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Actividad: Demostrando el Teorema de Euclides Nombre: _________________________________________
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Palabras claves: Tangrama alemán, semejanza de triángulos, teorema de Thales, teorema de Euclides, triángulo rectángulo, altura de un triángulo.
Recurso: Teorema de Euclides
Preguntas previas: Museo Corbeta Esmeralda Como parte de un proyecto bicentenario, se construye el Museo Corbeta Esmeralda, en el borde costero de Iquique. Este contará con una réplica a escala real de la corbeta. Se sabe que hay dos focos que proyectan su luz hacia la cima del mástil principal, el cual es perpendicular a la base. Un foco está ubicado 32 metros hacia atrás de la base de dicho mástil, y el segundo se ubica a 50 metros de la misma base hacia la parte delantera. Los rayos de luz que proyectan se intersectan en la cima del mástil principal, en un ángulo de 90º.
1. Representa gráficamente la situación con los datos entregados.
2. Utiliza algún teorema o procedimiento conocido que permita, con esos datos, calcular la altura del mástil principal de la Esmeralda.
3. Junto a un compañero justifiquen si se puede o no determinar la altura del mástil con la información entregada.
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©MatemáticaAbreMundos2011 Visualizando el teorema de Euclides en el tangrama alemán En esta sección podrás ver cómo se relacionan proporcionalmente los triángulos rectángulos, mediante la utilización de las piezas del tangrama alemán.
1. ¿Qué relación podrías establecer entre los triángulos del tangrama? Para ello realiza lo siguiente:
Recorta el tangrama que se encuentra anexado a esta guía. Para ver la relación entre los triángulos 1 y 2, ponlos uno sobre otro y compara qué ocurre con ellos de modo que sus ángulos coincidan. Dibuja como quedan sobrepuestos el triángulo 1 y 2. Utiliza algún concepto matemático que te permita establecer la relación que se da entre ellos.
2. ¿Cómo son los triángulos entre sí? Justifica.
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©MatemáticaAbreMundos2011 Visualizando el teorema de Euclides en el computador En esta sección podrás verificar las relaciones encontradas anteriormente mediante un recurso digital.
1. Utiliza el recurso digital “Teorema de Euclides”, para visualizar las relaciones entre los triángulos 1 y 2:
Activa la casilla “Relación Triángulos 1 y 2” y desplaza la barra deslizadora para comprobar la relación que estableciste anteriormente. Establece algunas relaciones de proporcionalidad entre los segmentos de dichos triángulos.
¿Ocurre esto con cualquier ΔABC? Utiliza el recurso digital y mueve los puntos A, B y C, verifica si la relación se mantiene. Puedes deslizar la barra de color azul, para visualizar la proporción. Justifica.
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©MatemáticaAbreMundos2011 2. Si sabemos que el trazo hc es la altura del ΔABC, desde el vértice C, ¿qué relación de proporcionalidad podrías establecer entre el trazo hc con los trazos p y q?
3.
¿Cómo podrías determinar la altura hc, utilizando las proyecciones p y q de los triángulos? Escríbelo con tus propias palabras.
4. Para comprobar la relación proporcional que estableciste, activa la casilla “Ver relación proporcional” y desplaza la barra deslizadora. Comenta con tus compañeros si obtuvieron la misma relación. “La relación proporcional que acabas de establecer corresponde al Teorema de Euclides relativo a la altura.”
Buscando otras relaciones con el tangrama A partir del tangrama alemán es posible relacionar otros triángulos rectángulos.
1. Con la utilización de los triángulos recortados, establece las siguientes relaciones: Relación triángulos 1 y 3 (ΔADC y ΔBEA)
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Relación triángulos 2 y 3 (ΔBCD y ΔABE)
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©MatemáticaAbreMundos2011 2. Verifica con el uso del recurso digital la relación proporcional que se establece:
Se sabe que el trazo b corresponde a un cateto del ΔABC. ¿Qué relación de proporcionalidad podrías establecer entre el trazo b, con los trazos c y p?
Se sabe que el trazo a corresponde al otro cateto del ΔABC. ¿Qué relación de proporcionalidad podrías establecer entre el trazo a, con los trazos c y q?
3. Para comprobar las relaciones proporcionales que estableciste referente a los catetos del ΔABC, activa la casilla “Ver relación proporcional” y desplaza la barra deslizadora, para ver cada relación. Comenta con tus compañeros si obtuvieron las mismas relaciones. “Las relaciones proporcionales que acabas de establecer corresponden al Teorema de Euclides relativo a los catetos.”
Síntesis Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito el recordar conceptos previos, tales como la semejanza y el teorema de Thales, para demostrar el teorema de Euclides en un triángulo rectángulo con la ayuda de un recurso digital. Responde ahora las siguientes preguntas.
1. Enuncia los teoremas de Euclides para la altura y los catetos en un triángulo rectángulo ABC.
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©MatemáticaAbreMundos2011 2. ¿Qué conocimientos matemáticos anteriores y teoremas te han servido para demostrar el teorema de Euclides? Explica.
3. Retomando la pregunta inicial, con los datos entregados y los conocimientos del Teorema de Euclides, determinen la altura del mástil y justifiquen como la obtuvieron.
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©MatemáticaAbreMundos2011 Anexo Tangrama Alemán: Recorta el siguiente tangrama para visualizar las relaciones proporcionales entre los triángulos que lo conforman.
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