Arhiva subiecte titularizare matematica 2010 2016 by Gabriela Negutescu

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL NAłIONAL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE DECLARATE VACANTE/ REZERVATE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR 14 IULIE 2010 Probă scrisă la MATEMATICĂ

VARIANTA 2

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 4 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I 30 de puncte 1. Spunem că o mulŃime nevidă A ⊂ ℕ are proprietatea ( p ) dacă suma oricăror două elemente ale lui A , nu neapărat distincte, nu este în A . a) ArătaŃi că mulŃimea {1, 4,6} are proprietatea ( p ) , iar mulŃimea {1,3,6} nu are proprietatea ( p ) .

b) DaŃi un exemplu de mulŃime inclusă în mulŃimea {1, 2,3,..., 2010} care are 1005 elemente şi care are proprietatea ( p ) .

c) Câte submulŃimi nevide ale mulŃimii B = {4,5,6,7,8} au proprietatea ( p ) ?

d) ArătaŃi că dacă A ⊂ {1, 2,3,..., 2010} are proprietatea ( p ) , atunci mulŃimea A are cel mult 1005 elemente. 2. În planul α se consideră punctele O1 , O2 ,..., O100 , oricare trei necoliniare şi mulŃimea M = {O1 , O2 ,..., O100 } . Se notează cu C i cercul de centru Oi şi rază 1,

Ci ⊂ α ,

i ∈ {1, 2,3,...,100} . Se ştie că pentru orice

i, j, k ∈ {1, 2,3,...,100} , există o dreaptă care intersectează cercurile C i ,

şi C k .

4p 4p

a) ArătaŃi că într-un triunghi ABC cu AB ≤ AC , distanŃa de la B la AC este mai mică sau egală decât distanŃa de la C la AB . b) DeterminaŃi numărul triunghiurilor care au toate vârfurile în mulŃimea M . c) ArătaŃi că triunghiul O1O2 O3 are o înălŃime de lungime cel mult 2.

d) Pentru fiecare i ∈ {1, 2,3,...,100} se notează cu Di cercul de centru Oi şi rază 2, Di ⊂ α . ArătaŃi că există o

dreaptă care intersectează toate cercurile D1 , D2 , … , D100 . 2

SUBIECTUL al II-lea  1 1 0 1 0 0 1. Fie matricele A =  0 1 1  şi I 3 =  0 1 0  . 0 0 1 0 0 1    

a) ArătaŃi că A3 − 3 A2 + 3 A − I 3 = 0 .

b) CalculaŃi An , unde n ∈ ℕ∗ .

30 de puncte

2. Pe mulŃimea G = ( 0, +∞ ) \ {1} se consideră legea de compoziŃie x ⊥ y = x ln y . 4p 3p

a) ArătaŃi că mulŃimea G împreună cu legea „ ⊥ ” este grup comutativ.

( )

b) ArătaŃi că grupul ( G, ⊥ ) este izomorf cu grupul ℝ∗ , ⋅ . 3. Se consideră funcŃia f : [ 0; +∞ ) → ℝ, f ( x ) = ln (1 + x ) − x +

5p 4p 4p 2p

1 2 x . 2

a) DeterminaŃi punctele de extrem local ale funcŃiei f. b) ArătaŃi că graficul funcŃiei f nu are asimptote. 1 c) DemonstraŃi că x − x 2 < ln (1 + x ) < x , ∀x > 0 . 2 1  2   n   d) CalculaŃi lim 1 + 2 1 + 2  ... 1 + 2  . n→+∞  n  n   n 

Probă scrisă la MATEMATICĂ

VARIANTA 2

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte RealizaŃi o comparaŃie între metodele didactice expozitive (explicaŃia, expunerea, descrierea) şi metodele de învăŃare prin cooperare (brainstorming-ul, tema/ proiectul în grup, mozaicul). În realizarea comparaŃiei veŃi prezenta: definiŃia celor două categorii de metode, clasificarea şi descrierea lor, avantajele şi dezavantajele acestora, cu exemple adecvate disciplinei de concurs.

Probă scrisă la MATEMATICĂ

VARIANTA 2

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL NAłIONAL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE DECLARATE VACANTE/ REZERVATE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR 14 IULIE 2010 Probă scrisă la MATEMATICĂ VARIANTA 2 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE ♦ ♦ ♦

Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în limitele punctajului indicat în barem. Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea punctajului obŃinut la 10.

SUBIECTUL I 30 de puncte 1. a) 1 + 1 = 2; 1 + 4 = 5; 1 + 6 = 7; 4 + 4 = 8; 4 + 6 = 10; 6 + 6 = 12 , iar {1, 4,6} ∩ {2,5,7,8,10,12} = ∅ 3 + 3 = 6 ∈ {1,3,6}

3p 2p

b) X = {1006,1007,...,2010} . Dacă x, y ∈ X , atunci x + y ≥ 2012 ∉ X X are 1005 elemente c) Fie X ⊂ B, X ≠ ∅ care nu are proprietatea ( p ) ⇒ ∃x, y ∈ X cu

3p 1p 1p

x + y ∈ X ⇒ 8 ≤ x + y ≤ 8 ⇒ x + y = 8 ⇒ x = y = 4, deci {4,8} ⊂ X

Cum orice X ⊂ B cu {4,8} ⊂ X nu are proprietatea ( p ) ⇒ numărul submulŃimilor care nu au

proprietatea ( p ) este 23 = 8 Cum B are 31 de submulŃimi nevide, rezultă că numărul cerut este 23 d) Dacă A = {a1 , a2 ,..., ak } cu a1 < a2 < ... < ak are proprietatea ( p ) , notăm cu

1p 3p

X = {a2 − a1 , a3 − a1 ,..., ak − a1}.

Cum 1 ≤ a2 − a1 < a3 − a1 < ... < ak − a1 ≤ 2010 , rezultă că X ⊂ {1, 2,..., 2010} şi are k − 1 elemente. Dacă ai − a1 = a j ∈ A pentru un i ∈ {2,..., k } şi un j ∈ {1, 2,..., k } , atunci ai = a1 + a j ∈ A , fals, deci X ∩ A = ∅ . Cum X ∪ A ⊂ {1, 2,..., 2010} , rezultă k ≤ 1005

a) S ABC =

AB ⋅ d ( C , AB ) 2

AC ⋅ d ( B, AC )

Finalizare

3 b) C100 c) Fie d dreapta care taie cercurile C1 ,

C 2 , C 3 . Alegem un reper cartezian cu axa Ox = d în care O1 ( x1 , y1 ) , O2 ( x2 , y2 ) , O3 ( x3 , y3 ) . Cum distanŃa de la Oi la d, i ∈ {1, 2,3} , este cel mult 1, rezultă că yi ≤ 1, ∀i ∈ {1, 2,3} . Fără a restrânge generalitatea putem presupune x1 ≤ x2 ≤ x3 . x1 ∆ = x2 x3

hO = 2

y1 1 y2 1 = y1 ( x3 − x2 ) + y2 ( x1 − x3 ) + y3 ( x2 − x1 ) . ObŃinem ∆ ≤ 2O1O3 y3 1

∆ 2S = ≤2 O1O3 O1O3

d) Alegem cea mai mare distanŃă Oi O j , i, j ∈ {1, 2,...,100} . Fie ea O1O2 . Pentru fiecare

i ∈ 3,100 avem O1Oi ≤ O1O2 , O2Oi ≤ O1O2 rezultă că înălŃimea din Oi este cea mai mică înălŃime a triunghiului O1O2Oi . Cum acest triunghi are o înălŃime mai mică sau egală cu 2 rezultă că distanŃa de la Oi la O1O2 este cel mult 2. Deci O1O2 intersectează Di , i ≥ 3 . Cum O1O2 intersectează D1 şi D2 rezultă concluzia

Probă scrisă la MATEMATICĂ_barem

VARIANTA 2

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al II-lea 1. 1 2 1  1 3 3 a) A2 =  0 1 2  şi A3 =  0 1 3  0 0 1  0 0 1     Finalizare  0 1 0 b) A = I 3 + B , unde B =  0 0 1   0 0 0  

30 de puncte 2p 2p

B k = O3 , ∀k ≥ 3

An = ( I 3 + B )

 n ( n − 1)  1 n  2  0 1 2 2 3 3 n n  = Cn I3 + Cn B + Cn B + Cn B + ... + Cn B =  0 1 n  1 0 0     

(

a) ( x ⊥ y ) ⊥ z = x ln y

)

ln z

(

)

= x ln y⋅ln z şi x ⊥ ( y ⊥ z ) = x ⊥ y ln z = xln y

ln z

= x ln y⋅ln z , deci legea

„ ⊥ ” este asociatvă a este element neutru ⇔ x ⊥ a = a ⊥ x = x, ∀x ∈ G ⇔ x ln a = a ln x = x, ∀x ∈ G ⇔ a = e ∈ G x ⊥ x′ = e ⇒ x ln x′ = e ⇒ ln x ⋅ ln x′ = 1 ⇒ ln x′ =

1 ⇒ ln x

1 ln x′ = e x

∈ G , deci orice element din G

este simetrizabil x ⊥ y = y ⊥ x ⇔ xln y = y ln x ⇔ ln y ⋅ ln x = ln x ⋅ ln y , adevărat, deci legea este comutativă b) FuncŃia f : ℝ∗ → G, f ( x ) = e x este bijectivă f ( xy ) = f ( x ) ⊥ f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ

x2 1 , x ∈ [ 0, +∞ ) −1+ x = x +1 x +1 Cum f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0, +∞ ) şi f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , rezultă f strict crescătoare pe [ 0, +∞ ) f are un unic punct de extrem, x = 0 (punct de minim) b) f continuă pe [ 0, +∞ ) , deci graficul lui f nu are asimptote verticale

lim f ( x ) = +∞ , deci graficul lui f nu are asimptote orizontale

x →∞

1p 1p

2p 2p 1p 2p 1p

x →∞

f ( x)

2p 1p

∗

a) f ′ ( x ) =

lim

= +∞ , deci graficul lui f nu are asimptote oblice

1 2 x < ln (1 + x ) , ∀x > 0 2 Dacă g : [ 0, +∞ ) → ℝ, g ( x ) = ln (1 + x ) − x , atunci g ′ ( x ) ≤ 0 şi g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , deci g este

c) Din a) rezultă că f ( x ) > f ( 0 ) = 0, ∀x > 0 , deci x −

1p 2p

strict descrescătoare pe [ 0, +∞ ) Rezultă că g ( x ) < g ( 0 ) = 0, ∀x > 0 , adică ln (1 + x ) < x , ∀x > 0 d) Pentru fiecare n ∈ ℕ∗ , însumăm inegalităŃile de la c) pentru x = n + 1 ( n + 1)( 2n + 1) n  k  n +1 − ≤ ln 1 + 2  ≤ , n ∈ ℕ∗ 3 2n 2 n 12n n  k =1 

1p k n2

, k = 1, n şi obŃinem

∑



k 

∑ ln1+ 2  k  1 1  2   n    lim ln 1 + 2  = , deci lim 1 + 2 1 + 2  ... 1 + 2  = lim e k =1  n  = e n→+∞  n→+∞ n  n   n  n→+∞ n  2 k =1  n

∑

Probă scrisă la MATEMATICĂ_barem

VARIANTA 2

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea

30 de puncte

definiŃia celor două categorii de metode 6p. clasificarea celor două categorii de metode 6p. descrierea celor două categorii de metode 6p. prezentarea comparativă a avantajelor celor două categorii de metode, cu 6p. exemple adecvate disciplinei de concurs - prezentarea comparativă a dezavantajelor celor două categorii de metode, 6p. cu exemple adecvate disciplinei de concurs Notă: 1. În situaŃia în care candidatul prezintă avantajele, respectiv dezavantajele celor două categorii de metode fără a da exemple adecvate disciplinei de concurs se acordă câte 4 puncte din cele 6 puncte posibile. 2. Se punctează oricare modalitate corectă de răspuns: fie comparaŃia între cele două categorii de metode, fie comparaŃia între oricare două metode, câte una din fiecare categorie.

Probă scrisă la MATEMATICĂ_barem

VARIANTA 2

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/ CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/ REZERVATE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR 13 IULIE 2011 Probă scrisă la MATEMATICĂ

VARIANTA 2

Profesori • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 4 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Pentru fiecare număr natural nenul n notăm cu an ultima cifră a numărului 12 + 22 + ... + n 2 . n ( n + 1)( 2n + 1)

a) ArătaŃi că 12 + 22 + ... + n 2 =

b) CalculaŃi a7 .

c) ArătaŃi că şirul ( an )n ≥1 este periodic de perioadă 20.

d) CalculaŃi am , pentru m = 20112011 .

, ∀n ≥ 1 .

, CA , 2. Se consideră triunghiul ascuŃitunghic ABC şi A ', B ', respectiv C ' , mijloacele arcelor mici BC respectiv AB ale cercului circumscris triunghiului ABC . Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC .

5p 5p 3p 2p 2

a) DemonstraŃi că dreptele AA ', BB ' şi CC ' sunt concurente. b) ArătaŃi că triunghiul BIA ' este isoscel. c) DemonstraŃi că punctul I este ortocentrul triunghiului A 'B 'C ' . d) DemonstraŃi că AI = IA ' dacă şi numai dacă r = R (1 − cos A ) , unde r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

{

}

1. Fie mulŃimea M = a + b 5 a, b ∈ ℤ . 6+ 2 5 ∈M .

a) VerificaŃi dacă

b) ArătaŃi că, dacă x, y ∈ M , atunci x + y − xy ∈ M . 1 c) Fie x = a + b 5 ∈ M , x ≠ 0 . ArătaŃi că ∈ M dacă şi numai dacă a 2 − 5b 2 = 1 . x 1 d) ArătaŃi că există o infinitate de elemente x ∈ M astfel încât ∈ M . x 1 . 2. Fie funcŃia f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 3 + cos x a) ArătaŃi că orice primitivă a funcŃiei f este strict crescătoare pe ℝ .

b) CalculaŃi

c) DemonstraŃi că funcŃia f nu are limită la +∞ .

d) CalculaŃi

3p 2p

∫ f ( x ) sin x dx, ∫

2π

x∈ℝ .

f ( x ) dx .

2 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ProiectaŃi un test scris, însoŃit de baremul de evaluare şi de notare, pentru evaluarea sumativă la finalul anului şcolar, la disciplina/una dintre disciplinele la care susŃineŃi concursul, pentru învăŃământul gimnazial/liceal. În vederea acordării punctajului: Pagina 1 din2 Probă scrisă la Matematică - Profesori

Varianta 2

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

- veŃi menŃiona următoarele elemente: disciplina/modulul de pregătire profesională, clasa, capitolele/conŃinuturile şi timpul de lucru; - veŃi construi 2 itemi de tip pereche, 2 itemi de tip răspuns scurt/de completare, 1 item de tip întrebare structurată şi 1 item de tip eseu/ rezolvare de probleme; - veŃi redacta un barem în care se distribuie 90 de puncte şi se acordă 10 puncte din oficiu.

Pagina 2 din2 Probă scrisă la Matematică - Profesori

Varianta 2

VARIANTA 2

Profesori

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE ♦ ♦ ♦

SUBIECTUL I 1. a) Verificarea pentru n = 1 Justificarea faptului că P ( k ) ⇒ P ( k + 1) , k ≥ 1 b) 12 + 22 + ... + 7 2 =

7 ( 7 + 1)( 2 ⋅ 7 + 1) 6

(30 de puncte) 1p 4p

= 140

3p 2p

a7 = 0

20 ⋅ 21 ⋅ 41 = 6 = an , ∀n ≥ 1

c) Cum ( n + 1) + ( n + 2 ) + ... + ( n + 20 ) = 20n 2 + 20 ⋅ 21n + 2

(

)

= 10 2n 2 + 42n + 287 se divide cu 10, rezultă că an+ 20

2p 1p

d) 20112011 ≡ 11(mod 20) am = a11 = 6

1p 1p

a) AA ', BB ', CC ' sunt bisectoarele interioare ale triunghiului ABC, deci dreptele sunt concurente 1 b) ∢BIA ' = AB ' + A' B = 2 1 = B ' C + CA ' = ∢IBA ' , 2 deci triunghiul BIA ' este isoscel 1 180 c) ∢ ( AA ', B ' C ') = C 'A + A 'B ' = = 90 2 2 Finalizare A bc A d) IA ' = BA ' = 2 R sin şi IA = cos 2 p 2 bc A A S A AI = IA ' ⇔ cos = 2 R sin ⇔ = 2 R sin 2 ⇔ r = R (1 − cos A ) p 2 2 p 2 SUBIECTUL al II-lea 1. 2 a) 6 + 2 5 = 1 + 5 =

(

4p 1p

)

(

2p 1p

)

2p 1p 1p 1p (30 de puncte)

)

3p 2p

=1+ 5 ∈ M

b) Fie x = a + b 5 şi y = c + d 5 cu a, b, c, d ∈ ℤ x + y − xy = a + b 5 + c + d 5 − ( ac + 5bd ) − ( ad + bc ) 5 =

= a + c − ac − 5bd + ( b + d − ad − bc ) 5 Cum a + c − ac − 5bd ∈ ℤ şi b + d − ad − bc ∈ ℤ , rezultă că x + y − xy ∈ M

2p 1p

Pagina 1 din 2 Probă scrisă la Matematică-Profesori Barem de evaluare şi de notare

Varianta 2

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

(

)

c) Fie x = a + b 5 cu a 2 − 5b 2 = 1 . Dacă a 2 − 5b 2 = 1 ⇒ x a − b 5 = a 2 − 5b 2 = 1 ,

(

)

1 1 ∈ M , iar dacă a 2 − 5b 2 = −1 ⇒ x −a + b 5 = − a 2 + 5b 2 = 1 , deci ∈ M x x 1 a −b 5 a −b Reciproc, fie x = a + b 5 ∈ M , x ≠ 0 . Cum = 2 = 2 + 2 5∈M , 2 2 x a − 5b a − 5b a − 5b 2

deci

(

rezultă că a 2 − 5b 2 a şi a 2 − 5b 2 b , deci a 2 − 5b 2

− 5b 2

)

(

a 2 şi a 2 − 5b 2

)

1p 1p

b 2 , de unde

a 2 − 5b 2 . ObŃinem a 2 − 5b 2 1 , deci a 2 − 5b 2 = 1

1 1 1 = = 9− 4 5 ⇒ ∈M x0 9 + 4 5 x0

d) Fie x0 = 9 + 4 5 . Cum x ⋅ y ∈ M , ∀x, y ∈ M ⇒

x0n

 1  ∈ M şi n =   ∈ M , ∀n ∈ ℕ∗ . Cum x0n < x0n+1 , ∀n ∈ ℕ∗ , x0  x0  1

rezultă concluzia 2.

a) Dacă F este o primitivă a lui f, atunci F ' ( x ) = f ( x ) = Cum cos x ∈ [ −1,1] ⇒ F ' ( x ) ≥ b)

1 3 + cos x

1 > 0, ∀x ∈ ℝ , deci F este strict crescătoare pe ℝ 4

sin x

∫ 3 + cos x dx = − ∫ ( ln ( 3 + cos x ) ) ' dx =

= − ln ( 3 + cos x ) + C

c) Fie xn = 2nπ şi yn = ( 2n + 1) π , n ∈ ℕ∗

lim xn = +∞, lim yn = +∞,

n→∞

1 1 1 1 1 1 = , lim f ( yn ) = lim = şi cum ≠ , rezultă concluzia n→∞ 2 4 4 n→∞ 2 4 2 d) Deoarece f este continuă, pară şi periodică de perioadă 2π , avem lim f ( xn ) = lim

n→∞

2π

∫ 0

f ( x ) dx =

∫

f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx = 2 lim

∫

−π

ε ց0

π −ε

∫ f ( x ) dx .

x Cu substituŃia t = tg , x ∈ [ 0, π − ε ] , ε > 0 , rezultă 2 2π

π −ε 2

∫ f ( x ) dx = 2 εlim ց0 ∫ 0

1 2

t +2

dt = 2 lim arctg ε ց0

t tg 2 0

SUBIECTUL al III-lea

π −ε 2

= 2 lim arctg ε ց0

π −ε 2 2

(30 de puncte)

- câte 1 punct pentru precizarea fiecăruia dintre cele patru elemente cerute 4x1p=4 puncte [Punctajul se acordă doar în situaŃia în care candidatul a corelat elementele cerute cu conŃinutul testului proiectat pentru evaluarea sumativă la finalul anului şcolar.] - câte 2 puncte pentru proiectarea corectă metodico-ştiinŃifică, adecvată evaluării sumative la finalul anului şcolar, a fiecăruia dintre cei şase itemi construiŃi 6x2p=12 puncte - calitatea structurării testului 2 puncte - câte 2 puncte pentru proiectarea corectă a baremului de evaluare şi de notare a fiecăruia dintre cei şase itemi construiŃi 6x2p=12 puncte

Pagina 2 din 2 Probă scrisă la Matematică-Profesori Barem de evaluare şi de notare

Varianta 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 2 august 2012 Proba scrisă Matematică VARIANTA 3 • •

•

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 4 ore. La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I

(45 de puncte)

Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a VII-a: Competenţe specifice

Conţinuturi Relaţii metrice în triunghiul 1. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic dreptunghic într-o configuraţie geometrică dată • Proiecţii ortogonale pe o dreaptă 2. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic • Teorema înălţimii pentru determinarea unor elemente ale acestuia • Teorema catetei 3. Deducerea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic • Teorema lui Pitagora; teorema 4. Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularităţii a reciprocă a teoremei lui Pitagora două drepte prin relaţii metrice • Noţiuni de trigonometrie în triunghiul 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu rezolvarea dreptunghic: sinusul, cosinusul, triunghiului dreptunghic tangenta şi cotangenta unui unghi 6. Transpunerea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor ascuţit triunghiuri dreptunghice la situaţii-problemă date • Rezolvarea triunghiului dreptunghic (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5097 / 09.09.2009)

Prezentaţi un demers didactic elaborat în vederea formării competenţelor precizate în secvenţa de mai sus, având în vedere următoarele: -

descrierea modului de formare / dezvoltare a competenţelor specifice din secvenţa de mai sus utilizând două metode didactice

menţionarea a două forme de organizare a activităţii didactice justificând modul în care acestea pot favoriza formarea / dezvoltarea competenţelor specifice precizate în secvenţa de mai sus

precizarea a două mijloace de învăţământ şi argumentarea utilităţii acestora în vederea formării / dezvoltării competenţelor specifice precizate în secvenţa de mai sus

explicarea rolului sugestiilor metodologice prevăzute în programele şcolare pentru demersul didactic

argumentarea unui punct de vedere cu privire la afirmaţia conform căreia conţinuturile învăţării sunt mijloace prin care se urmăreşte formarea competenţelor specifice şi, implicit, a competenţelor generale propuse.

Notă: se punctează şi corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate utilizate în cadrul prezentării. Pagina 1 din 2 Probă scrisă la matematică

Varianta 3

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al II-lea

(45 de puncte)

Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a X-a (4 ore): Competenţe specifice

Conţinuturi Metode de numărare 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de • Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor numărul de soluţii admise f : A → B , unde A şi B sunt mulţimi finite 2. Identificarea tipului de formulă de • Permutări numărare adecvată unei situaţii - problemă - numărul de mulţimi ordonate cu n elemente care se date obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în elemente raţionamente de tip inductiv - numărul funcţiilor bijective f : A → B , unde A şi B 4. Exprimarea caracteristicilor unor sunt mulţimi finite probleme în scopul simplificării modului de • Aranjamente numărare - numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente 5. Interpretarea unor situaţii problemă cu fiecare, m ≤ n care se pot forma cu cele n elemente conţinut practic cu ajutorul elementelor de ale unei mulţimi finite combinatorică numărul funcţiilor injective f : A → B , unde A şi B 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor sunt mulţimi finite situaţii practice în scopul optimizării • Combinări - numărul submulţimilor cu câte k rezultatelor elemente, unde 0 ≤ k ≤ n , ale unei mulţimi finite cu n elemente Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente • Binomul lui Newton (Programa şcolară de matematică, OMEC nr. 4598 / 31.08.2004) 1. Pentru evaluarea competenţelor specifice din secvenţa dată, elaboraţi 6 itemi de tipuri diferite: cu alegere multiplă, de tip pereche, cu răspuns scurt, de completare, întrebare structurată şi rezolvare de probleme, precizând pentru fiecare item competenţa / competenţele evaluate.

Notă: se punctează corectitudinea proiectării itemilor, elaborarea detaliată a răspunsului aşteptat şi corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate.

(36 de puncte)

2. Evaluaţi una sau mai multe dintre competenţele specifice din secvenţa dată utilizând o metodă alternativă de evaluare, descriind specificul metodei alese.

(9 puncte)

Pagina 2 din 2 Probă scrisă la matematică

Varianta 3

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 2 august 2012 Proba scrisă Matematică VARIANTA 3 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE •

Nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate explicit prin barem. Nu se acordă fracţiuni de punct. Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului total obţinut la 10.

•

SUBIECTUL I -

(45 de puncte)

câte 2 puncte pentru precizarea fiecărei metode didactice utilizate pentru formarea / dezvoltarea competenţelor specifice din secvenţa dată 2x2p=4 puncte câte 3 puncte pentru descrierea modului de formare / dezvoltare a competenţelor specifice prin fiecare dintre metodele didactice precizate 2x3p=6 puncte câte 2 puncte pentru menţionarea fiecărei forme de organizare a activităţii didactice 2x2p=4 puncte câte 3 puncte pentru justificarea modului în care fiecare formă de organizare menţionată favorizează formarea / dezvoltarea competenţelor specifice din secvenţa dată 2x3p=6 puncte câte 2 puncte pentru precizarea fiecăruia dintre cele două mijloace de învăţământ alese 2x2p=4 puncte câte 4 puncte pentru argumentarea utilităţii fiecăruia dintre mijloacele de învăţământ alese în formarea / dezvoltarea competenţelor specifice din secvenţa dată 2x4p=8 puncte explicarea rolului sugestiilor metodologice prevăzute în programele şcolare pentru demersul didactic 4 puncte formularea unui punct de vedere cu privire la afirmaţia conform căreia conţinuturile învăţării sunt mijloace prin care se urmăreşte formarea competenţelor specifice şi, implicit, a competenţelor generale propuse 2 puncte argumentarea punctului de vedere formulat referitor la afirmaţia de mai sus 3 puncte corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate 4 puncte

SUBIECTUL al II-lea

(45 de puncte)

1. -

câte 2 puncte pentru proiectarea corectă a fiecărui item elaborat 6x2p=12 puncte câte 2 puncte pentru elaborarea detaliată a răspunsului aşteptat pentru fiecare item elaborat 6x2p=12 puncte - câte 2 puncte pentru corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate utilizate în elaborarea fiecărui item 6x2p=12 puncte 2. - proiectarea corectă a evaluării competenţei / competenţelor specifice alese în funcţie de metoda alternativă utilizată 5 puncte - descrierea specificului metodei alese 4 puncte

Pagina 1 din 1 Barem de evaluare şi de notare Probă scrisă la matematică

Varianta 3

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 30 iulie 2013 Probă scrisă Matematică VARIANTA 2 • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 4 ore. SUBIECTUL I (45 de puncte) Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a IX-a (3 ore). VALORI ŞI ATITUDINI o Dezvoltarea iniţiativei, a unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi în acţiune şi a disponibilităţii de a aborda sarcini variate o Manifestarea tenacităţii, a perseverenţei, a capacităţii de concentrare şi a atenţiei distributive o Dezvoltarea spiritului de observaţie o Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii o Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice o Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională Competenţe specifice Conţinuturi 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date Interpretarea geometrică a proprietăţilor şi reprezentări grafice algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea 2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în • Monotonie; punct de extrem (vârful vederea comparării variaţiei lor parabolei), interpretare geometrică 3. Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii grafice • Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de semnul funcţiei, inecuaţii de forma ecuaţii ax 2 + bx + c ≤ 0 ( ≥, <, > ) , a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor interpretare geometrică condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii • Pozi ţia relativă a unei drepte faţă de o algebrice a unor reprezentări grafice parabolă: rezolvarea sistemelor de forma 5. Determinarea unor relaţii între condiţii algebrice mx + n = y  date şi graficul funcţiei de gradul al II-lea , cu a, b, c, m, n ∈ ℝ ,  2 6. Utilizarea monotoniei şi a punctelor de extrem în  ax + bx + c = y optimizarea rezultatelor unor probleme practice interpretare geometrică (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5099/09.09.2009) Prezentaţi o activitate didactică desfăşurată în vederea formării/dezvoltării a două sau a mai multor competenţe specifice din secvenţa de mai sus, având în vedere următoarele: - menţionarea a două metode de învăţare centrate pe elev care pot fi utilizate în cadrul activităţii didactice şi argumentarea alegerii acestora din perspectiva adecvării fiecărei metode la elemente componente ale secvenţei de mai sus; - exemplificarea modului în care fiecare dintre metodele de învăţare menţionate favorizează formarea/dezvoltarea a două sau a mai multor competenţe specifice din secvenţa de mai sus; - precizarea a două mijloace de învăţământ pe care le puteţi utiliza pe parcursul desfăşurării activităţii didactice şi motivarea utilității acestora; - proiectarea unei secvenţe dintr-un opţional de extindere propus pentru clasa a IX-a, care să conțină: menţionarea, în cadrul Argumentului, a două motive care susţin propunerea acestui opţional, elaborarea a două competenţe specifice noi (după modelul celor din secvenţa de mai sus şi corelate cu acestea), enumerarea a trei conţinuturi noi (corelate competenţelor specifice pe care le-ați propus şi care contribuie la formarea acestora) şi precizarea a două recomandări specifice Sugestiilor metodologice. Notă. Se punctează şi corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate utilizate în cadrul prezentării. Pagina 1 din 2 Probă scrisă la matematică

Varianta 2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al II-lea (45 de puncte) Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a VII-a. Competenţe specifice Conţinuturi 1. Recunoaşterea şi descrierea patrulaterelor în configuraţii Patrulatere geometrice date • Patrulater convex (definiţie, desen) 2. Identificarea patrulaterelor particulare utilizând • Suma măsurilor unghiurilor unui proprietăţi precizate patrulater convex 3. Utilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale • Paralelogram; proprietăţi patrulaterelor în rezolvarea unor probleme • Paralelograme particulare: 4. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiunilor dreptunghi, romb şi pătrat; legate de patrulatere proprietăţi 5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea • Trapez, clasificare; trapez isoscel, optimizării calculelor de lungimi de segmente, de măsuri proprietăţi de unghiuri şi de arii • Arii (triunghiuri, patrulatere) 6. Interpretarea informaţiilor deduse din reprezentări geometrice în corelaţie cu anumite situaţii practice (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5097/09.09.2009) 1. Pentru evaluarea a trei dintre competenţele specifice, precizate în secvenţa dată a programei şcolare de matematică pentru clasa a VII-a, elaboraţi un item de tip întrebare structurată. În elaborarea itemului se vor avea în vedere următoarele aspecte: - succesiunea cerințelor să asigure creşterea treptată a gradului de dificultate; - fiecare cerință să solicite un răspuns care nu depinde de răspunsul la cerința precedentă; - cerințele să fie în concordanţă cu stimulul utilizat. 30 de puncte Notă. Se punctează şi elaborarea detaliată a răspunsului aşteptat, precum şi corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate. 2. Prezentaţi din punct de vedere teoretic evaluarea finală, ca parte a procesului didactic desfăşurat la unitatea de învăţare Patrulatere, clasa a VII-a, având în vedere: - precizarea unei funcţii a evaluării performanţei elevilor la finalul unităţii de învăţare; - exemplificarea a două tipuri de erori de evaluare care pot să apară la evaluarea finală. 15 puncte

Pagina 2 din 2 Probă scrisă la matematică

Varianta 2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 30 iulie 2013 Probă scrisă Matematică BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE VARIANTA 2 • •

Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerinţelor, în limita punctajului maxim corespunzător. Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obţinut pentru lucrare.

•

SUBIECTUL I

(45 de puncte)

câte 2 puncte pentru menţionarea fiecărei metode de învăţare centrate pe elev utilizate pentru formarea/ dezvoltarea a două sau a mai multor competenţe specifice din secvenţa dată 2px2=4 puncte - câte 2 puncte pentru argumentarea alegerii fiecărei metode din perspectiva adecvării acesteia la elemente componente ale secvenţei date 2px2=4 puncte - câte 3 puncte pentru exemplificarea modului în care fiecare dintre metodele de învăţare menţionate favorizează formarea/dezvoltarea a două sau a mai multor competenţe specifice din secvenţa dată 3px2=6 puncte - câte 2 puncte pentru precizarea fiecăruia dintre cele două mijloace de învăţământ alese 2px2=4 puncte - câte 2 puncte pentru motivarea utilităţii fiecăruia dintre mijloacele de învăţământ alese 2px2=4 puncte - câte 2 puncte pentru menţionarea, în cadrul Argumentului, a fiecărui motiv care susţine propunerea opţionalului 2px2=4 puncte - câte 3 puncte pentru elaborarea fiecăreia dintre cele două competenţe specifice noi, după modelul celor din secvenţa dată şi corelate cu acestea 3px2=6 puncte - câte 1 punct pentru enumerarea fiecăruia dintre cele trei conţinuturi noi, corelate competenţelor specifice propuse şi care contribuie la formarea acestora 1px3=3 puncte - câte 2 puncte pentru corectitudinea ştiinţifică a fiecărui conţinut nou 2px3=6 puncte - câte 2 puncte pentru precizarea fiecăreia dintre cele două recomandări specifice Sugestiilor metodologice 2px2=4 puncte SUBIECTUL al II-lea

(45 de puncte)

1. Proiectarea corectă a itemului de tip întrebare structurată: - succesiunea cerințelor asigură creşterea treptată a gradului de dificultate 6 puncte - fiecare cerință solicită un răspuns care nu depinde de răspunsul la cerința precedentă 6 puncte - cerințele sunt în concordanţă cu stimulul utilizat 6 puncte Notă. Punctajul se acordă şi în situaţia în care una dintre cerințe evaluează două competenţe specifice - corectitudinea elaborării detaliate a răspunsului așteptat 6 puncte - corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate 6 puncte 2. Prezentarea din punct de vedere teoretic a evaluării finale ca parte a procesului didactic desfășurat la unitatea de învățare Patrulatere, clasa a VII-a: - precizarea unei funcţii a evaluării la finalul unităţii de învăţare 7 puncte - câte 4 puncte pentru fiecare tip de eroare menţionat 4px2=8 puncte

Pagina 1 din 1 Barem de evaluare şi de notare Probă scrisă la matematică

Varianta 2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 21 iulie 2014 Probă scrisă Matematică • •

Varianta 3 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 4 ore.

SUBIECTUL I (45 de puncte) Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a V-a. Competențe generale 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice 3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora 5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea în limbajul cotidian sau în enunţuri Mulţimi matematice a unor noţiuni specifice teoriei • Mulţimi: descriere şi notaţii; element, mulţimilor relaţia dintre element şi mulţime (relaţia de 2. Evidenţierea, prin exemple, a relaţiilor de apartenenţă) apartenenţă sau de incluziune 3. Selectarea şi utilizarea unor modalităţi adecvate de • Relaţia între două mulţimi (relaţia de incluziune); submulţime reprezentare a mulţimilor şi a operaţiilor cu mulţimi • Mulţimile ℕ şi ℕ * 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii • Operaţii cu mulţimi: intersecţie, reuniune, concrete ce se pot descrie utilizând mulţimile diferenţă 5. Interpretarea unor contexte uzuale şi/sau matematice • Exemple de mulţimi finite; exemple de utilizând limbajul mulţimilor mulţimi infinite 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând mulţimi, relaţii şi operaţii cu mulţimi (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5097/09.09.2009) Pentru o activitate didactică desfăşurată în vederea formării/dezvoltării unor competenţe specifice precizate în secvenţa de programă de mai sus: - explicați relaţia dintre competențele generale ale disciplinei și competențele specifice din secvența dată; - menţionați două metode de învăţare care susțin centrarea pe elev a demersului didactic şi argumentați alegerea acestora din perspectiva adecvării fiecărei metode la elemente componente ale secvenţei date; - exemplificați modul în care fiecare dintre metodele de învăţare menţionate favorizează formarea/dezvoltarea unor competenţe specifice din secvenţa dată; - precizați două mijloace de învăţământ pe care le puteţi utiliza pe parcursul desfăşurării activităţii didactice şi argumentați alegerea acestora; - menționați un instrument interactiv – soft sau platformă educațională – pe care îl puteți utiliza pe parcursul desfăşurării activităţii didactice şi argumentați alegerea lui. Notă. Se punctează şi corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate utilizate în cadrul rezolvării cerinței. Probă scrisă la matematică

Varianta 3 Pagina 1 din 2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al II-lea

(45 de puncte)

Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a IX-a (2 ore). Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea elementelor necesare pentru Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie calcularea unor lungimi de segmente şi a unor • Rezolvarea triunghiului dreptunghic măsuri de unghiuri 2. Utilizarea unor tabele şi formule pentru calcule în • Formulele (fără demonstraţie): trigonometrie şi în geometrie cos 180 − x = − cos x , sin 180 − x = sin x 3. Aplicarea teoremelor şi formulelor pentru • Modalităţi de calcul a lungimii unui determinarea unor măsuri (de lungimi sau de segment şi a măsurii unui unghi: teorema unghiuri) sinusurilor şi teorema cosinusului 4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice 5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului dreptunghic/oarecare 6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5099/09.09.2009)

(

)

(

)

1. Elaborați patru itemi: trei itemi obiectivi (un item de tip alegere duală, un item de tip alegere multiplă, un item de tip pereche) și un item subiectiv (de tip rezolvare de probleme) ca parte componentă a unui test prin care se evaluează formarea/dezvoltarea a patru competenţe specifice precizate în secvenţa dată din programa şcolară de matematică pentru clasa a IX-a. 30 de puncte Notă. Se punctează corectitudinea proiectării itemilor, elaborarea răspunsului aşteptat (barem de evaluare) şi corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate. 2. Menţionaţi o metodă alternativă de evaluare a formării/dezvoltării unor competențe specifice precizate în secvența dată din programa şcolară de matematică pentru clasa a IX-a și prezentați un avantaj și un dezavantaj al utilizării acestei metode alternative de evaluare în comparație cu metodele tradiționale de evaluare. 15 puncte

Probă scrisă la matematică

Varianta 3 Pagina 2 din 2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 21 iulie 2014 Probă scrisă Matematică BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE Varianta 3 • •

•

SUBIECTUL I -

(45 de puncte)

explicarea relaţiei dintre competențele generale ale disciplinei și competenţele specifice din secvența dată 6 puncte câte 3 puncte pentru menţionarea fiecărei metode de învăţare care susține centrarea pe elev a demersului didactic 3px2=6 puncte câte 3 puncte pentru argumentarea alegerii fiecărei metode de învățare din perspectiva adecvării acesteia la elemente componente ale secvenţei date 3px2=6 puncte câte 3 puncte pentru exemplificarea modului în care fiecare dintre metodele de învăţare menţionate favorizează formarea/dezvoltarea unor competenţe specifice din secvenţa dată 3px2=6 puncte câte 3 puncte pentru precizarea fiecăruia dintre cele două mijloace de învăţământ care pot fi utilizate pe parcursul desfăşurării activităţii didactice 3px2=6 puncte câte 3 puncte pentru argumentarea alegerii fiecăruia dintre mijloacele de învăţământ precizate 3px2=6 puncte menționarea unui instrument interactiv – soft sau platformă educațională – care poate fi utilizat pe parcursul desfăşurării activităţii didactice 3 puncte argumentarea alegerii instrumentului interactiv menționat 3 puncte corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate 3 puncte

SUBIECTUL al II-lea

(45 de puncte)

1. - câte 3 puncte pentru corectitudinea proiectării fiecărui tip de item 3px4=12 puncte - câte 3 puncte pentru elaborarea răspunsului așteptat (barem de evaluare) pentru fiecare item 3px4=12 puncte - corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate 6 puncte 2. - menţionarea unei metode alternative de evaluare a formării/dezvoltării unor competențe specifice precizate în secvența dată din programa școlară 5 puncte - prezentarea unui avantaj al utilizării metodei alternative de evaluare menţionată în comparație cu metodele tradiționale de evaluare 5 puncte - prezentarea unui dezavantaj al utilizării metodei alternative de evaluare menţionată în comparație cu metodele tradiționale de evaluare 5 puncte

Probă scrisă la matematică Barem de evaluare şi de notare

Varianta 3 Pagina 1 din 1

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 15 iulie 2015 Probă scrisă Matematică Model • •

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 4 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Se consideră x1 şi x2 soluțiile ecuației 2 x 2 + 2 ( m + 2 ) x + m2 + 4m + 3 = 0 , unde m este un număr real. 5p a) Pentru m = −3 , calculați x1 şi x2 .

5p b) Determinați valorile reale ale lui m , știind că x1 + x2 + 2 x1 x2 < 1 . 5p c) Determinaţi numerele reale m pentru care cel puţin unul dintre numerele x1 şi x2 este întreg. 2. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC și punctele M , N și P mijloacele arcelor mici BC ,

5p 5p 5p

CA și, respectiv, AB ale cercului circumscris triunghiului ABC . Se notează cu I centrul cercului înscris în triunghiul ABC . a) Arătaţi că dreptele AM , BN şi CP sunt concurente în I . b) Arătaţi că triunghiul BIM este isoscel. c) Demonstraţi că punctul I este ortocentrul triunghiului MNP .

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

 c b a 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ax 2 + bx + c și matricea A =  a c b  , unde a, b și c b a c   sunt numere reale nenule. Se notează cu x1 , x2 şi x3 soluțiile ecuației x3 − 1 = 0 .

5p a) Calculați x12 + x22 + x32 .  f ( x1 ) 1 1 f ( x2 ) f ( x3 )     5p b) Arătați că  x1 f ( x1 ) x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 )  = A ⋅ B , unde B =  x1 x2  x2 x2  x2 f ( x ) x2 f ( x ) x2 f ( x )  2  1 1 2 2 3 3   1

1  x3  . x32 

5p c) Demonstrați că det A = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) . 2. Se consideră funcţiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) =

2 x2

și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 2 x − 2arctg x . x2 + 1 a) Arătaţi că funcţia g este o primitivă a funcţiei f .

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei g . n

n 1  5p c) Calculaţi lim   2n − ∫ f ( x ) dx   .  n→+∞  π  0   

Probă scrisă la matematică

Model Pagina 1 din 2

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a IX-a (3 ore): 1. 2. 3. 4. 5.

Competenţe specifice Conţinuturi Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, Şiruri progresii aritmetice sau geometrice • Modalităţi de a descrie un şir; şiruri Calcularea valorilor unor şiruri care modelează situaţii particulare: progresii aritmetice, practice în scopul caracterizării acestora progresii geometrice, determinarea Alegerea şi utilizarea unor modalităţi adecvate de termenului general al unei progresii; calculare a elementelor unui şir suma primilor n termeni ai unei Interpretarea grafică a unor relaţii provenite din progresii probleme practice • Condiţia ca n numere să fie în progresie Analizarea datelor în vederea aplicării unor formule de aritmetică sau geometrică pentru n ≥ 3 recurenţă sau a raţionamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor Analizarea şi adaptarea scrierii termenilor unui şir în funcţie de context (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5099/09.09.2009)

Elaboraţi șase itemi de tipuri diferite: un item de tip alegere multiplă, un item de tip răspuns scurt, un item de tip pereche, un item de completare, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme, prin care să evaluaţi trei sau mai multe dintre competenţele precizate în secvenţa dată. În elaborarea itemilor se vor avea în vedere următoarele aspecte: - formatul fiecărui item elaborat în vederea evaluării competenţei specifice alese; - răspunsul aşteptat (baremul de evaluare) pentru fiecare dintre itemii elaboraţi; - conţinutul ştiinţific al informaţiei de specialitate.

Probă scrisă la matematică

Model Pagina 2 din 2

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 15 iulie 2015 Probă scrisă Matematică Model BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE • • •

SUBIECTUL I 1. a) 2 x 2 − 2 x = 0

(30 de puncte) 3p

x = 0 sau x = 1

b) x1 + x2 = − m − 2 , x1 x2 =

m + 4m + 3 2 2

−1 < m2 + 3m + 1 < 1 ⇔ m ∈ ( −3, −2 ) ∪ ( −1,0 )

c) + 2 ( m + 2 ) x1 + m + 4m + 3 = 0 , deci ecuaţia m + ( 2 x1 + 4 ) soluții reale 2 x12

(

m + 2 x12

+ 4 x1 + 3 = 0 are

)

∆ = 4 1 − x12 ≥ 0 și x1 ∈ ℤ implică m = −3 sau m = −1

a) ( AM bisectoarea unghiului BAC , ( BN bisectoarea unghiului ABC și

( CP

bisectoarea unghiului ACB , deci AM , BN și CP sunt concurente în I

b) m ( ∢BIM ) =

( ( ) ( )) = m ( ∢ABN ) + m ( ∢BAM ) = 12 m (∢B ) + 12 m (∢A)

1 m AN + m BM 2

m ( ∢IBM ) = m ( ∢IBC ) + m ( ∢CBM ) = ∢BIM ≡ ∢IBM

c) m ( ∢ ( AM , NP ) ) =

1 1 1 m ( ∢B ) + m ( ∢CAM ) = m ( ∢B ) + m ( ∢A ) , 2 2 2

2p deci

( ) ( ) = 12 ( m ( AB ) + m ( BC ) + m (CA)) = 90 ⇒ AM ⊥ NP

m PA + m MN

2 Analog CP ⊥ MN ⇒ I este ortocentrul ∆MNP SUBIECTUL al II-lea 1. a) x1 + x2 + x3 = 0 , x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0

3p (30 de puncte) 2p

x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 0 2

2 2 2  f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )   ax1 + bx1 + c ax2 + bx2 + c ax3 + bx3 + c      b)  x1 f ( x1 ) x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 )  =  a + bx12 + cx1 a + bx22 + cx2 a + bx32 + cx3  , deoarece  x 2 f ( x ) x 2 f ( x ) x 2 f ( x )   ax + b + cx 2 ax + b + cx 2 ax + b + cx 2  1 2 2 3 3 1 2 2 3 3   1  1

x13 = x23 = x33 = 1

 c b a  1 1 1    A ⋅ B =  a c b   x1 x2 x3  =  b a c  2 2 2     x1 x2 x3   c + bx1 + ax12 c + bx2 + ax22 c + bx3 + ax32   f ( x ) f ( x2 ) f ( x3 )  1    2 2 2 =  a + cx1 + bx1 a + cx2 + bx2 a + cx3 + bx3  ⇒  x1 f ( x1 ) x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 )  = A ⋅ B  b + ax + cx 2 b + ax + cx 2 b + ax + cx 2   x 2 f x 2 2  1 1 2 2 3 3  1 ( 1 ) x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 )   Probă scrisă la matematică Barem de evaluare şi de notare

Model Pagina 1 din 2

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

f ( x1 ) c) det ( A ⋅ B ) = x1 f ( x1 ) x12

f ( x1 )

f ( x2 ) f ( x3 ) x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ⋅ det B x22

f ( x2 )

x32

f ( x3 )

det A ⋅ det B = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ⋅ det B ⇒ det A = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) , deoarece

det B = ( x1 − x2 ) ( x2 − x3 )( x3 − x1 ) ≠ 0

a) g ′ ( x ) = 2 −

2x2 + 2 − 2

= x2 + 1 x2 + 1 = f ( x ) pentru orice număr real x , deci funcţia g este o primitivă a funcţiei f g ( x)

3p 2p

2 x − 2arctg x = 2 , lim ( g ( x ) − 2 x ) = lim ( −2arctg x ) = −π x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x Dreapta de ecuație y = 2 x − π este asimptotă oblică +∞ la graficul funcției g

b) lim

= lim

n  2 1 2 x2  2n − ∫ 2 dx  = arctg n  π  0 x +1  π

2p 2p

− 2   2 arctg n − π  =e π lim  arctg n  = lim  1 +  n→+∞  π n →+∞  π   SUBIECTUL al III-lea - câte 1 punct pentru corectitudinea formatului fiecărui item elaborat - câte 2 puncte pentru corectitudinea răspunsului aşteptat (barem de evaluare) pentru fiecare dintre itemii elaborați - câte 2 puncte pentru corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate pentru fiecare item elaborat n

Probă scrisă la matematică Barem de evaluare şi de notare

3p (30 de puncte) 1p × 6 itemi = 6 p 2p × 6 itemi = 12 p 2p × 6 itemi = 12 p

Model Pagina 2 din 2

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 15 iulie 2015 Probă scrisă Matematică Varianta 3 • •

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 4 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = log a x + logb x , unde a ∈ ( 0,1) și b ∈ (1, +∞ ) . 5p a) Calculați f (1) . 5p b) Arătați că f ( x ) = log b ( ab ) ⋅ log a x , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 5p c) Demonstraţi că ( x − 1) f ( x ) ≥ 0 pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) dacă şi numai dacă ab ≤ 1 . 2. Se consideră trapezul ABCD cu AB CD , AB = 12cm , CD = 4 cm , AC ∩ BD = {O} , punctul E ∈ AD astfel încât OE AB și se notează cu F intersecția dreptelor BE și DC .

5p a) Arătați că OE = 3 cm . 5p b) Demonstrați că DF = CD . 5p c) Dacă ( EO este bisectoarea unghiului BEC , arătaţi că trapezul ABCD este dreptunghic. SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră polinomul f = ( X − 2013)( X − 2014 )( X − 2015 ) = a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 , unde a0 , a1 , a2 și a3 sunt numere reale.

5p a) Determinați rădăcinile polinomului f . 5p b) Arătați că a0 + a1 + a2 + a3 < 0 . 5p c) Determinați numărul real a2 . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = xe x + 1 . 1

5p a) Calculați

∫ f ( x ) dx . 0

5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcţiei f . 5p c) Determinați valorile reale ale lui m , ştiind că ecuația f ( x ) = m admite exact două soluții reale şi distincte.

Probă scrisă la matematică

Varianta 3 Pagina 1 din 2

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a VI-a: Competenţe specifice

Conţinuturi Rapoarte şi proporţii 1. Identificarea rapoartelor, proporţiilor şi a mărimilor direct sau invers proporţionale în enunţuri diverse • Rapoarte; procente; probleme în care 2. Reprezentarea unor date sub formă de tabele sau de intervin procente diagrame statistice în vederea înregistrării, • Proporţii; proprietatea fundamentală a prelucrării şi prezentării acestora proporţiilor, aflarea unui termen 3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a necunoscut dintr-o proporţie problemelor în care intervin rapoarte, proporţii şi • Proporţii derivate mărimi direct sau invers proporţionale • Mărimi direct proporţionale; regula de trei 4. Caracterizarea şi descrierea mărimilor care apar în simplă rezolvarea unor probleme prin regula de trei simplă • Mărimi invers proporţionale; regula de trei 5. Analizarea unor situaţii practice cu ajutorul simplă rapoartelor, procentelor sau proporţiilor • Elemente de organizare a datelor; 6. Rezolvarea cu ajutorul rapoartelor şi proporţiilor a reprezentarea datelor prin grafice; unor situaţii-problemă şi interpretarea rezultatelor probabilităţi (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5097/09.09.2009) Elaborați doi itemi: un item de tip alegere multiplă și un item de tip întrebare structurată (cu trei subîntrebări), ca parte componentă a unui test de evaluare la finalul unității de învățare Rapoarte şi proporţii, prin care se evaluează formarea/dezvoltarea a două competenţe specifice precizate în secvenţa dată din programa şcolară. În elaborarea itemului de tip întrebare structurată se vor avea în vedere următoarele aspecte: -

succesiunea subîntrebărilor să asigure creşterea treptată a gradului de dificultate;

fiecare subîntrebare să solicite un răspuns care nu depinde de răspunsul la subîntrebarea precedentă;

subîntrebările să fie în concordanţă cu stimulul utilizat.

Notă. Se punctează corectitudinea proiectării itemilor, elaborarea răspunsului aşteptat (barem de evaluare) şi corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate.

Probă scrisă la matematică

Varianta 3 Pagina 2 din 2

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 15 iulie 2015 Probă scrisă Matematică Varianta 3 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE • • •

SUBIECTUL I 1.

(30 de puncte)

a) f (1) = log a 1 + logb 1 =

b) logb ( ab ) ⋅ log a x = ( logb a + logb b ) ⋅ log a x = ( logb a + 1) ⋅ log a x =

= logb a ⋅ log a x + log a x = log b x + log a x = f ( x ) , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ )

c) Dacă ( x − 1) f ( x ) ≥ 0 pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) , atunci ( a − 1) f ( a ) ≥ 0 şi, cum a ∈ ( 0,1) , obţinem logb ( ab ) ≤ 0 , deci ab ≤ 1 Dacă ab ≤ 1 , cum b ∈ (1, +∞ ) , atunci logb ( ab ) ≤ 0 şi, cum log a x şi x − 1 au semne opuse

pentru orice x ∈ ( 0,1) ∪ (1, +∞ ) , obţinem ( x − 1) f ( x ) ≥ 0 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ )

AO AB AO AO 3 = ⇒ = 3 , deci = CO CD CO AC 4 AO OE OE CD ⇒ ∆AOE ∼ ∆ACD ⇒ = ⇒ OE = 3 cm AC CD OE BO b) OE DF ⇒ ∆BOE ∼ ∆BDF ⇒ = DF BD OE AO BO AO Deoarece = și = , obținem DF = CD CD AC BD AC c) EO CF ⇒ ∢BEO ≡ ∢EFC

a) AB CD ⇒ ∆AOB ∼ ∆COD ⇒

3p 3p 2p 3p 2p 1p

EO CF ⇒ ∢CEO ≡ ∢ECF și, cum ∢BEO ≡ ∢CEO , obținem ∢EFC ≡ ∢ECF

∆ECF este isoscel și ED este mediană, rezultă ED ⊥ CF , deci trapezul ABCD este dreptunghic

SUBIECTUL al II-lea 1.

(30 de puncte)

a) f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 2013 )( x − 2014 )( x − 2015 ) = 0

x1 = 2013 , x2 = 2014 și x3 = 2015

b) a3 + a2 + a1 + a0 = f (1)

f (1) = (1 − 2013)(1 − 2014 )(1 − 2015 ) = −2012 ⋅ 2013 ⋅ 2014 < 0

c) a3 = 1 x1 + x2 + x3 = −

2p 2p

a2 ⇒ a2 = −6042 a3

Probă scrisă la matematică Barem de evaluare şi de notare

Varianta 3 Pagina 1 din 2

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 1

2. a)

∫

f ( x ) dx =

∫ ( xe

)

+ 1 dx = xe x

1 x1 1 −e + x = 0 0 0

= e0 + 1 = 2

b) f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x + 1) e x = 0 ⇔ x = −1

f ' ( x ) ≤ 0 pentru orice x ∈ ( −∞, −1] ⇒ f este descrescătoare pe ( −∞, −1]

f ' ( x ) ≥ 0 pentru orice x ∈ [ −1, +∞ ) ⇒ f este crescătoare pe [ −1, +∞ )

c) lim f ( x ) = 1 , f ( −1) = 1 − x →−∞

1 și lim f ( x ) = +∞ x →+∞ e

Deoarece f este strict descrescătoare pe ( −∞, −1) și strict crescătoare pe ( −1, +∞ ) , ecuația  1  f ( x ) = m admite exact două soluții reale şi distincte dacă şi numai dacă m ∈  1 − ,1  e 

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

Itemul de tip alegere multiplă elaborat Corectitudinea proiectării itemului

Elaborarea răspunsului aşteptat (baremul de evaluare)

Corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate

Itemul de tip întrebare structurată elaborat Corectitudinea proiectării itemului

Elaborarea răspunsului aşteptat (baremul de evaluare)

Corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate

Probă scrisă la matematică Barem de evaluare şi de notare

Varianta 3 Pagina 2 din 2

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 20 iulie 2016 Probă scrisă MATEMATICĂ Varianta 1 • •

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 4 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuaţiei x 2 − 2 ( m + 1) x + m + 1 = 0 , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 0 , rezolvați ecuația. 5p b) Determinaţi numerele reale m pentru care o soluție a ecuației este dublul celeilalte soluții. 5p c) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care x12 + x22 − x1 x2 ( x1 + x2 ) > 0 . 2. Se consideră un triunghi ABC cu AB = AC şi AD ⊥ BC , D ∈ ( BC ) . Prin punctul M ∈ ( BD ) , se construiește o paralelă la AD , care intersectează dreptele AB și AC în punctele N , respectiv P .

a) Arătați că punctul C este simetricul punctului B față de punctul D .

b) Demonstrați că triunghiul ANP este isoscel.

c) Demonstrați că NM + PM = 2 AD .

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

x  1 − x 0   1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 0 0  , unde x este număr real.  x 0 1 − x   5p a) Arătaţi că det ( A ( 0 ) + A (1) + I 3 ) = 3 . 5p b) Demonstrați că A ( x ) A ( y ) = A ( x + y − 2 xy ) , pentru orice numere reale x şi y .

(

)

2 5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care det A ( x ) − (1 − x ) A ( x ) + I3 = 0 .

2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − x + 1 . 5p a) Arătați că f ′ ( x ) =

2x −1 2 x2 − x + 1

, x∈ℝ .

 f ( x)  1 5p b) Demonstrați că lim  .  = x → +∞  x  e 5p c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații x

x = 0 și x = 1 are aria mai mare sau egală cu

3 . 2

Probă scrisă la matematică

Varianta 1 Pagina 1 din 2

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

Următoarea secvenţă face parte din programa şcolară de matematică pentru clasa a VI-a. Competenţe specifice

Conţinuturi

1. Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi Proprietăţi ale triunghiurilor ale triunghiurilor în configuraţii geometrice • Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; date unghi exterior unui triunghi, teorema 2. Calcularea unor lungimi de segmente şi a unor unghiului exterior măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate • Mediana în triunghi; concurenţa 3. Utilizarea unor concepte matematice în medianelor unui triunghi (fără triunghiul isoscel, în triunghiul echilateral sau demonstraţie) în triunghiul dreptunghic • Proprietăţi ale triunghiului isoscel 4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale (unghiuri, linii importante, simetrie) triunghiurilor şi ale liniilor importante în • Proprietăţi ale triunghiului echilateral triunghi prin definiţii, notaţii şi desen (unghiuri, linii importante, simetrie) 5. Deducerea unor proprietăţi ale triunghiurilor • Proprietăţi ale triunghiului dreptunghic folosind noţiunile studiate (cateta opusă unghiului de 30° , mediana 6. Interpretarea informaţiilor conţinute în corespunzătoare ipotenuzei – teoreme probleme legate de proprietăţi ale directe şi reciproce) triunghiurilor (Programa şcolară de matematică, OMECI nr. 5097/09.09.2009) Pentru evaluarea, la finalul unității de învățare Proprietăţi ale triunghiurilor (clasa a VI-a), a două dintre competenţele specifice precizate în secvenţa de mai sus, elaboraţi doi itemi: un item de tip alegere multiplă şi

un item de tip rezolvare de probleme. În elaborarea itemilor se vor avea în vedere următoarele aspecte: -

formatul fiecărui item elaborat în vederea evaluării competenţei specifice alese;

răspunsul aşteptat (baremul de evaluare) pentru fiecare dintre itemii elaboraţi;

corectitudinea științifică a informaţiei de specialitate.

Probă scrisă la matematică

Varianta 1 Pagina 2 din 2

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CONCURSUL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/REZERVATE ÎN UNITĂŢILE DE ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR 20 iulie 2016 Probă scrisă MATEMATICĂ BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 1 • • •

SUBIECTUL I 1.

(30 de puncte)

a) x 2 − 2 x + 1 = 0 x1 = x2 = 1

3p 2p

b) x1 + x2 = 2 ( m + 1) , x1 x2 = m + 1 ⇒ x1 + x2 = 2 x1 x2 x1 = 2 x2 ⇔ 3 x2 = 4 x22 ⇔ x2 = 0 sau x2 =

3 1 , de unde obținem m = −1 sau m = 4 8

c) x12 + x22 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = 4 ( m + 1) − 2 ( m + 1) − 2 ( m + 1) = 2m ( m + 1)

2m ( m + 1) > 0 ⇔ m ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 0, +∞ )

a) AD este înălțime în triunghiul isoscel ABC , deci AD este mediană Punctul D este mijlocul segmentului BC , deci punctul C este simetricul punctului B față de punctul D b) AD PM și secanta AN ⇒ ∢ANP ≡ ∢BAD

AD PM și secanta CP ⇒ ∢APN ≡ ∢CAD

2p 1p

Cum ∢BAD ≡ ∢CAD , obținem ∢ANP ≡ ∢APN , deci triunghiul ANP este isoscel NM NB c) NM AD ⇒ ∆BMN ∼ ∆BDA ⇒ = AD AB PM PC AD PM ⇒ ∆CPM ∼ ∆CAD ⇒ = AD AC NM + PM NB PC AB − AN AC + AP Cum AB = AC și AN = AP , obținem = + = + = 2 , deci AD AB AC AB AC NM + PM = 2 AD

SUBIECTUL al II-lea 1.

3p 2p

1p 1p

(30 de puncte)

 1 0 0 0 0 1 1 0 0  2 0 1         a) A ( 0 ) + A (1) + I 3 =  0 0 0  +  0 0 0  +  0 1 0  =  0 1 0  0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 2         2 0 1 det ( A ( 0 ) + A (1) + I3 ) = 0 1 0 = 4 + 0 + 0 − 1 − 0 − 0 = 3

1 0 2

Probă scrisă la matematică Barem de evaluare şi de notare

Varianta 1 Pagina 1 din 2

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

1 − x 0 x 1 − y 0 y   (1 − x)(1 − y) + xy 0 (1 − x) y + x (1 − y )       b) A ( x) A ( y ) =  0 0 0  0 0 0  =  0 0 0 =  x 0 1 − x  y 0 1 − y   x (1 − y) + (1 − x) y 0 xy + (1 − x)(1 − y )      

1 − ( x + y − 2 xy) 0 x + y − 2 xy    0 0 0 =  = A( x + y − 2 xy) , pentru orice numere reale x și y  x + y − 2 xy 0 1 − ( x + y − 2 xy)  

1 − 2 x + 2 x 2  c) A2 ( x ) =  0  2 x − 2x2 

1 − 2 x + x 2 2 x − 2 x2    0 0  , (1 − x ) A ( x ) =   x − x2 0 1 − 2 x + 2 x 2  

0 0

   2 0 1 − 2x + x  x − x2 0

0 0

 x2 + 1 0 x − x2    A2 ( x ) − (1 − x ) A ( x ) + I 3 =  0 1 0   x − x2 0 x2 + 1   

(

)

(

)

det A2 ( x ) − (1 − x ) A ( x ) + I 3 = 0 ⇔ (1 + x ) 2 x 2 − x + 1 = 0 , de unde obținem x = −1

a) f ' ( x ) = =

1 2 x − x +1 2

(

)

' ⋅ x2 − x + 1 =

⋅ ( 2x − 1 + 0) =

−

1 2

2x −1 2 x2 − x + 1

x  x2 − x + 1   f ( x)   b) lim   = lim  2  x → +∞  x  x → +∞  x  

, x∈ℝ x2     − x + 1  − x +1  = lim  1 + 2   x → +∞  x     

1 e

c) x 2 − x + 1 ≥

2p − x +1 x ⋅ x2 2

2p 3 , deci 4

x2 − x + 1 ≥

A = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 2 − x + 1dx ≥ ∫

3 , pentru orice număr real x 2

3 3 1 3 dx = x = 2 2 0 2

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

Itemul de tip alegere multiplă elaborat Corectitudinea formatului itemului

Corectitudinea răspunsului aşteptat (baremul de evaluare)

Corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat Corectitudinea formatului itemului

Corectitudinea răspunsului aşteptat (baremul de evaluare)

Corectitudinea ştiinţifică a informaţiei de specialitate

Probă scrisă la matematică Barem de evaluare şi de notare

Varianta 1 Pagina 2 din 2