МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р. Відповіді та вказівки
10 клас
{
}
10.1. Відповідь. (0; 1; 2), ( −2; −3; −4) . Вказівка. Додавши по 1 до лівих та правих частин рівнянь, дістанемо систему
( x + 1)( y + 1) = 2, ( y + 1)( z + 1) = 6, ( x + 1)( z + 1) = 3, звідси ( ( x + 1)( y + 1)( z + 1) ) = 36 , тобто ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = ±6 . 2
10.2.
Відповідь.
∅ . Вказівка. Маємо
2 + 3 y = (6 + 1) x ,
2 + 3 y = 6a + 1 ,
1 3 y −1 − 2a = − , де a ∈ ¥ , що неможливо. 3 10.3. Відповідь. Перше число. Вказівка. Подайте число 1111111111 через a . Тоді нам
необхідно
порівняти
числа
5a − 2 5a + 2
та
(5a − 2)(6a + 3) > (5a + 2)(6a − 2) (бо a > 2 ), тому
6a − 2 . 6a + 3
Зазначимо,
що
5a − 2 6a − 2 > . 5a + 2 6a + 3
10.4. Вказівка. Вказана операція не змінює парності суми написаних чисел. Оскільки сума заданих чисел 3 + 4 + ... + 2012 = =
3 + 2012 ×2010 = 2015 ×1005 – 2
непарна, то в кінці залишиться непарне число. 10.5. Вказівка. Відомо, що r = 2
формул:
S ABC = pr
і
S ABC =
( p − a ) + ( p − b) + ( p − c ) = p .
( p − a )( p − b)( p − c ) (це випливає із двох p
p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ). Врахуйте і те, що Позначивши
p−a = x,
p−b = y,
p−c = z,
нерівність можна звести до нерівності 2
2
2
1 1 1 x+ y+z + 2+ 2≥ , яка рівносильна 2 x y z xyz
1 1 1 1 1 1 нерівності − ÷ + − ÷ + − ÷ ≥ 0 . x y y z z x