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Actividad: Teorema y demostración Nombre: _________________________________________
Fecha: ______________
Palabras claves: Circunferencia, arco, ángulos de un triángulo, ángulos entre paralelas, ángulo al centro, ángulo inscrito, hipótesis, tesis, teorema, demostración.
Recurso: Angulo inscrito y al centro 2
Preguntas previas: ¿Te ha sucedido? Tu profesor o profesora de matemática, propone un teorema y luego hace la demostración en la pizarra. Algunos de tus compañeros preguntan: ¿Hay que aprendérsela de memoria?, ¿Entra para la prueba?... ¿A quién se le ocurrió hacer esta demostración?
1.
Comenta con tus compañeros qué sabes de los teoremas y las demostraciones de teoremas en matemática.
Imagen extraída de http://miguelparraa.blogspot.com
Nombra algunos teoremas que recuerdes.
¿Para qué crees que sirven las demostraciones matemáticas?
Anota algunas conclusiones interesantes de tus compañeros, en las que tú no hayas pensado inicialmente.
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©MatemáticaAbreMundos2011 Explorando el teorema del ángulo al centro con el computador Ahora estudiarás la demostración del siguiente teorema: La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del ángulo al centro que determina el mismo arco.
1. Para entender este teorema, abre el recurso digital y responde:
¿Qué nombre recibe el ángulo en P y qué arco determina?
¿Qué nombre recibe el ángulo en O y qué arco determina?
2. Arrastra el punto P en la circunferencia y observa lo que sucede.
¿Cambia la medida del ángulo en P? Conjetura.
¿Cambia la medida del ángulo en O? Argumenta.
De acuerdo al enunciado del teorema, ¿cuál es la relación numérica que se cumple entre la medida del ángulo al centro y la medida del ángulo inscrito que determina el mismo arco?
3.
¿Cuáles son las condiciones iniciales que se requieren para que se cumpla el teorema? Es decir, ¿cuál es la hipótesis del teorema? Discute con tus compañeros y anota algunas conclusiones.
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©MatemáticaAbreMundos2011 4.
¿Qué es lo que se desea demostrar en este teorema? Es decir, ¿cuál es la tesis del teorema? Discute con tus compañeros y anota algunas conclusiones.
Preparando la demostración: relaciones entre ángulos Para realizar la demostración del teorema del ángulo al centro usarás como ayuda otro teorema, el cual se refiere a los ángulos exteriores en un triángulo. A continuación se realiza una breve revisión de él.
1.
En el recurso digital escoge la pestaña “Ángulos exteriores del triángulo”. Luego selecciona la casilla “Ángulo exterior en A”.
Describe lo que sucede con los tres ángulos del triángulo al mover el deslizador.
Posteriormente, selecciona “Ángulo exterior en B” y luego “Ángulo exterior en C”. En ambos casos describe lo que sucede con los ángulos del triángulo.
2.
Escogiendo un vértice del triángulo, ¿qué relación existe entre la medida de un ángulo exterior a ese vértice y la medida de los dos ángulos no adyacentes a ese vértice en un triángulo?
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©MatemáticaAbreMundos2011 Tres casos para realizar la demostración del teorema Regresa a la pestaña “Teorema del ángulo del centro” del recurso digital. Ahora demostrarás el teorema separándolo en tres casos posibles. Una demostración por casos puede ser más sencilla que tratar de hacer todo junto a la vez.
1.
En el recurso digital mueve el punto P hasta que te encuentres en el Caso 1.
En este caso, ¿por dónde pasan los lados del ángulo P inscrito en la circunferencia? Explica.
Mueve el deslizador bajo la circunferencia hasta obtener un triángulo como el de la imagen anterior. Explica por qué se puede afirmar que “el triángulo BOP tiene dos lados congruentes”.
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Continúa moviendo el deslizador y describe paso a paso qué sucede con el triángulo BOP y sus ángulos, hasta que se obtenga lo que se muestra en la imagen.
2.
¿Pudiste demostrar el teorema? Enuncia nuevamente la tesis del teorema utilizando las letras de la imagen anterior.
En el recurso digital mueve el punto P hasta que te encuentres en el Caso 2.
En este caso ¿Por dónde pasan los lados del ángulo P inscrito en la circunferencia?
Explica por qué se puede afirmar que “el triángulo BOP y el triángulo AOP tienen cada uno dos lados congruentes”.
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Continúa moviendo el deslizador y describe paso a paso qué sucede con el triángulo BOP y AOP y sus ángulos, hasta que se obtenga lo que se muestra en la imagen.
¿Pudiste demostrar el teorema? Enuncia nuevamente la tesis del teorema, utilizando las letras de la imagen anterior.
Síntesis En esta guía pudiste demostrar un teorema, separando el teorema en tres casos distintos. Junto a tus compañeros respondan en su cuaderno:
1.
Enuncien el teorema del ángulo al centro y el ángulo inscrito que determinan el mismo arco en una circunferencia. Señalen cuál es la hipótesis de este teorema. Señalen la tesis del teorema. ¿En qué consistía cada uno de los casos en los que se dividió la demostración y cómo esto les permitió a ustedes hacer la demostración del teorema?
2.
¿Para qué dirían que se demuestra en matemática?
3.
Desafío: Haciendo uso del recurso digital muevan el punto P hasta que se encuentren en el Caso 3. Luego intenten demostrar el teorema para este tercer caso.
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