Percurso Livre - Energia

Percurso Livre energia

ensino médio - matemática

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Índice › ›

Apresentação .............................................................................................................. 5 Para começo de conversa ........................................................................................... 6 1º encontro - Quando um gráfico fala ...................................................................... 7 2º encontro - Sem ponta, com ponta! .................................................................... 18 3º encontro - Calcular para economizar ................................................................. 27 4º encontro - Progredir sem poluir! ........................................................................ 36 5º encontro - A energia do triângulo retângulo ...................................................... 45

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Apresentação A Matemática é uma ciência poderosa e bela; problematiza ao mesmo tempo a harmonia divina do Universo e a grandeza do espírito humano.

(F. Gomes Teixeira)

Prezado professor, prezada professora, Você está recebendo o Percurso Livre de Matemática do Projeto Autonomia. Mais uma vez nos empenhamos ao máximo para oferecer a você um material de qualidade e que tem como objetivo facilitar e enriquecer seu trabalho. Acreditamos que este caderno possa fornecer a você, professor(a), algumas condições necessárias para ajudar no crescimento intelectual de nossos estudantes.

Reforçamos aqui alguns pontos fundamentais:

• A Matemática está presente no dia a dia de todos nós e não há área do conhecimento em que ela não esteja presente. Por isso oferecemos atividades contextualizadas aplicando assim os conteúdos trabalhados em situações concretas.

• Propor atividades verdadeiramente instigantes que desafiam e valorizam a criatividade do estudante é essencial para um ensino com sucesso da Matemática.

No presente módulo, partindo de questões relacionadas com o tema Energia, são explorados os seguintes conteúdos:

• Gráficos; • Sólidos geométricos; • Funções; • Progressões aritméticas; • Triângulo retângulo.

Por fim, reforçamos a ideia de que a participação do estudante é primordial e que não abrir mão da experiência matemática adquirida na vida cotidiana de cada um deles é ainda mais importante.

Bom trabalho!

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Para Começo de Conversa Ao chegarmos em casa, apertamos o interruptor e a luz invade a sala . Se estamos com sede, vamos até a geladeira e bebemos um copo de água gelada. Na hora do lazer, nos esticamos num sofá e assistimos às novelas ou a um jogo de futebol. Esses e tantos outros atos simples, que praticamos diariamente, inconscientemente até, dependem da energia elétrica e na rotina diária dependemos de muitas outras formas de energia. Para andarmos de carro precisamos de gasolina, gás ou álcool. Nos ônibus usa-se o óleo diesel. Enfim, é impossível imaginarmos a nossa vida sem os benefícios acima e muitos outros. Contudo temos que ter consciência de que o nosso planeta não é um depósito inesgotável de fontes de energia. Muitas dessas fontes estão se esgotando e precisamos fazer um uso racional das energias que hoje estão a nosso dispor.

Você já sabe que a matemática é imprescindível em nossas vidas, pois essa ciência nos permite a possibilidade da transformação. Por isso, aproveite ao máximo esses cinco encontros e não economize energia para dominar conteúdos que lhe permitirão uma postura mais crítica e consciente em relação a várias questões importantes do mundo atual.

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1º encontro - Quando um gráfico fala Atividade inicial Professor, mostre aos seus estudantes o gráfico abaixo:

Em seguida, proponha um debate onde as seguintes questões devem ser levantadas:

• O petróleo é uma das principais fontes de energia utilizada em todo o planeta, porém existem muitas outras. Peça que a turma dê exemplos de outras fontes de energia. Quais seriam as vantagens e desvantagens de cada uma?

• O petróleo deve ser considerado uma fonte de energia renovável? Por quê?

• Por que os gráficos são tão utilizados pelos veículos de comunicação (TV, jornais, revistas, etc)?

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Agora, seus estudantes devem responder às perguntas abaixo:

• Qual foi a produção mundial de petróleo no ano de 1960?

• Em qual período do século XX a produção de petróleo aumentou de forma mais drástica?

• Em que ano, aproximadamente, do século XX a produção de petróleo correspondeu a 2000∙ 106 toneladas? resPostas: a. 1000∙ 106 toneladas

b. Entre 1960 e 1970

c. 1965

A importância dos gráficos A simples observação de um gráfico pode nos dar, de forma instantânea, uma quantidade muito grande de informações. Um gráfico bem feito pode proporcionar a mesma quantidade de informações contidas em um texto.

Os principais tipos de gráficos são:

Gráfico de LinhA ou Gráfico de SeGmento exemplo:

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Gráfico de coLunAS e Gráfico de BArrAS: exemplo:

Gráfico de Setor ou Gráfico de “pizzA”. exemplo:

Quando trabalhamos com o gráfico de setores é normal termos que efetuar cálculos envolvendo porcentagens. Vale então lembrar que para calcular p% de um valor V devemos multiplicar este valor por p e dividir o resultado por 100. Ou, usando letras, temos: p% de V é igual a p∙V 100

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ExErcÍcios dE fixAção pArA rEsolvEr sozinho!

Calcule os percentuais pedidos em cada caso: a. 20% de 450 b. 35% de 200 c. 15% de 86 d. 7% de 345 e. 12,5% de 90 f. 3,4% de 64 g. 2,8% de 600 resPostas a. 90

b. 70

c. 12,9

d. 24,15

e. 11,25

f. 2,176

g. 16,8

Professor, incentive agora seus estudantes a resolverem em duplas os exercícios abaixo.

Se possível forneça a cada um deles uma folha de papel quadriculado para a realização dos exercícios 3 e 4.

1. João pagou no mês de dezembro R$ 72,00 de luz. Após a companhia de energia elétrica anunciar um aumento de 5% na conta de luz, quanto João pagou em Janeiro? soLUÇÃo: O aumento na conta de luz será de 5∙72 = 3,6. Logo, o valor pago em janeiro será de R$ 72,00 + R$ 3,60 = R$ 75,60.

100

sUgestÃo de atiVidade oPcionaL: Professor, se achar oportuno peça para a turma efetuar a seguinte multiplicação: 72 x 1,05. comparando o resultado obtido com a resposta do exercício, leve-a a concluir que se uma quantidade V sofre um aumento de p%, o valor após o aumento é igual a: V∙

( ) 1+p 100

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2. Ao abastecer seu carro, Regina verificou que o preço de um litro de álcool correspondia a 60% do preço de um litro de gasolina. Considere que Regina colocou 20 litros de álcool no tanque do seu automóvel, pagando por isso um total de R$ 37,20. Calcule o preço cobrado por um litro de gasolina nesse local. soLUÇÃo O preço do litro de álcool é igual a 37,20 ÷ 20 = 1,86. Este valor corresponde a 60% do preço do litro de gasolina. Logo, podemos escrever a seguinte equação: 60V =1,86 100

Resolvendo-a, temos: 60V = 186, o que nos dá V = 186 = 3,10. Logo, um litro de gasolina custa 60

R$ 3,10. oUtra soLUÇÃo

O preço do litro de gasolina poderia ser calculado através de uma regra de três simples: Valor em reais

%

1,86

60

V

100

Logo, 60 ∙ V = 1,86 ∙100, o que implica V = 186 = 3,1. Então, o preço procurado é de R$ 3,10.

60

3. Analise atentamente o gráfico abaixo:

Fonte: Eletrobrás – Procel – Ano Base 2005.

Esse gráfico contém importantes informações a respeito do consumo de energia elétrica em uma residência. A partir de pequenas mudanças de hábitos e costumes no nosso dia a dia podemos economizar energia e essa economia traz benefícios não só para nós mesmos, mas também para todo o planeta.

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Após analisar e refletir sobre as informações contidas no gráfico, responda às seguintes perguntas: a. Qual aparelho elétrico consome mais energia numa residência? b. Que atitudes você pode tomar para economizar energia e, consequentemente, diminuir o valor de sua conta de luz? c. Considere uma casa onde, em um determinado mês, o valor da conta de luz correspondeu a R$ 120,00 e que possui todos os aparelhos citados no gráfico. Complete então a tabela abaixo: aPareLho

VaLor gasto

Geladeira Ar condicionado Lâmpadas TV Som Freezer Ferro de passar Chuveiro Elétrico

d. Construa um gráfico de colunas com os dados obtidos na tabela acima. resPostas: a. Resposta livre b. Resposta livre c. aPareLho

VaLor gasto

Geladeira

R$ 26,40

Ar condicionado

R$ 24,00

Lâmpadas

R$ 16,80

TV

R$ 10,80

Som

R$ 3,60

Freezer

R$ 6,00

Ferro de passar

R$ 3,60

Chuveiro Elétrico

R$ 28,80

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d.

4. A partir das informações contidas na tabela abaixo, construa um gráfico de linha.

ProdUÇÃo mensaL de etanoL em Litros Janeiro

100.000.000

Fevereiro

80.000.000

Março

125.000.000

Abril

90.000.000

resPosta:

conversa com o professor chame a atenção da turma para o fato de que as unidades de medida escolhida para os eixos coordenados, quando da construção de um gráfico, podem e devem ser escolhidos de maneira conveniente, levando em consideração os dados apresentados.

Sugerimos que os gráficos das questões anteriores sejam explorados em outras atividades.

Motive a turma a retirar de cada gráfico o maior número de informações possíveis. seja esperto: economize energia!

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A seguir apresentamos algumas dicas que podem ajudar você a economizar energia elétrica. No final do mês, todos saem ganhando: você e o planeta.

1. Reduza o tempo do seu banho.

2. Use a máquina de lavar sempre com a capacidade máxima.

3. Abra a geladeira o menor número de vezes possível.

4. Não deixe as luzes acesas à toa.

5. Use lâmpadas econômicas.

6. Prefira a escada, ao invés do elevador, para subir um ou dois andares.

7. Mantenha limpos os filtros do ar condicionado.

8. Prefira a cor branca para a pintura de ambientes fechados.

ExplorAndo mAis o gráfico dE sEtorEs! Este tipo de gráfico, popularmente conhecido como “gráfico de pizza”, relaciona os ângulos centrais de um círculo, com os percentuais de um conjunto de dados. Esses percentuais são denominados frequências relativas.

Vamos analisar a seguinte situação: uma pesquisa realizada com 500 pessoas sobre qual tipo de combustível utiliza em seu automóvel apresentou o seguinte resultado: tiPo de combUstíVeL

número de Pessoas

Gasolina

320

Álcool

130

Outros

50

Calculando os percentuais em relação ao total de pessoas que responderam à pesquisa temos: Gasolina = 320 x 100 = 64% 500 Álcool = 130 x 100 = 26% 500 Outros = 50 x 100 = 10% 500 Os valores percentuais obtidos são denominados frequência relativa. Podemos então construir o gráfico de setores correspondente à pesquisa realizada, considerando que o ângulo central relativo a cada tipo de combustível pode ser calculado da seguinte maneira:

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Gasolina: (64∙360) = 230,4° 100 Álcool: (26∙360) = 93,6° 100 Outros: (10∙360) = 36° 100 imPortante: uma circunferência possui 360°.

Podemos então, com a ajuda de um transferidor, finalmente construir o gráfico de setores que representa a situação acima.

Professor, incentive seus estudantes a resolverem individualmente a atividade abaixo: 1. Determine os ângulos centrais do gráfico de setor abaixo:

resPosta: Geladeira: 79,2° / Ar condicionado: 72° / Lâmpadas: 50,4° / TV : 32,4° / Som: 10,8° Freezer: 18° / Ferro de passar: 10,8° / Chuveiro Elétrico: 86,4°

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Atividades em grupo Professor, a seguir, propomos a resolução de uma questão que caiu no ENEM. Acreditamos que seus estudantes possam chegar à solução correta da mesma. Incentive-os e auxilie-os se necessário para atingir esse objetivo.

1. Deu no ENEM em 2007 Figura I

Figura II

As figuras apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e de água relativos a cinco máquinas industriais de lavar roupa comercializadas no Brasil. A máquina ideal, quanto a rendimento econômico e ambiental, é aquela que gasta, simultaneamente, menos energia e água. Com base nessas informações, conclui-se que, no conjunto pesquisado: a. quanto mais uma máquina de lavar roupa economiza água, mais ela consome energia elétrica. b. a quantidade de energia elétrica consumida por uma máquina de lavar roupa é inversamente proporcional à quantidade de água consumida por ela. c. a máquina I é ideal, de acordo com a definição apresentada. d. a máquina que menos consome energia elétrica não é a que consome menos água.

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e. a máquina que mais consome energia elétrica não é a que consome mais água. soLUÇÃo: A resposta correta é a letra D. Observe que a máquina que menos consome energia é a III. Contudo ela consome mais água que as máquinas I e II.

2. Observe atentamente o gráfico abaixo:

Com base nas informações contidas no gráfico acima, responda: a. Em qual ano, o preço do etanol hidratado correspondeu a, aproximadamente, 60% do preço da gasolina? b. Se em 2008, o preço da gasolina era de R$ 1,90 por litro, qual era o preço do etanol hidratado nesse mesmo ano? c. Considere que em 2011, o etanol hidratado custava R$ 2,10 o litro. Quanto custava, então, um litro de gasolina nesse mesmo ano? soLUÇÃo a. No ano de 2009. b. Chamando de x o preço do etanol no ano de 2008, temos que x = (58 ∙ 1,90) = 1,102. Lo100 go, o preço do litro de etanol era de R$ 1,102.

(72 ∙ g) c. Chamando de g o preço do litro da gasolina, temos que 100 = 2,10. Então, 72∙g = 210, o que nos dá g = 2,91666... . Logo, o litro de gasolina custava, aproximadamente, R$ 2,917.

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2º encontro - Sem ponta, com ponta!

Atividade inicial Mostre para a turma as figuras abaixo. Se possível leve para a sala de aula objetos do cotidiano que possuem o formato desses sólidos.

Em seguida entregue a seus estudantes uma cópia da ficha abaixo e peça que eles marquem com um X as características presentes em cada sólido.

sÓLido

roLa

nÃo roLa

PossUi base

nÃo PossUi base

PossUi Vértice(s)

nÃo PossUi Vértice(s)

A B C D E F

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resPosta

sÓLido

nÃo roLa

roLa

A

x

PossUi base

x x

x

x

C

x

x x

E

x x

x

nÃo PossUi Vértice(s)

x

x

x

F

PossUi Vértice(s)

x

B

D

nÃo PossUi base

x

x x

Sólidos podem ser classificados de acordo com vários critérios. Nesse encontro vamos estudá-los, descobrindo algumas de suas características e como calcular o volume de alguns deles.

Professor, a seguir propomos algumas perguntas. Divida a turma em duplas e incentive-as a responder cada uma delas.

Vejamos então:

• O que os sólidos A e F têm em comum?

Ambos apresentam duas bases e faces laterais.

• O que os sólidos B e D têm em comum?

Ambos apresentam uma única base e um vértice principal.

• O que os sólidos C e F têm em comum?

Ambos apresentam duas bases.

nomeAndo oS SÓLidoS sÓLido a e F – São denominados prismas. sÓLido b – É denominado cone. sÓLido c – É denominado cilindro. sÓLido d – É denominado pirâmide. sÓLido e – É denominado esfera.

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A enerGiA eÓLicA Apesar de ser uma das mais antigas formas de energia conhecida, pois é usada pelo homem desde a antiguidade para mover moinhos e embarcações, atualmente apenas 1% da energia gerada no mundo provém deste tipo de fonte. Enormes turbinas, chamadas de aerogeradores, colocadas em locais de muito vento, geram energia elétrica. O uso da energia eólica deve aumentar nos próximos anos, pois se trata de uma fonte de energia limpa, ou seja, não gera poluição nem polui o meio ambiente.

Veja abaixo alguns aerogeradores de grande porte.

(Fonte: Energia que transforma – Fundação Roberto Marinho)

Observe que, quanto maior o diâmetro, maior é a energia gerada.

Vamos recordar agora como se calcula a área de um círculo: área do círculo = π∙r² Professor, incentive seus estudantes a resolverem sozinhos as seguintes atividades:

AtividAdE 1 Calcular a área de círculos de diâmetro D, nos seguintes casos: (Use π=3). a. D = 15 m b. D = 20 m c. D = 30 m d. D = 40 m e. D = 70 m f. D = 115 m

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resPostas a) 168,75 m²

b) 300 m²

c) 675 m²

d) 1200 m²

e) 3675 m²

f) 9918,75 m²

AtividAdE 2 Em 1980, um aerogerador produzia 30 kw e em 2005 essa produção passou a ser de 5000 kw. Determinar o aumento percentual ocorrido na produção de energia de um aerogerador entre 1980 e 2005. soLUÇÃo

(

Podemos usar a fórmula Vf = Vi∙ 1 + p

100

) vista no 1° encontro. Nessa fórmula, V representa o valor fif

nal, Vi, o valor inicial e p a porcentagem pedida. Logo:

(

30 ∙ 1 + p

100

p =165,666… ® p=16566,666… %. Arredondando ) = 5000 ® 1 +100p =166,666… ® 100

esse valor podemos dizer que o aumento percentual correspondeu a 16.566,7%.

Também podemos obter esse valor utilizando uma regra de três. Veja:

Como estamos interessados em calcular o aumento percentual devemos obter o valor desse aumento em kw. Ele é igual a 5000 – 30 = 4970 kw. Logo.

VaLor em kw

%

30

100

4970

p

Resolvendo essa regra de três, obtemos a seguinte equação: 30 ∙ p = 497000 ® p= 497000 =16566,666…. Logo, o aumento percentual correspondeu a aproximadamente 16566,7%.

30

Veja abaixo a lista dos dez países que mais geram energia eólica: 1º - China (62,7 mil megawatts) 2º - Estados Unidos (46,9 mil megawatts) 3º - Alemanha (29 mil megawatts) 4º - Espanha (21,6 mil megawatts) 5º - Índia (16 mil megawatts) 6º - França (6,8 mil megawatts) 7º - Itália (6,7 mil megawatts) 8º - Reino Unido (6,5 mil megawatts)

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9º - Canadá (5,2 mil megawatts) 10º- Portugal (4 mil megawatts) (Fonte: Relatório de 2011 da Global Wind Energy)

cALcuLAndo o VoLume de priSmAS e ciLindroS O volume de prismas e cilindros é igual ao produto da área da base pela medida da altura.

Se chamarmos de b a área da base e de h a altura de um prisma ou de um cilindro, podemos simplesmente escrever: V=b∙h Vejamos alguns exemplos.

Em muitas comunidades rurais a luz elétrica ainda não está presente ou é muito inconstante. Por isso é comum o uso de óleo diesel e outros combustíveis no cotidiano da população rural. Considere que um morador de uma dessas comunidades pretenda transportar para seu sítio 210 litros de óleo diesel em recipientes com a forma e dimensões abaixo.

Quantos recipientes, no mínimo, serão necessários? soLUÇÃo Como a base é um retângulo, a área da base é igual ao produto de suas dimensões, ou seja, B = 30 ∙ 20 = 600 cm². Logo, o volume é igual a 600 ∙ 40 = 24000 cm³. Devemos agora descobrir quantos litros representam 24000 cm³. Como 1 dm³ = 1000 cm³, 24000 cm³ = 24 dm³.

Sabemos ainda que 1 dm³ = litro, logo 24000 cm³ = 24 dm³ = 24 litros.

Dividindo o volume a ser transportado, temos:

(

210 18

24 8

Logo, serão necessários, no mínimo, 9 recipientes.

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Atualmente é bastante comum o uso de gás natural (GNV) como um combustível alternativo à gasolina e ao álcool. Observe a figura abaixo, retirada de uma propaganda. Ela mostra um “cilindro” de gás usado comumente em veículos automotores. Calcule o volume desse cilindro, em metros cúbicos, e compare com o valor informado.

Em primeiro lugar é conveniente observar que o sólido acima não é, na verdade, um cilindro. Por quê? Veja que suas extremidades são arredondadas. Um cilindro de verdade tem como bases círculos iguais. Portanto, para efeito de cálculo vamos considerar que esse “cilindro” tenha 85 cm de altura e 35 cm de diâmetro. Como no exercício anterior, precisamos determinar b, ou seja, á área da base.

Como o diâmetro é igual a 35 cm, o raio é igual a 17,5 cm. (Lembre-se de que o raio mede metade do diâmetro). Então, B = π ∙ (17,5)2 = 306,25 π cm². Nessa atividade, vamos usar a seguinte aproximação π = 3. Logo, B = 306,25 ∙ 3 = 918,75 cm². Finalmente, para calcular o volume do cilindro basta multiplicar B pela medida da altura. Ou seja, V = 918,75 ∙85=78093,75 cm³. Como 78093,75 cm³ = 78,09375 dm³ ≅ 0,0781 m³.

O valor obtido é muito menor que o valor informado na propaganda. Trata-se de uma propaganda enganosa? Ou será que existe uma explicação para isso? conversa com o professor em todo esse encontro usaremos para a constante π o valor 3, com o objetivo de simplificar os cálculos. contudo, é conveniente chamar a atenção da turma para a irracionalidade do número π.

AtividAdE 3 Calcular o volume dos seguintes sólidos. Use, quando necessário, π = 3. a. Prisma de base quadrada de lado 6 dm e altura igual a 10 dm. b. Prisma de base retangular de dimensões 6 cm por 7 cm e altura igual a 8 cm. c. Prisma cuja base é um triângulo equilátero de lado 4 cm e cuja altura mede 12 cm.

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d. Cilindro de diâmetro 10 dm e altura 18 dm. e. Cilindro de raio 14 cm e altura 9 cm. resPostas: a. 360 dm³

b. 336 cm³

c. 48√3 cm³

d. 1350 dm³

e. 5292 cm³

cALcuLAndo o VoLume de pirÂmideS e coneS O volume de pirâmides e cones é igual a 1 do produto da área da base pela medida 3 da altura.

3

Se chamarmos de b a área da base e de h a altura de uma pirâmide ou de um cone, podemos simplesmente escrever: V = b∙h 3 Vamos ver agora a seguinte situação problema: Para a construção de uma hidrelétrica serão construídos 5 sólidos de concreto com a forma de uma pirâmide com base quadrada, cujo lado mede 80 cm. Se a altura de cada pirâmide é igual a 1,2 metro, quantos m³ de concreto serão necessários para a construção desses sólidos? soLUÇÃo Em primeiro lugar vamos calcular B, ou seja, a área da base. Como a base é um quadrado de lado 80 cm = 0,8 m, B = 0,8 x 0,8 = 0,64 m². Logo, o volume da pirâmide é igual a (0,64∙1,2) = 0,256 m³. Como são 5 sólidos, o total de concreto é igual a 5 x 0,256 = 1,28 m³

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conversa com o professor normalmente, ao falarmos de pirâmides para os estudantes, muitos creem que só existem pirâmides de base quadrada. isso com certeza está ligado à fama das pirâmides egípcias. contudo, não deixe de mencionar a existência de pirâmides triangulares, pentagonais, hexagonais, etc.

Vejamos mais um exercício!

A seguir representamos dois reservatórios de combustível, completamente vazios, que possuem a mesma altura e o mesmo raio. Em cada um deles será aberta uma torneira de vazão constante e que enche o tanque cilíndrico em 1h48min. Em quanto tempo o tanque cônico ficará cheio?

soLUÇÃo Como os dois tanques têm a mesma altura e o mesmo raio, o volume do tanque cilíndrico é o triplo do volume do tanque cônico. Como a vazão é constante, o tempo necessário para o tanque cônico ficar cheio é a terça parte do tempo que o tanque cilíndrico leva para ficar cheio. Logo, esse tempo é igual a um terço de 1h48min. Em minutos, esse tempo é igual a 60 + 48 = 108. Dividindo 108 por 3, encontramos 36 minutos.

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Atividade em grupo A figura abaixo mostra certa quantidade de barris de petróleo. Considere que cada um deles tenha 1 metro de diâmetro e 1 metro de altura.

a. Calcule, em metros cúbicos, o volume de cada barril. b. Suponha que cada um deles seja vendido por 30 dólares. Qual é o preço de um litro de petróleo? c. O Brasil pertence ao seleto grupo de países que produz mais de 2 milhões de barris de petróleo por dia. Qual é a quantia mínima, em reais, arrecadada na venda de petróleo diariamente. Considere que o preço de venda seja de 30 dólares e que 1 dólar = 2 reais. soLUÇÃo a. O volume de cada barril será igual a 0,52∙3∙1=0,75 m3. b. 0,75 m3 corresponde a 0,75 ∙1000=750 litros. Logo, o valor de 1 litro é igual a 30 ÷750 = 0,04 dólares. c. Considerando a produção brasileira como sendo de 2 milhões de barris, a quantia arrecadada é igual a 2000000 ∙ 30 = 60 000 000 dólares. Em reais esse valor corresponde a 120 000 000 reais, ou seja, cento e vinte milhões de reais por dia.

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3º encontro - Calcular para economizar Atividade inicial A imagem abaixo mostra parte da conta de luz de um morador da cidade do Rio de Janeiro. Observe que o valor total a ser pago é constituído de duas parcelas: uma valor variável, que depende da quantidade de kwh consumido e de um valor constante, referente a contribuição de iluminação pública,

Considerando as informações acima, a turma deve responder às seguintes questões:

• Você faz uso racional da energia elétrica?

• Você conhece o consumo médio mensal de sua família?

• Como seria viver em um mundo sem energia elétrica?

• É justa a cobrança de uma taxa de iluminação pública?

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cALcuLAr pArA economizAr Hoje em dia é difícil imaginar uma vida sem televisões, geladeiras, micro-ondas, e tantos outros aparelhos elétricos eletrônicos. Eles fazem parte de nossa rotina. O que muitas vezes esquecemos é que eles consomem energia elétrica e é comum desperdiçarmos esse tipo de energia. Nessa atividade vamos ensinar como calcular aproximadamente quantos kwh por mês um aparelho desses gasta.

Em primeiro lugar devemos descobrir qual é a potência, em watts, do aparelho. Essa informação você encontra nas especificações técnicas do produto. Em seguida você deve estimar, quantas horas por dia o aparelho ficará ligado e quantos dias por mês ele será usado.

Vejamos um exemplo: ProdUto

Potência

horas Por dia

dias Por mês

Cafeteira Elétrica

600 watts

1

30

Para determinarmos o consumo dessa cafeteira devemos efetuar os seguintes cálculos: consumo =

potência ∙ horas ∙ dias 1000

Logo, no caso de uma cafeteira elétrica, o consumo mensal será de 600 ∙ 1 ∙ 30 = 18 kwh.

1000 Finalmente, se você quiser descobrir o quanto este consumo irá influir na sua conta de luz, basta multiplicar o valor obtido, 18 kwh, pelo valor, em reais, cobrado pela concessionária de energia elétrica de sua cidade. Este valor vem informado na sua conta de luz. Para a cidade do Rio de Janeiro, é aproximadamente igual a R$ 0,45.

Com base nas informações acima, complete corretamente a tabela abaixo, determinando o consumo mensal de alguns aparelhos eletroeletrônicos. Será necessário você estimar quantas horas por dia esses aparelhos ficam ligados em sua casa e quantos dias por mês eles são utilizados.

ProdUto

Potência em watts

Chuveiro elétrico

5500

TV 21 polegadas

90

Liquidificador

200

horas Por dia

dias Por mês

consUmo em kwh

obs: Se um aparelho fica ligado 30 minutos por dia, na coluna correspondente devemos colocar 0,5, ou seja, meia hora.

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o conceito intuitiVo de funÇÃo Como vimos na conta de luz da atividade inicial, na cidade do Rio de Janeiro, a concessionária que fornece energia elétrica, cobra, para usuários residenciais, R$ 0,44801 por kwh consumido. Além disso, é cobrada também uma taxa constante de R$ 7,32 como contribuição de iluminação pública. Vamos então completar corretamente a tabela abaixo. Com o objetivo de facilitar os cálculos o valor cobrado por kwh será arredondado para R$ 0,45. kwh consUmidos

VaLor totaL a ser Pago em reais

30

30 ∙ 0,45 + 7,32 = 20,82

40

40 ∙0,45 + 7,32 = 25,32

50

50 ∙ 0,45 + 7,32 = 29,82

80

80 ∙ 0,45 + 7,32 = 43,32

100

100 ∙ 0,45 + 7,32 = 52,32

150

150 ∙ 0,45 + 7,32 = 74,82

200

200 ∙ 0,45 + 7,32 = 97,32

Ao completarmos a tabela, verificamos que a cada valor da 1ª coluna (kwh) corresponde um único valor na 2ª coluna (R$). Podemos dizer então que o valor da conta de luz depende da quantidade de kwh consumidos durante um mês. Na Matemática dizemos, então, que o valor total a ser pago é uma função da quantidade de kwh consumidos. De um modo geral, se o valor de uma grandeza Y depende do valor de outra grandeza X, e se para cada valor da grandeza X, existe um único valor da grandeza Y, então Y é uma função de X.

conversa com o professor nosso objetivo nesse encontro é explorar o conceito intuitivo de função. não nos preocuparemos aqui em apresentar definições rigorosas e sim trabalhar com o conceito de dependência entre duas grandezas. daremos ênfase também para modelagem de algumas situações problemas.

funÇÕeS repreSentAdAS por fÓrmuLAS As funções estão presentes no nosso dia a dia e também são utilizadas por várias outras ciências para ajudar a compreender melhor o mundo em que vivemos. Por isso, é sempre conveniente conseguirmos expressar a relação entre duas grandezas por meio de fórmulas. Voltemos ao exemplo anterior.

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É fácil verificar que o total pago numa conta de luz é sempre igual ao total de kwh consumidos, multiplicado por R$ 0,45, acrescido de um valor constante de R$ 7,32. Logo, se chamarmos a grandeza kwh de x e o total da conta de y, podemos escrever a seguinte fórmula: y = 0,45 ∙ x + 7,32 Observe que o valor de y está escrito em função de x. Nesse caso, dizemos que x é a variável independente e que y é a variável dependente, pois seu valor depende do valor de x. É importante realçar também que poderíamos usar quaisquer outras letras no lugar de x e de y.

Professor, incentive seus estudantes a resolverem sozinhos a atividade a seguir: Usando a fórmula acima, calcule quanto pagará de luz uma pessoa cuja residência apresentou um consumo de 310 kwh. Determine também qual foi o consumo de uma residência cujo valor total da conta foi igual a R$ 86,07. soLUÇÃo Para respondermos à primeira parte do problema devemos substituir x por 310 e isso nos dá y = 0,45∙310+7,32 = 139,5+7,32 = 146,82. Logo, a pessoa pagará pela conta de luz a quantia de r$ 146,82.

Vamos agora à segunda pergunta. Nesse caso, queremos descobrir o consumo, em kwh, ou seja o valor de x. Repare que o problema nos informa o valor de y. Então podemos escrever a seguinte equação: 0,45 ∙ x + 7,32 = 86,07. Resolvendo-a, temos: 0,45 ∙ x = 86,07 - 7,32 → 0,45 ∙ x = 78,75 → x = 78,75 = 175. Logo, o consumo dessa residência foi de 175 kwh.

0,45

conversa com o professor apresentaremos a seguir algumas situações problemas simples onde o objetivo principal é levar o estudante a “descobrir” fórmulas que representam funções entre duas grandezas. reconhecemos que, normalmente, há dificuldades em resolver esse tipo de atividade, porém julgamos que esse tipo de exercício é essencial. Por isso, motive seu estudante e ajude-o em cada passo.

AtividAdE 1 Uma conta de luz no valor de R$ 184,00 deverá ser paga pelos moradores de uma casa.

Considere que esse valor será rateado igualmente por todos os moradores. Escreva uma função que represente o valor a ser pago por cada morador.

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soLUÇÃo Primeiro devemos definir as variáveis que vamos usar. Como já dissemos, poderíamos usar quaisquer letras, mas vamos ainda, nessa atividade, usar as letras x e y. Nesse caso podemos definir: y = quantia que cada morador desembolsará para o pagamento da conta. x = quantidade de moradores.

Do enunciado do problema podemos deduzir que: Valor pago por cada pessoa =

184 quantidade de moradores

Substituindo pelas letras corretas, chegamos facilmente à função procurada: y = 184

x

AtividAdE 2 Suponha que na situação anterior, um dos moradores não entre no rateio da conta. Nesse caso, qual seria a função obtida? soLUÇÃo Como um dos moradores não irá participar do rateio, o total da conta será dividido, não mais por x moradores e sim por (x – 1) moradores. Logo, a função passaria a ser y = 184 .

x-1

AtividAdE 3 Considere que a Companhia de Energia Elétrica de um determinado município tenha oferecido o seguinte incentivo aos moradores da cidade: “todas as contas pagas até o vencimento receberão um desconto de 5%” Escreva uma função que represente o valor pago, com desconto, em função do valor real da conta, sem desconto. soLUÇÃo Vamos definir as variáveis a serem usadas. Vamos agora usar a letra V para representar o valor sem desconto e R para representar o valor pago com o desconto concedido. Do enunciado podemos concluir que: valor com desconto = valor sem desconto – 5% do valor sem desconto.

Expressando matematicamente a afirmação acima, temos: R = V- 5

100

∙ V → R = 95V . Esta função pode ser representada de outras maneiras. Podemos, por

100

exemplo, simplificar a fração obtida. Nesse caso, teríamos r = 19V . Poderíamos também usar nú20 meros decimais. A função então ficaria escrita assim: r = 0,95∙V .

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AtividAdE 4

(Fonte: Energia que transforma - Fundação Roberto Marinho)

A imagem mostra dois homens instalando coletores para a captação de energia solar, pois a radiação solar pode ser convertida em energia elétrica ou térmica. No Brasil a energia solar é usada principalmente no aquecimento de água em residências particulares, hotéis e hospitais.

Considere que cada coletor da imagem acima tenha formato retangular e que o comprimento de cada um seja igual ao quádruplo da largura. Determine a função que representa o perímetro de cada coletor em função da largura. Em seguida obtenha a função que representa a área de cada coletor em função da largura. soLUÇÃo Observe a figura abaixo:

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Nela chamamos a largura de t. Consequentemente, o comprimento é igual a 4t, pois, segundo dados do problema, o comprimento é igual ao quádruplo da largura.

Logo, se chamarmos o perímetro de P, a função será obtida somando-se todas as dimensões do coletor, ou seja: P = t + t + 4t + 4t, o que implica P = 10t.

Para obtermos a função da área do coletor em função da largura basta multiplicarmos a medida da largura pela medida do comprimento. Logo, A = t∙ 4t → a = 4t²

AtividAdE 5 A figura abaixo ilustra, de forma simplificada, um sistema solar de aquecimento de água.

http://www.aneel.gov.br/aplicacoes/atlas/pdf/03-Energia_Solar(3).pdf – acesso em 25/12/12

Considere que as dimensões da caixa d’água sejam as seguintes: largura - 3 metros, comprimento - x metros e altura - (x – 1) metros. Determine o volume dessa caixa d’água em função de x. Em seguida, calcule o volume para os seguintes valores de x: 2 m, 2,5 m, 3 m, 4 m e 5,1 m. soLUÇÃo Para determinarmos a função pedida, precisamos antes recordar como se calcula o volume do sólido em questão. Como vimos no 2º encontro desse Percurso Livre, o volume de uma caixa d’água com o formato acima é igual ao produto das três dimensões. Ou seja: volume = largura∙comprimento∙altura.

Logo, representando o volume por V, temos: V = 3 ∙ x ∙ (x – 1) → V = 3x² - 3x

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Vamos agora calcular o volume da caixa d’água para os valores pedidos. Podemos construir a seguinte tabela: VaLores de X (em metros)

VoLUme (em metros cúbicos)

2

3 ∙ 22 - 3 ∙ 2 = 12 - 6 = 6

2,5

3 ∙ 2,52 - 3 ∙ 2,5 = 18,75 - 7,5 = 11,25

3

3 ∙ 3² - 3 ∙ 3 = 27 - 9 = 18

4

3 ∙ 42 - 3 ∙ 4 = 48 - 12 = 36

5,1

3 ∙ 5,12 - 3 ∙ 5,1 = 78,03 - 15,3 = 62,73

Nesse exercício é importante notar que a variável x assume sempre valores maiores que 1 metro, pois como a altura é representada pela expressão (x – 1), caso x assuma valor menor ou igual a 1 metro, a altura seria negativa ou igual a zero, o que, obviamente, é impossível.

Professor, incentive seus estudantes a resolverem sozinhos as atividades a seguir: 1. Em uma determinada cidade, a Concessionária de Energia Elétrica cobra, mensamente, R$ 0,32 por kwh consumido, mais R$ 5,00 de taxa de iluminação pública. a. Escreva uma função que forneça o total mensal a ser pago em função da quantidade de kwh consumidos. b. Determine qual foi o consumo em um mês que o total da conta correspondeu a R$ 35,72.

2. Considerando a função obtida na atividade 3, determine: a. Quanto pagará com desconto uma pessoa que recebeu uma conta no valor de R$ 72,00? b. Qual é o valor sem desconto de uma conta que, após aplicado o desconto, passou a ser de R$ 109,25? resPostas 1.

a. y = 0,32 ∙ x + 5

b. 96 kwh.

2.

a. R$ 68,4

b. R$ 115,00

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Atividade em grupo Considere que, em uma determinada cidade, o preço do gás natural fornecido para as residências particulares seja dado pelas informações contidas na tabela abaixo: consUmo m³ Por mês

PreÇo (r$ Por m³)

Os primeiros 20 m³

3,00

O que ultrapassar 20 m³

4,00

Assim, um consumo mensal de 28 m³ de gás, originaria uma conta de: 3 ∙ 20 + 4 ∙ 8 = 60 + 32 = r$ 92,00 a. Com base nas informações acima, complete a tabela abaixo: consUmo em m³

VaLor da conta em reais

32 45 52 61,7

b. Determine a função que forneça o valor a ser pago por uma família que consumir x m³ de gás por mês, sendo x > 20 m³/mês. c. Calcule quantos m³ de gás consumiu uma família que, em determinado mês, pagou uma conta no valor de R$ 130,00. soLUÇÃo a. R$ 108,00, R$ 160,00, R$ 188,00 e R$ 226,80 b. Chamando de y o valor a ser pago, temos: Y = 3 ∙ 20 + 4 ∙ (x – 20) = 60 + 4x - 80 = 4x - 20. Logo, a função pedida é y = 4x – 20. c. Usando o resultado obtido no item anterior podemos escrever: 4x – 20 = 130 → 4x = 150 → x = 37,5. Logo, o consumo correspondeu a 37,5m³ de gás.

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4º encontro - Progredir sem poluir!

Atividade inicial Apresentamos abaixo parte da conta de gás de uma residência da cidade do Rio de Janeiro. Essa parte da conta informa o consumo, em m³, dessa residência, no período de maio de 2011 a julho de 2012.

A partir das informações pergunte à turma quantos possuem gás natural em sua residência e quantos usam botijão de gás. Em ambos os casos, discuta a seguinte questão: em sua casa, o consumo de gás é feito de maneira a economizar esse produto? Discuta com eles a necessidade de se economizar qualquer tipo de energia.

eScreVendo umA SeQuÊnciA numÉricA O consumo, em m³, contido no fragmento de conta acima pode ser escrito da seguinte maneira: (14, 14, 17, 21, 14, 13, 14, 15, 16,12, 12, 15, 15, 13, 11) Pode-se dizer que esta lista de números é uma progressão, uma sucessão ou uma sequência numérica.

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Para representar o primeiro termo de uma sequência escrevemos a1; para representar o segundo segundo termo escrevemos a2 e assim sucessivamente.

Considerando a sucessão acima, determine: a. O valor de a3. b. O valor de a12. c. O mês e ano correspondente a a10. d. O valor de a6 + a9. Escreva com suas palavras o que representa essa soma. resPostas a. 17 b. 15 c. fevereiro de 2012 d. 29 – o total consumido no mês de outubro / 2011 e janeiro de 2012.

A proGreSSÃo AritmÉticA Vamos imaginar que o consumo de gás de uma determinada residência nos quatro últimos meses de 2012 tenha sido a seguinte: setembro

oUtUbro

noVembro

dezembro

8 m³

11 m³

14 m³

17 m³

Ao escrevermos a sequência (8, 11, 14, 17) que representa o consumo da residência, observamos que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre é igual a 3. Veja: a2 – a1 = 11 – 8 = 3 a3 – a2 = 14 – 11 = 3 a4 – a3 = 17 – 14 = 3 Toda sequência onde a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão aritmética, ou simplesmente P.A. Esse valor constante é chamado de razão da progressão e vamos aqui chamá-lo sempre de r. No exemplo dado temos uma P.A. de razão 3, finita e crescente.

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Professor, incentive seus estudantes a completarem sozinhos o quadro abaixo:

P.a.

razÃo

crescente oU decrescente?

Finita oU inFinita?

Primeiro termo

(0, 2, 4, 6, 8,...)

(20,15, 10, 5, 0) (7, 7, 7, 7,...)

(-4, -3, -2, -1, 0,...)

Ainda observando a progressão (8, 11, 14, 17), verifique que: a2 = a1 + r , → 11 = 8 + 1 x 3 a3 = a1 + 2.r, → 14 = 8 + 2 x 3 a4 = a1 + 3.r, → 17 = 8 + 3 x 3 Os cálculos acima nos auxiliam a concluir que numa progressão aritmética de razão igual a r, o termo que ocupa a posição n é igual ao 1º termo, somado à razão multiplicada por (n – 1).

Usando símbolos, temos: an = a1 + (n – 1)∙r Caso a progressão (8, 11, 14, 17) fosse infinita, poderíamos então, calcular sem muito esforço, um termo qualquer dessa sequência. Por exemplo, o 10° termo da P.A. (8, 11, 14, 17,..) é igual a 8 + 9 ∙ 3 = 35. Logo a10 = 35.

Observe, ainda, que a sequência apresentada na atividade inicial nÃo é uma progressão aritmética.

Professor(a), incentive seus estudantes a resolverem sozinhos as próximas atividades:

AtividAdE 1 Determinar o quinto termo de cada sequência abaixo: a. ( 3, 8,13,18, ...) b. (2, 4, 2, 4, ...) c. (3, 3, 3, 3, ...)

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d. (1, - 2, - 5, - 8, ...) e. (4, 9, 16, 25, ...) resPostas a. 23

b. 2

c. 3

d. –11

e. 36

AtividAdE 2 Quais das sequências da atividade anterior são progressões aritméticas? resPosta As sequências a, c, d.

AtividAdE 3 a. Calcular o 20° termo da P.A. (1,5, ...) b. Calcular o 34° termo da P.A. (7, 15, ...) c. Calcular o 100° termo da P.A. (10, 13, ...) resPostas a. 77

b. 271

c. 307

conversa com o professor ao usar a fórmula an = a1 + (n – 1)∙r, é comum o estudante somar o valor de a1 com o valor de (n – 1), antes de multiplicar (n – 1) por r. Portanto, chame a atenção da turma para esse fato.

umA propriedAde importAnte Vamos ver agora uma importante propriedade das progressões aritméticas. Considere que a, b e c são três termos consecutivos de uma P.A. Logo: b–a=c–b b+b=a+c 2b = a + c b = (a + c) 2

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Professor, incentive sua turma a verificar este fato com as progressões aritméticas já trabalhadas. Em seguida, proponha a atividade a seguir para um trabalho em duplas.

AtividAdE 4 Determine o valor de x em cada progressão aritmética a seguir: a. (10x, 4, 6x) b. (1, x + 2, 5) c. (x – 1, 3x, 8) d. (2x + 1, 1 – x, 2x + 4) resPostas a. 1 b. 1 c. 7/5 2

d. - 1 2

Professor, as atividades 5 e 6 devem ser resolvidas individualmente.

AtividAdE 5 Em uma determinada cidade do Rio de Janeiro, o número de veículos movidos a gás natural veicular (GNV) vem aumentando em progressão aritmética. A tabela a seguir mostra o resultado parcial de uma pesquisa feita com proprietários de automóveis dessa cidade: mês Número de veículos que usam GNV

JUnho

JULho

agosto

setembro

1000

...

1270

...

Calcule a quantidade de veículos que usam GNV, correspondentes aos meses de julho e setembro. soLUÇÃo As informações acima e os dados da tabela nos permitem afirmar que (1000, x, 1270, y) formam uma progressão aritmética, onde x representa a quantidade correspondente a julho e y a quantidade correspondente a setembro. Logo, temos que x = 1000 + 1270 = 2270 = 1135. Podemos então con2 2 cluir que a razão da P.A. é igual a 1135 – 1000 = 135. Logo, y = 1270 + 135 = 1405.

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AtividAdE 6 Na tabela a seguir as letras X , Y e Z representam anos em que fatos históricos relacionados ao uso de energia começaram a transformar o Brasil e o mundo. Veja: ano

FATO HISTÓRICO

X

y

z

É construída junto às Cataratas do Niágara, a 1ª hidrelétrica do mundo.

É inaugurado no Rio de Janeiro, a 1ª linha permanente de bonde elétrico do Brasil.

É regulamentado o uso da energia no Brasil pela lei 1145/09.

Determinar os valores de X, Y e Z, sabendo que: X + Y = 3773 X + Y + Z = 5676 X, Y e Z, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. soLUÇÃo Se X + Y = 3773, podemos então escrever que 3773 + Z = 5676. Logo, z = 1903. Como X, Y e Z formam uma P.A., então X + Z = y, o que nos permite afirmar que X + Z = 2Y. Logo, 2Y+ Y = 5676.

2 Isso nos dá 3Y = 5676, o que implica y = 1892. Finalmente podemos calcular o valor do ano X, fazendo X + 1892 = 3773, o que nos fornece X = 1881. obs: A P.A. formada é a seguinte (1881, 1892, 1903), cuja razão é igual a 11.

cALcuLAndo A SomA doS termoS de umA p.A. Alguns historiadores que se interessam pela História da Matemática afirmam que Carl Friedrich Gauss (1777-1855), quando criança, resolveu um problema muito difícil para sua idade: em poucos minutos calculou corretamente a soma de todos os números inteiros de 1 até 100. É possível que ele tenha seguido o seguinte raciocínio.

Escreveu: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 Somou termo a termo: (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) = 101

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+ 101

+ 101

+ ... + 101

+ 101

+

101 =

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A soma acima possui 100 parcelas, todas iguais a 101. Logo o valor da mesma é igual a 101 x 100 = 10100. Repare que esse valor representa o dobro do valor desejado. Então, dividindo o resultado por 2, Gauss encontrou a resposta correta: 5050.

Será que isso aconteceu realmente...?

O raciocínio acima nos sugere uma maneira fácil de obter a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética: Chamaremos essa soma de sn. sn = (a1 + an) ∙ n 2 significados: a1= primeiro termo. an = última parcela ser somada n = quantidade de parcelas.

Professor, incentive seus estudantes a resolverem individualmente as atividades 7 e 8.

AtividAdE 7 Uma pequena fábrica consumiu 5000 kwh no mês de janeiro de 2012. Se a partir desse mês a fábrica aumentar seu consumo em 150 kwh por mês, determine: a. Qual será o consumo, em kwh, no mês de dezembro de 2012. b. O consumo total dessa fábrica durante todo o ano de 2012.

soLUÇÃo a. Os valores consumidos pela fábrica formam uma P.A. de razão 150: (5000, 5150, 5300, ...) e o consumo pedido refere-se ao 12° termo dessa progressão. Lembrando que an = a1 + (n - 1)∙r, temos que a12 = 5000 + (12 - 1) ∙ 150 → a12 = 5000 + 1650 = 6650. Logo, em dezembro de 2012 o consumo da fábrica correspondeu a 6650 kwh.

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b. Devemos agora calcular a soma dos 12 primeiros termos da progressão (5000, 5150, 5300, ...).

Como (a1 + an) ∙ n , vamos calcular S12. Aplicando corretamente os valores nessa fórmula che2 gamos a S12 = (a1 + a12) ∙ 12 = (5000 + 6650) ∙ 12 = 11650 ∙ 6 = 69900. Então, podemos afir2 2 mar que o consumo total da fábrica em 2012 correspondeu a 69900 kwh.

Professor, a atividade a seguir deve ser precedida de uma reflexão em que os estudantes devem ser questionados sobre o quanto cada um deles consome de energia. Em seguida, forneça a eles a lista abaixo. Caso eles tenham acesso a internet, incentive-os a visitarem os seguintes sites: www.calculadoracarbono-cgd.com/ www.climaeconsumo.org.br/ www.iniciativaverde.org.br/pt/calculadora

AtividAdE 8 Considere que o site www.calculadoracarbono-cgd.com/ tenha recebido 340 visitas no dia primeiro de dezembro de 2012 e que a partir desse dia o número de visitantes aumentou sempre em 14 unidades em relação ao dia anterior. Quantas visitas o site recebeu no mês de dezembro de 2012? soLUÇÃo O número de visitantes forma a seguinte P.A.: ( 340, 354, 368, ...). Como estamos querendo obter a soma dos 31 primeiros termos dessa sequência, pois o mês de dezembro possui 31 dias, devemos, em primeiro lugar, calcular o termo a31. Logo: a31 = 340 + (31 - 1) ∙ 14 = 340 + 420 =760. Repare que esse valor representa o número de visitas no dia 31 de dezembro. Vamos agora determinar a quantidade total de visitantes: S31 = (340 + 760) ∙ 31 = 1100 ∙ 31 = 17050.

2 2

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Atividade em grupo Um automóvel que usa GNV sai de uma cidade A em direção a uma cidade B distante 500 km. Considere que na primeira hora desse trajeto ele percorre 35 km, na segunda hora 37 km, na terceira hora 39 km, e assim sucessivamente, sempre percorrendo dois quilômetros a mais do que na hora anterior.

Com base nas afirmações acima responda: a. Quantos quilômetros o automóvel percorreu durante a 8ª hora? b. Quantos quilômetros o automóvel percorreu após 8 horas de viagem? c. Após 10 horas de viagem, a que distância ele se encontra do seu destino? d. Quanto tempo, aproximadamente, durou a viagem? soLUÇÃo a. As distâncias percorridas pelo automóvel, a cada hora, formam a seguinte progressão aritmética de razão 2: (35, 37, 39, 41, ...)

Temos que calcular o oitavo termo da P.A. Logo: a8 = 35 + 7 ∙ 2 = 49. resposta: 49 km. b. Vamos calcular agora a soma dos oito primeiros termos da progressão. Então: S8 = (35 + 49) ∙ 8 2 = 336. resposta: 336 km. c. Temos agora de calcular S10. Para isso, precisamos primeiro determinar a10. Logo: a10 = 35 + 9 ∙ 2 = 53. Com esse valor podemos calcular S10. Temos então, S10 = (35 + 53) ∙ 10 = 440 km. Cui2 dado! Não é isso o que está sendo perguntado. O problema quer saber a que distância o automóvel se encontra do destino final. Como o percurso total é de 500 km e ele já percorreu 440 km, ainda faltam percorrer 500 – 440 = 60 km d. Se a10 = 53, então, a11 = 55 e a12 = 57. Logo, após 11 horas de viagem, a distância total percorrida será de 440 + 55 = 495 km. Logo, a viagem durou um pouco mais de 11 horas.

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5º encontro - A energia do triângulo retângulo Atividade inicial Professor, mostre para a imagem abaixo.

Pergunte se alguém conhece esse símbolo, se o ligam a algum tipo de energia.

Em seguida, divida a turma em dois grupos para promover um debate sobre a produção e o uso da energia nuclear. Um dos grupos deve apresentar argumentos a favor e o outro contra. Você deve orientar o debate, enfatizando que, assim como outras formas de energia, a energia nuclear apresenta vantagens e desvantagens. Apresentamos abaixo algumas dessas vantagens e desvantagens.

Vantagens

• Gera uma energia que não contribui para o efeito estufa.

• Praticamente não é afetada por variações climáticas.

• Ocupa menores áreas, se comparada, por exemplo, à área necessária para a construção de uma hidrelétrica.

• É usada na indústria farmacêutica, medicina e agricultura.

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desvantagens

• O custo para se construir e colocar uma usina nuclear em atividade é muito alto.

• Existe o risco de material radioativo ser liberado para a atmosfera, causando inúmeras doenças ou mesmo mortes.

• Dificuldades em dar destino ao “lixo atômico”.

• O plutônio, um dos elementos utilizados numa usina nuclear, leva cerca de 50000 anos para deixar de ser tóxico.

Usina nuclear de Angra dos Reis

(Foto: Energia que transforma - Fundação Roberto Marinho)

Observe que na foto acima aparecem duas torres. Quanto mediria um cabo de aço que unisse o ponto mais alto de cada uma delas? Quais medidas seriam necessárias para determinar esse valor? Para responder essas perguntas vamos estudar uma figura geométrica que possui muita energia – o triângulo retângulo.

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o triÂnGuLo retÂnGuLo É o triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, cuja medida é igual a 90°. O triângulo retângulo sempre mereceu especial atenção dos povos antigos, pois existem diversas relações envolvendo as medidas dos lados desse triângulo e também relações que envolvem as medidas dos lados com as medidas dos ângulos.

De todas essas relações, destaca-se o Teorema de Pitágoras. Pitágoras foi um geômetra grego que viveu por volta de 560 a.C na ilha de Samos. Pouco se sabe, com certeza, sobre sua vida. O certo é que Pitágoras não descobriu o teorema que hoje leva seu nome.

Muitos séculos antes já se usava esse teorema para cálculos aproximados de área de terrenos e até mesmo para se fazer previsões bastante místicas. Não se sabe ao certo porque o Teorema de Pitágoras ganhou esse nome. É possível que Pitágoras, ou alguns estudantes de sua escola, tenham apresentado uma demonstração para o teorema, ou que, simplesmente, tenham difundido o seu uso. São conhecidas atualmente centenas de demonstrações do Teorema de Pitágoras. demonstrando o teorema de Pitágoras!

A figura abaixo representa um quadrado cujo lado mede (y + z), decomposto em um quadrado de lado x e em quatro triângulos retângulos congruentes, cujos catetos medem y e z.

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Como a área do quadrado maior é igual a soma das áreas dos quatro triângulos retângulos com a área do quadrado amarelo, podemos escrever: (y + z)² = x² + 4 ∙ (y ∙ z) 2 y² + 2yz + z² = x² + 2yz y² + z² = x² Como y e z representam os catetos de um triângulo retângulo e x representa a hipotenusa desse triângulo, podemos enunciar: em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Professor, faça essa atividade junto com sua turma.

AtividAdE 1

A imagem acima mostra várias torres de transmissão de energia. Nessas torres aparecem estruturas metálicas com a forma de um triângulo retângulo. Considere que algumas dessas estruturas possuam as medidas a seguir:

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Qual é a medida do terceiro lado desse triângulo? soLUÇÃo Temos que calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4. Chamando a hipotenusa de x e aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: x² = 3² + 4² → x² = 9 + 16 = 25 → x = 5. Logo, a hipotenusa desse triângulo mede 5 m.

Professor, chame a atenção da turma para os seguintes fatos:

• Este é o único triângulo retângulo cujos lados são números inteiros e consecutivos.

• O único triângulo retângulo cujos lados são números pares e consecutivos, é o triângulo cujos lados medem 6, 8 e 10.

• De um modo geral se multiplicarmos os números 3, 4 e 5 por um número natural diferente de zero, obtemos um triângulo retângulo cujos lados são números inteiros.

Professor, as atividades 2 e 3 devem ser resolvidas individualmente pelos estudantes.

AtividAdE 2 Considere um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. Complete corretamente a tabela abaixo: a

b

c

5 cm

12 cm

25 dm 18 m 65 cm

20 dm 10 m 63 cm

resPostas 13 cm – 15 dm – 4√14 m – 16 cm

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AtividAdE 3 a energia que vem dos oceanos: a energia maremotriz.

Este tipo de energia é renovável e é gerada pelo movimento das ondas do mar. Apresentamos abaixo um esquema simplificado de aproveitamento da energia maremotriz para geração de eletricidade.

(Fonte: Energia que transforma - Fundação Roberto Marinho)

No esquema acima, considere que o ângulo A é reto, AC = 18 m e BC = 30 m. Determine a medida da distância AB. soLUÇÃo Podemos representar as informações acima da seguinte maneira:

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Devemos então, calcular o cateto de um triângulo retângulo, conhecidas as medidas do outro cateto e da hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 + 182 = 302 → x2 = 900 - 324 → x2 = 576 → x = 24.

Logo, a distância AB mede 24 metros.

O teorema de Pitágoras é uma relação envolvendo apenas as medidas dos lados do triângulo retângulo.

Existem também relações envolvendo essas medidas e os ângulos do triângulo. As principais são: seno, cosseno e tangente.

Sendo α um ângulo agudo de um triângulo retângulo, define-se: sen α= medida do cateto oposto ao ângulo α medida da hipotenusa cos α= medida do cateto adjacente ao ângulo α medida da hipotenusa tg α= medida do cateto oposto ao ângulo α medida do cateto adjacente ao ângulo α

Considerando o triângulo abaixo, temos:

sen α= z x

cos α= y x

tg α= z y

conversa com o professor o cálculo de distâncias inacessíveis utilizando as definições de seno, cosseno e tangente é uma das principais aplicações práticas da trigonometria. nessas situações o estudante vê uma oportunidade de aplicar seus conhecimentos no dia a dia. esse estudo deve ser feito com o uso de uma calculadora, se possível científica. incentive sua turma a usar esse instrumento.

Professor, resolva com seus estudantes a atividade a seguir.

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AtividAdE 4 A imagem a seguir é a de um Avião Embraer Ipanema que usa como combustível o etanol hidratado. Esse e outros tipos de combustíveis são denominados de biocombustíveis. O Brasil desenvolve a produção e o uso desse tipo de energia desde o início do século XX.

(Fonte: Energia que transforma - Fundação Roberto Marinho)

Considere que o avião Embraer Ipanema levantou voo segundo um ângulo de 27° com o solo plano. Após percorrer 1 km em linha reta, a que altura, em metros, ele se encontra do solo?

USE : sen 27° = 0,45

cos 27°= 0,89

tg 27°= 0,51

soLUÇÃo O modelo matemático para o enunciado acima é o seguinte:

Verificamos, então, que temos que determinar a medida do cateto oposto ao ângulo que mede 27°, conhecendo-se a medida da hipotenusa. Nesse caso vamos aplicar a definição de seno de um ângulo, lembrando também que 1 km = 1000 metros. sen 27°=

x → 0,45 = x → x = 1000 ∙ 0,45 → x = 450.

1000 1000

Logo, a altura do avião será de 450 metros.

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Professor, incentive sua turma a resolver em duplas as atividades 5, 6 e 7.

AtividAdE 5 A figura abaixo mostra um aerogerador, usado na produção de eletricidade a partir dos ventos.

Suponha que um observador de altura 2 metros e distante 20 metros do ponto B, aviste o ponto A, sob um ângulo de 70°.

Nesse caso, qual é a altura AB do aerogerador?

USE : sen 70º = 0,94 cos 70º = 0,34 tg 70º = 2,74

soLUÇÃo O modelo matemático para o enunciado acima é o seguinte:

Concluímos, então, que a altura do aerogerador é igual a (x + 2) m. Vamos calcular x aplicando a definição de tangente: tg 70°= x → 2,74= x → x = 20 ∙ 2,74 = 54,8. Logo, a altura AB do aeroge20 20 rador é igual a (54,8 + 2) = 56,8 metros.

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AtividAdE 6 Para calcular a largura AB de um rio onde será construída uma hidrelétrica, um engenheiro determinou a distância AC = 50 m e o ângulo ACB = 63°. Veja a figura abaixo:

Sabendo que o ângulo CAB é reto, qual foi a medida encontrada pelo engenheiro? Determine também a medida CB. USE: sen 63°= 0,89

cos 63°= 0,45

tg 63= 1,96

soLUÇÃo O modelo matemático é o seguinte:

Vamos determinar a largura AB = x, usando a definição de tangente: tg 63°= x → 1,96 = x → x = 50 ∙ 1,96 → x = 98. Logo, a largura do rio é de 98 metros.

50 50 Para calcularmos a distância CB = y podemos usar a definição de cosseno: cos 63°= 50 → 0,45 = 50 → 0,45 ∙ y = 50 → y= 50 → y = 111,12. Logo, a distância CB mede, y y 0,45 aproximadamente, 111, 12 metros. obs: O valor de y também poderia ser calculado usando-se o Teorema de Pitágoras, após a obtenção do valor de x.

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AtividAdE 7 Na figura abaixo, determinar: a. A altura da torre. b. A distância YZ. USE: sen 30° = 0,5

sen 60° = 0,87

cos 30° = 0,87

cos 60° = 0,5

tg 30° = 0,58

tg 60° = 1,73

soLUÇÃo a. Chamando a altura da torre de t e aplicando a definição de tangente, temos: tg 60°= t → t = tg 60° ∙ 30 = 1,73 ∙ 30 = 51,9 m 30 b. Chamando a distância XZ de d e aplicando mais uma vez o conceito de tangente, temos: tg 30°= 51,9 → d ∙ tg 30° = 51,9 → d = 51,9 ≅ 89,5. Como YZ = d – 30, a resposta correta é YZ d 0,58 = 89,5 – 30 = 59,5 m.

Atividade em grupo Vamos reproduzir aqui duas perguntas feitas sobre as torres da usina nuclear de Angra dos Reis: Quanto mediria um cabo de aço que unisse o ponto mais alto de cada uma delas? Quais medidas seriam necessárias para determinar esse valor?

De modo simplificado, o desenho a seguir resume o problema.

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Usando os conhecimentos que você aprendeu nesse encontro, apresente duas soluções diferentes para as duas perguntas feitas. soLUÇÃo Uma maneira de se determinar a distância AB é aplicar o Teorema de Pitágoras. Para isso seria necessário conhecer as seguintes medidas: a altura da torre maior (x), a altura da torre menor (y) e a distância entre as torres (d). Nesse caso acharíamos o valor de AB da seguinte forma: AB2 = (x - y)2 + d². Veja:

Uma outra maneira de se calcular a distância AB é aplicar a definição de cosseno. Nesse caso seria suficiente se conhecer o ângulo e a distância entre as torres. O cálculo, então, seria o seguinte: cosα = d → AB ∙ cosα=d → AB = d . cosα AB

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ficha técnica FUndAção RobeRto MARinho Caderno de Percurso Livre Matemática

ENSINO MÉDIO Concepção e Supervisão Pedagógica

VILMA GUIMARãES Coordenação Pedagógica

CÉLIA FARIAS FÁTIMA GABRIEL TEREZA FARIAS desenvolvimento de Conteúdo

FRANCISCO LINHARES equipe de Conteúdo

SANDRA PORTUGAL (COORD.) JOSÉ HENRIQUE DE OLIVEIRA equipe de Materiais

HELENA JACOBINA (COORD.) ANNE ROCHA JACQUELINE BARBOSA PAULA REIS Produção

MONIQUE LIMA Projeto Gráfico e diagramação

INVENTUM DESIGN

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