©MatemáticaAbreMundos2011
Actividad: Transformaciones isométricas Nombre: _________________________________________
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Palabras claves: Transformaciones isométricas, plano cartesiano, traslación, vector, reflexión, rotación, teselación.
Recurso: Transformation
Preguntas previas: Exposición de arte La madre de Carolina está presentando una exposición de arte. Una de las pinturas que a ella le ha llamado la atención es la que se presenta a la derecha. Carolina está analizando la pintura y le comenta a su mamá que ésta contiene matemática. Analiza el razonamiento de Carolina para afirmar esto, respondiendo las siguientes preguntas.
1. ¿Las figuras que forman esta pintura, son todas iguales? Puedes utilizar regla y transportador para verificarlo.
2. ¿Qué características tiene la figura con la que se forma la pintura?
3. Si continúas cubriendo el plano con esta figura, ¿quedarán espacios sin cubrir? ¿Quedarán figuras sobrepuestas? Justifica.
4. En la pintura, ¿observas movimientos de la figura? ¿Cómo podrías describirlos?
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©MatemáticaAbreMundos2011 Movimiento de Reflexión en el plano cartesiano A continuación podrás caracterizar el movimiento de reflexión, a partir de la exploración con un recurso digital. Podrás encontrar la recta de reflexión, para que la casa se mueva sobre su sombra.
1. Ingresa al recurso digital, luego presiona “ok” en la primera pantalla que aparece”. Luego arrastra una recta del costado izquierdo para reflejar la casa en su sombra.
2. ¿Cuál es la distancia que hay entre el vértice de la cima de la casa y la recta de reflexión?
3. ¿Qué ocurre con la distancia entre el vértice de la cima de la sombra de la casa y la recta de reflexión?
4. ¿Qué podrías decir de las distancias entre cada vértice de la casa y la recta, comparada con la distancia entre el correspondiente vértice de la sombra de la casa y la misma recta? ¿Se cumple la misma condición con los demás vértices de la casa?
5. Comprueba con el recurso digital si la recta de reflexión escogida fue la correcta o no, presionando “Reflect”. Si está correcto podrás pasar a la siguiente etapa.
Movimiento de Rotación en el plano cartesiano A continuación podrás caracterizar el movimiento de rotación, a partir de la exploración con el recurso digital. Podrás seleccionar el sentido de rotación y el ángulo en que se debe mover la casa para que quede sobre su sombra.
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©MatemáticaAbreMundos2011 1. ¿Cuál es la distancia entre el punto de rotación establecido y la cima de la casa?
2. ¿Qué ocurre con la distancia entre el punto de rotación y la cima de la sombra de la casa? ¿Qué relación puedes establecer entre ésta distancia y la distancia de la pregunta 1?
3. ¿Qué podrías decir de las distancias entre cada vértice de la casa y el punto de rotación, comparada con la distancia entre el punto de rotación y el correspondiente vértice de la sombra de la casa? ¿Siempre se cumple la misma relación?
4. Comprueba con el recurso digital si el ángulo y sentido establecidos son correctos o no, presionando “Rotate”. Si están correctos podrás pasar a la siguiente etapa.
Movimiento de Traslación en el plano cartesiano A continuación podrás caracterizar el movimiento de traslación, a partir de la exploración con el recurso digital. Podrás seleccionar cuántas unidades se debe mover la figura de la casa para que se traslade a la posición de su sombra.
1. ¿Qué podrías decir de la distancia entre cada vértice de la casa, y el vértice correspondiente en la sombra de la casa?
2. ¿Se cumple siempre esta condición? ¿Cómo lo podrías verificar?
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©MatemáticaAbreMundos2011 3. ¿Cuál es el vector que traslada la casa a su sombra?
4. Comprueba con el recurso digital si el desplazamiento escogido fue correcto o no, presionando “Traslate”. Si está correcto podrás pasar a la siguiente etapa.
Explorando coordenadas en la Reflexión Tú ya has estudiado el movimiento de reflexión. Ahora en esta nueva etapa, utilizando el recurso digital, podrás explorar los distintos tipos de reflexión que ahí aparecen para luego trabajar con las coordenadas.
1. Selecciona la opción “Reflect” y ubica la casa en alguna posición. Una vez que identifiques qué hace cada recta de reflexión, anota las coordenadas de la casa en la siguiente tabla. Luego realiza una reflexión y anota las nuevas coordenadas de la casa.
Coordenadas iniciales de la casa
Coordenadas de la casa reflejada
2. ¿Qué relación puedes establecer entre las coordenadas de la casa, y las coordenadas de la casa reflejada? ¿Es esta relación independiente de la recta de reflexión escogida?
3. ¿Podrías a partir de las coordenadas de la casa, establecer cuáles son las nuevas coordenadas al ser reflejada? ¿Cómo?
4. ¿Hay cambios en las dimensiones de los lados de la casa antes y después de ser reflejada? ¿Ocurren cambios en los ángulos interiores de la casa antes y después de ser reflejada? Explica.
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©MatemáticaAbreMundos2011 Explorando coordenadas en la Rotación Tú ya has estudiado el movimiento de rotación. Ahora en esta nueva etapa, utilizando el recurso digital, podrás explorar diferentes rotaciones acorde a las posibilidades que existen.
1.
Selecciona la opción “Rotate” y ubica la casa en alguna posición. En la siguiente tabla dibuja la casa en las coordenadas que se encuentra y anota sus coordenadas. En el recurso digital realiza una rotación, luego dibuja la casa y anota sus coordenadas.
Coordenadas iniciales de la casa
Coordenadas de la casa rotada
1. Ahora, utilizando regla y transportador, traza la recta entre la cima de la casa y el punto de rotación, y la recta entre la cima de la casa rotada y el punto de rotación. ¿Cuánto mide el ángulo que se genera entre estas dos rectas? Repite este proceso con los demás vértices de la casa y sus respectivos vértices de la casa después de ser rotada. ¿Qué puedes decir del ángulo que se forma en cada caso?
2. ¿ Qué puedes decir de las medidas de los ángulos y segmentos que constituyen la casa al ser rotada? ¿Hay cambios en éstos? Explica.
3. ¿ Podrías a partir de las coordenadas de la casa, establecer cuáles son las nuevas coordenadas al ser rotada? ¿Qué datos son necesarios para realizar una rotación?
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©MatemáticaAbreMundos2011 Explorando coordenadas en la Traslación Tú ya has estudiado el movimiento de traslación. Ahora en esta nueva etapa, utilizando el recurso digital, podrás explorar diferentes traslaciones y ver qué sucede con las coordenadas.
1. Selecciona la opción “Translate” y ubica la casa en alguna posición. Ubica las coordenadas de la casa y anótalas en la siguiente tabla, luego realiza una traslación y anota las nuevas coordenadas de la casa:
Coordenadas de la casa
Nuevas coordenadas de la casa
2. ¿Qué relación puedes establecer entre las coordenadas de la casa, y las nuevas coordenadas de la casa trasladada? ¿Puedes identificar el vector de traslación?
3. ¿Observas algún cambio en las medidas de los ángulos y segmentos de la casa al ser trasladada? Explica.
Síntesis Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito explorar movimientos en el plano cartesiano, para luego establecer como se aplican estos movimientos o transformaciones con el uso de coordenadas.
1. Volviendo al problema inicial, si tienen un plano cartesiano y la figura del polihueso con sus coordenadas, ¿podrían mediante la aplicación de transformaciones crear este cuadro? ¿Cómo?
2. Si se conocen las coordenadas de una figura (la casa del recurso digital, por ejemplo), ¿es posible obtener las nuevas coordenadas, luego de realizar una traslación según un vector dado, sin el apoyo del plano cartesiano? ¿Qué sucede para el caso de una reflexión o una rotación?
3. Comenta con tus compañeros qué sucedió con las dimensiones de los segmentos y ángulos que forman la casa, en los tres movimientos o transformaciones que fueron estudiados. ¿Qué podrían concluir respecto de los tres tipos de transformaciones?
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©MatemáticaAbreMundos2011 Anexo El recurso digital interactivo utilizado para esta actividad está en inglés, por lo que se adjunta una traducción de los principales textos que en él aparecen. Intenta esto Vamos a empezar con la reflexión. Traten de reflejar la casa en la sombra eligiendo el eje de simetría y colocándolo en el lugar correcto del plano.
Traten de reflejar la casa en la sombra, eligiendo un eje de simetría y colocándolo en el lugar correcto del plano. ¡Perfecto! Colocaste la línea de reflexión en la posición adecuada para reflejar la casa en su sombra. Ya has dominado la reflexión. Vamos a pasar ahora a la rotación.
Rota la casa sobre el punto azul, para que cubra la sombra. Elije un ángulo y sentido, y haz clic en el botón Rotar. ¡Perfecto! Colocaste la línea de reflexión en la posición adecuada para reflejar la casa en su sombra. Ya has dominado la reflexión. Vamos a pasar ahora a la traslación.
Traslada la casa para que cubra su sombra. Usa las flechas rojas para elegir los números y direcciones, y haz clic en Trasladar. ¡Perfecto! has elegido los números y direcciones correctas para trasladar la casa a su sombra. Lee las instrucciones en la parte superior de la pantalla para practicar un poco más las reflexiones, rotaciones y traslaciones.
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