Errores

Tipos de Error Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero es importante descubrir cual es la exactitud real y como se generan los diferentes errores en las mediciones. Un estudio de los errores es el primer paso al buscar modos para reducirlos con objeto de establecer la exactitud de los resultados finales.

Lo errores pueden provenir de diferentes fuentes y por lo general se clasifican en tres categorías principales: Errores gruesos: son en gran parte de origen humano, como la mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, así como equivocaciones en los cálculos.

Errores Sistemáticos: se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo del usuario.

Errores Aleatorios: ocurren por causas que no se pueden establecer directamente debido a variaciones aleatorias en los parámetros o en los sistemas de medición.

Cada uno de estos tipos de errores se analizan brevemente y se sugieren algunos métodos para su reducción o eliminación.

Errores Graves Se deben principalmente a fallas humanas en la lectura o en la utilización de los instrumentos, así como en el registro y cálculo de los resultados de las mediciones. Cuando el hombre participa en las mediciones, se comete inevitablemente algunos errores graves.

Aunque probablemente es imposible la eliminación total de éstos se debe anticiparlos y corregirlos. Algunos de estos errores se detectan con facilidad pero otros son muy evasivos. Un error común y frecuente entre principiantes es el uso inapropiado de un instrumento. En

general las condiciones de funcionamiento de los instrumentos indicadores cambian cuando se conectan a un circuito de tal modo que la cantidad medida se altera según el método empleado.

Por ejemplo un voltímetro bien calibrado puede dar una lectura errónea cuando se conecta a través de dos puntos en un circuito de alta resistencia (ejemplo 1). El mismo dispositivo conectado en un circuito de baja resistencia puede dar una lectura más confiable (ejemplo 2). Estos casos indican que el voltímetro adquiere un “efecto de carga” en el circuito, lo cual altera el estado original en el proceso de medición.

Ejemplo 1 En un voltímetro con sensibilidad de 1000 / V se lee 100V, en su escala de 150 V conectado a través de una resistencia desconocida en serie con un miliamperímetro. Cuando el miliamperímetro indica 5mA, calcúlese a) el valor de la resistencia aparente desconocida; b) el valor de la resistencia real desconocida; c) el error debido al efecto de carga del voltímetro.

Solución Planteamiento del Problema

Inciso a La resistencia total del circuito equivale a RT 

VT 100V   20k  IT 5mA

Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la resistencia desconocida es Rx  20k  Inciso b La resistencia del voltímetro equivale a RV  1000

  150V  150k  V

Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia desconocida, cabe escribir.

Rx 

RT RV 20  150   23.07k  RV  RT 130

Inciso c

real  aparente 23.07k   20k   100%   100% real 23.07k  % Error  13.23% % Error 

Ejemplo 2 Repítase el ejemplo 1 pero ahora el miliamperímetro indica 800mA y en el voltímetro se lee 40 V en su escala 150 V. Solución Planteamiento del Problema

Inciso a La resistencia total del circuito equivale a RT 

VT 40V   50 IT 0.8 A

Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la resistencia desconocida es Rx  50 Inciso b La resistencia del voltímetro equivale a RV  1000

  150V  150k  V

Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia desconocida, cabe escribir.

Rx 

RT RV 50  150k    50.1 RV  RT 149.95k 

Inciso c

real  aparente 50.1  50  100%   100% real 50.1 % Error  0.2% % Error 

Los errores debidos al efecto de carga del voltímetro se evitan utilizándolo inteligentemente.

Un gran número de errores graves son atribuidos a descuidos o malos hábitos como lecturas inapropiadas de un instrumento, registro de los resultados en forma diferente a las lecturas obtenidas o ajuste incorrecto de los instrumentos. Considérese el caso de un voltímetro de escalas múltiples que usa un solo conjunto de marcas de escalas con diferentes números de designación para varias escalas de voltaje.

Es fácil emplear una escala que no corresponde a la establecida en el selector de escala del instrumento.

Otro grave error puede ocurrir cuando el instrumento no esta ajustado a cero antes de tomar la medición; entonces todas las lecturas están mal.

Errores como estos no se pueden tratar a nivel matemático; se evitan teniendo cuidado en la lectura y registro de los datos de medición. Una buen practica es efectuar mas de una lectura de la misma cantidad, de preferencia por diferentes observadores. Nunca dependa solo de una lectura, tómese un mínimo de tres lecturas separadas, preferentemente en condiciones en que los instrumentos se enciendan para hacer la medición.

Errores sistemáticos Por lo general se dividen en dos categorías: 1) Errores instrumentales, referentes a los defectos de los instrumentos, y 2) Errores ambientales, debidos a las condiciones externas que afectan las mediciones.

Los errores instrumentales son inherentes a los instrumentos de medición a causa de su estructura mecánica. Por ejemplo, en el galvanómetro D’Arsonval, la fricción de los cojinetes de varios componentes móviles puede causar lecturas incorrectas. La tensión irregular de los resortes o estiramiento del mismo; así como una reducción de la tensión debido al manejo inapropiado o sobrecarga del instrumento causa errores.

En esta clasificación también se incluyen los de calibración, lo que hace que el instrumento de lecturas altas o bajas a lo largo de toda la escala. (El descuido al no ajustar el dispositivo a cero antes de efectuar una medición tiene un efecto semejante).

Hay muchas clases de errores instrumentales, según el tipo de instrumento empleado. El experimentador siempre debe tomar precauciones para asegurarse de que el aparato se use y se opere correctamente y no contribuya con errores excesivos para sus propósitos. Las fallas en los instrumentos se pueden detectar

verificando si hay comportamiento errático, así como la estabilidad y la reproducibilidad de los resultados. Una forma rápida y fácil de verificar un instrumento es compararlo con otro de las mismas características o con uno más exacto.

Los errores instrumentales se pueden evitar: 1. Al seleccionar el instrumento adecuado para la medición particular.

2. Al aplicar los factores de corrección después de definir la cantidad del error instrumental, y 3. Al calibrar el instrumento con un patrón.

Los errores ambientales se deben a las condiciones externas que afectan la operación del dispositivo de medición incluyendo las condiciones del área circundante del instrumento, como los efectos de cambio de temperatura, humedad, presión barométrica o de campos magnéticos y electrostáticos; por ejemplo, un cambio de la temperatura ambiente a la cual se usa el instrumento altera las propiedades elásticas del resorte en el mecanismo de bobina móvil y afecta la lectura del instrumento.

Las medidas correctivas para reducir estos efectos incluyen aire acondicionado sellado y hermético en ciertos componentes del instrumento, asilar el equipo de campos magnéticos, etcétera.

Los errores sistemáticos también se pueden subdividir en estáticos o dinámicos. Los primeros se originan por las limitaciones de los dispositivos de medición o las leyes físicas que gobiernan su comportamiento. Un error estático se introduce en un micrómetro cuando se aplica presión excesiva al eje al girarlo. Los errores dinámicos se producen cuando el instrumento no responde con suficiente rapidez a los cambios de la variable medida.

Errores aleatorios Se deben a causas desconocidas y ocurren incluso cuando todos los errores sistemáticos se han considerado. En experimentos bien diseñados por lo general se presentan pocos errores aleatorios pero llegan a ser importantes en trabajos de gran exactitud.

Supóngase que se monitorea un voltaje con un voltímetro, el cual lee cada media hora.

Aunque el instrumento es operado en condiciones ambientales ideales y se calibro antes de la medición, las lecturas varían ligeramente durante el periodo de observación. Esta variación no se puede corregir por ningún método de calibración u otro método de control conocido y no se puede explicar sin una investigación minuciosa.

La única forma de compensar estos errores es incrementar el número de lecturas y usar medios estadísticos para obtener la mejor aproximación del valor real de la cantidad medida.

Análisis Estadístico El análisis estadístico de datos de mediciones es una práctica común ya que permite obtener una determinación analítica de la incertidumbre del resultado final. El resultado de un método de medición se puede predecir con base al muestreo de datos sin tener información detallada de todos los factores de perturbación. Para realizar métodos estadísticos e interpretaciones claras, generalmente se necesita un gran número de mediciones.

También los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación con los errores residuales o errores aleatorios, ya que el tratamiento estadístico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en las mediciones.

Media Aritmética El valor más probable de una variable medida es la media aritmética del numero de lecturas tomadas. Cuando el número de lecturas de la misma cantidad es muy grande, se obtiene la mejor aproximación. En teoría, un número infinito de lecturas daría el mejor resultado, aunque en la practica solo se puede ejecutar un número finito de mediciones.

La media aritmética esta dada por la siguiente expresión:

x

x1  x2  x3  x4  ....  xn  x  n n

(1)

Donde x  media aritmética x1 , x2 , x3  lecturas tomadas n  número de lecturas

El siguiente ejemplo presenta el uso de la media aritmética.

Ejemplo 3 Cuatro observadores efectuaron un conjunto independientes de voltaje, que se registraron como:

117.02V 117.11V 117.08V 117.03V Calcúlese: a. Voltaje Promedio b. Rango del error

de

mediciones

Solución Planteamiento del Problema Inciso a E1  E2  E3  E4 N 117.02  117.11  117.08  117.03   117.06V 4

E promedio 

Inciso b Rango  Emax  E promedio  117.11  117.06  0.05V

Pero también Rango  E promedio  Emin  117.06  117.02  0.04V

El rango promedio de error equivale a

0.05  0.04  0.045V  0.05V 2 Cuando se suman dos o más mediciones con diferentes grados de exactitud, el resultado es tan exacto según lo sea la medición menos exacta.

Desviación de la medida Desviación es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmética. Si la desviación de la primera lectura, x1 , se llama d1 , y de la segunda lectura, x2 , es d 2 y así sucesivamente, entonces, las desviaciones de la media se expresan como:

d1  x1  x

d2  x2  x

dn  xn  x

(2)

Nótese que la desviación de la media puede tener un valor positivo o negativo y que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser cero.

El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de las desviaciones.

Ejemplo 4 Seis observadores tomaron un conjunto de mediciones independientes de corriente y los registraron como 12.8 mA, 12,2 mA, 12.5 mA, 13.1 mA, 12,9 mA y 12.4 mA. Hay que calcular a) media aritmética; b) desviaciones de la media.

Solución Planteamiento del Problema Inciso a Con la ecuación (1), la media aritmética es igual a x

12.8  12.2  12.5  13.1  12.9  12.4  12.65mA 6

Inciso b Con la ecuación (2) las desviaciones son: d1  x1  x  d1  12.8mA  12.65mA  0.15mA d 2  x2  x  d 2  12.2mA  12.65mA  0.45mA d3  x3  x  d3  12.5mA  12.65mA  0.15mA d 4  x4  x  d 4  13.1mA  12.65mA  0.45mA d5  x5  x  d5  12.9mA  12.65mA  0.25mA d 6  x6  x  d 6  12.4mA  12.65mA  0.25mA

Nótese que la suma algebraica de todas las desviaciones equivale a cero.

Desviación Promedio La desviación promedio es una indicación de la precisión de los instrumentos usados en las mediciones. Los instrumentos altamente precisos producen una desviación promedio baja entre lecturas. Por definición, la desviación promedio es la suma de los valores absolutos de las desviaciones, entre lecturas. El valor absoluto de la desviación es el valor sin respetar el signo. La desviación promedio se puede expresar como: D

d1  d 2  d3  .......  d n  d  n n

(3)

Ejemplo 5 Calcúlese la desviación promedio para los datos del ejemplo 4.

Solución Planteamiento del Problema D

0.15  0.45  0.15  0.45  0.25  0.25  0.283mA 6

Desviación estándar En análisis estadísticos de errores aleatorios, la raíz media cuadrática de las desviaciones o desviación estándar es una ayuda muy valiosa.

Por definición, la desviación estándar  de un número infinito de datos es la raíz cuadrada de la suma de todas las desviaciones cuadradas individuales, divididas entre el número de lecturas. Expresada en términos matemáticos:

d12  d 2 2  d32  .........  d n 2   n

d

2 n

(4)

n

En la práctica, el número posible de observaciones es finito. La desviación estándar de un numero finito de datos esta dada por d12  d 2 2  d32  .........  d n 2   n 1

d

2 n

n 1

(5)

La ecuación (5) se utiliza en el ejemplo 6.

Otra expresión esencialmente para la misma cantidad es la varianza o desviación cuadrática media, la cual es semejante a la desviación estándar excepto que no se le extrae la raíz cuadrada. Por lo tanto varianza(V )  desviación cuadratica media   2

La varianza es una cantidad de gran utilidad en la realización de muchos cálculos, ya que las varianzas son aditivas. La desviación estándar tiene la ventaja de tener las mismas unidades que la variable, lo que facilita la comparación de magnitudes. La mayoría de los resultados científicos se expresan en términos de desviación estándar.

Probabilidad de Errores Distribución normal de errores En la tabla 1 se presentan 50 lecturas de voltaje tomadas durante pequeños intervalos de tiempo en que se registraron los más cercanos a 0.1 V. El valor nominal de las mediciones de voltaje fue de 100V. Tabla 1. Registro de lecturas de voltaje Voltaje leído (voltios) Número de lecturas 99.7 1 99.8 4

99.9 100.0 100.1 100.2 100.3 Total de lecturas

12 19 10 3 1 50

Numero de Lecturas 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Numero de Lecturas

99.7

99.8

99.9

100

100.1

100.2

100.3

1

4

12

19

10

3

1

Figura 1.

El histograma presenta la frecuencia de ocurrencia de las 50 lecturas de voltaje de la tabla 1. La curva punteada representa el límite de casos del histograma cuando se toma un gran número de lecturas en pequeños incrementos.

El resultado de la serie de mediciones puede ser presentado gráficamente como diagrama de bloques o histograma, en el cual el numero de lecturas observadas se grafica cada lectura de voltaje. El histograma de la figura 1, representa los datos de la tabla 1.

La figura 1 muestra que al mayor numero de lecturas (19) coincide con el valor central de 100V, mientras las otras lecturas se localizan mas o

menos en forma simétrica en uno u otro lado del valor central. Si se toman más lecturas con menores incrementos, digamos 200 lecturas a intervalos de 0.05V, la distribución de observaciones quedaría aproximadamente simétrica alrededor del valor central y el histograma sería caso igual al anterior. Con más datos, tomados en incrementos más y más pequeños, el contorno del histograma sería una curva continua, como la indicada por la línea punteada en la figura 1.

Esta curva con forma de campana se conoce como curva de Gauss.

En lo más pronunciado y estrecho de la curva, un observador puede establecer que el valor mas probable de lectura real es el valor central o lectura media.

La ley normal de error o gaussiana constituye la base del estudio analítico de los efectos aleatorios. Aunque el tratamiento matemático de estos temas va más allá del alcance de estas notas, las siguientes proposiciones se basan en la ley de distribución normal: a. Todas las observaciones incluyen pequeños efectos de distorsión, llamados errores aleatorios. b. Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativos. c. Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o negativos.