Geometría del espacio by Rocío González

GEOMETRÍA DEL ESPACIO DEFINICIÓN.- Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos, que se llaman caras del poliedro. Aristas de un poliedro son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas comparten una arista. Vértices de un poliedro son los vértices de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras. Ejemplos.-

PRISMAS. 

Elementos. Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos (llamados bases) y varios paralelogramos (llamados caras laterales). La altura del prisma es la distancia entre las bases. Las aristas laterales de un prisma son segmentos iguales y paralelos entre sí. Vértice Arista lateral

Arista básica

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Clasificación. - Si todas las caras laterales son rectángulos, serán perpendiculares a las bases y entonces se llama prisma recto. En los prismas rectos, las aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Si las caras laterales no son perpendiculares a las bases, se llama prisma oblicuo.

Dependiendo de que las bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos, ... el prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal, ... Los prismas rectos que tienen como bases polígonos regulares se llaman prismas regulares.

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Desarrollo. El desarrollo lateral de un prisma recto es un rectángulo. Su base es el perímetro de la base del prisma. Su altura es la altura del prisma.

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Superficie de un prisma. ÁREA LATERAL = Perímetro de la base  altura ÁREA TOTAL = Área lateral + 2  Área de la base

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Volumen de un prisma. VOLUMEN = Área de la base  altura

PARALELEPÍPEDOS. 

Definición. Un paralelepípedo es un prisma que tiene como bases paralelogramos. Las caras de un paralelepípedo son, todas ellas, paralelogramos. Cada dos caras opuestas son iguales.

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Ortoedro. Un ortoedro es un paralelepípedo en el que la totalidad de sus caras son rectángulos. Un ortoedro queda determinado conociendo las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice. Se llaman dimensiones del ortoedro. El área de un ortoedro se calcula observando que sus caras son tres pares de rectángulos.

ÁREA = 2ab  2ac  2bc

VOLUMEN= a  b  c

CÁLCULO DE LA DIAGONAL DEL ORTOEDRO: Empezamos calculando la diagonal de una cara (l) aplicando el teorema de Pitágoras.

Luego, podemos calcular la diagonal, d, aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo:





d 2  l 2  c2  a2  b2  c2  a2  b2  c2 d c

l d  a2  b2  c2

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Cubo. Un cubo es un ortoedro en el que las tres dimensiones son iguales. Las seis caras del cubo son cuadrados iguales.

ÁREA = 6a 2

VOLUME = a 3

CÁLCULO DE LA DIAGONAL DE UN CUBO: d  3a 2 = 3a

PIRÁMIDES. 

Elementos. Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que se llama vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Las alturas de los triángulos se llaman apotemas de la pirámide.

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Clasificación. Una pirámide es regular cuando la base es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de ese polígono. En una pirámide regular todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La apotema de una pirámide regular es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene como catetos la altura de la pirámide y la apotema del polígono de la base. Las pirámides se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales,... según el polígono de la base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono,...

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Desarrollo de una pirámide regular. Si cortamos a lo largo de algunas aristas de una pirámide regular y extendemos sus caras obtenemos:

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Superficie de una pirámide regular. Perímetro de la base  a l ÁREA LATERAL = , siendo al 2 apotema de la pirámide (altura de la cara lateral). ÁREA TOTAL = Alat  Abase Volumen de una pirámide regular. 1 VOLUMEN =  Área de la base  altura 3

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TRONCOS DE PIRÁMIDE  Elementos. Si cortamos una pirámide por un plano paralelo al de la base, el cuerpo comprendido entre los dos planos se llama tronco de pirámide. Un tronco de pirámide tiene dos bases que son polígonos semejantes. La distancia entre ellas es la altura del tronco. Si la pirámide es regular, al tronco de pirámide correspondiente también se le llama regular. Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales. La altura de cada uno de ellos se llama apotema del tronco de pirámide.

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Desarrollo lateral.

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Área de un tronco de pirámide regular. Suma de los perímetros de las bases ÁREA LATERAL =  apotema 2 siendo la apotema la altura de la cara lateral.

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Volumen de un tronco de pirámide regular. VOLUMEN = V pirámide grande  V pirámide pequeña Nota.- Una pirámide es semejante a cualquier pirámide obtenida al cortarle un tronco de pirámide. POLIEDROS REGULARES 

Definición. Un poliedro se llama regular cuando cumple estas dos condiciones: 1. Sus caras son polígonos regulares idénticos. 2. En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras.

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Tipos de poliedros regulares. - Poliedros con caras triangulares:  Con 3 triángulos en cada vértice.  Con 4 triángulos en cada vértice.  Con 5 triángulos en cada vértice. - Poliedro con caras cuadradas.  Con 3 cuadrados en cada vértice. - Poliedro con caras pentagonales.  Con tres pentágonos en cada vértice.

SĂłlo hay estos cinco tipos de poliedros regulares.

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Desarrollo de los poliedros regulares.

TEOREMA DE EULER Los poliedros que no tienen orificios se llaman simples. Si en un poliedro simple se cuenta el número de caras (c), de vértices (v) y de aristas (a), se cumple la siguiente relación: cva  2 A esta igualdad se le llama fórmula de Euler.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN DEFINICIÓN.- Se llama cuerpo de revolución a los cuerpos geométricos que se engendran haciendo girar una figura plana alrededor de un eje. CILINDROS. 

Elementos. Haciendo girar una recta r alrededor de un eje e paralelo a ella, se engendra una superficie infinita, en forma de tubo, que se llama superficie cilíndrica.

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Clasificación. Cilindro recto o, simplemente, cilindro es la figura que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Si cortamos una superficie cilíndrica por dos planos paralelos no perpendiculares al eje, obtenemos un cilindro oblicuo. En ese caso, sus bases no son círculos, sino elipses.

Nota.- Si es oblicuo y las bases son círculos, entonces el tubo está achatado y no es un cilindro.

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Desarrollo.

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Superficie de un cilindro. ÁREA LATERAL = Perímetro de la base  altura = 2   r  h ÁREA TOTAL = Área lateral + Área de las dos bases = 2   r  h  2   r 2

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Volumen de un cilindro. VOLUME = Área da base × altura

CONOS.  Elementos. Haciendo girar una recta r alrededor de un eje e al cual corta, se engendra una superficie infinita, en forma de dos cucuruchos con vértice común, que se llama superficie cónica.

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Clasificación. La porción de espacio comprendida entre el vértice de una superficie cónica y un plano perpendicular a su eje se llama cono recto o, simplemente, cono. Un cono se puede engendrar haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El segmento g se llama generatriz. 11

Si cortamos una superficie cónica por un plano no perpendicular al eje, obtenemos un cono oblicuo. Pero su base no es un círculo, sino una elipse.

Nota.- Si es una figura oblicua y tiene la base circular, entonces no es un cono, pues no se obtiene de una superficie cónica.

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Desarrollo de un cono recto.

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Superficie de un cono recto. perímetro de la base  generatriz ÁREA LATERAL = 2 2r  g =  rg 2 ÁREA TOTAL = Área lateral + Área dela base = rg  r 2

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Volumen de un cono recto. 1 VOLUMEN = Área da base  altura 3

TRONCOS DE CONO 

Elementos. Si cortamos un cono por un plano paralelo al plano de la base, el cuerpo geométrico comprendido entre los dos planos se llama tronco de cono.

El tronco de cono es un cuerpo de revolución que se engendra haciendo girar un trapecio rectángulo alrededor de su altura. Tiene dos bases circulares. La altura es la distancia entre las bases, y la generatriz es el segmento que engendró la superficie lateral.

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Desarrollo de un tronco de cono.

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Superficie del tronco de cono. ÁREA LATERAL =   r  r '  g ÁREA TOTAL = Área lateral + Área de las dos bases =   r  r '  g  r 2  r ' 2

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Volumen del tronco de cono. VOLUMEN = Vcono grande  Vcono pequeno

Nota.- Un cono es semejante a cualquier cono obtenido al cortarle un tronco de cono.

ESFERA 

Elementos. La esfera se engendra haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La esfera queda determinada por su radio, r.

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Superficie de una esfera. La superficie de la esfera se llama superficie esférica. Sólo se puede desarrollar sobre el plano aproximadamente. ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA = 4    r 2 Por lo tanto, el área de la superficie esférica es igual al área lateral del cilindro que envuelve a la esfera. Y lo mismo ocurre con las superficies de ambos cuerpos comprendidas entre secciones planas paralelas.

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Volumen de una esfera. 4 VOLUME =    r 3 3

FIGURAS ESFÉRICAS Se obtienen al cortar la superficie esférica con uno o más planos.  Casquete esférico: cada una de las partes que se forman en la superficie esférica al cortarla por un plano. Su área es: Acasquete  2rh

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Zona esférica: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos. Su área se calcula con la fórmula: Azona  2rh

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Huso esférico: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos secantes que pasan por el centro de la esfera. Su área es: 4r 2 Ahuso  360

PRINCIPIO DE CAVALIERI Experiencia.- Toma 10 monedas iguales. Coloca unas sobre otras verticalmente; obtienes un cilindro. Luego deforma el montón pero manteniendo el equilibrio de las monedas. Los montones tienen el mismo volumen (ocupan el espacio de 10 monedas) aún que no la misma forma. -

Si dos cuerpos tienen la misma altura y a cortarlos por planos paralelos a sus bases se obtienen figuras con la misma área, entonces tienen el mismo volumen.