Uso de Multiplos Metricos

Notación científica Por las magnitudes relativas de las diversas unidades de medida, debe resultar evidente que se encuentran con frecuencia números muy grandes y muy pequeños al estudiar las ciencias. Para reducir las dificultades de las operaciones matemáticas con números de tamaños extremadamente grandes o pequeños, se suele utilizar la notación científica.

En esta anotación se aprovechan las propiedades matemáticas de las potencias de 10. La notación utilizada para representar los números que son potencias enteras de 10 es como sigue: 1  100

1/ 10  0.1

101

10  101

1/ 100  0.01

102

100  102

1/ 1000  0.001

103

1000  103 1/ 10000  0.0001 104

Un método rápido para determinar la potencia apropiada de 10, consiste poner una marca de intercalación a la derecha del número 1, dondequiera que se encuentre y contar desde ese punto el número de lugares a la derecha o la izquierda, antes de llegar al punto decimal. El desplazamiento hacia la derecha indica una potencia positiva de 10, mientras que hacia la izquierda se tienen una potencia negativa, por ejemplo: 10000.0  10000 .  104 0.00001  0 . 00001  105

Como algunas de estas potencias de 10 se usan con mucha frecuencia, se ha adoptado una forma abreviada (como se indica en la

tabla 1), la cual, cuando se escribe junto con la unidad de medida, hace innecesario incluir la potencia de 10 en forma numérica.

Potencia de 10 Prefijo Abreviatura Tera T 1012 109

Giga

G

106

Mega

M

103

Kilo

k

103

Mili

m

106

Micro



109

Nano

n

1012

Pico

p

Ejemplos 1000000 ohms  1106 ohms  1 megaohm  M   100000 metros = 100 103 metros = 100 kilómetros (km) 0.000001 farad = 1 106 farad = 1 microfarad  uF 

Cifras Significativas Una indicación de lo preciso de las mediciones se obtiene del número de cifras significativas con las cuales se expresan los resultados.

Estas cifras proporcionan información real relativa a la magnitud y precisión de las mediciones de una cantidad.

El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa la precisión de una medición.

Por ejemplo:

Si se especifica que una resistencia sea realmente de 68  , esta debe estar más cercana de 68  que de 67  ó 69  Si el valor de la resistencia se describe como 68 , significa que esta mas cerca de 68 que los 67.9 o de 68.1 . En 68 hay dos cifras significativas y tres en 68.0 . La última, con más cifras significativas, expresa una medición de mayor precisión que la primera.

Sin embargo, a menudo el número total de dígitos puede no representar la precisión de la medición. Frecuentemente se utilizan números más grandes con ceros antes del punto decimal para aproximar cantidades de población o dinero.

Por ejemplo la población de una ciudad se indica en seis cifras significativas: 380000 . Esto puede significar que el valor real de la población puede variar entre 379999 y 380001, las cuales son seis cifras significativas, sin embargo, indica que la población puede estar mas cerca de 380000 que 370000 o de 390000 . Como en este caso la población se puede expresar únicamente con dos cifras significativas, ¿Cómo se podrían expresar en números grandes?

Técnicamente una notación correcta se usan potencias de base diez: 38 104 ó 3.8 105 . Esto indica que las cifras de la población son únicamente exactas a dos cifras significativas. Los ceros a la izquierda del punto decimal causan incertidumbre, lo que se resuelve mediante la notación científica de potencias de base diez.

Se acostumbra llevar un registro de mediciones con todos los dígitos de los cuales se cree seguro que están cerca del valor real. Por ejemplo, en la lectura de un voltímetro, el voltaje se puede leer como 117.1V . Esto simplemente indica que el voltaje, leído al observar una estimación mejor, esta mas cercano a 117.1V que a 117.0V ó a 117.2V .

Otra forma de expresar los resultados es indicar el posible intervalo de error. El voltaje se puede expresar como 117.1  0.05V , lo que indica que el valor del voltaje puede variar entre 117.05V y 117.15V .

Cuando un número de mediciones independientes se toman con intención de obtener la mejor respuesta posible (la mas cercana al valor real), el resultado se suele expresar con la media aritmética de las lecturas, con el posible intervalo de error, como la mayor desviación de lo obtenido.

Esto se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Cuatro observadores efectuaron un conjunto independientes de voltaje, que se registraron como:

117.02V 117.11V 117.08V 117.03V Calcúlese: a. Voltaje Promedio b. Rango del error Solución Planteamiento del Problema Inciso a E1  E2  E3  E4 N 117.02  117.11  117.08  117.03   117.06V 4

E promedio 

Inciso b

de

mediciones

Rango  Emax  E promedio  117.11  117.06  0.05V

Pero también Rango  E promedio  Emin  117.06  117.02  0.04V

El rango promedio de error equivale a

0.05  0.04  0.045V  0.05V 2 Cuando se suman dos o más mediciones con diferentes grados de exactitud, el resultado es tan exacto según lo sea la medición menos exacta. Supóngase que se suman dos resistencias en serie como en el ejemplo 2: Ejemplo 2 Dos resistencias R1 y R2 están conectadas en serie. Las mediciones de las resistencias medidas individualmente con un multímetro digital dieron valores de R 1  18.7 y R2  3.624 . Calcúlese la resistencia total con el número apropiado de cifras significativas.

Solución Planteamiento del Problema R1  18.7  tres cifras significativas  R2  3.624  cuatro cifras significativas  RT  R1  R2  22.324  cinco cifras significativas   22.3

Las cifras en itálicas (2 e 4) indican que en la suma de R1 y R2 los tres dígitos últimos de la suma son imprecisos. No hay un valor que retenga los últimos dos dígitos (el 2 y el 4) ya que una de las resistencias es exacta únicamente para tres cifras significativas o

.decimas de ohm. Por lo tanto el resultado se reduce también a tres cifras significativas o la decima mas cercana como 22.3 El número de cifras significativas es una multiplicación se puede incrementar rápidamente, pero solo las cifras apropiadas se presentan en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3 En el calculo de una caída de voltaje una corriente de 3.18A se registra en una resistencia de 35.68 calcúlese la caída de voltaje a través de la resistencia con el numero apropiado de cifras significativas.

Solución Planteamiento del Problema E  IR   35.68   3.18  113.4624  113V

Como hay tres cifras significativas en la multiplicación la respuesta se escribe con un máximo de tres cifras significativas.

En el ejemplo anterior la corriente I , tiene tres cifras significativas y R cuatro; el resultado de la multiplicación tiene tres cifras significativas.

Esto indica que la respuesta no se puede conocer con una exactitud mayor que la del factor de menor exactitud.

Nótese también que si se acumulan dígitos extra en la respuesta, se podrían descartar o redondear. En la practica, si el digito menos significativo que se quiere descartar es menor que cinco, se eliminan este y los siguientes dígitos de la respuesta.

Ejemplo 4 Sumar 826  5 con 628  3

Solución Planteamiento del Problema 5  100%  0.605 826 3  100% N 2  628  3   0.477%    0.477 628 8  100% Suma  1454  8   0.55%    0.55 1454 N1  826  5   0.605%  

Nótese en este ejemplo que los dígitos imprecisos se suman, puesto que el signo  indica que un numero puede ser mayor y el otro menor.

La peor combinación posible del rango de incertidumbre se ha de tomar en cuenta en la respuesta. El porcentaje de incertidumbre en las cifras originales N1 y N 2 no difiere mucho del porcentaje de incertidumbre en el resultado final.

Ejemplo 5 Sustraer 628  3 de 826  5 y expresar el rango de incertidumbre como porcentaje en la respuesta.

Solución Planteamiento del Problema 5  100%  0.605 826 3  100% N 2  628  3   0.477%    0.477 628 8  100% Diferencia  198  8   4.04%    4.04 198 N1  826  5   0.605%  

De igual modo en el ejemplo 5, los dígitos imprecisos se suman por la misma razón que el ejemplo 4. Al comparar los resultados de la suma y la resta de los mimos números en los ejemplos 4 y 5, se observa que

la precisión de los resultados, cuando se expresa en porcentajes, difiere bastante. El resultado final después de la resta presenta un gran incremento en el porcentaje de incertidumbre comparado con el porcentaje de incertidumbre después de la suma. El porcentaje se incrementa aun mas cuando la diferencia entre los números es relativamente pequeña. Consideremos el caso del ejemplo 6.

Ejemplo 6 Réstese 437  4 de 462  4 y exprésese el rango de incertidumbre como porcentaje de rango en la respuesta.

Solución Planteamiento del Problema 4  100%  0.87 462 4  100% N 2  437  4   0.92%    0.92 437 8  100% Diferencia  25  8   4.04%    32 25 N1  462  4   0.87%  

Este ejemplo ilustra que se deben evitar técnicas de medición dependientes de restas en los resultados experimentales ya que el rango de incertidumbre en el resultado final se puede incrementar considerablemente.