Anexos 1

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Anexo 1 Transformaciones de Lorentz Definimos dos sistemas inerciales de referencia S y S', tales que Si t = 0, t' = 0, x = x' [A1.1] Si x' = 0, v = x/t [A1.2] La condiciĂłn de la relatividad especial es c = x/t = x'/t'. Para que se cumpla, tanto si el movimiento relativo de un sistema respecto al otro es segĂşn los ejes positivos de abscisas OX y O'X' o en sentido contrario, se debe verificar: x - ct = x' - ct' x + ct = x' + ct' En general: x' - ct' = Îą(x - ct) x' + ct' = β(x + ct) Sumando y restando ambas ecuaciones, se obtiene: x' = (Îą + β)/2x - (Îą - β)/2ct ct' = -(Îą - β)/2x + (Îą + β)/2ct Haciendo A = (Îą + β)/2 y B = (Îą - β)/2, las ecuaciones quedan asĂ­: x' = Ax - Bct = A(x - B/Act) [A1.3] ct' = -Bx + Act = A(-B/Ax + ct) [A1.4] Eliminamos el parĂĄmetro c a partir de soluciones particulares de ambas ecuaciones. En la ecuaciĂłn [A1.3], para t = 0, x' = Ax. Para el caso particular x' = 1, x = 1/A [A1.5] En la ecuaciĂłn [A1.4], para t' = 0, ct = B/Ax. Sustituyendo este valor en la ecuaciĂłn [A1.1], se obtiene: x' = Ax(1 - B2/A2). Para el caso particular x = 1, x' = A(1 - B2/A2) [A1.6] Aplicando la condiciĂłn x = x' de [A1.1] en las ecuaciones [A1.5] y [A1.6]: 1/A = A(1 - B2/A2) A = (1 - B2/A2)-1/2 [A1.7] Aplicando la condiciĂłn x' = 0 de [A1.2] en la ecuaciĂłn [A1.3]: x/t = Bc/A→ v/c = B/A [A1.8] Sustituyendo B/A de [A1.8] en [A1.7], A valdrĂĄ: A = (1 -v2/c2)-1/2 [A1.9] Estos dos Ăşltimos valores, B/A de [A1.8] y A de [A1.9], se introducen en las dos ecuaciones [A1.3] y [A1.4], obteniendo finalmente las transformaciones de Lorentz: đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘Ąâˆ’ 2 đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą đ?‘? đ?‘Ľâ€˛ = ; đ?‘Ąâ€˛ = 2 2 √1 − đ?‘Ł2 √1 − đ?‘Ł2 đ?‘? đ?‘? Anexo 2 Ecuaciones de Maxwell Primera ecuaciĂłn de Maxwell La primera ecuaciĂłn de Maxwell [A2.1] indica que la divergencia del campo elĂŠctrico, es decir el flujo neto de las lĂ­neas de fuerza elĂŠctrica que atraviesan cualquier superficie cerrada, depende de la densidad de la carga elĂŠctrica Ď que encierra dicha superficie. Si no hay carga elĂŠctrica alguna almacenada en el interior de la superficie, el flujo neto de las lĂ­neas de fuerza elĂŠctrica que la traspasan es cero. 1

⃗∇ . đ??¸âƒ— =

đ?œŒ

[A2.1]

đ?œ€0

E es el campo elĂŠctrico, Ď la densidad de carga elĂŠctrica y Îľ0 la constante dielĂŠctrica en el vacĂ­o o la capacidad de polarizaciĂłn del vacĂ­o. Su valor es 8,85∙10-12 C2/N/m2. [A2.1] se deduce de la ley de Gauss, que es la ley de Coulomb reducida para dos cargas puntuales, q1 y Q, separadas por una distancia r (VĂŠase el esquema del Cuadro A2.1). CUADRO A2.1 đ?&#x;? đ???đ??Şđ?&#x;? đ?&#x;’đ?›‘đ?›†đ?&#x;Ž đ??Ť đ?&#x;? F es la fuerza de interacciĂłn entre las dos cargas. Aplicando el concepto de campo creado por una carga puntual, q1, en su entorno, tenemos: đ?&#x;? đ??… đ?&#x;? đ??? đ??„ = đ?&#x;’đ?›‘đ?›† đ??Ş = đ?&#x;’đ?›‘đ?›† đ??Ť đ?&#x;? [A2.2] đ??…=

đ?&#x;Ž

đ?&#x;?

đ?&#x;Ž

El ĂĄngulo sĂłlido ΔΊ, abarcado por un elemento superficial ΔA, que forma un ĂĄngulo θ con la normal n es: ⃗⃗ đ?‘&#x; ⃗ /r2 = ΔAcosθ/r2 ΔΊ = ΔAđ?‘› [A2.3] El flujo total del campo elĂŠctrico Δϕ que atraviesa ΔA es, previa sustituciĂłn de E por [A2.2] y la introducciĂłn del valor de ΔΊ de [A2.3]: 1 đ?‘„ 1 ∆∅ = đ??¸âƒ— đ?‘›âƒ—∆đ??´ = đ?‘&#x;đ?‘›âƒ—∆đ??´ = đ?‘„∆đ?›ş 2 4đ?œ‹đ?œ€0 đ?‘&#x; 4đ?œ‹đ?œ€0 La ley de Gauss expresa el flujo que atraviesa una superficie esfĂŠrica S en forma integral, cuyo ĂĄngulo sĂłlido varĂ­a entre 0 y 4Ď€ : 4đ?œ‹ ⃗⃗ dA = 1 đ?‘„ âˆŤ đ?‘‘đ?›ş = 1 4đ?œ‹đ?‘„ = đ?‘„/đ?œ€0 Ď• = ∎ ⃗⃗đ??¸ đ?‘› đ?‘†

4đ?œ‹đ?œ€0

0

4đ?œ‹đ?œ€0

El teorema de Gauss Ostrogradsky relaciona el flujo que atraviesa una superficie S con la divergencia extendida al volumen del recinto cerrado V que la contiene: đ?œŒ đ?‘‘đ??´ = 1â „đ?œ€ âˆŤ đ?œŒđ?‘‘đ?‘‰ → ⃗∇ . đ??¸âƒ— = [A2.4] ∎ đ??¸âƒ— ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘

0 �

đ?œ€0

El resultado final [A2.4] es la primera ecuaciĂłn de Maxwell [A2.1]. Segunda ecuaciĂłn de Maxwell La segunda ecuaciĂłn de Maxwell [A2.5] expresa que todas las lĂ­neas de fuerza de un campo magnĂŠtico forman siempre un bucle cerrado. Por tanto, la divergencia de un campo magnĂŠtico de intensidad B es siempre cero. ⃗ .đ??ľ ⃗ =0 ∇ [A2.5] [A2.5] ratifica la evidencia empĂ­rica de la ausencia de monopolos magnĂŠticos en la naturaleza, o lo que es igual, el surgimiento espontĂĄneo de dos imanes cada vez que se fracciona uno. Tercera ecuaciĂłn de Maxwell La tercera ecuaciĂłn de Maxwell [A2.6] dice que todo campo magnĂŠtico que varĂ­e con el tiempo provocarĂĄ campos elĂŠctricos rotacionales ⃗ ⃗∇ Ă— đ??¸âƒ— = − đ?œ•đ??ľ [A2.6] đ?œ•đ?‘Ą

[A2.6] es la expresiĂłn diferencial de la ley de Faraday, que establece que la circulaciĂłn de un campo elĂŠctrico por un conductor cerrado C es igual y de signo contrario a la 2

variaciĂłn respecto al tiempo del flujo magnĂŠtico que atraviesa una superficie S con el contorno C como borde (vĂŠase Figura A2.11): ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‘đ?‘™ = −đ?‘‘â „đ?‘‘đ?‘Ą âˆŤđ?‘† đ??ľ đ?‘‘đ??´ [A2.7] ∎đ?‘? đ??¸âƒ— ⃗⃗⃗

Figura A2.1 Cuarta ecuaciĂłn de Maxwell La cuarta ecuaciĂłn de Maxwell [A2.8] afirma que todo campo elĂŠctrico variable en el tiempo produce a su vez campos magnĂŠticos rotacionales. ⃗ ⃗ Ă—đ??ľ ⃗ = đ?œ‡0 đ??˝âƒ— + đ?œ‡0 đ?œ€0 đ?œ•đ??¸ ∇ [A2.8] đ?œ•đ?‘Ą J es la densidad de corriente y Âľ0 la permeabilidad magnĂŠtica en el vacĂ­o = 4Ď€âˆ™10-7 N/amp2. [A2.8] es la ley empĂ­rica de Ampère [A2.9] modificada. ⃗⃗⃗ = đ?œ‡0 đ??ź ⃗ đ?‘‘đ?‘™ [A2.9] ∎đ??ľ La ley de Ampère relaciona campos magnĂŠticos estacionarios y corrientes elĂŠctricas constantes. Dice que la intensidad de un campo magnĂŠtico en torno a un conductor es proporcional a la corriente I que circula por dicho conductor (vĂŠase Fig. A2.22) La diferencia que la ecuaciĂłn [A2.8] ofrece respecto a la [A2.9] se debe al tĂŠrmino introducido en el segundo miembro de [A2.8], que recibe el nombre de corriente de desplazamiento. Este sumando lo aĂąadiĂł Maxwell al descubrir que la ecuaciĂłn de AmpĂŠre, junto con la de Faraday, rompĂ­a el principio de conservaciĂłn de la carga.

Figura A2.2 1 2

Figura tomada de https://es.images.search.yahoo.com/search/images. Figura tomada de https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/Electromagnetism.png.

3

Sin embargo las ecuaciones de Maxwell no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinĂĄmica clĂĄsica. Hace falta aĂąadir una ecuaciĂłn mĂĄs: la expresiĂłn de la fuerza de Lorentz, en funciĂłn de los campos elĂŠctrico y magnĂŠtico. ⃗) đ??š = đ?‘ž(đ??¸âƒ— + đ?‘Ł đ?‘‹đ??ľ Anexo 2.1 Campo magnĂŠtico de un conductor lineal Por las ecuaciones de Maxwell se llega a la ecuaciĂłn que relaciona los campos elĂŠctrico y magnĂŠtico. E = cB [A2.1.1] Por la ley de Coulomb E = Q/4πξ0d2 [A2.1.2] Por la ley de Biot Savart, el campo magnĂŠtico de un conductor lineal es ⃗⃗⃗⃗ đ?‘&#x; đ??źđ?‘‘đ?‘™

Âľ

Âľ

đ?‘‘đ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ

đ??ľ = 4đ?œ‹0 âˆŤ đ?‘&#x; 2 = 4đ?œ‹0 đ??ź âˆŤ đ?‘&#x; 2 [A2.1.3] |đ?‘&#x;| = 1 , dl es el elemento diferencial creador del campo magnĂŠtico cuyo efecto B se mide en el punto P de la Figura A2.1.1, situado a una distancia r. l = d/tgθ; dl = -d/sen2θ dθ [A2.1.4] P

r d

θ dl

l

Figura A2.1.1 Por otro lado, r = d/senθ [A2.1.5] Sustituyendo dl y r de [A2.1.4] y [A2.1.5] y el valor de la intensidad I = Q/t en la integral [A2.1.3], se obtiene: Âľ đ?‘„

đ?œƒ

−đ?‘‘

đ?‘‘2

đ??ľ = 4đ?œ‹0 đ?‘Ą âˆŤđ?œƒ đ?‘“ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 đ?œƒ : đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 đ?œƒ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒđ?‘‘đ?œƒ đ?‘–

[A2.1.6]

Resolviendo la integral [A2.1.6] entre los lĂ­mites del ĂĄngulo inicial θi y el ĂĄngulo final θf se consigue la expresiĂłn del campo magnĂŠtico de un conductor lineal. B = Âľ0Q/4Ď€td (cos θi - cos θf) Si el conductor lineal es una semirrecta infinita → θi = 0 y θf = Ď€/2: B = Âľ0Q/4Ď€td [A2.1.7] Sustituyendo [A2.1.2] y [A2.1.7] en [A2.1.1], se obtiene 1/Îľ0 = dÂľ0/t. Como c = d/t, tenemos la relaciĂłn de la velocidad de la luz en funciĂłn de la constante dielĂŠctrica y la permeabilidad magnĂŠtica en el vacĂ­o: 1 đ?‘?= đ?œ€đ?œ‡ [A2.1.8] √ 0 0

4

Anexo 3 EcuaciĂłn general de Einstein de la energĂ­a El trabajo, W, en funciĂłn de la fuerza F y el desplazamiento que produce dx es: đ?‘Ľ1

đ?‘Š = âˆŤ đ??šđ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ0

Como F = dp/dt, donde p es el momento, la energĂ­a cinĂŠtica K valdrĂĄ: đ?‘‘đ?‘? đ??ž = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘? Como đ?‘š0 đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘? đ?‘š0 đ?‘? = đ?‘šđ?‘Ł = = 1â „ → 3â „ đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘Ł2

{1− 2 } đ?‘?

đ?‘Ł2

2

{1− 2 } đ?‘?

2

[A3.1] [A3.2]

m0 es la masa en reposo; m, la masa de velocidad v y c, la velocidad de la luz. Sustituyendo dp en [A3.1] e integrando entre v = 0 y v1, velocidad en que la fuerza deja de actuar, se obtiene: đ?‘Ł1

đ?‘Ł

đ??ž = âˆŤ0 1 đ?‘Łđ?‘š0

1 3â „ 2 đ?‘Ł2 {1− 2 } đ?‘?

đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘š0

đ?‘?2 1â „ 2 đ?‘Ł2 {1− 2 } đ?‘?

|

= đ?‘š0 0

đ?‘?2 1â „ 2 đ?‘Ł2 {1− 21 } đ?‘?

− đ?‘š0 đ?‘? 2

La forma resumida de la ecuaciĂłn [A3.3] es: K = (m - m0)c2 E0 = m0c2 es la energĂ­a en reposo. Por tanto, K + E0 = E E = mc2

[A3.3]

[A3.4]

Anexo 4 El espacio cuatridimensional de Minkowski El espacio cuatridimensional de Minkowski tiene tres dimensiones reales (x, y, z) y una imaginaria (cit). Contiene 6 planos: 3 espaciales (xy, xz, yz) y 3 espacio temporales (tx, ty, tz). Suponiendo que el par de vectores unitarios en el cuadrante (X, cT) de la Figura A4.1 son {đ?‘–⃗ , đ?‘—} , y en el cuadrante (X', cT') son {đ?‘˘ ⃗⃗⃗ , đ?‘Ł }, tendremos: đ?‘Ľđ?‘– + đ?‘Ąđ?‘— = đ?‘Ľ ′ đ?‘˘ ⃗ + đ?‘Ąâ€˛đ?‘Ł [A4.1]

φ

Figura A4.1 Teniendo en cuenta la rotaciĂłn de los ejes {X', cT'} respecto a los ejes {X, cT}, se pueden establecer las relaciones entre los vectores unitarios: 5

đ?‘˘ ⃗ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘ đ?‘– + đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œ‘ đ?‘— đ?‘Ł = −đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œ‘ đ?‘– + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘ đ?‘— Introduciendo esta dos expresiones en [A4.1], se obtienen las coordenadas (x, t) en funciĂłn de (x', t'). x = x'cos φ - t'sen φ [A4.2] t = x'sen φ + t'cos φ Para x' = 0, x = -t'sen φ; t = t'cos φ → tg φ = x/cti = -xi/ct = vi/c Como đ?‘ đ?‘’đ?‘› φ =

đ?‘?đ?‘œđ?‘ φ =

đ?‘Ąđ?‘” φ √1 + đ?‘Ąđ?‘”2 φ 1 √1 + đ?‘Ąđ?‘”2 φ

=

=

đ?‘–đ?‘Łâ „ đ?‘? 2 √1 − đ?‘Ł2 đ?‘? 1 2

√1 − đ?‘Ł2 đ?‘? Sustituyendo estas dos funciones trigonomĂŠtricas en [A4.2], tendremos finalmente las transformaciones de Lorentz. đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘Ąâ€˛ + 2 đ?‘Ľ ′ + đ?‘Łđ?‘Ą đ?‘? đ?‘Ľ= ;đ?‘Ą = 2 2 √1 − đ?‘Ł2 √1 − đ?‘Ł2 đ?‘? đ?‘? Dividiendo x entre t se puede calcular la velocidad de un mĂłvil v' respecto al sistema (X', cT'), siendo u la velocidad con la que este sistema se aleja del sistema (X, cT) y v la velocidad del mĂłvil respecto a (X, cT). đ?‘Ľ

�′ = � =

đ?‘Ľ ′ +đ?‘Łđ?‘Ąâ€˛ đ?‘Ł đ?‘Ą ′ + 2đ?‘Ľ2 đ?‘?

=

�+� ��

1+ 2 đ?‘?

[A4.3]

Para la fĂ­sica pre relativista v << c → v' = u + v. Por otro lado, en [A4.3] se cumple la constancia de la velocidad de la luz: si v = c → v' = c. Anexo 5 Operadores. Formas mĂŠtrica y cuadrĂĄtica de un tensor. Covariante y contravariante de Lorentz3 Operadores Vamos a definir cuatro operadores que actĂşan sobre las componentes de un campo vectorial VÎą (x) de un espacio-tiempo de cuatro dimensiones que estĂĄ fijado en la posiciĂłn x: đ?œ• • Operador derivada đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ‡ : es un operador lineal que puede aplicarse a cualquier funciĂłn (escalar o vector). Por ejemplo, a la componente x del vector V: đ?œ• đ?›ź đ?œ•đ?‘‰ đ?›ź (đ?‘Ľ) (đ?‘Ľ) đ?‘‰ = đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ‡ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ‡ • Operador multiplicador, que multiplica una funciĂłn por otra funciĂłn: f (x)VÎą (x) = f(x).VÎą (x).

3

Gran parte de lo desarrollado en los Anexos 5, 6 y 7 se debe a las notas tomadas al Profesor Leonard Susskind de la lección 8 de la Standford University Einstein´s General Theory of Relativity, https://www.youtube.com/watch?v=AC3TMizGpB8.

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Por ejemplo, el operador đ?‘€đ?›˝đ?›ź đ?‘‰đ?›˝ (đ?‘Ľ) = đ?‘‰ đ?›ź (đ?‘Ľ) es a la vez matriz y funciĂłn. A la izquierda de la igualdad, f (x) es un operador que actĂşa sobre el vector columna VÎą (x); a la derecha de la igualdad es un producto de funciones. • Operador derivada covariante âˆ‡Îź: es la derivada respecto a xÎź y actĂşa sobre un vector del siguiente modo: đ?œ• ∇đ?œ‡ = đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ‡ + đ?›¤đ?œ‡ [A5.1] đ?›ź Γ es el sĂ­mbolo de Christoffel. Tiene, para cada dimensiĂłn Îź, una matriz đ?›¤đ?œ‡đ?›˝ con dos Ă­ndices: Îą y β. En el espacio cuatridimensional de Minkowski hay en total cuatro matrices, una para cada dimensiĂłn. Aplicando el operador derivada covariante a un vector, se obtiene: đ?œ•đ?‘‰ đ?›ź (đ?‘Ľ) đ?›ź (đ?‘Ľ)đ?‘‰đ?›˝ (đ?‘Ľ) ∇đ?œ‡ đ?‘‰ đ?›ź (đ?‘Ľ) = + đ?›¤đ?œ‡đ?›˝ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ‡ El primer miembro de esta ecuaciĂłn es el operador derivada covariante; el primer sumando del segundo miembro, el operador derivada y el segundo sumando del segundo miembro, la tĂ­pica matriz numĂŠrica que depende de la posiciĂłn x del vector V. • Operador conmutador [AB] = AB - BA đ?œ• Aplicando el operador conmutador [đ?œ•đ?‘Ľ , đ?‘“(đ?‘Ľ)] al vector V, se obtiene. đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘‰ đ?œ•đ?‘‰ [ , đ?‘“(đ?‘Ľ)] đ?‘‰(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‰(đ?‘Ľ) − đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‰(đ?‘Ľ) = đ?‘‰+đ?‘“ −đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ•đ?‘“ [đ?œ•đ?‘Ľ , đ?‘“] = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘Ľ = đ?œ•đ?‘Ľ [A5.2] Formas mĂŠtrica y cuadrĂĄtica de un tensor En un plano de dimensiones dx1 y dx2 → ds2 = (dx1)2 + (dx2)2, pero en el espacio el triĂĄngulo de descomposiciĂłn del vector es esfĂŠrico. No se cumple PitĂĄgoras y hay que introducir en la forma cuadrĂĄtica la mĂŠtrica gmn4. La forma cuadrĂĄtica para m dimensiones serĂĄ: đ?‘‘đ?‘ 2 = ∑ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘› = đ?›żđ?‘šđ?‘› ∑ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘š

đ?‘šđ?‘›

δmn = delta de Kronecker5 = 1, si m = n; δmn = 0, si m ≠n. Por otro lado đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘š = đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?‘&#x; Sustituyendo dxm en la forma cuadrĂĄtica, resulta: đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘š đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘‘đ?‘ 2 = đ?›żđ?‘šđ?‘› ∑ đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘&#x; đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘ = đ?‘”đ?‘šđ?‘› đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?‘šđ?‘›

Covariante y contravariante de Lorentz Suponiendo una superficie curva alabeada Ď•, el gradiente vertical en el plano x-y tiene dos componentes: đ?œ•âˆ… đ?œ•âˆ… đ?‘‘∅đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľ; đ?‘‘∅đ?‘Ś = đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś El gradiente a lo largo de la trayectoria s serĂĄ: 4 5

Para el espacio-tiempo la notación de la mÊtrica del tensor es g¾ʋ, En el plano, con vectores unitarios ei, ej, ei.ej = 1, si i = j; ei.ej = 0, si i ≠j.

7

đ?œ•âˆ… đ?œ•âˆ… đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś Estableciendo el cambio de variables x = x1; y = x2; z = x3..., la ecuaciĂłn general del gradiente anterior serĂĄ: đ?œ•âˆ… đ?œ•âˆ… đ?œ•âˆ… đ?‘‘∅đ?‘ = 1 đ?‘‘đ?‘Ľ1 + 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 + â‹Ż = ∑ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘› đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‘∅đ?‘ = đ?‘‘∅đ?‘Ľ + đ?‘‘∅đ?‘Œ =

đ?‘›

Si cambiamos el marco de referencia de x1-x2 a y1-y2: đ?œ•âˆ… đ?œ•đ?‘Ś 1

=

đ?œ•âˆ… đ?œ•đ?‘Ľ 1

đ?œ•âˆ… đ?œ•đ?‘Ľ 2

đ?œ•đ?‘Ľ 1 đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘Ś 1

+ 1

→

đ?œ•âˆ… đ?œ•đ?‘Ś đ?‘›

= ∑đ?‘š

đ?œ•âˆ… đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘š

[A5.3]

đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘š đ?œ•đ?‘Ś đ?‘›

Derivando Ď• respecto a todas las componentes yi, se obtienen las ecuaciones de transformaciĂłn de un vector V de dimensiĂłn n situado en un marco de referencia y. đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› đ?‘‰đ?‘› (đ?‘Ś) = ∑đ?‘š đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘‰đ?‘š (đ?‘Ľ) [A5.4] Por otro lado, se define el tensor6 Tmn = AmBn, siendo A y B vectores En el plano, m = 2 y n = 2, Tmn tiene 4 valores; en tres dimensiones, m = 3 y n = 3, Tmn tiene 9 valores, y en el espacio-tiempo, m = 4 y n = 4, Tmn tiene 16 valores. AmBn es el producto de dos vectores de dimensiones respectivas m y n. De acuerdo con [A5.4], en el marco de referencia y: đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› đ??´đ?‘š (đ?‘Ś)đ??ľđ?‘› (đ?‘Ś) = ∑ đ?‘&#x; đ??´đ?‘&#x; (đ?‘Ľ) ∑ đ?‘ đ??ľđ?‘ (đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x;

đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š đ?œ•đ?‘Ś đ?‘›

đ?‘

đ?‘‡đ?‘šđ?‘› (đ?‘Ś) = ∑đ?‘&#x;đ?‘ đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘ (đ?‘Ľ) [A5.5] [A5.5] es la transformaciĂłn contravariante de un tensor de marco de referencia x, de dimensiĂłn rs, en un tensor de referencia y de dimensiĂłn mn. La transformaciĂłn inversa es el covariante del mismo tensor Tmn (y). đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘‡đ?‘šđ?‘› (đ?‘Ś) = ∑đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘š đ?‘› đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘ (đ?‘Ľ) [A5.6] đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ś

Si dos tensores son iguales, Wnm (x) = Vnm (x) en un marco de referencia x, tienen que ser iguales en cualquier marco de referencia. Lo que no quiere decir que si đ?œ•đ?‘‰đ?‘š (đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘‰ (đ?‘Ś) (đ?‘Ś) = đ?‘š đ?‘› đ?‘‡đ?‘šđ?‘› (đ?‘Ľ) = đ?œ•đ?‘Ľ [A5.7] đ?‘› = đ?›ťđ?‘› đ?‘‰đ?‘š → đ?‘‡đ?‘šđ?‘› đ?œ•đ?‘Ś Por el contrario, en el marco de referencia y, el tensor valdrĂĄ [A5,6]: đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘

đ?‘‡đ?‘šđ?‘› (đ?‘Ś) = đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘ (đ?‘Ľ)

[A5.8]

Sustituyendo en [A5.8] el valor de Trs (x) de la primera igualdad de [A5.7], previo cambio del rango del tensor mn por rs, tendremos: đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ đ?œ•đ?‘‰đ?‘&#x; (đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘‰đ?‘&#x; (đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘‰đ?‘š (đ?‘Ś) đ?‘‡đ?‘šđ?‘› (đ?‘Ś) = đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› đ?œ•đ?‘Ľ = ≠[A5.9] đ?‘ đ?‘š đ?‘› đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› lo que quiere decir que Tmn (y) no es un escalar de Lorentz, porque depende del marco de referencia. Para que no dependa, hay que calcular Tmn (y) a partir de la segunda igualdad de [A5.7] y de la expresiĂłn [A5.10], inversa de [A5.4] đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x;

đ?‘‰đ?‘š (đ?‘Ś) = đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š đ?‘‰đ?‘&#x; (đ?‘Ľ) đ?‘‡đ?‘šđ?‘› (đ?‘Ś) = đ?œ•

đ?œ•đ?‘‰đ?‘š (đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś đ?‘›

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x;

đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘‰đ?‘&#x; (đ?‘Ľ)

= đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› (đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š ∙ đ?‘‰đ?‘&#x; (đ?‘Ľ)) = đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š

đ?œ•đ?‘Ś đ?‘›

[A5.10] đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x;

+ đ?‘‰đ?‘&#x; (đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š

[A5.11]

đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘&#x;

đ?‘&#x; đ?›¤đ?‘›đ?‘š = đ?œ•đ?‘Ś đ?‘› đ?œ•đ?‘Ś đ?‘š es el sĂ­mbolo de Christoffel. đ?‘&#x; Introduciendo en [A5.11] đ?›¤đ?‘›đ?‘š y teniendo en cuenta que el primer sumando del cuarto miembro de [A5.11] es la derivada parcial [A5.10] del vector respecto a yn, obtendremos finalmente el valor del tensor en el sistema de referencia y. 6

Un escalar es un tensor de rango 0 y un vector es un tensor de rango 1.

8

đ?‘‡đ?‘šđ?‘› (đ?‘Ś) â‰

đ?œ•đ?‘‰đ?‘š (đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś đ?‘›

= �� �� =

đ?œ•đ?‘‰đ?‘š (đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś đ?‘›

đ?‘&#x; + đ?›¤đ?‘›đ?‘š đ?‘‰đ?‘&#x; (đ?‘Ľ)

[A5.12]

El Ăşltimo sumando de la ecuaciĂłn [A5.12] es el tĂŠrmino de correcciĂłn en una transformaciĂłn de un tensor cuando cambia de referencia, y đ?›ťn es la derivada covariante, es decir una generalizaciĂłn de la derivada parcial en espacio plano extendida a un espacio-tiempo curvo de n variables. A partir de [A5.12], se obtiene la derivada covariante del tensor Tmn. đ?œ•đ?‘‡ đ?‘&#x; đ?‘&#x; ∇đ?‘? đ?‘‡đ?‘šđ?‘› = đ?œ•đ?‘Śđ?‘šđ?‘› [A5.13] đ?‘? + đ?›¤đ?‘?đ?‘š đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘› + đ?›¤đ?‘?đ?‘› đ?‘‡đ?‘šđ?‘&#x; Desde la ecuaciĂłn general de la forma cuadrĂĄtica [A5.14], se puede obtener la derivada covariante de la mĂŠtrica gmn. đ?‘‘đ?‘ 2 = đ?‘”đ?‘šđ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘› [A5.14] Se dijo mĂĄs arriba que gmn es constante en el plano en todas las referencias. Por tanto: đ?›ťgmn (x) = 0 [A5.15] Sustituyendo Tmn por gmn en [A5.13], se obtiene la derivada covariante de gmn. đ?œ•đ?‘” đ?‘&#x; đ?‘&#x; ∇đ?‘? đ?‘”đ?‘šđ?‘› = đ?œ•đ?‘Śđ?‘šđ?‘› [A5.16] đ?‘? + đ?›¤đ?‘?đ?‘š đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘› + đ?›¤đ?‘?đ?‘› đ?‘”đ?‘šđ?‘&#x; = 0 [A5.16] es la relaciĂłn entre sĂ­mbolos de Christoffel y la mĂŠtrica de un tensor. Para que la ecuaciĂłn anterior se cumpla, debe verificarse la siguiente relaciĂłn: ∂gdc

1

đ?‘Ž (x) = g ad { b + đ?›¤đ?‘?đ?‘? 2 ∂x

∂gab ∂xc

−

∂gbc ∂xd

}

[A5.17]

Anexo 6 Tensor Ricci y curvatura En el proceso de la translaciĂłn alrededor del pequeĂąo bucle ABCD, no se encuentra la posiciĂłn inicial A en el retorno del movimiento, sino el punto A'. El cambio de A' por A se debe a la presencia de curvatura en el plano ABCD7 de la Figura A6.1. D

C

δxĘ‹ A' A

B dxÂľ

Figura A6.1 Suponemos un vector de posiciĂłn Va, que pasa sucesivamente a Vb, Vc y Vd. El problema es identificar Va' - Va. [(Vc - Vd) - (Vb - Va)] es el desplazamiento horizontal del vector; [(Va - Vb) - (Vd - Va')] es el desplazamiento vertical del vector. [(Vc - Vd) - (Vb - Va)] = δxνdxÎźâˆ‡νâˆ‡ÎźV [A6.1] ν Îź [(Va - Vb) - (Vd - Va')] = δx dx âˆ‡Îźâˆ‡νV [A6.2] ν En tĂŠrminos de derivada covariante, ∇νδx es la diferencia experimentada por el vector en su recorrido ABCD respecto a la direcciĂłn δxν; dxÎźâˆ‡Îź es la diferencia respecto a la direcciĂłn dxÎź. Restando [A6.1] de [A6.2], se obtiene: (Va - Va') = δV = δxνdxÎź [∇ν, âˆ‡Îź]V [A6.3] 7

La anomalĂ­a de no encontrar el punto originario del movimiento es caracterĂ­stica de las superficies esfĂŠricas o cĂłnicas.

9

La expresiĂłn [∇ν, âˆ‡Îź] de [A6.3] es el conmutador de las derivadas covarientes. Cuando dentro de un bucle no se encuentra la posiciĂłn inicial A de la circulaciĂłn ABCD, el operador conmutador de [A6.3] computa δV. Buscamos el tensor de curvatura que nos diga cĂłmo trabaja el vector V en el bucle. Aplicando ahora el operador de derivada covariante [A5.1] en [A6.3], se obtiene: [∇ν, âˆ‡Îź] = (đ?œ•đ?œˆ + đ?›¤đ?œˆ )(đ?œ•đ?œ‡ + đ?›¤đ?œ‡ ) − (đ?œ•đ?œ‡ + đ?›¤đ?œ‡ )(đ?œ•đ?œˆ + đ?›¤đ?œˆ ) = đ?œ•đ?œˆđ?œ•đ?œ‡ − đ?œ•đ?œ‡đ?œ•đ?œˆ + [đ?›¤đ?œˆ đ?œ•đ?œ‡ − đ?œ•đ?œ‡đ?›¤đ?œˆ ] + [đ?œ•đ?œˆđ?›¤đ?œ‡ − đ?›¤đ?œ‡ đ?œ•đ?œˆ] + [đ?›¤đ?œˆ đ?›¤đ?œ‡ − đ?›¤đ?œ‡ đ?›¤đ?œˆ ] đ?œ•đ?›¤

El primer corchete del segundo miembro es, por [A5.2], igual a [−đ?œ•đ?œ‡đ?›¤đ?œˆ (đ?‘Ľ)] = − đ?œ•đ?‘Ľđ?œˆđ?œ‡ ; el đ?œ•đ?›¤

segundo corchete vale [đ?œ•đ?œˆđ?›¤đ?œ‡ (đ?‘Ľ)] = đ?œ•đ?‘Ľđ?œ‡đ?œˆ Podemos poner ahora [A6.3] de la siguiente forma: đ?›ź đ?›ź đ?›ź đ?›ż đ?›ź đ?›ż δxνdxÎź{đ?œ•đ?œˆđ?›¤đ?œ‡đ?›˝ − đ?œ•đ?œ‡đ?›¤đ?œˆđ?›˝ + đ?›¤đ?œˆđ?›ż đ?›¤đ?œ‡đ?›˝ − đ?›¤đ?œ‡đ?›ż đ?›¤đ?œ‡đ?›˝ }đ?‘‰đ?›˝ = đ?›żđ?‘‰ đ?›ź [A6.4] Îź y ν son las direcciones principales del movimiento, y β y Îą, los ĂĄngulos del vector V sobre el plano ABCD. El desplazamiento que sufre el vector entre A y A' es δVÎą, proporcional al tamaĂąo del rectĂĄngulo ABCD sobre el que se realiza el movimiento en forma de pequeĂąo bucle, es decir proporcional a δxνdxÎź. [A6.4] contiene la compleja estructura del paquete de operadores y matrices encerrado entre llaves, estructura conocida como el tensor de Riemann, que actĂşa sobre el vector Vβ. đ?›ź Por tanto, el tensor de Riemann đ?‘…đ?œˆđ?œ‡đ?›˝ determina el cambio de un vector en un movimiento dentro de un espacio curvo en presencia de un pequeĂąo bucle. đ?›ź đ?›ź đ?›ź đ?›ź đ?›ż đ?›ź đ?›ż đ?‘…đ?œˆđ?œ‡đ?›˝ = {đ?œ•đ?œˆđ?›¤đ?œ‡đ?›˝ − đ?œ•đ?œ‡đ?›¤đ?œˆđ?›˝ + đ?›¤đ?œˆđ?›ż đ?›¤đ?œ‡đ?›˝ − đ?›¤đ?œ‡đ?›ż đ?›¤đ?œ‡đ?›˝ } [A6.5] De [A6.5] se concluye: los dos Ăşltimos miembros de la estructura encerrada entre llaves son idĂŠnticos, cambiando simplemente el subĂ­ndice ν por Îź; los Ă­ndices ν y Îź, asĂ­ como Îą y β, son antisimĂŠtricos cuando se intercambian entre sĂ­, y los Ă­ndices Îź y β, asĂ­ como Ď… y Îą, son simĂŠtricos cuando se intercambian entre sĂ­. Por otro lado, de [A5.17] se deduce que la matriz Γ es proporcional a la primera derivada de la mĂŠtrica del tensor, G. ∂Γ contiene por tanto la segunda derivada de G, y Γ.Γ son formas cuadrĂĄticas de la primera derivada de G. Por consiguiente, el tensor R se caracteriza por contener dos clases de tĂŠrminos: formas cuadrĂĄticas de la primera derivada de G y segundas derivadas de G. Una fĂłrmula simple y elegante de definiciĂłn del tensor de Riemann es: RνΟ = [∇ν âˆ‡Îź] [A6.6] Sustituyendo [A6.6] en [A6.3]: δV = dxÂľdxÂľR¾ʋV [A6.7] Se concluye por tanto que la acciĂłn del tensor de curvatura R¾ʋ sobre el vector V ocasiona el pequeĂąo bucle δV. [A6.7] se puede poner en funciĂłn de la mĂŠtrica gΟν de un espacio curvo del siguiente modo: đ?›ź đ?›żđ?‘‰ = đ?‘”đ?œ‡đ?œˆ đ?‘…đ?œ‡đ?œˆđ?›˝ [A6.8] A partir del tensor de Riemann se obtienen el tensor de Ricci y el escalar curvatura R. En [A6.8], el tensor R es antisimĂŠtrico respecto a Îź y Ď…; pero la mĂŠtrica g es simĂŠtrica respecto a Îź y Ď…. Cuando se tiene una matriz simĂŠtrica y se contrae con una antisimĂŠtrica, siempre se obtiene cero. Lo mismo pasa con Îą y β: R es antisimĂŠtrico respecto a estos dos parĂĄmetros y g es simĂŠtrica; cualquier contracciĂłn a travĂŠs de Îą y β đ?›ź da cero. Pero si se contrae Îą con Ď… sumando todas las matrices Îą, de modo que đ?‘…đ?œ‡đ?›źđ?›˝ pasa a RΟβ, se obtiene el tensor de Ricci, RΟβ = RβΟ. El tensor de Ricci es una de las simetrĂ­as del tensor de Riemann, para el que los Ă­ndices Îź y β son simĂŠtricos.

10

La curvatura escalar, R, se obtiene contrayendo los índices del tensor de Ricci, Ο y β; es decir mediante la operación gβΟRβΟ = R. En la Tabla 6.1 se fijan los estados del espacio en función de los valores del escalar R, del tensor de Ricci y del tensor de Riemann. Tabla 6.1 R=0

Escalar y tensores Tensor Ricci = tensor Riemann = 0 Tensor Ricci = tensor Riemann ≠0

R≠0 Escalar y tensores R = tensor Riemann = 0 Tensor Ricci = 0 R = 0 y tensor Ricci = 0

Estado del espacio Espacio plano CondiciĂłn necesaria pero no suficiente de espacio plano Espacio curvo y componentes escalares Dimensiones Estado del espacio Dos Espacio plano Tres Espacio plano MĂĄs de tres Espacio plano si todos los componentes del tensor Riemann = 0

Anexo 7 Ecuaciones de campo de Einstein8 La ecuaciĂłn de Newton que expresa el concepto gravedad como fuerza es: đ?‘‘2đ?‘Ľ đ??š = đ?‘šđ?‘– 2 = đ?‘šđ?‘” đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ą mi es la masa inercial y mg la masa gravitacional. La primera ecuaciĂłn relaciona la fuerza con la aceleraciĂłn; en la segunda ecuaciĂłn, el campo de gravedad đ?‘”(đ?‘Ľ) le dice a la masa cĂłmo acelera. đ?‘”(đ?‘Ľ) = −đ??şđ?‘šđ?‘– (đ?‘Ľ − ⃗⃗⃗ đ?‘Ľđ?‘– ) G es la constante gravitacional y (mi, xi) la masa puntual y su posiciĂłn correspondiente. La gravedad como gradiente del potencial Ď•9 es: đ?‘‘2 đ?‘Ľ ⃗ ; ⃗∅ = (đ?œ•âˆ… đ?‘ĽĚ‚ + đ?œ•âˆ… đ?‘ŚĚ‚ + đ?œ•âˆ… đ?‘§Ě‚ ) = đ?‘” = −∇∅ [A7.1] đ?‘‘đ?‘Ą 2

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘§

La forma diferencial de la ley gravitatoria es: ∇2 ∅ = −4đ?œ‹đ??şđ?œŒ(đ?‘Ľ) [A7.2] Ď es la densidad de masa. La forma integral de la ley gravitatoria es: đ?œŒ(đ?‘Ľâ€˛)đ?‘‘đ?‘Ľâ€˛ ∅(đ?‘Ľ) = −đ??ş âˆŤ |(đ?‘Ľ) − (đ?‘Ľâ€˛)| Perspectiva de la relatividad general: la gravedad es la curvatura del espacio-tiempo. ÂżCĂłmo el espacio-tiempo le dice a la masa cĂłmo moverse? En caĂ­da libre, la masa se desplaza a lo largo de una geodĂŠsica espacio-tiempo. Las geodĂŠsicas son curvas de tiempo propio extremo, cuya posiciĂłn es un lugar geomĂŠtrico de posiciones de xÎź Îź Ń” {0,1,2,3}, donde 0 es t, 1, x1, 2, x2 y 3, x3. Si una partĂ­cula se mueve a lo largo de una geodĂŠsica con una mĂŠtrica espacio-tiempo, el papel de la relatividad general es muy simple. Dentro de la geodĂŠsica se cumple que đ?œ‡ el vector tangente đ?œ•đ?‘Ľ â „đ?œ•đ?œ? es un covariante constante. Si se aplica el operador derivada covariante [A5.1], se obtiene la ecuaciĂłn [A7.3] 8

Gran parte de lo desarrollado en este Anexo se debe a las notas tomadas al Profesor Edmund Bertschinger del MIT OpenCourseWare en la lecciĂłn Einstein's Field Equations https://www.youtube.com/watch?v=8MWNs7Wfk84. ∂∅ 9 Por ejemplo, si Ď• es la energĂ­a potencial Ď• = -mgx, la fuerza es el gradiente F = − = −∇F = −mg. ∂x

11

đ?‘‘2 đ?‘Ľ đ?œ‡

đ?œ‡ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œŽ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ†

+ [đ?›¤đ?œŽđ?œ† đ?‘‘đ?œ? đ?‘‘đ?œ? ] = 0 [A7.3] Ď„ es el tiempo propio, dxÎź/dĎ„, el vector tangente y el tĂŠrmino encerrado entre corchetes es la derivada covariante del vector tangente. [A7.3] nos dice que la partĂ­cula se mueve dentro de un campo gravitacional o en una mĂŠtrica espacio-tiempo. Por tanto, la trayectoria que define ecuaciĂłn [A7.3] es a lo largo de la geodĂŠsica dĎ„2 = g00(dx0)2 +g01dx0dx1+.... [A7.4] gΟν son los coeficientes de la mĂŠtrica definida por la ecuaciĂłn [A7.4]. dĎ„2 tiene 16 componentes en una matriz de 4 x 4 llamada de coeficientes mĂŠtricos o mĂŠtrica. El cĂĄlculo del mĂĄximo de Ď„ corresponde a la ecuaciĂłn de Euler-Lagrange: đ?‘‘đ?œ?2

đ?‘‘2 đ?‘Ľ

1

đ?œ•đ?‘”

đ?œ•đ?‘”

đ?œ•đ?‘”

�� � �� �

= − 2 đ?‘”đ?œ‡đ?œˆ ( đ?œ•đ?‘Ľđ?›˝đ?œˆ + đ?œ•đ?‘Ľđ?›źđ?œˆ − đ?œ•đ?‘Ľđ?›źđ?›˝ ) đ?‘‘đ?œ? đ?‘‘đ?œ? [A7.5] đ?›ź đ?›˝ đ?œˆ đ?‘‘đ?œ?2 La ecuaciĂłn anĂĄloga a la [A7.5] es la [A7.1]. SĂłlo se diferencian en que [A7.1] tiene tres componentes y [A7.5] tiene cuatro. ÂżCĂłmo la masa le dice al espacio-tiempo cĂłmo curvarse? En otras palabras, ÂżcĂłmo se determina la mĂŠtrica gΟν? El mĂ­nimo intervalo de una geodĂŠsica se halla cuando la derivada covariante ∇dxÂľ/dĎ„ = 0. Si se aplica el operador derivada covariante de la ecuaciĂłn [A5.12], previa sustituciĂłn del vector Vm por dxÂľ/dĎ„, se obtiene: đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ‡

đ?œ• đ?œ•đ?‘ĽÂľ

đ?œ•2 đ?‘Ľ 2

∇ đ?‘‘đ?œ? = đ?œ•đ?œ? đ?œ•đ?œ? + Γ = 0 → đ?œ•đ?œ?2 = đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› = −Γ [A7.6] Recordando que la aceleraciĂłn es el gradiente de la funciĂłn potencial, segĂşn [A7.1], [A7.6] relaciona Γy Ď• del siguiente modo: đ?œ•âˆ… đ?›¤ = − đ?œ•đ?‘Ľ [A7.7] La ecuaciĂłn [A5.17] relaciona Γ, es decir la aceleraciĂłn, con la mĂŠtrica del tensor g. Por otro lado la ley de Newton se cumple para movimientos lentos comparados con c y para campos gravitatorios dĂŠbiles. Cuando eso ocurre, en [A5.17], gad = 1 y las derivadas ∂g00

parciales de g son muy pequeĂąas, con la Ăşnica excepciĂłn de ∂x . Realizadas estas sustituciones, la ecuaciĂłn [A5.17] queda asĂ­ reducida, teniendo en cuenta [A7.7]: 1 ∂g00

đ?œ•âˆ…

Γ = 2 ∂x = − đ?œ•đ?‘Ľ [A7.8] 00 Integrando [A7.8], resulta que el tensor mĂŠtrico vale: g = 2Ď• + constante → Ď• = g00/2 [A7.9] Se parte ahora del efecto del campo gravitatorio newtoniano en un radio r, sobre una superficie dA: đ??şđ?‘€ âˆŤ đ??šđ?‘‘đ??´ = âˆŤ 2 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 = −4đ?œ‹đ??şđ?‘€ đ?‘&#x; Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss: âˆŤ ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž

đ??šđ?‘‘đ??´ = âˆŤ

∇đ??šđ?‘‘đ?‘‰ = −4đ?œ‹đ??şđ?‘€

đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘›

Como Ď = M/V, teniendo en cuenta que la gravedad g, y por tanto F que es proporcional a g, es el gradiente de Ď• con signo contrario, de acuerdo con [A7.1]: ∇đ??š = −4đ?œ‹đ??şđ?œŒ = −∇2 Ď• [A7.10] Introduciendo [A7.9] en [A7.10], se llega a la ecuaciĂłn đ?›ť2 g00 = 8Ď€GĎ [A7.11] [A7.11] relaciona la mĂŠtrica g00 con la densidad de masa Ď , que es realmente una densidad de energĂ­a segĂşn la ecuaciĂłn de Einstein, E = mc2. Sustituyendo la densidad

12

de masa Ď 10 por la densidad de energĂ­a T00, la ecuaciĂłn [A7.11] tiene la siguiente forma, que define el cuadro geomĂŠtrico de cĂłmo trabaja la gravedad: ∇2g00 = 8Ď€GT00 [A7.12] T00 es el elemento densidad de energĂ­a, que forma parte del tensor de fuerza-energĂ­amomento y que tiene 4 x 4 =16 componentes de acuerdo con la Tabla A7.1. La matriz contiene en su primera fila las componentes de la densidad del momento, en su primera columna, los momentos, y en el resto de componentes de la fuerza, incluida la presiĂłn. Tabla A7.1 T00 T10 T20 T30

T01 T11 T21 T31

T02 T12 T22 T32

T03 T13 T23 T33

El problema que se nos plantea es que no necesitamos una ecuaciĂłn en tĂŠrminos de mĂŠtrica de tensores como la [A7.12], sino de tensores. Sustituyendo el componente de la mĂŠtrica g00 de la izquierda de la ecuaciĂłn [A7.12] por el tensor de Einstein GΟν, y el elemento T00 por el tensor fuerza-energĂ­a-momento T¾ʋ,, se obtienen las ecuaciones de campo de Einstein en el espacio-tiempo. GΟν = 8Ď€GTΟν [A7.13] [A7.13] engloba las ecuaciones de campo de Einstein en el espacio-tiempo. El primer miembro de la igualdad se refiere a la curvatura espacio-tiempo y el segundo miembro, a la energĂ­a. Pero la ecuaciĂłn presenta un problema. Usando derivadas covariantes, como exige la relatividad, por la conservaciĂłn de energĂ­a ∇TΟν = 0. Necesitamos, por tanto, en el lado izquierdo de la ecuaciĂłn algo cuya derivada covariante sea cero, para que la ecuaciĂłn [A7.13] se cumpla. Einstein encontrĂł que đ?›ťR¾ʋ = 1/2đ?›ťg¾ʋR → (R¾ʋ - 1/2g¾ʋR) = 0 Por tanto, las dos derivadas covariantes, đ?›ťTΟν y (R¾ʋ - 1/2g¾ʋR) son nulas. Luego en la ecuaciĂłn [A7.13] puede sustituirse el tensor GΟν por su equivalente, previa introducciĂłn del factor c4, para que la ecuaciĂłn [A7.13] conserve las mismas dimensiones. R¾ʋ - 1/2g¾ʋR = 8Ď€G/c4T¾ʋ Pero para que la ecuaciĂłn sea universal en todos los marcos de referencia hay que imponer la condiciĂłn de que la derivada covariante de la mĂŠtrica del tensor de Einstein sea cero, o sea ∇gΟν = 0. De este modo, Einstein incluyĂł un sumando adicional en le ecuaciĂłn anterior. 8đ?œ‹đ??ş đ?‘…đ?œ‡đ?‘Ł − 1â „2 đ?‘”đ?œ‡đ?‘Ł đ?‘… + đ?‘”đ?œ‡đ?‘Ł đ?›Ź = đ?‘? 4 đ?‘‡đ?œ‡đ?‘Ł [A7.14] El primer miembro de [A7.14] se refiere a la curvatura del espacio-tiempo; el segundo, a la masa y energĂ­a; Âľ y Ę‹ son las dimensiones del espacio tiempo; R¾ʋ, la curvatura tensor de Ricci; g¾ʋ, la mĂŠtrica del tensor; R, el escalar de la curvatura; Λ, la constante cosmolĂłgica y T¾ʋ, el tensor de fuerza-energĂ­a-momento. La constante cosmolĂłgica Λ la introdujo Einstein para compensar el efecto del espacio cosmolĂłgico. Fue propuesta como una modificaciĂłn de la ecuaciĂłn original del campo gravitatorio de la relatividad general para un universo estĂĄtico. Λ tuvo especial interĂŠs a raĂ­z del descubrimiento de la aceleraciĂłn cĂłsmica.

En la ecuaciĂłn [A7.11], la fuente de la gravedad newtoniana Ď depende del marco de referencia. La densidad de energĂ­a T00, que la sustituye en [A7.12], tambiĂŠn depende de ĂŠl, pero en el modelo relativista la energĂ­a (E = mc2) es parte del momento (p = mc), que no depende del marco de referencia. 10

13

Anexo 8 Longitud, masa, tiempo y energĂ­a de Planck Longitud de Planck La longitud de Planck lp es la distancia por debajo de la cual se espera que el espaciotiempo deje de funcionar como una geometrĂ­a clĂĄsica por la apariciĂłn de la gravedad cuĂĄntica. Es la escala de referencia de le teorĂ­a de curdas. Para su cĂĄlculo, hay que partir de las ecuaciones dimensionales de la velocidad de la luz c de la constante de gravitaciĂłn G y de la constante de Planck h. La ecuaciĂłn dimensional de c es: [c] = LT-1 [A8.1] 8 c = 3∙10 m/s, si c = 1 → 1s <> 3∙108 m. A partir de la ley de gravitaciĂłn universal de Newton F = GMm/r2 se puede deducir la ecuaciĂłn dimensional de G. [G] = MLT-2L2/M2 = L3 T-2M-1 [A8.2] -11 3 2 2 -11 3 2 8 2 2 2 -28 G = 6,7∙10 m /kgs ; G/c = 6,7∙10 m /kgs /(3∙10 ) m /s = 7,4∙10 m/kg Si G = 1 → 1kg <> 7,4∙10-28 m. Finalmente, a partir de la ley de Planck E = ħĎ…, [ħ] = ML2T2/T-1 = M L2T-1 [A8.3] -34 2 ħ = 1,1∙10 kg∙m /s; ħ/c = 1,1∙10-34/3∙108 kg∙m2/s/m/s = 3,7∙10-43 kg∙m Si ħ = 1 → 1kg <> 2,7∙1042 m-1. En funciĂłn de c, G y ħ, la ecuaciĂłn dimensional de la longitud de Planck serĂĄ [lp] = cÎąGβħγ = L [A8.4] Teniendo en cuenta las ecuaciones dimensionales [A8.1], [A8.2] y [A8.3], se puede replantear la ecuaciĂłn dimensional [A8.4] en forma matricial: đ?›ź + 3đ?›˝ + 2đ?›ž 1 1 3 2 (0) = đ?›ź (−1) + đ?›˝ (−2) + đ?›ž (−1) = (−đ?›ź − 2đ?›˝ − đ?›ž ) −đ?›˝ + đ?›ž 0 0 −1 1 β=Îł Îą = -2β - Îł = -3Îł Îą + 3β + 2Îł = 1; -3Îł + 3Îł +2Îł = 1; Îł = β = 1/2; Îą = -3/2. đ??şÄ§

đ?‘™đ?‘? = √ đ?‘? 3 = √

6,7∙10−11 ∙1,1∙10−34 33 ∙1024

√

đ?‘š3 đ?‘˜đ?‘”đ?‘š2 đ?‘˜đ?‘”đ?‘ 2 đ?‘ đ?‘š3 đ?‘ 3

= 1,6 ∙ 10−35 đ?‘š

[A8.5]

Tiempo de Planck El tiempo de Planck es el periodo mĂĄs pequeĂąo que puede ser medido, equivalente al tiempo que tarda un fotĂłn en recorrer la longitud de Planck a la velocidad c. tp = lp/c = 1,6∙10-35/3∙10-8 tp = 5,4∙10-44 s [A8.6] EnergĂ­a de Planck La energĂ­a de Planck es la mĂĄxima que puede contenerse en una esfera de diĂĄmetro lp. Ep = ħĘ‹ = ħ/tp = 1,1∙10-34 kg∙m2/s/5,4∙10-44 s = 2∙109 kg∙m2/s2 = 2∙109 Nw∙m Ep = 2∙109 J [A8.7]

14

Masa de Planck La masa de Planck es la contenida en una esfera de radio lp y que genera la densidad del universo a la edad tp = 1093 g/cm3. mp = Ep/c2 = 2∙109 kg∙m2/s2/9∙1016m2/s2 mp = 2,2∙10-8kg [A8.8] Anexo 9 EcuaciĂłn de SchrĂśdinger11 La ecuaciĂłn de SchrĂśdinger describe la funciĂłn de onda Ďˆ (x), cuyas variables bĂĄsicas son dos espaciales, (amplitud y longitud de onda), y una temporal (frecuencia 12). Se supone que el espacio de propagaciĂłn de la onda tiene una direcciĂłn determinada. Por ejemplo, la funciĂłn de onda [A9.1] se propaga en la direcciĂłn x. Ďˆ = Neikx [A9.1] ⃗ Por tanto, la longitud de onda Îť es en una direcciĂłn especĂ­fica, que define un vector đ?‘˜ mediante la relaciĂłn |k| =2Ď€/Îť. Para el desarrollo de la ecuaciĂłn de SchrĂśdinger se parte de tres postulados iniciales: Postulado 1. La funciĂłn de onda es continua y normalizable dentro de un dominio. Postulado 2. P (x)dx ≥ Ç€Ďˆ (x)2Ç€dx es la probabilidad de hallar Ďˆ (x) en un rango dx. Postulado 3. La ecuaciĂłn de SchrĂśdinger permite cualquier relaciĂłn lineal. Ďˆ (x) = ÎąĎˆ1 (x) + βĎˆ2 (x) Operadores Los operadores son instrucciones sobre objetos indicĂĄndoles cĂłmo actuar. Por ejemplo, el operador matriz M actĂşa sobre las componentes de un vector v indicando el mĂłdulo, ⃗. direcciĂłn y sentido de đ?‘‰ đ?‘Ž11 đ?‘Ž12 đ?‘Ł1 ⃗ đ?‘€đ?‘Ł = (đ?‘Ž ) đ?‘Ł = ( đ?‘Ł2 ) = đ?‘‰ 21 đ?‘Ž22 Si los objetos son funciones complejas, los operadores actĂşan sobre las funciones mediante un cĂłdigo que define cĂłmo aplicar cualquier funciĂłn. A continuaciĂłn se relacionan los operadores fundamentales de f(x): • Operador đ?&#x;™ identidad: f (x) → f (x). đ?œ• đ?œ•đ?‘“ (đ?‘Ľ) • Operador derivada đ?œ•đ?‘Ľ : đ?‘“ (đ?‘Ľ) → đ?œ•đ?‘Ľ . • Operador multiplicador Ě‚đ?œ’: f (x) → đ?œ’f (đ?‘Ľ). • Operador cuadrado Ě‚ đ?‘†đ?‘ž : f (x) → (đ?‘“ (đ?‘Ľ))2. Ě‚ • Operador constante đ?‘ƒ 42 : f (x) → 42. Ě‚ • Operador Ѳ â„Ž (đ?‘Ľ) : f (x) → h (x)f (x). Ě‚ De los cinco operadores de finidos, todos son lineales excepto Ě‚ đ?‘†đ?‘ž đ?‘Ś đ?‘ƒ 42 . Por ejemplo: Ă”(af (x) + bg (x)) = a Ă”f (x) + b Ă”g (x) 11

Gran parte de lo desarrollado en este Anexo 9 se debe a las notas tomadas en el MIT open course wave operators and the SchrĂśdinger equations. https://www.youtube.com/watch?v=lMFgfqRZYoc. Instructor: Barton Zweibach. 12 Se habla indistintamente de frecuencia angular, ɡ = 2πυ, y frecuencia, Ď… = 1/T, donde T es el periodo.

15

El Postulado 3 establece que la ecuaciĂłn de SchrĂśdinger permite cualquier relaciĂłn lineal. Por lo tanto, los operadores lineales se hacen necesarios. TambiĂŠn resultan muy necesarios los autovectores, que son vectores especiales cuya acciĂłn sobre cualquier vector arbitrario le mantiene en la misma direcciĂłn. En general la acciĂłn de un operador, como por ejemplo una matriz, sobre cualquier vector le hace saltar a otra posiciĂłn, marcĂĄndole una direcciĂłn distinta a la primitiva. Pero un autovector matriz de dimensiĂłn m x n actĂşa a travĂŠs de las n filas manteniendo la misma direcciĂłn del vector. DespuĂŠs de la acciĂłn de un autovector, la magnitud del vector puede crecer o decrecer, pero conserva la misma direcciĂłn. La constante de proporcionalidad de la acciĂłn sobre el vector se llama autovalor. Asimismo, los operadores pueden ser autofunciones Ă‚ fa (x) = afa (x) [A9.2] fa(x) es la autofunciĂłn y el autovalor a es un nĂşmero que puede tomar infinitos valores. El operador Ă‚ no cumple la propiedad aditiva. Si Ă‚ f1 = a1f1 y Ă‚ f2 = a2f2 → Ă‚ (f1 + f2) = a1f1 + a2f2 no es necesariamente una autofunciĂłn. Por otro lado, si fa es una autofunciĂłn 3fa es la misma autofunciĂłn. Aplicando el operador autofunciĂłn momento đ?‘?Ě‚ a la funciĂłn de onda [A9.1], se obtiene: đ?‘?Ě‚ eikx = ħkeikx ; fa (x) = eikx; a = ħk [A9.3] ikx De acuerdo con [A9.3], e es una autofunciĂłn y ħk es un autovalor. EcuaciĂłn de SchrĂśdinger La ecuaciĂłn de SchrĂśdinger puede construirse creando relaciones entre operadores. Por ejemplo, al operador momento le vamos a relacionar del siguiente modo: ħ đ?œ• đ?‘?Ě‚ = [A9.4] đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ El valor esperado de p serĂĄ: ∞ ħ đ?œ• <p> = âˆŤâˆ’âˆž Ďˆâˆ— (x)dx đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ Ďˆ (x) Ďˆ* (x) es la funciĂłn conjugada de Ďˆ (x). Operador momento A partir de [A9.4], el operador momento đ?‘?Ě‚ Ďˆ le relacionamos del siguiente modo: ħ đ?œ• đ?‘?Ě‚ Ďˆ = đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ Ďˆ (x) = ħkĎˆ; đ?‘?Ě‚ = ħk [A9.5] Operador energĂ­a Relacionamos el operador energĂ­a mediante la siguiente relaciĂłn: đ?‘?Ě‚2

ħ2 đ?œ•2

ĂŠ = 2đ?‘š + đ?‘‰ (đ?‘ĽĚ‚) = − 2đ?‘š đ?œ•đ?‘Ľ 2 + đ?‘‰ (đ?‘Ľ)

[A9.6]

Postulado 4. Para cada observador existe un operador asociado Ă‚ ≥ {para el momento ↔ đ?‘?Ě‚ ; para la posiciĂłn ↔ đ?‘ĽĚ‚; para la energĂ­a↔ ĂŠ} Es absolutamente esencial entender que cuando se actĂşa sobre una funciĂłn mediante un operador el resultado de la actuaciĂłn no tiene nada que ver con la medida asociada al observable. Valor esperado de A: <A> = âˆŤ Ă‚ Ďˆ (x)Ďˆâˆ— (x)dx 16

El principio de incertidumbre actĂşa a travĂŠs del operador. Definimos como incertidumbre del operador: (∆đ??´)đ?œ“ = √< Ă‚2 > −< Ă‚ >2 [A9.7] Los operadores, como las matrices, no son necesariamente conmutativos. Por ejemplo, ħ đ?œ• (đ?‘?Ě‚ đ?‘ĽĚ‚)đ?‘“ (đ?‘Ľ) ≠(đ?‘ĽĚ‚đ?‘?Ě‚ )đ?‘“ (đ?‘Ľ); (đ?‘?Ě‚ đ?‘ĽĚ‚)đ?‘“ (đ?‘Ľ) ≥ đ?‘?Ě‚ (đ?‘ĽĚ‚đ?‘“ (đ?‘Ľ)) = đ?‘?Ě‚ (đ?‘Ľđ?‘“ (đ?‘Ľ)) = (đ?‘Ľđ?‘“ (đ?‘Ľ)) = ħ đ?‘–

đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ

ħ đ?‘Ľđ?œ•đ?‘“ (đ?‘Ľ)

đ?‘“ (đ?‘Ľ) + đ?‘–

đ?œ•đ?‘Ľ

[A9.8] ħ đ?œ•đ?‘“ (đ?‘Ľ)

(đ?‘ĽĚ‚đ?‘?Ě‚ )đ?‘“ (đ?‘Ľ) ≥ đ?‘ĽĚ‚(đ?‘?Ě‚ đ?‘“ (đ?‘Ľ)) = đ?‘ĽĚ‚ đ?‘–

đ?œ•đ?‘Ľ

ħ

= đ?‘–đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘“ (đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘Ľ

[A9.9]

Por tanto [A9.8] ≠[A9.9] → (đ?‘?Ě‚ đ?‘ĽĚ‚)đ?‘“ (đ?‘Ľ) ≠(đ?‘ĽĚ‚đ?‘?Ě‚ )đ?‘“ (đ?‘Ľ) DefiniciĂłn de conmutador: [Ă‚, ĂŠ] ≥ AE - EA. Restando [A9.9] de [A9.8], se obtiene: ħ (đ?‘ĽĚ‚đ?‘?Ě‚ − đ?‘?Ě‚ đ?‘ĽĚ‚)đ?‘“ (đ?‘Ľ) = − đ?‘“ (đ?‘Ľ) = đ?‘–ħđ?‘“ (đ?‘Ľ) = [đ?‘ĽĚ‚, đ?‘?Ě‚ ] = Conmutador de x con p đ?‘– [xĚ‚, pĚ‚] = iħ[đ?&#x;™] [A9.10] De la ecuaciĂłn [A9.10] se deduce: • Como el conmutado de x con p da un valor imaginario, x y p estĂĄn encapsulados, es decir, no pueden medirse alternativamente la posiciĂłn y el momento de una partĂ­cula. • La combinaciĂłn de operadores xĚ‚, pĚ‚ es el operador identidad. La primera conclusiĂłn es equivalente al principio de indeterminaciĂłn de Heisenberg. De la segunda conclusiĂłn se desprende que la posiciĂłn x y el momento p proporcionan toda la informaciĂłn completa de la evoluciĂłn de un sistema cuĂĄntico en el tiempo. Si se trata de desarrollar la ecuaciĂłn [A9.10] mediante matrices, no hay dimensiĂłn alguna que valide la operaciĂłn: ni matrices de 2 x 2, ni de 3 x 3, ni de 4 x 4, etc. Por tanto, no se pueden computar las matrices como el operador [xĚ‚, pĚ‚] excepto las matrices de dimensiĂłn infinita. Esta imposibilidad de establecer matrices que materialicen el cĂĄlculo de la ecuaciĂłn [A9.10] es la manifestaciĂłn matemĂĄtica de la mecĂĄnica cuĂĄntica. Postulado 5: Una vez establecida una media, y el observador A es asociado con el operador Ă‚ ocurren dos cosas a tener en cuenta: Si la cantidad medida es el momento, la energĂ­a o la posiciĂłn, el valor medido es • un nĂşmero (el autovalor13 de Ă‚). Los autovalores deben ser nĂşmeros reales, ya que los operadores especiales de • autovalores reales tienen un valor real. DespuĂŠs de una medida, el sistema se colapsa en la autofunciĂłn Ďˆa. Sustituyendo en [A9.2] fa por Ďˆa, podremos aplicar el autovalor a Ďˆa del siguiente modo: Ă‚Ďˆa = aĎˆa [A9.11] Supongamos ahora que buscamos la posiciĂłn de Ďˆ (x) y que al medir se encuentra una partĂ­cula en la posiciĂłn x0. Como la medida es uno de los autovalores a Ç€ Ă‚Ďˆa = aĎˆa, nuestro autoestado es una partĂ­cula a en un lugar, ÂżCuĂĄl es la mejor funciĂłn asociada a una posiciĂłn autoestado? Es decir, ÂżcuĂĄl es la mejor autofunciĂłn Ďˆa Ç€ a se encuentre en el intervalo de medida? Es la funciĂłn delta de Dirac14 δ (x - x0), que se define en algĂşn punto y en ningĂşn otro lugar, que tiene un pico en x0 y que vale cero en cualquier x ≠x0.

13

Recordamos que el autovalor es la constante de proporcionalidad de la acciĂłn sobre el operador Ă‚. Delta de Dirac es una funciĂłn de densidad de una masa puntual idealizada, cuyo valor es igual a cero en cualquier lugar excepto para x0 y cuya integral en el intervalo (x - x0) = 1. 14

17

Aplicamos el operador autofunciĂłn de acuerdo con la ecuaciĂłn [A9.11], pero ahora xĚ‚ es el operador, δ (x - x0) es la autofunciĂłn de x y x0 el autovalor de x. Por tanto: Ă‚Ďˆa = đ?‘ĽĚ‚δ (x - x0) y aĎˆa = x0δ (x - x0) → Ďˆ (x) ≃ đ?‘ĽĚ‚δ (x - x0) = x0δ (x - x0) Realmente las funciones δ no son usadas para intervalos discontinuos, sino para aplicaciones continuas como las integrales. Entonces: Ďˆ (x) ≃ âˆŤ đ?‘ĽÎ´ (x − x0 ) = đ?‘Ľ0 đ?›ż (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) ya que Ďˆ (x) = 0 excepto para x = x0. Postulado 6. Se ha dicho mĂĄs arriba que en la autofunciĂłn Ďˆa (x), a toma varios valores. Se trata ahora de expandir Ďˆa en tĂŠrminos de autofunciones del mismo modo que Fourier expandiĂł la autofunciĂłn del momento eipx. La expansiĂłn exige una normalizaciĂłn previa, mediante autofunciones ortogonales del tipo: đ?›żđ?‘Žđ?‘? = âˆŤ Ďˆ(x)Ďˆâˆ— (x)dx Asimismo, en la expansiĂłn deben tomarse en cuenta un par de consideraciones: • Como cualquier estado puede formularse como superposiciĂłn de otros estados Ďˆi, Ďˆ (x) puede expandirse como đ?œ“(đ?‘Ľ) = ∑ đ??śđ?‘Ž đ?œ“đ?‘Ž (đ?‘Ľ) [A9.12] Ca es un coeficiente. • La probabilidad de obtener el valor particular a0 en una medida es Ç€Ca0Ç€2 = PĎˆ(a0) [A9.13] Por tanto, expandiendo la funciĂłn de onda Ďˆ (x) en tĂŠrminos de autofunciones Ďˆa (x), el cuadrado del coeficiente de la expansiĂłn Ca0 es la probabilidad de obtener la medida a0. Ejemplo: Para el operador xĚ‚, {δ(x - x0) ∀đ?‘Ľ0 } son autofunciones Si aplicamos la superposiciĂłn đ?œ“(đ?‘Ľ) = âˆŤ Ďˆ(x0 )δ(x − x0 )dx0 y comparamos esta ecuaciĂłn con [A9.12], resulta: Ďˆ(x0) = Ca y δ(x - x0) = Ďˆa. Volvemos a la ecuaciĂłn de SchrĂśdinger Postulado 7. La ecuaciĂłn de SchrĂśding se basĂł en la experimentaciĂłn. A partir de la ecuaciĂłn de Planck E = ħɡ, se desarrollĂł la teorĂ­a cuĂĄntica, confirmada por los trabajos de Planck e Einstein, por el experimento de Millikan y tambiĂŠn por la prueba de Compton de la dispersiĂłn inelĂĄstica de un fotĂłn por un electrĂłn. El fotĂłn se define por el par de parĂĄmetros de la energĂ­a y el momento ⃗} {E = ħɡ; đ?‘? = ħđ?‘˜ [A9.14] ⃗đ?‘˜ es el vector de onda de mĂłdulo 2Ď€/Îť. [A9.14] se puede condensar del siguiente modo: ⃗) (đ??¸, đ?‘?) = ħ(ɡ, đ?‘˜ En esta ecuaciĂłn aparecen cuatro dimensiones: en la componente pÂľ de (đ??¸, đ?‘?), Âľ = 0, 1, 2, 3; en la componente xÂľ de (đ?‘Ą, đ?‘Ľ ), Âľ = x1, x2, x3. La ecuaciĂłn [A9.14] funcionaba experimentalmente sĂłlo para los fotones, pero De Broglie tuvo una idea atrevida: extrapolĂł las ecuaciones cuĂĄnticas del momento y la energĂ­a para cualquier partĂ­cula, es decir planteĂł que las partĂ­culas en general se comportaban como ondas. EscribiĂł la ecuaciĂłn [A9.15] para una onda moviĂŠndose en el sentido creciente de t. 18

Ďˆ(x, t) = ei(kx - ɡt) Aplicando derivadas a la ecuaciĂłn [A9.15]: đ?œ•đ?œ“ đ?œ•đ?œ“ = −đ?‘–ɡđ?œ“; đ?‘–ħ đ?œ•đ?‘Ą = ħɡ đ?œ•đ?‘Ą

[A9.15]

đ?œ•

Como E = ħɡ → ĂŠ = đ?‘–ħ đ?œ•đ?‘Ą [A9.16] A partir de la primera igualdad de la ecuaciĂłn [A9.5] ħ đ?œ• đ?‘?Ě‚ Ďˆ = đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ [A9.17] Tenemos por tanto que aplicando los operadores [A9.16] y [A9.17] a la onda Ďˆ de la ecuaciĂłn [9.15], se cumple: ħ đ?œ• đ?œ•đ?œ“(đ?‘Ľ,đ?‘Ą) đ?œ“(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ?‘?đ?œ“(đ?‘Ľ, đ?‘Ą); đ?‘–ħ đ?œ•đ?‘Ą = đ??¸đ?œ“(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) [A9.18] đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ En la primera igualdad de [A9.18] el tiempo no juega papel alguno, pero sĂ­ en la segunda igualdad. La segunda igualdad de [A9.18] nos dice cĂłmo la energĂ­a evoluciona en funciĂłn del tiempo. E es un escalar que se sabe cĂłmo evoluciona en el tiempo, pero no sabe lo que es el escalar E. Para resolver este problema se prueba cambiar E → ĂŠ en la segunda igualdad de [A9.18]. A travĂŠs de estas dos premisas se llega a la ecuaciĂłn de SchrĂśdinger para toda partĂ­cula portadora de energĂ­a. Cambiando E (un escalar) por ĂŠ (un operador) en la segunda igualdad de [A9.18], se llega a la ecuaciĂłn general: đ?œ•đ?›š(đ?‘Ľ,đ?‘Ą) đ?‘–ħ đ?œ•đ?‘Ą = ĂŠđ?›š(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) [A9.19] En el comienzo del apartado Operadores se dice que el operador indica cĂłmo actĂşa el objeto sobre el que interviene; en nuestro caso, la energĂ­a. Para conocer el complicado potencial en que se mueve la partĂ­cula, aplicamos [A9.6] sobre Ďˆ (x, t) previa sustituciĂłn del operador ĂŠ [A9.19]. đ?œ•đ?›š(đ?‘Ľ,đ?‘Ą)

ħ2 đ?œ•2

đ?‘–ħ đ?œ•đ?‘Ą = − 2đ?‘š đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ“(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) + đ?‘‰(đ?‘Ľ)đ?œ“(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) [A9.20] [A9.20] es una ecuaciĂłn diferencial de primer orden respecto a t y de segundo orden respecto a x con las siguientes caracterĂ­sticas: ecuaciĂłn lineal; determinista (si conoces Ďˆ (x, 0) puedes calcular Ďˆ (x, t)); de variables complejas, y que si satisface una funciĂłn onda como soluciĂłn, satisface igualmente la suma de dos funciones onda. El primer sumando del segundo miembro de [A9.20] es la energĂ­a cinĂŠtica de la partĂ­cula (funciĂłn del tiempo); el segundo miembro es la energĂ­a potencial, donde V (x) es el campo potencial que restringe a la partĂ­cula (funciĂłn del espacio); el primer miembro es funciĂłn del tiempo. Puesta de otro modo la ecuaciĂłn [A9.20], resulta: ħ2

đ?œ•đ?›š

đ?‘–ħ đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą = − 2đ?‘š đ?›ť 2 đ?œ“đ?‘Ą + đ?‘ˆđ?œ“đ?‘Ą [A9.21] U = u (đ?‘&#x;) es un gradiente respecto al radio r y ∇2 = Δ es el operador laplaciana. Comparando la expresiĂłn [A9.21] con la ecuaciĂłn de conducciĂłn del calor: đ?œ•đ?‘‡(đ?‘Ľ,đ?‘Ą)

đ?œ•2

Îą = 2 đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) + đ??´đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ Se observa la identidad estructural de ambas si se sustituye la funciĂłn de onda Ďˆ por la temperatura T. El Ăşnico factor que las distingue es la unidad imaginaria i, que transforma el escalar T en una funciĂłn de onda Ďˆ. Esta transformaciĂłn convierte a Ďˆ en una funciĂłn no observable, porque el primer miembro de [A9.21] es imaginario, y si fuĂŠramos capaces de resolver la ecuaciĂłn nos darĂ­a un nĂşmero complejo, y no sabemos lo que eso significa. Para evitar el manejo de variables complejas, hay que recurrir al producto de la funciĂłn de onda por su conjugada ĎˆtĎˆt*, que es un valor real Al hacerlo, renunciamos a encontrar la soluciĂłn ideal de la funciĂłn de onda Ďˆ (x, t), que sitĂşa una partĂ­cula en una localizaciĂłn y tiempo definidos. ĎˆtĎˆt* es interpretada como la funciĂłn de densidad de la probabilidad de hallar la partĂ­cula en su posiciĂłn x y tiempo t. Asimismo, normalizamos 19

la funciĂłn constituida mediante el producto de la funciĂłn de onda por su conjugada, lo que significa que la escala de la posiciĂłn potencial de la onda se reduce a 1. Por consiguiente, la probabilidad de localizar la funciĂłn onda estĂĄ integrada sobre el espacio del dominio completo considerado ∀. âˆŤ đ?œ“đ?‘Ą đ?œ“đ?‘Ąâˆ— đ?‘‘∀ = 1 Con la probabilidad surge la incertidumbre. El funcionamiento con variables discretas del modelo cuĂĄntico es la causa de que todo sea incierto: el espacio, el momento, la energĂ­a y el tiempo. En todas las variables cuĂĄnticas hay que calcular por tanto el valor mĂĄs probable o valor esperado, y la incertidumbre asociada. Para una variable q y un operador Ί, que actĂşa sobre la funciĂłn de onda Ďˆ, la expresiĂłn general del valor esperado es: <q> =âˆŤ đ?œ“đ?‘Ąâˆ— đ?›şđ?œ“đ?‘Ą đ?‘‘∀ [A9.22] El operador Ί de la posiciĂłn es đ?‘&#x;; el operador Ί del momento es, segĂşn [A9.4], ħ đ?œ• đ?‘?Ě‚ = đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ = −đ?‘–ħ∇ [A9.23] đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

⃗ es otro operador. ∇= đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘– + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘— + đ?œ•đ?‘§ đ?‘˜ El operador Ί de la energĂ­a es, previa sustituciĂłn en [A9.6] del potencial V (x) en la direcciĂłn del eje x por el potencial U = u (đ?‘&#x;) en la direcciĂłn radial r. đ?‘?Ě‚đ?‘?Ě‚ ĂŠ = 2đ?‘š + đ?‘ˆ [A9.24] Introduciendo el operador đ?‘?Ě‚ de [A9.23] en [A9.24], queda: ħ2

ĂŠ = − 2đ?‘š ∇2 + đ?‘ˆ De acuerdo con la expresiĂłn general [A9.23], el valor esperado de E serĂĄ:

[A9.25]

ħ2

∞

<E> = âˆŤâˆ’âˆž Ďˆâˆ— (x)dx(− 2đ?‘š ∇2 + đ?‘ˆ) Ďˆ (x) ∇2 es la laplaciana y U, un gradiente. Por tanto, como Δ = f (x, y, z) y U = u (đ?‘&#x;) la soluciĂłn de [A9.25] no es funciĂłn de t. AsĂ­ pues, hay que resolver la ecuaciĂłn de SchrĂśdinger haciendo separaciĂłn de variables: đ?œ“đ?‘Ą (đ?‘Ą, đ?‘&#x;) = đ?œ“(đ?‘&#x;âƒ—âƒ—âƒ—â€˛ ) ∙ đ?‘Œ(đ?‘Ą) = đ??¸ [A9.26] E es constante por ser el producto de variables separadas, donde no puede haber productos x.t. Derivando [A9.26] respecto a t, đ?œ•đ?›šđ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Œ đ?›šđ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Œ =đ?œ“ = đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Œ đ?‘‘đ?‘Ą y sustituyendo este valor en [A9.21], tenemos; ħ2

1

1 đ?‘‘đ?‘Œ

[− 2đ?‘š ∇2 đ?œ“ + đ?‘ˆđ?œ“] = đ?‘–ħ đ?‘Œ đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ“

[A9.27]

El primer miembro de [A9.27] depende solo del espacio; el segundo miembro depende solo del tiempo. Se trata por tanto de una ecuaciĂłn de variables separadas. Como en el caso de [A9.26], los dos miembros de [A9.27] son iguales a la contante E. Y (t) se resuelve como una ecuaciĂłn diferencial lineal Y(t) = Ce-iEt/ħ = Ce-iɡt, ya que E = hĎ… = hɡ/2Ď€ → ɡ = E/ħ El primer miembro de la ecuaciĂłn [A9.27] queda del siguiente modo: ħ2

− 2đ?‘š ∇2 đ?œ“ + (đ?‘ˆ − đ??¸)đ?œ“ = 0 [A9.28] que es la ecuaciĂłn de SchrĂśdinger dependiente de la posiciĂłn de la partĂ­cula e independiente de t. Para diferentes potenciales de U se encuentran diferentes estados de la energĂ­a. Si se sustituye el operador ĂŠ de [A9.26] en la ecuaciĂłn [A9.28], se descubre que ĂŠ = E. Por tanto, <E> = E y E representa la energĂ­a del sistema. 20

Para despejar E de [A9.28], se actúa del mismo modo que en el caso de la conducción del calor: resolviendo una ecuación diferencial de segundo orden, para cuya solución se precisa conocer previamente las condiciones de entorno de la ecuación. La incógnita de la ecuación es el autovalor E, que equivale a la restricción potencial cuántica, pero no a la energía total del sistema. BIBLIOGRAFÍA https://es.images.search.yahoo.com/search/images. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/Electromagnetism.png. https://www.youtube.com/watch?v=lMFgfqRZYoc. Instructor: Barton Zweibach. https://www.youtube.com/watch?v=8MWNs7Wfk84 https://www.youtube.com/watch?v=AC3TMizGpB8

21

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