Papeles16 by FONDO EDITORIAL UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO

Matemática aplicada al análisis social Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago Mathematics compared to other disciplines in the citation Scimago index Laura Buitrago Niño y Enrique Ferrer Corredor Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia sobre el uso de las matemáticas en su disciplina Perception of the professors from the School of Economics at the National University of Colombia about the use of the mathematics in their discipline Diana Galeano Vitery, Luis Gamboa Gómez, María González Rodríguez, Karen Meneses Romero, Carolina Poveda Clavijo, Yinessa Ruiz Garcés y Leidy Sanabria Laguado Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera An analysis of the perceived influence of mathematical capacity in a degree election Sebastián Acosta Madiedo, Andrés Almeida Guerrero, Paula Arias Valenzuela, Gabriela Garavito Munar, Nicolás López Contreras, Franklin Posos Ramos y Angie Sibaja Jaramillo

Reseñas

EBSCO U L R I C H S PERIODICALS DIRECTORY

Volumen 8 No. 16

ISSN: 0123-0670 ISSN (online): 2346-0911

Julio-diciembre de 2016

La matemática: teoría, enseñanza y arte para la vida

PAPELES

Creación y matemática Un homenaje póstumo Sandra matemática, compañera silenciosa de la vida Epifanio, Gabriel y Enrique Cuento Espejo de un mundo sin rostro Gabriela Alejandra Melo

ISSN No. 0123-0670 ISSN (online): 2346-0911

Otros diálogos con la matemática Planilandia: una aventura literaria en el mundo de la matemática Flatland: a Literary Adventure inside Mathematics World Luis Ricardo Martínez Música y narrativa: Vasos vinculantes en la construcción del sujeto lector Music and narrative: linking vessels in the construction of a subject reader Milena Díaz Melgarejo Matemática y poesía: un recorrido por la métrica de León de Greiff Mathematics and poetry: a travel around León de Greiff ’s metrics Enrique Ferrer-Corredor

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Volumen 8 No. 16

Teoría y enseñanza de la matemática Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas acerca de la matemática, su enseñanza y su relación con la práctica docente Epistemological Beliefs of Mathematics Teachers about Mathematics, its Teaching and its Relationship to Teaching Practice Grace Judith Vesga Bravo y Mary Falk de Losada Lo emocional como articulador de la razonabilidad en la didáctica de la matemática The emotional as an articulator of reasonability in the mathematics didactics Rubén Darío Henao Ciro y Mónica Moreno Torres

Julio-diciembre de 2016

Editorial Enrique Ferrer-Corredor

Publ ndex 0123- 0670 VIGILADA MINEDUCACIÓN

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PAPELES Rectora Marta Losada Falk

Revista de la Facultad de Ciencias de la Educación Universidad Antonio Nariño Volumen 8(16) Julio-diciembre de 2016 La matemática: teoría, enseñanza y arte para la vida. ISSN: 0123-0670 ISSN online: 2346-0911

Vicerrector Académico Víctor Hugo Prieto Vicerrector de Ciencia, Tecnología e Innovación Carlos E. Arroyave Secretaria General Martha Carvalho Directora Fondo Editorial Lorena Ruiz Serna Editor Enrique Ferrer-Corredor Corrección de estilo Carlos Rincón Zabala Diseño y diagramación Héctor Suárez Castro Impresión Imagen Editorial

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Facultad de Ciencias de la Educación Universidad Antonio Nariño Calle 22 Sur No. 12D-81 Teléfonos: 209 38 88 / 239 41 98 Bogotá, Colombia revista.papeles@uan.edu.co Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

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Director

Prof. Enrique Ferrer-Corredor PhD en Filología Hispánica de la UNED (Madrid, Esp.), MA en Literatura Hispanoamericana del Instituto Caro y Cuervo, licenciado en español-inglés de la UPN. Estudios de maestría en Ciencias Políticas de la

Universidad de los Andes y estudios de economía en la Universidad Nacional. Docente de la UAN, ha sido docente de varias universidades en Colombia y los EEUU, entre otras la UPN, Externado, Universidad Nacional y la USB.

Comité Editorial

Prof. José Orlando Ugarte

PhD en Educación, Universidad de Minnesota; MA en Lingüística Inglesa, St. Thomas University, Minnesota; MA en Dirección Universitaria, Universidad de los Andes, Bogotá; MA en Educación, Universidad de Sherbrooke, Canadá; licenciado en Educación, Universidad de La Salle, Bogotá. Prof. Maribel Vergara Arboleda

PhD en Educación, Universidad Pedagógica Nacional. MA en Educación, Universidad de La Sabana. Licenciada en Educación Preescolar, Universidad del Quindío. Profesora universitaria de la USB, asesora pedagógica experta en infancia, formación de maestros e investigadora educativa. Prof. Carlos Rincón Zabala

Licenciado en Lengua Castellana e Inglés de la Universidad Antonio Nariño. Lector riguroso de los textos de la Revista Papeles. Prof. Alba Carolina Molano Niño

PhD en Educación de la Universidad de Valladolid. MA en educación de la Universidad de Valladolid. Especialista en currículo de la Universidad Externado de Colombia. Especialista en pedagogía de la UNAD. Licenciada en química de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Prof. Freddy Cante Maldonado

PhD en Economía de la Universidad Nacional, MA en economía y economista de la misma universidad. Es docente, investigador y editor de la Universidad del Rosario.

Prof. Juan Francisco Herrera Romero MA en Docencia Universitaria de la Universidad de La Salle; biólogo de la Universidad de La Salle. Docente-investigador de la Universidad Antonio Nariño. Prof. Ligia Ochoa Sierra PhD en Lingüística de la Universidad Autónoma de Madrid, PhD en Educación de la UNED, MA del Instituto Caro y Cuervo, licenciada de la UNAL en lenguas clásicas. Es docente de la UNAL, en el área de filología, asesora y par evaluadora en Colciencias. Prof. Álvaro A. Bernal-Reyes PhD en literatura hispanoamericana por la Universidad de Iowa (2005). MA en literatura inglesa de Governors State University y MA en literatura hispanoamericana de University of Northern Iowa. Licenciado en Lenguas (Español-Inglés) de la Universidad Pedagógica Nacional de Bogotá. Jefe del Departamento de lenguas de la Universidad de Pittsburgh, campus Johnstown. Sus artículos de crítica literaria y estudios culturales han sido publicados en revistas especializadas como Variaciones Borges, Estudios Colombianos, Brújula, Destiempos y Revista de Estudios de Literatura Colombiana, entre otras. Buena parte de sus publicaciones se enfocan en el análisis de representaciones literarias de capitales latinoamericanas como Bogotá, Buenos Aires y Santiago. Ha incursionado en la escritura de ficción, habiendo publicado algunos de sus relatos.

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Comité Científico

Prof. Jaime Alejandro Rodríguez PhD en Literatura de la UNED. MA en Literatura de la Universidad Javeriana. Ingeniero químico de la UNAL. Docente de la Universidad Javeriana y otras universidades de Bogotá, autor de varios libros de narrativa, y ensayo sobre temas literarios. Entre sus predilecciones de indagación aparecen la postmodernidad y la literatura virtual. Prof. Sylvain Poosson PhD en Literatura Latinoamericana del s. XIX de la Universidad de Virginia. MA en Literatura española del s. XX de la Universidad de Montpellier, Paul Valery en Francia. Pregrado en la Escuela Diplomática de Madrid (Esp.). Profesor en varias universidades de los Estados Unidos, entre ella Hampton University. Actualmente trabaja en el College Thomas Nelson, en Virginia. Prof. Ángel Gabriel Gaitán García PhD (C) en Sociología Jurídica e Instituciones Políticas, Universidad Externado de Colombia. Economista de la Universidad Nacional, licenciado en Ciencias Sociales de la UPN. Docente de las Facultades de Economía de la Universidad Externado y la Universidad Nacional. Prof. Nabor Infante Pinto PhD en Ciencias Pedagógicas del Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño IPLAC, La Habana, Cuba. Especialista en

Gerencia Educativa de la Universidad Pedagógica Nacional. Ingeniero Biomédico de la Universidad Antonio Nariño. Licenciado en Electrónica y en Química de la Universidad Pedagógica Nacional. Prof. Adriana Patricia Huertas Bustos PhD (c) en Educación de la Universidad Pedagógica Nacional. MA en Tecnologías de la Información Aplicada a la Educación de la Universidad Pedagógica Nacional. Licenciada en Química de la Universidad Pedagógica Nacional. Docente-investigadora de la Universidad Antonio Nariño. Prof. Grace Judith Vesga Bravo PhD (c) en Educación Matemática de la Universidad Antonio Nariño, MA en Ciencias Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Matemática de la Universidad Nacional de Colombia. Coordinadora de acreditación y autoevaluación de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Antonio Nariño. Prof. David Camargo Cárdenas PhD en Política de la Universidad de York. MA en Seguridad y defensa nacional de la Escuela Superior de Guerra y MA en Relaciones internacionales de la Universidad Javeriana. Filósofo de la Universidad Nacional de Colombia. Docente investigador de la Universidad Antonio Nariño.

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Árbitros y lectores

Prof. Yury Andrea Castro Robles MA en Filosof ía de la Pontificia Universidad Javeriana, licenciada en Humanidades y Lengua Castellana de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, docente e investigadora de la Universidad Antonio Nariño. Prof. Liliana Guarnizo Beltrán MA en Educación con énfasis en Didáctica del Inglés de la Universidad Externado de Colombia, licenciada en Lenguas Modernas de la Universidad de La Salle, docente de la Secretaría de Educación Distrital y docente e investigadora de la Universidad Antonio Nariño. Prof. Lyda Mayerly González Orjuela MA en Literatura de la Pontificia Universidad Javeriana, licenciada en Lenguas Modernas, Universidad del Tolima. Docente e investigadora de la UAN. Cursa actualmente su doctorado Latinoamericano en Educación, Políticas Públicas y Profesión Docente en la Universidad Minas Gerais. Prof. Jaime Sánchez Medina Licenciado en Idiomas (español e inglés) de la Universidad Antonio Nariño. Trainee Teachers of English Course in The Mayflower College of English, Plymouth, Devon, England. Diplomado en Pedagogía Universitaria, Universidad

La Gran Colombia. Programa de Aptitud Ocupacional y Conocimientos Académicos en Inglés para Negocios del Marco Común Europeo de Referencia para las Lenguas, Teaching and Tutoring College of Colombia, British Council (Bogotá). Docente de lengua inglesa, traductor en el Hospital Militar. Especialista en Docencia Universitaria de la Universidad Militar Nueva Granada. Est. Laura Buitrago Niño

Estudiante de economía de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. Lectora y colaboradora de textos en la revista Papeles. Prof. Mónica Andrea Castillo Prieto

MA en Literatura de la Pontificia Universidad Javeriana. Estudios en Pedagogía Universitaria de la Universidad Gran La Colombia. Estudios en Pensamiento y Lenguaje: Cognición y Comunicación, en el Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño de La Habana (Cuba). Licenciada en Español-Inglés de la Universidad Antonio Nariño. Prof. Iana Ivanova Pankova

PhD Filosof ía en Inglés (filosof ía de la educación), Universidad de Sof ía San Clemente de Ohrid (en curso), licenciada en Lenguas Modernas de la UPN, traductora simultánea. Profesora inglés-español como segundo idioma.

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Tabla de contenido Table of Contents Editorial Enrique Ferrer-Corredor

Otros diálogos con la matemática Planilandia: una aventura literaria en el mundo de la matemática. Flatland: a Literary Adventure inside Mathematics World. Luis Ricardo Martínez

Música y narrativa: Vasos vinculantes en la construcción del sujeto lector Music and narrative: linking vessels in the construction of a subject reader Milena Díaz Melgarejo

Matemática y poesía: un recorrido por la métrica de León de Greiff. Mathematics and poetry: a travel around León de Greiff ’s metrics. Enrique Ferrer-Corredor

Matemática aplicada al análisis social Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago Mathematics compared to other disciplines in the citation Scimago index Laura Buitrago Niño y Enrique Ferrer Corredor Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia sobre el uso de las matemáticas en su disciplina Perception of the professors from the School of Economics at the National University of Colombia about the use of the mathematics in their discipline Diana Galeano Vitery, Luis Gamboa Gómez, María González Rodríguez, Karen Meneses Romero, Carolina Poveda Clavijo, Yinessa Ruiz Garcés y Leidy Sanabria Laguado Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Papeles

Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera An analysis of the perceived influence of mathematical capacity in a degree election Sebastián Acosta Madiedo, Andrés Almeida Guerrero, Paula Arias Valenzuela, Gabriela Garavito Munar, Nicolás López Contreras, Franklin Posos Ramos, Angie Sibaja Jaramillo

Creación y matemática Un homenaje póstumo Sandra matemática, compañera silenciosa de la vida Epifanio, Gabriel y Enrique Cuento Espejo de un mundo sin rostro Gabriela Alejandra Melo

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Reseñas El retorno a la comunidad. Problemas, debates y desaf íos de vivir juntos Alfonso Torres Carrillo Por John Alexander Castro Lozano Competitions for Young Mathematicians: Perspectives from Five Continents Alexander Soifer (Ed.) Por Gerardo Chacón Introducción a la historia y a la filosof ía de la matemática Alberto Campos Por Enrique Ferrer-Corredor

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Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • Julio-diciembre de 2016

Editorial

Editorial –Querida, ¿no querrías un poco más de té? –la instó, apremiante, la Liebre Marcera. –Si todavía no he tomado nada –exclamó Alicia, en un tono ofendido–, no puedo tomar más. –Querrás decir que no puedes tomar ‘menos’ –le corrigió el Sombrerero –: es dif ícil tomar menos que nada... ¡pero es tan fácil tomar más! Alicia en el país de las maravillas, Lewis Carroll.

El origen de los números, como de toda la construcción del lenguaje en su expresión simbólica, ha tenido relación con tradiciones míticas. Es asombroso que sobre el año 700 estuviésemos aprendiendo a contar con el cero gracias a los indios (aunque fuese un árabe quien trajera la noticia a Occidente: Muhammad ibn al-Khwarizmi, 780-850). Y que muy pronto, en el siglo de Newton y Leibniz estemos inmersos en el teorema del límite, tejiendo el cálculo diferencial, contando infinitos acotados. Poco a poco, tanto el carácter mítico como la relación directa entre el número y la realidad, se ven desplazados con los nuevos mundos autónomos de la realidad matemática. De una relación sígnica uno a uno (ángulos para definir la figura que los nombra), los números desarrollan un diálogo entre ellos, otro con la naturaleza, uno más con las relaciones entre los seres humanos. Ya alguien dijo: “Las matemáticas son la búsqueda de los números primos”. Es decir, la matemática moderna es la búsqueda de lo no evidente con los girones de racionalidad creada por los primeros juegos de nuestro contar incipiente. Una historia análoga va de la geometría de Euclides, a la necesidad de una geometría más allá del plano, deseosa de continuidad y de otros espacios, tras Euler y Gauss, tras la nueva mirada de la geometría diferencial Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Enrique Ferrer-Corredor

(riemanniana), con una cima en la cultura matemática, cuyo nombre reclama el respeto de un Quijote para las batallas en el mundo de los axiomas: Hilbert. Ya los ojos no alcanzan para mirar los planos de la arquitectura del mundo. Las proposiciones sintéticas kantianas son herramientas para caminar sobre la tierra; pero las proposiciones analíticas, la complejidad del lenguaje matemático capaz de fundar mundos y fenómenos no observables, no visibles a nuestros ojos sino habitados en laberintos elaborados por la razón, capaces de llevarnos a combates de molinos y gigantes no vistos antes sobre el plano cartesiano, son el fundamento de los diálogos de otra dimensión, como la topología. El nuevo lenguaje ha fundado mundos nuevos, los nuevos mundos siguen reclamando un nuevo lenguaje. En esa lucha incesante entre lenguaje y realidad nos perdemos. Ya Don Quijote nos ha advertido, la realidad es la que soñamos. La matemática es un palacio para el viaje cuyo tiquete no requiere de grandes inversiones. El amor, la rutina y el método, son los amuletos para la jornada. Ramanujan nos da fe de esta experiencia, como Fischer en el ajedrez. Ambos poblaron sus mundos de laberintos y luego la realidad inmediata fue hostil, el paisaje se doblaba por coordenadas de tiempo. El espacio de Hilbert desnuda la necesidad de Pessoa de multiplicarse en muchos seres ante la imposibilidad de vivir en un cuerpo mutado en una orquesta sinfónica cuyos sonidos ya no puede dominar un solo hombre. Entonces los ojos sucumben, la flor es un ramillete y el ramillete es todo el universo bajo patrones matemáticos complejos, la sucesión de Fibonacci florece en nuestro jardín. La simetría del arte escapa a la experiencia inmediata. Einstein intenta tomar su autobús pero las piedras que ha pisado un segundo antes en el pequeño barranco al lado la carretera lo abstraen; ahora, todo el universo habita bajo sus zapatos, en ese instante el sistema se mueve, su ser ha sido atrapado por el lenguaje. Fischer, el monstruo del ajedrez que venció un siglo de dominio ruso en los torneos internacionales, viaja de incognito de motel en motel antes de enfrentar el campeonato mundial, su equipaje es un tablero de ajedrez; no puede cumplir citas ni hablar con nadie, ha olvidado el calendario e incluso su nombre en el pasaporte, no puede jugar de modo ortodoxo y pierde; es la sangre que necesita su cuerpo para el salto al vacío, para el dominio de esas geometrías desconocidas de sus caballos siempre al ataque bajo el ritmo implacable de su reloj al acecho del miedo del otro. Los dos, Einstein y Fischer son poetas, son artistas, los dos descubren el lenguaje del tiempo y del espacio bajo las cifras. Más que contar dibujamos el mundo, de la esfera de Tolomeo, una esfera cerrada finita, pasamos al orden de Copérnico con el Sol en el centro, pero con un sistema abierto al infinito, a la incertidumbre. El movimiento reclamó a Newton la necesidad de un lenguaje acorde a la nueva complejidad de la f ísica, el mundo del cálculo infinitesimal viene para nombrar nuevos objetos. El lenguaje funda realidad. No es otra la ruta a la que recurre Gaudí, no podía terminar su Sagrada Familia en vida, necesitaba dejar algoritmos para que otros arquitectos continuaran su legado. Otros deberían leer el ritmo de su mano, la secuencia del color, las formas de los trozos, su olfato para comprender la curva en el horizonte; todo, cuando su cuerpo muerto no pudiese dar la orden. Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • pp. 6-7 • Julio-diciembre de 2016

Editorial

En la hipermodernidad (Lipovetsky) mapeamos las posibilidades de ocurrencia, pasamos del riesgo a la incertidumbre, domesticamos la naturaleza, a los números. El azar es aquello que no dominamos. Ahora, la matemática ha mutado en varias lenguas, ya es muy compleja para ser el dominio de todos sus caminos. Muchos hombres, muchas mujeres trabajan sin saberlo sobre la misma pregunta; casi seguro desde diversos ábacos. No es una coincidencia a despreciar que desde Pitágoras, culturas distantes trataron a la hipotenusa como cuerda, lo que delata la necesidad práctica de la pregunta en sus orígenes. La historia de la matemática es ya un laberinto a la manera de la Torre de Babel trasmutada en biblioteca… El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercados por barandas bajísimas. Desde cualquier hexágono se ven los pisos inferiores y superiores: interminablemente (La biblioteca de Babel; Borges, J. L.). Cierro esta invitación a viajar por esta entrega de la revista Papeles dedicada a las matemáticas con un poema de mi libro Ceniza de luna, dedicado a esa arena infinita de los números. Números de arena En las puertas de la iglesia persiste el tráfico de los sueños, una moneda compra la esperanza. Todos jugamos el pan a la confusión de los dados. Y el ciego vendedor de lotería palpa los números, piedras de arena en la tumba sin nombre. Está puesto el reloj: llenamos de ojos la noche, los remos son muletas para remontar la sangre, hasta que el mar es un río donde compartimos las orillas. Los niños en el ábaco renuevan la piel de las cifras ensartando calaveras en los hilos de la memoria. En la arena hay huellas de agua. Enrique Ferrer-Corredor

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Vesga, G. y Falk, M.

Teoría y enseñanza de la matemática

Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas acerca de la matemática, su enseñanza y su relación con la práctica docente* Epistemological Beliefs of Mathematics Teachers about Mathematics, its Teaching and its Relationship to Teaching Practice Grace Judith Vesga Bravo y Mary Falk de Losada**

Resumen Se presenta el resultado de un proceso investigativo cuyo objetivo fue analizar y describir las creencias epistemológicas que tienen docentes de matemáticas sobre la matemática, su enseñanza y la relación de estas con su práctica docente. Se utilizó una metodología de estudio de casos con la participación de tres docentes, cada uno con Citar este artículo como: Vesga, G. y Falk, M. (2016). Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas acerca de la matemática, su enseñanza y su relación con la práctica docente. Revista Papeles, 8(16), 11-25. Fecha de recibido: abril 15 de 2016. Fecha de aceptación: junio 30 de 2016. * Este artículo hace parte del trabajo de tesis doctoral de Grace Vesga titulado “Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas en formación y en servicio. Un estudio de casos para proponer cambios en los programas de formación”, dirigido por la Dra. Mary Falk de Losada. ** Grace Vesga: Candidata a Doctora en Educación Matemática, Universidad Antonio Nariño, correo: gvesga@ uan.edu.co; Mary Falk de Losada: Docente del Doctorado en Educación Matemática de la Universidad Antonio Nariño, correo: mariadelosada@gmail.com

Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • pp. 11-25 • Julio-diciembre de 2016

Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas acerca de la matemática

más de diez años de experiencia, quienes realizaron un curso de corta duración alrededor de un recorrido histórico de las ecuaciones cuadráticas, que estuvo orientado a desafiar las creencias epistemológicas de los participantes y a promover reflexión al respecto. Para recoger la información se aplicaron cuestionarios cerrados, se realizaron entrevistas semiestructuradas y los docentes presentaron una propuesta para la enseñanza de las ecuaciones cuadráticas incorporando los aspectos estudiados en el curso. Los resultados permiten evidenciar que los docentes se han esforzado en construir una epistemología coherente entre la matemática y su enseñanza y aprendizaje, pero persisten dificultades para lograrlo. Palabras clave: creencias epistemológicas, historia de las matemáticas, falibilismo, absolutismo, constructivismo, tradicionalismo.

Abstract This research paper presents the result of a research process whose objective was to analyze and describe the epistemological beliefs that mathematics teachers have about mathematics, its teaching and their relation with their actual teaching practice. The case study methodology was used involving three teachers, each one of them with over ten years of experience, who conducted a short course about a historical tour of quadratic equations, which was aimed to challenge the epistemological beliefs of the participants and to promote reflections on the matter. In order to collect the information closed questionnaires were applied, semi-structured interviews were conducted and teachers presented a proposal for teaching quadratic equations incorporating the aspects studied in the course. The results evidenced that teachers have endeavored to build a coherent epistemology between mathematics and its teaching and learning, but difficulties do persist. Key Words: epistemological beliefs, history of mathematics, fallibilism, absolutism, constructivism, traditionalism.

Introducción Actualmente existe gran preocupación por los bajos resultados obtenidos por los estudiantes latinoamericanos en pruebas internacionales de matemáticas, como el Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés), o el Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMSS, por sus siglas en inglés). Específicamente en el caso colombiano, en PISA 2012, el país quedó ubicado dentro de los tres países con más bajo desempeño (ICFES, 2013) y en TIMSS 2007, dentro de los diez países también con más bajo desempeño (ICFES, 2010). Diferentes estudios han demostrado que la calidad de los docentes influye significativamente

en el rendimiento de sus estudiantes (Yang, 2014). Específicamente en el informe de resultados TIMSS 2007, se señala que a mayor y mejor formación de los docentes, más altos son los puntajes obtenidos por sus estudiantes (ICFES, 2010), y una de las recomendaciones para Colombia con base en los resultados de PISA 2012 está referida a mejorar la calidad de los docentes (ICFES, 2013). Cabe preguntarse, para el caso particular de la formación de docentes de matemáticas, ¿qué significa formar docentes de calidad? ¿Qué es útil que los futuros docentes aprendan? ¿Qué debería enseñarse?, entre otras. Al respecto, Hersh (1997) plantea que la pregunta no es

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Vesga, G. y Falk, M.

sobre qué matemáticas se debe enseñar sino sobre ¿cuál es la postura epistemológica que se tiene sobre qué son las matemáticas?, ya que esta afecta profundamente la práctica. Diferentes investigadores afirman que existe una estrecha relación entre las creencias que tienen los docentes acerca de naturaleza de las matemáticas y su enseñanza y aprendizaje (Thompson, 1984, 1992; Steiner, 1987; Pajares, 1992; Artz y Armour-Thomas, 1999; Cross, 2009, 2015; Penn, 2012). Estas conexiones pueden tener efectos positivos, pero también negativos, específicamente en la capacidad y disposición de los docentes para probar y desarrollar nuevos enfoques, para incorporar transformaciones en sus prácticas y para lograr que reformas curriculares tengan éxito (Steiner 1987; Pepin, 1999; Handal y Herrington, 2003; Cross, 2009, 2015; Pantziara, Karamanou y Philippou 2013). De otra parte, la literatura muestra que las creencias epistemológicas de los docentes de matemáticas acerca de las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje están altamente influenciadas por los conocimientos filosóficos e históricos que tengan sobre la matemática (Chassapis, 2007; White-Fredette 2009; Charalambous, Panaoura y Philippou, 2009). Cross (2009) señala que muchas veces las creencias epistemológicas han sido formadas a través de modelos de enseñanza que han recibido incluso antes de realizar estudios formales en educación matemática y el cambio o su formación debe ser un proceso continuo de conciencia, confrontación y reflexión. Factores como el entorno escolar y las comunidades a las que pertenecen los docentes son importantes en la construcción y consolidación de sus creencias, por tanto, es importante que los docentes participen de experiencias que desaf íen sus creencias epistemológicas sobre la matemática, su enseñanza y aprendizaje, y que esto redunde en que puedan ayudar a sus estudiantes a desarrollar significado y comprensión (MEN, 2006; Charalambous, Panaoura y Philippou, 2009; Cross, 2009).

En el caso colombiano, en los estándares básicos de competencias, se afirma que las matemáticas son consideradas “como un cuerpo de prácticas y de realizaciones conceptuales y lingüísticas que surgen ligadas a un contexto cultural e histórico concreto y que están en continua transformación y reconstrucción como otros cuerpos de prácticas y saberes” (MEN, 2006, p. 47). Y se declara que para lograr que los estudiantes sean matemáticamente competentes es necesaria la adopción de un modelo epistemológicamente coherente por parte de los docentes, para lo cual se requiere que, con base en las nuevas tendencias de la filosof ía de las matemáticas, los docentes reflexionen, exploren y se apropien de supuestos sobre las matemáticas, como: Las matemáticas son una actividad humana inserta en y condicionada por la cultura y por su historia en la cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos para plantear y solucionar problemas (…). En la búsqueda de soluciones y respuestas a estos problemas surgen progresivamente técnicas, reglas y sus respectivas justificaciones, las cuales son socialmente decantadas y compartidas. • Las matemáticas son también el resultado acumulado y sucesivamente reorganizado de la actividad de comunidades profesionales (p. 49). • Sin embargo, para el caso colombiano, existe muy poca investigación acerca de las creencias epistemológicas de los docentes de matemáticas, y los resultados de los estudiantes parecen no estar en correspondencia con las posturas descritas y esperadas.

Factores como el entorno escolar y las comunidades a las que pertenecen los docentes son importantes en la construcción y consolidación de sus creencias.

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Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas acerca de la matemática

Preguntas de investigación El recorrido anterior muestra que es necesario tener información sobre las creencias epistemológicas que tienen docentes de matemática acerca de la matemática y su enseñanza, la manera como se transforman y su influencia en la práctica docente. En este estudio se busca dar respuesta a las siguientes preguntas de investigación: ¿Cuáles son las creencias epistemológicas que tienen docentes de matemáticas acerca de la matemática y su enseñanza, cómo se estructuraron y cómo se transforman al incorporar experiencias de aprendizaje basadas en la filosof ía, la epistemología y la historia de la matemática? ¿Cuál es la influencia que tiene en la práctica de docentes de matemáticas sus creencias epistemológicas acerca de la matemática y su enseñanza?

Marco referencial La epistemología es una rama de la filosof ía que se ocupa de la teoría del conocimiento. En el diccionario de filosof ía de la Universidad de Stanford se señala que: La epistemología es el estudio del conocimiento y de la creencia justificada. Como el estudio del conocimiento, la epistemología se ocupa de las siguientes cuestiones: ¿Cuáles son las condiciones suficientes y necesarias para el conocimiento? ¿Cuáles son sus fuentes? ¿Cuál es su estructura, y cuáles son sus límites? Como estudio de la creencia justificada, la epistemología tiene por objetivo responder preguntas tales como: ¿Cómo debemos entender el concepto de justificación? ¿Qué justifica las creencias justificadas? ¿Es la justificación interior o exterior a la mente del sujeto? (Steup, 2014).

El conocimiento como creencia justificada está referido a determinar las condiciones

necesarias y suficientes para que la creencia exista; la justificación tiene como papel central garantizar que la creencia no se deba al azar. A partir del trabajo de Thompson (1992), Phillipp (2007) define y distingue entre actitudes, creencias, sistemas de creencias y concepciones, entre otras. Se refiere a una actitud como una manera de actuar, sentir o pensar que muestra la disposición u opinión de la persona; pueden mostrar sentimientos positivos o negativos. Las creencias son premisas o proposiciones sobre el mundo que se piensa son verdaderas, son como lentes que afectan la forma de ver el mundo. El autor señala que son más cognitivas y dif íciles de cambiar que las actitudes, y que, a diferencia de los conocimientos, no son consensuadas. Un sistema de creencias hace referencia a una manera de describir las creencias de una persona de manera organizada, generalmente alrededor de una idea o un objeto particular.

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Vesga, G. y Falk, M.

En investigaciones más recientes, las creencias epistemológicas han sido conceptualizadas de manera multidisciplinaria, ya que las personas tienen creencias diferentes sobre los distintos aspectos del conocimiento: de dónde proviene (fuente u origen); si es certero e inmutable o evoluciona (estabilidad); y, si es simple y aislado o complejo e integrado (estructura) (Buehl y Fives, 2009). Desde esta perspectiva se realizó el estudio.

matemática tiende a estar relacionada con un enfoque para la enseñanza que puede llamarse conductista o tradicional, centrado en el profesor que posee e imparte conocimiento que debe ser asimilado y en algoritmos que deben ser mecanizados, lo que, en muchos casos, dificulta orientar la enseñanza hacia la resolución de problemas, pues para ello se requiere un punto de vista de las matemáticas flexible y abierto (Steiner, 1987).

De otra parte, las creencias epistemológicas que se tienen sobre la matemática están estrechamente relacionadas con la filosof ía de la matemática que se considere. Existe una tendencia filosófica que tiene dos miradas epistemológicas sobre las matemáticas: el absolutismo o formalismo y el falibilismo (Lerman, 1990). En el primero, se considera que las matemáticas son absolutas, infalibles, incuestionables; se utiliza un lenguaje formal, no hay lugar al error; y o bien existen aparte en un mundo de ideas puras (platonismo) o en la mente del creador (neoplatonismo) y se descubren, o se crean a partir de sistemas lógico-deductivos (instrumentalistas o formalistas) (Ernest, 1991, 1998). Esta visión de la

En el segundo, se considera que la matemática es un producto de la invención humana, falible, corregible, que comparte significados dentro de una comunidad (Davis, Hersh y Marchisotto, 2012; Hersh, 1997), y que los conceptos matemáticos no están fijados de manera permanente y pueden tener una historia de modificación a lo largo del tiempo (Lakatos, 1976). Esta postura está relacionada con un enfoque de la enseñanza que puede llamarse constructivista, que se centra en el estudiante, se basa en el uso de solución de problemas, se hace énfasis en el proceso y se incluyen aplicaciones del mundo real (White-Fredette, 2009/2010). El docente es un mediador para fomentar el aprendizaje del estudiante.

Metodología Se utilizó un enfoque cualitativo y una metodología de estudio de casos. Como señalan Sampieri, Fernández y Baptista (2014), este enfoque busca “comprender los fenómenos, explorándolos desde la perspectiva de los participantes en un ambiente natural y en relación con su contexto” (p. 358).

Participantes Hicieron parte del estudio tres docentes en ejercicio con más de diez años de experiencia docente y vinculados a instituciones de educación básica y media del sector privado. Participaron de manera voluntaria y todos firmaron un consentimiento informado. Los

docentes se identifican para este estudio como John, Myriam y Francisco.

Curso Los docentes que participaron en este estudio tomaron un curso de corta duración denominado Un recorrido histórico a través del estudio de la solución de ecuaciones cuadráticas en una variable, el cual se desarrolló entre los meses de septiembre y noviembre de 2015, con cinco encuentros presenciales en total, cada uno de tres horas. Se buscaba, a través del recorrido histórico alrededor de las ecuaciones cuadráticas, analizar con los docentes los problemas epistemológicos y científicos

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Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas acerca de la matemática

que tuvieron que enfrentar los matemáticos en las diferentes épocas en la búsqueda de soluciones de ecuaciones cuadráticas, y la importancia de la historia de las matemáticas para el desarrollo de la matemática y para el proceso de su enseñanza. Además, mediante este recorrido, se buscaba que los docentes reflexionaran acerca de las creencias que tienen sobre las matemáticas y su enseñanza. En la primera sesión, se hizo un recorrido sobre la aparición de ecuaciones cuadráticas y soluciones propuestas en diferentes épocas por los babilonios, griegos y árabes. En la segunda, se analizó el trabajo de Leonardo de Pisa y otros matemáticos, y la dificultad que tenían para aceptar números que no cumplieran con la tradición griega1. Durante la tercera, se estudió la manera como avanzó el álgebra mediante la institucionalización de su simbolización y cómo eso permitió romper con la tradición griega. Se presentaron además los importantes y significativos avances de la matemática que siguieron y fueron posibles por la simbolización. Al finalizar la tercera sesión, se propuso a los participantes un taller para trabajar alrededor de una conjetura relacionada con la matemática elemental. En la cuarta sesión se estudió el surgimiento y crecimiento de la geometría analítica, gracias al desarrollo del álgebra, y cómo estos avances y otros, como el descubrimiento de las geometrías no euclidianas, llevaron a la necesidad de fundamentar la matemática. Se presentaron aspectos relevantes de las escuelas formalista, logicista e intuicionista. Al finalizar esta sesión los participantes socializaron su trabajo alrededor de la conjetura 1

En la tradición griega todo número real se tenía que poder representar como la magnitud de un segmento que además podía construirse con regla y compás. En este sentido, en esa época, no se aceptaban números negativos, ni números irracionales positivos que no se pudieran construir con regla y compás. Leonardo había encontrado este tipo de números como solución de ecuaciones.

propuesta y lo que algunos habían realizado con sus propios alumnos. Se hizo un debate sobre una lectura de Hersh acerca del anverso y el reverso de las matemáticas, la cual debían leer previamente los docentes, y se hizo una descripción de la propuesta de Lakatos en su libro Pruebas y refutaciones. En la última sesión, los docentes debían socializar una propuesta, elaborada por ellos, sobre la manera de incorporar aspectos históricos en la enseñanza de la ecuación cuadrática en la educación media con énfasis en proponer a los estudiantes trabajar alrededor de conjeturas y/o solución de problemas. El trabajo independiente de los docentes estuvo orientado a la lectura del material preparado para el curso y su análisis para discusión luego en las sesiones presenciales.

Instrumentos Para la recolección de información se utilizaron cuestionarios cerrados, entrevistas semiestructuradas y la propuesta de aula. Acorde con el marco referencial establecido, se diseñaron dos instrumentos cerrados para identificar posturas de tipo absolutista o falibilista sobre las creencias epistemológicas acerca de las matemáticas; y por otra parte, posturas tradicionales o constructivistas sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para el diseño se tomaron como referentes instrumentos utilizados en diferentes investigaciones afines a esta (Walker, 2007; Penn, 2012) y se hizo un proceso de validación mediante juicio de expertos. Uno de los cuestionarios fue denominado “Creencias epistemológicas acerca de la matemática”, con un total de 29 afirmaciones de las cuales 10 están relacionadas con la fuente del conocimiento matemático, 13 con la estabilidad o certeza y 6 con la estructura (ver anexo 1). El otro cuestionario, que se denominó “Creencias acerca de la enseñanza de las matemáticas”, tiene un total de 20 afirmaciones (ver anexo 2).

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Para cada una de las afirmaciones los participantes debían marcar en una escala Likert de 1 a 5 qué tanto se identificaban o estaban de acuerdo. Con base en la información de los cuestionarios se realizaron entrevistas semiestructuradas a cada participante con el fin de indagar sobre la justificación y origen de las creencias señaladas. Los participantes respondieron los instrumentos al comienzo y al final del curso y presentaron igual número de entrevistas. También se hicieron preguntas relacionadas con el impacto de su formación de pregrado en la formación de sus creencias, la manera en que desarrollan una clase y, al finalizar, sobre la percepción del curso realizado. Finalmente, las propuestas de aula presentadas por los docentes, al finalizar el curso, también hicieron parte de los instrumentos considerados para la recolección y análisis de información.

Análisis de la información Con los instrumentos cerrados se determinó en cada aplicación la postura epistemológica reportada por cada participante, si estaba claramente definida o la tendencia que pudo observarse. Para ello se hizo un análisis del número de afirmaciones de cada postura,

falibilista/absolutista o constructivista/tradicional, con las que cada participante se identificó. Para determinar los cambios de postura entre la primera y la segunda aplicación, teniendo en cuenta que los instrumentos cerrados tenían una escala de graduación de 1 a 5, se consideró que hubo un cambio significativo de creencia si el valor absoluto de la diferencia entre los valores marcados era igual o mayor a dos. Las entrevistas fueron transcritas y se utilizaron en la descripción del perfil de cada participante para señalar los argumentos dados acerca de sus creencias epistemológicas o de los cambios señalados entre una y otra aplicación, y para contrastar la influencia de las creencias reportadas con la propuesta de aula presentada, la cual se analiza y se describe para cada docente.

Resultados Posturas epistemológicas sobre la matemática y su enseñanza A partir de los instrumentos cerrados se identificó que John, Myriam y Francisco tenían posturas de tipo falibilista frente a las matemáticas, y de tipo constructivista frente a su enseñanza. Al finalizar el curso, las posturas se mantuvieron, con algunos cambios importantes, especialmente en John, que permiten ver que avanzó en la consolidación de sus creencias.

Estructuración de las creencias John, Myriam y Francisco expresaron que su formación en el pregrado y su experiencia docente han sido los aspectos que les han aportado para la formación de sus creencias actuales. Para los tres fue positivo e importante el haber recibido en el pregrado una formación matemática rigurosa, de corte formalista. Pero, al mismo tiempo, señalaron las dificultades que han tenido que superar para su ejercicio docente, pues al comienzo

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esas creencias fueron un obstáculo, en lugar de un apoyo, para su trabajo de aula. Esto lo señaló especialmente John, quien afirmó que al iniciar su proceso de práctica, quiso hacerlo al estilo formalista y se dio cuenta que no era pertinente, y fueron los docentes de corte pedagógico y didáctico quienes lo orientaron.

Propuesta de aula Las propuestas presentadas por los docentes para la enseñanza de la ecuación cuadrática incorporando aspectos vistos en el curso fueron variadas. A continuación se hace una descripción general y se contrasta con algunos elementos señalados por los docentes que consideran importantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. John señaló que siempre ese tema lo empezaba dando la forma general que tiene ese tipo de ecuaciones, con énfasis en procesos algorítmicos, y que solo hacía algunas aplicaciones al finalizar el tema. En contraste, presentó una situación problema abierta para que, con uso de material didáctico, los estudiantes pudieran trabajar y proponer alternativas. John propone trabajar alrededor de un problema como “un albañil tiene este tipo de baldosas y va a enchapar una pared y la pared es cuadrada”; el tipo de baldosas se asocia con el material didáctico, piezas de forma rectangular y cuadrada de dimensiones desconocidas. A través de diferentes preguntas se espera que los estudiantes encuentren expresiones algebraicas

Los Babilonios • Profesor. Les voy a dar las instrucciones al estilo de como lo hacía un escriba de la época para resolver la situación: • Alumno: Listo profesor estoy dispuesto a seguir sus instrucciones. • Profesor: Tome la mitad de 6 1/2, qué obtienes? • Alumno: profe, no recuerdo exactamente cómo hacerlo.

equivalentes al tiempo que ven aplicaciones a la vida cotidiana. Adicionalmente, John manifestó presión por cumplir con lo establecido en el currículo y con lo propuesto en el libro de texto que está obligado a llevar, en el cual se presentan los conceptos de manera teórica, luego se plantean ejercicios de rutina y finalmente aplicaciones, señalando que esto dificulta el trabajo en el aula con énfasis en la solución de problemas. Por su parte, Myriam, aunque afirmó que espera que los estudiantes aprendan a razonar, considera importante que sepan conceptos para que los usen como herramientas al resolver diferentes situaciones, y argumentó de manera sólida y con claridad su postura constructivista frente a la enseñanza y aprendizaje de la matemática, presentó una clase esencialmente tradicional para la enseñanza de las ecuaciones cuadráticas. En su propuesta, el docente tiene el papel de ser el dueño del conocimiento y el estudiante el receptor del mismo. Intentó realizar un diálogo al estilo de Lakatos, pero lo que se muestra a través del mismo es un estudiante siguiendo instrucciones de tipo algorítmico para resolver una ecuación, muy diferente a lo propuesto por Lakatos. El docente propone usar el método babilónico para resolver el problema “Sumé la longitud y el ancho (de un rectángulo) y obtuve 6½. Multipliqué la longitud por el ancho y obtuve el área 7½. ¿Cuál es la longitud y cuál es el ancho?”. En la Figura 1 se muestra una parte del diálogo propuesto tal cual como lo presentó el docente.

Los Babilonios • Profesor. Listo entonces, toma el número mixto y conviértelo a una fracción impropia. • Alumno: ahhh, de eso si me acuerdo. Tomo el número entero y lo multiplico por el denominador de la fracción, luego sumo el numerador y el resultado es 6 x 2 + 1 = 13. Luego la fracción está compuesta por este resultado que será el numerador de la fracción impropia y el denominador será 2, así me queda 13/2.

Figura 1. Ejemplo diálogo presentado por Myriam

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Proceso Babilonio • Profesor. Muy bien!!!!, veo que has aprendido a manejar fracciones. Ahora divide esa fracción en dos • Alumno: Como así profe, dividir una fracción en la mitad? • Profesor: Acuérdate de la operación división de números fraccionarios y no es en la mitad, es en dos.

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Francisco propuso cuatro actividades, cada una diseñada para un grado diferente, centradas en buscar que el estudiante pudiera descubrir y el docente fuera un mediador que a través de preguntas va orientando la actividad. Una de las actividades tenía como objetivo que los estudiantes comprendieran, a través del uso de la geometría, que las expresiones (x + a)(x - a) y x² - a² son equivalentes y para ello Francisco propuso el problema siguiente. “Supongamos que Juan ofrece a Martín cambiarle un lote cuadrado por un lote rectangular. El largo del lote cuadrado es a metros mayor que la longitud del lado del lote del cuadrado, y el ancho es a metros menor. ¿Es justo este cambio? Si no lo es, ¿quién perdería y cuánto?”. Para Francisco, el éxito para lograr que los estudiantes trabajen y puedan descubrir matemática por cuenta propia está en “el arte de hacer preguntas”.

Impacto del curso Los docentes que participaron en el estudio destacaron la importancia de trabajar de manera profunda un tema de la matemática escolar desde la historia de las matemáticas. También hicieron referencia al impacto generado por el estudio de la obra de Lakatos y los aportes de Davis y Hersh, especialmente con su reflexión acerca del anverso y el reverso de las matemáticas. John argumentó que el curso le permitió reflexionar sobre la importancia de dejar a los estudiantes llegar al conocimiento matemático por su propia cuenta en lugar de presentarlo ya terminado, para que simplemente sea memorizado y usado de manera mecánica sin desarrollar su pensamiento matemático.

Discusión y análisis de los resultados En este estudio se plantearon dos preguntas de investigación, la primera de las cuales es: ¿cuáles son las creencias epistemológicas que tienen docentes de matemáticas acerca de la matemática y su enseñanza, cómo se estructuraron y cómo se transforman al incorporar experiencias de aprendizaje basadas en la filosof ía, la epistemología y la historia de las matemáticas? Para dar respuesta se utilizaron los instrumentos cerrados y las entrevistas. Se pudo determinar que los docentes participantes reportan posturas definidas y coherentes entre sí. John, Myriam y Francisco se identificaron, desde el comienzo, con una postura falibilista acerca de las matemáticas y constructivista frente a su enseñanza, la cual mantuvieron hasta el final del curso, con algunos cambios que las ratifican, especialmente en el caso de John. Se infiere que, por su fuerte formación formalista en el pregrado, John, Myriam y Francisco

inicialmente tenían creencias orientadas a esa postura, pero que, especialmente su experiencia docente, y de alguna manera, por participar continuamente en diferentes eventos de matemática y educación matemática, han ido transformándola, pero todavía no se articula de manera coherente con el trabajo de aula. Este hallazgo ratifica lo señalado por Sfard, citada por White-Fredette (2009/2010), acerca de que los matemáticos puros hacen parte del paradigma absolutista, los investigadores en educación matemática del falibilista, y los docentes de matemáticas de educación básica y media están atrapados en el medio, con una mayor tendencia al formalismo. De otra parte, aunque a lo largo del curso no hubo cambios de postura, sí se presentaron cambios en algunas de las afirmaciones que ratifican las posturas de tipo falibilista/constructivista de los participantes, especialmente en el caso de John. Al finalizar el curso, John

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hizo énfasis en la importancia de permitir a los estudiantes llegar al conocimiento matemático por su propia cuenta en lugar de presentarlo ya terminado, para que simplemente sea memorizado y usado de manera mecánica. Se pudo evidenciar que el incorporar experiencias de aprendizaje basadas en la filosof ía, la epistemología y la historia de las matemáticas, en las cuales se generan espacios implícitos, pero especialmente explícitos para que los docentes reflexionen sobre sus creencias epistemológicas acerca de la matemática, su enseñanza y aprendizaje, ayuda a la consolidación de las mismas (Flores, 1995; Cooney, Shealy y Arvold, 1998; Charalambous, Panaoura y Philippou, 2009; White–Fredette, 2009). La segunda pregunta de investigación planteada fue: ¿cuál es la influencia que tiene en la práctica de docentes de matemáticas sus creencias epistemológicas acerca de la matemática y su enseñanza? Los resultados observados con los tres docentes muestran que, a pesar de haber señalado a través de los instrumentos cerrados posturas aparentemente claras y alineadas frente a la matemática y su enseñanza, persisten algunas contradicciones y dificultades para romper con posturas formadas durante los estudios universitarios, y probablemente desde antes, y avanzar en una verdadera articulación de sus creencias, que

Se evidencia que a pesar del esfuerzo que han realizado los docentes en servicio por construir una epistemología coherente entre la matemática y su enseñanza, persisten serias dificultades para lograrlo, y se infiere que en gran parte se debe a la manera en que en los programas de formación fueron presentados.

se refleje de manera efectiva en su ejercicio docente. Por ejemplo, John, en su propuesta para la enseñanza de las ecuaciones cuadráticas, señaló que antes de tomar el curso siempre empezaba presentando la forma general que tiene ese tipo de ecuaciones, con énfasis en procesos algorítmicos, y que solo hacía algunas aplicaciones al finalizar el tema. En contraste, presentó una situación problema abierta para que, con uso de material didáctico, los estudiantes pudieran trabajar y proponer alternativas. Hizo hincapié, al finalizar el curso, que estaba convencido de que puede trabajar la matemática a partir de la solución de problemas. Sin embargo, John manifestó presión por parte de la institución educativa por cumplir con lo establecido en el currículo y con lo propuesto en el libro de texto que está obligado a llevar. Por su parte, Myriam, aunque argumentó de manera sólida y con claridad su postura constructivista frente a la enseñanza y aprendizaje de la matemática, hizo una propuesta esencialmente tradicional para la enseñanza de las ecuaciones cuadráticas. A pesar de intentar realizar un diálogo al estilo de Lakatos, lo que se muestra a través del mismo es un estudiante siguiendo instrucciones de tipo algorítmico para resolver una ecuación dada por su docente, quien tiene el conocimiento; esto es muy diferente a lo propuesto por Lakatos. Solamente Francisco evidencia una articulación entre las creencias señaladas en los instrumentos y su práctica docente, tal como él la describe, y es reflejada en su propuesta para la enseñanza de las ecuaciones cuadráticas. Estas situaciones evidencian que a pesar del esfuerzo que han realizado los docentes en servicio por construir una epistemología coherente entre la matemática y su enseñanza, persisten serias dificultades para lograrlo, y se infiere que en gran parte se debe a la manera en que en los programas de formación fueron presentadas. También es probable que en

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algunos casos esto se presente por la preocupación que señalaron los docentes sobre cumplir con el currículo establecido, como el caso de John, y por la necesidad de responder a diferentes estándares y pruebas nacionales e internacionales, como el caso de Myriam. Esto se correlaciona con hallazgos similares en otras investigaciones, en las que además se hace énfasis en el impacto que tiene el contexto en la formación de creencias (Raymond, 1997; Stipek, Givvin, Salmon y MacGyvers, 2001; Skott, 2009; Sztajn, 2003). También es probable, como lo muestran varias investigaciones, que las reformas curriculares, orientadas actualmente en la educación matemática hacia el aprendizaje constructivista, no tendrán éxito si no se consideran las creencias de los docentes, entre otros aspectos (Handal y Herrington, 2003; Pantziara, Karamanou y Philippou, 2013). En el caso de Colombia, la reforma más reciente fue presentada por el

Ministerio de Educación Nacional a través de la formulación de estándares de competencias a comienzos del siglo XXI. Sin embargo, los resultados de diferentes pruebas muestran que se ha logrado muy poco en relación con lo propuesto.

Conclusiones Este estudio, desde la perspectiva de los tres participantes, permitió conocer las creencias epistemológicas acerca de la matemática, su enseñanza y aprendizaje que tienen docentes de matemáticas, así como su influencia en la práctica. Se pudieron identificar aspectos sobre la manera en que se han ido estructurando las creencias señaladas. Los docentes señalaron especialmente su formación de corte formalista en su pregrado y su amplia experiencia docente. Al respecto, se identificó una dualidad en los docentes, a saber, la diferencia que establecen entre la matemática como disciplina científica y la matemática escolar: indicaron que sus creencias epistemológicas sobre la matemática, formadas durante sus estudios de pregrado y de corte formalista, no tienen relación con su trabajo de aula, ni con sus creencias sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática, pero se pudo evidenciar que sí existe un vínculo importante. El curso diseñado para la investigación con énfasis en

aspectos históricos, filosóficos y epistemológicos permitió a los docentes reflexionar de manera explícita sobre sus creencias y su impacto en su ejercicio docente. Este estudio deja abiertas las puertas a más y nuevas investigaciones sobre las creencias epistemológicas de los docentes, la manera cómo los programas de formación ayudan en su formación y consolidación, así como maneras de articular la matemática como disciplina científica con la matemática escolar.

Limitaciones Como se describió, este estudio es de carácter cualitativo y se realizó mediante un estudio de caso, en el cual participaron tres docentes pertenecientes a instituciones privadas, por lo tanto se requiere mayor investigación; las afirmaciones aquí expresadas no pretenden establecer generalizaciones.

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Creencias epistemológicas de docentes de matemáticas acerca de la matemática

Anexo 1. Cuestionario Creencias epistemológicas acerca de la matemática Fuente F1. La matemática es una creación de la mente humana F2. La matemática está por ahí, en el universo, esperando a ser descubierta F3. La matemática se construye a partir de la experiencia humana F4. La matemática consiste, en su mayoría, de hechos y procedimientos que se tienen que aprender y/o ser aceptados como verdaderos F5. Cualquier persona puede crear o descubrir hechos matemáticos por su propia cuenta F6. Sólo los matemáticos pueden hacer nueva matemática F7. En matemática algo es verdadero solamente si se demuestra rigurosamente por medio del uso de la lógica y el razonamiento F8. Las teorías matemáticas son en gran parte producto de la creatividad F9. Los problemas son menos importantes que los teoremas F10. La matemática es una ciencia formal y exacta, no hay lugar para la conjetura

Estabilidad (certeza) C1. Cada día se inventa nueva y mucha matemática C2. El conocimiento matemático es falible y corregible, como cualquier ciencia humana C3. El conocimiento matemático es cierto, objetivo e incuestionable

C4. En matemáticas, las respuestas son correctas o incorrectas C5. Los procedimientos y reglas matemáticas no cambian C6. Los resultados de los problemas de matemáticas son siempre predecibles C7. Es posible inventar problemas matemáticos que no tienen solución C8. La matemática está en continua evolución C9. La matemática ha evolucionado a través de la historia C10. La mayor parte de lo que es verdad en las matemáticas ya se conoce C11. Acerca de toda la matemática actual no se puede tener total certeza C12. En matemáticas las respuestas a las preguntas pueden cambiar a medida que se tiene más información C13. Puede haber muchas formas diferentes de resolver un problema matemático

Estructura E1. Hacer matemáticas es una actividad solitaria E2. La matemática es una ciencia formal y exacta, no hay lugar para la contradicción E3. Las matemáticas son un conjunto de reglas, fórmulas, hechos y procedimientos E4. El conocimiento matemático es absolutamente cierto, incuestionable y objetivo E5. Hacer matemáticas es una actividad que genera nuevo conocimiento E6. Para entender las matemáticas es importante relacionarlas con la vida real

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Anexo 2. Cuestionario Creencias acerca de la enseñanza de las matemáticas 1. Cualquier persona puede aprender matemáticas 2. Para aprender matemáticas se requiere de habilidades especiales hacia la matemática 3. Los estudiantes pueden ser creativos y descubrir hechos matemáticos por su propia cuenta 4. El docente de matemáticas es el responsable de transmitir el conocimiento matemático a sus estudiantes 5. Los estudiantes pueden resolver problemas de manera creativa aun cuando no tengan muchos conocimientos matemáticos 6. El éxito del aprendizaje de las matemáticas está en la repetición de procedimientos 7. En el aprendizaje de las matemáticas es fundamental la memorización de conceptos 8. Los errores en la clase de matemáticas son importantes y una fuente de nuevo aprendizaje, por lo cual se deben discutir en clase 9. Los errores de los estudiantes se deben discutir en la clase como ejemplo de lo que no se debe hacer 10. Los temas de la matemática escolar están claramente establecidos y son estables en el tiempo 11. Lo que es más importante en la solución de un problema es la respuesta no las ideas que pueda tener el estudiante sobre cómo encontrarla

12. En la clase de matemáticas es importante que se muestre a los estudiantes problemas sin solución así como diferentes formas de ver y resolver un mismo problema 13. Los problemas matemáticos deben tener una respuesta exacta para que el estudiante pueda saber si está trabajando correctamente 14. La clase es una comunidad de aprendizaje donde docentes y estudiantes interactúan para construir y validar conocimiento matemático 15. Los estudiantes deben aprender y reconocer que la matemática es una ciencia formal y exacta 16. Es importante proponer a los estudiantes situaciones o problemas que les permita generar y probar nuevas teorías 17. El trabajo en solución de problemas retadores es una buena fuente para mostrar que cualquier persona puede hacer matemáticas 18. Cuando un estudiante resuelve problemas lo importante es que sepa qué conceptos y procedimientos debe utilizar 19. Los estudiantes se confunden si se les muestra más de una forma de resolver un mismo problema 20. En la clase de matemáticas, el profesor debe saber la respuesta a cualquier pregunta de los estudiantes

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Lo emocional como articulador de la razonabilidad en la didáctica de la matemática

Lo emocional como articulador de la razonabilidad en la didáctica de la matemática* The emotional as an articulator of reasonability in the mathematics didactics Rubén Darío Henao Ciro** y Mónica Moreno Torres***

Resumen El texto presenta una revisión crítica de la matemática emocional, al tiempo que trata el papel de las emociones en la reconfiguración de la didáctica de las matemáticas en relación con la razonabilidad1. Durante mucho tiempo, la racionalidad se ha impuesto sobre la razonabilidad, de tal suerte que la matemática es vista como un área dura que Citar este artículo como: Henao, R. y Moreno, M. (2016). Lo emocional como articulador de la razonabilidad en la didáctica de la matemática. Revista Papeles, 8(16), 26-34. Fecha de recibido: marzo 15 de 2016. Fecha de aceptación: junio 15 de 2016. *

Este documento surge en el marco del doctorado en la línea Didáctica de la Educación Superior, Universidad de Antioquia, cuya tesis es la relación entre textos literarios y científicos como medio para desarrollar la razonabilidad de profesores de matemáticas: una estrategia didáctica en la educación y superior.

** Profesor de cátedra de la Licenciatura en Matemática y Física de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia, y docente de la IE Normal Superior de Medellín. Candidato a doctor en educación superior. Correo: rdhenao55@gmail.com *** Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia. Doctora en Educación, Línea Didáctica Universitaria, de la Facultad de Educación de la misma universidad. Correo: monica.moreno@udea.edu.co 1

En el marco de la mencionada tesis doctoral se ha reconfigurado el concepto de razonabilidad como un proceso interhumano y abductivo que le permite a una persona establecer nuevas conexiones dialógicas desde lo que es, lo que siente, lo que lee y lo que piensa. En este proceso, el ser capta el mundo a través de los sentidos, la imaginación y la razón, y se muestra más razonable en sus acciones.

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causa displacer y sufrimiento a los adolescentes y a los jóvenes. No obstante, en los últimos años han surgido varias investigaciones tendientes a vincular lo cognitivo con lo afectivo y pensar que una educación emocional, paralela a la educación matemática, contribuye a elevar no solo el nivel de conocimientos sino también la calidad de vida de quienes estudian. Palabras clave: matemática emocional, actitudes, efectos, creencias, didáctica de la matemática.

Abstract This text presents a critical review of emotional mathematics while addressing the role of emotions in the reconfiguration of mathematics didactics in relation to reasonableness. For a long time rationality has been imposed on reasonableness, so that mathematics is seen as a hard area that causes displeasure and suffering to adolescents and young people. However, in the last few years a number of researches have emerged to link the cognitive with the affective and to think that an emotional education, parallel to mathematical education, contributes to raise not only the level of knowledge but also the quality of life of those who study. Keywords: emotional mathematics, attitudes, purposes, beliefs, teaching mathematics.

Introducción Muchas investigaciones demuestran que el aprendizaje de la matemática se ve disminuido o aumentado debido a las emociones y actitudes de estudiantes y profesores (McLeod, 1994; Blanco & Guerrero, 2002; Bueno, Teruel, & Valero, 2005; Gil et al., 2006, Gómez Chacón, 2000, 2003, 2009); todos coinciden en que las emociones forman parte de la enseñanza de las matemáticas, puesto que es evidente la relación entre lo emocional y lo cognitivo como un todo dialéctico (Estrada & Diez, 2011; García, 2012), dado que “el aprendizaje está determinado por la dimensión racional y la dimensión afectiva nos adentra de lleno en la compleja relación entre cognición-afectividad, razón-emoción, mente-corazón” (Bueno et al., 2005, p. 170). Una de estas investigaciones es la obra Matemática emocional; los afectos en el aprendizaje matemático, donde Gómez (2000) establece una relación entre lo emocional y la matemática escolar. Para la autora, la dimensión afectiva en matemáticas es un “extenso rango

de sentimientos y humores que son generalmente considerados como algo diferentes de la pura cognición” (p. 22), apoyada en descriptores como las creencias, las actitudes, los valores y las apreciaciones. Estos descriptores afectan también la educación de personas adultas (Estrada y Diez, 2011). Bazán y Aparicio (2006) integran los componentes anteriores al conativo, porque consideran que dicha integración provoca una mayor compresión de la matemática. Bueno et al. (2005) aportan el estudio de las competencias socioafectivas en la formación inicial de maestros. Bisquerra (2005) plantea que la finalidad de la educación es el desarrollo humano y en esto es fundamental la formación del profesorado a través de la educación emocional al desarrollarse competencias como: la conciencia emocional, la regulación de emociones y la motivación. Teruel (2000) considera la necesidad de incluir la educación emocional en el currículo, puesto que en la escuela se deben desarrollar “cualidades emocionales,

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como la capacidad de adaptación, las habilidades sociales, la empatía, el autocontrol, la autoconsciencia o conocimiento de sí mismo, el entusiasmo, la automotivación personal, la asertividad, la perseverancia, la amabilidad, el respeto” (p. 142). Fernández (2005) propone el modelo Personalidad y Relaciones Humanas, creado por André Rochais en 1979, para la formación de educadores, el cual interrelaciona “lo que pensamos, lo que sentimos, lo que somos de fondo, el cuerpo y, finalmente, la conciencia profunda” (Fernández, 2005, p. 247). Extremera y Fernández-Berrocal (2003) se refieren al conocimiento emocional como “la capacidad para comprender las emociones junto con una mayor comprensión de las conexiones entre pensamientos y sentimientos, sus determinantes y sus consecuencias” (p. 102). Hidalgo et al. (2008) realizaron un estudio longitudinal del componente emocional matemático y demostraron que hay un fuerte descenso en las actitudes positivas hacia la matemática en estudiantes al pasar de los 11 a los 15 años. Estas investigaciones se apoyan en trabajos previos sobre las inteligencias, tanto de Daniel Goleman como de Howard Gardner, donde la inteligencia emocional es entendida como una destreza que permite conocer y manejar nuestros propios sentimientos, interpretar o enfrentar los sentimientos de los demás, sentirse satisfechos y ser eficaces en la vida a la vez que crear hábitos mentales que favorezcan nuestra propia productividad (Goleman, 1995, p. 57).

Así mismo, el autor de las inteligencias múltiples dice que “si queremos que los estudiantes lleguen a aprender, dominar y aplicar algo con criterio, debemos procurar envolver ese algo en un contexto que haga intervenir las emociones” (Gardner, 2000, p. 89); esto es, la educación matemática necesita relacionar otros procesos intrapersonales e interpersonales que nos definen como seres dialécticos y maduros, con pleno control de nuestras

emociones y afectos. McLeod (1994) define el afecto como “un extenso conjunto de sentimientos y humores (estado de ánimo) que son generalmente considerados como algo diferente de la pura cognición”. Phillip (2007) se refiere a la educación matemática afectiva “como el conjunto de maneras de actuar, sentir o pensar que muestran la disposición o la opinión de una persona” (citado por Estrada y Diez, 2011, p. 118), y dice que las actitudes2, cognitivas emocionales, se relacionan con sentimientos como resultado de experiencias anteriores; las actitudes negativas se relacionan con el bajo rendimiento en matemáticas (Bazán et al., 2001). 2

Se observa una sinonimia entre afecto, emoción y sentimiento y cómo estos dependen de las actitudes que tengan las personas. La actitud es definida por Hart (1989) como “una predisposición evaluativa (positiva o negativa) que determina las intenciones personales e influye en el comportamiento” (citado en Caballero & Blanco, 2007, p. 4); las actitudes son “predisposiciones aprendidas para responder positiva o negativamente a objetos dados, situaciones, conceptos o personas” (McLeod, 1992, citado por Estrada & Diez, 2011, p. 118). Para Gal et al (1997) las actitudes son la “suma de emociones y sentimientos que se experimentan durante el período del aprendizaje de la asignatura objeto de estudio” (Bazán & Aparicio, 2006, p. 5). Más todavía, las actitudes “son manifestaciones de la conducta que tienen su origen en creencias, emociones, hábitos y experiencias anteriores” (Castelló et al., 2010, p. 66).

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Además, Vigotsky (2004) dice que el pensamiento es posible si se comprende la base afectiva y volitiva de la persona. Los afectos ayudan en la estructuración del pensamiento. Según Spinoza, “los afectos son estados del cuerpo que aumentan o disminuyen la capacidad de éste para la acción, que favorecen dicha capacidad o la limitan pudiendo favorecer o no la consciencia de esos estados” (citado por Vigotsky, 2004, p. 4). Vigotsky, en un ensayo sicológico publicado en 1982 e intitulado Imaginación y el Arte en la Infancia, reconoce dos impulsos en la actividad humana: uno reproductivo que requiere de la memoria y otro que moldea, crea y que tiene relación con la imaginación: “es precisamente la actividad creadora del hombre la que hace de él un ser proyectado hacia el futuro, un ser que contribuye a crear y que modifica su presente” (p. 3). Igualmente, manifiesta que la imaginación hace posible la creación artística y científica. Este sicólogo reconoce cinco formas que conectan la imaginación con la realidad: la acumulación de experiencia, el apoyo imaginario, la doble expresión de las emociones, el signo emocional común y la representación emocional de la realidad. Estas formas destacan que la memoria y la imaginación están presentes en toda acción humana. La imaginación posibilita la creación artística y científica y requiere de la memoria y de la experiencia vivida; esta segunda, a su vez, requiere de la imaginación. Imaginación, experiencia y emoción se apoyan mutuamente y se complementan en el acto humano, puesto que sentimiento y pensamiento mueven la creación humana (p. 9). Después añade que la fantasía se construye desde la memoria y la realidad, y por tanto depende de las experiencias vividas: “cuanto más rica sea la experiencia humana, tanto mayor será el material del que dispone esa imaginación” (p. 6). La fantasía no es meramente reproductiva, sino que fecunda nuevas formas de ver el mundo y está en las obras de arte, sobre todo en la literatura, cuya lógica

fantástica influye en la conciencia social y nos ayuda a comprendernos (p. 10). Respecto a la creencia, se la define como “parte del conocimiento, perteneciente al dominio cognitivo, compuesta por elementos afectivos, evaluativos y sociales” (Gómez, 2003, p. 234). Las creencias, según Gilbert (1991), son “concepciones o ideas, formadas a partir de la experiencia, sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje y sobre sí mismo en relación con la disciplina” (citado en Caballero y Blanco, 2007, p. 3). Así también, los procesos educativos no dependen solo de los conocimientos disciplinares y académicos, sino que hay múltiples factores en la personalidad de quien aprende que intervienen en la eficacia de ese proceso. Esto implica la presencia de un profesor consciente de lo fundamental que es la educación emocional, capaz de comprender los estados emocionales de los estudiantes y “capaz de enseñar la aritmética del corazón y la gramática de las relaciones sociales” (Extremera y FernándezBerrocal, 2002, p. 374), dado que este profesor interfiere en el desarrollo de la personalidad de sus estudiantes. De allí que la preparación de todo profesional, especialmente los maestros, debe partir de la educación emocional (Fernández et al., 2009). Así también, Gardner (2016) sostiene la importancia de que las personas dedicadas al estudio de la ciencia hagan estudios humanísticos para evitar sufrir crisis y depresiones: las ingenierías y estudios tecnológicos acaban dándote una sensación de control sobre tu vida en el fondo irreal: sólo te concentras en lo que tiene solución y en las preguntas con respuesta. Y durante años las hallas. Pero, cuando con la madurez descubres que en realidad es imposible controlarlo todo, te desorientas.

Así las cosas, si un maestro pretende formar a sus estudiantes más allá de la mera racionalidad debe esforzarse en la práctica de actitudes positivas y de profundo respeto, que

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contribuyan a la formación de capacidades, como “saber elogiar de manera sincera e incondicional, dar más importancia a la persona que a los problemas que tiene, poner por delante de la conducta las causas de ésta, manifestar interés e ilusión por el trabajo” (Fernández Domínguez, 2005, citado en Fernández et al., 2009, p. 43). Estas actitudes proyectan unas competencias socioafectivas necesarias para que el maestro adquiera la dimensión humana integral que se requiere en el aula, tales como la capacidad para expresar y controlar emociones, para resolver conflictos, tolerar la incertidumbre y tomar decisiones. En este punto, y dada esta relación necesaria entre actitud y cognición en el proceso educativo, surge una interesante pregunta: ¿cuáles configuraciones debe tener la didáctica de la matemática si quieren incluir afectos, emociones y actitudes tendientes a formar la razonabilidad de los estudiantes de matemáticas? La respuesta, nada trivial, va desde la inclusión de la motivación en el aula hasta la posición estética asumida por el profesor en el ejercicio de la enseñanza; requiere de mediaciones tendientes a despertar la curiosidad, el asombro y las emociones de los estudiantes. Es clave saber que la relación entre motivación y aprendizaje es relevante, puesto que el comportamiento de un estudiante al aprender depende lo que lo motiva a aprender (Skemp, 1980; Gómez, 2005; Alsina & Domingo, 2007). La motivación intrínseca puede incrementar el rendimiento académico y favorecer el aprendizaje significativo. Skemp (1980) refiere

Es clave saber que la relación entre motivación y aprendizaje es relevante, puesto que el comportamiento de un estudiante al aprender depende de lo que lo motiva a aprender.

las motivaciones intrínsecas “como aquellas que surgen de dentro del sujeto, y que hacen que las matemáticas sean una actividad que recompensa en sí misma (citado en Alsina y Domingo, 2007, p. 24). Estos últimos elaboran una propuesta de aprendizaje activo, mediante el programa de transposición didáctica de los conceptos matemáticos de Domingo (2004), para mejorar el grado de motivación académica de los estudiantes por el aprendizaje de las matemáticas. Según ellos, “la percepción que el sujeto tiene del desarrollo de su rol como estudiante se correlaciona positivamente con el rendimiento académico, la aceptación de los compañeros, el liderazgo y la responsabilidad” (Alsina y Domingo, 2007, p. 27). La motivación de los estudiantes depende del conocimiento de sus necesidades y expectativas y del nivel comunicativo del profesor (Farias y Pérez, 2010). Así, “si el estudiante presenta un patrón motivacional negativo, frente a una dificultad, aumentará su ansiedad y hasta se angustiará pensando que la causa de la dificultad es su incapacidad y, por tanto, adoptará una actitud defensiva” (Font, 1994, p. 14). También acota que educar en matemáticas no es tan simple como explicar algoritmos y aplicar fórmulas sino que es la búsqueda de la emotividad, “que la gente se sienta feliz haciendo matemáticas, que le haga ilusión ir a clase, que se sepa transmitir la ilusión por el descubrimiento, por compartir lo que se está haciendo” (p. 8). Es común saber que se aprende matemáticas para resolver los problemas de la cotidianidad, pero todavía más, para ser libres e independientes al tomar decisiones y para ser más felices al buscar el crecimiento espiritual y estético. La comprensión de un problema matemático que se quiere resolver está mediada por el dominio emocional de quien intenta resolverlo (Gómez Chacón, 2000; Estrada y Diez, 2011; Castelló et al., 2010; Gil et al., 2006). Aunque el deseo de humanización de la enseñanza de la matemática se ha intensificado en los últimos tiempos, no se puede desconocer el interés puesto en la antigüedad por el sentido

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estético y la belleza de la forma en relación con la matemática (Boyer, 1994). Como tampoco puede ignorarse la vivencia de matemáticos como Poincaré, Hadamard y Halmos, quienes desarrollaron trabajos que evidencian el papel de los afectos y las actitudes en la actividad matemática, así como el carácter creativo de la misma. Si bien la comprensión de la matemática ha sido una preocupación de todos los tiempos, la educación de aspectos que rodean a quien aprende matemáticas también es materia de formación en el aula. Además de alfabetizar con letras y números, es necesario alfabetizar en las emociones, las habilidades sociales, la toma de decisiones, el manejo de relaciones y en definitiva, en los problemas que afectan de verdad a nuestra vida, que pocas veces son las raíces cuadradas (aunque eso también sea necesario aprenderlo) (Feixas, 1999, citado en Teruel, 2000, p. 145).

Caballero y Blanco (2007) determinan que los factores afectivos de los estudiantes que aspiran a ser maestros dependen de los afectos de sus profesores. Los estudiantes consideran las matemáticas útiles y necesarias para desenvolverse socialmente y no las tildan de aburridas. En esta misma dirección, Gil, Blanco y Guerrero (2006) y Serrano (2011) sostienen que existe una relación bidireccional entre los afectos y el aprendizaje; esto es, aprender matemática eleva las emociones y estar bien emocionalmente permite aprender matemáticas. Gómez Chacón (2003) introduce el término metaafecto para referirse a la conciencia de las emociones propias como observar, identificar y nombrar: “es estar atento a los estados internos sin reaccionar ante ellos y sin juzgarlos. Ser consciente de uno mismo significa ser consciente de nuestros estados de ánimo, y de los pensamientos que tenemos acerca de esos estados de ánimo” (p. 230). Para ella, todas las creencias que tienen los estudiantes modifican sus comportamientos en el estudio de la matemática, y este sistema de creencias

depende de la intervención de los profesores en el aula. Así mismo, Gómez Chacón (2009) distingue entre actitudes hacia la matemática y actitudes matemáticas. Las primeras, según esta autora, se refieren “a la valoración y al aprecio de esta disciplina y al interés por esta materia y por su aprendizaje, y subrayan más el componente afectivo que el cognitivo; aquélla se manifiesta en términos de interés, satisfacción, curiosidad, valoración, etcétera” (p. 11); mientras que las actitudes matemáticas inoculan estrategias cognitivas como “la flexibilidad de pensamiento, la apertura mental, el espíritu crítico, la objetividad, etc.”. Ambas se forman en el paso por la escuela donde se pueden tener capacidades, pero no actitudes, y viceversa. También Rodríguez (2011) propone la formación de un ser humano crítico, pensante y transformador de la realidad mediante la educación matemática humanista desde la mirada de la pedagogía integral. Y esto, según la doctora Rodríguez, requiere de una matemática viva que tenga en cuenta las vivencias, el contexto, los sentires y los diálogos interiores de los estudiantes, así como la relación dialógica entre estudiante, maestro y comunidad. La educación integral es “un encuentro dialógico entre profesores, estudiantes, comunidades; es un proceso cargado de: subjetividad,

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intencionalidad, transcendencia, incertidumbre, necesidades motivaciones, proyectos que no pueden ser apartados a menos que se destruya la misma educación” (p. 101). Todo esto se logra si se mira la educación como un encuentro humano que involucre la experiencia, las emociones y los sentimientos; cuestión compleja, puesto que la matemática ha sido considerada como una ciencia árida, rigurosa y objetiva, y no se ha reconocido como una construcción humana relacionada con las necesidades sociales que enseña a razonar (Castelló et al., 2010). Aunque, por el contrario, los trabajos de Schoenfeld (1992) sostienen que las creencias que tengan, tanto el profesor como los estudiantes, inciden notablemente en la capacidad para resolver un problema. Ahora, la educación emocional que se requiere en la clase de matemáticas puede darse con la mediación del arte, de la historia y de la literatura. Novelas como La soledad de los números primos, El teorema del loro, En busca de Klingsor o El curioso incidente del perro a medianoche, entre otras, además de múltiples relatos que motivan al estudiante, le ayudan al docente a “despertar la curiosidad, estimular la imaginación del alumno y ofrecer oportunidades para el desarrollo de creatividad” (Bazán y Aparicio, 2006, p. 7). Se requiere una enseñanza que supere el abuso de contenidos y se concentre en procesos de pensamiento, sin olvidar que la razón no ha de separarse de lo estético, y, en este orden de ideas, la razonabilidad no impide la exploración profunda de lo humano que somos en un momento de la clase. Para ello necesitamos volver al amor como proceso evolutivo y propiciar el conocimiento de la matemática paralelo a la educación emocional en una correspondencia mutua entre la mente que piensa y la mente que siente; el conocimiento matemático eleva amor propio y el amor propio potencia el entendimiento de la matemática.

La didáctica de la matemática tiene que ocuparse de la relación entre el estado emocional del estudiante y la actitud que tiene hacia la matemática, lo que condiciona el aprendizaje de la misma, dado que es fundamental una actitud positiva hacia la matemática. Para esto se tiene que pensar en la formación de un maestro que se piense líder emocional de la clase (Extremera & Fernández Berrocal, 2001, p. 375) y que utilice mediaciones positivas que le permitan comprender que “el reto del educador/a es irrumpir e interrumpir los sentimientos negativos como paso previo a la necesaria reconstrucción afectiva/cognitiva que deben tener lugar para el avance del estudiante encontrando caminos didácticos que favorezcan estos aspectos” (Gómez, 2000, p. 154). Más aún, hace falta un maestro que comprenda que el acto de enseñar exige, además de preparación científica, preparación f ísica y emocional; que sepa que enseña con “los sentimientos, con las emociones, con los deseos, con los miedos, con las dudas, con la pasión y también con la razón crítica” (Freire, 1998, p. 8); puesto que “enseñar es una tarea profesional que exige amorosidad, creatividad, competencia científica” (p. 9). Si bien el afecto es una asignatura pendiente (Beltrán, 1996, p. 401), en la educación matemática es todavía más lejana la posibilidad de incluir las emociones, los afectos y las actitudes. Henao Ciro (2010, 2012, 2014) ha sostenido la necesidad de humanizar la enseñanza de la matemática desde la literatura, al convocar los sentidos de los profesores de matemática para acercar más esta ciencia a la vida y crear un diálogo necesario entre el arte y la matemática para no tener que preguntarse “¿qué importa que el entendimiento se adelante, si el corazón se queda?” (Gracián, 2001, p. 36); puesto que razón y emoción habitan un espacio posible en el aula en la medida que el aprendizaje no ignora las emociones, sino que, como galleta cubierta de chocolate, el aprendizaje se envuelve en ellas (Gardner, 2000, p. 89).

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Martínez, L.

Otros diálogos con la matemática

Planilandia: una aventura literaria en el mundo de la matemática Flatland: a Literary Adventure inside Mathematics World Luis Ricardo Martínez* Los nombres no designan a las cosas: las envuelven, las sofocan. Pero las cosas rompen sus envolturas de palabras y vuelven a estar ahí, desnudas, esperando algo más que los nombres. Roberto Juarroz

Resumen Se presenta una reseña breve y analítica, con algunos comentarios en el ámbito político, de esta novela clásica, Planilandia, un texto del siglo XIX (1884), escrita por Edwin Abbott. Palabras clave: matemáticas, dimensión, novela. Citar este artículo como: Martínez, L. (2016). Planilandia: una aventura literaria en el mundo de la matemática. Revista Papeles, 8(16), 35-40. Fecha de recibido: septiembre de 2016. Fecha de aceptación: diciembre 15 de 2016. * Economista de la Universidad Nacional de Colombia. Miembro del laboratorio de investigación LE2P –Laboratorio espacio, economía y poder, UNAL. Un hombre enamorado de la sabiduría oriental, ya sea Gandhi o el budismo. Correo electrónico: lurmartinezra@unal.edu.co

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Planilandia: una aventura literaria en el mundo de la matemática

Abstract A brief and commented review, with some commentaries about political issues, on a classic novel, Flatland. This text was written by Edwin Abbott in 1884. Keywords: mathematics, dimension, novel. Planilandia1, obra de aventura2 y ficción matemática del escritor inglés Edwin A. Abbott, recrea la sociedad inglesa de la era victoriana transportando al lector a un mundo geométrico, en el que el plano euclidiano comprende la totalidad del universo de su protagonista. Un respetado cuadrado de Planilandia se verá atrapado en la frustrante paradoja de poder conocer universos más allá de sus dos dimensiones para fallar en todo intento por compartir ese conocimiento con sus conciudadanos. Planilandia es el espacio en el que comienza la aventura, un mundo de dos dimensiones en el que todos sus habitantes son figuras geométricas superficiales, regidas por estrictas leyes naturales y sociales. Todo lo que ven en el mundo tiene siempre la apariencia de una línea, una línea de grosor infinitesimal y las únicas direcciones en las que se mueven son los cuatro puntos cardinales. La lluvia cae siempre de norte a sur por lo que sus casas están orientadas con el techo siempre hacia el norte. Coged, por ejemplo, un triángulo equilátero, que representa entre nosotros un comerciante de la clase respetable. La fig. 1 representa al comerciante tal como le veríais cuando os inclinaseis sobre él y le miraseis desde arriba; las figs. 2 y 3 representan al comerciante como le veríais al acercaros al nivel de la mesa y ya 1

Título completo del texto reseñado: Planilandia, una novela de muchas dimensiones. Publicado en 1999. Título original en inglés: Flatland, A romance of many dimensions de Edwin Abbott. Publicado originalmente en 1884. La palabra novela, traducida del original romance en inglés, hace referencia más exactamente a una historia de aventura, y no tanto a una novela en el sentido estricto del género literario.

casi en él; y si vuestros ojos estuviesen al nivel de la mesa (y así es como le vemos nosotros en Planilandia) no veríais nada más que una línea recta (p. 11). Figura 1. Triángulo visto como una línea (1)

(3) (2)

Fuente: ilustraciones de Abbott en la versión original

Los habitantes de Planilandia están claramente estratificados según su número de lados y sus ángulos, todas las figuras son convexas y conformadas por líneas rectas. La clase más baja es la de los triángulos isósceles, soldados y obreros puntiagudos con dos lados iguales; mientras su base sea más pequeña, más baja será su posición en la sociedad. Le siguen en orden ascendente los triángulos equiláteros, la clase media, similar a la clase media común victoriana; los cuadrados y pentágonos son los profesionales y caballeros, la middle class victoriana; a esta le siguen la nobleza conformada por hexágonos, y por figuras de más de seis lados. Por último, una persona que tiene tantos lados, y sus ángulos son tan amplios y numerosos, que no se distingue de una circunferencia, hace parte del grupo sacerdotal, la clase más alta en toda la sociedad en Planilandia. En contraste, el grupo que ocupa el puesto más bajo en el texto de Abbott es la mujer. Conformadas por una solo línea recta, como un triángulo isósceles tan degradado que su base tiende a cero, la mujer es el más insignificante de las personas que habitan Planilandia.

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Martínez, L.

Todas estas figuras están compuestas por lados iguales, menos los isósceles, o por lo menos eso aparentan. El resto de figuras, “deformes”, compuestas por lados desiguales, son excluidas de la sociedad o ejecutadas, y no tiene cabida en esta. La idea de contar una historia usando figuras geométricas como personajes y retratar el mundo por medio de analogías matemáticas parece improbable en un principio. Sin embargo, en la Inglaterra de Abbott la relación entre la realidad y la geometría se hace más estrecha que nunca antes en la historia de la humanidad. La era victoriana es la época del nacimiento de la ingeniería de precisión. Las fábricas inglesas son ahora capaces de producir en masa objetos metálicos medidos y cortados con absoluto detalle. La realidad reproduce la geometría. Abbott, en sentido inverso, plasma esa realidad de regreso en el papel. La caricatura geométrica de una época rígida y contradictoria permite ver, sin causar sobresaltos, la realidad moldeada por grandes desigualdades. La mujer como ser despreciable, el obrero relegado al lugar más bajo de la sociedad, la nobleza y la naciente burguesía, disfrutando del orden rígido e invariable, en apariencia. Sin embargo, estas observaciones trascienden al autor y a su época. Planilandia pregunta por la relación existente entre las jerarquías establecidas, sus beneficiarios y perjudicados, y la resistencia que de estas emana para abrazar el cambio. Estas relaciones son universales a toda sociedad humana. Lo establecido permite eficiencia, certidumbre y eficacia a costa de dejar de lado lo posible. Lo posible permite crecer, innovar y expandir los límites humanos a costa de altos sacrificios, vidas, riquezas y tiempo. A medida que el número de lados decrece, desde los sacerdotes, hasta las mujeres, la inteligencia y capacidad disminuye en la medida en que la magnitud de sus ángulos disminuye. El conocimiento del mundo, en especial de

las matemáticas y la geometría, así como la capacidad de identificar a otros ciudadanos identificando sus ángulos por métodos más complejos, se concentra en las clases superiores; mientras las clases más bajas, los isósceles y las mujeres, están desprovistas de conocimiento, y su vida es servil y miserable. Los círculos, polígonos, hexágonos, pentágonos y cuadrados mejor educados pueden distinguir el ángulo de otra persona, gracias a la opacidad o brillantez con que este se ve mirado de frente. Las clases más bajas requieren del tacto para hacer la identificación respectiva. Suponed que veo que se acercan dos individuos cuyo rango deseo determinar. Supongamos que son un comerciante y un médico, o, dicho de otro modo, un triángulo equilátero y un pentágono: ¿cómo puedo distinguirlos? Figura 2. Identificación visual de las figuras C

(1)

Línea de visión

C´ (2) D´

D A E

Línea de visión

A´ E B´

Fuente: ilustraciones de Abbott en la versión original

¿Qué veré ahora en el caso (1) del comerciante? Veré una línea recta DAE, en la que el punto medio (A) será muy brillante, porque es el que está más cerca de mí; pero a ambos lados la línea se hará enseguida borrosa, debido a que los lados AC y AB se pierden rápidamente en la niebla y lo que a mí me parecen las extremidades del comerciante, es decir D y E, serán realmente muy imprecisos. Por otra parte, si pasamos (2) al médico, aunque también veré en este caso una línea (D’A’E’) con un centro brillante (A’), se hará borrosa menos rápidamente, porque los lados

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Planilandia: una aventura literaria en el mundo de la matemática

EN CUANTO A la doctrina de los círculos, puede resumirse brevemente en una sola máxima: «Atiende a tu configuración». Toda su doctrina, ya sea política, eclesiástica o moral, tiene por objeto la mejora de la configuración individual y colectiva... con especial referencia a la configuración de los círculos, a la que todos los demás objetivos se hallan subordinados (p. 35).

d i at

a m e n t e a nt e s

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Linealandia

re c i

Abbott dedica casi la mitad de su libro a describir con detalle la configuración espacial y social de Planilandia; esto no es gratuito. Después de describir la rigurosidad de su mundo, natural y político, el viaje que en un sueño comienza, a través de diversos universos, hará más palpable lo improbable de sus visiones y experiencias, y se acentuará la dificultad que implicará la tarea de comunicar a sus propios congéneres de dos dimensiones lo que ha visto más allá de su universo, e incluso a sí mismo a medida que el recuerdo de sus experiencias se hace cada vez más lejano.

Figura 3. Cuadrado en el mundo lineal pa sa

Dicho orden jerárquico se mantendrá, a pesar de que grandes segmentos de la sociedad estén descontentos o se sientan menospreciados. Para los círculos, la ilusión de ascenso en la sociedad por medio de la mejora progresiva en la descendencia es suficiente incentivo para mantenerse oprimido.

Inadvertidamente, en un sueño, el cuadrado protagonista visita un mundo de una sola dimensión. Un mundo que para él es factible de comprender, dado que está compuesto por menos elementos de los que componen su mundo. Sin embargo, la forma de pensar y concebir el universo de los habitantes de Linealandia se le hace escurridiza. Más aún, sus intentos por explicarles a estos seres unidimensionales la naturaleza de su propia experiencia bidimensional son inútiles. Ni siquiera su materialización f ísica en dicho mundo es suficiente para hacerle entender a un ser unidimensional la existencia de una realidad extendida, más allá de sus experiencias lineales. El espacio no cabe ni en la mente ni en el mundo de estos segmentos animados.

Sin embargo, las cosas no han sido siempre así. Planilandia posee una historia de rebelión e inconformismo, en la que el uso del color como forma de identificación estuvo cerca de acabar con el orden establecido. Los círculos, aprovechando su inteligencia, fraguaron la traición entre las clases bajas, retomaron el control y abolieron para siempre el uso del color en toda Planilandia. El orden jerárquico se entendió, era necesario para mantener la paz y garantizar el funcionamiento y la seguridad.

El conocimiento fabricado con lenguaje es a su vez contenido y continente. Le permite construir lo que va comprendiendo pero solo en la medida en que cabe en aquello que ya conoce. Paradójicamente, en la medida en que construye dentro de lo ya construido, el límite de dicho conocimiento, de dicho lenguaje, se expande.

(A’C’, A’B’) se pierden menos rápidamente en la niebla: y lo que a mí me parecen las extremidades del médico, es decir, D’ y E’, no serán tan tenues como las extremidades del comerciante (pp. 22-23).

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El rey

Fuente: ilustraciones de Abbott en la versión original

Una vez despierto, el cuadrado repetirá la experiencia de extrañeza que emana de intentar explicar, y comprender, aquello para lo que no se tiene ni palabras ni experiencias referentes. Será ahora él el que experimente la visita de un ser proveniente de una dimensión de mayor complejidad, las tres dimensiones de Espaciolandia, una esfera que al ingresar a su universo bidimensional solo podrá ser observado por el cuadrado, en un principio, como un círculo que varía su tamaño.

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Figura 4. Esfera en el mundo superficial e

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(3) a ra

Mi ojo

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(2) La

(1)

Fuente: ilustraciones de Abbott en la versión original

Será necesario que el cuadrado se eleve por encima de su realidad para poder comenzar a percibir, y construir en su experiencia, una realidad más compleja que la que ha podido vivir hasta ahora. No será suficiente con contemplar por primera vez con sus ojos la realidad del volumen, ni con escuchar de boca de la esfera, la realización teórica del desplazamiento del plano. El cuadrado no tendrá suficiente tiempo en Espaciolandia como para reconstruir en su mente una percepción propia de la profundidad. Al final del corto viaje de tres dimensiones, solo se quedarán en su mente las analogías y descripciones teóricas de lo que vio. Por el contrario, las cosas que más sentido tendrán para el cuadrado serán las referentes a su mundo plano. Al divisar su casa desde arriba por primera vez, el cuadrado verá con sus ojos algo que ya ha visto durante años en su mente. La imagen de lo conocido, aún visto desde otra dimensión, se hace evidente y digerible por su mente superficial. Figura 5. Vista de una casa de Planilandia desde la perspectiva de Espaciolandia M

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El recibidor

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Mis nietos

La despensa P ro

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Policía

Fuente: ilustraciones de Abbott en la versión original

Como el cuadrado era diestro en geometría y matemáticas no tardó en conjeturar acerca de la existencia de otras dimensiones, más allá de las tres que se le habían revelado. Supuso que era plausible conjeturar acerca de la existencia de una cuarta y quinta dimensión, y en general, de la existencia de innumerables dimensiones. El acceso a unos pocos universos desconocidos le permitió pensar, por primera vez, en la existencia de otros universos posibles sin la necesidad de visitarlos. El conjunto de lo desconocido se había ampliado más allá de lo desconocido por conocer. La ausencia de la experiencia fue subsanada por el acceso a un universo aún más grande que cualquier otro, el universo de Pensamientolandia. Figura 6. El pensamiento y el saber en Planilandia Lo que sé que sé

Lo que sé que no sé Lo que no sé que no sé

Fuente: ilustraciones de Abbott en la versión original

Es posible pensar que el conjunto de conocimientos que poseemos sea finito. De igual manera no será dif ícil convencernos de que el conjunto de lo que sabemos que ignoramos es a su vez finito. Sin embargo, el conjunto de aquello que ignoramos que no sabemos es más dif ícil de definir, en parte porque en la medida en que indagamos sobre el conjunto de lo ignorado, lo ignoramos un poco menos. A pesar de esto, es también factible pensar que el conjunto de lo que no sabemos que sabemos sea infinito o por lo menos suficientemente grande como para nuca abarcarlo por completo. Por último, vale la pena preguntarse si todo aquello que se encuentra actualmente en el conjunto de lo que sé, está contenido en el conjunto de lo que puedo saber, dado que, es probable que aquello que desconozco hoy,

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pero sabré mañana, excluya en el futuro parte de mi conocimiento actual, señalándolo como falso conocimiento. De vuelta en Planilandia, el cuadrado se sentía abrumado por su experiencia espacial y sin saber qué hacer con este nuevo conocimiento. Luego tuvo una nueva visión en un sueño. La esfera aparecía nuevamente, pero esta vez lo llevaba a un mundo más estrecho y reducido que Linealandia, Puntilandia, un universo sin ninguna dimensión. El único habitante era un solitario punto. Era lo único que cabía en un universo infinitesimalmente pequeño, y esa sensación de ser todo lo que ocupaba el universo, de ser el universo mismo, le daba la sensación de grandeza y plenitud a este punto; no era un rey, era el dios mismo del universo. Por más que el cuadrado intentó abstraer al punto de su realidad, era imposible para él concebir la existencia misma de algo externo a sí mismo, a su universo. El cuadrado comprende entonces que tiene que dar a conocer la doctrina de las tres dimensiones y que el limitado conocimiento del mundo bidimensional debe ser actualizado. Dedica el resto de sus energías a esta tarea y, sin embargo, como es de esperarse, la tarea se le hace imposible. El lenguaje no fue suficiente para explicar la tercera dimensión, cuando el cuadrado repetía “hacia arriba, no hacia el norte”, la imagen que él tenía en su cabeza era totalmente distinta a la que sus interlocutores interpretaban. Por último, no es únicamente la dificultad para explicar las tres dimensiones lo que hace que

su intento por trasmitir este conocimiento fracase. La necesidad de mantener el orden jerárquico establecido por los círculos se ve amenazada por la posibilidad de la existencia de un orden superior, más allá de la sabiduría de los sacerdotes y que además cuestionaría la naturaleza del orden mismo. Lo que se daba sentado como cierto era susceptible de ser mirado desde otra perspectiva, esta otra perspectiva no es entonces solo f ísica, sino que, al relativizar la forma, relativiza la interpretación que de esta se hace y pone en duda la rigidez de lo que se entiende en Planilandia por natural. El cuadrado es confinado a una celda en donde pasa los años y anhela poder elevarse a través de la tercera dimensión y pasar por encima de las paredes, de infinitesimal altura, que lo retienen. Desde su celda escribe las memorias que titula Planilandia. En la aventura que resulta de una ficción geométrica, Abbott describe la realidad de su nación mientras pregunta, en un plano elevado, por nuestra capacidad por aprender en zonas lejanas a nuestro conocimiento. La relación entre realidad y matemática invita a pensar en la relevancia de la abstracción como manera de llegar a relacionarnos con la realidad, como manera de concebir lo inimaginado, como vital método de aventurarnos hacia lo desconocido. Indaga también por aquello que podemos no estar viendo, cegados por lo que vemos. Por cómo, encerrados en lo que sabemos, limitamos nuestras oportunidades de aprender, y sobre todo, de comprender al otro.

Referencias Abbott, E. (1999). Planilandia, una novela de muchas dimensiones. Barcelona: Torre de viento.

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Díaz, M.

Música y narrativa: Vasos vinculantes en la construcción del sujeto lector

Music and narrative: linking vessels in the construction of a subject reader Milena Díaz Melgarejo* Somos criaturas musicales de forma innata desde lo más profundo de nuestra naturaleza Stefan Koelsch

Citar este artículo como: Díaz, M. (2016). Música y narrativa: Vasos vinculantes en la construcción del sujeto lector. Revista Papeles, 8(16), 41-50. Fecha de recibido: octubre 5 de 2015. Fecha de aceptación: marzo 15 de 2016. * MA en Ciencias de la Educación de la Universidad de San Buenaventura. Especialista en Didácticas para Lecturas y Escrituras con Énfasis en Literatura de la misma universidad. Licenciada en Español y Lenguas Extranjeras de la Universidad Pedagógica Nacional. Docente de Español y Literatura del Colegio Gimnasio los Portales. Bailarina del grupo de Salsa Clave y Fusión UPN. Se ha desempeñado como clarinetista en distintas Bandas Sinfónicas. Combina sus habilidades lingüísticas con la magia de la música, por ello su trabajo sobre los textos asume amuletos entre la semántica de la palabra y la sintaxis del pentagrama. Correo electrónico: clarinetango@hotmail.com

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Música y narrativa: Vasos vinculantes en la construcción del sujeto lector

Resumen Este artículo presenta una reflexión en torno al vínculo existente entre música y narración. Recorrido que desemboca en una propuesta de aplicación en el aula, estrategia de apoyo que toma como base estos dos saberes para lograr un lector más competente. Se pretende analizar el efecto que la música tiene en el cerebro y sus múltiples posibilidades, las cuales, al ser compartidas con la literatura, favorecen el desarrollo cognitivo en pro de una óptima comprensión textual. Una consciencia de la búsqueda interdisciplinar en la praxis, un vínculo eficaz de los saberes encaminados hacia objetivos concretos que promuevan la construcción y aprendizaje del conocimiento son los pilares que enmarcan las líneas de escritura aquí sembradas. Palabras clave: música, narrativa, estrategia, habilidades cognitivas, comprensión textual.

Abstract The present article offers a deep reflection upon the link between music and narrative through a path which leads to a classroom strategy which takes into consideration these disciplines to make a reader more competent. It also intends to analyze the effect that music has in the brain as well as its multiple possibilities may be shared with literature, which benefit the cognitive development in order to achieve an optimal reading comprehension. Aims to achieve a true consciousness, regarding an interdisciplinary search in the practice and an effective link between knowledge areas, heading toward specific objectives which foster the construction and learning of the knowledge are, undoubtedly, the foundations that frame the ideas spread in this article. Keywords: music, narrative, strategy, cognitive skills, reading comprehension.

A modo de introducción Al pensar en la importancia y trascendencia que tiene la música en la vida del ser humano, recordamos expresiones tan famosas como la de Nietzsche al decir que sin ella la vida sería un error. Una mirada a nuestra cotidianidad nos da la evidencia de que la música es una compañera constante, una forma inherente al ser humano y a la vida misma; sustancia del lenguaje que nos constituye como sujetos de un mundo, o varios mundos del mundo.

vinculantes que heredan huella y tradición en el desarrollo de nuestra especie. De este modo, el habla se constituye como música dotada de significado, la palabra cobra forma a través de los sonidos de la voz, la música ha sido el vehículo perfecto que evidencia cómo la oralidad ha traído ríos de imágenes cotidianas de nuestros pueblos. Música y narración constituyen una dualidad perfecta, manifestaciones del lenguaje por excelencia.

Es conocida para nuestra historia la forma en que la música ha tomado protagonismo en la creación y fundación de los pueblos como elemento de supervivencia e identidad, y es posible ubicarla en un paralelo similar al de la lengua, en una interrelación, dos vasos

Los sentidos nos permiten percibir el mundo y dotarlo de sentido, construimos nuestra realidad con base en aquello que se muestra ante ellos, y formamos juicios que van tomando forma de conciencia. De este modo, la música y lo que se cuenta en su compañía

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contribuye a la razón humana en su búsqueda de criterios, orden de pensamientos y actuar consecuente. Todo lo anterior nos conduce a una bella posibilidad para aquellos que hacemos del lenguaje nuestra forma de servicio. Para los maestros, una luz al camino de la cognición y el desarrollo de habilidades desde la esencia del ser humano.

La música y lo que se cuenta en su compañía contribuye a la razón humana en su búsqueda de criterios, orden de pensamientos y actuar consecuente.

Nuestra naturaleza musical La música se encuentra presente en nuestras vidas y tiene su origen a partir de la manifestación sonora del entorno y la elaboración intencional humana. En un principio se presenta la voz humana como su primera herramienta sonora, cuya función constituye un puente con el mundo. El individuo primitivo de un pueblo no diferencia su entorno, pensamientos y acciones, sencillamente se encuentra en el mundo, el cual explica como obra de seres invisibles, los cuales siente que debe tener de su lado o defenderse. De este modo, usa la voz como mecanismo de conjuro en favor de sus actividades cotidianas —conjuración melopeica—, acción que se transforma en cantos hipnóticos. Estas acciones, claramente diferenciadas en todas las culturas, constituyen las primeras construcciones

melódicas y rítmicas (Honolka, Richter, Nettl, Stäblein, Reinhard y Engel, 1998). Por otra parte, Stefan Koelsch, músico, maestro e investigador comprometido con la neurociencia, afirma la presencia innata de nuestra capacidad musical. En una entrevista conducida por Eduardo Punset para su programa REDES (2011), argumenta esta disposición innata con la forma como desarrollamos el habla al escuchar y comprender los sonidos de la lengua en conjunto con la emotividad producida en el cerebro al percibir elementos como el ritmo, tono, velocidad y melodía de la voz. Insiste por ello en la importancia del juego de entonación con los niños para el desarrollo del lenguaje, ya que diversos estudios muestran que los cantos de cuna y todos los juegos de entonación y modulación de la voz por parte de los padres, benefician en gran manera al bebé; y por el contrario, quienes no obtienen este beneficio, son más propensos a sufrir trastornos del lenguaje. Por otro lado, los avances científicos han hecho posible evidenciar la capacidad del neonato para detectar alteraciones en secuencias rítmicas, hallazgos que ponen de manifiesto nuestra naturaleza musical (Honing, 2011). La música, tema apasionante que en fusión con la narrativa, brinda una amalgama de posibilidades didácticas dentro del aula de clase. En este sentido, la estrategia se convierte en el eje central del enfoque didáctico, propósito central del presente artículo.

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Música y narración La canción ha sido el ejemplo por excelencia de esta relación música-narrativa. El ejercicio de contar cantando se remonta a nuestra historia, un hecho natural humano que cuenta con siglos de tradición y se actualiza hasta nuestra era confirmando la disposición musical como forma que acompaña y soporta los discursos que suenan por generaciones, creando de este modo patrones de memoria, estructuras o reestructuras de la realidad, referentes simbólicos que atestiguan la existencia del ser en el mundo y su complejidad. De este modo, los oyentes buscan complicidad, formas elaboradas que den cuenta de su humanidad y singularidad de vida. La canción lleva consigo la voz de los individuos, de los pueblos, de las cosas, de todo aquello que puede ser interpretado o imaginado en la finitud de la humanidad. La voz se nutre de historias, relatos que se actualizan en las voces de los tiempos: Hoy, en pleno siglo veinte nos siguen llegando rubios Y les abrimos la casa y les llamamos amigos. Pero si llega cansado un indio de andar la sierra Lo humillamos y lo vemos como extraño por su tierra. Amparo Ochoa: La maldición de la malinche (canción)

la metáfora y el sonido instrumental tejen una historia en un juego de palabras que dejan elementos implícitos que deben ser descifrados por un lector atento. La arquitectura del texto entramado en estrategia, la emotividad de la voz que se refleja en un tono triste, trágico y melancólico en conjunto con el violín que acompaña con juego de registros en apoyo a lo que se enuncia en el texto constituyen un anclaje a la emotividad del lector y un puente en el desarrollo de habilidades cognitivas al incentivar su atención por el descubrimiento de la forma artística presentada. Es interesante también en este ejercicio de análisis percibir cómo las versiones de una misma canción promueven emociones y afectos distintos, la presencia y ausencia de elementos determinan el impacto de la pieza; esto apoya la trascendencia de la música en nuestra recepción cerebral. El uso de la metáfora, el juego entre lo dicho y no dicho trazan un margen especial en la forma de percibir estructuras estratégicamente elaboradas sobre aquellas que no cuentan con un reto cognitivo. A continuación un fragmento de la canción mencionada anteriormente: Vida y muerte, violín, padre y madre Canta el violín y Becho es el aire Ya no puede tocar en la orquesta Porque amar y cantar eso cuesta.

En esta búsqueda por las formas, la creatividad ha aflorado en múltiples posibilidades, donde no solo la música cobra protagonismo en sus infinitos caminos tonales, también la lengua, como materia comunicativa, ha sido aprovechada en el diseño de estructuras artísticas que juegan a anclarse en los sonidos instrumentales que acompañan las voces en el canto de manera literaria. Un bello ejemplo de ello es una canción del cantautor uruguayo Alfredo Zitarrosa, El violín de Becho, en el cual Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

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Líneas orientadoras de estrategias: 1. El acto de lectura en la narración Manuel Alejandro Prada en su libro Lectura y Subjetividad afirma la importancia de la narración para la vida del ser humano, no solo por su posibilidad catártica, también por la capacidad de cuestionamiento ético frente a su realidad y tragedia cotidiana; en este sentido, la lectura se constituye en vehículo interpretativo entre la narración y el lector. Para esta idea se respalda en la hermenéutica de Paul Ricoeur y su fenomenología de la lectura, para definirla como un espacio de apropiación de la vida, una dialéctica de afirmación y oscurecimiento del sí. Con este propósito, Prada apoya la idea acerca de que la lectura debe ser un esfuerzo de configuración de sí mismo y del mundo, y que para ello el lector debe hacerse. “Hacerse” implica un trabajo, un ejercicio, una puesta en escena permanente en la que la lectura no se me da como algo natural, sino que me exige una respuesta, me pide alguna responsabilidad. Además el reflexivo “hacer-se” da cuenta de que el trabajo de lectura recae sobre el que lee, no lo deja como estaba, lo transforma. (…) “hacerse lector” es “hacerse sujeto”, no en un sentido trascendental, sino como sujeto encarnado, histórico (Prada, 2010, pp. 22-23).

Ahora bien, reconocemos la importancia de la narración literaria en su capacidad de crear mundos posibles a través de la ficción y su disposición de espacios para que el sujeto se confronte a través del ejercicio de la lectura. En relación con lo anterior, la idea de lectura debe constituirse en el puente por excelencia entre la emisión y la recepción de la narración. La excelencia se entiende, en este sentido, en concordancia con Prada, como un acto que requiere esfuerzo, preparación y formación, aun cuando la lectura implique la subjetividad del sujeto lector. El carácter subjetivo es orientado gracias a la comprensión del texto que brinda y desprende posibilidades

interpretativas. Lo importante a resaltar es que este proceso va subordinado al trabajo de un lector competente. Esta perspectiva es importante para la objetividad de una didáctica de la lectura del texto literario, ya que permite al maestro orientar sus esfuerzos a lograr tal fin, la búsqueda de estrategias que potencien las habilidades lectoras para la comprensión e interpretación lectora en pro de un mejor placer estético, disfrute y aprovechamiento literario.

2. Música, cerebro y emotividad Como maestros, es imprescindible conocer el funcionamiento del cerebro en sus distintas etapas. Este conocimiento nos permite la creación de estrategias que contribuyan a lograr el desarrollo de habilidades que conduzcan a la construcción del conocimiento. En este sentido, es importante recordar el concepto de plasticidad neuronal, capacidad que tiene el cerebro para modificar su estructura a partir de estímulos externos (Jäncke, 2009). En una conferencia realizada en la ciudad de Medellín (2012), la neuróloga Luz Stella Caycedo afirma que el entorno y las experiencias determinan nuestro aprendizaje. Investigaciones realizadas por varios especialistas muestran que el cerebro requiere de patrones para entender y dar sentido al mundo. Todo el cerebro está comprometido con el análisis musical, los dos hemisferios se activan en este proceso, y por ello tiene la capacidad de crear recuerdos de distinta forma, porque logra tocar el núcleo de la actividad emocional, lo cual hace que el sonido se asocie a un pensamiento y adquiera sentido. “La música no es sólo una actividad artística, sino un lenguaje encaminado esencialmente a comunicar, evocar y reforzar diversas emociones” (Gómez, 2007, p. 39).

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Música y narrativa: Vasos vinculantes en la construcción del sujeto lector

De otra parte, la doctora afirma que algo maravilloso que también han descubierto los expertos es que la música, al ser interpretada, en el caso concreto de los instrumentistas, activa el cuerpo calloso del cerebro, parte que conecta los dos hemisferios permitiendo el trabajo conjunto y las destrezas de estas dos

mitades. Metafóricamente es bello reconocer los puentes que la música puede crear, es en esta línea que ella puede aprovecharse como puente ideal para mejorar la capacidad de atención y los procesos de memoria, entre otras cosas, para la construcción del conocimiento.

El vínculo emocional que crea la música es un medio de comunicación tan universal como el lenguaje. Sandra Trehub

Propuesta didáctica Para ejemplificar una posible aplicación de este vínculo música-literatura, se ha tomado como texto base Fernando Furioso de Hiawyn Oram (1998), con actividades orientadas para niños de primero de primaria. El ingenio del cuento radica en la intención cognitiva de la estructura narrativa. Contiene una anécdota sencilla, común a cualquier infante: el enojo que produce la reprensión de una madre sobre un hecho cotidiano; no obstante, los diálogos y los sucesos llevan al pequeño lector a una dimensión de secuencias lógicas que van de lo micro a lo macro, estructura aprovechable para el estudio de las relaciones causales y espaciales dentro del armado textual de forma progresiva en una cadena escénica de espacios que van por niveles de amplitud. Ahora bien, recordemos que el fin radica en cómo utilizar la música para facilitar e incentivar en el niño la comprensión de estas estructuras dentro del texto a través de la experiencia musical para llegar a la deducción y construcción conceptual. Es importante aclarar, para el caso de esta propuesta, que la música está en función de la narrativa, por cuanto el objetivo central es el hallazgo y uso de estructuras musicales en la narración como estrategia de apoyo para el desarrollo de habilidades cognitivas (atención

y memoria) que fortalezcan la comprensión del texto literario: coherencia y cohesión: relación tiempo y espacio/causa y efecto en términos de relaciones (Van Dijk, 1980). Se dará prioridad y se tendrá como enfoque estas dos formas, lo cual no restringe la oportunidad de dar cuenta de otros aspectos presentes en la narración. Es posible afirmar que detrás del texto escrito puede descubrirse una forma musical que fluye y se hace presente en la lectura en voz alta. Al revelar la intención de ese descubrimiento y tomar provecho de la riqueza musical en la relación de estos dos textos podría evidenciarse un avance en la habilidad lectora. Aunque la música interpretada con instrumentos acompaña y tiene un impacto especial en la recepción de la narración, es posible y se constituye en un reto formar la voz, como instrumento natural, para el ejercicio de lectura. Aunque se trata de un libro-álbum, esta posible actividad va dirigida hacia el análisis del texto escrito. Las ilustraciones pueden ser una herramienta de apoyo con la intención de desarrollar trabajo cognitivo en el niño; no obstante, se insiste en que esta propuesta se enfoca solamente en el texto escrito y la vinculación musical. Una posible actividad a plantear sería la integración de la imagen con nuestra línea de estudio musical.

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Díaz, M.

Ruta metodológica Lectura del cuento en voz alta: La lectura al ser agradable al oído y llevar consigo un ritmo adecuado, permitirá al niño aumentar la percepción de la misma ya que no solo escucha el hilo discursivo del cuento sino que percibe también la musicalidad, activando los procesos cerebrales que ayudarían a la comprensión del texto. Por esta razón la lectura en voz alta debe realizarse atendiendo objetivamente a este aspecto. Se trata de hallar la forma rítmica de los enunciados. La organización sintáctica del texto tiene un propósito semántico, por ejemplo, algunas frases en el libro están fragmentas, lo cual marca una pausa entre ellas, y este aspecto debe reflejarse en la lectura en voz alta. La voz puede trabajarse como elemento sonoro y herramienta musical, de tal modo que logre conectar la emotividad del estudiante y ganar su atención, esto es posible gracias a la consciencia sobre los fenómenos suprasegmentales (acento, ritmo y entonación), término de la lingüística, cuya función contribuye a la construcción del sentido en los discursos. Por esta razón, la lectura no debe reducirse a pronunciar simplemente segmentos de la lengua, sino que estos, acompañados de un uso efectivo de elementos musicales naturales al habla, permitan dar personalidad al texto para llevar a los estudiantes a una mejor comprensión del mismo. Por otra parte, es importante el tempo (tiempo musical, cadencia) en la lectura, revelado en aspectos como la duración silábica, el acento de las palabras y la modulación de la voz para dar sensaciones de inicio y final, pausas y demás elementos prosódicos que refuercen rasgos de intención en la lectura del texto.

a tratar, esta estructura se mantiene pero con formas distintas, es decir, el inicio se encuentra en “Había una vez”, pero simultáneamente es el conflicto mismo y el desenlace lo realiza el lector puesto que se trata de una pregunta. La música se mueve al compás del texto escrito, está a su servicio, nos envuelve en la trama, funciona como soporte emocional, es una silueta que nos acompaña en la estructura. Como mencionamos anteriormente, la voz sería en este caso el canal que nos permite percibirla y disfrutarla. A continuación mostraremos los elementos musicales presentes en el texto de Fernando Furioso y su tratamiento en la deducción de los objetivos conceptuales propuestos: El pie acentual como unidad rítmica: identificar las sílabas tónicas dentro de las frases, cada una constituye, en este caso, un grupo rítmico, delimitado en principio por pausas. Había una vez un niño llamado Fernando. Una noche, quiso quedarse despierto viendo (pausa semántica) una película de vaqueros en la televisión. Vemos aquí cómo podemos marcar un tempo, en este caso, pulsos de cinco tiempos para cada línea. Por supuesto no podemos reducir la lectura atendiendo mecánicamente a estos acentos, podemos hacer variaciones, el ejercicio está en aprovechar los acentos vocálicos,

Podemos hallar la relación entre la estructura del texto escrito y su forma musical, este último depende y se desprende del primero. La narración cuenta, nos transmite un sentido que se desenvuelve en una estructura de inicio, desarrollo y final. No obstante, en nuestro texto Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • pp. 41-50 • Julio-diciembre de 2016

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al igual que la duración de cada sílaba para enriquecer la entonación y potenciar la música en la lectura. Juegos lingüísticos de repetición: este es otro elemento interesante que nos ofrece el texto y que resulta muy agradable al oído. Recordemos que la repetición e imitación nos lleva a activar mecanismos de memoria. Si el niño nos acompaña a completar frases del texto e imitarlas con un ritmo particular, aumentan los beneficios ya descritos. Investigaciones muestran que al oír, pero sobre todo al ejecutar ejercicios musicales, se activan todas las áreas del cerebro, hecho que nos permite predecir el éxito en la recepción y asimilación del cuento. Ejemplo 1 —Me pondré furioso, —dijo Fernando. —Ponte furioso, —dijo su mamá. Ejemplo 2 Y así fue. Se puso furioso. Muy muy furioso. Tan furioso que su furia se convirtió en una nube tormentosa (…). Aprovechamos este ejemplo para argumentar del mismo modo cómo los signos de puntuación nos permiten la construcción rítmica de la frase. La pausa semántica o por puntuación da tiempo al cerebro para procesar la información y prepara el oído para lo que continúa. También en este ejemplo podemos encontrar la riqueza de las curvas de entonación al hallar la inflexión tonal (acento de frase), también llamado contorno de entonación, como herramienta aprovechable en la lectura en voz alta: Y así fue. Se puso furioso.

Muy muy furioso.

Ejemplo 3 La siguiente secuencia se repite como intermedio a lo largo de las distintas escenas del cuento. Cumple la función de reforzar una actitud y una acción dentro de la narración y nos deja una cadena de agentes del diálogo dentro de ella. En estructura, cumple la misma

característica del coro dentro de las canciones. Además, nos agrega un elemento memorístico importante para nuestro ejercicio de secuencia: los turnos de habla de los personajes.—Ya basta, dijo su mamá. Pero no bastó. —Ya basta, —dijo su papá. Pero no bastó. —Ya basta, —dijo su abuelo. Pero no bastó. —Ya basta, —dijo su abuela. Pero no bastó. Por otra parte, es preciso resaltar las onomatopeyas y signos como orientadores de una lectura más intencionada: Que resquebrajó la superficie de la Tierra. ¡¡¡CRAAAAAC!!! Sonó, como un gigante rompiendo un huevo. Finalmente, y muy importante dentro de esta esfera de la entonación, se encuentra un elemento fundamental en la orientación musical dentro del texto narrativo: el tono, concepto que difiere de significado en la dimensión de la lengua (rasgo emotivo en la forma de enunciar: alegre, triste, melancólico, etc.), por lo cual al referir a esta última usamos el concepto de tonalidad, el cual indica la escala por la que se interpreta una pieza. Las tonalidades musicales varían en su construcción a nivel de vibraciones de sonido, lo cual tiene un impacto en la emotividad de los oyentes. Un ejemplo concreto es la receptividad frente a escalas mayores y menores, las primeras más alegres, las segundas más tristes; efectos de percepción, no en todos los casos. El tono de la voz en la lectura causa efectos auditivos paralelos, es decir que el impacto y receptividad de la narración puede condicionarse por la esfera emotiva que emite la voz lectora, rasgo que puede convertirse en un pro o contra de acuerdo con la formación y compromiso vocal del lector.

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Luego de la experiencia con el texto, llegaremos a los conceptos concretos en narrativa que nos hemos propuesto, para los cuales la memoria tiene un papel importante. Fernando se sentó en un trozo de Marte y pensó pensó y pensó.

¿Por qué fue que me puse tan furioso? Pero no se pudo acordar. ¿Y tú te acuerdas?

El final del cuento deja al niño una pregunta que le obliga a volver al inicio de la narración. Aprovecharemos la secuencia del mismo para probar la memoria, y a su vez, llegar a los conceptos que queremos. Así que pedimos a los niños narrar los sucesos pero desde el último hasta el primero, invertimos el orden de la secuencia hasta llegar a la respuesta que se encuentra al inicio del cuento. Probablemente muchos la sepan de antemano, pero nuestra regla de juego es: “vamos a buscar o comprobar la respuesta devolviéndonos por la ruta de nuestro texto” y en este proceso de re-narración inversa, el niño pone en marcha la lógica, tanto de tiempo como de espacio narrativo, da cuenta de los procesos de memoria en el orden de los sucesos, efectúa la lógica de causa y efecto. En la re-narración el niño al realizar las conexiones proposicionales de manera oral requiere del uso de conectores distintos, de léxico adicional para hacerse entender, incluso el empleo de elementos no verbales, etc., evidencias que complementan

nuestros conceptos de estudio y nos orientan para la construcción de otra estrategia. Por otro lado, podemos invertir la lógica de nuestra experiencia musical, del oír al emitir. El niño al narrar expresa música de forma natural. Investigaciones muestran que hasta un promedio de cinco años de edad, las narraciones de los niños se asemejan naturalmente al canto porque conservan en su memoria las modulaciones de voz que ha realizado su madre, maestra o material sonoro al que ha estado expuesto, son más expresivos por el uso de onomatopeyas, exageración en el alargamiento de sílabas, etc. Algunos ejemplos son los trabajos propuestos por José Feu Guijarro (2008), y María Del Valle Abraham, Rosa María Brenca y Valeria Guaita (2009). Entonces, con parámetros similares, podemos realizar el registro y transcripción de las narraciones de los niños, no solo para dar cuenta de la comprensión lectora sino para analizar rasgos musicales presentes en su voz. Esta narración nos ofrece un reto moral en cuanto que el niño puede cuestionar su propio actuar a través de un hecho cotidiano ficcionalizado y le deja una posibilidad de alteridad al analizar si realmente lo ocurrido a Fernando tenía tanta trascendencia. La hiperbolización de los sucesos le permite reflexionar al niño sobre la dimensión real de los problemas y manejo de sus emociones, además, la importancia de escuchar a otros y lo que puede causar el descontrol de sí mismo.

Infants can perceive basic aspects of temporal structure in music, but this ability is likely to undergo change with increasing exposure to music Sandra E. Trehub, Erin E. Hannon

Enlaces Por último, es propósito de este artículo nombrar tres referentes artísticos que pueden servir de apoyo en el objetivo de vincular música y narración en la búsqueda

de estrategias para un lector más competente. Cabe destacar que en ello el cine se presenta como una elaboración magistral de este propósito.

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El baile (Le bal) de Ettore Scola, película italiana, la cual posee una estructura interesante, ya que la música se constituye en la base narrativa junto con el baile. En ella, el cómo se cuenta, traza una convergencia aprovechable para el desarrollo de destrezas cognitivas en el aula. Melodía de la vida (Les uns et les autres) de Claude Lelouch, película francesa, cuya estrategia gira alrededor de una de las obras musicales más importantes de la historia: El Bolero de Ravel. Un homenaje a la música que

a su vez sirve de forma para mostrar cuatro historias de manera polifónica que convergen e ilustran el transcurrir del tiempo europeo luego de la Segunda Guerra Mundial. Llanto por Ignacio Sánchez Mejías, poema escrito por Federico García Lorca. Texto cuya estrategia reitera en la repetición de una frase mientras se teje la narración siempre atropellada por tal repetición, juego estratégico con la lengua que incentiva el desarrollo de habilidades de pensamiento para la comprensión lectora.

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Ferrer-Corredor, E.

Matemática y poesía: un recorrido por la métrica de León de Greiff Mathematics and poetry: a travel around León de Greiff ’s metrics Enrique Ferrer-Corredor* Era música europea, que transportada del otro lado del océano, se convirtió en cosa nueva [...]. Henriquez Ureña

Resumen Se desarrolla en este estudio una sensibilización con la técnica teórica de la métrica en aras de la comprensión de la propuesta estética de la poética de León de Greiff. En este caso, estudiamos los elementos del verso (silabación, ritmo acentual y encabalgamiento) en su poema “Trova del cazador de ef ímeros arreboles”. Palabras clave: métrica, León de Greiff, poesía.

Citar este artículo como: Ferrer-Corredor, E. (2016). Matemática y poesía: un recorrido por la métrica de León de Greiff. Revista Papeles, 8(16), 51-62. Fecha de recibido: abril 10 de 2016. Fecha de aceptación: junio 15 de 2016. * PhD en Filología Hispánica de la UNED (Madrid, Esp.), MA en Literatura Hispanoamericana del Instituto Caro y Cuervo, licenciado en español-inglés de la UPN. Estudios de maestría en Ciencias Políticas de la Universidad de los Andes y estudios de economía en la Universidad Nacional. Docente de la UAN, ha sido docente de varias universidades en Colombia y los EEUU, entre otras la UPN, Externado, Universidad Nacional y la USB. Correo electrónico: enfer48@hotmail.com

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Matemática y poesía: un recorrido por la métrica de León de Greiff

Abstract This study develops a sensitization with the theoretical technique of metric in order to understand the aesthetic proposal of Leon de Greiff ’s poetics. In this case, we study the elements of the verse (syllabication, accentual rhythm, and ensemble) in his poem “Trova del cazador de ef ímeros arreboles”. Keywords: metrics, poetry, León de Greiff.

Introducción La matemática nos invita a viajar al interior de un país donde desconocemos el paisaje, aunque ya pronto en la infancia, entre números y figuras aprendemos a imaginar secuencias, encuentros, asociaciones. Algunas veces los axiomas adquieren vida y leyes propias; otras, nos ayudan a desentrañar relaciones no visibles en la naturaleza, en nuestro pensamiento. La lengua con la que nombramos con precariedad el mundo funde y oculta procesos matemáticos expresados con palabras. Nos obliga la matemática a respirar con ritmo en nuestros pensamientos; esta cualidad captura relaciones de sucesiones y conteos de los símbolos de las cosas, es igualmente la esencia de la poesía en su forma, en su esencia sonora. La música de la poesía posee un pentagrama evolucionado desde el verso de la lírica medieval hasta el verso libre contemporáneo. El lenguaje matemático de la música, de la poesía, fluye como topologías sonoras en busca de sangre en las cosas que nombra. A lo mejor, los profesores de matemáticas lograrían persuadir mejor a sus estudiantes trocando el orden de la tradición si desde la música de la cosas, desde las sensaciones de la gente con su música y su poesía, enseñaran las formas matemáticas que las nutren. Nos ocupa en este trabajo el análisis métrico de un poema de León de Greiff. La métrica es la geografía matemática de los sonidos de los versos. A veces, el mapeado de secuencias de números prefigura y funda realidad, produce el canon para hacer los versos; entonces, la realidad es interpretada desde su música por medio del lenguaje matemático. Incluso la

lengua materna en sus recursos estilísticos y estructurales apela a la geometría, a la simetría, a complejas combinaciones matemáticas; estas formas tejen el álgebra de nuestra lengua para que nuestro lenguaje se anticipe al mundo. La mayoría de los grandes escritores delatan sus deudas con las matemáticas en sus planes, en sus secuencias, en las formas estructurales de sus obras. No solo en la métrica de la poesía, sino incluso en las complejas estructuras de voces, tiempos y espacios de los cuentos y de las novelas. Dante es un ejemplo excelso de geometría aplicada al mundo imaginado: Dante’s Paradiso is built on the plan of Aristotle’s On the Heavens. That Christians might conceive of the world this way was established in the theology of Thomas Aquinas in Dante’s own lifetime. Aquinas doesn’t explicitly describe Aristotle’s universe, but he adopts its terms in speaking about the arrangement of things, which amounts to an implicit acceptance of it. He considers the question of the Earthly Paradise, for example, and whether it might be located as high up as just under the sphere of the Moon (Peterson, 2011).

En nuestro caso, exponemos las técnicas métricas de León de Greiff en su poema “Trova del cazador de efímeros arreboles” en busca de los vasos comunicantes entre la poesía y la matemática. Vamos a recorrer los recursos sonoros métricos dispuestos por el poeta. La extensión del poema nos hace elegir apenas la primera estrofa para recorrer tres instancias de los conceptos básicos del análisis métrico estructural: el silabeo, los acentos y el encabalgamiento.

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Ferrer-Corredor, E.

Entorno métrico en la obra de León de Greiff Los críticos resaltan la individualidad poética de León de Greiff en la gran variedad de formas líricas y léxicas expresadas en las innovaciones desde las formas métricas tradicionales de versificación, la experimentación de nuevos moldes de rima y ritmo, la adaptación poética de la música sinfónica, la exuberancia léxica, los juegos acústicos. Su rebeldía poética estuvo emparentada con su actuar en la vida: tras los acontecimientos de “el bogotazo” del 9 de abril de 1948 fue llevado a la cárcel acusado de ocultar publicaciones que incitaban a la rebelión. En la perspectiva de la estética formal a nivel discursivo en la poesía greiffiana, “El sinfonismo” parece ser un término propio para describir el estilo de cierto grupo de sus obras, en las que el poeta intenta interpretar o igualar las normas de la música clásica y la poesía. Sobre este punto se trabajará y ampliará en esta investigación. El sinfonismo ilustra los nexos entre música y poesía en León de Greiff, e incluso en un sentido filosófico de sus formas estéticas, su referencia a los preludios. El preludio nació como una improvisación breve del lautista, organista u otro músico solista al intentar tocar y afinar su instrumento. De Greiff adopta estas formas comenzando con las formas más libres. Titula varios de sus poemas “preludio”, y la mayoría de estos se parecen a la primera sección de una composición más larga. El preludio indica que no hay restricciones formales, acercándose a menudo a una improvisación y funcionando como una unidad independiente. La poesía greiffiana nos invita a los malabares de sonidos con palabras, es el canto a la vida lleno de música y colores de todas las geograf ías. Un poema del poeta manifiesta sus malabares consonánticos: “Balada de asonancias consonantes o de consonancias

El sinfonismo ilustra los nexos entre música y poesía en León de Greiff, e incluso en un sentido filosófico de sus formas estéticas, su referencia a los preludios. disonantes o de simples disonancias”1. Si bien Silva nos abrió las puertas a la modernidad poética, León de Greiff nos tendió el puente a la vanguardia. Ocupa un lugar excepcional en nuestra historia poética. Su valoración siempre deberá tener en la cuenta la parsimonia histórica de nuestro país, tanto en el arte como en otros órdenes, para asumir los cambios y los nuevos horizontes... “ningún maestro de la rima, antes que León entre nosotros, se preocupó jamás (si acaso Silva) por ensanchar los horizontes reservados al verso” (Vásquez, 1943, p. 397). No obstante, pese a su bohemia y a su sentido del humor, León de Greiff asume el mundo moderno con sus contradicciones (la contradicción de la especialización del trabajo frente al ser artista, el hecho de ganarse el pan en una oficina mientras alterna su trabajo como poeta, los desencuentros estéticos con sus generaciones contemporáneas, etc.); este equilibrio-desequilibrio lo lleva a evitar la poesía almibarada y cantarina del peor modernismo. Este hecho va a ser apreciado por algunos críticos. El temperamento esencialmente intelectual de León de Greiff le preservó de la vocinglería almibarada y machacona de los románticos del rosal y la fontana cantarina y el cristal claro y

Es famosa la anécdota de 1956 en que no podía convencer a los policías de que los apuntes que llenaban sus bolsillos no eran consignas en clave, ni planes secretos conspiradores.

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los dones tempraneros de la princesa Primavera. Y espero verle desempeñarse, adelante, en el problema religioso, en las arduas labores del concepto de familia, en la aspiración de la grandeza y de la gloria inequívocas en el servicio de la Patria y de la Humanidad conjuntamente, desentendido por completo de las bellaquerías poéticas del amor al uso que, si mucho no me engaño, deben ser consideradas como el mariquismo de la poesía (Farina, 1920, p. 22). El espacio literario en León de Greiff se construye a través de artificios formales, cuya repetición delimita la estética del poeta. Orlando Rodríguez Sardiñas nos resume estos recursos así: Las irregularidades métricas descienden directamente de la tradición literaria que le acompaña y que ya ha utilizado metros heptasílabos y pentasílabos, versos con estrambote y pie quebrado; estrofas asimétricas de dodecasílabos y decasílabos con variaciones del yámbico, del sáfico, del anapéstico, etc., todas ellas usadas por poetas de todas las épocas. No será aquí donde resida la fama de poeta extraño que tiene de Greiff. Búsquese en la utilización de ciertos recursos formales, en los vocablos empleados, en las categorías verbales, en los adjetivos y en las metáforas y símbolos, pero sobre todo en esa atmósfera lírica, en esa inmaterialización de la realidad, de lo visto y oído, que hace que los sentidos se salgan del cauce normal en el que se justifica lo real y —volviendo al principio— donde el factor causal es la sola palabra poética (Rodríguez, 1972, p. 528).

Al anterior horizonte métrico de su obra se suma el empleo de un vocabulario ‘exótico’ y original en aras del juego semántico-sintáctico y en el ámbito de construir cadenas sonoras: música y poesía, verbo y clave, dolor y burlas, rictus y pirueta. El sentido cifrado recuerda la herencia de los mecanismos de poetas del siglo XIX, en particular, las teorías de construcción poética de Edgar A. Poe.

The evolution of De (sic) Greiff ’s literary lexicon over the six decades of his writing career is shown to involve enrichment of his vocabulary, and movement away from formality to the bolder, less restrained style of the latter part of his production. It is observed that his implicit literary theory, as manifested in the entire corpus of his writings, relates in many ways to that of Poe’s “Poetic Principles” (Mohler, 1969, p. 25).

La propuesta estética de León de Greiff fluctúa entre el horizonte posmodernista y la construcción de la vanguardia en Colombia, hecho que se revelará de un modo explícito en su experimentación métrica. Existe una multitud de ejemplos en este sentido, debido precisamente a la relativa indefinibilidad de las vanguardias hispanoamericanas: así el colombiano León de Greiff, en cuya poesía se encuentran elementos marcadamente posmodernistas (musicalidad, humor, parodia); no obstante, se le otorga un lugar prominente en la configuración de la vanguardia en Colombia. Un autorretrato del poeta nos revela su arte “poética”, su necesidad de definición y delimitación de un mundo moderno propio: Si es un retrato mío, aqueste vala: belfa la boca de hastiado gesto si sensual, ojos griseos, con un resto de su fulgor - sonantes, de adehala todavía -. La testa sin su gala pilosa. El alta frente. Elato Enhiesto. El conjunto: mitad Faltaff (si honesto) mitad skalde prófugo de Uppsala. Hacia el subfondo, el caso lo complico de este jaez: filósofo a la gabe, bufón a la sarcástico...; ¿poeta? Poeta..., en ocasiones, aunque imbrico música y poesía, verbo y clave, dolor y burlas, rictus y pirueta.

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Ferrer-Corredor, E.

Estructura de este análisis métrico Los apartados precedentes nos ilustraron sobre los aspectos generales de la métrica y sobre las características generales tanto de la obra como de la crítica alrededor de León de Greiff. Así, la estructura que sigue precisa los aspectos técnicos del análisis textual métrico (se toma como base la estructura del libro de José Domínguez Caparrós en Métrica Española).

A. Elementos del verso: De acuerdo con Domínguez Caparrós el verso es unidad rítmica, se repite y forma series; estas unidades pueden ser semejantes y desemejantes. Los factores rítmicos del castellano son: la sílaba, el acento, la pausa y el timbre; categorías que sirven para clasificar los versos. Así, pensar en el ritmo se relaciona con tres aspectos: la repetición simétrica, las relaciones estéticas de los componentes lingüísticos del verso y la tipificación del verso en relación con el esquema global del poema. La situación está en la propuesta de un esquema textual como sistema rítmico.

B. Clases de verso: Los elementos del verso constituyen “formas hechas”, repeticiones rítmicas. Esa amplia y compleja variedad de formas rítmicas nos lleva al inventario de clases de versos. Estos los puedo clasificar de acuerdo con criterios como: verso regular e irregular; arte mayor o menor; regularidad en el número de sílabas y clase de verso español; verso tónico y la distribución de los acentos; verso clásico y verso libre.

C. Combinaciones métricas: Más allá de las unidades constitutivas del verso y sus clases: el conjunto de versos que constituye la manifestación métrica concreta

se presenta normalmente organizado de acuerdo con una estructura. Puede ocurrir que el poema ordene los elementos rítmicos con arreglo a un patrón estructural de simetría que se repite a lo largo del mismo; y estamos entonces ante una “combinación métrica estrófica”. Puede ser también que el esquema de composición del poema esté fijado de antemano; en ese caso se tiene una “forma de composición fija”. Si la disposición del poema no repite ningún esquema, nos encontramos ante “series no estróficas”.

Nota sobre la muestra del poeta Nos ocupa en esta muestra un poema de León de Greiff: “Trova del cazador de ef ímeros arreboles”. Este poema se inscribe dentro de la propuesta estética del verso libre y semi-libre: el poema presenta una gran irregularidad, tanto en el verso como en la composición estrófica. Este poema representa de un modo significativo la postura estética del León de Greiff: la influencia de las vanguardias europeas y los tiempos de librepensamiento en un ámbito de gran juego con estructuras musicales. Incluso, y esto generó confusión entre sus primeros lectores, en ocasiones es clara la prelación de los juegos de palabras en aras de la lúdica de los sonidos y de las imágenes, frente a alguna preocupación por un concepto acabado. El exótico temario de los poemas combina las referencias a la vida de bohemio, viajero y poeta; el hombre de refinados gustos ‘naturales’ con la alusión a temas de diversos y distantes lugares, creando una atmósfera de hombre de mundo. Este hecho es relacionado por algunos críticos (ya mencionaré las fuentes) como uno de los tanto vínculos del poeta con el modernismo, negándole el carácter de vanguardista.

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Matemática y poesía: un recorrido por la métrica de León de Greiff

Una nota sobre el horizonte conceptual Antes de entrar en el capítulo del análisis métrico propiamente, debo expresar (como ya lo han dicho diversos teóricos) que aguardo muchas dudas aún sobre el proceso técnico, que es dispendioso y requiere de arduo trabajo para su dominio. En particular para la toma

de decisiones analíticas entre la diversidad teórica. Enumero los conceptos que más dificultades producen dudas de aplicaciones teóricas en el ámbito de los versos no tradicionales de León de Greiff: silabación y conteo acentual, sinaf ía, semirra, grupos fónicos, fragmentación, criterio de estrofa y unidades acentuales, criterios para una métrica estética, criterio para una métrica comparada, etc.

Análisis métrico textual del poema “Trova del cazador de ef ímeros arreboles” Elementos del verso Silabación: —Las licencias métricas —Equivalencia de finales de verso —El ritmo acentual y la sílaba La pausa: —Pausa y ritmo —Clases de pausa —Encabalgamiento La rima: —Rima consonante y asonante —Estilística de la rima —Lugar y disposición El acento:

—Análisis métrico y clases

—El ritmo acentual

—Acento y versificación

Número y clases de versos:

—Número de versos

—Versos de arte mayor y hemistiquio

—Tipos de verso regular

—Verso libre

—Combinatoria de versos

Combinaciones estróficas:

—Límites y conceptos

—Frases funcionales de las estrofas

—Estribillos

“Trova del cazador de ef ímeros arreboles” ¿Es ésta entonces la ávida vida abierta a todos los insólitos vientos del azar, a todos los sólidos vientos Pregustados? ¿Es ésta? ¿Y aquí pensé encallar? ¿Aquí pensé afincar el ancla? ¿y, por siempre, fijar la vagabunda nao? –Para, con la ánima despierta, y en el tufo salino y en los vientos insólitos, desaforados, turbulentos, (con sutil oído, con la aguda nariz –unánimes [acólitos –) ¿captar, captar, captar la ciencia del fugado mar? ¿Es ésta, es ésta, ánima mía,

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Ferrer-Corredor, E.

corazón mío, espíritu mío, –sitibundos–, corazón mío, espíritu mío –errantes–, frenéticos, vagabundos, vaga mundos desalados, –es ésta, es ésta entonces la ávida vida, soberana de toda la cosa terrena y de la sideral y de lo [que ideó el ensueño? La ávida vida abierta, como los fijos ojos horadantes y como los oídos –caracoles [profundos– y el pensieroso ceño, y la frente, –campana: y la frente –campana– para albergar los [aladíneos despojos de las piraterías y los asaltos inverecundos: los sables de abordaje –azules– de sangre [rojos; los labios –rojos– azules de mares y mundos; los dedos enjoyados de acariciar la hembra (en [cuyos lientos, madorosos, musgosos refugios perfumados descubrieran maravillosos Eldorados y de abenuz y múrice deleitables portentos...) Es ésta, es ésta, ánima mía sitibunda, corazón mío, espíritu mío –ardientes, insaturables, inextinguibles, indómitos, [eternos insurgentes–, ¿Es ésta entonces la ávida vida soberana, y soberana de toda la cosa terrenal y sideral, [o que soñó– cogitabunda– la grávida campana pletórica de fantasías indehiscentes? La ávida vida abierta como los horadantes fijos ojos insomnes y vigías y los oídos, caracoles, y la frente, campana: y la boca, que el mar hurtó salobre aliento; y la melena, ansia de fugas a los vientos [errantes; y el espíritu, al mar y al viento y a los soles de oro y a las noches de terciopelo endrino,

–la libertad, la música recóndita y el encanto [marino: ¡Oh cazador de ef ímeros arreboles! ¡Oh cazador de efímeros arreboles, de bocas y de ensueños que el deseo satura de no sabido hechizo! ¡Oh cazador de arreboles efímeros, de espíritus y sexos que el deseo enaltece –transitorio– y que abaja el hastío; oh cazador de nubes, navegador de nubes, cabalgador de sombras, propugnador del [olvido, domeñador de vientos! ¡Oh cazador de arreboles efímeros, argonauta en océanos de sónes, y en piélagos de ritmos argonauta, y en las noches de pasión y de [perfumes sexüales...! ¡Oh noches de terciopelo endrino...! ¿Es ésta entonces la ávida vida abierta y a todos los milagros y a todos los portentos y maravillas? ¿y a toda la cotidiana cosecha pregustada? ¿O a lo que sembró el azar? ¿O a todos los prodigios y a todos los mirajes embaidores, y espejismos aladinescos, y [señuelos, e indehiscentes fantasías? ¿Es ésta, es ésta, ánima mía, corazón mío, espíritu mío? –¡jamás, jamás [saciados!–, corazón mío, espíritu mío –¡satisfechos [nunca!–, ¿Es ésta entonces la ávida vida de mis sueños, la ávida vida soberana de toda la cosa terrena y sideral o que ideó mi cogitar? ¿Es ésta? ¿Es ésta? ¿Y aquí pensé encallar? (1931)

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Matemática y poesía: un recorrido por la métrica de León de Greiff

Elementos del verso Silabación: División en sílabas, distintos aspectos de la sílaba (hiato, sinalefa, sinaf ía), equivalencia de finales esdrújulos, graves y agudos. “Trova del cazador de ef ímeros arreboles” ¿Es-és-taen-ton-ces-la-á-vi-da-vi-daabier-ta Sinalefa en (taen) y en (daa). Hiato en (la) (a) por acento rítmico marcado en la segunda vocal. Duda en es-es-ta... ó e-ses-ta. a-to-dos-los-in-só-li-tos-vien-tos-delA-zar,+ Se le agrega una sílaba porque el verso termina en palabra aguda. Sinaf ía entre el 1º y 2º verso (restamos esa sílaba). a- to-dos-los-só-li-tos-vien-tos pre-gus-ta-dos? ¿Es-és-ta? ¿Ya-quí-pen-séen-ca-llar?+ Sinalefa en (ya) y en (séen). Se le agrega una sílaba porque el verso termina en palabra aguda. ¿A-quí-pen-séa-fin-car-el-an-cla? Sinalefa en séa. ¿Y,-por-siem-pre,-fi-jar?+ Se le agrega una sílaba porque el verso termina en palabra aguda. Sinaf ía. la-va-ga-bun-da-na-o? -¿Pa-ra,-con-la-á-ni-ma-des-pier-ta, Hiato en (la) (á) por acento rítmico marcado. Yen-el-tu-fo-sa-li-no-yen-los-vien-tosin-só-(li)-tos,

(13)

(9) (4) (3) (7)

(9) (7)

(7) (10) (14)

Hiato en (no) (yen) por vocal intermedia cerrada, rodeada de vocales abiertas. Sinalefa en (yen). Se le resta una sílaba porque termina en palabra esdrújula. De-sa-fo-ra-dos,-tur-bu-len-tos, (con-su-til-o-í-do,-con-laa-gu-da-nariz- -u-ná-(ni)-mes Sinalefa en (laa). Se le resta una sílaba porque termina en palabra esdrújula. a-có-(li)-tos -) Se le resta una sílaba porque termina en palabra esdrújula. cap-tar,-cap-tar,-cap-tar+ Se le agrega una sílaba porque el verso termina en palabra aguda. la-cien-cia-del-fu-ga-do-mar?+ Se le agrega una sílaba porque el verso termina en palabra aguda.

(9) (15)

(3) (7) (9)

Nota: Resulta más ilustrativo un pequeño análisis de la geograf ía combinatoria del poema. No hay definición estricta de estrofa, lo que en un análisis de longitud del verso y tipo de verso dificulta los conceptos de agrupación y definición de ritmo, como repetición, en este caso, de los periodos versales y estróficos. No obstante, justamente, en el ámbito de esta irregularidad, se percibe un juego entre el verso largo y el corto, así como entre la cuasi-estrofa y las frases conectoras entre ellas (en muchos casos compartidas), como la primera vez que se pronuncia: ¡Oh cazador de efímeros arreboles!

Ritmo acentual2 En este aparte sobre el ritmo acentual, dado el carácter de verso libre y semilibre manejado por León de Greiff, se hará un estudio entre descriptivo y analítico-comprensivo de la 2

Los acentos por pies podrán ser útiles y por ello realizamos una nota para recordar algunos de sus

aspectos. Sin embargo, como ya se dijo, Greiff actúa a la manera del músico en un preludio, prueba combinaciones, juega con las series de sonidos. NOTA: Acentos por pies: Trocaico: tónica/ átona. Yámbico: átona/tónica. Anf íbraca: átona/ tónica/átona. Dactílica: tónica/atona/atona. Anapéstica: atona/atona/tónica.

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Ferrer-Corredor, E.

distribución e intencionalidad estética del poeta.

Descripción de la distribución acentual3:

El acento es un elemento fundamental del ritmo del verso, hasta el punto de que los factores que definen el esquema (el metro) de las principales clases de versos, como se verá, son el número de sílabas y el número y lugar de los acentos (Domínguez, 2000, p. 81).

“Trova del cazador de ef ímeros arreboles”

En palabras de Domínguez Caparrós, en la métrica española, “por influencia del esquema rítmico, de la música y de la rima, se producen: desplazamientos del acento de la palabra, acentuación en sílabas átonas, doble acentuación de polisílabos, acentuación de monosílabos, desacentuación de sílabas tónicas” (Domínguez, 2000, p. 82). Se observan en el poema “Trova del cazador de efímeros arreboles” diversos fenómenos combinados en la propuesta rítmica de la poesía de León de Greiff. Algunos de estos fenómenos y licencias métricas ya fueron señalados en el apartado anterior: la invención de palabras por la conveniencia de sonoridad, la ruptura sintáctica para lograr efectos sonoros, la combinación de periodos métricos internos, la reiteración silábica interna, la aparición de hemistiquios. De un modo particular, el hecho más relevante para nuestro propósito alrededor del ritmo acentual: la combinación de versos yámbicos y trocaicos (y otros casos de acento final de verso y los casos especiales de los endecasílabos), la alternancia experimental de los pies acentuales y la invención de periodos inéditos. Este trabajo requiere de una formulación de modelos de explicación de la forma en que se organiza el acento en el verso español. Se requiere “el reconocimiento de unidades rítmicas formadas por grupos interiores de sílabas métricas en torno a un acento [...] de un patrón llamado cláusula rítmica o pie acentual” (Domínguez, 2000, p. 85). Un estudio de esa magnitud desborda los alcances de este artículo.

¿Es ésta entonces la ávida vida abierta ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ 2 4 / 2 5 7 a todos los insólitos vientos del Azar, ‘ ‘ ‘ ‘ 2 6 / 1 5 a todos los sólitos vientos ‘ ‘ ‘ 2 5 8 pregustados? ‘ 3 ¿Es ésta? ‘ 2 ¿Y aquí pensé encallar? ‘ ‘ ‘ 2 4 6 ¿Aquí pensé afincar el ancla? ‘ ‘ ‘ ‘ 2 4 7 9 ¿y, por siempre, fijar ‘ ‘ 3 6 la vagabunda nao? ‘ ‘ 4 6 -¿Para, con la ánima despierta, ‘ ‘ ‘ 1 5 9 y en el tufo salino y en los vientos insólitos, ‘ ‘ ‘ ‘ 3 6 / 3 6

3 Aclaración: En este segmento sobre el acento requiero de mayor investigación y apoyo para seleccionar la teoría más adecuada y aplicar con los mejores criterios. En particular sobre las categorías a utilizar.

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desaforados, turbulentos, ‘ ‘ 4 8

captar, captar, captar ‘ ‘ ‘ 2 4 6

(con sutil oído, con la aguda nariz –unánimes ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ 3 5 / 9 12 2 [acólitos-) ‘ 6

la ciencia del fugado mar? ‘ ‘ ‘ 2 6 8

Encabalgamiento y pausas4 León de Greiff en su poética recurre a diversas pausas al interior del verso, incluso entre versos, en la búsqueda de efectos métricos. Estos recursos se distribuyen ya sea en el verso, en la cesura en los versos de arte mayor y mediante alteraciones sintácticas. La pausa es un fenómeno métrico inseparable del sentido del ritmo en el verso. Justamente, ésta define en buena medida la fragmentación del discurso poético. La segmentación rítmica del lenguaje se reconoce delimitada por pausas métricas (Domínguez, 2000, p. 99).

Las principales pausas internas en “Trova del cazador de ef ímeros arreboles” son: el uso de paréntesis, la repetición de categorías sintácticas separadas por signos de puntuación, la distribución de acentos, el uso de palabras semánticamente ‘menores’ (preposiciones y conjunciones), uso de oraciones interrogativas, entre otras. De otro lado, León de Greiff recurre a la organización morfosintáctica, más allá de la estructura del verso, incluso en su caso, abundante en la combinación entre versos cortos y largos, con una métrica cercana al verso libre, aunque con marcas periódicas características. Es dif ícil fijar los límites precisos para el encabalgamiento, en ocasiones los grupos de 4 Como lo cita el profesor José Domínguez Caparrós, el concepto de encabalgamiento ofrece diversas interpretaciones.

palabras y las normas de la lengua hablada no permiten separar con un descanso. “Muchas veces el descanso del verso se organiza en concordancia con la pausa morfosintáctica, pero otras no. Cuando se da el desajuste entre la pausa versal y la sintáctica, se produce el fenómeno estilístico conocido como encabalgamiento” (Domínguez, 2000, p. 103).

Algunos tipos de encabalgamiento El encabalgamiento es un fenómeno sintácticosemántico relacionado con la cadencia entre los versos. Las secuencias oracionales a veces, en otros casos proposicionales, o ambas, son objeto de manipulaciones lúdicas por parte del poeta para lograr la fluidez del canto. Tomamos estos conceptos básicos del libro ya mencionado, Métrica española (Domínguez, 2000, p. 104): Versal: Al final del verso: La ávida vida abierta como los horadantes / fijos ojos insomnes y vigías Abrupto: No pasa de la quinta sílaba del verso encabalgado: argonauta, y en las noches de pasión y de perfumes / sexuales...! Suave: Pasa de la quinta sílaba: La ávida vida abierta como los horadantes / fijos ojos insomnes Oracional: Si se separan el antecedente y el pronombre de una oración adjetiva: ¿La ávida vida soberana / de toda la cosa terrena y sideral o que ideó mi cogitar?

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Ferrer-Corredor, E.

Sirremático: Si se trata de una separación en el interior de los otros grupos: ¿Es ésta entonces la ávida vida abierta / a todos los insólitos vientos del Azar, a todos los sólitos vientos / pregustados?

Léxico: Si se divide una palabra. Sólo encontraos algunos casos muy cercanos: La ávida vida abierta, como los fijos ojos / horadantes y como los oídos –caracoles /

Enlaces sintáctico-semántico entre versos “Trova del cazador de ef ímeros arreboles” ¿Es ésta entonces la ávida vida abierta a todos los insólitos vientos del Azar, a todos los sólitos vientos pregustados? ¿Es ésta? ¿Y aquí pensé encallar? ¿Aquí pensé afincar el ancla? ¿y, por siempre, fijar la vagabunda nao? –¿Para, con la ánima despierta, y en el tufo salino y en los vientos insólitos, desaforados, turbulentos, (con sutil oído, con la aguda nariz –unánimes [acólitos–) captar, captar, captar la ciencia del fugado mar?

v. Encabalgante v. Encabalgado v. Encabalgante v. Encabalgado

E. suave

v. Encabalgante v. Encabalgado

E. suave

v. Encabalgante E. suave v. Encabalgado v. Encabalgado E. suave

Rima: (consonante y asonante) y musicalidad en general. La rima es un elemento esencial en la conjunción entre poesía y métrica. La rima marca en muchos casos los límites del verso, las series rítmicas y el ámbito de las estrofas. De Greiff recurre tanto a la rima asonante (solo coinciden las vocales a partir de la tónica) como a la consonante (cuando coinciden todos los sonidos a partir de la última vocal tónica) en su afán de construir equivalencias sonoras, ritmos e incluso sentido. La función rítmica de la rima está en relación con su carácter reiterativo. Y es esta reiteración la que contribuye a la organización del verso en grupos estróficos. Por otra parte, del carácter reiterativo se deriva su contribución a la función poética: en la rima se contraponen, o se asocian, las palabras también por su sentido (Domínguez, 1985, p. 306).

Tal como lo señala Domínguez Caparros (y Quilis), la función rítmica de la rima parece exigir el final del verso, cuando hay encabalgamiento redobla su papel y ayuda a percibir el final de un verso. Pese al verso libre o semi-libre greiffiano, su poesía recurre a la rima como elemento versal e incluso aparece como una serie internas del verso, en un equilibro entre el ritmo y el sentido oracional y proposicional.

Formas de la rima León de Greiff utiliza la mayoría de modalidades de rima descritas; sin embargo, su ubicación no sigue secuencias muy definidas e incluso lo hace de un modo alterado, atravesando un verso sin rima o duplicando algún

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sonido, así: en lugar de ABBA, AMBBA, o ABBBA.

Rima “eco”: podríamos referirnos a la repetición de la frase /Es esta... /

Rima abrazada (ABBA): primera estrofa.

Yo voy tocando mi vihuela por estas rutas sublunares fijos los ojos en la estela de consonancias singulares...

Rima cruzada (ABAB): aunque incompleta, en varias estrofas. Rima continua (AAAAA): tercera estrofa. Rima Pareada (AA): final de la primera estrofa.

Balada del trovero trashumante, León de Greiff

Conclusiones La poesía de León de Greiff oculta un pentagrama en su escritura, dispone de una orquesta en su ejecución y reclama un lector con memoria de músico para percibir ese rugir de palabras, de pausas y encabalgamientos; de ritmos y chocar de sílabas, de imágenes y sucesos de otros mares; en definitiva, los algoritmos de la música de la poesía greiffiana nos invitan a la conjunción entre número, palabra y cuerpo. La música hecha verso es un alfabeto cifrado en secuencias de números secretos; la palabra y sus ritmos plagian ese erotismo

incesante entre el agua y la roca, el ritmo obliga a los cuerpos con el transcurrir de los versos. León de Greiff está dentro de la línea tradicional de aquellos poetas juglares que antes de comenzar el canto, piden para acompañarse un instrumento musical (zampoña, vihuela, guitarra mejor que lira), y un vaso de buen vino. Una vez en posesión del instrumento y de la bebida entona sus «trovas» que en él tendrán sabor viejo, popular, de relato que se dice a voces en una plaza en día de fiesta (Rodríguez, 1972b, p. 222).

Referencias Domínguez, J. (2000). Métrica española. Madrid: Síntesis. Domínguez, J. (1985). Diccionario de Métrica Española. Madrid: Paraninfo. Farina A. (1920). En El Espectador (18 de diciembre). Citado por: Surdíaz Luis (1995): El múltiple rostro de León de Greiff. La Habana, Instituto cubano del libro. Greiff, L. (1993). Obra poética. Caracas, Biblioteca Ayacucho. Selección y prólogo de Cecilia Hernández de Mendoza. Poema fechado en febrero de 1931. P. 111-113. Greiff, L. (2004). Obra poética: Tergiversaciones (y poesía escrita entre 1913 y 1924). Tomo I. Bogotá, UNAL. Mohler S. Ch. (1969). The poetic Style of León de Greiff. USA, The George Washington University.

Peterson, M. (2011). “The Plan of Heaven.” Galileo’s Muse: Renaissance Mathematics and the Arts, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts; London, England. pp. 69–80, www.jstor.org/stable/j.ctt24hj3z.7. Rodríguez, O. (1972a). “Recursos rítmicos en la poesía de León de Greiff ”. Thesaurus, Tomo XXVII, Número 3. Bogotá, Boletín del Instituto Caro y Cuervo. Centro Virtual Cervantes. Rodríguez, O. (1972b). “León de Greiff: Imágenes y figuraciones de una poética de vanguardia”. Anales de literatura hispanoamericana. Madrid, UCM. Vásquez, R. (1943). “La poesía de León de Greiff.” En: Revista de las Indias, febrero. Bogotá, Imprenta Nacional.

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Buitrago, L. y Ferrer Corredor, E.

Matemática aplicada al análisis social

Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago Mathematics compared to other disciplines in the citation Scimago index Laura Buitrago Niño* y Enrique Ferrer Corredor** —Cuando uso una palabra —dijo Humpty-Dumpty con un tono burlón— significa precisamente lo que yo decido que signifique: ni más ni menos. —El problema es —replicó Alicia— si usted puede hacer que las palabras signifiquen tantas cosas diferentes. —El problema es saber quién es el que manda. Eso es todo. Lewis Carroll, en Alicia a través del espejo.

Resumen Este artículo presenta la producción de la disciplina de la matemática en los cinco primeros Journals (revistas especializadas), en términos de temas, bajo el índice de Scimago (15 de abril de 20171); se clasifican los títulos y resúmenes sacados de la muestra mencionada. Luego se comparan las 50 primeras revistas especializadas en Citar este artículo como: Buitrago, L. y Ferrer Corredor, E. (2016). Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago. Revista Papeles, 8(16), 63-71. Fecha recibido: septiembre 5 de 2016. Fecha aprobado: noviembre 30 de 2016. * Estudiante de economía de la Universidad Nacional de Colombia. Lectora en la revista Papeles. Correo: lbuitragon@unal.edu.co ** Profesor de la UAN, director de la revista Papeles. Correo: enfer48@hotmail.com En realidad, la fecha del corte en el 2016 no es relevante, pues Scimago ha tomado el año 2015 como base de referencia, y los tres anteriores para algunos de los promedios. Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • pp. 63-71 • Julio-diciembre de 2016

Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago

matemática con las 50 primeras en la disciplina de la educación y del mismo modo con las 50 primeras en la disciplina de la economía; esta comparación se realiza alrededor de la participación del país de procedencia de las revistas. Finalmente, se hace un análisis (desde la cienciometría) de las revistas especializadas en matemática desde el índice y lapsos mencionados, con procedencia de América Latina. Palabras clave: matemática, cienciometría, revistas especializadas.

Abstract This article presents the production of mathematics discipline from the first five journals, in terms of subjects, under the index Scimago (April 15, 2017); titles and abstracts from the sample mentioned are classified and compared. Then, we compare the first 50 journals in mathematics with the first 50 in the discipline of education and in the same way the first 50 in the discipline of economics, this comparison is made around the participation of the country of the authors. Finally, we carry out an analysis (from scientometrics) of the Latin America mathematics journals from the index. Keywords: mathematics, scientometry, journals.

Horizonte conceptual El conocimiento científico y el académico son requisitos de la universidad del siglo XXI. El primero ocupa un lugar privilegiado en las aulas, de acuerdo a los matices de las disciplinas. El académico no presupone el científico, pero permite el rigor en aquellos saberes como las artes o las humanidades. Hoy, las ciencias sociales son un espectro mucho más amplio, complejo y riguroso que las llamadas ciencias del espíritu del siglo XIX. Y por esta razón, muchas universidades presentan por separado las humanidades y las ciencias sociales. Estas últimas han logrado emanciparse (tal vez no del todo) de las metodologías impuestas por las ciencias formales y las ciencias de la naturaleza desde hace más de dos siglos, mediante el desarrollo de epistemologías propias de sus objetos de estudio, por ende, de rigores acorde a la naturaleza compleja de sus investigaciones. Dentro de la tradición epistemológica de la clasificación de las ciencias, la matemática ocupa un lugar privilegiado. La mayoría de las posturas contemporáneas hacen una triada muy cercana a la propuesta por Bunge (2005, pp. 5-7): la ciencia se divide en principio en

ciencias lógico-formales y ciencias fácticas, y estas a su vez en naturales y sociales. Cada una de las ramas de esta triada implica un refinamiento del estatuto general de la ciencia, como Bunge nos propone en el mismo texto citado: ese creciente cuerpo de ideas llamado “ciencia”, que puede caracterizarse como conocimiento racional, sistemático, exacto, verificable y por consiguiente falible. Por medio de la investigación científica, el hombre ha alcanzado una reconstrucción conceptual del mundo que es cada vez más amplia, profunda y exacta (Bunge, 2005, p. 5).

En este contexto, mientras las ciencias de la naturaleza observan y procesan objetos definidos en el mundo material externo y objetivado, las ciencias sociales deben luchar con dos particularidades: la intromisión del observador en la construcción de sus objetos y la construcción misma de estos objetos, que en algunos casos alcanza un grado de complejidad e indefinición que dificulta su objetivación. La matemática en este horizonte del debate no lidia ni con problemas técnicos

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Buitrago, L. y Ferrer Corredor, E.

para aprehender los fenómenos de la naturaleza, ni con los mencionados de las ciencias sociales; la matemática dialoga desde un mundo axiomático consigo misma. Así, la producción académica de la matemática se caracteriza por un discurso endógeno en cuanto a relaciones entre su saber y el mundo objetivado de los fenómenos de la naturaleza y de las relaciones entre seres humanos como hecho epistémico, de un lado; como hecho riguroso sujeto a reglas, de otro. Se agregan a este marco epistemológico otros marcos como el consumo social de saberes, las dificultades operativas de su objeto de estudio (más separado y menos cotidiano de la naturaleza humana que el aprendizaje de los códigos naturales como las lenguas), sus posibles pero no obligatorias aplicaciones en las demás ciencias; finalmente, la rentabilidad de este saber (la tasa de retorno de la inversión). En la academia actual, en este sentido, la matemática no se sustrae a la rentabilidad de la inversión en investigación, tiene un ancla en la manera como el conocimiento se inserta en el circuito de la producción económica. Aunque este hecho no es un asunto determinístico (o no debería serlo), la dinámica de la sociedad capitalista imperante no deja mucho horizonte

para otras opciones (esto sucede incluso en los países socialistas). Y cuando se trata de valorar, desde la academia misma (aparentemente), el conocimiento producido, en este caso la matemática, los índices de citación no solo se nutren del debate académico, sino del uso probable o posible en proyectos de ingeniería de ciencias sociales, cuyos raceros están permeados (en grado sumo) por la rentabilidad financiera (social, cultural, legal) de estas investigaciones. Al presentar en este breve texto la producción académica de la matemática con énfasis en la contrastación entre la élite del saber, de acuerdo con el ĺndice Scimago, buscamos exponer algunos de los criterios usados por Scimago para escoger las mejores revistas académicas del mundo, con criterios que se concentran en el uso de información científica, usualmente por científicos, y luego por la empresa y otros estamentos. Esta tarea no es sencilla y tal vez encierre mucho de injusticia, como toda medición compleja de variables implicadas en relaciones de poder y desigualdad social; en el caso de las ciencias sociales este hecho se radicaliza. No obstante, los índices son necesarios para organizar acercamientos de ordenación de la enorme cantidad de información procesada en el mundo.

Categorías y conceptos en Scimago Las clasificaciones obedecen a objetivos, manipulaciones y lecturas de quienes las hacen. Y, seguramente, encierran intereses objetivos y subjetivos (Habermas, 1997). El propósito central de contar con un índice de valoración académica y científica robusto (cualquiera que sea) se vuelve apremiante desde diversos puntos de vista: desde el impacto económico, desde el cultural, pero especialmente, desde la valoración epistemológica del rigor académico. Con todas sus limitaciones, Scimago contribuye al propósito de evaluación de la academia. El problema del poder central y la acumulación de capital simbólico (Bourdieu, 2012) y

control de información subyacen a este debate, no somos ingenuos. Pero aquí se trata de una mirada sincrónica sobre el saber producido, sobre sus coherencias internas. Y en el caso de la matemática, el objeto facilita la depuración ideológica, compleja en la valoración de las humanidades y las ciencias sociales. Hacemos a continuación un breve comentario de las categorías y conceptos básicos para leer, comprender y comparar la información de la muestra temática de las principales revistas de matemática (bajo la fecha de corte señalada), así como la producción recogida en la principal revista de matemática en Colombia. En

Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • pp. 63-71 • Julio-diciembre de 2016

Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago

El propósito central de contar con un índice de valoración académica y científica robusto se vuelve apremiante desde diversos puntos de vista: desde el impacto económico, desde el cultural, pero especialmente, desde la valoración epistemológica del rigor académico. el caso de esta última, su contenido circula en inglés y de libre acceso, hecho que enfatiza su posibilidad de uso. Describimos las entradas horizontales del modo como se presenta la clasificación de las revistas en Scimago: – La posición de la revista en el escalafón (hemos llenado la casilla con un *). – El nombre (title) de la revista (en el caso de matemática muchas tienen su nombre en latín, por ello la similitud con nuestra lengua). – El tipo (type) en este caso no hace gran diferencia, pues en su mayoría todas son journals (revistas especializadas). – El SJR mide una combinación (mediante algoritmo) entre las citaciones y la calidad de la misma, el impacto real entre la cantidad y calidad, entre producción y uso cualificado. – El índice H (H index) busca sopesar la relación entre la cantidad de trabajos de una revista y su real impacto en las citaciones. Su cálculo se realiza poniendo en fila la cantidad de artículos con X número de

citaciones, cuando llegamos al punto en que las X citaciones por grupo de un artículo(s) respectivo es al menos igual con el número de ordenamientos, tenemos el factor H (la crítica ha señalado ventajas y desventajas con este factor que busca evitar la proliferación de trabajos en detrimento de la calidad). – La cantidad de documentos del año escogido para la clasificación (Total Docs.; 2015). – La cantidad de documentos de los últimos tres años anteriores al año en cuestión (Total Docs. 3years). – El total de referencias incluidas en la revista para el año en cuestión (Total Refs.). – El total de citas en los tres números previos al año en cuestión (Total Cites; 3years). – El total de documentos citables incluye, adicional a los artículos, reseñas, conferencias; por esta razón, este número es mayor al total de documentos de la revista en el año en cuestión (Citable Docs.; 3years). – La relación de citas por documentos en los últimos dos años (Cites / Doc.; 2years). – Promedio de referencias por documentos en el año en cuestión (Ref. / Doc.).

Un caso: dos revistas comparadas Este breve y sencillo ejercicio nos puede ayudar a la práctica de consulta del índice y al mismo tiempo nos ofrece una sensibilización sobre el impacto académico comparado desde un caso particular. Tenemos en el cuadro abajo la revista Acta Numerica (AN), en la posición número 1 en esta muestra, frente a la posición 364 de la Revista colombiana de matemáticas

Tabla 1. Conceptos básicos *

Title

Type

SJR

H index

Total Total Docs. Docs. (2015) (3years)

Total Refs.

Fuente: SCImago (2017).

Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Total Cites (3years)

Citable Docs. (3years)

Cites / Doc. (2years)

Ref. / Doc.

Buitrago, L. y Ferrer Corredor, E.

Tabla 2. Contraste entre revistas de matemática: la número 1 y la mejor revista colombiana. *

Title 1 Acta Numerica

Revista 364 Colombiana de Matemáticas

Total Total Docs. Docs. (2015) (3years)

Total Refs.

Total Citable Cites Ref. / Cites Docs. / Doc. Doc. (3years) (3years) (2years)

journal 8.044 Q1 35

428

165

9.17

107.00

journal 0.102 Q4 1

310

0.13

18.24

Type

SJR

H index

Fuente: SCImago (2017).

(RCM). El impacto de las citas medido por el SJR es en la primera 8.044, frente a 0.102 de la segunda; la enorme distancia en esta categoría recoge y además sopesa las diferencias presentadas en las citas desde los documentos de los últimos tres años, de las citas por documento de los últimos dos años, de las referencias por documento. No obstante, la cantidad de documentos en el año en cuestión es mucho mayor para la RCM (17), mientras la AN tiene apenas 4 documentos. El dato más importante de un modo visible inmediato es el índice H: en el AN este índice es de 35 y en RCM es de 1. Esto significa que para el caso de la AN hay 35 documentos (en este caso solo tiene 18 documentos, o sea que el menor citado tiene al menos 35 citas) y su factor H es 35. Este mismo indicador para RCM señala 1 en 17 documentos (tiene al menos 1 trabajo con 1 una cita).

Inventario temático comparado Presentamos los títulos de los temas publicados por las cinco mejores revistas de matemática en el índice Scimago y la mejor revista colombiana de matemática. Este inventario busca mostrar una ventana al diálogo entre la producción de élite mundial en el ámbito de la matemática. La tendencia de las revistas más prestigiosas es la aplicación de modelos complejos probabilísticos no lineales en aplicaciones en diversas disciplinas, especialmente en ciencias naturales. Los temas de la revista colombiana giran en torno a variaciones matemáticas (algebraicas).

- Inventario temático de las 5 primeras revistas 1. Acta Numerica (Volumen 26, 2017, anual) - The nonlinear eigenvalue problem. Stefan Güttel, Françoise Tisseur. - Randomized algorithms in numerical linear algebra. Ravindran Kannan, Santosh Vempala. - Numerical analysis of strongly nonlinear PDEs. Michael Neilan, Abner J. Salgado, Wujun Zhang. - A survey of structure from motion. Onur Özyeşil, Vladislav Voroninski, Ronen Basri, Amit Singer. - The cardiovascular system: Mathematical modelling, numerical algorithms and clinical applications. A. Quarteroni, A. Manzoni, C. Vergara. - Algebraic multigrid methods. Jinchao Xu, Ludmil Zikatanov. 2. Acta Mathematica (Volumen 217, septiembre de 2016) - Arnold diffusion in arbitrary degrees of freedom and normally hyperbolic invariant cylinders. Patrick Bernard, Vadim Kaloshin, Ke ZhangPages. - Universality in several-matrix models via approximate transport maps. Alessio Figalle, Alice Guionnet. - Lower bounds for numbers of real solutions in problems of Schubert calculus. Eygeny Mukhin, Vitaly Tarasov.

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Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago

3. Publication Mathématiques (Volumen 124, noviembre 2016)

- C∗C∗ -simplicity and the amenable radical. Adrien Le Boudec.

- Teichmüller curves in genus three and just likely intersections in Gnm×GnaGmn×Gan. Matt Bainbridge, Philipp Habegger, Martin Möller.

- Möbius disjointness for analytic skew products. Zhiren Wang.

- Relative Stanley–Reisner theory and Upper Bound Theorems for Minkowski sums. Karim - A. Adiprasito, Raman Sanyal. On the Fukaya category of a Fano hypersurface in projective space. Nick Sheridan. - Diffeomorphisms with positive metric entropy. A. Avila, S. Crovisier, A. Wilkinson. 4. Journal of the American Mathematical Society (Volumen 30, número 3, julio de 2017) - Diagonal cycles and Euler systems II: The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for Hasse-Weil-Artin LL-functions. Henri Darmon and Victor Rotger. - Equivariant properties of symmetric products. Stefan Schwede. - Mean field limits of the Gross-Pitaevskii and parabolic Ginzburg-Landau equations Sylvia Serfaty. - Kink dynamics in the ϕ4ϕ4 model: Asymptotic stability for odd perturbations in the energy space. Michał Kowalczyk, Yvan Martel and Claudio Muñoz. - Harmonic maps and the Schoen conjecture. Vladimir Markovic. - Mod pp points on Shimura varieties of abelian type. Mark Kisin. 5. Inventiones Mathematicae (Volumen 209, número 1, julio de 2017) - A classification theorem for boundary 2-transitive automorphism groups of trees. Nicolas Radu. - Quivers with relations for symmetrizable Cartan matrices I: Foundations. Christof Geiss, Bernard Leclerc, Jan Schröer.

- Smoothness and classicality on Eigenvarieties. Christophe Breuil, Eugen Hellmann, Benjamin Schraen. - The Sine ββ operator. Benedek Valkó, Bálint Virág.

Una muestra temática representativa de Colombia Revista Colombiana de Matemáticas La Revista Colombiana de Matemáticas es una publicación conjunta de la Universidad Nacional y la Sociedad Colombiana de Matemáticas. Volumen 50, número 2 (2016) - A new proof of the Unique Factorization of Z 1 + -d 2 for d = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. Victor J. Ramírez V. - New Hermite-Hadamard and Jensen Type Inequalities for h-Convex Functions on Fractal Sets. Miguel Vivas, Jorge Hernández, Nelson Merentes. - Construction of Bh[g] sets in product of groups. Diego Ruíz, Carlos Trujillo. - On the energy of symmetric matrices and Coulson’s integral formula. J. A. De la Peña, J. Rada. - Quantum Information and the Representation Theory of the Symmetric Group. Alonso Botero. - Local unitary representations of the braid group and their applications to quantum computing. Colleen Delaney, Eric C. Rowell, Zhenghan Wang. - Solutions of the hexagon equation for abelian anyons. César Galindo, Nicolás Jaramillo.

Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Buitrago, L. y Ferrer Corredor, E.

Tabla 3. Las 5 primeras revistas de matemática en el índice Scimago Pos.

Title

Type

SJR

Total Total Total Total Citable Cites H Docs. Docs. Refs. Cites Docs. docs Index (2015) (3 years) (3 years) (3 years) (3 years) (2 years)

Ref./ Doc.

Acta Numerica journal 8.044 Q1

428

165

9.17 107.00

Acta Mathematica

journal 8.021 Q1

527

149

3.22

37.64

Publications journal 6.865 Q1 Mathématiques

470

2.26

29.38

Journal of the American Mathematical Society

journal 6.637 Q1

708

266

2.72

37.26

Inventiones Mathematicae

journal 5.874 Q1

225

1911

416

196

2.04

22.75

Fuente: Scimago (2017).

Participación porcentual por países en matemática y otras disciplinas Hacemos el contraste, en primera instancia, desde la producción académica de la disciplina de la matemática y su distribución porcentual por países. Cuatro países concentran el 100% de las primeras 50 revistas. Y los Estados Unidos casi poseen la mitad de estas (44%). Las matemáticas puras y las matemáticas puras aplicadas son uno de los renglones de más alto nivel sobre el desarrollo no solo de la disciplina misma, sino del conjunto de la ciencia. Los adelantos científicos en ingeniería o medicina, incluso en las ciencias sociales, están anclados a estos hallazgos con posibilidades de aplicación. En el caso de la educación y la economía, el panorama no cambia mucho, incluso la concentración empeora, pues Estados Unidos, Reino Unido y Países Bajos concentran alrededor del 90% de la muestra. El caso de la educación es preocupante en relación con Latinoamérica y Colombia. Si pensamos en la posibilidad de investigaciones en f ísica, química o medicina, se presuponen grandes sumas de dinero, altos niveles de tecnología. No es el caso de la educación, campo en el que,

incluso, es más el uso de la técnica que el de la tecnología, y muy poco trabajo realmente científico en nuestro medio. Pero incluso en este campo, los países de tradición investigativa en otras áreas acaparan igualmente los primeros lugares de modo aplastante. Y además, la educación ha de constituirse en un campo fundante para otras disciplinas. Gráfica 1. Participación por países en los Journals de matemática España Japón 2% 2%

Francia Singapur 2% 2% Finlandia 2%

Suiza 6% Alemania 12%

Reino Unido 20% Países bajos 8% Estados Unidos 44%

Fuente: Scimago (2017).

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Matemática comparada con otras disciplinas en el índice de citación Scimago

Gráfica 2. Participación por países en los Journals de economía Alemania 2% Reino Unido 24%

Países bajos 20%

Estados Unidos 54%

Fuente: Scimago (2017).

Gráfica 3. Participación por países en los Journals de educación Turquia 2%

Países bajos 20%

Reino Unido 24%

Estados Unidos 54%

Fuente: Scimago (2017).

Tabla 4. Journals de matemáticas vs. economía vs. educación Matemáticas Economía Educación Estados Unidos

Reino Unido

Países Bajos

Alemania

Suiza

Finlandia

Singapur

Japón

Francia

España

La presencia de América Latina y España en la producción académica en matemática desde el índice Scimago muestra una presencia de 0.5% en las primeras 500 revistas. En el caso de la economía para ese mismo rango de las primeras 500, la presencia del mundo de estos dos bloques geográficos es siete veces mayor, 3.5%. Y para la educación respectiva es 0.7%, cercana a la situación de la matemática. De nuevo llama la atención la presencia precaria de nuestra región en el campo educativo, pues, como se dijo, es un espacio fundante de la academia. La matemática y la educación son la base de la construcción de otras disciplinas en términos de la investigación y el aula. La economía dialoga de un modo directo con el sector financiero, este es un hecho no despreciable. La relación mercado-academia es una correlación muy fuerte a la hora de conseguir recursos. Los caminos entre el sector financiero y disciplinas como la matemática y la educación son diversos, no siempre sujetos a la valoración económica (se producen cientos de teoremas nuevos cada año en matemáticas cuya aplicación se desconoce); pero subvalorar los nexos entre presupuesto y producción, entre producción y tasa de retorno de la inversión, puede ser un tema no menor en este debate. Gráfica 4. España y A. Latina en los primeros 500 Journals de cada disciplina 4 3 2 1 0

Turquía Total

Participación porcentual de América Latina y España

% Participación

1 50

Fuente: Scimago (2017).

Matemáticas

Economía

Educación

España y A. Latina

Fuente: Scimago (2017).

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Buitrago, L. y Ferrer Corredor, E.

Un estudio en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas en Cuba (2014) recoge la producción académica en matemática más citada desde el ALME (Acta Latinoamericana de matemática educativa) y desde Google académico. Citamos desde esta investigación los títulos de los tres trabajos más citados respectivamente. En ALME: a) socioepistemología de la Predicción, b) lo social en el conocimiento matemático: reconstrucción de argumentos y significados, c) una caracterización del contrato didáctico en un escenario virtual. En “Google académico”: a) Lo social en el conocimiento matemático: reconstrucción de argumentos y de significados. b) Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional, una mirada socioepistemológica. c) Pasado, presente y futuro de un paradigma de investigación en Matemática Educativa (Torres-Alfonso, 2014, p. 19).

La temática de esta producción, aunque está justificada desde el rótulo de educativa, solo en algunos casos de artículos menos citados se refiere a temas teóricos de matemática pura o aplicada a procesos de ciencia. Los artículos más citados se refieren a objetos de estudios de uso de la matemática en educación, a hechos co-textuales de la disciplina. Su importancia es incuestionable. No obstante, no entran dentro del circuito de la élite mundial de la investigación que presentamos en las revistas más prestigiosas de Scimago. Los criterios de elección desde Scimago tienen diferentes valoraciones, no solo la cantidad sino el peso de la procedencia de las citas. Este proceso es complejo y no ajeno a la controversia, pero sin duda tiene fundamentos rigurosos para tensionar la exigencia de una investigación de vanguardia.

Conclusiones El índice Scimago deja por fuera mucha información de la producción mundial. De hecho el modo como se valoran unas u otras publicaciones plantea un efecto depredador: una vez las publicaciones de mayor nivel se posesionaron, las citaciones entre ellas refuerzan de un modo endógeno la puntuación. Cada vez es más complicado romper este circuito cerrado. No obstante, este índice recoge con mucho rigor la mejor producción mundial en las diversas disciplinas, en un proceso que es bastante complejo en sí mismo. Se requiere de un debate mundial

para mejorar estos índices, en principio un debate desde la disciplina misma, pero incluso, desde los contextos de producción. Más allá de estos comentarios, tanto la difusión, producción y calidad de la producción académica en Colombia y América Latina presentan una gran distancia con respecto a la élite mundial. El nivel de complejidad, aplicación y sistematización de las investigaciones, por ende, su vinculación con el desarrollo en nuestros países, son temas centrales inmediatos a discusión en nuestras instituciones.

Referencias Bourdieu, P. (2012). Capital simbólico y magia social. México, Siglo XXI Editores. Bunge, M. (2005). La ciencia, su método y su filosof ía. Buenos Aires, Debolsillo. Habermas, H. (1997). Conocimiento e interés. Introducción. Estudio y traducción de M Jiménez Redondo. Valencia, Universidad de Valencia.

Torres-Alfonso, A. (2014). Impacto y productividad de las publicaciones latinoamericanas sobre matemática educativa. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas – UCLV, Cuba. SCImago. (2017). SJR — SCImago Journal and Country Rank. Recuperado, abril 15 de 2016. http://www.scimagojr.com

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Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia

Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia sobre el uso de las matemáticas en su disciplina Perception of the professors from the School of Economics at the National University of Colombia about the use of the mathematics in their discipline Diana Galeano Vitery, Luis Gamboa Gómez, María González Rodríguez, Karen Meneses Romero, Carolina Poveda Clavijo, Yinessa Ruiz Garcés y Leidy Sanabria Laguado*

Citar este artículo como: Galeano, D., Gamboa, L., González, M., Meneses, K., Poveda, C., Ruiz, Y. y Sanabria, L. (2016). Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia. Revista Papeles, 8(16), 72-85. Fecha recibido: octubre 30 de 2016. Fecha aprobado: diciembre 10 de 2016. *

Estudiantes de Economía y Administración de Empresas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudio llevado a cabo en el curso Metodología de la investigación, bajo la dirección del profesor Enrique Ferrer-Corredor. Correos electrónicos: Diana Galeano Vitery: dcgaleanov@unal.edu.co; Luis Gamboa Gómez: lfgamboag@ unal.edu.co;María González Rodríguez: mapgonzalezro@unal.edu.co; Karen Meneses Romero: k rmenesesr@ unal.edu.co; Carolina Poveda Clavijo: cpovedac@unal.edu.co; Yinessa Ruiz Garcés: yimruizga@unal.edu.co; Leidy Sanabria Laguado: lasanabrial@unal.edu.co.

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Galeano, D., Gamboa, L., González, M., Meneses, K., Poveda, C., Ruiz, Y. y Sanabria, L.

Resumen El presente escrito es el resultado de una investigación (septiembre de 2016) mediante la cual se buscó conocer la perspectiva del uso de las matemáticas en la economía desde algunos profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia a través de la aplicación de un cuestionario, con el fin de realizar un diagnóstico crítico, mediante el análisis de las respuestas obtenidas, teniendo en cuenta los conceptos de aceptabilidad, uso, pertinencia y cientificidad que cada uno tiene sobre las matemáticas en la economía, además de la revisión de referentes teóricos, tales como Gabriel Misas Arango, José Félix Cataño, entre otros. Palabras clave: uso de las matemáticas, economía, cientificidad, pertinencia, aceptabilidad.

Abstract This paper is the result of a research that aims to know the perspective of some professors from the School of Economics at the National University of Colombia through the application of a questionnaire, in order to make a critical diagnosis, by analyzing the responses obtained, taking into account the concepts of acceptability, use, relevance and scientific nature that each one of the professors have about mathematics in economics. Besides, it also aims to make a theoretical review such as Gabriel Misas Arango, José Félix Cataño, among others. Keywords: use of mathematics, economy, scientific nature, relevance, acceptability.

Introducción Es evidente que muchas ciencias se apoyan en las matemáticas, y la economía no es la excepción. Las matemáticas en economía son utilizadas para la elaboración de modelos, predicciones, explicación de teorías, definición de políticas económicas con base en resultados obtenidos por los modelos estudiados y analizados previamente, entre otras aplicaciones. Las matemáticas son entonces un instrumento relevante dentro de esta ciencia, es por esto que los estudiantes de economía reciben una base sólida de conocimientos sobre dicho instrumento durante toda su carrera universitaria. No obstante, cuando se habla de las ciencias sociales (refiriéndonos a la clasificación de la economía en la actualidad), el objeto de estudio varía, dificultando medir los fenómenos sociales con exactitud. De esta manera, las matemáticas pueden arrojar resultados alejados de la realidad en comparación

al contexto social que se presenta en determinado momento de la historia. Lo anterior hace reflexionar sobre si las matemáticas vistas durante la carrera de economía en la Universidad Nacional se pueden llevar a la práctica para la solución de problemas, siendo utilizadas con éxito y precisión para la explicación de fenómenos estudiados. Para resolver esta inquietud se realizaron entrevistas tanto presenciales como virtuales a los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia, para que desde su experiencia compartieran su opinión sobre el uso de las matemáticas en su disciplina, teniendo en cuenta sus beneficios, sus limitaciones y su enseñanza en la universidad. Objetivo general: identificar y reconocer la percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de

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Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia

Colombia sobre el uso de las matemáticas en su disciplina a partir de la consulta de sus opiniones. Objetivo específico: caracterizar variables conceptuales que se puedan abstraer de la percepción de los docentes, para identificar puntos clave frente al uso de las matemáticas en economía. De esta manera se dará a

conocer la importancia y el desarrollo que han tenido las matemáticas en la economía.

Pregunta de investigación ¿Cuál es la percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia sobre el uso de las matemáticas en su disciplina?

Hipótesis de partida Las matemáticas en la economía se entienden como un instrumento en el estudio de sus teorías; sin embargo, el abuso de este lo convierte en el fin mismo de la economía, e interfiere con el análisis de la realidad y los sistemas planteados por esta ciencia. Por un lado, las matemáticas se caracterizan por desarrollarse como un ente de posibilidades y variables estrictas y limitadas y, por otro, la economía es una ciencia social, en donde los comportamientos no son limitados, ni poseen una variable única, sino, por el contrario, presentan un sin fin de factores que pueden influir en un entorno en dichos comportamientos, impidiendo el control completo del contexto. Con lo anterior se puede suponer que las matemáticas únicamente son una herramienta que al ser utilizada en exceso puede interferir drásticamente con el análisis, la descripción y conclusiones de la realidad, perdiendo de vista el objeto de estudio principal de la economía. Variable dependiente: cada uno de los profesores como expresión del conjunto de conceptos. Variable independiente: las concepciones que tienen los profesores sobre la aceptabilidad, uso, pertinencia y cientificidad de las matemáticas en la economía.

Cientificidad La ciencia, de acuerdo con Mario Bunge (1959, p. 6), es un “creciente cuerpo de ideas

que puede caracterizarse como el conocimiento racional, sistemático, verificable y por consiguiente falible”. Las características anteriores nos permiten entender que no todo conocimiento es ciencia y que este adquiere un carácter limitado, ya que depende tanto de su objeto de estudio como de la metodología para poder ser categorizado como ciencia. Teniendo en cuenta lo anterior, cabe preguntarnos qué es economía y cuál es su naturaleza científica. Existen múltiples definiciones en torno al concepto de economía; sin embargo, una de las más completas es: La economía es la ciencia que estudia cómo los recursos escasos se emplean para la satisfacción de las necesidades de los hombres que viven en sociedad; se interesa, por un lado, en las operaciones esenciales tales como la producción, la distribución y el consumo de los bienes y, por otro, en las instituciones y las actividades que tienen por objeto facilitar dichas operaciones (Malinvaud, 1981, p. 13). Las matemáticas surgen en la actualidad como un lenguaje de axiomas que brindan imparcialidad y formalizan el estudio de la economía, como se expone a continuación: la ciencia económica demanda hoy en día, segunda década del siglo XXI, más economistas que no basen su argumentación en la retórica y fama (merecida o no) de cierto autor o autores desarrollada en sus obras, sino en los resultados ofrecidos por las herramientas matemáticas (Reveles, 2015, p. 140).

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Galeano, D., Gamboa, L., González, M., Meneses, K., Poveda, C., Ruiz, Y. y Sanabria, L.

Pese a que muchas de las teorías económicas de autores como Adam Smith, David Ricardo, Malthus, Marx y Keynes no fueron realizadas por medio de las matemáticas, o mediante el uso de estas, actualmente el carácter científico que la economía adquiere corresponde a la cantidad de matemáticas empleadas y al formalismo de las mismas.

La economía, al igual que otras ciencias, busca explicar fenómenos de la realidad y a estas explicaciones se llega por medio de experimentos.

Uso de las matemáticas La economía busca realizar predicciones sobre posibles comportamientos en los hechos económicos, como por ejemplo la inflación, el desempleo, la tasa de interés, entre otros. Sin embargo, existe en torno a la predicción ciertas dificultades, como se muestra en el siguiente fragmento: “Dif ícilmente pueda alcanzarse un nivel de precisión cercano al de la f ísica, la medicina o aún la meteorología. En realidad, es mucho más defendible la predicción cualitativa –el signo del cambio– que la cuantitativa -su magnitud” (Becker, 2016, p. 5). Pese a lo anterior, el autor reconoce que actualmente los cambios en las tecnologías y nuevas técnicas econométricas han permitido un mejoramiento en la capacidad predictiva. Por otro lado, la economía, al igual que otras ciencias, busca explicar fenómenos de la realidad y a estas explicaciones se llega por medio de experimentos; sin embargo, no cuenta con la posibilidad de llevar a cabo experimentos en laboratorios como las otras ciencias y es allí donde aparecen las matemáticas como mecanismo para realizar modelos aplicables a la realidad: resulta evidente que los economistas al no contar con el beneficio de un laboratorio para experimentación como los químicos o los biólogos no pueden aislar variables, variar condiciones y circunstancias, por lo que necesitan a la par de la f ísica teórica a las matemáticas como medio para encontrar los patrones y generalidades que permitan simular escenarios de la realidad a través de los modelos (Reveles, 2015, p. 140).

Pertinencia La pertinencia de las matemáticas en la economía surge de la importancia que estas han adquirido para sustentar teorías por medio de modelos capaces de explicar eventos económicos. Hoy en día, muchas de las teorías están basadas en fundamentos matemáticos, por lo que resulta inaudible enseñar estos fundamentos a los estudiantes y futuros economistas. Relacionado con lo anterior, se explica en el siguiente fragmento la importancia que adquieren las matemáticas: comúnmente se piensa que la economía, más que cualquier otra disciplina social, se ocupa de cantidades mensurables (cantidad de dinero, precios, producción). No es sorprendente entonces que muchos economistas supongan que las matemáticas son esenciales para la ciencia económica y sean optimistas acerca de que la economía podrá tener grandes éxitos matemáticos (Lawson, 2016, p. 43). En contraste con lo anterior, surgen objeciones en las matemáticas, calificando el uso de estas como desmedido, tanto en la enseñanza como en la aplicación económica, por lo que convierten a las matemáticas en un fin y no en un medio.

Aceptabilidad La palabra aceptabilidad adquiere un conjunto de propiedades entre las que se encuentra la capacidad de algo para poder ser aceptado. Basado en esto, la aceptación

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de las matemáticas en la economía nace de la capacidad de ser un instrumento utilizado en la aplicación de teorías económicas; sin embargo, no sólo se usa en la aplicación sino también en la divulgación de estas, convirtiendo a las matemáticas no únicamente en un instrumento sino también en un lenguaje propio de los economistas y de quienes buscan entender las teorías. Adicional al carácter lingüístico de las matemáticas, estas contribuyen a la creación de la teoría misma:

La matemática en economía no únicamente se reduce a la tarea de “traducir” enunciados de tipo lingüístico, verbales a enunciados de tipo simbólico, matemático […] No, la relación entre economía y matemática es de carácter constituyente. Moldea las ideas y les imprime un significado y una significancia distinta (Sánchez, 2003, p. 181). Desde este punto de vista las matemáticas trascienden en la economía y toman un lugar protagónico en ella.

Metodología Para el desarrollo de la investigación se implementaron instrumentos de naturaleza cualitativa, con el fin obtener la perspectiva de los profesores de economía sobre el uso de las matemáticas en su disciplina. El cuestionario fue diseñado para evaluar el grado y la eficacia del uso de las matemáticas en la economía.

Secciones del cuestionario Primera sección (preguntas de respuesta cerrada): en esta sección se comprende las preguntas numeradas desde la uno (1) hasta la cinco (5), las cuales tienen dos objetivos: el primero es identificar variables cuantitativas

Tabla 1. Ficha técnica Población objetivo

Profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia.

Muestra

10 profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia.

Cualidad de la muestra

8 profesores dentificados, 2 profesores anónimos.

Objetivo del cuestionario

El cuestionario tiene como objetivo caracterizar las variables conceptuales que se encuentran en la perspectiva de los docentes sobre el uso de las matemáticas en su disciplina.

Lugar de aplicación

Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá.

Fecha

Lunes 17 de Octubre a jueves 10 de Noviembre.

Número de preguntas formuladas

8 preguntas, en las cuales se encuentran 5 preguntas cerradas (opción múltiple) y 3 abiertas (opinión individual).

Realizada por

Galeano, Diana; Gamboa, Luis; González, María; Meneses, Karen; Poveda, Carolina; Ruiz, Yinessa; Sanabria, Leidy.

Fuente: elaboración propia de los autores

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Galeano, D., Gamboa, L., González, M., Meneses, K., Poveda, C., Ruiz, Y. y Sanabria, L.

que permitan conocer el punto de vista del docente respecto al uso de las matemáticas en su vida como profesional; el segundo es conocer su postura frente a los rasgos que se delimitaron en la hipótesis de la investigación y las variables conceptuales que se buscan caracterizar con la misma, como lo son la cientificidad, aceptabilidad, el uso y la pertinencia de las matemáticas en economía. Segunda sección (preguntas de respuesta abierta): en esta sección se formulan tres preguntas: la primera de ellas da un espacio para que el docente exponga las limitaciones que ha encontrado al usar las matemáticas en su disciplina; la segunda y tercera buscan comprender la postura y opinión de los docentes frente a una problemática planteada por los autores Gabriel Misas Arango y José Félix Cataño sobre el divorcio de la economía del mundo real y el uso desmedido de las matemáticas, respectivamente.

Análisis poblacional Para la muestra de la población se eligieron profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia de diferentes cursos en el programa de economía. Con el propósito de analizar dicha población se recolectaron datos como el nombre, edad, nacionalidad y estudios realizados. El rango de edad de los profesores se encuentra entre los 30 y 65 años, con predominancia en el género masculino y en su mayoría de nacionalidad colombiana. De los datos recolectados sobre los estudios realizados por los docentes se conoce que seis de ellos tienen pregrado en Economía; sin embargo, también algunos de ellos poseen otros títulos en carreras como administración de empresas, licenciatura en f ísica, ingeniería mecatrónica y psicología. Lo anterior no tiene en cuenta a los profesores que contestaron de forma anónima (para mayor información consultar los anexos).

Resultados de la investigación Con el fin de realizar un diagnóstico crítico mediante el análisis de las respuestas obtenidas de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia, se trabajaron cuatro conceptos: uso, pertinencia, cientificidad y aceptabilidad de las matemáticas en economía. La utilidad de las matemáticas en economía El uso de las matemáticas vistas en la profesión de economía tienen gran influencia en aspectos del desarrollo de la vida laboral de los economistas, por este motivo la percepción del uso exitoso de las matemáticas en el campo laboral de los entrevistados es uno de los puntos de análisis para entender la concepción de los profesores de economía sobre la herramienta anteriormente mencionada. Teniendo en cuenta que se consultaron profesores que brindan distintos cursos con diferentes enfoques y temáticas en el área de

economía, como fundamentos de economía, seminarios de filosof ía y economía, aplicaciones empíricas de la teoría del consumidor, desarrollo económico, macroeconomía, microeconomía, trabajo de grado, entre otros, se pueden comprender las diversas respuestas sobre el porcentaje con el que se hace uso de las matemáticas en su profesión o enfoques a los que se dedican. El uso que ellos puedan darle a una herramienta como las matemáticas en gran medida dependerá de la asignatura a la que se dediquen, ya que no todos los cursos dentro de la malla curricular de un economista tienen la misma carga cuantitativa. Lo anterior respalda los resultados, donde se observó que tres profesores (el 30% de la muestra),manifestaron que el porcentaje de las matemáticas vistas durante la carrera que posteriormente son utilizadas en su profesión era medio, y las respuestas que representaban alto y bajo porcentaje fueron

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escogidas cada una por dos profesores (el 20% cada una). La única diferencia se puede contemplar en el hecho de que dos profesores (el 20% de la muestra) aseguraron que el porcentaje de matemáticas utilizadas en su profesión es muy alto, mientras que solo un profesor (el 10% de la muestra) sostuvo que el porcentaje era poco. Gráfico 1. Porcentaje de las matematicas estudiadas usadas con éxito por los profesores Poco 10% Bajo 20%

Muy alto 20% Alto 20%

Medio 30%

Fuente: elaboración propia

El uso de las matemáticas en la economía se puede concebir de dos maneras distintas: por un lado, como un instrumento (explicación y formalización básica de la economía para el sustento de algunos modelos y teorías) y, por otro, como un fin en sí mismo (la necesidad exagerada y pretenciosa de clasificar a la economía como ciencia a través del uso único y exclusivo del método matemático). Teniendo en cuenta lo anterior, la opinión de los profesores a los que se les realizó la entrevista es la siguiente: en su gran mayoría opinan que las matemáticas deben entenderse y utilizarse como una herramienta y no como un fin en sí mismo. De este modo, la adecuada proyección y ejecución de métodos matemáticos en una teoría o análisis económico depende de los objetivos a investigar o postulados a proponer, como lo mencionó uno de los catedráticos “Es importante manejar este conocimiento (refiriéndose a las matemáticas) como herramienta que sirve para

presentar y analizar cierto tipo de problemas y aspectos de la realidad económica, pero no reemplaza la realidad ni es la realidad”. Reconociendo a las matemáticas como un instrumento de la economía, se hace necesario mencionar que la intuición económica (como lo mencionaron los profesores) es la adecuada para relacionar teorías y concepciones cuantitativas como postulados de análisis con relación a la realidad que persiste en un momento determinado de la historia; de esta manera, podría reconocerse a dicha herramienta no como un problema sino, por el contrario, como una posible solución. El problema particular que tiene la economía, según la percepción de los profesores, es que en muchas de las universidades o de los estudios realizados sobre esta área del conocimiento, únicamente muestra una pequeña parte de las teorías, modelos y análisis económicos, como lo mencionó en la entrevista el profesor Álvaro Zerda: “Donde solo se enseña una visión del mundo ortodoxa con base en modelos económicos que poco tienen que ver con la realidad”.

Las matemáticas como herramienta pertinente Los economistas trabajan en modelos matemáticos que les permiten llegar a predicciones para poder determinar situaciones de crisis o posibles resultados frente a un cambio en alguna de las variables económicas. Uno de los problemas que pueden tener estos modelos surge de su metodología, la cual consta en plantear teorías y luego contrastar sus predicciones en la experiencia: La predicción en nuestra disciplina presenta particulares dificultades. Dif ícilmente pueda alcanzarse un nivel de precisión cercano al de la f ísica, la medicina o aún la meteorología. En realidad, es mucho más defendible la predicción cualitativa –el signo del cambio– que la cuantitativa –su magnitud. Pese al uso de cada vez más

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Galeano, D., Gamboa, L., González, M., Meneses, K., Poveda, C., Ruiz, Y. y Sanabria, L.

sofisticadas técnicas econométricas y de más versátiles programas de computación el impacto en el mejoramiento de la capacidad predictiva ha sido escaso (Becker, 2016, p. 5).

es útil y en otras no, un 20% de los profesores manifiesta una posición negativa frente al uso de las matemáticas en la predicción económica (calificación 1 y 2) y un 40% en una posición positiva (calificación 4 y 5).

Aun así, el proceso es más complejo, pues los economistas parten de supuestos matemáticos y simplificadores de la realidad que llevan un descarte de predicciones no cumplidas en el proceso de contrastación teórico-empírico; pese a esto, “el economista aplica lo que Hausman denomina el principio del eslabón débil: cuando una conclusión falsa depende de un número de premisas inciertas atribuya el error a la más incierta de éstas” (Becker, 2016, p. 3). Así, aunque en la experiencia los modelos matemáticos fallen, se siguen usando.

Cabe aclarar que las matemáticas son un instrumento que permite abstraer la realidad por medio de modelos, pero estos no explican la realidad, lo cual limita su aplicación en el contexto social. Para verificar el enunciado anterior se preguntó a los profesores sobre las limitaciones que han encontrado a la hora de utilizar las matemáticas en economía.

Para observar la percepción de los docentes frente a esta polémica de precisión en las predicciones basadas en modelos matemáticos se les preguntó sobre la eficacia del uso de las matemáticas como elemento de predicción económica, obteniendo los siguientes resultados: Gráfico 2. Eficacia del uso de las matemáticas como elemento de predicción económica 5 10%

1 10%

2 10%

4 30% 3 40%

Fuente:elaboración propia

De lo anterior se determina que solo el 10% de los profesores da un alto grado de confiabilidad a los modelos matemáticos, un 40% está de acuerdo con un nivel de calificación neutral, lo que permite deducir que en algunas ocasiones el uso de las matemáticas en las predicciones

En resumen, la respuesta de los profesores es la siguiente: la mayoría de los docentes, desde el punto de vista económico, opinan que los modelos económicos son alejados de la realidad. Lo anterior se debe, por un lado, al poco fundamento teórico de la economía para ser utilizado de manera precisa en los modelos formulados y, por otro, a que las matemáticas limitan los supuestos de los cuales se parte para elaborar un modelo económico, ya que no todas las situaciones ni factores, como juicios de valor, el poder y los diferentes contextos sociales se pueden expresar matemáticamente debido a la carencia de información oportuna, verificable y desagregada. Además, el hecho de utilizar demasiado las matemáticas hace que se conviertan en el fin de la economía, las cuales llegan a reemplazar a la realidad misma. Algunos de los profesores, desde el punto de vista pedagógico, opinaron que a la hora de enseñar, sus estudiantes no están lo suficientemente preparados para comprender y utilizar el recurso de las matemáticas, lo cual puede deberse a que ellos se saltan prerrequisitos que luego son necesarios para un determinado curso; lo anterior conlleva a que gran parte de sus alumnos tiendan a evitar el uso las matemáticas. A diferencia de las respuestas anteriores, dos profesores manifestaron no encontrar alguna limitación a la hora de utilizar las matemáticas en su disciplina, pues las consideran muy útiles.

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Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia

Las matemáticas y el carácter científico de la economía Teniendo en cuenta que la economía es una ciencia social y, por lo tanto, a diferencia de la f ísica, la química, entre otras, no puede ser estudiada en un laboratorio, debe acudir al uso de las matemáticas en la implementación de modelos y elaboración de proyecciones que permitan acercarse a futuros sucesos económicos. Por lo anterior, las matemáticas brindan un acercamiento a la realidad, creando así un carácter científico en la economía. Sin embargo, un 40% de los entrevistados manifiesta estar poco de acuerdo con la anterior afirmación, frente a un 20% que dice estar muy de acuerdo. Los porcentajes obtenidos permiten analizar que pese a que se reconoce el uso de las matemáticas en la profesión, los profesores no reconocen a las matemáticas como fundamental para considerar a la economía una ciencia. Adicionalmente, 20% de los docentes están de acuerdo con que las matemáticas le dan el carácter científico a la economía y el 20% restante considera la anterior afirmación como aceptable. Gráfico 3. Cientifiddad de la economía por medio de las matemáticas Muy de acuerdo 20%

Poco de acuerdo 30%

De acuerdo 20% Aceptable 20%

Fuente:elaboración propia

Actualmente se encuentra presente el debate sobre el divorcio de la economía con la realidad, a causa del excesivo uso de las matemáticas. Para sustentar esta afirmación se tomó como referencia el texto de Gabriel Misas Arango: El campo de la economía y la formación de

economistas (2004) y, para ser más precisos, la cita “la enseñanza de la economía en las escuelas de graduados estaba divorciada del mundo real de la economía”, en donde se da la posibilidad a los profesores de argumentar si se estaba o no de acuerdo con esto; además, para establecer una conexión entre lo mencionado y la realidad en la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia. Atendiendo lo anterior, la opinión de los profesores en términos generales es la siguiente: La mayoría de ellos están de acuerdo con la afirmación citada en la pregunta y coinciden en que la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia se encuentra enfocada en la enseñanza de la teoría neoclásica, la cual se basa en un mundo hipotético e ideal, que busca y tiende a usar excesivamente las matemáticas como instrumento de formalización y cientificidad, con lo cual argumentaron que se ha convertido a las matemáticas en un instrumento privilegiado e incluso al que se le rinde culto. Además, expresaron que esto se ve reflejado en las publicaciones de la revista de la facultad y en el plan de estudios del pregrado de economía. Esta tendencia de dar poca relevancia a las coyunturas y análisis reales se refleja en asignaturas tales como macroeconomía, microeconomía y econometría. Gran porcentaje de los docentes también concuerdan en que es prudente y sensato conocer los límites y fronteras de los modelos y de la teoría misma, además de tener clara la diferencia entre los supuestos que cumplen una función formal de aquellos con alcance más sustantivo. Uno de los catedráticos argumentó que la manera correcta de enseñanza es aquella que sea pluralista, donde se muestran otras teorías, como la institucionalista, postkeynesiana, etc. Algunos argumentaron que si bien este pluralismo en la enseñanza se encuentra en los posgrados de la facultad, este sigue siendo en una proporción mínima. Asimismo, en tales posgrados se encuentra ampliamente la tendencia del análisis de la economía estándar, que es fuertemente dependiente del modelaje

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matemático. En contraste a lo anterior, uno de los docentes expresó que el divorcio de la teoría con la realidad es independiente de que se use o no las matemáticas en economía.

La aceptabilidad de las matemáticas en la economía En la economía se usan las matemáticas para desarrollar teorías, analizar y comprender los diferentes problemas que suceden en la sociedad, como por ejemplo establecer cómo se asignan los recursos, determinar los costos de producción, distribución y consumos de bienes y servicios; permitirnos hacer predicciones acerca de un acontecimiento, etc. Por lo tanto, podemos decir que las matemáticas son una herramienta base de esta ciencia social. Uno de los temas relevantes con relación a la percepción de los docentes es reconocer las consecuencias que consideran de mayor importancia a partir del uso excesivo de las matemáticas. Mostramos en la siguiente gráfica (véase la gráfica 4), en la cual se realizaron 4 afirmaciones, quienes se deberían calificar de uno (1) a cuatro (4) con respecto al nivel en que cada uno de los entrevistados considera la mayor consecuencia al problema anteriormente mencionado (el uso excesivo de las matemáticas), otorgando el número uno (1) a la consecuencia principal y al cuatro (4) como menos relevante. Gráfico 4. Consecuencias del uso excesivo de las matemáticas 7 6 5 4 3 2 1 0

El divorcio de la economía con la realidad

La matemática en economía se convierte en un fin en sí mismo 1

Fuente:elaboración propia

Facilidad de comprensión de las teorías económicas 3

Las teorías económicas adquieren un alto nivel de veracidad 4

Cabe resaltar que el 60% de los profesores opinó que la principal consecuencia del uso excesivo de las matemáticas en la disciplina es que se convierten en un fin en sí mismo, dejando de ser consideradas como un medio para llegar a desarrollar procesos eficientes y eficaces en la economía y el análisis de estos. Las consideraciones de que la teoría económica adquiere un alto nivel de veracidad es una de las consecuencias menos relevantes según el 40% de los profesores entrevistados, al igual que la afirmación de que las matemáticas facilitan la comprensión de las teorías económicas, en donde además de eso es reconocida en comparación a las demás aseveraciones como una de las consecuencias menos relevantes según la opinión de los profesores. Realizando un análisis jerárquico según las respuestas obtenidas, la principal consecuencia que consideran ante el uso excesivo de las matemáticas en la economía es que las matemáticas se convierte en un fin en sí mismo para la aplicación de teorías propuestas, en donde el análisis y contexto económico tienen como principal función adaptarse a los modelos matemáticos. Como segunda consecuencia se tiene al divorcio de la economía con la realidad, la cual está relacionada en gran medida con la afirmación anteriormente explicada, puesto que si se reconoce a las matemáticas como un fin en sí mismo se pretende que la realidad se adapta a los modelos y no que los modelos expliquen o ayuden a comprender la realidad económica de una determinada etapa económica. La tercera consecuencia es que las teorías económicas adquieren un alto nivel de veracidad y, por último, la menos relevante es la facilidad que permite la comprensión de teorías económicas a través del uso exagerado de las matemáticas. La principal función de los supuestos económicos es la de simplificar las situaciones reales para hacer más fácil su estudio, en muchas ocasiones mediante la reducción de elementos que no sean relevantes para el análisis y así solo tomar lo imprescindible para

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Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia

investigar. Además, la gran mayoría de los supuestos hacen uso de las matemáticas como herramienta de observación; esto genera una considerable cantidad de teorías económicas que desean comprender los fenómenos de la realidad. Mientras muchos economistas consideran a los supuestos económicos basados en las matemáticas esenciales tanto para entender la realidad como predecir la misma, otros consideran que estos brindan una percepción incorrecta del mundo real y que no siempre pueden representar los fenómenos de la sociedad (economía heterodoxa). Se consultó a los profesores sobre la frecuencia con la que ellos encontraban limitaciones a la hora de percibir la realidad haciendo uso de supuestos económicos basados en las matemáticas, obteniendo las respuestas que se observan en el gráfico 5: Se observa que los resultados son dispersos. Aun así se pueden contemplar ciertas inclinaciones: mientras dos profesores (20% de la muestra) aseguraron que siempre se encontraban con limitaciones a la hora de usar los

Gráfico 5. Frecuencia de las limitaciones al percibir la realidad usando supuestos matemáticos Nunca 10%

Siempre 20%

Rara vez 30%

Casi siempre 20% A veces 20%

Fuente:elaboración propia

supuestos económicos basados en las matemáticas, solo uno (10% de la muestra) manifestó que nunca había encontrado limitaciones. Adicionalmente, 30% de los profesores considera que rara vez se presentan limitaciones usando supuestos económicos para percibir la realidad. Tanto la opción a veces y casi siempre alcanzaron el 20% de la muestra, cada una.

Conclusiones • Con los resultados anteriormente expuestos se puede concluir que la percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad de Nacional de Colombia sobre el uso de las matemáticas en su disciplina se relaciona en gran medida con la aceptabilidad y pertinencia adecuada de los métodos o modelos económicos para el análisis y la debida utilización de las matemáticas en dichos factores, además de la influencia que tiene la enseñanza de modelos claramente alejados de la realidad y de las primeras concepciones económicas que cada uno de los participantes obtuvo en sus primeros acercamientos a la economía.

predicción económica; de esta manera se hace fundamental su uso en la actualidad, resaltando la importancia de conocer las grandes limitaciones que existen entre la postulación de modelos idílicos (llenos de contenido cuantitativo demostrables y experimentales), los cuales malinterpretan la utilización de las matemáticas como un fin en sí mismo, y los modelos que toman a las matemáticas como una herramienta de desarrollo que permite una percepción menos cuantitativa y más cualitativa en relación a la realidad y al contexto al cual se le pretende realizar un análisis económico.

• Las matemáticas en la economía son reconocidas en su gran mayoría como un instrumento que formaliza y ayuda a reconocer o realizar métodos de análisis y

• En cuanto a la idea de que las matemáticas en la economía son aquel instrumento por el cual se le da el carácter científico y el reconocimiento para ser considerada una

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ciencia exacta, similar a las ciencias naturales, es una idea en su mayoría descartada considerando la opinión de los profesores entrevistados, pues independiente del empleo de dicha herramienta, la economía tiene otros instrumentos que le dan el carácter científico, considerando, de la misma manera, los límites que tienen los modelos matemáticos al momento de estudiar “cómo los recursos escasos se emplean para la satisfacción de las necesidades de los hombres que viven en sociedad” (Malinvaud, 1981, p. 13). • Las matemáticas deben ser una herramienta que ayude a la solución de los problemas planteados por la economía. Dicha herramienta debe estar acompañada del análisis de los determinados contextos sociales para lograr una interpretación más exacta de la realidad. para que dicha herramienta cumpla su función es necesario la

prudencia en su uso, en donde no se pretende prescindir de ella, pues la carencia de estas causaría una teorización económica sin herramientas de predicción. Tampoco se pretende que las matemáticas sean utilizadas de manera desmedida, homogeneizando el análisis económico a través de modelos estrictamente cuantitativos que impidan reconocer los verdaderos problemas de un contexto económico social. • Para que los estudiantes de economía puedan desempeñarse en las distintas áreas de la economía, en opinión de los profesores, sería adecuado que durante toda la carrera universitaria se les enseñen distintos enfoques de la economía, los cuales permitan generar puntos de vista críticos y así reconocer otras herramientas (además de las matemáticas) que se puedan utilizar con éxito al enfrentarse al análisis de la realidad social.

Referencias Beker, V. A. (8 de Noviembre de 2016). Asociación Argentina de Economía Política . Obtenido de http://www.aaep.org.ar/anales/works/works 2001/beker.pdf Bunge, M. (1959) La ciencia. Su método y su filosofía, Argentina: Sudamericana. Cataño, F. (2001) Discusión francesa sobre la enseñanza de la economía. Cuadernos de Economía 35, Bogotá: Facultad de Ciencias Económicas, Universidad Nacional de Colombia. Lawson, T. (8 de Noviembre de 2016). Revista de Economía Institucional. Obtenido de http:// www.economiainstitucional.com/esp/vinculos/ pdf/no30/tlawson.pdf

Malinvaud, E. (1981): Lecciones de teoría económica, Ed. Ariel, Barcelona. Misas, G. (2004) “El campo de la economía y la formación de los economistas”, Cuadernos de Economía 40, Bogotá: Facultad de Ciencias Económicas, Universidad Nacional de Colombia. Reveles, A. N. (8 de Noviembre de 2016). Facultad de Economía. Universidad Nacional Autónoma de México. Obtenido de http://www.economia. unam.mx/assets/pdfs/econinfo/390/10 negretereveles.pdf Sánchez, H. (Marzo de 2003). Fundación Universidad Autónoma de Colombia. Obtenido de http://www.fuac.edu.co/download/revista_economica/volumen_1n1/9-utilidad-ok.pdf

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Colombiana

Extranjerootra

Enrique Antonio 57 López Enciso

Francesco Bogliacino

Manuel José Antonio Muñoz Conde

Stanley Simon Malinowitz

Anónimo Anónimo

Seminarios de filosof ía y economía Aplicaciones empíricas de la teoría del consumidor/ Microeconomía II / trabajo de grado

Colombiana

Edgar Oswaldo 62 Bejarano Barrera

Extranjerootra

Colombiana

Trabajo de grado

Colombiana

Diego Alejandro Guevara 31 Castañeda

Pregrado

Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá

Fundación Universidad Central Ingeniería Mecatrónica

Economía

Universidad Programa Universidad Distrital Licencia en “Francisco José de Caldas Física Universidad Nacional de Economía Colombia - Sede Bogotá

Fundamentos de Economía

Economía e Comercio

Economía

State University of New York at Binghamton

Economía

Programa

-Universidad de los Andes - Uniandes

ENSAE

Educational University of Arizona Pychology

Economics

-Economía

Teoría Económica

Universidad Nacional Ciencias de Colombia - Sede Económicas Bogota

Universidad Nacional de Colombia - Sede Economía Bogota

Georgetown University

Universidad

Maestria

Formación académica

University Massachusetts, B.A. Psychology Amherst

Universidad de los Andes Economía - Uniandes

Universidad Degli Studi Ditorino

Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogota

Economista y Desarrollo económico/ Universidad Santo Tomas Administrador trabajo de grado seccional Bucaramanga de Empresas

Macroeconomía I

Fundamentos de Economía Trabajo/ de grado

Colombiana

Macroeconomía I

Álvaro Zerda Sarmiento

Colombiana

Curso

Edad Nacionalidad

Álvaro Martín Moreno Rivas

Profesor

Anexo 1: Ficha sociológica de los profesores entrevistados.

University of Massachusetts, Amherst

Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogota

Análisis y política económica Escuela de Altos Estudios y Escuela Normal University of Pavia

Economics

Economía

Economics

Ciencias Económicas

Economía

Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá

Programa

Doctorado Universidad

84 Percepción de los profesores de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Colombia

Galeano, D., Gamboa, L., González, M., Meneses, K., Poveda, C., Ruiz, Y. y Sanabria, L.

Anexo 2: C uestionario. Preguntar y señalar en las entrevistas: Edad, nivel de estudios y lugar de estudio. Preguntas cerradas: 1.¿En qué porcentaje la matemática estudiada en la carrera es usada con éxito en su profesión? a. Muy alto

a. Siempre b. Casi siempre c. A veces

b. Alto

d. Rara vez

c. Medio

e. Nunca

d. Bajo e. Poco 2. ¿Qué tan eficaz es el uso de las matemáticas como elemento de predicción económica?

haciendo uso de supuestos económicos basados en las matemáticas?

Califique de 1 a 5 (siendo 5 la mayor calificación y 1 la menor calificación). ___________

3.¿Está de acuerdo en que las matemáticas le dan carácter científico a la economía? a. Muy de acuerdo b. De acuerdo c. Aceptable d. Poco de acuerdo 4. ¿Qué consecuencias trae el uso excesivo de las matemáticas en la economía? Escoja jerárquicamente, siendo 4 la consecuencia más relevante y 1 la menos relevante. a. El divorcio de la economía con la realidad. ___ b. La matemática en economía se convierte en un fin en sí mismo. ___ c. Facilidad de comprensión de las teorías económicas. ___ 5. Las teorías económicas adquieren un alto nivel de veracidad. ___ ¿Con qué frecuencia encuentra limitaciones a la hora de percibir la realidad

Preguntas abiertas: 6. ¿Con qué limitaciones se ha encontrado a la hora de usar las matemáticas en su disciplina? 7. ¿Cree usted en la siguiente afirmación contenida en el texto El campo de la economía y la formación de los economistas, de Gabriel Misas Arango: “la enseñanza de la economía en las escuelas de graduados estaba divorciada del mundo real de la economía”? Y si es así, ¿cómo lo puede observar en la Escuela de Economía de esta universidad? 8. En el texto Discusión francesa sobre la enseñanza de la economía de José Félix Cataño, los estudiantes de importantes universidades francesas hacen una crítica a la enseñanza de la economía, en uno de sus puntos: “¡No al uso desmedido de las matemáticas! El uso instrumental de las matemáticas parece necesario, pero el recurso a la formalización matemática, cuando ya no es un instrumento sino que se convierte en un fin en sí mismo, conduce a una verdadera esquizofrenia en relación al mundo real”. ¿Qué opina usted de esta afirmación?

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Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera

Resumen La matemática se ha caracterizado como una de las áreas más complejas del conocimiento. En muchos casos se cree que esta área, por sí sola, ejerce una gran influencia sobre la carrera, o por lo menos, el área profesional en que se desempeñará un individuo al graduarse del colegio. El presente trabajo pretende investigar el nivel de correlación entre la escogencia de carrera de un individuo y su desempeño en matemáticas tomando como muestra un grupo de estudiantes de distintas facultades de la Universidad Nacional, a los cuales se les interroga acerca de su decisión de carrera y su desempeño en el área de matemáticas en la prueba de Estado Saber 11 (ICFES). Palabras clave: influencia, matemáticas, Saber 11, elección, carrera. Citar este artículo como: Acosta, S., Almeida, A., Arias, P., Garavito, G., López, N., Posos, F. y Sibaja, A. (2016). Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera. Revista Papeles, 8(16), 86-98. Fecha recibido: octubre 20 de 2016. Fecha aprobado: diciembre 5 de 2016. *

Estudiantes de Economía de la Universidad Nacional de Colombia. Estudio llevado a cabo en el curso Metodología de la investigación, bajo la dirección del profesor Enrique Ferrer-Corredor. Correo electrónico: ggaravitom@unal.edu.co

Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Acosta, S., Almeida, A., Arias, P., Garavito, G., López, N., Posos, F. y Sibaja, A.

Abstract Mathematics has been generally recognised as one of the most complex areas of knowledge. In many cases, people believe that a student’s performance on this area exerts a great influence over the degree, or at least, the area of knowledge a student chooses to major once he graduates from High School. This academic paper intends to research the level of correlation between a student’s degree choice and his performance in mathematics. The reference frame will be a group of students from different faculties of the Universidad Nacional de Colombia, who will be surveyed about the degree they are majoring in and their performance in Mathematics in the state exam “Saber 11” (ICFES). Keywords: influence, mathematics, Saber 11, degree, choice.

Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera La elección de la profesión es un proceso arduo y meticuloso; las decisiones vocacionales se van tomando, de manera consciente o inconsciente, a medida que el aspirante se enfrenta a la compleja red de factores que debe tener en consideración. Algunos factores pesan más que otros, el individuo está siendo impulsado constantemente en una dirección u otra. Quizá, al preguntarle a un estudiante por qué eligió su carrera, este empiece a profesar su amor por la carrera. Tal afirmación es válida, y en algunos casos la plena verdad, pero a menudo existen razones subyacentes, aunque nos percatemos de ellas o no, que como una brújula orientan nuestra dirección.

Aunque puede ser afectada por características personales, como la disciplina o ambición, es indudable que la aptitud de un individuo para desempeñarse en ámbitos determinados juega un rol crucial en la toma de esta decisión de este hito en la vida. Entre estos ámbitos conclusivos destacaremos la matemática, como una de las ramas más complejas del conocimiento. Partiendo, entonces, desde los resultados obtenidos en el componente matemático del examen colombiano Saber 11 (ICFES) de los admitidos para el año 2015 a la Universidad Nacional, sede de Bogotá, esta investigación pretende responder a la pregunta: ¿cómo influye el nivel matemático de una persona en la elección de su carrera de pre-grado?

Objetivo general Realizar un análisis comparativo entre el nivel matemático de los admitidos a siete facultades de la Universidad Nacional de Colombia según

el examen colombiano Saber 11 (ICFES) y cómo este resultado incide en la escogencia de carrera de pre-grado de los alumnos.

Objetivos específicos Identificar y contrastar la distribución del puntaje ICFES en, y entre, una selección de facultades en la Universidad Nacional de Colombia. Distinguir tendencias entre la influencia percibida por los estudiantes del puntaje

matemático (ICFES) sobre su elección de carrera. Establecer una relación entre el puntaje ICFES y la propensión a escoger carreras alternativas.

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Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera

Hipótesis iniciales Al iniciar esta investigación se tiene como primera hipótesis que, en general, existe una relación directa y proporcional entre el nivel matemático del aspirante y la complejidad convencionalmente reconocida del componente de matemática en la carrera elegida. Esto se debe a que el aspirante tiende a gravitar hacia la carrera para la cual se considera más apto por naturaleza, ya que es aquella donde se siente más propenso a tener éxito. Por esta razón se espera que el nivel matemático del admitido (medido por el examen Saber 11) influya con una mayor fuerza para las carreras convencionalmente vistas como orientadas hacia las matemáticas, y con menor fuerza para las carreras

típicamente vistas como ‹ajenas› a este rama del conocimiento. Como segunda hipótesis, se plantea que a menor puntaje en el examen Saber 11, mayor la probabilidad de tener carreras alternativas. Esto se explica por el alto nivel de competencia en la Universidad Nacional de Colombia. Si un aspirante obtuvo un puntaje bajo en el ICFES, la probabilidad de sacar un puntaje suficiente en el examen de ingreso a la Nacional disminuye, por lo que el aspirante decidido a ingresar a la universidad debe contar con una carrera alternativa donde la probabilidad de ser admitido sea mayor.

Marco teórico Ante todo, para poder realizar esta investigación es necesario definir un marco teórico dentro del cual establecer la investigación. En este sentido, se definirán unos conceptos elementales a la investigación y se especificarán los parámetros de esta.

Conceptos básicos El Saber 11 es un examen de evaluación a la educación media creado por el ICFES (Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior). Esta prueba, más reconocida como “ICFES”, se aplica a los estudiantes que se encuentran cursando su último año de bachillerato para determinar su nivel y capacidad en distintas áreas de formación. El examen está dividido en cinco componentes: lectura crítica, matemáticas, ciencias naturales, sociales y competencias ciudadanas, e inglés, siendo 100 la calificación máxima por sección. Esta prueba no solo fue creada para medir la capacidad de los estudiantes, sino que es de carácter obligatorio para acceder a la educación superior en cualquier universidad

nacional. A pesar de existir diversos criterios para ingresar a la educación superior, como los son las entrevistas, los exámenes de conocimientos y puntaje global que arrojan estos exámenes son el filtro que usan varias instituciones de educación superior para admitir a los aspirantes. De este modo, entre mayor sea el puntaje, mayor la probabilidad tienen los estudiantes de ser aceptados dentro de la universidad de preferencia. Las carreras más demandadas (Cégep, 2012), como lo son medicina, ingeniería de sistemas, geología, y arquitectura, requieren un mayor puntaje, por lo que un gran porcentaje de sus aspirantes no logran entrar la carrera y/o universidad que habían elegido como primera opción. Por otra parte, cabe resaltar que la Universidad Nacional de Colombia cuenta con su propio examen de admisión, el cual evalúa competencias similares, agregando un componente de análisis de imagen, y a su vez excluyendo inglés, competencias ciudadanas y sociales. Es relevante advertir, por lo tanto, que la Universidad Nacional de Colombia no tiene

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Acosta, S., Almeida, A., Arias, P., Garavito, G., López, N., Posos, F. y Sibaja, A.

en consideración el resultado del aspirante en el examen nacional ICFES. No obstante, para efectos prácticos, se trabaja con la suposición

de que el individuo ha seleccionado una carrera de preferencia antes de aplicar a la Universidad.

Delimitación y limitaciones de la investigación La presente investigación considera únicamente los ingresados a las facultades de Artes, Ciencias, Ciencias Económicas, Ciencias Humanas, Derecho, Ciencias Políticas y Sociales, Enfermería, e Ingeniería. Esta investigación, a juicio de sus autores, cuenta con tres limitaciones principales. En primer lugar, las limitaciones derivadas de la inconsciencia personal en el proceso de toma de decisiones. Es decir, partimos del hecho hipotético de que para tomar la mayoría de decisiones cotidianas, un individuo no dedica gran parte de su tiempo. Decisiones que se han vuelto un hábito, como tener un color favorito, se vuelven connaturales a la persona (Ortiz y Zabala, 2005). De un modo similar, pero a mayor escala, la misma lógica aplica en decisiones como la carrera que estudiarás. Una persona con aptitud natural para las matemáticas gravitará hacia disciplinas donde este componente sea significativo y/o ventajoso para ella (Ortiz y Zabala, 2001). En este orden de ideas, es posible y probable que al momento de reflexionar sobre factores influyentes en la escogencia de carrera se desconozcan decisiones inconscientes, como preferencia por una disciplina derivada de la aptitud natural por ella.

La segunda limitación, fuertemente ligada a la anterior, se sintetiza en que un individuo toma en consideración una gran variedad de factores al momento de tomar una decisión, usualmente orientado a racionalizar el problema y tomar la decisión de mayor beneficio para él. Existirán siempre las decisiones “irracionales” o fundamentadas en factores aun no concretados, como lo son las emociones (Harkins & Singer, 2009). El peso de un factor no es homogéneo en todos los casos, por lo cual se debe trabajar bajo la suposición de priorización de factores, donde aquellos más ‘racionales’ ocupan un nivel jerárquico superior. Por último, la muestra seleccionada de la población total (siendo la población todos los alumnos de las facultades previamente mencionadas) es de un tamaño significativamente reducido. Esto se debe a los múltiples cambios que ha tenido el sistema de calificación del examen Saber 11 en su escala de calificación, que implica la necesidad de restringir la muestra útil a aquellos calificados bajo un sistema homogéneo. Para efectos de investigación se consideró únicamente los admitidos con resultados en el Saber 11 evaluados sobre 100.

Metodología La metodología utilizada para esta investigación fue en su mayoría cuantitativa (Hernández, et al. 2014). Los datos se recolectaron con la colaboración de estudiantes, elegidos al azar, pertenecientes de distintas facultades. Estos fueron cuestionados respecto a su escogencia de carrera, su interés

de realizar un doble programa y el nivel de influencia que, según ellos, la prueba de estado tuvo sobre su decisión de carrera, brindando cuatro categorías escalando el nivel de influencia. A partir de estas preguntas se realizó una tabulación de las encuestas que brindaron datos cuantitativos acerca de la

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Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera

correlación que existe entre los resultados en la sección de matemáticas de la prueba de estado y la escogencia de carrera de cada uno de los individuos encuestados.

Gráfica 2. Tendencia de influencia por puntaje (Ciencias) Tendencia de influencia por puntaje

El presente trabajo muestra las tabulaciones de cada uno de los datos de la encuesta por facultad y en conjunto, y establece las correlaciones pertinentes (o la falta de correlación) de manera escrita. Ninguna Influencia

Análisis por facultades Tabla 1. Ciencias Carreras a las Facultad que se le aplicó la encuesta Ciencias Matemáticas, Estadística, Física, Química, Biología.

Número de encuestas realizadas 52

Fuente: elaboración propia.

En la Facultad de Ciencias se realizaron encuestas en 52 personas. En esta facultad se encuentran los pre-grados de biología, estadística, farmacia, física, matemáticas y química. A continuación se presentarán las gráficas que arrojaron las encuestas y su análisis respectivo Gráfica 1. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Ciencias) Distribución de puntaje de ICFES 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Poca Influencia

Influencia Media

Mucha Influencia

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

Al momento de relacionar el puntaje con la influencia, se sigue la misma tendencia que en general: para la mayoría de los estudiantes, el ICFES no tuvo mayor influencia en su decisión de carrera, independientemente del resultado que obtuvieron. En la de facultad ciencias se puede ver una pequeña tendencia a que entre más puntaje se tenga, los encuestados dicen tener menos influencia del puntaje, de manera que el mayor número de personas que no proclamaron no tener ninguna influencia se encuentran en el intervalo de puntajes de 91-100. Gráfica 3: Tendencia de opción alternativa previa a la realización del examen Saber 11 en relación al puntaje (Ciencias) Opción de carrera previa al Saber 11 120 100 80 60 40 20

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

Como era de esperarse, la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional, sede Bogotá, tiene en general un mayor puntaje que el resto de la universidad en el componente matemático.

Esta gráfica muestra una relación negativamente correlativa entre el puntaje y la opción inicial de carrera. De esto se puede inferir una causación del puntaje ICFES al momento de

Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Acosta, S., Almeida, A., Arias, P., Garavito, G., López, N., Posos, F. y Sibaja, A.

decidir la carrera final. Por último, en esta facultad hay una relación clara: entre más puntaje, disminuye el número de personas con otra opción de carrera. Los autores interpretamos esto como que en la facultad de ciencias, debido al alto componente matemático de los pre-grados que se encuentran aquí, un alto puntaje en el componente matemático da más seguridad a los estudiantes en cuanto a su decisión de carrera. Tabla 2. Artes Facultad Artes

Tendencia de influencia por puntaje + X

Ninguna influencia 50-

Carreras a las que se le aplicó la encuesta Diseño industrial

Número de encuestas realizadas 32

Fuente: elaboración propia.

En la Facultad de Artes se realizaron 32 encuestas a estudiantes de diseño industrial de los primeros cuatro semestres de su carrera. A continuación se presentarán las gráficas que arrojaron las encuestas y el análisis respectivo de cada una: Gráfica 4. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Artes) Distribución de puntaje de la prueba Saber 11 12

Poca Influencia

Influencia Media

51-60

61-70

X 71-80

+ 81-90

Mucha Influencia 91-100

Fuente: elaboración propia.

Como en la Facultad de Ciencias, en artes la mayoría de estudiantes consideran que su puntaje en el componente de matemática tuvo poca o ninguna influencia en la decisión de su carrera, pero inesperadamente en esta facultad a mayor puntaje mayor percepción de los estudiantes que el Saber 11 tuvo influencia, esto podría contradecir la creencia que los estudiantes de artes eligen su carrera por falta de habilidades en otras áreas, como la matemática. Gráfica 6. Tendencia de opción alternativa previa a la realización del examen Saber 11 en relación al puntaje (Artes) 35 30 25 20

10 5

4 2 0

Gráfica 5. Tendencia de influencia por puntaje (Artes)

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia. 50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

A diferencia de lo esperado, el puntaje obtenido por los estudiantes de la Facultad de Artes en el componente de matemáticas tiende a ubicarse en los rangos más altos, comparables con facultades como la de ciencias e ingeniería.

En la Facultad de Artes, a mayor puntaje mayor era la elección de otra carrera. Para los autores, este resultado podría demostrar que la influencia del componente de matemáticas en la elección de carrera es nula, ya que los estudiantes de la Facultad de Artes tienen puntajes altos y estudian carreras que convencionalmente se consideran alejadas de la matemática.

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Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera

Tabla 3. Ciencias Económicas Carreras a las Número de que se le aplicó la encuestas encuesta realizadas Ciencias Administración de 60 Económicas Empresas, Contaduría Pública, Economía Facultad

Fuente: elaboración propia.

En la Facultad de Ciencias Económicas se aplicaron 60 encuestas. A continuación se presentarán las gráficas que arrojaron las encuestas y el análisis respectivo de cada una: Gráfica 7. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Ciencias Económicas) Distribución de puntaje Saber 11

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

Como se puede apreciar en la gráfica anterior, los estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas consideran que influyó poco el puntaje obtenido, sea cual sea el rango de puntaje en el que se encuentre. Gráfica 9. Tendencia de opción alternativa previa a la realización del examen Saber 11 en relación al puntaje (Artes) Opción de carrera previa al Saber 11 70 60 50 40 30 20 10 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

91-100

Cantidad

Fuente: elaboración propia.

Los estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas cuentan con un puntaje en matemáticas superior a 50, y la mayoría se ubica entre los rangos de 61 a 70, y de 71 a 80 (puesto que estos dos rangos tienen los mismos valores). Gráfica 8. Tendencia de influencia por puntaje (Ciencias Económicas) Tendencia de influencia por puntaje + X

Por último, es importante tener en cuenta las opciones de carrera de los estudiantes posterior a los resultados. En la siguiente grafica podemos apreciar que al igual que la influencia, independiente del rango, los estudiantes no contaban con otra opción. Y los que sí contaban con otra opción, se ubican mayormente en los rangos 61-70. Tabla 4. Ciencias Humanas Facultad

Carreras a las que se le aplicó la encuesta

Ciencias Filosof ía, Estudios Humanas Literarios, Lingüística, Español y Filología Clásica, Filología e Idiomas, Trabajo Social, Antropología, Sociología, Geograf ía, Historia, Psicología

Número de encuestas realizadas 47

Fuente: elaboración propia. X

Ninguna influencia 50-

Poca Influencia 51-60

61-70

Fuente: elaboración propia.

+ X

Influencia Media

Mucha Influencia

71-80

+ 81-90

91-100

En la Facultad de Ciencias Humanas se realizaron 47 encuestas a estudiantes. A continuación se presentarán las gráficas que arrojaron las encuestas y el análisis respectivo de cada una:

Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Acosta, S., Almeida, A., Arias, P., Garavito, G., López, N., Posos, F. y Sibaja, A.

Gráfica 10. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Ciencias Humanas)

Tabla 5. Derecho y Ciencias Políticas Carreras a las Número de que se le aplicó encuestas realizadas la encuesta Derecho y Derecho y 52 ciencias políticas Ciencias Políticas Facultad

Distribución de puntaje de ICFES 25 20 15

Fuente: elaboración propia.

10 5 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

En la Facultad de Ciencias Humanas de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, los aspirantes, en su mayoría, obtuvieron puntajes en el componente de matemáticas entre 71 y 90 puntos. Siendo este considerado un puntaje alto evidenciando que por ser una facultad de ciencias humanas no necesariamente las aptitudes matemáticas de los aspirantes son bajas. Gráfica 11. Tendencia de influencia por puntaje (Ciencias Humanas) Tendencia de influencia por puntaje +

Ninguna influencia 50-

Poca Influencia 51-60

61-70

Influencia Media X 71-80

+ 81-90

Mucha Influencia 91-100

Fuente: elaboración propia.

Siguiendo la tendencia de las anteriores facultades, en ciencias humanas los estudiantes consideran que su puntaje en el componente de matemática en la prueba Saber 11 tuvo o poco o ninguna influencia en el momento de elegir la carrera. De la misma manera, entre más puntaje más se considera que el puntaje fue irrelevante para la decisión de qué estudiar.

En la Facultad de Derecho y Ciencias Políticas se realizaron 52 encuestas a estudiantes. A continuación se presentarán las gráficas que arrojaron las encuestas y el análisis respectivo de cada una: Gráfica 12. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Derecho y Ciencias Políticas) Distribución de puntaje de ICFES 16 14 12 10 8 6 4 2 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

Se encontró que el puntaje promedio que obtuvieron los encuestados está entre 81-90, y que el mismo lo obtuvieron en su mayoría estudiantes de ciencias políticas, y que a pesar de tener un puntaje considerado alto en la prueba saber 11 (ICFES) decidieron escoger una carrera que no posee un alto contenido matemático. Gráfica 13. Tendencia de influencia por puntaje (Derecho y Ciencias Políticas) Tendencia de influencia por puntaje + X

+ X

Ninguna influencia 50-

Poca Influencia 51-60

61-70

Influencia Media X 71-80

+ 81-90

Mucha Influencia 91-100

Fuente: elaboración propia.

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Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera

Se puede identificar que independientemente del puntaje que los estudiantes sacaron en el componente de matemáticas, alrededor del 54% de la población encuestada respondió que el mismo no tiene ninguna influencia frente a la decisión de escoger carrera universitaria. Gráfica 14. Tendencia de opción alternativa previa a la realización del examen Saber 11 en relación al puntaje (Derecho y Ciencias Políticas) Opción de carrera previa al Saber 11 25 20 15 10 5 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

Con relación a la posibilidad de realizar una segunda carrera, y como esto depende del resultado del componente matemático de las pruebas saber, se puede inferir que este último no tiene ningún peso en esta importante decisión, sino que se continúa manteniendo la tendencia de elegir por motivos subjetivos.

Enfermería

Distribución de puntaje de ICFES 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

50-

51-60

Número de encuestas realizadas

Enfermería

Fuente: elaboración propia.

En la Facultad de Enfermería se realizaron 60 encuestas a los estudiantes. A continuación se presentarán las gráficas que arrojaron las encuestas y el análisis respectivo de cada una:

71-80

81-90

91-100

El presente gráfico muestra que, en esta facultad, la mayoría de los encuestados obtuvieron un puntaje promedio de entre 71 y 80 puntos. Esto quiere decir que, en promedio, los estudiantes de esta facultad estuvieron entre algunos de los percentiles más altos en el componente matemático de la prueba de estado. Gráfica 16. Tendencia de influencia por puntaje (Enfermería) Tendencia de influencia por puntaje X

50-

Carreras a las que se le aplicó la encuesta

61-70

Fuente: elaboración propia.

Ninguna influencia

Tabla 6. Enfermería Facultad

Gráfica 15. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Enfermería)

Poca Influencia 51-60

61-70

Influencia Media X

71-80

+ 81-90

Mucha Influencia 91-100

Fuente: elaboración propia.

La segunda gráfica corrobora las conclusiones ya expuestas anteriormente. Según esta, el ICFES tuvo poca o ninguna influencia para la mayoría de los estudiantes en todas las categorías, presentando unas cuantas excepciones para los estudiantes que se encuentran en los rangos de puntuación entre 51-60 y 61-70 puntos. Cabe resaltar que los casos en los que el ICFES jugó un rol importante fueron la minoría, e incluso entre los puntajes más bajos, la mayoría de los estudiantes reportó una baja correlación entre el puntaje y la carrera escogida.

Universidad Antonio Nariño • Facultad de Ciencias de la Educación

Acosta, S., Almeida, A., Arias, P., Garavito, G., López, N., Posos, F. y Sibaja, A.

Se puede evidenciar a partir de la gráfica que el grado de influencia del resultado del ICFES en la decisión de carrera es un poco mayor en los puntajes de rangos medios (61-70 y 71-80) que en los puntajes de rangos extremos (51-60 y 81-90), sin que esto quiera decir que en la mayoría de los casos el ICFES tuviese mucha influencia en las decisiones de la carrera que escogieron los estudiantes en general.

Distribución del puntaje de la prueba saber 11: En la Facultad de Ingeniería se realizaron 54 encuestas a estudiantes. A continuación se presentarán las gráficas que arrojaron las encuestas y el análisis respectivo de cada una. Gráfica 18. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Ingeniería) Distribución de puntaje de ICFES

Gráfica 17. Tendencia de opción alternativa previa a la realización del examen Saber 11 en relación al puntaje (Enfermería)

Opción de carrera previa al Saber 11

120

100

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

60 40 20 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

Finalmente, en la Facultad de Enfermería, entre más puntaje más seguridad de la carrera escogida. Podríamos afirmar que esto se debe a que en la Facultad de Enfermería la cantidad de materias con componentes matemáticos es superior a la de otras facultades; por consiguiente, los estudiantes se sienten más seguros si tienen mayor puntaje.

Gráfica 19. Tendencia de influencia por puntaje (Ingeniería) Tendencia de influencia por puntaje X

Tabla 7. Ingeniería Facultad

La gráfica ilustra una clara tendencia hacia la derecha, indicando que el puntaje matemático de la facultad tiende a ser elevado. Esto concuerda con la hipótesis que dice que a mayor puntaje, mayor la tendencia a elegir una carrera convencionalmente orientada hacia las matemáticas.

+ +

Carreras a las que se le aplicó la encuesta

Ingeniería Ingeniería Agrícola, Ingeniería Civil, Ingeniería de Sistemas y Computación, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Electrónica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Mecatrónica, Ingeniería Química

Fuente: elaboración propia.

Número de encuestas realizadas 54

X X

+ Ninguna influencia 50-

Poca Influencia 51-60

61-70

Influencia Media X

71-80

+ 81-90

Mucha Influencia 91-100

Fuente: elaboración propia.

Esta gráfica muestra que, por lo general, los alumnos de la Facultad de Ingeniería no consideraron el puntaje como un factor influyente en la decisión de su carrera.

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Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera

Gráfica 20. Tendencia de opción alternativa previa a la realización del examen Saber 11 en relación al puntaje (Ingeniería) Opción de carrera previa al Saber 11

Gráfica 22. Tendencia de influencia por puntaje (Universidad) Tendencia de influencia por puntaje + X

+ X

20 10 0

Ninguna influencia 50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Poca Influencia

50-

51-60

61-70

Influencia Media X

71-80

+ 81-90

Mucha Influencia 91-100

Fuente: elaboración propia.

La gráfica ilustra que no hay relación que se pueda inferior a simple vista, el puntaje no afecta en la elección final de la carrera.

Esta grafica muestra de manera contundente la poca relevancia, en general, del resultado matemático en el examen Saber 11 al momento de elegir una carrera. Se destaca, sin embargo, que aquellos donde la influencia fue más elevada se encuentran principalmente en el rango de 50 puntos o menos en el examen Saber 11. De un modo similar se puede observar que aquellos donde el nivel matemático tuvo menor relevancia en la decisión se encuentran primordialmente ubicados en los rangos superiores de los puntajes.

Análisis de la Universidad Gráfica 21. Número de personas en cada intervalo de puntaje (Universidad) Distribución de puntaje de ICFES 120 100 80 60 40 20 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Gráfica 23. Tendencia de opción alternativa previa a la realización del examen Saber 11 en relación al puntaje (Universidad)

Fuente: elaboración propia.

Opción de carrera previa al Saber 11

De la gráfica se puede identificar el desplazamiento horizontal hacia la derecha del acumulado de puntaje de ICFES en el componente de matemáticas que poseen los estudiantes de la Universidad Nacional de Colombia. De entrada se demuestra el alto nivel matemático de la Universidad, estando la mayoría de los encuestados en el rango de 71-80 o superior.

70 60 50 40 30 20 10 0

50-

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Fuente: elaboración propia.

Ilustrada en la gráfica se ve la tendencia a poseer una carrera alternativa a la carrera con la cual se ingresó en los rangos inferiores del puntaje ICFES en el componente de matemáticas. Aquellos con mayor puntaje demuestran menos incertidumbre en la escogencia de su carrera.

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Acosta, S., Almeida, A., Arias, P., Garavito, G., López, N., Posos, F. y Sibaja, A.

Conclusiones Analizando en su conjunto los resultados de las encuestas se han ido formando unas conclusiones que, en su totalidad, vienen a refutar nuestra hipótesis principal y comprobar nuestra hipótesis secundaria. En primer lugar se puede afirmar, de manera contundente, que la influencia del nivel matemático en la elección de carrera del estudiante de la Universidad Nacional de Colombia es notoriamente baja independientemente de la facultad de ingreso, pues la variación de la influencia percibida entre facultades es de un valor mínimo. Quizá la poca relevancia otorgada al resultado se debe a la naturaleza de entrada a la Universidad Nacional de Colombia, donde el resultado más importante no es el del ICFES sino el del examen de ingreso. La alta demanda por cupos en la universidad propone una fuerte competencia entre aspirantes, de esto modo se propondría que, a menor puntaje, menor la posibilidad de ingreso a la universidad para la carrera de preferencia. Esto a su vez explica el por qué el estudiante

de menor puntaje tiende a contar con una alternativa de carrera en caso tal de no ser admitido a su opción inicial. En coherencia con esto es posible proponer que el alto nivel de competencia opera como un filtro, donde los aspirantes, conscientes del alto nivel de competencia, o cuentan con una aptitud natural para las matemáticas que les aumente la probabilidad de ingreso a la universidad, o son excluidos de la población de admitidos incluso antes de presentar el examen de ingreso dados sus puntajes básicos en el examen nacional Saber 11. Es por esto que, independientemente de la carrera elegida, el nivel matemático del cuerpo estudiantil es de por sí elevado, implicando que la influencia del nivel matemático se verá reducida, puesto que se espera, de antemano, que el aspirante a la Universidad Nacional de Colombia tenga una capacidad matemática significativa con la cual competir por su puesto de admisión.

Referencias Cégep L. (2012). Tomado de: https://www. cegeplimou.ca/media/all/59609/Fiche-carrieres-en-Sciences-de-la-nature.pdf Dijk, T. (2001). La ciencia del texto. Barcelona: Paidós. Harkins, M., & Singer, S. (2009). The Conundrum of Large Scale Standardized Testing: Making Sure Every Student Counts. Journal of Thought, 44(1-2), 77. http://dx.doi.org/10.2307/ jthought.44.1-2.77 Hernández, R., et al. (2014). Metodología de la investigación. México: McGraw-Hill Education.

Ortiz, M., y Zabala, A. (2001). Las actitudes y su influencia en el desempeño de los estudiantes en área de matemáticas. Caracas: Corporación Educativa Mayor del Desarrollo Simón Bolívar, pp. 76-80. Tomado de https:// hera.ugr.es/tesisugr/2108144x.pdf Ortiz, M. y Zabala, J. (2005). Las actitudes y su influencia en el desempeño de los estudiantes en el área de matemáticas. 01/10/2016, de Colombia aprende Sitio web: www.colombia aprende.edu.co/html/docentes/1596/articles104886_archivo.doc

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Análisis de la influencia percibida de la capacidad matemática en la elección de una carrera

Anexo 1. Encuesta aplicada Influencia del puntaje ICFES en el área de matemática en la elección de carrera. Objetivo: identificar la influencia de los resultados de la prueba de estado en la elección de carrera al momento de ingresar a la universidad. 1. Facultad: _______________________________________ 2. Carrera: _______________________________________ 3. Marque con una X el rango en el que se encuentra su puntaje de la prueba Saber 11 en el área de matemática: 3.1 __ Menos de 50 puntos. 3.2 __ Entre 51 puntos y 60 puntos. 3.3 __ Entre 61 puntos y 70 puntos. 3.4 __ Entre 71 puntos y 80 puntos. 3.5 __ Entre 81 puntos y 90 puntos. 3.6 __ Entre 91 puntos y 100 puntos.

4. ¿Está entre sus planes realizar un doble programa con una carrera que no pertenece a su facultad? 4.1 __ Sí 4.2 __ No 4.3 Si la respuesta anterior fue afirmativa: escriba cuál la otra opción de carrera: _______________________________________ _______________________________________ 5. ¿Qué influencia tuvo su puntaje del ICFES en la elección de la carrera que actualmente estudia? 5.1 __ Nada de influencia. 5.2 __ Poca influencia. 5.3 __ Influencia media. 5.4 __ Mucha influencia. 6. ¿Antes de saber el resultado del ICFES tenía otra opción de carrera? 6.1 __ No 6.2 __ Sí 6.3 Si la respuesta anterior fue afirmativa: escriba cuál la otra opción de carrera:

Anexo 2. Muestras poblacionales recopiladas por las encuestas Facultad

Carreras a las que se le aplicó la encuesta

Número de encuestas realizadas

Ciencias

Matemáticas, Estadística, Física, Química, Biología.

Artes

Diseño industrial.

Ciencias Económicas

Administración de Empresas, Contaduría Pública, Economía

Ciencias Humanas Filosofía, Estudios Literarios, Lingüística, Español y Filología Clásica, Filología e Idiomas, Trabajo Social, Antropología, Sociología, Geografía, Historia, Psicología

Derecho y ciencias Derecho y ciencias políticas políticas

Enfermería

Ingeniería

Ingeniería Agrícola, ingeniería Civil, Ingeniería de Sistemas y Computación, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Electrónica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Mecatrónica, Ingeniería Química

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Un homenaje póstumo

Creación y matemática

Un homenaje póstumo

Sandra matemática, compañera silenciosa de la vida Epifanio, Gabriel y Enrique.

Antiguos caminos conducen a Sandra. Sus ojos cercados por el miedo y la espera aprendieron a contar en un ábaco propio. Cada uno de nosotros recuerda una mujer matemática con sus números redondos de profesora de primaria, sus ojos eran dos ceros que nos atormentaban por todo su cuerpo. Cada uno de nosotros recuerda una mujer matemática cuando el reloj implacable de nuestra madre marcaba el final de nuestras aventuras en el parque. Nuestra memoria de matemáticos busca de un modo remoto en Alejandría, en la hija del sabio Teón: Hipatia; una mujer cuyo sino estaba marcado por un siglo de rupturas; mientras el Imperio Romano se derrumbaba, Hipatia disfrutaba del legado de los sabios, en su mayoría grecorromanos, en la Alejandría de los siglos IV y V; fue perseguida por ser mujer, por ser matemática, por ser sabia. En el recuerdo, una mujer matemática es la figura de Sandra. Recorre los pasillos de la Universidad Externado en nuestra memoria ya obediente a su voz siempre en demostración, a su mirada siempre resuelta en logaritmos. Sandra construyó su propia aldea. La mujer que barajaba números para calcular matrices fue mudando su piel poco a poco. La matemática colonizó su belleza, la armonía de su mirada esparcida por su cuerpo obligó a que nuestras miradas

fueran súbditas de sus existenciales: el deseo recorría sus algoritmos de preguntas sin concesiones ajenas a la mujer en su camino al límite. Su rostro, sus manos, sus ojos, como puñales, eran amuletos para disuadirnos de los videntes. Sandra Ivón Castillo Lemus nos ha regalado un nuevo plano cartesiano, ella lo ha pagado con sangre. Su legado de ecuaciones con tiempo acotado por la vida, en la que cada uno de nosotros encontrará la solución única, impronunciable. Porque en el lenguaje del cuerpo que se agota, las variables vienen marcadas por los Dioses, y el vector tiempo es apenas una ilusión. Estamos seguros que los sistemas de conteo de Sandra avalan todos nuestros teoremas, en su compleja axiomática no euclidiana, nuestros nombres no pasan de meros números naturales. Sandra, tu rostro permanece, nuestra ignorancia de tu tiempo nos conduce siempre al origen, en un plano del que solo tú sabes las coordenadas. Nuestro diálogo contigo no cesará, mientras tu rostro ilumine como una constante, ese rostro tuyo siempre feliz en medio de una tristeza domesticada por el cálculo imposible.

Bogotá, Universidad Externado, junio 27 de 2017.

Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • p. 99 • Julio-diciembre de 2016

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Espejo de un mundo sin rostro

Cuento

Espejo de un mundo sin rostro Gabriela Alejandra Melo*

El tiempo se detuvo por quizá cinco o seis segundos. En aquel mínimo lapso del destiempo las figuras de tres hombres quedaron completamente inmóviles, como si estuvieran esculpidas en cera. El silencio existía como si jamás hubiera habido ruido alguno, y lo único que fluía con los segundos era la luz titilante del holograma que se proyectaba sobre una pared de vidrio. La súbita detención del tiempo le permitió al lector desplazarse en el espacio como si fuese una serpiente alada. Vio desde la esquina más alejada que la sala de juntas era un rectángulo hermético que impedía el paso de la luz del sol, luego dirigió la vista hacia nueve de las doce sillas que estaban vacías, y, por último, enfocó su mirada en los tres científicos adentrados en la senilidad que estudiaban el holograma de un autómata semejante al cuerpo humano. Habiendo recorrido el espacio, la serpiente se aposentó en una esquina del cuarto mientras el tiempo cobraba de nuevo su vigor para seguir transcurriendo. Inmediatamente, las coyunturas de los científicos cobraron movimiento, el corazón retornó a su constante latido y los pulmones se abrieron recibiendo oxígeno. Cristo, el más veterano entre ellos, se puso de pie y avanzó unos cuantos pasos hacia el holograma, iniciando la proposición discursiva de su nuevo proyecto. —La humanidad, desde los albores de su creación, ha lidiado con esta criatura compleja *

Estudiante del programa de “Creación literaria” de la Universidad Central. Correo: gmeloe@ucentral. edu.co

y problemática que es el individuo. Su naturaleza, sus impulsos, sus reacciones y sus ideologías nos han resultado tan entrañables que incluso después de milenios seguimos sin poder definirnos. La variedad de cada rasgo identificable es tan numerosa y fértil que es f ísicamente imposible clasificar a cada humano dentro de un grupo en específico. Cristo hablaba con las manos en la espalda como si estuviera cavilando consigo mismo. Encima de la mesa había tres tomos sobre ciencia y filosof ía; todos ellos estaban marcados y raídos por su frecuente uso a través de los años. —Leer al cuerpo humano no solo en la ciencia sino también en la filosof ía me ha permitido ahondar en nuevas teorías que relacionan el comportamiento individual con el colectivo. Los filósofos de la antigua Grecia desde el siglo V a. C. manifestaban su preocupación por la corruptibilidad del ser humano, tanto así, que Platón dedicó más de un discurso a la construcción de una utopía en la que se erradicara la individualidad en aras del Estado. La desemejanza ha provocado un actual ambiente de violencia, guerras, disputas y muertes —extendió su mano hacia la figura de la Máquina, y al palpar su cabeza, el holograma se adentró en el mecanismo interno, desglosando el cerebro artificial por partes—, y la autodestrucción del mundo es conducida por esta particularidad intrincable. Cada mente es una bomba de tiempo en retroceso esperando explotar —hizo una pausa y dirigió su mirada hacia otro de los científicos—. Sé que usted no se sorprende, doctor Doñolón, porque es una verdad naturalizada, pero lo

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Gabriela Alejandra Melo

más aterrador reside en que todos hemos dado una aceptación implícita ante esta realidad; el planeta es un campo minado, y cada bomba es tan diferente a la otra que es imposible evitar que de un momento a otro todas detonen. Se quedó en silencio por un rato, con la mirada fija sobre la pared de vidrio. Por orden de voz, una carpeta adyacente al prototipo de la máquina se abrió y en ella se mostraron bocetos y fórmulas de antiguas versiones del autómata. Con una determinación arraigada desde hace años, comenzó diciendo: —Por eso, les planteo lo siguiente. Un nuevo ser camina por un pasillo oscuro: la Máquina. A sus espaldas, una puerta de metal acaba de cerrarse y el panel contiguo a ella se torna rojo. Los párpados se cierran, la mandíbula se abre, los mecanismos auditivos se agudizan, el motor de la función bípeda se pone en marcha; primero avanza un pie, después otro. La membrana que recubre el mecanismo interno es traslúcida, por lo que ella puede contemplar cada una de sus extremidades. La Máquina observa detenidamente el cuerpo a través de sus cámaras intraoculares; su perfecta afinidad, la exacta simetría entre las proporciones de mano-antebrazo y antebrazo-brazo, y la percepción totalitaria de su entorno se registra en la caja negra de su memoria, como si estuviera saliendo de la matriz materna por primera vez.

desproporcionales; sus cables chispean y las placas sobrecalentadas ondean su calor al techo hasta que explotan. Repentinamente, un autómata fija la vista en él, y luego otro, y después otro más, hasta que media docena de ojos advierten la nueva aparición y marchan hacia ella. Uno intenta asirle de un brazo, pero la Máquina, siendo más fuerte, lo arroja al otro lado de la habitación mientras esquiva otro golpe. Los demás parecen no tener oportunidad contra ella mientras avanza hacia la puerta del otro lado de la habitación. Pedazos inservibles de metal vuelan por los aires con su paso arrasador, y en el momento en que alcanza el otro extremo ni siquiera se detiene para mirar por encima del hombro. No se escucha nada más que el silencio. El panel cambia a verde y la puerta se abre impulsada por un compresor de aire, mostrándole la visión de otro largo pasillo. —La invención de modelos defectuosos finalmente nos ha permitido presentar el prototipo ideal de la Máquina. El estudio de los campos del conocimiento humano representaba para

Escucha de repente un rumor en la distancia, y se dirige hacia él. El pasillo lo conduce a una especie de contenedor lóbrego, iluminado escasamente por la luz. Dentro ve cientos de versiones como él, unos más pequeños, otros más largos, unos que se arrastran y otros que trepan por las paredes peleando cuerpo a cuerpo en una refriega que carece de causa alguna. Los más fuertes arrancan las extremidades de los más débiles para introducirlas en sus propios mecanismos y se mueven por la habitación como octópodos Revista PAPELES • ISSN 0123-0670 • Vol. 8(16) • pp. 100-106 • Julio-diciembre de 2016

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En estos tiempos estamos tan sumergidos en el pozo de la tecnología que nos olvidamos de nuestra realidad tangible. Este todo nos ordena que seamos colectivamente individualistas, por lo que no nos interesa velar más allá de nuestro propio bienestar. nosotros la alegoría de un rompecabezas que teníamos que armar. Cada ficha tenía que ser fabricada en una medida exacta para encajar, de manera que no nos podíamos permitir tener el más mínimo margen de error. Quizá la estructuración de este arquetipo escape a su entendimiento, pero es esencial el que ustedes vean lo imposible: la manifestación auténtica de la perfección en todas sus maneras, ámbitos y perspectivas.

posee cuando entre en comparación con los otros. La respuesta programada según el método científico de la observación será la de la superioridad, por ende y como reacción natural, deberá infravalorarlos por su asimetría y desproporcionalidad sin sentir respuesta emocional alguna. Cristo observó a sus colegas por un rato. Casi pudo escuchar las voces interiores en sus cabezas opinando y considerando la situación. Él mismo le permitió hablar a su mente. “La lucha será devastadora, instintiva e incluso incoherente en autómatas privados del impulso animal, que de la misma mano del hombre han sido creadas. La Máquina las observará, y al registrar cada pequeño detalle anatómico de los otros no-seres, un mecanismo innato, lingüístico y científico, se activará repentinamente. El estudio derivado de la observación arrojará un único resultado: Ellos no son como yo”.

—Para demostrar su efectividad en un rango en el que no tenga lugar la duda se han ejecutado una serie de pruebas basadas en las falencias y los defectos del ser humano. Ellas representarían una línea del tiempo en reversa que inicie con nuestra Hipermodernidad actual —señaló su entorno como si pudiera abarcar toda una era con la longitud de sus brazos—. En estos tiempos estamos tan sumergidos en el pozo de la tecnología que nos olvidamos de nuestra realidad tangible. Este todo nos ordena que seamos colectivamente individualistas, por lo que no nos interesa velar más allá de nuestro propio bienestar.

Antes de llegar a la próxima habitación percibe unas vibraciones en los pies y el cerebro, como si un mar de ondas agitado por el aire hubiera alterado el oleaje parsimonioso del silencio. Casi entrando al nuevo espacio las olas viajan hacia sus canales auditivos y ella identifica característicos sonidos de platos rompiéndose, risas mecánicas y el crujir de la madera mientras las cámaras intraoculares se adaptan a la luminosidad tenue de un viejo candelabro de plata. El ruido que había oído en la distancia sale de unos parlantes ubicados en las esquinas superiores, pero ahora le es imposible distinguirlo por la resonancia cacofónica, estruendosa, que emerge de la maquinaria oxidada de una docena de autómatas.

—Por lo tanto, la Máquina en su primera prueba buscará rebasar a los modelos ineficientes que han sido creados desde la Hipermodernidad, es decir, desde la tecnología y la ambición. Su reacción inmediata en cuanto vean a la Máquina se desbordará agresivamente y esto le permitirá a ella defenderse y ser consciente de la afinidad y la armoniosa proporción que

Elementos que reconoce como comida yacen putrefactos sobre un bufete. Toda clase de alimentos que albergaron en antaño sabor y color alguno son debatidos por las máquinas sucias y defectuosas; una mano agarra la manzana podrida y asciende hasta la mandíbula abierta; la fruta, ingerida sin masticar, muestra incluso desde el exterior su paso por los engranajes de

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carbono hasta que llega a las caderas y glúteos y se estanca, sin tener lugar donde ir. Un androide lo invita al banquete con un aspaviento, pero la Máquina camina lentamente por los extremos de la habitación contemplando, sin ninguna señal de interés. Su mirada ha adoptado ahora un matiz felino, discriminatorio, programado para rechazar las necesidades terrenales y evadirlas como si fueran veneno. Repentinamente, baja su mirada en cuanto siente una presión en el tobillo. Un autómata que ha perdido su mitad inferior lo aferra con fuerza. Los cables del vientre chispean, espasmos pulsantes tuercen su cabeza en ángulos imposibles; su maquinaria está ya tan averiada y defectuosa que basta una simple patada al núcleo de su cabeza para desactivarlo totalmente. En la distancia, la Máquina ve las piernas del autómata desperdigadas en el suelo. La parte superior es casi irreconocible por la cantidad de comida que se ha aglutinado, y justo cuando otro panel verde se activa, los autómatas restantes corren hacia la maquinaria inservible, tragando nuevamente los alimentos del androide que había acabado de explotar. La Máquina traspasa la puerta y avanza, solo que esta vez sí se detiene para mirar sobre su hombro. Un pensamiento voluntario que sobrepasa los límites de la programación asocia la escena que ve con una manada de caníbales, y de repente una gota de tinta negra sale expulsada del mecanismo central hacia la membrana traslúcida que lo cubre. Flota unos segundos sobre el plasma y luego desaparece. —Suponiendo que dicha máquina superase la primera prueba —preguntó el científico Tosán—, ¿en qué consistiría la segunda? —Distinción y evasión. La Máquina sabrá reaccionar y rechazar los placeres básicos e instintivos del ser humano por medio de la

representación de un banquete. Verá, usted cree que tal vez nos hemos desmedido en la teatralidad de las pruebas, pero estamos siguiendo un patrón lineal en reversa, concerniente a las épocas de la historia. Podrá contrariarme, pero mi equipo de investigación ha visto la decadencia de la humanidad desde la invasión a Grecia por parte del Imperio Romano. De eso ya son veinticinco siglos. Dos milenios en los que se ha tratado de comprender la complejidad de la naturaleza humana sin mucho éxito, pues ha habido tantos cambios, reversos y misterios, que nos es casi imposible retornar a quienes éramos mucho tiempo atrás. —Siguiendo la linealidad, ¿qué tiene que ver el banquete con un periodo de la historia? — Doñolón se recostó en su asiento, dubitativo. —El banquete representa la desmesura de los carnavales de la Edad Media, en la que la gente se entregaba a los placeres exacerbados de la comida y la concupiscencia sin hacer distinción alguna; no había jerarquías, ni edades, ni géneros. François Rabelais representó aquella mundanidad en su Pantagruel haciéndolo grotesco y enorme, y así, consiguió reproducir los festines burlescos de un pueblo medieval que al fin y al cabo era netamente escatológico. Esta nueva versión del banquete medieval tendrá a los modelos anteriores que fueron programados erróneamente para ser un todo terrenal, y la visión de la escena caótica hará que una parte de la red de pensamiento de la Máquina desarrolle un juicio estético negativo y lo asocie con la idea del mal. Es feo porque es malo. Es desordenado porque es malo. Es grotesco porque es malo. Cristo tenía en el rostro el gesto inconfundible de la obsesión. Hablaba con tal vehemencia que los dos científicos temían interrumpirle. —Su sistema de análisis interno procesará los datos evidentes con nuevas hipótesis deductivas. Relacionará conceptos de caos, vorágine y desorden con los de repudio, indiferencia y odio, y, por primera vez, tendrá nuevas

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percepciones de rechazo ante la diversidad de seres que son inferiores a él. Pensará: “Yo, Máquina superior, que he sido forjada a la perfección y edificada a base de patrones matemáticos de armonía, no he de rebajarme a las actividades de estos autómatas”. —¿No es eso quizá un poco egocéntrico? —preguntó Doñolón, haciendo anotaciones en su cuaderno. Su semblante reflejaba desaprobación. —Es necesario el egocentrismo cuando nos comparamos con seres inferiores, señor Doñolón. Eso nos permite clasificarnos por selección natural —Cristo abrió un diagrama en forma de pirámide. Estaba clasificado de acuerdo a la eficiencia de cada autómata—. En una sociedad en la que cada uno es consciente del lugar que ocupa nadie buscará pasar por encima de otro para adquirir el poder. Se erradica la competencia y la parte perversa de la individualidad casi instantáneamente. —Y la Máquina será consciente de todo eso —dijo Tosán, más como una afirmación que como una pregunta. —Efectivamente. Así funciona su programación. Verá a los demás y se comparará: Ella, unidad perfecta, frente a una colectividad amorfa y sin proporciones que es un todo. La Máquina esta vez sube un largo tramo de escaleras y llega a una terraza irradiada por dos soles artificiales. La luz reverbera en el suelo haciendo que todo se vea áureo y resplandeciente. En el centro de la cúpula, un halo luminoso alumbra una carroza atada a dos caballos, uno blanco y otro negro. El esporádico toque de sus pezuñas contra el suelo y la eventual sacudida de la testuz son los únicos movimientos que se perciben dentro del domo. Encima de la carroza, con la pose de un emperador guerrero, se encuentra una máquina igual a ella, solo que su contenedor exterior ha sido pintado de un rosa pálido como el color de la piel. La Máquina recuerda haber estudiado el conjunto de extremidades que conformaban

su mecanismo; recuerda haber medido sistemáticamente sus proporciones exactas, y cómo su cuerpo de metal era adaptable y resistente a cualquier tipo de prueba. Mirando hacia la máquina inmóvil que está en frente, descubre, al compararse, las similitudes que hay entre ellos, y la parte cerebral lingüística del juicio estético le revela que es bueno y justo porque es bello, porque su simetría armoniosa es un espejo en el que ella se ve reflejada. La Máquina avanza lentamente hacia su semejante. La otra la ve, y su rostro pintado de rosa adopta un inexplicable semblante de felicidad mientras le tiende una mano para ayudarle a subir a la carroza. Ella acepta su ofrecimiento, pero una tinta ha comenzado a teñir los cableados del circuito central. La ideología voluntaria aparece de nuevo en su campo de visión: es odio. Es la envidia, el malestar de reconocerse en el otro y dejar de ser único. Cristo, moviendo el holograma tridimensional de la máquina, reveló la última prueba. —Es el obstáculo más dif ícil: el enfrentamiento entre seres completamente iguales. Tosán y Doñolón se miraron de reojo con una inquietud en sus ojos. No lo mencionaron en voz alta pero ambos pensaron lo mismo: Cristo se había obsesionado con el prototipo de una máquina que aún era demasiado insubstancial y fragmentaria como para ser llevada a cabo. Por su parte, Cristo, absorto en el tema, continuó hablando sin parar. —La Máquina ha sido mi objeto de estudio durante años. La misma ubicación de sus piezas sigue los ideales de una teoría que estudia las proporciones en el cuerpo humano. El hombre de Vitruvio de da Vinci inscribió maravillosamente la acomodación exacta del humano en un círculo y un cuadrado: dos figuras consideradas imágenes de la perfección, por lo que necesitábamos de la iluminación de la razón áurea para construir un autómata

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que incluso fuera más armonioso que nosotros mismos. Esta teoría nos explica que la Naturaleza ha diseñado el cuerpo humano de forma que sus miembros están proporcionados a su estructura como un todo. Dicha construcción sigue un sistema matemático de adición y sustracción en el que, agrupando consecutivamente cada uno de los pares de las medidas del cuerpo, se obtiene un todo que es perfecto y simétrico, y dado que cada miembro compone una variable, esta es a su vez producto de la suma de dos medidas precedentes. Sacó rápidamente de su bolsillo un marcador y sobre la lámina de vidrio escribió una serie de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… —Si observan la llamada Sucesión de Fibonacci, se darán cuenta de que cada término es la suma de los dos anteriores. Los científicos hicieron un rápido cálculo mental y asintieron con la cabeza. —Ahora bien, el científico Adolf Zeising propuso una teoría a mediados del siglo XlX en la que dividía la altura total del cuerpo en cuatro zonas principales: de lo alto de la cabeza al hombro, del hombro al ombligo, del ombligo a la rodilla, y de la rodilla a la planta del pie. Estas zonas a su vez se ramificaban en cinco segmentos que estaban dispuestos simétricamente dentro de cada zona siguiendo un patrón específico. Nosotros somos matemática armoniosa, ¿cómo no emplearnos, en ese aspecto, como ejemplo para la construcción de la Máquina? —Cuando ella ingrese a la última habitación se verá a sí misma reflejada en otro. Cuando se encuentre con su réplica verá toda la razón áurea en un cuerpo que no es más que el suyo mismo, y gran parte de su programación arrojará una conclusión exitosa: el símil que comparten es el pilar de una sociedad futura en la que máquinas como ellas gobiernan un Estado resistente a la envidia, el individualismo

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Es necesario el egocentrismo cuando nos comparamos con seres inferiores, señor Doñolón. Eso nos permite clasificarnos por selección natural.

y la soberbia. Así, idealmente, el poder se convertiría en una unidad divisible que perteneciere a todos por igual. No habría nada mejor, nada equiparable: sería la materialización de la utopía. Cristo se giró hacia sus colegas con un gesto inconfundible de esperanza y orgullo. Hablaba con la vehemencia del predicador frente a un público creyente como si les estuviera revelando una nueva verdad universal. —No sé cuáles son sus pretensiones con este proyecto, señor Cristo. ¿Sustituir a la raza humana? ¿Enseñarles a convivir con nosotros? —preguntó Tosán con el ceño fruncido, intentando descifrar la finalidad de un proyecto de tal magnitud. —Todo lo contrario, señor Tosán —respondió haciendo un teatral aspaviento hacia el holograma—. Serán ellos quienes nos enseñen a vivir en comunidad. El humano por naturaleza es un ser de costumbres que aprende de su entorno, por lo que la convivencia de las máquinas en un espacio de simulacro servirá de ejemplo para nuestros propios gobiernos y sus relaciones globales. La programación de estos autómatas será un manual de conducta que ilustrará la futura toma de decisiones a la racional pero impulsiva mente del ser humano —se dirigió a su asiento, y por primera vez desde que inició la charla se sentó y puso sus manos por encima de la barbilla—. Tengo expectativas realmente altas, señores. Estoy seguro de que este proyecto cambiará la percepción del mundo y retornará a aquella época

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distante de la polis y la areté —pronunció la última palabra con una cadencia erróneamente francesa—, como decían los griegos.

La herradura golpea la base de su cráneo con tanta fuerza que su mecanismo interno deja de funcionar inmediatamente.

Cristo mira impertérrito el cristal de vidrio. Todos sus músculos se han paralizado con una sacudida eléctrica que le genera dolor. En la tabla de análisis que yace en el suelo están anotados los datos de la actividad de la Máquina que se han llevado a cabo en las pruebas. El esfero se ha deslizado debajo del panel del control; está ahora tan inalcanzable como el objetivo final.

La tinta negra se esparce por el suelo.

Al otro lado del vidrio la Máquina sostiene la cabeza de su igual y sube a la carroza, exhibiéndola como un trofeo. La tinta negra se esparce por su mecanismo interno, empapando todo de un negro intenso y devastador hasta que la membrana ya no trasluce nada más que oscuridad. Las manos robóticas se apoderan de las riendas y dan un tirón implacable a las anteojeras, pero la sacudida es tan violenta que el caballo negro se encabrita y relincha, haciendo que la carroza se desequilibre y oscile de un lado a otro. La Máquina se tambalea y cae al suelo cuando el caballo manda sus patas delanteras hacia adelante.

No se ven más que los tornillos y cables rotos que ha dejado el paso exterminador del caballo. Tosán procura reír en voz baja mientras se acerca al intercomunicador para llamar al personal de limpieza. —Sí, traigan el incinerador, gracias —y mirando a Cristo dijo—: Le quedó muy bien ambientada la última escena, doctor, lástima que no haya surgido como lo habíamos esperado —niega con la cabeza—. Me parece reconocer la alegoría de los caballos con la razón y los placeres del alma. Es de Platón, ¿no? Y al ver que Cristo no le responde se encoge de hombros y abandona la habitación, silbando alguna canción vieja que había oído de niño. A su lado, Doñolón le palmea el hombro con empatía. Recoge la tabla del piso y se encamina hacia la puerta. —Nada que haya sido creado por la mano del hombre puede ser perfecto, señor Cristo. Por eso dicen que el cielo siempre será hermoso.

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El retorno a la comunidad. Problemas, debates y desaf íos de vivir juntos* Alfonso Torres Carrillo por John Alexander Castro Lozano**

El Retorno a la comunidad es el resultado de una inquietud académica y personal de Alfonso Torres Carrillo, doctor en Estudios Latinoamericanos de la Universidad Nacional Autónoma de México y profesor titular de la Universidad Pedagógica Nacional. En ese sentido, las investigaciones desde la sociología, la filosof ía política y la moral, así como las reflexiones sobre y desde Latinoamérica le permitieron identificar los debates sobre la comunidad y lo comunitario. A partir de ese balance bibliográfico y experiencial se aproximó a algunas formas de estar y actuar en las sociedades contemporáneas. Asimismo, elaboró planteamientos que entienden y orientan trasformaciones y propósitos comunitarios, en contextos de liberación. En el primer capítulo, La comunidad como campo problémico, explica que los conceptos de comunidad y comunitario se utilizan, usualmente como sustantivos y adjetivos. También aclara que, durante mucho tiempo *

Torres, A. (2013). El retorno a la comunidad. Problemas, debates y desaf íos de vivir juntos. Bogotá: El Búho.

el término comunidad fue comprendido como un sinónimo de sociedad y fue relacionado con el pensamiento político. No obstante, la comunidad se diferencia de la sociedad a través de los vínculos, los valores, los modos de vida, los sentidos de pertenencia y los proyectos de futuro. Esa distinción posibilitó nuevas interpretaciones desde la sociología y la filosof ía política, diferentes manifestaciones de acción colectiva, propuestas de pensamiento crítico latinoamericano y alternativas de construcción de sociedad. En el segundo capítulo, La comunidad en la tradición sociológica moderna, reseña los trabajos de Ferdinand Tönnies, Max Weber, Emile Durhkeim, Georg Simmel y Robert Park. En el tercer capítulo, La crítica comunitarista al liberalismo y su concepto de comunidad, se

** Doctorando en Estudios Sociales en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Magíster en Estudios Sociales de la Universidad Pedagógica Nacional y Sociólogo de la Universidad Nacional Colombia. Además, es profesor e investigador en la Universidad Antonio Nariño (sede Bogotá). Correo electrónico: jacastrol@uan.edu.co

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afirma que en el liberalismo propuesto por John Rawls y en el comunitarismo planteado por Michael Walzer se ha introducido el concepto de comunidad. En el cuarto capítulo, La comunidad en sospecha, resalta que después del desprestigio de los discursos multi-abarcadores o totalizantes, dicho de otra manera, al colapso de los denominados metarrelatos, surgieron las interpretaciones y las propuestas de Alain Touraine y Zygmunt Bauman sobre la comunidad. En el quinto capítulo, La comunidad en la modernidad reflexiva y en la postmodernidad, son explicados los planteamientos de Scott Lash y Michel Maffesoli. En el sexto capítulo, La “extraña” comunidad de la actual filosof ía moral y política, muestra que el debate sobre “ser en común”, “ser juntos” o “estar juntos” se ha enriquecido desde los planteamientos filosóficos de Jean Luc Nancy y Roberto Esposito. En el séptimo capítulo, La comunidad como modo de vida y movimiento en América Latina, muestra que, desde los movimientos sociales y los intelectuales orgánicos, la comunidad es invocada como un modo de vida de resistencia, oposición y propuesta, frente al predominio del capital. De esa forma, la comunidad se construye desde lo ancestral, la cosmovisión y la acción. En el octavo capítulo, La comunalidad de los intelectuales indígenas, es expuesta la presencia y la incidencia de las organizaciones y los movimientos sociales indígenas en Bolivia, Ecuador, Guatemala y México, ya que ha permitido la formación académica, por fuera de sus poblaciones, de algunos nativos. En ese sentido, el recorrido bibliográfico realizado por Alfonso Torres Carrillo le permitió sugerir seis elementos propositivos sobre lo que significa “estar juntos”. Primero, la comunidad como interpelación y alternativa al capitalismo. Segundo, la comunidad como

vínculo y sentido inmanente. Tercero, la comunidad como potencia instituyente. Cuarto, la comunidad como política. Quinto, el sujeto de la comunidad. Y sexto, lo comunitario como opción política y ética emancipadora. En conclusión, el libro de Alfonso Torres Carrillo es una revisión bibliográfica que expone la etapa reflexiva en la que se encuentra la discusión sobre la comunidad. Este balance se caracteriza por el rigor académico, la interdisciplinariedad y la contextualización de las referencias. Asimismo, la comunidad fue ligada a las nociones de “vínculo, lazo social, voluntad, intersubjetividad, solidaridad, parentesco, territorio, socialidad, cuidado mutuo, vida en común, significado compartido, tribu, empatía, religare, comunión, estar con otros, ser en común, impropio, don, deuda compartida, sistema comunal y comunalidad” (p. 195). De esa manera, la palabra comunidad tiene varios significados, pues es una manifestación construida social e históricamente, es decir, contextualmente. Asimismo, depende de la interpretación de los autores y la participación de los actores. De ese modo, la experiencia, el valor, el concepto, el proyecto y el modo de vida muestran la multiplicidad, la profundidad y la fuerza de la comunidad. El Retorno a la comunidad es un punto de partida teórico que orienta trasformaciones y propósitos comunitarios de acción colectiva en entornos de emancipación. Esta propuesta continúa y se desarrolla, desde una perspectiva metodológica, en el documento de trabajo Hacer historia desde abajo y desde el Sur, publicado por Ediciones Desde Abajo en 2014. En este libro, Alfonso Torres Carrillo propone la Re-construcción colectiva de la historia, RCH, como una reflexión sobre la constitución de la(s) historia(s), la(s) memoria(s) y la(s) identidad(es).

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Reseñas

ICME-13 Topical Surveys

Ghislaine Gueudet Marianna Bosh Andrea A. diSessa Oh Nam Kwon Lieven Verschafeel •

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Competitions for young mathematicians: perspectives from five continents* Alexander Soifer (Ed.) por Gerardo Chacón**

El libro Competitions for Young Mathematicians: Perspectives from Five Continents, editado por Alexander Soifer, hace parte de la serie ICME 13 Monographs de la editorial Springer. Esta serie pone a disposición de la comunidad e investigadores interesados en la educación matemática (EM) las discusiones y presentaciones realizadas durante el 13th International Congress on Mathematical Education (ICME 13) realizado del 24 al 31 de Julio del 2016 en Hamburgo, y que reúne cada cuatro años un gran número de especialistas en EM. Cada volumen de la serie recoge el estado del arte sobre un aspecto particular de investigación en educación matemática a partir de las discusiones suscitadas en los diferentes grupos de estudio del Congreso y los mejores trabajos presentados. En este sentido, cada uno refleja los elementos del debate internacional sobre la temática e incorpora ideas que seguramente

Soifer, A (Ed.). (año). Competitions for Young Mathematicians: Perspectives from Five Continents. New York, Springer.

** Docente del Doctorado en Educación Matemática de la Universidad Antonio Nariño. Correo: gechacon@uan.edu.co

marcarán la evolución de la discusión en los próximos años. En particular, el libro Competitions for Young Mathematicians: Perspectives from Five Continents presenta una temática muy cercana a los intereses de la comunidad de la Universidad Antonio Nariño (UAN): las competencias matemáticas. En 1981 la UAN fundó las Olimpiadas Colombianas de Matemáticas para estimular en niños y jóvenes el estudio de las ciencias y desarrollar su interés y talento. Desde entonces, la UAN ha sido pionera y sostén fundamental de esta actividad en Colombia y por ello resulta de interés esta reciente publicación. Recogemos (con traducción propia) del prefacio del libro un resumen de su contenido: El libro ofrece una excelente visión general sobre la discusión actual, temas de actualidad y experiencias con competencias matemáticas. Comienza con reflexiones sobre los objetivos de la educación matemática, los problemas procedentes de la geometría o la combinatoria que se utilizan en las competiciones matemáticas. Las siguientes partes reflexionan sobre el papel de las competiciones en el aula, este tema apenas se ha investigado hasta el momento. Luego se analizan dos ejemplos

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de competiciones matemáticas. Las dos últimas partes se centran en el estado actual de las competencias matemáticas y su futuro y un puente entre las competencias y las matemáticas reales (p. VII).

El lector encontrará en este libro una deliciosa relación de experiencias diversas en competencias matemáticas: desde la International Mathematical Olympiad (IMO), hasta competencias entre “pueblos” en la Rusia de hoy, una singular experiencia en la India y un esfuerzo de más de dieciocho años en América Central y el Caribe. Sin duda, la discusión sobre la relevancia de las experiencias en competencias matemáticas en el aula de clase de matemática servirá de inspiración a los investigadores en ese campo y a los docentes interesados. ¿Qué tiene que ver el proceso de entrenamiento de un campeón de la IMO, que resuelve un muy difícil problema de geometría, álgebra o Combinatoria con las dificultades para plantear y resolver problemas de los niños en nuestras escuelas? Los autores de los artículos del libro creen, fundamentalmente, que mucho. Los retos inspiran, motivan y seguramente marcarán iniciativas pedagógicas por desarrollar. Destaco dos artículos del libro: Combinatorial Problems in the Mathematical Olympiad of Central America and the Caribbean, por L.F. Cáceres-Duque, J.H. Nieto Said y R.J. Sánchez Lamoneda; y Are Mathematics Competitions Changing the Mathematics that Is Being Done and the Way Mathematics Is Done?, de María Falk de Losada. Los doctores Rafael Sánchez Lamoneda y María Falk de Losada son profesores e investigadores de los programas de Maestría y Doctorado en Educación Matemática de la Universidad Antonio Nariño, ligados durante muchos años al mundo de las competencias matemáticas. El primer artículo, Combinatorial Problems in the Mathematical Olympiad of Central America and the Caribbean, recoge experiencias de la Olimpiada Matemática de América Central y el Caribe y nos muestra problemas y

soluciones detalladamente expuestas. La combinatoria es una de las áreas de la matemática “preferida” en las competencias. El arte de contar propone a los jóvenes excitantes retos que pueden ser abordados con mínimos prerrequisitos. El lector encontrará una selección de bonitos problemas clasificados en cinco categorías: juegos de estrategia, problemas de configuraciones, problemas extremales, problemas de conteo y problemas varios; y podrá optar por asumir los retos y pensar sus propias soluciones o acudir a las muy bien escritas por los autores. En todo caso, seguro que podremos disfrutar con la lectura de los retos matemáticos asumidos por los jóvenes caribeños y solazarnos con las ideas implicadas en las soluciones. En el artículo de la Dra. Mary Falk de Losada, en orden a responder a la cuestión planteada en el título, asistimos a un bien documentado “tour” que nos lleva desde la participación de Leonardo de Pisa (Fibonacci), en una competencia matemática en el siglo XII con importantes repercusiones en el desarrollo del álgebra, pasando por la Escuela Húngara con Féjer, Erdös, Pólya y Lakatos, quienes testimonian el impacto de las competencias matemáticas en su formación y en la trascendencia de su obra; hasta finalmente detenernos en el debate reciente de lo que define la actividad y el progreso de la matemática: la resolución de problemas o la construcción de teorías. En las páginas del artículo, de la mano de la Dra. Falk, nos acercamos a las opiniones, entre otros, de medallistas Fields: Timoty Gowers y Terence Tao, y más cercanos a nosotros de los ex-olímpicos colombianos: Federico Ardila y Luis Serrano, para concluir –al menos así lo hizo quien reseña– que la disyunción entre resolución de problemas y construir síntesis teóricas es solo aparente y que en matemática como en la vida el disfrute se impone. Y es justamente el disfrute lo que permite recomendar ampliamente este excelente libro que seguramente dará material abundante para la reflexión de los interesados en el área.

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Introducción a la historia y a la filosof ía de la matemática Alberto Campos* por Enrique Ferrer-Corredor**

[…] en lugar de punto, recta, plano; uno debe poder decir: mesa, silla, jarro de cerveza. D. Hilbert Un recorrido desde los orígenes de la cultura humana y sus registros en las paredes de las cuevas, en los huesos, en las cerámicas, luego a través de la palabra escrita adquiere majestuosidad cuando ante la necesidad de memoria en las cuentas más simples, el ser humano ideó sistemas de conteo. Y en esta dinámica de la necesidad de memoria el lenguaje incuba mundos propios y luego es capaz de refundar nuestra realidad. Ya para Pitágoras (569-475 a. C.), la magia de la matemática no era solo su servicio a la vida de los negocios, de la construcción, de las herramientas; el verdadero conocimiento se conseguía través de la reflexión y la razón, el mundo f ísico era demasiado precario para motivar sus elucubraciones. El Dr. Alberto Campos Sánchez, profesor honorario de la Universidad Nacional de Colombia, ha desarrollado, en los dos volúmenes que *

Campos, A, (2006). Introducción a la historia y a la filosof ía de la matemática. Volumen I: Lógica y geometría griegas. Volumen II: Hacia la formalización en Hilbert y en Bourbaki. Bogotá, UNAL.

** Docente de la UAN. Correo: enfer48@hotmail. com

presentamos en esta reseña, una historia de la génesis y desarrollo de la historia y la filosof ía de la matemática, con énfasis en la geometría. Esta presentación del profesor Campos está orientada (aunque no excluye otros caminos) a los estudiantes de filosof ía. De hecho, el relato histórico ameno, desde la epistemología de la matemática, desde los nexos entre la vida y los números, a través de algunos ejercicios ilustrados básicos, el lector puede recorrer la historia de la matemática bajo la transformación filosófica de sus paradigmas. Hay dos referencias axiales en el texto de Campos: Elementos de Euclides (325-265 a. C.) y el texto Fundamentos de la geometría (1899) de David Hilbert. Una historia de veinticinco siglos se congrega alrededor de dos momentos cruciales de la racionalización del mundo bajo la geometría: el imperio del postulado quinto de Elementos de Euclides, frente a la ruptura conceptual tanto desde la matemática como de la f ísica, con sus implicaciones sobre la concepción del universo como materia mensurable. El debate de la formalización de la f ísica mediado por la geometría se concentra alrededor de

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la comprensión y aceptación de este quinto postulado de Euclides citado por Campos: Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma ángulos internos, por el mismo lado, menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se las prolonga indefinidamente, se encuentra por el lado en que están los ángulos menores que dos ángulos rectos (p. 3).

de Aristóteles, la de reducir la matemática al estudio de la cantidad (magnitudes, quanta, como en geometría; mera cantidad, quantitas, como en algebra, Crítica de la razón pura. B745 [p. 539]). Este viaje consta de un itinerario marcado por los hitos esenciales y fundantes en el diálogo entre la filosofía y la matemática.

El enorme y riguroso recorrido histórico del libro, entrelazando la filosofía en emergencia desde la evolución de la matemática, desde la transformación de la geometría clásica euclidiana hasta la geometría no euclidiana, define la entrada al mundo de la matemática compleja del siglo XX y sus nexos con la revoluciones conceptuales de Hilbert y de Einstein; luego vendrán sus nexos con el horizonte planteado por la física cuántica.

El volumen I:

Esta introducción a la historia y a la filosofía de la matemática transcurre en un tejido entre la matemática y la metamatemática. Entre el desarrollo histórico de la geometría y la demostración numérica de un lado, y la racionalización argumentativa más allá de la lógica cuantitativa, por el otro. En este sentido dice Campos:

El Volumen II:

Para ver la diferencia entre matemáticas y metafísica basta ojear sendos tratados, entonces, saltará a la vista, que la argumentación filosófica, por estricta que sea no se atiene a la lógica como tiene que hacerlo la matemática. Para Platón (y la de Kant es un retroceso respecto a la de Platón) la distinción estaba en que la matemática no puede desprenderse de las hipótesis como tiene que hacerlo la filosofía. […] Kant se aleja de Platón y se acerca a una tendencia incubada entre los estudiosos

1) Presocráticos. 2) Trabajos matemáticos de los pitagóricos, relacionados con la geometría. 3) Los sofistas. 4) Los tres problemas griegos. 5) Platón y la geometría. 6) Aristóteles y el silogismo. 7) El cálculo proposicional megárico-estoico. 8) La axiomatización a la manera de Euclides. Elementos. 9) La demostración del teorema de Pitágoras en el libro I de Elementos. 1) El quinto postulado. Motor en la evolución de la geometría. 2) Descartes: algebraización de la geometría. 3) Leibniz: algebraización de la lógica y del cálculo infinitesimal. 4) Kant: ¿Cómo es posible la matemática pura? 5) Geometrías no euclidianas. 6) Boole y el análisis matemático de la lógica. 7) Antecedentes de la formalización hilbertiana. 8) Hilbert: Fundamentos de la geometría. 9) Axiomatización a la manera de Hilbert. 10) El segundo problema de Hilbert. La no contradicción de la matemática. Metamatemática. 11) Gödel: limitaciones internas de los sistemas formales. 12) Bourbaki: matemática mediante estructuras. 13) Metamatemática en Elementos de Matemática, de Bourbaki. 14) Experiencia, intuición, axiomatización. 15) Hacia una filosofía de la matemática.

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Especificaciones para autores

Especificaciones para autores La revista Papeles es la publicación semestral de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Antonio Nariño El Comité Editorial de la revista científica Papeles, con fundamento en los requisitos establecidos por el Índice Nacional de Publicaciones Seriadas Científicas y Tecnológicas Colombianas de Colciencias (Publindex), ha definido los siguientes criterios para la evaluación, selección y publicación de los artículos puestos a consideración de la revista: Temas y lineamientos para la publicación de artículos El campo de interés de la revista Papeles es la reflexión sobre la educación y la pedagogía, y su relación con las diversas áreas del conocimiento humano. Como ejemplos de las temáticas que aborda la revista se encuentran: la investigación en lenguaje, lingüística y semiótica teórica y aplicada; la pedagogía y las ciencias sociales; los estudios literarios; y los procesos pedagógicos en las matemáticas y la química. Serán considerados para publicación los artículos que demuestren ser resultados de investigación de carácter teórico, práctico y aplicado sobre alguna(s) de estas áreas temáticas. También se publican ensayos, reseñas, traducciones y lecciones. La revista tiene como público principal a la comunidad académica conformada por profesores, estudiantes y profesionales en el campo de la ciencia y las humanidades, por lo cual los artículos deben exhibir coherencia y profundidad conceptual, dominio del problema que se aborda, y sus planteamientos deben estar escritos en un estilo claro, ágil, ameno y estructurado de acuerdo con la naturaleza del texto. El objetivo de la revista es la difusión del conocimiento científico; por consiguiente, los informes de resultados, de revisión y las

experiencias deben presentarse en forma de ensayo, reseña o lección. Para dar cumplimiento a los requisitos de indexación, los artículos deberán ser sometidos a la evaluación de dos árbitros nacionales e internacionales, especialistas en la temática del artículo y cuyo nivel de formación es de maestría o doctorado. Los artículos de investigadores externos a la universidad serán objeto de igual tratamiento. Si un estudiante de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Antonio Nariño postula un artículo de su autoría para ser publicado en la revista, éste debe ser avalado por un docente de esta Facultad. A continuación presentamos la tipología de los artículos que son publicados por la revista, según los parámetros del Publindex: 1. Artículo de investigación científica y tecnológica. Documento que presenta, de manera detallada, los resultados originales de proyectos terminados de investigación. La estructura generalmente utilizada contiene cuatro apartes importantes: introducción, metodología, resultados y conclusiones. 2. Artículo de reflexión. Documento que presenta resultados de investigación terminada desde una perspectiva analítica, interpretativa o crítica del autor, sobre un tema específico, recurriendo a fuentes originales. 3. Artículo de revisión. Documento resultado de una investigación terminada donde se analizan, sistematizan e integran los resultados de investigaciones publicadas o no publicadas, sobre un campo en ciencia o tecnología, con el fin de dar cuenta de los avances y las tendencias de desarrollo. Se caracteriza por presentar una cuidadosa revisión bibliográfica de por lo menos 50 referencias.

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4. Artículo corto. Documento breve que presenta resultados originales preliminares o parciales de una investigación científica o tecnológica, que por lo general requieren de una pronta difusión. 5. Reporte de caso. Documento que presenta los resultados de un estudio sobre una situación particular con el fin de dar a conocer las experiencias técnicas y metodológicas consideradas en un caso específico. Incluye una revisión sistemática comentada de la literatura sobre casos análogos. 6. Revisión de tema. Documento resultado de la revisión crítica de la literatura sobre un tema en particular. 7. Traducción. Traducciones de textos clásicos o de actualidad o transcripciones de documentos históricos o de interés particular en el dominio de publicación de la revista. 8. Documento de reflexión no derivado de investigación. 9. Reseña bibliográfica: de textos literarios, filosóficos o teóricos. Presentación de los artículos La extensión del artículo debe ser de máximo 20 cuartillas, formato Word (versión 97 en adelante), con fuente Arial de 12 puntos, interlineado doble (excluyendo tablas y figuras, las cuales deben ir numeradas y nombradas dentro del texto, acompañadas de la fuente de la cual han sido tomadas o modificadas). Las reseñas deben tener una extensión máxima de 5 páginas. Además del texto impreso, los artículos deben estar acompañados de medio magnético. Junto con el documento debe incluirse un resumen en español e inglés (máximo de 200 palabras), y palabras clave del artículo (máximo 6). La identificación del autor o autores del artículo debe incluir datos personales, formación profesional, cargo actual, institución a la cual pertenece y correo electrónico.

Es necesario situar el título del texto de forma clara y destacada; los subtítulos también deben ser presentados de forma explícita y deben responder a la estructura del artículo. Para resaltar letras, palabras o frases especiales debe utilizarse cursiva y no comillas ni negrita. Para citar formas lingüísticas en un idioma extranjero debe usarse letra cursiva. Las citas textuales o directas, si no exceden el número de 40 palabras, se escriben dentro del párrafo, se encierran entre comillas y al final, entre paréntesis, se hace la referencia bibliográfica incluyendo el apellido del autor, el año de publicación y la página, ejemplo: (Kant, 2001, p. 104). Las citas directas o textuales que excedan el número de 40 palabras deben ir en renglón aparte, sin comillas, en un punto menos que el resto del texto y con sangría. La referencia se cita de igual forma: apellido, año de publicación y página. La revista Papeles para el siguiente número acogerá las directrices de la American Psychological Association (APA) para estructurar la bibliografía de los artículos. Las referencias se presentan en orden alfabético, al final del texto, de la siguiente manera: • Libro - Apellido, Inicial nombres. (Año publicación), Nombre libro, Ciudad, Editorial.

Martín Barbero, J. (1987), De los medios a las mediaciones, Barcelona, Gedisa.

- Con dos autores se escribe entre sus nombre “y”, “o”, “e”. - Con tres autores: se pone “;” entre el primer y el segundo autor seguido de “y” para indicar el tercer autor. - Más de tres autores: se ponen los datos del primero y la abreviatura et ál. • Artículo de revista - Iniciales de apellidos y nombres del autor. (Año publicación). “Nombre artículo”, en Revista XXXX, vol. ___, núm. __, p.

Barbosa, M. (2004, julio-diciembre). “Público: sustantivo, adjetivo y verbo.

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Una multiplicidad de sentidos”, en Signo y Pensamiento, vol. XXIII, núm. 45, pp. 105-113. • Referencias tomadas de Internet: - Iniciales de apellidos y nombre del autor. (Año de publicación, si lo hay o de consulta en caso contrario). “Nombre artículo” [en línea], disponible en: http://www. hhh.com, recuperado: día, mes, año. Sabés Turmo, F. (2004), “¿Se puede hablar de industrias culturales en el área mediterránea de forma global?” [en línea], disponible en: http://venus.unive. it/migrante/sabes.htm, recuperado: 17 de mayo de 2004. - Sin autor específico:

“Mosaico de lenguas” (2004) [en línea], disponible en: http://cvc.cervantes.es, recuperado: 8 de julio de 2004. - Artículo de revista publicada en Internet:

Gómez, R. (2004, julio), “Televisión multinacional: una realidad”, en Revista Iberoamericana de Ciencia, tecnología, sociedad e Innovación [en línea], año 3, núm. 13, disponible en: http://campusoei.org, recuperado: 19 de junio de 2005. - Nota: es importante eliminar los hipervínculos o subrayados de las direcciones electrónicas de las referencias tomadas de Internet. • Trabajos y tesis de grado - Pregrado y especialización:

Burbano Arias, G. del C. (2000), Modelos de archivística aplicada [trabajo de grado], Bogotá, Pontificia Universidad Javeriana, Carrera de Ciencia de la Información. - Maestría:

Cáceres Nova, E. J. (2004), El primer siglo de la educación en Colombia [tesis de maestría], Medellín, Universidad de Antioquia, Maestría en Historia. Contacto Revista Papeles Universidad Antonio Nariño Facultad de Ciencias de la Educación Bogotá, Colombia. Correo electrónico: revista.papeles@uan.edu.co Enrique Ferrer-Corredor (Editor)

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Guidelines for authors

Guidelines for authors Papeles magazine is the biannual publication of the Faculty of Education Sciences at the University Antonio Nariño. The Editorial Board of the scientific magazine Papeles, based on the requirements of the National Index of Colombian Scientific and Technical Serials of Colciencias (Publindex), have defined the following criteria for the evaluation, selection and publication of papers submitted to the consideration by the magazine: Issues and guidelines for publishing articles The field of interest of the magazine Papeles is the reflection on education and pedagogy, and its relationship to the various areas of human knowledge. Examples of the themes addressed by the magazine include: research in language, linguistics, and theoretical and applied semiotics, pedagogy and social sciences; literary studies, and pedagogical processes in mathematics and chemistry. Those papers that demonstrate to be the result of research of theoretical character, practical and applied related to some of these thematic areas will be considered to be published in the magazine. Essays, reviews, translations and lessons are also published. The main public of the magazine is the academic community; constituted by teachers, students and professionals in the field of science and humanities, so the papers must show coherence and conceptual depth; domain of the problem being addressed, and its proposals must be written in a clear, flexible, fun and structured style; according to the nature of the text. The aim of the magazine is to publish scientific knowledge, therefore, the report of results, of review, and the experiences must be in the form of trial, review or lesson.

To comply with the requirements of indexing, the papers must be submitted to the evaluation of two domestic and international arbitrators, experts in the subject of the paper and whose level of education is a master’s or doctorate. The papers of researchers external to the university will be subject to the same treatment. If a student of the Faculty of Sciences of Education at the University Antonio Nariño posts a paper of his or her authory for publication in the magazine, this must be endorsed by a professor of the Faculty. Here is the typology of documents that are published in the magazine, according to the parameters of Publindex. 1. Papers from scientific and technological research. Document that presents, in detail, the original results of completed research projects. The commonly used structure contains four major sections: introduction, methodology, results and conclusions. 2. Reflection paper. Document stating results of completed research from an analytical, interpretative or critical perspective, on a specific topic, using original sources. 3. Paper of review. Document resulting of an investigation which finished, where the results of investigations, published or unpublished are analyzed; systematized and integrated, on a field of science or technology, in order to account for the progress and development trends of research. It is characterized by a thorough literature review of at least 50 references. 4. Short paper. Short paper that presents preliminar original results or partial of a scientific or technological research, which usually require a quick publishing. 5. Case report. Paper that presents the results of a study on a particular situation in order

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to make known the technical and methodological experiences considered in a specific case. It includes a commented systematic review of the literature on similar cases. 6. Topic Review. Paper resulting of the critical review of the literature on a particular topic. 7. Translation. Translations of classical or current texts, or transcripts of historical papers or of particular interest, in the field of the magazine publishing documents. 8. Reflection paper which is not derived from a research. 9. Bibliographic review: of literary, philosophical or theoretical papers. Submission of Papers The length of the article should be maximum 20 pages, Word format (version 97 onwards), Arial 12-point font, double spaced (excluding tables and figures, which should be numbered and named in the text, accompanied by the source which have been taken or modified). Reviews should be no longer than 5 pages. In addition to the printed text, papers must be accompanied by magnetic means. Along with the paper, a summary in Spanish and English (maximum 200 words) and key words of the article (maximum 6) should be included. The identification of the author of the article should include personal data, training, current position, institution to which it belongs and email. It is necessary to place the title of the text in a clearly and prominently form; the subtitles should also be presented explicitly and must respond to the paper structure. To highlight; letters, special words or phrases, should be used italics, and no quotes nor bold. To cite linguistic forms in a foreign language should be used italics. The direct quotations, if not exceeding the number of 40 words are written in the paragraph, are enclosed in quotation marks and,

at the end, in brackets, the bibliography is done by including the author’s name, year of publication and page, eg (Kant, 2001, p 104.). Direct quotations exceeding the number of 40 words must be on a separate line, without quotes, at a point less than the rest of the text and indented. The reference is cited in the same way: name, year of publication and page. The magazine Papeles; for the next number will follow the guidelines of the American Psychological Association (APA) to structure the bibliography of papers. References are listed in alphabetical order at the end of the text, as follows: • Book - Last, First names. (Publication year), Book Name, City, Publisher. Martín Barbero, J. (1987), From the media to mediations, Barcelona, Gedisa. - With two authors, write between his name “and”, “or”, “e”. - With three authors, write “” between the first and the second author followed by “and” to indicate the third author. - More than three authors, write the information of the first and the abbreviation et al. • Magazine paper - Initials of family name and name of the author. (Publication year). “Item Name” in Magazine XXXX, vol. ___, No. __, p.

Barbosa, M. (2004, July-December). “Public: noun, adjective and verb. A multiplicity of meanings”, in Sign and Thought, vol. XXIII, núm. 45, pp. 105-113. • References taken from Internet: - Initials of family name and name of the author. (Publication, if it is there or of query otherwise). “Paper name” [Online], available at: http://www. hhh.com, retrieved: day, month, year.

Sabés Turmo, F. (2004), “Is it possible to speak about cultural industries in the

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Mediterranean area globally?” [Online], availableat:http://venus.unive.it/migrante /sabes.htm, retrieves: 17th of May, 2004. - No specific author:

“Mosaic of languages” (2004) [online], available at: http://cvc.cervantes.es, retrieved: 8th of July, 2004.

- Paper of Magazin published online:

Gómez, R. (2004, July), “Multinacional Television: a reality”, at Iberoamerican Magazine of the Sicence, technology, society and Innovation [online], year 3, No. 13, available at: http://campus-oei.org, retrieved: 19th of June, 2005.

- Note: It is important to remove the hyperlinks or underlined from email addresses of references taken from the Internet. • Works and graduation thesis - Undergraduate and specialization:

Burbano Arias, G. of C. (2000) Models of applied archivistics [work of degree], Bogota, Pontificia Universidad Javeriana, Career of Information Science. - Maestría:

Cáceres Nova, E. J. (2004), The first century of education in Colombia [master›s thesis], Medellin, Antioquia University, MA in History. Contacto The magazin Papeles Universidad Antonio Nariño Facultad de Ciencias de la Educación Bogotá, Colombia. Correo electrónico: revista.papeles@uan.edu. co Enrique Ferrer-Corredor (Editor)

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Contenido histórico

Contenido histórico Vol 6(12)-7(13)

Vol 7(14)

Editorial Narrar: un refugio desde la infancia Enrique Ferrer-Corredor Entrevista a Teun van Dijk Enrique Ferrer-Corredor

Editorial Enrique Ferrer-Corredor

Artículos In the Absence of PostMieke Bal Desarrollo del análisis narrativo y argumentativo como difusor de las ideas del PND: una mirada a la educación Edgar Céspedes; Natalia Contreras; Nicolle Gómez; Nicolás Jiménez; Bryan Lugo; Yulli Vargas y Santiago Villamil Huellas discursivas de otredad en ámbitos de violencia escolar Johanna González; Angélica Viviana Gutiérrez; Diana Patricia Moreno; Laura Nataly Sánchez; Jorge Alberto Sierra y José Gamaliel Zapata Videojuegos como simulaciones inmersivas. El caso “Atrapados”, narrativa transmedia e investigación de la Inteligencia colectiva Carlos Roberto Torres; Jaime Alejandro Rodríguez y Luis Felipe González Alcances de la narrativa en el campo de la educación a partir de la obra Tiempo y Narración de Paul Ricoeur Gerardo Ramírez Bonilla La antimemoria, lo antisocial y la contra-imagen en las dos últimas novelas de Juan Gabriel Vásquez: “El ruido de las cosas al caer” (2011) y “Las Reputaciones” (2013) (versiones español francés) Marisella Buitrago Ramírez Jarchas: una propuesta de armado textual Enrique Ferrer-Corredor Teoría y didáctica desde la narrativa Taller literario dirigido por Enrique Ferrer-Corredor Reseñas La narrativa en la enseñanza, el aprendizaje y la investigación. (Hunter McEwan y Kieran Egan) Oscar Daniel López M., Andrés Felipe Medina G., Andrés David Cortés S. y Diego Alexander Hernández Bogosur. (Enrique Ferrer-Corredor, et al.) Sonia Santoyo Cortés Una casa en Bogotá. (Santiago Gamboa) Álvaro A. Bernal Medios de comunicación en Colombia. Treinta años de investigación y reflexión. (Carlos Eduardo Valderrama, Sonia Marsela Rojas, Victoria Elena González) Maribel Vergara Arboleda Juventud sin oportunidades: las barras ultras, un paradigma de indolencia estatal. (Jhon Jairo Londoño) David Camargo Cárdenas

Artículos

Sarmiento’s Africa: a Dislocation of Memory Sylvain Poosson “Los Bienaventurados”: un encuentro con Fernando Soto Aparicio. Homenaje al recientemente fallecido escritor colombiano Fernando Soto Aparicio. Un tributo en su cumpleaños 82 Mónica Castillo Prieto, Jaime Sánchez Medina, Patricia Romero Bracho, Martha Saavedra Castillo y Rafael Salamanca Pedraza Barras bravas: ¿Realización desde la marginalidad y las falencias académicas? Edgar A. Antonio Galeano, Bettsy T. Cruz Ortiz, Jeffrey S. Cruz Jiménez, Edward F. Escovar Álvarez, Andrés S. Gómez Gómez, Juan D. Nieto Manrique y Luisa F. Rodríguez Lesmes Ambiente metacognitivo digital para apoyar el aprendizaje de las matemáticas Luis Sanabria Rodríguez, Jaime Ibáñez Ibáñez y Nilson Valencia Vallejo Análisis de la falta de identidad como un factor determinante en la integración de los jóvenes a las barras bravas de la ciudad de Bogotá Manuel Blázquez Rico, Carol Casas Becerra, Nicolás Escobar Forero, Diego Garzón Rincón, Germán Moscoso Forero, María P. Rojas Reyes y Laura Romero Fuentes Incidencia de la educación, núcleo familiar y sociedad en el nivel de conocimiento de los métodos anticonceptivos Camila Barragán, Miguel Ernesto Beltrán, Daniel Díaz, Santiago Murcia, Diana Sofía Ramírez, Nicolás Rojas, Paula Andrea Rubio Cuento El Jardín Álvaro A. Bernal Reseñas Bitácora del agonizante. Fernando Soto Aparicio por Mónica A. Castillo Prieto Language Teacher Education for a Global Society. A Modular Model for Knowing, Analyzing, Recognizing, Doing and Seeing B. Kumaravadivelu por Angélica Aguillón Lombana Lectura y escritura académica en la Universidad del Valle. Caracterización de prácticas y tendencias. Gloria Rincón y John Saúl Gil por Humberto Sánchez Rueda

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Vol 7(14) Editorial: La investigación en las facultades de educación Enrique Ferrer-Corredor Artículos

Tendencias temáticas e investigativas en las facultades de educación en Colombia: una mirada a las revistas científicas Carlos Rincón Zabala La escritura académica en los procesos de formación en investigación: representaciones, saberes y contrastes Yury Andrea Castro Robles y Humberto Sánchez Rueda Anclas materiales y semiótica agentiva como herramientas para la navegación y generación de sentido en el espacio geográfico Eduardo Gil Cañón Las áreas académicas más relevantes en las revistas especializadas del campo educativo: análisis comparativo de la escala de Scimago Juan C. Forero Buitrago y Paula K. Triviño Gaviria Análisis comparativo de veinte programas de maestrías en educación en Colombia Laura Baquero Beltrán, Valentina Hernández Varela, Natalia Torres González, Karen Rangel Vásquez,

Nicolás Romero Arévalo, José Castillo Rojas y Oscar Alfonso Huertas Un análisis comparativo entre algunas publicaciones especializadas en educación en América Latina Sofía Botero Lozano, Nicolás Chaves Castillo, Lina Contreras López, Felipe Rojas Calderón, Juan Rubiano Sanabria, Sergio Salas Gómez y Diego Sánchez Parra Creación literaria Un homenaje a Gonzalo Márquez Cristo por Amparo Osorio Un pacto por la amistad. Un homenaje al amigo, al poeta Gonzalo Márquez Cristo No había cita: la búsqueda nos encontraba Por Enrique Ferrer-Corredor Reseñas Hacer historia desde abajo y desde el Sur Alfonso Torres Carrillo por John Alexander Castro Lozano Bogotá: realidades, delirios y ficciones Álvaro Antonio Bernal por Lyda González Orjuela ¿Para qué se lee y se escribe en la universidad colombiana? Gloria Rincón Bonilla por Enrique Ferrer-Corredor

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Reseñas

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Volumen 8 No. 16

ISSN: 0123-0670 ISSN (online): 2346-0911

Julio-diciembre de 2016

La matemática: teoría, enseñanza y arte para la vida

PAPELES

Creación y matemática Un homenaje póstumo Sandra matemática, compañera silenciosa de la vida Epifanio, Gabriel y Enrique Cuento Espejo de un mundo sin rostro Gabriela Alejandra Melo

ISSN No. 0123-0670 ISSN (online): 2346-0911

PAPELES

Volumen 8 No. 16

Julio-diciembre de 2016

Editorial Enrique Ferrer-Corredor

Publ ndex 0123- 0670 VIGILADA MINEDUCACIÓN