Gauss și-a propus să ne învețe să calculăm suma unui șir
de numere consecutive.
În calculele ce urmează voi nota operația de înmulțire “x” cu “ ∙ ”
Să considerăm suma : S = 1 + 2 + 3 + ……. + 79 + 80 Știm că într-o sumă putem reașeza termenii și îi putem grupa cum ne convine. Vom grupa 1 cu 80 , 2 cu 79 , 3 cu 78 etc si obținem astfel S = (1 + 80) + (2 + 79) + (3 + 78) +…..+(40 + 41) fiecare grupă astfel obținută este egală cu 81 sunt în total 40 grupe deoarece șirul conține 80 numere și le-am grupat câte două. Înseamnă că S = 81∙ 40 = 3240 Cum 40 = 80 : 2 , obținem că S = 81 ∙ 80 : 2 și cum înmulțirea este comutativa avem S = (80 ∙ 81) :2 Observăm că :
80 este ultimul termen al sumei 81 este succesorul lui 80
Să aflăm suma tuturor numerelor de cel mult două cifre , adică S = 1 + 2 + 3 + ….. + 99
Șirul 1,2,3,….,99 conține 99 de numere. Dacă încercăm să formăm grupe de câte două numere va rămâne un număr fără pereche. Ca să nu căutăm acel număr, care este în mijlocul șirului, vom considera că lucrăm cu șirul 1,2,3,….,98 care are 98 termeni (ce pot fi grupați câte doi obținând 49 grupe cu valoarea 99) căruia i se adaugă numărul 99. Astfel , S = (1 + 2 + 3 + ….+ 98) + 99 = = 98 ∙ 99 : 2 + 99 = 4950
Dacă am calcula (99 ∙ 100) : 2 am obține tot 4950.
Cu exemplele anterioare am demonstrat că suma tuturor termenilor unui șir de numere consecutive al cărui prim termen este 1 și ultim termen este n , adică S = 1+ 2 + ….. + n
este S = n ∙ (n+1) : 2 adică S = ultimul termen ∙ succesorul ultimului termen : 2
Cum putem calcula suma în cazul în care primul termen nu este 1 ? Să considerăm suma S = 10 + 11 + 12 + …….+ 99
Șirul 10,11,12,…..,99 se obține din șirul 1,2,3,……,99 din care se elimina subșirul 1,2,3,…..,9. Cu alte cuvinte, suma S este este diferența dintre sumele a = 1+ 2 + 3 + ….. + 100 și b = 1 + 2 + 3 + …. +9
adică S = a – b sau S = (1 + 2 + 3 + …. +100) – (1 + 2 + 3 + …. + 9). Cum 1 + 2 + 3 + …. +100 = 100 ∙ 101 : 2 = 5050 și
1 + 2 + 3 + … + 9 = 9 ∙ 10 : 2 = 45 avem S = 5050 – 45 = 5005