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Actividad: Adición de vectores Nombre: _________________________________________
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Palabras claves: Vector, módulo, dirección, sentido, componentes de un vector, plano cartesiano, eje de las abscisas, eje de las ordenadas, amplitud de un ángulo, suma de vectores.
Recurso: Vector addition 2.02
Preguntas previas: Un jinete y su caballo Un jinete y su caballo deben cabalgar algunos kilómetros para llegar a la meta y poder ganar la competencia del mes. Para ello realizan el siguiente recorrido: primero cabalgan 3 kilómetros al norte y luego 4 kilómetros al oeste, siguiendo una velocidad constante en cada kilómetro.
1. ¿Cuál es la distancia total que recorren el jinete y el caballo? Haz un esquema.
2. Considerando el punto de partida y el punto de llegada, ¿existen otros caminos posibles? Da ejemplos, ¿cuál sería la dirección y sentido en cada caso?
3. ¿Existe algún teorema de geometría que te permita obtener la distancia más corta entre el punto de partida y el de llegada? ¿Cuál sería la distancia en este caso?
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©MatemáticaAbreMundos2011 Resolviendo problemas con el recurso digital Mediante un recurso digital podrás representar diferentes desplazamientos utilizando vectores. Por ejemplo, considera ahora que el jinete y su caballo deciden volver a su hogar, para ello deben recorrer 10 kilómetros hacia el poniente y luego aproximadamente 15 kilómetros hacia el sureste.
1. Representa con el recurso las nuevas distancias recorridas por el jinete y su caballo.
2. Visualmente, ¿existe un camino más corto para que ambos lleguen a su hogar?
3. ¿Cuál sería el vector que representa el camino más corto? Descríbelo.
4. Selecciona la opción “Show sum” y ubica el vector en el nuevo camino. ¿Coincide el vector descrito de la pregunta anterior con el vector “verde” que representa la suma?
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©MatemáticaAbreMundos2011 Explorando desplazamientos con el recurso digital A continuación podrás explorar diferentes desplazamientos, mediante vectores, utilizando el recurso digital. Al seleccionar la casilla “Show Grid” se mostrará la cuadrícula del recurso que representa el plano cartesiano.
1.
Saca un vector de la casilla “Grab one” y ubícalo en un punto de la cuadrícula, de tal forma que el vector sea paralelo a uno de los ejes (abscisa u ordenada). ¿Qué representan los valores de Rx y Ry?
2. ¿A qué ángulo se refiere el valor () que entrega el recurso?
3. Selecciona la opción “Clear all” para comenzar otra vez. Inserta otro vector en la posición que desees y selecciona la herramienta “Style 1” ¿Qué relación tienen los vectores en rosado que ahí aparecen con los valores de Rx y Ry?
4. Utiliza el mismo vector anterior, ahora trabaja con el módulo de éste denotado por |R|. Selecciona ahora la casilla “Style 2”, ¿cómo se obtiene dicho módulo?
5. Selecciona la opción “Clear all” y “None”, luego saca dos vectores de “Grab one”. El primero ubícalo de tal forma que comience en (0,0) y termine en (5,10) y el segundo que comience en (15,5) y termine en (25,25). ¿Qué tienen en común estos vectores? ¿Qué relación se puede establecer entre ellos?
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©MatemáticaAbreMundos2011 Descubriendo la suma de vectores con el recurso digital Borra los vectores utilizados anteriormente con “Clear all” y vuelve a sacar dos vectores de “Grab one” y ubícalos en la cuadricula, de tal forma que el origen del segundo coincida con el extremo superior (punta de flecha) del primer vector ubicado.
1. Si el primer vector representa un desplazamiento desde A hasta B y luego el otro vector un desplazamiento de B a C. ¿Qué vector podría representar un desplazamiento de A a C en forma directa? Descríbelo.
2. Selecciona la casilla “Show sum” y ubica el vector verde en el plano. ¿Representa este vector la distancia anterior entre A y C?
3. Anota las componentes de cada uno de los vectores ubicados en la cuadrícula anterior. ¿Qué relación tienen las componentes de cada vector con las coordenadas del vector suma (color verde)?
Sumando vectores con el recurso digital A continuación podrás representar la suma de vectores. Para ello borra los vectores anteriormente utilizados con la herramienta “Clear all”. Selecciona dos vectores cualesquiera y ubícalos en el recurso digital en la posición que desees, de tal forma que el extremo de uno coincida con el origen del otro.
1. Anota las componentes de ambos vectores. ¿Existe un tercer vector que permita ir desde el “punto de partida” al “punto de llegada” en un sólo desplazamiento? Justifica.
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©MatemáticaAbreMundos2011 2. Escribe las coordenadas del punto de origen y el punto de llegada del tercer vector que permite ir desde el punto de partida al punto de llegada. A( C(
, ,
) )
3. ¿Qué relación tiene el tercer vector con los dos vectores originales? Justifica.
4. Selecciona la casilla “Show sum” y anota las coordenadas de este nuevo vector ¿Coinciden estas con las mencionadas anteriormente?
Usando la notación de vectores para la suma La suma de vectores no solo se puede obtener analizando el recurso digital (geométricamente), sino que también se puede obtener analíticamente a partir de las coordenadas de cada vector.
1. Sean dos vectores de la forma u (10, 25) y v (20, 15) . Si el vector suma resultante
entre u y v tiene coordenadas (30,10) . ¿Cómo se obtiene la coordenada “x” del vector suma a partir de la coordenada en “x” de los vectores u y v ?
2. ¿Cómo se obtiene la coordenada “y” del vector suma a partir de la coordenada en “y” de los vectores u y v ?
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3. Al ubicar el vector u y v en el recurso digital, selecciona la casilla “Show sum”. ¿Cuáles son las coordenadas del vector suma de color verde?
4. Ubica el vector verde de tal forma que éste represente la suma de los vectores u y v.
Síntesis Las actividades que desarrollaste en esta guía tuvieron como propósito que usaras el computador para realizar y verificar sumas entre dos vectores, de manera geométrica y también analítica. Ahora responde:
1. ¿De qué manera es posible representar matemáticamente los desplazamientos de objetos o personas? Explica.
2. ¿Es posible realizar la suma de vectores para representar el desplazamiento realizado por el jinete y su caballo? Explica.
3. Al sumar los vectores u (a, b) y v (c, d ) se obtiene un vector resultante. ¿Cuáles son las coordenadas de este vector resultante?
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