Vectores

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Vectores Un vector en el plano es un segmento de recta dirigido. El segmento de recta dirigido AB tiene un punto inicial A y un punto final B ; su longitud o magnitud se denota como AB . Dos vectores son iguales si tienen la misma longitud y dirección.

Definición Expresión cartesiana o en componentes Si v es un vector bidimensional en el plano igual al vector con un punto inicial en el origen y punto final  v1 , v2  , entonces la expresión de

v en componentes es v  v1, v2

Si v es un vector tridimensional igual al vector con punto inicial en el origen y punto final

 v1, v2 , v3 

, entonces la expresión de v

en

componentes es v  v1, v2 , v3

La magnitud o longitud del vector v  PQ es el número no negativo v  v12  v22  v32 

 x2  x1    y 2  y1    z2  z1  2

2

2

El único vector con longitud 0 es el vector cero 0  0,0 ó 0  0,0,0 .

Este vector también es el único vector que no tiene una dirección específica.

Operaciones Algebraicas con vectores Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Un escalar es simplemente u numero real, y los llamamos de esta manera cuando Vectores

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queremos resaltar su diferencia con los vectores. Los escalares pueden ser positivos, negativos o cero.

Definiciones Suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar Sean u  u1, u2 , u3

y v  v1, v2 , v3

vectores y k un escalar.

Suma : u  v  u1  v1 , u2  v 2 , u3  v3 Multiplicación escalar : ku  ku1 , ku2 , ku3

Propiedades de las operaciones con vectores Sean u, v, w vectores y a, b escalares 1. u  v  v  u 2.  u  v   w  u   v  w 3. u  0  u 4. u   u   0 5. 0u  0 6. 1u  u 7. a  bu    ab  u 8. a  u  v   au  av 9.  a  b  u  au  bu Vectores unitarios Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario. Los vectores unitarios estándar (ó básicos) son i  1,0,0 , j  0,1,0 , k  0,0,1

Cualquier vector v  v1, v2 , v3 se puede escribir como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar como sigue: Vectores

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v  v1 , v2 , v3  v1 ,0,0  0, v2 ,0  0,0, v3  v1 1,0,0  v2 0,1,0  v3 0,0,1  v1i  v2 j  v3k

Llamamos al escalar (ó numero) v1 el componente en i del vector v , a v2 al componente en j y a v3 al componente en k . La expresión en componentes del vector de P1  x1, y2 , z2  a P2  x2 , y2 , z2  es: PP 1 2   x2  x1  i   y2  y1  j   z2  z1  k

En resumen podemos expresar cualquier vector no nulo v en términos del producto de sus dos características fundamentales, v longitud y dirección, escribiendo v  v v Si v  0 , entonces 1.

v es un vector unitario en la dirección de v ; v

2. La ecuación v  v

v v

expresa a v en términos de su longitud y

dirección Punto medio de un segmento de recta Con frecuencia, los vectores son útiles en geometría. Por ejemplo, las coordenadas del punto medio de un segmento de recta se determinan con un promedio El punto medio M del segmento de recta que une a los puntos P1  x1, y1, z1  y P2 ( x2 , y2 , z2 ) es el punto  x1  x2 y1  y2 z1  z2  , ,   2 2 2   Vectores

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Teoría y Aplicaciones Problemas Propuestos Medianas de un triangulo. Suponga que A, B y C son las esquinas de una delgada placa triangular de densidad constante como muestra la siguiente figura

a. Determine el vector que va desde C hasta el punto medio M del lado AB .

El punto medio de AB es M  x1  x2 y1  y2 z1  z2   4  1 2  3 0  0   5 5  , , , ,      , ,0  2 2   2 2 2  2 2   2 3 3 5  5  Y el CM    1 i    1 j   0  3 k  i  j  3k 2 2 2  2 

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b. Determine el vector que va desde C hasta el punto que esta sobre la mediana CM , a dos tercios de la distancia de C a M .

2 3 3 2  El vector deseado es   CM   i  j  3k   i  j  2k 3 2 2 3  c. Determine las coordenadas del punto donde se cortan las medianas del triangulo ABC . Este punto es el centro de masa de la placa.

El vector cuya suma es el vector desde el origen a C y el resultado de la parte (b) terminara en el centro de masa  el

punto terminal de  i  j  3k    i  j  2k   2i  2 j  k es el punto

 2,2,1

que es la ubicación del centro de masa.

Problema 2 Suponga que A, B y C son los vértices de un triangulo y que a, b y

c

son respectivamente los puntos medios de los lados opuestos.

Muestre que Aa  Bb  Cc  0 .

Solución

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Sin perder de generalidad nosotros podemos asignar los vértices del triangulo de tal manera que A(0,0), B(b,0) y C( xc , yc )  a esta  b  xc yc  x y  b  localizada en  ,  , b esta en  c , c  y c esta en  ,0  .

2  2 2 2 2 

Entonces, El vector en posición canonica v que representa a Aa es b x   y  Aa    c  i   c  j 2 2   2  El vector en posición canonica v que representa a Bb es x  Bb   c  b  i 2  El vector en posición canonica v que representa a Cc es b  Cc    xc  i    yc  j  Aa  Bb  Cc  0 2 

El producto punto El producto punto también se conoce como producto interno o escalar debido a que el producto da como resultado un escalar, no un vector.

Angulo entre dos vectores El ángulo  entre dos vectores no nulos u  u1, u2 , u3

y v  v1, v2 , v3

esta dado por  u1v1  u2v2  u3v3   u v  

  cos 1 

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Definición de producto punto El producto punto u  v v  v1, v2 , v3

"u punto v "

de los vectores u  u1, u2 , u3

y

es u  v  u1v1  u2v2  u3v3

Vectores perpendiculares (ortogonales) Dos vectores no nulos u y v son perpendiculares u ortogonales si el ángulo entre ellos es  / 2 . Para tales vectores tenemos que u  v  0 pues cos  / 2   0 . El reciproco también es cierto. Si u vectores no nulos con u  v  u v cos

y v

, entonces cos  0

son y

  cos1 0   / 2 .

Definición de vectores ortogonales Los vectores u y v son ortogonales ( o perpendiculares) si y solo si uv  0 .

Propiedades del producto punto y proyecciones de vectores El producto punto cumple varias leyes validas para productos ordinarios de números reales (escalares) Propiedades del producto punto Si u, w y w son tres vectores cualesquiera y c es un escalar, entonces 1. u  v  v  u 2.  cu   v  u   cv   c  u  v  3. u   v  w  u  v  u  w 4. u  u  u

2

5. 0  u  0

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El número u cos se conoce como la componente escalar de u en la dirección de v .

En resumen, el vector proyección de u sobre v : uv  proyvu   2  v  v   

Componente escalar de u en la dirección de v : u cos 

uv v u v v

Observe que tanto el vector proyección de u sobre v como la componente escalar de u sobre v dependen solo de la dirección del vector v y no de su longitud (pues hacemos el producto punto de u con v / v , que es la dirección de v .

Trabajo realizado por una fuerza constante El trabajo realizado por una fuerza constante F que actúa a través de un desplazamiento D  PQ es W  F  D  F D cos ,

Donde  es el ángulo entre F y D Como escribir u ortogonal a v

como la suma de un vector paralelo a v

y otro

u  proyvu   u  proyvu  uv   u v     2   u   2 v   v    v         Pararlelo a v

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Ortogonal a v

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