Las matemáticas en la física

LAS MATEMÁTICAS EN LA FÍSICA ÍNDICE

....RECORDANDO Transformaciones de simetría Los tres postulados de simetría espacio temporal

Página 2 3 4

1. LAS MATEMÁTICAS EN LA FÍSICA Relación entre las Matemáticas y los paradigmas físicos Sistema inercial de Galileo y principio de equivalencia débil Las transformaciones de Lorentz Ruptura de la idea de simultaneidad 2. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Postulados de la relatividad especial Maxwell y la naturaleza ondulatoria de la luz Renovación de los invariantes newtonianos Sustitución doble de invariante: masa por energía y velocidad de la luz Sustitución de invariantes: fuerza por momento lineal

5 6 7 8 8 9 9 10 14 14 14

3. EL ESPACIO CUATRIDIMENSIONAL DE MINKOWSKI 15 La nueva geometría de la relatividad especial 17 Dilatación del tiempo y contracción del espacio 21 Cuatro clásicos ejemplos de contracciones espaciales y dilaciones temporales21 a) Vida de los muones producidos por los rayos cósmicos 21 b) Paradoja de los dos gemelos 22 c) Trayectoria de un rayo de luz proyectado en un vagón de tren 22 d) Dilatación temporal y contracción espacial en el planeta Mercurio 24 Del espacio curvo de Riemann al espacio-tiempo curvo de Minkowski 24 Covariante y contravariante de Lorentz 25 La gravedad como curvatura del espacio-tiempo 26 Recientes verificaciones del principio de equivalencia débil 28 4. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL 29 Ecuaciones de campo de Einstein 30 Relatividad general y principio de equivalencia fuerte 31 Fuerza gravitacional como expresión de la curvatura del espacio-tiempo 32 Anomalías de las tres leyes de Newton descubiertas por el paradigma relativista 33 Ley de inercia 34 Principio fundamental de la dinámica 34 Principio de acción y reacción 35 5. BIBLIOGRAFÍA

35

1

Cuando postrada sobre la Tierra yace la vida humana, visiblemente pisoteada y suciamente aplastada bajo la crueldad de la religión que, mientras tanto, por encima de las regiones celestiales, muestra a la vista su cara, sombría para los hombres mortales, con aspecto horrible; entonces un hombre de Grecia osó alzar los ojos mortales frente a ella; fue el primero en levantarse y en desafiarla.

A él ni las historias de los dioses, ni los rayos, ni los cielos con murmurantes amenazas pudieron subyugarle, sino todo lo más despertaron el agudo valor de su alma, hasta que ansió ser el primero en romper totalmente el lazo que cerraba las puertas de la Naturaleza.

Por eso, en su ferviente energía mental prevaleció y pasó adelante, yendo lejos, más allá de las llameantes barreras del mundo, recorriendo en la mente y el espíritu a lo largo y a lo ancho por todo el universo inconmensurable; y desde allí el conquistador nos vuelve, trayéndonos el conocimiento de lo que puede y de lo que no puede levantarse en el ser, mostrándonos bellamente el principio de que cada cosa tiene sus poderes limitados y su profundo término de piedra.

Por eso ahora la religión ha sido derribada bajo los pies de los hombres y pisoteada a su vez: nuestra misma alta palpitación exalta su victoria1.

Lucrecio ....RECORDANDO Definimos como paradigma científico toda ley universal de la naturaleza contrastable empíricamente2. Se trata de un principio objetivo, que no depende de opiniones individuales ni de cultura concreta alguna. Pero sobre todo, el paradigma es un antídoto seguro contra cualquier pretensión de establecer verdades dogmáticas y perpetuas. El rechazo de la ciencia a cualquier dogma la compromete a guardar una posición crítica consigo misma y a someter a cualquier ley científica a la prueba continua experimental.

La fase sustancial del paradigma es su verificación empírica, que debe cumplirse en cualquier contexto experimental como garantía de la invariancia de una ley. El contraste empírico puede servir de prueba que confirme la validez de una ley vigente, o bien de contraprueba, para su reconocimiento como anomalía. Si el conjunto de anomalías es relevante y alguien propone una nueva ley universal que las resuelva y que ratifique además todo el patrimonio empírico histórico acumulado hasta entonces, se puede 1

Lucrecio rinde homenaje en este elogio a Epicuro, su maestro, al que considera fundador de la ciencia.

Trevelyan, R.C. (1920) Translation from Lucretius, London Allen & Unwin., lib. I, págs. 60-79.

2 La prueba empírica es determinante en Ciencia. En 1912, Wilhelm Wien, premio Nobel de Física de 1911, propuso a Lorentz y a Einstein para este galardón por la teoría de la relatividad, una exposición teórica que ha supuesto uno de los avances científicos más importantes de la historia. Sin embargo, ni uno ni otro lo obtuvieron entonces. Lorentz ya la había conseguido en 1902, junto a Zeeman, por sus investigaciones experimentales de la influencia del magnetismo sobre los fenómenos de radiación.

Einstein también lo ganó más tarde, en 1921, por su trabajo empírico sobre el efecto fotoeléctrico.

2

establecer un nuevo paradigma3. A través de este método que gira alrededor de la prueba empírica, se constituye un instrumento evolutivo de paradigmas sucesivos y renovados que asegura el progreso de la ciencia4.

Esa evolución progresiva depende sustancialmente del precepto de universalidad de las leyes de la Física, también conocido como principio de uniformidad o de invariancia, que descansa en aquellas transformaciones matemáticas que no alteran las magnitudes físicas. Por invariancia se entiende la extensión de una ley física hasta abarcar todo el Universo observable5 sin que sufra alteración alguna en todas las coordenadas espaciales y temporales en que se diseñe cualquier experimento. El objetivo básico del principio de uniformidad es el funcionamiento de las leyes de la Física, siempre y en todo lugar, no importa el contexto espacial y temporal del Universo en que se apliquen, con independencia de la referencia elegida por el observador experimental y de los desplazamientos relativos que puedan producirse entre el observador y lo observado.

Así pues, hay que asegurarse de que los resultados experimentales no se alteren cuando la posición de los observadores y los sistemas de referencia sufran cambios causados por movimientos o rotaciones. Conviene recurrir entonces a los sistemas de referencia equivalentes, que son conjuntos de coordenadas espacio temporales relacionadas por transformaciones matemáticas que preservan las magnitudes físicas sin cambios. Estas transformaciones son específicas, y se conocen como transformaciones de simetría.

La importancia de los sistemas de referencia equivalentes y de las transformaciones de simetría es principalmente de carácter práctico. Supongamos dos observadores situados en dos puntos distintos (en general pertenecientes a sistemas de referencia diferentes), tomando mediciones sobre un mismo objeto situado en un tercer punto. El problema surge cuando los dos observadores quieren transmitirse sus resultados. Como las mediciones se han realizado en dos sistemas de referencia distintos, para poder compararlas necesitan el auxilio de transformaciones matemáticas que mantengan los resultados de ambas mediciones al cambiar de sistema de referencia. Los sistemas de referencia equivalentes, que se definen como aquellos a los que se aplican específicamente transformaciones matemáticas de simetría, garantizan la inalterabilidad de resultados.

Transformaciones de simetría La invariancia de las leyes físicas se resuelve aplicando transformaciones de simetría6 específicas. Esta aplicación obedece a la necesidad de comparar los resultados de las mediciones obtenidas en sistemas de referencia diferentes. Las fases encadenadas de obtención de resultados de las medidas y de aplicación de transformaciones de simetría 3

Karl Popper plantea una idea de paradigma más exigente. Afirma que los experimentos nunca pueden probar una teoría; sólo pueden negarla. Su crítica epistemológica apela al principio de falsación, que dice que para que la ciencia reconozca una nueva teoría, ésta tiene que explicar todos los hechos sin fallar en prueba alguna, exponerse a su propia refutación y superar el poder predictivo de la antigua teoría.

4 En Ciencia, la explicación siempre sigue una pauta universal en una sola dirección, pero no en sentido inverso. El paradigma de la relatividad general de Einstein explica también el de Newton, del mismo modo que el de Newton se apoya en y explica la tercera ley de Kepler, igual que Copérnico desplaza el enrevesado modelo de Ptolomeo. Pero ni el paradigma de Newton puede explicar el de Einstein, ni el de Kepler el de Newton, ni Ptolomeo es más claro que Copérnico.

5 Toda medida experimental exige la existencia previa de un ámbito observable. Por ejemplo, el universo opaco anterior al Big Bang, referido en la literatura cosmológica, es un universo especulativo, no contrastable empíricamente. El universo transparente ofrece el único campo de observación experimental.

6 El teorema de Noether expresa que cualquier simetría descrita por funciones matemáticas continuas o continuamente diferenciables tiene su correspondiente ley de conservación física, y viceversa.

3

deben completar el ciclo con la formulación de una invariancia matemática, en forma de ecuación por ejemplo, que defina la ley física. De este modo, cada ley y cada ecuación matemática que la defina darán sentido a los resultados de las medidas, componiendo una doble invariancia (de la ley física y de la ecuación matemática) consistente.

Sólo falta especificar qué tipos de transformaciones articula esta doble invariancia. Nos referimos obviamente a qué tipos de transformaciones de simetría. Para la mecánica clásica, por ejemplo, en cualquier intervalo de tiempo no se altera la energía de una masa gravitacional suspendida sobre la superficie terrestre. Por tanto, la magnitud de la energía de la masa suspendida se conserva con independencia de si se atrasa o adelanta el tiempo del experimento todo lo que se quiera. Podemos concluir entonces que una traslación temporal de simetría mantiene la magnitud de la energía y la ecuación que la simboliza: la ley de conservación de la energía.

Existen también simetrías espaciales, que engloban las transformaciones que no alteran la propiedad física de un elemento por un cambio de posición. La conservación del momento lineal, por ejemplo, no varía con la localización del experimento. Por último, nos referimos a la conservación del momento angular como prototipo de invariante de las simetrías de rotación.

Los tres postulados de simetría espacio temporal La Física clásica de Galileo y Newton se ha desarrollado sobre tres postulados implícitos de simetría espacio temporal: la homogeneidad, la isotropía y su extensión en todas las direcciones del espacio, además de la uniformidad del tiempo7.

El primer postulado de la homogeneidad del espacio enuncia la equivalencia de todas sus coordenadas cuando se trata de formular las leyes de la Física. De acuerdo con él, no existen puntos singulares8 en todo el Universo donde los paradigmas varíen o funcionen de otro modo. Por lo tanto, toda ley física mantiene su estructura matemática, no importa el ámbito espacial donde se aplique.

El segundo postulado de la isotropía espacial establece que las direcciones espaciales son equivalentes, es decir simétricas, a la hora de construir formulaciones. No existen por tanto direcciones preferentes donde se manifiesten las leyes de la Física de distinto modo al resto de las direcciones. Tampoco se admite ningún origen espacial privilegiado. En conclusión, todas las direcciones son equivalentes.

Finalmente, el postulado de la uniformidad del tiempo dispone que las leyes de la Física son las mismas en un tiempo fijado que en cualquier tiempo precedente, y que seguirán siendo las mismas en el futuro sin que origen alguno del tiempo prevalezca. Aplicado en sentido estricto, este postulado de uniformidad temporal exige que la formulación de las leyes de la Física funcione en tiempo pretérito y en tiempo presente, cualquiera que fuera la fase de evolución en que se encontrara el Universo en el pasado.

El postulado de uniformidad de tiempo plantea el problema del contrataste empírico en un escenario no observable. Cuando se trata de verificar experimentalmente el funcionamiento de una ley en el sentido contrario al de la flecha del tiempo9, del futuro al pasado pasando por el presente, el sentido irreversible del tiempo constituye una 7

Sobre estos postulados descansan los teoremas de la mecánica clásica de la conservación de la energía, del impulso y del momento cinético.

8 Ejemplo de puntos singulares son los ceros y los infinitos que aparecen al aplicar las leyes de la física clásica y que suaviza la mecánica cuántica. La existencia del cuanto de acción es incompatible con una energía cero del vacío, y en cuántica tampoco es nunca cero la extensión de un punto físico.

9 Expresión acuñada por el astrofísico británico Arthur Eddington, experimentado matemático que pesó las estrellas en función de su luminosidad y que se curtió en la perseguida teoría de la unificación de la mecánica cuántica, la relatividad y la gravitación, donde fracasó el propio Einstein.

4

asimetría insalvable de limitación experimental. La dificultad de superar la barrera del tiempo para la observación de fenómenos en el sentido del futuro al pasado resulta insuperable. En casos de bloqueo experimental como éste, la ciencia suele depositar su confianza en las Matemáticas, que pueden transgredir fácilmente la frontera establecida por el Universo observable para los fenómenos físicos.

Conocimiento = datos empíricos X matemáticas10 Yuval Noah Harari 1. LAS MATEMÁTICAS EN LA FÍSICA La consistencia interna de toda ley física requiere que su formalización esté determinada de modo fiable y preciso. Son tres por tanto las características que debe reunir el sistema que defina formalmente al mundo físico: consistencia, fiabilidad y precisión.

Históricamente la formalización de la Física ha reposado sobre las Matemáticas, pieza clave para entender la Naturaleza.

La conexión entre las formas de existencia física y matemática es misteriosa y profunda, pero el funcionamiento del mundo físico está, de hecho, permanentemente gobernado por ecuaciones y desarrollos matemáticos. Los conceptos y demostraciones matemáticas son formas intemporales que existen con independencia del instante que son percibidas por primera vez. Se basan en argumentos puramente lógicos y la validez de las afirmaciones matemáticas se deduce a partir de la validez de otras afirmaciones matemáticas. Se trata por tanto de un encadenamiento de afirmaciones cuyo punto final son los axiomas, afirmaciones válidas que no precisan de demostración por evidentes.

De este modo se construye una estructura real por sí misma, cuyo impulso brota de la propia matemática y que parece destinada a reflejar de forma consistente, fiable y precisa el comportamiento del mundo físico. Los ladrillos del edificio matemático son las ecuaciones, que parecen surgir siempre oportunamente para conducir y dar explicación de los insondables principios que rigen el Universo.

Las estructuras matemáticas no son meros instrumentos formales de las leyes de la Física, sino que las reflejan de manera más penetrante y de mayor alcance que aquellas estructuras de las que partimos. Es como si el Universo hubiera elegido el lenguaje matemático para expresarse de modo absoluto, como si la propia Naturaleza se guiara por los mismos criterios que el pensamiento matemático. Incluso se pueden asociar avances en la Matemática que se corresponden con avances de teorías concretas de la Física. Por ejemplo, el empleo del cálculo infinitesimal en el siglo XVIII ha sido básico para comprender y ampliar nociones tales como la velocidad, el momento y la energía.

Más adelante, a principio del siglo XX, las variables complejas han resultado claves en la interpretación del espacio de Minkowski, de la actividad de los circuitos eléctricos o de la función onda de Schrödinger, y toda la física relativista ha avanzado gracias al cálculo tensorial y matricial. Finalmente, ya avanzado el siglo XX y para superar las dificultades que ofrecen los campos continuos en la representación de la realidad cuántica, Einstein propuso "una teoría algebraica basada en la partición discreta [espacial] hacia la física futura"11.

10

Harari, Y.N. (2016) Homo Deus. Breve historia del mañana, Debate, pág. 265.

Einstein, A. (1955) Relativistic theory of the non-symetric field. Apendix II of The Meaning of Relativity, 5ªedición, Princeton University Press, Princeton, págs. 133-166.

11

5

Relación entre las Matemáticas y los paradigmas físicos La relación entre las Matemáticas y la Física se realiza plenamente cuando, en perfecta sincronía, se descubren los espacios geométricos adaptados a los sucesivos paradigmas físicos que van surgiendo ocasionalmente. Penrose expone un completísimo estudio de las diferentes geometrías ligadas a los tres principales paradigmas de la Física.12. Las geometrías que presenta ofrecen distintas perspectivas de uno de los pilares de la física moderna, el principio de equivalencia, inicialmente formulado por Galileo13 y que ha evolucionado considerablemente a lo largo del tiempo.

Como se ha dicho repetidamente, la fase resolutiva del paradigma físico es su verificación empírica, lo que limita estrictamente la competencia científica a la del campo experimental observable. También se ha anticipado en el apartado anterior que las leyes de la Física deben ser universales, para todas las coordenadas espaciales y temporales en que se diseñe cualquier experimento y para cualquier posición que ocupe el observador del experimento. Así pues, han de funcionar siempre y en todo lugar y momento sin presentar anomalías empíricas que refuten su contenido.

El requisito de garantizar la universalidad de los principios de la Física con independencia del marco experimental refuerza la opinión extendida de que encontrar una geometría adecuada a cada paradigma representa una aplicación principal de las Matemáticas en la Física14. La exigencia de universalidad obedece a una necesidad preferentemente práctica: la de acreditar una ley física sin que se vea alterada por la posición que mantenga el observador. Por esta razón, cuando hablamos de geometrías nos estamos refiriendo al campo experimental en su conjunto, es decir, a la totalidad de posiciones e instantes ocupados por cualquier experimentador. Hay que incluir además en este cuadro experimental a los desplazamientos a que pueden verse sometidos el observador y lo observado durante la observación. En resumen, debemos pensar en una geometría que solucione el problema de las variaciones cinemáticas que se puedan presentar en cada prueba o ensayo.

Por ejemplo, Newton adoptó los sistemas de referencia inerciales de Galileo: uno en movimiento rectilíneo uniforme, el otro en reposo. Desde cualquiera de los dos resultaba imposible distinguir entre las magnitudes físicas experimentadas. Tanto desde las coordenadas en movimiento rectilíneo uniforme como desde las coordenadas en reposo, el observador conservaba inalterable el resultado de las medidas Los sistemas inerciales fijados por ecuaciones representaron para las leyes de Newton la mejor garantía de acatar rigurosamente el precepto de universalidad. Las Matemáticas cumplieron en este caso con la función necesaria de definir las transformaciones de los sistemas de referencia para que en cualquier coordenada espacial y temporal en que se realizase un experimento se asegurase la invariancia de sus resultados.

12

Penrose vincula el sistema galileano al espacio euclídeo; el newtoniano, al espacio ligado a la densidad espacial de Cartan, y el relativista, al de Minkowski. Penrose, R. (2014) El camino de la realidad, 5ª edición, Debate.

13 En un experimento atribuido a Galileo, el científico italiano dejó caer pesos desde la parte más alta de la torre inclinada de Pisa. Aunque los pesos eran de diferente tamaño y material, todos llegaron al suelo al mismo tiempo, lo que demostraba que la gravedad aceleraba todos los cuerpos sin distinguir su tamaño ni su naturaleza. Así quedó demostrado que la creencia de Aristóteles de que los objetos pesados caían más rápidamente que los livianos era falsa. El experimento de Budapest, realizado por el barón Roland von Eötvös, confirmó tres siglos después el principio de equivalencia.

En 1971, Dave Scott, astronauta del Apolo 15, confirmó el resultado de Galileo sobre el suelo lunar. Scott tomó un martillo en una mano y una pluma en la otra a la altura de sus hombros, y los soltó a la vez. La pluma no se balanceó al caer, y llegó al suelo al mismo tiempo que el martillo.

14 La importancia creciente de la Topología como rama de las Matemáticas que estudia las propiedades geométricas que permanecen inalteradas por transformaciones continuas refuerza esta opinión.

6

Einstein necesitaba disponer de sistemas de referencia en los que se mantuviera la velocidad de la luz constante. Recurrió entonces a un sistema universal, que incluía el inercial galileano como caso particular. Optó por las transformaciones de Lorentz como ecuaciones de definición de este sistema universal, capaces de relacionar las medidas de una magnitud física realizadas por dos observadores en distintos sistemas de referencia sin que en ninguno de ellos se alterara la velocidad de la luz.

Sistema inercial de Galileo y principio de equivalencia débil Galileo es distinguido como fundador del principio de equivalencia que Newton asoció a la ley de inercia. El principio reconoce que las leyes de la dinámica son exactamente las mismas para observadores ubicados en todo sistema de referencia en movimiento rectilíneo uniforme o en reposo. Dicho de otro modo, las leyes de la Física no distinguen el estado de reposo del movimiento rectilíneo uniforme en cualquier sistema de referencia. Con este simple enunciado, contrastado por observaciones experimentales coincidentes, se expresa la ley de inercia. Por extensión, los sistemas de referencia en movimiento rectilíneo uniforme o en reposo son conocidos como inerciales.

Newton se basó en los sistemas de referencia inerciales de Galileo para avalar sus tres leyes esenciales del movimiento. En su obra Principios matemáticos de la filosofía natural15, el físico inglés propuso tres principios (el de inercia, el de la dinámica y el de acción y reacción). Los tres fueron elevados a la categoría de invariantes16 universales para dos observadores situados en las coordenadas (x0, t0) y (x1, t1), siempre que se cumplieran las ecuaciones [M1] del sistema inercial de Galileo. x1= x0 - vt; t1 = t0 [M1] v es la velocidad constante17 del observador que se desplaza desde (x0, t0) hasta (x1, t1).

Newton se refirió a masas privilegiadas en reposo o de velocidad uniforme, y amplió el concepto de masa inerte o masa pasiva a la masa gravitacional o masa activa18. A este primer enunciado del principio de equivalencia, conocido como equivalencia débil, llegó Newton como corolario de sus tres leyes. Los sucesivos experimentos del anteriormente citado barón Roland von Eötvös, prestigioso físico célebre por sus trabajos en gravitación y por perfeccionar la balanza de torsión de Cavendish, significaron la prueba empírica definitiva para garantizar su aceptación. El objetivo de von Eötvös era consolidar el principio de equivalencia midiendo la aceleración de objetos de diferente composición y en distintos lugares de la Tierra. Todos los resultados confirmaban que la masa inercial era igual a la masa gravitacional, con independencia de la naturaleza del objeto. La exactitud de la prueba19 refrendó de modo concluyente el principio de equivalencia débil y marcó el punto de arranque de la teoría de la relatividad.

15

Newton, I. (2011) Principios matemáticos de la filosofía natural, 3ª edición, tecnos.

Un invariante garantiza idéntica formulación de la ley en cualquier sistema de referencia. Henri Poincaré, matemático francés del XIX, apostó por el sistema inercial de Galileo que acreditaba la invariancia de las leyes de la Naturaleza.

17 La condición de v constante es muy restrictiva. Asegura la invariancia del resultado de la observación cuando el sistema de referencia sufre una rotación, pero no cuando v es variable.

18 La masa inerte queda definida en la segunda ley de Newton por la resistencia que ofrece un cuerpo a cambiar su estado de movimiento cuando se aplica una fuerza; la masa gravitacional, por la ley de gravitación universal, como propiedad que tiene un cuerpo de atraer a otro.

19 El error máximo del experimento de von Eötvös a finales del XIX fue de 5∙10-9. Posteriormente, el mismo experimento se ha repetido varias veces. En 1963, Robert H. Dicke consiguió unos resultados con un error de 10-11; en 1971; Braginsky y Panov minimizaron el error hasta 10-12.

16

7

Las transformaciones de Lorentz Las transformaciones de Lorentz, deducidas en el Anexo 1 Transformaciones de Lorentz, han resuelto las limitaciones que presenta el sistema inercial de Galileo, válido exclusivamente para desplazamientos uniformes. Las ecuaciones [M2]20 definen los nuevos sistemas que garantizan que todo experimento se manifiesta de la misma forma para dos observadores situados en las coordenadas (x0, t0) y (x1, t1).

c es la velocidad de propagación de la luz, fija para cualquier sistema de referencia21.

Lorentz fue el primero en encontrar las ecuaciones de la relatividad especial, aunque Einstein consiguió deducirlas desde dos principios simples: las leyes de la Física son las mismas desde el sistema de referencia buscado; la velocidad de la luz es una constante universal22.

Al plantear una ecuación que transformaba el tiempo en función de la posición y la velocidad, las transformaciones de Lorentz [M2] representaron una completa revolución. Se revocaba así la posición de la mecánica clásica, que trataba el tiempo como una variable absoluta. Este nuevo enfoque permitió desarrollar el concepto de espacio-tiempo, sobre el que se basó la teoría de la relatividad especial.

El espacio-tiempo resolvía definitivamente el problema de simetría planteado por los movimientos a grandes velocidades23. Pero sobre todo, las ecuaciones [M2] avalaban los resultados empíricos en cualquier contexto experimental: de dos experimentos distintos percibidos por un mismo observador en un mismo lugar en tiempos diferentes, o en lugares diferentes, o por dos observadores en distintos lugares, en el mismo instante o en tiempos diferentes.

Ruptura de la idea de simultaneidad El nuevo concepto de espacio-tiempo rompía con la idea de simultaneidad asociada al concepto de tiempo absoluto. Esta transmutación conceptual impedía asegurar con sentido absoluto si dos eventos habían ocurrido al mismo tiempo en diferentes lugares Si se toman intervalos espaciales y temporales, la transformada del tiempo [M2] se puede escribir así.

Si ∆t = 0, pero ∆x ≠ 0 → ∆t '≠ 0, lo que significa que si dos sucesos ocurren en dos puntos distintos (∆x ≠ 0) simultáneamente (∆t = 0) para un observador situado en un sistema de ordenadas S (x, t), para otro situado en otro sistema S' (x', t'), que se mueva respecto al primero, los sucesos ocurren en instantes distintos (∆t '≠ 0).

20

En el Anexo 1 se llega a las ecuaciones de Lorentz partiendo de la velocidad de la luz constante en dos sistemas de referencia alternativos.

21 El sistema de referencia de Galileo y de Lorentz son idénticos para v << c.

22 La constancia de c se había demostrado empíricamente algunos años antes por Michelson y Morley.

23 Para que las mismas leyes se pudieran aplicar del mismo modo para grandes velocidades hubo que integrar el invariante de la velocidad de la luz en el nuevo sistema de referencia definido por las transformaciones de Lorentz.

8

En general cualquier evento guarda respecto a otro de referencia tres potenciales posiciones: pasada, futura o ni pasada ni futura. Esta clasificación es válida para cualquier paradigma físico. Sin embargo, la mecánica clásica y la relativista difieren en el modo de establecerla; para la primera, la posición es absoluta; para la segunda, relativa. En particular, la posición sin pasado ni futuro es definida por la mecánica clásica como eventos simultáneos; por el contrario, la mecánica relativista los identifica como eventos no relacionados entre sí causalmente.

Pasé diez años de mi vida probando la ecuación de Einstein de 1905, y contra mis expectativas, en 1915 tuve que sostener su clara verificación a pesar de su irracionalidad24 Robert Millikan 2. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL25 En el sistema de referencia definido por [M2] se apoyó Einstein para establecer la primera teoría de la relatividad, o relatividad especial, aplicable de forma restringida para el caso de gravedad prácticamente nula26.

Recordemos que las ecuaciones de Lorentz avalan el principio general de simetría, es decir acreditan que para dos observadores situados en las coordenadas (x0, t0) y (x1, t1) en el sistema de referencia [M2], cualquier magnitud o ecuación matemática permanece invariante aunque varíen las posiciones relativas de los dos observadores.

La importancia de la relatividad especial reside en que no cambian de forma las propiedades físicas, y por tanto las ecuaciones que las definen. Su esencia radica en que la conservación de propiedades y de ecuaciones se mantiene en todo marco de referencia. No estamos hablando de una conservación restringida para un cambio particular de coordenadas, sino de la conservación universal de propiedades físicas.

En la explicación de la teoría de la relatividad especial, Einstein y otros autores emplearon sistemas de coordenadas relacionados por las transformaciones de Lorentz.

Para la relatividad general, se precisaba funcionar con sistemas de referencia no inerciales, lo que complicó el tratamiento matemático27.

Postulados de la relatividad especial La teoría de la relatividad especial desarrollada en 190528 se componía de una parte cinemática y otra electrodinámica: la primera cambió radicalmente la percepción del espacio y el tiempo29 por un nuevo concepto de espacio-tiempo; en la segunda parte se 24

Cita tomada de https://es.wikiquote.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan.

A Einstein no le gustaba el nombre elegido por Plank para su teoría, porque podía conducir a confusión. Hubiese preferido llamarla principio de invariancia, o titularla con un nombre que aludiera a "la independencia de las leyes de la naturaleza respecto el punto de vista del observador" (Arnold Sommerfeld, citado por Robinson, A. (2010), en Einstein. Cien años de relatividad, Blume, pág. 136.

26 De ahí que Einstein acabara llamándola teoría de la relatividad restringida o especial, limitada para el espacio-tiempo sin presencia de materia gravitacional, es decir, propia del universo vacío.

27 Más adelante, en el apartado 4 Teoría de la relatividad general, se plantean marcos de referencia que precisan el uso de vectores y tensores, operadores matemáticos necesarios para garantizar la invariancia de las ecuaciones de campo de la relatividad general.

28 Einstein, A. (1905) Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annallen der Physik, Vol. 372, 10: 891-921.

29 Aun hoy existen dudas sobre la idea original de la relatividad especial. En la conferencia pronunciada en 1904 y titulada Sobre el estado presente y futuro de la física matemática, Poincaré habló del principio de la relatividad, y ya expuso entonces el concepto de tiempo relativo en función del sistema de referencia del observador. En el histórico artículo de Einstein, no hay referencia alguna de los trabajos de Poincaré.

25

9

estableció un límite universal de la velocidad. Las ecuaciones presentadas en el artículo anunciaban un par de fenómenos chocantes con la intuición sensorial: la contracción espacial relativa, o disminución de un cuerpo en movimiento respecto a otro en reposo, y la dilatación relativa del tiempo, o alargamiento de la duración de los eventos que afectaban a un cuerpo en movimiento respecto a un cuerpo en reposo. La contracción espacial y la dilatación del tiempo fueron deducidas directamente de la constancia de la velocidad de la luz. Estos resultados sorprendentes fueron confirmados por observaciones experimentales.

Einstein formalizó con las ecuaciones de transformación de Lorentz las nuevas leyes partiendo de los siguientes postulados:  Las leyes de la Física son las mismas en los sistemas de referencia definidos por las transformaciones de Lorentz. En otras palabras, no hay sistema de referencia privilegiado que pueda considerarse absoluto.  La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal c que es independiente del movimiento de la fuente de luz.  Los relojes de los observadores en movimiento van más lentos que los relojes de los observadores en reposo.  Los cuerpos en movimiento se contraen respecto a los cuerpos en reposo.  La inercia es función de la energía y no de la masa, como suponía Newton.

Según el primer postulado, todas las leyes de la Física resultan siempre invariantes respecto a las transformaciones de Lorentz. Del segundo postulado se desprenden dos conclusiones: las ecuaciones de Maxwell, piedra angular del electromagnetismo, son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, y el tiempo y el espacio no pueden ser absolutos. El tercer y el cuarto principio implican que el intervalo de tiempo entre dos sucesos y la distancia entre dos puntos depende de cada observador.

Maxwell y la naturaleza ondulatoria de la luz Las ecuaciones de Maxwell son simplemente ajustes del modelo clásico para adaptarlo a los resultados empíricos. Forman un conjunto de cuatro ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéticos previa unificación de los campos eléctrico y magnético30.

La primera ecuación [A2.1] del Anexo 2 Ecuaciones de Maxwell [A2.1]31 es la ley de Gauss de campos eléctricos, que el modelo clásico presenta como la ley de Coulomb para cargas puntuales (véase Cuadro A2.1 del Anexo 2). La ley de Gauss aplica, en un esquema dinámico, el concepto de campo eléctrico y define el flujo eléctrico que atraviesa una superficie del mismo modo que se usa en la mecánica de fluidos. De esta forma se supera el esquema estacionario presentado por Coulomb.

Así pues, la primera ecuación de Maxwell es la generalización de la ley de Gauss, enunciada de forma localizada. Está formulada con un operador diferencial, mientras que Gauss utiliza un operador integral definido en una superficie cerrada con idéntico resultado. →

30

[A2.4]

En el Anexo 2 Ecuaciones de Maxwell, se desarrollan con todo detalle las cuatro ecuaciones a partir de las leyes vigentes hasta antes de la unificación de los fenómenos electromagnéticos.

31 Aquí se interrumpe la numeración correlativa de ecuaciones de la serie [M] por la inserción de ecuaciones de los Anexos.

10

La primera ecuación de Maxwell [A2.1] indica que el flujo neto de un campo eléctrico a través de una superficie depende de la densidad de la carga eléctrica ρ que encierra dicha superficie y de la constante dieléctrica en el vacío ε0.

La segunda ecuación de Maxwell expresa que todas las líneas de un campo magnético forman siempre un bucle cerrado, es decir comienzan y terminan en el mismo punto. Se deduce por tanto de ella que no existe monopolo magnético, lo que concuerda con la evidencia empírica de la aparición espontánea de dos imanes si uno se rompe. Coincide con la ley experimental de Gauss para campos magnéticos, que expone que este tipo de campos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes (Figuras M132 y M233). Las líneas de los campos magnéticos son cerradas, lo que impide la existencia de monopolos magnéticos. Es decir, si se dispone de un dipolo en una superficie cerrada no sale ni entra flujo magnético, por lo tanto el campo magnético B no diverge. Dicho de otro modo, la divergencia de las líneas del campo magnético es siempre cero, tal y como muestra la ecuación [A2.5] de Maxwel, del Anexo 2: =0 [A2.5]

Figura M1

Figura M2 La tercera ecuación de Maxwell [A2.6] del Anexo 2 [A2.6] es la expresión diferencial de la ley de Faraday, cuyo enunciado dice que un campo magnético variable B origina un campo eléctrico E. Bajo forma de integral, Faraday plantea en la ecuación [A2,7] del Anexo 2 que la variación respecto al tiempo del flujo magnético que atraviesa una superficie es igual y de signo contrario a la circulación de un campo eléctrico que pasa por un conductor situado en el borde de la superficie.

[A2.7] 32 33

Figura tomada de https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be.

Figura tomada de http://electric1.es/cm/lineasdefuerza.html.

11

[A2.6] indica que todo campo magnético B no estacionario produce un campo eléctrico E rotacional de signo contrario, tratando de compensar la variación del flujo magnético.

Dicho de otro modo: un campo B no estacionario causa la circulación de E a lo largo de líneas cerradas (véase Figura A2.1 del Anexo 2).

Finalmente, la cuarta ecuación de Maxwell [A2.8] del Anexo 2 afirma que todo campo eléctrico que varíe con el tiempo produce a su vez un campo magnético rotacional, como se refleja en la Figura A2.2 del Anexo 2.

[A2.8] J es la densidad de corriente y µ0 la permeabilidad magnética en el vacío.

[A2.8] representa por tanto una ecuación complementaria de la [A2.6] y una generalización de la ley de Ampère, formulada en la ecuación [A2.9] del Anexo 2 para un campo magnético B estático y una corriente eléctrica I constante.

[A2.9] Pero para un campo magnético móvil el campo eléctrico varía a través del tiempo y la ecuación [A2.9] rompe el principio de conservación de la carga. Por esta razón,Maxwell tuvo que corregirla añadiendo la corriente de desplazamiento.

Por consiguiente, la ecuación diferencial de Maxwell [A2.8] no es sino una adaptación de la ecuación integral de Ampère [A2.9] para campos no estacionarios.

Las cuatro ecuaciones de Maxwell significaron la prueba concluyente de universalidad de la relatividad especial. Se había demostrado que tanto el campo eléctrico como el magnético se movían como funciones de onda, que se propagaban en el vacío a la velocidad indicada en [A2.1.8] del Anexo 2,1 Campo magnético de un conductor lineal.

[A2.1.8] La conclusión inmediata derivada de [A2.1.8] fue que la velocidad de una onda no dependía de la velocidad de su fuente; en concreto Maxwell planteó la constancia de la velocidad de la luz, tan esperada por Einstein. Esta novedad radical ponía fin a la hipótesis de la existencia del éter34. Aunque, como se ha dicho más arriba, antecedentes de la invariancia de la velocidad de la luz ya existían desde 188135, las pruebas experimentales definitivas tardaron mucho tiempo en completarse.

La anulación de la hipótesis del éter acreditaba el carácter autopropulsor del campo electromagnético, donde la presencia continua de aceleraciones hacía superflua la mediación de fluido alguno. Así pues, la relatividad especial asumió la propagación libre del campo electromagnético por el espacio sin necesidad de la existencia de una fuente difusora. Esta nueva concepción resolvía las dificultades del campo newtoniano para dar explicación a la teoría ondulatoria de Maxwell, dificultades derivadas del sistema inercial de Galileo tomado como referencia por Newton.

Pero aún quedaba por resolver la cuestión de analizar el campo eléctrico y el campo magnético como un único campo electromagnético. Las transformaciones de Lorentz [M2] corrigieron las restricciones de las ecuaciones de [A2.6] y [A2.8] del Anexo 2, que 34

La teoría del éter se basó en la presencia de un fluido ingrávido y elástico por todo el espacio, donde se propagaban las ondas electromagnéticas como oscilaciones mecánicas y al que la luz lo atravesaba al desplazarse, razón por la que la medida de la velocidad de la luz se suponía relativa respecto al éter.

35 En 1881 el experimento de Michelson y Morley trató de medir la velocidad del movimiento de la Tierra en relación con el éter. Paradójicamente, confirmó una ley que no existía aún (la ley de la relatividad especial se publicó 24 años después), y borró al éter como referencia del movimiento cósmico. Su confirmación hubo de esperar hasta el experimento de Kennedy-Thorndike en 1932.

12

impedían unificar los resultados experimentales de los fenómenos electromagnéticos.

Wheeler presenta el fenómeno indistinto de la variación de un campo eléctrico del cambio de un campo magnético en dos escenarios experimentales: "Cuando se mueve el polo norte de un imán en el interior de una bobina de cable, se genera un voltaje momentáneo entre los dos extremos del cable. La magnitud de este voltaje se puede predecir a parir de un conjunto de ecuaciones que fueron formuladas por Maxwell y Faraday. Por otra parte, cuando se mueve la bobina sobre el imán con la misma velocidad, se predice -y se obtiene- el mismo voltaje, pero se necesita una ecuación bastante diferente para poder hacer la predicción. Cualquier descripción razonable de la inducción electromagnética, razonó Einstein, no debería distinguir qué componente -la bobina o el imán- se mueve y cuál permanece estacionario. Sólo debería ser importante el movimiento relativo [entre el imán y la bobina]"36.

Einstein resolvió el dilema de que los campos eléctricos y magnéticos dependieran de los sistemas de referencia en su famoso artículo de 1905 sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento37. Planteó en este trabajo que la inducción electromagnética debería ser la misma, tanto desde un sistema de referencia donde la bobina se mantuviera en reposo y el imán en movimiento como desde un sistema donde el imán estuviera en reposo y la bobina en movimiento.

El reconocimiento de la identidad ondulatoria de la luz representó para Einstein el espaldarazo de mayor prestigio para la teoría de la relatividad especial. En efecto, la tercera y cuarta ecuación de Maxwell [A2.6 y A2.8] revelaban que una onda electromagnética se componía de la acción conjunta de un campo eléctrico E y un campo magnético B. En la Figura M338 se muestra la dirección de propagación de las dos ondas (de color rojo), que resulta perpendicular al plano de oscilación de los campos eléctrico (de color verde) y magnético (de color azul). Ambos campos avanzan también en direcciones ortogonales entre sí, coincidiendo sus crestas y sus valles.

Figura M3 En el sueño quimérico de Einstein persiguiendo un rayo de luz, vería algo semejante a los campos vectoriales eléctrico (de color verde) y magnético (de color azul) de la onda electromagnética de la Figura M3. Él se imaginaba contemplando una onda del rayo luminoso, y esperaba ver cómo las longitudes de los campos vectoriales eléctrico y magnético aumentarían desde cero hasta su máxima intensidad, y luego decrecerían de nuevo hasta cero en la siguiente onda.

36

Wheeler, J.A. (1990) Un viaje de la gravedad y el espacio-tiempo, Alianza editorial, pág. 9.

Artículo ya citado en la nota 26.

38 Figura tomada de http://1.bp.bolgspot.com.

37

13

Renovación de los invariantes newtonianos La introducción del concepto espacio-tiempo por la relatividad especial representó una renovación de los invariantes del antiguo paradigma newtoniano.

Sustitución doble de invariante: masa por energía y velocidad de la luz Einstein refutó la ley de Newton de conservación de la masa al establecer que la masa y la energía eran unidades intercambiables. De los postulados de la relatividad especial, enunciados más arriba, trascendieron múltiples consecuencias. La más divulgada de la historia de la Física fue que la masa representaba energía acumulada. La equivalencia entre masa y energía se formuló como ecuación general de la energía de Einstein [A3.4] del Anexo 3 Ecuación general de Einstein de la energía.

E = mc2 [A3.4] [A3.4] representa la doble sustitución de la masa m por las invariantes velocidad de la luz c y energía E. La nueva condición variable de m establecida definitivamente por Einstein a través de la ecuación es: [M3]39 m0 es la masa en reposo y v la velocidad de m. De acuerdo con [M3], a medida que crece v aumenta el valor de m. Cuando v = c, m →∞.

La pérdida de la invariancia de la masa m obligaba a revisar las ecuaciones newtonianas de la energía cinética y del momento lineal o cantidad de movimiento. Según la nueva definición de masa [M3], la energía cinética Ec valdrá: [M4] [M4] representa una evolución importante de la ley de inercia newtoniana. Desde aquí, la inercia deja de depender de la masa m y es función de la energía Ec. A la masa pasiva de Newton le corresponde el segundo sumando del segundo miembro de la ecuación, y a la masa activa, el primer sumando del segundo miembro.

Por otro lado, el primer sumando del corchete de las ecuaciones [M4], conocido como factor de Lorentz γ, se puede desarrollar mediante la clásica serie de Taylor: [M5] Introduciendo [M5] en [M4], se obtiene la ecuación de la energía cinética para cualquier sistema de referencia.

[M6] El primer término de [M6] es la energía en reposo, idéntica a la expresión formulada por Newton, que representa en el paradigma relativista sólo un caso particular para v<<c.

Sustitución de invariantes: fuerza por momento lineal A partir de la nueva definición de masa de [M3], otra expresión fundamental de la mecánica newtoniana debía revisarse. En efecto, la cantidad de movimiento o momento lineal de Newton (p = mv) quedaba modificada por el estado variable de m, de acuerdo con la siguiente ecuación: 39

Desde aquí se recupera la numeración correlativa de la serie [M].

14

[M7] Cuando v → c; p → ∞. Por tanto, en el límite de una masa a la velocidad de la luz, un observador inmóvil percibiría que la inercia de m0 aumentaría indefinidamente.

A partir de [M7], se obtiene: , ya que

[M8]

[M8]40 induce la sustitución de la fuerza newtoniana F por el invariante momento lineal p, sustitución necesaria para corregir el mal funcionamiento del principio fundamental de la dinámica de Newton, sólo aceptable para v<<c.

El espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad41 Hermann Minkowski 3. EL ESPACIO CUATRIDIMENSIONAL DE MINKOWSKI El cambio radical de paradigma provocado por la teoría de la relatividad especial precisó de la fusión del espacio y el tiempo42, unidades consideradas a priori a cualquier experimento, y por tanto independientes entre sí, por la Física clásica. Minkowski, profesor de Einstein, halló el nuevo espacio-tiempo definido por las ecuaciones [M2] de Lorentz, donde por primera vez se incluyó el tiempo como cuarta dimensión. Con el añadido de la dimensión imaginaria cit a las tres dimensiones reales de la mecánica clásica (x, y, z), se conformó el nuevo espacio-tiempo de 6 planos: 3 espaciales puros (xy, xz, yz) y tres espacio temporales (ctx, cty, ctz).

El espacio de Minkowski surgió oportunamente, como llovido del cielo, para armonizar la formalización matemática al nuevo paradigma físico de la relatividad especial. Las transformaciones de Lorentz resultaron de aplicación directa al espacio de Minkowski, como se demuestra en el Anexo 4 El espacio cuatridimensional de Minkowski, donde se llega a las ecuaciones [M2] con el simple giro de un ángulo de los ejes.

Minkowski demostró que si el espacio y el tiempo dejaban de ser dimensiones separadas y se integraban geométricamente en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones43, las transformaciones relativistas se reducían a simples rotaciones en el nuevo espacio-tiempo cuatridimensional. Esta fusión facilitó el buen funcionamiento 40

Como se ha dicho más arriba, el momento lineal está asociado con el cálculo infinitesimal. Newton dominaba lo que llamó fluxiones y que no eran sino derivadas. Las aplicaba en cada caso como un artesano magistral. Pero queda la duda de si fue el pionero en descubrir la conexión conceptual entre derivada e integral y de si calibró el alcance profundo de esta relación. Su pugna enconada con Leibniz por la idea original del cálculo infinitesimal ha quedado reflejada en Durán, J. A. (2006) Isaac Newton & Gottfrield Wilheim Leibniz. La polémica sobre la invención del cálculo infinitesimal, Crítica.

41 Del discurso pronunciado por Minkowski en la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos de 1908. Cita de Tonelli, J., La ciencia vista por Josué Tonelli, Bloc de Josué Tonelli.

42 La imposibilidad de definir el tiempo como magnitud absoluta la basó Einstein en la relación inherente entre el tiempo y la velocidad de señal de una onda gravitacional producida por una masa acelerada.

43 Al principio, Einstein no concedió importancia a la interpretación geométrica de Minkowski, tomándola meramente como una formalidad matemática sin significado físico, pero eventualmente cambió su actitud adoptando el punto de vista cuatri-dimensional geométrico que emplearía para la postulación de la Teoría General de la Relatividad. Publicado por Martín, A., blogspot la teoría de la relatividad, https://es.scribd.com/doc/256309409/La-Teoria-de-La-Relatividad-Armando-Martinez-Tellez.

15

del nuevo paradigma de la relatividad especial con las transformaciones ya establecidas por Lorentz, lo que resultó determinante para la sustitución radical de los sistemas de referencia inerciales galileanos por los cuatridimensionales.

Los sistemas de referencia cuatridimensionales facultan a dos observadores situados en sendos sistemas S (x, y, z, t) y S' (x', y', z', t') para medir el mismo intervalo44 espaciotemporal entre dos sucesos cualquiera, con independencia de S y S'. O lo que es igual, garantizan que el intervalo elemental ds es un invariante para toda transformación que sufran S y S' durante la observación. La ecuación que define el espacio-tiempo cuatridimensional es: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 – c2dt2 [M9] [M9] es una función cuadrática, positiva en el plano tangente a cada punto, como la geometría euclidiana, y por tanto mantiene totalmente la capacidad de cálculo y de medida de esta geometría. Por tanto, en el espacio cuatridimensional cabe calcular la longitud de una curva, el área de una superficie, el ángulo formado entre dos curvas y el radio de curvatura en cualquier punto, siempre que se cumpla la ecuación [M9].

La aparición de un sumando cuadrático negativo en la cuarta dimensión espacio temporal de [M9] obliga a introducir la unidad imaginaria i, lo que conduce al empleo inevitable de las variables complejas. El componente casi mágico45 de la unidad imaginaria i nos descubre propiedades inéditas en la relación entre las cuatro dimensiones que conforman el espacio de Minkowski. Por un lado, las variables complejas implican la existencia de un desfase angular entre su componente imaginaria46 (cidt) y la propia variable compleja (ds). Por otro lado, su uso surge en Física cada vez que se precisa una ecuación que refleje un fenómeno de naturaleza vibratoria armónica, es decir cada vez que haya que manejar variables función de la pulsación ɷ o de la frecuencia ν. Estas variables aparecen como componente imaginaria de la ecuación; en [M9], la componente imaginaria es función de ɷ o de la frecuencia ν, ya que c = λɷ/2π = λν, donde λ es la longitud de onda del fotón.

El segundo miembro de la ecuación [M9] es función de la componente estrictamente espacial del anterior paradigma de Newton, que comprende las tres dimensiones clásicas dx, dy y dz, y otra cinética temporal, cdt, imaginaria. La diferencia de métricas entre la antigua geometría euclidiana y la nueva queda radicalmente contrastada al integrar ds.

En el espacio tridimensional, representa la minimización de la distancia recorrida entre dos posiciones extremas, A y B; en el espacio cuatridimensional, la integral significa la maximización del intervalo transcurrido entre A y B. De acuerdo con Hawking, la renuncia a considerar cdt como magnitud real, garantiza la existencia de un espacio finito sin singularidades.

"Los teoremas de singularidad de la relatividad general clásica demostraban que el universo debe tener un comienzo, y que este comienzo debe describirse en términos de teoría cuántica. Esto a su vez lleva implícito que el universo podría ser finito en el tiempo imaginario, pero sin fronteras ni singularidades. Sin embargo, cuando se vuelve al tiempo real en que vivimos seguirá pareciendo que hay singularidades.

Esto podría sugerir que el denominado tiempo imaginario es realmente el tiempo fundamental, y que lo que llamamos tiempo real es algo que creamos solo en nuestra mente. En el tiempo real, el universo tiene un principio y un final en singularidades que forman una frontera para el espacio-tiempo y en las que 44

El intervalo en el espacio cuatridimensional se corresponde con la distancia en el tridimensional.

Calificación otorgada por Penrose a los números complejos en general.

46 Véase más adelante la Figura M4, donde se presenta el cono de luz del espacio cuatridimensional y el ángulo formado por la generatriz de dicho cono y el eje vertical de coordenadas.

45

16

las leyes de la ciencia dejan de ser válidas. Pero en el tiempo imaginario no hay singularidades ni fronteras"47.

El carácter cuatridimensional de ds permite que cualquier intervalo espacio-tiempo sea absoluto y que su medida se conserve como realidad independiente del sistema de referencia. Se resuelve así el problema clásico de la doble trayectoria seguida por una piedra dejada caer desde un tren en el sistema inercial de Galileo, donde las magnitudes del espacio y el tiempo permanecen independientes. Efectivamente, dentro del sistema definido por las ecuaciones [M1], dos observadores perciben dos trayectorias distintas: una recta desde el tren, y una parábola desde el exterior al tren. Por contra, en el espacio-tiempo definido por las ecuaciones [M2], la piedra describe una sola trayectoria geodésica48, a la que Minkowski llama línea universal49.

El espacio de Minkowski permite establecer la composición de velocidades en diferentes sistemas de referencia. La ecuación [A4.3] del Anexo 4 El espacio de Minkowski relaciona la velocidad v' en el sistema S' con la velocidad del móvil v medida en S siendo u la velocidad con la que el sistema S' se aleja del sistema S. [A4.3] 50 Para la física prerelativista v << c → v' = u + v. Por otro lado, en [A4.3] se cumple la constancia de la velocidad de la luz: si v = c → v' = c.

La nueva geometría de la relatividad especial El paradigma de la relatividad especial no reconoce el espacio permanentemente en reposo ni el paso idéntico del tiempo para todos los observadores del mismo fenómeno, como supuso Newton. En física relativista, el reloj de un observador inmóvil marca un tiempo distinto que el de otro que se mueve a velocidad relativa respecto al primero.

Esta doble característica, un espacio dinámico y un tiempo con ritmo diferenciado para cada par de observadores que se mueve acercándose o alejándose uno de otro, ofrece gran ventaja a la geometría de la relatividad especial respecto a la inercial galileana. La simple fusión del espacio-tiempo en una dimensión cuatridimensional plana representa mayor garantía de invariancias de las leyes físicas para la geometría de la relatividad especial sobre la newtoniana.

La nueva geometría se basa en las ecuaciones [M2] de Lorentz, que funcionan para todo movimiento que experimente el objeto y el observador del fenómeno dentro del sistema de referencia sin alterar la magnitud de lo observado. La constancia de la medida dentro del sistema definido por las transformaciones de Lorentz confirma el primer postulado de la relatividad especial, que dice que las leyes de la Física deben ser las mismas en todos los sistemas de referencia. La superficie cónica de la Figura M4 representa la nueva geometría, donde todos los sucesos se producen dentro de los dos conos de luz.

El esquema gráfico se ha dividido en cuatro cuadrantes y, para mayor simplificación, se han reducido las tres dimensiones espaciales (x, y, z) a dos (x, y), y se ha supuesto c = 1, hasta quedar finalmente un espacio-tiempo tridimensional (x, y, t). La superficie

47

Hawking, S. W (2007) La teoría del todo. El origen y el destino del universo, Debate, pág. 106.

La geodésica es la línea de mínima longitud que conecta cualquier par de puntos en un espacio curvo.

En el caso particular de una esfera, es un arco de círculo máximo sobre su superficie y está comprendida en un plano que pasa siempre por el centro de la esfera.

49 Citado por Robinson, A. (2010) Einstein. Cien años de relatividad, Blume, pág.71.

50 Aquí se vuelve a interrumpir la numeración correlativa de ecuaciones [M].

48

17

cónica de la Figura M451 limita el horizonte de un observador situado en su vértice, horizonte definido al hacer ds = 0 en la ecuación [M9]. dx2 + dy2 + dz2 – c2dt2 = 0 [M10] 52

Figura M4 El concepto fundamental de la nueva geometría espacio-tiempo plano es que ds ya no representa la distancia que mide la separación entre dos puntos en el espacio, sino el intervalo que separa dos sucesos en el espacio-tiempo. dx es la separación longitudinal; dy, la separación transversal; dz, la separación vertical y cidt, la separación temporal.

En este esquema, los sucesos están separados en el espacio y en el tiempo; a esta separación conjunta se le llama intervalo, que para algún par de sucesos puede ser espacial o temporal, pero nunca puede ser espaciotemporal.

[M10] define el lugar geométrico de todos los sucesos de intervalo nulo (ds = 0) 53, que es invariante por su ligadura con el invariante universal c, establecida entre sucesos cercanos y lejanos con independencia del observador. Esta característica de la geometría espacio-temporal plana está representada en el cono de luz del futuro, proyectado a lo largo del semieje positivo del tiempo, y el cono de luz del pasado, prolongación del anterior a lo largo del semieje negativo. En el exterior de los dos conos de luz no existen campos observables54, y por tanto campos que permitan la experimentación empírica y que avalen resultados contrastables de cualquier paradigma científico. De este modo, el campo observable queda reducido al interior limitado por la superficie cónica, que está definida por el ángulo formado por la generatriz del cono y el propio eje del tiempo 55.

Como (dx2 + dy2 + dz2)1/2 = cdt , dicho ángulo mide π/4.

Antes de la relatividad especial, tenía sentido hablar de un pasado y un futuro común, ya que el tiempo era absoluto y universal para cualquier lugar del Cosmos. Pero después de la teoría de Einstein, para cada observador hay un pasado, un presente y un futuro delimitados por los conos de luz de la Figura M4. El vértice común de los dos conos delimita el pasado y el futuro del observador. Como nadie puede superar la velocidad de la luz, la única forma de llegar al presente desde el pasado es moviéndose en el recinto limitado por el cono inferior. Y la única trayectoria de llegada a un punto del futuro es desplazándose dentro del recinto acotado por el cono superior. Así pues, sólo caben cinco relaciones entre sucesos dentro del esquema de la Figura M4, siempre suponiendo uno fijo como referencia en el vértice común de los dos conos:

51

Figura tomada de https://commons.wikimedia.org/wiki.

Desde aquí se vuelve a recuperar la numeración correlativa de la serie [M].

53 Las llamadas geodésicas nulas (ds = 0), también conocidas como horizonte de visión o cono de luz.

54 Es inadmisible para cualquier teoría tratar con elementos que no puedan nunca ser observados.

55 Recordemos que el desfase angular está asociado a la naturaleza imaginaria del eje del tiempo.

52

18



Suceso situado por debajo del cono inferior → Pasado: sucesos separados por un intervalo temporal.  Suceso situado sobre el cono inferior → Pasado: intervalo nulo entre sucesos.  Suceso situado entre el cono inferior y superior → Ni pasado ni futuro: sucesos separados por intervalos espaciales.  Suceso situado sobre el cono superior → Futuro: intervalo nulo entre sucesos.  Suceso situado por encima del cono superior → Futuro: sucesos separados por un intervalo temporal.

Se supone ahora que la velocidad relativa entre dos observadores es v, y que se mantiene el eje x común y dos ejes cinético-temporales, ct y ct’, pertenecientes a dos sistemas de referencia diferentes, S (x, ct) y S’(x', ct')56, según la Figura M557

Figura M5 Si la velocidad relativa entre los dos observadores es v = 0,4c y el primer observador se mueve la distancia x1 = 1 en un intervalo cinético temporal t1c = c, el observador segundo, para recorrer la misma distancia x2 = 1 necesitará un intervalo cinético temporal ct2 = cx2/v = 2.5c. Si el primer observador se desplaza una distancia x’1 = 2 en un intervalo cinético temporal t’1c = c, el segundo observador empleará en la misma distancia x’2 = 2 un intervalo ct’2 = cx’2/v = 5c. De acuerdo con estos cálculos, para Δx1 = (x’1 – x1) = 1 → Δx2 = (x’2 – x2) = 1 y para Δct1 = (ct’1 – ct1) = 0 → Δct2 = (ct’2 – ct2) = 2,5 c Por tanto, los puntos del eje de ordenadas ct' del sistema de referencia S’ estarán alineados en la recta azul de la Figura M558. Cuando la velocidad relativa de los dos observadores v disminuya Δct2, aumentará para la misma Δx2, es decir la línea azul ct’ se aproximará al eje vertical ct, y viceversa, cuando v aumente, la línea azul se alejará del eje ct. En el límite, el eje ct y la línea ct' coincidirán cuando v = 0, y para v = c, el eje de ordenadas de S’ coincidirá con la bisectriz del primer cuadrante del plano cartesiano x-ct (recta amarilla59 de la Figura M5).

La recta amarilla de la Figura M5 es la prueba de verificación geométrica de la constancia de c que marca la barrera del límite v ≤ c. El espacio abarcado entre el semieje ct y la línea amarilla limita por tanto el campo observable de existencia de los fenómenos físicos dentro del primer cuadrante, que se corresponde con el campo observable definido por el cono de luz de la Figura M4.

56

Los orígenes de S y S’ en nuestro esquema los hacemos coincidir en uno solo por simplificar, Figura tomadas de http://2.bolgspot.com.

58 De nuevo surge el desfase angular asociado a la componente imaginaria del eje del tiempo. En la Figura M5, el desfase es el ángulo formado entre los semiejes ct y ct'.

59 En su viaje ilusorio subido en un rayo de luz, Einstein seguiría la dirección de la recta amarilla de M5.

57

19

¿Cómo perciben ahora dos observadores 1 y 2 el seguimiento de la trayectoria de un rayo de luz? El observador 1 que se mueve se halla en el sistema de referencia S’ (x’ct’). El rayo de luz proyectado desde el punto E (x’ = 0, ct’ = -a), alcanza el punto P (x’ = a, ct´= 0), donde un espejo lo refleja hacia R (x’ = 0, ct’ = a). Es obvio que la trayectoria EP seguida por el rayo de luz en la Figura M660 es paralela a la bisectriz del primer cuadrante, y la trayectoria PR, paralela a la bisectriz del tercer cuadrante.

Figura M6 Por otro lado, dentro del sistema de referencia S (x-ct), el observador estacionario 2 ve la trayectoria del rayo de luz según la Figura M7. Partiendo del mismo punto E (x’ = 0, ct’ = -a), la trayectoria EP es paralela a la bisectriz del primer cuadrante del sistema de referencia S; el punto de llegada del rayo reflejado es R (x’ = 0, ct’ = a). Trazando desde R la paralela a la bisectriz del tercer cuadrante del sistema S, P está en el punto de corte de las dos bisectrices amarillas de la Figura M7. La línea de puntos azul que une el origen común de los sistemas S y S’ con el punto P marca la dirección del eje X’, que forma un ángulo con el semieje X igual al que forman los semiejes ct y ct’.

Figura M7 Entre los dos observadores que siguen la trayectoria del rayo de luz, para el observador 1, que se mueve en el sistema de referencia S’, los puntos E y R se mantienen en la misma ordenada ct’ = 0 de la Figura M6, lo que significa que los percibe simultáneamente. Por el contrario, el observador estacionario 2 del sistema S percibe E y R como eventos sucesivos separados por un lapso Δct de la Figura M7. En este último

60

Las Figura M6 y M7 han sido tomadas de http://2.bp.bolgspot.com.

20

caso existe una dilatación temporal61, que se corresponde con una contracción Δx, mientras que Δx’ se mantiene constante a lo largo del experimento.

Dilatación del tiempo y contracción del espacio De la constancia de la velocidad de la luz establecida en el segundo postulado de la relatividad especial se desprenden dos consecuencias verificables recurriendo a las transformaciones de Lorentz: la contracción del espacio y la dilación del tiempo. Ambas magnitudes, espacio y tiempo, varían en función de la velocidad. Así por ejemplo, un observador situado dentro de un sistema de referencia en movimiento S' experimenta una reducción espacial y un retraso en su reloj respecto a otro observador dentro de un sistema S en reposo, o cuya velocidad relativa es inferior a la del primero. Por tanto, las distancias se acortarán y los días serán más largos dentro de S que en S'.

Cuatro ejemplos clásicos de contracciones espaciales y dilataciones temporales A continuación, se presentan cuatro experimentos donde se manifiestan contracciones espaciales y dilaciones temporales: a) Vida de los muones producidos por los rayos cósmicos En el célebre experimento realizado por David Frisch y James Smith en 1963 se midió el número de muones62 que llegaba a la Tierra. Se trataba de registrar datos a distintas alturas, y en las mediciones Frisch y Smith detectaron que la intensidad de muones/hora medidos a nivel del mar fue muy inferior a la esperada. El cálculo había previsto 412 muones/hora en la cota más baja de medida y contaron sólo 27. En el balance descontaron de los 568 muones/hora registrados en la cota más alta del experimento, la cima del monte Washington, los perdidos por desintegración hasta el nivel del mar63.

La anomalía que reveló el experimento de Frisch y Smith no podía explicarse por qué la velocidad de los muones que llegaban a tocar tierra antes de desintegrarse era superior a la supuesta en principio. La explicación definitiva se encontró en la dilatación del tiempo prevista por la relatividad especial, equivalente a la ecuación [M2] de Lorentz:

v = 0.9978c y t = 2∙10-6 s son valores típicos de un muón, a los que corresponde el recorrido x = 0.9978∙3∙108∙2∙10-6m ≈ 600 m.

La dilación temporal t' calculada sustituyendo estos valores en la ecuación anterior es:

t' = 30 µs es el tiempo empleado en atravesar la superficie terrestre para un observador moviéndose con los muones. En el cálculo del recorrido, t' es el tiempo de referencia, en 61

Establecida la velocidad de la luz c constante, en lo sucesivo nos referiremos a componentes y variaciones temporales en lugar de cinético temporales.

62 El muón es una partícula inestable, generada por la interacción de los rayos cósmicos con la atmósfera, que viaja a velocidad cercana a la luz, de carga negativa como el electrón, pero cerca de 200 veces más pesada. Fue detectada en 1936 por el premio Nobel Carl Anderson mientras estudiaba los rayos cósmicos.

63 El balance había tomado como vida media del muón, es decir el tiempo que tardaba en desintegrarse la mitad de las partículas iniciales, 2 microsegundos.

21

lugar de los 2 µs para un observador en reposo. La dilatación del tiempo prevista por la relatividad especial es entonces el recorrido calculado para 30 µs en lugar de 2 µs, es decir, x' = 0,99780.9978∙3∙108∙30∙10-6m ≈ 9.000 m >> x = 600 m.

En los 600 m no calculados en el experimento se habían perdido 385 muones, diferencia entre 412 previstos y 37 registrados. b) Paradoja de los dos gemelos Paul Langevin, organizador del histórico congreso de Solvay, expuso el ejercicio mental siguiente: un astronauta inicia un largo viaje en una nave espacial a velocidad próxima a la de la luz, mientras que su hermano gemelo permanece en la Tierra. Al final del viaje, los dos gemelos se vuelven a encontrar, pero uno de ellos apenas reconoce al otro.

De acuerdo con la relatividad especial, el astronauta regresa más joven que el gemelo terrestre. La causa es que el tiempo en la nave espacial transcurre más lento que en la Tierra. Las transformaciones de Lorentz explican esa dilatación del tiempo.

La paradoja surge cuando se plantea el movimiento desde la perspectiva del gemelo viajero, que ve alejarse al gemelo de la Tierra. El primero espera que su hermano en la Tierra envejezca menos, por moverse respecto a la nave espacial a velocidad cercana a la luz. Sin duda, la singularidad no consiste en que un gemelo envejezca más que el otro, sino en que cada hermano concluye que es el otro el que envejecería menos.

La paradoja planteada por Langevin la resolvió el experimento de Hafele-Keating, que puso a prueba la dilatación temporal pronosticada por la relatividad especial. El ensayo consistía en subir a dos aviones sendos relojes atómicos y comparar sus lecturas con otro reloj idéntico situado en la Tierra y sincronizado con los dos primeros al inicio de los vuelos. Un avión despegó con rumbo Este, siguiendo la dirección de la rotación de la Tierra; el otro avión siguió la dirección opuesta, hacia el Oeste. Después de un largo viaje de 40 horas, los dos aviones aterrizaron en el mismo punto de salida, y al comparar sus relojes atómicos con el de la Tierra ya no estaban sincronizados. El reloj del avión con rumbo hacia el Este registraba menos tiempo que el correspondiente a bordo del avión con rumbo hacia el Oeste. Por lo tanto, el primer avión había invertido menos tiempo que el segundo en el recorrido, lo que equivalía a mayor velocidad aparente, o a un retraso aparente respecto a los otros dos relojes, del avión con rumbo al Este. Publicados en la revista Science64, los resultados fueron los siguientes: Rumbo del avión Este Oeste

Nanosegundos previstos ganados Relatividad Relatividad Total Nanosegundos general especial medidos ganados +144±14 -184±18 -40±23 -59±10 +179±18 +96±10 +275±21 +273±7

Diferencia 0,76σ 0,09 σ

c) Trayectoria de un rayo de luz proyectado en un vagón de tren El ejemplo típico que explica la falta de sentido de la simultaneidad absoluta es la emisión sincronizada de dos rayos de luz desde dos linternas colocadas en los extremos de un vagón de tren en movimiento usando relojes sincronizados. Un observador estático, dentro el sistema de referencia S, con el eje X próximo a las vías del ferrocarril 64

La tabla se corresponde con la publicada en el artículo de Science e incluye el tiempo ganado previsto por la relatividad general. Hafele J.C, and Keating R.E. (1972) Around the world atomic clocks: predicted relativistic time gains, Science 177 (4044): 166-168.

22

y paralelo a ellas y cuyo origen coincide con el punto medio del vagón en el momento de la emisión de luz, advertirá la emisión de los dos rayos al mismo tiempo desde los dos extremos del vagón. Concluirá por tanto que los dos destellos son simultáneos.

Otro observador dentro del sistema de referencia S’, cuyo eje X' es el eje longitudinal del vagón en movimiento, advertirá primero la emisión de un rayo de luz seguida de la emisión del segundo. Concluirá que las dos emisiones no son simultáneas. Si los rayos de luz se proyectan en el techo del vagón y se reflejan en un espejo, el observador en el origen de S', que viaja dentro del vagón, percibirá que el rayo reflejado regresa al punto de partida; el observador colocado al lado de las vías, sobre el origen de S, percibirá que el punto de partida del rayo y el de llegada, una vez reflejado, son diferentes.

En la Figura M8, E1 y E2 son los puntos de emisión del rayo de luz y el de retorno, una vez reflejado por el espejo. Ambos se encuentran en la abscisa x’ = 0, pero en ordenadas diferentes. Para el observador móvil, ubicado en el sistema de referencia S’, es decir en el interior del vagón, la emisión y la reflexión del rayo ocurrirán en el mismo lugar transcurrido un lapso temporal entre ambos. Sin embargo, desde el sistema de referencia S, ocupado por el observador estacionario cercano a las vías de tren, el lapso temporal se percibirá menor que desde S’ (Δct < Δct’), y también los sucesos de emisión y reflexión del rayo de luz ocurrirán en emplazamientos diferentes (x1 < x2).

Figura M8 La Figura M965 demuestra la pertinencia del concepto de simultaneidad relativa.

Figura M9 En dicha Figura se representan tres casos generales:

65

Las Figura M8 y M9 han sido tomadas de http://1.bp.bolgspot.com.

23

1. Dos eventos A y B simultáneos, t1 = t2, en dos lugares distintos, x1 ≠ x2, en el sistema de referencia S; los mismos eventos ocurren en tiempos diferentes, t’1 ≠ t’2, y en lugares distintos, x’1 ≠ x’2, en el sistema de referencia de S’. Por tanto A y B suceden de modo simultáneo dentro de S, pero no dentro de S’.

2. Dos eventos C y D, simultáneos, t’3 = t’4, en el sistema de referencia S’, suceden en lugares distintos, x’3 ≠ x’4; los mismos eventos ocurren en tiempos diferentes, t3 ≠ t4, y en lugares diferentes, x3 ≠ x4, en el sistema de referencia S. 3. Finalmente, los eventos E y F no son simultáneos ni dentro de S ni de S’. d) Dilatación temporal y contracción espacial en el planeta Mercurio Un observador situado en un planeta influido por la fuerza gravitacional del Sol, mayor que la soportada en la Tierra, verá pasar el tiempo de manera ligeramente más lenta que en nuestro planeta. Desde la Tierra, la medida del tiempo empleado en una vuelta completa del planeta Mercurio por ejemplo, resultará superior que la obtenida por un observador emplazado en Mercurio. Por lo tanto, cualquier velocidad observada desde el planeta más próximo al Sol será menor que la observada desde la Tierra. Esta diferencia de velocidades equivale a una dilatación temporal relativa en Mercurio.

Otra forma de enfocar el experimento es comparar los recorridos de la órbita. Cuando se haya finalizado una órbita completa de Mercurio desde la Tierra no se habrá completado para el observador de Mercurio, lo que significa que el recorrido en el espacio ha resultado menor al esperado (la vuelta completa) en esta segunda observación. La prueba empírica finalizará para el observador de la Tierra completada la vuelta, pero desde Mercurio se computará menos de una vuelta, es decir desde la Tierra se observará girar a Mercurio más deprisa. La discrepancia entre las dos observaciones es causada por la contracción espacial originada por la mayor velocidad relativa de Mercurio respecto a la Tierra, causada su vez por la mayor fuerza gravitacional en las proximidades del Sol. Del espacio curvo de Riemann al espacio-tiempo curvo de Minkowski A mediados del siglo XIX, el genial matemático Bernhard Riemann había elaborado la geometría del espacio curvo66 gracias a la cual, dijo Einstein, el espacio se libraba de su rigidez y conseguía participar en los sucesos físicos no como un simple testigo "de grandes masas que luchan por curvar el movimiento de otras masas. El espacio-tiempo guía la batalla y él mismo participa"67.

En esta nueva geometría se basó Minkowski para desarrollar el espacio-tiempo de dimensión múltiple, caracterizado por su irregularidad en las distancias pequeñas y su uniformidad en las distancias ordinarias.

Einstein dio el paso definitivo asociando el espacio-tiempo de Minkowski al espacio curvo de Riemann. Para ello precisaba de una forma cuadrática definida en cualquier punto de una curva que funcionara como la ecuación [M9] del espacio-tiempo plano.

La ecuación buscada por Einstein para el tratamiento matemático de la relatividad general es de la forma cuadrática [A5.14] del Anexo 5 Operadores. Formas métrica y cuadrática de un tensor. Covariante y contravariante de Lorentz. Sus componentes gmn

66

La geometría de Riemann partió de la de Gauss y Lobachevsky. Satisfacía todos los axiomas y postulados de la geometría euclídea excepto el postulado de las líneas paralelas.

67 Wheeler, J.A. (1990) op. cit, pág. 3.

24

son las coordenadas de un tensor68 que establece la métrica universal que se verifica para las coordenadas generales xm y xn de un espacio-tiempo curvo de dimensión mn.

[A5.14]69 gmn es el mecanismo para medir intervalos a través de [A5.14], que expresa que el cuadrado de la diferencia del intervalo de la posición del vector dxm es un invariante. De su signo siempre positivo se deduce la existencia de un plano tangente en cada punto del espacio-tiempo curvo. El plano tangente garantiza la constancia de las medidas en todo sistema de referencia, lo que matemáticamente equivale a que la derivada covariante de la métrica es cero. gmn (x) = 0 [A5.15] [A5.15] mantiene íntegramente la capacidad de medida de la geometría euclidiana: longitud de una curva, área de una superficie, ángulo formado entre dos curvas y radio de curvatura en cualquier punto.

El tensor de componentes gmn define el espacio-tiempo curvo de Minkowski, de modo que permite la medida a lo largo de las líneas ds, tangentes a la superficie curva. El intervalo τ entre dos puntos A y B de una curva dibujada sobre la superficie es:

una vez sustituida ds de [A5,14].

Covariante y contravariante de Lorentz70 En el tratamiento de magnitudes más complejas que los escalares, como los vectores y tensores, se necesita utilizar un aparato matemático complejo. Concretamente, hay que recurrir al uso de los tensores covariante y contravariante de Lorentz, que son métricas elementales vectoriales que garantizan que las ecuaciones no cambian de forma a pesar de que se produzcan cambios de coordenadas en los distintos marcos de referencia.

Como se ha repetido más arriba, la función esencial de la métrica es mantener el objetivo de que dos observadores, instalados en los marcos de referencia S y S´, tengan la seguridad absoluta de que las medidas de sus experimentos son comparables y de que las ecuaciones que manejan definen las mismas propiedades físicas de modo idéntico.

Esta finalidad se cumple cuando las coordenadas de S´ versus S se relacionan a través de la ecuación [A5.5] del Anexo 5.

[A5.5] [A5.5] es la transformación contravariante de un tensor de marco de referencia x y de dimensión rs, en un tensor de referencia y y de dimensión mn. Recíprocamente, las coordenadas de S versus S´ se combinan a través de la ecuación [A5.6].

[A5.6] [A5.6] es la transformación covariante del mismo tensor Tmn (y), inversa de la [A5.5].

68

El tensor es un operador que define relaciones lineales entre vectores, escalares y otros tensores. En la ingeniería, de donde proviene, es aplicado para calcular la tensión mecánica en un punto material sobre una superficie continua. De ahí su nombre. Einstein utilizó operadores multidimensionales complejos para universalizar los cálculos en todo espacio-tiempo curvo. Los Anexos 5, Operadores. Formas métrica y cuadrática de un tensor. Covariante y contravariante de Lorentz, 6, Tensor Ricci y curvatura y 7 Ecuaciones de campo de Einstein, presentan definiciones y aplicaciones con tensores, imprescindibles para el desarrollo de la teoría general de la relatividad.

69 Aquí se vuelve a interrumpir la numeración correlativa de ecuaciones [M].

70 En el Anexo 5 se han desarrollado amplia y detalladamente las dos transformaciones de Lorentz en sendos marcos de referencia.

25

Para el cálculo práctico, las transformaciones contravariante [A5.5] y covariante [A5.6] pueden presentarse en forma matricial. Las componentes gmn de [A5.14], válidas para cualquier sistema de referencia, son:

Su inversa es:

Las transformaciones de coordenadas entre los sistemas de referencia S y S' están dadas por el tensor covariante de Lorentz. En su forma matricial, equivalente a la ecuación [A5,6], viene dado por Λ:

m' indica la fila y n la columna del sistema S' y γ está definida por:

v es la velocidad de desplazamiento lineal.

La transformación de gmn del sistema S a S' a través del tensor covariante de Lorentz en su forma matricial Λ es: De modo recíproco, los elementos contravariantes se transforman de acuerdo con la siguiente relación: Finalmente, para cambiar de coordenadas entre los sistemas de referencia S y S', se opera del siguiente modo:

La geometría de Riemann ofrece enormes ventajas por su carácter global. Incluye los tres tipos de geometría que cumplen con la isotropía y homogeneidad espaciales exigidas por los postulados de simetría espaciotemporal: euclídea, hiperbólica y elíptica.

Pero la utilidad más importante que brinda es como punto de partida para desarrollar la geometría del espacio-tiempo curvo. Así lo hicieron Einstein y Grossmann, quienes asociaron por primera vez la fuerza gravitacional con la curvatura71. .

La gravedad como curvatura del espacio-tiempo El concepto de gravitación como curvatura espaciotemporal cerró el período transitorio abierto en 1905 por la teoría de la relatividad especial. La presentación en la Academia 71

Einstein, A, & Grossmann, M (1913) Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62: 225-265.

26

Prusiana de Ciencias de las ecuaciones de la relatividad general cerró una etapa de diez años en la cual la Física funcionó en stand by, a la espera de reemplazar por completo el paradigma de Newton. En 1915, la noción de curvatura espaciotemporal sobre la que Einstein construyó la teoría de la relatividad general sustituyó el espacio-tiempo plano.

Como se ha dicho más arriba, la conservación de la velocidad de la luz provocó en la mecánica clásica el cambio de invariante de la fuerza por el momento lineal. Para el electromagnetismo, la constancia de c representó la conservación de sus leyes con carácter universal. Pero hasta 1915, se seguían manteniendo las dudas sobre la ley de gravitación universal de Newton, enunciada de acuerdo con la ecuación: [M11]72 F es la fuerza que actúa entre dos masas m1 y m2 separadas por r. De acuerdo con el segundo principio de Newton, F causa una aceleración sobre la masa m2. Pero [M11] no funciona para la masa del fotón m2 = 0. Puede reformularse así: [M12] La aceleración a depende del cociente entre las masas gravitacional m2 e inercial mi73.

[M12] encubre una anomalía que contradice todos los resultados empíricos. Su lectura dice que la aceleración de caída depende de la naturaleza de la masa, es decir que una bola de plomo acelera de forma diferente a una bola de paja. Esta incoherencia sólo se resuelve si m2 = mi, igualdad que confirma el principio de equivalencia débil, que identifica la masa inerte o pasiva y la masa gravitacional o activa (véase Cuadro adjunto).

Si un ascensor sube a velocidad uniforme, con una masa inerte mi situada en la cota z', en el instante que ha recorrido L (t), las ecuaciones del movimiento serán: z' = z - L(t) = z - vt; .

La fuerza a la que está sometida una masa mi dentro del ascensor es z

z'

L(t) x

En caída libre con aceleración de la gravedad g, la ecuación del movimiento es: z' = z - L(t) = z - 1/2g t2; Como , la fuerza que sufre la masa m2 resulta entonces: → m2 = mi Esta masa m es la masa gravitacional.

Haciendo m2 = mi en [M12], la aceleración resulta:

72

Desde aquí se vuelve a recuperar la numeración correlativa de la serie [M].

En el concepto de masa inercial se empieza abrir la brecha entre Newton y Einstein: para el primero, la inercia es la invariancia de movimiento de los cuerpos; para el segundo, la interacción entre los cuerpos.

73

27

El propio Newton experimentó la medida del período de un péndulo construido con diferentes materiales y encontró que dicha magnitud dependía únicamente de su longitud y de la aceleración de la gravedad, siempre suponiendo que m2 = mi.

El cambio radical que el espacio-tiempo curvo de Minkowski provocó en la ley de gravitación se puede resumir en la siguiente idea: la materia está hecha de movimiento, que es la base del espacio-tiempo. En el espacio-tiempo hay presencia de partículas de diferente tamaño. El fotón, por ejemplo, genera una onda electromagnética de pulsación ɷ, que mueve el propio espacio-tiempo a la vez que lo genera74, y el mismo movimiento forma un punto de vacío dinámico semejante a un agujero negro infinitesimal75.

La enorme gama de partículas presentes en el espacio-tiempo está caracterizada por su pulsación ɷ, que determina las diversas escalas espaciotemporales existentes en el Universo. Pero a su vez, cada escala está fijada por su densidad, de la que depende la correspondencia relativa del espacio y el tiempo con c. Así pues, a cada partícula le pertenece una ɷ y una densidad diferentes, así como una forma distinta de medir el espacio-tiempo. La medición depende del tamaño y pulsación de la partícula que genera la escala (estrella, agujero negro, átomo, etc.). También depende de la densidad espaciotemporal, que varía sensiblemente entre el núcleo de un planeta y su superficie.

Dos ejemplos pueden aclarar cómo se corresponden el espacio y el tiempo y cómo evoluciona la densidad espacio-tiempo para mantener la correspondencia:  Una nave acelerada aumenta su tamaño, ya que la dilatación espacial provocada por la aceleración causa una disminución de la densidad temporal, es decir el reloj de la nave anda más lento.  Un agujero negro generado por "dos masas enormes que chocan entre sí colapsa el espacio en [su] interior", y su extrema densidad detiene la luz y pone fin al tiempo76.

Recientes verificaciones del principio de equivalencia débil Las últimas verificaciones de la equivalencia entre la masa inercial y gravitacional se han realizado mediante observaciones en nuestro propio sistema solar. Periódicamente, un grupo de astrónomos de Nuevo México ha lanzado pulsos de luz desde una potente fuente de láser hacia los reflectores instalado en la Luna desde 1969 por las misiones Apolo 11, 14 y 15, así como por un par de misiones rusas. El objetivo era comprobar si había anomalías orbitales por diferencias en la aceleración entre la Tierra y la Luna respecto al Sol. En concreto, la serie de experimentos trataba de hallar si la teoría de una quinta fuerza de la naturaleza77 de origen gravitacional rompía el principio de equivalencia débil. Las mediciones han resultado lo bastante exactas para confirmar la igualdad entre la masa gravitacional e inercial, con una precisión de 10-13. Hasta la fecha, no ha habido indicación alguna de que la energía gravitacional contribuye a la masa gravitacional y no a la inercial y, por tanto, no existe diferencia entre la aceleración de la Tierra y la Luna relacionada con el Sol.

74

Einstein decía que la luz era una oscilación autosuficiente de los campos eléctrico y magnético.

La existencia de agujeros negros en el espacio-tiempo presenta el problema de su discontinuidad, lo que rompe el postulado de simetría de la homogeneidad.

75

76

Wheeler, J.A. (1990) op. cit., pág. 3.

77

Nuevas teorías sobre la gravedad apuntaban a que el principio de equivalencia debía romperse. La existencia de una quinta fuerza, opuesta a la gravedad y que sólo actuaba a distancias cortas, se basaba en la falta de precisión de las mediciones, pero todos los experimentos han confirmado hasta la fecha que la masa gravitacional e inercial son equivalentes.

28

La materia le dice al espacio como curvarse, el espacio le dice a la materia como moverse John Archibald Wheeler, físico teórico estadunidense pionero de la fisión nuclear78 4. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL La relatividad general rompió el statu quo mantenido por la relatividad especial con la ley de gravitación de Newton. Su aparición supuso un cambio radical del principio de equivalencia, que saltó de la exégesis de equivalencia débil a equivalencia fuerte.

Hasta 1905, el espacio-tiempo plano había sido suficiente para explicar la relatividad especial; la aceptación de Einstein del espacio-tiempo curvo se produjo entre 1908 y 1915. A parir de esta fecha, el principio de equivalencia fuerte prevaleció, y sobre una profunda semejanza entre la fuerza de gravitación y la curvatura del espacio-tiempo se asentó la nueva geometría de la relatividad general. Wheeler79 explicó el proceso de cómo el efecto a distancia de la gravedad proporcionaba una curvatura local: "la masa allí curva el espacio-tiempo local allí. Este espacio-tiempo lejano fuerza una curvatura ligeramente menor en el espacio-tiempo local de sus alrededores -incluso aunque este espacio no contenga masas. Esta curvatura, todavía lejana, proporciona una curvatura -todavía menor- al espacio local más alejado aún de la masa. Y así sucesivamente a lo largo de todo el camino hasta aquí".

El concepto de equivalencia fuerte acabaría afianzando la teoría de la relatividad general, cuya noción de gravedad ya no sería expresada como la interacción de cuerpos a través de una ley de fuerzas, sino como un efecto directo de la curvatura espaciotiempo. Esta idea culminó en el pensamiento original de que las órdenes principales del movimiento de los objetos partían del propio espacio-tiempo y de nadie más.

La nueva interpretación de la relatividad general zanjaba la anomalía no resuelta por el paradigma newtoniano de la desviación de la luz producida por la gravitación.

Empíricamente, el efecto de la gravedad sobre la luz emitida desde el Sol se probó por el descenso de la frecuencia de la energía radiante procedente de nuestro astro. La bajada de frecuencia se comprobó por el desplazamiento relativo de la luz solar al rojo80 respecto a la surgida del espacio interestelar. Así pues, la prueba empírica concluyente de la curvatura de la luz proyectada por el Sol fue el desplazamiento de su frecuencia hacia el rojo, fenómeno concluyente que ponía de manifiesto la validez del paradigma de la relatividad general.

La otra anomalía resuelta por el nuevo paradigma fue el desajuste en el cálculo del perihelio de Mercurio. Aunque Newton predijo que su órbita era una elipse no cerrada81, las ecuaciones del movimiento del planeta más cercano al Sol partieron de la tercera ley de Kepler, que formulaba la constancia entre el cuadrado del periodo de revolución de la órbita y el cubo del semieje mayor de la elipse. Obviamente, La ley no recogía la incidencia de la curvatura del espacio, lo que ocasionaba una anomalía en el cálculo de

78

Wheeler, J.A., and Kenneth, F. (2000) , W.W. Norton & Company, p. 235.

79 Wheeler, J.A. (1990) Op. cit., pág. 75.

80 El desplazamiento de la luz solar al rojo se demostró empíricamente por Pound y Rebka en 1960 y por el satélite artificial de la NASA, Gravity Prove B, lanzado al espacio en 2004, cuyos giroscopios de alta precisión que transportaba midieron las distorsiones gravitacionales causadas por la Tierra.

81 La órbita del planeta Mercurio no es una elipse cerrada. En cada órbita del planeta va rotando, de modo que el punto más cercano al Sol (perihelio) se desplaza un ángulo en el movimiento de precesión.

29

la precesión del perihelio de Mercurio. Ya en la Introducción de su trabajo82, Einstein presumía de una de las pruebas más valoradas para la validez de su teoría de la relatividad general: la capacidad para estimar correctamente la precesión del perihelio de Mercurio. En efecto, aplicando las ecuaciones de la relatividad general se obtenía el valor de rotación del perihelio de 43ʺ de ángulo por siglo83, equivalente a más de 300.000 años para que el perihelio completara una vuelta completa.

Ecuaciones de campo de Einstein El conjunto de ecuaciones con las que Einstein formalizó la teoría de la relatividad general tuvieron que satisfacer los siguientes requisitos:  Pasar las pruebas experimentales.  Reducir la teoría de la gravedad de Newton para el caso particular de campos gravitacionales débiles y bajas velocidades.  Mantenerse universal para cualquier sistema de referencia.  Resultar consistente con la conservación del momento de energía.

La gravedad es la curvatura del espacio-tiempo local, de acuerdo con la relatividad general; la gravedad es la acción a distancia de una fuerza, según Newton. Ambas percepciones son complementarias. Las ecuaciones de campo de Einstein intentan relacionar estos dos conceptos, fuerza y curvatura, de modo que la fuerza sea la manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Se expresan a través del formalismo tensorial. La razón de utilizar un aparato matemático tan incómodo es que el manejo de la curvatura de un espacio cuatridimensional es harto complicado. Por ejemplo, en un movimiento orbital alrededor de la Tierra, el campo gravitatorio causado por la curvatura espaciotemporal se manifiesta a través de aceleraciones en distinta dirección.

Estos efectos complejos precisan de operadores complejos.

Los Anexos 5 Operadores. Formas métrica y cuadrática de un tensor. Covariante y contravariante de Lorentz, 6 Tensor Ricci y curvatura, y 7 Ecuaciones de campo de Einstein, presentan, con todo detalle, la formalización conceptual y matemática hasta llegar finalmente a la ecuación del campo de Einstein [A7.14] no lineal del Anexo 7.

[A7.14]84 El primer miembro de [A7.14] se refiere a la curvatura del espacio-tiempo; el segundo, a la masa y energía; µ y ʋ son las dimensiones del espacio tiempo; Rµʋ, la curvatura tensor de Ricci; gµʋ, la métrica del tensor; R, el escalar de la curvatura; Λ, la constante cosmológica y Tµʋ, el tensor de fuerza-energía-momento.

[A7.14] expresa, leída de izquierda a derecha, el control del espacio-tiempo (primer miembro de la ecuación) sobre el movimiento (segundo miembro de la ecuación). Pero también describe, leída de derecha a izquierda, que la materia y la energía (segundo miembro de la ecuación) curva el espacio-tiempo (primer miembro de la ecuación).

La constante cosmológica Λ fue introducida por Einstein para compensar el efecto del espacio cosmológico. Su inserción modificó la ecuación original para un universo estático, que tenía sólo dos sumandos en el primer miembro. Einstein añadió el tercer sumando para poner de manifiesto la aceleración cósmica. En 1929, Hubble descubrió experimentalmente la expansión del universo por el desplazamiento al rojo de galaxias 82

Einstein, A. (1917). Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie. Sitzung der physikalisch-matdmatischen Klasse vom 8: 142-157.

83 La incidencia sobre el cálculo de los orbitales es mínima para nuestro sistema solar. Los 43" de ángulo por siglo de desplazamiento del perihelio de Mercurio calculados por Einstein resultan prácticamente la diferencia entre las mediciones experimentales y el cálculo obtenido a partir de las ecuaciones de Newton.

84 Aquí se vuelve a interrumpir la numeración correlativa de ecuaciones [M].

30

externas; despareció entonces la necesidad de Λ. Sin embargo, en los últimos años se observó que la aceleración del universo crecía y algunos físicos resucitaron la constante cosmológica. Pero la duda de incluir o no el término Λ en [A7.14], que persiguió a Einstein durante buena parte de su vida, ha subsistido en el tiempo. En cualquier caso, la curvatura de Λ es muy pequeña y tiende a cero a media que aumenta el radio observable del Universo85.

Relatividad general y principio de equivalencia fuerte La teoría de la relatividad general representó un cambio radical en el análisis de Einstein, que sustituyó el sistema de referencia de espacio-tiempo inercial plano de la relatividad especial por el espacio-tiempo curvo deformado por la gravedad. Con este cambio, la relatividad general se vinculó a los sistemas de referencia más universales, que admitían toda clase de movimientos: producidos por aceleraciones causadas por variaciones del módulo, o de la dirección de la velocidad del objeto observado, o de la propia rotación del sistema de referencia.

Desde este nuevo esquema, un observador que caía en un campo gravitatorio era idéntico a un observador fuera de la gravedad. El propio Einstein declaró que la mejor idea de su vida fue que en un campo gravitatorio las cosas se comportaban del mismo modo que en un espacio libre de gravedad86. Veía la flotación como el estado natural del movimiento, desde donde mejor se captaba la sencillez del espacio-tiempo, que parecía tan plano lejos de los planetas, el Sol o la galaxia. Esta intuición de la flotación libre le condujo a la teoría de la relatividad general87 y a enmendar la idea de Newton de que el origen de la gravedad estaba en el centro de la Tierra.

La relatividad general mantiene una relación embrionaria, en su origen, con el principio de equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitacional. Pero su apuesta va más lejos que los clásicos y propone un principio de equivalencia fuerte, muy evolucionado respecto al principio de equivalencia de Newton. De hecho, confirma con más énfasis que los clásicos que la gravedad y la aceleración son la misma cosa, al tiempo que discrepa de las ecuaciones newtonianas definitorias de la fuerza de inercia y la gravitacional. Einstein utiliza la igualdad entre masa inercial y masa gravitacional para ofrecer un enfoque absolutamente original: anuncia que con las mediciones realizadas dentro de cualquier sistema de referencia el observador no puede distinguir si está bajo la acción de un campo gravitatorio o de una aceleración uniforme generada por otra fuerza. Este trascendental enunciado se conoce como principio de equivalencia fuerte y es la base para la descripción de la gravedad como curvatura en el espacio-tiempo.

El acervo empírico de la igualdad entre la masa inercial y la masa gravitacional es nutrido. Siglos de observación astronómica y experimentos de la física elemental y prácticas básicas de la vida cotidiana ofrecen un continuo de confirmaciones del principio de equivalencia. Un astronauta flotando dentro de una estación espacial o dentro de una nave, o aterrizando con la misma aceleración que la nave sin chocar contra el suelo o las paredes, es prueba indudable de la igualdad de su masa inercial y su masa gravitacional. En todos los casos del ejemplo, el astronauta y la estación espacial

85

Interpretada como densidad, Λ no puede ser mayor de dos o tres veces la densidad media actual de nuestro universo ≈ 10-27 kg/m3. Dato obtenido de Penrose, R. (2014) op. cit., pág. 1353.

86 La idea de Einstein de que en caída libre no se puede detectar ningún efecto de la gravedad del entorno está recogida en Wheeler, J.A. (1990) op. cit,, pág. 12.

87 El nombre de relatividad general sustituyó a la idea primitiva de que la gravitación era en realidad flotación libre. Ibíd. pág. 15.

31

soportan la misma aceleración, a pesar de que la estación y la nave están construidas de materiales distintos del cuerpo del astronauta.

Fuerza gravitacional como expresión de la curvatura del espacio-tiempo El paso añadido a la igualdad de la masa inercia y la masa gravitacional lo da la teoría general de la relatividad, que cambia drásticamente el concepto de gravedad hasta concluir que es un atributo de la geometría del espacio-tiempo. El enfoque de la gravedad como curvatura del espacio-tiempo explica automáticamente dos fenómenos contrastados vía experimental: el efecto de la luz curvada en la proximidad de un campo gravitacional88 y la línea geodésica dibujada por un cuerpo en caída libre.

Entre todas las líneas del espacio que conectan una posición inicial con otra final, la geodésica es el intervalo de longitud mínima. Y entre todas las líneas temporales que conectan un suceso inicial con otro posterior, la geodésica es aquélla para la que el tiempo propio transcurrido89 es máximo. Es también la trayectoria que siguen todos los barcos y aviones en sus desplazamientos por mar y aire y la que traza la materia curva del espacio-tiempo influida por la gravedad, es decir inducida por ondas gravitacionales que se propagan a la velocidad de la luz.

Las trayectorias geodésicas representaban la prueba clara del cambio necesario del principio de equivalencia débil. Einstein exhibió continuas demostraciones ingeniosas a lo largo de su vida que mostraban la profundidad del concepto de equivalencia fuerte: el experimento del ascensor en bajada, donde la pérdida de peso aumentaba con su aceleración hasta el límite de llegar al peso cero si el cable del ascensor se rompía; la imposibilidad de discernir si la parábola trazada por una bola en caída dentro de un ascensor acelerado (más abierta a medida que el ascensor aceleraba) se debía a la gravedad o la propia aceleración del ascensor, etc.

En el experimento imaginado por Einstein de un ascensor en caída libre, un rayo de luz penetraba por un agujero lateral y chocaba con la pared de enfrente en un punto ligeramente superior al de entrada. Un observador situado fuera del ascensor vería una suave curva ascendente; en movimiento uniforme, la trayectoria del rayo sería recta Todas estas demostraciones han consolidado el siguiente principio de equivalencia: Aceleración ≡ Gravedad El principio de equivalencia de la relatividad general se afianzó en la identidad de la aceleración y la gravedad y en la prueba empírica de que ésta deformaba el espaciotiempo. Wheeler tomó las tres unidades físicas implicadas (gravedad, curvatura y espacio-tiempo) y las encajó perfectamente en el nuevo concepto: "La gravedad no es una fuerza física que se transmite a través del espacio y ajena a él. En lugar de eso es una manifestación de la curvatura de esa unión cuadrimensional de espacio y de tiempo que llamamos espacio-tiempo"90.

La manifestación de la curvatura es progresiva y en ella interviene el elemento que afecta y es afectado por la gravedad: la masa. La masa se hace sentir en la curvatura que impone en el espacio-tiempo, pero la curvatura91 a su vez se descubre en el aumento de la inclinación de dos geodésicas cercanas, es decir en su movimiento relativo. Entre dos 88

Para un fotón de masa nula, la fuerza gravitacional calculada según la ecuación [M11] de Newton es cero, lo que deja sin explicación el fenómeno de la curvatura de la luz.

89 Tiempo propio es el tiempo total desde el principio hasta el final a través de todos los segmentos de la geodésica. Transcurre en un sistema de referencia instalado en el mismo centro del fenómeno observado, como si la partícula que se moviera por la geodésica llevara su propio reloj.

90 Wheeler, J.A. (1990) op. cit., pág. XI. 91 La curvatura es positiva cuando las geodésicas cercanas se curvan una hacia a otra; es negativa cuando las dos geodésicas se alejan mutuamente; es cero cuando la velocidad relativa de ambas es nula.

32

geodésicas próximas, el momento y la energía contenidos en un elemento diferencial de espacio-tiempo es nulo, pero la suma de ángulos de curvatura asociadas al elemento diferencial no es ni mucho menos cero. Y esta adición de ángulos es la curvatura o rotación de la dirección del recorrido de una geodésica con relación a otra geodésica cercana y casi paralela92, es decir la gravedad.

Por consiguiente, la clave de la acción de la masa sobre el espacio-tiempo no es la rotación o curvatura, sino el momento de la curvatura tomando como centro de rotación el centro del elemento diferencial espacio-tiempo. Este momento es la resultante de los productos de las curvaturas abiertas entre cada par de geodésicas cercanas por la distancia que mantienen con el centro de rotación. Es decir, es la integral del momento extendida a todo el elemento diferencial espacio-tiempo.

La ecuación [A7.13] del Anexo 7 Ecuaciones de campo de Einstein, que engloba las ecuaciones de campo de Einstein (masa en movimiento, electromagnético y otros campos) expresa que el momento lineal o la cantidad de movimiento es igual a la suma de los momentos de rotación por la constante 8π .

Gμν = 8πGTμν [A7.13] [A7.13] es la imagen más clara lograda de la gravedad. Leída de izquierda a derecha, indica que la masa controla el espacio-tiempo y que el espacio-tiempo curvado con mayor densidad de masa contrae el espacio-tiempo adyacente de menor densidad y lo curva. De este modo, una región de vacío, donde el momento lineal, la energía y el momento de rotación son cero, acaba curvándose por el efecto del espacio-tiempo adyacente curvo. Leída de derecha a izquierda, [A7.13] nos dice que el momento de rotación gobierna el control del espacio-tiempo sobre la masa. De ambas lecturas se desprende por tanto que el control de la masa sobre el espacio-tiempo tiene el contrapeso del control del espacio-tiempo sobre la masa. En resumen, la gravedad funciona a través del doble control de la masa sobre el espacio-tiempo y del espaciotiempo sobre la masa.

La gravedad es una manifestación de la curvatura del entorno, que es proporcional a la masa, pero decae en proporción inversa al cubo de la distancia. Sin embargo, la Luna causa sobre la Tierra el efecto de las mareas alejada de ella cerca de 400.000 kilómetros.

Si el espacio-tiempo no fuera curvo, continúa Wheeler "todo objeto en flotación se movería en línea recta a velocidad uniforme, pero entonces la Tierra y los otros planetas no disfrutarían de la compañía del Sol"93 La trayectoria de la Tierra no es recta ni su movimiento es uniforme alejado del Sol. Muy al contrario, el Sol mantiene a la Tierra en su órbita, aunque es el espacio-tiempo alejado de la Tierra, con poca curvatura entonces, quien actúa sobre ella. Wheeler argumenta que esa es la razón de que la Tierra tarde 365 días en completar su órbita.

Anomalías de las tres leyes de Newton resueltas por el paradigma relativista La revolución conceptual producida por la nueva idea de la gravedad de Einstein alcanzó a los principios de Newton, considerados por el paradigma relativista como leyes particulares que funcionaban solamente para espacios en reposo o de velocidades pequeñas. En las tres leyes de Newton se descubrieron anomalías.

92 93

Wheeler, J.A, (1990) op. cit., pág. 126.

Ibíd., págs. 13 y 14.

33

Ley de inercia La primera ley de Newton, conocida también como ley de inercia, decía que si sobre un cuerpo no actuaba fuerza alguna permanecería indefinidamente a velocidad constante en movimiento rectilíneo. Newton se refería a una masa inerte94, que se resistía a ser puesta en movimiento en estado de reposo, o a cambiar la magnitud o la dirección de su velocidad en el estado de movimiento La teoría relativista redujo el cumplimiento de esta ley al caso concreto de un espacio plano, donde la trayectoria particular de la línea recta coincidía con la trayectoria universal de la geodésica95 en el espacio-tiempo curvo.

Principio fundamental de la dinámica La segunda ley, conocida como principio fundamental de la dinámica, ha terminado englobada por la mecánica relativista. Dadas la masa m y la aceleración a medidas en el sistema inercial de Galileo, Newton definió la fuerza como . Einstein la sustituyó por la ecuación [M13], donde v es la velocidad y m0, la masa en reposo.

[M13]96 A [M13] se llega partiendo de la igualdad adjunto.

,

y operando según el Cuadro

El principio fundamental de la dinámica newtoniano parte de la ecuación , cuyo primer miembro es el impulso y el segundo la cantidad de movimiento.

Al derivar ambos miembros respecto a t, se llega al principio fundamental de la dinámica , donde la masa m es tratada como invariante, y por tanto es considerada una constante al derivar la cantidad de movimiento.

El paradigma relativista sustituye la masa por , y parte de la ecuación: [M14] La clave de la universalidad de la ecuación [M13] es la invariancia de c. A ella se llega derivando [M14] respecto a t y manteniendo m0 y c constantes.

Tanto si la trayectoria es rectilínea como si es circular uniforme, la dirección del movimiento es paralela a la aceleración. En el primer caso, el primer miembro de la ecuación [M13] se anula; por tanto, la dirección de es la dirección de , que es la dirección de . En el segundo caso, el segundo miembro de [M13] es igual a cero. Por tanto, la dirección de es la dirección de de . Cuando v << c, la ecuación [M13] queda reducida al principio de Newton, .

[M13] es la expresión general del principio fundamental de la dinámica cuando v y F no son paralelas. El primer miembro es la componente perpendicular de la fuerza respecto al movimiento; si la fuerza es ortogonal a la velocidad, la velocidad es ortogonal

94

Con la sustitución de la teoría del movimiento newtoniana por la teoría relativista, los términos masa inerte y masa gravitatoria cayeron en desuso.

95 La línea recta no es sino una geodésica de curvatura nula.

96 Desde aquí se vuelve a recuperar la numeración correlativa de la serie [M].

34

también a la aceleración; por tanto, el producto escalar . El segundo miembro es la componente paralela de la fuerza, ya que mantiene la dirección la velocidad.

En conclusión, la segunda ley de la mecánica newtoniana no es sino un caso particular incluido en la mecánica relativista.

Principio de acción y reacción La anomalía empírica descubierta sobre la tercera ley de Newton, o principio de acción y reacción, representó en su momento el respaldo definitivo a la física relativista Su enunciado dice que si una fuerza actúa sobre un objeto, aparece otra fuerza , de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario a la primera. Se cumple entonces la igualdad: .

La anomalía se presenta en el ámbito del electromagnetismo. En particular, la ecuación de Lorentz97 [M15] determina el valor de una fuerza magnética F12 que actúa sobre una carga eléctrica q2 que se mueve a la velocidad v2 dentro de un campo magnético B1.

Sustituyendo en [M15] B1 por la ley de Biot Savart de un campo magnético, [M16] se obtiene: [M17.1] q1 es la carga eléctrica generadora del campo magnético en su entorno, µ la permeabilidad magnética, d la distancia que separa las dos cargas y el vector unitario que va de q1 a q2.

Análogamente, la fuerza causada por la carga eléctrica q2 sobre q1 es: [M17.2] el vector unitario que

B2 es el campo magnético causado por la carga eléctrica q2 y va de q2 a q1.

Comparando las expresiones [M17.1] y [M17.2] se demuestra que ni son de igual dirección ni de igual magnitud, como la tercera ley de Newton establece.

Resolviendo el doble producto vectorial de la ecuación [M17.1], obtenemos: Al anularse el producto escalar por ser ambos vectores ortogonales, el plano formado por los vectores y .

Resolvemos del mismo modo el doble producto vectorial de la [M17.2].

estará en

Por tanto, está en el plano formado por los vectores y .

En conclusión, en general y no son coplanarias y , lo que implica un incumplimiento de la tercera ley de Newton y acredita la sustitución del paradigma de la mecánica clásica por la relativista.

5. Bibliografía Durán, J.A. (2006) Isaac Newton & Gottfrield Wilheim Leibniz, La polémica sobre la invención del cálculo infinitesimal, Crítica.

97

Hendrik Antoon Lorentz, premio Nobel de Física de 1902, es el mismo científico que planteó las transformaciones de Lorentz.

35

Einstein, A. (1905) Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annallen der Physik, Vol. 372, 10: 891-921.

Einstein, A. & Grossmann, M (1913) Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62: 225-265.

Einstein, A. (1917). Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie.

Sitzung der physikalisch-matematischen Klasse vom 8: 142-157.

Einstein, A. (1955) Relativistic theory of the non-symetric field, Apendix II of The Meaning of Relativity, 5ªedición, Princeton University Press, Princeton.

Ford, K.W., and Wheeler, J.A. (2000) , Library of Congress cataloging-in-Publication Data.

Hafele J.C., and Keating R.E. (1972) Around the world atomic clocks: predicted relativistic time gains, Science 177 (4044): 166-168.

Harari ,Y. N. (2016) Homo Deus. Breve historia del mañana, Debate.

Hawking, S. W (2007) La teoría del todo. El origen y el destino del universo, Debate. http://electric1.es/cm/lineasdefuerza.html. http://1.bp.bolgspot.com. http://2.bolgspot.com. https://commons.wikimedia.org/wiki. https://es.scribd.com/doc/256309409/La-Teoria-de-La-Relatividad-Armando-MartinezTellez. https://es.wikiquote.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be.

Martín, A., blogspot la teoría de la relatividad, https://es.scribd.com/doc/256309409/La-Teoria-de-La-Relatividad-ArmandoMartinez-Tellez.

Newton, I. (2011) Principios matemáticos de la filosofía natural, 3ª edición, tecnos.

Penrose, R. (2014) El camino de la realidad, 5ª edición, Debate.

Robinson, A. (2010) Einstein. Cien años de relatividad, Blume.

Tonelli, J., La ciencia vista por Josué Tonelli, Bloc de Josué Tonelli.

Trevelyan, R.C. (1920) Translation from Lucretius, London Allen & Unwin.

Wheeler, J.A. (1990) Un viaje de la gravedad y el espacio-tiempo, Alianza editorial.

Wheeler, J.A., and Kenneth, F. (2000) , W.W. Norton & Company.

36