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Actividad: ¿Cuándo se usa la regla de Laplace? Nombre: _________________________________________
Fecha: ______________
Palabras claves: Experimento aleatorio, espacio muestral, cardinalidad, sucesos, probabilidad, gráfico de barras.
Recurso: Ruleta
Preguntas previas: El experimento de D’Alembert D'Alembert, fue un matemático, físico y filósofo francés, nacido en el año 1717 en París. El con una gran fama de sabio, planteó el siguiente problema a sus colegas: Consideren el lanzar de dos monedas idénticas simultáneamente…
1. ¿Cuáles son los resultados posibles que se obtienen al lanzar dos monedas? ¿Por qué?
2. Y luego les preguntó, ¿cuál de ellos tiene mayor posibilidad de salir?
3. D´Alembert propuso la siguiente respuesta: Por tratarse de dos monedas idénticas no es posible distinguir cual resultado corresponde a cada moneda, por lo tanto se presentan sólo 3 resultados: dos caras, dos sellos, o bien mezcladas (una cara y un sello), sin importar en qué moneda salga cual. Por lo tanto, los tres resultados tienen igual posibilidad de salir.
4. Según lo planteado por D´Alembert, ¿cuál es la probabilidad de que salgan, pares de caras, pares de sellos y mezcladas?
5. Discute junto a tu compañero si el planteamiento de D´Alembert es correcto. ¿Se puede usar la regla de Laplace bajo los supuestos planteados? Justifica tu respuesta.
DATOS Y AZAR 1
1
©MatemáticaAbreMundos2011 Comprobando el experimento de D´Alembert en el computador En esta sección podrás experimentar con una ruleta digital, que ocuparás para simular los resultados de un experimento aleatorio. Para estos efectos a cada elemento del espacio muestral ( ) le asignaremos un casillero en la ruleta que lo represente. ¡Ve cómo puedes hacer esto!
1. Escribe el espacio muestral ( ) del experimento.
Ω
2. Ingresa al recurso digital y explora cómo funciona y qué cosas puedes hacer con él. 3. Presiona el botón “Cambiar Ruleta” para indicar en cuántas regiones debes dividir la ruleta, cuál es el nombre de cada región, cuál es el color y finalmente cuál es el área o tamaño que debes asignar para que la ruleta represente el problema del lanzamiento de las dos monedas. Para realizar esta configuración completa los siguientes pasos:
¿En cuántas partes debes dividir la ruleta, para representar el problema?
Según la asignación que realizaste a los elementos del espacio muestral en “1.”, asigna un nombre y color a cada sector.
Finalmente para guardar tus cambios y ver la ruleta presiona el botón “Aplicar”.
4. Ahora ¡a jugar! y comprobar el experimento de D´Alembert.
Presiona el botón “Dar Vueltas” 10 veces y registra los resultados (CC: Cara Cara, CS: Cara – Sello, SC: Sello-Cara, Sello – Sello) en la siguiente tabla.
Vuelta Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Resultado
DATOS Y AZAR 1
2
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¿Qué sucesos definen al suceso “Mezcladas” considerado por D’Alembert?
A continuación registra el resumen de los resultados que obtuviste en la siguiente tabla. Resultado
Frecuencia
%
Cara - Cara Mezcladas Sello - Sello
Según los resultados, ¿es correcta la propuesta de D´Alembert? ¿por qué?
5. Ahora prueba qué pasa si lanzas más veces.
Presiona el botón “Guardar Resultados” y en el cuadro “Vueltas” anota 100 veces. Registra a continuación el resumen de los resultados que obtuviste, la frecuencia relativa (probabilidad experimental) y el porcentaje. Resultado
Frecuencia
Frecuencia relativa
%
Cara - Cara Mezcladas Sello - Sello
A partir de la tabla anterior, confecciona un gráfico de barras para visualizar los resultados.
DATOS Y AZAR 1
3
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Según los resultados obtenidos ahora, ¿es correcta la propuesta de D´Alembert?, ¿por qué?
6. Los resultados que obtuviste hasta aquí, corresponden al cálculo de la probabilidad experimental. Ahora, verifica éstos calculando la probabilidad teórica de cada suceso del espacio muestral (usando la regla de Laplace).
Completa la siguiente tabla con la probabilidad teórica del experimento aleatorio de D’Alembert. Resultado
Probabilidad teórica
Cara - Cara Mezcladas Sello - Sello
A partir de la tabla anterior confecciona el gráfico de barras teórico del experimento.
Según los resultados teóricos, ¿cuál opción tiene más posibilidades de ganar? ¿Por qué?
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4
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Si tuvieras la posibilidad de reunirte con D´Alembert, ¿cómo le explicarías el error que cometió? Discútelo con tu compañero y justifica.
Otro caso en el estudio de la probabilidad: El experimento del vaso Este experimento consiste en lanzar o dejar caer un vaso plástico, desde una cierta altura fija, de tal manera que el vaso de algunas vueltas en el aire, ¿Se puede predecir de qué forma caerá el vaso? A partir de este experimento completa la siguiente actividad.
1. ¿Cuáles son las formas en que puede caer el vaso? ¿Cuántas son?
2. Si tuvieras la posibilidad de participar en un concurso para adivinar como caerá el vaso, ¿por cuál de las opciones apostarías? ¿Por qué?
3. Determina la información relativa al experimento.
Escribe el espacio muestral (Ω “Omega”) y la cardinalidad de éste. Ω={
}
#Ω =
Con esta información, ¿podrías decir cuál de las opciones tiene mayor probabilidad de salir? Justifica.
4. Hasta este momento hiciste tu apuesta, pero ¿cómo puedes saber si tu conjetura es correcta o errónea? A continuación realiza el experimento junto con un compañero o compañera. Para ello, consigan un vaso plástico.
DATOS Y AZAR 1
5
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Realicen 30 veces el experimento. Tomen el vaso y déjenlo caer desde una cierta altura (traten de que la altura sea aproximadamente la misma para las 30 caídas). Anoten el resumen de sus resultados en la siguiente tabla. Resultado
Frecuencia
Frecuencia relativa
%
Según los resultados que obtuviste al realizar el experimento, ¿ganaste o perdiste la apuesta? ¿Puedes asegurar que ganaste o perdiste tu apuesta solo con 30 caídas?
Usa la siguiente tabla para reunir los datos del experimento realizado por 15 parejas de compañeros del curso.
Resultado
Grupos 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Total
Resume la información anterior en la siguiente tabla de frecuencias. Resultado
Frecuencia
Frecuencia relativa
%
Total
Según los resultados del curso, ¿ganaste o perdiste la apuesta?
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6
©MatemáticaAbreMundos2011 5. Buscando algunas regularidades, en el experimento:
¿Todos los sucesos del experimento tienen la misma probabilidad de salir? Justifica tu respuesta.
En este experimento, ¿se puede usar la regla de Laplace para calcular la probabilidad? Discute con tus compañeros y luego con tu profesor la respuesta.
Síntesis La actividad que realizaste en esta guía tuvo por propósito que fueras capaz de establecer cuándo usar el modelo teórico o el modelo experimental, en el cálculo de probabilidades. Del mismo modo pudiste establecer las condiciones necesarias para usar cada modelo.
1. Volviendo a las preguntas iniciales, usa el trabajo que realizaste en esta guía para responder la pregunta 5: “¿Se puede usar la regla de Laplace bajo estas condiciones? Justifica tu respuesta”.
2. ¿Bajo qué condiciones se puede usar la regla de Laplace para el cálculo de la probabilidad?
3. Para calcular probabilidades, trabajaste de dos formas: experimentalmente (frecuencias relativas) y teóricamente (regla de Laplace). Explica con tus palabras en qué consiste cada una de ellas. Discute esta respuesta con tu profesor y compañeros.
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