©MatemáticaAbreMundos2011
Actividad: Soluciones de una ecuación cuadrática Nombre: _________________________________________
Fecha: ______________
Palabras claves: Función cuadrática, ecuación de segundo grado, soluciones o raíces, gráfica. Recurso: Graficador de funciones
Preguntas previas: El concierto esperado ¿f(x)=0? Se acerca el concierto que tú y tus amigos esperaban hace meses. Para no tener ningún inconveniente deciden arrendar una camioneta para que los lleve al lugar, el arriendo tiene un costo de $14.000 que dividirán en partes iguales. Lamentablemente a última hora tres de tus amigos deciden no asistir, debido a lo cual la cuota de los que si asistirán aumenta en $1.500. Si se usa un modelo matemático para representar esta situación, éste está dado por la ecuación f(x) = x 2 3x 28 0
1. Si el número de amigos está representado por la variable “x”, ¿cuántos amigos irían en el grupo original? Argumenta tu conjetura.
2. Busca la solución de la ecuación f(x) = x 2 3x 28 0 . ¿Qué problema estás resolviendo? ¿Qué información te entregan las soluciones?
3. ¿Es posible averiguar el valor que pagaron los amigos que asistieron efectivamente al concierto? ¿Cuál es el valor?
ÁLGEBRA 3
1
©MatemáticaAbreMundos2011 Método gráfico para resolver ecuaciones cuadráticas con el computador En esta sección podrás ver una representación gráfica de una función cuadrática, variar sus coeficientes, cambiar la escala y rastrear la curva. El objetivo es buscar las soluciones de la ecuación cuadrática mediante un método gráfico.
1. Considera la ecuación x 2 x 6 0 y reescríbela de la forma x 2 x 6 , para poder representarla gráficamente como dos funciones conocidas. Ingresa en el graficador de funciones las dos partes de la igualdad por separado, es decir: f(x) x 2 y g(x) x 6 .
Dibuja en el siguiente cuadro las representaciones gráficas que obtuviste.
2. Usa el punto deslizante para variar el valor de x. ¿En qué valores de x las dos funciones son iguales? ¿Qué crees que representan esos puntos?
3. Grafica la función f(x) x 2 x 6 ¿Para qué valores de x, f(x)=0? ¿Qué relación tienen estos valores con los que obtuviste en el punto anterior?
ÁLGEBRA 3
2
©MatemáticaAbreMundos2011
Explica con tus palabras por qué se produce esta relación. Argumenta tus conjeturas, para esto puedes evaluar la función en los valores que encontraste ¿Qué fue lo que encontraste?
Encontrando el número de amigos Utiliza el método gráfico para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, para resolver el problema del concierto, o sea, la ecuación x 2 3x 28 0 .
1. Reescribe la ecuación de tal forma que puedas graficar dos funciones. ¿Cuáles son esas funciones? f(x)=
g(x)=
2. Usa el recurso digital para graficar las funciones resultantes, y varía el punto deslizante hasta encontrar los valores de x para los que las dos funciones son iguales. Registra tu trabajo a continuación.
X1=
X2=
3. Evalúa la ecuación inicial en estos valores de x, ¿son estas las soluciones de la ecuación? Justifica.
ÁLGEBRA 3
3
©MatemáticaAbreMundos2011 4. Discute con un compañero cuál de las dos soluciones que encontraste es la adecuada para responder las preguntas previas. ¿Por qué hay que descartar la otra solución?
Síntesis En esta guía trabajaste un método gráfico para resolver ecuaciones de segundo grado, con la ayuda del recurso Graficador de Funciones. En términos generales una ecuación de segundo grado tiene la forma ax2 bx c 0. Finalmente responde lo siguiente.
1. Descompone la forma general de una ecuación de segundo grado, de la misma manera que en los casos particulares de esta guía. Luego generaliza este método gráfico.
2. Al usar este método te puedes encontrar con tres casos particulares de gráficos, a continuación describe qué es lo que sucede con las soluciones en cada uno de ellos.
Primer caso: la gráfica de la recta intercepta a la gráfica de la parábola en dos puntos.
Segundo caso: la gráfica de la recta es tangente a la gráfica de la parábola, es decir, se interceptan en un solo punto.
Tercer caso: las gráficas de la recta y de la parábola no se interceptan.
ÁLGEBRA 3
4