МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р. Відповіді та вказівки 9 клас 9.1. Відповідь. x > −
1 . Вказівка. Розгляньте два випадки: 3 − x < 0 і 3 − x ≥ 0 . 2
9.2. Вказівка. Скористайтеся наступними перетвореннями:
210 + 512 = ( 25 + 56 ) − 2 ×25 ×56 = ( 25 + 56 ) − ( 23 ×53 ) = 2
2
= ( 25 + 56 + 23 ×53 ) ( 25 + 56 − 2 3 ×53 ) . 9.3. Вказівка. Розгляньте різницю між лівою і правою частинами вихідної нерівності. Вона буде рівною такому виразу:
( a − b)
2
( 3a
2
+ 3b 2 + ( a + b ) 12
2
) ≥ 0.
9.4. Вказівка. З точки B опустимо перпендикуляр BR на пряму CM . Тоді VAPM =VBRM за гіпотенузою і гострим кутом. З рівності цих трикутників випливає рівність відповідних сторін: і Крім того, AP = BR MP = MR . CP = CQ + QP = 2 MP + QP = PR + QP = QR . Тоді VBRQ =VAPC за двома катетами. Звідки слідує, що AC = BQ .
9.5. Відповідь. Порівну. Вказівка. Якщо периметр прямокутника дорівнює 2012 , то сума довжин його сусідніх сторін дорівнює 1006 . Отже, можна перелічити усі цілочисельні прямокутники периметра 2012 : 1 × 1005 , 2 × 1004 , …, 503 × 503 . Їх всього 503 . Аналогічно, можна перелічити усі цілочисельні прямокутники периметра 2014 : 1 × 1006 , 2 × 1005 , …, 503 × 504 . Їх всього також 503 .