Coordenadas cilíndricas

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Introducimos el sistema de coordenadas polares para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones tenemos dos sistemas de coordenadas que son semejantes al de las coordenadas polares y dan descripciones cómodas de algunas superficies y sólidos que aparecen frecuentemente.

En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P

del espacio

tridimensional esta representado por la terna ordenada  r , , z  donde

r y  son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P véase la siguiente figura 1

Figura 1.

Coordenadas Cilíndricas

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares empleamos las ecuaciones: x  r cos , y  sen , z  z

(1.1)

Mientras para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas usamos: Coordenadas Cilíndricas

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r 2  x 2  y 2 , tan  

y ,z  z x

(1.2)

Ejercicios Propuestos Ejercicio 1 Determine el punto en coordenadas cilíndricas  2,2 / 3,1 y encuentre sus coordenadas rectangulares (r,t,z) = (2,2pi/3,1)

z

x

y

Coordenadas Cilíndricas

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De las ecuaciones anteriores, sus coordenadas rectangulares son:  2   1 x  2cos    2     1  3   2  2 y  2sen   3

 3   2   3    2 

z 1

Entonces el punto

 1,



3,1

Ejercicio 2 Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares P(3, 3, 7)

Coordenadas Cilíndricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I (x,y,z) = (3,-3,-7)

z

x

y

De las ecuaciones anteriores tenemos que: r  32   3  3 2 2

tan  

3   7 7  1        2      2n 3 4 4 4 4

z  7

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son tanto



como 3 2,  / 4, 7

Coordenadas Cilíndricas

3

2,7 / 4, 7



 Página 4

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Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría, como se muestra en las siguientes figuras:

Cilindro x 2  y 2  9

Paraboloide x2  y 2  4 z, r  2 z Coordenadas Cilíndricas

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Cono x2  y 2  z 2 , r  z

Hiperboloide x2  y 2  z 2  1, r 2  z 2  1

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