Modelo teórico del experimento
Taller: Experimentos aleatorios Contenido: Modelo de Laplace
Actividad 7: Modelo teórico del experimento de lanzar dos dados Ahora vamos a hacer el experimento pero… ¡sin lanzar los dados! La idea es analizar el experimento en términos de todos los resultados posibles de obtener al combinar las posibilidades de ocurrencia de los resultados en cada dado. A partir de este análisis se construye un modelo matemático que permite estudiar y explicar los resultados de este experimento aleatorio.
Primero una apuesta nuevamente Sin tirar los dados ¿podrías apostar al número (suma de los dados) que tendrá mayor frecuencia relativa si se repite el experimento un gran número de veces? Escribe aquí tu apuesta:___________
Realizando el experimento ¡pero sin tirar los dados! 1. De acuerdo a los datos de los lanzamientos y simulaciones realizados anteriormente, ¿cuáles son todos los posibles resultados que se pueden obtener al sumar los dos dados?
2. Para obtener cada uno de estos resultados sumaste las caras superiores de los dos dados lanzados. Así entonces, existen tantos pares de valores que se suman como caras tienen los dados 1 y 2. Por ejemplo:
Dado 1
+
Dado 2
=
6
3. Usa la siguiente tabla para describir todos los posibles pares que se pueden obtener en el experimento de lanzar los dos dados.
1
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Tabla: Combinaciones de resultados posibles al lanzar dos dados Dado 2 Dado 1 (
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
( 1,
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
( 5,
1)
(
,
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
,
)
(
(
,
5)
(
,
)
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
)
(
,
)
(
,
)
,
)
( 5,
5)
(
,
)
,
)
(
)
(
,
)
,
4. Escribe por extensión el conjunto de todos los resultados posibles (combinaciones), el cual denotaremos por la letra griega Ω (omega). Expresa cada resultado como par ordenado.
Ω={
}.
2
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5. ¿Cuántos resultados posibles (combinaciones) se tienen en total? En otras palabras, ¿cuál es la cardinalidad de omega?
# Ω = ______________ 6. Ya teniendo todos los posibles pares de números que se obtienen al lanzar dos dados, completa la tabla para determinar el resultado de la suma de cada uno de esos pares de valores. Tabla: Sumas que se obtienen al lanzar dos dados Dado 2 Dado 1 2
3
5
Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral asociado al experimento. Generalmente este conjunto se denota por la letra griega Ω (omega). El número total de resultados posibles corresponde al número de elementos del conjunto Ω y se denota por #Ω (cardinalidad de omega).
3
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Describiendo subconjuntos del espacio muestral En la tabla 12, observamos que algunas sumas se repiten, eso quiere decir, que hay pares de dados cuyas sumas son iguales. A continuación, definirá los subconjuntos de espacio muestral que están asociados a cada uno de los resultados de la suma de los dos dados. Por ejemplo, supongamos que queremos determinar el subconjunto de Ω correspondiente a todos los resultados del experimento aleatorio cuya suma de los dados sea igual a dos. A este subconjunto lo denotaremos por A2. De acuerdo a la tabla 12, las combinaciones en las cuales los resultados de los dados suman 2 es:
(
, (1 , 1)
Entonces:
+
) 1
+
1
=
2
=
2
A2 = {(1,1)}
# A2 corresponde a la cardinalidad del conjunto A2, es decir, al total de elementos que son parte de A2. Así, # A2 = 1
A cualquier subconjunto del espacio muestral se le llama suceso (asociado al experimento aleatorio).
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Determinando sucesos o eventos del espacio muestral 1. Ahora escribe por extensión el subconjunto de Ω correspondiente a todos los resultados del experimento aleatorio cuya suma de los dados sea igual a 3 y denótelo por A3. Análogamente al caso anterior, se tendrían dos opciones: 1)
(
,
+
)
(1,2)
1
=
3
=
3
+
=
3
+
=
3
+
2
Ahora complete la siguiente opción: 2)
(
,
)
( , )
A3 = {(1, 2 ) , ( ,
Por lo tanto:
)}
2. ¿Cuál es la cardinalidad de A3?
# A3 = 3. Escriba por extensión el subconjunto de Ω correspondiente a todos los resultados del experimento aleatorio cuya suma de los dados sea igual a 4 y denótelo por A4 .
(
,
)
+
=
4
(
,
)
+
=
4
(
,
)
+
=
4
4. Por lo tanto:
A4 = {( ,
), (
,
), (
,
)}
5. Entonces, # A4 =
5
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6. Análogamente, escriba por extensión los subconjuntos: A5 , A6 … A12 y sus respectivas cardinalidades.
6
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Contando las posibilidades 1. A partir de los datos obtenidos anteriormente, completa la siguiente tabla. Usa calculadora y utiliza números decimales con 4 cifras significativas para la frecuencia relativa. Tabla: Resultados teóricos para el experimento de los dos dados Valor de la suma K
# Ak
2
1
3
2
# Ak #Ω
# Ak ⋅ 100 % #Ω
2 / 36 =0,0555
0,0555 · 100% = 5,55%
4 5 6 7
7
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Modelo teórico del experimento
Graficando los resultados teóricos 1. Haz un gráfico de barras que describa los resultados obtenidos en la tabla anterior usando para ello la columna donde se expresa el porcentaje. Utiliza una hoja milimetrada y la misma escala usada en las actividades anteriores, de modo de poder hacer comparaciones. 2. Compara el gráfico resultante con los gráficos experimentales obtenidos en las actividades anteriores (individual, 90 lanzamientos y curso). a. Cuál o cuáles son los gráficos experimentales que se asemejan más con las frecuencias relativas porcentuales del gráfico teórico.
b. ¿Qué relación observa entre el gráfico teórico y el número de lanzamientos realizados experimentalmente en cada una de las etapas?
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