Soluciones mediante Tic's a ecuaciones lineales. Cristina Varas

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CAPITULO 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemåtico expresiones del lenguaje habitual. Son una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritmÊticas suma, resta, división, multiplicación y potencias. Las expresiones algebraicas se utilizan constantemente en la vida cotidiana, algunos ejemplos pueden ser: 

El Ă­ndice de masa corporal (IMC) đ??źđ?‘€đ??ś =



El ĂĄrea de un rectĂĄngulo



Ă rea del cĂ­rculo

đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ(đ?‘˜đ?‘”) đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž2 (đ?‘šđ?‘Ąđ?‘ )

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CLASIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS MONOMIOS: Son aquellas expresiones algebraicas enteras en las que no intervienen ni las suma ni la resta. Un monomio consta de tres partes: el signo, el coeficiente y la parte literal Ejemplos: đ?‘Ž) − 2đ?‘šđ?‘›3 đ?‘?) − 0.5đ?‘Ľ 5 đ?‘?) 5đ?‘? đ?‘‘) đ?‘›2 đ?‘? 2 đ?‘§ 4 En el primer ejemplo el signo es -, el coeficiente es 2 y la parte literal es đ?‘šđ?‘›3 En el segundo el signo es -, el coeficiente 0.5 y la parte literal đ?‘Ľ 5 En el tercero el signo es +5, el coeficiente es 5 y la parte literal es b Y en el ultimo el signo es +, el coeficiente es 1 y la parte literal es đ?‘›2 đ?‘? 2 đ?‘§ 4 MONOMIOS SEMEJANTES: Dos o mĂĄs monomios son semejantes si tienen la misma parte literal Ejemplo: 3đ?‘?đ?‘Ž5 , −1.5đ?‘?đ?‘Ž5 , đ?‘?đ?‘Ž5 Estos monomios son semejantes ya que tienen la misma parte literal que es đ?‘?đ?‘Ž5

POLINOMIOS Los polinomios son expresiones algebraicas enteras en las que intervienen la suma y la resta, o una de ellas solamente. TambiĂŠn se interpreta como una suma algebraica de monomios. 9

Ejemplo: 5đ?‘Ľ 3 − 2đ?‘Ž2 + đ?‘? Cada polinomio puede tener dos, tres, cuatro o mĂĄs tĂŠrminos, en cuyo caso Se llama binomio, trinomio, cuatrinomio o en general polinomio de “nâ€? tĂŠrminos.

Grado de un monomio Es el nĂşmero de factores literales que figuran en el, y se calcula sumando los exponentes de todos sus tĂŠrminos.

Grado de un Polinomio Es el mayor de los exponentes de las variables de los monomios que lo componen. Ejemplo: En el polinomio đ?‘Ľ 5 + 4đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 7 + đ?‘Ľ − 5 su grado es 7. Y en el polinomio 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Śđ?‘§ + 4đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś 2 + 6đ?‘Ś 2 đ?‘§ 4 − 5 su grado es 6; ya que el grado mas alto de los monomios que lo componen es el 6đ?‘Ś 2 đ?‘§ 4 . Polinomios HomogĂŠneos Un polinomio se dice homogĂŠneo cuando cada uno de los tĂŠrminos que lo componen tienen el mismo grado. Ejemplo: El polinomio 3đ?‘?đ?‘Ž2 + đ?‘Ľđ?‘§ 2 − 2đ?‘? 3 − 5 es homogĂŠneo ya que todos sus tĂŠrminos son de grado 3.

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Polinomio Ordenado Un polinomio se dice ordenado respecto a las potencias decrecientes de sus letras, cuando esta figura en cada termino elevada a una potencia igual o menor que el termino anterior

Ejemplo: AsĂ­ el polinomio 2đ?‘Ľ 3 + 5đ?‘Ľ – 3 esta ordenado segĂşn las potencias decrecientes. El polinomio đ?‘§đ?‘Ž4 + 6đ?‘Ž3 − 2đ?‘Ž2 đ?‘§ + đ?‘Ž esta ordenado segun las potencias de la variable “aâ€? Polinomio Completo Un polinomio se dice completo con respecto a las potencias de una de sus letras cuando figuran todas las potencias de esa letra. En caso contrario diremos que el polinomio es Incompleto. Ejemplo: ďƒ˜ 8đ?‘Ľ 3 − 2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 1 es un polinomio completo ďƒ˜ đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ 4 + 6đ?‘Ľ − 1 + 5đ?‘Ľ 3 esta completo ďƒ˜ đ?‘Ľ 4 − 3 − 6đ?‘Ľ es un polino io incompleto, ya que faltan los tĂŠrminos de grado 2 y 3. Un polinomio Incompleto se puede completar haciendo figurar en el los tĂŠrminos que faltan. Estos tĂŠrminos se completan con 0 AsĂ­, si completamos el polinomio del ejemplo anterior tendremos đ?‘Ľ 4 + 0đ?‘Ľ 3 + 0đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ − 3 Valor numĂŠrico de una ExpresiĂłn Algebraica Si en la expresiĂłn đ?‘§đ?‘Ž4 + 6đ?‘Ž3 − 2đ?‘Ž2 đ?‘§ + đ?‘Ž se asigna z=2 y đ?‘Ž=1 y se 11

reemplazan en la expresiĂłn tendremos que 5 es el valor numĂŠrico; si z y đ?‘Ž toman otros valores tendremos otro valor numĂŠrico para la expresiĂłn algebraica

OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma y resta de polinomios Para sumar (o restar) dos o mĂĄs polinomios se coloca uno debajo de otro, de tal forma que los tĂŠrminos semejantes queden en columna. Se realiza la suma (o la resta) parcial de cada columna y se escriben estos resultados parciales uno al lado del otro con sus correspondientes signos. ObservaciĂłn: Los polinomios deben estar ordenados respecto a algunas de sus letras y completos. Ejemplo: Dados los siguientes polinomios encontrar P(x)+Q(x) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 3 + 5đ?‘Ľ − 3 đ?‘„(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ 3 Ordenamos y completamos los polinomios si no lo estĂĄn: đ?‘„(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ + 0 2đ?‘Ľ 3 + 0đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ – 3 2đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ + 0 4đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ľ − 3 Luego đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) + đ?‘„(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľđ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ľ − 3 Ejemplo: Dados los siguientes polinomios encontrar đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) − đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 7đ?‘Ľ 4 + 4đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 2 đ?‘„(đ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ 3 + 8đ?‘Ľ + 3 12

Completamos los polinomios đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 7đ?‘Ľ 4 + 0đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 2 Q(x) = 0đ?‘Ľ 4 + 6 đ?‘Ľ 3 + 0đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ + 3 7đ?‘Ľ 4 + 0đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 2 0đ?‘Ľ 4 + 6 đ?‘Ľ 3 + 0đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ + 3 7đ?‘Ľ 4 − 6đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ 2 − 1đ?‘Ľ − 1 Luego đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) − đ?‘„(đ?‘Ľ) = 7đ?‘Ľ 4 − 6đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ 2 − 1đ?‘Ľ − 1 La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)

− − − −

đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘„(đ?‘Ľ)

= = = =

(2đ?‘Ľ 3 + 5đ?‘Ľ − 3) − (2đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ) 2đ?‘Ľ 3 + 5đ?‘Ľ − 3 − 2đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ 3 − 2 đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ − 3 3đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 3

MultiplicaciĂłn de Polinomios Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada termino del primero por cada termino del segundo y se suman los productos parciales. El grado del polinomio resultante es la suma de los grados de los polinomios dados. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 2 − 3

y

đ?‘„(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) ¡ đ?‘„(đ?‘Ľ) = (2đ?‘Ľ 2 − 3) ¡ (2đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) ¡ đ?‘„(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ 5 − 6đ?‘Ľ 4 + 8đ?‘Ľ 3 − 6đ?‘Ľ 3 + 9đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ Se suman los monomios del mismo grado. 13

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) ¡ đ?‘„(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ 5 − 6đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 3 + 9đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ

Division de polinomios Dividir un polinomio en x, llamado dividendo D(x), por otro, d(x) llamado divisor, es encontrar dos expresiones algebraicas, C(x) y R(x), llamados cociente entero y resto tal que D(x)=d(x)C(x)+R(x) y grR(x)<grd(x) Para dividir un polinomio por otro, ambos ordenados, segĂşn sus potencias decrecientes, y completos; se divide el primer tĂŠrmino del dividendo por el primer tĂŠrmino del divisor, obteniĂŠndose asĂ­ el primer tĂŠrmino del cociente. Se multiplica este por todo el divisor, y este producto se resta del dividendo, obteniĂŠndose el primer resto parcial. Se repite el procedimiento hasta que uno de los restos parciales sea de grado menor al del divisor. Ejemplo: Dados đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 5 + 2đ?‘Ľ 3 – đ?‘Ľ – 8 y đ?‘„(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1, encontrar P(x) : Q(x) Primero ordenamos y completamos los plinomios dividendo y divisor. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 5 + 0đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 3 + 0đ?‘Ľ 2 – đ?‘Ľ – 8 đ?‘„(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1

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Ejemplo: Dados đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ 3 + 7đ?‘Ľ 2 – 3 y đ?‘„(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ – 1, encontrar P(x) : Q(x)

Rela de Ruffini Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemĂĄtico italiano, que estableciĂł un mĂŠtodo mĂĄs breve para hacer la divisiĂłn de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a. Regla de Ruffini: Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la divisiĂłn: (đ?‘Ľ 4 − 3đ?‘Ľ 2 + 2 ) âˆś (đ?‘Ľ − 3) 1) Si el polinomio no es completo, lo completamos aĂąadiendo 15

los términos que faltan con ceros. 2) Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor. 4) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5) Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6) Sumamos los dos coeficientes

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7) Repetimos el proceso anterior

8) El Ăşltimo nĂşmero obtenido, 56, es el resto. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. đ?‘Ľ 3 + 3 đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 18

Ejemplo: Dividir por la regla de Ruffini (đ?‘Ľ 5 − 32) âˆś (đ?‘Ľ − 2)

đ??ś(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ + 16 R=0

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Teorema del resto El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numÊrico de dicho polinomio para el valor: x = a. Calcular, utilizando el teorema del resto, el resto de la división del ejercicio anterior: P(3) = 34 - 3 ¡ 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56 Operaciones entre polinomios con Geogebra

Una vez descargado el software Geogebra, vamos a ir al icono “Vista� y vamos habilitar la vista algebraica y la vista CAS.

A continuaciĂłn vamos a generar los polinomios, para asĂ­ operar con ellos, de la siguiente manera: En “Bandeja de Entradaâ€? vamos a tipear đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 5 + 2đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ − 8 đ?‘Ś đ?‘”(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1

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Damos Enter y obtenemos

De igual manera para g(x) = 3x2 - 2x + 1

Si observamos, Geogebra le asigna un nombre a cada polinomio, lo cual nos va a permitir realizar las operaciones que querramos. En la parte de Calculo Simbolico introducimos f y g y obtenemos:

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En bandeja de entrada tipeamos f+g y damos enter. De igual manera en la parte de Calculo Simbólico.

Si observamos en la parte de vista algebraica la operación solo queda expresada, mientras que en la parte de cálculo simbólico la operación esta desarrollada. Para realizar la división entre f y g en la bandeja de entrada y en la vista CAS introducimos el comando División[f,g]

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En ambas vistas el resultado que nos da es una lista, donde el primer termino es el cociente y el segundo termino es el resto de la división entre ambos polinomios. Productos Notables 

Binomio al Cuadrado: (đ?‘Ž Âą đ?‘?)2 = đ?‘Ž2 Âą 2 ∙ đ?‘Ž ∙ đ?‘? + đ?‘? 2

Ejemplos: a) (3đ?‘Ľ + đ?‘Ś)2 = (3đ?‘Ľ)2 + 2(3đ?‘Ľ)đ?‘Ś + (đ?‘Ś)2 = (9đ?‘Ľ)2 + 6đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 b) (đ?‘›3 − 6)2 =(đ?‘›3 )2 − 2(đ?‘›3 )6 + (6)2 = đ?‘›6 − 12đ?‘›3 + 36



Cubo de un Binomio (đ?‘Ž Âą đ?‘?)3 = đ?‘Ž3 Âą 3 ¡ đ?‘Ž 2 ¡ đ?‘? + 3 ¡ đ?‘Ž ¡ đ?‘? 2 Âą đ?‘? 3

Ejemplos: a) (đ?‘Ľ + 3)3 = đ?‘Ľ 3 + 3 ¡ đ?‘Ľ 2 ¡ 3 + 3 ¡ đ?‘Ľ ¡ 32 + 33

đ?‘Ľ 3 + 9đ?‘Ľ 2 + 27đ?‘Ľ + 27 b) (2đ?‘Ľ + 5)3 = (2đ?‘Ľ)3 + 3 ∙ (2đ?‘Ľ)2 ∙ 5 + 3 ∙ 2đ?‘Ľ ∙ 53 + 53 =

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8đ?‘Ľ 3 + 60 đ?‘Ľ 2 + 150 đ?‘Ľ + 125 c) (−đ?‘› + đ?‘š)3 = (−đ?‘›)3 + 3 (−đ?‘›)2 đ?‘š + 3(− đ?‘›)đ?‘š + đ?‘š3 =

−đ?‘›3 + 3đ?‘›2 đ?‘š − 3đ?‘›đ?‘š2 + đ?‘š3 

Suma por diferencia (đ?‘Ž + đ?‘?) ¡ (đ?‘Ž − đ?‘?) = đ?‘Ž2 − đ?‘? 2

Ejemplos: a) (2đ?‘Ľ + 5) ¡ (2đ?‘Ľ − 5) = (2 đ?‘Ľ)2 − 52 = 4đ?‘Ľ 2 − 25 b) (3đ?‘› − 5đ?‘§) ¡ (3đ?‘› + 5đ?‘§) = (3đ?‘›2 ) − (5đ?‘§)2 = 9đ?‘›2 − 25đ?‘§ 2



Suma de cubos đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = (đ?‘Ž + đ?‘?) ¡ (đ?‘Ž2 − đ?‘Ž ∙ đ?‘? + đ?‘? 2 )

Ejemplo: 8đ?‘Ľ 3 + 27 = (2đ?‘Ľ + 3) (4đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 9) 

Diferencia de cubos đ?‘Ž3 − đ?‘? 3 = (đ?‘Ž − đ?‘?) ¡ (đ?‘Ž2 + đ?‘Ž ∙ đ?‘? + đ?‘? 2 )

Ejemplo: 8đ?‘Ľ 3 − 27 = (2đ?‘Ľ − 3) (4đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 9)

Desarrollo con Geogebra Si quisiĂŠramos el desarrollo de (đ?‘Ž − đ?‘?)2 simplemente topeamos esta expresiĂłn en la vista CAS y dando entrada obtenemos:

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De igual manera para (đ?‘Ž − đ?‘?) ∙ (đ?‘Ž + đ?‘?) y (đ?‘Ž + đ?‘?)3

Factoreo de Expresiones Algebraicas: Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones mas sencillas. La factorizaciĂłn se basa en la propiedad distributiva del producto respecto a la adiciĂłn, es decir: đ?‘Ž ∙ (đ?‘? + đ?‘?) = đ?‘Ž ∙ đ?‘? + đ?‘Ž ∙ đ?‘? No todos los polinomios pueden factorearse, solo aquellos que tienen determinadas caracterĂ­sticas, las cuales se agrupan en las siguientes casos: 1Âş Caso: Factor ComĂşn

Una expresiĂłn algebraica es factor comĂşn de todos los tĂŠrminos de un polinomio cuando figura en todos ellos como factor. Si en todos los tĂŠrminos de un polinomio figura un factor comĂşn, dicho polinomio es igual al 23

producto de este factor, con el menos exponente, por el polinomio que resulta al dividir cada termino por este. Ejemplos: I) 3đ?‘Žđ?‘Ľđ?‘? − 9đ?‘Žđ?‘Ľ = 3đ?‘Žđ?‘Ľ ∙ (đ?‘? − 3) II) 7đ?‘Ľ – 7đ?‘Ś + 7đ?‘§ = 7 ∙ (đ?‘Ľ − đ?‘Ś + đ?‘§) III) đ?‘Ľ 7 + đ?‘Ľ 3 = đ?‘Ľ 3 (đ?‘Ľ 4 + 1) IV) 2đ?‘Ľ 4 đ?‘Ž − 4đ?‘Ľ 3 đ?‘Ž2 đ?‘? + đ?‘Ľđ?‘Ž5 đ?‘? = đ?‘Ľđ?‘Ž ( 2đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ 2 đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Ž4 đ?‘?) V) đ?‘Ž(đ?‘Ľ + 3) + đ?‘?(đ?‘Ľ + 3) = (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ž + đ?‘?)

2Âş Caso: Factor ComĂşn por Grupo Si los tĂŠrminos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual nĂşmeros de tĂŠrminos con un factor comĂşn en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor comĂşn. Si queda la misma expresiĂłn en cada uno de los parĂŠntesis, se la saca, a su vez, como factor comĂşn, quedando factoreado el polinomio dado.

Ejemplos: 1) 2đ?‘Žđ?‘Ľ + 2đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ś + 5đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘Ś + 5đ?‘? =

(2đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ś + 5đ?‘Ž ) + ( 2đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ś + 5đ?‘? ) = đ?‘Ž( 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 5 ) + đ?‘?(2đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 5 ) = (đ?‘Ž + đ?‘?) . ( 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 5 ) 2) đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘?đ?‘Ś = (đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ) + (đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘?đ?‘Ś) =

đ?‘Ľ(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘Ś(đ?‘Ž + đ?‘?) = (đ?‘Ž + đ?‘?) (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) 3) đ?‘Ž2 đ?‘? 3 − đ?‘›4 + đ?‘Ž2 đ?‘? 3 đ?‘Ľ 2 − đ?‘›4 đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘§ 2 đ?‘Ž − 3đ?‘§ 2 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ž =

(đ?‘Ž2 đ?‘? 3 + đ?‘Ž2 đ?‘? 3 đ?‘Ľ 2 ) − ( đ?‘›4 + đ?‘›4 đ?‘Ľ 2 ) − (3đ?‘§ 2 đ?‘Ž + 3đ?‘§ 2 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ž) = đ?‘Ž2 đ?‘? 3 ∙ (1 + đ?‘Ľ 2 ) − đ?‘›4 ∙ (1 + đ?‘Ľ 2 ) − 3đ?‘§ 2 đ?‘Ž ∙ (1 + đ?‘Ľ 2 ) = (1 + đ?‘Ľ 2 ) ∙ (đ?‘Ž2 đ?‘? 3 − đ?‘›4 − 3đ?‘§ 2 đ?‘Ž) 24

3Âş Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto Un polinomio se dice que es un trinomio cuadrado perfecto si dos de sus tĂŠrminos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto entre las bases de las potencias anteriores. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los tĂŠrminos dejando de primero y de tercero los tĂŠrminos que tengan raĂ­z cuadrada, luego extraemos la raĂ­z cuadrada del primer y tercer tĂŠrmino y los escribimos en un parĂŠntesis, separĂĄndolos por el signo que acompaĂąa al segundo tĂŠrmino, al cerrar el parĂŠntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. En el trinomio cuadrado perfecto los tĂŠrminos cuadrados son siempre positivos, en cambio el tĂŠrmino del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los tĂŠrminos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado. Ejemplos: a) 36đ?‘Ľ 2 + 12đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 4 Es un trinomio cuadrado perfecto, el primer tĂŠrmino es el cuadrado de 6đ?‘Ľ pues (6đ?‘Ľ)2 = 36đ?‘Ľ 2 ; el Ăşltimo es el cuadrado de đ?‘Ś 2 , pues (đ?‘Ś 2 )2 = đ?‘Ś 4 , y el segundo tĂŠrmino es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 6đ?‘Ľ por đ?‘Ś 2 ,pues 2 ∙ 6đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś 2 = 12đ?‘Ľđ?‘Ś 2 . Luego 36đ?‘Ľ 2 + 12đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 4 = (6đ?‘Ľ + đ?‘Ś 2 )2

đ?‘?) 29đ?‘Ľ 2 – 36đ?‘Ľđ?‘Ś + 36đ?‘Ś 2 No es un trinomio, porque el primero de sus tĂŠrminos no es un cuadrado perfecto ( no tiene raĂ­z cuadrada exacta).

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4Âş Caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto

Un polinomio en el que dos tĂŠrminos son cubos perfectos; el tercer tĂŠrmino es el triplo del cuadrado de la base del primer tĂŠrmino por la base del segundo, y el cuarto tĂŠrmino es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo es un cuatrinomio cubo perfecto. Ejemplos: 1) đ?‘Ľ 3 + 6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 12đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + 8 đ?‘Ś 3 es un cuadrinomio cubo perfecto pues cumple con: đ?‘Ľ 3 = (đ?‘Ľ)3 8đ?‘Ś 3 = ( 2đ?‘Ś )3 6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś = 3. (đ?‘Ľ)2 . (2đ?‘Ś) 12đ?‘Ľđ?‘Ś 2 = 3. đ?‘Ľ. (2đ?‘Ś)2 đ?‘Ľ 3 + 6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 12đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + 8 đ?‘Ś 3 = (đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś)3 2) 27 đ?‘Ž3 + 27 đ?‘Ž2 đ?‘? + 9đ?‘Žđ?‘? 2 + đ?‘? 3 El polinomio tiene 4 tĂŠrminos y dos de ellos son cubos perfectos (tienen raĂ­ces cĂşbicas exactas); enseguida se debe ordenar para ver si se trata del cubo de un binomio. En este caso, el polinomio estĂĄ ordenado y ahora hay que comprobar si se cumplen las condiciones. Se procede asĂ­: Se saca la raĂ­z cĂşbica del 1Âş y el 4Âş tĂŠrmino: y el 2Âş tĂŠrmino, debe ser el triple del cuadrado de la primera raĂ­z cĂşbica por la segunda: 3 (3 đ?‘Ž)2 . đ?‘? = 3 (9 đ?‘Ž2 ). đ?‘? = 27 đ?‘Ž2 đ?‘? El tercer tĂŠrmino, debe ser el triple de la primera raĂ­z por el cuadrado de la segunda:

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3 (3 đ?‘Ž) (đ?‘?)2 = 9đ?‘Žđ?‘? 2 Como se cumplen todas las condiciones, y ademĂĄs, todos los tĂŠrminos son positivos, se trata del cubo de una suma. Entonces, se suman las raĂ­ces cĂşbicas, se encierran entre parĂŠntesis y luego se eleva al cubo. O sea, 27 đ?‘Ž3 + 27 đ?‘Ž2 đ?‘? + 9đ?‘Žđ?‘? 2 + đ?‘? 3 = (3 đ?‘Ž + đ?‘?) 3

5ÂşCaso: Diferencia de Cuadrado El producto de la suma por la diferencia de dos nĂşmeros es igual al cuadrado del primer nĂşmero menos el cuadrado del segundo: ( đ?‘Ž + đ?‘? ) . ( đ?‘Ž − đ?‘?) = đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 Ejemplos: 1) 4 đ?‘Ž2 đ?‘Ś 4 − 64 đ?‘Ľ 6 đ?‘§ 8 = ( 2đ?‘Žđ?‘Ś 2 − 8đ?‘Ľ 3 đ?‘§ 4 ) . ( 2đ?‘Žđ?‘Ś 2 + 8đ?‘Ľ 3 đ?‘§ 4 ) *4 đ?‘Ž2 đ?‘Ś 4 = (2đ?‘Žđ?‘Ś 2 )2 *64 đ?‘Ľ 6 đ?‘§ 8 = (8đ?‘Ľ 3 đ?‘§ 4 )2 2) 9đ?‘Ľ 2 – 4đ?‘Ś 4 = (3đ?‘Ľ − đ?‘Ś 2 ) ∙ (3đ?‘Ľ + đ?‘Ś 2 ) ObsĂŠrvese que son dos cuadrados perfectos que se estĂĄn restando, por lo que, se trata de una diferencia de cuadrados. Para factorizarlo, se saca la raĂ­z cuadrada de cada uno de los tĂŠrminos; estas raĂ­ces cuadradas se suman y se multiplican por la diferencia de las mismas.

6º Caso: Suma o Diferencia de potencias de igual grado 

La suma de potencias de igual grado de exponente impar es 27

divisible Ăşnicamente por la suma de sus bases. ( đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ž3 ) âˆś ( đ?‘Ľ + đ?‘Ž ) = ( đ?‘Ľ 2 − đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ž2 ) Como se trata de una divisiĂłn exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Luego: ( đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ž3 ) = ( đ?‘Ľ + đ?‘Ž ) ∙ ( đ?‘Ľ 2 − đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ž2 ) 

La diferencia de potencias de igual grado de exponente impar es igual al producto de la diferencia de las bases por el cociente de dividir la primera diferencia por la segunda. ( đ?‘š3 − 27 đ?‘›3 ) = ( đ?‘š − 3 đ?‘›) ∙ ( đ?‘š3 + 3đ?‘šđ?‘› + 9 đ?‘›2 )



La diferencia de potencias de igual grado de exponente par, es divisible por la suma y la diferencia de sus bases ( đ?‘Ľ 6 − đ?‘Ś 6 ) = ( đ?‘Ľ + đ?‘Ś ). ( đ?‘Ľ 5 − đ?‘Ľ 4 đ?‘Ś + đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś 2 – đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 + đ?‘Ľđ?‘Ś 4 − đ?‘Ś 5 ) ( đ?‘Ľ 6 + đ?‘Ś 6 ) = ( đ?‘Ľ − đ?‘Ś ). ( đ?‘Ľ 5 + đ?‘Ľ 4 đ?‘Ś + đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś 2 + đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 + đ?‘Ľđ?‘Ś 4 + đ?‘Ś 5 )



La suma de potencias de igual grado de exponente par no se puede factorear

Ejemplos: Factorear las expresiones, utilizando los distintos casos de factoreo. 1) đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ľ 2 ∙ (đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1) Aplicamos el 1Âş caso de factoreo, sacando factor comĂşn đ?‘Ľ 2 La expresiĂłn đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1 es un trinomio cuadrado perfecto, entonces 28

đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ľ 2 ∙ (đ?‘Ľ − 1)2 2) đ?‘Ž3 − đ?‘Ž2 − đ?‘Ž + 1 = ( đ?‘Ž3 − đ?‘Ž2 ) + (− đ?‘Ž + 1 ) = đ?‘Ž2 (đ?‘Ž − 1) − (đ?‘Ž − 1) = (đ?‘Ž − 1)(đ?‘Ž2 − 1) = (đ?‘Ž − 1) (đ?‘Ž − 1) (đ?‘Ž + 1) 3) 4đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 + 6đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = (4đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 ) + (6đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś) (2đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(2đ?‘Ľ + đ?‘Ś) + 3(2đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ + đ?‘Ś)(2đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 3) Se agrupan los factores de a dos; en el primer factor se aplica 5Âşcaso y en el segundo factor se aplica 1Âş caso. Finalmente se vuelve aplicar 1Âş caso, sacando factor comĂşn (2đ?‘Ľ + đ?‘Ś). Factorear con Geogebra Para factorear un polinomio con Geogebra simplemente hay que introducir, en vista CAS, el comando Factoriza[polinomio] Ejemplo 1: Supongamos que se quiere factorizar, con Geogebra, el polinomio đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž3 − đ?‘Ž2 − đ?‘Ž + 1

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Ejemplo 2: Factorizar con Geogebra las siguientes expresiones. đ?‘Ž) đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 b) 4x 2 − y 2 + 6x + 3y Para cada caso introducimos, en vista CAS, Factoriza [đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 ] y Factoriza[4x 2 − y 2 + 6x + 3y]

Expresiones enteras primas y compuestas Una expresiĂłn algebraica entera se dice prima cuando solo es divisible por si misma y por la unidad, es decir, cuando no puede factorearse. Expresiones que admiten otros divisores distintos de la unidad y de si mismo se llaman compuesta. MCM-MCD de Expresiones Algebraicas El mĂ­nimo comĂşn mĂşltiplo (m.c.m) de dos o mĂĄs expresiones algebraicas enteras, es la menor expresiĂłn algebraica, con respecto a los exponentes y a los coeficiente, que es mĂşltiplo de todas las expresiones dadas.

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Regla: Para hallar el m.c.m de dos o mas expresiones algebraicas enteras, se forma el producto entre los factores primos comunes y no comunes, con su mayor exponente. Ejemplo: Hallar el m.c.m entre 9đ?‘Ž2 − đ?‘Ľ2 ; 9đ?‘Ž2 − 6đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ľ2 đ?‘Ś 3đ?‘Žđ?‘§ − đ?‘Ľđ?‘§ Factoreando cada expresiĂłn se obtiene; 9đ?‘Ž2 − đ?‘Ľ 2 = (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ ) (3đ?‘Ž + đ?‘Ľ ) 9đ?‘Ž2 − 6đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 = (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ )2 3đ?‘Žđ?‘§ − đ?‘Ľđ?‘§ = đ?‘§ (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ) đ?‘€đ?‘?đ?‘š: (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ )2 đ?‘§ (3đ?‘Ž + đ?‘Ľ ) El mĂĄximo comĂşn divisor (mcd) de dos o mas expresiones algebraicas enteras es la mayor expresiĂłn algebraica con respecto a los coeficientes y a los exponentes, que es divisor de cada una de las expresiones dadas. Regla: Para hallar el m.c.d de dos o mas expresiones algebraicas enteras, se forma el producto entre los factores primos comunes a todos ellos, con el menor exponente. Ejemplo: Hallar el m.c.d entre 9đ?‘Ž2 − đ?‘Ľ 2 ; 9đ?‘Ž2 − 6đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3đ?‘Žđ?‘§ − đ?‘Ľđ?‘§ Factoreando cada expresiĂłn se obtiene; 9đ?‘Ž2 − đ?‘Ľ2 = (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ ) (3đ?‘Ž + đ?‘Ľ ) 9đ?‘Ž2 − 6đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 = (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ )2 3đ?‘Žđ?‘§ − đ?‘Ľđ?‘§ = đ?‘§ (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ)

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đ?‘€đ?‘?đ?‘‘: (3đ?‘Ž − đ?‘Ľ ) Encontrar Mcd y Mcm con Geogebra El Mcm y Mcd de expresiones con Geogebra se hallan utilizan los comandos MCD[polinomio,polinomio] MCM[polinomio,polinomio] Ejemplo 1: Encontrar el Mcm y Mcd entre: đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 ; (đ?‘Ž − đ?‘?)2

Si fuesen mas de dos los polinomios, entonces el comando seria: MCD[{lista de polinomios}] MCM[[{lista de polinomios}] Ejemplo 2: Encontrar el mcd y el mcm entre: đ?‘š2 − đ?‘›2 , đ?‘š − đ?‘› y (đ?‘š − đ?‘›)2

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