PARALELOGRAMUL
Daca ABCD este paralelogram, atunci : • Laturile opuse sunt paralele
A
đ??´đ??ľ âˆĽ đ??śđ??ˇ đ??´đ??ˇ âˆĽ đ??ľđ??ś • Laturile opuse sunt congruente đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ ABCD paralelogram ⇒ đ??´đ??ˇ = đ??ľđ??ś • Unghiurile opuse sunt congruente
B
ABCD parallelogram ⇒
ABCD paralelogram ⇒
đ??´ ≥ đ??ś đ?‘ đ?‘Žđ?‘˘ đ?‘š đ??´ = đ?‘š(đ??ś)
đ??ľ ≥ đ??ˇ đ?‘ đ?‘Žđ?‘˘ đ?‘š đ??ľ = đ?‘š(đ??ˇ)
• Unghiurile alaturate sunt suplementare đ?‘š đ??´ + đ?‘š đ??ľ = 1800
ABCD paralelogram ⇒
đ?‘š đ??ľ + đ?‘š đ??ś = 1800
đ?‘š đ??ś + đ?‘š đ??ˇ = 1800 đ?‘š đ??ˇ + đ?‘š đ??´ = 1800
• Diagonalele se injumatatesc
ABCD paralelogram ⇒
đ??´đ?‘‚ = đ??śđ?‘‚ đ??ľđ?‘‚ = đ??ˇđ?‘‚
O
D
C
Cum demonstram ca un patrulater este paralelogram?
ď ś Folosim oricare din proprietatile anterioare
ď ą Daca intr-un patrulater laturile opuse sunt paralele atunci patrulaterul este paralelogram
A
B
đ??´đ??ľ âˆĽ đ??śđ??ˇ ⇒ đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ??´đ??ˇ âˆĽ đ??ľđ??ś ď ą Daca intr-un patrulater laturile opuse sunt congruente atunci patrulaterul este paralelogram
D đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ ⇒ đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ??´đ??ˇ = đ??ľđ??ś ď ą Daca intr-un patrulater doua laturi opuse sunt paralele si congruente atunci patrulaterul este paralelogram đ??´đ??ľ âˆĽ đ??śđ??ˇ ⇒ đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ
C
ď ą Daca intr-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente atunci patrulaterul este paralelogram
đ??´ ≥ đ??ś ⇒ đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ??ľâ‰Ąđ??ˇ
ď ą Daca intr-un patrulater doua perechi de unghiuri alaturate sunt suplementare atunci patrulaterul este paralelogram đ?‘š đ??´ + đ?‘š đ??ľ = 1800
⇒ đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ?‘š đ??ľ + đ?‘š đ??ś = 1800 ( aceasta proprietate de obicei nu se foloseste in rezolvarea problemelor)
ď ą Daca intr-un patrulater diagonalele se injumatatesc atunci patrulaterul este paralelogram đ??´đ?‘‚ = đ?‘‚đ??ś ⇒ đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ??ľđ?‘‚ = đ?‘‚đ??ˇ
In rezolvarea problemelor este foarte important sa utilizam schemele expuse in diapozitivele anterioare, in functie de situatie
Exemplu de problema rezolvata. Demonstrati ca mijloacele laturilor unui patrulater oarecare sunt varfurile unui paralelogram. đ?‘€đ?‘„ âˆĽ đ??ľđ??ˇ (1) đ?‘€ đ?‘šđ?‘–đ?‘—đ?‘™đ?‘œđ?‘? [đ??´đ??ľ] đ??ľđ??ˇ ⇒ đ?‘€đ?‘„ đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘’ đ?‘šđ?‘–đ?‘—đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘’ đ?‘–đ?‘› â–ł đ??´đ??ľđ??ˇ ⇒ đ?‘„ đ?‘šđ?‘–đ?‘—đ?‘™đ?‘œđ?‘? [đ??´đ??ˇ] đ?‘€đ?‘„ = (2) 2 đ?‘ đ?‘ƒ âˆĽ đ??ľđ??ˇ (3) đ??ľđ??ˇ Analog demonstram ca đ?‘ đ?‘ƒ = (4) 2 Din (1) si (3) avem đ?‘€đ?‘„ âˆĽ đ??ľđ??ˇ si NP âˆĽ đ??ľđ??ˇ, deci đ?‘€đ?‘„ âˆĽ đ?‘ đ?‘ƒ đ??ľđ??ˇ đ??ľđ??ˇ Din (2) si (4) avem đ?‘€đ?‘„ = đ?‘ đ?‘– đ?‘ đ?‘ƒ = , deci MQ=NP 2 2
đ?‘€đ?‘„ âˆĽ đ?‘ đ?‘ƒ ⇒ đ?‘€đ?‘ đ?‘ƒđ?‘„ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ?‘€đ?‘„ = đ?‘ đ?‘ƒ (am folosit proprietatea: daca doua laturi opuse sunt paralele si congruente atunci patrulaterul este paralelogram)