Florentin Smarandache
Collected Papers, V
FUNCŢII CARDINALE ŞI FUNCŢII INTEGRALE CIRCULARE EXCENTRICE MIRCEA EUGEN ŞELARIU, FLORENTIN SMARANDACHE and MARIAN NIŢU
0.
REZUMAT
Lucrarea prezintă corespondentele din matematica excentrică ale funcţiilor cardinale şi integrale din matematica centrică, sau matematica ordinară, funcţii centrice prezentate şi în introducerea lucrării, deoarece sunt prea puţin cunoscute, deşi sunt utilizate pe larg în fizica ondulatorie. În matematica centrică, sunt definite sinusul şi cosinusul cardinal, ca şi cele integrale, atât cele circulare cât şi cele hiperbolice. În matematica excentrică, toate aceste funcţii centrice se multiplică de la unu la infinit, datorită infinităţii de puncte în care poate fi plasat un punct,denumit excentru S(s, ε), în planul cercului unitate CU(O,R =1) sau a hiperbolei unitate echilatere HU(O, a = 1, b =1). În plus, în matematica excentrică apar o serie de alte funcţii deosebit de importante, ca aexθ, bexθ, dexθ, rexθ ş.a care, prin împărţirea lor cu argumentul θ, pot să devină şi funcţii circulare excentrice cardinale, ale căror primitive devin automat funcţii circulare excentrice integrale. Toate funcţiile supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) pot fi de variabilă excentrică θ, care sunt funcţii continue în domeniul excentricităţii numerice liniare s[-1,1], sau de variabilă centrică α, care sunt continue pentru oricare valoare a lui s, adică s [- ∞, + ∞].
103
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
KEYWORDS AND ABBREVIATIONS C-Circular , CC-C centric, CE-C Excentric, CEL-C Elevat, CEX-C Exotic, FFuncĹŁie, FMC-F Matematice centrice, M- Matematică, MC-M Centrică, ME-M Excentrică, S-Super, SM-S Matematică, FSM-F Supermatematice, FSM-CEFSM–Circulare Excentrice, FSM-CEL-FSM-C Elevate, FSM-CEC-FSM-CECardinale, FSM-CELC-FSM-CEL Cardinale
1. ĂŽNTRODUCERE : FUNCŢIA SINUS CARDINAL CENTRIC ĂŽn dicĹŁionar, cuvântul cardinal este sinonim cu principal, esenĹŁial, fundamental. ĂŽn matematica centrică, sau matematica ordinară, cardinal reprezintă, pe de o parte, un număr egal cu numărul membrilor unei mulĹŁimi finite, denumit Ĺ&#x;i puterea mulĹŁimii, iar, pe de altă parte, sub denumirea de sinus cardinal (sinc x) sau cosinus cardinal, (cosc x), este o funcĹŁie specială, definită cu ajutorul funcĹŁiei circulare centrice (FCC) sinx Ĺ&#x;i, respectiv, cosx, utilizate frecvent ĂŽn fizica ondulatorie (Fig.1) Ĺ&#x;i a cărui grafic, al sinusului cardinal, este denumit, datorită formei lui (Fig.2), Ĺ&#x;i “pălaria mexicană (sombrero)â€?. Notată sinc x, funcĹŁia sinus cardinal este dată, ĂŽn literatura de specialitete, ĂŽn trei variante 1, đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘ đ?‘Ľ = 0 (1) sinc x = {đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ , , đ?‘?đ?‘Ą. đ?‘Ľ ∈ [−∞, +∞]\0
=
đ?‘Ľ
đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ 76 đ?‘Ľ8 + − + + đ?‘‚[đ?‘Ľ]11 = 6 120 5040 362880 (−1)đ?‘› đ?‘Ľ 2đ?‘› đ?œ‹ 2 đ?‘‘(đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘? đ?‘Ľ) ďƒ sinc = , = ∑+∞ = đ?‘›=0 (2đ?‘›+1)! 2 đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘? đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 = cosc x – đ?‘Ľ , đ?‘Ľ sin đ?œ‹đ?‘Ľ x = đ?œ‹đ?‘Ľ , đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›
sin đ?‘Ľ đ?‘Ľ
=1−
(2)
sinc
(3)
sincax =
đ?‘Ž đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘Ž
.
Este o funcĹŁie specială deoarece primitiva ei, denumită sinus integral Ĺ&#x;i notată Si(x) đ?‘Ľ sin đ?‘Ą x (4) ∀đ?‘Ľ ∈ â„?, Si(x) = âˆŤ0 đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą =âˆŤ0 sinc t. dt =
104
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ5 đ?‘Ľ7 đ?‘Ľ9 + − + + đ?‘‚[đ?‘Ľ]11 = 18 600 35280 3265920 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ5 đ?‘Ľ7 (−1)đ?‘› đ?‘Ľ 2đ?‘› − 3.3! + 5.5! − 7.7! + ‌ − ‌ = ∑+∞ đ?‘›=0 (2đ?‘›+1)2 (2đ?‘›)!
=đ?‘Ľâˆ’ = đ?‘Ľ
Fig.1 Graficele funcĹŁiilor circulare centrice sinus cardinal, ĂŽn 2D, aĹ&#x;a cum sunt cunoscute ĂŽn literatură
Fig.2 FuncĹŁia sinus cardinal ĂŽn 3D sau pălaria mexicană (sombrero)
105
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
nu poate fi exprimată exact cu ajutorul funcĹŁiilor elementare, ci doar prin dezvoltări ĂŽn serii de puteri, aĹ&#x;a cum rezultă din relaĹŁia (4). Plot[1-Cos[x-Pi/2]/Sqrt[1 -Sin[x-Pi/2]^2], {x,-Pi,2Pi}]
Plot[Evaluate[Table[1/2–4xSum[Sinc [2Pi(2 k-1) x],{k,n}],{n, 5}]], {x, 0, 1}]
1.0
1.0 0.8
0.8 0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1
2
3
4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Unda dreptunghiulară â–˛ Ĺ&#x;i unda pătrată đ?œ‹ â–ź0,5dex[(θ – ), S(1, 0)]
Fenomenul Gibbs pentru o undă pătrată cu n= 5 â–˛ Ĺ&#x;i cu n = 10 â–ź
2
Fig.3 ComparaĹŁie ĂŽntre funcĹŁia pătrată, derivat excentric Ĺ&#x;i aproximarea ei prin dezvoltări ĂŽn serii Fourier.
Ca urmare, derivata ei este �(�� �)
đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ
∀đ?‘Ľ ∈ â„?, đ?‘†đ?‘– ′ (đ?‘Ľ) = đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ = đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘? đ?‘Ľ FuncĹŁia sinus integral Si[x] satisface ecuaĹŁia diferenĹŁială ′′′ ′′ ′ (6) đ?‘Ľ. đ?‘“(đ?‘Ľ) + 2đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘Ľ. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 ďƒ f(x) = Si(x) Fenomenul Gibbs apare la aproximarea funcĹŁiei pătrate cu o serie Fourier continuă Ĺ&#x;i diferenĹŁiabilă (Fig.3 ďƒ dreapta), operaĹŁie care nu mai are sens, odată cu descoperirea funcĹŁiilor supermatematice circulare excentrice (FSM-CE), deoarece funcĹŁia derivat excentric de variabilă excentrică θ poate exprima exact (5)
106
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
acestă funcţie dreptunghiulară (Fig.3 ▲ sus ) sau pătrată (Fig,3▼ jos), aşa cum se poate observa în graficele lor (Fig. 3 ◄ stânga). Plot[SinIntegral[x],{x,-20,20}
Plot3D[Re[SinIntegral[x+Iy]], {x,-20,20},{y,-3,3}
1.5
1.0
0.5
20
10
10
20
0.5
1.0
1.5
Fig.4,a Graficul funcţie sinus integral Si(x) ▲comparativ cu graficul FSM-CE amplitudine excentrică 1,57 aex[θ, S(0,6; 0)] de variabilă excentrică θ▼ Plot[SinIntegral[x] - (1.57 (x - ArcSin[0.6Sin[x + 0.3Pi]])/x),{x, 0, 40}] 0.10
0.05
10
20
30
40
0.05
Fig.4,b Diferenţa dintre sinus integral şi FSM-CE amplitudine excentrică F(θ) =1,5 aex[θ, S(0,6; 0)] de variabilă excentrică θ Funcţia sinus integral (4) poate fi aproximată cu suficienta precizie, cu diferenţe maxime de sub 1 %, cu excepţia zonei din
107
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
apropierea originii, de FSM-CE amplitudine excentrică de variabilă excentrică θ (6) F(θ) =1,57 aex[θ, S(0,6; 0)], aşa cum rezultă din graficul din figura 4,b. (7) 2. FUNCŢII SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE CARDINALE. SINUS EXCENTRIC CARDINAL(FSM-CEC) Ca toate celelalte funcţii supermatematice (FSM) ele pot fi excentrice (FSM-CE), elevate (FSM-CEL) şi exotice (FSM-CEX), de variabilă excentrică θ, sau de variabilă centrică α1,2, de determinare principală, de indice 1, sau de determinare secundară, de indice 2. Plot[Evaluate[Table[{Sin[t-ArcSin [s Sin[t]]]/t},{s, -1, 0}], {t,-4 Pi,4 Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{Sin[t-ArcSin[s Sin[t]]]/t},{s, 0, +1}],{t,-4 Pi,4 Pi}]] 1.0
0.6
0.8
0.4 0.6
0.4
0.2
0.2
10
5
5
10 10
5
5
10
0.2
0.2
Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin[s Sin[Pi t]]]/(Pit)},{s, -1, 0}],{t,-Pi,Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin [sSin[Pit]]]/(Pit)},{s,0,1}],{t,-Pi,Pi}]]
1.2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 0.4
0.4 0.2
0.2 3
3
2
1
1
2
2
1
1
2
3 0.2
0.2
Fig.5,a Graficele FSM-CEC sexc1 [θ, S(s, ε)], de variabilă excentrică θ
108
3
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
La trecerea din domeniul circular centric ĂŽn cel excentric, prin poziĹŁionarea excentrului S(s, Îľ) ĂŽn oricare punct din planul cercului unitate, toate funcĹŁiile supermatematice se multiplică de la unu la infinit, adică, dacă ĂŽn MC există câte o unică funcĹŁie, de un anumit gen, ĂŽn ME există o infinitate de astfel de funcĹŁii, iar pentru s = 0 se va obĹŁine funcĹŁia centrică. Altfel spus, oricare funcĹŁie supermatematică conĹŁine atât pe cele excentrice, cât Ĺ&#x;i pe cea centrică. Plot[Evaluate[Table[{Sin[t+ArcSin[s Sin[t]]-Pi]/t},{s,-1,0}],{t,-4Pi, 4Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{Sin[t+ArcSin[s Sin[t]]-Pi]/t},{s,0,1}],{t,-4Pi, 4Pi}]] 0.2
0.2
10
5
5
10
10
5
5
10
0.2
0.2
0.4
0.6
0.4 0.8
0.6
1.0
Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin[s Sin[Pit]]-Pi]/(Pit)},{s,-1,0}],{t,-Pi,Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin[s Sin[Pit]]-Pi]/(Pit)},{s, 0, 1}],{t,-Pi, Pi}]]
0.2
3
2
1
0.2
1
2
3 3
2
1
1
2
3
0.2 0.2
0.4 0.4
0.6 0.6
0.8 1.0
0.8
1.2
1.0
Fig.5,b Graficele FSM-CEC sexc2 [θ, S(s, Îľ)], de variabilă excentrică θ Notată sexc x Ĺ&#x;i respectiv Sexc x, inexistentă ĂŽn literatura de specialitete, va fi dată, ĂŽn cele trei variante, de relaĹŁiile sex đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľ [đ?œƒ ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] (8) sexc x = = , de variabilă excentrică θ Ĺ&#x;i (8’)
Sexc x =
� ��� � �
=
đ?œƒ đ?‘†đ?‘’đ?‘Ľ[âˆ? ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] , đ?›ź
109
de variabilă centrică Îą.
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
sex đ?œ‹đ?‘Ľ
(9) sexc x = , de variabilă excentrică θ, đ?œ‹đ?‘Ľ notata Ĺ&#x;i prin sexcĎ€ x Ĺ&#x;i đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľ đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘†đ?‘’đ?‘Ľ[đ?›ź,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] (9’) Sexc x = đ?œ‹đ?‘Ľ = , de variabilă centrică Îą, notata đ?›ź Ĺ&#x;i prin SexcĎ€ x. (10)
sexca x =
đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľ
đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘Ž
đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘Ž
=
đ?œ‹đ?œƒ đ?œƒ đ?œ‹đ?œƒ đ?œƒ
đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľ
,
de variabilă excentrică θ,
cu graficele din figura 5,a Ĺ&#x;i (10’)
Sexca x =
đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘Ž đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘Ž
���
=
đ?œ‹đ?›ź đ?‘Ž đ?œ‹đ?›ź đ?‘Ž
���
,
de variabilă centrică Îą,
cu grafuicele din figura 5,b. 3. FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE SINUS ĹžI COSINUS ELEVATE CARDINALE (FSM-CELC) FuncĹŁiile supermatematice circulare elevate (FSM-CEL) , sinus elevat selθ Ĺ&#x;i cosinus elevat celθ, reprezintă proiecĹŁia fazorului / vectorului đ?‘&#x;⃗ = đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ľđ?œƒ. đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?œƒ = đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ľ[đ?œƒ, đ?‘†(đ?‘ , đ?œ€)].radθ pe cele două axe de coordonate XS Ĺ&#x;i, respectiv, YS cu originea ĂŽn excentrul S(s, Îľ), axe paralele cu axele x Ĺ&#x;i y care au originea ĂŽn O(0, 0). Dacă cosinusul Ĺ&#x;i sinusul excentrice sunt coordonatele punctului W(x,y), faĹŁÄƒ de originea O(0, 0), de intersecĹŁie ale dreptei d = d+ âˆŞ d– , turnantă ĂŽn jurul punctului S(s, Îľ), cosinusul Ĺ&#x;i sinusul elevate sunt aceleaĹ&#x;i coordonate faĹŁÄƒ de excentrul S(s, Îľ), adică, considerând originea sistemului de axe de coordonate XSY rectangular drept/reper ĂŽn S(s, Îľ). De aceea, ĂŽntre ceste funcĹŁii există relaĹŁiile đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘’đ?‘Ľđ?œƒ = đ?‘‹ + đ?‘ . đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ€ = đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?œƒ + đ?‘ . đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ€ (11) { đ?‘Ś = đ?‘Œ + đ?‘ . đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ€ = đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľđ?œƒ = đ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?œƒ + đ?‘ . đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ€
110
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
1.0
0.5
1
2
3
4
5
6
5
6
0.5
1.0
celθ şi cexθ 1.0
0.5
1
2
3
4
0.5
1.0
selθ şi sexθ Fig. 6,a Comparaţie între funcţii supermatematice elevate şi funcţii excentrice
Plot[{Cos[t-ArcSin[0.4Sin[t]]]/t,(-0.4 Cos[t] +Sqrt[1-(0.4Sin[t])^2]) Cos[t]/t},{t,-2 Pi, 2 Pi}]
Plot[{Sin[t-ArcSin[0.4Sin[t]]]/t,(-0.4 Cos[t-Pi/2] +Sqrt[1-(0.4Sin[t-Pi/2])^2]) Sin[t]/t},{t,-2 Pi ,2 Pi}] 1.0
1.0
0.8 0.5 0.6
6
4
2
2
4
0.4
6
0.2 0.5 6 1.0
4
2
2
4
6
0.2
Fig. 6,b Funcţii supermatematice elevate şi funcţii excentrice cardinale celc(x)◄ şi selc(x) ►de s = 0.4 Din această cauză, pentru ε = 0, adică excentrul S situat pe axa x > 0, sexθ = selθ, iar pentru ε = π/2, cexθ = celθ, aşa cum se poate observa în figura 6,a. In această figură au fost reprezentate, simultan, graficele funcţiilor elevate celθ şi selθ, dar şi graficele
111
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
funcĹŁiilor cexθ Ĺ&#x;i, respectiv, sexθ pentru comparaĹŁie Ĺ&#x;i pentru relevarea elevaĹŁiei. Excentricitatea funcĹŁiilor este aceeaĹ&#x;i, de s = 0,4, cu cea din đ?œ‹ schiĹŁa alăturată Ĺ&#x;i selθ are Îľ = , iar celθ are Îľ = 0. 2
Plot[Evaluate[Table[{(-sCos[t]+Sqrt[1- (s Sin[t])^2]) Cos[t]/t}, {s,-1,1}], {t,-3 Pi, 3 Pi}]
Plot[Evaluate[Table[{(-sCos[t-Pi/2] +Sqrt[1-(sSin[t-Pi/2])^2]) Sin[t]/t}, {s,-1,1}],{t,-3 Pi,3 Pi}]
0.6
0.4
1.0
0.2
5
0.5
5 0.2
0.4
5
5
0.6
Fig. 6,c FuncĹŁii supermatematice elevate excentrice cardinale celc(x)â—„ Ĺ&#x;i selc(x) â–ş Prin impărĹŁire cu θ, funcĹŁiile elvate, date de relaĹŁiile (11), se transformă ĂŽn funcĹŁii cosinus Ĺ&#x;i sinus elvate cardinale, notate celcθ = celc[θ,S] Ĺ&#x;i selcθ = selc[θ,S], date de expresiile đ?‘ .đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ€ đ?‘‹ = đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘?đ?œƒ = đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘?[đ?œƒ, đ?‘†(đ?‘ , đ?œ€)] = đ?‘?đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?œƒ − đ?œƒ (12) cu { đ?‘ .đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ€ đ?‘Œ = đ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘?đ?œƒ = đ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘?[đ?œƒ, đ?‘†(đ?‘ , đ?œ€)] = đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?œƒ − đ?œƒ graficele din figura 6,b Ĺ&#x;i 6,c. 4. FUNCŢII SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE CARDINALE (FSM-CEC) NOI ĂŽn acest paragraf sunt prezentate funcĹŁii care sunt necunoscute ĂŽn literatura matematicii centricele, nici ca atare Ĺ&#x;i nici ca funcĹŁii cardinale sau integrale. Ele sunt funcĹŁiile supermatematice excentrice
112
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
Plot[Evaluate[Table[{(t – 0.1 s Sin[t])/t}, {s, 0, 10}],{t, -4 Pi, +4 Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{(t-0.1 s Sin[t])/t}, {s, -10, 0}],{t, -4 Pi, +4 Pi}]]
1.2 1.3
1.1 1.2
1.0 1.1
0.9 1.0
0.8 0.9
10 10
5
5
5
5
10
10
Plot[Evaluate[Table[{(t – 0.1 s Sin[t])/t}, {s, -10, +10}],{t, -3 Pi, +3 Pi}]] 1.4
1.2
1.0
0.8
5
5
Fig.7,a Graficul funcţie supermatematice circulare excentrice cardinală aexc(θ) Plot[Evaluate[Table[{ArcSin[0.1 s Sin[t]]/t},{s,-10,10}],{t,-4 Pi,4 Pi},ColorFunction>(Hue[2.72 #]&)]]
Fig.7,b Graficul funcţie supermatematice circulare excentrice cardinală bexc(θ)
113
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
amplitudine, beta, radial, derivată excentrice de variabilă excentrică [1], [2], [3], [4], [6], [7] cardinale precum Ĺ&#x;i funcĹŁiile cvadrilobe [5] cardinale. Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t] +Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s,-10,0}],{t,4 Pi,4 Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t] +Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s,0,10}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]
0.5
10
5
0.5
5
10
10
5
0.5
Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t] – Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s, 0, 10}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]
0.5
5
10
0.5
Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t] – Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s,-10,0}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]
10
5
0.5
5
10
10
0.5
5
5
10
0.5
Fig.7,c Graficul funcĹŁiilor supermatematice circulare excentrice cardinale rexc1,2 (θ) FuncĹŁia amplitudine excentrică aexθ cardinală, notată aexc(x) = aex[θ, S(s, Îľ)] , x ≥ θ, are expresia đ?‘Žđ?‘’đ?‘Ľđ?œƒ đ?‘Žđ?‘’đ?‘Ľ[đ?œƒ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] θ−arcsin[đ?‘ sin(đ?œƒâˆ’ đ?œ€)] (13) aexc (θ) = đ?œƒ = = đ?œƒ đ?œƒ Ĺ&#x;i graficele din figura 7,a. FuncĹŁie beta excentrică cardinală va fi
114
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
Plot[Evaluate[Table[{(Sqrt[1-(0.1 s)^2 -0.2 s Cos[t]])/t},{s,-10,0}],{t, -4 Pi, 4 Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{(Sqrt[1-(0.1 s)^2 0.2 s Cos[t]])/t},{s,0,10}],{t,-4 Pi,4 Pi}]] 1.0
0.5 0.5
10
5
5
10
10
5
5
10
0.5
0.5
1.0
Fig.7,d Graficul funcĹŁie supermatematice circulare radial excentrică cardinală Rexc(θ)
Plot[Evaluate[Table[{(1-sCos[t]/Sqrt[1-(s Sin[t])^2])/t},{s,-1,0}],{t,-3 Pi,3 Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{(1-sCos[t]/Sqrt[1-(s Sin[t])^2])/t},{s, 0, 1}],{t,-3 Pi,3 Pi}]]
1.0
1.5
1.0
0.5 0.5
5
5
5
5 0.5
0.5 1.0
1.5
1.0
Plot[Evaluate[Table[{((1-sCos[t])/(1+( s)^2 -2 s Cos[t]))/t},{s,-1,0}],{t,-3Pi,3 Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{((1-sCos[t])/ (1+(s)^2-2sCos[t]))/t},{s,0,10}], {t,-3 Pi,3 Pi}]]
Fig.8,a Graficul funcĹŁie supermatematice circulare radial excentrică cardinală dexc1(θ) đ?‘?đ?‘’đ?‘Ľđ?œƒ
đ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ[đ?œƒ,đ?‘†(đ?‘†,đ?œ€)] đ?œƒ
(14) bexc(θ) = đ?œƒ = cu graficele din figura 7,b.
115
=
arcsin[đ?‘ sin(đ?œƒâˆ’ đ?œ€)] đ?œƒ
,
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
FuncĹŁia radial excentric cardinal de variabilă excentrică θ are expresia đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ľđ?œƒ
đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ľ[đ?œƒ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)]
−đ?‘ cos(đ?œƒâˆ’đ?œ€)Âąâˆš1−đ?‘ 2 sin(đ?œƒâˆ’đ?œ€)
(15) rexc1,2 (θ) = đ?œƒ = = Ĺ&#x;i đ?œƒ đ?œƒ graficele din figura 7,c, iar aceeaĹ&#x;i funcĹŁie, dar de variabilă centrică Îą are expresia (16)
Rexc(Îą1,2) =
đ?‘…đ?‘’đ?‘Ľâˆ?1,2 âˆ?1,2
=
đ?‘…đ?‘’đ?‘Ľ[âˆ?1,2 ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] âˆ?1,2
=
Âąâˆš1+đ?‘ 2 −2đ?‘ cos(đ?›ź1,2 −đ?œ€) âˆ?1,2
Ĺ&#x;i graficele, pentru Rexc(Îą1), din figura 7.d. 0.4
0.4 0.2
0.2
5
5
5
5
0.2
0.2
0.4
0.4
Fig.8,b Graficul funcĹŁie supermatematice circulare radial excentrică cardinală Dexc (âˆ?1 ) O funcĹŁie supermatematică circulară excentrică cu largi aplicaĹŁii, ea reprezentând funcĹŁia de transmitere a vitezelor Ĺ&#x;i/sau a turaĹŁiilor tuturor mecanismelor plane cunoscute, este funcĹŁia derivată excentrică dex1,2θ Ĺ&#x;i DexÎą1,2 care prin impărĹŁire / raportarea cu argumentele θ Ĺ&#x;i, respectiv, Îą, conduc la funcĹŁiile corespondente cardinale, notate dexc1,2(θ) Ĺ&#x;i, respectiv Dexc(Îą1,2) Ĺ&#x;i de expresii 1− đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ľ1,2 đ?œƒ
đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?1,2 đ?œƒ =
(17) {
đ??ˇđ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?›ź1,2 =
đ?œƒ
đ??ˇđ?‘’đ?‘Ľđ?›ź1,2 đ?›ź1,2
cu graficele din figura 8. 1 Deoarece Dex�1,2 = ���
1,2 đ?œƒ
=
=
đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ľ1,2 [đ?œƒ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] đ?œƒ
đ??ˇđ?‘’đ?‘Ľ[đ?›ź1,2 , đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] đ?›ź1,2
=
=
đ?‘ .cos(đ?œƒâˆ’đ?œ€)
√1−đ?‘ 2 đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?œƒâˆ’đ?œ€)
đ?œƒ
,
Âąâˆš1+đ?‘ 2 −2đ?‘ .cos(âˆ?
1,2 −đ?œ€)
�1,2
1
rezultă că Ĺ&#x;i ďƒ Dexđ?‘?đ?›ź1,2 = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?
1,2 đ?œƒ
116
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
FuncĹŁiile cvadrilobe siqθ Ĺ&#x;i coqθ prin ĂŽmpărĹŁirea lor cu argumentul θ, conduc la obĹŁinerea funcĹŁiilor cvadrilobe cardinale siqc θ Ĺ&#x;i coqc θ de expresii đ?‘?đ?‘œđ?‘ž[đ?œƒ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] cos(đ?œƒâˆ’đ?œ€) đ?‘?đ?‘œđ?‘žđ?œƒ = đ?‘?đ?‘œđ?‘žđ?‘? đ?œƒ = đ?œƒ = đ?œƒ đ?œƒâˆš1−đ?‘ 2 đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?œƒâˆ’đ?œ€) (18) , { đ?‘ đ?‘–đ?‘žđ?œƒ đ?‘ đ?‘–đ?‘ž[đ?œƒ,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)] sin(đ?œƒâˆ’đ?œ€) đ?‘ đ?‘–đ?‘žđ?‘? đ?œƒ = đ?œƒ = = 2 2 đ?œƒ đ?œƒâˆš1−đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œƒâˆ’đ?œ€)
cu graficele din figura 9. Plot[Evaluate[Table[{( Cos[t] /Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s,0,10}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]
Plot[Evaluate[Table[{( Sin[t] /Sqrt[1-(0.1 s Cos[t])^2])/t},{s,0,10}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]
0.6
1.0
0.4
0.8
0.2
0.6 0.4
10
5
5
10 0.2
0.2 10
5
5
10
0.4 0.2
0.6
Fig.9 Graficul funcĹŁie supermatematice cvadrilobe cardinală ceqc (θ) â—„ Ĺ&#x;i siqc(θ) â–ş Se Ĺ&#x;tie ca, prin integrarea definită a funcĹŁiilor cardinale centrice Ĺ&#x;i excentrice, ĂŽntr-un cuvânt supermatematice, se obĹŁin funcĹŁiile integrale corespunzătoare. Astfel de funcĹŁii supermatematice integrale sunt prezentate ĂŽn continuare. Pentru excentricitate nulă, ele degenerează ĂŽn funcĹŁii integrale centrice, in rest ele aparĹŁin noii matematici excentrice. 5. FUNCŢII SINUS INTEGRAL EXCENTRICE Se obĹŁin prin integrarea funcĹŁiilor sinus cardinal excentrice (13) Ĺ&#x;i sunt
117
Florentin Smarandache
đ?‘Ľ
(19) sie x = âˆŤ0 đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘? đ?œƒ. đ?‘‘đ?œƒ de variabilă excentrică x ≥ θ.
Collected Papers, V
cu graficele din figura 10, pentru cele
Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[xArcSin[s Sin[x]]]},{s,-1,0}],{x,-20,20}]]
Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[xArcSin[s Sin[x]]]},{s,0,1}],{x,-20,20}]]
1.5
1.5
1.0
1.0 0.5
0.5 20
20
10
10
10
10
20
20 0.5
0.5 1.0
1.0 1.5
1.5
Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[x+ArcSi n[sSin[x]]-Pi]},{s,-1,0}],{x,-20,20}]]
Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[x+Arc Sin[sSin[x]]-Pi]},{s,0,1}],{x,-20,20}]]
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
20
10
0.5 10
20
20
10
10
20
0.5
0.5 1.0
1.0 1.5
1.5
Fig.10,a Graficul funcĹŁie sinus integral excentric sie1(x) â–˛ Ĺ&#x;i sie2(x) â–ź Spre deosebire de funcĹŁiile centrice corespondente, unde sinusul integral este notat cu Si(x), sinusul integral excentric de variabilă excentrică a fost notat sie(x), fără majuscula S, care se va atribui, conform convenĹŁiei, doar FSM-CEC de variabilă centrică. FuncĹŁia sinus integral excentric de variabilă centrică, notate Sie(x) se obĹŁin prin integrarea funcĹŁiei supermatematice circulare excentrice sinus excentric cardinal de variabilă centrică (14) (20) Sexc(x) = Sexc[Îą, S(s, Îľ)], astfel că ea este
118
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
đ?‘Ľ đ?‘†đ?‘’đ?‘Ľ[âˆ?,đ?‘†(đ?‘ ,đ?œ€)]
Sie(x) = âˆŤ0
(21)
�
��, cu graficele din figura 10,b.
Plot[Evaluate[Table[SinIntegral[x+ArcTan [sSin[x]/(1-sCos[x])]],{s,-1,0}], {x,-4 Pi,4 Pi}]]
10
Plot[Evaluate[Table[SinIntegral[x+ArcTan [sSin[x]/(1-sCos[x])]],{s,0,1}], {x,-4 Pi,4 Pi}]]
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
5
5
10
10
5
5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.5
1.5
10
Fig.10,a Graficul funcĹŁie sinus integral excentric sie1 (x) 6. C O N C L U Z I I Lucrarea a scos ĂŽn evidenĹŁÄƒ posibilitatea multiplicării nedefinite a funcĹŁiilor cardinale Ĺ&#x;i a celor integrale din domeniul matematicii centrice ĂŽn cel al matematicicii excentrice sau al supermatematicii care constitue o reuniune a celor două matematici. Totodată, au fost ĂŽntroduse prin supermatematică, pe lângă funcĹŁiile cardinale Ĺ&#x;i integrale cu corespondente ĂŽn matematica centrică, o serie de funcĹŁii cardinale noi ce nu au corespondente ĂŽn matematica centrică. Nici aplicaĹŁiile noilor funcĹŁii supermatematice cardinale Ĺ&#x;i integrale, cu siguranĹŁÄƒ, că nu se vor lăsa prea mult aĹ&#x;teptate.
119
Florentin Smarandache
Collected Papers, V
6. B I B L I O G R A F I E [1]
[2]
[3]
ŞELARIU, Mircea Eugen ŞELARIU, Mircea Eugen ŞELARIU, Mircea Eugen
[4]
ŞELARIU, Mircea Eugen
[5]
ŞELARIU, Mircea Eugen
[6]
ŞELARIU, Mircea Eugen ŞELARIU, Mircea Eugen
[7]
FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE şi EXTENSIA LOR. SUPERMATEMATICA FUNCŢII SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE DE VARIABILĂ CENTRICĂ QUADRILOBIC VIBRATION SYSTEMS
SUPERMATEMATICA. Fundamente Vol.I SUPERMATEMATICA. Fundamente Vol.II
Com. I Conferinţă Naţională de Vibraţii în Construcţia de Maşini, Timişoara, 1978, pag.101...108 Bul .Şt.şi Tehn. al I.P. ”TV” Timişoara, Seria Mecanică, Tomul 25(39), Fasc. 1-1980, pag. 189...196 Com.VII Conf. Internaţ. De Ing. Manag. Si Tehn.,TEHNO’95 Timişoara, 1995, Vol. 9 : Matematica Aplicată,. Pag.41…64 TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţa de Inginerie Menagerială şi Tehnologică, Timişoara 1998, pag 531..548 The 11–th International Conference on Vibration Engineering, Timişoara, Sept. 27-30, 2005, pag. 77 … 82 Ed.Politehnica, Timişoara, 2007 Ed.Politehnica, Timişoara, 2011 (Sub tipar)
www.supermathematica.com www.supermatematica.ro www.eng.upt.ro/~mselariu
120