De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta

De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta

Licenciado en matemáticas y física, magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional y magíster scientiæ en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Realizó estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor del Departamento de Matemáticas y coordinador del Grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado siete libros sobre actividad matemática y su vínculo con el desarrollo de procesos lógicos.

Yeison Alexander Sánchez Rubio

Carlos Julio Luque Arias Yeison Alexander Sánchez Rubio Haydee Jiménez Tafur

De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta

Este libro presenta una propuesta didáctica para el aprendizaje del álgebra lineal basado en procesos de construcción de estructuras algebraicas que se aplican en otras ramas de las matemáticas: por generación en subconjuntos de una estructura, en el producto cartesiano de dos estructuras, en los conjuntos de partes, en conjuntos cocientes de una estructura, entre otros. Se pretende introducir la teoría de los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales en forma constructiva, usando los métodos de construcción de los grupos abelianos. En la primera parte, se aplican estos procesos a la construcción de grupos abelianos y al ensamble de estos con la ayuda de la propiedad distributiva, lo que origina estructuras como campos y anillos. En la segunda parte, se construyen y se estudian espacios vectoriales con el fin de ensamblar campos con grupos abelianos. Para los aspectos algorítmicos se desarrolló el programa Álgebra Finita 2.1 y la aplicación L-Finite para dispositivos móviles; finalmente, se propusieron actividades con el programa de libre acceso Software for Algebra and Geometry Experimentation, sage.

Esta publicación centra una particular atención en la formulación de conjeturas, proposición de ejemplos y actividades matemáticas con el fin de cuestionar no solo los contenidos habituales, sino también los procedimientos. Esto permite construir nuevas estructuras y aplicarlas a diferentes modelos en ciencias o al interior de las matemáticas.

Carlos Julio Luque Arias Yeison Alexander Sánchez Rubio Haydee Jiménez Tafur

Carlos Julio Luque Arias

Licenciado en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magister y candidato a doctor en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Se ha desempeñado en el campo de las matemáticas y la educación matemática, como investigador y como docente en las universidades Nacional, Pedagógica Nacional y Sergio Arboleda, entre otras. Ha participado como conferencista en diferentes eventos nacionales e internacionales e investigador del Grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica desde el año 2005

Haydee Jiménez Tafur Licenciada en matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia y doctora en Matemáticas de la Universidad de Sevilla (España). Ha publicado varios artículos en memorias de eventos sobre álgebra, enseñanza de las matemáticas y un libro sobre la actividad matemática de representar relacionada con el desarrollo del proceso de abstraer. Ha sido profesora en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y la Universidad Pedagógica Nacional, e investigadora del Grupo de Álgebra desde el año 2006.

De los grupos abelianos al aĚ lgebra lineal abstracta

Catalogación en la fuente - Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional

Luque Arias, Carlos Julio De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta / Carlos Julio Luque, Yeison Sánchez Rubio, Haydee Jiménez Tafur. – Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional, 2017 606 páginas.

Incluye: Bibliografía ISBN impreso: 978-958-5416-55-0 ISBN digital: 978-958-5416-56-7 1. Álgebra Lineal – Enseñanza. 2. Análisis Matemático. 3. Álgebra 4. Teoría de Grupos. 5. Espacios Vectoriales. 6. Ecuaciones. 7. Álgebra Abstracta – Enseñanza. 8. Grupos Abelianos. I. Sánchez Rubio,Yeison. II. Jiménez Tafur, Haydee. III. Tít.

512.5. Cd. 21 ed.

De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta ADOLFO LEÓN ATEHORTÚA CRUZ Rector SANDRA PATRICIA RODRÍGUEZ ÁVILA Vicerrectora de gestión universitaria MAURICIO BAUTISTA BALLÉN Vicerrector académico FERNANDO MÉNDEZ DÍAZ Vicerrector Administrativo y Financiero HELBERTH AUGUSTO CHOACHÍ GONZÁLEZ Secretario General

Fecha de evaluación: 05-10-2016 / 16-11-2016 Fecha de aprobación: 04-11-2016

Se reservan los derechos de autor Hecho el depósito legal que ordena la Ley 44 de 1993 y decreto reglamentario 460 de 1995.

© Univesidad Pedagógica Nacional © Carlos Julio Luque Arias, Yeison Sánchez Rubio, Haydee Jiménez Tafur © Editorial Magisterio ISBN impreso: 978-958-5416-55-0 ISBN digital: 978-958-5416-56-7 Primera edición, 2018 PREPARACIÓN EDITORIAL Universidad Pedagógica Nacional Carrera 16A n.º 79 - 08 editorial.pedagogica.edu.co Teléfono: (57 1)347 1190 - (57 1)594 1894 Bogotá, Colombia

Grupo Interno de Trabajo Editorial

Alba Lucía Bernal Cerquera

Coordinadora

Maritza Ramírez Ramos

Editora

Daniela Echeverry

Correctora de estilo

Johny Adrián Díaz Espitia

Finalización de artes

Editorial Magisterio Alfredo Ayarsa Bastidas www.magisterio.com.co (57+1) 338 3606 Bogotá, Colombia

Bogotá, D.C., 2018

De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta

Carlos Julio Luque Arias Yeison Sánchez Rubio Haydee Jiménez Tafur

palabra

A mis hijos Aura Angélica y Jorge Alberto Carlos Julio Luque Arias

A la mujer que me dió la vida y a la mujer que decidió acompañarme en este viaje.

Por su existencia y unicidad Yeison Sánchez Rubio

A mis hermanos Lizeth y Ferney Haydee Jiménez Tafur

Í N D I C E G E N E R A L

Introducción

I.

15

Construcción de grupos abelianos

1. la estructura de grupo abeliano 21 1.1. Definición de grupo abeliano 22 1.2. Independencia de los axiomas 26 1.3. Teoremas básicos sobre grupos abelianos 28 1.4. Otras caracterizaciones de los grupos abelianos 1.4.1. Debilitando los axiomas iniciales 34 1.4.2. Sustituyendo algunos axiomas 35

19

34

2. construcci ón de grupos abelianos a partir de la definici ón 41 2.1. Grupos abelianos finitos 41 2.1.1. Número de operaciones conmutativas que se pueden definir en un conjunto A con n elementos 43 2.1.2. Número de operaciones con elemento idéntico que se pueden definir en un conjunto A con n elementos 44 2.1.3. Número de K-grupoides que se pueden definir en un conjunto A con n elementos 45 2.1.4. Caracterización de la propiedad asociativa para una operación definida por una tabla 46 2.1.5. Las funciones fila y las funciones columna 66 2.2. Grupos abelianos infinitos 68 3. construcci ón de grupos abelianos en subconjuntos de un grupo abeliano 73 3.1. Definición de subgrupo 73 3.2. Operaciones conjuntistas entre subgrupos 76 3.2.1. Con la intersección 76 3.2.2. Con la unión 77 3.2.3. Con otras operaciones conjuntistas 77 3.3. Relación de orden en los subgrupos de un grupo abeliano 78 3.3.1. Diagramas de Hasse 78

7

De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta 3.4. Construcción de subgrupos abelianos por generación interna 80 3.4.1. Z-Módulos 81 3.4.2. Grupos cı́clicos 86 3.4.3. Subgrupos generados por subconjuntos no unitarios 88 3.5. Construcción de grupos abelianos por generación externa 94 3.6. Presentaciones de grupos 94 4. construcci ón de grupos abelianos en ℘ ( G ) y en un producto cartesiano 97 4.1. Construcción de grupos abelianos en ℘ ( G ) 98 4.1.1. Usando las operaciones conjuntistas en ℘ ( G ) 98 4.1.2. Extendiendo la operación del grupoide ( H , ∗ ) a ℘ ( H ) 100 4.1.3. Construcción de grupos abelianos en ℘ ( G ) usando subgrupos de G 104 4.1.4. Construcción de grupos abelianos en el conjunto cociente de un grupo abeliano por una relación de equivalencia 110 4.2. Construcción de grupos abelianos en el producto cartesiano 117 4.2.1. El producto directo externo 117 4.2.2. Otros productos 122 5. construcci ón de grupos abelianos por copia 125 5.1. Copia de una estructura por funciones biyectivas 125 5.2. Isomorfismos de grupos abelianos 132 5.2.1. Propiedades de los isomorfismos 132 5.2.2. La relación de isomorfismo es una relación de equivalencia 139 5.3. Homomorfismos de grupos 140 5.3.1. Propiedades de los homomorfismos 140 6. construcci ón de grupos abelianos en G Y 147 6.1. Conjuntos de funciones 147 6.1.1. El grupo de las funciones biyectivas de un conjunto S(X) 147 6.1.2. El grupo de los automorfismos de un grupo abeliano 149 6.1.3. El monoide de los endomorfismos de un grupo abeliano 153 6.2. Construcción de grupos abelianos en G Y con la operación de G 156 7. ensamble de grupos abelianos 165 7.1. Compatibilidad de estructuras algebraicas: operaciones distributivas 165

8

Índice general 7.1.1. Noción de distributividad: definición y ejemplos 165 7.1.2. Independencia de las propiedades distributivas 170 7.1.3. Relaciones entre la propiedad conmutativa y la distributiva 171 7.1.4. Independencia de la distributividad respecto a las demás propiedades 173 7.2. Construcción de operaciones distributivas con respecto a una operación dada 174 7.2.1. Por analogı́a con N 174 7.2.2. En grupos finitamente generados 185 7.2.3. Construcción de operaciones distributivas a izquierda o a derecha usando endomorfismos 189 7.2.4. Usando otros homomorfismos 196 8. la estructura de campo 199 8.1. La estructura de campo 199 8.1.1. Definición de campo 199 8.1.2. Teoremas básicos para campos 200 8.1.3. El producto Z-módulo en un campo 204 8.2. Construcción de campos 208 8.2.1. A partir de la definición 208 8.2.2. En subconjuntos: subcampos 212 8.2.3. Construcción de campos en ℘ ( F ) 217 8.2.4. En el cociente por una relación de congruencia 218 8.2.5. En el producto cartesiano 219 8.2.6. Por copia 224 8.2.7. Construcción de campos en F Y 226 8.2.8. El campo de fracciones de un dominio de integridad 228

II. Álgebra lineal

231

9. espacios vectoriales 233 9.1. Definición de espacio vectorial 234 9.2. Teoremas sobre espacios vectoriales 236 9.3. Otras caracterizaciones de los espacios vectoriales 240 9.3.1. Eliminando la propiedad conmutativa de la suma 240 9.3.2. Cambiando el axioma V4 241 9.4. Ejemplos especiales de espacios vectoriales 245 9.4.1. El espacio de los segmentos dirigidos del plano euclidiano 245 9.4.2. Los vectores de la fı́sica 249 9.5. Construcción de espacios vectoriales a partir de la definición 250

9

De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta 9.5.1. Espacios vectoriales finitos 250 9.6. Otras operaciones en un espacio vectorial 9.6.1. Álgebras 254

254

10. construcci ón de espacios vectoriales en subconjuntos 257 10.1. Definición de subespacio 257 10.2. Operaciones conjuntistas entre subespacios 264 10.3. Orden en los subespacios de un espacio vectorial 265 10.4. Construcción por generación interna 265 10.4.1. Combinaciones lineales 272 10.4.2. Dependencia lineal de vectores 275 10.4.3. Independencia lineal de vectores 279 10.4.4. Bases de un espacio vectorial 286 10.4.5. Dimensión de un espacio vectorial 290 10.4.6. Coordenadas con respecto a una base ordenada 293 11. construcci ón de espacios vectoriales en ℘ ( V ) y en el producto cartesiano 295 11.1. Construcción de espacios vectoriales en ℘ ( V ) 295 11.1.1. Suma de subespacios de V 296 11.2. Construcción de espacios vectoriales en el conjunto cociente de un espacio vectorial por una relación de equivalencia 304 11.2.1. Las clases laterales y el espacio cociente 304 11.3. Construcción de espacios vectoriales en el producto cartesiano 307 12. isomorfismos y homomorfismos lineales 311 12.1. Copia de espacios vectoriales por una función biyectiva 311 12.2. Isomorfismos de espacios vectoriales 315 12.2.1. Propiedades de los isomorfismos lineales 315 12.2.2. La relación de isomorfismo es una relación de equivalencia 318 12.3. Homomorfismos o transformaciones lineales 321 12.3.1. Propiedades de las funciones lineales 324 12.3.2. Rango y nulidad de una transformación lineal 328 12.3.3. Relaciones de equivalencia definidas por transformaciones lineales 331 12.3.4. Las funciones lineales y la dependencia e independencia lineal 333 12.3.5. Funciones lineales inyectivas o sobreyectivas entre espacios de igual dimensión 336 12.4. Espacios de funciones entre espacios vectoriales 337 12.4.1. El grupo general lineal G L ( V ) de un espacio vectorial V 337

10

Índice general 12.4.2.

12.4.3.

12.4.4.

12.4.5.

Espacios de funciones sobre espacios vectoriales 339 Productos de funciones lineales 344 Aplicaciones bilineales 345 El álgebra de las funciones lineales con la composición 349

13. álgebras de matrices 351 13.1. El concepto de matriz 351 13.2. Igualdad entre matrices 353 13.3. El espacio vectorial de las matrices 353 13.4. Subespacios de M m × n ( F ) 356 13.5. El álgebra usual de las matrices 359 13.5.1. La multiplicación usual 359 13.5.2. Propiedades de la multiplicación de matrices 361 13.5.3. Inversas multiplicativas de matrices n × n 365 13.5.4. Subálgebras del álgebra de matrices 369 13.6. Potenciación en matrices 372 13.6.1. Con exponente un número natural 372 13.6.2. Con exponente un número entero 373 13.7. Funciones polinomiales de matrices 374 13.8. Espacios vectoriales asociados a una matriz 378 13.8.1. Núcleo e imagen de una matriz 378 13.8.2. Espacio de filas y de columnas de una matriz 379 13.9. Otras álgebras de matrices 384 13.9.1. La multiplicación de Kroenecker 384 13.9.2. La operación conmutador 386 14. aplicaciones lineales entre matrices 389 14.1. La transpuesta de una matriz 389 14.2. La traza de una matriz 391 14.3. Una aplicación multilineal entre matrices y números: determinantes 392 14.3.1. Definición usando permutaciones 393 14.3.2. Propiedades de los determinantes 397 14.3.3. Definición por cofactores 405 14.3.4. Aplicación del determinante para el cálculo de inversas de matrices 413 14.3.5. Definición axiomática 418 14.3.6. Los grupos de matrices lineales, especiales y ortogonales 424 15. las matrices en la soluci ón de sistemas de ecuaciones lineales 427 15.1. Sistemas de ecuaciones lineales 427

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De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta 15.2. Ecuaciones lineales matriciales 432 15.3. De las propiedades de las ecuaciones a las propiedades de las matrices 434 15.4. Método de eliminación de Gauss-Jordan 436 15.4.1. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales 437 15.4.2. Para calcular la inversa de una matriz 451 15.4.3. Para calcular la imagen y el rango de una matriz 456 15.4.4. Para calcular el núcleo y la nulidad de una matriz 458 15.4.5. Para calcular el determinante de una matriz 460 15.5. Regla de Cramer 462 15.6. Ecuaciones entre matrices 466 16. matrices elementales 469 16.1. Definición y propiedades básicas 469 16.2. Productos con otras matrices 473 16.2.1. Con matrices elementales de permutación 473 16.2.2. Con matrices elementales diagonales 474 16.2.3. Con matrices elementales de transvección 476 16.3. Solución de ecuaciones lineales usando el producto de matrices elementales 477 16.4. La inversa de una matriz como producto de matrices elementales 480 16.5. Factorización LU de una matriz 483 17. representaciones matriciales de una transformaci ón lineal 17.1. Matriz asociada a una transformación lineal 491 17.2. El núcleo y rango de una transformación con respecto al de su matriz de representación 503 17.3. Semejanza o similaridad de matrices 506 17.4. Representaciones diagonales de matrices 509 17.4.1. Valores y vectores propios 509 17.4.2. Diagonalización de matrices 531 18. geometrı́a vectorial 537 18.1. Elementos de geometrı́a solo con los axiomas de espacio vectorial 537 18.1.1. Paralelismo entre vectores 537 18.1.2. Rectas en un espacio vectorial 538 18.1.3. Planos e hiperplanos en espacios vectoriales 544 18.2. Espacios con producto interno 551 18.2.1. Productos escalares o productos punto 551 18.2.2. Perpendicularidad u ortogonalidad 556 18.3. Espacios vectoriales normados 568

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491

Índice general 18.4. Espacios métricos 573 18.5. Transformaciones del plano que dejan invariante una forma bilineal simétrica (movimientos) 575 18.6. Axiomática de Weyl 578 A. notaci ón 579 A.1. El lenguaje de la teorı́a de conjuntos 579 A.2. Construcción de conjuntos 579 A.2.1. A partir de predicados simples 580 A.2.2. A partir de predicados compuestos 580 A.2.3. Operaciones en ℘ ( X ) 581 A.2.4. El producto cartesiano 582 A.2.5. Relaciones 583 A.2.6. Funciones 586 A.2.7. Operaciones 590 A.3. Los números naturales 590 A.3.1. Operaciones en N 591 A.3.2. Órdenes en N 593 A.4. Anillo de polinomios 593 A.4.1. Funcion evaluación 594 bibliografı́a Índice temático

597 603

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I N T R O D U C C I Ó N

Este libro presenta una propuesta didáctica para el aprendizaje del álgebra lineal en el tercer semestre de la formación de profesores de matemáticas, dentro de un plan de seis semestres, para un ciclo básico de fundamentación.

En el primer semestre desarrollamos las herramientas primarias del trabajo en matemáticas, con procesos como simbolizar, codificar, conjeturar, contar, inducir y generalizar, usando como objeto la construcción de los números naturales y culminando con la presentación axiomática de Peano [53].

En el segundo semestre construimos los números reales a partir de los procesos de clasificar, medir e invertir [55] y terminamos con una presentación axiomática de ellos como un ensamble de dos grupos abelianos, con la ayuda de la propiedad distributiva.

El curso de álgebra lineal se desarrolla en el tercer semestre del plan y con este libro pretendemos introducir la teorı́a de los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales en forma constructiva, usando los métodos de construcción de los grupos abelianos que se desarrollan en la primera parte.

El énfasis en los grupos abelianos y en ensamble de estructuras básicas tiene como propósitos ofrecer una formación matemática inicial que permita a los estudiantes continuar con el estudio de temas algebraicos en particular y matemáticos en general, y presentar una visión constructiva natural en la que los métodos sugieren los conceptos; por ejemplo, el concepto de matriz surge del proceso de construir estructuras en un espacio de funciones con dominio en un conjunto cualquiera y codominio en un anillo, en un campo, en un espacio vectorial, o simplemente en un conjunto y sugiere generalizaciones a tensores y otros objetos en dimensiones superiores; el concepto de subestructura aparece naturalmente en el proceso de construir estructuras en los subconjuntos de una estructura, por mencionar unos pocos.

Los métodos y procedimientos utilizados en la formulación de cada uno de los temas tratados son universales, permiten y sugieren generalizaciones y no solo se aplican en álgebra lineal sino también en teorı́a de anillos [73], de campos, en topologı́a [41] y en otras ramas de la matemática [26].

No hacemos énfasis en presentar muchos ejemplos repetitivos, sino que procuramos generar modelos que se aplican a varios casos particulares. En algunos casos una idea puede verse y manipularse en dos dimensiones y es fácil extenderla a n dimensiones como en el método de eliminación de GaussJordan, en las estructuras producto, en los conceptos geométricos de recta,

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De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta plano, hiperplano; pero en otros casos esta generalización es más complicada, como en el caso del concepto de determinante, en el que debemos recurrir a la historia.

A veces repetimos temas y variamos procedimientos para acceder a un concepto o resolver un problema, lo que mejora la comprensión del tema y sugiere analogı́as útiles para resolver problemas similares. En otras ocasiones repetimos procesos con propósitos pedagógicos, pero no es nuestro interés mecanizarlos para que sean usados con intenciones prácticas, pues en una eventual necesidad de cálculo recurrimos a herramientas computacionales.

Si son necesarias cuentas largas o aburridas como resolver 30 ecuaciones con 30 incógnitas, le dejamos la tarea a las máquinas; programas como Maple, Matlab, Mathematica y otros han desarrollado algoritmos que permiten resolverlas con pocas instrucciones. Estos programas habitualmente tratan con los números reales o complejos.

En el caso de las estructuras finitas hemos desarrollado1 el programa Álgebra Finita 2.1, para computadores con sistema operativo Windows, que nos permite estudiar más de 30 propiedades de una estructura con diversas formas de ensamble diferentes a la propiedad distributiva y calcular los endomorfismos de una estructura para construir operaciones que distribuyan con respecto a una dada.

En la segunda parte del libro usamos el programa SAGE, que es libre y puede ser usado en lı́nea en los servidores: sagenb.org, o instalarlo en la computadora. En el sitio http://sagemath.org hay información completa y tutoriales.

Adicionalmente, desarrollamos2 el programa L-finite, disponible en Play Store; es una aplicación para dispositivos móviles con sistema operativo Android que realiza algunos procedimientos y cálculos relacionados con álgebra lineal como: calcular el determinante de una matriz, la matriz inversa, solucionar sistemas de ecuaciones lineales, determinar la independencia lineal de vectores y determinar si cierto conjunto de vectores es base del espacio vectorial F n con F un campo.

Nuestro enfoque es abstracto pues hace énfasis en la formulación de principios generales, ya que a diferencia de cursos sobre el mismo tema, no se desarrolla en primer semestre sino en tercero, cuando ya los estudiantes tienen estructuras mentales que les permiten comprender los procesos de abstracción; también porque una estructura abstracta es más útil, dado que puede aplicarse en otros ámbitos como la ingenierı́a, la economı́a, la fı́sica y otras ciencias.

1 Programado por el profesor Leonardo Ángel del Grupo de Álgebra.

2 Progamada por la estudiante Lizeth Andrea Ruiz Carranza bajo la dirección del profesor Yeison Sánchez.

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Introducción Adicionalmente, la abstracción en matemáticas es útil para construir otras estructuras, es un paso a lo general, a las estructuras superiores, más allá de los números, para la formación como matemáticos y profesores, en resumen para ser mejores maestros.

Nos preocupamos por usar un lenguaje preciso y claro, lo que incluye el uso de sı́mbolos cuando estos están claramente definidos. Este lenguaje es requisito para consultar otros libros de matemáticas, actividad fundamental para un profesor que debe actualizarse permanentemente.

Ejercitamos la inducción y la conjeturación, pero también se requiere la lectura detallada de un texto o el seguimiento de un algoritmo; estas actividades no son excluyentes.

En el desarrollo de un tema particular, muchas veces surgen preguntas que posiblemente desvı́en la atención del estudio que estamos haciendo y generalmente asumimos la actitud de evitarlas. Consideramos, por el contrario, que todos los caminos de exploración son importantes y no debemos desechar alguno porque no es popular, lo mejor es ir al fondo; todos los temas y los ejercicios son importantes, este es el centro de la actividad matemática.

Consecuencia de esta actitud es cuestionar permanentemente no solo los contenidos sino también los procedimientos. En los capı́tulos 1 y 9 hay ejemplos de ello, en los que proponemos versiones axiomáticas diferentes a las usuales para grupos abelianos y espacios vectoriales.

El libro consta de dos partes: la primera está dedicada a la construcción de grupos abelianos y la segunda, a la construcción de espacios vectoriales usando lo hecho en la primera.

En el capı́tulo 1 presentamos varias axiomáticas (algunas de ellas originales) para los grupos abelianos y deducimos sus propiedades básicas.

En el capı́tulo 2 construimos grupos abelianos usando las propiedades que los definen y analizamos en los casos finitos criterios para determinar si cada una de ellas se cumple.

El capı́tulo 3 está dedicado a la construcción de grupos abelianos en subconjuntos de ellos, los subgrupos, generarlos a partir de algunos elementos, combinarlos con operaciones conjuntistas y en particular estudiamos los grupos cı́clicos.

En el capı́tulo 4 construimos grupos abelianos en el conjunto de partes de un grupo abeliano y en el conjunto cociente de un grupo abeliano por una relación de equivalencia, que equivale a hacer el cociente por un subgrupo. En la parte final definimos el producto directo de dos o más grupos y estudiamos sus propiedades.

El capı́tulo 5 muestra cómo copiar un grupo abeliano en un conjunto cualquiera y cómo comparar dos grupos abelianos usando funciones biyectivas primero (isomorfismos) y funciones después (homomorfismos). Estudiamos sus propiedades y los subgrupos definidos por ellos.

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De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta Las estructuras de los espacios de funciones son el tema del capı́tulo 6, tanto con la operación composición como con la operación definida en el codominio de las funciones donde surge de manera natural el concepto de matriz.

En el capı́tulo 7 estudiamos el ensamble de dos estructuras algebraicas vı́a la propiedad distributiva y construimos operaciones distributivas con respecto a una dada, primero por analogı́a con el conjunto de los números naturales y luego usando los endomorfismos de la estructura.

El capı́tulo 8 trata el mejor ensamble entre dos grupos abelianos, la estructura de campo, mostramos algunas de sus propiedades y usamos los procedimientos de los capı́tulos anteriores para construir campos con algunos resultados inesperados.

La segunda parte inicia con el capı́tulo 9 en el que presentamos varias versiones axiomáticas de los espacios vectoriales y deducimos, como consecuencias, sus propiedades básicas. Concluimos con la introducción de una nueva operación en los espacios vectoriales para conseguir la estructura de álgebra.

Los capı́tulos 10, 11 y 12 tienen el mismo espı́ritu que los capı́tulos 3, 4 y 5 pero aplicados a la construcción de espacios vectoriales, formando subespacios, espacios cociente y espacios producto, y comparándolos a través de homomorfismos lineales.

El capı́tulo 13 lo dedicamos al álgebra usual de las matrices, definimos su imagen y rango, y presentamos otras posibilidades de multiplicación.

En el capı́tulo 14 definimos funciones lineales y bilineales entre espacios de matrices, particularmente con codominio en el campo de entradas de la matriz, lo cual incluye la función transpuesta, la traza y el determinante.

El capı́tulo 15 aplica lo desarrollado en los dos capı́tulos anteriores en la solución de sistemas de ecuaciones lineales especialmente por el método de eliminación de Gauss-Jordan y en el cálculo del rango, la imagen y la inversa de una matriz. Finaliza con la regla de Cramer.

En el capı́tulo 16 introducimos las matrices elementales y expresamos las operaciones elementales de fila y la inversa de una matriz como productos por (y de) matrices elementales.

En el penúltimo capı́tulo representamos cada transformación lineal con una matriz y en particular con matrices diagonales usando sus valores y vectores propios.

Finalmente, el capı́tulo 18 muestra caminos para construir conceptos geométricos usando formas bilineales simétricas, en particular productos punto, que dan lugar a normas y métricas en los espacios. Terminamos con una presentación de una versión axiomática para las geometrı́as del plano basadas en los conceptos de punto y vector.

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De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta

Licenciado en matemáticas y física, magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional y magíster scientiæ en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Realizó estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor del Departamento de Matemáticas y coordinador del Grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado siete libros sobre actividad matemática y su vínculo con el desarrollo de procesos lógicos.

Yeison Alexander Sánchez Rubio

Carlos Julio Luque Arias Yeison Alexander Sánchez Rubio Haydee Jiménez Tafur

De los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta

Este libro presenta una propuesta didáctica para el aprendizaje del álgebra lineal basado en procesos de construcción de estructuras algebraicas que se aplican en otras ramas de las matemáticas: por generación en subconjuntos de una estructura, en el producto cartesiano de dos estructuras, en los conjuntos de partes, en conjuntos cocientes de una estructura, entre otros. Se pretende introducir la teoría de los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales en forma constructiva, usando los métodos de construcción de los grupos abelianos. En la primera parte, se aplican estos procesos a la construcción de grupos abelianos y al ensamble de estos con la ayuda de la propiedad distributiva, lo que origina estructuras como campos y anillos. En la segunda parte, se construyen y se estudian espacios vectoriales con el fin de ensamblar campos con grupos abelianos. Para los aspectos algorítmicos se desarrolló el programa Álgebra Finita 2.1 y la aplicación L-Finite para dispositivos móviles; finalmente, se propusieron actividades con el programa de libre acceso Software for Algebra and Geometry Experimentation, sage.

Esta publicación centra una particular atención en la formulación de conjeturas, proposición de ejemplos y actividades matemáticas con el fin de cuestionar no solo los contenidos habituales, sino también los procedimientos. Esto permite construir nuevas estructuras y aplicarlas a diferentes modelos en ciencias o al interior de las matemáticas.

Carlos Julio Luque Arias Yeison Alexander Sánchez Rubio Haydee Jiménez Tafur

Carlos Julio Luque Arias

Licenciado en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magister y candidato a doctor en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Se ha desempeñado en el campo de las matemáticas y la educación matemática, como investigador y como docente en las universidades Nacional, Pedagógica Nacional y Sergio Arboleda, entre otras. Ha participado como conferencista en diferentes eventos nacionales e internacionales e investigador del Grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica desde el año 2005

Haydee Jiménez Tafur Licenciada en matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia y doctora en Matemáticas de la Universidad de Sevilla (España). Ha publicado varios artículos en memorias de eventos sobre álgebra, enseñanza de las matemáticas y un libro sobre la actividad matemática de representar relacionada con el desarrollo del proceso de abstraer. Ha sido profesora en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y la Universidad Pedagógica Nacional, e investigadora del Grupo de Álgebra desde el año 2006.