Kosyvas_Κανονιότητες

Θέμα: Οι κανονικότητες στο νέο Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών του Γυμνασίου Δρ Γιώργος Κόσυβας Περιφερειακός Διευθυντής Εκπαίδευσης Αττικής

Δομή παρουσίασης • Τι είναι κανονικότητα; • Άλγεβρα και γενίκευση κανονικοτήτων.

• Διδασκαλία των κανονικοτήτων και δυσκολίες των μαθητών στην παραγωγή γενικεύσεων.

• Οι κανονικότητες στο νέο ΠΣ Μαθηματικών του Γυμνασίου.

• Ένα παράδειγμα διδακτικής προσέγγισης μιας κανονικότητας με δεδομένα από σχολικές τάξεις.

• Συμπεράσματα.

2

Τι είναι κανονικότητα; • Η λέξη “κανονικότητα” αποδίδει το περιεχόμενο του αγγλικού όρου pattern και αναφέρεται στον κανόνα που διέπει μια κατάσταση ή ένα φαινόμενο.

• Ο κανόνας ορίζει μια ακολουθία και μας βοηθά να προσδιορίζουμε τους όρους της. Μια συλλογή αριθμών με ορισμένη διάταξη που σχηματίζουν μια κανονικότητα ονομάζεται ακολουθία.

• Κανονικότητα είναι η σχέση ή ο κανόνας που ανακαλύπτουμε σε ένα σύνολο αριθμών, εικόνων ή σχημάτων, χειραπτικών ή ψηφιακών αντικειμένων.

3

Αριθμητική κανονικότητα Μαθηματικά έργα κανονικοτήτων με αριθμούς: 2, 4, 6, 8, ….

5, 9, 13, 17,… 𝟓

𝟓

𝟏𝟓

𝟐

𝟐

𝟐

-5, − , 0, , 5,

, ...

4

Εικονιστική κανονικότητα Η εικονιστική κανονικότητα αναφέρεται στον κανόνα με τον οποίο σχηματίζονται ακολουθίες συλλογών από εικόνες. Μαθηματικό Έργο: Θεωρούμε μια ακολουθία σπιρτοσχημάτων από τετράγωνα. Το 1ο σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο, το 2ο από δύο τετράγωνα και η σειρά συνεχίζεται κανονικά…. .

5

Ανεικονική κανονικότητα Η ανεικονική κανονικότητα παραπέμπει σε διακεκριμένα ανεικονικά σχήματα όπως κουκκίδες ή τετραγωνάκια. Μαθηματικό Έργο: Θεωρούμε μια ακολουθία σχημάτων από τετραγωνάκια που μετά από το 1ο σχηματίζουν τους «Γνώμονες του Πυθαγόρα». Η σειρά συνεχίζεται κανονικά….

6

Συγκεκριμένη (χειραπτική) κανονικότητα Οι μαθητές παρατηρούν τις μεταβολές από όρο σε όρο της ακολουθίας, διαπιστώνουν σχέσεις και ανακαλύπτουν κανονικότητες.

1ο

2

2

2ο

3ο

2+1×4 2+2×4

6

10

4ο…

2+3×4 …

14…

Αναδρομικός κανόνας: «κάθε φορά προσθέτουμε 4» Γενικός κανόνας: για να βρίσκουμε την τιμή οποιουδήποτε όρου, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό της τάξης ν επί 4 και προσθέτουμε 2:

4×ν+2 7

Κανόνας για την περιγραφή της δομής • Σύμφωνα με την έρευνα, οι κανόνες που κατασκευάζουν οι μαθητές προσλαμβάνουν κυρίως δύο μορφές: αναδρομική (recursive) και συναρτησιακή (functional).

• Στη βιβλιογραφία, η φράση αναδρομικός κανόνας (recursive rule) γενικά νοείται ότι χρησιμοποιείται για να αναφερθεί στον κανόνα που επιτρέπει τον υπολογισμό του επόμενου όρου μιας ακολουθίας χρησιμοποιώντας τον άμεσο όρο που προηγείται.

• Από την άλλη πλευρά, ο συναρτησιακός κανόνας νοείται ως ο κανόνας που εκφράζεται ως τη συνάρτηση που υπολογίζει τον όρο άμεσα χρησιμοποιώντας τη θέση του στην ακολουθία.

Αναπαράσταση μιας αριθμητικής κανονικότητας (ακολουθίας) Στην έρευνα των κανονικοτήτων διερευνήθηκαν τα διαφορετικά στάδια συλλογισμού των μαθητών: συγκεκριμένο, λεκτικό, συμβολικό. Οι αναπαραστάσεις αποτελούν εργαλεία που διευκολύνουν την εγκαθίδρυση δεσμών ανάμεσα στην καθημερινή πραγματικότητα και τον κόσμο των μαθηματικών.

(Post & Cramer, 1989, p. 223)

9

Διερεύνηση κανονικοτήτων και ανακάλυψη σχέσεων • Η διερεύνηση κανονικοτήτων που παριστάνονται με χειραπτικό, εικονιστικό, ανεικονικό ή ψηφιακό υλικό βοηθά στην ανακάλυψη και κατανόηση των σχέσεων που υπάρχουν ανάμεσα στα συγκεκριμένα ή οπτικά αντικείμενα και τους αριθμούς καθώς επίσης και ανάμεσα στους ίδιους τους αριθμούς.

• Η διερεύνηση αριθμητικών ακολουθιών επιτρέπει την αναγνώριση και αιτιολόγηση της κανονικότητας και των σχέσεων που υπάρχουν ανάμεσα στους όρους που την συνθέτουν.

• Ο βασικός διδακτικός στόχος της κανονικότητας είναι η αναγνώριση από τους μαθητές της αξίας του γενικού αλγεβρικού τύπου, ακόμα κι αν με αναδρομικές στρατηγικές μπορούν να βρεθούν μερικοί όροι. 10

Στρατηγικές για τη γενίκευση κανονικοτήτων Ερευνητικά ευρήματα: (α) η απαρίθμηση των στοιχείων συγκεκριμένων όρων μιας εικονιστικής κανονικότητας· (β) η αναδρομικότητα (εντοπισμός της κοινής διαφοράς ανάμεσα σε ζεύγη διαδοχικών όρων και η χρησιμοποίησή της στην επέκταση του μοτίβου)· (γ) ο πολλαπλασιασμός της κοινής διαφοράς δύο διαδοχικών όρων με το πλήθος των βημάτων σε ένα τμήμα του μοτίβου και πρόσθεση· (δ) η συναρτησιακή (σύνδεση μερών του μοτίβου με τον αριθμό του βήματος)· (ε) η στρατηγική του πλήρους αντικειμένου που περιλαμβάνει τον προσδιορισμό της τιμής του όρου με τη χρήση πολλαπλασίων του προηγούμενου όρου ή με την πρόσθεση δύο προηγούμενων όρων.

Κανονικότητες και άλγεβρα • Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των κανονικοτήτων και της τάξης. Η παρατήρηση των κανονικοτήτων καλλιεργεί τη διατύπωση και την αξιολόγηση εικασιών (Schoenfeld, 1992).

• Η διερεύνηση προτύπων, σχέσεων και συναρτήσεων είναι κεντρικό θέμα στην άλγεβρα (NTCM, 2000) • Ο αλγεβρικός συλλογισμός αποτελείται από μορφές γενίκευσης μαθηματικών ιδεών με αφετηρία ένα σύνολο ειδικών περιπτώσεων. Τα γνωρίσματα αυτά υπερέχουν στις κανονικότητες (Rivera & Becker, 2008).

Δυσκολίες των μαθητών στην άλγεβρα • Η βεβιασμένη και εκτεταμένη χρήση αλγεβρικών συμβόλων οδηγεί πολλούς μαθητές να ταυτίζουν την άλγεβρα με τα σύμβολα και τους συμβολικούς χειρισμούς.

• Πρέπει να δοθεί χρόνος στους μαθητές να εξοικειωθούν με τις θεμελιώδεις διαδικασίες της αναγνώρισης κανονικοτήτων και σχέσεων και της λεκτικής διατύπωσής τους οι οποίες θα αποτελέσουν το κατάλληλο υπόβαθρο για τη συστηματική, στη συνέχεια, μελέτη των αλγεβρικών ιδεών.

• Η ενασχόληση των μαθητών με αυτό το πεδίο μπορεί να βοηθήσει στην καλλιέργεια της μαθηματικής σκέψης (διερεύνηση, εικασία, μοντελοποίηση) και να αποτελέσει ένα σημείο εισαγωγής στις συναρτήσεις και την άλγεβρα.

13

Διδασκαλία των κανονικοτήτων και δυσκολίες των μαθητών στην παραγωγή γενικεύσεων • Σύμφωνα με την έρευνα ή επίτευξη γενίκευσης με την παραγωγή ενός γενικού τύπου δεν είναι απλή υπόθεση (Lannin, 2005).

• Έχει επισημανθεί ότι η προσκόλληση σε αναδρομικές προσεγγίσεις ή σε ανακριβείς αναλογικούς συλλογισμούς αποτρέπει τους μαθητές από τον προσδιορισμό της γενικής δομής των patterns.

• Ενώ οι μαθητές είναι ικανοί να παρατηρούν τη δομή του μοτίβου και να το περιγράφουν λεκτικά, παρουσιάζουν δυσκολίες στη δημιουργία του κανόνα και την αλγεβρική διατύπωση.

14

Οι κανονικότητες στα διεθνή Προγράμματα Σπουδών • Οι κανονικότητες (μοτίβα) αποτελούν μέρος των περισσότερων Προγραμμάτων Σπουδών των Μαθηματικών στον κόσμο.

• Υποστηρίζεται ότι τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη των patterns, οι κανονικότητες είναι ο συνδετικός κρίκος ανάμεσα στην αριθμητική και την άλγεβρα και ο ακρογωνιαίος λίθος του αλγεβρικού συλλογισμού.

• Η επιτυχία στην άλγεβρα απαιτεί ικανότητα διερεύνησης και δημιουργίας κανονικοτήτων και συμβολικής γενίκευσης αυτών. Οι μαθητές καταγίνονται με την επίλυση προβλημάτων τα οποία συναντούν στα Μαθηματικά και την καθημερινή ζωή με κανονικότητες, ανακαλύπτουν τον κανόνα και τον εκφράζουν λεκτικά ή αλγεβρικά χρησιμοποιώντας κατάλληλο συλλογισμό (π. χ. διατύπωση και αξιολόγηση εικασιών, προβολή επιχειρηματολογίας, αιτιολόγηση).

15

Οι κανονικότητες στο καναδικό ΠΣ «Ένα από τα σημαντικότερα θέματα των μαθηματικών είναι η μελέτη κανονικοτήτων και σχέσεων. Αυτή η δραστηριότητα απαιτεί από τους μαθητές να αναγνωρίζουν, να περιγράφουν και να γενικεύουν κανονικότητες σε φαινόμενα του πραγματικού κόσμου και να οικοδομούν μαθηματικά μοντέλα που τους επιτρέπουν να προβλέπουν την εξέλιξη αυτών των φαινομένων. Η εξερεύνηση των κανονικοτήτων βοηθά τους μαθητές να ενισχύουν τις ικανότητές τους στα μαθηματικά και τους επιτρέπει να εκτιμούν την αισθητική τους ποιότητα».

(Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2005, p. 10) 16

Οι κανονικότητες στο αμερικανικό ΠΣ «Στις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου συντελούνται οι αρχικές απόπειρες εξερεύνησης, αναγνώρισης, επέκτασης και δημιουργίας ακολουθιών και οι μαθητές αρχίζουν να κάνουν γενικεύσεις και να βρίσκουν μαθηματικές σχέσεις. Πρέπει να βιώσουν ποικίλες εμπειρίες με ακολουθίες με τη βοήθεια συγκεκριμένου υλικού για μια μακρά χρονική περίοδο, πριν προχωρήσουν με πιο αφηρημένο τρόπο στις επόμενες τάξεις. Οι μαθητές πρέπει να έχουν ευκαιρίες να παρατηρήσουν μοτίβα σε καθημερινά γεγονότα, σε μορφές, σε σχήματα και σε σύνολα αριθμών που θα τους ωθήσουν να δουν ότι οι κανονικότητες είναι κινητήρια δύναμη των μαθηματικών».

(National Council of Teachers of Mathematics, 1992a, p. 60) 17

Είδη Αλγεβρικής Σκέψης Η έρευνα προτείνει τρεις άξονες αλγεβρικού συλλογισμού, που όλες οδηγούν τις κεντρικές έννοιες της γενίκευσης και του συμβολισμού.

• Μελέτη δομών στο αριθμητικό σύστημα.

• Μελέτη κανονικοτήτων, σχέσεων και συναρτήσεων.

• Διαδικασία μαθηματικής μοντελοποίησης, συμπεριλαμβανομένης της χρήσης συμβόλων με νόημα.

Πίνακες με ιδιότητες των αριθμών Οι βασικές έννοιες που εμπλέκονται στην τροχιά της Άλγεβρας, συνδέονται με μια διευρυμένη οπτική του εννοιολογικού πεδίου της αριθμητικής.

1+8=9 2+7=9 3+6=9

1 x 36 = 36 2 x 18 = 36 3 x 12 = 36

Εφόσον το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης χτίζεται με προβλέψιμες κανονικότητες, οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί όχι μόνο να προσδιορίζουν τις κανονικότητες που βλέπουν, αλλά επίσης να μπορούν να αιτιολογούν τον συλλογισμό τους και να εξηγούν γιατί αυτές κανονικότητες υπάρχουν.

Συνδέοντας αριθμούς και Άλγεβρα: Η αναζήτηση γενίκευσης ξεκινά νωρίς με την ανάλυση των αριθμών Παράδειγμα: Σε μια ανθοδέσμη υπάρχουν 15 άνθη, τριαντάφυλλα και γαρύφαλλα. Πόσα μπορεί να είναι τα τριαντάφυλλα και πόσα τα γαρύφαλλα; • Πόσες δυνατότητες έχουμε για το πρόβλημα με τα 15 άνθη; • Τι θα γινόταν αν είχαμε ν άνθη; • Αν από τα 15 άνθη τα x ήταν γαρύφαλλα, τότε πόσα θα ήταν τα τριαντάφυλλα;

𝟓 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓 ! 𝟔 + 𝟗 = 𝟏𝟓 𝟕 + 𝟖 = 𝟏𝟓 𝟏 + (𝝂 − 𝟏) = 𝝂 !𝟐 + (𝝂 − 𝟐) = 𝝂 𝟑 + (𝝂 − 𝟑) = 𝝂

Γαρύφαλλα: x Τριαντάφυλλα: 15-x

Συνδέοντας αριθμούς και Άλγεβρα: Γενίκευση με αριθμητικές πράξεις Έστω 5 x 3 και 3 x 5. Σε τι διαφέρουν; Σε τι είναι τα ίδια; Θα ισχύει πάντα 5x3=3x5;

• Στην άλγεβρα οι μαθητές καταλήγουν ευκολότερα σε μια γενίκευση όταν διατυπώνουν εικασίες. Εικασία είναι η διατύπωση μιας ιδέας που ισχύει πάντα.

• Όταν σε μια ορθογώνια διάταξη αντικειμένων σε γραμμές και στήλες, οι μαθητές υποθέτουν ότι αλλάζοντας τη σειρά των όρων κατά τον πολλαπλασιασμό δεν επηρεάζεται το γινόμενο, κάνουν μια εικασία.

• Ισχύει 35 x 52=52 x 35; Τι ισχύει γενικά;

Άλγεβρα και γενίκευση κανονικοτήτων στο νέο ΠΣΜ του Γυμνασίου • Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών του Γυμνασίου άλλαξε την καθιερωμένη αντίληψη ότι η άλγεβρα είναι μια τυπική δομή και έδωσε προτεραιότητα στη μελέτη των κανονικοτήτων και των σχέσεων.

• Η Αλγεβρα διευκολύνει τους μαθητές να παριστάνουν μαθηματικές ιδέες με συντομία, ακρίβεια και σαφήνεια. Η δύναμη της άλγεβρας συνδέεται με αναπαράσταση καταστάσεων με διαφορετικούς τρόπους και τη μοντελοποίηση προβλημάτων.

• Η αλγεβρική γλώσσα περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: σχέσεις που παριστάνονται με σύμβολα, αγνώστους και μεταβλητές, καθώς επίσης τη γενίκευση των κανονικοτήτων.

22

Έμφαση στη διερεύνηση και την αλγεβρική κατανόηση • Η άλγεβρα είναι κάτι περισσότερο από ένα σύνολο κανόνων για τον χειρισμό συμβόλων, είναι ένας τρόπος σκέψης.

• Σύμφωνα με το νέο ΠΣΜ Γυμνασίου οι μαθητές θα πρέπει να διερευνήσουν τη φύση της άλγεβρας προτού βυθιστούν στον αλγεβρικό χειρισμό. Η κεντρική δομή που υιοθετείται είναι: κανονικότητες / συναρτήσεις, αλγεβρικές παραστάσεις, ισότητες/ ανισότητες.

• Δίνεται βαρύνουσα σημασία στην ανάπτυξη της κατανόησης των μεταβλητών, των παραστάσεων και των εξισώσεων και την παρουσίαση άτυπων μεθόδων επίλυσης εξισώσεων.

• Η έμφαση στο χειρισμό συμβόλων και την εξάσκηση στη λύση εξισώσεων μειώνεται.

23

Οι κανονικότητες στο νέο Πρόγραμμα Σπουδών ΠΜΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αλ.Κ.7.1. Αναγνωρίζουν, συγκρίνουν, περιγράφουν κανονικότητες και τις εκφράζουν ως αριθμητικές κανονικότητες με φυσικούς αριθμούς. Αλ.Κ.7.2. Συμπληρώνουν επεκτείνουν και δημιουργούν αριθμητικές κανονικότητες με φυσικούς αριθμούς Αλ.Κ.7.3. Κατασκευάζουν κανονικότητες που εκφράζουν ακολουθίες φυσικών αριθμών με σταθερή διαφορά. Αλ.Κ.7.4. Αναπαριστούν κανονικότητες με διάφορους τρόπους όπως εικόνες ή γεωμετρικά σχήματα, πίνακες τιμών και σημεία σε σύστημα αξόνων και μεταβαίνουν από τη μία αναπαράσταση στην άλλη. Αλ.Κ.7.5. Διερευνούν κανονικότητες που μπορούν να εκφραστούν στη μορφή α.ν (με α ρητό και ν τη σειρά του όρου) και διατυπώνουν τον γενικό τους όρο λεκτικά και συμβολικά. Αλ.Κ.7.6. Λύνουν προβλήματα που συναντούν στα Μαθηματικά και την καθημερινή ζωή με κανονικότητες.

Εκφώνηση έργου κανονικότητας για την Α΄ τάξη Μαθηματικό έργο: Δίνονται οι παρακάτω ακολουθίες φυσικών αριθμών: 2, 4, 6, 8, ….

3, 6, 9, 12, ….

5, 10, 15, 20,

-7, -14, -21, -28,

(α) Με ποιον τρόπο σε κάθε ακολουθία αν γνωρίζουμε έναν όρο μπορούμε να βρίσκουμε τον επόμενο; (β) Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τον 99ο όρο για να βρούμε τον 100ο. Να αιτιολογήσετε; (γ) Να βρείτε έναν γενικό κανόνα με τον οποίο θα μπορούμε να βρίσκουμε οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας αν γνωρίζουμε κάθε φορά τη θέση του, δηλ. 1ος, 2ος, 3ος, … νος όρος. Ποιος είναι ο τύπος του γενικού όρου συναρτήσει του ν και γιατί λειτουργεί; 25

Οι κανονικότητες στο νέο Πρόγραμμα Σπουδών ΠΜΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αλ.Κ.8.1.Λύνουν προβλήματα που συναντούν στα Μαθηματικά και την καθημερινή ζωή με κανονικότητες της μορφής 𝜶 " 𝝂 + 𝜷 όπου α και β ρητοί αριθμοί. Αλ.Κ.8.2. Διατυπώνουν επιχειρήματα και αιτιολογούν τους συλλογισμούς τους σχετικά με τον προσδιορισμό μιας κανονικότητας.

ΠΜΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αλ.Κ.9.1. Διερευνούν μαθηματικές κανονικότητες και τις εκφράζουν με αλγεβρικές παραστάσεις της μορφής y=αν2, α>0.

Εκφώνηση έργου κανονικότητας για την Β΄ τάξη Μαθηματικό Έργο : Θεωρούμε μια ακολουθία σπιρτοσχημάτων από τετράγωνα. Το 1ο σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο, το 2ο από δύο τετράγωνα και η σειρά συνεχίζεται κανονικά.

(1o)

(2o)

(3o)

(α) Πόσα σπιρτόξυλα υπάρχουν στο 4ο σχήμα; Αν συνέχιζες το μοτίβο πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαζόσουν για να δημιουργήσεις το 8ο σχήμα; (β) Θα σου έπαιρνε πολύ χρόνο για να φτιάξεις ή να σχεδιάσεις το 100ο σχήμα. Να περιγράψεις έναν σύντομο τρόπο για την εύρεση του αριθμού των σπιρτόξυλων του 100ου σχήματος. (γ) Να γράψεις έναν κανόνα για την εύρεση του αριθμού των σπιρτόξυλων που χρειάζονται για 28 κάθε σχήμα, και να εξηγήσεις γιατί αυτός λειτουργεί;

Εκφώνηση έργου κανονικότητας για την Β΄ τάξη Ενδεικτικό Έργο 1: Δίνεται η ακολουθία (κανονικότητα) των αριθμών: 𝟓

𝟓

𝟏𝟓

𝟐

𝟐

𝟐

-5, − , 0, , 5,

, ...

(α) Να βρείτε τον 10ο όρο της. (β) Να βρείτε τον 100ο όρο της. (γ) Να βρείτε έναν γενικό κανόνα με τον οποίο θα μπορούμε να βρίσκουμε κάθε όρο της ακολουθίας. [Σχόλιο: Ο στόχος του έργου, το οποίο παρουσιάζεται σε αριθμητικό πλαίσιο, είναι η αναγνώριση από τους μαθητές της κανονικότητας και η εύρεση ενός αλγεβρικού τύπου με τον οποίο παράγονται όλοι οι όροι της.]

29

Εκφώνηση έργου κανονικότητας για την Β΄ τάξη Πρόβλημα: Ο Γιάννης θέλει να αποκτήσει ένα παιχνίδι, αλλά δεν έχει αρκετά χρήματα στον κουμπαρά του. Οι γονείς του αποφάσισαν να του δίνουν κάθε εβδομάδα το ίδιο ποσό χρημάτων και να το βάζουν στον κουμπαρά του. Ο Γιάννης για να υπολογίζει το ποσό που θα συγκεντρώνεται στον κουμπαρά του, δημιούργησε τον ακόλουθο πίνακα τιμών: Αριθμός εβδομάδων

1

2

3

4

5

Ποσό στον κουμπαρά (ευρώ)

5

9

13

17

21

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ: • Ποιο ποσό χρημάτων θα έχει ο Γιάννης την 5η εβδομάδα; (την 10η;) • Μετά από πόσες εβδομάδες ο Γιάννης θα έχει στον κουμπαρά αρκετά χρήματα για να αγοράσει ένα βιντεοπαιχνίδι που κάνει 45 ευρώ; • Πώς μπορεί να παρασταθεί η σχέση ανάμεσα στο πλήθος των εβδομάδων και το χρηματικό ποσό που θα έχει κάθε φορά ο κουμπαράς;

Εκφώνηση έργου κανονικότητας για την Γ΄ τάξη Μαθηματικό Έργο 5: Θεωρούμε μια ακολουθία σχημάτων από τετραγωνάκια που μετά από το 1ο σχηματίζουν τους «Γνώμονες του Πυθαγόρα». Η σειρά συνεχίζεται κανονικά.

1ο

2ο

3ο

4ο

(α) Πόσα τετραγωνάκια έχει το 7ο και πόσα το 100ο σχήμα; (β) Να βρείτε έναν τύπο που να δίνει άμεσα τον αριθμό των τετραγώνων που χρειάζονται στο νιοστό σχήμα με δύο διαφορετικούς τρόπους. Να αιτιολογήσετε κάθε τύπο. (γ) Πόσα τετράγωνα έχει το άθροισμα των πρώτων 100 σχημάτων;

32

Εκφώνηση έργου κανονικότητας για την Γ΄ τάξη Μαθηματικό έργο: Θεωρούμε την παρακάτω σειρά μη καλυπτόμενων τετραγώνων.

(1)

( 2)

( 3)

( 4)

(α) Πόσα τετράγωνα θα έχει το σχήμα 5; Να σχεδιάσετε και να εξηγήσετε. (β) Πόσα τετράγωνα θα έχει το σχήμα 100 ; Να εξηγήσετε. (γ) Να βρείτε ένα τύπο για το συνολικό αριθμό τετραγώνων του σχήματος ν. Να εξηγήσετε πώς βρήκατε την απάντησή σας; 33

Μία στρατηγική επίλυσης του προβλήματος

34

Διαφορετικές στρατηγικές επίλυσης • Στο προηγούμενο πρόβλημα η ποικιλία ιδεών των μαθητών παρέχει στον εκπαιδευτικό ευκαιρίες να τους ζητήσει να αιτιολογήσουν τις διαφορετικές απαντήσεις τους, να υποστηρίξουν βιώσιμα επιχειρήματα και να κρίνουν τον συλλογισμό των άλλων.

• Η Άλγεβρα διδάσκεται συχνά μέσω χειρισμού συμβόλων, ωστόσο η νευροεπιστήμη δείχνει ότι οι μαθητές επωφελούνται όταν προσεγγίζουν το περιεχόμενο με διαφορετικούς τρόπους.

• Όταν οι μαθητές συνδυάζουν οπτικές εικόνες και λέξεις, με αριθμούς και αλγεβρικά σύμβολα αναπτύσσουν πλούσιες εγκεφαλικές συνδέσεις.

35

Το πρόβλημα Πρόβλημα: Η ιδιοκτήτρια ενός εστιατορίου προσπαθεί να βρει τρόπο να τοποθετήσει τα μικρά τετράγωνα τραπέζια, ώστε να έχει όσο το δυνατό περισσότερες θέσεις για μεγάλες παρέες. Όλα τα τραπέζια είναι ίδια τετράγωνα και όταν τοποθετηθούν το ένα δίπλα στο άλλο σχηματίζουν ένα μεγάλο ορθογώνιο. Το ένα τραπέζι φιλοξενεί τέσσερις πελάτες. Τα δύο τοποθετημένα τραπέζια δίπλα δίπλα φιλοξενούν έξι πελάτες και τα τρία οκτώ.

(α) Να βρείτε πόσους πελάτες φιλοξενούν τα 6 τραπέζια στη σειρά; (β) Να βρείτε έναν κανόνα που να δίνει για κάθε σχήμα τη σχέση που έχει ο αριθμός των πελατών με τον αριθμό των τραπεζιών και να εξηγήσετε γιατί αυτός λειτουργεί; (γ) Πόσα τραπέζια θα χρειαστεί να ενωθούν για να καθίσει μια παρέα 34 ατόμων;

36

Στρατηγική δόμησης: 2 + 2ν, 4+2(ν-1) ή ν+ν+2 Ε1.: Πολλοί από σας λύσατε το πρόβλημα της κανονικότητας στα τετράδιά σας. Αν ξέρουμε πόσους πελάτες έχει ένα τραπέζι, πώς μπορούμε να βρούμε πόσους πελάτες θα έχει το επόμενο τραπέζι; Μ1_7: Το πρώτο μικρό τραπέζι έχει 4 πελάτες, το 2ο έχει 6 πελάτες, το 3ο 8 και το 6ο 14. Ε1.: Λοιπόν έχουμε: 4, 6, 8, 10, 12, 14, … (γράφει στον πίνακα). Μπορείτε να αναλογιστείτε τι παραμένει το ίδιο και τι αλλάζει στην κανονικότητα από τον ένα όρο στον επόμενο; ….

Μ1_5: Το ίδιο συμπέρασμα έβγαλα κι εγώ με λόγια: «κάθε φορά προσθέτουμε δύο πελάτες».

37

Στρατηγική δόμησης: 2 + 2ν, 4+2(ν-1) ή ν+ν+2 Ε1.: Οδηγηθήκατε στον κανόνα ότι «κάθε φορά προσθέτουμε δύο πελάτες». Σας βοηθάει αυτός ο κανόνας να βρίσκετε πόσους πελάτες έχει κάθε όρος; …….. Μ1_10: […] Όμως για να βρούμε πόσους πελάτες χωράει το 100ό τραπέζι πρέπει να βρούμε πόσους πελάτες χωράει καθένα από τα προηγούμενα τραπέζια… Πρέπει να κάνουμε πολλές πράξεις. Πρέπει να προσθέσουμε πολλές φορές δύο-δύο. …… Ε1.: Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε κάθε φορά τον προηγούμενο όρο για να βρίσκουμε τον επόμενο; ….. Ε1.: Ποιος είναι ο ζητούμενος γενικός τύπος για να αποφασίζει κάθε φορά η ιδιοκτήτρια του καταστήματος ποιος είναι ο αριθμός των πελατών για ν τραπέζια; ….. Ε1.: Μπορείτε από ένα μικρό πλήθος όρων να βρείτε τον κανόνα σχηματισμού όλων των όρων και να προβλέπετε το πλήθος των πελατών για οποιονδήποτε αριθμό τραπεζιών;

2 + 2ν

38

Στρατηγική δόμησης: 2 + 2ν, 4+2(ν-1) ή ν+ν+2 «Μεταφέρουμε τον τελευταίο πελάτη στο πρώτο τραπέζι, οπότε έχουμε 4 πελάτες. Μένουν ν-1 τραπέζια από δύο πελάτες».

«Μπορούμε να χωρίσουμε κάθε τραπέζι σε δύο μέρη: στο μέρος που μένει το ίδιο και στο μέρος που μεγαλώνει. Το μέρος που μένει το ίδιο είναι οι 4 πελάτες και το μέρος που αλλάζει είναι ο πολλαπλασιασμός των (6-1) τραπεζιών με το 2».

4+2(ν-1) 39

Στρατηγική δόμησης: 2 + 2ν, 4+2(ν-1) ή ν+ν+2

«Στη μια πλευρά του ορθογώνιου τραπεζιού κάθονται ν πελάτες και στην απέναντι πλευρά επίσης ν. Δύο ακόμα πελάτες κάθονται στις ακρινές καρέκλες. Έτσι βρίσκουμε: ν+ν+2 πελάτες».

40

Στρατηγική αποδόμησης: 4ν-(ν-1)·2

4·4-(4-1)·2 Σύμφωνα με αυτόν τον τρόπο από τα γειτονικά τραπέζια που συνενώνονται και σχηματίζουν ένα μεγάλο ορθογώνιο, απομακρύνονται τα ενδιάμεσα αλληλεπικαλυπτόμενα ζεύγη πελατών.

4ν-(ν-1)·2

41

Στρατηγική αναδόμησης: 2(ν+1) :

«Μπορούμε να φανταστούμε ένα τραπέζι ακόμα. […]. Στη νέα τραπεζαρία

οι πελάτες κάθονται μόνο απέναντι σε κάθε τραπέζι, ενώ στις ακρινές θέσεις δεν υπάρχουν πελάτες. Έτσι, όσοι πελάτες κάθονται στα ν τραπέζια, οι ίδιοι θα καθίσουν και στα ν+1 τραπέζια. Οπότε όλοι οι πελάτες θα είναι: 2·(ν+1)… Μιλά το ίδιο το σχήμα».

42

Ισοδυναμία των διαφορετικών τύπων Ποιος από τους παρακάτω κανόνες είναι ο σωστός; ν+ν+2, 2(ν+1), 4ν-(ν-1)·2, 2+2ν Ε2: Βάλτε σε κάθε αλγεβρική παράσταση ν=100. Τι παρατηρείτε; Μ2_7: Βρήκα το αποτέλεσμα 202 σε όλους τους κανόνες! Μ2_8: Κι εγώ βρήκα 202! …… Ε2: Πώς είναι δυνατόν από διαφορετικές αλγεβρικές παραστάσεις να προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα για μια ορισμένη τιμή του ν; 43

Ισοδυναμία των διαφορετικών τύπων • ν+ν+2=2ν+2, • 2(ν+1)=2ν+2 και • 4ν-(ν-1)·2=4ν-2ν+2=2ν+2. Με τον τρόπο αυτό οι μαθητές που έλαβαν μέρος στις δύο Πειραματικές Διδασκαλίες απέκτησαν μια πρώτη γνωριμία για τις ισοδύναμες αλγεβρικές παραστάσεις, τη γενίκευση και την αιτιολόγηση. Η αιτιολόγηση δείχνει την πραγματική χρησιμότητα της άλγεβρας.

44

Αναδρομικός ή γενικός συλλογισμός; • Για να βρούμε τον 100ό όρο θα πρέπει αργοδιαβαίνοντας να περάσουμε από όλους τους προηγούμενους όρους της ακολουθίας.

• Είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε κάθε φορά τον προηγούμενο όρο για να βρίσκουμε τον επόμενο; Αναδρομικός συλλογισμός: «κάθε φορά προσθέτουμε δύο πελάτες».

• Γενικός κανόνας της κανονικότητας: y=2ν+2. Ο γενικός όρος εκφράζεται ως συνάρτηση της θέσης του.

45

Αναδρομικός ή γενικός συλλογισμός; • Μ1_15: Μισό! Δεν συμφωνώ με αυτό που κάνετε. Δεν πιστεύω ότι ο κανόνας [2ν+2] θα ισχύει πάντοτε. Μπορεί να ισχύει για μερικούς αριθμούς, αλλά μπορεί να μην ισχύει για μερικούς άλλους.

• Ερώτημα: Σε τι συνίσταται μια έγκυρη γενίκευση;

46

Παράδειγμα προσέγγισης προβλήματος Πρόβλημα: Η ιδιοκτήτρια ενός εστιατορίου προσπαθεί να βρει τρόπο να τοποθετήσει τα μικρά τετράγωνα τραπέζια, ώστε να έχει όσο το δυνατό περισσότερες θέσεις για μεγάλες παρέες. Όλα τα τραπέζια είναι ίδια τετράγωνα και όταν τοποθετηθούν το ένα δίπλα στο άλλο σχηματίζουν ένα μεγάλο ορθογώνιο. Το ένα τραπέζι φιλοξενεί τέσσερις πελάτες. Τα δύο τοποθετημένα τραπέζια δίπλα δίπλα φιλοξενούν έξι πελάτες και τα τρία οκτώ.

(α) Να βρείτε πόσους πελάτες φιλοξενούν τα 6 τραπέζια στη σειρά; (β) Να βρείτε έναν κανόνα που να δίνει για κάθε σχήμα τη σχέση που έχει ο αριθμός των πελατών με τον αριθμό των τραπεζιών και να εξηγήσετε γιατί αυτός λειτουργεί; (γ) Πόσα τραπέζια θα χρειαστεί να ενωθούν για να καθίσει μια παρέα 34 ατόμων;

47

Σύνοψη των ποσοτικών αποτελεσμάτων Η λύση του ερωτήματος (α) ήταν ευκολότερη από τη λύση των ερωτημάτων (β) και (γ). Ορισμένα αποτελέσματα από τους 51 μαθητές των δύο τμημάτων Α1 και Α2 έχουν ως εξής: • 44 μαθητές έδωσαν σωστή απάντηση στο ερώτημα (α).

• 15 μαθητές έγραψαν το σωστό κανόνα στο ερώτημα (β) με διαφορετικούς τρόπους.

• Στο ερώτημα (γ) 22 μαθητές βρήκαν το σωστό πλήθος. Στην ολομέλεια της τάξης γεννήθηκαν νέες στρατηγικές που υποστηρίχθηκαν με οπτικά επιχειρήματα και οι μαθητές στην πλειονότητά τους κατανόησαν τον γενικό κανόνα του προβλήματος κανονικότητας.

48

Συμπεράσματα από τη διδακτική προσέγγιση • Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η οπτικοποίηση ήταν πολύτιμη για τη γενίκευση και τη βαθύτερη κατανόηση.

• Σύμφωνα με τα ευρήματα οι προτιμήσεις των μαθητών μοιράστηκαν μεταξύ αναλυτικών, οπτικών και μεικτών προσεγγίσεων.

• Η λεπτομερής ανάλυση των λύσεων των μαθητών στο εν λόγω πρόβλημα αποκάλυψε τρία είδη στρατηγικών αλγεβρικής γενίκευσης: δόμησης, αποδόμησης και αναδόμησης.

• Σύμφωνα με τα ευρήματα που εκτέθηκαν κατά τη φάση της ατομικής επίλυσης του προβλήματος το 29,4% των μαθητών διατύπωσε λεκτικά ή συμβολικά τον γενικό κανόνα.

49

Είδη συλλογισμού και γενίκευση • Κατά τη γενίκευση οι μαθητές θα πρέπει «να βλέπουν το ειδικό μέσα στο γενικό και το γενικό μέσω του ειδικού» (Mason, 2002).

• Οι γενικεύσεις των μαθητών καθώς καταγίνονται με προβλήματα μοτίβων συνιστούν ενεργητική ανακάλυψη που συνδυάζει επαγωγικό συλλογισμό (induction), προβολή εξηγητικών υποθέσεων (abduction) (Rivera & Becker, 2007) και παραγωγικό συλλογισμό (deduction).

Αλγεβρική σκέψη: Γενικεύσεις και Κανονικότητες • Η άλγεβρα είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για τη γενίκευση της αριθμητικής και την παράσταση των κανονικοτήτων.

• Οι μέθοδοι υπολογισμού, οι ιδιότητες των πράξεων και οι δομές του αριθμητικού συστήματος μπορούν και πρέπει να γενικεύονται.

• Τα σύμβολα, ειδικά όταν εμπλέκουν ισότητα και μεταβλητές, πρέπει να συνοδεύονται με εννοιολογική κατανόηση για να μπορούν οι μαθητές και τις μαθήτριες να σημειώνουν επιτυχίες στα Μαθηματικά.

Συμπεράσματα • Τα νέα ΠΣ Νηπιαγωγείου, Δημοτικού, Γυμνασίου ενθαρρύνουν την προσέγγιση της άλγεβρας δίνοντας έμφαση στις κανονικότητες (patterns) και τις συναρτήσεις (συμμεταβολές) ως κεντρικά θέματα των Μαθηματικών.

• Οι ενδεικτικές προσεγγίσεις της πρώιμης άλγεβρας των μοτίβων αποβλέπουν στην ανάπτυξη αλγεβρικής σκέψης στους μαθητές.

• Η δύναμη της άλγεβρας συνδέεται με αναπαράσταση καταστάσεων με διαφορετικούς τρόπους και τη μοντελοποίηση προβλημάτων. Οι μαθητές θα πρέπει να διερευνήσουν τη φύση της άλγεβρας προτού βυθιστούν στον αλγεβρικό χειρισμό.

• Ως εκπαιδευτικοί μπορούν να δημιουργήσουν ένα κατάλληλο μαθησιακό περιβάλλον για να βοηθήσουν όλους τους μαθητές να αξιοποιήσουν τις προσεγγίσεις που σκιαγραφήθηκαν.

52

Βιβλιογραφία Arcavi, A. (2003). The Role of Visual Representations in the Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 52, 215-241.

Fischbein, E. (1993). The Theory of Figural Concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), 139-162.

Jurdak, M., & El Mouhayar, R. (2014). Trends in the development of student level of reasoning in pattern generalization tasks across grade level.

Educational Studies in Mathematics, 85, 75–92.

Kaput, J. J. (2017). What is algebra? What is algebraic reasoning?. In Algebra in the early grades (pp. 27-40). Routledge.

Kieran, C. (2004). Algebraic thinking in the early grades: What is it. The Mathematics Educator, 8(1), 139-151.

Lannin, J. K. (2005). Generalization and justification: The challenge of introducing algebraic reasoning through patterning. Mathematical Thinking and Learning, 7(3), 231–258.

Mason, J. (1996), Expressing Generality and Roots of Algebra. In N. Bednarz, C. Kieran and L. Lee (eds.), Approaches to Algebra, Perspectives for Research and Teaching (pp. 65-86). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Orton, J., Orton, A. & Roper, T. (1999). Pictorial and Practical Contexts and the Perception of Pattern. In A. Orton (ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 121 - 136). London: Cassell.

Radford, L. (2008). Iconicity and contraction: a semiotic investigation of forms of algebraic generalizations of patterns in different contexts. ZDM, 40, 83-96.

Rivera, F. (2016). Abduction and the emergence of necessary mathematical knowledge. In L. Magnani, & T. Bertolotti (Eds.), Springer handbook of model-based science. New York: Springer.

Rivera, F. D. (2010). Visual templates in pattern generalization activity. Educational Studies in Mathematics, 73, 297–328.

Stacey, K. (1989). Finding and using patterns in linear generalising problems. Educational Studies in Mathematics, 20, 147-164. Κόσυβας, Γ. (2014). Εμπλοκή των μαθητών σε ένα πρόβλημα εικονιστικής κανονικότητας για την εισαγωγή στην άλγεβρα. ΕΡΚΥΝΑ, Επιθεώρηση Εκπαιδευτικών-Επιστημονικών Θεμάτων. 3, 31-53. https://www.nctm.org/

53