Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar

Actividades matemรกticas para el desarrollo de procesos lรณgicos:

razonar

Universidad Pedagógica Nacional Juan Carlos Orozco Cruz Rector Edgar Alberto Mendoza Parada Vicerrector Académico Víctor Manuel Rodríguez Sarmiento Vicerrector de Gestión Universitaria Nohora Patricia Moreno García Directora Centro de Investigaciones, CIUP Preparación Editorial Universidad Pedagógica Nacional Fondo Editorial Víctor Eligio Espinosa Galán Coordinador Fondo Editorial Alba Lucía Bernal Cerquera Editora Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar © Universidad Pedagógica Nacional ISBN: 978-958-8650-42-5 Primera edición, 2013 Autores: Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito

Fernando Carretero Padilla Corrección de estilo Juan Manuel Martínez Restrepo www.juanmare.com Fotografía de carátula Haydee Jiménez Diagramación en LATEX Mauricio Esteban Suárez Barrera Diseño de carátula y diagramación Impresión Javegraf Bogotá, Colombia, 2013

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:

razonar Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez

Catalogación en la fuente Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional.

Luque Arias, Carlos Julio Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos : razonar / Carlos Julio Luque Arias, Juan Carlos Ávila Mahecha, María Nubia Soler Álvarez. - -- 1ª. ed. - - Bogotá : Universidad Pedagógica Nacional, CIUP, 2013 410 p. : figuras Referencias bibliográficas: p.395 – 401 ISBN : 978-958-8650-42-5 Lógica – Aprendizaje. 2. Razonamiento (Matemáticas). 3. Argumentación (Matemáticas). 4.

Matemáticas – Enseñanza. I. Ávila Mahecha, Juan Carlos. II. Soler Álvarez, María Nubia. III. Tít.

510.1 cd. 21 ed.

Los Autores Carlos Julio Luque Arias Licenciado en Matemáticas y Física, y magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Magíster Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional.

Ha publicado seis libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos.

Juan Carlos Ávila Mahecha Licenciado en Matemáticas y magíster en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. En 2006 le fue otorgada la distinción meritoria por su tesis de pregrado titulada Generación de funciones reales a partir de series. Desde 2004 forma parte del grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en la que ha colaborado en el desarrollo de algunos proyectos de investigación tanto como monitor y coinvestigador. Ha participado como asistente y conferencista en diversos eventos académicos nacionales e internacionales. Actualmente adelanta estudios de Maestría en Matemáticas en la Universidad de Cádiz, en España.

María Nubia Soler Álvarez Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en CienciasMatemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Investigación en Educación Matemática en el área de argumentación y la prueba en la clase de matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis (TED), revista dedicada a la Educación en Ciencias Experimentales, Matemáticas y Tecnologías.

A mi dama y alfil en un mundo con dos reinas, Ella y la μαθημα como forma de ser.

Carlos Julio Luque Arias

A mis padres Juan y Stella, y a ti, ek het jou lief.

Juan Carlos Ávila Mahecha

Tabla de contenido

Introducción

13

Capítulo I La noción de verdad

17

1.1. Los sofistas: no hay verdades absolutas

18

1.2. Los filósofos: la verdad absoluta existe

19

1.3. La ciencia: la verdad es científica

20

1.4. La matemática: la verdad no nos importa

21

1.4.1. La verdad de proposiciones compuestas y los conectivos lógicos

24

1.4.2. Los problemas del lenguaje común

30

Capítulo 2 Argumentación y razonamiento 2.1. Argumentos válidos

35 36

2.1.1. Razonamientos válidos y proposiciones verdaderas

43

2.1.2. Deducciones

46

2.1.3. La posición de Diodoro

47

2.1.4. La posición de Filón

65

2.1.5. Principios lógicos

70

2.2. Falacias

77

2.2.1. Sobre la verdad de las premisas

78

2.2.2. Sobre la relación entre antecedente y consecuente

82

Capítulo 3.

Razonamientos no demostrativos 3.1. El razonamiento inductivo

89 91

3.1.1. El método de inducción clásico: Sócrates y Aristóteles

92

3.1.2. Inducción completa

93

3.1.3. Inducción incompleta

95

3.1.4. Falacias del razonamiento inductivo

115

3.2. El razonamiento abductivo

125

3.3. Argumentación por analogía

127

Capítulo 4.

Matemáticas de los objetos lógicos

147

4.1. ¿Qué significa un punto de vista matemático?

148

4.2. El conjunto base: los valores de verdad

150

4.3. Los conectivos lógicos binarios

153

4.3.1. Estructuras algebraicas de los conectivos lógicos

155

4.4. Relaciones entre los conectivos lógicos

188

4.4.1. Sistemas de conectivos fundamentales

188

4.4.2. Propiedades de absorción

195

4.4.3. Propiedad distributiva

200

4.4.4. Otras estructuras con dos operaciones: retículos

207

4.5. Conectivos como matrices

216 223

4.5.1. Como acción de grupoide

4.6. El espacio de las funciones X

X

224

Capítulo 5.

Matemáticas de los procesos lógicos I

227

5.1. Validez de las reglas de inferencia

227

5.1.1. Tautologías y tablas de verdad

228

5.1.2. Otras leyes de inferencia

246

5.2. Uso de tablas de verdad para efectuar razonamientos

250

5.3. Tautologías y reemplazamiento

253

Capítulo 6.

Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

257

6.1. Sistemas axiomáticos

261

6.2. Sistemas axiomáticos para la lógica proposicional

263

6.2.1. Axiomática T

263

6.2.2. Axiomática C

268

6.2.3. Axiomática B

272

6.2.4. Pruebas con premisas (prueba condicional)

281

6.2.5. Axiomática K

282

6.2.6. Axiomática L

286

6.3. Otras axiomatizaciones para la lógica proposicional 6.3.1. El sistema G (deducción natural)

Capítulo 7.

Lógica de predicados

293 293

303

7.1. De las proposiciones a los predicados

304

7.2. De los predicados a las proposiciones: cuantificadores

306

7.2.1. Alcance de un cuantificador

309

7.2.2. Combinación de cuantificadores

310

7.2.3. Cuantificadores y conectivos lógicos

312

Capítulo 8.

Matemática de la lógica de predicados

323

8.1. Silogismos aristotélicos

323

8.2. Álgebras de Boole

325

8.2.1. Lógica en álgebras de Boole

337

8.2.2. Relaciones de congruencia en álgebras de Boole

338

8.3. Álgebras de Boole y los silogismos aristotélicos

339

8.4. Anillos de Boole

344

Capítulo 9.

El razonamiento matemático 9.1. Teorías matemáticas

347 349

9.1.1. Cómo nace una teoría

349

9.1.2. Demostración en teorías matemáticas

349

9.1.3. Prueba condicional

350

9.1.4. Estrategias de demostración

351

9.2. Dos teorías básicas para las teorías matemáticas

352

9.2.1. La lógica de predicados

352

9.2.2. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem

354

9.3. Teorías de números

362

9.3.1. Teoría de los números naturales: Peano

362

9.3.2. Teorías de los números reales

364

9.4. Teorías algebraicas

368

9.4.1. Teoría de grupos

368

9.5. Teorías geométricas

370

9.5.1. Geometría de Hilbert

371

9.5.2. Axiomática de Weyl

373

9.6. Topología

378

9.7. El método de demostración por inducción matemática

381

9.7.1. El método

9.8. Argumentación o demostración en clase de matemáticas

381 390

Bibliografía

395

Índice alfabético

403

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Introducción

Introducción Introducción

libro es producto de la investigación: Actividades matemáticas para E ste el desarrollo de procesos lógicos: los procesos matemáticos de ordenar y razonar, desarrollada en la Universidad Pedagógica Nacional entre los años 2007 y 2008, con el propósito de determinar actividades matemáticas elementales que favorecieran el desarrollo de procesos matemáticos de razonar y ordenar. Durante los años 2010 y 2011 se le realizaron algunas modificaciones para enfatizar en el estudio de razonamientos matemáticos diferentes al deductivo, como el inductivo y el abductivo, proponiendo actividades que propiciaran el desarrollo de estos razonamientos en los estudiantes para profesores de matemáticas que han cursado los espacios académicos de aritmética, sistemas numéricos y construcción de estructuras algebraicas, del proyecto curricular de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional y ofreciendo ambientes académicos de trabajo matemático que a la vez les permitan abstraer un modelo didáctico para la enseñanza, desde su propia experiencia.

Asumimos como hipótesis fundamental, como en las investigaciones precedentes sobre los procesos de contar, medir y representar, que es posible la actividad de creación matemática a nivel elemental1 en los estudiantes de la Licenciatura, entendida como la que desarrollan los matemáticos en su labor diaria de crear y demostrar teoremas, proponer y resolver problemas.

Compartimos la definición experimental de I. Yaglom (1981), de matemáticas elementales como aquellas que pueden ser desarrolladas en las escuelas y colegios de enseñanza secundaria (Yaglom, 1981).

1

13

Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos La actividad que desarrollamos en el aula de clase está fundamentada en preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulación de respuestas en una construcción colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan, argumentan, ejemplifican, establecen acuerdos, generalizan y abstraen; en general, en cada actividad se simula un ambiente cientı́fico. Sin embargo, la presentación que hacemos de cada actividad, en este libro, está organizada de una forma secuencial que no necesariamente corresponde a la misma seguida en clase, aunque el espı́ritu y los resultados son productos de esta interacción.

Este no es un libro de lógica, pretende ser un libro sobre el aprendizaje de la lógica donde se proponen tareas, algunas de las cuales se dejan inconclusas con la esperanza de que algún lector profundice; se muestran alternativas y se sugieren caminos. Hacemos énfasis en la actividad matemática relacionada con el proceso matemático de razonar; inductiva, abductiva y deductivamente, que es un proceso vinculado con otros más simples como simbolizar, visualizar, comparar, relacionar, secuenciar.

Las actividades se diseñaron, unas con el propósito de mostrar ambientes académicos de trabajo matemático en los cuales el estudiante esté en condiciones de crear conocimiento matemático nuevo para sı́ mismo, en particular las descritas en los cinco primeros capı́tulos; otras con los objetivos de estudiar y comparar propuestas matemáticas establecidas como las presentadas en los capı́tulos restantes.

En el primer capı́tulo discutimos sobre el concepto de verdad iniciando con la verdad relativa de los sofistas presocráticos, además del nacimiento y desarrollo de la retórica como herramienta de persuasión, para convencer a otras personas de las verdades propias. Mencionamos el nacimiento de la verdad de los filósofos y el método de inducción de Sócrates como recurso para conseguir la verdad. Pasamos por la convicción de que la ciencia sı́ tiene la verdad, hasta llegar a la concepción matemática de que la verdad de sus proposiciones no es lo que interesa. Seguidamente usamos la descomposición de una proposición como recurso para determinar su verdad en términos de la verdad de sus proposiciones atómicas componentes, entendida esta última como un convenio inicial, que se puede cambiar a voluntad.

El capı́tulo dos lo dedicamos a la argumentación entendida como una forma de manifestar las razones y pruebas para defender opiniones, concepciones o comportamientos, proponer o defender tesis; iniciamos con el estudio de los razonamientos deductivos válidos y el proceso de inferencia deductiva, lo que nos sirve para introducir dos formas de implicación: la formal de Diodoro y la material de Filón; asumiendo la primera como un intento por vi 14

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Introducción

Introducción lograr una construcción intuitiva de las reglas de inferencia pero dirigida por el profesor a la manera de la deducción natural de Gentzen. En la propuesta de Filón aparecen las llamadas paradojas de la implicación material, que aunque son lógicamente verdaderas, realmente no son ni verdaderas ni falsas, pues no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, pero que es la posición asumida en casi todas las teorı́as matemáticas.

Discutidas algunas formas básicas de razonamiento deductivo válido, abordamos enseguida las formas más comunes de errores de razonamiento, o falacias en dos grupos: las que atentan contra la verdad de las premisas y las que pervierten la relación entre las premisas y la conclusión.

En el tercer capı́tulo nos centramos en las formas de razonamientos no demostrativos; es decir, aquellas que conducen a conclusiones no necesariamente ciertas partiendo de premisas ciertas, pero que son las que permiten obtener informaciones nuevas, que no están contenidas en las premisas; estas son las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razonamientos abductivos. Mostramos varios ejemplos en distintas ramas de las matemáticas donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observaciones particulares, pero enfatizamos en el peligro de expresar conclusiones falsas o confundir conjeturas con conclusiones, presentando ejemplos de falacias frecuentes en estos tipos de razonamientos.

El capı́tulo cuatro está dedicado a la actividad matemática, focalizada en encontrar estructuras matemáticas de los objetos lógicos encontrados en los capı́tulos anteriores; primero mirando los conjuntos de valores de verdad, luego definiendo operaciones entre sus elementos y estudiando sus propiedades algebraicas, con la ayuda de un software: “Algebra finita 1.0”(adjunto a este libro), diseñado por el grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional y programado por José Leonardo Ángel (integrante del grupo), para facilitar cálculos tediosos, y procurando en cada caso encontrar unas de las propiedades de las operaciones que sirvan como argumentos para demostrar las demás, en una aproximación a la actividad matemática de axiomatizar.

Seguidamente, en un paso más de abstracción, aplicamos el mismo proceso a las operaciones tratando de expresar unas en términos de las otras, encontrando relaciones entre ellas que nos servirán para explicar más adelante las verdades lógicas conocidas como tautologı́as y estructuras algebraicas como los retı́culos. Finalmente, cambiamos de óptica y miramos cada tabla de los conectores lógicos como matrices para estudiar posibles conexiones entre la lógica y el álgebra lineal. vii 15

Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos El capı́tulo 5 demuestra a la manera de Peirce-Post y Wittengstein, usando tablas de verdad, la validez de las reglas de inferencia encontradas en el capı́tulo 2, además se ejemplifica el uso de esas tablas para validar algunos razonamientos. Finaliza con la introducción de la regla de sustitución como un mecanismo para simplificar demostraciones que nos servirá en los capı́tulos siguientes para mostrar otras formalizaciones de los procesos de inferencia deductiva.

En el capı́tulo 6 presentamos varias formas de axiomatizar la lógica proposicional, tiene el objetivo de excluir las unicidades y las creencias de que en matemáticas hay verdades y procedimientos verdaderos y abogar por los múltiples acercamientos a los mismos objetos y teorı́as matemáticas, esto permite las comparaciones, mejora la comprensión y sugiere analogı́as que conducen a nuevas conjeturas. Finaliza con una presentación de los elementos básicos de la deducción natural de Gentzen.

El capı́tulo 7 lo dedicamos a precisar algunos elementos básicos del lenguaje de la lógica de predicados, y en particular a estudiar el comportamiento de los cuantificadores universal y existencial, sus relaciones con los conectivos lógicos y las reglas de inferencia que regulan su aplicación en razonamientos válidos.

En el capı́tulo 8 mostramos otra forma de matematizar el razonamiento con predicados, más exactamente usando el álgebra a la manera de Boole.

Estudiamos las álgebras de Boole inicialmente con unos axiomas que luego se reducen en número y permiten explicar los silogismos aristotélicos con ecuaciones.

El último capı́tulo está dedicado a algunas consideraciones sobre el razonamiento matemático, las nociones de demostración, prueba condicional, pruebas indirectas en diferentes ramas de la matemática, desde la teorı́a de conjuntos hasta la topologı́a, pasando por formas de argumentación en álgebra, en teorı́a de números, en geometrı́a, para concluir que los métodos de demostración en ellas son sustancialmente los mismos, que lo que varı́a, generalmente en abstracción, son los objetos y sus relaciones. Finaliza con una muestra del método de inducción matemática que también está presente en casi todas las ramas de la matemática.

viii 16

Impreso en el mes de agosto de 2013 en los talleres de Javegraf Bogotรก, 2013. Colombia.