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Actividad: Números complejos en el plano Nombre: _________________________________________
Fecha: ______________
Palabras claves: Plano complejo, número complejo, módulo, conjugado, opuesto, rotación, traslación, simetría, homotecia, forma trigonométrica.
Recurso: Números complejos. Movimientos en el plano.
Preguntas previas: Soluciones de una ecuación cuadrática Daniel está desarrollando un ejercicio de matemática. Se le solicita encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática x 2 10 x 26 0.
1. Respecto de la ecuación mencionada: Sin resolverla, ¿qué tipo de soluciones tiene? Justifica.
Comprueba lo anterior calculando las soluciones.
2. ¿Qué diferencias y/o similitudes hay entre la primera y la segunda solución? Discute con tus compañeros y tu profesor.
3. Si los números reales se representan en la recta numérica, ¿cómo se representan los números complejos? Discute con un compañero.
NÚMEROS 3
1
©MatemáticaAbreMundos2011 Representando números complejos en el plano A continuación, mediante un recurso digital, podrás explorar la representación de números complejos en el plano complejo o de Argand.
1. Ingresa al recurso digital y explóralo. Escribe nuevamente las soluciones de la ecuación cuadrática estudiada al comienzo. Solución Nº1
Solución Nº2
Moviendo las flechas en el recurso digital, escribe la primera solución de la ecuación cuadrática. ¿Qué color tiene el vector que muestra el punto graficado? Azul
Negro
2. En vista de lo anterior, ¿dónde se ubica la parte imaginaria de la solución? Eje de las abscisas
Eje de las ordenadas
3. Explica con tus palabras cómo se representan los números complejos en el plano complejo o de Argand.
4. Si el vector azul representa la primera solución de la ecuación cuadrática, ¿qué representa el vector negro? Discute con tus compañeros y profesor.
NÚMEROS 3
2
©MatemáticaAbreMundos2011 Isometrías, homotecias y números complejos. 1. Vuelve al recurso digital. Selecciona la opción “Simetría respecto al origen” y grafica el número complejo z = 3 + 2i.
Puedes hacer clic en el punto terminal del vector azul y deslizarlo sobre el vector negro. ¿A qué se refiere la expresión: “simetría respecto al origen”?
Sabiendo que el vector negro representa la transformación isométrica realizada, ¿a qué equivale el resultado de una simetría respecto al origen?
2. En el recurso digital, selecciona la opción “Simetría eje abscisas” y grafica el número complejo z = 3 + 4i.
¿Cuáles son las coordenadas del vector azul y del vector negro que representa la isometría realizada? Coordenadas vector azul (
,
)
Coordenadas vector negro (
,
)
Sabiendo que el vector negro representa la transformación isométrica realizada, ¿a qué equivale una simetría respecto al eje de las abscisas?
3. En el recurso digital, selecciona la opción “Traslación” y grafica el número complejo z = 3 + 2i.
En la parte donde aparece Z’ escribe un vector de traslación y observa la isometría. ¿Qué representa el vector rosado que aparece en la gráfica? ¿Y el vector negro?
¿Qué relación existe entre las coordenadas del vector azul, las coordenadas del vector negro y las coordenadas del vector de traslación?
NÚMEROS 3
3
©MatemáticaAbreMundos2011 4. En el recurso digital, selecciona la opción “Giro de centro el origen” y grafica el número complejo z = 3 + 4i.
¿Cuál
Explora cambiando el ángulo de rotación deseado. ¿Para qué ángulos de rotación ocurre que el vector resultante, corresponde al opuesto del vector original?
Explora cambiando las coordenadas del vector original y el ángulo de rotación. ¿Para qué valores el vector resultante corresponde al complejo conjugado?
¿Por qué número imaginario se puede multiplicar el vector original, para que el vector resultante represente una rotación de 90º? Justifica.
Fíjate ahora donde aparece Z’, ¿Cuál es la operación que se muestra y qué resultado se obtiene?
¿Qué característica tiene el número imaginario, expresado en forma trigonométrica, por el cual se multiplica el complejo original?
es el módulo de este número imaginario expresado en forma trigonométrica? Justifica.
Si se reemplaza el ángulo de este número imaginario por 60º en ambas partes, ¿cómo sería el módulo de este nuevo número imaginario? Distinto
NÚMEROS 3
El mismo
4
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¿Por qué el modulo en ambos números imaginarios es el mismo? Discute con un compañero y justifica.
5. En el recurso digital, selecciona la opción “Homotecia de centro el origen” y grafica el número complejo z = 3 + i.
Mediante las flechas cambia la razón de homotecia, ¿qué sucede con el vector cuando esta razón aumenta o disminuye?
¿Qué se debe hacer para construir una homotecia, conocidos el complejo original y la razón de homotecia?
¿Dirías tú que al realizar una homotecia no se altera ni la forma ni el tamaño del vector que representa al complejo? ¿Por qué?
Síntesis El propósito de esta actividad fue explorar y comprender, con el apoyo de un recurso digital, la representación de números complejos en el plano complejo así como también la relación con las transformaciones geométricas. Ahora responde las siguientes preguntas.
1. Respecto de la situación de la ecuación cuadrática, en las preguntas previas, explica cómo se grafican estas raíces en el plano de Argand.
2. ¿Cuál es la diferencia entre el opuesto de un número complejo y su conjugado? Apóyate en el plano complejo.
3. Con relación a la simetría respecto del origen de un complejo y la simetría respecto al eje “x”, ¿dirías tú que representan lo mismo en el plano? Justifica.
4. Explica cómo se traslada un complejo en plano y cómo puede ser rotado respecto al origen.
5. Explica la diferencia entre homotecia e isometría, usando números complejos.
NÚMEROS 3
5