Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
CONCURSUL NAłIONAL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE DECLARATE VACANTE/ REZERVATE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR 14 IULIE 2010 Probă scrisă la MATEMATICĂ
VARIANTA 2
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 4 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
2
5p
SUBIECTUL I 30 de puncte 1. Spunem că o mulŃime nevidă A ⊂ ℕ are proprietatea ( p ) dacă suma oricăror două elemente ale lui A , nu neapărat distincte, nu este în A . a) ArătaŃi că mulŃimea {1, 4,6} are proprietatea ( p ) , iar mulŃimea {1,3,6} nu are proprietatea ( p ) .
4p
b) DaŃi un exemplu de mulŃime inclusă în mulŃimea {1, 2,3,..., 2010} care are 1005 elemente şi care are proprietatea ( p ) .
3p
c) Câte submulŃimi nevide ale mulŃimii B = {4,5,6,7,8} au proprietatea ( p ) ?
3p
d) ArătaŃi că dacă A ⊂ {1, 2,3,..., 2010} are proprietatea ( p ) , atunci mulŃimea A are cel mult 1005 elemente. 2. În planul α se consideră punctele O1 , O2 ,..., O100 , oricare trei necoliniare şi mulŃimea M = {O1 , O2 ,..., O100 } . Se notează cu C i cercul de centru Oi şi rază 1,
Ci ⊂ α ,
i ∈ {1, 2,3,...,100} . Se ştie că pentru orice
i, j, k ∈ {1, 2,3,...,100} , există o dreaptă care intersectează cercurile C i ,
Cj
şi C k .
4p 4p
a) ArătaŃi că într-un triunghi ABC cu AB ≤ AC , distanŃa de la B la AC este mai mică sau egală decât distanŃa de la C la AB . b) DeterminaŃi numărul triunghiurilor care au toate vârfurile în mulŃimea M . c) ArătaŃi că triunghiul O1O2 O3 are o înălŃime de lungime cel mult 2.
2p
d) Pentru fiecare i ∈ {1, 2,3,...,100} se notează cu Di cercul de centru Oi şi rază 2, Di ⊂ α . ArătaŃi că există o
5p
dreaptă care intersectează toate cercurile D1 , D2 , … , D100 . 2
SUBIECTUL al II-lea 1 1 0 1 0 0 1. Fie matricele A = 0 1 1 şi I 3 = 0 1 0 . 0 0 1 0 0 1
4p
a) ArătaŃi că A3 − 3 A2 + 3 A − I 3 = 0 .
4p
b) CalculaŃi An , unde n ∈ ℕ∗ .
30 de puncte
2. Pe mulŃimea G = ( 0, +∞ ) \ {1} se consideră legea de compoziŃie x ⊥ y = x ln y . 4p 3p
a) ArătaŃi că mulŃimea G împreună cu legea „ ⊥ ” este grup comutativ.
( )
b) ArătaŃi că grupul ( G, ⊥ ) este izomorf cu grupul ℝ∗ , ⋅ . 3. Se consideră funcŃia f : [ 0; +∞ ) → ℝ, f ( x ) = ln (1 + x ) − x +
5p 4p 4p 2p
1 2 x . 2
a) DeterminaŃi punctele de extrem local ale funcŃiei f. b) ArătaŃi că graficul funcŃiei f nu are asimptote. 1 c) DemonstraŃi că x − x 2 < ln (1 + x ) < x , ∀x > 0 . 2 1 2 n d) CalculaŃi lim 1 + 2 1 + 2 ... 1 + 2 . n→+∞ n n n
2
Probă scrisă la MATEMATICĂ
1
VARIANTA 2