МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р. Відповіді та вказівки 8 клас 8.1. Відповідь. ∅ . Вказівка. Після скорочення врахуйте, що x ≠ 9 . 8.2. Відповідь. Так, існує. Вказівка. При n = 502 одержуємо: 2012 + 5022 = 5042 . 8.3. Відповідь. 112 . Вказівка. Розіб’ємо усі 900 трицифрові числа на вісімки послідовних трицифрових чисел: {100,101,...,107} , {108,109,...,115} , … . В кожній вісімці лише одне (а саме останнє) число при діленні на 8 дає остачу 3. Оскільки 900 = 112 ×8 + 4 , то є 112 таких вісімок і одна “неповна вісімка”, в якій потрібного числа немає. 8.4. Вказівка. Так як AO = BO , то CM – серединний перпендикуляр до сторони AB . Звідси випливає, що ∠BAO = ∠ABO = ∠CBO = 30° і BC = CA , тобто трикутник ABC – рівносторонній.
8.5. Відповідь. 176 . Вказівка. Число потомків дорівнює кількості ребер в графі – родовідному дереві царя Гвидона: 57 ×3 + 5 = 176 .