Matematicas Financieras by Francisco Javier Herrada Silva

Matemรกticas Financieras

online

Antología Tema 1 Interés simple.

Es el resultado que se obtiene cuando los interés producidos durante el tiempo que dura una inversión se debe únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los intereses son fusión únicamente del capital principal, la tasa de interés y el número de periodos. C= t= I= M= i=

El capital que se invierte. El tiempo o plazo. El interés simple. Monto = Capital más interés La tasa de interés. online

InterĂŠs simple. Formulas I= Cit M= C+I; C=

M= C+Cit;

M ; (1+it) I C

M=C(1+it)

C= M(1+it)-1

X 100

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Interés simple. Ejemplo de Monto: El Sr. López invierte $100,000,00 en un pagaré bancario a un plazo de tres meses con una tasa de interés simple del 7% anual. ¿Cuánto recibirá al termino del plazo? Datos: C= $100,000.00 t= 3 meses i= 7% anual.

M=?

Formula: M= C+I;

M= C+Cit;

M=C(1+it)

Desarrollo: M= 100,000 (1+(.07/4)(1)) =$101,750.00 t= 3 meses t anual= 3/12 = 1/4 i anual= 7% i trimestral= 1.75 % online

Interés simple. Ejemplo de Capital: El Sr. López tiene parte de su capital en una inversión a plazo fijo semestral con una tasa de interés de 4.5% anual, al final del período el Sr. López recibirá la cantidad de $67,900.00. ¿ Cuál fue el capital invertido? Datos: C= ? t= 6 meses i= 4.5% anual. M= 67,900

Formula:

M ; (1+it)

C= M(1+it)-1

Desarrollo:

C= 67,900 (1+(.0425/2)(1))-1 =$66,487.15 t= 6 meses t anual= 6/12 = 1/2 i anual= 4.5% I semestral= 2.25 % online

Interés simple. Ejemplo de Tiempo: El Sr. López entró a una tanda en dónde invirtió $50,000.00 y recibirá la cantidad de $85,000, la tasa de interés del mercado es de 15%. ¿Cuál es el período que debe esperar para recibir sus rendimientos? Datos:

Formula: M= C+I;

C= 50,000

t= ? i= 15% anual. M= 85,000

M= C+Cit;

Despejando t= Desarrollo:

M=C(1+it)

( ) -1 M C

t= ((85,000/50,000)-1)/.15 =4.66 años i

anual=

15% online

Interés simple. Ejemplo Tasa de Interés: El Sr. López obtiene un préstamo por $20,000,00 que solicitó a un banco, y acuerda pagarlo, después de dos meses, entregándole al banco $21,400.00. Datos: C= $20,000.00 t= 2 meses I=$1,400.00 M= $21,400.00

i= ?

Formula:

I C

X 100

Desarrollo: i= (1,400 /20,000) 100= 7% bimestral. t= 2 meses t anual= 2/12 = 1/6 i anual= 7%(6)= 42%

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Interés simple. Ejemplo Interés Simple: El Sr. López otorga un préstamos personal de $10,000 a un año con una tasa de interés mensual del 8%. ¿Cuál es el interés simple generado en el período? Datos: C= $10,000.00 t= 1 año

I=? M= i= 8% mensual

Formula:

I= Cit Desarrollo: I= (10,000)(.08)(12)= 9,600 (10,000)(.96)(1)= 9,600 tanual= 1 tmensual= 12 meses i mensual= 8% i anual= 96%

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Tema 2 Interés compuesto. El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial o principal a una tasa de interés durante periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan. C= El capital que se invierte. I= El interés compuesto. M= Monto = Capital más interés i= La tasa de interés por periodo. Jm= Tasa nominal e= Tasa efectiva anual n= Número de periodos. Fc= Frecuencia de conversión. online

Interés compuesto. Cuando se dice que el interés se capitaliza se esta hablando de interés compuesto. Ejemplo: Supongamos que se depositan $100,000 pesos en una cuenta de ahorro que paga 10% de interés semestral. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de seis meses?

Isemestral= ? C= 100,000 t= semestre Isemestral= 10%

Formula:

I=Cit (interés simple)

Desarrollo: I=Cit I=100,000(.1)(1)=10,000

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Interés compuesto. Supongamos que se depositan otros $100,000 pesos en una cuenta de valores que paga 20% de interés convertible trimestralmente. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de seis meses?

Isemestral= ? C= 100,000 t= semestre ianual= 20%

i trimestral= 20% anual 4 trimestres Formula:

= 5% trimestral

I=Cit (interés simple)

Desarrollo: 1º Trimestre I=Cit =100,000(.05)(1)=5,000 Desarrollo: 2º Trimestre I= (C+I 1ºTrim)it= (100,000+5,000)(.05)(1)= 5,250 I total/ semestral= I 1º Trim + I 2º Trim= 10,250 online

Interés compuesto. Periodo de capitalización es la conversión de intereses a capital de forma anual, semestral, trimestral, mensual, etc. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión. Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga 5% de interés capitalizable trimestralmente? i= 5% anual t= trimestre FC= ?

Un año = Un trimestre

12 meses = 4 3 meses

Frecuencia de conversión = 4

Nota: cuando el interés se expresa sin mencionar su capitalización, se entiende que este ocurre anualmente. online

Interés compuesto. Ejemplo de Monto: Se depositan $500.00 pesos en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años? Formula: M=C+I ; M=C+Cit; M=C+Ci; M=C(1+i)n

C= 500 i= 18% anual capitalizable mensualmente

2 años=?

t se convierte en 1 n es el número de periodos o ;empo.

Desarrollo: i= tasa de interés anual = 18 = 1.5 % mensual frecuencia de conversión 12 n= lapo de años x frecuencia de conversión n= 2 X12= 24

M= 500(1+.015)24= 714.75 online

Interés compuesto. Ejemplo de Capital / Valor actual o presente: ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50,000 pesos dentro de 3 años y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente? Formula: M=C(1+i)n; C=

M ; C= M(1+i)-n (1+i)n

Desarrollo: M= 50,000 i= un año = i= 20% anual semestre capitalizable semestralmente n= 3 años C=?

20 anual = 10% semestral 2 semestre

n= 3 años = 6 semestres C= 50,000(1+.01)-6= 28,223.70 online

Interés compuesto. Tasa nominal, efectiva y equivalente:

Tasa nominal = Tasa de interés anual que rige durante el lapso que dures la operación. Tasa efectiva= La capitalización del interés en forma semestral, trimestral o mensual. Tasa equivalente= Dos tasas anuales con diferentes periodos de capitalización que producen el mismo interés compuesto.

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Interés compuesto. Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1,000 pesos pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente? Formula: C= 1,000 i= 18% anual capitalizable mensualmente

n= 12 meses i efectiva=?

M=C(1+i)n ; I= M-C; i= I x 100 C

Desarrollo: M=C(1+i)n = 1,000(1+(18/12))12=1,195.62 I=M-C = 1,195.62-1,000= 195.62 i= I x 100 = 195.62 = .1956 x 100 = 19.56% C 1,000

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i nominal = 18%

i efectiva= 19.56%

Interés compuesto. Sustituimos: i= tasa efectiva j= tasa de interés anual nominal m= el número de periodos de capitalización Formula: C(1+i) = C(1+j/m)m Dividiendo entre C (1+i)=(1+j/m)m i= (1+j/m)m-1 x 100 Desarrollo: i=(1+j/m)m-1= (1+(.18/12))12-1=.1956(100)= 19.56%

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tasa equivalente

Interés compuesto. Ejemplo de Tiempo: ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1,000 pesos si se considera una tasa de interés a) de 36% anual convertible mensualmente, y b) de 24% anual también convertible mensualmente? Formula:

M=C(1+i)n

Se despeja (1+i)n y se obtiene: M/C= (1+i)n= factor de acumulación del interés compuesto. Se aplican logaritmos: log factor = n log (1+i) n= log factor log (1+i) online

InterĂŠs compuesto. C= 1,000 M= 2,000 j= 36% anual convertible mensualmente i= 3% mensual n= tiempo = ?

C= 1,000 M= 2,000 j= 24% anual convertible mensualmente i= 3% mensual n= tiempo = ?

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Desarrollo a): n= log 2,000 1,000 = 23.45 meses log (1+(.36/12))

Desarrollo b): n= log 2,000 1,000 = 35 meses log (1+(.24/12))

Interés compuesto. Ecuaciones de valor equivalentes Es la que se obtiene al igualar en una fecha de comparación o fecha focal dos flujos distintos de efectivo. Ejemplo: ¿Qué cantidad debe pagarse trimestralmente para que una deuda de 3 pagos mensuales de $100 pesos, dada una tasa de interés de 2% mensual? Hay dos supuestos: a)  La cantidad original constituida por los tres pagos mensuales, y b)  El pago trimestral X con el que se desea sustituirla. X=

(100+I1)+(100+I2)+(100+I3)

Flujo 1

Flujo 2

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Interés compuesto. Desarrollo: X= 100(1.02)2+100(1.02)1+100 = 306.4 X 1 + 100

+ 100

+ 100 X

1 + 100

online

+ 100

Interés compuesto. Desarrollo: Ahora igualaremos los valores a la fecha cero, calculando para ello su valor actual o presente: X(1+.02)-3= 100(1.02)-1+100(1.02)-2+100(1.02)-3 X= 100(1.02)-1+100(1.02)-2+100(1.02)-3 = 306.04 (1+.02)-3

X 0 FF

1 + 100 online

2 + 100

Tema 3 Anualidades vencidas En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Algunos ejemplos son: •  •  •  •

Los pagos mensuales por renta El cobro quincenal o semanal de sueldos Los abonos mensuales a una cuenta de crédito Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Intervalo o periodo de pago: Tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo de una anualidad: Tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Renta: Pago por periodo que se hace. online

Anualidades vencidas. Tipos de anualidades Criterio

Tipos de anualidad

a)Tiempo

Ciertas Con;ngentes

b) Intereses

Simples Generales

c) Pagos

Vencidas An;cipadas

d) Iniciación

Inmediatas Diferidas

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Anualidades vencidas. Tipos de anualidades a)  Tiempo: Fechas de inicio y termino de las anualidades. •  •

Anualidad cierta: Fechas fijas y estipuladas de antemano. Anualidad contingente: La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas o no se fijan de antemano; dependen de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuando.

b)  Intereses: •  •

Anualidad simple: Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Anualidad general: El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización.

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Anualidades vencidas. c)  Pagos: •  •

Anualidad vencida: Anualidad ordinaria. Los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Anualidad anticipada: Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

d)  Iniciación: •  •

Anualidad inmediata: La mas común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato. Anualidad diferida: Se pospone la realización de los cobros o pagos.

De todos los tipos de anualidad, el más común es el de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. online

Anualidades vencidas. Monto Características de esta anualidad: •  •  •  •

Simples: El periodo de pago coincide con el de capitalización. Ciertas: Las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipación. Vencidas: Los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos. Inmediatas: Los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se realiza la operación.

Elementos: R C M

La renta o pago del periodo. El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presente. El valor en el momento de su vencimiento , o monto. El valor de todos los pagos al final de la operación. online

Anualidades vencidas. Ejemplo: ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversión que rinde 36% anual convertible mensualmente?

100,000

Datos: C= 100,000 i= 36% anual/trim iperiodo= ? M= ? Formula: M= C(1+i)n M= R (1+i)n-1 i

100,000

Desarrollo: M= C+C(1+i)+C(1+i)2+C(1+i)3+C(1+i)4+C(1+i)5 M=100,000+100,000(1.03)+100,000(1.03)2+ 100,000(1.03)3+100,000(1.3)4+100,000(1.3)5 M= $646,841 M= 100,000 (1.03)6-1 = $646, 841 .03

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Anualidades vencidas. Valor actual ¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $4,500 depositados al final de cada uno de 7 trimestres, si la tasa de interés es de 9% trimestral? 0

4,500

Datos: C= ? i= 9% trim R=4,500 Formula: C= M(1+i)-n C=R 1+(1+i)-n=A i

Desarrollo: C=M(1+i)-1+M(1+i)-2+M(1+i)-3+M(1+i)-4+M(1+i)-5+ M(1+i)-6+M(1+i)-7 C=4,500(1.09)-1+4,500(1.09)-2+4,500(1.09)-3+ 4,500(1.09)-4+4,500(1.09)-5+4,500(1.3)-6+ 4,500(1.09)-7 C= $22,648.28 C= 4,500 1(1+.09)-7= $22,648.28 i

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Anualidades vencidas. Renta Una persona adquiere hoy a crédito una computadora. La computadora cuesta $19,750 y conviene en pagarla con 4 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tendrá que pagar cada mes si le cobran 1.8% mensual de interés? Datos: C= 19,750 i= 1.8% men n= 4 R=? Formula: R=

Desarrollo: R= 19,750 (.018)= $5,161.67 1-(1+.018)-4

Ci 1-(1+i)-n

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Anualidades vencidas. Plazo ¿Cuántos pagos de $607.96 al final de mes tendría que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $8,500, si da $2,550 de enganche y acuerda pagar 24% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo? Datos: C= 8,500-2,550= 5,950 i= 24%/12=2% n= ? R=607.96 Formula: C= R 1 – (1+i)-n i

Desarrollo: 5,950= 607.96 1- (1.02)-n .02 5,950 (.02) = 1- (1.02)-n 607.96 .195736-1 = (1.02)-n .80426343 = 1 (1.02)n (1.02)n = 1 .80426343 n log 1.02 = log 1.24337369 n = log 1.24337369 = 11 log 1.02

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Anualidades vencidas. Tasa de interés La Sra. Lucero debe pagar hoy $350,000.00. Como no tiene esa cantidad disponible, platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62,000.00, el primero de ellos dentro de un mes. ¿Qué tasa de interés va a pagar? Datos: C=350,000 i= ? n= 6 R=62,000

Desarrollo: 350,000

= 62,000 1- (1+i)-6 i -6 350,000 = 1- (1+i) ; 5.645161= 1 -(1+i)-6 62,000 i i

Formula: Tenemos que encontrar i que nos de la cantidad de 5.645161

C= R 1 – (1+i)-n Si i= .02 el resultado es 5.601431 i .017 5.658585 C = 1- (1+i)-n R i

.175 .18

5.648998 5.639435

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Anualidades vencidas. Vamos a calcular la menor diferencia entre ambas tasas en relación al resultado 5.645161 5.648998 – 5.639435 = .009563 5.645161 – 5.639435 = .005726 .005726 =.59876608 .009563 Debido a que el numerador representa aproximadamente el 59.9% se selecciona la tasa que le dio origen, 18%. De ahí al 1.8% le restamos 59.87% de la distancia total entre las tasas: .018-.598766(.018-.0175) = .017700 Por lo tanto: i= i mayor +[i menor– i mayor (diferencia menor / diferencia mayor)] i= .018 + [.017-.018 ( .05726/.009563)] i= .018 + [-.0005 (.59876608)] = .017701 = 1.77% online

Tema 4 Anualidades anticipadas. Monto y Valor actual Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $250 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 1.3% mensual de interés ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?

-‐1

250

Datos: R=250 i=1.3% mensual n= 12 M=? online

Formula: M= R (1+i)n-‐1 (1+i) i Desarrollo: M= 250 (1.013)12-‐1 (1+.013) .013 M= 3,265.99

Anualidades anticipadas. Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $2,750 de renta, por anticipado. Como desearía librarse del compromiso mensual de renta, decide proponer una renta anual equivalente y también anticipada. Si se calculan los intereses a razón de 15.60% convertible mensualmente, ¿de cuánto deberá ser la renta anual? Datos: R=2,750 i=15.6% conv/mensual i= 1.3% mensual n= 12 C=?

online

Formula: C= R ( 1 + 1-‐ (1+i)-‐n+1 ) i Desarrollo: C= 2,750 (1+ (1.013)-‐12+1) .013 C= 30,767.60

Anualidades anticipadas. Renta, plazo e interés En la tienda se vende una bicicleta por $1,800 al contado o mediante 5 abonos mensuales anticipados. Si el interés es de 32.4% convertible mensualmente, calcúlese el valor del pago. Datos: R= ? C= 1,800 i= 32.4% conv/mensual i= 2.7% mensual n= 5

online

Formula: R= C (1+ (1+i)-‐n+1) i Desarrollo: R= 1,800 (1+ (1.027)-‐5+1)) .027 M= $379.43

Anualidades anticipadas. En un almacén se vende un mueble de comedor por $4,600.00 al contado, o mediante pagos mensuales anticipados de $511.69. El el interés es de 29.40% convertible mensualmente. ¿cuántos pagos es necesario hacer?

Datos: R= 511.69 C= 4,600 i= 29.40% conv/mensual i= 2.45% mensual n= ?

Formula: C= R (1+ (1+i)-‐n+1) despejamos n i n= 1 -‐ log[ 1+i – (Ci/R)] log (1+i) Desarrollo: n= 1 – log[1+.0245)-‐ (4,600(.0245)/511.69)] log (1+.0245)

n= 10

online

Anualidades anticipadas. ¿A que tasa de interés anual 15 depósitos anuales anticipados de $800.00 acumulan un monto de $200,000.00?

Datos: R= 800 M= 200,000 i= ? n= 15

Formula: M= R [ (1+i)n+1-‐1 -‐ 1] i Desarrollo:

M +1 = (1+i)16-‐ 1 ; 200,000 +1= (1+i)16-‐ 1 ; 251= (1+i)16 -‐ 1 R i 800 i i Tenemos que encontrar i que nos de la can;dad de 251 Si i = .30 el resultado es 218.4722031 i= .35 344.8969512 i= .32 262.3556798 i= .31 239.4234901 i= .315 250.631167 i=.31516075 250.999498

i= 31.52% online

Tema 5 Anualidades diferidas Monto y Valor actual En octubre, un almacén ofrece al público un plan de venta de “Compre ahora y pague después”. Con este plan, una persona adquiere un escritorio, que recibe el 1º de noviembre, y que debe pagar mediante 12 mensualidades de $180.00 a partir del 1º de enero del año siguiente. Si se considera el interés a 36% anual convertible mensualmente ¿cuál es el valor de contado del mueble? Desarrollo: Datos: -‐12) (1.03)-‐1 C= 1 80 ( 1+ ( 1.03) R= 180 .03 C= 200,000 i= 36% conv/men C= $1,739.54 n= 12 Formula: C=R 1+(1+i)-n (1+i)-1 i

online

Anualidades vencidas. El 12 de enero un deudor acuerda pagar su deuda mediante 8 pagos mensuales de $3,500 haciendo el primero el 12 de julio del mismo año. Si después de realizar el quinto pago deja de hacer dos pagos, ¿ qué pago único deberá hacer al vencer el último pago pactado originalmente para saldar completamente su deuda, si el interés se calcula al 21.60% con capitalización mensual? Desarrollo: Datos:

El monto de su deuda al 12 de febrero sería: R= 3,500 C= 200,000 8 i= 21.6% conv/men M= 3,500 (1.018) -1 = $29,828.95 .018 n= 2 M= ? Lo que en realidad pagó, al 12 de febrero sería: Formula: M= R (1+i)n-1 i

M= 3,500 (1.018)5-1 (1.018)3= $19,138.82 .018 Por lo tanto, lo que debe pagar al 12 de febrero: 29,828.95 – 19,138.82 = $10,690.13 online

Anualidades vencidas. Renta, plazo e interés El 14 de mayo del año 1 se depositaron $100,000 en un fondo de inversiones con el objeto de retirar 10 mensualidades a partir del 14 de febrero del año 3. Si los intereses que gana la inversión son de 17.52% capitalizable cada mes, hallar el valor de las mensualidades que se podrán retirar. Datos: R= ? C= 100,000 i= 17.52% conv/men n= 10 t= 3 años

C=R 1-

C= R 1- (1.01460)-10 (1.1460)-20 .01460 100,000(1.1460)20= R 1 – (1.01460)-10 1.01460 100,000(1.336279) = R (9.241758)

Formula: (1+i)-n

Desarrollo:

(1+i)-1

R= 100,000(1.336279) = $14,459.14 9.241758

online

Anualidades vencidas. Si se depositan hoy $8,000.00 en una cuenta de inversiones que paga el 26% capitalizable mensualmente, ¿cuántos retiros mensuales de $500.00 se podrán hacer comenzando dentro de seis meses? Desarrollo: Datos: Primero se calcula el valor del depósito al final del 5º mes. R= 500 C= 8,000 8,000(1+(.26/12))5= 8,906.50 i= 26% conv/men n= 10 Y ahora podemos planear una anualidad vencida: Formula: C=R 1- (1+i)-n i

8,906.5 = 500 ( 1- (1.0217)-n) .0217 8,905.5(.0217) – 1 = – 1.0217-n 500 Ln (.613458) = -n Ln (1.0217) n= - Ln (.613458) = 22.76 Ln (1.0217)

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Anualidades vencidas. Si para pagar una deuda de $25,000.00 se hacen 5 pagos mensuales de $7,000.00 comenzando 8 meses después de formalizar la operación, ¿cuál fue la tasa de interés que se cobro? Desarrollo: Datos: R= 7,000 M= 25,000 i= ? n= 8 Formula: C=R 1- (1+i)-n i

25,000(1+i)7 = 7,000 1 + (1+i)-5 i 25,000 = 1 + (1+i)-5 ; 3.571429 = 1 - (1+i)-5 7,000 i(1+i)7 i(1+i)7 Tenemos que encontrar un valor i que iguale a 3.571429: Si i=.05 el resultado es 3.076878 =.04 3.383019 =.03 3.723721 =.035 3.548790 =.034 3.583026 online

Anualidades vencidas.

i - .034 .035 - .034 i - .034 .001

3.571429 â&#x20AC;&#x201C; 3.583026 3.548791 â&#x20AC;&#x201C; 3.583026

.338737

i= .034+(.338737)(.001) = .034339 25,000(1.034339)7= 7,000 1 - (1.034339)-5 .034339 31,665 aprox 61,664.64

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Tema 6 Tablas y fondos de amortización.

Amortización En el área financiera, amortización significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de tiempo iguales.

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Amortización. Se contrae hoy una deuda de $95,000.00 a 18% convertible semestralmente que amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales, R, el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. ¿Cuál es el valor R?

Datos: R= ? C=95,000 i= 18% conv/sem n= 6

Formula: C= R 1 – (1 + i)-‐n i Desarrollo: R= Ci = 95,000(.09) = 21,177.36 1 – (1 + i)-‐n 1 – (1.09)-‐6

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Amortización. Tabla de amortización: Pago semestral

Fecha

Interés sobre saldo

AmorCzación

Al momento de la operación

Saldo

95,000.00

Fin del semestre 1

21,177.36

8,550.00

12,627.36

82,372.64

Fin del semestre 2

21,177.36

7,413.54

13,763.82

68,608.82

Fin del semestre 3

21,177.36

6,173.79

15,002.57

53,606.25

Fin del semestre 4

21,177.36

4,824.56

16,352.80

37,253.45

Fin del semestre 5

21,177.36

3,352.81

17,824.55

19,428.90

Fin del semestre 6

21,177.36

1,748.60

19,428.90

0.00

127,064.30 32,064.31

95,000.00

Totales

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Amortización. ¿Cuántos pagos mensuales de $119.00 son necesarios para saldar una deuda de $1,800.00 contratada hoy a 32.4% convertible mensualmente? Formula: C= R 1 – (1 + i)-‐n ; despejamos n i Datos: Ci = 1 – (1 + i)-‐n ; Ci – 1 =(1 + i)-‐n ; R R R= 119 -‐n log (1 + i) = log (1 – Ci) ; n= -‐ log(1 – Ci) / R C=1,800 R log (1 + i) i= 32.4% conv/men n= ? Desarrollo: n= -‐ log (1-‐(1,800)(.027)/119)) = 19.70314897 log 1.027

Se pueden realizar 18 pagos de $119 y al ﬁnal un pago mayor o, se pueden realizar 19 pagos de $119 y un pago menor al ﬁnal. online

Amortización. Al final del pago 18 el saldo insoluto sería (derechos del acreedor). Opción de un pago mayor: 1,800(1.027)18 – 119 (1.027) 18 – 1 = 195.52 .027 195.52 (1.027)= 200.80 Opción del pago menor: 1,800(1.027)19 - 119 (1.027) 19 – 1 = 81.80 .027 81.80 (1.027)= 84.81

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Amortización. Una maquina de coser usada cuesta $820.00 al contado. El plan a crédito es de $270.00 de enganche y 10 pagos quincenales de $58.00 ¿Cuál es la tasa de interés que se cobra en la operación? Formula: C= R 1 – (1 + i)-‐n i Datos: Desarrollo: R= 270 550= 270 (1 – (1+i)-‐n) ; 550 = (1 – (1+i)-‐n) C=820-270 i 270 i i= ? -‐n) = 9.48275862 (1 – ( 1+i) n= 10 i i= .0095 el resultado es 9.496757904 .0097 9.48656454 i=.0097+(.0003)(.24940482= .00977482 i= 9.77% quincenal online

Amortizaci贸n.

Fondo amortizaci贸n La deuda que se va a amortizar se plantea a futuro y lo que se hace es construir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales y peri贸dicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que permita pagar la deuda a su vencimiento.

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Amortización. Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $400,000.00. Para asegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga 9% convertible mensualmente. a.  ¿De cuánto deben ser los depósitos? b.  Hacer una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo. Datos: M= 400,000 R= ? i= 9% conv/men n= 6

Formula: M= R (1 + i)n -‐ 1 i Desarrollo: R= Mi = 400,000(.0075) = 65,427.56 (1 + i)n -‐ 1 (1.0075)6 -‐ 1

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Amortización. Tabla de acumulación del fondo:

Fecha

Depósito por periodo

Fin del mes 1

65,427.56

Fin del mes 2

65,427.56

Fin del mes 3

Interés

Total que se suma al fondo

Saldo

65,427.56

490.71

65,918.27

131,345.83

65,427.56

958.09

66,412.65

197,758.48

Fin del mes 4

65,427.56

1,483.19

66,910.75

264,669.23

Fin del mes 5

65,427.56

1,985.02

67,412.58

332,081.81

Fin del mes 6

65,427.56

2,490.61

67,918.19

400,000.00

392,565.38

7,434.62

400,000.00

Totales

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Amortización. Del ejemplo anterior, si quisiéramos determinar, ¿cuál sería el saldo en el 4 mes, sin ver la tabla del fondo?

Datos: M= ? R= 264,669.23 i= 9% conv/men n= 6

Formula: M= R (1 + i)n -‐ 1 i Desarrollo: M = R (1 + i)n -‐ 1= 65,427.56 (1.0075)4 – 1 = 264,669.23 i .0075

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Amortización. ¿Cuántos depósitos mensuales sería necesario realizar en un fondo de amortización que se invierte en un instrumento que paga 9% anual convertible mensualmente si se quiere liquidar una deuda que vales $4,800.00 a su vencimiento y si se realizan depósitos de $850.00?

Datos: M= 4,800 R= 850 i= 9% conv/men n= ?

Formula: M= R (1 + i)n -‐ 1 i Desarrollo: 4,800 = 850 (1.0075)n = 4,800(.0075) = 1.0075n .0075 850 n= log 1.04235294 = 5.55 log 1.0075 El sexto depósito sería de: 4,800 = ( 850 (1.0075)5 – 1) 1.0075 + X .0075 X= 4,800 – 4,346.59 = 453.41

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Amortización. Una deuda que vencía el 25 de septiembre, por un monto de $16,800.00 se liquidó con un fondo acumulado mediante 8 depósitos mensuales vencidos por $1,967.76. ¿Cuál fue la tasa de interés mensual que rendía el fondo?

Datos: M= 16,800 R= 1,967.76 i= ? n= 8

Formula: M= R (1 + i)n -‐ 1 i Desarrollo: 16,800 = 1,1967.76 (1 + i)n ; 16,800 = (1 + i)8 i 1,167.76 i (1 + i)8 = 8.5376265 i Si i = .0185 el resultado es 8.53761583 i= 1.85% mensual online

Tema 7 Métodos de evaluación de proyectos. Criterios básicos Para determinar la aceptabilidad de un proyecto es necesario determinar los flujos de efectivo esperados.

Valor Presente Neto Determina el valor presente de los flujos netos futuros de efectivo, descontados a la tasa de rendimiento requerida por la empres. Si VPN es positivo el proyecto se considera como una inversión aceptable. VPN= FE0+ FE1 + FE2 + … + FEn (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n n Fet (1 +i )t t=0

∑

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Métodos de evaluación de proyectos. Una empresa tiene los siguientes flujos de efectivo proyectados para un proyecto de inversión. ¿El proyecto se puede considerar viable? La tasa de rendimiento es de 10%. Desarrollo: Datos: FE0= -3,000 FE1= 1,500 FE2= 1,200 FE3= 800 FE4= 300

VPN = -3,000 + 1,500 + 1,200 + 800 + 300 1.11 1.12 1.13 1.14 VPN= 161.33 El proyecto de inversión es viable.

-‐3,000

1,500

1,200

800

300

1,363.64 991.74 601.05 204.90

VPNs= $161.33

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Métodos de evaluación de proyectos. Tasa Interna de Rendimiento Es la tasa de descuento que obliga al valor presente de los flujos de efectivo esperados de un proyecto a igualar su costo inicial. La TIR debe des ser mayor que la tasa de rendimiento requerida por la empresa para tal inversión.

FE0+ FE1 + FE2 + … + Fen = 0 (1 + TIR)1 (1 + TIR)2 (1 + TIR)n n Fet = 0 (1 +TIR )t t=0

∑

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VPN = -3,000 + 1,500 + 1,200 + 800 + 300 (1+TIR)1

(1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4

VPN= 0 Se sustituye TIR al tanteo para igualar VPN= 0 TIR= 13.1% -‐3,000

1,500

1,200

800

300

3,000

VPNs= $ 0

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Métodos de evaluación de proyectos. Periodo de recuperación Es el plazo que transcurre antes de que se recupere el costo original de una inversión a partir de los flujos de efectivo esperados.

FE0+ FE1 + FE2 + … + Fen = 0 (1 + TIR)1 (1 + TIR)2 (1 + TIR)n n Fet = 0 (1 +TIR )t t=0

∑

online