Tema 3 Anualidades vencidas En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Algunos ejemplos son: • • • •
Los pagos mensuales por renta El cobro quincenal o semanal de sueldos Los abonos mensuales a una cuenta de crédito Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Intervalo o periodo de pago: Tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo de una anualidad: Tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Renta: Pago por periodo que se hace. online
Anualidades vencidas. Tipos de anualidades Criterio
Tipos de anualidad
a)Tiempo
Ciertas Con/ngentes
b) Intereses
Simples Generales
c) Pagos
Vencidas An/cipadas
d) Iniciación
Inmediatas Diferidas
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Anualidades vencidas. Tipos de anualidades a) Tiempo: Fechas de inicio y termino de las anualidades. • •
Anualidad cierta: Fechas fijas y estipuladas de antemano. Anualidad contingente: La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas o no se fijan de antemano; dependen de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuando.
b) Intereses: • •
Anualidad simple: Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Anualidad general: El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización.
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Anualidades vencidas. c) Pagos: • •
Anualidad vencida: Anualidad ordinaria. Los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Anualidad anticipada: Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.
d) Iniciación: • •
Anualidad inmediata: La mas común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato. Anualidad diferida: Se pospone la realización de los cobros o pagos.
De todos los tipos de anualidad, el más común es el de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. online
Anualidades vencidas. Monto Características de esta anualidad: • • • •
Simples: El periodo de pago coincide con el de capitalización. Ciertas: Las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipación. Vencidas: Los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos. Inmediatas: Los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se realiza la operación.
Elementos: R C M
La renta o pago del periodo. El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presente. El valor en el momento de su vencimiento , o monto. El valor de todos los pagos al final de la operación. online
Anualidades vencidas. Ejemplo: ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversión que rinde 36% anual convertible mensualmente?
100,000
Datos: C= 100,000 i= 36% anual/trim iperiodo= ? M= ? Formula: M= C(1+i)n M= R (1+i)n-1 i
100,000
100,000
100,000
100,000
100,000
Desarrollo: M= C+C(1+i)+C(1+i)2+C(1+i)3+C(1+i)4+C(1+i)5 M=100,000+100,000(1.03)+100,000(1.03)2+ 100,000(1.03)3+100,000(1.3)4+100,000(1.3)5 M= $646,841 M= 100,000 (1.03)6-1 = $646, 841 .03
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Anualidades vencidas. Valor actual ¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $4,500 depositados al final de cada uno de 7 trimestres, si la tasa de interés es de 9% trimestral? 0
1
2
3
4
5
6
7
C
4,500
4,500
4,500
4,500
4,500
4,500
4,500
Datos: C= ? i= 9% trim R=4,500 Formula: C= M(1+i)-n C=R 1+(1+i)-n=A i
Desarrollo: C=M(1+i)-1+M(1+i)-2+M(1+i)-3+M(1+i)-4+M(1+i)-5+ M(1+i)-6+M(1+i)-7 C=4,500(1.09)-1+4,500(1.09)-2+4,500(1.09)-3+ 4,500(1.09)-4+4,500(1.09)-5+4,500(1.3)-6+ 4,500(1.09)-7 C= $22,648.28 C= 4,500 1(1+.09)-7= $22,648.28 i
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Anualidades vencidas. Renta Una persona adquiere hoy a crédito una computadora. La computadora cuesta $19,750 y conviene en pagarla con 4 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tendrá que pagar cada mes si le cobran 1.8% mensual de interés? Datos: C= 19,750 i= 1.8% men n= 4 R=? Formula: R=
Desarrollo: R= 19,750 (.018)= $5,161.67 1-(1+.018)-4
Ci 1-(1+i)-n
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Anualidades vencidas. Plazo ¿Cuántos pagos de $607.96 al final de mes tendría que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $8,500, si da $2,550 de enganche y acuerda pagar 24% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo? Datos: C= 8,500-2,550= 5,950 i= 24%/12=2% n= ? R=607.96 Formula: C= R 1 – (1+i)-n i
Desarrollo: 5,950= 607.96 1- (1.02)-n .02 5,950 (.02) = 1- (1.02)-n 607.96 .195736-1 = (1.02)-n .80426343 = 1 (1.02)n (1.02)n = 1 .80426343 n log 1.02 = log 1.24337369 n = log 1.24337369 = 11 log 1.02
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Anualidades vencidas. Tasa de interés La Sra. Lucero debe pagar hoy $350,000.00. Como no tiene esa cantidad disponible, platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62,000.00, el primero de ellos dentro de un mes. ¿Qué tasa de interés va a pagar? Datos: C=350,000 i= ? n= 6 R=62,000
Desarrollo: 350,000
= 62,000 1- (1+i)-6 i -6 350,000 = 1- (1+i) ; 5.645161= 1 -(1+i)-6 62,000 i i
Formula: Tenemos que encontrar i que nos de la cantidad de 5.645161
C= R 1 – (1+i)-n Si i= .02 el resultado es 5.601431 i .017 5.658585 C = 1- (1+i)-n R i
.175 .18
5.648998 5.639435
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Anualidades vencidas. Vamos a calcular la menor diferencia entre ambas tasas en relación al resultado 5.645161 5.648998 – 5.639435 = .009563 5.645161 – 5.639435 = .005726 .005726 =.59876608 .009563 Debido a que el numerador representa aproximadamente el 59.9% se selecciona la tasa que le dio origen, 18%. De ahí al 1.8% le restamos 59.87% de la distancia total entre las tasas: .018-.598766(.018-.0175) = .017700 Por lo tanto: i= i mayor +[i menor– i mayor (diferencia menor / diferencia mayor)] i= .018 + [.017-.018 ( .05726/.009563)] i= .018 + [-.0005 (.59876608)] = .017701 = 1.77% online