¸ ° ° ¸ 0 ¸ ° Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆ V, ¸ 0 ° ¸ ° 0 ¸ ° ¸ ° L a7 ¸ ¹ ¿

½ 0 La 3 · ° ¸ 0 0 ¸ ° ° ¸ 0 La7 ¸ ° L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ V, 0 L a8 ¸ a i ° ¸ ° 0 La9 ¸ ° ¸ ° 0 0 ¸ ¹ ¿ ½ 0 · ° ¸ L a10 ¸ ° ° ¸ 0 ¸ ° L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ ⊆ V, and 0 ¸ ai ° ¸ ° 0 ¸ ° ¸ ° La8 ¸ ¹ ¿

150

§ La °¨ 1 °¨ 0 °¨ °¨ 0 W6 = ®¨ °¨ L a2 °¨ 0 °¨ °¨ La5 ¯©

La 4

La 6

La 7

L a8

La 3

½ 0 · ° ¸ 0 ¸ ° ° ¸ 0 ¸ ° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9¾ ⊆ V, be super ¸ 0 ° ¸ ° L a9 ¸ ° ¸ ° 0 ¸ ¹ ¿ 6

vector subspace of V over LR. V =

and Wi ∩ Wj ≠

i =1

ª0 «0 « «0 « «0 «0 « 0 ¬«

0 0 0º 0 0 0»» 0 0 0» » if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 6. 0 0 0» 0 0 0» » 0 0 0» ¼

Thus V is a pseudo direct sum of super matrix vector subspaces of V over LR. Now we can as in case of vector spaces define linear transformation, linear operator and projection. This task is left as an exercise to the reader. Also all super matrix vector spaces of refined labels over LR. Example 4.50: Let V and W be two super matrix vector spaces of refined labels over LR, where V = § L a L a ½ La 3 La 4 · 2 °¨ 1 ° ¸ °°¨ La 5 La6 L a7 La8 ¸ °° Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ be a super matrix ®¨ ¸ °¨ La9 La10 La11 La12 ¸ ° °¨ L ° ¸ La14 La15 La16 ¹ ¯°© a13 ¿° vector space of refined labels over LR.

151

Consider W = § ½ · °¨ La1 La 2 La3 L a4 La5 ¸ ° ° ° ®¨ L a6 La7 La8 La9 La10 ¸ L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 15¾ ¸ °¨ ° L L L L L ¨ ¸ a a a a a °¯© 11 °¿ 12 13 14 15 ¹ be a super matrix vector space of refined labels of LR. Define T : V → W by § ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 º · ¨« » ¸ ª L a1 L a 2 ¨ « L a 5 L a 6 L a 7 L a8 » ¸ « T ¨« » ¸ = « La 6 L a7 ¨ « La 9 La10 La11 La12 » ¸ « L La12 ¨ «L » ¸ «¬ a11 L L L a a a a 13 14 15 16 ¼¹ ©¬ Clearly T is a linear transformation of space of refined labels over LR.

La3

La 4

La8

La 9

La13

La14

L a5 º » L a10 » » L a15 » ¼

super matrix vector

Example 4.51: Let V = § La ½ La 2 La3 · °¨ 1 ° ¸ °¨ La 4 L a5 La 6 ¸ ° °°¨ °° ¸ ®¨ La 7 La8 L a9 ¸ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 15¾ be °¨ L ° La11 L a12 ¸ °¨ a10 ° ¸ °¨ L a ° ¸ L L a a 14 15 ¹ °¯© 13 °¿ vector space of refined labels over LR.

Consider T : V → V a map defined by § L a1 ¨ ¨ La 4 ¨ T ¨ La 7 ¨L ¨ a10 ¨ L a13 ©

La 2 L a5 La8 La11 L a14

L a 3 · § L a1 ¸ ¨ La 6 ¸ ¨ 0 L a9 ¸¸ = ¨¨ 0 L a12 ¸ ¨ L a5 ¸ ¨ L a15 ¸ ¨ 0 ¹ © 152

La 2 0 La 4 0 La 7

0 · ¸ La 3 ¸ La 6 ¸¸ 0 ¸ ¸ La8 ¸ ¹

super

matrix

Clearly T is a linear operator on V. § La °¨ 1 °¨ L a4 °°¨ Now consider W = ®¨ L a7 °¨ 0 °¨ °¨ 0 °¯© ⊆ V, W is a super matrix vector over LR. § ª L a1 ¨« ¨ « L a4 ¨« P ¨ « L a7 ¨ «L ¨ « a10 ¨ « La © ¬ 13

La2 La5 La8 L a11 La14

½ La 3 · ° ¸ L a5 La 6 ¸ ° ° ¸ La8 La9 ¸ La ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 °¾ i ° 0 0 ¸ ° ¸ ° 0 0 ¸ ¹ °¿ subspace of V of refined labels La 2

L a 3 º · § L a1 »¸ ¨ La 6 » ¸ ¨ La 4 ¸ La9 » ¸ = ¨¨ La 7 » La12 » ¸ ¨ 0 »¸ ¨ La15 » ¸ ¨ 0 ¼¹ ©

La 2 La 5 L a8 0 0

La3 · ¸ L a6 ¸ La9 ¸¸ . 0 ¸ ¸ 0 ¸ ¹

It is easily verified that P is a projection of V to W and P (W) ⊆ W; with P2 = P on V. We can as in case of super row vector space derive all the related theorems given in this chapter with appropriate modifications and this work can be carried out by the reader. However we repeatedly make a mention that super matrix linear algebra of refined labels cannot be constructed as it is not possible to get any collection of multiplicative wise compatible super matrices of labels. Now we proceed onto define the notion of linear functional of refined labels LR. Here once again we call that the refined labels LR is isomorphic with R. So we can take the refined labels itself as a field or R as a field.

153

Let V be a super matrix vector space of refined labels over LR. Define a linear transformation from V into the field of refined labels called the linear functional of refined labels on V. If f : V → LR then f (Lc α + β) = Lc f (α) + f (β) where α, β ∈ V and Lc ∈ LR. We will first illustrate this concept by some examples. ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 8¾ be a super Example 4.52: Let V = ® °« L a5 » ° °« L » ° °« a 6 » ° ° « La » ° °« 7 » ° °«¬ La8 »¼ ° ¯ ¿ column vector space of refined labels over the field of refined labels LR. ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » T = (« 4 » ) « L a5 » « » « L a6 » «L » « a7 » «L » ¬ a8 ¼

= La1 + ... + La8

= La1 + a 2 +...+ a8 ∈ LR. T is a linear functional on V.

154

Infact the concept of linear functional can lead to several interesting applications. ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« » ° Example 4.53: Let V = ® La 4 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ be a super « » ° L ° °« a5 » ° °« L » ° °« a 6 » ° °«¬ La 7 »¼ ° ¯ ¿ column vector space of refined labels over LR.

Define f : V → LR by ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » f ( « L a 4 » ) = L a1 + L a 2 + L a 3 « » « L a5 » « » « L a6 » «L » ¬ a7 ¼

= La1 + a 2 + a3 ∈ LR. f is a linear functional on V. Consider f1 : V → LR by

155

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » f1 ( « La 4 » ) = La4 ; f1 is also a linear functional on V. We « » « L a5 » « » « L a6 » «L » ¬ a7 ¼

can define several linear functional on V. ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » Consider f2 ( « La 4 » ) = La1 + La 4 + La 7 « » « L a5 » « » « L a6 » «L » ¬ a7 ¼

= La1 + a 4 + a7 ∈ LR; f2 is a linear functional on V. We see all the three linear functionals f1, f2 and f are distinct. Example 4.54: Let V =

{( L

La 2

La 3

La 4

La5

L a6

La 7

La8

)

}

Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 8

be a super row vector space of refined labels over LR. Define f : V → LR by

(

f ( L a1

La2

La 3

La 4

La 5

La 6

La 7

= L a1 + L a 2 + L a 4 + L a 7 = La1 + a 2 + a 4 + a 7 ; f is a linear functional on V. We can define several linear functional on V.

156

)

La 8 )

Example 4.55: Let V = ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 La 6 » ° °« ° » ° « La7 L a8 L a9 » ° °« L ° » La11 L a12 °« a10 ° » °« L a ° L L » a14 a15 ° 13 ° » Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 30 ¾ be a super column ®« °« La16 La17 La18 » ° » °« L ° L L a 20 a 21 » °« a19 ° » ° « La ° L L a a 23 24 » °« 22 ° °« La 25 La 26 L a27 » ° » °« ° L La 29 La30 »¼ ¯°«¬ a 28 ¿° vector, vector space of refined labels over LR, the field of refined labels. Define f : V → LR by ª La1 La 2 La3 º « » « La 4 La 5 La 6 » «L L a8 L a9 » « a7 » « La » L L a a 11 12 « 10 » « L a13 La14 L a15 » f( « ») « La16 La17 L a18 » «L » « a19 La 20 La 21 » «L L a23 L a24 » « a 22 » « La 25 La 26 La 27 » « » «¬ La 28 La 29 La30 »¼ = La1 + La5 + L a7 + La11 + La13 + L a17 + La19 + L a23 + La 29

= La1 + a5 + a 7 + a11 + a13 + a17 + a19 + a 23 + a 29 , f is a linear functional on V.

157

Example 4.56: Let V = ª La La L a La ½ L a17 L a21 º 5 9 13 °« 1 ° » °°« La 2 La 6 L a10 L a14 La18 La 22 » °° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 24¾ be a ®« » °« L a3 La 7 La11 La15 La19 La 23 » ° °« L ° » L a8 L a12 L a16 L a 20 La 24 ¼ ¯°¬ a 4 ¿° super row vector space of refined labels over LR. Consider f : V → LR by L ª a1 La 5 L a9 La13 La17 L a 21 º « » « La 2 La 6 L a10 La14 La18 La 22 » f (« ) = La1 + La6 + La11 + L a24 La3 La 7 La11 La15 La19 La 23 » « » « La L a L a » L L L a a a 8 12 16 20 24 ¼ ¬ 4 = La1 + a 6 + a11 + a24 is a linear functional on V. Example 4.57: Let V = ª L a ½ La 2 L a3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 La 6 » ° °°« °° » ®« La7 L a8 La 9 » Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 15¾ be a super matrix °« L ° La11 L a12 » °« a10 ° » °« L a ° L L » a a 14 15 ¼ °¯¬ 13 °¿ super vector space of refined labels over LR, the refined field of labels. Define f : V → LR by ª L a1 « « La 4 « f ( « La 7 « La « 10 « L a13 ¬

La 2 La 5 L a8 La11 La14

L a3 º » La 6 » La 9 » ) » L a12 » » L a15 » ¼

158

= La1 + La5 + L a7 + La11 + L a6 + La12 + L a13 = La1 + a5 + a7 + a11 + a 6 + a12 + a13 ; f is a linear functional on V. We as in case of vector space define the collection of all linear functionals on V, V a super matrix vector space over LR as the dual space and it is denoted by L (V, LR). Here we define Lδij = 0 if i ≠ j if i = j then Lδij = Lm+1. Using this convention we can prove all results analogous to L (V, F), F any field.

{( L

For instance if V = a1

La 2

L a3

La 4

)

}

L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 4

be a super row

vector space of refined labels over LR then B = {(Lm+1 | 0 | 0 0) = v1, v2 = (0 | Lm+1 | 0 0), v3 = (0 | 0 | Lm+1 | 0), v4 = (0 | 0 | 0 Lm+1)} ⊆ V is a basis of V over LR. Define fi (vj) = Lδij ; 1 ≤ i, j ≤ 4; (f1, f2, f3, f4) is a basis of L (V, LR) over LR. We as in case of usual vector spaces define if f : V → LR is a linear functional on super vector space of refined labels with appropriate modifications then null space of f is of dimension n – 1. It is however pertinent to mention here that we may have several super vector spaces of dimension n which need not be isomorphic as in case of usual vector spaces with this in mind we can say or derive results with suitable modifications. However for any super matrix vector space V of refined labels over LR the refined hyper super space of V as a super subspace of dimension n – 1 where n is the dimension of V.

159

°§ L a La · ½° 2 Consider V = ®¨ 1 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4¾ be a super ¨L La 4 ¸¹ ¯°© a 3 ¿° matrix vector space of dimension four over the refined field LR. °§ La L a · ½° 1 2 Consider W = ®¨ ¸ Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V, W is ¨ 0 La ¸ 3 ¹ ¯°© ¿° the hyper super space of V and dimension of W is three over LR. ª L a º ½ °« 1 » ° °« La 2 » ° °« ° » °« La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° °« La » ° ° 5 ° » L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ be a super Example 4.58: Let V = ®« L °« a 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° ° « L a8 » ° » °« ° °« La9 » ° » °« ° °¯«¬ La10 »¼ °¿

column vector space of dimension 10 over the field LR of refined labels.

160

ª La º ½ °« 1 » ° °« La 2 » ° °« » ° °« La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° °« 0 » ° ° ° Consider M = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ V is a hyper °« L a5 » ° °« L » ° °« a 6 » ° °« La 7 » ° °« » ° °« La8 » ° °« » ° °¯«¬ L a9 »¼ °¿ super space of refined labels of V over LR. Infact V has several hyper super spaces.

Example 4.59: Let V = ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » °« La 4 L a5 L a6 » ° °« ° » °« La7 La8 L a9 » ° Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 18¾ ®« » L L L a11 a12 °« a10 ° » °« L ° L a14 La15 » °« a13 ° » °« La ° L L a17 a18 ¼ » ¯¬ 16 ¿ vector space of refined labels over LR.

be a super matrix

ª 0 ½ L a1 L a 2 º °« ° » °« La 3 La 4 L a5 » ° °« ° » °« La 6 La 7 La8 » ° Consider W = ® Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 17 ¾ ⊆ V, « La La » La11 °« 9 ° 10 » °« L ° L L a13 a14 » °« a12 ° » °« La ° L L a16 a17 ¼ » ¯¬ 15 ¿ be a super matrix vector subspace of V over LR.

161

Clearly W is a hyper super space of refined labels over LR of V. Dimension of V is 18 where as dimension of W over LR is 17. Let V be a super vector space of refined labels over LR. S be a subset of V, the annihilator of S is the set So of all super linear functionals f on V such that f (α) = 0 for every α ∈ S. Let V =

{ª¬L

L a2

}

La 3 º¼ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 3

be a super

row vector space of refined labels over LR. We will only make a trial.

{

Suppose W = ª¬ L a1

0 0º¼ La i ∈ L R

} ⊆ V be a subset of

V. Define f : V → V by

(

f ( L a1

)

( 0) )

0 0 ) = ( 0 0 0 ) every L a1

(

W = {f ∈ L (V, LR) | f ( L a1 o

= ( 0 0 0 ) for every La1 ∈ LR}.

)

0 0 ∈ W.

We see Wo is a subspace of L (V, LR) as it contains only f and fo the zero function. However one has to study in this direction to get analogous results. We will give some more examples. Consider K = ª L a La 2 L a3 La 4 °« 1 °° « La 6 La 7 La8 La 9 ®« ° « La11 La12 L a13 La14 °« L °¯ ¬ a16 La17 L a18 La19 be a super matrix vector field LR.

½ L a5 º ° » L a10 » °° ∈ ≤ ≤ L L ;1 i 20 ¾ a R i L a15 » ° » ° L a20 »¼ °¿ space of refined labels over the

162

ª 0 °« °« 0 ®« °« 0 °« L ¯¬ a 2

Let S =

0 0 L a1 0

0 0 0º ª L a1 » « 0 0 0» « La 3 , 0 0 0» « 0 » « 0 0 0»¼ «¬ 0

0 0 0º » 0 0 0» , 0 0 0» » 0 0 0 »¼

La 2 La 4 0 0

ª 0 0 L a1 L a 2 L a 3 º ½ « »° 0 0 »° «0 0 0 ¾ where La i ∈ LR; 1 ≤ i ≤ 4} ⊆ V be a «0 0 0 0 0 »° « » «0 0 0 0 0 »¼ ° ¬ ¿ proper subset of V. Clearly S is not a super vector subspace of V it is only a proper subset of V.

Define fi : V → V as follows: ª L a1 « « La 6 f1 ( « L « a11 « La ¬ 16 ª 0 « « 0 = « L « a5 « 0 ¬ ª L a1 « « La 6 f2 ( « L « a11 « La ¬ 16

La 2

La3

La 4

La 7

La8

L a9

L a12

La13

L a14

La17

La18

L a19

L a12

La13

L a15

L a16

La8

L a18

L a19

La 2

La3

La 4

La 7

La8

L a9

L a12

La13

L a14

La17

La18

L a19

La5 º » L a10 » ) La15 » » L a 20 »¼ 0 º » L a14 » , L a17 » » L a20 »¼ La5 º » L a10 » )= La15 » » L a 20 »¼

163

ª0 « «0 «0 « «0 ¬

0 La8 0

0 0º » 0 0» , 0 0» » 0 0 »¼

ª L a1 L a 2 L a 3 « La 7 La8 « La f3 ( « 6 L L a12 La13 « a11 « La ¬ 16 La17 La18 0 ª0 0 0 « « 0 0 La18 La19 =« 0 0 0 0 « «0 0 0 0 ¬ ª L a1 L a 2 L a 3 « « La 6 La 7 La8 f4 ( « L L a12 La13 « a11 « La ¬ 16 La17 La18 ª0 « «0 «0 « «0 ¬

0 L a1

La 2

0 La 4

La 5

La 4 L a9 L a14 L a19 0º » 0» , 0» » 0 »¼ La 4 L a9 L a14 L a19

La5 º » L a10 » ) La15 » » L a 20 »¼

La5 º » L a10 » )= La15 » » L a 20 »¼

0 º » 0 » and so on. La3 » » L a6 »¼

We see f1, f2, f3 and f4 are defined such that fi (x) = §0 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 0 0 0 0 ¸ for every x ∈ S, 1 ≤ i ≤ 4. Now having seen ¨0 0 0 0 0¸ ¨ ¸ ©0 0 0 0 0¹ how So looks like we can give a subspace structure of L (V, LR). We can as in case of usual vector space derive properties related with the dual super space and properties enjoyed by the super linear functionals or linear functionals on super matrix vector spaces of refined labels. The only criteria being LR is isomorphic to R. Also we have the properties used in the super linear algebra regarding super vector spaces [47].

164

In this chapter we for the first time introduce the notion of super semivector space of refined labels. We have defined the notion of semigroup of refined labels. Also we have seen the set of labels La â&#x2C6;&#x2C6; L R + â&#x2C6;Ş{0} forms a semifield of refined labels. Also LQ+ â&#x2C6;Ş{0} is again a semifield of refined labels. We would be using the semifield of refined labels to build super semivector spaces of different types. Let M=

{( L

La 2

La 3

}

Lai â&#x2C6;&#x2C6; L R + â&#x2C6;Ş{0} ;1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n

La 4

L a5

L a6

... La n â&#x2C6;&#x2019;1

La n

)

the collection of all super row

vectors of refined labels. Clearly M is a semigroup under addition. We see M is infact only an infinite commutative semigroup under the operation of addition. Clearly M is not a group under addition. Further we cannot define product on M as it is not compatible

165

under any form of product being a super row vector. We know L R + ∪{0} and LQ+ ∪{0} are semifields. Now we can define super semivector space of refined labels. DEFINITION 5.1: Let V=

{( L

)

La2 La3 La4 La5 La6 ... Lan−1 Lan Lai ∈ LR+ ∪{ 0 } ;

1 ≤ i ≤ n} be a semigroup under addition with ( L0 L0 L0 L0 L0 L0 L0 L0 L0 ) as the zero row vector of refined labels. V is a super semivector space of refined labels over LR+ ∪{ 0 } ; the semifield of refined labels isomorphic with R+ ∪ {0}. We will first illustrate this situation by some simple examples. Example 5.1: Let V=

{( L

La 2

La 3

}

)

La 4 Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 4

be a super semivector space of refined labels over the semifield L R + ∪{0} . Example 5.2: Let V=

{( L

La 2

La 3

La 4

La5

L a6

La 7

La8

La 9

La10

}

)

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10 be a super semivector space of refined

labels over the semifield L R + ∪{0} . We also call V to be a super row semivector space of refined labels. Since from the very context one can easily understand we do not usually qualify these spaces by row or column. Example 5.3: Let S=

{( L

)

}

L a 2 La3 L a4 La5 L a6 La7 L ai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7

be a super semivector space of refined labels over the semifield L R + ∪{0} .

166

Example 5.4: Let M =

{( L

La 2

La 3

La 4

L a5

}

)

L a6 Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6

be a super semivector space of refined labels over the semifield LQ+ ∪{0} . Example 5.5: Let V=

{( L

La 2

L a3

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9

La4

La5

La 6

La7

La8

La 9

)

be a super semivector space of refined

labels over LQ+ ∪{0} the semifield of refined labels isomorphic with Q+ ∪ {0}. Example 5.6: Let

{(

}

)

K = La1 La2 La3 La4 La5 La6 La7 La8 Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8

be a super semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} . Clearly K is not a super semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . Example 5.7: Let

{( L

L a2 La3 L a4 La5 L a6 La7 La8 L a9 L a10

}

)

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10 be a super semivector space of refined

labels over LQ+ ∪{0} . It is pertinent to mention here that it does not make any difference whether we define the super semivector space over R+ ∪ {0} or L R + ∪{0} (or Q+ ∪ {0} or LQ+ ∪{0} ) as R+ ∪ {0} is isomorphic to L R + ∪{0} (Q+ ∪ {0} is isomorphic with LQ+ ∪{0} ).

We can as in case of semivector spaces define substructures on them. This is simple and so left as an exercise to the reader. We give some simple examples of substructures and illustrate their properties also with examples.

167

Example 5.8: Let

{( L

La 2

L a3

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9

La4

La5

La 6

La7

La8

La 9

)

be a super semivector space of refined

labels over L R + ∪{0} . Consider M=

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

}

)

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 5 ⊆ V, M is a super semivector subspace

of V over the semifield L R + ∪{0} . Example 5.9: Let

{( L

La 2 La 3 La 4 L a5 La 6 L a7 La8 La 9 La10 L a11

}

)

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 11 be a super semivector space of refined

labels over the semifield L R + ∪{0} . Consider W=

{( L

La 2 La3 L a4 La 5 La 6

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6

)

⊆ V, is a super semivector subspace of

V over the refined label semifield L R + ∪{0} . Example 5.10: Let

{( L

La2 La3 La4 La5 La6 La7 La8 La9 La10 La11 La12

}

)

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 12 be a super semivector space of refined

labels over the semifield LQ+ ∪{0} . Consider W=

{( L

La2 La3 La4 La5 La6 La7 La8 La9 La10 La11 La12

}

)

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 12 ⊆ V; W is a super semivector subspace

of V of refined labels over the semifield LQ+ ∪{0} .

168

Example 5.11: Let

{( L

La 2

L a3

La 4

}

)

La 6 Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6

La5

be a super semivector space of refined labels over the semifield LQ+ ∪{0} . Consider

{(

}

)

M = La1 0 La2 0 La3 0 Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 3

⊆ V, is a super semivector subspace of V of refined labels over LQ+ ∪{0} . Now having seen super semivector subspaces of a super semivector space we can now proceed onto give examples of the notion of direct sum and pseudo direct sum of super semivector subspaces of a super semivector space. Example 5.12: Let

{( L

}

)

L a2 La3 La 4 L a5 La 6 L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6

be a super semivector space of refined labels over the semifield of refined labels L R + ∪{0} . Consider

{( L M = {( 0

M1 = 2

and M3 =

{( 0

L a1

) )L

} ;1 ≤ i ≤ 2} ⊆ V,

0 0 0 Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V,

0 La 2

0 0 0 La 2

0 0 L a1

La 2

)

∈ LR + ∪{0}

}

0 Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V

be three super semivector subspace of V of refined labels over 3

L R + ∪{0} . Clearly V =

with Mi ∩ Mj = {(0 0 0 | 0 0 | 0)} if

i =1

i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 3. Thus V is a direct sum super semivector subspaces M1, M2 and M3 of V.

169

Example 5.13: Let

{( L

La2

L a3

La4

La5

La 6

La 7

L a8

L a9

L a10

}

)

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10 be a super semivector space of refined

labels over LQ+ ∪{0} . Take

{( L 0 0 0 L W = {( 0 0 0 0 0 L W = {( 0 L L L W1 =

and W4 =

)

} ;1 ≤ i ≤ 3} ⊆ V, ;1 ≤ i ≤ 3} ⊆ V

0 0 0 0 0 L a i ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V,

L a2 La3 0 0 Lai ∈ LQ+ ∪{0}

0 0 0 0 0

{(0 0 0 0 0 0 0 0 L

) 0) L

∈ LQ+ ∪{0}

}

)

L a 2 L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V;

be super semivector subspaces of V over the refined label 4

semifield LQ+ ∪{0} . We have V =

with Wi ∩ Wj = {(0 0 0

i =1

0 | 0 | 0 0 | 0 0 0)} if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 4. Thus V is a direct sum super semivector subspaces W1, W2, W3 and W4. Example 5.14: Let

{( L

La2 La3 La4 La5 La6

L a 7 L a 8 L a 9 L a10 L a11 L a12 L a13 L a14

}

)

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 14 be a super semivector space of refined

labels over the semifield of refined labels L R + ∪{0} . Consider W1 =

W2 =

{( L

0 0 La 2 La 3 L a 4 0 0 0 0 0 0 0 La 5

{( 0 L

}

)

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 5 ⊆ V, a1

La 2 L a3 0 La 4 0 0 L a5 La 6 0 0 0 0

170

)

W3 =

W4 =

{( L

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6 ⊆ V, 0 0 0 L a2 La3 La 4 0 0 La5 0 0 La 7 La 6

}

)

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7 ⊆ V, a1

L a2 0 0 0 0 La3 La 4 L a5 La 6 La 7 0 La 7 0

}

)

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8 ⊆ V

and W5 =

{( 0 L

0 La 2 0 La3 La 4 0 L a5 0 La 6 La 7 La8 0

}

)

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8 ⊆ V

be super semivector subspaces of V of refined labels over 5

L R + ∪{0} . We see V =

but Wi ∩ Wj ≠ {(0 | 0 0 | 0 0 0 | 0 0

i =1

0 0 | 0 0 | 0 0)} if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 5. Thus we see V is only a pseudo direct sum of super semivector subspaces of V over LR and is not a direct sum of super semivector subspaces of V over LR. Example 5.15: Let V=

{( L

}

)

La 2 La 3 L a4 La5 L a6 L a7 La8 L ai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8

be a super semivector space of refined labels over the refined labels semifield LQ+ ∪{0} . Take

{( 0 0 0 L L 0 0 L ) L ∈ L ;1 ≤ i ≤ 3} ⊆ V, ;1 ≤ i ≤ 4} ⊆ V, P = {( L 0 L L 0 L 0 0 ) L ∈ L P = {( L 0 L L 0 L L 0 ) L ∈ L ;1 ≤ i ≤ 5} ⊆ V, ;1 ≤ i ≤ 6} P = {( 0 L L L L 0 L L ) L ∈ L P1 = 2

Q + ∪{0}

171

Q + ∪{0}

and P5 =

{( 0 L

}

)

0 La 2 0 La3 0 La 4 L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 4 ⊆ V

be super semivector subspaces of V of refined labels over 5

LQ+ ∪{0} . We see V =

and Pi ∩ Pj ≠ {(0 | 0 0 | 0 | 0 | 0 | 0

i =1

0 | 0)}, if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 8. Thus V is only a pseudo direct sum of super semivector subspaces P1, P2, …, P5 of V over LQ+ ∪{0} . Now it may so happen sometimes for any given super semivector space V of refined labels over the semifield LQ+ ∪{0} or L R + ∪{0} the given set of super semi vector subspaces of V may not be say as V ≠

Pi only i =1

⊄ V. This situation can

i =1

occur when we are supplied with the semivector subspaces of refined labels. But if we consider the super semivector subspace of refined labels we see that we can have either the direct union or the pseudo direct union. Now we discuss about the basis. Since we do not have negative elements in a semifield we need to apply some modifications in this regard. Let V =

{( L

}

)

L a2 La3 La 4 ... L an La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ n

be a super vector semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . We see B = {[Lm+1 0 | 0 0 | … | 0], [0 Lm+1| 0 0 | … | 0], …, [0 0 | 0 0 | … | Lm+1]} acts as a basis of V over L R + ∪{0} . We define the notion of linearly dependent and independent in a different way [42-45] For if (v1, …, vm) are super semivectors from the super semivector space V over L R + ∪{0} . We declare vi’s are linearly dependent if vi =

¦L

v j ; La j ∈ L R + ∪{0} , 1 ≤ j ≤ m, j ≠ i, other

wise linearly independent. For take V =

{( L

)

}

La 2 La3 La 4 La 5 La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 5 to

be a super semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . Consider (Lm+1 0 | 0 0 | Lm+1) and ( La n 0 | 0 0 | La n ) in V.

172

Clearly ( La n 0 | 0 0 | La n ) = La n (Lm+1 0 | 0 0 | Lm+1) so, the given two super semivectors in V are linearly dependent over L R + ∪{0} . Now consider (Lm+1 0 | 0 0 | 0), (0 0 | La1 0 | 0) and (0 0 | 0 0 | Lb1 ) in V we see this set of super semivectors in V are linearly independent in V over L R + ∪{0} . Thus with this simple concept of linearly independent super semivectors in V we can define a basis of V as a set of linearly independent super semivectors in V which can generate the super semivector space V over L R + ∪{0} . Consider V=

{( L

)

}

La 2 L a 3 L a 4 L a5 L a 6 L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6

to be a super semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . Consider the set B = {(Lm+1 | 0 | 0 0 | 0 0), (0 | Lm+1 | 0 0 | 0 0), (0 | 0 | Lm+1 0 | 0 0), (0 | 0 | 0 Lm+1 | 0 0), (0 | 0 | 0 0 | Lm+1 0), (0 | 0 | 0 0 | 0 Lm+1)} ⊆ V is a set of linearly independent elements of V which generate V. Infact B is a basis of the super semi vector space V over L R + ∪{0} . We can give more examples. We would give the definition of super column vector space of refined labels over L R + ∪{0} . DEFINITION 5.2: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La2 » ° °« ° » ° « La3 » ° V= ® L ∈ LR + ∪{ 0 } ;1 ≤ i ≤ n ¾ « ... » ai °« ° » °« L » ° ° « an−1 » ° ° « La » ° ¯¬ n ¼ ¿ be an additive semigroup of super column vectors of refined labels. Clearly V is a super column semivector space of refined labels over LR.

173

We will illustrate this situation by some examples. Example 5.16: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° L ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ V= ® « La » a i °« 4 » ° °« L » ° °« a5 » ° ° « La » ° ¯¬ 6 ¼ ¿

be a super column semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . Example 5.17: Let ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° °« 5 » ° ° « La 6 » ° °°« L » °° V = ®« a7 » Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 13¾ °« L » ° ° « a8 » ° ° « La » ° °« 9 » ° °« La10 » ° °« ° » °« La11 » ° °« L » ° °« a12 » ° ° « La » ° ¯°¬ 13 ¼ ¿° be a super column semivector space of refined labels over L R + ∪{0} .

174

Example 5.18: Let ª La º ½ °« 1 » ° °« La 2 » ° °« ° » ° « L a3 » ° °« L » ° °« a4 » ° °« La » ° P = °® « 5 » L ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 10 °¾ ai Q ∪{0} °« La 6 » ° °« La » ° °« 7 » ° ° « L a8 » ° » °« ° °« La 9 » ° » °« ° °¯ «¬ L a10 »¼ °¿ be the class of super column semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} . It is to be noted P is not a super column

semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . As in case of general semivector spaces the definition depends on the semifield over which the semivector space is defined. We will illustrate this situation also by some examples. Example 5.19: Let ª La º ½ °« 1 » ° °« La2 » ° °« ° » L ° « a3 » ° °« L » ° °« a4 » ° °° V = °° « L a 5 » » L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ ®« °« La6 » ° °« L » ° °« a7 » ° °« L a » ° 8 » °« ° °« La9 » ° » °« ° °¯ «¬ L a10 »¼ °¿

175

be a super column semivector space of refined labels over the semifield LQ+ ∪{0} . Example 5.20: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° ° P = ®« L a5 » La i ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ « » ° L ° °« a 6 » ° °« L » ° °« a 7 » ° ° « La8 » ° °« » ° °¯«¬ L a9 »¼ °¿ is a super column semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} .

Now we will give examples of basis and dimension of these spaces. Example 5.21: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° ° a4 ° V = ®« » La i ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8¾ L °« a5 » ° °« L » ° °« a 6 » ° ° « La » ° °« 7 » ° °«¬ La8 »¼ ° ¯ ¿ be a super column vector space of refined labels over LQ+ ∪{0} .

176

Consider ª L m +1 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ª 0 º ½ °« »« »« »° » « » « »« »« »« ° « 0 » « L m+1 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » ° ° « 0 » « 0 » «L m +1 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » ° °« »« »« »° » « » « »« »« »« ° « 0 » « 0 » « 0 » « L m+1 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » ° M=® , , »« »« »¾ « » « » « »« »« »« ° « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » «L m +1 » « 0 » « 0 » « 0 » ° ° « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « Lm +1 » « 0 » « 0 » ° °« » « » « »« »« »« »« »« »° ° « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » «L m +1 » « 0 » ° °« 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » « 0 » «L » ° ¼ ¬ ¼ ¬ ¼¬ ¼¬ ¼¬ ¼¬ ¼ ¬ m +1 ¼ ¿ ¯¬ ⊆ V is a basis of V over LQ+ ∪{0} . Example 5.22: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° ° V = ®« L a5 » La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ °« L » ° °« a 6 » ° °« L » ° °« a 7 » ° ° « La8 » ° °« » ° °¯«¬ L a9 »¼ °¿

be a super column semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . Clearly V is of dimension nine over L R + ∪{0} . Consider V as a super column semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} , then we see V is of infinite dimension over LQ+ ∪{0} . This clearly shows that as we change the semifield

over which the super column semivector space is defined is

177

changed then we see the dimension of the space varies as the semifield over which V is defined varies. Example 5.23: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° °« L a3 » ° V = ®« » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6¾ ° « La 4 » ° °« L a » ° °« 5 » ° ° « La 6 » ° ¯¬ ¼ ¿

be a super semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} of dimension six over LQ+ ∪{0} . Clearly V is not defined over the refined label field L R + ∪{0} . Example 5.24: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° M = ®« La3 » La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 5¾ °« L » ° °« a 4 » ° °« L » ° ¯¬ a5 ¼ ¿

be a super column semivector space of refined labels over the field L R + ∪{0} . Clearly M is of dimension five over L R + ∪{0} ; but M is of dimension infinite over LQ+ ∪{0} . Now we proceed onto give examples of linear transformations on super column semivector space of refined labels.

178

Example 5.25: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« » ° V = ® La 4 La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ « » ° L ° °« a5 » ° °« L » ° « a6 » ° ° ° «¬ La 7 »¼ ° ¯ ¿

and ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° °« 5 » ° ° « La 6 » ° °° « °° » W = ®« La7 » L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 13¾ °« L » ° ° « a8 » ° ° « La » ° °« 9 » ° ° « La10 » ° °« ° » ° « La11 » ° °« L » ° ° « a12 » ° °« L a » ° ¯° ¬ 13 ¼ ¿°

be two super column semivector spaces defined over the same semifield LQ+ ∪{0} . Define a map η : V → W given by

179

ª L a1 º « » «La2 » «L » « a2 » § ª L a1 º · « L a » ¨« »¸ « 3 » ¨ « La 2 » ¸ « L a 3 » ¨« »¸ « » ¨ « L a3 » ¸ « La 3 » η ¨ « La 4 » ¸ = «« L a 4 »» . ¨« »¸ ¨ « La » ¸ « L a » ¨« 5 »¸ « 5 » ¨ « La 6 » ¸ « L a 6 » ¨« »¸ « » ¨ La ¸ « L a » 7 ©¬ 7 ¼¹ « » «La7 » «L » « a7 » « L a1 » ¬ ¼ It is easily verified η is a linear transformation of super semivector spaces or super semivector space linear transformation of V to W.

Example 5.26: Let

{

}

V = ª¬ La1 La 2 La 3 La 4 La 5 La 6 L a 7 La 8 º¼ La i ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7

and

ª La º ½ °« 1 » ° °« La 2 » ° °« » ° °« La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° W = °® « L a5 » L ai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 °¾ °« L » ° °« a6 » ° °« L » ° °« a 7 » ° °« La8 » ° °« » ° °¯ «¬ L a9 »¼ °¿

180

be two super semivector spaces of refined labels over LQ+ ∪{0} . Let η: V → W be defined by

(

η ( L a1 La 2 L a3 La 4 La5 La 6 L a7 La8

)

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » « La » « 4» ) = « L a5 » . « » « L a6 » «L » « a7 » «L » « a8 » «¬ 0 »¼

It is easily verified η is a super semivector space linear transformation of V into W. Example 5.27: Let ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° ° 5 ° P = ®« » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10¾ ° « La 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° °« L a » ° °« 8 » ° ° « La9 » ° » °« ° °¯«¬ La10 »¼ °¿

be a super semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} . Consider T : V → V defined by

181

ª L a1 º ª L a1 º « » « » « La 2 » « La 2 » « 0 » «L » « » « a3 » « La » « La » « 4» « 4» « 0 » « La 5 » T (« »; »)= « « L a5 » « La 6 » «L » «L » « a3 » « a7 » « 0 » «L » « a8 » « » « La 9 » « L a6 » « » « » «¬ L a10 »¼ «¬ 0 »¼ T is a linear operator of super semivector spaces. Now having seen examples of linear transformations and linear operators on super column semi vector spaces of refined labels. We proceed onto define super matrix semivector spaces.

DEFINITION 5.4: Let ª La ° « 11 °«L V = ®° « a21 °« °«L °¯ «¬ an1

La12 La22 Lan

... La1 m º » ... La2 m » » L ∈ LR+ ∪{ 0 } ( or LQ + ∪{ 0 } ); » ai » ... Lan » m ¼

1 ≤ i ≤ n and 1 ≤ j ≤ m} be the additive semigroup of super matrices of refined labels. V is a super matrix semivector space of refined labels over LR + ∪{0} . Example 5.28: Let ª La °« 1 ° « L a4 ° M = ®° «« L a 7 ° « L a10 ° « L a13 °« L ¯° ¬« a16

L a2 L a5 L a8 L a11 L a14 L a17

½ L a3 º ° » La6 » ° °° L a9 » » L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 18 ¾ L a12 » ° ° L a15 » » ° L a18 ¼» ¿°

182

be a super matrix semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . M is also known as the super column vector semivector space of refined labels over the field of refined labels L R + ∪{0} . Example 5.29: Let ª ° « L a1 ° V = ® « La 4 °« °¯ «¬ La 7 be the super square over L R + ∪{0} .

½ La3 º ° » ° La 5 L a6 » Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ » ° L a8 L a 9 » °¿ ¼ matrix semivector space of refined labels La 2

Example 5.30: Let ª L a La 2 La 3 °« 1 °°« La10 L a11 La12 W = ®« °« La19 La 20 L a21 °« L °¯¬ a 28 La 29 La 30

L a4

La5

L a6

L a7

La8

La13

La14

La15

La16

La17

La 22

La 23

La 24

La 25

La 26

La31

La32

La 33

La34

La 35

}

La 9 º » La18 » La 27 » » L a36 »¼

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 36 be a super row vector semivector space

of refined labels over L R + ∪{0} or super matrix semivector space of refined labels over L R + ∪{0} . Example 5.31: ª La °« ° « L a9 °« ° « La17 V = ®« ° « L a 25 ° « La ° « 33 ° « La 41 ¯¬

Let La 2

La3

La 4

L a5

La 6

L a7

L a10

L a11

La12

L a13

L a14

La15

La18

La19

La 20

La 21

L a22

La 23

L a26

La 27

La 28

La 29

La30

La31

La34

La 35

L a36

L a37

La38

La 39

L a42

La 43

La 44

L a45

L a46

La 47

183

L a8 º » La16 » La 24 » » L a32 » » La 40 » » La 48 » ¼

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 48 be a super matrix vector space of refined

labels over the semifield of refined labels L R + ∪{0} . We as in case of other super semivector spaces define the notion of super semivector subspaces, basis, dimension and linear transformations. However this task is direct and hence is left as an exercise to the reader we only give examples of them. Example 5.32: Let ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » ° « La 4 L a5 L a6 » ° °« ° » ° « La7 La8 L a9 » ° V= ® Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 18¾ « La » °« 10 La11 L a12 » ° °« L ° L a14 La15 » °« a13 ° » ° « La ° L L » a a 17 18 ¼ ¯¬ 16 ¿ be a super matrix semivector space or super column vector semivector space over L R + ∪{0} . Clearly ª 0 ½ 0 0 º °« ° » ° « L a1 L a 2 L a 3 » ° °« ° » 0 0 °« 0 ° » P= ® L ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ V « La La L a » ai °« 4 ° 5 6 » °« 0 ° 0 0 » °« ° » ° « La L a L a » ° 8 9 ¼ ¯¬ 7 ¿ is a super column vector, semivector subspace of refined labels of V over L R + ∪{0} . We have several but only finite number of

super matrix semivector subspaces of V over L R + ∪{0} . If V be defined over the refined semifield of labels LQ+ ∪{0} then V has infinite number of super matrix semivector subspaces. Thus even the number of super matrix semivector subspaces depends on the semifield over which it is defined. This is evident from example 5.32.

184

Example 5.33: Let ª La La ½ La3 La4 La5 La6 La7 º 2 °« 1 ° » °« La8 La9 La10 La11 La12 La13 La14 » ° °« ° » °« La15 La16 La17 La18 La19 La20 La21 » Lai ∈ LQ+ ∪{0};° V = ®« L La23 La24 La25 La26 La27 La28 » 1 ≤ i ≤ 42 ¾ °« a22 ° » °«L ° L L L L L L » a 30 a 31 a32 a 33 a 34 a 35 °« a29 ° » °«La36 La37 La38 La39 La40 La41 La42 » ° ¼ ¯¬ ¿ be a super matrix of semi vector space of refined labels over LQ+ ∪{0} . V is a finite dimensional super matrix semivector

subspace over LQ+ ∪{0} having infinite number of semivector subspaces of refined labels over LQ+ ∪{0} . Now we proceed onto define new class of super matrix semivector spaces over the integer semifield Z+ ∪ {0}; known as the integer super matrix semivector space of refined labels. We will illustrate them before we proceed onto derive properties related with them. Example 5.34: Let

V =

{( L

)

}

La 2 La3 La 4 La 5 La6 La 7 L ai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7

be a integer super row semivector space of refined labels over Z+ ∪ {0}, the semifield of integers. Example 5.35: Let ª L a °« 1 ° « La 4 ° V = ®«« La7 °« L °« a10 °« L ¯¬ a13

La 2 La 5 L a8 La11 La14

½ L a3 º ° » La 6 » ° ° La 9 » Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 15¾ » ° L a12 » ° » ° L a15 »¼ ¿

185

be an integer super matrix semivector space of refined labels over Z+ ∪ {0}, the semifield of integers. Example 5.36: Let ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° V= ® La i ∈ L R + ∪{0} ¾ °«« L a5 »» ° ° « La » ° ° 6 ° « » ° « La 7 » ° ° ° « » ° ¬ La8 ¼ ° ¯ ¿

be an integer super row semivector space over the semifield Z+ ∪ {0}. Example 5.37: ª L a °« 1 ° « La9 ° V = ®«« La17 °« L °« a 25 °« L ¯¬ a33

Let La 2

L a3

L a4

La 5

La 6

La 7

La10

La11

La12

La13

La14

La15

La18

L a19

La 20

La 21

La 22

L a23

La 26

La 27

La 28

La 29

L a30

La31

La 34

La35

La36

La 37

L a38

L a39

}

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 40

L a8 º » La16 » La 24 » » L a32 » » La 40 »¼

be a integer super matrix semivector

space of refined labels over the semifield Z+ ∪ {0}. We can define substructures, linear transformation a basis; this task can be done as a matter of routine by the interested reader. But we illustrate all these situations by some examples.

186

Example 5.38: Let ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° ° 5 ° M = ®« » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10¾ ° « La 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° °« L a » ° °« 8 » ° ° « La9 » ° » °« ° L ¯°«¬ a10 »¼ ¿° be an integer super column semivector space of refined labels over the semifield Z+ ∪ {0}. Take ª La º ½ °« 1 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La » ° ° 3 ° K = ®« » La i ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 5¾ ⊆ M, 0 °« » ° °« L » ° °« a 4 » ° °« 0 » ° °« » ° °« L a5 » ° °« » ° °¯¬« 0 ¼» °¿ K is a integer super column semivector subspaces of refined labels over the semifield Z+ ∪ {0}. Infact we can have infinite number of integer super column semivector subspaces of V of refined labels over Z+ ∪ {0}. For take

187

ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° ° 5 ° + P = ®« » L ai ∈ LT where 6Z ∪ {0};1 ≤ i ≤ 10 ¾ ⊆ M ° « La 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° °« L a » ° °« 8 » ° ° « La9 » ° » °« ° °¯«¬ La10 »¼ °¿ is again an integer super column semivector subspace of M of refined labels over Z+ ∪ {0}. Infact 6 can be replaced by any positive integer in Z+ and K will continue to be a super column semivector subspace of M of refined labels over Z+ ∪ {0}.

Example 5.39: Let

{( L

La 2 La3 La 4 La 5 La6

)

}

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6

be an integer super row semivector space of refined label over the semifield Z+ ∪ {0}. K=

{( L

La 2 La3 0 0 L a4

)

}

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 4 ⊆ P is

an integer super row semivector subspace of P of refined labels over the integer semifield Z+ ∪ {0}. Example 5.40: Let ª L a °« 1 ° « La 4 ° S = ®«« La7 °« L °« a10 °« L ¯¬ a13

La 2 La 5 L a8 La11 La14

½ L a3 º ° » La 6 » ° ° » La 9 Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 15¾ » ° L a12 » ° » ° L a15 »¼ ¿

188

be an integer super matrix semivector space of refined labels over the semifield Z+ ∪ {0}. Consider ª 0 ½ 0 L a1 º °« ° » 0 L a2 » °« 0 ° °« ° » 0 L ai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8¾ ⊆ S; H = ® « L a3 La 4 » °« L ° 0 » ° « a5 La 6 ° » °« L ° L a8 0 »¼ ¯¬ a 7 ¿ H is an integer super matrix semivector subspace of S over the integer semifield Z+ ∪ {0}. It is pertinent to mention here that S has infinitely many integer super matrix semivector subspace of refined labels over the integer semifield Z+ ∪ {0}. Example 5.41: Let

{( L

La 2 La3 La 4 La 5 La6

)

}

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6

be an integer super row vector semivector space of refined labels over the semifield of integers Z+ ∪ {0}. Take

{( L

W1 =

W2 = W3 =

{( 0

and W4 =

)

{( 0

}

0 0 0 0 L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V,

La 2

0 L a1

0 0 L a1

{( 0

}

)

0 0 0 Lai ∈ L R + ∪{0} ⊆ V, La 2

)

}

0 L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 2 ⊆ V

0 0 0 0 L a1

)

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ⊆ V

be integer super row vector semi subspaces of V. 4

Clearly V =

W ; with Wi ∩ Wj = (0 | 0 0 0 | 0 0); i ≠ j, 1 i

i =1

≤ i, j ≤ 4. V is the direct union of integer super row semivector subspaces of V over the semifield Z+ ∪ {0}.

189

Example 5.42: Let ª L a ½ La 2 L a3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 La 6 » ° °« ° » ° « La7 L a8 La 9 » ° °« L ° » ° a10 La11 L a12 » ° Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 24 ¾ V = ®« L L L « » a14 a15 ° a13 ° » °« L ° La17 L a18 » °« a16 ° » ° « La ° L L a 20 a 21 » °« 19 ° °«¬ La 22 L a23 L a24 »¼ ° ¯ ¿ be an integer super column vector semivector space of refined labels over the semifield Z+ ∪ {0} = S. Consider ª La La La º ½ 2 3 °« 1 ° » 0 0 » °« 0 ° °« ° » 0 0 °« 0 ° » °« 0 ° » 0 0 °« ° » Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V, V1 = ® 0 0 » °« 0 ° » °« 0 ° 0 0 » °« ° » °« 0 ° 0 0 » °« ° 0 0 »¼ °«¬ 0 ° ¯ ¿ ª 0 ½ 0 0 º °« ° » ° « L a1 L a 2 L a 3 » ° °« ° » ° « La 4 La 5 L a6 » ° °« 0 ° » 0 0 °« ° » Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6¾ ⊆ V, V2 = ® 0 0 » °« 0 ° » °« 0 ° 0 0 » °« ° » °« 0 ° 0 0 » °« ° 0 0 »¼ °«¬ 0 ° ¯ ¿

190

ª 0 °« °« 0 °« °« 0 °« L ° a1 V3 = ®« ° « La 4 °« L °« a 7 °« 0 °« °«¬ 0 ¯

0 0 0 La 2 La 5 L a8 0 0

½ 0 º ° » 0 » ° ° » 0 ° » ° » La3 » La ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 9 °¾ ⊆ V R ∪{0} i L a6 » ° » ° L a9 » ° ° 0 »» ° 0 »¼ ° ¿

and ª 0 ½ 0 0 º °« ° » 0 0 » °« 0 ° °« ° » 0 0 °« 0 ° » °« 0 ° » 0 0 ° » La ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 6°¾ ⊆ V V4 = ®« R ∪{0} i 0 0 » °« 0 ° » °« 0 ° 0 0 » °« ° ° « La La La » ° 2 3 » °« 1 ° °«¬ La 4 La 5 L a6 »¼ ° ¯ ¿ be integer super column vector semivector subspaces of V over

the semifield S = Z+ ∪ {0}. Clearly V =

with

i =1

ª0 «0 « «0 « 0 Vi ∩ Vj = « «0 « «0 «0 « ¬« 0

0 0º 0 0 »» 0 0» » 0 0» if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 4. 0 0» » 0 0» 0 0» » 0 0 ¼»

191

Thus V is a direct sum of integer super column vector semivector subspaces of V over S. Example 5.43: Let ª L a °« 1 ° « La 4 °« ° La V = ®« 7 « °« La10 °« L °« a13 ° « La ¯¬ 16

La 2 L a5 La8 La11 L a14 La17

½ La3 º ° » L a6 » ° ° » L a9 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 18¾ ai R + ∪{0} L a12 » ° » ° La15 » ° » ° La18 ¼» ¿

be an integer super matrix semivector space of refined labels over the semifield S = Z+ ∪ {0}. Consider ª La °« 1 °« 0 °« ° La P1 = ® « 4 « °« 0 °« 0 °« °« 0 ¯¬ ª L a °« 1 °« 0 °« ° La P2 = ® « 3 « °« 0 °« 0 °« ° « La ¯¬ 5

La 2 La 3 0 0 0 La 5 0 0 La 4 0 0 0

½ 0 º ° » 0 » ° ° » 0 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 6¾ ⊆ V, ai R + ∪{0} » L a6 ° » ° 0 » ° » ° 0 »¼ ¿ ½ La2 º ° » 0 » ° ° » 0 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ ⊆ V, ai R + ∪{0} » La6 ° » ° 0 » ° » ° 0 ¼» ¿

192

ª La °« 1 ° « La 4 °« ° 0 P3 = ® « « °« 0 °« 0 °« °« L a ¯¬ 5 ª La °« 1 °« 0 °« ° La P4 = ® « 2 « °« L a5 °« 0 °« ° « La ¯¬ 6

and

0 La 2 0 0 0 La 6 0 0 0 0 La7 0

ª La 0 °« 1 °« 0 0 °« ° 0 0 P5 = ® « « °« 0 0 °« L 0 °« a 2 ° « La 0 ¯¬ 3 ª La La 2 °« 1 0 0 °« °« 0 ° 0 P6 = ® « « ° « 0 La3 °« 0 0 °« °« 0 0 ¯¬

½ 0 º ° » L a3 » ° ° » 0 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ ⊆ V, ai R + ∪{0} » 0 ° » ° 0 » ° » ° 0 »¼ ¿ ½ 0 º ° » 0 » ° ° » L a4 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆ V, ai R + ∪{0} » 0 ° » ° 0 » ° » ° 0 »¼ ¿ ½ 0º ° » 0» ° ° » 0 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 3¾ ⊆ V + ai R {0} ∪ 0» ° » ° 0» ° » ° 0 ¼» ¿ ½ 0 º ° » 0 » ° ° » 0 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 5¾ ⊆ V ai R + ∪{0} 0 » ° » ° La 4 » ° » ° La 5 ¼» ¿

are integer super matrix semivector subspaces of refined labels of V over the semifield Z+ ∪ {0}. 193

ª0 0 0 º «0 0 0 » « » 6 «0 0 0 » Clearly V = Pi and Vi ∩ Vj ≠ « » if i ≠ j, 1≤i, j ≤ 6. i =1 «0 0 0 » «0 0 0 » « » «¬ 0 0 0 »¼ Thus V is a pseudo direct sum of integer super matrix semivector subspaces of V over Z+ ∪ {0} of refined labels.

Example 5.44: Let ª La °« 1 ° « La 2 ° B= ®«« La3 °« L °« a 4 °« L ¯¬ a5

L a6

L a11

La12

L a7

La14

La15

La8

La17

La18

La9

La 20

La 21

La10

La 23

La 24

½ L a13 º ° » L a16 » ° ° » La19 Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 25¾ » ° La 22 » ° » ° L a25 »¼ ¿

be a integer super row vector semivector space of refined labels over the semi field Z+ ∪ {0}. Consider ª La 0 0 0 0 º ½ °« 1 ° » ° « La 2 0 0 0 0 » ° °« ° » H1 = ®« La3 0 0 0 La 6 » Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6¾ ⊆ B, °« L ° » °« a 4 0 0 0 0 » ° °« L ° 0 0 0 0 »¼ ¯¬ a5 ¿ ª La °« 1 °« 0 ° H2 = ®«« 0 °« 0 °« °« 0 ¯¬

L a2

La 3

La 4

½ 0 º ° » La5 » ° ° » La6 L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆B, » ° L a7 » ° » ° 0 »¼ ¿

194

ª 0 °« ° « L a1 ° H3 = ®«« 0 °« 0 °« °« 0 ¯¬

L a2

L a4

La 3

La5

½ 0 º ° » La6 » ° ° » 0 L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ ⊆ B, » ° 0 » ° » ° 0 »¼ ¿

ª La ½ 0 0 0 La9 º °« 1 ° » 0 0 0 La10 » ° « La 2 ° °« ° » 0 H4= ®« 0 La 3 La 4 La 5 » L ai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ ⊆ B, °« 0 ° 0 0 0 0 » °« ° » °« 0 L ° L L 0 » a6 a7 a8 ¼ ¯¬ ¿ and ª 0 L a ½ 0 0 0 º 2 °« ° » 0 L a3 0 0 » ° « L a1 ° °« ° » 0 0 La4 0 Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ B, H5 = ®« 0 » °« 0 L ° La 6 L a7 0 » a5 °« ° » °« 0 ° 0 0 L L » a8 a9 ¼ ¯¬ ¿ be an integer super row vector semivector subspaces of B of refined labels over the integer semifield S = Z+ ∪ {0}. 5

and

i =1

ª0 «0 « Hi ∩ Hj ≠ « 0 « «0 «¬ 0

0 0 0 0º 0 0 0 0 »» 0 0 0 0 » if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 5. » 0 0 0 0» 0 0 0 0 »¼

Thus H is only a pseudo direct sum of integer super row vector semivector subspaces of B of refined labels over Z+ ∪ {0}.

195

Now having seen examples of pseudo direct sum of integer super matrix semivector subspaces and direct sum of integer super matrix semivector subspaces we now proceed onto give examples of integer linear transformation and integer linear operator of integer super matrix semivector spaces defined over the integer semifield Z+ ∪ {0}. Example 5.45: Let ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 L a6 » ° °« ° » ° « La7 L a8 La9 » ° °« ° » L L L L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 21¾ V = ® a10 a11 a12 « » ° L ° °« a13 La14 La15 » ° » °« L ° L L a17 a18 » °« a16 ° °«¬ La19 La 20 L a21 »¼ ° ¯ ¿ be an integer super matrix semivector space of refined labels over the integer semifield Z+ ∪ {0}. ª L L L L ½ La13 La16 La19 La22 º a4 a7 a10 °°« a1 » Lai ∈ LR+ ∪{0};°° W = ®«La2 La5 La8 La11 La14 La17 La20 La23 » ¾ » 1 ≤ i ≤ 24 ° °« L La6 La9 La12 La15 La18 La21 La24 »¼ ¯°«¬ a3 ¿° be an integer super matrix semivector space of refined labels over the integer semifield Z+ ∪ {0}. Define T a integer linear transformation from V into W as follows. § ª La L a2 L a3 º · ¨« 1 »¸ ¨ « La 4 La5 La 6 » ¸ ¨« »¸ ¨ « La 7 La8 La 9 » ¸ T ¨ « La10 L a11 L a12 » ¸ ¨« »¸ ¨ « La ¸ L L a14 a15 » ¨ « 13 »¸ ¨ « La16 La17 L a18 » ¸ ¨« ¸ ¨ La La 20 La 21 »¼ ¸ © ¬ 19 ¹

196

ª L a1 « = « La 2 « ¬« La3

La 4

L a7

La10

La13

La16

La19

La 5

La8

La11

L a14

L a17

La 20

La 6

La9

La12

L a15

La18

L a 21

0º » 0» . » 0 ¼»

Example 5.46: Let ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 La 6 » ° °« ° » ° « La7 L a8 L a9 » ° °« L ° » La11 L a12 °« a10 ° » ° ° L L L « » Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 27 ¾ V = ® a13 a14 a15 » °« L ° °« a16 La17 La18 » ° » °« L ° L L a 20 a 21 » °« a19 ° °« La 22 L a23 L a24 » ° » °« ° °¯«¬ La 25 La 26 L a27 »¼ °¿ be an integer super semivector space of refined labels over the semifield S = Z+ ∪ {0}. Define T : V → V by § ª L a1 ¨« ¨ « L a4 ¨« ¨ « L a7 ¨ «L ¨ « a10 T ¨ « La13 ¨« ¨ « La16 ¨« ¨ « La19 ¨ «L ¨ « a 22 ¨ « La © ¬ 25

La2 La5 La8 L a11 La14 La17 La 20 La 23 La 26

L a3 º · ª 0 »¸ « L a 6 » ¸ « L a1 ¸ La 9 » ¸ « 0 « » La12 » ¸ « La 4 »¸ « L a15 » ¸ = « 0 »¸ « L a18 » ¸ « La 7 ¸ La 21 »» ¸ «« 0 La 24 » ¸ « La10 »¸ « La 27 »¼ ¸ «¬ 0 ¹

197

0 La 2 0 La5 0 La8 0 La11 0

0 º » La 3 » 0 » » La6 » » 0 ». » La9 » 0 »» La12 » » 0 »¼

Clearly T is a integer linear operator on V where kernel T is a nontrivial semivector subspace of V. Now we give an example of a projection the concept is direct and can define it as in case of semivector spaces. Example 5.47: Let ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » ° « La 4 L a5 L a6 » ° °« ° » ° « La7 La8 L a9 » ° Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 18¾ V= ® « La » L L a11 a12 °« 10 ° » °« L ° L a14 La15 » °« a13 ° » ° « La ° L L » a17 a18 ¼ ¯¬ 16 ¿ be an integer super matrix semivector space of refined labels over the integer semifield S = Z+ ∪ {0}. Consider ª 0 L a ½ 0 º 1 °« ° » ° « La 2 La 3 L a4 » ° °« ° » 0 La5 °« 0 ° » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ ⊆ V W= ® « La La » 0 °« 6 ° 7 » °« 0 ° 0 0 » °« ° » ° « La La ° 0 » 9 ¼ ¯¬ 8 ¿ be an integer super matrix semivector space of refined labels over the semifield Z+ ∪ {0} of V. Define T an integer linear operator from V into V given by § ª La1 L a 2 L a3 º · ª 0 L a1 0 º ¨« »¸ « » ¨ « L a4 La 5 La 6 » ¸ « La 2 La 3 L a4 » ¨« »¸ « 0 La5 » ¨ « L a7 La8 La 9 » ¸ « 0 ». T ¨ ¸ = «L « La » » L 0 L L a11 a12 a7 ¨ « 10 » ¸ « a6 » ¨ « La ¸ « 0 0 0 L L » » a a 14 15 ¨ « 13 »¸ « » ¨ « La 0 ¼» La17 L a18 ¼» ¸ ¬« La8 La9 © ¬ 16 ¹

198

Clearly T is a linear operator with nontrival kernel. Further T (W) ⊆ W that is W is invariant under the integer linear operator T on V. Consider ª L a1 L a 2 L a 3 º ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « » 0 0 » « 0 « La 4 L a5 L a6 » «L «L La8 L a9 » La 5 L a6 » a7 a4 « ». « » )= T1 ( « 0 » « La » 0 0 L L a a 11 12 « » « 10 » « L a 7 L a8 L a 9 » « L a13 L a14 La15 » « » « » 0 0 »¼ «¬ 0 «¬ La16 La17 La18 »¼ We see T1 is a integer linear operator with nontrivial kernel but clearly T1 is not an integer linear operator which keeps W invariant; that is T1 (W) ⊄ W. Thus all integer linear operators in general need not keep W invariant. Now we proceed onto define various types of super matrix semivector spaces of refined labels. DEFINITION 5.4: Let V = {set of super matrices whose entries are labels from LR + ∪{0} or LQ+ ∪{0} } be a set of super matrices refined labels. If V is a such that for a set S subset of positive reals (R+ ∪ {0} or Z+ ∪ {0} or Q+ ∪ {0}) sv and vs are in V for every v ∈ V and s ∈ S; then we define V to be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S or super matrix semivector space of refined labels over the set S, of subset of reals.

We will first illustrate this situation by some examples. Example 5.48: Let ª La °« 1 V = °° « L a 2 ®« ° « L a3 °«L °¯ ¬ a 4

º » » ª L a1 L a 2 º » , L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 L a 7 L a 8 » , «L L a 4 ¼» » ¬« a 3 » ¼

(

199

)

}

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8

be a set of super matrices of refined

labels. Let S = {a | a ∈ 3Z+ ∪ 2Z+ ∪ {0}. V is a set super matrix semivector space of refined labels over the set S. Example 5.49: Let ª L ° « a1 ° V = ® « La 4 °« °¯«¬ La 7

La 2 La 5 L a8

L a 3 º ª L a1 » « La6 » , « L a2 » « La9 » «¬ La3 ¼

La 4

La 7

La10

La13

L a5

L a8

L a11

La14

L a6

La 9

La12

La15

La16 º » La17 » , » La18 »¼

½ ª La1 º ° « » ° «La2 » ° «L » ° « a3 » L L ; ∈ + a ° i Q {0} ∪ «La » L L L L L L L L ¾ « 4 » a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 ≤ i ≤ 18 ° «La5 » ° « » ° L « a6 » ° «L » ° a ¬« 7 ¼» ¿ be a super matrix set semivector space over the set S = {a | a ∈ 3Z+ ∪ 25Z+ ∪ {0}} ⊆ L R + ∪{0} of refined labels.

(

)

Clearly V is of infinite order we can define two substructure for V, a super matrix set semivector space of refined labels over the set S, S ⊆ R+ ∪ {0}. DEFINITION 5.5: Let V be a super matrix semivector space of refined labels with entries from LR + ∪{0} over the set S (S ⊆ R+ ∪ {0}). Suppose W ⊆ V, W a proper subset of V and if W itself is a set super matrix semivector space over the set S then we define W to be a set super matrix semivector subspace of V of refined labels over the set S.

We will first illustrate this situation by some examples.

200

Example 5.50: Let ª L a1 La 2 º ª L a1 °« » « ° « La 3 La 4 » « La 4 § L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 · « °« » V = ® « La5 La 6 » , ¨ ¸¸ , « La 7 ¨ ° « L L » © La 7 L a8 L a9 La10 La11 La12 ¹ « L a ° « a7 a8 » « 10 °«L L » «¬ La13 ¯ ¬ a9 a10 ¼

}

L a2 La 3 º » La5 La 6 » La8 La9 » » L a11 La12 » » La14 La15 »¼

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 15 be a set super matrix semivector space

of refined labels over the set S = {a ∈ 3Z+ ∪ 5Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}. Consider ª L a La º ª La 0 La º ½ 2 1 6 °« 1 ° » « » ° « La 3 La 4 » « La 2 0 L a7 » ° °« ° » « » 0 , L a3 0 La8 La i ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10 ¾ W = ®« 0 » « » °« 0 ° 0 » « La 4 0 La9 » °« ° » « » °« L ° L L 0 L » « » a 6 ¼ ¬ a5 a10 ¼ ¯¬ a 5 ¿ ⊆ V, W is a set super matrix semivector subspace of refined labels over the set S ⊆ Q+ ∪ {0}. Example 5.51: ªLa1 º °« » °«La2 » ª La1 °« » « °«La3 » « La7 ° V = ®«La4 » , ««La15 °«L » «L °« a5 » « a22 °««La »» «La ° 6 ¬ 29 °«¬La7 »¼ ¯

Let La2 La3 La4 La5 La6 La13 º » ª La1 La8 La9 La10 La11 La12 La14 » « « La4 La16 La17 La18 La19 La20 La21 » , « » La 9 La23 La24 La25 La26 La27 La28 » « » «La13 La30 La31 La32 La33 La34 La35 »¼ ¬

}

La2 La3 La7 º » La5 La6 La8 » La10 La11 La12 » » La14 La15 La16 » ¼

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 35 be a set super matrix semivector space

of refined labels over the set S = 3Z+ ∪ 5Z+ ∪ 8Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}.

201

Consider ª L a1 º °« » °« 0 » ° « » ª L a1 0 0 ° « La 2 » « ° « 0 » « 0 La8 0 P=® ,« ° « L » « 0 0 La9 ° « a3 » « L L L ° « La » ¬ a3 a4 a5 °« 4 » ° «¬ 0 »¼ ¯

ª 0 0 La5 0 0 0 La11 º L a2 º « » 0 0 La8 La 9 L a10 La12 » » L L a 6 » « a1 , « 0 La 2 La6 0 0 0 0 »» L a7 » « » « 0 L 0 0 0 La13 0 » a3 La16 » « » ¼ «L ¬ a4 0 La7 La15 0 0 La14 »¼

}

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 15 ⊆ V; P is a set super matrix semivector

subspace of V over the set S of refined labels. Now we proceed onto define the notion of subset super semivector subspace of refined labels. DEFINITION 5.6: Let V be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S, (S ⊆ R+ ∪ {0}). Let W ⊆ V; and P ⊆ S (W and P are proper subsets of V and S respectively). If W is a super matrix semivector space of refined labels over the set P then we define W to be a subset super matrix semivector subspace of refined labels over the subset P of the set S.

We will illustrate this situation by some examples. Example 5.52: Let ª L a1 °« ° « La 4 °« ° « La 7 ° P = ®« La10 °« L °« a13 °« L °« a16 °«¬ La19 ¯

La 2 L a5 La8 La11 L a14 La17 L a20

La 3 º » La6 » La9 » ª L a1 » « La12 » , « La 2 » « La15 » « La 3 » ¬ La18 » L a 21 »¼

L a4

La 7

La10

L a13

La5

La8

L a11

La14

L a6

L a9

La12

La15

202

L a16 º » La17 » , » L a18 »¼

ª L a1 « « La 4 «L « a7 « La ¬ 10

La 2 La5 La8 La11

½ La 3 º ° » La6 » °° La i ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 21¾ » La9 ° » ° » La12 ¼ °¿

be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S = {a ∈ 3Z+ ∪ 8Z+ ∪ 7Z+ ∪ 13Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}. Consider ª L a1 °« °« 0 °« ° « La 4 ° K = ®« 0 °« L °« a 7 °« 0 °« °«¬ La11 ¯ ª L a1 « « La 4 «L « a7 « La ¬ 10

L a2 0 La5 0 La8 0 La12 La 2 La5 La8 La11

La3 º » 0 » La 6 » ª L a1 » « 0 »,« 0 » « L a9 » « La 2 » ¬ 0 » La13 »¼

L a3

La 7

L a4

L a5

La 6

L a9

0 º » La8 » , » 0 ¼»

½ La 3 º ° » La6 » °° L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 12¾ ⊆ P » La9 ° » ° La12 »¼ °¿

and T = a ∈ 3Z+ ∪ 7Z+ ∪ {0}} ⊆ S ⊆ Q+ ∪ {0}. K is a subset super matrix semivector subspace of P over the subset T of S.

203

Example 5.53: Let ª L a1 º °« » ° «L a 2 » °« » ° « La 3 » ° «L » °« a4 » ° V = ® « L a 5 » , L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 L a 7 L a 8 L a 9 , °«L » ° « a6 » ° «L a » °« 7 » ° « La8 » °« » °¯ «¬ La9 »¼

(

ª L a1 « « La5 «L « a9 « La ¬ 13

L a2

La3

L a6

L a7

La10

L a11

La14

La15

)

ª L a1 « L a4 º « La 3 » La8 » « L a 5 ,« La12 » « La » « 7 La16 » « L a ¼ « 9 «¬ La11

½ L a2 º ° » L a4 » ° ° L a6 » ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ ai Q + ∪{0} La8 » ° » ° La10 » ° » ° La12 »¼ ¿

be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S = a ∈ 5Z+ ∪ 3Z+ ∪ 7Z+ ∪ 8Z+ ∪ 13Z+ ∪ 11Z+ ∪ {0}}. Consider ª 0 º ° «L » ° « a1 » ° « 0 » ° « » ° «L a 2 » ° W = ® L a1 0 0 La 2 La3 La 4 0 La5 0 , « 0 » , « » ° « 0 » ° « La » ° « 3» ° «L a 4 » ° «L » ° ¬ a5 ¼ ¯

(

)

204

½ 0 º ª L a1 ° « » 0 La2 0 º ° « 0 La 2 » ª L a1 « » ° «L » 0 L a4 » La 4 « 0 La3 ° « a3 », « 0 » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆ V «La » 0 0 0 0 « ° » « 5 » ° 0 La 6 0 » « 0 La 6 » « La5 ¬ ¼ ° « » ° 0 »¼ «¬ La 7 ¿ + + + + and K = a ∈ 3Z ∪ 8Z ∪ 13Z ∪ {0}} ⊆ S ⊆ Q ∪ {0}. Clearly W is a subset super matrix semivector subspace of V of refined labels over the subset K of S. As in case of usual vector spaces we can define direct union and pseudo direct union of set super matrix semivector space. The definition is easy and direct and hence is left for the reader as an exercise.

We now illustrate these two situations by some examples. Example 5.54: Let ª L a1 º °« » °« La2 » °« L » ª L ° « a 3 » « a1 ° « L a 4 » « La 5 °« » « ° « La 5 » « La 9 V = ®« , L » L ° « a 6 » « a13 ° « L a » « La ° « 7 » « 17 ° « La 8 » «¬ La 21 °« L » °« a9 » ° « La10 » ¼ ¯¬

La 2 La 3 L a 4 º » La 6 L a 7 La 8 » ªL L L L L L º L a10 La11 La12 » « a1 a 4 a 7 a10 a13 a16 » », L L L L L L L a14 L a15 La16 » « a 2 a 5 a8 a11 a14 a17 » » «L L L L L L » L a18 L a19 La 20 » ¬ a3 a 6 a 9 a12 a15 a18 ¼ L a 22 L a 23 La 24 » ¼

}

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 24

be a set super matrix of semivector

space of refined labels over the set S = {a ∈ 3Z+ ∪ 25Z+ ∪ 11Z+ ∪ 32Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}.

205

Consider ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° ° 5 ° » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10¾ ⊆ V, W1 = ®« ° « La 6 » ° °« L » ° °« a7 » ° ° « L a8 » ° » °« ° ° « La9 » ° » °« ° °¯«¬ La10 »¼ °¿ ª L ° « a1 W2 = ®° « La 2 °« L a « ¯° ¬ 3

La4

La 7

La10

La13

La 5

La 8

L a11

L a14

L a6

L a9

La12

La15

½ L a16 º °° » La17 » La i ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 18 ¾ » ° L a18 »¼ ¿°

⊆ V and ª La ½ L a 2 La 3 L a 4 º °« 1 ° » ° « L a5 La6 L a7 La8 » ° °« ° » °« L a9 La10 L a11 La12 » ° La i ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 24 ¾ ⊆ V W3 = ®« » °« La13 La14 La15 La16 » ° °« L a ° L L L a18 a19 a 20 » °« 17 ° » °« La 21 La 22 La 23 La 24 » ° ¼ ¯¬ ¿ be set super matrix semivector subspaces of refined labels over the set S. 3

Now V =

and Wi ∩ Wj = φ if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 3. Thus

i =1

V is the direct union of set super matrix semivector subspaces.

206

Example 5.55: Let ª L a1 º °« » ° « La 2 » °« » ° « La3 » °« L » °« a4 » ° « L a5 » °« » ° « La 6 » °« » ° « La 7 » L ª a1 ° V = ® « La8 » , « ° «« L »» «¬ L a 2 ° « a9 » ° «L » ° « a10 » ° « La11 » °« ° « L a12 »» °« » ° « La13 » ° «L » ° « a14 » ° « L a15 » ¼ ¯¬ ª L a1 « « La5 «L « a9 « La ¬ 13

L a2

La3

L a6

La 7

La10

L a11

La14

La15

La 3

La 5

La 7

La 9

La11

La 4

La 6

L a8

La10

La12

ª L a1 « La 4 º « La 4 » « La8 » « La7 , La12 » « La10 » « La16 »¼ « L a13 « «¬ La16

La 2 L a5 L a8 La11 La14 La17

La13 º » L a14 »¼

½ La3 º ° » La 6 » ° ° » L a9 La ∈ L + ;° » Q ∪{0} i L a12 » 1 ≤ i ≤ 18 °¾ » ° La15 » ° » ° La18 » ¼ ¿

be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S = {3Z+ ∪ 7Z+ ∪ 13Z+ ∪ 11Z+ ∪ 19Z+ ∪ 8Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}. Consider

207

ª La º °« 1 » ° « La 2 » °« » ° « L a3 » °« L » °« a4 » °« La » °« 5 » ° « La 6 » °« » ° « La 7 » ª L a1 ° M1 = ® « La8 » , « ° «« L »» ¬« La 2 ° « a9 » ° «L » ° « a10 » ° « La11 » °« ° « L a12 »» °« ° « La13 »» ° «L » ° « a14 » ° « L a15 » ¼ ¯¬

ª La M2 = °® «

°¯ ¬« La 2

ª L a °« 1 °°« La M3= ®« 5 ° « La9 °« L °¯¬ a13

⊆ V,

½ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 0 La 3 º Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;° » ¾ 0 La 4 ¼» 1 ≤ i ≤ 15 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¿

L a 4 L a5 L a7 L a8 L a9 L a10 º L ai ∈ L Q+ ∪{0} ; ½° » ¾ ⊆ V, La 3 La 6 L a11 L a12 La13 L a14 ¼» 1 ≤ i ≤ 14 ° ¿

La 2 La 3 L a4 º » L a 6 L a 7 L a 8 » ª L a1 L a 3 ,« L a10 La11 La12 » «¬ La 2 L a 4 » L a14 La15 La16 »¼

}

Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 16 ⊆ V

and

208

0 La5 º » 0 L a6 »¼

ª L a °« 1 ° « La 4 °« ° La7 M4 = ®«« °« La10 °« L a °« 13 °« La16 ¯¬

La 2 L a5 La8 La11 L a14 La17

La3 º » L a6 » L a9 » » L ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 18 L a12 » ai » La15 » » La18 » ¼

and ½° ª L a1 0 0 0 0 0 L a 5 º « » L a j ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ j ≤ 16 ¾ ⊆ V «¬ La 2 La 3 0 0 La 4 0 L a6 »¼ ¿° be set super matrix semivector subspaces of refined labels of V over the set S ⊆ Q+ ∪ {0}. 4

Clearly V =

but Mi ∩ Mj ≠ φ if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 4.

i =1

Thus V is only a pseudo direct union of set super matrices semivector subspace of refined labels over S. We can define set linear transformation of set super matrix semivector spaces only if both the set super matrix semivector space of refined labels are defined over the same set S ⊆ R+ ∪ {0}. We will just illustrate this situation by some examples. Example 5.56: Let ª La1 °« °« La2 °« °« La3 ° V = ®« La4 « °« L °« a5 °« La °« 6 °« La7 ¯¬

La8 La15 º » La9 La16 » La10 La17 » » La11 La18 » , La La La La La La La La , 1 2 3 4 5 6 7 8 » La12 La19 » » La13 La20 » La14 La21 »» ¼

(

)

209

½ ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 º ° « » ° « L a 6 L a 7 L a 8 L a 9 L a10 » ° «L » L a12 L a13 L a14 L a15 L a i ∈ L Q + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 25 ¾ « a11 » ° « La L a17 L a18 L a19 L a 20 » ° « 16 » ° «¬ L a 21 L a 22 L a 23 L a 24 L a 25 »¼ ¿ be a set super matrix semivector space of refined labels over S = a ∈ 5Z+ ∪ 3Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}. Let ª L a1 L a 4 L a 7 L a10 L a13 L a16 L a19 º » °°§ L a1 L a 2 L a 3 L a 4 · « W = ®¨ , L L a 5 L a 8 L a11 L a14 L a17 L a 20 » , ¨ L a L a L a L a ¸¸ « a 2 » °© 5 6 7 8 ¹ « °¯ ¬« L a 3 L a 6 L a 9 L a12 L a15 L a18 L a 21 ¼» ª L a1 « « La4 «L « a7 « La « 10 « L a13 « « L a 16 «L « a 19 «La ¬ 22

La2 La5 L a8 L a 11 L a 14 L a 17 L a 20 L a 23

½ La3 º ° » La6 » ° ° » L a9 ° » ° L a 12 » ° » La ∈ L + ≤ ≤ ;1 i 24 ¾ i Q ∪ {0} L a 15 » ° » ° L a 18 » ° ° L a 21 »» ° L a 24 »¼ ° ¿

be a set super matrix semivector space of refined labels over S = {a ∈ 5Z+ ∪ 3Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}. Define T : V → W a set linear transformation of refined label set super semivector spaces as follows. ª L a1 L a 2 L a 3 º « » « La 4 La5 La 6 » «L La8 L a9 » « a7 » T ( « L a10 L a11 L a12 » ) « » « L a13 L a14 L a15 » « » « L a16 L a17 L a18 » «L L a 20 L a 21 »» ¬« a19 ¼

210

ª L a1 « = « La 2 « ¬« L a3

(( L

La 4

L a7

La10

L a13

L a16

L a5

La8

La11

La14

L a17

La 6

La9

La12

L a15

La18

L a2

L a3 § L a1 ¨ ¨ La © 5

La 4

La5

La 6

La 2

L a3

L a6

La 7

La7

La19 º » La 20 » , » L a21 ¼» La8

)) =

La 4 · ¸ L a8 ¸¹

and ª La1 La 2 L a3 º « » « La 4 La 5 La 6 » § ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 º · « » ¨« » ¸ « La7 L a8 La 9 » L L L L L ¨ « a6 a7 a8 a9 a10 » ¸ La11 La12 » ¨« ¸ « La ». T( ¨ « L a11 La12 La13 La14 L a15 »» ¸ = « 10 L a13 La14 L a15 » « ¨ «L La17 La18 La19 La 20 » ¸ « » ¨ « a16 » ¸ « La16 La17 L a18 » ¨ « La La 22 La 23 La 24 L a25 »¼ ¸ « » © ¬ 21 ¹ « La19 La 20 La 21 » «L » ¬ a 22 L a23 La 24 ¼ T is a set super linear transformation of set super linear semivector spaces of refined labels defined over the set S ⊆ Q+ ∪ {0}.

Example 5.57: Let ª L a1 °« ° « La 2 °« ° « La 3 ° V = ® « La 4 °« L °« a 5 °« L °« a 6 ° «¬ La7 ¯

L a8 La 9 La10 La11 La12 L a13 La14

L a15 º » L a16 » ª L a1 « La17 » « La6 » « L a18 » , « L a11 » L a19 » « La16 » « L a20 » « L a 21 ¬ La 21 »¼

211

La 2

L a3

La 4

La7

L a8

La 9

La12

L a13

L a14

La17

L a18

L a19

La 22

L a23

L a24

L a5 º » L a10 » La15 » , » L a 20 » » La 25 » ¼

½ ª L a1 º ° « » ° « La 2 » ° «L » ° « a3 » ° « La » ° « 4» ° « La 5 » ª La1 La 4 L a 7 La10 La13 La16 L a19 º » La i ∈ L Q+ ∪{0} ;°° « » « « La 6 » , « L a 2 La 5 La 8 La11 La14 La17 L a 20 » ¾ » 1 ≤ i ≤ 25 ° «L » « « a 7 » ¬« La 3 La 6 La 9 La12 La15 La18 La 21 ¼» ° « » ° « » ° « L a 23 » ° ° « » ° « La 24 » ° «L » ¬ a 25 ¼ °¿

be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S = {a ∈ 3Z+ ∪ {0} ∪ 2Z+}. Define a map T : V → V given by § ª La ¨« 1 ¨ « L a2 ¨« ¨ « La3 T ¨ « L a4 ¨« ¨ « La ¨« 5 ¨ « L a6 ¨« ¨ La ©¬ 7 ª L a1 « = « La 2 « ¬« L a3

La8 La9 La10 L a11 La12 La13 La14

La15 º · »¸ La16 » ¸ ¸ La17 » ¸ » La18 » ¸ »¸ La19 » ¸ »¸ La 20 » ¸ ¸ La 21 »¼ ¸ ¹

La 4

L a7

La10

L a13

L a16

L a5

La8

La11

La14

L a17

La 6

La9

La12

L a15

La18

212

La19 º » La 20 » » L a21 ¼»

§ ª L a1 ¨« ¨ « L a6 ¨« T ¨ « L a11 ¨ «L ¨ « a16 ¨ « La © ¬ 21

L a2

La 3

La 4

L a7

L a8

La 9

La12

La13

La14

La17

La18

La19

La 22

La 23

La 24

§ ª L a1 º · ¨« »¸ ¨ « L a2 » ¸ ¨« »¸ ¨ « La3 » ¸ ¨«L »¸ ª L a1 ¨ « a4 » ¸ « ¨ « La » ¸ « La 6 ¨« 5 »¸ « T ¨ « L a6 » ¸ = « La11 ¨« »¸ « La ¨ « L a7 » ¸ « 16 ¨« »¸ « La 21 ¬ ¨« »¸ ¨ « La » ¸ ¨ « 23 » ¸ ¨ « La 24 » ¸ ¨« ¸ ¨ La » ¸ 25 ¬ ¼ © ¹

ª L a1 º « » « La 2 » «L » « a3 » L a5 º · « La » »¸ « 4 » L a10 » ¸ « La » 5 ¸ « » L a15 » ¸ = « La » , » 6 La 20 » ¸ « La » »¸ « 7 » L a25 » ¸ « » ¼¹ « » « L a23 » « » « La 24 » « » ¬ La 25 ¼

La 2

L a3

La 4

La 7

La8

L a9

La12

La13

L a14

La17

L a18

L a19

La 22

La 23

L a24

La5 º » La10 » La15 » » La 20 » » La 25 » ¼

L a4

La7

La10

L a13

L a16

La5

La8

La11

La14

La17

L a6

La9

La12

L a15

L a18

213

L a19 º · »¸ L a20 » ¸ »¸ La 21 ¼» ¸ ¹

ª La1 « « La 2 «L « a3 = « La 4 « « La 5 « « La 6 «L ¬ a7

L a8 La 9 La10 La11 La12 L a13 La14

L a15 º » La16 » La17 » » L a18 » . » La19 » » La 20 » La 21 »¼

Clearly T is a set super matrix semivector space set linear operator of refined labels. As in case of usual vector spaces we can talk of a set super matrix semivector subspace of refined labels which is invariant under a set super linear operator T of V. Example 5.58: Let ª L a1 º °« » ° « La 2 » °« » °« L a3 » ª L ° « L » « a1 °« a 4 » ° « L » « La5 V = ® a5 , « ° « L » « La9 °« a 6 » « L ° « La » ¬ a13 °« 7 » ° « La8 » °« » °¯ «¬ L a9 »¼

La 2

La3

L a6

La 7

La10

La11

La14

La15

L a3 · ¸, La 4 ¸ ¹

½ ª La1 La 4 L a7 La10 La13 La16 La19 º °° « » « La 2 La5 La8 La11 L a14 La17 La 20 » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 21¾ « » ° «¬ L a3 La6 La9 La12 L a15 L a18 La 21 »¼ ¿° be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S = a ∈ 3Z+ ∪ 2Z+ ∪ 7Z+ ∪ {0}} ⊆ Q+ ∪ {0}.

214

Consider ª La º °« 1 » ° « La 2 » °« » ° « L a3 » ª La1 °«L » « a4 °« » § L L · L a1 a3 « a5 W = ®° « La5 » , ¨ ¸, « L L ¨ ¸ ° « L » © a 2 a 4 ¹ « La 9 °« a6 » « La ¬ 13 ° « La » °« 7 » ° « La8 » °« » ° «¬ La9 »¼ ¯

La 2 La 3 La 4 º » La 6 La 7 L a8 » La10 La11 La12 » » La14 La15 La16 » ¼

½ ° ° ° ° ° Lai ∈ LQ+ ∪{0} ; °° ¾ 1 ≤ i ≤ 16 ° ° ° ° ° ° ° ¿

⊆ V is a set super matrix semivector subspace of V of refined labels over the set S. Define a set super linear transformation T : V → V by § ª La º · ª La º ¨« 1 »¸ « 1 » ¨ « La 2 » ¸ « La 2 » ¨« »¸ « » ¨ « L a3 » ¸ « La3 » ¨ «L » ¸ «L » ¨ « a4 » ¸ « a4 » T ¨ « La 5 » ¸ = « L a5 » ¨« »¸ « » ¨ « La 6 » ¸ « L a6 » ¨« »¸ « » ¨ « La 7 » ¸ « La 7 » ¨ «L » ¸ « L » ¨ « a8 » ¸ « a8 » ¨ « La » ¸ « L a » ©¬ 9 ¼¹ ¬ 9 ¼

215

L a3 · ¸, La 4 ¸ ¹

La 2

La 3

La 6

La7

La10

La11

La14

La15

L a 4 º · ª L a1 »¸ « La8 » ¸ « La5 ¸ = La12 » ¸ « La9 » « ¸ » La16 ¸ « La13 ¼¹ ¬

La2

La 3

La6

La7

La10

La11

La14

La15

La 4 º » L a8 » La12 » » La16 » ¼

and § ª La La La La La La La º · 4 7 10 13 16 19 ¨« 1 »¸ T ¨ « L a2 L a5 La8 La11 La14 La17 La 20 » ¸ = ¨« ¸ ¨ « La La La La La La La »» ¸ 6 9 12 15 18 21 ¼ ¹ ©¬ 3 § 0 0 0 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 0 0 0 0 0 0¸ . ¨ 0 0 0 0 0 0 0¸ © ¹

T is a set linear super operator on V. Further T (W) ⊆ W. Thus W is invariant under the set linear super operator of V. Now we proceed onto define the notion of semigroup super matrix semivector space of refined labels over a semigroup S ⊆ R+ ∪ {0}. DEFINITION 5.7: Let V be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S ⊆ R+ ∪ {0}. If S is a semigroup of refined labels contained in R+ ∪ {0} then we call the set super matrix semivector space of refined labels as semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S ⊆ R+ ∪ {0}.

We will illustrate this situation by some examples.

216

Example 5.59: Let

ª L a1 °« °« L a3 °« ° « La 5 °« L °« a 7 ° V = ® « La 9 °« L ° « a11 °« L a ° « 13 ° « L a15 °« °¯ «¬ La17 a1

La 2 º » La 4 » La 6 » » ªL a La8 » « 1 » « La L a10 » , « 6 » La L a12 » « 11 « La L a14 »» ¬ 16 L a16 » » La18 » ¼

La 2

La3

L a4

La 7

La8

La9

L a12

La13

La14

La17

La18

La19

L a 2 L a3 La 4 La5 La 6 La 7

)

La 5 º » La10 » , La15 » » La 20 » ¼

}

L ai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 20

be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S = 3Z+ ∪ {0}. Example 5.60: Let ª L a1 °« ° « La M = ®« 3 °« L a5 °« L ¯¬ a 7 ª L a1 « « La 7 «L « a13 « La « 19 «¬ L a25

L a2 º » L a4 » , L a1 La 2 La3 La 4 L a5 La6 La 7 La8 , La6 » » La8 »¼

(

)

L a2

L a3

La 4

La 5

La8

La 9

La10

La11

La14

La15

La16

La17

La 20

La 21

L a 22

La 23

La 26

La 27

La 28

La 29

½ La 6 º ° » L a12 » ° ° » La18 Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 30¾ » ° L a24 » ° » ° La30 »¼ ¿

217

is a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup Z+ ∪ {0} under addition. It is pertinent to mention here that the semigrioup must be only a subset of R+ ∪ {0} but it can be a semigroup under addition or under multiplication. Example 5.61: Let ª L a1 °« ° « L a4 °« ° « L a7 °«L ° « a10 °° « La K = ® « 13 ° « La16 °«L ° « a19 ° « La ° « 22 ° « La 25 °« °¯ «¬ La 28

La 2 L a5 L a8 La11 La14 La17 La 20 L a23 La 26 La 29

ª L a1 « « La 4 «L « a7 « La ¬ 10

La3 º » L a6 » La9 » » La12 » ª L a1 » « La15 » « L a2 », La18 » « La3 « L a21 »» «¬ L a4 La 24 » » L a 27 » » La30 »¼ La 2 La 5 L a8 La11

La 5

La 9

La13

L a17

La 6

La10

L a14

La18

La7

La11

L a15

La19

L a8

La12

L a16

L a 20

L a21 º » La 22 » , La 23 » » La 24 »¼

½ L a3 º ° » La 6 » °° Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 30 ¾ » La 9 ° » ° La12 » ¼ °¿

be a semigroup super matrix semivector space over the semigroup LQ+ ∪{0} under addition.

218

Example 5.62: Let ª L a1 L a 2 °« °« La4 La5 °« T = ®« La7 La8 °«L L ° « a10 a11 ° « La L a 14 ¯ ¬ 13

La3 º » La6 » La9 » , La La La La La La La , » 1 2 3 4 5 6 7 L a12 » » L a15 » ¼

(

)

½ ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 º ° « » ° « L a 7 L a 8 L a 9 L a10 L a11 L a12 » ° «L » L a14 L a15 L a16 L a17 L a18 La i ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 30 ¾ « a13 » ° « La L a 20 L a 21 L a 22 L a 23 L a 24 » ° « 19 » ° «¬ L a 25 L a 26 L a 27 L a 28 L a 29 L a 30 »¼ ¿ be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over S = L R + ∪{0} . S a semigroup under multiplication.

We can define substructure which is left as an exercise to the reader. However we give some examples of them. Example 5.63: Let ª L a1 L a 2 °« °« La 4 La5 °« °« La7 La8 °« L L a11 ° « a10 °° « L a L a14 V = ® « 13 ° « L a16 L a17 °« L L a 20 ° « a19 °« La L a 23 ° « 22 ° « L a 25 L a 26 °« °¯ ¬« L a 28 L a 29

La3 º » La6 » La9 » » L a12 » » L a15 » ª L a1 »,« L a18 » «¬ L a 7 L a 21 »» L a 24 » » L a 27 » » L a 30 ¼»

La 2

La 3

La4

La5

L a8

La9

L a10

L a11

219

La 6 º », L a12 »¼

ª L a1 « L La3 · « a 7 « ¸, L La 4 ¸ « a13 ¹ «L « a19 «¬ La 25

½ La 2 La3 La 4 La5 La 6 º ° » La8 La9 La10 La11 La12 » ° Lai ∈ LQ + ∪{0} ;° La14 La15 La16 La17 La18 » » 1 ≤ i ≤ 30 ¾ ° La20 La21 La22 La 23 La24 » ° » ° La26 La 27 La28 La 29 La30 »¼ ¿

be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S = L Q+ ∪{0} . Take ª L L L L L L º § La La · L ∈ L + ;½ a4 a5 a6 1 3 a ° a a a R ∪{0} ° ¸ i W = ®« 1 2 3 »,¨ ¾ ⊆ V, L L ¨ ¸ °¯«¬La7 La8 La9 La10 La11 La12 »¼ © a2 a4 ¹ 1 ≤ i ≤ 12 ¿°

W is a semigroup super matrix semivector subspace of refined labels over the semigroup S = LQ+ ∪{0} . Take ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » ° « La 4 L a5 L a6 » ° °« ° » ° « La 7 La8 L a9 » ° °« L ° » L L a11 a12 ° « a10 ° » °« L a ° ° 13 L a14 La15 » § L a1 La3 · L ai ∈ L R + ∪{0} ;° ¸ B = ®« »,¨ ¾ ⊆V ° « La16 La17 La18 » ¨© L a2 La 4 ¸¹ 1 ≤ i ≤ 30 ° °« L ° La 20 La 21 »» ° « a19 ° » ° « La ° L L a 23 a 24 » ° « 22 ° « L L L ° a 25 ° a 26 a 27 » » °« ° °¯ ¬« La 28 La 29 La30 ¼» °¿ is a semigroup super matrix semivector subspace of refined labels over the semigroup S. Clearly § La L a · ½ 3 ° 1 ° ¨ ¸ La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 4¾ ⊆ V B∩W= ® L L ¨ ¸ a4 °¯© a 2 °¿ ¹

220

is again a semigroup super matrix semivector subspace of refined labels over the semigroup S. Example 5.64: Let ª L a1 °« ° « La4 °« M = ® « La7 ° «L ° « a10 ° «L ¯ ¬ a13

L a2 L a3 º » L a 5 L a 6 » ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 º « » L a 8 L a 9 » , « L a 7 L a 8 L a 9 L a10 L a11 L a12 » , » « » L a11 L a12 » « L a13 L a14 L a15 L a16 L a17 L a18 » ¼ » ¬ L a14 L a15 »¼

½ ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 º ° « » °° « La 5 La 6 La 7 L a8 » L a i ∈ L Q + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 18 ¾ «L » L a10 L a11 L a12 ° « a9 » ° «La » L a14 L a15 L a16 ¬ 13 ¼ °¿ be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S = LQ+ ∪{0} under multiplication. Consider

ª L a °« 1 ° « La 4 ° W1 = ®«« La7 °« L °« a10 °« L ¯¬ a13

La 2 La 5 L a8 La11 La14

½ L a3 º ° » La 6 » ° ° » La 9 Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 15¾ ⊆ V, » ° L a12 » ° » ° L a15 »¼ ¿

ª L L L L L L º ½ a2 a3 a4 a5 a6 °°« a1 » L ai ∈ L Q+ ∪{0} ;°° W2 = ®« La 7 L a8 La 9 La10 La11 La12 » ¾ ⊆V » 1 ≤ i ≤ 18 ° °« L L L L L L ¯°«¬ a13 a14 a15 a16 a17 a18 »¼ ¿° ª L a °« 1 ° La and W3 = °® «« 5 ° « L a9 °«La ¯° ¬ 13

L a2

L a3

L a6

La7

L a10

L a11

L a14

L a15

½ La4 º ° » L a8 » °° L a i ∈ L Q + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ » L a12 ° » ° L a16 » ¼ ¿°

221

⊆ V be semigroup super matrix semivector subspaces of V of refined labels over S. Clearly Wi ∩ Wj = φ if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 3. 3

Also V =

W .

Thus is a direct union of semigroup super

i =1

matrix semivector subspaces of refined labels over L R + ∪{0} = S. Example 5.65: Let

ª L a1 °« °« La3 °« °« La5 M = °® « La7 « °« L °« a9 °« La ° « 11 ° « La13 ¯¬ a1

La 2 º » L a 4 » ª L a1 « La 6 » «La 2 » La8 » , « La3 » « L a10 » « L a 4 » « L a12 » « L a 5 ¬ L a14 »» ¼

L a1

La 2

La2

La 2

La3

La 3

La3

La4

La 4

La5

L a 2 L a1 L a 2 L a1 L a 2 L a1 L a 2

L a1 º » La 2 » La3 » , » La 4 » » La5 » ¼

}

)

L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 14

be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S = LQ+ ∪{0} . Consider ª L a °« 1 °« La 3 °« °« La 5 ° P1 = ® « L a 7 « °« L °« a9 °« La ° « 11 ° « L a13 ¯¬

La 2 º » L a 4 » ª L a1 « La 6 » « 0 » L a8 » , « 0 » « L a10 » « 0 » « L a12 » « L a 5 ¬ L a14 »» ¼

L a1

L a5

La 5

}

L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 14 ⊆ M,

222

L a1 º » 0 » 0 » » 0 » » La 5 » ¼

ª La °« 1 °« La 2 °° « P2 = ® « L a 3 °« L °« a 4 °« L a °¯ ¬ 5

and

L a1

La 2

La2

La 2

L a3

La 3

La3

L a3

La 4

La4

La 4

La 5

La5

La 5

⊆M

{( L

P3 = ª L a1 « « 0 « 0 « « 0 « « 0 ¬

L a1

½ L a1 º ° » La2 » ° ° » L a 3 L a ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 5 °¾ » R ∪{0} i ° La4 » ° » ° La5 » ¼ °¿

L a1

La 2

L a1

)

La 2

L a1

L a2

La 2 ,

L a1

½ L a1 º ° » 0 » ° ° » 0 L a ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 2 °¾ ⊆ M » R ∪{0} i ° 0 » ° » ° 0 » ¼ °¿

be semigroup super matrix semivector subspaces of M. We see P1 ∩ P2 = ª L a °« 1 °« 0 °° « ®« 0 °« 0 °« °« La °¯ ¬ 5

L a1

La 5

La5

½ L a1 º ° » 0 » ° ° » 0 L a ∈ L + ;i = 1,5 °¾ ⊆ M » R ∪{0} i ° 0 » ° » ° La5 » ¼ °¿

is again a semigroup super matrix semivector subspace of M.

223

ª La °« 1 °« 0 ° P2 ∩ P3 = °® «« 0 °« 0 °« °« 0 °¯ ¬ and ª La °« 1 °« 0 °° « ®« 0 °« 0 °« °« 0 °¯ ¬

L a1

½ L a1 º ° » 0 » ° °° » 0 La ∈ L + ⊆M » 1 R ∪{0} ¾ ° 0 » ° » ° 0 » ¼ °¿

P3 ∩ P1 = ½ L a1 L a1 º ° » 0 0 » ° °° » 0 0 La ∈ L + ⊆M » 1 R ∪{0} ¾ ° 0 0 » ° » ° 0 0 » ¼ °¿

are again semigroup super matrix semivector subspaces of M over the semigroup S = LQ+ ∪{0} . We see thus Pi ∩ Pj ≠ φ; if i ≠ j; 1 ≤ i, j ≤ 3. But M =

i =1

so M is a pseudo direct union of semigroup super matrix semivector subspaces of M over S. Example 5.66: Let ª L a1 °« °« La4 °« °« La7 P = °® « L a10 °« L ° « a13 °«L ° « a16 ° «¬ L a19 ¯

La 2 La3 º » La5 La 6 » La8 La9 » » L a11 La12 » , L a1 L a 2 La 3 La 4 L a 5 L a 6 L a 7 L a 8 , » L a14 L a15 » » L a17 L a18 » L a 20 L a 21 »¼

(

)

224

ª L a1 « « L a1 «L « a1 « La « 1 « La 7 ¬

La 2

La 3

La 4

La5

La 6

La 2

La 3

La 4

La5

La 6

La 2

La 3

La 4

La5

La 6

La 2

La 3

La 4

La5

La 7

L a3

La2

La 4

La5

La 6

½ L a7 º ° » L a7 » ° ° » L a 7 L a ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 21°¾ » R ∪{0} i ° La6 » ° » ° L a1 » ¼ °¿

be a semigroup of super matrix semivector space of refined labels over L R + ∪{0} = S. Consider ª L a °« 1 °« La 4 °« °« La7 ° M = ® « L a10 °« L ° « a13 °« L ° « a16 ° «¬ L a19 ¯

L a 2 La 3 º » La5 La 6 » La8 La9 » » L a11 L a12 » , L a1 L a1 L a1 L a1 L a1 L a1 L a1 L a1 » L a14 L a15 » » L a17 L a18 » L a 20 L a 21 »¼

(

)

}

L a i ∈ L R + ∪{0} ⊆ P and T = { L Q+ ∪{0} } ⊆ S be a subsemigroup of

S. We see M is a semigroup super matrix semivector space of refined labels over T of P called the subsemigroup super matrix semivector subspace of refined labels over the subsemigroup T of S. Now we can give the related definition. DEFINITION 5.8: Let V be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S. Let W (⊆ V) and P (⊆ S) be subsets of V and S respectively, if P be a subsemigroup of S and W is a semigroup super matrix semivector space over the semigroup P of refined labels then we

225

define W to be a subsemigroup of super matrix semivector subspace of V refined labels over the subsemigroup P of the semigroup S. If V has no subsemigroup super matrix semivector subspace then we define V to be a pseudo simple semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S.

Interested reader can supply examples of them. We can define linear transformation of semigroup super matrix semivector spaces of refined labels provided they are defined over the same semigroup. This task is let to the reader, however we give some examples of them. Example 5.67: Let ª La1 °« °« La4 °« La V = °®« 7 « °«La10 °«L °« a13 °«La ¯¬ 16 ª L a1 « « La3 «L « a1 « La « 2 « L a1 « ¬« L a 2

La2 La3 º » La5 La6 » La8 La9 » », L L L L L L L L L L , a a a a a a a a a a La11 La12 » 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 » La14 La15 » » La17 La18 ¼»

(

)

La 2

La 3

L a1

La 2

L a1

La2

La 2

L a3

La 2

La 3

La3

La 2

L a3

L a1

L a3

La 2

L a1

La 2

L a3

La 2

La 3

L a2

L a3

½ La 3 º ° » L a1 » ° ° » L a1 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 18 ¾ ai R + ∪{0} La 2 » ° » ° La 3 » ° » ° L a1 ¼» ¿

be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S = L Q+ ∪{0} .

226

La2

La3

La 4

La 5

La8

La9

L a10

L a11

L a14

L a15

L a16

L a17

L a 20

L a 21

L a 22

L a 23

L a 26

L a 27

L a 28

La 29

L a 32

La 33

L a 34

L a 35

La6 º » L a12 » La18 » », L a 24 » » L a 30 » » L a 36 ¼»

L a2

L a3

La 4

La5

L a6

L a7

L a8

L a11

L a12

L a13

L a14

L a15

L a16

L a17

ª L a1 « « L a3 «L « a5 « La « 7 « La 9 ¬

La 9 · ¸, L a18 ¸¹

½ La 2 º ° » La 4 » ° ° » L a 6 L a ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 36 °¾ » R {0} ∪ i ° L a8 » ° » ° L a10 » ¼ °¿

be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the same semigroup S = L Q+ ∪{0} . Define T : V → W as follows: § ª La ¨« 1 ¨ « L a4 ¨« ¨ La T ¨« 7 «L ¨ « a10 ¨ « La ¨ « 13 ¨ « La © ¬ 16

La2 La 5 La8 L a11 L a14 L a17

227

L a3 º · »¸ La 6 » ¸ ¸ La 9 » ¸ » = L a12 » ¸ »¸ L a15 » ¸ »¸ L a18 »¼ ¸ ¹

L a2

L a3

La 4

La5

L a6

L a7

L a8

L a11

L a12

L a13

L a14

L a15

L a16

L a17

((

T L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 L a 7 L a 8 L a 9 L a10 ª L a1 « « L a3 «L « a5 « La « 7 « La 9 ¬

La 9 · ¸, L a18 ¸¹

)) =

La 2 º » La 4 » L a6 » » La8 » » L a10 » ¼

and § ª L a1 ¨« ¨ « La 3 ¨« ¨ La T ¨« 1 «L ¨ « a2 ¨ « La ¨« 1 ¨ « La ©¬ 2 ª L a1 « « La3 «L a = « 1 « La « 2 « L a1 « «¬ L a 3

L a2

La3

L a1

La 2

L a1

La 2

La 3

L a2

La3

L a3

La 2

La3

L a1

La 3

L a2

L a1

La 2

La 3

L a2

La3

La 2

La 3

La 2

La 3

L a1

La 2

L a3

L a1

L a3

L a1

La 2

L a3

L a1

La 2

L a1

La 3

L a3

L a1

L a3

La2

L a1

L a3

La 3 º · »¸ L a1 » ¸ ¸ L a1 » ¸ » ) La2 » ¸ »¸ La 3 » ¸ »¸ L a1 ¼» ¸ ¹ L a3 º » La 2 » L a1 » ». La 2 » » L a1 » » L a 2 »¼

It is easily verified T is a semigroup super matrix semivector space linear transformation of refined labels over the semigroup S.

228

Example 5.68: ª La La °« °« La La °« °« La La °«L L a °« a °°«La La V= « ® °«La La °«L L a °« a « ° La La °« °«La La °« °¯«¬La La 1

Let La3 º » La6 » La9 » » La12 » » La15 » § La1 La2 La3 La4 La5 La6 La7 La8 La9 · ¸, »,¨ La18 » ¨© La10 La11 La12 La13 La14 La15 La16 La17 La18 ¸¹ La21 »» La24 » » La27 » » La30 »¼

½ ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 º ° « » °° « La 5 La 6 La 7 La8 » L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 30 ¾ «L » L a10 L a11 L a12 ° « a9 » ° «La » L L L a14 a15 a16 ¬ 13 ¼ °¿ be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S = L Q+ ∪{0} . Define a map T : V → V § ª L a1 ¨« ¨ « L a4 ¨« ¨ « L a7 ¨ «L ¨ « a10 ¨ « La T ¨ « 13 ¨ « L a16 ¨« ¨ « L a19 ¨ «L ¨ « a 22 ¨ « La ¨ « 25 ¨ « La © ¬ 28

La2 La5 La8 L a11 L a14 L a17 L a 20 L a 23 L a 26 L a 29

L a3 º · »¸ La 6 » ¸ ¸ La 9 » ¸ » ª L a1 L a12 » ¸ »¸ « L a15 » ¸ « La 9 »¸ = « L L a18 » ¸ « a17 ¸ «La L a 21 »» ¸ ¬ 25 ¸ » L a 24 »¸ L a 27 » ¸ »¸ L a 30 »¼ ¸ ¹

229

La3

L a5

L a11

L a13

L a19

L a 21

L a 27

L a 29

L a7 º » L a15 » , L a 23 » » L a 30 » ¼

La 2

La3

La 4

L a5

La 6

La 7

La8

La11

La12

La13

L a14

L a15

L a16

L a17

ª L a1 « « La 2 «L « a3 « La « 4 « La = « 5 « La 6 «L « a7 «L « a8 « La 9 « «¬ 0

0 La10 La11 La12 La13 La14 La15 La16 L a17 La18

La9 · · ¸¸ La18 ¸¹ ¸ ¹

La 3 º » La 6 » La9 » » La12 » » La15 » » La18 » 0 »» L a1 » » La 2 » » La 3 »¼

La 2

La3

L a6

L a7

La10

L a11

La14

La15

L a4 º · »¸ La8 » ¸ ¸ = La12 » ¸ » La16 » ¸¸ ¼¹

L a2

L a3

La 4

La5

L a6

La 7

La8

La9

La10

La11

La12

La13

L a14

La15

0 · ¸. L a16 ¸¹

It is easily verified T is a semigroup super matrix semivector space linear operator on V. Now we proceed onto give examples of the notion of integer semigroup super matrix semivector space of refined labels.

230

Example 5.69: Let ª L a1 °« °« La4 ° V = ® «« L a7 °«L ° « a10 °« L ¯ ¬ a13

La 2 La3 º » La5 La6 » § L a L a 2 L a 3 La 4 La 5 La 6 La 7 · La8 La9 » , ¨ 1 » ¨ L L L L L L L ¸¸ , a a9 a10 a11 a12 a13 a14 ¹ L a11 L a12 » © 8 » L a14 L a15 »¼

½ ª L a1 º ° « » ° « La 2 » ° «L » ° « a3 » ° « La » ° « 4» ° « La 5 » ° « » ° « La 6 » L a i ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 14 ¾ «L » ° « a7 » ° «L » ° a8 « » ° « La 9 » ° « » ° « La10 » ° « » ° L «¬ a11 »¼ ¿°

be an integer group super matrix semivector space of refined labels over the semigroup S = Z+ ∪ {0}.

231

Example 5.70: Let ª L a1 °« °« La2 °« °« La3 °« L °« a4 °« La5 °« V = °® « La6 °« L °« a7 ° « La °« 8 °« La9 °« ° « L a10 °« L °¯ «¬ a11 ªL « a1 « La « 3 « L a5 ¬

L a12 º » L a13 » L a14 » » L a15 » ª L a1 » « L a16 » « L a 6 » L a17 » , « L a11 « » L a18 » « L a16 « L a19 » « L a 21 » ¬ L a 20 » » La 21 » » L a 22 » ¼

La2

La3

La 4

La7

La8

La9

L a12

L a13

La14

L a17

L a18

La19

L a 22

L a 23

La 24

La5 º » L a10 » L a15 » , » L a 20 » » L a 25 » ¼

½ La 2 º ° » ° L a 4 » L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 25 ¾ » ° La 6 » °¿ ¼

be an integer semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup 3Z+ ∪ {0}. Substructures, linear transformation can be defined as in case of usual semigroup super matrix semivector spaces of refined labels. Now we proceed onto define the notion of group super matrix semivector spaces of refined labels over a group. DEFINITION 5.9: Let V be a semigroup super matrix semivector space of refined over the semigroup S = LQ+ ; ( LR + ) under multiplication. If S is a group under multiplication then we

232

define V to be a group super matrix semivector space of refined labels over the multiplication group LQ+ or LR + .

We will first illustrate this situation by some examples. Example 5.71: Let ª L a1 ° « ° « La 2 °ª º « ° « L a1 L a 2 » « L a 3 V = °® « La3 La 4 » , « La 4 » « °« L L « » « La5 a a 6 °¬ 5 ¼ « ° « La6 ° «L ° ¬ a7 ¯

La 2

La3

La4

La5

La6

La8

La9

L a10

L a11

L a12

La 9

La14

La15

L a16

L a17

L a10

L a15

L a19

L a 20

L a 21

L a11

La16

L a 20

L a 23

L a 24

L a12

L a17

L a 21

L a 24

L a 26

L a13

L a18

L a 22

L a 25

L a 27

La 7 º » L a13 » L a18 » » L a 22 » , » L a 25 » » L a 27 » L a 28 »¼

}

ª L a1 L a2 L a 3 L a 4 L a 5 La 6 La 7 La 8 º L a i ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 28 ¬ ¼ be a group super matrix semivector space of refined labels over the multiplicative group LQ+ .

Example 5.70: Let ª L a1 °« °« La2 °« °« La3 °« L °« a4 °« La M = °® « 5 °« La6 °« L °« a7 ° « La °« 8 °« La9 °« °¯ «¬ L a10

L a12 º » L a13 » L a14 » » L a15 » » L a16 » ª L a1 »,« L a17 » ¬« La 8 L a18 »» L a19 » » L a 20 » » L a 21 »¼

La2

La3

La 4

La5

La6

La9

L a10

L a11

L a12

L a13

233

La7 º », L a14 ¼»

ª L a1 « « L a10 «L « a19 « La « 28 « La 37 « «¬ La 46

La 2

La3

La4

La5

La6

La7

L a8

L a11

L a12

L a13

L a14

L a15

L a16

L a17

L a 20

L a 21

L a 22

L a 23

L a 24

L a 25

L a 26

L a 29

L a 30

L a 31

L a 32

L a 33

L a 34

L a 35

L a 38

L a 39

L a 40

L a 41

L a 42

L a 43

L a 44

L a 47

L a 48

L a 49

L a 50

L a 51

L a 52

L a 53

L a9 º » L a18 » L a 27 » » L a 36 » » L a 45 » » L a 54 »¼

}

L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 54

be a group super matrix semivector space of refined labels over L R + the group of positive refined labels. We can define as a matter of routine the substructures in them. Here we present them by some examples. Example 5.73: Let ª L a1 °« °« La 4 V = ®« °« La7 °« L ¯ ¬ a10

La 2 La3 º » La5 La6 » , L a1 L a 2 La 3 L a 4 L a 5 L a 6 L a 7 L a8 L a 9 L a10 , La8 La9 » » L a11 L a12 »¼

(

)

½° ª L a1 L a 2 º ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 º « »,« » L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 12 ¾ «¬ L a 3 L a 4 »¼ «¬ L a 6 L a 7 L a 8 L a 9 L a10 »¼ ¿°

be a group super matrix semivector space of refined labels over the group G = L Q+ . Now consider

234

ª L a °« 1 °° « L a P = ®« 4 °« La7 °« L ¯° ¬ a10

½ ° La 2 º °° » L a i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 12 ¾ L a 4 »¼ ° ° ¿°

La 3 º » L a 6 » ª L a1 ,« L a 9 » ¬« L a 3 » L a12 »¼

La 2 La5 La8 L a11

⊆ V is a group super matrix semivector subspace of refined labels over the group G = L Q+ under multiplication. Example 5.72: Let ª L a1 °« °« La3 °« V = ®« La5 °«L °« a7 ° « La ¯¬ 9 ª L a1 « ¬« L a 9 ª L a1 « « La 2 «L « a3 « La « 4 « L a5 « «¬ L a 6

La 2 º » La 4 » La6 » , » L a8 » » L a10 » ¼

La 2

La 3

La 4

La 5

La 6

La7

L a10

L a11

L a12

L a13

L a14

L a15

La2

La 3

La 4

L a5

L a7

La8

La 9

L a10

La8

L a12

L a13

L a14

La9

L a13

L a16

L a17

L a10

L a14

L a17

L a19

L a11

L a15

L a18

L a 20

L a8 º », L a16 ¼»

½ L a6 º ° » L a11 » ° ° » L a15 L a i ∈ L R + ∪{0} ;° » ¾ L a18 » 1 ≤ i ≤ 21 ° » ° L a 20 » ° » ° L a 21 »¼ ¿

be a group super matrix semivector space of refined labels over the group G = L Q+ , L Q+ group under multiplication.

235

Consider ª La °« 1 °« L a3 °° « P1 = ® « L a 5 °« L °« a 7 °« L a °¯ ¬ 9

½ L a2 º ° » L a4 » ° ° » L a 6 L a ∈ L + ;1 ≤ i ≤ 10 °¾ ⊆ V, » R ∪{0} i ° La8 » ° » ° L a10 » ¼ °¿

°ª La La La La La La La La º La ∈L + ;½° R ∪{0} P2 = ®« 1 2 3 4 5 6 7 8 » i ¾ ⊆V L L L L L L L L °¯¬« a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 ¼» 1 ≤ i ≤16 °¿

and ª La °« 1 °« La 2 °« °« L a3 P3 = ® « °« La 4 °« L °« a5 °« La ¯¬ 6

½ L a2 La 3 La 4 La5 La6 º ° » L a 7 L a8 L a 9 L a10 L a11 » ° ° » L a 8 L a12 L a13 L a14 L a15 L a i ∈ L R + ∪{0} ; ° » ¾ ⊆V L a 9 L a13 L a16 L a17 L a18 » 1 ≤ i ≤ 21 ° » ° L a10 L a14 L a17 L a19 L a 20 » ° » ° L a11 L a15 L a18 L a 20 L a 21 »¼ ¿

be group super matrix semivector subspaces of refined labels of V over the multiplicative group L Q+ . We see 3

P ; Pi ∩ Pj i

= φ if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 3,

i =1

thus V is a direct sum of group super matrix semivector subspaces of refined labels of V.

236

Example 5.75: Let ° °° ª La1 V = ®« ° «¬ L a 3 ° ¯°

ª L a1 « La 2 º « La5 », La 4 » « La9 ¼ « « La ¬ 13

ª L a1 « « La 6 «L « a11 « La ¬ 16 ª L a1 « « L a3 «L « a5 « La « 7 « La9 « « L a11 «L « a13 «L « a15 « L a17 ¬

La2 º » La4 » La6 » » L a8 » » L a10 » , L a 1 » L a12 » L a14 »» L a16 » » L a18 » ¼

(

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 20

La2

La3

La6

La 7

L a10

La11

L a14

L a15

La 2

La3

La 4

La 7

La8

L a9

L a12

La13

L a14

La17

La18

L a19

La5 º » L a10 » La15 » » L a 20 »¼

La2

L a3

La4

L a5

La 4 º » L a8 » , L a12 » » L a16 » ¼

La6

L a7

)

be a group super matrix semivector

space of refined labels over the group G = LQ+ , LQ+ = G is a multiplicative group. Consider

237

ªLa La º Lai ∈LR+ ∪{0};½° ° 1 2 » , La1 La2 La3 La4 La5 La6 La7 H1 = ®« ¾ ⊆ V, 1≤ i ≤ 7 ° °¯«¬La3 La4 »¼ ¿

(

)

ª L a1 °« °°« La 5 H2 = ®« °« La9 °« L °¯¬ a13 a1

La 2

La 3

La 2

L a3

La 6

La 7

La10

La11

La14

L a15

L a4

L a5

La 4 º » La8 » , L a12 » » L a16 » ¼

La 6

La 7

}

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 16 ⊆ V, ° °° H3 = ® La1 La2 0 ° ° °¯

(

0 La3

)

ª La1 « « La6 ,« L « a11 «La ¬ 16

La2 La3 La4 La5 º » La7 La8 La9 La10 » La12 La13 La14 La15 » » La17 La18 La19 La20 »¼

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 20 ⊆ V,

H4 =

ª La °« 1 °« La3 °« °« La5 °« L °« a7 °« L ® a9 °«L ° « a11 °« La ° « 13 ° « L a15 °« ° «¬ L a17 ¯

La2 º » La4 » L a6 » » L a8 » » L a10 » , L a L a L a L a L a 1 2 3 4 5 » L a12 » L a14 »» L a16 » » L a18 » ¼

(

and

238

0 La7

)

½ ° ° ° ° ° L a i ∈ L R + ∪{0} ; °° ¾ 1 ≤ i ≤ 18 ° ° ° ° ° ° ° ¿

{( L

H5 =

}

)

La 2 L a3 La 4 La5 La 6 La 7 Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7 ⊆

V be group super matrix semivector subspaces of refined labels of V over the group LQ+ . We see = Hi ∩ Hj = φ if i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ 5. Further V = 5

; thus V is the pseudo direct union of group super matrix

i =1

semivector subspaces of refined labels over the group LQ+ = G. We can define group super matrix semivector spaces V and W of refined labels linear transformations provided V and W are defined over the same group G. We can also define subgroup super matrix semivector subspace of refined labels of V over the subgroup of G. We will illustrate this situation by some examples. Example 5.76: Let ª La « « La «L « a « La « « La « , « La «L « a «L « a « La « «La « «¬La

ªLa La º V = °®« », L L L L L L L L L La La » a a a a a a a a a ¼ ¯°«¬ 1

(

)

239

º » » » » » » » » », » » » » » » » » »¼

ª L a1 « « L a1 «L « a1 « La « 1 « L a1 « « L a1 «L ¬ a1

La 2

La3

La4

La 2

La3

La4

La 2

La3

La4

La 2

La3

La4

La 2

La3

La4

La 2

La3

La4

La 2

La3

La4

½ La 5 º ° » La 5 » ° ° » La 5 ° » ° » La 5 L ai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 11¾ » ° La 5 » ° » ° La 5 » ° ° La 5 »¼ ¿

be a group super row semivector space of refined labels over the group G = LR + under multiplication. Consider ª L a1 L a2 º ° » , L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 L a 7 L a 8 L a 9 W = ®« °¯ «¬ La 3 L a4 »¼

(

)

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 ⊆ V; consider H = LQ+ ⊆ LR + = G, LQ+

= H is a subgroup of G under multiplication. We see W is a group super matrix semivector space of refined labels over the group H, thus W is a subgroup super matrix semivector subspace of refined labels over the subgroup H of the group G. If G has no proper subgroups then we define V to be a pseudo simple group vector space of refined labels over G. Likewise if V the group super matrix semivector space of refined labels over the group G has a subspace S which is over a semigroup H ⊆ G we call S a pseudo semigroup super matrix semivector subspace of V over the semigroup H of the group G. We will just illustrate this situation by some examples.

240

Example 5.77: Let ª La °« ° « La °« ° « La °« L °« a ° « La V = °® « ° « La ° « La °« ° « La °« ° « La °« °¯ «¬ La

ª L a1 « « La 7 «L « a15 « La « 22 «¬ La 29

º » » » » » » » » , La » » » » » » » »¼

(

)

La , 8

½ L a2 L a3 La 4 La5 L a6 La13 º ° » La8 La 9 La10 L a11 La12 L a14 » ° ° » La16 La17 La18 La19 L a 20 La 21 Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 35¾ » ° La 23 La 24 La 25 La 26 L a27 L a28 » ° » ° La30 La 31 La 32 La 33 La34 La35 »¼ ¿

be a group super matrix semivector space of refined labels over the group G = LQ+ under multiplication. Take P=

{( L

La2

L a3

La4

241

L a5

L a6

La7

L a8

)

ª L a1 « « La2 «L « a3 « La « 4 « L a5 « « L a6 «L « a7 «L « a8 « L a9 « «¬ L a 10

º » » » » » » » » Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 10 ⊆ V » » » » » » » »¼

}

be a pseudo semigroup super matrix semivector subspace of refined labels of V over the semigroup ½ S = ®L 1 n = 0,1,2,..., ∞ ¾ ⊆ LQ+ n 2 ¯ ¿ under multiplication. It is interesting to note that this V has infinitely many pseudo semigroup super matrix semivector subspaces of refined labels. The following theorem guarantees the existence of pseudo semigroup super matrix semivector subspaces of refined labels. Recall a group G is said to be a Smarandache definite group if it has a proper subset H ⊂ G such that H is the semigroup under the operations of G. We see LQ+ and LR + are Smarandache definite groups as they have infinite number of semigroups under multiplications. THEOREM 5.1: Let V be a group super matrix semivector space of refined labels over the group G = LQ+ (or LR + ). V has infinitely many pseudo semigroup super matrix semivector

242

subspaces of refined labels of V over subsemigroups H under multiplication of the group G = LQ+ (or LR + ).

Interested reader can derive several related results. However we can define pseudo set super matrix semivector subspace of refined labels of a group super matrix semivector space of refined labels over the multiplicative group LQ+ and LR + . We will only illustrate this situation by an example or two. Example 5.78: Let ª La °° « 1 V = ®«La 4 °« ¯° ¬« La 7

ª L a1 « « La 7 «L « a1 « La « 7 « L a1 « ¬« La 7

La8

La3 º » La6 » , » La9 ¼»

La2 La5

La 2

La 3

La 4

La 5

La6

L a7

La8 · ¸ La16 ¸ ¸ La8 ¸¹

L a10

L a11

La12

L a13

La14

La15

La 2

La 3

La 4

La 5

La6

L a7

La 2

La3

L a4

L a5

L a8

La9

La10

La11

La 2

La3

L a4

L a5

L a8

La9

La10

La11

La 2

La3

L a4

L a5

L a8

La9

La10

La11

½ L a6 º ° » La12 » ° ° » L a6 ° » L ∈L ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ ai R + ∪{0} La12 » ° » ° L a6 » ° » ° La12 ¼» ¿

be a group super matrix semivector space of refined labels over the multiplicative group G = LQ+ . Consider ½ P = ® L 1 ∪ L 1 n = 0,1, 2,...¾ ⊆ LQ+ ; n n 5 ¯ 2 ¿

243

P is only a subset of LQ+ = G. Take ª La La La º § La 0 0 La 0 La La 0 · 2 3 4 6 7 °° « 1 ¸ » ¨ 1 M = ® « La 4 L a5 La6 » , ¨ La9 0 0 La12 0 La14 L a15 0 ¸ ¸ » ¨ °« L L a8 La9 ¼» ¨© L a1 0 0 La 4 0 0 0 0 ¸¹ °¬ ¯« a 7

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;i = 1, 2,...,9,12,14,15 ⊆ V.

M is a set super matrix semivector space of refined labels over the set P ⊆ G. Thus M is a pseudo set super matrix semivector space of refined labels of V over the set P of the multiplicative group G. This pseudo set super matrix semivector space of refined labels can also be defined in case of semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup LQ+ ∪{0} or L R + ∪{0} . The task of studying this notion and giving examples to this effect is left as an exercise to the reader.

244

Applications of super matrix vector spaces of refined labels and super matrix semivector space of refined labels is at a very dormant state, as only in this book such concepts have been defined and described. The study of refined labels is very recent. The introduction of super matrix vector spaces of refined labels (ordinary labels) are very new. Certainly these new notions will find applications in the super fuzzy models, qualitative belief function models and other places were super matrix model can be adopted.

245

Since DSm are applied in several fields the interested researcher can find application in appropriate models where DSm finds its applications. When one needs the bulk work to save time super matrix of refined labels can be used for information retrieval, fusion and management. Further as the study is very new the applications of these structures will be developed by researches in due course of time.

246

In this chapter we have suggested over hundred problems some of which are open research problems, some of the problems are simple, mainly given to the reader for the better understanding of the definitions and results about the algebraic structure of the refined labels. We suggest problems which are both innovative and interesting. 1. Obtain some interesting properties about DSm super row vector space of refined labels over LQ. 2. Obtain some interesting properties about DSm super column vector space of refined labels over LR. 3. Find differences between the DSm super vector spaces of refined labels defined over LR and LQ.

247

4. Let V be a super row vector space given by; ª L ½ La 4 L a7 L a10 º °° « a1 °° » V = ® « La 2 La 5 La8 La11 » Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 12 ¾ ; » °« ° L La 6 La9 L a12 »¼ ¯° «¬ a3 ¿° a) Find a basis of V over LR. b) What is the dimension of V over LR? c) Give a subset of V which is linearly dependent. 5. Let V =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

)

}

L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5 be

a super row vector space of refined labels over the field LR. a) Find a non invertible linear operator on V. b) Find an invertible linear operator on V. c) Find the algebraic structure enjoyed by LLR (V,V) . d) Does T : V → V be such that ker T is a hyper subspace of V? ª La º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« » ° ° « La3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 8¾ be a super column 6. Let V = ® °« L a5 » ° °« L » ° °« a 6 » ° ° « La » ° °« 7 » ° °«¬ La8 »¼ ° ¯ ¿ vector space of refined labels over LR.

Study questions (a) to (d) described in problem (5).

248

7. Obtain some interesting properties about super row matrix vector spaces of refined labels. ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° °« 5 » ° ° ° Let V = ®« La 6 » L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 11¾ be a super column °« L » ° °« a 7 » ° °« L a » ° °« 8 » ° ° « La 9 » ° » °« ° °« La10 » ° °« L » ° a ¯°«¬ 11 »¼ ¿° vector space of refined labels over LR. a) Write V as a direct sum of super column vector subspaces of V over LR. b) Write V as a pseudo direct sum of super column vector subspaces of V over LR. c) Define a linear operator on V which is a projection. d) Find dimension of V over LR. e) Find a basis of V over LR.

249

8. Let § La L a2 La 3 °¨ 1 °¨ La 6 L a7 La8 °¨ °¨ La11 La12 La13 ° W = ®¨ L a16 La17 La18 ¨ °¨ L La 22 La 23 °¨ a 21 °¨ L a L a 27 La 28 °¨ 26 °¨ La 31 La32 L a33 ¯© be a super matrix vector field LR.

½ L a5 · ° ¸ La9 La10 ¸ ° ° ¸ La14 L a15 ¸ ° ¸ La19 La 20 La ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 35°¾ ¸ i ° La 24 L a25 ¸ ° ¸ ° La 29 L a30 ¸ ° ¸ La 34 La35 ¸ ° ¹ ¿ space of refined labels over the La 4

a) Find subspaces Wi in V so that V =

is a direct

i =1

sum. b) Find a basis for V over LR. c) Find dimension of V over LR. d) Suppose M = § 0 ½ 0 L a1 0 0 · °¨ ° ¸ 0 La 2 0 0 ¸ °¨ 0 ° °¨ ° ¸ 0 La12 0 ¸ °¨ La3 La 4 ° °¨ L ¸ L ∈ L ;1 ≤ i ≤ 15° ⊆ L 0 0 L a6 a13 ®¨ a5 ¾ R ¸ ai °¨ L ° L a8 0 La14 0 ¸ °¨ a7 ° ¸ °¨ L a La ° 0 0 L a15 ¸ 10 °¨ 9 ° ¸ 0 La11 0 0 ¸ °¨ 0 ° ¹ ¯© ¿ W be a super matrix vector subspace of V over LR find T : W → W such that T (W) ⊆ W. e) Is T invertible? f) Find a non invertible T on W. g) Write V as a pseudo direct sum.

250

§ L a L a ½ La 3 La 4 · 2 °¨ 1 ° ¸ °°¨ La 5 La6 L a7 La8 ¸ °° Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ be a 9. Let P = ®¨ ¸ °¨ La9 La10 La11 La12 ¸ ° ¸ °¨ L a ° L L L a a a 14 15 16 ¹ ¯°© 13 ¿° super matrix vector space of refined labels over LR. a) Find a basis for P over LR. b) If LR is replaced by LQ what will be the dimension of P? c) Write P as a pseudo direct sum of super vector subspaces of refined labels over LR.

§ La ½ L a2 La3 L a 4 · °¨ 1 ° ¸ °¨ L a5 L a6 L a7 La8 ¸ ° °°¨ °° ¸ 10. Let M = ®¨ L a9 La10 L a11 La12 ¸ Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 20 ¾ be °¨ L ° La14 La15 La16 ¸ °¨ a13 ° ¸ °¨ La ° ¸ L L L a a a 18 19 20 ¹ °¯© 17 °¿ a super matrix vector space over the refined labeled field LR. a) Prove M is infinite dimensional over LQ. b) Write M as a direct union of super matrix vector spaces. c) Find S = LL R (M,M) ; what is the algebraic structure

enjoyed by S. § ½ · °¨ La1 La 2 La 3 ¸ ° ° ° 11. Let V = ®¨ L a4 L a5 La 6 ¸ Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ be a super ¨ ¸ ° ° °¯¨© L a7 La8 La9 ¸¹ °¿ matrix vector space over LR of refined labels.

251

ª L a L a º ½ 2 °« 1 ° » ° « La 3 L a4 » ° °« ° » ° « La5 L a6 » ° °« ° » M = ® L a7 La8 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 14 ¾ be a super matrix » °« L ° °« a9 La10 » ° » °« L ° La12 » °« a11 ° °«¬ La13 La14 »¼ ° ¯ ¿ vector space of refined labels over LR. a) Define a T : V → M so that ker T is a nontrivial subspace of V. ª0 0 0 º « » b) Define p : V → M such that ker p = « 0 0 0 » . «0 0 0 » ¬ ¼ c) Find the algebraic structure enjoyed by S = Hom LR (V,M) = LL R (V, M) .

d) What is the dimension of M over LR? ª0 0 º «0 0 » « » «0 0 » « » e) Find η : M → V so that ker η ≠ « 0 0 » . «0 0 » « » «0 0 » «0 0 » ¬ ¼ f) Find B = HomLR (M,V) = LL R (M, V) . g) Compare B and S.

252

12. Let § La ½ L a2 La 3 La 4 L a5 · °¨ 1 ° ¸ °¨ La 6 L a7 La8 La9 La10 ¸ ° °¨ ° ¸ °¨ La11 La12 La13 La14 L a15 ¸ ° La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 30 ¾ M= ® ¨L ¸ °¨ a16 La17 La18 La19 La 20 ¸ ° °¨ L ° ¸ L L L L a 22 a 23 a 24 a 25 °¨ a 21 ° ¸ ¸ °¨ L a ° L L L L a a a a 27 28 29 30 ¹ ¯© 26 ¿ be a super matrix vector space over LR.

a) Let § 0 ½ 0 0 L a1 L a 2 · °¨ ° ¸ 0 0 0 0 ¸ °¨ 0 ° °¨ ° ¸ 0 0 ¸ °¨ La 3 La 4 La5 ° P= ® L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 11¾ ⊆ ¨ 0 ¸ ai 0 0 L L a6 a7 °¨ ° ¸ °¨ 0 ° 0 0 La8 La9 ¸ °¨ ° ¸ ¸ °¨ 0 ° 0 0 L L a10 a11 ¹ ¯© ¿ M. Find T : M → M so that T (P) ⊆ P. find η : M → M such that η (P) ⊄ P. °ª La L a La La º ½° 1 3 5 7 b) Let V = ®« » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 8¾ be °¯¬« La 2 La 4 La6 La8 ¼» °¿ a super row vector, vector space of refined labels over LR. i) Define a linear function f : V → LR. ii) Is ker f a super hyper space?

13. Obtain some interesting results on super matrix vector space of refined labels over LR. 14. Let V = LR be a vector space (linear algebra) over LQ. Prove dimension of V is infinite over LQ.

253

15. Prove V = LR is finite dimensional over LR. ª ½ º ° « L a1 L a 2 L a 3 » ° ° ° 16. Let V = ®« La 4 La 5 La 6 » Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ be a super » °« ° L L L « » a a a °¯¬ 7 °¿ 8 9 ¼ matrix vector space of refined labels over LR. Prove V is not a super matrix linear algebra of refined labels over LR.

17. Prove a super matrix vector space of refined labels over LR can never be a super matrix linear algebra of refined labels over LR. 18. Let M =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

)

}

L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5 be

a super row vector space of refined labels over LR. How many such super row vector spaces of refined labels can be constructed using 1 × 5 super row vectors by varying the

(

partition on La1

L a2

La 3

La 4

)

L a5 ?

19. Prove those classical theorems which can be adopted on super matrix vector space of refined labels.

20. Let ª L a1 L a 2 °« ° « La La6 V = ®« 5 °« La9 La10 °« L L ¯¬ a13 a14 21. be a super row over L R + ∪{0} .

½ La 3 La 4 L a17 º ° » La7 L a8 La18 » ° Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 20¾ » La11 La12 La19 ° » ° La15 La16 L a 20 »¼ ¿ vector semivector space of refined labels

a) Find a basis for V over L R + ∪{0} .

254

b) Find a set of linearly independent elements of V which is not a basis of V over L R + ∪{0} . c) Find a linearly dependent subset of V over the semifield L R + ∪{0} . d) Prove V has linearly independent subsets whose cardinality is greater than that of the basis. ª La ½ La 2 La3 La 4 º °« 1 ° » ° « L a 5 L a 6 L a 7 L a8 » ° °« ° » °« La 9 L a10 L a11 La12 » ° °« L ° » L L L a14 a15 a16 °« a13 ° » L ai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 32¾ 21. Let V = ® °« La17 L a18 La19 La 20 » ° » °« L ° L L L a 22 a 23 a 24 » °« a 21 ° » °« La ° L L L a a a 26 27 28 » °« 25 ° °«¬ La 29 L a30 L a31 La 32 »¼ ° ¯ ¿ be super column vector, semivector space of refined labels over the semifield L R + ∪{0} .

a) Find two super column vector semivector subspaces of V which has zero intersection over L R + ∪{0} . b) Write V as a direct sum of super column vector semivector subspaces over L R + ∪{0} . c) Write V as a pseudo direct sum of super column vector semivector subspaces over L R + ∪{0} . d) Find a T : V → W which has a non trivial kernel. e) Find a η : V → V so that the η is an invertible linear transformation on V. f) Can η : V → V be one to one yet η-1 cannot exist? Justify.

255

ª L a º ½ °« 1 » ° ° « La 2 » ° °« ° » ° « La 3 » ° °« L » ° °« a 4 » ° ° « La » ° °« 5 » ° ° « La 6 » ° °°« °° » 22. Let V = ®« La7 » L ai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 13¾ be a super column °« L » ° ° « a8 » ° ° « La » ° °« 9 » ° °« La10 » ° °« ° » °« La11 » ° °« L » ° °« a12 » ° °« L a » ° ¯°¬ 13 ¼ ¿° semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} .

a) Find a basis of V over LQ+ ∪{0} . b) Can V have more than one basis? c) Find dimension of V over LQ+ ∪{0} . d) Write V as a pseudo direct sum of super column semivector subspaces over LQ+ ∪{0} .

256

ª La º ½ °« 1 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 2 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La » ° °« 3 » ° °« 0 » ° °°« » °° e) Suppose W = ®« La 4 » La i ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ ⊆ V be a °« 0 » ° °« » ° °« L a » ° °« 5 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La 6 » ° °« 0 » ° °« » ° ° « La » ° ¯°¬ 7 ¼ ¿° super column semivector subspace of V of refined labels over LQ+ ∪{0} .

i) Find a T : V → V such that T (W) ⊆ W. ii) Find T1 : V → V such that T1 (W) ⊄ W. f) Find a subset of V with more than 14 elements which is a linearly independent subset of V over LQ+ ∪{0} . ª La ½ L a 2 La 3 L a 4 º °« 1 ° » ° « L a5 La6 L a7 La8 » ° °« ° » °« L a9 La10 L a11 La12 » ° La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 24¾ 23. Let V = ®« » °« La13 La14 La15 La16 » ° °« L a ° L L L » a18 a19 a 20 °« 17 ° » °« La 21 La 22 La 23 La 24 » ° ¼ ¯¬ ¿ be a super matrix semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} .

257

a) Is V finite dimensional over LQ+ ∪{0} ? b) Can V have finite linearly independent subset? c) Can V have finite linearly dependent subsets? d) Find HomL + (V,V) = S. Q ∪{0}

e) What is the algebraic structure enjoyed by S? f) Is S a finite set? g) Give two maps T : V → V and P : V → V so that TP = PT. h) Find Tf : V → LQ+ ∪{0} . i)

If K = {f | f : V → LQ+ ∪{0} }, what is the cardinality of

K? Does K have any nice algebraic structure on it?

24. Let ª L a La 2 °« 1 L L °°« a 6 a7 V = ®« °« La11 L a12 ° « La L a 17 °¯¬ 16 be a super matrix LQ+ ∪{0} } and ª La °« 1 ° « La 4 °« ° « La 7 °« L °« a10 ° W = ®« L a13 °« L °« a16 °« L °« a19 °« La 22 °« °¯«¬ La 25

½ L a5 º ° » La8 La9 L a10 » °° Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 20 ¾ » La13 La14 L a15 ° » ° La18 La19 L a20 » ¼ °¿ semivector space of refined labels over La3

La 2 L a5 La8 La11 L a14 La17 L a20 La 23 L a26

La 4

½ La 3 º ° » La6 » ° ° » La9 ° » ° » La12 ° » ° La15 » L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 27 ¾ » ° La18 » ° ° L a21 »» ° ° La 24 » » ° La 27 »¼ °¿

258

be a super column vector semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} . a) Define T : V → W such that T is an invertible linear transformation on V. b) Prove W is an infinite dimensional space. c) If η : V → W does η enjoy any special property related with dimensions of V and W? d) Can P : V → W such that ker P is different from the zero space? e) What is the algebraic structure enjoyed by HomL + (V, W) ? Q ∪{0}

25. Let V be a super row vector space of refined labels over LR;

{(

where V = L a1

La 2

L a3

... L a n

)

}

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ n ;

a) Find HomLR (V,V) . b) Is HomLR (V,V) a super row vector space? c) Is HomLR (V,V) just a vector space of refined labels? Justify your claim. 26. Let ª La ½ L a 2 La 3 L a 4 La 5 º °« 1 ° » °« La 6 L a7 La8 La9 La10 » ° °°« °° » V = ®« La11 La12 La13 La14 L a15 » Lai ∈ LQ ;1 ≤ i ≤ 25¾ °« L ° La17 La18 La19 La 20 » °« a16 ° » ° « La ° L L L L » a a a a 22 23 24 25 ¼ ¯°¬ 21 ¿° be a super matrix vector space of refined labels over the refined field LQ. a) What is the dimension of V over LQ? b) Does V have super matrix row vector subspace over LQ? c) Find a set linearly dependent elements in V over LQ. d) Find the algebraic structure enjoyed by LLQ (V,V) = HomLQ (V,V) .

259

ª L a ½ La 2 La3 L a 4 º °« 1 ° » ° ° « La 5 La 6 La 7 La8 » ° °« » ° °« La 9 L a10 La11 La12 » ° °« L » L a14 La15 La16 ° °« a13 » ° ° 27. Let V = ®« La17 L a18 La19 La 20 » L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 36¾ be » ° °« L ° °« a 21 La 22 La 23 La 24 » » ° °« L L L L a 26 a 27 a 28 » ° °« a 25 ° °« La 29 L a30 L a31 La 32 » » °« ° °¯«¬ La33 L a34 La35 La 36 »¼ °¿ a super matrix vector space of refined labels over LR. a) Find a super matrix vector subspace W of V dimension 19 of refined labels over LR. b) Find T : V → V so that T (W) ⊆ W. c) Find P : V → V so that P (W) ⊄ W. d) Compare the super linear operators P and T of V. e) What is ker T? f) Find ker P and compare it with ker T. g) Find a super matrix vector subspace of dim 5 of V of refined labels over LR. h) Write V as a pseudo direct sum of super matrix vector subspaces.

28. Let ª La1 L a5 La9 L a13 L a17 La 21 º ½ °« ° » °« La 2 La 6 La10 La14 La18 La 22 » L ai ∈ L R ;° V = ®« ¾ » °« La3 La 7 L a11 L a15 La19 La 23 » 1 ≤ i ≤ 24 ° °« L L L ° L L L » ¯¬ a 4 a8 a12 a16 a 20 a 24 ¼ ¿ be a super matrix vector space of refined labels over LQ. a) Find dimension of V over LQ. b) Find HomLQ (V,V) .

260

c) Write V =

so that V is a direct union of super

i =1

matrix vector subspaces of V over LQ. 6

d) Write V = Wi so that V is the pseudo direct union of i =1

super matrix vector subspaces of V. ª La La La L a La º ½ 2 3 4 5 °« 1 ° » ° « La 2 La 6 L a7 La8 La 9 » ° °« ° » 29. Let M = ®« La3 La 7 L a1 La 2 L a3 » Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ °« L ° » ° « a 4 L a8 La9 La 4 La 5 » ° °« L ° L L L L » a6 a3 a5 a6 ¼ ¯¬ a5 ¿ be a super matrix vector space of refined labels over LR. a) Find dimension of V over LR. b) Is dim V over R less than 25? c) Can V have a super matrix vector subspaces of refined labels of dimension 9 over LR? d) Find the dimension of the super matrix vector subspace ªLa ½ 0 0 0 0º °« 1 ° » 0» °« 0 La6 La7 0 ° °« ° » 0 La1 ,La7 ,La4 ,La5 ∈ LR ¾ ⊆ V P= ®« 0 La7 La1 0 » °« 0 ° 0 0 La4 La5 » °« ° » °« 0 ° 0 0 L L » a5 a6 ¼ ¯¬ ¿ e) Find a linear operator T on V such that T (P) ⊆ P. f) Let M = ª 0 La L a La La º ½ 2 3 4 5 °« ° » 0 0 La8 La9 » ° « La 2 ° °« ° » 0 0 La 2 La3 La 2 ,L a3 ,La 4 ,L a5 ,La8 ,L a9 ∈ L R ¾ ®« L a3 » °« L ° 0 0 0 0 » °« a 4 ° » °« L ° 0 0 0 0 » ¼ ¯¬ a5 ¿

261

⊆ V, be a super matrix vector space of refined labels over LR of V. Find dimension of M over LR. g) Find T : V → V so T (M) ⊄ M. ª La L a La La L a º ½ 2 3 4 5 °« 1 ° » ° « L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 » ° ° °« » ° ° « L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 » ° °« L » L L L L a2 a3 a4 a5 ° ° « a1 » ° ° 30. Let V = ®« La1 L a2 La 3 La 4 L a5 » Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5¾ » ° °« L L L L L « » a a a a a 1 2 3 4 5 ° ° » ° °« L L L L L a a a a a 2 3 4 5 » ° °« 1 ° ° « L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 » » ° °« °¯«¬ La1 L a2 La 3 La 4 L a5 »¼ °¿ be a super matrix vector space of refined labels over LR. a) What is dimension of V over LR? b) Is V of dimension 45 over LR? Justify your answer. ª0 0 0 0 0 º «0 0 0 0 0 » « » «0 0 0 0 0 » « » «0 0 0 0 0 » c) Define T : V → V so that ker T = «0 0 0 0 0 » . « » «0 0 0 0 0 » «0 0 0 0 0 » « » «0 0 0 0 0 » «0 0 0 0 0 » ¬ ¼

d) Find P1 and P2 two distinct linear operators of V so that P1P2 = P2 P1 = Identity operator on V. 31. Give some interesting applications of super matrix vector spaces of refined labels over LR or LQ.

262

32. Prove we cannot in general construct super matrix linear algebras of refined labels defined over LR or LQ. 33. Obtain some interesting properties enjoyed by integer set super matrix semivector space of refined labels defined over the set S = 3Z+ ∪ 5Z+ ∪ {0}. 34. Obtain some interesting properties by group super matrix semivector spaces of refined labels defined over LQ+ or LR + .

35. Let V = ª La º °« 1 » °« La2 » °« » °« L a3 » °« L » ª La1 °« a 4 » « L °« L a » « a 4 °°« 5 » « La « 7 ®« La6 » « « » ° L «La10 °« a 7 » « L °« La » « a13 °« 8 » « L a °« La9 » ¬ 16 °« » °«La10 » °« L » °¯«¬ a11 »¼

L a2 La5 La8 La11 La14 La17

La3 º » L a6 » La9 » ª La1 »« La12 » «¬La9 » La15 » » La18 ¼»

La2

La3

La4

L a5

La6

La7

La10

La11

La12

La13

La14

La15

L a8 º » La16 »¼

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 18 } be a integer super matrix semivector

space of refined labels over 3Z+ ∪ 5Z+ ∪ {0} = S. a) Find a basis of V over S. b) Find integer super matrix semivector subspace of V of refined labels. 3

c) Write V =

as a direct sum.

i =1

263

36. Let V = ª ½ º º ª º ª ° « L a1 L a 2 L a 3 » « L a1 L a 2 L a 3 » « L a1 L a 2 L a 3 » ° ° ° ®« La 4 La 5 L a6 » , « La 4 La5 La 6 » , « L a4 L a5 La 6 » L ai ∈ LQ ;1 ≤ i ≤ 9 ¾ » » « » « °« ° L L L L L L L L L « » a a a a a a a a a « » « » °¯¬ 7 °¿ 8 9 ¼ ¬ 7 8 9 ¼ 8 9 ¬ 7 ¼ be a set super matrix vector space of refined labels over the set S = LQ+ ∪{0} ∪ L R + ∪{0} . a) Find subspaces of V. b) Write V as a pseudo direct sum of subspaces. 37. Let V = ° ° ° ° ° ° °§ La1 ®¨ L °¨© a3 ° ° ° ° ° ° ¯

ª L a1 º « » «L a2 » «L » « a3 » «L a » La 2 · « 4 » ª L a ¸ , « La » , « 1 La 4 ¸ « 5 » « L a ¹ «L a » ¬ 1 6 «L » « a7 » «L » « a8 » « La9 » ¬ ¼

La 2

L a3

La 4

La5

La 6

La 2

L a3

La 4

La5

La 6

L a7 º » L a7 »¼

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 be a group super matrix semivector

space of refined labels over LR + the multiplicative group. a) Find V=

as a pseudo direct sum.

i =1

b) Find subgroup super matrix semivector subspace of V of refined labels over LR + . c) Find pseudo semigroup super matrix semivector subspaces of V of refined labels over LR + .

264

d) Find pseudo set super matrix semivector subspace of V of refined labels over LR + . 38. Let V = ª La °« 1 °« La1 °« °«La3 °«L ° « a3 °«La ° 3 ®«L ° « a5 °«L ° « a5 °«La5 °« °«La5 °« °¯«¬La7

La2 º » La2 » La4 » » La4 » ª La » « 1 La4 » «La », 3 La6 » «La « 5 La6 »» «La ¬ 7 La6 » » La6 » » La8 » ¼

La2 º » La4 » , ªLa La2 La6 » ¬ 1 » La8 »¼

La3

La4

La5 La6

La7

La8 La9 º¼

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 9 be a semigroup super matrix semivector

space of refined labels over the semigroup S = LQ+ ∪{0} under addition. a) Write V =

as a pseudo direct sum of subspaces.

b) Find two pseudo set super matrix semivector subspaces of refined labels of V over S. c) Find T : V → V with non trivial kernel. d) Find P : V → V so that P-1 exists. ª La La º ½ 2 °« 1 ° » °°« L a3 La 4 » °° Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 2¾ ⊆ V; find e) If K = ®« » ° « L a5 La 6 » ° °« L ° » L a8 ¼ °¯¬ a 7 °¿ dimension of K over LQ+ ∪{0} .

265

39. Obtain some nice applications of semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup L R + ∪{0} under addition. ª L a ½ La 2 L a3 L a4 º °« 1 ° » ° « La 5 La 6 La 7 La8 » ° °« ° » °« La9 La10 La11 La12 » ° °« L ° » L L L L ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 28¾ be 40. Let V = ® a13 a14 a15 a16 « » ai °« L ° La18 L a19 La 20 » °« a17 ° » ° « La ° L L L a 22 a 23 a 24 » °« 21 ° » °« La 25 La 26 La 27 La 28 » ° ¼ ¯¬ ¿ a super matrix vector space of refined labels over LR. a) Find dimension of V over LR. b) Find subspaces of dimensions 5, 7 and 20. c) Write V=W1⊕ … ⊕ Wt where Wi ’s are subspaces of V. d) Find T : V → V so that T is an idempotent operator on V. e) Find T : V → V so that T-1 exists.

41. Let ½ ª L a1 º ° ° « » ° ° « La 2 » ° ° «L » L L La 3 La 4 º a2 ° ° « a3 » ª« a1 ° ° « La » La L a La La » 6 7 8 » ° °ª L L º « 4 » « 5 » Lai ∈ LR ;° ° a1 a 2 « L » « L L L L » , a5 , « a 9 P = ®« a10 a11 a12 » ¾ 1 ≤ i ≤ 19 ° °«¬ La 3 La 4 »¼ « L » « L » « a 6 » « a13 La14 La15 La16 » ° ° «L » L ° ° L L L « » « a 7 » ¬ a17 a18 a 20 a19 ¼ ° ° « La » ° ° « 8» ° ° « La 9 » ° ° ¬ ¼ ¯ ¿ be a set super matrix vector space of refined labels over the set

266

½ S = ®L 1 n ∈ 0,1,2,..., ∞ ¾ ⊆ LR. ∪L 1 5n ∪{0} ¯ 2n ∪{0} ¿ 3

a) Write V =

as a direct sum of subspaces.

i =1 5

b) Write V =

as a pseudo direct sum of subspaces?

i =1

c) Find two disjoint subspaces W1 and W2 and find two linear operators T1 and T2 so that T1 (W1) ⊆ W1 and T2 (W2) ⊆ W2. d) Find a subset super matrix vector subspace of refined labels of V. 42. Write down any special feature enjoyed by the super matrix semivector space of refined labels over L R + ∪{0} or LQ+ ∪{0} . 43. Can we have finite super matrix semivector space of refined labels over the semifield L R + ∪{0} or LQ+ ∪{0} ? Justify your claim. 44. Is it possible to construct set super matrix semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} of finite order? ª La La La L a L a º ½ 2 3 4 5 °« 1 ° » ° « L a 2 L a1 L a 5 L a 3 L a 4 » ° °°« °° » 45. Let P = ®« La3 La 5 L a 4 La1 La 2 » Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5¾ be °« L ° L a3 L a1 La 2 L a5 » °« a 4 ° » ° « L a La L a La L a » ° 4 2 5 3 ¼ °¯¬ 5 °¿ a super matrix vector space of refined labels over the field LR. a) Find dimension of P over LR. b) Write P = ∪ Wi, Wi, subspaces as a direct sum. c) Can P have ten dimensional super matrix vector subspace of refined labels over LR? Justify your answer.

267

d) Define T : P → P so that T2 = T. e) Find S : P → P so that S2 = (0). f) Find hyper subspaces of refined labels in P over LR. 46. Obtain some interesting properties about LLR (V,L R ) where V is a super matrix vector space of refined labels over LR. ª L a La L a La º ½ 2 3 4 °« 1 ° » ° « La 5 La 6 La 7 La8 » ° °« ° » °« L a1 La 2 L a3 La 4 » ° 47. Let V = ® L ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 8¾ be a « La La La La » ai °« 5 ° 6 7 8 » °« L ° L L L a2 a3 a4 » °« a1 ° » ° « La La La La » ° 6 7 8 ¼ ¯¬ 5 ¿ super matrix vector space of refined labels over LR. Define f : V → LR so that f is a linear functional on V. Suppose v1, …, v6 are some six linearly independent elements of V; find f (vi); i = 1, …, 6. Study the set {f (v1) ,…, f (v6)} ⊆ What is the algebraic structure enjoyed by LR. LLR (V,L R ) ? How many hyper subspaces exist in case of

V? ª La La La L a º ½ 2 3 4 °« 1 ° » °°« La 2 L a3 La 4 La1 » °° L ai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ be 48. Let V = ®« » ° « L a 3 L a 4 L a 2 L a1 » ° ° « La La La La » ° 1 3 3 ¼ °¯¬ 4 °¿ a integer super matrix semivector space of refined labels over Z+ ∪ {0}. a) Find a linear operator T on V which is non invertible. b) Write V as a direct sum of semivector subspaces of refined labels over Z+ ∪ {0}.

268

ª L a ½ La 2 La3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 La 6 » ° °« ° » ° « La7 L a8 L a9 » ° °« L ° » La11 L a12 °« a10 ° » °« L a ° L L » a14 a15 ° 13 ° 49. Let M = ®« » Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 30¾ be a °« La16 La17 La18 » ° » °« L ° L L a 20 a 21 » °« a19 ° » ° « La ° L L a a 23 24 » °« 22 ° ° °« La 25 La 26 L a27 » » °« ° °¯«¬ La 28 La 29 La30 »¼ ¿° super matrix semivector space of refined labels over the semifield LQ+ ∪{0} .

a) Find the dimension of M over LQ+ ∪{0} . b) Write M as a pseudo direct sum of semivector subspaces of refined labels over LQ+ ∪{0} . c) Write M =

as a pseudo direct sum of super

matrix semivector subspaces of refined labels over LQ+ ∪{0} . d) Show in M we can have more number of linearly independent elements than the cardinality of the basis of M over LQ+ ∪{0} . ª La L a L a La º ½ 2 3 4 °« 1 ° » 0 La 4 La 5 » °« La 2 ° °« ° » 0 L a3 0 Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 11¾ be a 50. Let V = ®« 0 » °« L ° 0 La 9 » °« a 7 La5 ° » °« 0 L ° L 0 » a10 a1 ¼ ¯¬ ¿ super matrix vector space over LR.

269

a) Find dimension of V over LR. b) Write ∪ Wi = V as a pseudo direct sum of subspaces. c) Is the number of subspaces of V over LR finite or infinite? d) Give a linearly dependent subset of order 10. ª La La La La º ½ 2 3 4 °« 1 ° » 0 0 L a5 » °°« La 2 °° La i ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 7 ¾ be 51. Let V = ®« » 0 La6 0 °« La3 ° » °« L ° » L 0 0 a7 ¼ °¯¬ a 4 °¿ a group super matrix semivector space of refined labels over multiplicative group G = LR + .

a) What is the dimension of V over G? b) Prove there exist infinite number of pseudo set super matrix semivector subspaces of V over LR. c) Prove there exists infinite number of pseudo semigroup super matrix semivector subspaces of V over LR. d) Prove V is not a simple group super matrix semivector space over LR. 7

e) Write V =

as direct sum of subspaces of V.

i =1

f) Write V= Wi as pseudo direct sum of subspaces of V i =1

52. Let ª La La La La L a La La La º ½ 4 7 10 13 16 19 22 °°« 1 » La i ∈ L R ;°° V = ®« La 2 L a5 La8 L a11 La14 La17 La 20 La 23 » ¾ » 1 ≤ i ≤ 24 ° °« L L L L L L L L ¯°¬« a3 a 6 a 9 a12 a15 a18 a 21 a 24 »¼ ¿° be a super row vector space over LR of refined labels. a) What is the dimension of V? b) Find Hom LR (V,V) .

c) Find T : V → V so that T2 = T. d) Find T1 : V → V so that T12 = (0).

270

ª L º ª La º ª La º ª La º ½ ° « a1 » « 1 » « 1 » « 1 » ° ° « La 2 » « La 2 » « La 2 » « L a2 » ° °« » « » « » « » ° ° « La3 » « La3 » « La3 » « La3 » ° , , , L ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ 53. Let P = ® « La » « La 4 » « La 4 » « L a4 » ai °« 4 » « » « » « » ° ° « L » « L a » « La » « La » ° °« a5 » « 5 » « 5 » « 5 » ° ° « La » « L a6 » « L a6 » « L a6 » ° ¯¬ 6 ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¿ be a set super matrix semivector space of refined labels over the set S = L2n ∪{0} ∪ L3n ∪{0} ∪ L5n .

a) Find subspaces of P. b) What is dimension of P over S? 4

c) Express P =

as a direct sum of subspaces of V.

i =1

d) Define T : P → P with T.T = T. e) Define T1 : P → P so that T1−1 exists. 54. Let ª La °ª 0 La 2 L a3 La 4 º « 1 °« » « La 3 °« La 2 0 L a3 La 4 » « V = ®« » , « La 5 ° « L a3 L a3 0 La 2 » « L a °« L L L 0 »¼ « 7 °¬ a 4 a 4 a 2 «¬ La9 ¯

}

La 2 º » ª 0 L a1 L a 2 L a 3 º La 4 » « » « L a1 0 L a 4 L a 5 » » L a6 , « » L L 0 La6 » a2 a4 « » » La8 » «¬ L a3 L a5 La 6 0 »¼ La10 »¼

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6 be a integer set super matrix semivector

space of refined labels over the set of integers S = 3Z+ ∪ {0} ∪ 2Z+. Suppose W = ª¬L a1 La 2 La3 L a 4 L a5 L a6 La 7 La8 La9 La10 º¼ ,

{

271

½ La 2 º ° » La 4 » °° La 5 Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 6 ¾ » La 2 ° » L a8 ° » La 4 ¼ °¿ be an integer set super matrix semivector space of refined labels over the set S = 3Z+ ∪ 2Z+ ∪ {0}. a) Find a linear transformation T from V into W so that T-1 exists. b) Find the algebraic structure enjoyed by HomS (V, W). c) Find T1 and T2 two linear transformation from V into V such that T1 . T2 is an idempotent linear transformation. d) Find two linear transformation L1 and L2 from W into W so that L1 . L2 = L1 . L2 but L1 . L2 = L1 . L2 ≠ I. ªL « a1 « La « 4 « La 7 ¬

La 2

ª L a1 La3 º « » « La 3 L a6 » , « » « L a1 L a9 » ¼ « La 3 ¬

55. Let ª La °« 1 ° « La 6 °« °« La11 °« L °« a16 ° °« La 21 M = ®« °« La 26 °« L °« a31 °« L a36 °« °« La 41 °« °¯¬« La 46

La 2

La3

L a4

La 7

La8

La9

L a12

La13

La14

L a17

La18

La19

L a22

La 23

La 24

La 27

La 28

La 29

La32

La 33

La34

L a37

La 38

La39

L a42

La 43

La 44

La 47

La 48

La 49

½ La 5 º ° » La10 » ° ° » La15 ° » ° » La 20 ° » La 25 » L a ∈ L + ;°° Q ∪{0} i » be a La 30 » 1 ≤ i ≤ 50 ¾° ° L a35 »» ° La 40 » ° » ° La 45 » ° » ° La 50 » °¿ ¼

super matrix vector space of refined labels over LQ+ ∪{0} . a) Write M =

W ; Wi super matrix vector subspaces of i

refined labels over LQ+ ∪{0} of M as a direct sum.

272

ª 0 ½ 0 0 0 0 º °« ° » ° « L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 » ° °« ° » 0 0 0 0 °« 0 ° » °« L L L L L » ° a7 a8 a9 a10 °« a 6 ° » °« 0 0 0 0 0 » Lai ∈ LQ+ ∪{0} ;°° ° » b) Let W = ®« ⊆ 0 0 0 0 » 1 ≤ i ≤ 20 ¾° °« 0 °« 0 ° 0 0 0 0 »» °« ° °« La11 La12 La13 L a14 L a15 » ° » °« ° °« La16 La17 La18 L a19 La 20 » ° » °« ° 0 0 0 0 » °¯«¬ 0 °¿ ¼ M be a super matrix vector subspace of M of refined labels over LQ+ ∪{0} .

Find T : M → M so that T (W) ⊆ W. c) What is dimension of W? d) Find T1, T2 : M → M so that (T1 . T2) (W) ⊆ W. 56. Obtain some special properties enjoyed by set super matrix vector space of ordinary labels over a suitable set.

{

}

57. Let V = ª¬ La1 L a2 La 3 La 4 L a5 º¼ Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 5 be a super row matrix vector space of refined labels over LR. Will V ≅ LR × LR × LR × LR × LR? Justify your answer. 58. How many super row matrices of dimension seven can be built using the row matrix

La 2 L a 3 La 4 La 5 L a 6 La 7

) of refined labels?

59. Prove or disprove that if V is a super matrix vector space of dimension n of refined labels defined over LR then V is isomorphic with all super matrix vector space of dimension n of refined labels defined over LR. 273

ª L a ½ La 2 L a3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 La 6 » ° » °° « L °° 60. Let V = ® « a7 L a8 La 9 » Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 15¾ be a super °« L ° La11 L a12 » ° « a10 ° » °« L a ° L L » a14 a15 ¼ °¯ ¬ 13 °¿ matrix vector space of refined labels defined over LR. W = ª L ½ L a4 La5 L a6 L a7 º °° « a1 °° » ® « La 2 La8 La9 La10 L a11 » La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 15¾ be a » °« ° °¯ ¬« La3 La12 La13 La15 La14 ¼» °¿ super matrix vector space of refined labels defined over LR. Is W ≅ V?

61. Let ª La º °« 1 » ° «L a 2 » ª L a1 °« » ° « L a 3 » ª L a1 L a 2 º « « » «L a2 ° V = ® « L a 4 » , « La3 La 4 » , « » « La3 °«L » « ° « a5 » ¬« La5 L a6 ¼» « L ¬ a4 °«L » ° « a6 » ° «¬ L a7 »¼ ¯

La 5 La9 La13 L a17 La 21 º » La 6 La10 La14 La18 L a22 » La7 La11 La15 La19 La 23 » » L a8 La12 La16 L a 20 L a24 »¼

}

Lai ∈ L R + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 24

and °ª La L a2 La 3 º W = ®« 1 » , L a1 L a 2 L a 3 L a 4 L a 5 L a 6 L a 7 , L L L ¯°¬« a 4 a5 a6 »¼

(

)

274

½ La 6 º ° » L a8 La9 La10 La11 La12 » °° L ai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 24 ¾ » La14 La15 La16 La17 La18 ° » ° » La 20 L a21 La 22 L a23 La 24 ¼ °¿ be a group super matrix semivector space of refined labels over the multiplicative group G = LR + . ª L a1 « « La 7 «L « a13 « La ¬ 19

La 2

La3

La 4

La 5

Is V ≅ W? Find dimension V. Find T : V → W so that T-1 exists. Find T1 : V → W so that T1 . T1 = T1. Find pseudo set super matrix semivector subspaces M and P of V and W respectively over the set B = L 1 ∪ L 1 ⊆ L R + such that M ≅ P.

a) b) c) d) e)

f) Define f : V → W so that f (M) = P. 62. Let ª L ° « a1 ° V = ® « La3 °« «L a °¬ ¯ 5 ª L a1 « « La4 «L « a7 « La « 10 « La13 « « L a16 «L « a19 «L ¬ a 22

La2 La5 La 8 L a11 La14 L a17 La 20 L a 23

L a2

La7

L a8

L a4

La10

La11

L a6

La13

La14

La3 º » La6 » L a 9 » ª L a1 » « La12 » « L a 5 », La15 » « La 9 » « La18 » «L a13 ¬ L a 21 »» La 24 » ¼

La 2

La3

La 6

La 7

L a10

L a11

L a14

L a15

La9 º ª L a1 » « La12 » , «L a 4 » « La15 »¼ «L a7 ¬

La 2 La5 La8

La 3 º » La 6 » , » La9 » ¼

½ ° ° ° La 4 º ° » ° La8 » ° L L ;1 i ∈ ≤ 24 ≤ ¾ R + ∪{0} L a12 » ai ° » ° L a16 » ¼ ° ° ° ° ¿

be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over the semigroup L R + ∪{0} under addition.

275

a) b) c) d)

Find dimension V. Find T : V → V so that T . T = T. Find P : V → V so that P2 = 0. Find M : V → V so that ker M is a semigroup super matrix semivector subspace of V of refined labels over the additive semigroup L R + ∪{0} .

e) Find subsemigroup super matrix semivector subspace of refined labels of V. f) Find pseudo set super matrix semivector subspaces of V of refined labels over subsets of the additive semigroup L R + ∪{0} . 63. Give an example of a group super matrix semivector space of refined labels which is simple. 64. Obtain some interesting properties about group super square matrix semivector space of refined labels over the multiplicative group LQ+ . 65. Let V =

{( L

L a 2 L a3 L a 4 L a 5 L a6 L a 7 L a8 L a9 L a10

}

Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 10

)

be a super row matrix vector space of

refined labels over LR. a) Find for f : V → LR, a linear functional defined by

(

f L a1 La 2 L a3 La 4 La5 La 6 L a7 La8 La9 La10

)

= La1 + a 2 +...+ a10 ; the ker f. b) Find LLR (V,L R ) . c) What is dimension of LLR (V,L R ) ? d) What is the algebraic structure enjoyed by LLR (V,L R ) ? e) What is the dimension of V over LR? f) Find HomLR (V,V) . g) What is the HomLR (V,V) ?

algebraic

276

structure

enjoyed

66. Find some interesting properties enjoyed by LLR (V,L R ) = {f : V → LR} where V is a super matrix vector space of refined labels defined over LR. 67. Find the algebraic structure enjoyed by HS (V,V) where V is a set super matrix semivector space of refined labels defined over the set S = L R + ∪{0} . ª L a L a ½ La3 L a 4 º 2 °« 1 ° » °°« La5 L a6 L a7 La8 » °° 68. Let V = ®« L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ be a » °« La9 La10 L a11 La12 » ° °« L ° » L L L a14 a15 a16 ¼ °¯¬ a13 °¿ super matrix vector space of refined labels over LR. ª 0 ½ La 2 L a3 La 4 º °« » La i ∈ L R ; ° 0 La 5 La 6 » °°« L − a °° W = ®« 2 1 ≤ i ≤ 7; ¾ » 0 L − a7 ° « L − a3 L− a5 » L − a = − La ° i i ° °« L » L L 0 a7 − a6 ¼ ¯°¬ − a 4 ¿° be a super matrix vector space of refined labels over LR. a) Is V ≅ W? b) Find dim W over LR. c) Find dim V over LR. d) Study HomLR (V, W) and HomLR (W,V) .

e) Find T : V → W so that T . T = T. f) Find T1 : V → W so that T1−1 exists.

277

ª L a1 °« °« L a3 °« ° « La 5 °« L °« a 7 °°« La 69. Let V = ®« 9 °« La11 °« L °« a13 °« L a °« 15 °« La17 °« °¯«¬ La19 ª L a1 « « La 7 « «¬ La14

La 2 º » La 4 » La 6 » » ªL a La8 » « 1 » « La L a10 » « 5 » , La L a12 » « 9 «La L a14 »» « 13 « La L a16 » ¬ 17 » La18 » » L a20 »¼

La 2

La3

La 6

La 7

L a10

La11

L a14

La15

L a18

L a19

La 4 º » La8 » La12 » , » La16 » » L a 20 »¼

La 2

La 3

La 4

L a5

L a8

La9

L a10

La11

L a12

La15

La16

La17

L a18

L a19

L a6 º » La13 » , » L a 20 »¼

½ L a1 L a 2 L a 3 L a 4 º ª 0 ° « » 0 La 6 La 7 La8 » ° « La 5 ° «L » L a10 0 La11 La12 La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 20¾ « a9 » ° «La L a14 La15 0 La16 » ° « 13 » ° 0 »¼ «¬ La17 L a18 L a19 La 20 ¿ be a semigroup super matrix semivector space of refined labels over L R + ∪{0} under addition.

a) Find dim V. b) Find HomL +

R ∪{0}

(V, V) .

c) Find W1, …, Wt in V so that V = ∪ Wi where Wi’s are semigroup super matrix semivector subspaces of V over L R + ∪{0} where Wi ∩ Wj = φ if i ≠ j 1 ≤ i, j ≤ t. 70. Find some nice applications of set super matrix semivector spaces defined over the set S = L2n ∪{0} ⊆ L R + ∪{0} .

278

71. Does there exists a set super matrix semivector space which has no subset super matrix semivector subspace of refined labels? Justify your claim. 72. Does there exist a semigroup super matrix semivector space of refined labels which has no subsemigroup super matrix semivector subspace of refined labels. 73. Prove every integer set super matrix semivector space of refined labels has integer subset super matrix semivector subspace of refined labels! ª La La L a La º ½ 1 1 1 °« 1 ° » °°« La1 La1 L a1 La1 » °° 74. Let V = ®« La1 ∈ LQ ¾ be a super » °« La1 La1 L a1 La1 » ° °« L ° » L L L a1 a1 a1 ¼ ¯°¬ a1 ¿° matrix vector space of refined labels over the field LQ. a) Can V have non trivial super matrix vector subspace of refined labels? b) Find HomLQ (V,V) .

c) Does T : V → V exist so that T2 = T? (T ≠ I). d) Find LLQ (V,LQ ) . ª La La L a La La º ½ 1 1 1 1 °« 1 ° » °« La1 La1 L a1 La1 La1 » ° °« ° » °« La1 La1 L a1 La1 La1 » ° °« L ° » L L L L 75. Let V = ® a1 L ∈ L R + ∪{0} ¾ be a a1 a1 a1 a1 « » a1 °« L ° La1 L a1 La1 La1 » ° « a1 ° » ° « La La L a La La » ° 1 1 1 1 °« 1 ° » °« La1 La1 L a1 La1 La1 » ° ¼ ¯¬ ¿ semigroup super matrix semivector space of refined labels over the additive semigroup L R + ∪{0} .

279

a) Find dim V. b) Can V have non trivial semigroup submatrix semivector subspaces of refined labels over L R + ∪{0} ? c) Can V have non trivial subsemigroup submatrix semivector subspaces of refined labels over subsemigroups in L R + ∪{0} ? d) Find pseudo set super matrix semivector subspaces of refined labels over subsets in L R + ∪{0} . e) Find HomL

R + ∪{0}

(V, V) .

ª La La L a L a La La La º ½ 1 1 1 1 1 1 °« 1 ° » °°« La1 La1 L a1 L a1 La1 La1 La1 » °° 76. Let V = ®« L a1 ∈ LR ¾ » °« La1 La1 L a1 L a1 La1 La1 La1 » ° °« L ° » °¯¬ a1 La1 L a1 L a1 La1 La1 La1 ¼ °¿ be a super matrix vector space of refined labels over LR. a) Can V have proper super matrix vector subspaces of refined labels over LR? b) Is V simple? ª La La L a La º ½ 1 1 1 °« 1 ° » °°« La1 La1 L a1 La1 » °° 77. Let V = ®« La1 ∈ LQ ¾ be the super » °« La1 La1 L a1 La1 » ° °« L ° » L L L a1 a1 a1 ¼ ¯°¬ a1 ¿° matrix vector space of refined labels over LQ. a) Is V simple? b) Find HomLQ (V,L Q ) .

78. Let

ª L °°« a1 V = ® « L a1 °« °¯¬« La1

L a1 L a1 L a1

280

½ L a1 º °° » L a1 » La1 ∈ LQ+ ∪{0} ¾ » ° L a1 ¼» °¿

be a super matrix semivector space over the semifield LQ+ ∪{0} of refined labels. a) Find dim of V over LQ+ ∪{0} . b) Is V simple? c) Find HomL +

Q ∪{0}

(V,V) .

ª La La L a La 1 1 1 °« 1 L L L L °°« a1 a1 a1 a1 79. Let V = ®« °« La1 La1 L a1 La1 ° « La La L a La 1 1 1 °¯¬ 1 super matrix semivector space L R + ∪{0} .

½ L a1 º ° » L a1 » °° L a1 ∈ L R + ∪{0} ¾ be a » L a1 ° » ° L a1 » ¼ °¿ of refined labels over

a) Is V simple? b) Can V have substructures if instead of L R + ∪{0} ; V is defined over L R + ∪{0} . c) Find HomL

R + ∪{0}

(V, V) .

d) Find T : V → V so that T-1 exist. (Is this possible). e) Can T : V → V be such that T . T = T (T ≠ I)? ª La La L a La º ½ 1 1 1 °« 1 ° » °« La1 La1 L a1 La1 » ° °« ° » °« La1 La1 L a1 La1 » ° °« L ° » 80. Let V = ® a1 La1 L a1 La1 La1 ∈ L R + ∪{0} ¾ be a group « » °« L ° La1 L a1 La1 » ° « a1 ° » ° « La La L a La » ° 1 1 1 °« 1 ° » °« La1 La1 L a1 La1 » ° ¼ ¯¬ ¿ super matrix semivector spaces refined labels over the multiplicative group LR + .

a) Is V simple?

281

b) Does V have subgroup super matrix semivector subspaces? c) Does V contain pseudo semigroup super matrix semivector subspaces? d) Can V have pseudo set super matrix semivector subspaces of refined labels? e) Find Hom L + (V, V) . R

81. Characterize simple super matrix vector spaces of refined labels over LR or LQ. 82. Let V = ª L a º °« 1 » °« La 2 » °« » °« La 3 » °« L » °« a 4 » °« La » ª L ° « 5 » « a1 ° L ®« a 6 » , « La3 °« L » « °« a 7 » «¬ La5 °« L a » °« 8 » °« La 9 » » °« °« La10 » °« L » °¯¬« a11 ¼»

La2 º » ª L a1 La4 » , « » «¬ La7 La 6 »¼

}

Lai ∈ LR + ∪{0} ;1 ≤ i ≤ 12

L a2

L a3

La 4

La5

La8

La 9

L a10

L a11

La 6 º » La12 »¼

be a integer set super matrix

semivector space of refined labels over Z+ ∪ {0}. a) Find Wi’s in V so that V = ∪ Wi; Wi ∩ Wj = φ if i ≠ j. b) Find Hom Z+ ∪{0} (V, V) . c) Is V simple? d) Is V finite dimensional? e) Can V have subset integer super matrix semivector subspaces of refined labels over S ⊆ Z+ ∪ {0}?

282

83. Find the algebraic structure enjoyed by Hom LR (V, V)

(

where V = La1

L a1

... La1

)

L a1 ; L a1 ∈ L R .

L a1

84. Find the algebraic structure of LLR (V, L R ) where V is given in problem 83. 85. Find the ª La La 1 ° 1 ®« L L a1 °¯«¬ a1

algebraic structure ½ L a1 º ° » L a1 ∈ L Q ¾ . L a1 » °¿ ¼

where

86. Find HomL + (V, V) where V = Q

°ªLa ° 1 ® «L °«¬ a1 °¯

La1 º », L La1 » a1 ¼

(

La1

}

)

ª L º ªL « a1 » « a1 , «La1 » , «La1 « » « «La1 » ¬«La1 ¬ ¼

La1

La1 º » La1 » » La1 ¼»

La1 ∈ LQ+ ∪{0} group super matrix semivector space of

refined labels over the multiplicative group LQ+ . 87. If LQ+ is replaced by the semigroup LQ+ ∪{0} under addition, V becomes the semigroup super matrix semivector space of refined labels over LQ+ ∪{0} ; semigroup under addition. Find HomL

Q+ ∪{0}

a) Compare HomL

Q+ ∪{0}

(V,V) . HomL

Q+ ∪{0}

(V,V)

(V,V) .

283

problem

with

ª La º ½ °« 1 » ° ° « L a1 » ° °« » ° ° « L a1 » ° °« L » ° ° « a1 » ° °°« La » °° 88. Let V = ®« 1 » L a1 ∈ LR ¾ be a super matrix (column ° « L a1 » ° °« L » ° ° « a1 » ° ° « La » ° 1 °« » ° ° « L a1 » ° °« » ° °¯¬« La1 ¼» °¿ vector) vector space of refined labels over the field LR. a) Find HomLR (V,V) .

b) LLR (V,L R ) . 89. Obtain some interesting properties enjoyed by HomLQ (V,V) , V is a super row vector, vector space of refined labels over LQ. 90. What are the applications of super square symmetric matrix vector space of refined labels over LR? 91. What are the applications of super skew symmetric matrix vector space of refined labels over LQ ? 92. If V is a diagonal super matrix collection of refined labels vector space over LR; can we speak of eigen values and eigen vectors of refined labels over LR? 93. Can the theorem of diagonalization be adopted for super square matrix of vector space of refined labels over LR? 94. Study super model of refined labels using the refined labels as attributes.

284

ª L a ½ La 2 L a3 º °« 1 ° » ° « La 4 La 5 La 6 » ° » °°« L °° 95. Let V = ®« a7 L a8 La 9 » Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 15¾ be a super °« L ° La11 L a12 » °« a10 ° » °« L a ° L L » a14 a15 ¼ °¯¬ 13 °¿ matrix vector space of refined labels over LQ. a) Is V finite dimensional? b) Does V have a subspace of finite dimension? Justify.

96. Obtain some interesting results related with hyperspace of super matrix vector space of refined labels. 97. Obtain some applications of super matrix semivector spaces of refined labels over L R + ∪{0} or LQ+ ∪{0} . ª La L a ½ La3 L a 4 º 2 °« 1 ° » °°« L a5 La8 La9 La10 » °° La i ∈ L Q ;1 ≤ i ≤ 16 ¾ is 98. Prove L = ®« » °« La 6 L a11 La12 La13 » ° ° « La La ° » L L a15 a16 14 ¼ °¯¬ 7 °¿ a group of super matrix of refined labels under addition.

99. Prove a super matrix vector space of refined labels over LQ or LR is never a super matrix linear algebra of refined labels over LQ or LR.

{ª¬L

}

... La8 º¼ L ai ∈ LQ ;1 ≤ i ≤ 8 be a super row matrix vector space of refined labels over LQ. V is of dimension 8. How many super row matrix vector spaces of refined labels of dimension 8 can be constructed over LQ?

100. Let V =

La2

285

101.

102.

103.

104.

If V = {m × n super matrix with entries from LQ} be a super matrix vector space of dimension mn over LQ. How many such spaces be constructed with m natural rows and n natural columns? ª L a1 L a 2 L a 3 L a 4 º « » « L a5 La8 La9 La10 » « » Let T = « La 6 La11 La12 L a13 » be 5 × 4 matrix of refined « La La La15 La16 » 14 « 7 » «¬ La17 La18 La19 La 20 »¼ labels. In how many ways can T be partitioned to form super matrix of refined labels.

Does the partition of a matrix of refined labels affect the basis algebraic structure? ª L °°« a1 If V = ®« La 4 °« °¯«¬ La 7 ª L °°« a1 W = ®« L a5 °« °¯«¬ La 7 super matrix W?

La 2

La3

La 5

L a6

L a8

La9

½ La10 º °° » La11 » L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 12 ¾ and » ° La12 »¼ °¿

½ La 4 º °° » L a6 La 7 La8 » Lai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 12 ¾ be two » ° La10 La11 L a12 »¼ °¿ vector space of refined labels over LR. Is V ≅ L a2

L a3

105. Let ª L a °« 1 °°« La V = ®« 6 °« La11 °« L °¯¬ a16 and

La 2

L a3

La 4

La 7

La8

La 9

La12

L a13

La14

La17

L a18

La19

286

½ L a5 º ° » L a10 » °° Lai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 20 ¾ » L a15 ° » ° » L a20 ¼ °¿

°ª La L a ½° La3 La 4 ... La10 º 1 2 W = ®« » L ai ∈ LR ;1 ≤ i ≤ 20 ¾ °¯¬« La11 La12 La13 L a14 ... La 20 ¼» °¿ be two super matrix vector spaces of refined labels over LR. a) Is V ≅ W? b) Is dim V = dim W? c) Is HomLR (V,V) ≅ HomLR (W, W) ?

106.

Let V =

{( L

La 2

L a3

La 4

La5

)

}

L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5

§ L ½ L a 2 La 3 La 4 La5 · °°¨ a1 °° ¸ and W = ®¨ L a1 L a 2 La 3 La 4 La5 ¸ La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 5¾ ¸¸ °¨¨ ° °¯© L a1 L a 2 La 3 La 4 La5 ¹ °¿ be two super matrix vector space of refined labels over LR? a) Is V ≅ W? b) Is LLR (V,L R ) ≅ LLR (W, LR ) ?

c) Is HomLR (V,V) ≅ HomLR (W, W) ?

107.

ª La La ½ 0 L a1 º 2 °« 1 ° » 0 » °°« 0 L a3 L a 4 °° Let V = ®« La i ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ and W » 0 0 L a1 ° « La 2 ° » °« 0 L ° » L L a4 a3 a2 ¼ °¯¬ °¿ ª La ½ 0 L a2 0 La3 0 º °« 1 ° » 0 L a1 0 L a2 » ° « 0 La 4 ° °« ° » 0 L a4 0 L a1 0 ° « La3 ° » = ®« L ai ∈ L R ;1 ≤ i ≤ 4 ¾ » L L L L 0 0 a3 a2 a4 ° « a1 ° » ° « 0 La ° 0 0 L 0 » a1 4 °« ° » ° « La 2 ° 0 L a1 L a 2 0 La3 » ¼ ¯¬ ¿ be two super matrix vector spaces of refined labels over LR?

287

a) Is dim V = dim W? b) Is V ≅ W? c) Find HomLR (V, W) . d) Is HomLR (V,V) ≅ HomLR (W, W) ? e) Is LLR (V,L R ) ≅ LLR (W, LR ) ? f) Find a basis for V and a basis for W.

288

ABRAHAM, R., Linear and Multilinear Algebra, W. A. Benjamin Inc., 1966.

ALBERT, A., Structure of Algebras, Colloq. Pub., 24, Amer. Math. Soc., 1939.

ASBACHER, Charles, Introduction to Neutrosophic Logic, American Research Press, Rehoboth, 2002.

BIRKHOFF, G., and MACLANE, S., A Survey of Modern Algebra, Macmillan Publ. Company, 1977.

BIRKHOFF, G., On the structure of abstract algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc., 31 433-435, 1995.

BURROW, M., Representation Theory of Finite Groups, Dover Publications, 1993.

CHARLES W. CURTIS, Linear Algebra â&#x20AC;&#x201C; An introductory Approach, Springer, 1984.

DEZERT, J., and SMARANDACHE, F., A new probabilistic transformation of belief mass assignment, Proceedings of the Fusion 2008 Conference, Germany, July, 2008.

DUBREIL, P., and DUBREIL-JACOTIN, M.L., Lectures on Modern Algebra, Oliver and Boyd., Edinburgh, 1967.

289

10.

GEL'FAND, I.M., Lectures on linear algebra, Interscience, New York, 1961.

11.

GREUB, W.H., Linear Algebra, Fourth Edition, SpringerVerlag, 1974.

12.

HALMOS, P.R., Finite dimensional vector spaces, D Van Nostrand Co, Princeton, 1958.

13.

HARVEY E. ROSE, Linear Algebra, Bir Khauser Verlag, 2002.

14.

HERSTEIN I.N., Abstract Algebra, John Wiley,1990.

15.

HERSTEIN, I.N., and DAVID J. WINTER, Matrix Theory and Linear Algebra, Maxwell Pub., 1989.

16.

HERSTEIN, I.N., Topics in Algebra, John Wiley, 1975.

17.

HOFFMAN, K. and KUNZE, R., Linear algebra, Prentice Hall of India, 1991.

18.

HORST P., Matrix Algebra for social scientists, Hot, Rinehart and Winston inc, 1963.

19.

HUMMEL, J.A., Introduction to vector functions, AddisonWesley, 1967.

20.

ILANTHENRAL, K., Special semigroup set linear algebra, Ultra Scientist of Physical Sciences, (To appear).

21.

JACOB BILL, Linear Functions and Matrix Theory , Springer-Verlag, 1995.

22.

JACOBSON, N., Lectures in Abstract Algebra, D Van Nostrand Co, Princeton, 1953.

23.

JACOBSON, N., Structure of Rings, Colloquium Publications, 37, American Mathematical Society, 1956.

24.

JOHNSON, T., New spectral theorem for vector spaces over finite fields Zp , M.Sc. Dissertation, March 2003 (Guided by Dr. W.B. Vasantha Kandasamy).

25.

KATSUMI, N., Fundamentals of Linear Algebra, McGraw Hill, New York, 1966.

26.

KEMENI, J. and SNELL, J., Finite Markov Chains, Van Nostrand, Princeton, 1960.

290

27.

KOSTRIKIN, A.I, and MANIN, Y. I., Linear Algebra and Geometry, Gordon and Breach Science Publishers, 1989.

28.

LANG, S., Algebra, Addison Wesley, 1967.

29.

LAY, D. C., Linear Algebra and its Applications, Addison Wesley, 2003.

30.

R., Smarandache algebraic PADILLA, Smarandache Notions Journal, 9 36-38, 1998.

31.

PETTOFREZZO, A. J., Elements of Linear Algebra, PrenticeHall, Englewood Cliffs, NJ, 1970.

32.

ROMAN, S., Advanced Linear Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992.

33.

RORRES, C., and ANTON H., Applications of Linear Algebra, John Wiley & Sons, 1977.

34.

SEMMES, Stephen, Some topics pertaining to algebras of linear operators, November 2002. http://arxiv.org/pdf/math.CA/0211171

35.

SHILOV, G.E., An Introduction to the Theory of Linear Spaces, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1961.

36.

SMARANDACHE, F., DEZERT, J., and XINDE LI, Refined Labels for Qualitative Information Fusion in DecisionMaking Support Systems, 12 International Conference on Information Fusion, USA, July 6-9, 2009.

37.

SMARANDACHE, Florentin and DEZERT, J., (Editors), Advances and Applications of DSmT for Information Fusion (Collected Works), American Research Press, Rehobooth, 2004.

38.

SMARANDACHE, Florentin, Collected Papers II, University of Kishinev Press, Kishinev, 1997.

39.

SMARANDACHE, Florentin, Special Algebraic Structures, in Collected Papers III, Abaddaba, Oradea, 78-81, 2000.

40.

THRALL, R.M., and TORNKHEIM, L., Vector spaces and matrices, Wiley, New York, 1957.

41.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., Linear Algebra and Smarandache Linear Algebra, Bookman Publishing, 2003.

291

structures,

42.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., On a new class of semivector spaces, Varahmihir J. of Math. Sci., 1 , 23-30, 2003.

43.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., On fuzzy semifields and fuzzy semivector spaces, U. Sci. Phy. Sci., 7, 115-116, 1995.

44.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., On semipotent linear operators and matrices, U. Sci. Phy. Sci., 8, 254-256, 1996.

45.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., Semivector spaces over semifields, Zeszyty Nauwoke Politechniki, 17, 43-51, 1993.

46.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., SMARANDACHE, Florentin and K. ILANTHENRAL, Set Linear Algebra and Set Fuzzy Linear Algebra, InfoLearnQuest, Phoenix, 2008.

47.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., and SMARANDACHE, Florentin, Super Linear Algebra, Infolearnquest, Ann Arbor, 2008.

48.

VASANTHA KANDASAMY, W.B., and SMARANDACHE, Florentin, DSm vector spaces of refined labels, Zip publishing, Ohio, 2011.

49.

VOYEVODIN, V.V., Linear Algebra, Mir Publishers, 1983.

50.

ZADEH, L.A., Fuzzy Sets, Inform. and control, 8, 338-353, 1965.

51.

ZELINKSY, D., A first course in Linear Algebra, Academic Press, 1973.

292

B Abelian group of super column vectors of refined labels, 112-4 D Diagonal super matrix, 12-3 Direct sum of integer super matrix semivector subspaces of refined labels, 190-7 Direct sum of super semivector subspaces of refined labels, 168-173 Direct sum of super vector subspaces of refined labels, 143-9 Direct union or sum of super row vector subspaces, 104-5 DSm field of refined labels, 34-5 DSm field of refined labels, 32-3 DSm linear algebra of refined labels, 34-6 DSm semifield, 53-5 F FLARL(DSm field and Linear Algebra of Refined Labels), 32-4 G Group of super column vectors, 27-8 Group of super matrices, 28-30 Group of super row vectors, 25-6 Group super matrix semivector space of refined labels, 236-9

293

Group super matrix semivector subspace of refined labels, 237242 H Height of a super matrix, 8-9 I Integer super column semivector space of refined labels, 181-9 L Linear functional of refined labels, 153-7 Linear transformation of set super matrix of semivector spaces of refined labels, 211-8 Linear transformation of super vector spaces, 110-3 Linearly independent super semivectors of refined labels, 173-8 Linearly dependent set, 106-7 Linearly independent set, 106-7 M M-matrix of refined labels, 96-8 N Non equidistant ordinary labels, 31-3 O Ordinary labels, 31-3 P P-matrix of refined labels, 98-100 Pseudo direct sum of integer super matrix semivector subspaces of refined labels, 190-8 Pseudo direct sum of super vector subspaces of refined labels, 144-8

294

Pseudo semigroup super matrix semivector subspace of refined labels, 243-8. Pseudo simple semigroup super matrix semivector space of refined labels, 230-5 Pseudo simple super column vector subspaces of refined labels, 125-7 Q Qualitative labels, 31-3 R Refined labels, 31-3 S Semifield of refined labels, 166-9 Semigroup of super column vectors, 52-4 Semigroup super matrix semivector space of refined labels, 220229 Semigroup super matrix semivector subspace of refined labels, 222-9 Semivector space of column super vectors of refined labels, 174-9 Semivector spaces of super matrices of refined labels, 180-5 Set super matrices semivector space of refined labels, 200-8 Set super matrix semivector subspace of refined labels, 201-8 Simple matrix, 9-10 Subgroup super matrix semivector subspace of refined labels, 240-6 Submatrices, 8-9 Subsemigroup super matrix semivector subspace of refined labels, 230-5 Subset super matrix semivector subspace of refined labels, 204-8 Super column vectors of refined labels, 39-42 Super column vectors, 9-11 Super hyper subspace of refined labels, 159-163

295

Super matrix, 7-10 Super row matrix of refined labels, 37-8 Super row vector space of refined labels, 101 Super row vector subspace of refined labels, 103-5 Super row vectors of refined labels of same type, 37-9 Super row vectors, 9-10 Super semivector space of refined labels, 165-8 Super semivector subspaces of refined labels, 169-173 Super vector space of m Ă&#x2014; n matrices of refined labels, 134-6 Super vector subspaces of m Ă&#x2014; n matrices of refined labels, 140-3 T Transpose of a super matrix 17-18 U Upper partial triangular super matrix, 14-15 Z Z-matrix of refined labels, 96-98

296

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