МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р. Відповіді та вказівки
11 клас
11.1. Відповідь. x =
2 2 +1 . Вказівка. Перепишіть дане рівняння у вигляді 2
2x −1 . Доведіть, що при t < 1 та t ≥ 2 рівність неможлива (можна 2 застосувати графіки відповідних функцій). Таким чином, 1 ≤ t < 2 . В такому разі [t ] = 1 і t 2 − 1 = [t ] , де t =
рівняння буде мати вигляд t 2 = 2 . Звідки t =
2 , бо 1 ≤ t < 2 .
11.2. Відповідь. ∅ . Вказівка. Припустимо, що y – непарне число, тоді за умовою задачі маємо: (4 + 1) − 4 = (4 − 1) , (4a + 1) − 4 = 4b − 1, a − b − 1 = x
y
неможливо. Отже, y = 2m , m ∈ ¥ .
1 , де a , b ∈ ¥ , що 2
x y Припустимо, що x – непарне число, тоді за умовою задачі одержуємо: (6 − 1) = 3 + 4 ,
6c − 1 = 3 y + 4,2c − 3 y −1 − 1 =
(
2 , де c ∈ ¥ , що неможливо. Отже, x = 2n, n ∈ ¢ . 3
Далі маємо 52 n − 32 m = 4 , 5 − 3
) (5
5n − 3m = 1, систем: n m 5 + 3 = 4;
5n − 3m = 2, 5n = 2,5, тобто m n m 5 + 3 = 2; 3 = 1,5;
n
або
m
n
+ 3m ) = 4 , що еквівалентно сукупності двох або
5n = 2, m 3 = 0;
що неможливо. 11.3. Вказівка. Позначимо довжини основ трапеції через a та b , висоти відповідних трикутників – через ha та hb . Тоді S =
S2 b hb a+b ah bh = = . Таким (ha + hb ), S1 = a , S2 = b . З подібності a ha S1 2 2 2
чином,
S=
a + b 2 S1 2 S2 a + b a +b + S1 + S2 = ÷= 2 a b a b
S S b a = 1 + ÷S1 + 1 + ÷S2 = 1 + 2 ÷S1 + 1 + 1 ÷S2 = S1 ÷ S2 ÷ a b
(
)
2
S1 + S2 .
Звідси й випливає шукана рівність. 11.4. Вказівка. Подайте сторони трикутника ABC через BD і вказані кути:
AB =
BD BD , BC = , cos ∠ABD cos ∠CBD
AD = BD ×tg ∠ABD , CD = BD ×tg∠CBD ,
AC = BD tg 2 ∠ABD + tg 2∠CBD . За теоремою косинусів з трикутника
ABC
знаходимо:
AB 2 + BC 2 − AC 2 cos ∠ABC = = 2 ×AB ×BC BD 2 BD 2 + − BD 2 ( tg 2 ∠ABD + tg 2 ∠CBD ) 2 2 = cos ∠ABD cos ∠CBD = BD BD 2× × cos ∠ABD cos ∠CBD 1 1 − tg 2 ∠ABD ÷+ − tg 2∠CBD ÷ 2 2 cos ∠ABD cos ∠CBD = = 2 cos ∠ABD ×cos ∠CBD
=
1+1 = cos ∠ABD ×cos ∠CBD . 2 cos ∠ABD ×cos ∠CBD
11.5. Відповідь. Андрійко. Вказівка. Спочатку Андрійко називає число 1 , а далі, якщо Миколка на n -му ході додає число m до числа, названого Андрійком, то Андрійко на ( n + 1) -му ході додає число 11 − m до числа, названого Миколкою, тобто Андрійко
збільшує своє попереднє число на 11 , незалежно від ходу Миколки. При такій стратегії Андрійко називатиме числа: 1 , 12 , 23 , 34 , 45 , 56 , 67 , 78 , 89 і 100 .