Problemario de ecuaciones diferenciales

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 16] Encuentre los valores de m tales que y  x m sea una

PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

solución de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

a) x 2 y  y  0

5.0 Solución De Una Ecuación Diferencial

b) x 2 y  16xy  4 y  0

5.1 Ecuaciones Diferenciales Por Variables Separables

Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde c1 , c2 son constantes.

1]

dy  dx

y x

y

si



x  c1



2

x

0,

3]

1 1 y   y  senx si y  senx  cos x  10e  x 2 2 2 xydx   x 2  2 y  dy  0 si x 2 y  y 2  c1

4]

x 2 dy  2 xydx  0

5]

y 

2]

1 y 1 x

dP  P  a  bP  dt

7]

x

2

si

P

 y 2  dx   x 2  xy  dy  0

x

si

y 

xy x2  y 2

13] 2 xyy   x 2  y 2

si

x

2

yx e

si

y  xtgx

si

x 2  2 y 2 ln y

si

y 2  x 2  cx

es

0

15] Encuentre los valores de m tales que

y  emx Sea una solución de cada una de las Siguientes ecuaciones diferenciales.

b)

y  5 y  6 y  0 y  10 y  25 y  0

2 y ( x  1)dy  xdx

7]

y ln x

dx  y  1    dy  x

 2

dP  P  P2 dt 9] sec2 xdy  csc ydx  0

8]



y 2  x  ln x  1  c

1 x3 y2 ln x  x3   2 y  ln y  c 3 9 2 P   cet 1 P  4 cos y  2 x  sen2 x  c

 sol.  2 cos x  e y  ye  y  e  y  c 11] (e y  1) 2 e y dx  (e x  1)3 e x dy  0 soluciones

Determine un valor para k tal que y  kx 2 sea una solución

a)

6]

10] e sen2 xdx  cos x(e 2 y  y )dy  0

y  cx  c 2

singular de la ecuación diferencial dada.

1 y  e 3 x  c 3

( x  1)

14]

2 x

Compruebe que es una familia uniparamétrica de

y  xy   y 

y x

y   cos x ln  sec x  tan x 

x y   3 xy   4 y  0 si y  x 2  x 2 ln x,

12]

2



5]

4]

c1  x  y   xe

9]

11] xy   y  x  y

0

dx  e3 x dy  0

dy  x6  y  x  5ln x  1  c dx dx x 2 y 2    3  3 x ln x  xy 3  cx dy 1  x dy  e3 x  2 y   3e 2 y  2e3 x  c dx (4 y  yx 2 ) dy  (2 x  xy 2 ) dx  0  2  y 2  c(4  x 2 )

2]

ac1e 1  bc1e at

2

2

1]

at

y   y  tan x

10] y   3 y   3 y  y  0

0

3]

8]

si

c1

1 x2

y  x ln x

si

6]

y

si

Resuelva la ecuación diferencial dada, por el método de separación de variables.

 sol. (e x  1)2  2(e y  1)1  c dy 12] ( y  yx 2 )  ( y  1) 2 dx 1 x 1  sol.  y ( y  1) 1  ln y  1  ln c 2 x dy xy  3x  y  3 13]  dx xy  2 x  4 y  8  sol. y  5ln y  3  x  5ln x  4  c dy  senx(cos 2 y  cos 2 y )  sol.  cot y  cos x  c dx  x2  15] x 1  y 2 dx  dy  sol. y  sen   c  2   14]

PÁG. 1

Problemario De Ecuaciones Diferenciales

17]

e e

sol.

1  cos x  1  e y   4

16]

x

 e x 

y

dy  y2  sol.  y 1  tg 1  e x   c dx y (0)  0  1 senxdx  1  cos x  dy 1 2

18]

ydy  4 x  y 2  1 dx

sol.

y2  1  2x2  2

 sol.

sol. x  tg  4 y  3 4 

38]

y seny  x 2

 sol.

39]

y   ytgx  0

 sol.

 x3  y  cos 1  c   3  y  c sec x

 sol.

y  ln y  1  ln x  c

Resuelva la ecuación diferencial homogénea dada.

1 y (1)  1  sol. xy  e1 x 

dy 2   x  1 dx dy y  1 22]  dx x dy  e y  e 2 x  y 23] e x y dx

 sol.

21]

24] x 2 y 2 dy   y  1 dx

y

 x  1

3

1]

 x  y  dx  xdy  0

2]

y

3]

dy y  x  dx y  x

3

 sol. y  1  cx  1   e y  y  1  e  x 1  e 2 x   c  3  2 y 1   y  ln  y  1    c x 2

26] 27]

28] 29]

dy  2 y  3  2 1    c  dx  4 x  5  2 y  3 4x  5 dQ  K  Q  70   sol. Q  cekt  70 dt 1 1 1 1  y dy  1  x 2  2 1  y 2  2  1  y 2  2  1  x 2  2  c x dx dy 1 2 x 2    sol. y 2  x 2  x  c dx y y dy xy  2 y  x  2   y  2 ln  y  1  x  5ln  x  3  c dx xy  3 y  x  3

dy 30]  ty  y dt dy y 2  1 31]  dx x 2  1 32]

y  2 y  1

y (1)  3 y (2)  2 y (0) 

5 2

33] x5 y   y 5  0

35] 36]

1  x  dy  1  y  dx  0 2

2

1 t 2

 sol.

y  3e

 sol.

y 1  x 1   c  y 1  x 1

2

1 1 c 4 4 y x

 sol :

y  ce2 x

 sol.

y  c cos x

 sol. y 

2

cx 1  cx

 yx  dx  x 2 dy  0

 sol. x  y ln x  cy

 xc

 ln  x 2  y 2   2tg 1 y





 sol. 4 x  y  ln y  c 

5] 2 x 2 ydx   3 x3  y 3  dy

 sol. y 9  c  x 3  y 3 

6]

dy y x   dx x y

 sol.

8]

 dx  x  4 ye y dy

x

2

2

2

 sol. e

 xy  y 2  dx  xydy

2

 y x   2 ln x  c

2x

7] y

2x

y

 8 ln y  c

 sol. y  x  cx 2 e

y x

dy  y 3  x 3 y (1)  2  sol. y 3  3 x 3 ln x  8 x 3 dx dy 2 10] 2 x 2  3 xy  y 2 y (1)  2  sol. y 2  4 x  x  y  dx y y y 11]  x  ye x  dx  xe x dy  0 y (1)  0  sol. ln x  e x  1  9] xy 2

12]

y

2

 3xy  dx   4 x 2  xy  dy

sol. 4 x ln y

x



14]



y (0)  1

( x  y ) ln y  x  0

x 

y 2  xy

 dydx  y y  12   1



 sol. ln y  2 1  x 15] ydx  2  x  y  dy 16]

y (1)  1

 x ln x  y  x  c

13] y 2 dx  x 2  xy  y 2 dy  0 sol.



 sol.

y   4 xy y   ytgx  0

34]



2

 sol. x ln x  y  cx

4]  ydx  x  xy dy  0

2

25]

y  ecx

5.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

x 

20] x 2 y   y  xy

y ln ydx  xdy  0

40] xyy   y  1

y (0)  1

 4  1

dx 19]  4  x 2  1 dy

37]

dy x  3 y  dx 3x  y

 1 2

y

2  sol. x  2 y  cy 2  sol. x  y  c  x  y 

2

PÁG. 2

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 17]

x

4

 y 4  dx  2 x 3 ydy  0

dy y x 2   1 dx x y 2 dy y y 19]  ln dx x x 20]  x 2  2 y 2  dx  xydy 18]

 sol. ln x 

 

 sol. y  x tag 1 y  ln x  c  x    sol. ln  xy   cx  1  sol. 2 x 4  x 2  y 2

y (1)  1

21] xydx  x 2 dy  y x 2  y 2 dy

y (0)  1

22] y 3 dx  2 x 3 dy  2 x 2 ydx  sol. y 2 ln x  x 2 

24]



x y



2

y (1)  2

10]

1 2

dx  xdy

11]

y (1)  0

 sol.

12]

Suponga que M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 es una

ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones x  r cos , y  rsen reduce la ecuación a una de variables separables.

25]

x

2

 2 y 2  dx  xydy  0

26] x 2 y   3xy  2 y 2  0 27] xy  y  2 xe 28]



y x

 sol. y 2  x2  cx4

30] x 2 y   y 2  2 xy

13]

dy y  x  2 1  y   dx y  x  7 2 dy x  y  2  dx x  y  4 dy x  2y 1  dx 5 y  2 x  3 dy 2 x  y  dx y 1 dy x  2y 1  dx 4 y  2 x  3

1 2

  y  x   14 y  4 x  9 2

 y  3ln x  y  1  x  c  sol.  sol.  sol.

dy x  y  4  dx x  y  6 dy x  y  4 15]  dx x  y  6 14]

 sol.  sol.

16]

 2 x  2 y  dx   y  1 dy  0

 sol.

 sol.

y

cx 1  cx 2

17]

dy x  y 1  dx x  4 y  2

 sol.

y  x ln  ln cx 2 

18]

 2 x  3 y  1 dx  4  x  1 dy  0

 x  y  dx   x  y  dy  0

29] xy  2 x  6 y

dy x  y  1   sol. dx x 1 dy 3x  2 y  7   sol.

6] dx x y4 dy x  y 6   sol.

7] dx x  y  8 dy y  x  8 2  8] y (1)  2   y  x   2  y  x   18 x  3 dx y  x  1 5]

9]

x 2  y 2  y  ln y  1

 sol.

23]

x2 c y  x2 2

3

 sol. x 2  2 xy  y 2  c c 2  sol. y  x  6 x 7 cx 2  sol. y  1  cx

5.4

 sol.  sol.

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Determine si la ecuación diferencial es exacta, si es exacta resuélvala.

1]

 5 x  4 y  dx   4 x  8 y 3  dy  0

5.3 Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas

5 2 x  4 xy  2 y 4  c 2 2]  x  y  x  y  dx  x  x  2 y  dy  0

 x  y  1 dx   2 x  2 y  1 dy  0 sol. x  2  x  y   ln x  y  c 2]  x  y  1 dx   x  4 y  2  dy  0

sol.

3]

sol.

4] x

1]

3]

 2 x  y  3 dx   x  y  1 dy  0

sol.

4] sol.

 x  y  2  dx   x  y  4  dy  0

sol.

y

3

 y 2 senx  x  dx   3 xy 2  2 y cos x  dy  0

sol. xy 3  y 2 cos x  1 2 x 2  c dy  2 xe x  y  6 x 2 dx sol. xy  2 xe x  2e  2 x 3  c

  3  3  5] 1   y  dx  1   x  dy  0 x y     sol. x  y  xy  3ln xy  c

PÁG. 3

Problemario De Ecuaciones Diferenciales  M ( x, y )dx   xe xy  2 xy  

1 dy  0 x y sol. M ( x, y)  ye xy  y 2  2  hx  x

1  dx  3 2 6]  x 2 y 3   x y 0 1 9 x 2  dy   sol. x3 y 3  tg 1 3x  c 7]

 tgx  senx seny  dx  cos x cos ydy  0

sol.  ln cos x  cos x seny  c

1  2 x

 2y

21] Obtenga una función N ( x, y) que de modo sea exacta

dy  4 x3  4 xy dx sol. y  2 x 2 y  y 2  x 4  c

8]

9]

4x

3

2

la siguiente ecuación diferencial.

y  15 x 2  y  dx   x 4  3 y 2  x  dy  0

 1 2  12 x  y x  2 x  

sol. x y  5 x  xy  y  c 4

10]

3

 x  y

2

3

dx   2 xy  x 2  1 dy  0

y (1)  1

1 3 4 x  x 2 y  xy 2  y  3 3 11]  4 y  2 x  5  dx   6 y  4 x  1 dy  0

22]

y (1)  2

2

 seny  ysenx  dx   cos x  x cos y  y  dy  0

sol. y cos x  xseny 

y c 2

15]

2x x dx  2 dy  0 y y

16]

 3x2 y  e y  dx   x3  xe y  2 y  dy  0

25]

 y 3  dx  3xy 2 dy  0

 sol. xy 3   sol.

1 4 x c 4

x2 c y

sol.

18]

y (0)  1

sol. 2 y  xy  ye  e  e  3 y

x

19] Halle el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas. a) b) c) d)

 y  kxy  2 x  dx  3xy  20 x y  dy  0  k  10  2 x  ysenxy  ky  dx   20 xy  xsenxy  dy  0  k  5  k 1  2 xy  ye  dx   2 x y  ke  1 dy  0 k 9  6 xy  cos y  dx   kx y  xseny  dy  0 3

4

2

2

3

4

2

3

x

y

 cos x cos y  dx

ydx  xdy  xdx  0 1  x2 y 2

1  y

2

x2  c

senx  dx  2 y cos 2 xdy  0

sol. x  y 2 cos 2 x  c

 2 xy

3

 y cos x  dx   3x 2 y 2  senx  dy  0

28]

 2 xy

4

 seny  dx   4 x 2 y 3  x cos y  dy  0

sol. x 2 y 4  xseny  c

 y  dx   2  x  ye y  dy y

y

sol. x 2 y 3  ysenx  c

y 2  5 y  xsen3x  3x  c x

26]

2

 3x cos 3x  sen3x  3 dx   2 y  5 dy  0

e

 senxseny  xe  dy   e

1  xy  sol. ln   1  xy 

27]

sol. x y  ye  y  c

17]

 y  y cos xy  dx   x  x cos xy  dy  0

y

x

y

3

sol. xe  senx cos y  c

2

14]

3

23]

24]

y  13] 1  ln x   dx  1  ln x  dy  sol. x   3

3

sol. xy  senxy  c

sol. 4 xy  x  5 x  3 y  y  8 12]

 y  x  dx   x  y  dy  0

sol. 4 xy  x 4  y 4  c

sol.

2

 dx  N ( x, y )dy  0 y 

2

x

2

5.5 Ecuaciones Diferenciales Con Factor Integrante Encuentra un factor integrante para que la ecuación diferencial sea exacta y resuélvela.

1] x 2 y 5 dx  x 3 y 4 dy  0 fi  x3 y 5  x 2  y 2  c

sol.

2] x 2 senxdx  xydy  0

2

20] Obtenga una función M ( x, y) que de modo sea exacta

fi 

sol.

3]

la siguiente ecuación diferencial.

sol.

e

1 x

 2senx  2 x cos x  y 2  c

 ex  y 2  dx   xy   2 y 2  dy  0 y   1 f i   e x  xy 2  y 3  cy y x

PÁG. 4

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 4] sol.

5] sol.

6] sol.

 xy  y  y  dx   x  2 y  dy  0

21] e x dx   e x cot y  2 y csc y  dy  0

2

fi  e x

 xye x  y 2e x  c

 2 xy  y  dx   3x 4

fi  y 2

6x

2

 6 xy 3  dy  0

 x 2 y 3  xy 6  c

fi  x3



sol.

x4 y 2  x2  y 2   c

9] sol.

10] sol.

1 y

4y



 5 xy  dx   6 xy  5 x 2  dy  0

2

fi  x y 3

4

6

5

y(1)  2

5

 x  2 y  dx  xydy  0

12] sol.

13] sol.

14] sol.

15] sol.

16] sol.

fi  x3  2 x5  5 x 4 y 2  c fi  y

1

 c  2 xy 2 

 5 y  x  dx  xdy  0 fi  x 4

 c  x5 y 

fi  e x

x

2

2 23 y 3

 4 x3 y 2  x 4  c

 y ln y  2 xy  dx   x  y  dy  0 f i  y 1



x ln y  x 2  y  c

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal dada:

 

1

x 7

xy  x  1  ce x x  2 y ln x  c 2

2

 x y  y  dx   x3 y 4  xy 2  dy  0 2

5

3

fi  y 2

 xy  y ln y  dx   xy  x ln x  dy  0 fi  x 1 y 1  2

x  ln x ln y  y  c

 2 xy  3 y  dx   x 2  xy  2 x  dy  0

2

 y 2  dy  2 xydx  0

fi  y 4

dy  12 y  4 dx dy 2]  y  e3 x dx

 x 2  y 2  cy 3

 xy  1 dx   x 2  xy  dy  0

5]

 x  4 y  dy  2 ydx  0 2

6] xdy   xsenx  y  dx 7]

e 1  e  dy dx x

8] cos x 9] x

20] xdy  ydx  3x 4 y 4 dy  0

x

y0

dy  ysenx  1 dx

dy  4 y  x3  x dx

10] x 2 y   x  x  2  y  e x

y  ce5 x

1  ce 4 x 3 3 1  sol. y   ce  x 3  sol. y  x 1 ln x  cx 1 4 1  sol. x   y 2  cy 2 5 senx c  y   cos x   x x c  sol. y  x e 1  sol.

3] y  3 x 2 y  x 2

y

 sol. y  senx  c cos x 1 3 1 x  x  cx 4 7 5 1 c  sol. y  2 e x  2 e  x 2x x

 sol. y 

11] cos 2 xsenxdy   y cos3 x  1 dx  0 sol. y  sec x  c csc x 12] ydx   xy  2 x  ye y  dy  0 sol. x 

fi  x 1  2 xy  ln x 2  y 2  c fi 

 sol.

1] 3

7

 y 2  dx   2 xy ln x  dy  0

fi  x

 3x

sol.

fi  x 2

4] x 2 y   xy  1

 x  y  xy  dx  xdy  0

sol.

18]

sol.

 12

2

y

19]

2

2

17]

sol.

 1  xy 3  cxy

 x  3 y  dx  2 xydy  0

5.6

11] 2 ydx   x  y  dy  0 sol.

f i  x 2 y 2

sol.

 x y  x y  32

4

sol.

25]

x ln xy  y 2  x 2  c

x 2 e x seny  c

ydx   x  2 x 2 y 3  dy  0

sol.

y 1  ln xy  2 x  dx   x  2 y  dy  0



23]

24]

2

fi 

f i  xe x

sol.

 x  1 7] 1  ln xy  dx   3  3  dy  0 2 y y  2 sol. f i  y  x ln xy  y  c 8]

 x  2  senydx  x cos ydy  0

22]

y 2  4 y 4  dx   2 x3 y  4 xy 3  dy  0

2

fi  seny  e x seny  y 2  c

sol.

13] x

1 y 1 y 1 c e  e  2 e y  2 e y 2 2y 4y y

dy   3x  1 y  e 3 x dx

 sol. y  e 3 x 

c 3 x e x

PÁG. 5

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 14] ydx  4  x  y 6  dy  0

 sol. x  2 y 6  cy 4

dy 1 e y x dx e  e x 2 x

15]

 y  e  x ln  e x  e  x   ce  x

16] ydx   x  2 xy 2  2 y  dy  0  sol. x  dr 17]  r sec   cos  d 2 dy 18]  x  2   5  8 y  4 xy dx 19] y  10  y  cosh x

1 c  y2  e y y

  sec   tg  r    cos   c 5 1 4  x  2  c  x  2 3  sol. y  10  ce senhx

5.7 Ecuaciones Diferenciales De Bernoulli Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli dada.

2]

y

dy  5 y  20 y  0   2  sol. y  4  2e 5 x dx 21] y   2 y  x  e3 x  e 2 x  y 0   1

3] 4]

20]

sol. y  xe3 x  e3 x  dx  x  2 y2 dy dy 23]  2y  0 dx

x 1  5

22] y

24] y  2 xy  x

 sol. x  2 y 2  3 y

 sol.

y  ce

2 x

9]

 sol.

25]

y  2 y  x 2  5

26]

 3x 1  x  dy dx

2

2 1 1 y  x 2   ce x 2 2

x 2 x 11    ce 2 x 2 2 4 c  sol. y  1  x3

 y y

dy 27]  y cot x  2 cos x dx 28] 1  x  y   xy  x  x 2 29]

7] 8]

3

3

5] 6]

x2 2 x e  2e2 x 2

 sol.

y  senx  c csc x

dy 1 y 2  sol. y 3  1  cx 3 dx y dy 1  y  xy 3  1  sol. y 3  x   ce3 x dx 3 x dy x2  y 2  xy  sol. e y  cx dx dy 1 x2  2 xy  3 y 4 y 1   sol. dx 2 2 dy y xy 1  xy 2   1 y 1  0  sol x 1  2  y 2  e 2 dx dy 1  y  ex y2  sol. y 1   e x  ce  x dx 2 dy x  1  x  y  xy 2  sol. dx dy 3 1  x 2   2 xy  y 3  1  y 3  1  1  x 2  c dx 1 3 dy  sol. y2  y 2  1 y 0  4 dx dy y x 2   y 1  4  sol. dx x y 2

1] x

10]

11] y 

1 2 y  x4 y 4 x 3

12] y  xy  xy 2 13] y 

1 y  4 x3 y 1 x

14] y  xy  2 xy

 sol.

1

xy   1  x  y  e  x sen 2 x  sol.

1  x2  c x y3

 sol.

y 3  1  ce

2

3

 sol. y 2   sol.

2

15] 3xy  2 y  x y 3

 sol.

3

y  ce

3 x

2

2

x 4  cx 2

x2

4

2

 sol. y  x  cx 2 3

3

dy  (cos x) y  0 dx  y  31]  3  8  dx  3dy  0  x  y   32]  x   dx  dy  0 x 

 sol. 3 xy  4 x 2  c

5.8 Ecuaciones Diferenciales De Ricatti

 sol.

Resuelva las siguientes ecuaciones de Ricatti dada.

 5y  33]   24 x 2 dx  5dy  0 x 

 sol. 5 xy  6 x 4  c

 sol.

30] senx

34]

y  3x 2 y  x 2

35]

y    cos x  y  cos x

36] xy  2 y  3x2  2 x 37] xy  4 y  9 x5  2 x3

3 1  ce x 3 y  1  ce  senx

 sol.  sol.

y  x 2  cx

y

dy y1  2  2  y  y 2 dx 4 1 2 dy 2]   2  y  y 2 y1  dx x x x

1]

 sol. y  2 

1

 13 2 1  sol. y   3  x cx  x ce

3 x

4

 sol. y  3x2 ln x  2 x  cx 2 2  sol. y  x5  x3  cx 4 7 PÁG. 6

Problemario De Ecuaciones Diferenciales dy  e2 x  1  2e x  y  y 2 y1  e x dx 1 sol. y  e x   x ce  1 dy 1 4]  6  5 y  y2  sol. y  2   x dx ce  1 dy  1  x  y  xy 2 5] y1  1  sol. dx dy 1 2x  2 x 2  y  2 y 2 y1  x  sol. y  x  6] 2 dx x 1  ce2 x dy  sec2 x   tan x  y  y 2 y1  tan x 7] dx 1 sol. y  tgx  2  x  1  x cos x  c cos x

3]

15] 6 y  y  y  0 16] 17]

y1  e

1  2 x  y  4 xy  4 y  0 1  x  y  xy  y  0

18] x 2 y  xy  y  0

x

 sol. y2  e

3

y1  e 2 x

 sol. y2  x

y1  x

 sol. y2  e  x

y1  x

19 x y  xy  9 y  0 20 4 y  xy  y  0

y1  x y1  e

x

21 x y  x  x  2  y   x  2  y  0

 x  1 y   x  2 y  y  0

23 y  2 y  y  0

y1  e

24] x y  5 xy  9 y  0

 sol.

2

y1  x  sol.

y1  e x

 sol.

 sol.

x

 sol. y2  x3

3

y  cos  ln x   sol. y2  sen  ln x 

25] x 2 y  xy  y  0 26]

 sol.

y1  x ln x

2

2

 sol. y2  x ln x 3

2

22

x

 3x  1 y   9 x  6  y  9 y  0

y1  e3 x

sol. y2  3x  2

dy  2  2 xy  y 2 8] dx dy 9]  y 2  xy  2 x  4 dx sol.

10]

 sol.

27] xy   x  1 y  y  0

y1  2 x

28 x y  xy  2 y  0 2

y  2

dy  y2  4x2  2 dx

y  2x

Encuentra una segunda solución de la ecuación diferencial dada, utilizando el método de reducción de orden.

y1  1

4] 9 y  12 y  4 y  0

y1  e

2x

3

5] x y  7 xy  16 y  0

y1  x

6] x 2 y  2 xy  6 y  0

y1  x 2

2

7] xy  y  0 8] 4 x 2 y  y  0 9]

y1  ln x y1  x

1

4

si

y1  x10

31] y  3  tan x  y  0

si

y1  1

32] xy   2  x  y  0

2

y1  1

35

 sol. y2  xe

3

 sol. y2  x ln x 4

 sol. y2 

1 x3

ln x  sol. y2  x

1 x2

 sol.

y1  x

 sol.

y 

36 xy   2 x  1 y  2 y  0

y1  e

37  xy   x  1 y   3  12 x  y  0

 sol.  sol. 2 x

 sol.

y1  e3 x

 sol.

Re comendación utiliza el siguiente cambio de variable para reducir el orden de la ecuación diferencial

1

y  u 

2

y 

y1  x  1

1 x  y1  1  sol. ln   1 x   sol. y2  e x

12] y  2 y  y  0 y1  xe x  sol. y2  e  x 13] y  9 y  0 y1  sen3x  sol. y2  cos 3x

y1  e5 x

y1  1

si

 sol. y2  sen4 x 2x

 sol. y2 

sol. y2  sec xtngx  ln sec x  tgx

du du dy du    u dx dy dx dy

1] xy  y  0

1  x  y  2 xy  0

14] y  25 y  0

30] x 2 y  7 xy  20 y =0

3 y   0 y1  1 x x 2 y  xy  4 y  0 y1  x 2

sol. y2  x  x  2

11] y  y  0

y1  x 2  x 3  sol. y2  x 2

34

2

10]

si

 sol. y2  xe 2 x

1  2 x  x  y  2 1  x  y  2 y  0 2

29] x 2 y   4 xy  6 y  0

y  2 xy  2 y  0

 sol. y  1 2

y1  xsen  ln x 

si

33

 sol. y2  e 5 x

2] y  4 y  4 y  0 y1  e 2 x 3] y  16 y  0 y1  cos 4 x

 sol. y2  x  1

sol. y2  x cos  ln x 

5.9 Método De Reducción De Orden

1] y  5 y  0

y1  e x

1

2

2]

 x  1 y  y  0

 

3] 4 xy  y  0



4] 4 y  y  0



y  c1 ln x  c2 x2  c1 x  c2 2 4 3 y  c1 x 4  c2 3

y  c1

y  c1e

x

4

 c2

 sol. y2  e5 x PÁG. 7

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 5] yy   y   0



6] xy  y   y 

 x 2   y  c2   c1

2

3

7] x 2 y  2 xy   y 

2

8] yy   y   0 9

y  

 y 

1  y   x 2  c1 x  c12 ln  c1  x   c2 2 

2

y 2  c1 x  c2

y  c2 ec1x

y

y  c2 ec1x



y2  c1 y  c2  x 3

11

 y  1 y   y 



y  c2 e

12 xy  3 x 2  0



y

13 2 y   xy   0



14 2 y   y   0



y  2 x  c1  c2

15 2   csc x  y   0



y  2 senx  c1 x  c2

3

16

y  4 xy  0



c1x

1

1 3 x  c1 x  c2 2 c y  1 x 3  c2 3

y

4 54 c1 x  c2 5

5.10 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Con Coeficientes Constantes Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

1] y  y  6 y  0

 sol. y  c1e3 x  c2 e 2 x

2] y  8 y  16 y  0 3] 12 y  5 y  2 y  0 4] y  9 y  0

 sol. y  c1e 4 x  c2 xe 4 x

5] y  4 y  5 y  0

 sol. y  e 2 x  c1 cos x  c2 senx 

6] 3 y  2 y  y  0 7] y  4 y  5 y  0 8] y  5 y  3 y  9 y  0 9] y  y  2 y  0

10] y  3 y  3 y  y  0

sol. y  c1e x  c2 e  x  c3 xe  x sol. y  5e  2e

y  2 y  y   0 2

12

x

10

3

x x 2x 2x  c2 sen  c3 cos  c4 sen 2 2 3 3 y   y  y  y  0

sol. y  c1 cos

13 y   4 y   3 y  0

2



11 6 y iv  11y   4 y  0

 sol.  sol. y  c1 cos 3 x  c2 sen3 x

y 0  7

y   0   11

3x

14 9 y   6 y   4 y  0

y 0  3

y  0   4

y 0  3

y  0   1

sol.

15 y   6 y   25 y  0

sol. y  e3 x  3cos 4 x  2sen 4 x 

16]

y iv  y   y   0

sol. y  c1  c2 x  e

x

2

 3 3  x  c4 sen x c3 cos 2 2  

d4y d y  24 2  9 y  0 4 dx dx 3 3 3 3 sol. y  c1 cos x  c2 sen x  c3 x cos x  c4 xsen x 2 2 2 2 18] y v  5 y iv  2 y   10 y   y   5 y  0

17] 16

sol. y  c1e x  c2 xe x  c3e  x  c4 xe  x  c5e 5 x 19] y   4 y  5 y  0 y (1)  0 y(1)  2 1 1 sol. y   e  x1  e5 x1 3 3 20] y   12 y   36 y   0 y (0)  0

y (0)  1 y   0   7

5 5 1  e 6 x  xe 6 x 36 36 6 21] y   10 y   25 y  0 y (0)  1 y (1)  0 sol. y 

sol. y  e5 x  xe5 x 22] y   9 y   24 y   20 y  0 sol. y  c1e 2 x  c2 xe 2 x  c3e5 x

23 2 y  3 y  2 y  0

y  0   1 y  0   1 y  0   3

sol.  2 2  y  0   1 y   0   0 y   0   1  y  e c1 cos x  c2 sen x  24 3 y   2 y   0 3 3   1 2 x sol. y  13  6 x  9e 3  sol. y  c1  c2e  x  c3e5 x 4  sol. y  c1e x  c2e3 x  c3 xe3 x  25 y  27 y  0  y  c1e x  e  x c2 cos x  c3 senx  3x  3    3 x   c3 sen  3x   sol. c1e 3 x  e 2 c2 cos  x x 2 x 2 2      sol. y  c1e  c2 xe  c3 x e  iv    26 y  y  y  3 y  6 y  0 x

3





sol.

PÁG. 8

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 27 y  y  6 y  0

y 0  0

sol.

28 y  5 y  6 y  0

y  0   5

5.11 Método De Coeficientes Indeterminados

y  0   1 y  0   2

Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

sol.

29 4 y  20 y  25 y  0

y  0   1 y  0   2

 9  5 x sol. y  1  x  e 2  2 

1]

30 y  y  6 y  0

sol. y  c1e  x  c2 e 2 x  3 2] y   10 y   25 y  30 x  3

y  0   1 y  0   1

sol. y  c1e5 x  c2 xe5 x 

1 sol. y    e3 x  4e 2 x  5 31 y  8 y  16 y  0

y 0   2

y   0   1

3]

sol.

32 y  17 y  0

y  0   1 y  0   0

sol.

33] y  7 y  4 y  12 y  0 y(0)  36 16 5 17 sol. y  e x  e2 x  e 7 2 14 34] y  2 y  y  2 y  0

 sol. y  c1e x  c2 e x  c3e 2 x  sol. y  e

2x

c

1

 c2 x  c3 x

y 0  1

y  0   6

2 y 1  e

3 y  1   e

y 0  3

y  0    5

y 0  0

y  0   1

sol. y  1  2 x  e 4 x

 2e

 5x

40] 8 y   4 y  y  0 sol.

41] y  y  0

y    2

y     1



y   3 y  48 x 2 e3 x

y   y   3 y   y  

sol. y  c1e

x

x 1 y  3 e 2 4 2

 c2 xe

x

2

 12 

y   4 y  3sen2 x

sol. y  c1 cos 2 x  c2 sen 2 x  8]

y   y  2 xsenx

9]

sol. y  c e x cos 2 x  c2 e x sen 2 x  y   2 y   y  senx  3cos 2 x

y    1

43 y  2 y  5 y  0

y  0   1 y  0   3  sol.

sol. y  c1  c2 x  c3e6 x 

44 y  2 y  2 y  0

y    e  x

12]

sol. y  e

 senx  cos x 

45 y  2 y  5 y  0

y    e  x

y    3e  x  sol.

1 x xe sen 2 x 4

1 12 9 sol. y  c1e  x  c2 xe  x  cos x  sen 2 x  cos 2 x 2 25 25 11] y   6 y  3  cos x

1 y0 4 x x sol. y  sen  2 cos 2 2

y     2e 

3 x cos 2 x 4

1 2 1 x cos x  xsenx 2 2 y   2 y   5 y  e x cos 2 x

42] y  

y     1

1 2 x2 xe 2

sol. y  c1 cos x  c2 senx 

10]

sol.

x

7 2

sol. y  c1  c2 e x  3x

7]

sol. sol. y  e

2

5]

6]

sol. y  e  x  c1  c2 x   e 2 x  c3  c4 x 

5x

4]

x

36] y  2 y   3 y   4 y  4 y  0

39] y   5 y  0

1 y   y   y  x 2  2 x 4

4  sol. y  c1 cos 3x  c2 sen 3x   4 x 2  4 x   e3 x 3 

iv

38] y   2 y  y  0

6 3 x 5 5

sol. y  c1e 2 x  c2 xe 2 x  x 2  4 x 

y(0)  0

y(0)  1

35] y  6 y  12 y  8 y  0

37] y  8 y  16 y  0

y   3 y   2 y  6

1 2 6 1 x  cos x  senx 4 37 37 y  3 y  3 y  y  x  4e x

sol. y  c1e x  c2 xe x  c3 x 2 e x  x  3  13]

y 4  2 y   y   x  1

2 x ex 3

2

sol. y  c1 cos x  c2 senx  c3 x cos x  c4 xsenx  x 2  2 x  3 PÁG. 9

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 14] 5 y  y  6 x

y(0)  10

y(0)  0

34] y  4 y  4sen2 x 35] y  4 y  2 x

x

sol. y  200  200e 5  3x 2  30 x 15] y   4 y   5 y  35e4 x y (0)  3 y (0)  1

sol.

sol. y  10e2 x cos x  9e2 x senx  7e4 x 16]

y   5 y   6 y  12 x  7  e x

36]

11   sol. y  c1e3 x  c2 e 2 x   6 x   e x 2  x 17] y   2 y   2 y  4e cos x

sol.

37]

sol. y  e x  c1 cos x  c2 senx   2e x xsenx 18]

sol.

19]

38]

y   2 y   5 y  3 x  x 2

sol.

sol.

20]

y   4 y   4 y  e x  x 2

39]

Encuentra una solución particular para cada ecuación diferencial siguiente

y  0  1

y  0   2

3 1 sen2 x  x 4 2 y   3 y   2 y  e x y 0  0 y p  cos 2 x 

y  0   3

1 15e x  16e 2 x  e x  6 y   9 y  sen2 x y 0  1 yp 

y p  cos 3x 

y   2 y   5 y  3senx

sol.

 y p   x cos 2 x

y  0  0

2 1 sen3 x  sen2 x 15 5 y 0  3

y   2 y   2 y  x  1

y  0  0

5   1 y p  e 2 x  2 cos x  senx  x  1 2   y  y  cos x y  0  1 y   0   1

1 xsenx 2 40] y  2 y  y  8cos x 

y p  4senx

41] y   y  4cos x  2senx

y p  x cos x  2 xsenx

sol.

y p  cos x  senx 



21

y   y   2 y  3e 2 x  x 2  y p  xe 2 x 

22

y   y  2e  x  8 x

1 2 1 3 x  x 2 2 4  y p  e x  8 x

23

y   y  2e x  2e  x  x

 y p  xe  xe

24

8  y p  e 2 x  x 3  4 x 3 1 2 y   9 y  20sen x  3x 2  y p  2senx  x 2  3 27 y   3 y   9 y  12senx  9 x

43]

 yp  

45]

27 

36 96 1 cos x  senx  x  73 73 3 y   2 y   5 y  17 cos 2 x  15 x

1 1 sol. y  c1e x  c2 e 2 x  xe 2 x  cos 2 x  sen2 x 2 2

25 26

x

x

y   y  8e 2 x  x3  2 x

 y p  cos 2 x  4 sen2 x  3 x  28

x

6 5

y   6 y   12 y   8 y  6e 2 x  16 x 2

 y p  x3e2 x  2 x 2  6 x  6

29] y  3 y  y  2e x  e  x 30] y iv  16 y  e 2 x  15 cos x 31] y 

3 1 y  y  cos x  5 x 2 5

1  y p  2e x  e  x 5 1 2x  yp  xe  cos x 32 

1 2  y p  2senx  x 2  3 27  y p   sen2 x

42]

y   4 y   4 y  6e  x 2x

sol. y  e 2 x  c1  c2 x  3x 2  

1 1 x 4 4 y   2 y   y  6e x  8e  x  2

sol. y  c1e x  c2 xe x  3x 2 e x  2e  x  2 44]

y   8 y   48 x 2  65senx

sol. y  c1  c e 8 x  8cos x  senx  2 x 3 

3 2 3 x  x 4 16

y   2 y   2e 2 x  4 cos 2 x

5.12 Método De Variación De Parámetros Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de variación de parámetros.

1] sol.

2]

32] y   9 y  20senx  3x 2

sol.

33] y  4 y  8sen2 x

3] sol.

y   y  sec x y  c1 cos x  c2 senx  xsenx  cos x ln cos x y   y  senx y  c1 cos x  c senx 

1 x cos x 2

y   y  cos 2 x y  c1 cos x  c2 senx 

1 1  cos 2 x 2 6 PÁG. 10

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 1 1  ex 5] y  3 y  2 y  sene x

 sol.

32 y  4 y  sen 2 x

 sol.

33] 2 y  3 y  y  e3 x

6] y  2 y  y  e ln t

 sol.

7] 3 y  6 y  6 y  e sec x

 sol

4] y  3 y  2 y 

t

x

8] 4 y  y  xe

x

y (0)  1 y(0)  0

2

sol.

Encuentra una solución particular para las siguientes ecuaciones diferenciales, utilizando el método de variación de parámetros.

9] y  2 y  8 y  2e 2 x  e 10] y  y  tan x

 sol .

11] y  y  sec  tg

 sol .

35

12] y  y  sec 2 x

 sol .

36 y   4 y  2 cos 2 x

13] y  9 y 

9x e3 x

14] y  2 y  y 

 sol.

 sol . x

e 1  x2

 sol.

15] 2 y  y  y  4 x 16] y  y  tgx

 sol.  sol .

17] y  4 y  sec 2 x

 sol. e

18] y  10 y  25 y 

10 x

x2 19] 4 y  4 y  y  8e  x  x 20] y  y  xe x

 sol.  sol.

y  0   1 y  0   0

sol. y  0   1 y  0   0

21] 2 y  y  y  x  1 sol.

22] y  4 y  tg 2 x

23] y  2 y  y  e x ln x 24] y   2 y   3 y  64 xe 25 y  3 y  2 y  4e x 26 y  2 y  8 y  3e 2 x 27  y   4 y   4 y  2e 2 x 28 y  4 y  senh2 x 29 y  9 y  sen3 x 30 y   9 y  2 sec 3 x 31 y  y  csc 2 x

x

1  y p   cos 2 x ln sec 2 x  tg 2 x  4 1 3  y p  x 2e x ln x  x 2e x 2 4 x 2  sol. y p  e  8 x  4 x  1

3 x e 2 1  y p    6 x  1 e 2 x 12  y p  x 2e2 x  yp 

1  4 x cosh 2 x  senh2 x  16 1  y p   x cos 3 x 6 2 2  y p  xsen3 x   cos 3 x  ln cos 3 x 3 9  y p  1   cos x  ln csc x  cot x  yp 

1 1  xsen2 x  8 1  sol. y p  e 3 x 10  yp 

x 5 y  e 2 cos x 4 y  4 y  3 y  xe 2 x

34 y   y  

1 x2 e  xsenx  2  y p   xe 2 x

 yp 

40 y  y  8 x cos x

x sen2 x 2 1  y p  e 4 x  2 x  1 12 e3 x  yp   72 x 2  84 x  37  864 1  yp    sen2 x  8 cos 2 x  e 2 x 65  y p  2 x cos x  senx 1  2 x 2 

41 y   y   e x cos x

 yp 

37  y   y   2 y  3xe 4 x 38 y  y  x 2 e3 x 39 y   y  e 2 x sen 2 x

42 y  4 y  4 xe 4 x 43 y   9 y   18e x senx

 yp 

e4 x  senx  cos x  2 e4 x  yp  8 x 2  4 x  1 16 99  81   yp  ex  senx  cos x  101  101 

44 y  y  6 y  5e 2 x senx

25  15   y p  e 2 x   cos x  senx  34  34 

45

y  2 y  6 xe 2 x

46

y   y  4e x cos x

47 

y   6 y   5 y  8 xe  x

48

y  4 y  8 xe3 x

3 3 3  y p  e2 x  x 2  x   2 4 2 4  y p  e x  2 senx  cos x  5 4 2  yp  e x  x   9 3 8 16  y p   xe3 x  e3 x 9 3

49

y   4 y  4 y 

2e 2 x x

y 1  0

y 1  1

1 1  sol. y p   2  2  e 2 x  xe 2 x  2 xe 2 x  ln x  1 e  50 y  3 y  12e 4 x  x  1 y  0   0 y  0   4 sol. y p  

7 4 3x 3  e  3xe 4 x  e 4 x 12 3 4

PÁG. 11

Problemario De Ecuaciones Diferenciales

5.13 Ecuación Diferencial De Cauchy Euler

22] x 2 y  5 xy  8 y  0

Resuelve las siguientes ecuaciones de Cauchy- Euler.

sol. y 

1] x y   2 y  0

1

 sol.

2

y  c1 x  c2 x y 1  4

4 ln x x 3] xy  y  0

 sol.

4] x 2 y   xy  4 y  0

 y  c1 cos  2 ln x   c2 sen  2 ln x 

y  c1  c2 ln x

y 1  4

y  1  0

8 4 sol.  y  x  2 3 3x

 2 6 

 2 6 

 sol. y  c1 x

7] 25 x 2 y  25 xy  y  0

1  1   y  c1 cos  ln x   c2  ln x  5  5 

1 y0 4 2

x

1

y 1  0

3

 c2 x

y  1  1

y 1  3

9] 9 x y  3 xy  y  0 1

y  2   32

y 1  0

 3  ln x 

10] x 2 y   5 xy   4 y  0

 sol. y  c1 x 2  c2 x 2 ln x

11] x y  xy  2 y  0

 y  x c1 cos  ln x   c2 sen  ln x 

12] x 2 y  xy  10 y  0

y 1  1 y 1  1  y  x cos ln x 2

2

25] x 2 y  5 xy  3 y  0

 sol.

26] x 2 y  3xy  4 y  0

 sol.

27] 4 x 2 y  4 xy  y  0

 sol.

28] x y  8 xy  6 y  0

 sol.

29] x y  7 xy  41 y  0

 sol.

2

30] xy  y  x

 y  c1  c2 ln x 

31] 2 x 2 y   5 xy   y  x 2  x  y  c1 x





2 ln x  c3 sen



2 ln x



15] x3 y  2 x 2 y  2 xy  8 y  0  y  c1 x 1  c2 x 2  c3 x 4 16] x3 y  2 x 2 y  4 xy  4 y  0  y  c1 x  c2 x 2  c3 x 2 ln x 17] x 2 y  3xy  0

y (1)  0

y(1)  4

y (1)  1

y(1)  2

sol. y  2  2 x 2

34] x y   xy   4 x e

 y p  4e x  x  1

35] x 2 y   xy   y  2 x

 y p  x  ln x 

3 x

2

y 1  1

y 1  0

y 3 2x xe 2  y p  x ln x

1 1 c  y    ln x    1  c2 x 2 2 2 x c c ln x x 2 y   7 xy   5 y  10  4 x 1  y  2   1  25 x x x x 3 x 2 y   xy   y  x ln x  c1 x  c2 x ln x   ln x   y 6 x3 x y   xy   y  x 3  y  c1 cos  ln x   c sen  ln x   10 2 3 x x y   2 y  9 x e y

40] x 2 y   2 y  ln x 41]

44]

11 1 21] x y  xy  y  0 6 6

2

3

39] x 2 y   xy   2 y  x ln x

19] 4 x y  y  0 20] xy  y  0 2

2

38] x 2 y   2 xy   2 y  6 x3e 2 x  y p 

43]

 sol.

1 2 1 x  x 15 6

y

2

sol. y  cos  ln x   2sen  ln x   sol.

 c2 x 1 

33] x 2 y   4 xy   x 4

42]

18] x 2 y  xy  y  0

1 2

 y  c1 x  c2 x ln x  x  ln x 

37] x y   2 xy   2 y  x ln x  y 

1  2



x2 4

32] x 2 y   xy   y  2 x

  3   3  ln x   c2 sen  ln x   c1 cos       6   6   3 14] x y  6 y  0

2

1 y    0 2

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante variación de parámetros.

36] x 2 y   2 xy   2 y  x 4 e x

sol. y  c1 x 3  c2 cos

y  1  3

1 y   0 2

13] 3x 2 y  6 xy  y  0 sol. y  x

y  2   0

y 1  5

2

2

sol.  y  x

3

2

6] x 2 y   3xy  2 y  0

1

1

sol. y 

5] x 2 y   2 xy  2 y  0

sol.  y   x

 3x

24] x 2 y  5 xy  8 y  8 x 6

y

8] x 2 y   xy 

2

sol. y 

y 1  0

sol. 

1

23] x 2 y   xy   4 y  0

2

2] x y   3xy  y  0 2

sol. y  2 x

45] x 2 y   xy   y 

1 x 1

y

PÁG. 12

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 46] x 2 y  10 xy  8 y  x 2

y

y  ln x  c   4

24] y 3  6 x 2  c



y

25] y ln cx  3

 2 y3  9x2  c

48] x 2 y   3xy  13 y  4  3x

y

26] y  c cos x



y 2  2 ln  csenx 

49] x 2 y  xy  y  x 3

y

27] y 2  2cx  4



28] y  ce x



y2  x 2  ln cy 4 2 y 2  ln cx 1

47] x y  4 xy  6 y  ln x

2

50] x 2 y  4 xy  6 y  2 x 4  x 2  y 

2

5.14 Familias De Trayectorias Ortogonales

29] y  x  c

Encuentra la familia de trayectorias ortogonales.

5.15 Problemas De Aplicación

1] y  c1 x 2

 2 y 2  x 2  c2

2] c1 x 2  y 2  1

 2 ln y  x 2  y 2  c2

3] y  c1e  x



4] y 2  c1 x 3

 2 x 2  3 y 2  c2

5] y 

x 1  c1 x

y 2  2 x  c2

 x 3  y 3  c2

6] 2 x 2  y 2  4c1 x



y 2 ln y  x 2  c2 y 2

7] y 3  3x 2 y  c1



y 2  x 2  c2 x

c 8] y  1 2 1 x

 2 y 2  2 ln x  x 2  c2

9] 4 y  x 2  1  c1e 2 y  0  10] y 

1 ln c1 x



y   x  c1 



2

13] 2 x 2  y 2  c12 14]

y

1  x 2  c2 x 4 6



1  c1 x 1  c1 x



15] x 2  y  2c1 x 16]

y  x  c1 x

17]

y

2

4

 2 y 3  3x 2  c2

11] 3 x  4 y  c1 12]

y

2

1 c1  x





18] x  y  c



yx

19] y  ce x



y 2  2 x  c

20] x  y 2  c



y  ce 2 x

21] xy  c

 x2  y  c

22] y  cx 2

 x2  2 y 2  c2

23] y   x  c  2

2

4 3 y   x2  c 3

1]. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo t. La población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la población en 30 años? ¿ Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?

Sol. x  790

11 personas / años

2] La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo t.

Después de tres horas se observó que están presentes 400 bacterias.

Después de diez horas hay 2000 bacterias. ¿Cuál fue el número inicial de bacterias?

3]. El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3,3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este isótopo, ¿cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo?

Sol. 11 hrs 4] Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva.

Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de 24 horas.



3



8 32  y  ln x  c 3

5] Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 70°F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 10°F . después de medio minuto el termómetro marca 50°F ¿Cuál es la lectura del termómetro en t  1 minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar 15°F. Sol. T 1  36.76F

t  3.06 minutos

PÁG. 13

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 6] Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de 30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?

12] Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 106 farad. Determine la carga

7] Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego de un minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál es la temperatura del horno? Sol. 390F

corriente en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando t  

8] Un depósito contiene 200 litros de liquido en el que se disuelven 30 gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una rapidez de 4 L/minuto; la solución bien mezclada se bombea hacia afuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo t.

Sol. A  t   200  170e

t  50

9] Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de liquido en el que se disuelven 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min . la solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos.

q  t  en el capacitor si i  0   0.4 Amp determine la carga y la

13] En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980 y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el año 2020 suponiendo que siga esta tendencia?

14] Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la corriente inicial es cero.

15] Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20°C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente;¿ Cuánto tarda la barra en alcanzar 90°C si se sabe que su temperatura aumenta 2° en un segundo ? ¿cuánto le toma a la barra llegar a 98°C? Sol. t  7.9 años t  10 años

16] Determine la vida media del la sustancia radiactiva que se describe en el problema 4. Sol. 136.5 hrs

Sol. 64.38 lb

y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente i  t  si

17] La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo t . Si en cinco años se duplica una población inicial P0 ,¿cuánto tiempo tarda en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?

i  0   0 Determine la corriente cuando

Sol. t  82.1 seg

10] Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry t 

t  145.7 seg

3 3 Sol. i  t    e500t 5 5

3 i t   i  cuando t   5

11] Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10-4 farad. Encuentre la carga q  t  en el capacitor si q  0  0

Sol. q  t  

18]

Un circuito R-L en serie tiene una fem, 8sen2t voltios

una resistencia de 10  , una inductancia de 2 hernrios y una corriente inicial de 5 Amperios . Hallar la corriente en el circuito cuando t 

 2

seg.

Sol. i  0.02779 amperios

1 1 50t  e 100 100

1 i  t   e50t 2

PÁG. 14

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 19]

Un circuito RC en serie tiene una fem, 300cos 2t voltios ,

una resistencia de 200  y una capacitancia de 102 faradios .

Inicialmente no hay carga. Hallar la corriente en el circuito en t  4 seg

Sol. i  1.412 amperios 20] Sabemos que un material que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material.

Se observó que después de 3 hrs. Solamente el 80% de la masa permanecía en ese momento: Hallar; a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. b)

¿Qué cantidad permanece cuando t  5 hrs ?

c)

¿Para qué valor de t, la cantidad de material es de

la cantidad inicial ?

Sol. a)

y  60

1 de 4

5.16 Transformadas De Laplace Utilice la definición de la transformada de Laplace para encontrar L f  t  .

f  t   senkt

2

f  t   cos kt

3

f  t   sen 2 kt

4

f  t   cos 2 kt

 F s 

5

f  t   e at

 F s 

6

f  t   senhkt

7

f  t   cos hkt

8

f  t   senh 2 kt

9

f  t   cosh 2 kt

 t ln 0.8 3

b) y  41.365 mg c) t  18.6 hrs

k s2  k 2 s  F s  2 s  k2 2k 2  F s  s  s 2  4k 2 

1

 F s 

s 2  2k 2 s  s 2  4k 2 

1 sa k  F s  2 s  k2 s  F s  2 s  k2 2k 2  F s  s  s 2  4k 2  s 2  2k 2 s  s 2  4k 2 

 F s 

1

10

f  t   te at

 F s 

11

f  t   e at senkt

 F s 

12

f  t   e at cos kt

13

f  t   e at senhkt

14

f  t   e at cos hkt

 F s 

15

f  t   tsenkt

 F s 

16

f  t   t cos kt

 F s 

17 

f  t   senkt  kt cos kt

 F s 

18

f  t   senkt  kt cos kt

 F s 

s  a

k

s  a

 F s 

 F s 

2

2

 k2

sa

s  a

2

 k2

k

s  a

 k2

2

sa

s  a

s

2

 k2

2ks

 k2 

2

2

s2  k 2

s

s s

 k2 

2

2

2ks 2 2

 k2 

2

2k 3 2

 k2 

2

PÁG. 15

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 3s  2 s2  4 7s  4  F s  2 s 9

f t  

e at  ebt ab

20

f t  

ae  be a b

21

f  t   1  cos kt

 F s 

k2 s  s2  k 2 

Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones. Utilizando los teoremas de translación

22

f  t   kt  senkt

 F s 

k3 s2  s2  k 2 

43]

L t 2 e 2t 



F s 

44]

L t e



F s 



F s 



F s 



F s 



F s 



F s 

19

at

 F s  bt

1

41

f  t   3cos 2t  sen2t

s

42

4 f  t   7 cos 3t  sen3t 3

 s  a  s  b 

 F s 

 s  a  s  b 

Utilice las tablas para encontrar L f  t 

45] 46]

23] f  t   2t 4

 F s 

24]

f  t   t  3t

25]

f  t   t  6t  3

 F s 

26]

f  t    t  1

 F s 

27]

f t   1  e

28]

f  t   1  e

29]

f  t   4t 2  5sen3t

 F s 

30]

f t   t

 F s 

31

f  t   3t

32

f  t   t  2e3t

 F  s   s 2  2 /  s  3 

33

f  t   1  cosh 5t

 F  s   s 1  s  s 2  25 

34

f  t   sen2t  cos 2t



35

f  t   cos 2 2t

 F s 

f  t   sen3t cos 3t

 F s  3

36

 F s 

48 S5 1 3  s 2  3s 2 2 2 6 3   s3 s 2 s 6 6 3 1    s 4 s3 s 2 s 1 1  s s4 1 2 1   s s2 s4

2

3

 F s 

4t



2t 2

5

5

2

 4t 3

 F s 



 F  s   4 s  192 s

F  s    s  2

s

2

3

2

 / 8s

47] 48]

7

2

1 1

 4

 1  1 s  s 2 2   s  16 

37 

f  t   et  t  3 

 F s 

38

f  t   4e5t  sen4t

 F s 

39

f  t   3sen4t  e 2t

40

f  t   sent cos t

s

2

 36 

3s  2

 s  1

2

4 12  2 s  5 s  16 12 1  F s  2  s  16 s  2 1  F s  2 s 4

 L t e  L t e  L e sen3t L e sen h3t 3 5t

3

2 t

10

7 t

t

5t

49]

 cos h t  L  t  e 

50]

L t  et  e 2 t 

51]





 F s 



F s 

L et cos 2 3t



F s 

52]

L e  t sen 2 t



F s 

53]

L e5 x  6 x 3  sen 4 x



F s 

54]

L  x 2 sen 2 x



F s 

55]

L x e



F s 

56]

L t 5  t 3  cos



F s 

57]

L e 2t cos 4t  t 2  e



F s 

58]

L e 4t sen 5t  t 3e 3t



F s 

59]

L tet  t 2 e  t  t 3e3t 



F s 

2

2x

e

2

5 x



 2t









5.17 Transformadas Inversas De Laplace Hallar la inversa de la transformada de Laplace:

 1 48  1] L-1  2  5  s  s

 sol.

f  t   t  2t 4

  s  13  2] L-1   4  s 

 sol.

3 1 f  t   1  3t  t 2  t 3 2 6

 sol.

f  t   t  1  e 2t

 sol.

f t  

1 1 1 3] L-1  2    s s  2 s  1  4] L-1    4s  1 

1  4t e 4

PÁG. 16

Problemario De Ecuaciones Diferenciales  5  5] L-1  2   s  49   4s  6] L-1  2   4s  1

 2s  6  7] L-1  2  s 9  1  8] L-1  2   s  3s  s   9] L-1  2  s  2 s  3     s 10] L-1     s  2  s  3 s  6    1  11] L-1  3   s  5s   12] L-1  2   s

2s  4 2 5 s 4



  

f t  

 sol.

f  t   cos

7

sen7t t 2

 sol.

f  t   2 cos 3t  2 sen3t

 sol.

f t  

1 1 3t  e 3 3

 sol.

f t  

3 3t 1 t e  e 4 4



 sol .

f t 

1 2t 3t 1 6t e e  e 2 2

f t  

 sol.

1 1  cos 5t 5 5

 f  t   4  3et  cos t  3sent

s   13] L-1  2   s  4s  5 



 s  14] L-1  2   s  1 



 2s  1  15] L-1  3 2  s  s  1 



 1  16] L-1  4   s  1 

 sol.

f  t   e 2t cos t  2e 2t sent

3 f  t   5  t  5e  t  4te  t  t 2 e  t 2

1  f  t   t 3et 6

 f  t   5e 2t  2t  1

1 1 3t 1 7t   20] L-1    f t   e  e 4 4   s  3 s  7   s5   21] L     s  1 s  3 

 f  t   2e  e

 s  1  22] L  2   s  s  3 

4 4 1  f  t    e 3t  t 9 9 3

  1 23] L-1  2 2   s  s  16  

 f t  

-1

-1

  4s 25] L-1  2   s  1 s  1  26] L-1

3t

t

 f  t   et  e t  2te t



5s  7 2  3t sen 2t   f  t   2 cos 2t  2e  2 2 s s  3  2      

  s 3 t  1  3 3t 27] L-1   f  t   e  cos t  sent   e 2 5 3 s  3 s  2 s  2     5    

 s 1  28] L-1  2   s  2s  5 

 f  t   e  t  cos 2t  sen2t 

  5 29] L-1     s  1 s  2  

5 5  f  t   e 2t  e t 3 3

 2  30] L-1    3s  5 

 f t  

 4  31] L-1    s  s  3 

 f t  

3

e



5 t  3

4 4 3t  e 3 3

32]

  14   L-1     3s  2  s  4    

 f  t   e 4t  e

33]

 2s   L-1  s  1 s  2     

 f  t   5e 2t  3e

34]

 2 s 2  3s  2    L-1   s s  1 s  2       

 f t  

f  t   e t  te t

1 1 t   17] L-1  2   f  t   e sen2t 2  s  2s  5   2 s 5 1    3t  18] L-1  2   f  t   2e  cos5t  sen5t   s  6 34 10      5s  19] L-1  2   s  2  

  s 1 1 1 2t 24] L-1  2 2   f  t   t  e  cos 2t  2sen 2t  8 16 s s  4 s  8    



2 t 3

5 2t e  et  1 3

3  t  15 15 1  s2  35] L-1  2 15t  t sen   f  t   e 2  cos 3 6 2 15 2 s  s      1   t  15 7 15 1  3s  2  36] L-1  2 t sen 15t    f  t   3e 2  cos 2 45 2 s  s  4  

  2s  5 7 t 11 3t 3 4t 37] L-1    f t   e  e  e s  1 s  3 s  4 10 14 35        s 2  2 s  2  38] L-1   2   s  3  s  1  39] L-1

 f t  

1 t 15 3t 17 3t e  e  te 16 16 4



 3s 2  s    s  s  2   s  1 

 f t  

2

7 t 1 12 t  7 27 7 7  e  e  cos t sen t 2 2  2 7 2 

1 1 t  sen4t 16 64

PÁG. 17

Problemario De Ecuaciones Diferenciales  6s 2  13s  2   40] L-1   s  s  3 s  5    

 f t  

31 5t 17 3t 2 e  e  5 6 15

  1   41] L-1   2 s s  16      

 f t  

1 1  cos 4t 16 16

  1   42] L   2 2 2   s  a    -1

  1   43] L-1  2 2 s  a         1   44] L-1  2   s s  a   

3 sol. y   e3t sen 2t 2 5] y  y  et cos t y  0   0

1  f  t   3  sen at  at cos at  2a

sol. y 

 1  45] L  2  s  4  5s  6  46] L-1  2   s  3s 

1  ate at  e at  1 a2 

6] y  y  1  tet

y  0  0

sol. y 0  0

y  0   0

sol. y  0   1 y  0   0

8] y  4 y  4 y  t 3

 f  t   2  3e3t

 5  2s  47] L-1  2   s  7 s  10   5s  48] L-1  3 2   s  s  2s 

y  0   0

1 1 t 1  e cos t  et sent 2 2 2

7] y  4 y  4 y  t 3e 2t

1  f  t   senh2t 2

y  0   1

1 2 2 10  e3t  te3t sol. y  t  9 27 27 9 4] y  6 y  13 y  0 y  0   0 y  0   3

1  f  t   3   senh at  at cosh at  2a

 f t  

-1

y 0  0

3] y  6 y  9 y  t

sol. y 0  2

9] 2 y  20 y  51y  0

 f  t   3e 2t  5e 5t

y  0   0

sol.  f  t   2  e  3e 2t

 1  49] L-1  3 2  s  5s  1   50] L-1  2   s  3s  2 

 f t  

1  51] L  2  s  2s  1

 f t 

t

1 5t  e  1  5t  25

 f t  

-1

  1 52] L-1   2  s  s  4s  13 

 f t  

10] y  4 y  4 y  0 sol. y  x   3xe

si

y  0   0,

y  0   3

2x

11] y  2 y  2 y  2

si

y  0   0,

y  0   1

y  0   0,

y  0   1

sol. y  x   1  e  x cos x 12] y  y  3x 2

si

sol. y  x   5e  5  6 x  3x  x x

13]

2

3

y  0   1

y  2 y  1

sol.

14]

y  0  0

y  y  sent

sol.

5.18 Ecuaciones Diferenciales Con Transformadas De Laplece Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace.

1] y  4 y  e

4 t

y 0  2

sol. y  te 4t  2e 2] y  2 y  y  0 sol. y  e t  2te t

y  0   1 y  0   1

15]

y  5 y  4 y  0

y  0   1 y  0   0

sol.

16 y  3 y  2 y  0 sol. y  2e

2 t

 3e

y 0  1

y  0   1

y 0  0

y  0   0

y 0  1

y  0  

t

17  y  4 y  2 1  cosh 2t  1 2 5 y  y  y  0 2

sol. y  18

1

sol. y  e 2

1 2

t

PÁG. 18

Problemario De Ecuaciones Diferenciales 19 y  3 y  2 y  0

y 0  3

5 3t 7  t e  e 4 4 y  8 y  9 y  10

y  0   2

34] y  2 y  5 y  1  t

y 0  0

22

35] y  y  sent

y  0   4

3 23 10 sol. y  e t  e9t  5 45 9 21 y  6 y  8 y  2e3t y  0  0 sol. y  2e 4t

36] y  16 y  1

y 0  0

3 5 1 sol. y  e3t  et  e t  1 8 4 8    23 y  y  4 y  4 y  e  t

y  0   0

y  0   1 y  0   2

sol.

y  0   2

37] y  y  et cos t

y  3 y  y  3 y  3

y  0   1 y  0   1

sol.

2e y  0   2

y 0  0

y 0  0

y  0   0

y  0   0

y  0   0

sol.

38] 2 y   3 y  3 y  2 y  e  t

1 1 1 1 sol. y  e  t  et  e 2t  e t 6 6 12 12 y 0  2 24 y  2 y  5 y  6 y  0 1 1 sol. y  2et  e3t  e 2t 5 5 25 y  y  2 y  1  2t

y  0   4

sol.

sol. y  20

y 0  0

y 0  0

y  0   0

y   0   1

y 0  0

y  0   0

y  0   1

sol.

39] y  2 y  y  2 y  sen3t sol.

y  0   1 y  0   1

40] y  4  y  0

y  0   1 y  0   0

y   0   1 y   0   0

sol.

41] y  y  1  tet y 0  0

y  0   4

y 0  0

y  0   0

y  0  2

sol.

sol. y  et  e2t  t 26 y   y  2 y  tet

1 1  1 1 sol. y  et  t 2  t    e 2t 9 27  27 6 27  y   2 y   y  tet y  0   0 y  0   0 1 sol. y  t 3et 6 28 y  4 y  senh2t

y 0  0

y  0   1

3 1 sol. y  senh 2t  t cosh 2t 8 4 29 y   2 y  y  t  3 y  0   1 y  0   0 sol. y  t  1  te  t 30 y   4 y   4 y  te 2t

y 0  0

y  0   1

 t3 sol. y  e 2t  t 6     31 y  4 y  5 y  0

y 0  0

y  0   1

sol. y  e 2t sent

32 y  4 y  13 y  0

y  0   1 y  0   0

2   sol. y  e 2t  cos 3t  sen3t 3  33 y  4 y  5 y  t y  0   1 y  0   3 22  29  t 4 sol. y  e 2t  cos t  sent    25  25  5 25 PÁG. 19