Kvnt 08 2017

e-m ail: kvantik@mccme.ru

И здаётся М осковским центром непреры вного м атем ати ческо го образования № 8 1август 2017

HHIHHH HHIHIH HHIHHIHHIHHIHHIHHIHHIHHIIHIH HHIIHIIHIH HIHIHIIHIH HIHIHH НИН HHIHHIHHIIIHIHHIHHIHHIHHIHHI ИНН IIHIHHIHHIIIHIHHIIHHIIHIIHHIHHHHHHHIHHIIHHHHIHHIHHIHHIHHIHHIHHIHHHHHIHHIIHHHHIHHIHHIHHIHHIHIHHHHHHIHIHHHIHHIHHIHIHHHIIHHHHIHHII lllll lllll Hill

ПРОДОЛЖАЕТСЯ

ПОДПИСКА

11 ПОЛУГОДИЕ НА

2 0 1 7

ГОДА

I

i

Подписаться на журнал «КВАНТИК» вы можете в любом отделении связи Почты России и через интернет

| КАТАЛОГ «ГАЗЕТЫ. ЖУРНАЛЫ»

«КАТАЛОГ РОССИЙСКОЙ ПРЕССЫ» МАП

1| АГЕНТСТВА «РОСПЕЧАТЬ» 1I I Самая низкая цена на журнал!

I II II II

По этому каталогу также можно подписаться на сайте

vipishi.ru

г« « р » “ 'п ь '

11 = I 5

I

I1

| I| I| I| Индекс

Ж

У

Р

Н

А

Л

КВАНТИК Д Л Я

Л Ю Б О З Н А Т Е Л Ь Н Ы Х

84252

11346

Индекс для подписки на несколько месяцев или на полгода

I для подписки на несколько I месяцев или на полгода

I II

1I

□ Жители дальнего зарубежья могут подписаться на сайте nasha-pre ssa.de □ Подписка на электронную версию журнала по ссылке p re ssa .ru /m a g a z in e s /k v a n tik # а Подробнее обо всех способах подписки читайте на сайте k v a n tik .c o m /p o d p is k a .h tm l

iiiniiiiii ши iiiiiiiiii iiiii iiiiiiiiii iiiii iiiuiiiii iiiii iiiniiiiii iiiii iiiiiiiiii iiiii iiiiiiiui iiiii iiiniiiiii iiiii iiiuiiiii iiiii iiniiiiii iiiii iiiiniiii iiiiii iiiii iiiii iiiii iiiiniiii iiiii iiiiiiiiii iiiii iiiiii iiiii iiiiiniii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiiiiiiiniiiiiiiiii iiiii iniiiiiii iiiii iniiiiiii iiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiMiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiii

I Mill l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l I H ill l l l l l l l l l l Hill

llll

Пни ши ши ши ши пни iiiii hoi uni iiiii imii miii iiiii imii немnun iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiiii iiiii uni iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiii iiiniiiiii iiiii iiiii iiiii немiiiii iiiii inn iiiii line Him iiiii iiiii uni iiiii iimi uni uni inn him inin •••••nin uni •••••nin uni •••••ши inn iiieieпенмне мш him iiik him шм iiiii him iiieeeшеешваinn inn lieninn iimi mhi шееinn мниimii uni iitiaimii

Кроме журнала редакция «Квантика» вы пускает альманахи, плакаты и календари загадок Подробнее о продукции «Квантика» и о том, как её купить, читайте на сайте kvantik.com

У «Квантика» есть свой интернет-магазин - kvantik.ru

www.kvantik.com П kvantik@ m ccm e.ru Журнал «Квантик» № 08, август 2017 г. Издаётся с января 2012 года Выходит 1 раз в месяц Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-44928 от 04 мая 2011 г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). Главный редактор: С. А. Дориченко Редакция: В. Г. Асташкина, В.А.Дрёмов, Е.А. Котко, И. А. Маховая, А. Ю. Перепечко, М. В. Прасолов Художественный редактор и главный художник: Yustas-07 Вёрстка: Р. К. Шагеева, И.Х. Гумерова Обложка: художник Николай Воронцов

В in sta g ra m .co m /kva n tik1 2 k v a n tik l 2 .iivejournal.com П fa c e b o o k .c o m /k v a n tik 1 2 Учредитель и издатель: Негосударственное образовательное учреждение «Московский Центр непрерывного математического образования» Адрес редакции и издателя: 119002, г. Москва, Большой Власьевский пер., д. 11 Тел.: (499) 795-11-05, e-mail: kvantik@mccme.ru, сайт: www.kvantik.com Подписка на журнал в отделениях связи Почты России: ■ Каталог «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать» (индексы 84252 и 80478) • «Каталог Российской прессы» МАП (индексы 11346 и 11348) Онлайн-подписка по «Каталогу Российской прессы» на сайте vipishi.ru

0 v k .c o m /k v a n tik 1 2 О tw itte r.c o m /k v a n tik _ jo u rn a l Q o k .ru /k v a n tik 1 2 По вопросам оптовых и розничных продаж обращаться по телефону (495) 745-80-31 и e-mail: biblio@mccme.ru Формат 84x108/16 Тираж: 6000 экз. Подписано в печать: 11.07.2017 Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», Адрес типографии: 170546, Тверская обл., Калининский р-н, с/п Бурашевское, ТПЗ Боровлево-1, 3«А» www.pareto-print.ru Заказ № Цена свободная ISSN 2227-7986

6+

С а т у р н - п л а н е т а в ш л я п е . В.Сирота Ч а с ы н а л ь д у . О к о н ч а н и е . И. Акулич С а ш а П р о ш к и н и п т и ц ы Т а й м ы р а . И.Кобиляков

2 ЛЛ 2Л

М АТЕМ АТИ ЧЕСКИ Е СЮ РПРИЗЫ

Рог а р х а н г е л а Гавриила, о н ж е р о г Т о р р и ч е л л и . А .П а н ов

S

ПРЕДАНЬЯ СТАРИНЫ

А р а б с к и е м о н е т ы . М.Гельфанд

Л5

ИГРЫ и г о л о в о л о м к и

L - г о л о в о л о м к а . В. Красноухов

Л6

ДЕТЕКТИВНЫ Е ИСТОРИИ

К а н д и д а т в д е п у т а т ы . Б.Дружинин

Л8

ОЛИМПИАДЫ

И зб р а н н ы е зад ачи конкурса «К енгуру» Наш конкурс

25 32

ОТВЕТЫ

Ответы, указания, реш ен и я

28

ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ

С л о м а н н а я т е н ь . А. Бердников

I V с. о б л о ж к и

ОГЛЯНИСЬ

п^Чвокруг В алер и я Сирота [

«Я видел высочайшую планету трёхчастной» Галилео Га ли лей (1610)

САТУРН -

ПЛАНЕТА В ШЛЯПЕ

Масса

95 масс Земли

Радиус

9 радиусов Земли

Расстояние до Солнца

9,5 а.е.

Период обращения вокруг Солнца

30 земных лет

Период вращения вокруг оси

10 часов

Спутники

известно 62, из них 7 имеют средний диаметр от 400 км и выше

Н е сли ш ком понятную фразу, взятую эпиграфом к этой статье, Г а ли лей п ослал в письме своему другу К еп лер у - записав её на латы н и и к тому же анаграм­ мой, то есть переставив как попало буквы. На случай, если кто-то посторонний захочет прочесть... Опасно бы ло писать в письмах такие вещи, да Г а ли лей и сам не поним ал, что же это он такое увидел. А «заф и к си ­ ровать» своё первенство - на случай, если это правда откры тие, а не просто показалось - всё-таки хотел. Галилей думал, что два «нароста» по бокам Сатур­ на - это спутники. И очень удивился, когда через не­ сколько лет попробовал найти их снова - и не нашёл. Только через 50 лет Христиан Гюйгенс разглядел (в бо­ лее сильный телескоп) тонкое кольцо вокруг Сатурна, висящее вокруг него каким-то чудом и нигде его не ка­ сающееся. И он же догадался, что кольцо это не сплош ­ ное, а состоит из множества м елких частичек, каждая из которых крутится вокруг планеты сама по себе.

Сатурн, ъла^оьмм.

>

1

Задача 1. А почему, кстати, Г а ли лей назвал Са­ турн «в ы со ч а й ш и м », то есть удалённейш им ? Ведь есть же планеты , которые ещё дальш е от Солнца... Задача 2. И почему Г а ли лей не увидел кольц а, к о г­ да собрался снова посмотреть на него после больш ого перерыва? К ольц а Сатурна - удивительно красивая и загадоч­ ная вещь, и раз уж мы о них заговорили, наруш им наш обычный порядок и разглядим сначала то, что вокруг Сатурна, - кольца и спутники, а потом его самого. К ольц а, как потом оказалось, есть и у Ю питера, и у други х планет-гигантов. Н о до сатурнова кольц а им, конечно, далеко! Оно отражает больш е солн ечн о­ го света, чем сам Сатурн, - это потому, что ледяное.

Диаметр кольца - 250 тысяч км, а толщ ина его - все­ го 1 км! Сосчитайте-ка, какого размера получится его «правдивая» (то есть масштабная - без искажения про­ порций) модель, если вы станете делать её из бумаги (толщ ина обычного листа бумаги 0,1 мм) - это Задача 3. Сосчитали? Н асколько прочным получится такое кольцо, склееное из бумаги? А настоящее-то вовсе не склеено! В хорош ий телескоп видно, что оно распадает­ ся на ты сячу тоненьких колечек. А наблюдения косми­ ческих аппаратов «В оя д ж ер » и «К а сси н и » показали, что даже щ ель Кассини - тёмный промеж уток меж ду кольцам и - не просто пустое пространство, а многомного тонких колечек, разделённых тонкими щ елям и, внутри которы х - ещё более тонкие колечки... Да и к ольц а ничем не скреплены ; они со­ ставлены из льди н ок размером от 1 мм до 10 м, с м аленькой при­ месью п ы ли и кам еш ­ ков. Е сли вы ловить их все да слепить вместе не хватит даже на не­ больш ой спутник диа­ Кольца Сатурна. Тёмно-серая полоса с чёрными краями —щ ель метром 100 км. А ведь каж дая Кассини. На заднем плане спутник Мимас. льди н к а летает вокруг Сатурна сама по себе, никак они друг с другом не «д о ­ говариваю тся» . А вокруг то спутники пролетаю т, при­ тягиваю т их каж ды й в свою сторону, то Ю питер по­ близости (н у, относительно, конечно) проходит - тоже к себе тянет. То какой-нибудь ш альной кам уш ек про­ лети т - врежется в льд и н к у, собьёт её с пути... П очем у ж е к ольц о не разваливается от всех этих воздействий? У чён ы е это до сих пор как следует не поняли. Во вся­ ком случае, ясно, что само к ольц о бы не у ц елело : ему помогают с п у т н и к и -«п а с т у х и », которые вращаются вокруг Сатурна неподалёку от колечек и увели чи ва­ ют их устойчивость - «п а с у т » льди н ки , возвращают на место, если какая-нибудь из них «сби ла сь с п у т и ». П роисхож дение к олец тож е не совсем ясно. Скорее всего, это останки спутника (и л и спутников), который

Slsrwrri

UoHsCU

давным-давно к р ути лся вокруг Сатурна по слиш ком бли зк ой орбите; так же как Марс п оти хон ьк у п ри тя­ гивает к себе Ф обос, Сатурн п р и тян ул этот спутник и разорвал приливны м и силам и на м елки е кусочки. Н о больш е такое ни с кем не случи тся: все тепереш ние спутники Сатурна вращаются вокруг него медленнее, чем он сам вокруг оси, и поэтому удаляю тся от него. Спутников у Сатурна, как и у Ю питера, много. Но, как и у Ю питера, больш е половины из них - далёкие, м елки е и вращаются вокруг планеты «н е в ту сторо­ н у » - заблудш ие захваченные астероиды. Зато о ста ль­ ные - те, которые п обли ж е - очень хорош о воспита­ ны: они все «н е сводят г л а з » с Сатурна, повернувш ись к нему всегда одной стороной, и почти все вращаются строго в плоскости экватора Сатурна. П ри этом м но­ гие из них ещё и кольц а «п а с у т »: добрая половина этих спутников находится в р азли чн ы х резонансах друг с другом и с кольц ам и Сатурна. (П ом ните, что это такое? - П ока один сделает два оборота, другой д ела ­ ет три... а третий - п ять...)1. Конечно, не мож ет быть, чтобы такое невероятное совпадение п олуч и ло сь с л у ­ чайно. Это приливны е си лы отодвигали, придвига­ ли , раскачивали и переставляли спутники (а заодно и льд и н к и в к о ль ц а х ) до тех пор, пока не п олуч и лось чудо, которое мы сейчас видим. Внеш ние, захваченные спутники - в основном тёмные и относительно тяж ёлы е при таких н и чтож ­ ны х размерах. А внутренние, «с в о и », - очень светлы е и лёгк и е. Значит, они состоят в основном изо льда. Всего семь спутников Сатурна оказались достаточно тяж ёлы м и , чтобы приобрести ш арообразную форму (и то седьмой - М имас - похож скорее на яйцо, чем на ш ар). О стальны е так и остались «б у л ы ж н и к а ­ м и » неправильной формы. П очти каж дом у спутнику есть чем похвалиться: вот Япет, например, - д в у х ­ цветный. П ередняя по ходу (ведущ ая) сторона у него чёрная, как ночь, а задняя (ведом ая) - светлая, поч­ ти как юпитерова Европа. Когда Дж ованни Кассини откры л его в 1671 году, он д олго уд и в ля лся : почему 1Как у Юпитера есть троянские астероиды (см. статью «Качели, ре­ зонансы и космическое хулиганство», «Квантик» №11, 2015 год), так и у некоторых крупных спутников Сатурна есть троянцы - спутники на той же орбите вокруг Сатурна!

этот странный спутник видно тольк о с одной стороны от Сатурна?! П охож ая ситуация у Реи и Д ионы (хотя разница там не такая гигантская), тольк о у них на­ оборот - ведущ ая сторона светлая, ведомая - тёмная... Н о, наверно, самые интересные - Титан и Энцелад. У Энцелада, как и у юпитеровой Европы, под л е ­ дяной поверхностью - океан незамёрзш ей воды. И ч е­ рез н есколько «д ы р » эта вода фонтаном бьёт наруж у, прямо в космос, на сотни километров! Там она, конеч­ но, замерзает, и часть льди н ок падает обратно на сп ут­ ник, а остальны е становятся строительны м материа­ лом д ля внеш него к ольц а Сатурна. Н о как небольш ой Энцелад ум уд р и лся сохранить внутри столько тепла, чтобы хватило на обогрев океана? Наверно, как и у И о и Европы, помогают приливы , возникаю щ ие из-за не­ круговой орбиты, которая поддерживается резонан­ сом с Дионой... И действи­ тельно, при движ ении Энцелада по орбите м ощ ­ ность фонтана сильно ме­ няется от дальней к б л и ж ­ ней точке. А мож ет, этот спутник ещ ё и сам греется изнутри за счёт распада Гейзеры (криовулканы) радиоактивных атомов... Энцелада Титан - единственный больш ой спутник Сатурна и второй после Ганимеда среди всех спутников. П о размеру он больш е М еркурия и всего вдвое меньш е Зем ли. Н о гла в ­ ное - это единственный спутник, имею щ ий насто­ ящ ую , плотную атмосфе­ ру! В основном она из азо­ та, как и земная. Д авление «в о зд у х а » на поверхности Титана в полтора раза больш е, чем на Зем ле. Кроме того, Титан - единственное (кром е З ем ли ) тело в С о л­ нечной системе, на поверхности которого наш ли ж и д­ кость - правда, не воду, а ж идкий метан.

Давайте теперь посмотрим наконец на саму п л а ­ нету. Сатурн по размеру практически такой же, как Ю питер, а масса у него в 3 раза меньш е. Это значит, что он очень «р ы х л ы й »: это единственная планета в С о л­ нечной системе, средняя плотность которой меньш е плотности воды и, кстати, в 10 раз меньш е земной. Это потому, что в нём совсем м ало т я ж ёлы х атомов (то есть ж елеза и «к а м н е й ») и даже гели я , и состоит он почти полностью из газа водорода. И з-за такой м алой плотности ускорение свободного падения на Сатурне невелико - мы бы весили там примерно столько же, ск ольк о на Зем ле. Вот тольк о стоять на Сатурне не­ где - откуда же на планете, состоящ ей из водорода, возьмёш ь твёрдую поверхность! Сатурн, как и Ю питер, очень быстро вращается вокруг оси. От этого он очень си льн о «с п л ю щ и л с я ». И з всех планет Сатурн - самый «мандаринообразн ы и »: расстояние от центра до полю са отличается от расстояния до экватора на ц елы й радиус Зем ли. Сатурн, в общ ем-то, во Ш естиугольник Сатурна многом похож на Ю питер. Вот разве что Б ольш ого Красного пятна у него нет: вихри и ураганы там ре­ гуля р н о появляю тся, но не такие долгож и вущ и е. Зато у Сатурна есть своя особенность - гигантский правильны й ш ести уго ль­ ник, в который вы строились облака на северном по­ лю се. Каж дая сторона этого ш ести угольн и ка больш е диаметра Зем ли, и он вращается вокруг оси с той же скоростью , с какой, видимо, вращается внутренняя часть Сатурна. Откуда он там взялся и почему не раз­ руш ается - никто не знает. П рям ы е ли н и и , п рави ль­ ные м н огоугольн и к и встречаются в твердых телах, в к р и сталлах - но в газе?.. Загадка. И всё-таки, как же п олуч и лось, что внутренние планеты - м аленькие и каменистые, а внешние - б о л ь ­ шие и состоят из водорода? Ответ нуж но искать в исто­ рии возникновения Солнечной системы. Вначале ни­ каких планет не бы ло, а бы ло больш ое облако пы ли

и газа (в основном водорода, но и остальны х атомов понем нож ку), в центре которого возникла протозвез­ да - огромный комок, постепенно сж имаю щ ийся и на­ гревающ ийся. И чем больш е этот комок становился, тем сильнее он притягивал окруж аю щ ие п ы ль и газ, и облако постепенно сж им алось, становясь потихонь­ к у всё плотнее и меньш е. Вот в этом облаке и возникли сгустки вещества - сначала их бы ло много, и каж дый старался вырасти, притягивая к себе окруж аю щ ие газ и пы ль. В основном, конечно, пы ль, потому что когда ты м аленький и лёгк и й , удерж ать газ и не дать ему улететь - трудно. П отом, когда эти сгустки стали уж е довольно больш ие - их называют планетезималями - они стали объединяться, сливаться друг с дру­ гом, и образовали протопланеты, которые уж е м огли притягивать и газ. Н о чем бли ж е к центру облака, тем горячее, и из внутренних областей за это время испа­ рились и у лет ели подальш е и вода, и лёгк и е газы. П о ­ этому планеты , которые бы ли бли зко к звезде, быстро набрали себе тя ж ёлы х атомов («к а м н я и ж е л е з а »), а газа набрать не успели. А тем, что подальш е, - наобо­ рот, газа досталось много. П о этой же причине и воды (и льд а) на планетах земной группы оказалось мало, а за поясом астероидов - сколько угодно. Задача п олучен а фотография (Н и к ак ого не б ы ло .)

4. Как верхняя справа? монтажа

Задача 5. А что, собственно, происхо­ дит на ниж ней фото­ графии справа? Ч то значит тонкая п о ло ­ са посредине сним ­ ка? Ч то это за двой­ ная толстая чёрная полоса на планете? Фотографии аппарата «К а сси н и » ( N A S A / JP L / Space Science In s titu te ) Художник Мария Усеинова

равны — . У следую щ ей рёбра 8 и

4

I

1 О

дальш е идет ко-

робка с рёбрами 16 и ^ и т. д. о н

Р О Г т о р р и ч & а д

Конечно ж е, ни у Гаври­ ила, ни у Т ор р и ч елли рогов не бы ло. Здесь рог - это всего ли ш ь труба и ли горн, с пом о­ щ ью которого архангел Гав­ ри и л возвестит приход С уд­ ного дня, а Эвандж елиста Т ор р и ч елли придум ал ма­ тематический аналог этого горна. Раньш е я уж е писал об этом вели колеп н ом до­ стиж ении Т ор р и ч елли ( « М а ­ лярн ы й парадокс», «К в а н т » Эванджелиста Торричелли, № 6 за 1986 год). Сейчас я портрет кисти расскаж у о том же самом, но Лоренцо Липпи (около 1647 г.) чуть попроще. Свой рог мы будем собирать из водонепроницае­ м ы х п р ям оугольн ы х коробок. Самая верхняя из них имеет форму куба с единичны ми рёбрами, но без верх­ ней кры ш ки. Та коробка, что под ней, вы тянута по вертикали. Её вертикальны е рёбра в два раза длиннее, они имеют д ли н у 2 , а гори ­ зонтальны е в два раза коро-

коробки

сделано

сквозное отверстие размером

4 х (1 х 1) = 4. У второй коробки боковая грань имеет размер 2 Х - | - = 1 , и опять сумма площ адей четы рёх граней равна 4. В общ ем, у лю бой коробки площ адь боковы х граней равна 4. Р о г состоит из бесконечного чи сла коробок, и у каж дой коробки площ адь боковы х граней равна 4. Так что площ адь боковы х граней всего рога тож е будет равна бесконечности 4 + 4 + 44-4 + 4 + ... = оо. Кроме боковы х граней, у поверхности рога есть и горизонтальны е участки. Так что площадь всей по­ верхности рога тем более равна бесконечности. Теперь подсчитаем объём, заклю чённы й внутри рога. Объём первой коробки, куба с ребром 1, равен 1 X 1 X 1 = 1 . П лощ ад ь основания второй коробки рав­ на -|-Х-|-, а её высота 2 , так что объём коробки равен

Y x \ ) x 2 = ■—. Объём следую щ ей коробки равен Т х т ) Х 4 = Т ’ У следую щ ей (-|-X-|-)х 8 = у , дальш е

h x W x 1 6 = ^ и т. д. П оэтом у объём всего рога равен

Н о посмотрите:

1 0 че - имеют д ли н у — . В дне первой

Д ли н а такого рога будет бесконечной. Подсчитаем площ адь его боковой поверхности. У первой коробки четыре боковые грани размером 1 X 1 , так что площ адь всех четы рёх граней будет

1+— +—+—+—+ 2 4 8 16 11 ^+ — 2 — 2—’ 2 =— 2 = Z

к о VO о а

i

+ 4 + 4 - = (2 - 4 U 4 - = 2 - 1

4 ’

о «

X

так что лю бая ж и д ­

кость мож ет свободно пере­ ливаться из верхней коробки в ниж ню ю и обратно. Третья коробка ещ ё больш е вы тян у­ та - её вертикальны е рёбра равны 4, а горизонтальны е

п s

Рч

О PL,

+ 4 -+ 4 -+ 4 -= (2 -4 -U 4 -= 2 - 1 8 8 8’ i+ 4 - + 4 - + 4 - + i= (2 - 4 - W i= 2 - 1 8/16 i 6’ ••• 8 ' 16 i

И тут отчётливо видно, что эти суммы всё бли ж е и бли ж е к 2 , а значит, вся бесконечная сумма просто равна 2 :

i i i 1 1 + Т + Т + Т + Тб+ - = 2 -

И так, объём всего рога равен 2. В этом и состоял основной парадоксальны й р е з у л ь ­ тат Т ор р и ч елли . Он наш ёл тело, поверхность которо­ го имеет бесконечную площадь, а объём конечен. Этот результат ш окировал современников. Т ор р и ч елли бы л гением, он у м ел делать красивые вещи и доказы ­ вать результаты , которые до него не бы ли известны. Так что его рог вы глядит намного элегантнее нашего, угловатого, и применяемы е им методы вы числения площ адей и объёмов намного изощ рённей наш их. Ч тобы лу ч ш е понять, в чём зак лю чается пара­ док сальн ость этого р езультата, оставим м атем атику и перейдём на бытовой уровень. Будем считать, что единицей изм ерения д ли н ы у нас с лу ж и т 1 дец и ­ метр, то есть 10 сантиметров. Тогда единицей и зм е­ рения объём а будет 1 ли тр . Сходите в хозяйственны й м агазин и куп и те 2 ли тр а го лу б о й ж идкой краски. З алей те эту краску в сконструированны й нами рог. Так как его объём тож е равен двум ли тр ам , рог будет заполнен доверху. П одож дите нем ного, встряхните и вы лей те из него всю краску обратно. Вся вн утрен ­ ность наш его рога окаж ется окраш енной в го лубо й цвет. В этом и зак лю чается парадокс: нам понадо­ би лось всего два ли тр а краски, чтобы закрасить п о­ верхность бесконечной п лощ ади . Этот р езульта т и назы вается м аляр н ы м парадоксом. П оп робуй те разобраться, в чём тут дело. Н апомню ещ ё о двух зам ечательны х достиж ени­ ях Т ор р и ч елли . Он создал в лабораторны х услов и я х торр и челли еву пустоту и сконструировал ртутны й ба­ рометр, которым до сих пор п ользую тся современные м етеорологи. Т ор р и ч елли недолгое время сотрудни­ чал с Г а ли леем , после смерти которого зам естил его в долж ности профессора математики во Ф ло р е н т и й ­ ской академии. Т ор р и ч елли сотрудничал со многими итальянским и учёны м и. Один из них, Раф аэлло Мадж отти, бы л создателем оригинального аэрогидравлического приспособления. Теперь это игруш ка, извест­ ная нам под названием декартов и ли картезианский водолаз («В о д о л а з двойного д ей ств и я», «К в а н т и к » № 5 за 2017 год). Художник Мария Усеинова

на О кончание. Н а ч а л о в № 7

«Четверо правильно идущих часов лежат на сто­ ле циферблатами вверх так, что их центры являются вершинами квадрата. В некий момент концы минут­ ных стрелок часов оказались вершинами квадрата. Докажите, что и в любой другой момент времени четы­ рехугольник с вершинами в концах минутных стрелок является квадратом. Толщиной часов пренебречь»2.

- А часы одинаковые?

- Н е обязательно.

- То есть и дли н ы стрелок м огут различаться? Н и ­ чего себе! Даж е не знаю, как подступиться.

- Твоё счастье, что я знаю. М огу подсказать, о т к у ­ да начинать.

- Давай.

- Вот вспомогательная теорема - как принято го ­ ворить, лемма. Возьмём квадрат с верш инами, обо­ значенными по часовой стрелке ABCD. Перенесём эти вершины в точки А , В , Сх и П 1 соответственно таким образом, что все векторы A A V В В Х, СС1и D D Xравны по длине, причём каж ды й последую щ ий повёрнут на 90° тоже по часовой стрелке по отнош ению к преды ду­ щ ем у. Утверж дается, что тогда A yB ]ClD l - тоже ква­ драт. Сумееш ь доказать?

- П одож ди, дай-ка сначала нарисую (р и с.4). А , так это ж очевидно!

- Н у, не то чтобы совсем очевидно, но доказать не­ слож но. П рощ е всего от­ метить центр О квадрата A B C D , а потом убедиться, что точки А , В у, С1 и П 1 находятся на равных рас­ стояниях от этого центра, и у гл ы A f iB ^ B flC ^ ClO D l и D lOAl - прямые. Л адно, проехали. Это и впрямь легк о. Но далы не-то что?

2 X III Всероссийская олимпиада школьников по математике, 1987 г., 10 класс. Автор неизвестен.

ОГЛЯНИСЬ

вокруг И гор ь А к у л и ч

оглянись вокруг

- А теперь давай так. Ц ентры часов, по условию , всегда леж ат в верш инах квадрата. Обозначим их (по часовой стрелке) A ()B0CQD Q(рис. 5). П усть концы м инутны х стрелок в какой-то момент являю тся вер­ ш инами квадрата ABCD (естественно, тож е по часо­ вой стрелке, на рис. 5 изображ ён красны м). Теперь аккуратно перенесём все часы (не поворачивая и х 3) так, чтобы их центры совпали с центром О квадрата A {)B0C0D 0. К онцы стрелок при этом тоже перенесутся, но как? Давай нарисуем квадрат A 0BQC0D 0 и проведём векторы от вершин к его центру О (рис. 6 ). Смотри: каж ды й «п о с ле д у ю щ и й » век­ тор переноса равен по величине и повёрнут на 90° по отнош ению к «п р ед ы д у щ ем у ».

- В иж у.

- Значит, после переноса, по лем м е, концы стрелок оста­ нутся вершинами квадрата (рис. 7)! А далее все «перенесён­ н ы е» часы идут себе и идут, и их минутные стрелки вращают­ ся с одинаковой угловой скоро­ стью. П оск ольк у они синхронно вращаются, то и квадрат, обра­ зованный их концами, останет­ ся квадратом, что мы и видим на рисунке 7. Он целиком будет поворачиваться вокруг точки О ся со скоростью один оборот в час. Рис. 7 А теперь возьмём произвольный момент времени и проделаем обратную операцию: перенесём центры всех часов обратно в вершины ква­ драта. Здесь уж е каждый вектор переноса сменится на противополож ный, но - обрати 0 внимание! - по-преж нему к а ж ­ дый «п о с ле д у ю щ и й » вектор ра­ вен по величине и повёрнут на 90° по отнош ению к «п р ед ы д у­ щ е м у » (рис. 8 ). Значит, по той D0 же лемме, концы стрелок опять

будут вершинами квадрата. Н о это и есть их полож ение в тот самый произвольны й момент времени. Вот и всё!

- Да, задача красивая, но... скаж и-ка мне, что оз­ начает в условии «Толщиной часов пренебречь»?

- Это как раз говорит о том, что толщ и н ы всех ча­ сов очень и очень м алы - практически нулевы е. П оэ­ том у мы мож ем считать их идеально плоским и. Опять же - нет проблем с переносом всех часов в центр ква­ драта (и х приш лось при этом слож и ть «в сто п о ч к у », высотой которой мы тоже пренебрегаем).

- А х , так? Н о тогда часы м огут в исходном п о ло ­ ж ении «п ер ек р ы в а ться », то есть налегать друг на др у­ га - в условии на это запрета нет!

- М огут... Н у и что?

- А то, что тогда утверж дение, которое ты мне тут с блеском доказал, является неверным!

- П очем у это?

- А вот тебе пример4. Возьмём тот ж е квадрат A 0B0CqD 0, в верш инах которого находятся центры ча­ сов. К онцы м инутны х стрелок в некоторы й момент обозначим теми же буквами А , В, С и D. П усть ради­ усы часов с центрами в точках А () и С 0 очень велики настолько, что одни из этих часов «н ак лад ы ваю тся» на другие. П ри этом стрелка А^А направлена строго на точку С 0 и почти её достигает, не доходя до неё на какую -то очень м алую величину х, намного меньш ую стороны квадрата A QB 0C{)D 0. Та же история и со стр ел­ кой С0С - она почти дотягивается до точки А 0. Стрелки же BQB и D qD наоборот, очень корот­ кие, тоже направлены встречно, и дли н ы их обеих равны той ж е м алой величине х. Вот я на рисунке 9 всё это изобразил. Д аж е специально, чтобы тебе понятней бы ло, стрелки АуА и С0С сделал разного цвета и раз­ ной толщ ины . Ты ведь не станешь возражать, что концы стрелок образую т квадрат?

- Н е стану.

- Вот! А теперь посмотри, что будет через полчаса. К аж дая стрелка повернётся на 180°. П олуч и тся ри су­ нок 10. Здесь-то ABCD - уж явно не квадрат!

По-научному это называется параллельный перенос.

4Такой опровергающий пример принято называть контрпримером.

t_f

U

ОГЛЯНИСЬ

вокруг I I I

1 3

IM оглянись вокруг

ПРЕДАНЬЯ

СТАРИНЫ М и х а и л Гельф анд

- И правда. В ы тянуты й ромб какой-то... Н о поче­ му?!

- Очень просто. В квадрате ABCD на рисунке 9 вершины следую т против часовой стрелки , поэтому твою распрекрасную лем м у применить здесь нельзя!

- Она не моя...

- Неваж но. Главное - олим пиадная задача, по­ лучается, бы ла с ош ибкой. И через стольк о лет она вскрылась! Видиш ь - всё тайное становится явным.

- А мож ет, автор им ел в виду, что часы не долж н ы перекрываться?

- М ож ет. Н о это надо бы ло указы вать в условии! И тогда при реш ении необходимо доп олн и тельн о до­ казать, что при этом верш ины квадрата, образованно­ го концами стрелок, следую т в том же направлении обхода, что и верш ины квадрата, в котором находятся центры часов. А как это сделать?

- Н у... например, указать в условии, что длины стрелок не превосходят половины стороны квадрата. Тогда никакие налож ения стрелок будут невозможны.

- Верно! И л и луч ш е так: диаметры часов не пре­ восходят стороны квадрата. Так что когда в след ую ­ щ ий раз ко мне с задачами сунеш ься - сперва проверь корректность услови я и правильность реш ения. А то все уси ли я пропадут впустую.

- Признаю . Согласен. Исправлю сь. Художник Алексей Вайнер

В м усульм анских странах счёт годам ведётся не от рождения Христа (христи­ анская эра), а от переселения М ухаммеда из М екки в М едину (хидж ра). Приведе­ ны фотографии (с обеих сторон) арабских монет, на которых стоят обе даты.

1.

2.

3.

4.

В каки х годах отчеканены эти монеты? В каком году бы ло переселение М ухам м еда? ( Внимание: задача с подвохом!) Ч то мож но сказать про ном иналы этих монет? П ользуя сь интернетом, попробуйте определить эти монеты. {Подсказка: в строке поиска Google пишете номинал и год (в обеих эрах) и слово «coin», а потом разглядываете картинки.)

6

Присылайте решения до 1 сентября по адресу kvantik@ m ccm e.ru с пометкой «арабские монеты ». Победителей ждут призы!

и ф И

2

о о К

S :ф Ь а < я я

я о

п >> X

В ладим ир К расноухов

Как-то в «К в а н т и к е » мне встретилась задача по­ пуляризатора заним ательной математики М и хаи ла Евдокимова:

Даны шесть штук Ь-образных элементов (см. рисунок). Требуется составить из этих элементов прямоугольник. Элементы можно как угодно пово­ рачивать и переворачивать, но нельзя накладывать друг на друга.

М не понравилась эта изящ ная по содержанию и не­ слож н ая в изготовлении миниатюра, и я п оп олн и л ею свою домаш нюю игротеку. Опыт показал: примерно половина из чи сла неопы тны х реш ателей приним ает­ ся бездумно приклады вать элем енты друг к другу, и... п р ям оугольн и к у них почему-то не выстраивается. В таких слу ч а я х я обычно предлагаю немного по­ думать, прежде чем двигать элем енты . У ди ви тельн о, но эта универсальная подсказка срабатывает! Сто­ ит ли ш ь подсчитать суммарное количество клеточек в игровы х элем ентах, и задача реш ается почти в уме. Н екоторое продолж ение у этой голов олом к и п оя ­ вилось, когда я изготовил (д л я хранения игровы х э л е ­ ментов) п лоск ую коробочку с бортиками. Внутренний размер коробочки 7 X 7 клеток. Кром е ф ункции хр а­ нения и удобства транспортировки появляется ещё н есколько задач, которы ми хотелось бы поделиться с наш ими читателям и.

И так, новые задачи. Расп олож и те все 6 элементов голов олом к и в рамочке 7 X 7 так, чтобы элем енты на­ ходи ли сь в реж име антислайд (то есть ни один элем ент не мог перемещ аться ни в каком направлении ни на одну к лет о ч к у ) и при этом образовывали сим м етрич­ ную ф игуру. Нам известно более 80 вариантов таких реш ений. Они содержат разные количества ( п ) пусты х областей, от 1 до 6 . П о одному примеру таких фигур д ля п, равного 2, 3, 4 и 5, мы приводим на рисунке (п у ­ стые области показаны чёрным цветом), остальны е вы мож ете найти самостоятельно.

А теперь реш ите самые слож ны е задачи - построй­ те симметричны е антислайды 1 ) с одной пустой областью (п = 1 ), 2 ) с ш естью пусты ми областям и (п = 6 ). Ж ела ем успехов! Художник Алексей Вайнер

1В

КАНДИДАТ В ДЕПУТАТЫ WCTOP Борис Д р уж и н и н

Л и за и Вова гости ли на к а н и к ула х у подруги М аш и в селе Бараново. Ох и весело они отды хали: к уп али сь и загорали, ло в и ли рыбу, ходи ли по грибы и ягоды , по вечерам к р уж и ли сь на танцплощ адке. А какая вкус­ ная картош ка, испечённая в костре! Как-то в среду на дверях сельского к луба появилось объявление. В СУББОТУ В 1Б ЧАСОВ СОСТОИТСЯ КОНЦЕРТ АГИТБРИГАДЫ. В ПРОГРАММЕ ПЕСНИ, СТИХИ, ПАНТОМИМА, ШОКУСЫ

В субботу к полудню подкатил автобус с артиста­ ми. Р ук ов од и л агитбригадой Аф анасий Спиридонович К урбский - тот самый режиссёр, что ставил в ш коле сп ектакль «П р и к лю ч ен и я Б урати н о» с Л и зо й в роли М альвины . Вид у него бы л довольно грустны й.

- У нас несчастье, - вместо «зд р а сьте» п ож а лов а л­ ся он Л и зе и Вове. — Наш ф окусник попал в больн и ц у с аппендицитом. А в афише объявлены фокусы. Обма­ нывать ож идания лю дей неудобно.

- Так Вова мож ет фокусы показывать, - Л и за под­ т о лк н у ла локтем Вову. - П окаж еш ь?

- М не как-то неловко, - застеснялся Вова. - Да и фокусы у меня чисто математические.

- Н ичего страш ного, - Аф анасий Спиридонович сразу взбодрился и п о х ло п а л Вову по п лечу. - П усть зрители мозгами пош евелят и ш кольн ы е знания свои вспомнят. Вова к и вн ул и побеж ал готовить свои фокусы. Д л я этого ем у понадобились два больш и х детских кубика. Концерт прош ёл под несм олкаю щ ие аплодисменты и крики «Б и с !» и «Б р а в о !». Н астала очередь Вовы.

- Надеюсь, вы не разучи ли сь считать, - обратился он к зрителям . - У м ногих телеф оны с к а л ь к у л я т о р а ­ ми, так что в уме считать не придётся. А теперь фокус. Задумайте любое трёхзначное число, состоящее из разных цифр. Задумали? Теперь поменяйте местами первую и последнюю цифры. Поменяли? Вычтите из большего числа меньшее. В полу­ ченном результате зачеркните любую цифру. Сложите оставшие­ ся, сумму сообщите мне, и я назову зачёркнутую цифру.

П ару минут зрители возились со своими м о б и ль­ никами и, наконец, раздались голоса:

- У меня 11.

- Вы 7 зачеркнули, - сразу ответил Вова.

- М оя сумма 14.

- Вы 4 зачеркнули. . 'т -1 3 . ;

(

- Зачёркнута пятёрка. Ф И кто бы ни назы вал свою сум м у, Вова правильно угады вал зачёркнутую цифру. В чём секрет фокуса? Н астала очередь второго фокуса. Вова объясни л зри телям его суть. Перед вами два кубика - красный и жёлтый. На красном на­ писаны числа 1 , 2 , з, 4 , 5 и 6. На жёлтом написаны числа 7, 8 , 9, ю, и и 12. Все желающие по очереди, чтобы не загораживать обзор зрителям, будут бросать эти кубики. То число, что выпало на жёлтом кубике, надо возвести в квадрат. Кто не помнит - про­ сто умножить само на себя. К полученному результату можно при­ бавить число, выпавшее на красном кубике, а можно и вычесть. Последний результат сообщите мне, и я назову числа, выпавшие на обоих кубиках. Д л я верности Вове завязали глаза и представление продолж илось. Первым на сцену выш ел сам мэр Бара­ нова. Он бросил кубики, на м инуту задумался, рассмат­ ривая потолок и ш евеля губами, и сообщ ил Вове.

- П ятьдесят три!

- На красном кубике вы пала четвёрка, на ж ёлтом семёрка, - не задумы ваясь отчеканил Вова. И народ пош ёл вслед за мэром.

- Восемьдесят семь.

- Ш естёрка и девятка.

- Сто двадцать два.

- Единица и одиннадцать. Заминка вы ш ла с главны м бухгалтером .

- Тридцать семь, - сказал он. Вова слегка задум ался и прокомментировал: - Вы на ж ёлтом кубике приняли девятку за шестерку. Демонстрация фокуса продолж алась до тех пор, пока все зрители не побы вали в роли участников, и Вова ни разу не ош ибся. В чём секрет фокуса?

••

Реж иссёр К урбский долго благодарил Вову и вы ­ писал ем у вполне достойный гонорар. А ги тб р и га ­ да уехала, и ж изнь вернулась в прежнее состояние. Н о вскоре новое событие в ск олы х н уло сонное Бараново. П редстояли выборы в областную Д ум у, и началась агитационная кампания. Однажды по всему селу развесили объявления.

ОГЛЯНИСЬ

вокруг

И ван К об и ля к ов

В ПЯТНИЦУ В 1Б ЧАСШВ СОСТОИТСЯ ВСТРЕЧА С ИЗБИРАТЕЛЯМИ КАНДИДАТА В ДЕПУТАТЫ ОБЛАСТНОЙ Д УМ Ы ИВАНА ВАСИЛЬЕВИЧА КОШКИНА. ЯВКА ВСЕХ ЖЕЛАЮЩИХ СТРОГО ОБЯЗАТЕЛЬНА!

Вова и Л и за тож е приш ли на эту встречу. Н а сцене на фоне своей фотографии стоял сам К ош кин и пред­ ставляю щ ая его ж енщ ина.

- Иван Васильевич см елы й человек, - говорила ж енщ ина. - Он п о лу ч и л м едаль «З а отвагу при по­ ж а р е», когда вынес из задымивш ейся конторы зар­ платную ведомость. Он такж е награждён знаком « П о ­ чётный ф и ла тели ст». А недавно Иван Васильевич стал свидетелем того, как злодеи п охи ти ли у м алы ш а ф ормочку, чтобы использовать её как стакан, и не зап лати ли бабусе за к у лё к семечек. П ока остальны е свидетели фотографировали происш ествие, К ош кин вступил в схватку со злодеям и, ск р ути л одного из них, но тот ум уд р и лся вывернуться и даже слом ал И вану В асильевичу руку. Вот такой зам ечательны й человек Иван В асильевич К ош кин, голосуй те за него!

- Ч то вы собираетесь сделать д ля наш его села? спросили зри тели Кош кина.

- Я построю в Бараново самый больш ой в мире «Д и с н е й л е н д », - ответил кандидат в депутаты. - Р о ­ дители повезут сюда детей со всего мира. П р ав и тель­ ство России будет вы нуж дено построить здесь гости ­ ницы-небоскрёбы, а вы все п олучи те в них работу. Заживёте как боги!

- Во загибает! - у лы б н у лс я Вова.

- Да, - согласи лась Л и за и предупредила подру­ гу: - Ты скаж и своим, что К ош кин обманщ ик. И действительно, обман быстро раскры лся. Как Л иза и Вова раскрыли обман кандидата в де­ путаты? Художник Екатерина Ладатко

20

В начале августа би ологи и географы реш или отправиться в экспедицию на по­ луостров Тайм ы р. Рано утром у причала уж е ки п ела работа: по моторным лодкам распределяли коробки с провизией и оборудованием. Когда погрузка бы ла завер­ шена, участники экспедиции расселись по местам, и лодки отч али ли от берега. Вдруг кры ш ка одной из коробок приоткры лась, и оттуда появился Саша П рош кин.

- М ож но мне с вами?

- Н у что с тобой поделать?! - развёл руками руководитель экспедиции биолог М и х а и л Зверев. - Назад поворачивать не будем. Садись на нос лодки . Будеш ь впе­ рёдсмотрящ им! Ф л о т и л и я двинулась в путь. Ч ем дальш е на Север, тем ниж е становились де­ ревья, растущ ие по берегам реки. Л есотундра см енилась тундровы ми кочками и болотам и. П реодолев очередной поворот реки, лодка вспугнула больш ую чёрную птицу. Размаш исто и тя ж ело работая к р ы льям и , она, как гидроплан, разбеж алась по воде и взм ы ла в воздух. Глазасты й Саша усп ел заметить, что эта птица не ц е л и ­ ком чёрная: на спине, к р ы ль я х и шее у неё бы ли белы е пятны ш ки, похож ие на ч е­ ш ую рыбы. Брю ш ко и клю в тож е бы ли белы м и.

- Это п олетела самая больш ая среди ж и вущ и х на Таймы ре гагар, - посмотрев в би н окль на улетаю щ ую птицу, сказал М и ха и л Зверев, - она называется б е л о к л ю ­ вой гагарой и занесена в Красную к н и гу России.

оглянись IBOKP

У слы ш ав знакомое название, Саша П рош кин вспомнил нганасанскую сказку, которую рассказы вала ему бабуш ка, и пересказал её би ологу М и ха и лу: - В стародавние времена не бы ло суш и, а бы л тольк о бескрайний океан, - начал м альчик. - Ч тобы где-то ж ить, звери и лю ди попросили гагару достать им со дна кусочек земли... Добрая птица ны рнула и принесла в клю ве зем лю . Эта зем ля по­ том увели чи лась в размерах и стала домом д ля всех, кто не умеет плавать. Д ослуш ав леген д у до конца, М и х а и л Зверев у лы б н у лся : - Гагары зам ечательны е пловцы ! Они ныряю т на двадцать метров в глуб и н у и м огут задерживать ды хание на две минуты . М ож ет быть, с этим и связана нгана­ санская легенда. Есть у гагар, правда, один секрет...

- Какой? - спросил Саша.

- Они очень сильно привязаны к рекам и озёрам. Гагары не умею т ходить, ум е­ ют тольк о плавать и летать. Д л я того чтобы подняться в воздух, им нуж но разбе­ ж аться по поверхности воды, а вот суш а в качестве взлётной полосы не подходит...

- А если гагара всё-таки оказалась на суш е?

- Такое бывает, но очень редко. Тогда она, смешно переваливаясь с боку на бок, медленно п олзёт к водоёму. В этот момент гагары очень уязвим ы . Л етом на полуострове Тайм ы р огромное количество птиц. М ногие из них специально прилетаю т сюда из д а лёк и х ю ж ны х стран, чтобы отлож и ть яйца и вы ­

растить птенцов. Саше П рош ки н у и М и х а и лу Звереву на реке встречались не тольк о гагары, но и всевозможные гуси, утки и даже лебеди. Вот у берега п о п лы л м аленький гусь-п и ск ульк а, а вот взлетела, испугавш ись ш ум а мотора, стая гусейгум енников; на высокой тундровой кочке распуш ил свой пы ш ны й воротник к у ­ лик-турухтан... За каж ды м поворотом реки п оя в ля ли сь всё новые и новые птицы! Н о п лы ть без остановок трудно даже на моторны х лодк ах.

- Надо остановиться на ночлег! - п р едлож и л М и хаи л. Зорком у Саше П рош ки н у бы ло поручено искать место, где будет удобно при­ ш вартоваться. Он внимательно всматривался вдаль и зам етил у песчаного берега двух птиц с яркой красной грудкой. Рядом сновали уж е успевш ие немного под­ расти птенцы. Б ы ло приятно наблю дать за этими красивыми птицами. Н о вдруг прямо над беззаботным семейством на вершине обрыва появился серый хищ ны й зверёк. Саша тут же догадался, что это песец, сменивш ий свой белоснеж ны й зи м ­ ний наряд на новую летню ю одёж ку. Ещ ё мгновение - и песец бросится вниз с об­ рыва, чтобы поймать одного из птенцов! М альч и к затаил ды хание и обернулся на биолога М и ха и ла Зверева. Тот уж е в ы к лю ч и л лодочны й мотор и внимательно наблю дал в би н ок ль за всем, что проис­ ходит на берегу.

- Это краснозобые казарки, - прош ептал М и ха и л, не отрываясь от би н окля.

•< *

•К :

•* .•V е*• » Л

,1

оглянись вокруг

Избранные задачи конкурса

«Кенгуру»

АДЫ

М атериал подготовил Д м итрий М аксимов >

КЕНГУРУ М атематика для всех

«К е н г у р у » - это массовый международный математический конкурс-игра под девизом «М атем атика д ля в сех». Главная ц ель конкурса - привлечь как можно больш е ребят к решению математических задач, показать каж дому ш кольнику, что обдумывание задачи может быть делом живым, увлекательны м и даже весёлым! М ы приводим подборку задач этого года, предлагавш ихся российским участникам (и х бы ло примерно 1,3 м и ллиона человек). В скобках рядом с номером каждой задачи указано, из какого она варианта и во сколько баллов оценивается. Подробнее о конкурсе можно прочитать на сайте m athkang.ru

г

- Л у ч ш е бы им побыстрее улететь отсюда, не то попадут на обед к хи щ н и к у, с волнением зам етил Саша.

- Давай посмотрим, что будет. У казарок есть покровитель, который не даст их в обиду. Всё произош ло в один короткий миг! В воздухе над обрывом появилась самая быстрая птица на нашей планете - сапсан. Он спикировал на песца так, что тот еле усп ел увернуться от атаки. Забыв про добы чу, неудачливы й охотник бросился на­ утёк - тольк о его и видели!

- Вот и всё. Казаркам больш е ничего не грозит. - М и ха и л о т ло ж и л в сторону би н окль и снова завёл мотор. Л у ч ш е бы ло выбрать другое место д ля ночлега, чтобы не тревож ить редких птиц... От радости Саша за х ло п а л в ладош и и чуть не перевернул лод к у. У него в го ­ лове всегда бы л м и лли он вопросов, но теперь остался тольк о один: почем у сапсан реш ил защ итить краснозобы х казарок? Б и олог М и ха и л Зверев не стал тян уть с ответом.

- Д ело в том, - сказал он, - что сапсан защ и щ ал своё собственное гнездо, кото­ рое, скорее всего, находится не дальш е чем в 100 метрах отсюда. Зная о силе и см е­ лости сапсанов, казарки всегда селятся от него неподалёку. И , как мы сегодня ув и ­ дели, не зря... к Художник Ольга Демидова Фото Дмитрий Болдырев

1. (2 класс, 5 баллов) В коробке леж а ли 3 цветные ленты : красная, синяя и зелёная. Катя, Маш а и Даш а вы брали себе по одной ленте. О казалось, что Катина лента длиннее, чем синяя, красная лен та короче, чем Даш ина, а М аш ина лента не той длины , что красная. Ч то верно?

(A ) лента Даш и зелёная; (Б ) лента М аш и красная; (B ) лента Кати не красная; (Г ) лента Даш и самая к о­ роткая; (Д ) лента М аш и самая длинная.

2. ( 3 - 4 класс, 4 б алла) Д им а к а та л­ ся на велосипеде по дорож кам парка. Он в ъ ехал в парк в ворота А . Во время про- г : гу л к и он три раза поворачивал направо, четыре раза налево и один раз разворачи­ вался. Через какие ворота он вы ехал? (А ) А ; (Б ) Б; (В ) Б; (Г ) Г ; (Д ) ответ зависит от порядка поворотов.

3. ( 3 - 4 класс, 5 баллов) Стопка карточек с ды рками нанизана на н итку (см. рисунок спра­ ва). Каж дая карточка с одной стороны белая, а с другой - закраш енная. Вася р а злож и л карточ­ ки на столе. Ч то у него м огло получи ться?

Избранные задачи

Избранные задачи , конкурса

«Кенгуру»

конкурса

4. (3 - 4 класс, 5 баллов) И з аэропорта на автовокзал через каждые три минуты отправляется автобус, кото­ рый едет 1 час. Через 2 минуты после отправления ав­ тобуса из аэропорта вы ехал автомобиль и ехал до авто­ вокзала 35 минут. С колько автобусов он обогнал? (А ) 12;

(Б ) И ;

(В ) 10; (Г ) 8 ;

/

/

/

ч

ч

//

ч

(В ) 3 и 4;

/'

(Г ) 3 и 8 ; (Д ) 2 и 7.

7. ( 5 - 6 класс, 4 балла) П р ям оугольн ы й п а р а лле­ лепипед бы л склеен из кубиков со сторо­ ной 1. Когда н есколько из них отвали ли сь, осталась фигура, изображ ённая на рисун­ ке справа. К акие наименьш ие размеры мог иметь этот параллелепипед? (А ) 2 X 3 X 4 ; (Б)ЗХЗХ4; (В)2Х4Х4; ( Г) 3 X 4 X 4 ; ( Д) 4 X 4 X 5 .

8. (5 - 6 класс, 5 баллов) Брусок склеен из двух тём ­ ны х и одного белого кубика Г Г Г 0. На одном из ри сун ­ ков (А ) - (Д ) изображ ён куб, слож енны й из таких бр у­ сков. На каком? (Г )

(Б)

(В )

(Д)

10. ( 7 - 8 класс, 4 б алла) Квадратная скатерть украш ена узором из 17 светлы х квадратов (см. рисунок). Какая часть п л о ­ щади скатерти является тёмной?

L________с____

(Б ) 2 и 4;

(А )

(Г )

6. ( 5 - 6 класс, 4 балла) У к а льк уля то р а испорти­ ли сь клавиш и с цифрами А и В: вместо А вводится В и наоборот, а в остальном к а ль к у ля т о р работает пра­ вильно. На рисунке справа показано, какие результаты выдаёт этот к а л ь ­ к уля тор при нажатии некоторы х четвёрок клавиш . Какие клавиш и перепутаны? (А ) 4 и 9;

АДЫ

9. (7 - 8 класс, 3 балла) Как может выглядеть развёртка цилиндра, изображённого справа?

(Д ) 7.

5. ( 5 - 6 класс, 3 балла) Боб с ло ж и л ква­ дратный ли ст бум аги и п роткн ул в нём ды р­ ку. П отом он развернул ли ст и увидел то, что изображ ено на рисунке справа. К ак м огли вы ­ гляд еть ли н и и сгиба?

--; \ / (А ) ч ч / / (Б ) (В ) (Г ) / // / / ' / (Д) ч/ /ч

«Кенгуру»

(Д) U-

(А ) 16 % ; (Б ) 24 % ; (В ) 25 % ; (Г ) 32 % ; (Д ) 36 % .

11. (9 -1 0 класс, 3 б алла) Как известно, минутой называется не тольк о 1/60 часть часа, но и 1/60 часть градуса. Н а ск ольк о минут за 1 м и н уту поворачивает­ ся м инутная стрелка часов? (А ) 30; (Г ) 720;

(Б ) 60; ( Д ) 3600

(В ) 360;

12. (9 -1 0 класс, 3 б алла) К о л е ­ со катят по склонам холм а. П о ка­ кой ли н и и движ ется центр колеса? / (А )

/

(В)

/

(Б) / Л \ /

(Г )

/

\

N

/

(Д)

13. (9 -1 0 класс, 5 баллов) В п р ям оугольн и к е ABCD сторона АВ равна 1. О казалось, что его мож но согнуть по ли н и я м , проходящ им через вер­ ш ины А и С так, что верш ины В и D попадут в одну точку (см. ри су­ нок). Какое наибольш ее значение мож ет принимать сторона ВС? (А ) 3;

(Б ) 2;

(В ) 1,5;

(Г ) V2 ;

(fl)V 3 .

яЧуб Сергей

Г г

•

И Н А Ш К О Н К У Р С («Квантик» № 6, 2017) 46. На конференции присутствовали представители двух конкурирующих фирм «M eg a s oft» и «G am esoft» Алекс, Бен и Карл. Представители одной и той же компании всег­ да говорят правду друг другу и врут конкурен­ там. Алекс сказал Бену: «Карл из M egasoft». Бен ответил: « Я тоже». Где работает Алекс? Ответ: в M egasoft. Если А лек с и Бен из од­ ной компании, то Бен сказал правду, значит, они оба из M egasoft. Если А лек с и Бен из раз­ ных компаний, то Бен соврал, то есть он из Gamesoft, а А лек с снова из M egasoft.

47. У двух игроков есть кубическая картон­ ная коробка, в которой лежит приз. Они по оче­ реди выбирают одно из рёбер коробки и разре­ зают коробку вдоль этого ребра. Выигрывает тот, после чьего хода можно открыть коробку и достать приз. Кто может обеспечить себе победу - начинающий или второй игрок? Ко­ робка открывается, если она разрезана вдоль трёх рёбер одной грани. Ответ: второй. Пусть в ответ на начальный ход первого второй разрежет противоположное параллельное ребро куба. Какое бы следующее ребро ни разрезал первый, оно окажется на од­ ной грани с одним из двух уже разрезанных рё­ бер. Тогда второй разрежет ещё одно ребро на той же грани, и коробка откроется.

48. Костя приехал в аэропорт, посмотрел на электронное табло, которое показывает время ( часы и минуты), и заметил, что на табло горят четыре различные цифры. Когда он посмотрел на табло в следующий раз, там горели четыре другие различные цифры. Какое наименьшее время могло пройти между двумя этими моментами? Ответ: 36 минут. М огло ли быть меньше? Если да, то Костя смотрел на табло в два сосед­ них часа с разным числом десятков в числе ча­ сов. Среди вариантов 09 и 10, 19 и 20, 23 и 00 остаётся только второй, потому что в осталь­ ных повторяется цифра 0. Минимальное число минут после «2 0 :» равно 34, потому что цифры 0, 1 и 2 уже встречаются. Максимальное число минут после «1 9 :» - это 58, потому что циф­ ра 9 уже встречается. С 19:58 до 20:34 прошло 36 минут.

49. Метроморфы могут менять свой рост. Двадцать пять метроморфов стали в одну

шеренгу, рост каждого - целое число санти­ метров. В конце каждой минуты все метро­ морфы, слева и справа от которых более низ­ кие, чем они, уменьшают свой рост на 1 см, а те, слева и справа от которых более высокие, увеличивают свой рост на 1 см. Остальные, в том числе и стоящие по краям шеренги, не меняют роста. а ) Докажите, что через несколько минут все метроморфы перестанут менять свой рост. б) Верно ли это утверждение, если метро­ морфы уменьшают и увеличивают свой рост на 2 см? а) Предположим, что метроморфы А и Б стоят рядом и рост А с какого-то момента перестал ме­ няться. Докажем, что рост Б тоже когда-нибудь перестанет изменяться. Разница в росте А и Б мо­ жет только уменьшаться, причём если в начале Б был выше А , то Б никогда не станет ниже А и наоборот. Когда разница в росте А и Б достигнет своего минимума, рост Б перестанет меняться. Рост крайних метроморфов не меняется, значит, как мы доказали, рост их соседей тоже когда-нибудь перестанет меняться, потом и рост соседей их соседей и так далее, пока все метро­ морфы в шеренге не зафиксируют свой рост. б) Неверно. Пусть метроморфы были такого роста: 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, ..., 2. Через минуту они станут такого роста: 2, 3, 2,1, 2, 3, 2 ,1 ,..., 2. А ещё через минуту вернутся к исходному ро­ сту. Дальш е всё будет повторяться до бесконеч­ ности.

50. а ) Дан клетчатый квадрат 1 5 X1 5 . М ож но ли закрасить 15 клеток так, чтобы любой прямоугольник 3 X 5 со сторонами, па­ раллельными сторонам квадрата, составлен­ ный из клеток, содержал хоть одну закрашен­ ную клетку? б ) А можно ли так закрасить всего 14 кле­ ток? а) Одно из решений приведено на рисунке на с. 29. Можете убедиться самостоятельно, что в каждом прямоугольнике 5 x 3 (со сторо­ нами, идущими вдоль сетки) найдётся один из 15 красных квадратиков, но всё же мы приве­ дём здесь объяснение. П оскольку рисунок сим­ метричен относительно диагонали, достаточно это доказать лиш ь для прямоугольников 5X3, у которых горизонтальная сторона равна 5.

Д ля каждого прямоугольника с горизонтальной стороной 3 симметричный ему будет с горизон­ тальной стороной 5.

1 1■ ■

■и : I-:

т ■

11

■ ■ ж ■

■ ■

~

v■ ■ 11

L

■ ■

Вместе с каждой красной клеткой нарисуем ж ёлтую прямоугольную область 5 X 3 с центром в этой клетке и заметим, что если центр прямо­ угольника попал в ж ёлтую область, то он содер­ жит красную клетку - центр области. Ж ёлты е области на рисунке покрывают все возможные положения центров прямоугольников 5 X 3 (эти положения образуют центральный прямоуголь­ ник 11 X 13). Значит, любой прямоугольник 5X 3 содержит красную клетку. Решение на рисунке не единственное, попро­ буйте найти ещё хотя бы два. б) Квадрат 15X15 можно разбить на 15 прямо­ угольников 5X3. Тогда в каждом прямоугольни­ ке должна быть красная клетка! Значит, клеток всего не меньше 15. Это соображение может помочь строить при­ мер в пункте а). Дело в том, что квадрат можно разбить на 15 прямоугольников 5 X 3 двумя спо­ собами (симметричными друг другу относитель­ но диагонали квадрата), и для каждого спосо­ ба в каждом прямоугольнике должна найтись красная клетка.

■ Б Л И К И Н А С К АМ Е Й К Е («Квантик» № 7, 2017) П оскольку фонарь расположен далеко, он ос­ вещает скамейку пучком почти параллельны х лучей света. Они падают на каждую цилиндри­ ческую перекладину, из которых собрана ска­ мейка, под одним и тем же углом. Отражённые лучи образуют тот же угол с цилиндром, но рас­ ходятся от него в разные стороны. Посмотрите на фотографию, которую держит в руках Квантик. Представим себе момент, когда она была сделана, и проведём через фотоаппарат мысленную прямую, параллельную цилиндрам скамейки. Тогда все лучи, пришедшие в фотоап­

парат, как отражённые, так и прямо от фонаря, составляют с этой прямой один и тот же угол. То есть образуют конус, расходящийся из фотоап­ парата и имеющий в качестве оси проведённую нами мысленную прямую. На снимке конус превращается в окружность, на которой располагаются блики и фонарь, а мысленная прямая - в точку, к которой сходят­ ся цилиндры скамейки.

■ САТУРН - П ЛАН Е ТА В Ш ЛЯПЕ 1. Во времена Галилея (начало X V II века) Уран и Нептун ещё не были известны: невоору­ жённым глазом их не видно. Уран открыл У и ­ льям Герш ель в 1781 году.

2. Кольца расположены ровно над экватором Сатурна, который наклонён под углом приблизи­ тельно 28° к плоскости его орбиты. По сравнению с расстоянием до Сатурна Земля находится почти рядом с Солнцем, поэтому когда на Сатурне вес­ на или осень, мы колец не видим: они повёрнуты к нам (и к Солнцу) ребром. А когда на Сатурне лето или зима, кольца видно лучш е всего. Ещё и поэтому (а не только потому, что со­ стоят из камушков и пыли, а не изо льда) кольца Юпитера с Земли не видны: ось Юпитера, как мы помним из статьи «Времена года на Земле и дру­ гих планетах» в № 6 «Квантика» за 2016 год, перпендикулярна плоскости его орбиты, и к оль­ ца всегда видны «с ребра».

3. При толщине бумажного кольца 0,1 мм его диаметр должен быть 25 м, так что не то что в комнату, а даже и на детскую площадку во дво­ ре оно не влезло бы.

4. Космический аппарат находится З А Сатур­ ном и фотографирует затмение Солнца Сатур­ ном. Солнце подсвечивает кольца и край атмос­ феры, а сам Сатурн мы видим с теневой стороны.

5. Тонкая полоса - это кольцо, видимое с ре­ бра. Толстая чёрная полоса на Сатурне - тень кольца. Большой спутник на фото - Титан.

■ L -ГО ЛО В О ЛО М К А

/2=1

/2= 6

Левый рисунок симметричен относительно диагонали квадрата.

■ КАН ДИ ДАТ В ДЕПУТАТЫ Первый фокус. Если в любом трёхзначном числе, состоящем из разных цифр, поменять местами первую и последнюю цифры, а потом вычесть из большего числа меньшее, то п олу­ чится a b c-cb a = ( 100а + 1 0 Ь + с )-(1 0 0 с + 10Ь + а )= = 9 9 (а -с ), то есть одно из следующ их чисел: 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 и 891. Сумма цифр в каждом равна 18. Поэтому достаточно вычесть из 18 названное зрителем число, чтобы получить зачёркнутую им цифру. Второй фокус. Вова просто подбирает в уме ближайший к названному числу квадрат: 49, 64, 81, 100, 121 или 144. Разность между этим квадратом и названным числом даёт число, вы­ павшее на красном кубике. На жёлтом кубике будет число, дающее этот ближайший квадрат. Например, зритель назвал число 78. Тогда на жёлтом кубике 9 (так как ближайший ква­ драт это 9 •9 = 81), на красном кубике 3 (так как 8 1 -7 8 = 3). У Кошкина бинт намотан прямо на пиджак.

■ И ЗБРАН Н Ы Е З А Д А Ч И КО Н КУРСА «К Е Н Г У Р У » 1. Ответ: А. Сначала заметим, что в условиях задачи красная лента упоминается два раза: извест­ но, что она короче, чем Дашина, и не той д ли ­ ны, что Машина. Значит, эту ленту выбрала Катя. Кроме того, эта лента длиннее синей, но короче, чем лента у Даши. Тогда самая корот­ кая лента - синяя, средняя лента - красная у Кати, а самая длинная - у Даши. Осталось за­ метить, что у Маши самая короткая лента (си­ няя), а зелёная - самая длинная. Теперь легко проверить, что единственное верное утвержде­ ние - лента Даши зелёная.

2. Ответ: Б. Д ля начала заметим, что нас интересует только направление, в котором двигается Дима. Поэтому можно считать, что он доехал до цен­ трального перекрестка, там выполнил все свои повороты и выехал через те ворота, напротив ко­ торых в итоге оказался. Тогда становится понят­ но, что порядок поворотов значения не имеет, а важно только их количество. Теперь остаётся за­ метить, что четыре поворота налево не меняют направление, два поворота направо - это то же самое, что один разворот, а два разворота тоже

не меняют направления движения. Значит, можно считать, что Дима просто один раз повер­ нул направо и выехал через ворота Б.

23 = 3*7 + 2, следовательно, кроме этого послед­ него автобуса автомобиль обгонит ещё семь (са­ мый ранний из них выехал в 15:37).

3. Ответ: А. Будем говорить, что карточка леж ит на сто­ ле правильно, если на рисунке мы видим, что справа от дырочки верёвочка проходит под карточкой, а слева - над ней. Иначе будем го­ ворить, что карточка леж ит неправильно. За­ метим, что если мы возьмёмся за верёвочку слева от карточек и поднимем её, то правильно лежащие карточки будут обращены вверх той же стороной, которую мы видим на рисунке. А неправильно лежащие карточки при подъёме развернутся, и мы увидим их с другой стороны. Теперь посмотрим на рисунок в условии зада­ чи: на нём две средние карточки обращены вверх тёмными сторонами, а две крайние - белыми (но если мы продвинем, например, верхнюю кар­ точку вдоль верёвочки так, чтобы она оказалась в самом низу, то она всё равно будет обращена вверх белой стороной). Это значит, что среди предложенных рисунков надо выбрать такой, на котором после подъёма две соседние карточ­ ки будут «смотреть вверх» одной стороной, а две другие - другой. Этому условию отвечает только рисунок А : на нём крайние карточки лежат не­ правильно, а средние - правильно, причём сей­ час все они обращены к нам тёмной стороной. Значит, если мы возьмёмся за верёвочку слева от карточек и поднимем её, то средние карточки мы по-прежнему увидим тёмными, а крайние развернутся вверх белой стороной. Подняв таким же образом верёвочку с ри­ сунка Б, мы увидим сверху подряд три тёмные карточки и одну светлую (внизу). Все карточки с рисунка В мы увидим белыми. Рисунок Г даст нам три подряд белые карточки и ниже - одну тёмную. Наконец, рисунок Д даёт нам сверху одну тёмную карточку и под ней три белые.

4. Ответ: Г. Пусть автомобиль выехал в 16:00, тогда он приехал в 16:35. Обогнал он те автобусы, ко­ торые выехали раньше него, а приедут позже. Так как автобус едет ровно час, то нам надо подсчитать количество автобусов, которые от­ правились из аэропорта позже 15:35, но рань­ ше 16:00. Последний из этих автобусов выехал за две минуты до автомобиля, то есть в 15:58. К этому моменту с 15:35 прошло 23 минуты, но

5. Ответ: Г. Образующиеся на листе дырки должны быть симметричными относительно линий сгиба. Это верно только для рисунка Г.

6. Ответ: Д. Заметим, что если ответ в примере верный, то либо обе клавиши работают правильно, либо обе работают неправильно. Если же ответ в при­ мере неверный, то неправильно работает точно одна из использованных клавиш. Из третьего примера видно, что неправильно работает то ли клавиша с цифрой 4, то ли клавиша с цифрой 2. Если клавиша 4 - неправильная, то из послед­ него примера следует, что местами поменялись 3 и 4. Но тогда клавиша с цифрой 8 должна ра­ ботать правильно, и во втором примере должно было бы получаться 32. Значит, клавиша 4 ра­ ботает правильно, и с какой-то другой цифрой поменялась цифра 2. Но тогда из первого при­ мера следует, что она поменялась с цифрой 7.

7. Ответ: В. Внимательно присмотревшись к рисунку, мы видим, что конструкция имеет ширину 2, высоту 4 и длину тоже 4. Значит, наименьший параллелепипед, из которого могла получиться такая конструкция, имеет размеры 2 X 4 X 4 .

8. Ответ: Д. Заметим, что кубик Д собрать из таких бру­ сков возможно: все они будут размещены го­ ризонтально и параллельно переднему краю рисунка. Полож ение восьми блоков определя­ ется по восьми белым кубикам, которые видны на рисунке. Девятый блок - средний в нижнем ряду, расположен так, что белый кубик на нём не виден. По разным причинам остальные че­ тыре кубика собрать из таких брусков нельзя. Например, на рисунке А два отмеченных белых кубика не могут принадлежать непересекающимся брускам. На рисунках Б, В и Г отмечено по одному кубику, которые, не могут принадле­ жать ни одному бруску.

х УУ г

У

9. Ответ: В.

Заметим, что если на невидимой стороне ци­ линдра нет закрашенных клеток, то, проведя на его поверхности разрез так, как указано на рисунке, мы получим развёртку В. Остальные развёртки не подходят.

10. Ответ: Г. Будем считать, что диагональ маленького светлого квадрата равна двум единицам. Тогда сторона скатерти равна 10, а большой светлый квадрат имеет размеры 6 X 6 . Следовательно, суммарная площадь светлой области равна 16*2 + 6*6 = 68 (квадрат с диагональю 2 имеет площадь 2). Значит, площадь тёмной области равна 10• 1 0 -6 8 = 32. А так как площадь всей скатерти равна 100, то тёмная часть составляет от неё 32% .

11. Ответ: В. За 60 минут минутная стрелка поворачива­ ется на 360°, следовательно, за 1 минуту она по­ ворачивается на 6°, или на 6*60 = 360 минут.

12. Ответ: Б. Заметим, что расстояние от центра колеса до ближайшего склона холма должно быть посто­ янным (и равным радиусу колеса). Помня это, несложно убедиться в том, что правильной тра­ екторией центра колеса является вариант Б.

13. Ответ: Д. Обозначим через О точку, в которую попа­ ли вершины В и D после сгибания листа. Т ог­ да АО = АВ = 1 и ОС —DC — 1. По неравенству треугольника получаем: АО + ОС ^ АС, то есть А С ^ 2. Итак, диагональ данного прямоугольни­ ка не превосходит 2. По теореме Пифагора от­ сюда следует, что другая сторона не превосхо­ дит V22- 12= У з . Покажем, что прямоугольник со сторонами 1 и УЗ можно сложить нужным образом. За линии сгиба возьмём перпендику­ ляры , опущенные на диагональ BD из вершин А и С. Тогда точка О будет серединой диагонали BD (заметим, что в таком прямоугольнике диа­ гонали образуют со сторонами углы в 30° и 60°, поэтому треугольники АОВ и COD будут пра­ вильными). Итак, наибольшее возможное зна­ чение стороны A D равно д/3.

31

АДЫ

наш

наш

КОН

АДЫ А в тор ы : Сергей Л ьв ов ск и й (5 6 ), М и х а и л Евдокимов (57, 58),

П риглаш аем всех попробовать свои си лы в нашем

А л е к с а н д р П ер еп ечк о (5 9 ), А н д р ей Егоров (6 0 )

заочном математическом конкурсе. В ы сы лайте реш ения задач, с которы ми справитесь, не позднее 1 сентября э л е к ­ тронной почтой по адресу m atkonkurs@kvantik.com и ли обычной почтой по адре­ су 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и ф амилии укаж ите город, ш к о лу и класс, в котором вы учитесь, а такж е обратный почтовый адрес. В конкурсе такж е м огут участвовать команды: в этом случае присы лается одна работа со списком участников. И тоги среди команд подводятся отдельно. Задачи конкурса печатаются в каж дом номере, а такж е п убли кую тся на сайте www.kvantik.com . Участвовать мож но, начиная с лю бого тура. П обедителей ж дут диплом ы ж урн ала «К в а н т и к » и призы. Ж ела ем успеха!

Нет!! Панели-уголки не нужны! Нужны кирпичи-уголки, и побольше. Задача сложная попалась

58. И з девяти одинаковы х кирпичейуголк ов , каж ды й из которы х склеен из трёх кубиков 1 X 1 X 1 , мож но слож и ть куб 3 X 3 X 3 (см. задачу 16 конкурса). Один из кирпичей-уголков поте р яли и зам енили его пря­ мым кирпичом 3 X 1 x 1 . М ож но л и из нового набо­ ра слож и ть куб 3 X 3 X 3 ?

XII Т У Р 56. К огда у го л м еж ду часовой и м и ­ нутной стрелкам и больш е: в пять м и ­ нут двенадцатого и ли в десять минут первого?

ш Вова, что тут сложного? Вопрос простои. Сколько у тебя братьев?

№.

57. В многодетной семье у каж дого ребёнка спросили: «С к о л ь к о у тебя братьев?» К аж ды й из детей назвал одно натуральное число, а сумма всех названных чисел оказалась рав­ на 35. С колько детей в семье, если все дети ответили правильно?

59. Двое игроков по очереди забира­ ют камеш ки из больш ой кучи камней. П ервы й забирает один камеш ек, а далее каж ды й игрок берёт ли бо на камеш ек больш е, ли бо на камеш ек меньш е, чем соперник перед ним, но не менее одного камеш ка. П роигры вает тот, кто не мож ет сделать ход. К то выиграет при оп ти м а ль­ ной игре, если игроки не м огут оценить размер кучки , пока в ней больш е десяти камеш ков?

Ну, давай, ты первый забирай камешек

60. С какого-то момента директор ком па­ нии «Н е обманеш ь - не продаш ь» стал еж е­ месячно заявлять собранию акционеров, что доход за последние 7 месяцев превосходит расход, а налоговой инспекции - что расход за последние 1 2 месяцев превосходит доход. Как д олго это мож ет продолж аться, если ди­ ректор не врёт? Художник Николай Крутиков

На

ф о т о и зо б р а ж е н а тень о т

ЗАЖАТОЙ В РУКЕ КИТАЙСКОЙ ПА­ ЛОЧКИ НА ФОНЕ ТЕНИ ОТ ВЕТКИ. НИКАКИХ СТЁКОЛ, ЗЕРКАЛ НЕТ ПОЧЕМУ ЖЕ ТЕНЬ ПАЛОЧКИ «СЛО­ МАЛАСЬ»? (П о п р о б у й т е с а м и с д е л а т ь ТАКОЙ ОПЫТ: В ЯРКИЙ СОЛНЕЧНЫЙ ДЕНЬ РАСПОЛОЖИТЕ ПАЛОЧКУ ТАК, ЧТОБЫ ЕЁ ТЕНЬ ПАДАЛА НА ТЕНЬ ОТ ВЕТКИ, И ПОДБЕРИТЕ РАС­ СТОЯНИЕ ОТ ПАЛОЧКИ ДО ЗЕМЛИ, ЧТОБЫ ТЕНЬ «ПЕРЕЛОМИЛАСЬ».) А ВТОР АЛЕКСАНДР БЕРДНИКОВ ХУДОЖНИК АЛЕКСЕЙ ВАЙНЕР