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Actividad: ¿Ampliación o Reducción? Nombre: _________________________________________
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Palabras claves: ampliación, reducción, imagen, factor o razón de homotecia, centro de homotecia, semejanza.
Recurso: Transformaciones – Dilatación.
Preguntas previas: El campamento de fin de año Por fin llegó el tan ansiado campamento de fin de año. Tú y tus amigos comienzan a hacer los preparativos con anticipación para el perfecto desarrollo de éste. El profesor de Educación Física informa que cada estudiante debe llevar consigo un banderín del color de su alianza. Pero además, menciona la siguiente regla en la fabricación del banderín: cada uno debe mantener la forma y el color, pero no el tamaño, es decir, no puede coincidir el tamaño de ningún banderín del equipo.
1. Teniendo esta información en mente, ¿qué harías para que se cumpliera esta regla en tu alianza? Explica.
2. Si tuvieras que diseñar y dibujar dos banderines modelos, ¿qué información útil podría entregar el profesor que te ayudara a solucionar este desafío de forma rápida? Argumenta.
3. Imagina el caso de un banderín que se construye a partir de otro más pequeño, pero donde el propósito es agrandarlo manteniendo la misma forma. Si el profesor menciona que una razón posible para efectuar la ampliación es 2 ó 3, ¿cómo sería la relación entre el banderín original y el nuevo? ¿Recuerdas algún concepto matemático que te sirva en este caso?
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©MatemáticaAbreMundos2011 ¿Ampliación o reducción? Trabajo con el computador Abre el recurso digital. En esta sección podrás explorar lo que es una homotecia y la relación entre los elementos que la constituyen a través de la actividad “Jugando con las dilataciones”. Realiza las siguientes actividades.
1. Usa la barra deslizadora para desplazar de un lado a otro la figura más central y pequeña o de borde más claro.
¿Qué sucede con esta figura? Anota tus observaciones en el siguiente cuadro.
¿Existe alguna relación entre el valor que toma la barra deslizadora y la transformación que experimenta la figura que se desplaza? Explica.
¿Qué sucede con la figura que se desplaza, si el valor de la barra deslizadora está en 1?
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¿Qué sucede con la figura si el valor de la barra deslizadora está en 0?
2. Completa la siguiente tabla estableciendo la relación entre el valor que muestra la barra deslizadora (llamémosle k) y el tamaño de la figura que se amplía o reduce. Valor de k 0 0<k<1 1 1<k<2 2
Tamaño de la figura
3. Si tuvieras que definir los términos ampliación y reducción de figuras planas en función de “k”, ¿cómo lo harías? Defínelos a continuación.
4. En geometría “k” se conoce como el factor o razón de homotecia y acorde al valor de este factor una cierta figura es ampliada o reducida. Sin embargo, ¿qué es una homotecia? Intenta definir este concepto, a partir de lo trabajado hasta aquí. ¿Puedes relacionar este concepto con un concepto anterior tal como la semejanza de figuras?
5. Respecto a la homotecia, donde existe una figura original y otra que se amplía o reduce a partir de la primera, ¿son semejantes ambas figuras? Argumenta.
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©MatemáticaAbreMundos2011 ¿Y qué sucede con el punto de homotecia? 1. Volviendo al recurso digital, rota la figura original (de borde negro) haciendo clic en una esquina y arrastrándola. ¿Qué le sucede a la figura o imagen? Describe.
2. El punto resaltado negro que aparece en la ilustración, se denomina centro de homotecia. Arrastra este elemento en distintas direcciones y observa.
¿Qué sucede con la figura original y su imagen? Explica.
Si la razón de homotecia es igual a 1, ¿cuál es la relación entre la figura original, la imagen y el centro de homotecia? Mueve el centro de homotecia en distintas direcciones para verificar tus conjeturas.
3. Ingresa a la siguiente actividad llamada “Tiro al blanco”. Para esto, haz clic en la palabra siguiente en el menú del lado derecho arriba. Deberías encontrar la siguiente situación:
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©MatemáticaAbreMundos2011 Mueve el centro de homotecia y modifica el factor o razón de homotecia, de tal forma que la imagen de la figura original (roja) quede exactamente sobre la figura blanca. ¿Es posible realizar esto? Argumenta.
4. Ahora que ya has practicado más con el recurso digital, intenta definir nuevamente el concepto de homotecia. ¿Cómo lo harías? Discute con tus compañeros esta definición.
Síntesis Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que usaras el computador para explorar y comprender el concepto de homotecia entre figuras planas.
1. Volviendo a la situación inicial del campamento de fin de año, ¿crees que el concepto de homotecia serviría para resolver este desafío propuesto? ¿Por qué?
2. Define la homotecia a partir de los elementos que la constituyen: figura original, imagen, centro de homotecia y razón o factor de homotecia. ¿Cómo se conecta esto con el concepto de semejanza? Comenta con tus compañeros.
3. Hasta el momento solo has trabajado con razones de homotecia mayores que 0 y menores que 2. ¿Qué crees que ocurriría si la razón de homotecia es negativa? ¿Y si la razón es mayor que 2? Ilustra ambas situaciones y coméntalas con tus compañeros.
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