BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 BIÊN SOẠN VŨ HỨA HẠNH NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 BIÊN SOẠN: VŨ HỨA HẠNH NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Bài giảng Giải tích 1

KIẾN THỨC NHẬP MÔN

Chương 1

§1. TẬP HỢP – ÁNH XẠ - TẬP HỢP SỐ 1.1.

Tập hợp

1.1.1. Khái niệm tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không được định nghĩa.

Những vật, hay đối tượng toán học được tụ tập do một tính chất chung nào đó thành lập một tập hợp.

Ví dụ: Tập các sinh viên trong một lớp học, tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, tập hợp các nghiệm thực của phương trình x 2 + x − 2 = 0 ,…

Một tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ cái in hoa: A, B, C, …, X, Y, Z… Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là ℕ , tập hợp các số nguyên kí hiệu là ℤ , tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu là ℚ , tập hợp các số thực kí hiệu là ℝ , tập hợp các số phức kí hiệu là ℂ , …

Các vật hay đối tượng thành lập một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó.

Phần tử của tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ cái thường: a, b, c, …, x, y, z… Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A , đọc là ‘‘a thuộc A’’ hay ‘‘a là phần tử của tập hợp A’’. Để chỉ b không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết b ∉ A , đọc là ‘‘b không thuộc A’’ hay ‘‘b không phải là một phần tử của tập hợp A’’.

1 1 ∉ ℤ; ∈ ℚ; 2 ∉ ℚ; 2 ∈ ℝ; ...

2 2 Tập hợp gồm một số hữu hạn phần tử gọi là tập hợp hữu hạn. Tập hợp gồm vô số phần tử gọi là tập hợp vô hạn.

Ví dụ: 0 ∈ ℕ; 1 ∈ ℕ; − 1∉ ℕ; − 1 ∈ ℤ;

1.1.2. Các phương pháp biểu diễn tập hợp a. Biểu diễn theo kiểu liệt kê Theo cách này, ta liệt kê đầy đủ tất cả các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết một lần.

Ví dụ: A là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 5.

Ta viết: A = {1, 2, 3, 4} hoặc A = {3, 2, 4, 1} hoặc A = {2, 4, 1, 3} , …

•

Chú ý 1. Khi liệt kê các phần tử của một tập hợp, ta không quan tâm đến thứ tự của chúng.

2. Khi số phần tử của một tập hợp quá lớn, hoặc tập hợp có vô số phần tử, người ta thường chỉ viết một số phần tử đầu tiên của tập hợp, đồng thời chỉ ra quy luật viết các phần tử còn lại, hoặc trong một số trường hợp các quy luật đó cũng không được viết ra và được coi như đã biết.

Ví dụ

1. Tập hợp ℕ các số tự nhiên được viết là: ℕ = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}

Hoặc

ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

2. Tập hợp A các số tự nhiên lẻ được viết là: A = {1, 3, 5, 7, ..., 2n + 1, ...}

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

1

Bài giảng Giải tích 1 Hoặc A = {1, 3, 5, 7, ...}

b. Biểu diễn theo thuộc tính đặc trưng Ví dụ: A là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 5. Ta viết A = {n ∈ ℕ | 0 < n < 5} B là tập hợp các ước dương của 12. Ta viết B = {n ∈ ℕ | n ⋮ 12}

1.1.3. Quan hệ giữa các tập hợp a. Quan hệ bao hàm – Tập con Cho hai tập hợp A và B. Ta nói A là tập hợp con của tập hợp B hay tập hợp A chứa trong tập hợp B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B. Kí hiệu: A ⊂ B hay B ⊃ A .

Ví dụ: ℕ* ⊂ ℕ ⊂ ℚ ⊂ ℤ ⊂ ℝ ⊂ ℂ .

b. Tập hợp bằng nhau Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập A bằng tập B nếu A ⊂ B và B ⊂ A hay mọi phần tử của A đều là của B và ngược lại. Kí hiệu: A = B . c. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu: ∅ .

Quy ước: Tập hợp rỗng ∅ là tập con của mọi tập hợp: ∅ ⊂ A , với mọi tập hợp A.

1.1.4. Các phép toán trên tập hợp a. Phép hợp Định nghĩa: Cho hai tập A và B. Tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A hay B gọi là hợp của hai tập hợp A và B. Kí hiệu: A ∪ B .

A ∪ B := {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} Ví dụ: Cho tập A = {a, b, c, d } ; B = {c, d , e, f } , ta có A ∪ B = {a, b, c, d , e, f }

b. Phép giao Định nghĩa: Cho hai tập A và B. Tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi là giao của hai tập hợp A và B. Kí hiệu: A ∩ B .

A ∩ B := { x | x ∈ A và x ∈ B}

Ví dụ: Cho tập A = {a, b, c, d } ; B = {c, d , e, f } , ta có A ∩ B = {c, d }

c. Phép lấy hiệu Định nghĩa: Cho hai tập A và B. Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của tập A với tập B. Kí hiệu: A \ B (hoặc A − B ).

A \ B := {x | x ∈ A và x ∉ B} Nếu B ⊂ A thì ta kí hiệu A \ B = C A B , gọi là bổ sung (phần bù) của B trong A. Ví dụ: Cho tập A = {a, b, c, d } ; B = {c, d , e, f } , ta có A \ B = {a, b} , B \ A = {e, f }

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

2

Bài giảng Giải tích 1 d. Tính chất của phép hợp, phép giao và phép lấy hiệu 1. Tính chất giao hoán

A∪ B = B ∪ A; 2. Tính chất lũy đẳng A∪ A = A ; 3. Tính chất kết hợp ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ;

A∩ B = B ∩ A A∩ A = A ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

4. Tính chất phân phối A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ;

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )

5. Công thức De Morgan X \ ( A ∪ B ) = ( X \ A) ∩ ( X \ B ) ;

X \ ( A ∩ B ) = ( X \ A) ∪ ( X \ B )

1.1.5. Tích Descartes Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Tích Descartes của A và B, kí hiệu A × B , là một tập hợp gồm các cặp sắp thứ tự ( a, b) với a ∈ A và b ∈ B .

A × B = {(a, b) | a ∈ A và b ∈ B}

Nếu A = B thì ta kí hiệu tích Descartes A × A là A2 và gọi là bình phương Descartes của tập hợp A. Quy ước: A ×∅ = ∅× A = ∅ .

Ví dụ: Cho tập A = {a, b} ; B = {1, 2, 3} , ta có A × B = {(a, 1), ( a, 2), ( a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} , B × A = {(1, a ), (1, b), (2, a ), (2, b), (3, a ), (3, b)}

1.2.Ánh xạ 1.2.1. Định nghĩa Cho hai tập hợp X và Y khác ∅ , Một ánh xạ f từ X vào Y là một qui tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một phần tử y ∈ Y .

Kí hiệu : f : X → Y x ֏ y = f ( x)

-

Tập X được gọi là tập gốc (tập nguồn), hay tập xác định của ánh xạ f.

Tập Y được gọi là tập ảnh (tập đích)

-

Phần tử y = f ( x) gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và x được gọi là nghịch ảnh của y .

1.2.2. Các loại ánh xạ a. Đơn ánh Ánh xạ f : X → Y gọi là đơn ánh nếu ∀x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2  f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .

b. Toàn ánh Ánh xạ f : X → Y gọi là toàn ánh nếu với mọi phần tử bất kì y ∈ Y , tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X , f ( x) = y .

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

3

Bài giảng Giải tích 1 c. Song ánh Ánh xạ f : X → Y gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, hay với mọi phần tử bất kì y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X , f ( x) = y .

Hai tập A và B được gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại một song ánh f : A → B .

Cho tập I = {1, 2, 3, ..., n} , mọi tập bất kì X tương đương với I được gọi là một tập hữu hạn (có số phần tử hữu hạn và bằng n), khi đó ta viết card ( X ) = n .

Một tập tương đương với tập các số tự nhiên ℕ gọi là một tập đếm được, ta viết card (ℕ) = card ( X )

1.3.Tập hợp số 1.3.1. Tập các số thực a. Các tính chất cơ bản của tập các số thực Tập tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ được gọi là tập hợp các số thực, kí hiệu là ℝ .

•

Tính chất 1: Tập ℝ là một trường giao hoán với hai phép toán cộng và nhân: ( ℝ , +,.)

1. ∀(a, b) ∈ ℝ 2 , a + b ∈ ℝ, a.b ∈ ℝ 2. ∀(a, b) ∈ ℝ 2 , a + b = b + a, a.b = b.a 3. ∀(a, b, c) ∈ ℝ3 , (a + b) + c = a + (b + c), (a.b).c = a.(b.c) 4. ∀(a, b, c) ∈ ℝ3 , a.(b + c) = a.b + a.c, (a + b).c = a.c + b.c 5. ℝ có phần tử trung hòa đối với phép cộng là 0, và đối với phép nhân là 1. ∀a ∈ ℝ, a + 0 = 0 + a = a, a.1 = 1.a = a 6. Tồn tại phần tử đối của phép cộng ∀a ∈ ℝ, ∃ (− a ), a + ( − a ) = 0 Tồn tại phần tử nghịch đảo của phép nhân

∀a ∈ ℝ \{0}, ∃ (a −1 ), a.a −1 = 1 •

Tính chất 2: Tập ℝ được xếp thứ tự toàn phần và đóng kín với các số thực dương 1. ∀a, b ∈ ℝ, a < b hoặc a = b hoặc a > b .

2. ∀a, b, c ∈ ℝ, a ≤ b  a + c ≤ b + c

∀a, b ∈ ℝ, c ∈ ℝ + , a ≤ b  ac ≤ bc 3. ∀a, b ∈ ℝ + , a + b ∈ ℝ + , ab ∈ ℝ +

•

Tính chất 3: Tập ℝ là đầy nếu: Mọi tập con X không rỗng của ℝ , bị chặn trên trong

ℝ đều có một cận trên đúng thuộc ℝ và mọi tập con không rỗng X của ℝ bị chặn dưới trong ℝ đều có một cận dưới đúng thuộc ℝ . b. Tập các số thực mở rộng Người ta thêm vào tập số thực ℝ hai phần tử, kí hiệu là −∞ và + ∞ . Tập các số thực mở rộng, kí hiệu là ℝ và ℝ = ℝ ∪ {−∞, + ∞} , các phép toán + và ., quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau: 1. ∀x ∈ ℝ , x + ( +∞) = ( +∞) + x = ( +∞), x + (−∞) = ( −∞) + x = ( −∞)

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

4

Bài giảng Giải tích 1 2. ( +∞) + ( +∞) = ( +∞ ), ( −∞) + ( −∞ ) = ( −∞) 3. ∀x ∈ ℝ*+ , ℝ*+ = {x ∈ ℝ, x > 0} ,

x(−∞) = (−∞) x = −∞ .

x(+∞) = (+∞) x = +∞,

∀x ∈ ℝ*− , ℝ*− = {x ∈ ℝ, x < 0} , x(−∞) = (−∞) x = +∞ .

x(+∞) = (+∞) x = −∞,

4. (+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(−∞) = (−∞)(+∞) = −∞ .

5. ∀x ∈ ℝ, − ∞ < x < +∞

c. Các khoảng số thực Cho (a, b) ∈ ℝ 2 , a < b , ta có các loại khoảng sau đây: ( a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}

[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b} ( a, b] = { x ∈ ℝ : a < x ≤ b} [ a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b} ( −∞, b) = {x ∈ ℝ : x < b}

(−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b} ( a, + ∞) = { x ∈ ℝ : x > a} [ a, + ∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a} ( −∞, + ∞ ) = ℝ

Các số thực a, b gọi là các mút của khoảng. d. Giá trị tuyệt đối của số thực

•

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực x, kí hiệu |x|, là một số thực không âm xác định như sau: ^/   x n eu x ≥ 0 |x| =  ^/ − x n eu x < 0

• Tính chất 1. ∀x ∈ ℝ, | x | = Max ( x, − x) 2. | x | = 0 ⇔ x = 0 3. ∀x, y ∈ ℝ, | xy | = | x |.| y | ∀n ∈ ℕ* , ∀x1 , x2 , x3 , ..., xn ∈ ℝ,

n

n

∏ x = ∏| x | i

i

i =1

i =1

∀x ∈ ℝ, | x n | = | x |n 4. ∀x ∈ ℝ* ,

1 1 = x | x|

5. ∀x, y ∈ ℝ, | x + y | ≤ | x | + | y |

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

5

Bài giảng Giải tích 1 ∀n ∈ ℕ* , ∀x1 , x2 , x3 , ..., xn ∈ ℝ,

n

x

i

n

≤  | xi |

i =1

6. ∀x, y ∈ ℝ, Max( x, y ) =

i =1

1 ( x + y + | x − y |) 2

Min( x, y ) =

1 ( x + y − | x − y |) 2

7. ∀x, y ∈ ℝ, || x | − | y || ≤ | x − y |

e. Khoảng cách thông thường trong ℝ •

Định nghĩa: Khoảng cách trong ℝ là ánh xạ d : ℝ×ℝ → ℝ

( x, y ) ֏ | x − y | •

Tính chất 1. d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y 2. ∀x, y ∈ ℝ, d ( x, y ) = d ( y, x) 3. ∀x, y, z ∈ ℝ, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z )

1.3.2. Tập các số phức a. Định nghĩa Số phức là biểu thức có dạng

z = a + ib

trong đó a, b ∈ ℝ , i 2 = −1 . a gọi là phần thực, kí hiệu là Rez b gọi là phần ảo, kí hiệu là Imz i: đơn vị ảo.

•

Tập hợp tất cả các số phức được kí hiệu là ℂ .

Chú ý Mỗi số thực a được xem là số phức có phần ảo = 0. z = a + 0i = a ∈ ℝ .

•

Số phức có phần thực = 0 được gọi là số ảo thuần túy. z = 0 + ib = ib .

• Nếu z = a + ib thì -a – ib là số phức đối của z.

Kí hiệu là – z.

• a – ib gọi là số phức liên hợp của z, kí hiệu •

Cho hai số phức:

z1 = a1 + ib1 ,

z2 = a2 + ib2 ,

 a = a2 z1 = z2 ⇔  1  b1 = b2

b. Phép cộng các số phức Cho 2 số phức: z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 Tổng của hai số phức z1 và z2 là số phức, kí hiệu z1 + z2 xác định bởi:

z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ) .

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

6

Bài giảng Giải tích 1 Tính chất:

1. ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) 2. z1 + z2 = z2 + z1 3. z + 0 = 0 + z 4. z1 − z2 = z1 + (− z2 ) c.

Phép nhân các số phức

Cho 2 số phức z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 Tích của hai số phức z1 và z2 , là số phức, kí hiệu là z1 . z2 có được bằng cách nhân chúng như nhân hai nhị thức thông thường, chú ý i 2 = −1 .

z1.z2 = (a1 + ib1 ).(a2 + ib2 ) = a1 (a2 + ib2 ) + ib1 (a2 + ib2 ) = a1a2 + ia1b2 + ib1a2 + i 2b1b2 = a1a2 − b1b2 + i (a1b2 + a2b1 ) Tính chất:

1. ( z1.z2 ).z3 = z1.( z2 .z3 ) 2. z1.z2 = z2 .z1 3. z.1 = z 4. Nếu z ≠ 0 thì tồn tại số phức z −1 sao cho z.z −1 = 1 , z −1 : số nghịch đảo của z.

5.

z1 = z1 .z2−1 z2

Chú ý: n 1. z.z = z 2 , z .z.......

z , được kí hiệu là z . n

2. z −1 =

1 a − ib a − ib a − ib . = = = a + ib ( a + ib)( a − ib) a 2 − i 2b 2 a 2 + b 2

d. Biểu diễn hình học của số phức

e. Dạng lượng giác của số phức Gọi M(a, b) là ảnh của số phức z = a + ib trong (Oxy).

Giả sử z ≠ (0, 0).

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

7

Bài giảng Giải tích 1 Đặt r = OM, θ = (Ox, OM). Khi đó: a = r cosθ ; b = r sinθ.

• •

z = r (cosθ + isinθ) gọi là dạng lượng giác của số phức. r gọi là môđun của z, kí hiệu |z|.

θ gọi là agumen của z, kí hiệu argz, được xác định sai khác 2kπ (k ∈ ℤ ). f. Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác •

Cho z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) , z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) z1.z2 = r1r2 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 )

= r1r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i (cos θ1 sin θ2 + cos θ2 sin θ1 )

Suy ra: z1.z2 = r1r2{cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )} .

Vậy: Tích của hai số phức dưới dạng lượng giác là số phức có môđun bằng tích các môđun và agumen bằng tổng các agumen.

Nếu z2 ≠ 0 , z1 r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) r1 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 − i sin θ2 ) = = z2 r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) r2 (cos θ2 + i sin θ2 )(cos θ2 − i sin θ2 )

=

r1 cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )  . r2 

Vậy: thương của 2 số phức là số phức có môđun bằng thương các môđun và agumen bằng hiệu các agumen. g. Lũy thừa của số phức dưới dạng lượng giác z = r (cos θ + i sin θ)

z n = [r (cos θ + i sin θ)]n : gọi là công thức Moivre Đặc biệt: Nếu r = 1, z = cos θ + i sin θ thì ∀ n ∈ ℕ ta có:

z n = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ Có thể dùng công thức này để tính cosnx và sinnx theo cosx và sinx. h. Khai căn số phức z = r (cos θ + i sin θ) n

θ + k 2π θ + k 2π   z = n r (cos θ + i sin θ) = n r cos( ) + i sin( )  (k = 0, 1, …, n − 1) n n  

Với mỗi số phức, ta có n căn bậc n khác nhau, ảnh của chúng là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh.

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

8

Bài giảng Giải tích 1

§2. DÃY SỐ 2.1.Các định nghĩa •

Định nghĩa: Một dãy số thực (dãy số) là một ánh xạ từ ℕ* vào ℝ :

ℕ* ∋ n ֏ xn ∈ ℝ Kí hiệu: {xn }, n = 1, 2, ...

Ví dụ: {xn } = 1 , {xn } = (−1)n +1 , {xn } =

•

1  1 , {xn } =  1 +  n  n

n

Sự hội tụ và phân kì của dãy số

1. Dãy {xn } được gọi là hội tụ đến a ∈ ℝ nếu

∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* , ∀n ≥ n0 , | xn − a | < ε Kí hiệu: lim xn = a , a được gọi là giới hạn của dãy {xn } . n →∞

Rõ ràng {xn − a} hôi tụ về 0.

2. Dãy {xn } được gọi là hội tụ nếu có số a ∈ ℝ để lim xn = a . n →∞

3. Dãy {xn } không hội tụ thì được gọi là phân kì, nghĩa là

∀a ∈ ℝ, ∃ε > 0, ∀n ∈ ℕ, ∃n0 ∈ ℕ* , n ≥ n0 , | xn − a | ≥ ε 4. Dãy {xn } nhận +∞ làm giới hạn nếu ∀A > 0, ∃n0 ∈ ℕ* , ∀n ≥ n0  xn > A Kí hiệu: lim xn = +∞ (dãy {xn } tiến tới +∞ ) n →∞

5. Dãy {xn } nhận −∞ làm giới hạn nếu ∀B < 0, ∃n0 ∈ ℕ* , ∀n ≥ n0  xn < B Kí hiệu: lim xn = −∞ n →∞

Dãy có giới hạn +∞ hoặc −∞ cũng gọi là phân kì.

Ví dụ Cho dãy {xn } , trong đó xn =

1.

1 . Chứng minh lim xn = 0 . n →∞ n

Giải

∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* , n0 >

1

ε

, ∀n ≥ n0 

1 1 1 −0 = ≤ <ε . n n n0

1 = 0. n →∞ n

Suy ra lim 2.

Cho dãy {xn } , trong đó xn = ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* , n0 >

1

ε

, ∀n ≥ n0 , ta xét hiệu | xn − 1|

| xn − 1| = Do đó :

n +1 . Chứng minh rằng lim xn = 1 . n →∞ n

n +1 1 1 −1 = ≤ <ε. n n n0

lim xn = 1 n →∞

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

9

Bài giảng Giải tích 1 3.

Cho dãy {xn } , trong đó xn =

1 + ( −1) n . n

1 + ( −1) n = 0 , vì vậy muốn cho n →∞ n

Rõ ràng lim

| xn | ≤ chỉ cần n > 4.

2 < ε, n

2 2 , nghĩa là n ≥ n0 =   . ε ε

Dãy {xn } = {(−1) n } là một dãy phân kì.

Thật vậy, giả sử a là một số bất kì nào đó. Nếu a ≠ 1 thì | a − 1| = δ > 0 . Ta chọn

ε=

1 | a − 1| . Vì rằng dù chọn n0 lớn như thế nào cũng có những chỉ số n để xn = 1 , nghĩa là 2

| xn − a | = |1 − a | > ε , cho nên dãy này không thể hội tụ về a được. nếu a = 1 thì a ≠ −1 . Lí luận tương tự ta cũng thấy xn không thể hội tụ đến a được. Vậy dãy {xn } phân kì.

5.

Dãy {xn } = {n} là một dãy phân kì.

Thật vậy, giả sử ngược lại rằng a là giới hạn của dãy số tự nhiên. Như vậy, nếu chọn ε = 1 , ta

sẽ có | n − a | < 1 , tức là n < a + 1 với mọi n đủ lớn (vô lý!). Vậy dãy {xn } phân kì.

2.2.Các tính chất của dãy số hội tụ Định lý 1.1 1. Nếu dãy số {xn } hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

2. Nếu dãy số {xn } hội tụ thì nó giới nội (tức là tồn tại một khoảng (b, c) chứa mọi phần tử

xn . Định lý 1.2 Cho hai dãy số {xn } , { yn } , lim xn = a , lim yn = b . n →∞

n →∞

Khi đó: 1. lim( xn + yn ) = a + b . n →∞

2. lim(Cxn ) = Ca , lim(C + xn ) = C + a , C là hằng số n →∞

n →∞

3. lim( xn . yn ) = ab n →∞

 1  1 4. lim   = , yn ≠ 0, b ≠ 0 . n →∞ y  n b x  a 5. lim  n  = , yn ≠ 0, b ≠ 0 . n →∞ y  n b

Định lý 1.3 1. Cho hai dãy số {xn } , { yn } . Nếu xn ≥ yn , ∀n , lim xn = a , lim yn = b thì a ≥ b . n →∞

n →∞

2. Cho ba dãy số {xn } , { yn } , {zn } . Nếu xn ≤ yn ≤ zn , ∀n , lim xn = lim z n = a thì lim yn = a . n →∞

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

10

n →∞

n →∞

Bài giảng Giải tích 1 2.3.Tính đơn điệu của dãy số 2.3.1. Định nghĩa 1. Dãy {xn } được gọi là tăng nếu xn ≤ xn +1 , ∀n .

Dãy {xn } được gọi là tăng nghiêm ngặt nếu xn < xn +1 , ∀n .

Dãy {xn } được gọi là giảm nếu xn ≥ xn +1 , ∀n .

Dãy {xn } được gọi là giảm nghiêm ngặt nếu xn > xn +1 , ∀n .

2. Dãy {xn } được gọi là đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm 3. Dãy {xn } được gọi là bị chặn trên nếu ∃A ∈ ℝ : xn ≤ A, ∀n .

Dãy {xn } được gọi là bị chặn dưới nếu ∃B ∈ ℝ : xn ≥ B, ∀n .

Ví dụ 1 1 1 , , ..., , ... giảm nghiêm ngặt, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1.

2 3 n 2. Dãy 1, 1, 2, 2, 3, 3, … tăng (không nghiêm ngặt) và bị chặn dưới bởi 1 nhưng không bị chặn 1. Dãy 1,

trên.

3. Dãy −1, 1, − 1, 1, ..., (−1) n , ... không tăng, không giảm, và bị chặn

Định lý 1.4 1. Mọi dãy tăng và bị chăn trên thì hội tụ.

2. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lý 1.5 1. Dãy {xn } tăng và không bị chăn trên thì dần đến +∞ .

2. Dãy {xn } giảm và không bị chăn dưới thì dần đến −∞ .

2.3.2. Dãy các đoạn bao nhau Định lý 1.6 (Định lý Cantor) Cho hai dãy số {xn } , { yn } sao cho

∀n ∈ ℕ, xn ≤ yn , [ xn +1 , yn +1 ] ⊂ [ xn , yn ] lim( y − x ) = 0  n →∞ n n Khi đó, tồn tại duy nhất một số thực c ∈ [ xn , yn ], ∀n .

Định nghĩa (Dãy các đoạn bao nhau) Dãy các đoạn {[an , bn ]} thỏa điều kiện trong định lý 1.6 được gọi là dãy các đoạn bao nhau.

2.4.Dãy con Định nghĩa Cho dãy số {xn } , từ các số hạng của nó lập ra một dãy mới {xnk } : xn1 , xn2 , ..., xnk ,... với

ni ∈ ℕ* , n1 < n2 < ... < nk < ...

Dãy {xnk } được gọi là dãy con của dãy {xn } .

Ví dụ: + {x2 n } , {x2 n +1} là dãy con của {xn } .

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

11

Bài giảng Giải tích 1 + {xn2 } là dãy con của {xn } . + {xn2 − n } không phải là dãy con của {xn } vì số hạng x0 xuất hiện hai lần ứng với n = 0, n = 1 .

Định lý 1.7 Nếu {xn } hội tụ về a ∈ ℝ thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về a.

Hệ quả 1.8 Để dãy {xn } hội tụ đến a thì điều kiện cần và đủ là hai dãy con {x2 n } , {x2 n +1} đều hội tụ đến a. Định lý 1.9 (Định lý Bolzano-Weierstrass) Từ mọi dãy số bị chặn (giới nội) đều có thể trích ra một dãy con hội tụ.

2.5.Dãy Cauchy Định nghĩa Dãy số {xn } được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* : ∀m ≥ n0 , n ≥ n0 , | xm − xn | < ε .

Bổ đề 1.10 Dãy Cauchy là một dãy giới nội. Định lý 1.11 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy số thực {xn } hội tụ là nó là một dãy Cauchy.

Nhận xét 1. Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.

2. Ngược lại, mọi dãy Cauchy nói chung chưa chắc là dãy hội tụ.

3. Mọi dãy số thực là dãy Cauchy đều hội tụ trong ℝ .

2.6.Vô cùng bé – Vô cùng lớn

2.6.1. Vô cùng bé Định nghĩa Dãy {xn } được gọi là một vô cùng bé (VCB) nếu lim xn = 0 n →∞

( ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* : ∀ n ≥ n0  | xn | < ε ) -

Nếu lim xn = l thì {xn − l} là một VCB. n →∞

Ví dụ

1 1 1 1  = < ε nếu n > .

1.   là một VCB. Thật vậy, với mọi ε dương đã cho, ta có n n ε n 2. Dãy {xn } với xn =

2 1 + ( −1) n là một VCB. Thật vậy, vì | xn | ≤ . n n

Với mọi ε dương cho trước, muốn bất đẳng thức n >

2 2 < ε , ta chỉ cần chọn n > , nghĩa là với mọi n thỏa mãn n ε

2 1 + ( −1) n thì | xn | ≤ ε . Vậy xn = là một VCB. ε n

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

12

Bài giảng Giải tích 1 2.6.2. Vô cùng lớn Định nghĩa Dãy {xn } được gọi là một vô cùng lớn (VCL) nếu

∀A > 0, ∃n0 ∈ ℕ* : ∀ n ≥ n0  | xn | > A -

Nếu ∀A > 0, ∃n0 ∈ ℕ* : ∀ n ≥ n0 ta có xn > 0, | xn | > A thì ta viết : lim xn = +∞ . n →∞

*

Nếu ∀A > 0, ∃n0 ∈ ℕ : ∀ n ≥ n0 ta có xn < 0, | xn | > A thì ta viết : lim xn = −∞ . n →∞

Ví dụ 1. Dãy {(−1) n .n} là một VCL. 2. {n 2 − 5} là một VCL. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1. Các tập hợp dưới đây được xác định bằng cách chỉ rõ dấu hiệu đặc trưng. Hãy xác định các tập hợp đó bằng cách liệt kê :

a. A = {x ∈ ℕ | x có hai chữ số và chữ số hàng chục của x bằng 3} b. B = {x ∈ ℕ | x là ước của 24} c. C = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5} d. D = {x ∈ ℕ | x + 3 ≤ 10} e. E = {x ∈ ℕ | x 2 − 5 x − 6 ≤ 0} 2. Hãy phát hiện dấu hiệu đặc trưng của các phần tử trong mỗi tập hợp sau và viết lại tập hợp đó bằng cách chỉ rõ dấu hiệu đặc trưng : a. A = {3, 6, 9, 12, 15} b. B = {2, 3, 5, 7} c. C = {-2, − 1, 0, 1, 2}

 1 1 1 d. D = 1, , ,   2 4 8 3. Cho A = {a, b, c, d , e} ,

B = {a, c, e, f , g , h}

a. Xác định các tập A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A . b. Tìm tất cả những tập con của A mà cũng là tập con của B. 4. Cho A = {x ∈ ℝ | | x | ≥ 5} và B = {x ∈ ℝ | − 6 ≤ x ≤ 0} . Hãy xác định các tập A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A , Cℝ A, Cℝ B .

5. Cho A = {(x, y) ∈ ℝ 2 | | x | ≤ 3, | y | < +∞}, B = {(x, y) ∈ ℝ 2 | | x | < +∞, y > 0} . Hãy xác định các tập A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A , Cℝ2 A, Cℝ2 B .

6. Hãy liệt kê các phần tử của tích Descater A × B , sau đó biểu diễn A × B trên mặt phẳng tọa độ với : a. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} và B = {0, 1, 2, 3} b. A = {-2, 0, 1, 2, 3} và B = {-2, − 1, 0, 1}

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

13

Bài giảng Giải tích 1 7. Hãy xét xem các ánh xạ sau đây, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh : a. f1 : ℕ → ℕ

b. f 2 : ℕ → ℕ

n ֏ 2n d.

c. f3 : ℕ → ℕ

n ֏ n +1

f4 : ℝ → ℝ

n֏

1 3n

e. f 4 : ℝ → ℝ

x ֏ x2

x֏ |x|

8. Tìm fg và gf với : a.

và

f : ℝ→ℝ

g: ℝ→ℝ

x ֏ cos x

x ֏ 5x − 2 b.

và

f : ℝ→ℝ

g: ℝ→ℝ

x+2 5 9. Chứng tỏ rằng các ánh xạ sau là song ánh và tìm ánh xạ ngược của mỗi ánh xạ đó :

x ֏ 5x − 2

a.

x֏

b.

f : ℝ→ℝ

g: ℝ→ℝ

x ֏ 2x

x֏ −x

c. h : ℝ → ℝ

d.

ϕ : ℝ+ → ℝ +

x ֏ x3

x֏

1 x

1 1 1 1 10. Chứng minh rằng khi n → ∞ , dãy 3, 2 , 2 , 2 , ..., 2 + , ... có giới hạn bằng 2.

2 3 4 n 11. Chứng minh rằng khi n → ∞ , dãy

7 10 13 3n + 4 3 , , , ..., , ... có giới hạn bằng .

3 5 7 2n + 1 2

12. Tính các giới hạn sau: 1 + a + a 2 + ... + a n ; | a | < 1, | b | < 1 n→∞ 1 + b + b 2 + ... + b n

a) lim

2n − 1  1 3 5 b) lim  + 2 + 3 + ... + n  n→∞ 2 2 2 2    1 1 1  c) lim  + + ... + n→∞ 1.2 2.3 n.( n + 1)   d) lim n→∞

(

n

2. 4 2. 8 2 ... 2 2

)

1  1  1  e) lim 1 − 2 1 − 2  ... 1 − 2  n→∞  2  3   n      1 1 1    f) lim 1 − 1 −  ... 1 −  n→∞  3  6   n(n + 1)   2  23 − 1 33 − 1 n3 − 1 . ... 3 n→∞ 23 + 1 33 + 1 n +1

g) lim

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

14

Bài giảng Giải tích 1 13. Chứng minh sự hội tụ của các dãy số sau :

1   1  1   a) xn = 1 + 1 +  ... 1 + n   2  4   2  b) x1 = 2; x2 = 2 + 2 ; ...; 2 + 2 + ... + 2

n can

c) xn =

sin1 sin 2 sin n + 2 + ... + n 2 2 2

d) xn =

cos1! cos 2! cos n ! + + ... + 1.2 2.3 n( n + 1)

1 1 1 + 2 + ... + 2 2 2 3 n 14. Chứng minh sự phân kì của các dãy sau : e) xn = 1 +

1 1 a) xn = 1 + + ... + 2 n b) xn =

1 1 1 + + ... + ln 2 ln 3 ln n

15. Giả sử {xn } là dãy số được xác định bởi công thức sau : 1 1 x0 > 0 ; xn +1 =  xn +  .

2 xn 

Chứng minh rằng lim xn = 1 . n →∞

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

15

Bài giảng Giải tích 1

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

Chương 2

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 1.1.Định nghĩa hàm số Cho hai tập hợp X và Y là các tập con của ℝ , o Ánh xạ : f : X → Y được gọi là một hàm số một biến số thực.

x ֏ y = f ( x)

o Tập X được gọi là miền xác định của hàm số f. o Tập f (X) được gọi là miền giá trị của hàm số f. o

x ∈ X được gọi là biến độc lập (đối số).

o

f ( x ) ∈ f ( X ) được gọi là biến phụ thuộc (hàm số).

Ví dụ 1. Hàm số y = x , 0 ≤ x < +∞ có miền xác định là tập mọi số thực không âm.

1 2. Hàm số y = , x ≠ 0 có miền xác định là ( −∞, 0) và (0, + ∞) x 3. Hàm số 1 nếu x hữu tỉ f ( x) = 0 nếu x vô tỉ Miền xác định là tập mọi số thực, miền giá trị là {0 ; 1}.

4.

Hàm số y = n 2 , n = 1, 2, 3, ... Miền xác định là tập mọi số tự nhiên, miền giá trị là tập mọi số chính phương.

1.2.Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1. Cho X ⊂ ℝ là tập đối xứng (tức là ∀x ∈ X  − x ∈ X ) -

Hàm số f : X → ℝ được gọi là chẵn nếu : f (− x ) = f ( x), ∀x ∈ X .

-

Hàm số f : X → ℝ được gọi là lẻ nếu : f ( − x) = − f ( x), ∀x ∈ X .

2. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Ví dụ a) Hàm số y = f ( x) = x 2 − 2012 là hàm số chẵn. b) Hàm số y = f ( x) = sin(3 x) là hàm số lẻ.

1.3.Hàm số tuần hoàn Cho X ⊂ ℝ , hàm số f : X → ℝ được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại hằng số τ > 0 sao cho

f ( x + p ) = f ( x), ∀x ∈ X Số T dương bé nhất trong các số τ gọi là chu kì của f.

Ví dụ a) Hàm số y = f ( x) = sin x, y = g ( x) = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π . b) Hàm số y = h( x) = tan x, y = k ( x) = cot x là hàm số tuần hoàn với chu kì π .

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

16

Bài giảng Giải tích 1 1.4.Hàm số đơn điệu Cho K ⊂ X ⊂ ℝ và hàm số f : X → ℝ , 1. f được gọi là tăng trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2  f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) .

2. f được gọi là tăng nghiêm ngặt trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2  f ( x1 ) < f ( x2 ) .

3. f được gọi là giảm trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2  f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) .

4. f được gọi là giảm nghiêm ngặt trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2  f ( x1 ) > f ( x2 ) .

5. f được gọi là đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm 6. f được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt.

Ví dụ 1. Hàm số f ( x) = x3 tăng nghiêm ngặt trong khoảng (−∞, + ∞) . Thật vậy, lấy x1 < x2 và xét hiệu :

f ( x2 ) − f ( x1 ) = x23 − x13 = ( x2 − x1 )( x22 − x1 x2 − x12 ) = 2  1  3  = ( x2 − x1 )  x2 + x1  + x12  2  4   2

1  3  Vì  x2 + x1  + x12 > 0 và ( x2 − x1 ) > 0 nên f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0 , do đó f ( x1 ) < f ( x2 ) .

2  4 

π  π  2. Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trong các khoảng  − + k 2π; + k 2π  và giảm 2  2  3π π  + k 2π  . nghiêm ngặt trong các khoảng  + k 2π; 2 2  1.5.Hàm số hợp Cho X ⊂ ℝ, Y ⊂ ℝ, Z ⊂ ℝ và các hàm số g : X → Y , f : Y → Z .

Xét hàm số h : X → Z xác định bởi h( x) := f [ g ( x)], ∀x ∈ X .

Khi đó : h được gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số g.

Kí hiệu : h( x) := f [ g ( x)] hay h( x ) = ( f g )( x), ∀x ∈ X .

Ví dụ Hàm số y = log x xác định với mọi x > 0 và hàm số x = 2t + 3 xác định trên toàn trục số.

Hàm số hợp y = log(3t + 3) chỉ xác định t > −

3 vì chỉ với điều kiện đó mới có x = 2t + 3 > 0.

2

1.6.Hàm số ngược Cho X ⊂ ℝ, Y ⊂ ℝ và song ánh f : X → ℝ . Ánh xạ ngược f −1 : Y → X được gọi là hàm số ngược của f.

y ֏ x = f −1 ( y) Thông thường, người ta viết hàm ngược của hàm số y = f ( x) là y = f −1 ( x) thay cho hàm

x = f −1 ( y ) . Đồ thị của hai hàm số f và f −1 là đối xứng nhau qua đường phân giác của góc Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

17

Bài giảng Giải tích 1 phần tư thứ I và III. Ví dụ 1. Hàm số y = 2 x − 3 xác định trên toàn trục số có hàm số ngược là x =

y+3 cũng xác định 2

trên toàn trục số.

2. Hàm số y = 2 x xác định trên toàn trục số có hàm số ngược là x = log 2 y xác định trong khoảng (0, + ∞) .

3. Hàm số y = x 2 không có hàm số ngược vì nó không phải là một song ánh.

1.7.Các hàm số sơ cấp cơ bản 1.7.1. Hàm lũy thừa Cho α ∈ ℝ, α ≠ 0 , hàm số Pα : ℝ*+ → ℝ gọi là hàm lũy thừa với số mũ α .

x ֏ Pα ( x) = xα -

Miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào α .

-

Đồ thị của hàm số Pα luôn luôn đi qua điểm (1; 1) và đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

y = xα , α töï nhieân, chaün

y = xα , α töï nhieân, leû

y = xα , 0 < α < 1& α > 1

y = xα , α < 0

1.7.2. Hàm mũ cơ số a Cho a ∈ ℝ*+ \{1} , hàm số exp a : ℝ → ℝ*+ gọi là hàm mũ cơ số a.

x ֏ expa ( x) = a x -

Hàm số mũ exp a ( x) = a x tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0.

-

Đồ thị của hàm số exp a luôn nằm phía trên trục Ox và đi qua điểm (0; 1).

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

18

Bài giảng Giải tích 1 1.7.3. Hàm logarit cơ số a Cho a ∈ ℝ*+ \{1} , hàm số log a : ℝ*+ → ℝ gọi là hàm logarit cơ số a.

x ֏ log a x ∀( x, y ) ∈ ℝ*+ × ℝ, y = log a x ⇔ x = a y .

-

Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ:

-

Hàm số mũ log a x tăng khi a > 1 và giảm khi a < 1.

-

Đồ thị của hàm số log a x luôn nằm bên phải trục Oy và đi qua điểm (1; 0).

-

Đặc biệt, nếu a = 10, ta viết log10 x = lg x Nếu a = e (cơ số Nepe), ta viết log e x = ln x .

1.7.4. Các hàm lượng giác a) Hàm số y = f ( x ) = sin x và y = f ( x ) = cos x -

Hàm y = f ( x) = sin x xác định trên ℝ , có miền giá trị là [-1 ; 1], là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kì T = 2π .

-

Hàm y = f ( x) = cos x xác định trên ℝ , có miền giá trị là [-1 ; 1], là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T = 2π .

-

Đồ thị :

b) Hàm số y = f ( x ) = tan x và y = f ( x ) = cot x -

π  Hàm y = f ( x) = tan x xác định trên ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  , có miền giá trị là ℝ , là hàm lẻ, tuần 2  hoàn với chu kì T = π .

-

Hàm y = f ( x) = cot x xác định trên ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} , có miền giá trị là ℝ , là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kì T = π .

-

Đồ thị :

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

19

Bài giảng Giải tích 1

1.7.5. Các hàm lượng giác ngược a) Hàm số y = f ( x ) = arc sin x -

 π π Xác định trên [-1 ; 1], có miền giá trị là  − ,  , là hàm lẻ.  2 2

-

 π π y = arc sin x là hàm ngược của y = sin x trên  − ,  , tức là :  2 2  π π y = arcsin x ⇔ x = sin y, ∀x ∈ [−1, 1], y ∈  − ,  .  2 2 b) Hàm số y = f ( x ) = arccosx

-

Xác định trên [-1 ; 1], có miền giá trị là [ 0, π ] , là hàm không chẵn, không lẻ.

-

y = arccosx là hàm ngược của y = cos x trên [ 0, π ] , tức là : y = arccosx ⇔ x = cos y, ∀x ∈ [−1, 1], y ∈ [ 0, π ] .

o

π

, ∀x ∈ [−1, 1] .

2 c) Hàm số y = f ( x ) = arctanx arcsin x + arccos x =

-

 π π Xác định trên ℝ , có miền giá trị là  − ,  , là hàm lẻ.  2 2

-

 π π y = arctan x là hàm ngược của y = tan x trên  − ,  , tức là :  2 2  π π y = arctanx ⇔ x = tan y, ∀x ∈ ℝ, y ∈  − ,  .  2 2 d) Hàm số y = f ( x ) = arccotx

-

Xác định trên ℝ , có miền giá trị là ( 0, π ) , là hàm không chẵn, không lẻ.

-

y = arccotx là hàm ngược của y = cot x trên ( 0, π ) , tức là :

y = arccotx ⇔ x = cot y, ∀x ∈ ℝ, y ∈ ( 0, π ) .

1.8.Các hàm số sơ cấp 1.8.1. Hàm số sơ cấp : là các hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn số và các phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

20

Bài giảng Giải tích 1 các hằng số.

1.8.2. Đa thức

Đa thức bậc n , n ∈ ℕ , kí hiệu Pn ( x) , là biểu thức

Pn ( x) := a0 + a1 x + ... + an x n , ai ∈ ℝ, i = 1, n, an ≠ 0 .

1.8.3. Hàm hữu tỉ : là hàm số có dạng tỉ số của hai đa thức

Pn ( x) a0 + a1 x + ... + an x n := , ai , b j ∈ ℝ, i = 1, n, j = 1, m , m, n ∈ ℕ Qm ( x) b0 + b1 x + ... + bm x m

* * * * * §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 2.1.Các định nghĩa về giới hạn 2.1.1. Định nghĩa 1 Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a ; b)

f (x) được gọi là có giới hạn là L(hữu hạn) khi x dần đến x0 ( x0 ∈ [a, b] ), kí hiệu lim f ( x) = L x → x0

(hay f ( x) → L khi x → x0 ), nếu với bất kỳ dãy {xn } trong

( a, b ) \ {x0 }

mà xn → x0 thì

lim f ( xn ) = L . n→∞

2.1.2. Định nghĩa 2 Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a ; b)

f (x) được gọi là có giới hạn là L (hữu hạn) khi x dần đến x0 ( x0 ∈ [a, b] ), nếu với mọi ε > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 ( δ phụ thuộc ε ) sao cho khi | x − x0 | < δ thì | f ( x) − L | < ε .

Ví dụ 1.

lim(3 x + 1) = 4 . x →1

Thật vậy, muốn cho | (3 x + 1) − 4 | = | 3( x − 1) | < ε thì ta chỉ cần chọn δ = mà 0 < | x − 1| < 2.

lim x →2

ε . Lúc ấy, với mọi x 3

ε thì | (3 x + 1) − 4 | < ε .

3

x2 − 4 = 4. x−2

Thật vậy, theo định nghĩa, khi x → 2 , phải có x ≠ 2 , nên (ta có thể rút gọn cho x – 2) : x2 − 4 − 4 = | ( x + 2) − 4 | = | x − 2 | x−2

Muốn cho

x2 − 4 − 4 < ε , ta chỉ cần chọn δ = ε , lúc ấy với x thỏa mãn bất đẳng thức x−2

0< | x−2| < ε = δ Ta có :

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

x2 − 4 −4 < ε x−2

21

Bài giảng Giải tích 1 3.

limsin x = 0 . x →0

Vì ta có | sin x | < | x | cho nên với mọi x mà | x | < ε thì | sin x | < ε . Do đó, lim sin x = 0 . x →0

2.1.3. Giới hạn một phía 1. Cho hàm số f (x) xác định trên nửa khoảng (a, x0 ]

f (x) được gọi là có giới hạn trái là L 1 khi x dần đến x0 và x < x0 ( a < x < x0 ), kí hiệu : x → x0− , nếu với mọi ε > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, x0 ] , 0 < x0 − x < δ thì

| f ( x) − L1 | < ε .

Kí hiệu : lim− f ( x) = L1 hay f ( x) → L1 khi x → x0− . x → x0

2. Cho hàm số f (x) xác định trên nửa khoảng [x0 , b)

f (x) được gọi là có giới hạn phải là L 2 khi x dần đến x0 và x > x0 ( x0 < x < b) , kí hiệu : x → x0+ , nếu với mọi ε > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho ∀x ∈ [x0 , b) , 0 < x − x0 < δ thì

| f ( x) − L2 | < ε .

Kí hiệu : lim+ f ( x) = L2 hay f ( x) → L2 khi x → x0+ . x → x0

Ví dụ

1 khi x > 0  1. Cho f ( x) = 0 khi x = 0 −1 khi x < 0  Rõ ràng lim− f ( x ) = −1 bởi vì với mọi ε > 0 , ta đều có | f ( x) + 1| = 0 < ε khi x < 0 . x →0

Tương tự : lim+ f ( x ) = 1 x →0

2. lim+ x − 1 = 0 . x→1

Thật vậy, vì

x −1 − 0 =

x − 1 nên

Ta sẽ có 0 ≤ x − 1 < ε nếu 0 ≤ x − 1 < ε 2 .

2.1.4. Giới hạn ở vô cùng -

Hàm số f (x) được gọi là có giới hạn là L khi x dần tới +∞ , kí hiệu lim f ( x ) = L nếu x →+∞

∀ε > 0, ∃N > 0 đủ lớn sao cho ∀x > N  | f ( x) − L | < ε .

-

Hàm số f (x) được gọi là có giới hạn là L khi x dần tới −∞ , kí hiệu lim f ( x ) = L nếu x →−∞

∀ε > 0, ∃N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho ∀x < N  | f ( x) − L | < ε .

Ví dụ 1. lim x→∞

1 =0 x +1 2

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

22

Bài giảng Giải tích 1 1 1 =0 = 2 < ε thì phải có x +1 x +1

Thật vậy, với ε > 0 đã cho, muốn có

x2 + 1 > x2 >

2

1 1 hay x > =M. ε ε

1

2.

lim e x = 1 .

x →±∞

1

1

Thật vậy, với ε > 0 đã cho, nếu muốn cho 0 < e x − 1 < ε , tức là e x < ε + 1 thì

1 1 . < ln(ε + 1) hay x > x ln(ε + 1) 1

Vậy, lim e x = 1 . x →±∞

2.1.5. Giới hạn vô cùng Cho hàm số f (x) xác định trong ( a, b ) \ {x0 }

o

lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀M > 0, M

x → x0

lớn tùy ý, ∃δ > 0 ( δ phụ thuộc vào M), sao cho

0 < | x − x0 | < δ  f ( x) > M . o

lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀M > 0, M

x → x0

lớn tùy ý, ∃δ > 0 ( δ phụ thuộc vào M), sao cho

0 < | x − x0 | < δ  f ( x) < − M .

Ví dụ 1 = +∞ . x→1 ( x − 1) 2

1.

lim

Thật vậy, ta sẽ có 2.

1 1 1 > A hay ( x − 1)2 < nếu 0 < | x − 1| < =δ.

2 A ( x − 1) A

lim ln(1 + cos x ) = −∞ . x →π

2.1.6. Giới hạn vô cùng ở vô cùng lim f ( x ) = +∞ (−∞ ) ⇔ ∀M > 0, M lớn tùy ý, ∃N > 0 ( N phụ thuộc vào M), sao cho ∀x

x →±∞

thỏa | x | > N  f ( x) > M ( f ( x) < − M ) .

Ví dụ 1. lim 2 x = +∞ . x→+∞

Rõ ràng, muốn cho 2 x > A (với A > 0 đã cho) thì phải có : x > log 2 A = B .

2. lim e − x = +∞ . x →−∞

3. lim ln x →+∞

1 = −∞ x

Muốn cho ln

1 1 < − A thì phải có 0 < < e − A hay x > e A = B . x x

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

23

Bài giảng Giải tích 1 4. lim x 3 = −∞ . x →−∞

Cho trước số A < 0 . Muốn cho x 3 < A thì phải có x <

3

A.

2.2.Các tính chất của giới hạn Định lý 2.1 Cho lim f1 ( x ) = L1 , lim f 2 ( x) = L2 ( L1 , L2 : hữu hạn, a : có thể hữu hạn hoặc vô cùng). Khi đó : x→a

x→a

1. lim Cf1 ( x) = C lim f1 ( x) , C : hằng số. x→a

x→a

2. lim [ f1 ( x) + f 2 ( x)] = L1 + L2 x→a

3. lim [ f1 ( x ) f 2 ( x )] = L1 L2 x→a

4. lim x →a

f1 ( x) L1 = f 2 ( x) L2

, L2 ≠ 0 .

Định lý 2.2 (Giới hạn kẹp) Giả sử ba hàm số f (x), g(x), h(x) thỏa mãn bất đẳng thức f ( x ) ≤ g ( x) ≤ h( x), ∀x ∈ ( a, b) .

Khi đó, nếu lim f ( x ) = lim h ( x ) = L thì lim g ( x ) = L . x → x0

x → x0

x → x0

Hệ quả 2.3

lim x →0

sin x =1 x

Định lý 2.4 Cho hàm số f (x) xác định trên ℝ , khi đó Nếu f (x) là hàm số tăng và bị chặn trên ( ∃M , sao cho f ( x) ≤ M , ∀x ∈ ℝ ) hoặc f(x) là hàm số giảm và bị chặn dưới ( ∃N , sao cho f ( x) ≥ N , ∀x ∈ ℝ ) thì lim f ( x) = L . x →+∞ ( x →−∞ )

Hệ quả 2.5 x

1.

x

 1  1 lim  1 +  = lim 1 +  = e x →+∞ x →−∞  x  x 1

2. lim (1 + u ) u = e x →0

2.3.Vô cùng bé, vô cùng lớn 2.3.1. Vô cùng bé a. Định nghĩa Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng bé khi x → x0 nếu lim f ( x ) = 0 ( x0 có thể hữu hạn x → x0

hoặc vô cùng).

Ví dụ : 1. f ( x) = sin x là một VCB khi x → 0 .

1 là một VCB khi x → ∞ . x b. Liên hệ giữa vô cùng bé và hàm có giới hạn 2. f ( x) =

lim f ( x) = L ⇔

x → x0

f ( x) − L là một vô cùng bé khi x → x0 .

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

24

Bài giảng Giải tích 1 c. Các tính chất của vô cùng bé Tính chất 1 : Nếu f ( x) là một VCB khi x → x0 thì C. f ( x) cũng là một VCB khi x → x0 .

Tính chất 2 : Nếu f ( x), g ( x) là các VCB khi x → x0 thì f ( x) + g ( x) và f ( x).g ( x) cũng là một VCB khi x → x0 .

d. So sánh các vô cùng bé Cho f ( x ), g ( x) là hai VCB khi x → x0 , 1. Nếu lim

x → x0

f ( x) f ( x) cũng là VCB khi x → x0 ) thì ta nói f (x) có bậc cao hơn g(x) = 0 (hay g ( x) g ( x)

(g(x) có bậc thấp hơn f (x)) khi x → x0 .

Kí hiệu : f ( x) = o( g ( x)), x → x0 .

2. Nếu lim

x → x0

f ( x) = C ≠ 0 thì ta nói f (x) cùng bậc với g(x) khi x → x0 . g ( x)

Kí hiệu : f ( x) = O( g ( x)), x → x0 .

Nếu lim

•

x → x0

f ( x) = 1 thì ta nói f (x) tương đương với g(x) khi x → x0 . g ( x)

Kí hiệu : f ( x) ~ g ( x), x → x0 •

Với α > 0 ,

+

f ( x) = o( xα ), x → 0 : f (x) là một VCB có bậc cao hơn α so với VCB x khi x → 0 .

+ f ( x) = O( xα ), x → 0 : f (x) là một VCB có bậc α so với VCB x khi x → 0 . + f ( x) ~ xα : f (x) tương đương với VCB xα khi x → 0 .

o Chú ý: Nếu f (x) là VCB khi x → a ( lim f ( x ) = 0 ) thì: x→a

1.

sin f (x) ∼ f (x)

2.

arcsin f (x) ∼ f (x)

4.

arctan f (x) ∼ f (x)

5. 1 − cos f ( x) ~

7.

ln (1+ f (x)) ∼ f (x)

8. [(1 + x)α − 1] ~ α x, α ∈ ℝ .

f 2 ( x) 2

3.

tan f (x) ∼ f (x)

6.

e f ( x ) − 1 ~ f ( x)

Định lý 2.5 Cho f ( x), g ( x), f1 ( x), g1 ( x) là những VCB khi x → x0 , Nếu f ( x) ~ f1 ( x), g ( x) ~ g1 ( x) thì: lim

x → x0

f ( x) f ( x) = lim 1 g ( x) x → x0 g1 ( x)

o Chú ý: Nếu lim f ( x ) = L thì có thể viết f ( x) = L + α ( x) , trong đó α ( x) là một VCB khi x → x0 . x → x0

2.3.2. Vô cùng lớn a. Định nghĩa Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

25

Bài giảng Giải tích 1 Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng lớn khi x → x0 nếu lim f ( x ) = +∞ ( −∞) ( x0 có thể x → x0

hữu hạn hoặc vô cùng).

Ví dụ : 1. f ( x) = x3 − 3x + 1 là một VCL khi x → +∞ .

1 là một VCL khi x → 1 . x −1 b. Các tính chất của vô cùng lớn 2. f ( x) =

2

Tính chất 1 : Nếu f ( x) là một VCL khi x → x0 thì C. f ( x) cũng là một VCL khi x → x0 .

Tính chất 2 : Nếu f ( x), g ( x) là các VCL khi x → x0 thì f ( x) + g ( x) và f ( x).g ( x) cũng là một VCL khi x → x0 .

c. So sánh các vô cùng lớn Cho f ( x ), g ( x) là hai VCL khi x → x0 , 1. Nếu lim

x → x0

f ( x) = ∞ thì ta nói VCL f (x) có bậc cao hơn VCL g(x) (VCL g(x) có bậc thấp hơn g ( x)

VCL f (x)) khi x → x0 .

2. Nếu lim

x → x0

Nếu lim

x → x0

f ( x) = C ≠ 0 thì ta nói VCL f (x) cùng bậc với VCL g(x) khi x → x0 . g ( x)

f ( x) = 1 thì ta nói VCL f (x) tương đương với VCL g(x) khi x → x0 . g ( x)

2.3.3. Liên hệ giữa vô cùng lớn và vô cùng bé 1. Nếu f (x) là một VCB khi x → x0 thì

1 là một VCL khi x → x0 . f ( x)

2. Nếu f (x) là một VCL khi x → x0 thì

1 là một VCB khi x → x0 . f ( x)

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

26

Bài giảng Giải tích 1

§3. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ a. Các định nghĩa

Định nghĩa 1 1. Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b), x0 là một điểm thuộc khoảng (a, b). f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu: lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0

2. Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng [ x0 , b) , f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu:

lim f ( x) = f ( x0 ) .

x → x0+

3. Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, x0 ] , f (x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu:

lim f ( x) = f ( x0 ) .

x → x0 −

4. Nếu hàm số f (x) không liên tục tại x0 , ta nói nó gián đoạn tại x0 .

Ví dụ 1. Ta có f ( x ) = e x liên tục tại x0 = 0 vì lim e x = e 0 = 1 = f (0) . x→0

2.

khi x = 0 0  f ( x) =  1  x sin x khi x ≠ 0

lim f ( x) = lim x.sin x →0

x →0

liên tục tại x0 = 0 vì

1 1 = 0 = f (0) vì khi x → 0 thì x là VCB và sin là hàm bị chặn. x x

Định nghĩa 2 - Hàm số f (x) được gọi là liên tục trong khoảng mở (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- Hàm số f(x) được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a, b] nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng mở (a, b),liên tục phải tại a, và liên tục trái tại b. b. Các phép toán về hàm số liên tục Định lý 2.6 Nếu f ( x) và g ( x) là hai hàm số liên tục trong khoảng (a, b) thì : 1.

f ( x ) + g ( x) liên tục trong (a, b) ,

2.

f ( x ) g ( x) liên tục trong ( a, b) , Cf ( x) liên tục trong ( a, b) , C: hằng số

3.

f ( x) liên tục trong ( a, b) , trừ những điểm x làm g ( x) = 0. g ( x)

o Nhận xét 1. - Các đa thức là những hàm số liên tục.

- Các phân thức hữu tỉ là các hàm số liên tục trừ những điểm làm mẫu của phân thức bằng 0.

- Các hàm số lượng giác là các hàm số liên tục trong miền xác định của nó.

( )

2. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì lim f ( x) = f lim x . x → x0

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

x → x0

27

Bài giảng Giải tích 1 Định lý 2.7 Cho hàm số g ( x) xác định trong khoảng (c, d ) và f ( x) xác định trong khoảng (a, b) và khi x biến thiên trong khoảng (a, b) thì f ( x) không lấy giá trị ngoài khoảng (c, d ) .

Nếu f ( x) liên tục tại x0 ∈ (a, b) và g ( x) liên tục tại điểm tương ứng y0 = f ( x0 ) thì hàm hợp g[f ( x)] liên tục tại x0.

o Nhận xét 1. Các hàm số sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó.

2. Một số giới hạn 1 =0 xα

•

Với α > 0 : lim xα = +∞ , lim

•

Với a > 1 : lim a x = +∞ , lim a x = 0

•

Với 0 < a < 1 : lim a = 0 , lim a x = +∞

•

x →+∞

x →+∞

x →+∞

x →−∞

x

x →+∞

x →−∞

lim log a x = ∞ , lim log a x = ∞

x → 0+

x →+∞

0  a + a x + ... + an x  an lim 0 1 =  x →±∞ b + b x + ... + b x m 0 1 m  bn ∞

khi n < m

n

•

•

lim

α →0

log a (1 + α )

α aα − 1

= log a e ;

khi n > m

lim

ln(1 + α )

α →0

(1 + α )

µ

α

=1

−1

=µ. α →0 α α c. Các tính chất của hàm số liên tục Định lý 2.8 (Weierstrass) Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trên [a, b] , khi đó: •

lim

α →0

= ln a ;

khi n = m

lim

1. f ( x) bị chặn trên đoạn đó.

Tức là ∃ m, M ∈ ℝ sao cho: m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] 2. f ( x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

Tức là ∃x1 , x2 ∈ [ a, b] sao cho:

m = f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x2 ) = M , ∀x ∈ [ a, b ] với m, M ∈ ℝ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [a, b].

Định lý 2.9 (Về giá trị trung gian) Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a, b] và m ≤ µ ≤ M (với m, M ∈ ℝ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn [a, b]) thì tồn tại ít nhất điểm c ∈ [a, b] sao cho f (c) = µ.

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

28

Bài giảng Giải tích 1

Định lý 2.10 Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a, b] và f (a).f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0. (Tức là phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a, b)).

f(b

f(a) d. Điểm gián đoạn của hàm số Hàm số f (x) gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f (x) nếu một trong các trường hợp sau xảy ra: - f (x) không xác định tại x0 - f (x) xác định tại x0 , nhưng lim f ( x) ≠ f ( x0 ) x → x0

- Không tồn tại lim f ( x) . x → x0

o Chú ý 1. Nếu f (x) không xác định tại x0 , nhưng lim f ( x) = lim f ( x) thì x0 gọi là điểm gián x → x0 − 0

x → x0 + 0

đoạn bỏ được.

Ví dụ tan x tan x không xác định tại x = 0 nhưng lim =1. x → 0 x x Vậy x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được.

Hàm số f ( x) =

2. Nếu lim f ( x) và lim f ( x) tồn tại nhưng lim f ( x) ≠ lim f ( x) thì x gọi là điểm gián x → x0 − 0

x → x0 + 0

x → x0 − 0

đoạn loại 1. lim f ( x) − lim f ( x) : bước nhảy của f tại x .

x → x0 − 0

x → x0 + 0

0

Ví dụ

 x + 1 khi x ≤ 0 f ( x) =   x − 1 khi x > 0 f (x) gián đoạn loại 1 tại x = 0.

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

29

x → x0 + 0

0

Bài giảng Giải tích 1 3. Những điểm gián đoạn không thuộc loại 1 được gọi là điểm gián đoạn loại 2.

Ví dụ f ( x) =

1 gián đoạn loại 2 tại x0 = 0 . Vì f (0) không xác định x2 lim+

x −> 0

1 1 = lim− 2 = ∞ .

2 x −> 0 x x

3.5.Hàm số liên tục đều

Định nghĩa Hàm số f (x) được gọi là liên tục đều trong khoảng (a, b) nếu với ε > 0 bất kì, luôn tìm được

δ > 0 sao cho với mọi u , v ∈ I thỏa | u − v | < δ thì | f (u ) − f (v) | < ε .

Ví dụ 1. Hàm số f ( x) = 2 x − 1 liên tục đều trong khoảng (0, + ∞) . Thật vậy, Vì với ε > 0 cho trước nhỏ tùy ý, nếu ta lấy δ =

ε thì với mọi x, x ' ∈ (0, + ∞) mà | x − x ' | < δ thì 2

ta có | f ( x) − f ( x ') | = | 2 x − 1 − (2 x '− 1) | = 2 | x − x ' | < 2δ = ε

1 với x ∈ (0, + ∞) . x Rõ ràng hàm số này liên tục trong khoảng (0, + ∞) . Ta sẽ chứng minh nó không liên tục đều trong 2. Cho hàm số f ( x) =

khoảng đó.

Trước hết chú ý rằng: Hàm số f sẽ là một hàm số không liên tục đều trong khoảng ( a, b) nếu có số ε0 > 0 sao cho với mỗi số δ > 0 , ∃x, x ' ∈ (0, + ∞) mà | x − x ' | < δ và

| f ( x) − f ( x ') | ≥ ε0 . Đối với hàm số

x=

δ δ , x' = 2n n

| x − x'| =

(n

f ( x) =

1 , ta có thể lấy ε0 = 1 , khi đó với mỗi số δ > 0 , ta chọn hai điểm x

là số nguyên tùy ý, n ≥ δ ). Lúc đó, ta có

x, x ' ∈ (0, + ∞) mà

δ δ δ 2n n n − = < δ và | f ( x ) − f ( x ') | = − = ≥ 1 = ε0 .

2n n 2n δ δ δ

Điều đó chứng tỏ hàm số f ( x) =

1 không liên tục đều trong khoảng (0, + ∞) . x

Định lý 2.11 (Heine) Hàm số f (x) liên tục trong khoảng đóng [a, b] thì f (x) liên tục đều trong [a, b] BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau: a) f ( x) =

x−2 2x −1

b) f ( x) =

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

ln(1 + x) x −1

30

c) f ( x) = 1 − 2 x + 3arcsin

3x − 1 2

Bài giảng Giải tích 1 d) f ( x) = 4 − x 2 + g) f ( x) = k) f ( x) =

1 x

x−2 cos 2 x

x  e) f ( x) = arccos  − 1 2  h) f ( x) =

2 x2 + 3 x − x2 − 4

f) f ( x) =

1 xe x

i) f ( x) = lg(3x − 1) + 2 lg( x + 1)

x − sin x 2− x

2. Tìm tập hợp các giá trị của các hàm số: a) f ( x) = x 2 − 6 x + 5

b) f ( x ) = 2 + sin 3 x

3. Tìm chu kì của các hàm sau: b) f ( x) = sin 6 x + tan 4 x

a) f ( x) = cos 8 x

4. Xác định tính chẵn hoặc lẻ của các hàm sau: a) f ( x) = x 2 3 x + 2sin x

b) f ( x) = 2 x + 2− x

d) f ( x) = x 2 + 5 x

e) f ( x) = lg

c) f ( x) =| x | − 5e x

2

x+3 x−3

5. Tìm các giới hạn sau: 5x + 2 x →4 2 x + 3

a) lim

d) lim x →1

x3 − x2 − x + 1 x3 + x 2 − x − 1

c) lim

x3 − 1000 x →10 x 3 − 20 x 2 + 100 x

f) lim

x →3

e) lim

(1 + x)3 − 1 g) lim x →0 x 5

l)

3x + 5 x →∞ 2 x + 7

b) lim

h) lim x →0

x3 + 2 x 2 + 3x + 4 lim 3 x →∞ 4 x + 3 x 2 + 2 x + 1

x →∞

p) lim( x 2 + 8 x + 3 − x 2 + 4 x + 3) x →∞

x+4 −2 x

x →0

sin mx x

m) lim

x2 − 9 x 2 − 3x

i) lim x →0

1 − cos 5 x x2

 x2 + 5x + 4  n) lim  2  x →∞ x − 3 x + 7  

3x 4 − 2 x8 + 3 x + 4

x

ln(1 + 3 x sin x) x →0 tan x 2

q) lim

1

7. Tìm các giới hạn bên trái và bên phải của hàm f ( x ) =

x+2

1 x −3

khi x → 3 .

1

8. Tìm các giới hạn bên trái và bên phải của hàm f ( x) = e x−a khi x → a .

9. Giả sử t là đại lượng VCB. So sánh các đại lượng VCB f (t ) = 5t 2 + 2t 5 và g (t ) = 3t 2 + 2t 3 .

10. So sánh các đại lượng VCB f (t ) = t sin 2 t và g (t ) = 2t sin t khi t → 0 .

11. So sánh các đại lượng VCB f (t ) = t ln(1 + t ) và g (t ) = t sin t .

12. Chứng minh rằng hàm số y =

x gián đoạn tại x = 4 . x−4

13. Chứng minh rằng hàm số y = arctan 14. Chứng minh rằng hàm số y =

1 gián đoạn tại x = 4 . x−4

x 2 − 25 gián đoạn tại x = 4 . x−5

Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

31

Bài giảng Giải tích 1

Chương 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. ĐẠO HÀM 1.1.Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b), x0 ∈ (a, b) .

Nếu tồn tại giới hạn

lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) ∈ ℝ , x ≠ x0 x − x0

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f (x) tại x0 , kí hiệu là f '( x0 ) .

Hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0 .

Nếu hàm số f (x) khả vi tại điểm mọi điểm x ∈ ( a, b) thì ta nói f (x) khả vi trên khoảng (a, b).

o Nhận xét Nếu đặt ∆x = x − x0 thì biểu thức ở định nghĩa trở thành

lim

∆x →0

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) := f '( x0 ) ∆x

1.2.Cách tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa: B1 : Tính ∆x = x − x0 và ∆y theo công thức ∆y = f (∆x + x ) − f(x ).

0

B2 : Lập tỉ số

0

∆y ∆x

∆y ∆x → 0 ∆x

B3: Tìm giới hạn lim

f (x) − f (x 0 ) f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ∆y = lim = lim x →x0 ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x x − x0

Khi đó, f’( x0 ) = lim

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = x 3 tại x0 = 1.

Ta có:

∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f (1 + ∆x) − f (1) = (1 + ∆x)3 − 13= 3.∆x + 3.(∆x)3 + (∆x) 3

∆y ∆x ( 3 + 3.∆x + (∆x )2 ) = = 3 + 3.∆x + (∆x) 2 ∆x ∆x ∆y = lim 3 + 3.∆x + ( ∆x ) 2  = 3 . Vậy f’(1) = 3 . ∆x ∆x→0 1.3.Ý nghĩa hình học của đạo hàm lim

∆x → 0

Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 là f’( x0 ) thì f’( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm M ( x0 , f ( x0 )).

0

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

32

Bài giảng Giải tích 1 f’(x ) = tan α 0

1.4.Đạo hàm một phía 1. Nếu tồn tại giới hạn lim

x → x0 − 0

f ( x) − f ( x0 ) thì giới hạn này gọi là đạo hàm trái của f (x) tại x0 . x − x0

Kí hiệu: f ’( x0 - 0) hay f −' ( x0 ) .

2. Nếu tồn tại giới hạn lim

x → x0 + 0

f ( x) − f ( x0 ) thì giới hạn này gọi là đạo hàm phải của f (x) tại x0 . x − x0

Kí hiệu: f ’( x0 + 0) hay f +' ( x0 ) .

o Chú ý -

f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f −' ( x0 ) = f +' ( x0 ) .

-

Nếu f −' ( x0 ) ≠ f +' ( x0 ) thì f (x) không có đạo hàm tại x0 .

-

f (x) có đạo hàm trên đoạn [a, b] nếu nó có đạo hàm trong khoảng (a, b), có đạo hàm phải tại a

và đạo hàm trái tại b.

1.5.Đạo hàm vô cùng Nếu lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) = +∞ (−∞) thì ta nói hàm số f (x) có đạo hàm vô hạn tại x0 . x − x0

1.6.Liên hệ giữa tính liên tục và tính có đạo hàm

Định lý 3.1 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x = x0 thì nó liên tục tại x0 .

o Chú ý : Điều ngược lại chưa chắc đúng. Định lý 3.2 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại trên đoạn [a, b] thì nó liên tục trên đoạn đó.

1.7.Các phép tính đạo hàm Định lý 3.3 Cho hai hàm số f (x) và g(x) xác định trên khoảng (a, b), Giả sử f (x) và g(x) có đạo hàm tai x ∈ ( a, b) .

Khi đó : f ( x) + g ( x), f ( x).g ( x),

f ( x) cũng có đạo hàm tại x và g ( x)

1. [f ( x) + g ( x)]' = f '( x) + g '( x) 2. [f ( x) g ( x)]' = f '( x) g ( x) + f ( x) g '( x) ;

[cf ( x)]' = cf '( x) , c : hằng số

 f ( x)  f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x) 3.  , g ( x) ≠ 0 . '=  g 2 ( x)  g ( x) 

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

33

Bài giảng Giải tích 1 Ví dụ 1. Xét đa thức y = a0 x n − a1 x n−1 + ... + an−2 x 2 + an−1x + an Theo định lý, ta có y ' = (a0 x n ) '− (a1x n−1 ) '+ ... + (an−2 x 2 ) '+ (an−1 x) '+ (an ) ' = a0 ( x n ) '− a1 ( x n−1 ) '+ ... + an−2 ( x 2 ) '+ an−1 ( x) '+ (an ) ' = na0 x n−1 + ( n − 1) a1 x n −2 + ... + 2an−2 x + an−1

x sin x + cos x . Theo định lý 3.3, ta có x cos x − sin x ( x sin x + cos x ) '( x cos x − sin x ) − ( x sin x + cos x )( x cos x − sin x ) ' y' = ( x cos x − sin x ) 2

2. Cho y =

=

x cos x( x cos x − sin x) − ( x sin x + cos x)(− x sin x) x2 = ( x cos x − sin x)2 ( x cos x − sin x) 2

Định lý 3.4 (Đạo hàm của hàm số hợp) Cho hàm số u = g ( x ) , g : ( a, b) → (c, d ) có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) và hàm số y = f ( x) , f : (c, d ) → ℝ có đạo hàm tại u0 = g ( x0 ) Khi đó, hàm hợp y = f [ g ( x)] có đạo hàm tại x0 và f '( x0 ) = f '[g ( x)]g '( x0 ) .

Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y = f ( x) = (1 + x 2 )100 .

Ta có thể dùng công thức nhị thức Newton để khai triển sẽ tìm được đạo đạo của nó, nhưng khá cồng kềnh.

Nếu ta xem (1 + x 2 )100 là hàm số hợp : y = u100 , u = 1 + x 2 , ta có

y '(u ) = 100u 99 , u '( x) = 2 x Theo công thức đạo hàm hàm hợp. ta có :

y '( x) = 100u 99 . 2 x = 100(1 + x 2 )99 .2 x = 200 x(1 + x 2 )99 Định lý 3.5 (Đạo hàm của hàm ngược) Cho hàm số f : [a, b] → [c, d ] là một song ánh liên tục,

g = f −1 : [c, d ] → [a, b] là hàm số ngược của f.

Nếu f có đạo hàm tại x0 ∈ [a, b] và f '( x0 ) ≠ 0 thì g có đạo hàm tại y0 = f ( x0 ) và

g '( y0 ) =

1 f '( x0 )

Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 1. (C)’ = 0 α

(Cu)’ = C.u’ α-1

2. (x )’ = α x

α

α-1

(u )’ = α u .u’

Đặc biệt: (x)’ = 1

( x )' = 21x

( x > 0)

( u ) ' = 2u 'u (u > 0)

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

34

Bài giảng Giải tích 1 1 1   ' = − 2 ( x ≠ 0) x  x

u' 1   ' = − 2 (u ≠ 0) u u

x

x

(e )’ = u’.e

x

x

(a )’ = u’.a .lna

3. (e )’ = e

(a )’ = a .lna

1 4. (ln x) ' = ( x ≠ 0) x 1 (log a x) ' = ( x ≠ 0) x ln a

u

u

u

u

(0 < a ≠ 1)

u' (u ≠ 0) u u' (log a u ) ' = (u ≠ 0) u ln a

(ln u ) ' =

5. (sinx)’ = cosx

(sinu)’ = u’cosu

(cosx)’ = -sinx

(cosu)’ = -u’.sinu

1 cos 2 x 1 (cot x) ' = − 2 sin x

u' cos 2 u u' (cot u ) ' = − 2 sin u

(tan x) ' =

1

6. (arcsin x)’ =

1− x

(arccos x)’ = − (arctan x)’ =

(tan u ) ' =

(arcsin u)’ =

2

1

1− u2

(arccos u)’ = −

1 − x2

1 1 + x2

(arccot x)’ = −

u′ u′ 1 − u2

u′ 1+ u2 u′ (arccot u)’ = − 1 + u2 (arctan u)’ =

1 1 + x2

1.8.Đạo hàm cấp cao Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đối với x là y’ = f ’(x).

Khi đó: y’ = f’(x) cũng là một hàm số gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số y = f (x).

Nếu f’(x) có đạo hàm đối với x thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f (x). Kí hiệu là y’’ hay f’’(x). y’’ = f’’(x) = [f’(x)]’ Tương tự, ta định nghĩa đạo hàm cấp 3 , 4 , … , n và kí hiệu lần lượt là :

Đạo hàm cấp 3 : y’’’ = f’’’(x) = [f’’(x)]’ Đạo hàm cấp 4 : y(4) = f (4)(x) = [f (3) (x)]’ (n-1)

Đạo hàm cấp n : y(n) = f (n)(x) = [f (x)]’ Qui tắc Leibnitz Cho u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm đến cấp n đối với x. Khi đó: 1. (u + v)( n ) = u ( n ) + v ( n ) 2. ( u.v )

( n)

n

=  Cnk u ( n − k ) v ( k )

(*)

k =0

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

35

Bài giảng Giải tích 1 Trong đó: Cnk =

n! và u (0) = u, v(0) = v . k !( n − k )!

(*) được gọi là công thức Leibnitz. *

*

*

*

*

§2. VI PHÂN 2.1.

Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) liên tục tại x.

f ( x + ∆x) − f ( x) := f '( x) ∆x f ( x + ∆x) − f ( x) = f '( x )∆x + o( ∆x) ,

Theo định nghĩa đạo hàm: lim

∆x →0

Nên

Trong đó o( ∆x) là VCB có bậc cao hơn ∆x khi ∆x → 0 .

Biểu thức f’(x)∆x gọi là vi phân của hàm số y = f (x) tại x. Kí hiệu : dy hoặc df.

2.2.

Sự liên hệ giữa vi phân và đạo hàm

Định lý 3.6 Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a, b). Điều kiện cần và đủ để y = f (x) khả vi trong (a, b) là nó có đạo hàm trong (a, b) và khi đó, df = f’(x)∆x.

(*)

o Chú ý Nếu y = f (x) = x thì f’(x) = 1  df = dx = 1. ∆x = ∆x Như vậy, đối với biến số độc lập x, ta có dx = ∆x.

Do đó, (*) có thể viết là: df = f’(x) dx : Công thức này dùng để tính vi phân hàm số.

2.3.

Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng Cho hàm số y = f (x) khả vi tại x0

Công thức tính gần đúng giá trị f ( x0 + ∆x) (với ∆x khá bé) là: f ( x0 + ∆x) ≈ f ’( x0 ).∆x + f ( x0 ) Ví dụ Cho biết giá trị của ln 2 , hãy tính gần đúng giá trị của ln 2,00,; ln 2, 002; ln 2,003; ...

Vì (ln x) ' =

1 cho nên nếu thay x0 = 2, ∆x = α vào công thức x ln( x0 + ∆x) ≈ ln x0 +

∆x x

α .

2

Ta được:

ln(2 + α) = ln 2 +

Từ đó:

ln 2,001 ≈ ln 2 + 0,0005 ln 2,002 ≈ ln 2 + 0,001

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

36

Bài giảng Giải tích 1 ln 2,001 ≈ ln 2 + 0,0015 .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

37

Bài giảng Giải tích 1 2.4. Vi phân cấp cao Cho hàm số y = f (x) khả vi trong (a, b).

o Vi phân df = f '( x) dx được gọi là vi phân cấp một của f (x) tại x ∈ ( a, b) . o Vi phân của vi phân cấp một df được gọi là vi phân cấp hai của hàm số f (x).

Kí hiệu: df 2 .

d 2 f := d (df ) = d ( f '( x)dx) = ( f ''( x)dx) ' dx = f ''( x)(dx) 2 Tương tự, ta định nghĩa vi phân cấp 3 , 4 , … , n của hàm số y = f (x) và kí hiệu lần lượt là : Vi phân cấp 3 : d 3 f := f (3) ( x)(dx)3 Vi phân cấp 4 : d 4 f := f (4) ( x)(dx)4 Vi phân cấp n : d n f := f ( n ) ( x)(dx)n

*

*

*

*

*

§3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 3.1.Định nghĩa (cực trị) Giả sử f : X → ℝ là một hàm số xác định trên tập hợp số thực X ⊂ ℝ .

Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm c ∈ X nếu tồn tại một khoảng (a, b) ⊂ X sao cho c ∈ ( a, b) và f ( x) ≤ f (c) ( f ( x) ≥ f (c) ) với mọi x ∈ ( a, b) .

Điểm cực đại và điểm cực tiểu c của hàm số f được gọi chung là điểm cực trị của f.

3.2.Các định lý về giá trị trung bình 3.2.1. Định lý 3.7 (Định lý Fermat) Nếu hàm số f : ( a, b) → ℝ đạt cực trị tại c ∈ ( a, b) và có đạo hàm tại c thì f '(c) = 0 .

3.2.2. Định lý 3.8 (Định lý Rolle) Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trong [a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và thỏa mãn điều kiện f (a) = f (b).

Khi đó : Tồn tại một điểm c ∈ ( a, b) sao cho f '(c) = 0

Ý nghĩa hình học

3.2.3. Định lý 3.8 (Định lý Lagrange về số gia hữu hạn) Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trong [a, b] và khả vi trên khoảng (a, b).

Khi đó: Tồn tại một điểm c ∈ ( a, b) sao cho

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

38

Bài giảng Giải tích 1 f (b) − f (a) = f '(c) hay f (b) − f ( a ) = f '(c)(b − a ) . b−a Ý nghĩa hình học Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b], khả vi trong [a, b] thì tồn tại điểm c ∈ ( a, b) sao cho tiếp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm M(c, f (c)) song song với dây cung AB.

o Chú ý • Định lí Rolle là một trường hợp riêng của định lí Lagrange.

• Dạng khác của công thức Lagrange: Vì c ∈ (a, b) nên

c = a + θ(b − a ) , (0 < θ < 1)

Do đó công thức trong định lý Lagrange trở thành: f (b) − f ( a ) = f '[ a + θ(b − a )].(b − a ) Nếu đặt a = x , b = x0 + ∆x ta có: 0

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f '( x0 + θ∆x).∆x Công thức trên gọi là công thức số gia hữu hạn.

3.2.4. Định lý 3.9 (Định lý Cauchy) Cho hai hàm số f (x) và g(x) xác định, liên tục trong [a, b] và g ( a ) ≠ g (b) ; Giả sử f (x) và g(x) khả vi trên khoảng (a, b) và g '( x) ≠ 0, ∀x ∈ ( a, b) Khi đó: Tồn tại một điểm c ∈ ( a, b) sao cho f (b) − f ( a ) f '(c) . = g (b) − g ( a ) g '(c )

Nhận xét :

Định lý Lagrange là một trường hợp riêng của định lý Cauchy.

3.3.Công thức Taylor Định lý 3.10 (Mở rộng định lý Lagrange) Cho hàm f (x) xác định có đạo hàm đến cấp n liên tục trong [a, b], có đạo hàm cấp trong (a, b).

Khi đó: Với bất kì c ∈ ( a, b) ta có :

f ( x ) = f (c) +

f ′(c) ( f ′′ ( c ) ( 2 x − c) + x − c ) + ... + 1!

2! ( ) ( n +1) (c) f n (c) ( x − c )n + f ( x − c )n+1 + ( n + 1) ! n!

( c nằm giữa x và c) Công thức trên được gọi là công thức Taylor của hàm f (x) tại c

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

39

(n + 1) lần

Bài giảng Giải tích 1 Chú ý: 1. Khi n = 0 thì công thức trên chính là công thức Lagrange.

2. Nếu đặt Pn ( x) = f (c) +

f '(c) f ( n ) (c ) ( x − c) + ... + ( x − c) n thì công thức trên cho ta biểu diễn gần 1! n!

đúng băng đa thức Pn ( x) ở lân cận của c với sai số:

f n +1 ( c ) ( x − c )n +1 Rn ( x) = ( n + 1)! (

)

Rn ( x) còn được gọi là phần dư bậc n trong công thức Taylor.

Nếu

f ( n +1) ( x) ≤ M n +1 , ∀x ∈ [ a, b ] , M n +1 > 0 thì

Rn ( x) ≤

M n+1 n +1 x−c (n + 1)!

3.4.Công thức Mac Laurin Nếu c = 0 ∈ (a, b) thì công thức Taylor gọi là khai triển Mac Laurin của hàm

f (x).

Khai triển Mac Laurin của f (x): ( ) ( ) f ′(c) f ′′ ( c ) f n (c) f n+1 ( c ) 2 n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x − c )n+1 f x = f c + x−c + x − c + ... + x−c + ( n + 1)!

1!

2! n!

f ( x ) = f ( 0) +

( ) ( ) f ′ ( 0) f ′′ ( 0 ) 2 f n ( 0 ) n f n +1 ( θx ) n+1 x+ x + ... + x + x ( 0 < θ < 1) ( n + 1) !

1!

2! n!

Khai triển Maclaurin của vài hàm số sơ cấp thường gặp 1. Hàm y = f ( x) = (1 + x )α , α ∈ ℝ, x > −1

( ) ( )( ) (1 + x )α = 1 + α x + α α − 1 x 2 + α α − 1 α − 2 x 3 + ... + 1!

2!

3! α ( α − 1) ... ( α − n + 1) n α ( α − 1) ... ( α − n ) α− n + x + . ( 1 + θ

x ) x n +1 ( n + 1) ! n! n 0( x )

•

Đặc biệt, với α = n ∈ ℕ*  Rn ( x) = 0 . Do đó

( ) ( )( ) ( ) ( ) (1 + x )n = 1 + n x + n n − 1 x 2 + n n − 1 n − 2 x 3 + ... + n n − 1 ... n − k + 1 x k + ... + x n 1!

2!

3! k!

(Khai triển này có thể viết dưới dạng nhị thức Newton) Nếu thay x bởi -x, ta có : ( )( ) (1 − x )n = 1 − n x + n( n − 1) x 2 − n n − 1 n − 2 x3 + ... + 1!

2!

3! ( ) ( ) n n − 1 ... n − k + 1 k + (−1) k x + ... + (−1) n x n k!

•

Với α = −1 , ta có :

1 1 n n +1 = 1 − x + x 2 − ... + ( −1) x n + ( −1) x n +1. n +1 1+ x (1 + θx ) Nếu thay x bởi -x, ta có :

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

40

Bài giảng Giải tích 1 1 1 = 1 + x + x 2 ... + x n + x n+1. n +1 1− x (1 + θx ) •

Với α =

1 , ta có : 2

1+ x = 1+ •

Với α = −

1 1 x − x 2 + x 2 .o( x) 2 8

1 , ta có : 2 1 1 3 = 1 − x + x 2 + x 2 .o( x) 2 8 1+ x

2. Hàm y = f ( x) = ln(1 + x)

ln (1 + x ) = x −

n x2 x3 1 n −1 x n 1 + − ... + ( −1) + ( − 1) . x n +1 . n +1 2 3 n n + 1 (1 + θx )

ln (1 + x ) = x −

Khi x là VCB thì:

x2 + o( x 2 ).

2

ln (1 − x ) = − x −

x2 + o( x 2 ).

2

3. Hàm y = f ( x) = e x

Khi x là VCB thì:

ex = 1 +

x x2 xn eθx + + ... + + x n +1 ( ) 1! 2! n! n + 1 !

ex = 1 +

x x2 + + o( x 2 ) 1! 2!

4. Hàm y = f ( x ) = sin x

sin x = x −

2 n −1 2n x3 x5 x 7 n −1 x ( −1)n + ( −1)n x sin θx + − + ... + ( −1) ( 2n − 1)!

3! 5! 7!

(2n)!

Khi x là VCB thì:

sin x = x −

x3 + o( x3 ) 3!

5. Hàm y = f ( x ) = cos x

cos x = 1 − Khi x là VCB thì:

2n 2 n +1 x 2 x 4 x6 n x n +1 x + − + ... + ( −1) + ( −1) cos θx ( 2n ) ! ( 2n + 1) !

2! 4! 6!

cos x = 1 −

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

x2 + o( x 2 ) .

2!

41

Bài giảng Giải tích 1

§4. QUY TẮC L’HOSPITAL 4.1.Qui tắc L’hopital Định lý 3.11 Giả sử 1. Các hàm số f (x), g(x) khả vi trong một lân cận I của a, (có thể không khả vi tại a), g’(x) ≠ 0 trong lân cận ấy, ∀x ∈ I , x ≠ a .

2. lim f ( x) = 0 , lim g ( x) = 0 x →a

x→a

Khi đó, nếu lim x→a

f '( x) f ( x) = A thì lim = A. x → a g '( x) g ( x)

Định lý 3.12 Giả sử 1. Các hàm số f (x), g(x) khả vi trong một lân cận I của a, trừ a và g’(x) ≠ 0 trong lân cận ấy,

∀x ∈ I .

2. lim f ( x) = ∞ , lim g ( x) = ∞ x →a

x→a

Khi đó, nếu lim x→a

f '( x) f ( x) = A thì lim = A. x →a g ( x) g '( x)

o Chú ý 1. Các định lý trên gọi là các quy tắc L’hospital, dùng để tính các giới hạn có dạng vô định

0 ∞ , 0 ∞

.

2. Các định lý trên còn được áp dụng cho trường hợp A = ∞ và x → +∞ ( −∞) .

Khi áp dụng qui tắc L’hospital, nếu tỉ số

0 ∞ f '( x) lại có dạng hoặc thì ta có thể áp dụng qui 0 ∞ g '( x)

tắc L’hospital một lần nữa, còn nếu không tồn tại lim x→a

f '( x ) f ( x) thì chưa kết luận được lim . x →a g ( x) g '( x)

Ví dụ a x − xa a x ln a − ax a −1 = lim = a a (ln a − 1) . x →a x − a x→a 1

1. lim

e x − e− x − 2 x x →0 x − sin x

2. lim

Ta có: f ( x) = e x − e− x − 2 x ,

f (0) = 0 ,

f '( x) = e x + e− x − 2 ,

f '(0) = 0 ,

f ''( x) = e x − e− x ,

f ''(0) = 0 ,

f '''( x) = e x + e− x ,

f '''(0) = 0 ,

g ( x) = x − sin x ,

g (0) = 0 ,

g '( x) = 1 − cos x ,

g '(0) = 0 ,

g ''( x) = sin x ,

g ''(0) = 0 ,

g '''( x) = cos x ,

g '''(0) = 1 .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

42

Bài giảng Giải tích 1 Do đó, giới hạn cần tìm là 2.

4.2.Khử dạng vô định ∞ − ∞ , 0.∞ Việc khử các dạng vô định này được thực hiện bằng cách chuyển về dạng

0 ∞ hoặc rồi áp 0 ∞

dụng quy tắc L’Hospital.

1   Tìm lim  2  x →0 x − cot 2 x  

Ví dụ Ta có:

1 sin 2 x − x 2 cos 2 x sin x + x cos x sin x − x cos x = = . x 2 − cot 2 x x 2 sin 2 x sin x x 2 sin x

sin x + x cos x x   = lim 1 + .cos x  = 2 x →0 x →0 sin x  sin x 

Mặt khác: lim

sin x − x cos x sin x − x cos x = lim 2 0 x → x sin x x3 Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được lim x →0

sin x − x cos x cos x − cos x + x sin x x sin x 1 = lim = lim = .

3 2 x →0 x →0 x →0 3 x 2 x 3x 3

lim

1   2 Vậy lim  2  = . x →0 x − cot 2 x   3 4.3.Khử dạng vô định 00 , 1∞ , ∞ 0 g(x)

Xét hàm số [f (x)]

(f(x) > 0)

Muốn tính lim [ f ( x)]g ( x ) có dạng vô định 00 , 1∞ , ∞ 0 x →a ( ∞ )

g(x)

•

Đặt y = [f (x)]

• •

Lấy ln hai vế: lny = ln[f (x)] Lấy giới hạn hai vế của (*) :

g(x)

= g(x)ln f (x)

(*)

lim ln y = lim ( g ( x ) ln f ( x ) )

(**)

x→a ( ∞ )

x →a ( ∞ )

Mà hàm lny là hàm số liên tục nên (**) trở thành: ln lim y = lim g ( x ) ln f ( x ) x→a (∞ )

x→a (∞ )

g ( x )ln f ( x )

lim

 lim y =e x→a (∞) x→a ( ∞)

[ f ( x)] x →a ( ∞ )

 lim

g ( x)

[ f ( x)] x →a ( ∞ )

Vậy lim

lim g ( x ).ln f ( x )

= e x→a ( ∞ )

g ( x)

lim g ( x ).ln f ( x )

= e x→a ( ∞ )

Việc khử ba dạng vô định trên được đưa về việc khử dạng vô định 0.∞ 1

Ví dụ

π  ln x Tìm lim  − arctan x  . x →+∞ 2  

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

43

Bài giảng Giải tích 1 1

π  ln x Đặt y =  − arctan x  , ta có 2  π  ln  − arctan x  2  ln y =  ln x Theo quy tắc L’hospital: − lim ln y = lim

x →+∞

x →+∞

1 1 .

2 1 − x2 x π + x 1 − arctan x 1 − x2 (1 + x 2 )2 1 + x2 2 = lim = lim = lim = −1 x →+∞ x →+∞ x→+∞ 1 + x 2 1 π 1 − + arctan x x 2 1 + x2

1 Từ đó suy ra: lim y = e −1 = . x →+∞ e o Chú ý Quy tắc L’hospital chỉ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần để tồn tại giới hạn. Vì vậy nếu không tồn tại giới hạn lim x→a

giới hạn lim x →a

f '( x ) thì cũng không thể kết luận được có tồn tại g '( x)

f ( x) hay không. g ( x)

*

*

*

*

*

§5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 5.1.Khảo sát chiều biến thiên của hàm số 5.1.1. Tính tăng, giảm của hàm số Định lý 3.13

Cho hàm số f xác định, liên tục trong [a, b] và khả vi trong (a, b), khi đó: 1.

f '( x) = 0, ∀x ∈ (a, b) ⇔ f ( x) = c, ∀x ∈ [a, b] , c: hằng số.

2.

f ( x) tăng (giảm) trong [a, b] khi và chỉ khi f '( x ) ≥ 0 ( f '( x) ≤ 0), ∀x ∈ (a, b) .

3. Nếu f '( x ) ≥ 0 ( f '( x) ≤ 0), ∀x ∈ (a, b) và f '( x) > 0 ( f '( x) < 0) tại ít nhất một điểm x thì f (b) > f (a ) ( f (b) < f (a )) .

Ví dụ Hàm số y = 2 x3 − 3x 2 − 12 x + 5 có đạo hàm là

y ' = 6 x 2 − 6 x − 12 = 6( x + 1)( x − 2) .

Ta có: x

-1

−∞

y’

+

0

2 -

0

+∞

+

Vậy hàm số đã cho tăng trong các khoảng (−∞, − 1) và (2, + ∞) , giảm trong khoảng (−1, 2) .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

44

Bài giảng Giải tích 1 Hệ quả 3.14 Cho hai hàm số f , g xác định, liên tục trong [a, b] và khả vi trong (a, b), khi đó:

1. Nếu f (a ) ≤ g (a ) và f '( x) ≤ g '( x ) , ∀x ∈ (a, b) thì f ( x) ≤ g ( x) , ∀x ∈ [a, b] .

2. Nếu f (a ) ≤ g (a ) và f '( x) < g '( x ) , ∀x ∈ (a, b) thì f ( x) < g ( x) , ∀x ∈ [a, b] .

5.1.2. Tính cực trị của hàm số Định nghĩa

Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trong [a, b] và khả vi trong (a, b) (có thể trừ ra một số hữu hạn điểm) Giả sử x0 ∈ (a, b) (có thể f không khả vi tại x = x0 ), khi đó: -

Nếu tại điểm x = x0 , hàm số y = f ( x) có đạo hàm và f '( x0 ) = 0 , ta nói x = x0 là điểm dừng của y = f ( x) .

-

Nếu tại điểm x = x0 , hàm số y = f ( x) có đạo hàm bằng không hoặc không có đạo hàm thì ta nói x = x0 là điểm tới hạn của hàm số.

Định lý 3.15 Cho hàm số f xác định, liên tục trong [a, b] và khả vi trong (a, b) (có thể trừ ra một số hữu hạn điểm) Giả sử x0 ∈ (a, b) (có thể f không khả vi tại x = x0 ), khi đó: 1. Nếu khi x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f (x) đạt cực đại tại x = x0 .

2. Nếu khi x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f (x) đạt cực tiểu tại x = x0 .

3. Nếu khi x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f (x) không đạt cực trị tại x0 .

Ví dụ 2

1. Tìm cực trị của hàm số f ( x) = x 3 ( x − 5) Giải 2 3

2 − 13 2( x − 5) 5( x − 2) Ta có: f '( x) = x + x ( x − 5) = 3 x 2 + . = 3 3. 3 x 3. 3 x Dễ thấy, hàm số y = f ( x) có hai điểm tới hạn: x = 0 (tại đó hàm số không có đạo hàm) và

x = 2 (tại đó đạo hàm triệt tiêu).

Ta có bảng xét dấu x

0

−∞

f’ (x)

+

||

2 -

0

+∞ +

Do đó, theo định lý 4.10 suy ra: Tại x = 0 , hàm số có cực đại, tại x = 2 hàm số có cực tiểu.

2. Tìm cực trị của hàm số f ( x) = ( x − 1)3 Giải Ta có: f '( x) = 3( x − 1) 2 .

Tại điểm x = 1 , đạo hàm triệt tiêu.

Nhưng vì f '( x) > 0, ∀x ≠ 1 nên hàm số không đạt cực trị tại bất kì điểm nào.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

45

Bài giảng Giải tích 1 Hàm số tăng trên toàn trục số. Định lý 3.16 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n trong (a, b) và giả sử tại x0 ∈ (a, b) có

f '( x0 ) = f ''( x0 ) = ... = f (

n −1)

( x0 ) = 0, f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 . Khi đó:

1. Nếu n chẵn và f ( n ) ( x0 ) > 0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x = x0 , Nếu n chẵn và f ( n ) ( x0 ) < 0 thì f (x) đạt cực đại tại x = x0 .

2. Nếu n lẻ thì f (x) không đạt cực trị tại x = x0 .

Ví dụ 1. Xét xem hàm số f ( x) = e x + e− x + 2cos x có đạt cực trị tại điểm x = 0 hay không?

Giải Ta có: f '( x) = e x − e− x − 2sin x , f '(0) = 0  x = 0 là điểm dừng của f (x).

Mặt khác :

f ''( x) = e x + e− x − 2cos x ,

f ''(0) = 0

f '''( x) = e x − e− x + 2sin x ,

f '''(0) = 0

f (4) ( x) = e x + e− x + 2sin x ,

f (4) (0) = 4

Như vậy, hàm số đã cho có cực tiểu tại điểm x = 0 (do với n = 4 chẵn, f (4) (0) > 0 ).

2. Hàm số f ( x) = x3 triệt tiêu tại 0 và có các đạo hàm đến cấp hai triệt tiêu tại đó : f '(0) = 0, f ''(0) = 0 ; nhưng f '''(0) = 6 > 0 nên hàm số không có cực trị tại x = 0 . Hàm này tăng trên toàn trục số.

5.1.3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Theo tính chất liên tục của hàm số: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [a, b] thì nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

Tức là:

∃x1 , x2 ∈ [a, b] sao cho ∀x ∈ [a, b], m = f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) = M , m gọi là giá trị nhỏ nhất, M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên [a, b] được kí hiệu là M = max f ( x), m = min f ( x ) . [a,b]

[a ,b]

Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục trên [a, b]: B1. Tìm hoành độ các điểm cực trị của hàm số trên đoạn [a, b], giả sử các điểm đó là

x1 , x2 , ..., xn .

B2. Tìm các giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), ..., f ( xn ), f (a), f (b) , so sánh các giá trị đó, suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giá trị nhỏ nhất = min{ f ( x1 ), f ( x2 ), ..., f ( xn ), f (a), f (b)} , Giá trị lớn nhất = max{ f ( x1 ), f ( x2 ), ..., f ( xn ), f (a), f (b)} Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) = 2 x3 + 3x 2 − 6 trên đoạn Giải Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

46

[-2; 3].

Bài giảng Giải tích 1 Ta có y ' = f '( x) = 6 x 2 + 6 x , y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −1 . f (0) = −6, f (−1) = −5, f (−2) = −10, f (3) = 75 .

Suy ra: min f ( x ) = f ( −2) = −10 , max f ( x ) = f (3) = 75 . [ − 2; 3]

[ − 2; 3]

5.1.4. Tính lồi, lõm, điểm uốn Định lý 3.17

Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trong một khoảng I nào đó, giả sử f có đạo hàm cấp hai trong I, khi đó: Nếu f ''( x) > 0 , ∀x ∈ I thì hàm số f lồi trong I. Nếu f ''( x) < 0 , ∀x ∈ I thì hàm số f lõm trong I.

Định lý 3.18 Cho hàm số y = f ( x) xác định trong một khoảng I nào đó, liên tục tại x0 ∈ I , giả sử f có đạo hàm cấp hai trong I (có thể không có đạo hàm tại x0 ), và f ''( x) đổi dấu khi đi qua x0 thì điểm

( x0 , f ( x0 )) là điểm uốn của đồ thị của hàm số y = f ( x) .

5.1.5. Tiệm cận của đường cong Định lý 3.19

-

Nếu lim f ( x) = ∞ thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đường cong y = f ( x) .

-

Nếu lim f ( x) = b thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đường cong y = f ( x) .

-

x →a

x→∞

f ( x) = a và lim[f ( x) − ax] = b thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đường x x →±∞ cong y = f ( x) .

Nếu lim

x →±∞

Ví dụ

Tìm các đường tiệm cận của các đường cong:

1. y = f ( x) = x 2 +

1 1 + x x−2

1 1   Ta có: lim f ( x) = lim  x 2 + +  = ∞ và x→0 x→0  x x−2 1 1   lim f ( x) = lim  x 2 + + =∞ . x →2 x →2  x x−2 Nên các đường thẳng x = 0 và x = 2 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. y = f ( x) = tan x

Đường cong y = tan x có vô số các đường tiệm cận đứng x =

π + k π (k ∈ ℤ) .

2

3. y = f ( x) = 1 + x 2 + 2 x

Đường cong đã cho không có tiệm cận đứng. Ta đi tìm các tiệm cận xiên của nó.

•

Tìm tiệm cận của đường cong khi x → +∞ .

a = lim

x →+∞

 1  f ( x) 1 + x2 + 2x = lim = lim  2 + 1 + 2  = 3 , x→+∞ x→+∞ x x  x 

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

47

Bài giảng Giải tích 1 b = lim [ f ( x) − ax ] = lim x→+∞

= lim

x →+∞

x →+∞

1 1 + x2 + x

(

)

1 + x 2 + 2 x − 3 x = lim

x →+∞

(

)

1 + x 2 − x = lim

1 + x2 − x2

x →+∞

1 + x2 + x

= 0.

Suy ra tiệm cận xiên của đường cong là y = 3 x .

Tương tự, khi x → −∞ , ta có tiệm cận xiên của đường cong là y = x .

5.1.6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Sơ đồ khảo sát B1. Tìm miền xác định.

B2. Xét chiều biến thiên của hàm số + Xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn (nếu có).

+ Xét sự tăng giảm, cực trị của hàm số; xét sự lồi lõm và tìm điểm uốn của đường cong.

B3. Tìm các đường tiệm cận B4. Lập bảng biến thiên B5. Vẽ đồ thị

Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

x3 x2 −1

B1. Miền xác định: Hàm số xác định với mọi giá trị của x ≠ ±1 .

B2. Chiều biến thiên Ta có: y ' =

3x 2 ( x 2 − 1) − 2 x 4 x 2 ( x 2 − 3) = 2 ( x 2 − 1) 2 ( x − 1) 2

+ y ' > 0 với x < − 3 hoặc x > 3 nên hàm số tăng trong các khoảng (−∞, − 3), ( 3, + ∞) . +

y ' < 0 với − 3 < x < −1 hoặc −1 < x < 1 hoặc 1 < x < 3 nên hàm số giảm trong các khoảng

(− 3; − 1), (−1; 1), (1;

3) .

Hàm số đạt cực đại −

3 3 3 3 tại x = − 3 và đạt cực tiểu tại x = 3 .

2 2

(4 x3 − 6 x)( x 2 − 1) − 4 x( x 4 − 3x 2 ) 2 x( x 2 + 3) = . y '' = ( x 2 − 1)3 ( x 2 − 1)3 Ta có: +

y '' > 0 với −1 < x < 0 hoặc x > 1 nên đường cong lõm trong các khoảng đó.

+

y '' < 0 với x < 1 hoặc 0 < x < 1 nên đường cong lồi trong các khoảng đó.

Điểm (0; 0) là điểm uốn.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

48

Bài giảng Giải tích 1 Bảng biến thiên X −∞

− 3

-1

0

3

1

+∞

y’

+

0

-

||

-

0

- ||

-

0

+

y’’

-

|

-

||

+

0

- ||

+

|

+

Y

−

3 3 2

ր

+∞ ց

−∞

+∞ ց

−∞

+∞ ց

3 3 2

−∞

B3. Tiệm cận +

Đường cong có hai tiệm cận đứng là x = −1 và x = 1 .

+

Tìm tiệm cận xiên a = lim

x →±∞

f ( x) x2 = lim 2 = 1, x →±∞ x − 1 x

 x3  x b = lim [ f ( x) − ax ] = lim  2 − x  = lim 2 =0 x→±∞ x →±∞ x − 1 x →±∞ x − 1  

Suy ra tiệm cận xiên của đường cong là y = x .

Đồ thị

4

2

-5

5

-2

-4

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 2 x3 − 5 x 2 + 7 x + 4 b) y = x 2 .e x c) y = x3 .arctan x d) y = x x (3ln x − 2) e) y =

arcsin x x

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

49

ր

Bài giảng Giải tích 1 f)

y=

sin x − cos x sin x + cos x

g) y = (2 x3 + 5) 4

x 2

h) y = ln tan i)

y = ln( x + x 2 + 1)

j)

y = arcsin

2x2 1 + x4

k) y = e x .arctan e x − ln 1 + e 2 x l)

y=

sin x 1 + sin x + ln 2 cos x cos x

m) y = x x n) y =

2

(2 x − 1)3 3 x + 2 (5 x + 4)4 1 − x

2. Cho y = x 5 + 2 x 4 − 3 x 3 − x 2 −

1 x + 7 . Tìm y ', y '', y ''' , …

2

3. Cho y = ln x . Tìm y ( n ) .

4. Cho y = sin x . Tìm y ( n ) .

5. Cho y = 2 x . Tìm y ( n ) .

6. Tìm y ' =

dy d2y , y '' = 2 , nếu dx dx

 x = a cos3 t .  3  y = a sin t

7. Tìm vi phân của các hàm số sau: a) y = arctan x

b) y = et

3

8. Tìm vi phân cấp một, hai và ba của hàm số y = (2 x − 3)3 .

9. Tìm vi phân cấp một và hai của hàm số y = e2x 10. Tính giá trị gần đúng của arcsin 0,51.

11. Tính giá trị gần đúng của diện tích hình tròn có bán kính bằng 3,02m.

12. Hàm số f ( x) = x 2 − 6 x + 100 có thỏa mãn định lý Rolle hay không nếu a = 1, b = 5 ? Nó thỏa mãn với giá trị c nào?

13. Hàm số f ( x) = 3 8 x − x 2 có thỏa mãn định lý Rolle hay không nếu a = 0, b = 8 ? Nó thỏa mãn với giá trị c nào?

14. Chứng minh rằng đạo hàm f '( x) của đa thức f ( x) = x3 − x 2 − x + 1 có nghiệm thực trong

đoạn [-1, 1].

15. Biểu diễn hàm f ( x) = 3 x dưới dạng đa thức bậc năm đối với nhị thức ( x − 1) .

16. Biểu diễn hàm f ( x) = a x dưới dạng đa thức bậc ba đối với x .

17. Tính giá trị gần đúng của

3

29 với độ chính xác đến 10−3 .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

50

Bài giảng Giải tích 1 18. Cho hàm y = x3 − 3x 2 và các điểm x = 3, x = 1, x = −1, x = 0,5 . Tại điểm nào trong các

điểm kể trên thì hàm tăng, tại điểm nào hàm giảm?

19. Tìm các khoảng tăng và giảm của hàm y = x(1 + x ) .

20. Tìm các khoảng tăng và giảm của hàm y =

1 x − sin x , nếu 0 ≤ x ≤ 2π .

2

21. Khảo sát cực trị của hàm y = ( x − 5)e x .

22. Khảo sát cực trị của hàm y = x 1 − x 2 .

23. Khảo sát cực trị của hàm y = ( x − 1)4 .

4

24. Khảo sát cực trị của hàm y = 1 − ( x − 2) 5 .

2

25. Khảo sát cực trị của hàm y = ( x − 2) 3 (2 x + 1) .

26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm f ( x) = 3x − x3 trên đoan [-2, 3].

27. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số y = x5 + 5 x − 6 .

28. Tìm các điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị hàm số y = ( x + 1) 2 ( x − 2) .

5

29. Tìm điểm uốn của đường cong y = ( x − 5) 3 + 2 .

30. Tìm các đường tiệm cận của đường cong y =

x3 . x−2

31. Tìm các đường tiệm cận của đường cong y = x + 2 arctan x .

32. Tìm các đường tiệm cận của đường cong y = x 2e− x .

33. Tìm các đường tiệm cận của đường cong y = 34. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 35. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

x2 − 2x + 3 . x+2

x3 + 4 . x2

x3 , a > 0. x−a

Chương 4

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1.Khái niệm tích phân bất định 1.1.1. Nguyên hàm Định nghĩa

Cho hàm số f (x) xác định trong (a, b). Nếu tồn tại hàm số F(x) thỏa mãn F’(x) = f (x) hay dF(x) = f (x) dx, ∀x ∈ ( a, b ) , thì F(x) gọi là nguyên hàm của f (x) trong (a, b).

Định lý 4.1 Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

51

Bài giảng Giải tích 1 Giả sử F(x) khả vi trong (a, b) và F(x) là nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ ( a, b ) . Khi đó: •

Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ ( a, b ) .

•

Ngược lại, mọi nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ ( a, b ) đều có dạng F(x) + C.

Định lý 4.2 Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn ấy.

Ví dụ a.

F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f (x) = cosx , ∀x ∈ ℝ .

b.

F(x) = x3 − 5 là nguyên hàm của f (x) = 3x 2 , ∀x ∈ ℝ .

1.1.2. Định nghĩa tích phân bất định

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trong (a, b) hay trên [a, b] thì biểu thức F(x) + C (C là hằng số tùy ý), được gọi là tích phân bất định của f (x) trong (a, b) hay trên [a, b].

Kí hiệu:

• • • • 1.1.3.

 f ( x)dx = F ( x) + C

Dấu  được gọi là dấu tích phân f (x) gọi là hàm dưới dấu tích phân f (x) dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân x gọi là biến số tích phân Các tính chất cơ bản

Nếu F(x), G(x) lần lượt là các nguyên hàm của f (x), g(x), ∀x ∈ ( a, b ) thì 1.

2.

 af ( x)dx = a  f ( x)dx = aF ( x) + C , a: hằng số khác 0  [ f ( x) ± g ( x)]dx =  f ( x)dx ±  g ( x)dx = F ( x) ± G ( x) + C

1.1.4. Bảng tích phân các hàm số thông dụng

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

52

Bài giảng Giải tích 1

 0.dx = C 1.dx =  dx = x + C α  x dx =

1

 sin

2

x

1

 cos

x α+1 + C , α ≠ −1 α +1

2

x

dx = − cot x + C dx = tan x + C

dx x 1 = arctan + C , a ≠ 0 2 a a +x dx 1 a+x  a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C , a ≠ 0 dx x  a 2 − x 2 = arcsin a + C , a ≠ 0

1  x dx = ln | x | +C 1  1 + x 2 dx = arctan x + C 1  1 − x 2 dx = arcsin x + C ax x a dx = +C  ln a

a

2



a 2 − x 2 dx =

 e dx = e + C  sin x dx = − cos x + C  cos x dx = sin x + C



x

x

dx 2

x +α

1 a2 x x a 2 − x 2 + arcsin + C 2 2 a

= ln( x + x 2 + α ) + C , α ∈ ℝ

1 x 2 + β dx = ( x x 2 + β + β ln | x + x 2 + β | +C ) 2



1.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 1.2.1. Phương pháp đổi biến số a. Đổi biến dạng u = u(x) Định lý 4.3

Nếu u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên [a, b] và có f ( x)dx = g (u )du thì trên [a, b] ta có:

 f ( x)dx =  g (u )du Ví dụ Tính I =  1 − x 2 dx . Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 .

 π π Đặt x = sin t , t ∈  − ,   2 2

 dx = cos t.dt . Khi đó

I =  1 − sin 2 t cos t.dt =  cos 2 t.dt = 

1 + cos 2t 1 1 dt = t + sin t cos t + C dt 2 2

1 1 = arcsin x + x 1 − x 2 + C 2 2 b. Đổi biến dạng x = ϕ(t) (ϕ(t) là hàm liên tục, có đạo hàm liên tục, có hàm số ngược)

Định lý 4.4 Giả sử hàm số f (x) liên tục đối với x trên [a, b] và hàm số x = ϕ(t ) liên tục, có đạo hàm liên tục, đơn điệu đối với t trên [α, β] và lấy giá trị trên [a, b]. Khi đó:

 f ( x)dx =  f [ϕ(t )]ϕ '(t )dt Ví dụ Tính I =  sin 3 x cos xdx Do d (sin x ) = cos xdx , nên ta đặt t = sin x I =  t 3dt =

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

t4 +C 4

 

dt = cos xdx . Khi đó I=

53

sin 4 x +C 4

Bài giảng Giải tích 1 1.2.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lý 4.5

Giả sử u = u ( x), v = v( x) có đạo hàm liên tục đối với x trên [a, b]. Khi đó, trên [a, b] ta có:

 u ( x).v '( x)dx = u ( x).v( x) −  v( x).u '( x)dx * Các dạng tích phân từng phần thường gặp

•

 e ax    Dạng  Pn ( x )  sin ax dx . Đặt u = Pn ( x) cos ax   

Ví dụ

Tính I =  x cos xdx

u = x  du = dx Đặt     dv = cos xdx v = sin x Suy ra: I =  x cos xdx = x sin x −  sin xdx = x sin x + cos x + C .

•

 ln x   ln x   arcsin x   arcsin x      Dạng  Pn ( x)  dx . Đặt u =   arccos x  arccos x   arctgx   arctgx 

Ví dụ

Tính I = 

arctan x dx x2

dx  du = u = arctan x    1 + x2 Đặt    1 dv = x 2 dx v = − 1  x Suy ra:

arctan x 1 dx 1 x  1 dx = − arctan x +  = − arctan x +   − dx 2 2 2  x x x(1 + x ) x  x 1+ x  1 1 1 | x| = − arctan x + ln | x | − ln(1 + x 2 ) + C = − arctan x + ln + C. x 2 x 1 + x2

I =

• Ví dụ

 sin bx  Dạng  e ax  dx . cos bx 

Đặt u = e ax

Tính I =  e ax cos bxdx , J =  e ax sin bxdx , ab ≠ 0 .

 du = −b sin bxdx u = cos bx  Đặt   1 ax  ax  dv = e dx v = a e Suy ra: I =

1 ax b 1 b e cos bx +  e ax sin bxdx = e ax cos bx +  e ax sin bxdx . a a a a

Tính J =  e ax sin bxdx .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

54

Bài giảng Giải tích 1 du = b cos bxdx u = sin bx  Đặt    1 ax ax  dv = e dx v = a e Suy ra:

J=

Từ đó: I =

1 ax b 1 b e sin bx −  e ax cos bxdx = eax sin bx − I . a a a a

1 ax b1 b  1 b b2 e cos bx +  e ax sin bx − I  = e ax cos bx + 2 e ax sin bx − 2 I . a aa a  a a a

 b2  1 b   1 + 2  I = e ax cos bx + 2 e ax sin bx a a  a   I=

e ax ( a sin bx − b cos bx) + C . a 2 + b2

1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ Xét phân thức hữu tỉ R ( x) có dạng R( x) =

b0 + b1 x + ... + bm x m a0 + a1 x + ... + an x n

Trong đó, ai , bi ∈ ℝ , an ≠ 0, bm ≠ 0 .

•

Nếu m < n thì R ( x) gọi là phân thức thực sự.

•

Nếu m > n thì R ( x) gọi là phân thức không thực sự. Để đưa phân thức không thực sự về dạng tổng một đa thức và phân thức thực sự, ta lấy tử chia cho mẫu.

Do đó, ta chỉ cần tìm cách tính tích phân các phân thức thực sự: I1 =  I2 =  I3 = 

I4 = 

dx 1 = ln ax + b + C , a ≠ 0. ax + b a dx k

=

( ax + b ) ( Ax + B ) dx

1 1 . + C , k ≠ 1 , a ≠ 0.

1 − k a (ax + b) k −1

x 2 + bx + c

Ax + B ( x + bx + c) k 2

(∆ = b 2 − 4ac < 0) (k ≥ 2, ∆ = b 2 − 4ac < 0)

Ta tính các tích phân có dạng I3 và I 4

•

I3 2

b b2 b2  b   b2  Ta có: x 2 + bx + c = x 2 + 2 x + + c − =  x +  +  c −  2 4 4  2  4 Từ giả thiết ta có: c −

b2 b2 b2  m= c− . > 0 nên đặt m 2 = c − 4 4 4

Thực hiện đổi biến: x +

b = t  dx = dt 2

x 2 + bx + c = t 2 + m 2 , Ax + B = At + ( B −

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

55

Ab ) 2

Bài giảng Giải tích 1 Khi đó:

I3 = 

Ab ) 2t Ab dt A Ab 2 =A dt +( B − ) 2 = ln(t 2 + m 2 ) + ( B − )J 2 2 2 2 2  t +m 2 t +m 2 t +m 2 2

At + ( B −

t  md   dt 1 dt 1 t  m Trong đó: J =  2 = 2 = = arctan   + C 2 2 2 t +m m t   t   m m m2 1 +      +1  m  m   Suy ra: I 3 =

A Ab 1 t  ln(t 2 + m 2 ) + ( B − ) arctan   + C 2 2 m m

Đổi về biến x, ta được: I 3 =

A 2 B − Ab 2x + b +C . ln( x 2 + bx + c) + arctan 2 2 4c − b 4c − b 2

Cũng phép đổi biến trên, ta có :

Ax + B I4 =  2 = ( x + bx + c)k Ta tính

 (t

2

Ab Ab ) B− 2 A tdt 2 dt = 2 dt + (t 2 + m 2 )k 2  (t 2 + m 2 )k  (t 2 + m 2 ) k

At + ( B −

2tdt + m2 )k

Đổi biến: u = t 2 + m2  du = 2tdt .

Vậy:

 (t

2

2tdt du 1 1 = k =− . k −1 + C 2 k +m ) u k −1 u

Do đó: I 4 = −

A 1 Ab dt . 2 ) 2 + (B − 2 k −1 2( k − 1) (t + m ) 2 (t + m 2 ) k

Ta tính: J k = 

dt , k = 1, 2,3,... (t + m 2 ) k 2

1  u = 2 (t + m2 )k Đặt  dv = dt  Ta có : J k =

2tk  2 2 − k −1 dt du = −k (t + m ) 2tdt = − 2 (t + m2 )k +1   v = t 

t t2 + 2 k  (t 2 + m2 )k +1 dt (t 2 + m 2 ) k

(*) Mặt khác :

t2 (t 2 + m2 ) − m2 dt dt 2 2 dt =  (t 2 + m2 )k +1  (t 2 + m2 )k +1 dt =  (t 2 + m2 )k − m  (t 2 + m2 )k +1 = J k − m J k +1 Thay vào (*) ta được : J k = 

J k +1 =

Vậy I 4 = −

t + 2k ( J k − m 2 J k +1 ) (t + m 2 ) k 2

1 t 2k − 1 1 + .

Jk 2 2 2 k 2km (t + m ) 2k m 2 A 1 Ab . 2 + (B − )Jm .

2 k −1 2( k − 1) (t + m ) 2

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

56

Bài giảng Giải tích 1 Định lý sau đây cho phép kết luận rằng việc lấy tích phân một phân thức thực sự cuối cùng dẫn đến việc lấy tích phân bốn dạng trên. Định lý 4.6 Mọi đa thức bậc n , với hệ số thực : Q( x) = a0 + a1 x + ... + an x n ; an ≠ 0 đều có thể phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai không có nghiệm thực, trong đó có thể có những thừa số trùng nhau :

Q( x) = an ( x − a)α ( x − a)β ...( x 2 + px + q)µ ...( x 2 + lx + s )v Trong đó : a, b, ... ∈ ℝ ; p 2 − 4q < 0, ..., l 2 − 4s < 0 và α + β + ... + 2(µ + ... + v) = n .

Khi đó, phân thức thực sự tương ứng

P( x) có thể phân tích thành tổng các phân thức tối giản.

Q( x)

A P( x) A A1 = + + ... + α−1 + α α−1 Q( x) ( x − a ) x−a ( x − a) B B B1 + + + ... + β−1 + ... + β β−1 x−b ( x − b) ( x − a ) M x + N µ−1 M x + N1 Mx + N + 2 1 + ... + 2µ−1 + ... + µ µ−1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q M x + N λ−1 Px + Q P x + Q1 + 2 + 2 1 + ... + λ−2 1 λ λ−1 ( x + lx + s) ( x + lx + s ) x + lx + s +

2

Trong đó, A, A1 ,..., Aα−1 , B, B1 ,..., Bβ−1 , M , N , M 1 , N1 , ..., M µ−1 , N µ−1 , P, Q, P1 , Q1 , ..., Pλ−1 , Qλ−1 là các hằng số được xác định theo phương pháp đồng nhất hệ số. * Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ.

1.4. Tích phân các biểu thức lượng giác 1.4.1. I =  R(sin x ,cos x )dx , trong đó R(sinx,cosx) là biểu thức hữu tỉ của sinx và cosx.

x Đặt t = tan , − π < x < π , khi đó 2 sin x =

Đưa tích phân về dạng Ví dụ

Tính I =

2t 1− t2 2dt , cos x = , dx = 2 2 1+ t 1+ t 1+ t2

 2t 1 − t 2 I =  R , 2 2  1+ t 1+ t 1 1 − a2 dx 2  1 − 2 a cos x + a 2

 2dt  2 1+ t

(0 < a < 1; − π < x < π) .

Giải

x Đặt t = tan , − π < x < π . Ta có: 2

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

57

Bài giảng Giải tích 1     1 2 dt 1 dt 2 = I = (1 − a 2 )   = (1 − a )  2 2  2 1− t 2 1+ t  (1 − a ) + t 2 (1 + a 2 ) 2  +a   1 − 2a 1+ t2   1 − a  t (1 + a )  d 1+ a  1 + a  1 − a  2 = (1 − a ) t+C 2 = arctan  1− a  t (1 + a )  2  (1 − a ) 1 + 1 − a   x 1+ a Vậy I = arctan  tan  + C .

2  1− a Đặt biệt: -

Nếu R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), đặt t = cosx Nếu R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), đặt t = sinx Nếu R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx), đặt t = tanx hoặc t =cotx

1.4.2. I =  sin n x cos m xdx

( n, m ∈ ℤ )

-

Nếu m lẻ, đặt cos x = t .

-

Nếu n lẻ, đặt sin x = t .

-

Nếu m, n đều chẵn (m > 0 và n > 0) thì ta dùng công thức hạ bậc.

-

Nếu m, n đều chẵn (m < 0 hoặc n < 0) thì đặt t = tan x .

Tính I = cos5 x.sin 2 xdx

Ví dụ Giải

Đặt sin x = t

 dt = cos xdx .

I =  cos 4 x.sin 2 x cos xdx =  cos 4 x.sin 2 x.d (sin x) t 7 2 5 t3 =  (1 − t ) .t dt =  (t − 2t + t )dt = − t + 7 5 3 2 2

2

6

4

2

1 2 1 Vậy I = sin 7 x − sin 5 x + sin 3 x .

7 5 3 1.4.3. I =  cos ax cos bxdx , I =  sin ax sin bxdx , I =  cos ax sin bxdx

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, biến đổi hàm dưới dấu tích phân thành tổng.

Ví dụ Tính I =  cos 3 x.sin 5 x.dx .

Giải Ta có: cos 3 x.sin 5 x =

1 ( sin 8 x + sin 2 x ) 2

Nên 1 1 1 1 1 ( sin 8 x + sin 2 x ) dx = − . cos8 x − . cos 2 x + C  2 2 8 2 2 1 1 = − cos8 x − cos 2 x + C 16 8

I=

1.4.4. I =  sin n xdx , I =  cos n xdx Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

58

Bài giảng Giải tích 1 Dùng công thức hạ bậc.

Ví dụ Tính I =  cos 4 xdx .

Giải 2

1 1 1  1 + cos 2 x  1 2 cos x =   = (1 + 2 cos 2 x + cos 2 x) = + cos 2 x + (1 + cos 4 x) 2 4 4 2 8   Ta có: .

3 1 1 = + cos 2 x + cos 4 x 8 2 8 4

3 1 1 Suy ra: I =  cos 4 xdx = x + sin 2 x + sin 4 x + C .

8 4 32 1.5. Tích phân các hàm vô tỉ m

p

r

1.5.1. I =  R( x , x n , x q , ..., x s )dx 1

Đặt t = x k , trong đó k = [n, q, ..., s ] Suy ra x = t k  dx = kt k −1dt p m r  1.5.2. I =  R (ax + b) q , (ax + b ) n ...,(ax + b ) s  dx , k = [q , n, ..., s]   1

Đặt (ax + b) k = t , khi đó ax + b = t k , dx =

k .t k −1 dx a

1.5.3. I =  R( x , (ax 2 + bx + c ) dx

Đổi biến: u = x +

b  du = dx , đưa về 1 trong 3 dạng sau: 2a

 R(u,

a 2 − u 2 )du , đặt u = asint

 R(u,

a 2 + u 2 )du , đặt u = a tant

 R(u,

u 2 − a 2 )du , đặt u = acost

Ví dụ Tính I =  x 2 + 2 x + 2 .dx =  ( x + 1) 2 + 1 .dx =  u 2 + 1 .du Giải

I =  x 2 + 2 x + 2 .dx =  ( x + 1)2 + 1 .dx =  u 2 + 1 .du Đặt u = tan x  du = I =  1 + tan 2 x

1  π π dt , t ∈  − ,  . cos t  2 2

1 1 cos t d (sin t ) dt =  dt =  dt =  2 3 4 cos t cos t cos t (1 − sin 2 t ) 2

Đặt sin t = y Suy ra : I = 

dy dy A B C D = = + + + .

2 2 2 2 2 (1 − y ) [ (1 − y )(1 + y)] (1 − y ) (1 + y) 1 − y 1 + y

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

59

Bài giảng Giải tích 1 A(1 + y) 2 + B(1 − y)2 + C (1 − y)(1 + y )2 + D(1 + y)(1 − y) 2 = 1 

Cho y = −1

B=

1 4

y =1



y=0



1 4 A+ B + C + D =1

y=2



9 A + B − 9C + 3D = 1

A=

1 1 9. + − 9C + 3D = 1 4 4 3D − 9C = 1 − 3D − 9C = −

5 2

3 2

Do D = C  I = Từ đó :

=−

D=C =

1 4

dy dy 1 1 1 B 1 1 = = . dy + . dy +  dy +  dy 2 2 2 2 2 (1 − y ) 4 (1 + y ) 1− y 1+ y [ (1 − y )(1 + y)] 4 (1 − y) 1 1 + + ln |1 + y | − ln |1 − y | +C. 1+ y 1− y *

*

*

*

*

§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1.Định nghĩa tích phân xác định 2.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hình thang cong aABb, giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f (x), trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Hãy tính diện tích hình thang cong aABb? Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b . Trong mỗi

đoạn nhỏ [xi −1 , xi ], i = 1, n , ta chọn điểm ξi .

Dựng các hình chữ nhật có một cạnh bằng ∆xi = ( xi − xi −1 ) và một cạnh bằng

f (ξi ), ∀i = 1, n .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

60

Bài giảng Giải tích 1 Ta thấy, khi đoạn [xi −1 , xi ] khá bé hay ∆xi = ( xi − xi −1 ) khá bé thì diện tích hình chữ nhật thứ I là f (ξi ) ∆xi xấp xỉ diện tích phần thứ I của hình thang cong, ∀i = 1, n .

Nếu S là diện tích hình thang cong aABb thì: n

S ≈  f (ξi )∆xi với ∆xi khá bé, ∀i = 1, n . i =1

Người ta chứng minh được rằng: n

n

Nếu tồn tại lim  f (ξi )∆xi thì lim  f (ξi )∆xi = S (với n → ∞ sao cho max ∆xi → 0 ) n →∞

i =1

n →∞

i =1

2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số f (x) xác định và bị chặn trên [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các

điểm chia x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b . Trong mỗi đoạn nhỏ [xi −1 , xi ], i = 1, n , ta chọn điểm ξi tùy ý. n

Lập tổng σ :=  f (ξi )∆xi với ∆xi = ( xi − xi −1 ) , ∀i = 1, n . i =1 n

Nếu lim  f (ξi )∆xi (với n → ∞ sao cho max ∆xi → 0 ) tồn tại hữu hạn không phụ n →∞

i =1

thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn ξ thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của i

hàm f(x) trên [a, b].

Khi đó ta gọi f (x) là hàm khả tích trên [a, b]. b

Kí hiệu :

 f ( x)dx = lim σ = I a

n →∞

[a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, a: cận dưới, b: cận trên. b



: dấu tích phân xác định

a

f (x) : hàm dưới dấu tích phân x : biến số tích phân 2.1.3. Chú ý 1. Cho f (x) là hàm xác định tại a thì a

 f ( x)dx = 0 a

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

61

Bài giảng Giải tích 1 2.

Cho f (x) xác định trên đoạn [a, b] b



a

f ( x) dx = −  f ( x)dx

a

3.

b

Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm dưới dấu tích phân xác định, phụ thuộc vào các cận, không phụ thuộc vào biến số tích phân. b



b

b

a

a

f ( x) dx =  f (u ) du =  f (t )dt

a

2.1.4. Ý nghĩa hình học y

f(x)

S

0

a

b

x

b

Nếu f (x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] thì

 f ( x)dx

là diện tích hình thang cong giới hạn bởi

a

các đường y = f (x), x = a, x = b và trục Ox. b

S =  f ( x) dx a

2.2.Điều kiện khả tích

Định lý 4.7 Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. Định lý 4.8 Nếu f (x) bị chặn trên [a, b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. Định lý 4.9 Nếu f (x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b].

2.3.Các tính chất của tích phân xác định Giả sử f (x), g(x) khả tích trên [a, b], khi đó: Tính chất 1 b

1.

b

 Cf ( x)dx = C  f ( x)dx , với C: hằng số a

2.

a

b

b

a

a

 Cdx = C  dx = C (b − a)

Tính chất 2 b

b

b

a

a

a

 [ f ( x) + g ( x)]dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx Tính chất 3

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

62

Bài giảng Giải tích 1 b



c

b

a

c

f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx , với c ∈ [a, b]

a

Tính chất 4 b

1. Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b] thì

 f ( x)dx ≥ 0 a b

2. Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì



b

f ( x) dx ≤  g ( x)dx

a

a b

3. Nếu f (x) khả tích trên [a, b] thì |f (x)| khả tích trên [a, b] và



b

f ( x)dx ≤  | f ( x) | dx .

a

a

b

4. Nếu m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì m(b –a) ≤

 f ( x)dx

≤ M (b – a)

a

Các định lý về giá trị trung bình của tích phân xác định Định lý 4.10

Cho f (x) khả tích trên [a, b], (a < b) và giả sử m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] , khi đó: b

Tồn tại µ sao cho:

 f ( x)dx = µ(b − a),

m≤µ≤M .

a b

Đặc biệt, nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] ,  f ( x) dx = f (c )(b − a ) . a

Ý nghĩa hình học của định lý

Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] ta luôn tìm được ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho S

aMNb

= S

aABb

y N

A

f(c)

f(x)

B

M S

0

a

c

b

x

f(c) gọi là giá trị trung bình của f(x) trên đoạn [a, b].

Định lý 4.11 (i) Giả sử f (x) và tích f (x) g(x)khả tích trên [a, b] (ii)

m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [a, b]

(iii)

g(x) không đổi dấu trong [a, b]: g ( x) ≥ 0 ( g ( x) ≤ 0) b

Khi đó:

 a

b

f ( x) g ( x) dx = µ  g ( x) dx, m ≤ µ ≤ M a b

Đặc biệt, nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì

b



f ( x) g ( x) dx = f (c)  g ( x) dx, a ≤ c ≤ b .

a

a

2.4.Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

63

Bài giảng Giải tích 1 2.4.1. Định lý 4.12 (Đạo hàm của tích phân theo cận trên) x

Cho hàm số f (x) liên tục trên [a, b] thì hàm số φ( x) =  f (t ) dt víi a ≤ x ≤ b là một nguyên hàm a

của hàm f (x) trên [a, b] .

Tức là:

′ x  φ '( x) =   f (t )dt  = f ( x) , ∀x ∈ [a, b] a  Một cách tổng quát: '

v( x)    f (t ) dt  = f [v( x)].v '( x)  a  2.4.2. Công thức Newton – Leibnitz Nếu F(x) là nguyên hàm của f (x) liên tục trên [a, b] thì: b

 f ( x)dx = F (b) − F (a) a b

 f ( x)dx = F ( x)

Hay

b a

.

a

2.5.Các phương pháp tính tích phân xác định 2.5.1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 4.13 b

Xét tích phân

 f ( x)dx , với f (x) liên tục trên [a, b] a

Nếu thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t ) thỏa: (i)

ϕ(t ) có đạo hàm liên tục trên [α, β]

(ii)

ϕ(α) = a, ϕ(β) = b

(iii)

Khi t biến thiên trong [α, β] thì x biến thiên trong [a, b] β

a

α

 f ( x)dx =  f [ϕ(t )].ϕ '(t )dx

Khi đó:

•

b

Nếu thực hiện phép đổi biến t = ϕ( x) thỏa:

(i)

ϕ( x) là hàm đơn điệu ngặt trên [a, b] và có đạo hàm t ' = ϕ '( x ) liên tục trên [a, b]

Biểu thức f (x)dx trở thành g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm số liên tục trên [ϕ( a ), ϕ(b)] . ϕ(b)

b



Khi đó:

f ( x)dx =

a



g (t )dt

ϕ(a )

Chú ý: Nếu f (x) khả tích trên [-a, a] thì

0 nếu f (x) là hàm số lẻ trên [-a, a]  a  f ( x)dx = 2 f ( x)dx nếu f (x) là hàm số chẵn trên [-a, a] −a    0 2.5.2. Phương pháp tích phân từng phần a

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

64

Bài giảng Giải tích 1 Định lý 4.14 Giả sử hai hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trong [a, b], khi đó b

b

 udv = uv a −  vdu b

a

*

a

*

*

*

*

§3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 3.1. Tích phân có cận vô hạn 3.1.1. Tích phân trong khoảng [a, +∞)

Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định trong [a, +∞) và khả tích trong mọi khoảng hữu hạn [a, b] với b > a. Khi đó: b

lim

b→+∞

 f ( x)dx a

được gọi là tích phân suy rộng của f (x) trong khoảng [a, +∞). +∞



Kí hiệu:

f ( x) dx

a

+∞



Như vậy:

b

f ( x) dx = lim

b→+∞

a +∞

Ví dụ Tính I =

 f ( x)dx a

dx

 1+ x

2

0

+∞

b

dx dx π I=  = lim  = lim arctan b − arctan 0 = .

2 2 b →+∞ b →+∞ 1+ x 1+ x 2 0 0 3.1.2. Tích phân trong khoảng (-∞; b]

Giả sử hàm số f (x) xác định trong (-∞; b] và khả tích trong mọi khoảng hữu hạn [a, b] với < b. Khi đó: b

lim

a →−∞

 f ( x)dx a

được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trong khoảng (-∞; b]. b



Kí hiệu:

f ( x) dx

−∞

b



Như vậy:

−∞ 2

Ví dụ Tính I =

b

f ( x) dx = lim  f ( x)dx a →−∞

a

dx

 x +1 .

−∞ 2

2

dx dx 2 I=  = lim  = lim ln | x + 1| a = lim (ln 3 − ln | a + 1|) = −∞ . a →−∞ a →−∞ a→−∞ x +1 x +1 −∞ a Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

65

a

Bài giảng Giải tích 1 Tích phân suy rộng đã cho phân kì.

3.1.3. Tích phân trong khoảng (-∞, + ∞)

Giả sử hàm số f (x) xác định trong (-∞, + ∞) và khả tích trong mọi khoảng hữu hạn [a, b] ,

∀a, b ∈ ℝ , a < b. Khi đó: b

 f ( x)dx

lim

a →−∞ b →+∞ a

được gọi là tích phân suy rộng của f (x) trong khoảng (-∞, + ∞). +∞



Kí hiệu:

f ( x) dx

−∞

b

+∞



Như vậy:

f ( x)dx = lim

+∞



Ta cũng có thể viết :

f ( x)dx +

−∞

 (x

2

−∞

2x 2x −∞ ( x 2 + 2)2 dx = −∞ ( x 2 + 2)2 dx + 2

Đặt u = x + 2 

x=a

Ta có:





f ( x)dx

c

2x dx . + 2) 2

0

+∞

I=



f ( x)dx =

+∞

Tính I =

+∞

c

−∞

Ví dụ

 f ( x)dx

a →−∞ b→+∞ a

−∞

+∞

 0

0

b

2x 2x 2x dx = lim  2 dx + lim  2 dx 2 2 2 a→−∞ ( x + 2) b→+∞ ( x + 2) 2 ( x + 2) a 0

du = 2 x dx

u = a2 + 2 ; x = 0

0

2

b

b2 + 2

u = 2; x = b





u = b2 + 2 .

2

2x du 1 1 1 a ( x 2 + 2)2 dx = 2 u 2 = − u a2 +2 = − 2 + a 2 + 2 ; a +2

2x 0 ( x2 + 2)2 dx = +∞

Suy ra: I =

 (x

−∞

2

 2

b2 + 2

du 1 =− 2 u u2

=−

1 1 + . b +2 2 2

2x 1  1 1 1 1  1  + =− + =0. dx = lim  − + 2  + blim − 2 a→−∞ →+∞ + 2) 2 2 a + 2 b + 2 2 2 2    

3.1.4. Chú ý 1. Nếu các tích phân suy rộng (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) là một số hữu hạn thì ta nói các tích phân suy rộng đó hội tụ, ngược lại nếu nó vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói nó phân kì. +∞

2. Quy ước



+∞

f ( x) dx = F ( +∞) − F ( a ) = F ( x) a

a

+∞

3.



−∞ +∞

4.

 a

+∞

c

f ( x) dx hội tụ ⇔



f ( x) dx và

−∞

dx xα



f ( x) dx cùng hội tụ

c

hội tụ khi α > 1 , phân kỳ khi α ≤ 1

3.1.5. Sự hội tụ của tích phân suy rộng có cận vô hạn

Định lý 4.15 Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

66

Bài giảng Giải tích 1 Giả sử các hàm số f (x) và g(x) khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b], ∀b > a và 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a. Khi đó: +∞

•

Nếu



+∞

g ( x) dx hội tụ thì



a

+∞

•

Nếu



f ( x ) dx hội tụ.

a

+∞

 g ( x)dx phân kì.

f ( x ) dx phân kì thì

a

a

Định lý 4.16 Giả sử các hàm số f (x) và g(x) khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b] ( a ≤ b ) và f ( x) ≥ 0, g ( x) ≥ 0 , ∀x ≥ a. Khi đó:

Nếu tồn tại giới hạn lim

x →∞

f ( x) = K (0 < K < +∞ ) g ( x)

+∞

Thì các tích phân suy rộng



+∞

f ( x) dx và

a

 g ( x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. a

Hệ quả 4.17 Giả sử các hàm số f (x) và g(x) khả tích trên [a, +∞) f ( x) > 0, g ( x) > 0 , ∀x ≥ a. Khi đó:

• •

f ( x) Nếu lim = 0 và nếu x →∞ g ( x )

Nếu lim

x →∞

+∞

+∞

a

a

 g ( x)dx hội tụ thì 

f ( x) = +∞ và nếu g ( x)

+∞



f ( x) dx hội tụ. +∞

g ( x)dx phân kì thì

a



f ( x) dx phân kì.

a

Định lý 4.18 +∞

Nếu



+∞

f ( x) dx hội tụ thì

a



f ( x) dx hội tụ.

a +∞

Khi đó, ta nói



f ( x ) dx hội tụ tuyệt đối.

a

o Chú ý +∞

•

Nếu



f ( x) dx phân kì thì chưa kết luận được gì.

a +∞

•

Nếu

 a

+∞

f ( x) dx phân kì mà



+∞

f ( x) dx hội tụ thì ta nói

a



f ( x) dx bán hội tụ.

a

3.2. Hàm số lấy tích phân không bị chặn 3.2.1. Hàm số lấy tích phân gián đoạn ∞ tại cận trên Giả sử hàm số f (x) bị chặn và khả tích trong khoảng đóng bất kì [a, b − ε] ( 0 < ε < b − a ) nhưng không khả tích trong bất kì khoảng đóng dạng [b − ε, b] và f (b) không bị chặn dưới, b được gọi là một điểm bất thường của hàm số f (x). Khi đó, b−ε

lim ε→0



f ( x) dx được gọi là tích phân suy rộng của f (x) trên [a, b] .

a

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

67

Bài giảng Giải tích 1 b

Kí hiệu:  f ( x)dx := lim

b −ε

ε→0

a



f ( x) dx .

a

3.2.2. Hàm số lấy tích phân gián đoạn ∞ tại cận dưới Giả sử hàm số f (x) bị chặn và khả tích trong khoảng đóng bất kì [a + ε ', b] nhưng không khả tích trong bất kì khoảng đóng dạng [a, a + ε '] và f ( a + 0) không bị chặn, a được gọi là một điểm bất thường của hàm số f (x). Khi đó, b

lim ε→0



f ( x) dx được gọi là tích phân suy rộng của f (x) trên [a, b] .

a +ε b

Kí hiệu:  f ( x) dx := lim ε→0

a

b



f ( x) dx .

a +ε

3.2.3. Hàm số lấy tích phân gián đoạn ∞ trong khoảng lấy tích phân

•

Xét f (x) liên tục trên (a, b) và lim+ f ( x) = ∞ , lim− f ( x) = ∞ . Khi đó, x→a

b

c



f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x) dx = lim

a

•

x →b

b

a

ε→0

c

b−ε

c



f ( x) dx + lim ε→0

a +ε



f ( x) dx , với a < c < b.

c

Xét f (x) liên tục trên [a, b]\{c} và lim f ( x) = ∞ . Khi đó, x →c

b

c

b

a

a

c

c −ε

 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = lim  ε→0

b

f ( x) dx + lim ε→0

a



f ( x)dx .

c +ε

Nếu các giới hạn ở 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 là hữu hạn thì ta nói các tích phân suy rộng đó hội tụ, ngược lại các tích phân đó gọi là phân kì.

3.2.4. Chú ý b

•

c

f ( x) dx hội tụ ⇔  f ( x) dx và

 a

 f ( x)dx cùng hội tụ.

a

b

•

b

dx

 (b − x)

α

c

hội tụ nếu α < 1 , phân kỳ nếu α ≥ 1 .

a

3.2.5. Định lý 4.19 (Tiêu chuẩn so sánh) 1. Giả sử các hàm số f (x) và g(x) khả tích trên (a, b], với x = a là điểm bất thường sao cho: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ ( a, c] , a < c < b . Khi đó b

(i) Nếu

b

 g ( x)dx hội tụ thì

 f ( x)dx

a

a

b

(ii) Nếu



h ội t ụ.

b

f ( x) dx phân kì thì

a

 g ( x)dx

phân kì.

a

2. Giả sử các hàm số dương f (x) và g(x) khả tích trên (a, b], với x = a là điểm bất thường của hai hàm số. Khi đó Nếu tồn tại giới hạn lim+ x→a

f ( x) = k , 0 < k < +∞ thì g ( x)

b

Tích phân suy rộng



b

f ( x) dx hội tụ khi và chỉ khi

a

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

 g ( x)dx a

68

h ộ i tụ .

Bài giảng Giải tích 1 Hệ quả 4.20 Giả sử các hàm số dương f (x) và g(x) khả tích trên (a, b], có cùng điểm bất thường x = a . Khi

đó: f ( x) 1. Nếu lim+ = 0 và x→a g ( x )

2. Nếu lim+ x→a

f ( x) = ∞ và g ( x)

b

 g ( x)dx

b

hội tụ thì

 f ( x)dx

a

h ội t ụ.

a

b

b

 g ( x)dx phân kì thì

 f ( x)dx

a

a

phân kì.

Ví dụ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau: +∞

x

1.

1

Ta có: +∞

Vì

 1

1 1 < 5 , ∀x ≥ 1 x + 2x x

dx hội tụ nên x5

2.

 0

Ta có: +∞

 0

dx + 2x

5

+∞

Vì

5

+∞

x 1

5

dx h ội t ụ. + 2x

dx x + 4 −1

1 > x + 4 −1

1 , ∀x ≥ 0 x+4

dx phân kì nên x+4

+∞

 0

dx phân kì. x + 4 −1

*

*

*

*

*

§4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 4.1.Tính diện tích hình phẳng

4.1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = g ( x) liên tục trên [a, b] và các

đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: b

S =  | f ( x) − g ( x) | dx a

4.1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho theo phương trình tham số: x = x(t ), y = y (t ) và các đường x = a, x = b , trục Ox , được tính bằng công thức :

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

69

Bài giảng Giải tích 1 t2

S =  | y (t ) x '(t ) | dt t1

Với a = x(t1 ), b = x(t2 ); Ví dụ :

x(t ), x '(t ), y (t ) liên tục trên [t1, t2 ] .

Tính diện tích của hình elip có các bán trục là a, b .

Giải Hình elip giới hạn bởi đường elip có phương trình :

x2 y2 + = 1. a2 b2

Đặt x = a cos t , y = b sin t , 0 ≤ t ≤ 2π . Áp dụng công thức trên, ta có : 2π

2π

π 2

0

0

0

π 2

1 − cos 2t dt = πab .

2 0

S =  | y (t ) x '(t ) | dt =  | −ab sin 2 t | dt = 4ab  sin 2 t dt = 4ab 

4.2.Độ dài cung phẳng

4.2.1. Độ dài s của cung AB từ A( a, f ( a )) đến B (b, f (b)) của đường cong y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên [a, b] được tính theo công thức: b

s =  1 + f '2 ( x) dx . a

4.2.2. Độ dài s của cung AB từ A( x(t1 ), y(t1 )) đến B( x(t2 ), y(t2 )) của đường cho theo phương trình tham số x = x(t ), y = y (t ) , có đạo hàm x '(t ), y '(t ) liên tục và biến thiên đơn điệu trên

[t1, t2 ] được tính theo công thức: t2

s =  | x '2 (t ) + y '2 (t ) | dt . t1

Ví dụ:

Tính độ dài của cung Astroid, phương trình tham số có dạng 3  x = a cos t ,  3  x = a sin t

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π .

70

Bài giảng Giải tích 1 Giải x ' = −3a cos 2 t.sin t ;

Ta có: 2π

y ' = 3a sin 2 t.cos t .

2π

s =  | x ' (t ) + y ' (t ) | dt =  | | 9a 2 cos 4 t.sin 2 t + 9a 2 sin 4 t.cos 2 t | dt = 2

2

0

0 2π

π 2

0

0

π

= 3a  sin t.cos t dt = 6a  sin 2t dt = −3a cos 2t 02 = 6a

4.3.Tính thể tích vật thể 4.3.1. Vật thể bất kì Thể tích vật thể hữu hạn giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a, x = b , có tiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x, a ≤ x ≤ b là S ( x) liên tục trên [a, b] được tính theo công thức : b

V =  S ( x) dx a

4.3.2. Vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi đường x = a, x = b , y = f ( x) ≥ 0 , liên tục trên [a, b] và trục Ox , quay quanh trục Ox, được tính theo công thức : b

V =  πf 2 ( x) dx a

Ví dụ :

Tính thể tích của hình elipxoid có các bán trục là a, b, c . x2 y 2 z 2 + + ≤1 a 2 b2 c 2

Giải Thiết diện của elipxoid vuông góc với trục Ox là một hình elip.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

71

Bài giảng Giải tích 1 Thiết diện nằm trên mặt phẳng x = x0 , x0 ∈ [ − a, a] được giới hạn bởi elip có các bán trục : b 1−

x0 2 x0 2 , c 1 − a2 a2

 x2 z2 x2  2 + 2 = 1 − 02 c a b x = x 0 

có phương trình là

 x2 Áp dụng ví dụ trên, diện tích thiết diện là : S ( x0 ) = πbc 1 − 02  . a  

  x2  x3 Vậy thể tích cần tìm là : V = πbc  1 − 2 dx = 2πbc  a − 2  a  3a −a   a

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

72

 4  = πabc  3 0

a

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài1. Tìm các tich phân bất định sau : 2

1.

1   2.   x + 3  dx x 

3 2  ( 2 x − 5 x + 7 x − 3)dx

3.  2 x.32 x.53 x dx

1

dt t

4.  ( x 2 − 3 x + 1)10 .(2 x − 3) dx

5.  (1 + x 2 ) 2 x dx

6.  (ln t ) 4

7.  (2 sin x + 3cos x ) dx

8.  (tan x + cot x ) 2 dx

9.  e 3cos x sin x dx

11.  (2 x + 1) 20 dx

12.  x 2 x3 + 5 dx



10.

sin 3 x 3

x

2

dx

(2 ln x + 3)3 dx  x

13.

14.

2

x x   16.   2sin + 3  .cos dx 2 2   e2 x  e4 x − 5 dx

19.

17.



x 4 dx 10

x −2

e2 x  e4 x + 5 dx

 (x

2

30.

x

3x − 1 dx − 4x + 8

33.

x2 + 2x + 6  ( x − 1)( x − 2)( x − 4) dx

 2x

31.

xdx  2 x2 + 2 x + 5

32.

2 x3 + 3x  x 4 + x 2 + 1 dx

34.



35.



2

dx − 2x + 3

5x − 3 2

2 x + 8x + 1

dx

dx x ( x + 1)10

37.



dx

38.



40.

dx  4sin x + 3cos x + 5

41.

sin 3 x dx  cos x 3 cos x

x2 + 2x + 2

sin x + cos x dx x .sin 2 x

27.

29.

x3 + 2 x 2 + 3 x + 4

x dx + 2 x2 + 5

26.  e x .sin x dx

dx + 6 x + 25

x + 2x + 5

4

 x sin x dx

x

dx

x

24.

28.

2

18.

3 − cos 4 x

23.  arctan x dx

 x e dx 2





25.

2 x

sin 2 x dx

15.

21.

20.

22.  ln dx

dx 2x − 9

x

4

2

dx + a 2 )n

36.

x

39.

x

dx 2

5x − 2x + 1 dx 4

1 + x2

x x 42.  cos x.cos .cos dx 2 4

Bài 2. Tính các tich phân xác định và tích phân suy rộng sau : π 4

1.

1

dx

 cos π 6

2

x

2.

 cos x dx 0

−x

dx

3.

0 −1

+∞

5.

 x.e

e

6.

dx −∞ x 2

ln x dx x 1



4.

dx −∞ 1 + x 2

73

π 3

+∞

8.

x sin x dx 2 x

 cos

−

+∞

7.

Bài 3. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau:

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

π 3

2

 x.e 0

− x2

dx

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ +∞

1.

2  sin( x ) dx

1

+∞

2.

0

dx 1 1 + x10

3.

 0

cos 2 x 3

1 − x2

1

dx

4.

ln(1 + 3 x ) 0 esin x−1 dx

Bài 4. Tính diện tích các hình phẳng 1.

y = 4x − x2 , y = 0

 x = 2(1 − sin t ) 2.  , trục Ox, 0 ≤ t ≤ 2π  y = 2(1 − cos t ) 3. r 2 = 2 cos θ Bài 5. Tính độ dài các đường cong phẳng 1.

y 2 = x3 , 0 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0

2. x = cos5 t , y = sin 5 t , 0 ≤ x ≤

π 2

θ π 3. r = sin 3 , 0 ≤ θ ≤ 3 2 Bài 6. Tính thể tích của vật 1. Tính thể tích của vật được tạo ra khi quay hình giới hạn bởi đường cong y 2 = ( x − 1)3 và

đường thẳng x = 2 quanh trục Ox. 2. Tính thể tích của vật mà đáy của nó là một tam giác cân có chiều cao h và cạnh đáy a . Thiết diện ngang của vật là viên phân parabol có dây cung bằng chiều cao của viên phân.

Chương 5

CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Xét không gian Euclide n chiều ℝ n , n > 1 . Một phần tử x ∈ ℝ n là một bộ n số thực

( x1 , x2 , ..., xn ) . D là một tập hợp trong ℝ n . Ánh xạ

f :D→ℝ

x = ( x1, x2 , ..., xn ) ֏ u = f ( x) = f ( x1 , x2 , ..., xn ) là một hàm số của n biến số xác định trên D. D được gọi là miền xác định của hàm số f.

x1, x2 , ..., xn được gọi là các biến số độc lập.

Nếu xem x1, x2 , ..., xn là các tọa độ của điểm M ∈ ℝ n trong một hệ tọa độ nào đó thì cũng có thể viết u = f ( M ) .

Trong trường hợp n = 2 hay n = 3 , ta dùng kí hiệu z = f ( x, y ) hay u = f ( x, y, z ) . Trong chương này, ta xét những hệ tọa độ Decarte vuông góc.

1.2. Tập hợp trong ℝ n Khoảng cách trong ℝ n -

Cho hai điểm M ( x1, x2 , ..., xn ) , N ( y1, y2 , ..., yn ) trong ℝ n , khoảng cách giữa hai điểm ấy là

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

74

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1

 n 2 d ( M , N ) =   ( xi − yi ) 2   i =1 

-

Với ba điểm A, B, C bất kì trong ℝ n , ta có: d ( A, C ) ≤ d ( A, B ) + d ( B, C ) (Bất đẳng thức tam giác) ε - lân cận và lân cận của một điểm trong ℝ n

Cho điểm M 0 ∈ ℝ n ,

o

ε - lân cận của M 0 là tập hợp tất cả các điểm của ℝ n sao cho d ( M 0 , M ) < ε .

o Lân cận của M 0 là mọi tập hợp chứa ε - lân cận nào đó của M 0 . Điểm trong, điểm biên -

Điểm M 0 ∈ D được gọi là điểm trong của D nếu tồn tại một ε - lân cận nào đó của M 0 sao cho lân cận đó nằm hoàn toàn trong D.

-

Điểm M 0 được gọi là điểm biên của D nếu với mọi ε - lân cận của M 0 mà trong lân cận

đó vừa chứa những điểm thuộc D, vừa chứa những điểm không thuộc D. Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, tập liên thông -

Tập D của không gian ℝ n gọi là mở nếu mọi điểm M của D đều là điểm trong.

-

Tập D của không gian ℝ n gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó.

-

Tập D của không gian ℝ n gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình cầu nào đó chứa nó.

-

Tập D của không gian ℝ n gọi là liên thông nếu có thể nối bất kì hai điểm M1 , M 2 thuộc D bởi một đường liên tục nằm hoàn toàn trong D.

1.3.

Miền xác định của hàm số nhiều biến số

Nếu hàm số u được cho bởi biểu thức u = f ( M ) mà không nói gì thêm về miền xác định của nó thì miền xác định của u được hiểu là tập hợp tất cả những điểm M sao cho biểu thức f ( M ) có nghĩa, thường đó là tập liên thông.

Ví dụ Hàm số z = 1 − x 2 − y 2 được xác định trong miền x 2 + y 2 ≤ 1 , tức là quả cầu đóng tâm O bán kính 1.

§2. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 2.1.Giới hạn của hàm số nhiều biến số •

Dãy điểm {M n ( xn , yn )} được gọi là dần tới điểm M 0 ( x0 , y0 ) trong ℝ 2 , kí hiệu M n → M 0 khi n → ∞ , nếu lim d ( M n , M 0 ) = 0 hay lim xn = x0 , lim yn = y0 . n→∞

n→∞

n →∞

Định nghĩa Cho hàm số z = f ( M ) = f ( x, y ) xác định trong một lân cận U nào đó của điểm M 0 ( x0 , y0 ) (có thể trừ tại M 0 ).

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

75

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ -

Ta nói hàm số f ( M ) có giới hạn L khi M ( x, y ) dần tới M 0 ( x0 , y0 ) nếu với moi dãy điểm

{M n ( xn ,

yn )} (khác M 0 ) thuộc lân cận U dần đến M 0 , ta đều có lim f ( xn , yn ) = L . n →∞

Kí hiệu: -

lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

f ( x, y ) = L hay lim f ( M ) = L .

M →M 0

Hàm số f ( M ) có giới hạn L khi M dần tới M 0 nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0 : d ( M , M 0 ) < δ  | f ( M ) − L | < ε .

Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số.

•

1 → +∞ khi ( x, y ) → (0, 0) . x + y2

Ví dụ

2

Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số.

•

Ví dụ

Tìm

lim

( x , y )→(0; 0)

f ( x , y ) với f ( x , y ) =

xy . x + y2 2

Giải Ta có: Hàm số f ( x, y ) xác định trên ℝ 2 \ {(0; 0)}.

Nếu cho ( x, y ) → (0, 0) theo phương của đường thẳng y = kx , ta có: f ( x, kx) =

k khi x ≠ 0 .

1+ k2

k .

1+ k2 Vậy khi ( x, y ) → (0, 0) theo những phương khác nhau, f ( x, y ) dần tới những giới hạn khác Do đó: lim f ( x, kx ) = x →0

nhau. Do đó, không tồn tại giới hạn

lim

( x , y )→(0; 0)

f ( x, y ) .

2.2.Tính liên tục của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa Giả sử hàm số f ( M ) xác định trong miền D ⊂ ℝ 2 và M 0 ∈ D .

Hàm số f ( M ) được gọi là liên tục tại M 0 nếu tồn tại giới hạn lim f ( M ) = f ( M 0 ) .

M →M 0

-

Nếu miền D đóng, M 0 là một điểm biên của D thì lim f ( M ) được hiểu là giới hạn của M →M 0

f ( M ) khi M dần tới M 0 ở bên trong D. •

Giả sử M 0 có tọa độ ( x0 , y0 ) , M có tọa độ ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) .

Đặt ∆f = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) . Định nghĩa trên có thể được phát biểu là: -

Hàm số f ( x, y ) được gọi là liên tục tại ( x0 , y0 ) nếu nó xác định tại đó và nếu ∆f → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0 .

-

Hàm số f ( M ) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

76

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ -

Hàm số f ( M ) được gọi là liên tục đều trong miền D nếu ∀ε > 0 , ∃δ > 0 sao cho với mọi cặp

điểm M ', M '' ∈ D mà d ( M ', M '') < δ , ta đều có: | f ( M ') − f ( M '') | < ε

o Hàm số nhiều biến liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục.

Ví dụ Khảo sát tính liên tục của hàm số:

 | xy |α khi ( x, y ) ≠ (0, 0)  f ( x, y ) =  x 2 + y 2 0 khi ( x, y ) = (0, 0) 

( α là một hằng số dương)

f ( x, y ) liên tục ∀( x, y ) ≠ (0, 0) vì hàm số các | xy |α , x 2 + y 2 liên tục ∀( x, y ) ≠ (0, 0) . Nên ta chỉ cần xét tại điểm (0, 0). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

1 | xy |α 1 1 | xy | ≤ ( x 2 + y 2 )  2 ≤ α ( x 2 + y 2 )α−1  | f ( x, y ) | ≤ α ( x 2 + y 2 )α−1 .

2 2 x +y 2 2 Do đó, +

Nếu α > 1 thì

+

Nếu α ≤ 1 ,

lim

( x , y ) →(0; 0)

Khi đó: f ( x, x) =

f ( x, y ) = 0 , từ đó suy ra f ( x, y ) liên tục tại điểm (0, 0).

x 2α 1 = 2(1−α ) : không dần tới 0 khi x → 0 .

2 2x 2x

Vậy f ( x, y ) không liên tục tại điểm (0, 0).

§3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 3.1.Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định trong một lân cận U của điểm M 0 ( x0 , y0 ) .

o

∆x = x − x0 và ∆y = y − y0 với ( x, y ) ∈U lần lượt gọi là số gia của biến số x và y.

o

∆ x z = f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) và ∆ y z = f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) lần lượt gọi là số gia riêng của hàm z = f ( x, y ) theo biến số x và y tại M 0 ( x0 , y0 ) .

o

∆z = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) gọi là số gia toàn phần của hàm z = f ( x, y ) tại M 0 ( x0 , y0 ) . Định nghĩa đạo hàm riêng

∆yz ∆x z và lim tồn tại hữu hạn thì các giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của ∆x → 0 ∆x ∆y → 0 ∆y

o Nếu lim

hàm z = f ( x, y ) tại ( x0 , y0 ) .

Kí hiệu lần lượt là: •

z 'x ( x0 , y0 ) (hay f 'x ( x0 , y0 ) hay

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

∆ z ∂z ( x0 , y0 ) ) = lim x . ∆ x → 0 ∂x ∆x

77

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ •

z ' y ( x0 , y0 ) (hay f ' y ( x0 , y0 ) hay

∆y z ∂z . ( x0 , y0 ) ) = lim ∆ y → 0 ∂y ∆y

o Nếu hàm z = f ( x, y ) có các đạo hàm riêng theo biến x và y tại mọi điểm ( x, y ) ∈ D thì ta nói z = f ( x, y ) có các đạo hàm riêng theo biến x và y trong miền D. Kí hiệu: •

Đạo hàm riêng của z = f ( x, y ) theo biến x trong miền D là:

•

∂z . ∂x Đạo hàm riêng của z = f ( x, y ) theo biến y trong miền D là:

z 'x hay f 'x ( x, y ) hay

z ' y hay f ' y ( x, y ) hay

∂z . ∂y

f ( x, y) = x y

Ví dụ

∂f = yx y −1 ; ∂x

∂f = x y ln x . ∂y

3.2.Vi phân riêng và vi phân toàn phần 3.2.1. Vi phân riêng

Định nghĩa: Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định trong một lân cận U của điểm M 0 ( x0 , y0 ) .

Nếu tồn tại A, B chỉ phụ thuộc vào x0, y0 (không phụ thuộc vào ∆x, ∆y) sao cho:

∆xz = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0) = A.∆x + α(∆x) và

∆yz = f(x0, y0 + ∆y) – f(x0, y0) = B.∆y + β(∆x)

trong đó (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ U ; α(∆x), β(∆x) là các VCB bậc cao đối với ∆x, ∆y.

Khi đó, các biểu thức A.∆x, B.∆y được gọi là các vi phân riêng của hàm z = f ( x, y ) tại

M 0 ( x0 , y0 ) theo biến x và y.

Kí hiệu : dxz = A.∆x, dyz = B.∆y.

Định lý 1. Điều kiện cần và đủ để hàm z = f ( x, y ) có các vi phân riêng tại (x0, y0) là nó có các đạo hàm riêng tại điểm đó.

Khi đó,

dxz = z’x. ∆x,

dyz = z’y. ∆y.

Định nghĩa : Nếu hàm z = f ( x, y ) có các vi phân riêng tại mọi điểm (x, y) ∈ D thì ta nói z = f ( x, y ) có vi phân riêng trên D.

3.2.2. Vi phân toàn phần

Định nghĩa: Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định trong một lân cận U của điểm M 0 ( x0 , y0 ) .

Nếu tồn tại A, B chỉ phụ thuộc vào x0, y0 sao cho:

∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0) = A.∆x + B.∆y + α(∆x) + β(∆x) trong đó (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ U ; α(∆x), β(∆x) là các VCB bậc cao đối với ∆x, ∆y.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

78

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Khi đó, biểu thức A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân toàn phần của hàm z = f ( x, y ) tại

M 0 ( x0 , y0 ) .

Kí hiệu : dz(x0, y0) (hay df(x0, y0)) = A.∆x + B.∆y.

Khi đó, ta nói hàm z = f ( x, y ) khả vi tại M 0 ( x0 , y0 ) .

Định nghĩa: Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi tại mọi điểm (x, y) ∈ D thì ta nói z = f ( x, y ) khả vi trên D. Kí hiệu: dz hay df(x,y).

Định lý 2. Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi tại M0(x0, y0) thì nó liên tục tại điểm đó. Định lý 3 (Điều kiện cần để hàm hai biến khả vi). Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi tại M0(x0, y0) thì tại điểm ấy tồn tại các đạo hàm riêng z’x , z’y và ta có : dz(x0, y0) = z’x(x0, y0) .∆x + z’y(x0, y0) .∆y.

Hệ quả. Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi trên miền D thì nó có các đạo hàm riêng z’x , z’y trong miền đó và có

dz = z’x.∆x + z’y.∆y.

Định lý 4 (Điều kiện cần và đủ để hàm hai biến khả vi) •

Nếu hàm số z = f ( x, y ) xác định trong một lân cận U của điểm M 0 ( x0 , y0 ) và có các đạo hàm riêng liên tục tại M0(x0, y0) thì z = f ( x, y ) khả vi tại M0(x0, y0). Và khi đó dz(x0, y0) = z’x(x0, y0) .∆x + z’y(x0, y0) .∆y.

•

Nếu hàm số z = f ( x, y ) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D thì hàm z = f ( x, y ) khả vi trong D và có dz = z’x.∆x + z’y.∆y.

Điều kiện cần và đủ để hàm z = f ( x, y ) có các vi phân riêng tại (x0, y0) là nó có các đạo hàm riêng tại điểm đó.

Khi đó,

dxz = z’x. ∆x,

dyz = z’y. ∆y.

o Chú ý Cũng như đối với hàm số một biến số, nếu x, y là các biến số độc lập thì dx = ∆x, dy = ∆y , do đó dz = z 'x dx + z ' y dy .

Ứng dụng của vi phân toàn phần để tính gần đúng Xét hàm z = f ( x, y ) khả vi tại M0(x0, y0) Khi đó ∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0) = f’x(x0, y0) .∆x + f’y(x0, y0) .∆y + α(∆x) + β(∆x) Nếu ∆x, ∆y có trị số tuyệt đối khá bé, do α → 0, β → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0 nên ta có:

∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0)≈ f’x(x0, y0) .∆x + f’y(x0, y0) .∆y = dz.

Suy ra:

f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x' ( x0 , y0 )∆x + f y' ( x0 , y0 )∆y .

3.3.Đạo hàm của hàm số hợp Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

79

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ D là một tập hợp trong không gian ℝ n . Xét hai ánh xạ:

ϕ : D → ℝm ( x1, x2 , ..., xn ) ֏ (u1 ( x1 , x2 , ..., xn ), ..., um ( x1 , x2 , ..., xn )) f : ϕ( D ) → ℝ

(u1 ( x1 , x2 , ..., xn ), ..., um ( x1, x2 , ..., xn )) ֏ f (u1 ( x1, x2 , ..., xn ), ..., um ( x1, x2 , ..., xn )) Xét n = m = 2 . Đặt F = f ϕ . Khi đó: ϕ

f

F : ( x, y ) ∈ D ֏ (u ( x, y ), v( x, y )) ∈ ϕ( D) ֏ f ( u ( x, y ), v( x, y )) = F ( x, y ) Định lý 5.2 Nếu f có đạo hàm riêng

∂f ∂f , liên tục trong ϕ( D) và nếu u, v có các đạo hàm riêng ∂u ∂v

∂u ∂u ∂v ∂v ∂F ∂F trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng và ta có: , , , , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

 ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v  ∂x = ∂u . ∂x + ∂v . ∂x  ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v  = . + .  ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

-

Nếu z = f ( x, y ); y = y ( x) thì z là hàm số hợp của x hay z = f ( x, y ( x)) . Khi đó, ta có: dz ∂f ∂f = + y '( x) . dx ∂x ∂y

-

Nếu z = f ( x, y ); x = x(t ); y = y (t ) thì: dz ∂f ∂f = x '(t ) + y '(t ) . dt ∂x ∂y

Ví dụ 1. Cho z = eu ln v với u = xy; v = x 2 + y 2 Ta có:  ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v u u 1  ∂x = ∂u . ∂x + ∂v . ∂x = e ln v. y + e v . 2 x  ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 1  = . + . = eu ln v. x + eu . 2 y v  ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

Suy ra:

∂z eu 2x = y.eu ln v + 2 x. = e xy ( y ln( x 2 + y 2 ) + 2 ) ∂x v x + y2 ∂z 1 2y = x.e xy ln( x 2 + y 2 ) + 2 y.e xy 2 = e xy ( x ln( x 2 + y 2 ) + 2 ).

2 ∂y x +y x + y2

2. Cho z = x + y 2 với x = cos t ; y = sin t .

Ta có:

dz ∂z ∂z = .x '(t ) + . y '(t ) = − sin t + 2sin t.cos t = sin 2t − sin t . dt ∂x ∂y

3.4.Đạo hàm của hàm số ẩn Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

80

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.4.1. Hàm số ẩn Hàm số ẩn một biến số: Cho hệ thức giữa hai biến x, y có dạng F ( x, y ) = 0

(*)

Nếu với mỗi giá trị x = x0 trong một khoảng nào đó, có một (hoặc nhiều) giá trị y = y0 sao cho

F ( x0 , y0 ) = 0, ta nói hệ thức (*) xác định một (hoặc nhiều) hàm số ẩn y theo x trong khoảng đó.

Ví dụ:

Hệ thức x 2 + y 2 = 1 xác định hàm số ẩn y = 1 − x 2 hoặc y = − 1 − x 2 cũng có

miền xác định là [-1; 1].

Giả sử tại M 0 ( x0 , y0 ) , F ( x0 , y0 ) = 0. Nếu trong lân cận của điểm M 0 , hàm F ( x, y ) có các

đạo hàm riêng

∂F ∂F ∂F ( M 0 ) liên tục và , ≠ 0 thì hệ thức (*) xác định một hàm số ẩn y = ϕ( x) ∂x ∂y ∂y

trong một lân cận nào đó của x0 thỏa mãn điều kiện y0 = ϕ( x0 ) , đồng thời trong lân cận đó thì hàm số y = ϕ( x) liên tục, có đạo hàm liên tục và

∂F ( M 0 ) dy ( x0 ) = − ∂x ∂F ( M 0 ) dx ∂y Ví dụ:

Cho hàm số y = y ( x ) xác định từ phương trình sin( x + y ) + y = 0 . Tính y’.

Giải

Đặt F ( x, y ) = sin( x + y ) + y . Ta có: ∂F ∂F = cos( x + y ), = cos( x + y ) + 1 ∂x ∂y

Suy ra: y ' = −

cos( x + y ) . cos( x + y ) + 1

o Chú ý Để tính đạo hàm của hàm số ẩn y = y ( x) xác định từ hệ thức (*), ta có thể đạo hàm hai vế của F ( x, y ( x)) = 0 theo biến x:

dy F ( x, y ( x)) = 0 ⇔ Fx' + Fy' y '( x) = 0 . dx Từ đó, ta tính được y '( x) .

Ví dụ:

Cho phương trình x 2 + y 2 + ln( x 2 + y 2 ) = a 2 . Tính y '( x) .

Giải Đạo hàm hai vế của phương trình đã cho theo biến x, ta được: 2 x + 2 yy '+

 1  2 x + 2 yy ' = 0 ⇔ (2 x + 2 yy ')  1 + 2 =0 2 2 x + y2  x +y 

Suy ra: y ' = y '( x) = −

x . y

Hàm số ẩn hai biến số: Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

81

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Ứng với mỗi cặp (x, y) cho ta một giá trị xác định z thỏa mãn đẳng thức F ( x, y, z ) = 0 thì hàm z = ϕ( x, y ) là hàm ẩn hai biến số độc lập x, y được xác định từ hệ thức: (**)

F ( x, y , z ) = 0

Đồng thời, ta cũng có định lý: Giả sử F ( x0 , y0 , z0 ) = 0. Nếu hàm số F ( x, y, z ) trong lân cận điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) có các

đạo hàm riêng liên tục và

∂F ( M 0 ) ≠ 0 thì hệ thức (**) xác định một hàm số ẩn z = ϕ( x, y ) có các ∂z

đạo hàm riêng liên tục và ∂F ( M 0 ) ∂F ( M 0 ) ∂z ( x0 , y0 ) ∂ z ( x , y ) ∂y 0 0 = − ∂x , . =− ∂F ( M 0 ) ∂F ( M 0 ) ∂x ∂y ∂z ∂z Ví dụ:

Cho x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 0 . Tính

∂z ∂z . , ∂x ∂y

Giải

Đặt F ( x, y, z ) = x3 + y3 + z 3 − 3xyz , ta có:

∂F ∂F ∂F = 3 x 2 − 3 yz , = 3 z 2 − 3 xy . = 3 y 2 − 3 xz , ∂x ∂z ∂y ∂F ∂F 2 ∂z x − yz ∂z y 2 − xz ∂y = − ∂x = − 2 ,. =− =− 2 ∂F ∂F ∂x z − xy ∂y z − xy ∂z ∂z

Suy ra:

3.5.Đạo hàm và vi phân cấp cao 3.5.1. Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số hai biến số z = f ( x, y ) .

Các đạo hàm riêng f x' , f y' là những đạo hàm riêng cấp một.

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai.

Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai là: ∂  ∂f  ∂ 2 f ''   = 2 = f x 2 ( x, y ) ∂x  ∂x  ∂x ∂  ∂f  ∂ 2 f = f xy'' ( x, y )  = ∂y  ∂x  ∂x∂y ∂  ∂f  ∂ 2 f = f yx'' ( x, y )  = ∂x  ∂y  ∂y∂x ∂  ∂f  ∂ 2 f = f y''2 ( x, y )  = ∂y  ∂y  ∂y 2 Ví dụ:

Cho z = x 2 y 3 + x 4

Ta có: z x' = 2 xy 3 + 4 x3 ; Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

z 'y = 3x 2 y 2 82

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

z x''2 = 2 y 3 + 12 x 2 ;

z ''y 2 = 6 x 2 y

z xy'' = 6 xy 2 ;

z ''yx = 6 xy 2

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai nếu tồn tại được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba.

Định lý 5.3 (Định lý Schwarz) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M 0 ( x0 , y0 ) , hàm số z = f ( x, y ) có các đạo hàm riêng

f xy'' , f yx'' và nếu các đạo hàm riêng này liên tục tại M 0 thì f xy'' = f yx'' tại M 0 . Định lý cũng được mở rộng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn và cho hàm số n biến số với

n ≥ 3.

3.5.2. Vi phân cấp cao

Xét hàm số z = f ( x, y ) , vi phân toàn phần của nó dz = f x'dx + f y' dy nếu tồn tại, cũng là một hàm số của x, y .

Vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại được gọi là vi phân cấp hai của z và được kí hiệu là d 2z :

d 2 z = d (dz ) = d ( f x'dx + f y' dy ) .

Cứ tiếp tục như vậy, ta có định nghĩa vi phân cấp 3, …, cấp n :

d 3 z = d (d 2 z ) …

d z = d (d n−1 z ) n

*

*

*

*

*

§4. CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 4.1.Cực trị tự do của hàm hai biến 4.1.1. Định nghĩa

Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định trong một miền D nào đó, M 0 ( x0 , y0 ) là một điểm thuộc D . Ta nói rằng f ( x, y ) đạt cực trị tại M 0 nếu với mọi điểm M ( x, y ) trong một lân cận nào đó của M 0 , nhưng khác M 0 , hiệu số f ( M ) − f ( M 0 ) có dấu không đổi.

•

Nếu f ( M ) − f ( M 0 ) > 0 thì z = f ( x, y ) có cực tiểu.

•

Nếu f ( M ) − f ( M 0 ) < 0 thì z = f ( x, y ) có cực đại.

4.1.2. Qui tắc tìm cực trị

Kí hiệu: p = f x' ( M ) ;

A = f xx'' ( M ) ;

q = f y' ( M ) B = f xy'' ( M ) ;

C = f yy'' ( M )

Định lý 5.4

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

83

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Giả sử hàm số z = f ( x, y ) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào

đó của M 0 ( x0 , y0 ) .

B 2 − AC < 0 thì f ( x, y ) đạt cực trị tại M 0 , đó là cực tiểu nếu A > 0 , là cực đại nếu A < 0

•

.

•

B 2 − AC > 0 thì f ( x, y ) không đạt cực trị.

•

B 2 − AC = 0 thì f ( x, y ) có thể đạt cực trị tại M 0 , có thể không đạt cực trị tại M 0 .

Ví dụ

Tìm cực trị của hàm số z = x3 + 2 y 3 − 3x − 6 y

Giải Ta có: p = 3x 2 − 3 ; q = 6 y 2 − 6 ; A = 6 x ; B = 0 ; C = 12 y p = 0 ⇔ x = ±1 ;

q = 0 ⇔ y = ±1 .

Vậy ta có 4 điểm dừng: M1 (1; 1), M 2 (−1; 1), M 3 (−1; − 1), M 4 (1; − 1) . + Với M1 (1; 1) : B 2 − AC = −6.1.12.1 = −72 < 0, A = 6.1 = 6 > 0 .

Suy ra M1 (1; 1) là điểm cực tiểu của hàm số. + Với M 2 (−1; 1) : B 2 − AC = −6.(−1).12.1 = 72 > 0 .

Suy ra: Hàm số không đạt cực trị tại M 2 (−1; 1) . + Với M1 (1; 1) : B 2 − AC = −6.1.12.1 = −72 < 0, A = 6.1 = 6 > 0 .

Suy ra M1 (1; 1) là điểm cực tiểu của hàm số.

4.2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số của hàm số nhiều biến số Xét D là một miền đóng, bị chặn, f :D→ℝ

( x, y ) ֏ f ( x, y )

•

M

là giá trị lớn nhất của f ( x, y ) trên D nếu ∃( x0 , y0 ) ∈ D : f ( x0 , y0 ) = M và

∀( x, y ) ∈ D : f ( x, y ) ≤ M .

•

m

là giá trị nhỏ nhất của f ( x, y ) trên D nếu ∃( x0 , y0 ) ∈ D : f ( x0 , y0 ) = m và

∀( x , y ) ∈ D : f ( x , y ) ≥ m .

Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm Muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ta tìm các giá trị cực đại, cực tiểu và so sánh các giá trị cực đại, cực tiểu đó với các giá trị trên đầu mút.

Cách tìm cực trị của hàm trong miền Đ

-

Tìm cực trị của f ( x, y ) với điều kiện biên ϕ( x, y ) = 0 .

-

Tìm các giá trị trên các mút của biên.

So sánh các giá trị tìm được.

Ví dụ

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sau đây :

z = 3x 2 + 3 y 2 − 2 x − 2 y + 2

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

84

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

x = 0  trên miền D =  y = 0 . x + y = 1  B1. Tìm cực trị trên miền Đ Ta có : p = z x' ( x, y ) = 6 x − 2; A = 6 > 0;

B = 0;

q = z 'y ( x, y ) = 6 y − 2 , C = 6.

1 1 p = 0, q = 0 ⇔ x = , y = 3 3

1 1 Với M  ;  : B 2 − AC = 0 − 6.6 = −36 < 0, A = 6 > 0 . 3 3 1 1 Suy ra M  ;  là điểm cực tiểu của hàm số. 3 3 1 1 1 1 4 Khi đó, z = 3. + 3. − 2. − 2. + 2 = .

9 9 3 3 3 B2. Các điểm biên •

(1)

x = 0  z = 3 y2 − 2 y + 2 z 'y = 6 y − 2 = 0 ⇔ y =

1 3

1 1 5  1 Tại  0,  : z = 3. − 2. + 2 = 9 3 3  3

•

(2)

y = 0  z = 3x 2 − 2 x + 2 z x' = 6 x − 2 = 0 ⇔ x =

1 3

1 1 5 1  Tại  , 0  : z = 3. − 2. + 2 = 9 3 3 3  •

(3)

x + y = 1  y = 1− x

z = 3 x 2 + 3(1 − x) 2 − 2 x − 2(1 − x) + 2 = 3x 2 + 3 − 6 x + 3x 2 − 2 x − 2 + 2 x + 2 = 6 x2 − 6 x + 3

z x' = 12 x − 6 = 0

⇔ x=

1 1  y= .

2 2

3 1 1 Tại  ,  : z = 2 2 2

(4)

B3. Các điểm mút Tại (0, 0) : z = 2

(5)

Tại (0, 1) : z = 3

(6)

Tại (1, 0) : z = 3

(7)

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

85

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) suy ra giá trị lớn nhất của z là 3, giá trị nhỏ nhất của z là

4 .

3

4.3.Cực trị có điều kiện 4.3.1. Định nghĩa

Người ta gọi cực trị của hàm số (i)

z = f ( x, y ) trong đó các biến số x và y bị ràng buộc bởi hệ thức

(ii)

g ( x, y ) = 0 là cực trị có điều kiện.

4.3.2. Liên hệ với cực trị tự do

Với sự có mặt của phương trình ràng buộc (ii), miền biến thiên của cặp biến chọn ( x, y ) bị thu hẹp. Khái niệm có điều kiện được hiểu theo nghĩa địa phương giống như cực trị tự do, chỉ khác ở chỗ tất cả các bộ phận giá trị của biến chọn phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc (ii).

Hệ thức (**) áp đặt sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến chọn dưới dạng hàm ẩn. nếu từ (**) ta biểu diễn được y dưới dạng hàm hiện y = ϕ( x) thì bài toán cực trị nêu trên quy về bài toán cực trị tự do của hàm số một biến số x : z = f ( x, ϕ( x)) = h( x) .

Ví dụ : với điều kiện

Tìm cực trị của hàm số z = xy + 2 x

(1)

8 x + 4 y − 120 = 0

(2)

Giải Từ hệ thức liên hệ (2), ta có y = 30 − 2 x .

Hàm mục tiêu (1) có thể biểu diễn dưới dạng : z = 32 x − 2 x 2

(3)

Tìm cực trị của hàm số (3), ta có (3) đạt cực đại tại x = 8 . Khi đó : y = 30 − 16 = 14 .

Vậy hàm số (1) với điều kiện (2) đạt cực đại tại điểm ( x = 8; y = 14) .

o Chú ý Trong nhiều trường hợp, từ điều kiện (ii) ta không thể rút ra được y = ϕ( x) , khi đó ta phải dùng một phương pháp mới, gọi là phương pháp nhân tử Lagrange.

4.3.3. Phương pháp nhân tử Lagrange Từ hàm mục tiêu (i) và điều kiện (ii) ta lập hàm số : L( x, y, λ) = f ( x, y ) + λ.g ( x, y )

(iii)

Hàm số trên có thêm biến chọn λ , gọi là nhân tử Lagrange.

Với tất cả các điểm M ( x, y ) thỏa mãn điều kiện (ii), tức là khi xét các biến chọn chỉ trong miền biến thiên đã bị thu hẹp bởi điều kiện (ii), hàm số mục tiêu z đồng nhất với hàm số L. Với giả thiết các hàm số f ( x, y ) và g ( x, y ) có đạo hàm riêng liên tục và g ( x0 , y0 ) ≠ 0 , người ta chứng minh được rằng : Nếu hàm số (i) với điều kiện (ii) đạt cực trị tại điểm ( x0 , y0 ) thì tồn tại số λ 0 sao cho bộ ba số thực λ = λ0 , x = x0 , y = y0 thỏa mãn hệ phương trình :

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

86

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

∂L  ∂λ = g ( x, y ) = 0  ∂g  ∂L ∂f −λ =0  = x x x ∂ ∂ ∂  ∂g  ∂L ∂f  ∂y = ∂y − λ ∂y = 0 

(iv)

Vậy điều kiện cần để hàm số (i) với điều kiện (ii) đạt cực trị quy về điều kiện cần để hàm số Lagrange (iii) đạt cực trị không có điều kiện. o Chú thích Các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình (iv) được gọi là các điểm tới hạn (điểm dừng). Để biết các điểm ấy có thực sự là cực trị hay không, ta dùng định nghĩa để kiểm tra.

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 1. Tìm giới hạn lim x →0 y →0

xy x + y2

2. Tìm giới hạn lim x →0 y →0

2

xy 2

x + y2

3. Cho z = 3x 2 y3 + x + y . Tính 4. Cho z = x y , x > 0 . Tìm 5. Cho z = xy + arctan

∂z ∂z tại điểm (1 ; 2). , ∂x ∂y

∂z ∂z . , ∂x ∂y

x ∂z . Tìm . y ∂y

x ∂z . Tính ( x, 1) . ∂x y

6. Cho z = x + ( y − 1) arcsin

7. Cho z = eu .ln v; u = x − y, v = xy . Tìm

∂z ∂z . , ∂x ∂y

8. Cho f ( x, y) = x 2 y3 + y 2 . Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của f ( x, y ) .

9. Tìm cực trị của hàm z = x 2 + xy + y 2 − 3x − 6 y 10. Tìm cực trị của hàm z =

1 x y xy + (47 − x − y )  +  2 3 4

11. Tìm cực trị của hàm z = x 4 + y 4 − x 2 − y 2 − 2 xy 12. Tìm cực trị của hàm z = x3 + y 3 − 9 xy 13. Tìm cực trị của hàm z = e x

2

+ y2

(2 x 2 + y 2 )

14. Tìm cực trị của hàm z = 4 − 3 ( x 2 + y 2 ) 2 15. Tìm cực trị của hàm z = xy với điều kiện 2 x + 3 y − 5 = 0 16. Tìm cực trị của hàm z = x 2 + y 2 với điều kiện 2 x + 3 y − 5 = 0 Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

87

Chương 5. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

17. Tìm a, b, c để hàm số z = x3 − 2 y 3 + ax + by + c đạt cực trị tại điểm M ( −1, 1) và z ( M ) = 6 .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

88

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Chương 6. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC §1. HÌNH BAO CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG CONG Cho phương trình F ( x, y, c) = 0 (1) (c là hằng số). Khi c thay đổi ta có một học đường cong

{Lc } phụ thuộc vào c.

1.1.Định nghĩa hình bao của một học đường cong

Cho họ đường cong {Lc } . Ta gọi đường cong E là hình bao của họ đường cong {Lc } nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: •

Mọi đường cong của họ đường cong {Lc } đều tiếp xúc với đường cong E.

•

Tại mỗi điểm của E đều có một đường cong của họ đường cong {Lc } tiếp xúc với E tại điểm

đó.

1.2.Quy tắc tìm hình bao Cho họ đường cong {Lc } có phương trình tổng quát F ( x, y, c) = 0

(1)

• Nếu họ đường cong (1) không có điểm kì dị thì lập hệ phương trình

 F ( x, y , c ) = 0  '  Fc ( x, y, c) = 0

(2)

Từ hệ phương trình (2), khử c ta tìm được phương trình của hình bao.

• Nếu họ đường cong (1) có điểm kì dị thì giải hệ phương trình (2), ta được phương trình của hình bao và quỹ tích của điểm kì dị.

Nhắc lại : Điểm M 0 được gọi là điểm kì dị của hàm z = f ( x, y ) nếu tại đó hoặc các đạo hàm riêng không tồn tại, hoặc các đạo hàm riêng tồn tại và bằng 0.

1.3.Ví dụ Tìm hình bao của các họ đường cong sau

a) ( x − c)2 + y 2 = 1 Giải: Ta có F ( x, y, c) = 0  F ( x, y, c) = ( x − c) 2 + y 2 − 1

F ( x, y, c) = ( x − c) 2 + y 2 − 1 = x 2 − 2cx + c 2 + y 2 − 1 Fc' ( x, y , c ) = −2 x + 2c

 x 2 − 2cx + c 2 + y 2 − 1 = 0 x = c ⇔   y = ±1 −2 x + 2c = 0

Ta có hệ phương trình: 

Vậy phương trình của hình bao là : y = ±1 . b) ( y − c) 2 − ( x − c)3 = 0 Giải: Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

89

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Ta có F ( x, y, c) = 0  F ( x, y, c) = ( y − c) 2 − ( x − c)3

Fc' ( x, y , c ) = −2( y − c ) + 3( x − c ) 2

 y = x  ( y − c ) 2 − ( x − c )3 = 0 ⇔  4 2  −2( y − c ) + 3( x − c) = 0  y = x − 27

Ta có hệ phương trình: 

 Fx' ( x, y, c) = −3( x − c) 2  Fx' ( x, y, c) = 0  x = c Mặt khác,  ' '  Fy ( x, y, c) = 2( y − c)  Fy ( x, y, c) = 0  y = c  y = x là quỹ tích các điểm kì dị.

Vậy phương trình của hình bao là : y = x − *

*

4 .

27 *

*

*

§2. CÁC MẶT CONG BẬC HAI 2.1. Phương trình tổng quát

Trong không gian, tập hợp tất cả các điểm M ( x, y, z ) có tọa độ thỏa mãn phương trình bậc hai tổng quát

a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2(a12 xy + a23 yz + a13 zx) + a1 x + a2 y + a3 z + a0 = 0 gọi là một mặt bậc hai.

2.2. Mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I (a, b, c) , bán kính R có dạng

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2 2.3. Mặt elipxoit

Mặt elipxoit (kí hiệu (E)) là tập hợp tất cả các điểm M ( x, y, z ) trong không gian thỏa mãn phương trình : 2 x2 + y + z 2 = 1 a 2 b2 c 2

( a, b, c là các hằng số dương cho trước)

-

a, b, c được gọi là các bán trục của (E).

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

90

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

-

Nếu a = b = c thì (E) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 = a 2 : đây chính là phương trình mặt cầu tâm O(0, 0, 0), bán kính R = a .

-

(E) nhận các mặt phẳng tọa độ làm mặt đối xứng.

-

Giao điểm của (E) với:

+

Trục Ox là A1 (−a, 0, 0), A2 (a, 0, 0)

+

Trục Oy là B1 (0, − b, 0), B2 (0, b, 0)

+

Trục Oz là C1 (0, 0, − c), C2 (0, 0, c)

-

A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 được gọi là các đỉnh của (E).

-

Giao tuyến của (E) với:

+

 x2 y2  + =1 Mặt xOy là :  a 2 b 2  z = 0

+

 y2 z2  + =1 Mặt yOz là :  b 2 c 2  x = 0

+

 x2 z 2  2 + 2 =1 Mặt zOx là :  a c  y = 0

2.4. Mặt hypeboloit một tầng Mặt hypeboloit một tầng là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn phương trình : 2 x2 + y − z 2 = 1 a 2 b2 c2

( a, b, c là các hằng số dương cho trước)

-

a, b, c được gọi là các bán trục.

-

Giao điểm của mặt hypeboloit một tầng với:

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

91

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

+

Trục Ox là A1 (−a, 0, 0), A2 (a, 0, 0)

+

Trục Oy là B1 (0, − b, 0), B2 (0, b, 0)

+ Không cắt trục Oz - Giao tuyến của mặt hypeboloit một tầng với: +

 x2 y2  + =1 Mặt xOy là :  a 2 b 2 là phương trình của một Elip  z = 0

+

 y2 z2  − =1 Mặt yOz là :  b 2 c 2 là phương trình của một Hypebol  x = 0

+

 x2 z 2  2 − 2 =1 Mặt zOx là :  a c  y = 0

là phương trình của một Hypebol

2.5.Mặt hypeboloit hai tầng Mặt hypeboloit hai tầng là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn phương trình : 2 x 2 + y − z 2 = −1 a 2 b2 c2

( a, b, c là các hằng số dương cho trước)

-

a, b, c được gọi là các bán trục.

-

Mặt hypeboloit hai tầng không cắt hai trục Ox và Oy, cắt trục Oz tại C1 (0, 0, c), C2 (0, 0, − c)

.

2.6.Mặt paraboloit eliptic Mặt paraboloit eliptic là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn phương trình : 2 x2 + y = z a 2 b2

( a, b là các hằng số dương cho trước) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

92

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

-

Mặt paraboloit eliptic luôn đi qua điểm O(0, 0, 0)

-

Giao tuyến của mặt paraboloit eliptic với

 y 2 = b2 z là phương trình của một Parabol x = 0

+

Mặt yOz là : 

+

Mặt xOz là : 

+

 x2 y2  + =h Mặt phẳng z = h (h > 0) là :  a 2 b 2 là phương trình của Elip có hai bán trục là  z = h

 x2 = a2 z là phương trình của một Parabol y = 0

a h và b h .

2.7.Mặt paraboloit hyperboloit (mặt yên ngựa) Mặt paraboloit hyperboloit là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn phương trình : 2 x2 − y = z a2 b2

( a, b là các hằng số dương cho trước)

-

Mặt paraboloit hyperboloit nhận các mặt phẳng yOz và xOz làm mặt phẳng đối xứng.

-

Giao tuyến của mặt paraboloit hyperboloit với

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

93

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

 x2 = a2 z là phương trình của một Parabol y = 0

+

Mặt phẳng xOz là : 

+

Mặt phẳng x = h (song song với mặt phẳng yOz ) là 2  2  2 x y = b  2 − z  a   x = h

Đây là phương trình của Elip có hai bán trục là a h và b h .

2.8.Mặt trụ bậc hai

Cho đường cong (L) và đường thẳng d . Đường thẳng ∆ chuyển động luôn luôn dựa vào đường cong (L) và cùng phương với d tạo ra một mặt cong gọi là mặt trụ bậc hai.

(L) được gọi là đường chuẩn, ∆ gọi là đường sinh.

Ví dụ: 1) Phương trình 2 x2 + y = 1 a 2 b2

xác định mặt trụ có đường sinh song song với Oz và có đường chuẩn là một elip nằm trong mặt phẳng xOy. Nếu a = b , phương trình ấy xác định một mặt trụ tròn xoay.

2) Phương trình 2 x2 − y = 1 a 2 b2

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

94

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

xác định mặt trụ có đường sinh song song với Oz và có đường chuẩn là một hyperbol nằm trong mặt phẳng xOy.

3) Phương trình

y 2 = 2 px xác định mặt trụ có đường sinh song song với Oz và có đường chuẩn là một parabol nằm trong mặt phẳng xOy.

2.9.Mặt nón bậc hai

Cho một điểm I cố định và một đường cong (L). Đường thẳng ∆ chuyển động luôn đi qua điểm I và luôn luôn dựa vào đường cong (L) tạo ra một mặt cong gọi là mặt nón bậc hai.

(L) được gọi là đường chuẩn, ∆ gọi là đường sinh, I gọi là đỉnh của mặt nón.

Phương trình mặt nón có dạng 2 x2 + y − z 2 = 0 a 2 b2 c2

( a, b, c là các hằng số dương cho trước) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

95

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

-

Có đỉnh O(0, 0, 0)

-

Giao tuyến của mặt nón với

+

 x2 y2  + =0 Mặt xOy là :  a 2 b 2 ⇔ cắt mặt xOy tại điểm O(0, 0, 0)  z = 0

 y z  y z   y2 z2  2 − 2 =0  +  −  = 0 ⇔  b c  b c  + Mặt yOz là :  b là phương trình của một cặp c  x = 0  x = 0 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng yOz .

(

 x2 z 2  x z  2 − 2 =0  + + Mặt xOz là :  a ⇔ c  a c  y = 0  y = 0 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng xOz .+ Mặt phẳng z = h là

 x2 y 2 h2  2 + 2 − 2 =0 a b c  z = h

)( ax − cz ) = 0

 x2 y2 +  ah 2 bh  c c   z = h

( ) ( )

⇔

*

*

*

2

là phương trình của một cặp

=1

*

là phương trình của một elip.

*

§3. ĐƯỜNG CONG TRONG KHÔNG GIAN 3.1. Định nghĩa

Cho I ⊂ ℝ . Ánh xạ cho tương ứng với mỗi số thực t ∈ ℝ một vectơ trong ℝ n duy nhất r (t ) gọi là một hàm vectơ. Trong phạm vi bài này, ta chỉ xét với n = 3 .

Nếu x(t ), y (t ), z (t ) là ba thành phần của vectơ r (t ) , ta viết :

r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) hay r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k

Đặt OM = r (t ) , điểm M có tọa độ ( x(t ), y (t ), z (t )) .

Giả sử các hàm số x(t ), y (t ), z (t ) liên tục trên I. Khi t biến thiên trong I , điểm M vạch thành một đường cong C liên tục trong ℝ3 . Ta nói rằng x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ) là các phương trình

tham số của đường cong C. r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t ) k là phương trình vectơ của đường cong C. Nếu lim x(t ) = x0 , lim y (t ) = y0 , lim z (t ) = z0 , người ta định nghĩa : t →t0

t →t0

trong đó r0 = ( x0 , y0 , z0 ) .

t →t0

lim r (t ) = r0 t →t0

Ví dụ 1 : Mô tả đường cong biểu diễn bởi phương trình vectơ : Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

96

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

r (t ) = (6 + t , 7 − 3t , − 2 + 4t )

x = 6 + t  Phương trình tham số của đường cong là :  y = 7 − 3t  z = −2 + 4t  t = 6 − x  7− y Suy ra : t = 3  t = z + 2  4 6− x =

Vậy

7− y z+2 = 3 4

Đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm (6, 7, -2), cùng phương với vectơ (1, 3, 4).

Ví dụ 2 : Mô tả đường cong có phương trình tham số:

x = cos t , y = sin t , z = t Vì x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 nên đường cong nằm trên mặt trụ tròn có phương trình

x2 + y 2 = 1 .

Vì z = t nên đường cong xoắn trên mặt trụ. Đường cong gọi là đường xoắn ốc. Cũng có thể xem đường xoắn ốc là quỹ đạo của hợp hai chuyển động: chuyển động quay tròn đều trong mặt phẳng Oxy quanh gốc tọa độ và chuyển động thẳng đều theo trục Oz. 3.2.Phương trình của tiếp tuyến, pháp diện của đường cong tại một điểm Cho

t0 ∈ I

và

t0 + h ∈ I ,

các

điểm

M 0 ( x(t0 ), y (t0 ), z (t0 )) ∈ C và

M 0 ( x(t0 + h), y (t0 + h), z (t0 + h)) ∈ C .

Vectơ ∆ r (t0 ) = r (t0 + h) − r (t0 ) = OM − OM 0 = M 0 M có các thành phần ( x(t0 + h) − x(t0 ), y (t0 + h) − y (t0 ), z (t0 + h) − z (t0 ))

∆ r (t0 ) x(t + h) − x(t0 ) y (t0 + h) − y (t0 ) z (t0 + h) − z (t0 ) =( 0 , , ) Do đó: h h h h Nếu các hàm số thành phần x(t ), y (t ), z (t ) khả vi tại t0 thì tồn tại

∆ r (t0 ) r (t0 + h) − r (t0 ) lim = lim h →0 h→0 h h

Giới hạn trên được gọi là đạo hàm của hàm vectơ r (t ) tại t0 , kí hiệu là r '(t0 ) .

Vậy r '(t0 ) = ( x '(t0 ), y '(t0 ), z '(t0 )) .

Mặt khác, vị trí giới hạn của đường cát tuyến M 0 M khi M dần tới M 0 trên đường cong C nếu tồn tại là tiếp tuyến của C tại M 0 .

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

97

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Vậy nếu vectơ r '(t0 ) ≠ 0 , phương của vectơ r '(t0 ) trùng với phương của tiếp tuyến của

đường cong C tại M 0 , điểm P( X , Y , Z ) ∈ ℝ3 nằm trên đường tiếp tuyến của C tại M 0 khi và

chỉ khi vectơ M 0 P cùng phương với vectơ r '(t0 ) , tức là

X − x(t0 ) Y − y (t0 ) Z − z (t0 ) = = x '(t0 ) y '(t0 ) z '(t0 ) Đây là phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại M 0 ( quy ước rằng nếu mẫu số bằng 0 tì tử số bằng 0).

Mặt phẳng đi qua M 0 , vuông góc với tiếp tuyến của đường cong C tại M 0 gọi là pháp diện của đường cong C tại M 0 .

3 Điểm P( X , Y , Z ) ∈ ℝ nằm trên pháp diện của đường cong C tại M 0 khi và chỉ khi

M 0 P ⊥ r '(t0 ) hay M 0 P. r '(t0 ) = 0

Suy ra:

[ X − x(t0 )] x '(t0 ) + [Y − y(t0 )] y '(t0 ) + [ Z − z (t0 )] z '(t0 ) = 0

Phương trình trên là phương trình pháp diện của đường cong C tại M 0 .

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường xoắn ốc x = a cos t , y = a sin t , z = bt tại điểm ứng với t =

π.

2

Giải Ta có :

()

()

()

x π = 0, y π = a, z π = π b 2 2 2 2

x '(t ) = − a sin t , y '(t ) = a cos t , z '(t ) = b

()

()

()

x ' π = 0, y ' π = 0, z ' π = b 2 2 2

Do đó phương trình tiếp tuyến của đường xoắn ốc tại điểm ứng với t = π là: 2

X = Y −a = −a 0

Hay

Z − πb 2 b

(

)

Y = a, bX = a π b − Z .

2

Phương trình pháp diện của đường xoắn ốc tại điểm ứng với t = π là : 2

(

)

− aX + b Z − π b = 0 .

2 Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

98

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

*

*

*

*

*

§4. MẶT CONG TRONG KHÔNG GIAN Cho mặt cong S có phương trình f ( x, y , z ) = 0 .

Điểm M 0 trên mặt S gọi là điểm chính quy nếu tại đó các đạo hàm riêng f x′, f y′, f z′ đều tồn tại và không đồng thời bằng 0. Một điểm không chính quy gọi là điểm kì dị.

Cho M 0 là điểm kì dị trên mặt cong S, đường thẳng M 0T gọi là đường tiếp tuyến của mặt S tại M 0 nếu nó là tiếp tuyến tại M 0 của một đường cong nào đó nằm trên mặt S đi qua M 0 . Có vô số đường cong nằm trên mặt S đi qua M 0 nên có vô số đường tiếp tuyến của mặt S tại M 0 .

4.1. Định nghĩa

Nếu hàm số ba biến f ( x, y, z ) có các đạo hàm riêng f x′, f y′, f z′ tại M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , người ta gọi gradient của f tại M 0 là vectơ có các thành phần

f x′( x0 , y0 , z0 ), f y′( x0 , y0 , z0 ), f z′ ( x0 , y0 , z0 )

và kí hiệu là grad f ( x0 , y0 , z0 ) hay grad f ( M 0 ) .

4.2. Định lý

Mọi đường tiếp tuyến với mặt cong tại một điểm chính quy M 0 của nó đều nằm trên cùng

một mặt phẳng. Mặt phẳng này đi qua M 0 và vuông góc với vectơ grad f ( M 0 ) .

Mặt phẳng chứa mọi đường tiếp tuyến của mặt S tại M 0 gọi là tiếp diện của mặt S tại M 0

. Đường thẳng đi qua M 0 cùng phương với vectơ grad f ( M 0 ) gọi là pháp tuyến của mặt S tại

M0 . Điểm M ( x, y, z ) ∈ ℝ 3 nằm trên tiếp diện của mặt S tại M 0 khi và chỉ khi

M 0 M .grad f ( M 0 ) = 0

f x′( M 0 )( X − x0 ) + f y′( M 0 )(Y − y0 ) + f z′ ( M 0 )( Z − z0 ) = 0 .

hay

Phương trình trên là phương trình tiếp diện của mặt S tại M 0 .

Điểm M ( x, y, z ) ∈ ℝ 3 nằm trên pháp tuyến của mặt S tại M 0 khi và chỉ khi vectơ M 0 M

cùng phương với vectơ r '( M 0 )

X − x0 Y − y0 Z − z0 = = . f x′( M 0 ) f y′( M 0 ) f z′ ( M 0 )

hay

Phương trình trên là phương trình pháp tuyến của mặt S tại M 0 .

Ví dụ: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt nón x 2 + y 2 − z 2 = 0 tại điểm

M 0 (1, 2, 3) .

Giải Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

99

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Đặt f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z 2 = 0 .

Suy ra: f x′ = 2 x, f y′ = 2 y, f z′ = −2 z .

Phương trình tiếp diện của mặt nón tại điểm M 0 (1, 2, 3) là

2( X − 1) + 4(Y − 2) − 6( Z − 3) = 0 Hay

X + 2Y − 3Z + 4 = 0 .

Phương trình pháp tuyên của mặt nón tại điểm M 0 (1, 2, 3) là X −1 = Y − 2 = Z −3 .

2 4 6 BÀI TẬP CHƯƠNG 6

Bài 1. Tính độ cong của a) Đường y = − x3 tại điểm có hoành độ x = 1 . b) Đường xy = 1 tại điểm (1, 1) . c) Đường y 2 = 2 px tại các điểm (0, 0) và (

p , p) .

2

d) Đường b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 tại các điểm (0, b) và (a, 0) .

Bài 2. Tìm hình bao của họ a) Đường tròn có bán kính bằng 2, có tâm nằm trên đường thẳng y = x . b) Đường parabol y = a 2 ( x − a )2 , a là tham số. c) Đường tròn có các đường kính là các dây cung song song với trục Oy của đường Elip 2 x2 + y = 1 . a 2 b2 2

d) Đường tròn có tâm nằm trên parabol y = 2 px và đi qua gốc tọa độ O. Bài 3. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của các đường 2 2 2 2 a) x + y = 10, y + z = 25 tại điểm (2, 5, 6) 2 2 2 2 2 b) 2 x + 3 y + z = 47, x + 2 y = z tại điểm (1, − 2, 4)

Bài 4. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của các mặt 2 2 2 a) x − 4 y + 2 z = 6 tại điểm (1, 3, 2) 2 2 b) z = 2 x + 4 y tại điểm (2, 1, 12)

c) z = ln(2 x + y ) tại điểm (−2, 2, 0)

Chương 7

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trong thực tiễn có nhiều bài toán kinh tế, kỹ thuật khi tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng x, y ta không tìm được ngay mối liên hệ ấy mà thường chỉ được một hệ thức giữa x, y và các đạo hàm của và các đạo hàm của y theo x. Hệ thức đó gọi là phương trình vi phân. Việc tìm mối liên hệ giữa x và y gọi là giải phương trình vi phân.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

100

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1. Các khái niệm cơ bản Bài toán mở đầu: Tìm một đường cong trong mặt phẳng biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến tại

một điểm bất kì của đường cong bằng hai lần hệ số góc của đường thẳng nối gốc tọa độ và tiếp

điểm.

Hướng dẫn: Gọi y = y ( x ) là phương trình đường cong cần tìm.

Ta có: y ' = 2

y x

(*)

Tìm y = ?

1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân cấp một Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng

F ( x , y , y ') = 0 y ' = f ( x, y )

hay

(I) (I’)

trong đó x là biến số, y là hàm của x, y’ là đạo hàm của y theo biến x.

Chú ý:

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó.

Phương trình vi phân cấp một thì cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình bằng 1.

Một cách tổng quát, phương trình vi phân cấp n có dạng:

F ( x , y , y ',..., y ( n ) ) = 0 hay y ( n ) = f ( x , y , y ',..., y ( n−1) ) .

Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình vi phân cấp một:

a) y ' y + 2 y − 4 x = 0 ;

b) ( y ') 2 = 1 − xy

1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân cấp một o Hàm y = y ( x ) thỏa mãn phương trình (I) hoặc (I’) thì được gọi là nghiệm của (I) hoặc (I’).

Ví dụ: Nghiệm của phương trình (*) là y = x 2 .

o Hàm y = y ( x , C ) hoặc hệ thức φ ( x , y , C ) = 0 gọi là nghiệm tổng quát (NTQ) của (I) hoặc (I’) nếu thỏa mãn (i) y = y ( x , C ) hoặc φ ( x , y , C ) = 0 thỏa mãn phương trình (I) hoặc (I’) với C là hằng số,

C ∈ℝ. (ii)Với mỗi điều kiện ban đầu y0 = y ( x0 ) với ( x0 , y0 ) thuộc miền xác định của phương trình, tìm được một giá trị C = C0 sao cho y = y ( x , C0 ) hoặc φ ( x , y , C0 ) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho.

Hệ thức φ ( x , y , C ) = 0 còn được gọi là tích phân tổng quát của (I) hoặc (I’).

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

101

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

o Nếu y = y ( x , C ) hoặc φ ( x , y , C ) = 0 là NTQ của (I) hoặc (I’), cho C = C0 (giá trị cụ thể) thì y = y ( x , C0 ) hoặc φ ( x , y , C0 ) = 0 gọi là nghiệm riêng của (I) hoặc (I’).

o Nếu y = y ( x ) không là nghiệm riêng nhận từ NTQ với bất kì giá trị C nào thì y = y ( x ) gọi là nghiệm kì dị của phương trình (I) hoặc (I’).

1.1.3. Bài toán Cauchy Cho ( x0 , y0 ) thuộc miền xác định của phương trình vi phân (I) hoặc (I’).

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân (I) hoặc (I’) thỏa mãn điều kiện ban đầu

y0 = y ( x0 ) Hay nói cách khác là tìm một đường cong tích phân của phương trình vi phân (I) hoặc (I’) đi qua

điểm ( x0 , y0 ) .

Ví dụ: Xét bài toán Cauchy

y' =

y , y (1) = 2 x

Ta thấy hàm y = Cx (C ∈ ℝ ) là nghiệm của phương trình vi phân y ' =

y vì y ' = C , thay x

vào phương trình ta có

C=

Cx ( x ≠ 0) . x

Với x0 = 1, y0 = 2  2 = C .1 ⇔ C = 2 .

Vậy nghiệm của bài toán là y = 2 x .

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Cho phương trình vi phân y ' = f ( x , y )

(I’)

Nếu hàm f ( x , y ) liên tục trong miền nào đó chứa điểm ( x0 , y0 ) thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y ( x ) của phương trình (I’) sao cho y0 = y ( x0 ) và nếu f y' ( x , y ) liên tục tại ( x0 , y0 ) thì nghiệm y = y ( x ) đó tồn tại duy nhất.

1.2.

Một số dạng phương trình vi phân cấp một 1.2.1. Phương trình vi phân cấp một có biến phân li a. Định nghĩa Phương trình vi phân cấp một có biến phân li là phương trình có dạng

f1 ( x ) dx = f 2 ( y ) dy với f1 ( x ) là hàm số của x, f 2 ( y ) là hàm số của y. b. Phương pháp giải Lấy tích phân bất định hai vế của (1) ta được Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

102

(1)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

f

2

( y ) dy =  f1 ( x ) dx

Từ đó suy ra NTQ của (1) là y = y ( x , C ) hoặc φ ( x , y , C ) = 0 với C là hằng số tùy ý.

2

Ví dụ 1. Giải phương trình y dy = ( x + 2) dx .

Giải:

Lấy tích phân hai vế, ta được

 y dy =  ( x + 2) dx 2

y3 x2 ⇔ = + 2x + C ' 3 2 3 x2 Hay y 3 = + 6 x + C ( C = 3C ') 2 3 x2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y 3 = + 6 x + C , với C là hằng số tùy ý.

2 2y 2x Ví dụ 2. Giải phương trình dx + dy = 0 .

2 1+ x 1 + y2 Giải: Phương trình đã cho tương đương

2y 2x dy = − dx 2 1+ y 1 + x2

2y

1+ y

Lấy tích phân hai vế, ta được

2

dy = − 

2x dx 1 + x2

⇔ ln(1 + y 2 ) = − ln(1 + x 2 ) + ln | C | (C ≠ 0) Hay (1 + y 2 )(1 + x 2 ) = C 2

2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: (1 + y )(1 + x ) = C , với C là hằng số tùy ý,

C ≠ 0.

Ví dụ 3. Giải phương trình (1 + e 2 x ) y 2 dy = e x dx với y (0) = 0 .

ex dx 1 + e2 x ex 2 y dy =   1 + e2 x dx

Giải: Phương trình đã cho tương đương y 2 dy = Lấy tích phân hai vế, ta được

y3 = arctan e x + C , với C là hằng số tùy ý.

3 π Với điều kiện y (0) = 0 , ta có: 0 = arctan1 + C  C = − .

4 ⇔

Vậy nghiệm của phương trình thỏa điều kiện ban đầu là: y 3 = 3arctan e x −

3π .

4

c. Các dạng phương trình có thể đưa về phương trình vi phân có biến số phân li DẠNG 1. y ' = f1 ( y ). f 2 ( x ) Ví dụ 4. Giải phương trình y ' = 3 x 2 y

Giải: Phương trình đã cho tương đương Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

dy = 3x2 y dx 103

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

+ Nếu y = 0  dy = 0 , ta thấy thỏa mãn phương trình trên, nên y = 0 là một nghiệm của phương trình. + Nếu y ≠ 0 , phương trình trên trở thành



Lấy tích phân hai vế, ta được

dy = 3 x 2 dx y

dy =  3 x 2 dx y

⇔ ln | y | = x3 + ln | C |, (C ≠ 0) 3

⇔ ln | y | = ln | C .e x |, ( C ≠ 0) 3

Hay y = C .e x , C ≠ 0 .

3

Kết hợp các nghiệm y = 0 và y = C .e x , C ≠ 0 , ta có NTQ của phương trình là: 3

y = C .e x với C là hằng số tùy ý.

DẠNG 2. y ' = f ( ax + by + c ) Ví dụ 5. Giải phương trình y ' = 2 x + y + 4

Giải: Đặt z = 2 x + y + 4



z ' = y '+ 2 .

Phương trình đã cho trở thành z '− 2 = z

⇔

z' = z + 2

⇔

dz = z+2 dx

+ Nếu z = −2  dz = 0 , ta thấy thỏa mãn phương trình trên, nên z = −2 hay y = −2 x − 6 là một nghiệm của phương trình.

dz = dx z+2

+ Nếu z ≠ −2 , phương trình trên trở thành Lấy tích phân hai vế, ta được

dz

 z + 2 =  dx ⇔ ln | z + 2 | = x + ln | C |, (C ≠ 0) ⇔ ln | z + 2 | = ln | C .e x |, ( C ≠ 0) 3

⇔ z + 2 = C .e x , C ≠ 0 Hay

y = C .e x − 2 x − 6 , C ≠ 0

Kết hợp các nghiệm y = −2 x − 6 và y = C .e x − 2 x − 6 , C ≠ 0 ta có NTQ của phương trình là:

y = C .e x − 2 x − 6 với C là hằng số tùy ý.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

104

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

DẠNG 3. f1 ( y ). f 2 ( x ) dy = g1 ( y ). g 2 ( x ) dx Ví dụ 6. Giải phương trình (1 + x ) ydx + (1 − y ) xdy = 0

Giải: Phương trình đã cho tương đương: (1 + x ) ydx = ( y − 1) xdy + Nếu x = 0  dx = 0 , thay vào phương trình thấy thỏa 

x = 0 là một nghiệm của

phương trình. + Nếu y = 0  dy = 0 , thay vào phương trình thấy thỏa 

y = 0 là một nghiệm của

phương trình. + Nếu x ≠ 0 và y ≠ 0 , phương trình đã cho trở thành

y −1 1+ x dx = dy x y  1 1  + 1 dx =  1 −  dy y x  

⇔ 

1





1

  x + 1 dx =  1 − y  dy

Lấy tích phân hai vế, ta được

⇔ ln | x | + x = y − ln | y | +C , với C là hằng số.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x = 0 y = 0  ln | x | + x = y − ln | y | +C ,

với C là hằng số

1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một a. Định nghĩa Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một là phương trình có dạng

y ' = f ( x, y )

(2)

 y

Trong đó f ( x , y ) là hàm đẳng cấp cấp một đối với hai biến x và y, nghĩa là f ( x , y ) = g   . x

 y Khi đó phương trình (2) được viết lại là: y ' = g   . x b. Phương pháp giải y Đặt u = , suy ra y = ux , với u là hàm theo biến x. x Ta có : y ' = u ' x + u và f ( x, y ) = g (u ) .

Khi đó,phương trình (2) trở thành : u ' x + u = g (u ) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

⇔

u ' x = g (u ) − u 105

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

du x = g (u ) − u dx

hay

(*)

Ta xét hai trường hợp: + Trường hợp 1: g (u ) − u = 0 . Giải tìm u, suy ra nghiệm. + Trường hợp 2: g (u ) − u ≠ 0 . Khi đó (*) ⇔ Ví dụ 1. Giải phương trình y ' =

du dx : Đây là PTVP có biến số phân li. = g (u ) − u x

x 2 − xy + y 2 . xy

Giải:

y  y = ux  y ' = u ' x + u , với u là hàm theo biến x. x u2 − u +1 Phương trình đã cho trở thành : u'x+u = u Đặt u =

u'x =

⇔

1− u u

du 1− u x= . dx u

⇔

1− u = 0 ⇔ u = 1  y = x là một nghiệm cuả phương trình. u 1− u + Trường hợp 2: ≠ 0 ⇔ u ≠ 1 . Khi đó u udu dx Phương trình trên tương đương = 1− u x dx  1  Lấy tích phân hai vế, ta được   1 − u − 1 du =  x + Trường hợp 1:

⇔

− ln |1 − u | −u = ln | Cx |, C là hằng số bất kì, C ≠ 0

| Cx(1 − u ) | = e−u

⇔

y

| C ( x − y ) | .e x = 1 ,

Hay

y x

Vậy nghiệm của phương trình là: y = x và | C ( x − y ) | .e = 1 , với C là hằng số bất kì, C ≠ 0 .



Chú ý: Phương trình có dạng  a x + b1 y + c1  dy = f 1  dx  a2 x + b2 y + c2 

Có thể đưa về phương trình vi phân đẳng cấp cấp một như sau: + Nếu

a1 b1 ≠ , giải hệ phương trình a2 b2

 a1 x + b1 y + c1 = 0 tìm nghiệm x0 , y0 .   a2 x + b2 y + c2 = 0

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

106

(2’)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC  x = X + x0 Đặt  . Khi đó, (2’) trở thành :  y = Y + y0

 a ( X + x0 ) + b1 (Y + y0 ) + c1   a1 X + b1Y dy = f 1 = f  dx  a2 ( X + x0 ) + b2 (Y + y0 ) + c2   a2 X + b2Y + Nếu

Y   a1 + b1 X  = f  Y   a2 + b2  X

  Y = F X  

 . 

a1 b1 c1 a b = ≠ , giả sử 1 = 1 = k . Khi đó, (2’) trở thành : a2 b2 c2 a2 b2  a x + b1 y + c1  dy = f 1  = F (a1 x + b1 y ) dx  k ( a1 x + b1 y ) + c2 

Đặt a1 x + b1 y = z , đưa phương trình trên về phương trình vi phân cấp một có biến số phân li.

Ví dụ 2. Giải phương trình y ' =

x − y +1 . x + y −3

Giải:

Đặt x = X + 1, y = Y + 2 , phương trình đã cho trở thành

Y'=

X −Y X +Y

Y dY X = Y dX 1 + X 1−

⇔

Đặt u =

Y dY du hay Y = uX  =X +u .

X dX dX

Phương trình trở thành:

X ⇔ X ⇔



Lấy tích phân hai vế, ta được

du 1− u +u = dX 1+ u du 1 − 2u − u 2 = dX 1+ u

dX (1 + u )du = X 1 − 2u − u 2

dX (1 + u )du = X 1 − 2u − u 2

⇔

1 1 ln | X |= − ln |1 − 2u − u 2 | + ln | C | , C là hằng số bất kì, 2 2

⇔

(1 − 2u − u 2 ) X 2 = C

⇔

( X 2 − 2 XY − Y 2 ) = C

C≠0

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

107

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

( x 2 + 2 xy − y 2 + 2 x + 6 y) = C .

Hay

Vậy nghiệm của phương trình là: ( x 2 + 2 xy − y 2 + 2 x + 6 y) = C , C là hằng số bất kì, C ≠ 0 .

1.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một a. Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng

y '+ p ( x ) y = q ( x )

(3)

Trong đó p ( x ), q ( x ) là hàm liên tục.

-

Nếu q ( x) ≡ 0 thì (3) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất.

-

Nếu q ( x) ≠ 0 thì (3) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần

nhất. b. Phương pháp giải  Giải phương trình thuần nhất

y '+ p ( x ) y = 0

(3’)

- Nếu y = 0  y ' = 0 . Nên y = 0 là một nghiệm của (3’).

- Nếu y ≠ 0 . Biến đổi (3’) về dạng phương trình có biến số phân li, rồi giải tìm nghiệm: Phương trình (3’) có thể viết:

dy + p( x) y = 0 dx ⇔

dy = − p ( x ) dx y



Suy ra:

dy = −  p ( x ) dx y

⇔ ln | y | = −  p ( x ) dx + ln | C |, (C ≠ 0) ⇔ ln

y = −  p( x)dx, (C ≠ 0) C

− p ( x ) dx y = Ce  , (C ≠ 0) .

Hay

− p ( x ) dx Kết hợp với nghiệm y = 0 , ta có NTQ của (3’) là: y = Ce  , C là hằng số tùy ý.

2

Ví dụ 1. Giải phương trình (1 + x ) y ' − 2 xy = 0

Giải: Phương trình đã cho là PTVP tuyến tính thuần nhất với p ( x ) = − NTQ của phương trình là: y = Ce 

− p ( x ) dx

2x .

1 + x2

2x

= Ce

 1+ x2

= C (1 + x 2 ) , C là hằng số tùy ý.

 Giải phương trình không thuần nhất

y '+ p ( x ) y = q ( x ) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

108

(3’’)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Định lý: Giả sử phương trình thuần nhất (3’) có NTQ kí hiệu là y và phương trình không thuần nhất (3’’) có nghiệm riêng kí hiệu là Y thì y = y + Y là NTQ của (3’’).

Chứng minh: '

Vì y là nghiệm tổng quát của phương trình (3’) nên y + p( x) y = 0 .

Y ' + p ( x )Y = q ( x ) .

Và Y là nghiệm riêng của phương trình (3’’) nên '

Suy ra: y + Y '+ p( x) y + p( x)Y = q( x) Hay

( y + Y ) '+ p( x )( y + Y ) = q( x) .

Do đó: y = y + Y là nghiệm tổng quát của phương trình y ' + p ( x ) y = q ( x ) (do phụ thuộc hằng số C).

Phương pháp giải phương trình (3’’) (Phương pháp biến thiên hằng số)

 Bước 1: Tìm NTQ y của phương trình thuần nhất tương ứng y ' + p ( x ) y = 0 : − p ( x ) dx y = Ce 

 Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y của (3’’): − p ( x ) dx - Nghiệm riêng Y của (3’’) có dạng Y = C ( x )e  , với C(x) là hàm theo x.

- Để tìm C(x), ta tìm Y’ rồi thay Y’, Y vào (3’’), giải tìm C(x): p ( x ) dx C ( x) = q ( x).e  dx



− p ( x ) dx  p ( x ) dx - Từ đó ta có: Y = e   q( x)e dx .

 Bước 3: NTQ của (3’’) là: − p ( x ) dx   p ( x ) dx dx + C  , C là hằng số tùy ý. y = y +Y = e    q ( x).e 

Ví dụ 2. Giải phương trình (1 + x 2 ) y '− 2 xy = (1 + x 2 ) 2

Giải: Phương trình đã cho là PTVP tuyến tính không thuần nhất với

p( x) = −

2x , q ( x ) = 1 + x2 1 + x2 2

Phương trình thuần nhất tương ứng (1 + x ) y ' − 2 xy = 0 có NTQ là:

y = C (1 + x 2 ) , C là hằng số tùy ý Nghiệm riêng của phương trình là: 2x

Y =e

 1+ x2 dx

. (1 + x 2 ).e

−

2x

 1+ x2 dx

dx = (1 + x 2 ) x

Suy ra NTQ của phương trình là: y = y + Y = (1 + x 2 )( x + C ) , C là hằng số tùy ý.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

109

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC Ví dụ 3. Giải phương trình (1 + x 2 ) y '− 2 xy = (1 + x 2 ) 2 , y (0) = 2

Giải: Theo ví dụ 2, NTQ của phương trình là:

y = y + Y = (1 + x 2 )( x + C ) , C là hằng số tùy ý.

Từ điều kiện y (0) = 2 suy ra: C = 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho thỏa điều kiện là: y = (1 + x 2 )( x + 2) .

1.2.4. Phương trình Becnoulli a. Định nghĩa Phương trình vi phân cấp một có dạng

y ' + p ( x ) y = q ( x ) y α , α ≠ 0, α ≠ 1

(4)

được gọi là phương trình Becnoulli ( p ( x ), q ( x ) là các hàm số liên tục).

Khi α = 0, α = 1 , phương trình (3) trở thành phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

Ví dụ: y ' + 2 xy = 2 x3 y 2 , y '− 4 y = y 2 e x là các phương trình Becnoulli. b. Phương pháp giải - Nếu y = 0 , với α > 0  y ' = 0 : Thỏa mãn phương trình (4), nên y = 0 là một nghiệm

của (4).

- Nếu y ≠ 0 , phương trình (4) tương đương:

⇔ Đặt z =

y' y + p ( x ) = q( x) yα yα

y ' y − α + p ( x ) y1−α = q ( x )

(4’)

1 1−α y (z là hàm theo x)  z ' = y −α y ' .

1− α

Khi đó, (4’) trở thành: z '+ (1 − α ) p ( x) z = q( x) : Đây là PTVP tuyến tính cấp 1 của hàm z theo biến x. Giải tìm z, suy ra y.

Ví dụ. Giải phương trình y ' − 2 xy = 2 x3 y 2

(*)

Giải: + Nếu y = 0 

y ' = 0 : Thỏa mãn phương trình (*), nên y = 0 là một nghiệm của (*).

+ Nếu y ≠ 0 , chia hai vế phương trình (*) cho y 2 , ta được

y ' y −2 − 2 xy −1 = 2 x3 Đặt z =

(*’)

1 1−2 1 y = − y −1 = − (z là hàm theo x)  z ' = y ' y −2 .

1− 2 y

Khi đó, (*’) trở thành: z '+ 2 xz = 2 x3

(**)

− 2 xdx   = e − x2 3  2 x dx NTQ của (**) là : z = e  2 x . e dx + C   

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

(  2 x .e

110

3

x2

)

2

(

2

2

dx + C = e − x x 2 e x − e x + C

)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC 2

 z = Ce − x + x 2 − 1 , C là hằng số tùy ý.

Suy ra nghiệm tổng quát của (*) là : − Hay: y =

1 C1e

− x2

− x2 + 1

2 1 = Ce − x + x 2 − 1 , C là hằng số tùy ý. y

, C1 = −C là hằng số tùy ý.

Vậy nghiệm của (*) là: y = 0 hoặc y =

1 C1e

− x2

− x2 + 1

( C1 là hằng số tùy ý).

1.2.5. Phương trình vi phân toàn phần a. Định nghĩa Phương trình vi phân toàn phần là phương trình vi phân có dạng

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0 trong đó P = P ( x , y ), Q = Q ( x , y ) là các hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng

∂P ∂Q = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂y ∂x

trong miền mở, đơn liên D ⊂ ℝ 2 thỏa mãn điều kiện Khi đó sẽ tồn tại hàm u ( x , y ) ∈ D sao cho:

P=

∂u ∂u ,Q= và Pdx + Qdy = du . ∂x ∂y

Lúc đó, (5) ⇔ d u ( x , y ) = 0 .

Vậy u ( x , y ) = C (C là hằng số tùy ý) là tích phân tổng quát của (5). b. Phương pháp giải - Nếu D = ℝ 2 , hàm u ( x, y ) được cho bởi công thức: x

y

x0

y0

u ( x , y ) =  P ( x , y0 ) dx +  Q ( x , y ) dy x

y

x0

y0

u ( x , y ) =  P ( x , y ) dx +  Q ( x0 , y ) dy

hoặc trong đó x0 , y0 là hai số nào đó.

2

Ví dụ. Giải phương trình ( x + y + 1) dx + ( x − y + 3) dy = 0

Giải:

Đặt P ( x , y ) = x + y + 1; Q ( x , y ) = x − y 2 + 3 .

Ta có:

∂Q ∂P =1= , ∀( x , y ) ∈ ℝ 2 . ∂y ∂x

Do đó phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

111

(5)

∂P ∂Q , ∂y ∂x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC x

y

x

y

1 1 u ( x , y ) =  ( x + y + 1) dx +  ( − y + 3) dy =  x 2 + xy + x  +  − y 3 + 3 y  2 0  3 0 0 0 2

y3 x2 = + xy + x − + 3y .

2 3 Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: 2

y3 x2 + xy + x − + 3 y = C1 2 3

3

Hay 3 x + 6 xy + 6 x − 2 y + 18 y = C , ( C = 6 C1 ) , C là hằng số tùy ý. c. Thừa số tích phân

Nếu (5) không phải là phương trình vi phân (tức là điều kiện

∂P ∂Q = , ∀ ( x , y ) ∈ D không ∂y ∂x

thỏa mãn) nhưng tồn tại hàm α = α ( x , y ) ≠ 0 sao cho phương trình

αPdx + αQdy = 0

(6)

là phương trình vi phân toàn phần, tức là thỏa mãn điều kiện

∂ ( αP ) ∂ ( αQ ) = , ∀( x , y ) ∈ D ∂y ∂x thì α ( x , y ) được gọi là thừa số tích phân của phương trình vi phân (5).

Nghiệm của phương trình (6) cũng là nghiệm của phương trình (5). Vì vậy, để giải phương trình (5) không thỏa mãn điều kiện

∂P ∂Q = , ta tìm một thừa số tích phân α ( x , y ) và tích phân ∂y ∂x

phương trình vi phân toàn phần.

Ta chỉ hạn chế xét hai trường hợp sau: 1) Nếu

f ( x ) dx 1  ∂P ∂Q  . − = f ( x ) thì α ( x , y ) = α ( x ) và µ ( x ) = e    Q  ∂y ∂x 

2) Nếu

g ( y ) dy 1  ∂P ∂Q  . − = g ( y ) thì α ( x , y ) = α ( y ) và µ ( x ) = e    P  ∂y ∂x  2

Ví dụ. Giải phương trình ( x + y ) dx − 2 xydy = 0

Giải:

Đặt P ( x , y ) = x + y 2 ; Q ( x , y ) = −2 xy .

Ta thấy:

∂Q ∂P = 2y ≠ = −2 y . ∂y ∂x

Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình vi phân toàn phần.

Ta có:

1  ∂P ∂Q  2 y + 2 y 2 − = =− Q  ∂y ∂x  −2 xy x

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

112

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Suy ra thừa số tích phân α ( x ) = e 

2 − dx x

Phương trình đã cho tương đương

= e −2 ln x =

1 x2

x + y2 y dx − 2 dy = 0 ( x ≠ 0) 2 x x

là phương trình vi phân toàn phần. y

 y2  x y y2 x u ( x , y ) =  2 dx − 2  dy = ( ln | x |) 1 −   = ln | x | − . x x  x 0 1 x 0 x

y

2

y + C1 y2 Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: ln | x | − = C1 ⇔ x = e x x

Hay x = Ce

y2 x

, (C = eC1 , C > 0) .

§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 2.1.Các khái niệm cơ bản 2.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng

F ( x , y , y ', y '') = 0 y '' = f ( x , y , y ')

hay

(II) (II’)

trong đó x là biến số, y là hàm của x, y’, y’’ là đạo hàm cấp 1, 2 của y theo biến x.

Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình vi phân cấp một:

a) y ''+ 2 xy ' + y = 0 ;

2

b) ( y '') + y ' = x − 1

2.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai o Hàm y = y ( x ) hoặc φ ( x , y ) = 0 thỏa mãn phương trình (II) hoặc (II’) thì được gọi là nghiệm

của (II) hoặc (II’). o Hàm y = y ( x , C1 , C2 ) hoặc hệ thức φ ( x , y , C1 , C2 ) = 0 được gọi là nghiệm tổng quát (NTQ) của (II) hoặc (II’) nếu thỏa mãn (i) y = y ( x , C1 , C2 ) hoặc φ ( x , y , C1 , C2 ) = 0 thỏa mãn phương trình (II) hoặc (II’) với

C1 , C2 là các hằng số tùy ý. (ii)Với mỗi điều kiện ban đầu y ( x0 ) = y0 và y '( x0 ) = y '0 với ( x0 , y0 ) thuộc miền xác định của phương trình, chỉ có duy nhất một cặp số C01 , C02 sao cho y = y ( x , C01 , C02 ) hoặc

φ( x , y , C01 , C02 ) = 0 thỏa mãn phương trình (II) hoặc (II’). o Nếu y = y ( x , C1 , C2 ) hoặc φ ( x , y , C1 , C2 ) = 0 là NTQ của (II) hoặc (II’), cho C1 = C01 , C2 = C02 (hai giá trị cụ thể) thì y = y ( x , C01 , C02 ) hoặc φ( x , y , C01 , C02 ) = 0 gọi là nghiệm riêng của (II) hoặc (II’).

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

113

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC 2.1.3. Bài toán Cauchy Cho ( x0 , y0 , y0′ ) thuộc miền xác định của phương trình vi phân (II) hoặc (II’).

Bài toán

 F ( x , y , y ', y '') = 0   y ( x0 ) = y0  y '( x0 ) = y0′

được gọi là bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu y ( x0 ) = y0 , y '( x0 ) = y '0 . Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Cho phương trình vi phân y '' = f ( x , y , y ')

(II’)

Nếu hàm f ( x , y , y ') liên tục trong miền nào đó chứa điểm ( x0 , y0 , y0′ ) thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y ( x ) của phương trình (II’) sao cho y0 = y ( x0 ), y0′ = y ′( x0 ) và nếu

f y′ ( x , y ), f x′ ( x , y ) liên tục trong miền chứa điểm ( x0 , y0 , y0′ ) thì nghiệm y = y ( x ) đó tồn tại duy nhất.

2.2.

Một số dạng phương trình vi phân cấp hai 2.2.1. Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được a) Phương trình vi phân dạng F ( x , y '') = 0

(1)

(Phương trình khuyết y , y ' ) Phương pháp giải: Đặt z = y ' (z là hàm theo biến x)  z ' = y '' .

Phương trình (1) trở thành F ( x , z ') = 0 : Đây là phương trình vi phân cấp 1 của hàm z theo biến x.

Ví dụ. Giải phương trình y '' = 6 x + 2

Giải:

y '' = 6 x + 2

 

y ' =  ( 6 x + 2 ) dx = 3 x 2 + 2 x + C1 y =  ( 3 x 2 + 2 x + C1 ) dx = x3 + x 2 + C1 x + C2 (với C1 , C2 là các hằng số tùy ý)

3 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = x + x + C1 x + C2 , với C1 , C2 là các hằng

số tùy ý. b) Phương trình vi phân dạng F ( x , y ', y '') = 0 (Phương trình khuyết y ) Phương pháp giải: Đặt z = y ' (z là hàm theo biến x)  z ' = y '' .

Phương trình (2) trở thành F ( x , z , z ') = 0 : Đây là PTVP cấp 1 của hàm z theo biến x.

Ví dụ. Giải phương trình y '' = y '+ x

Giải: Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

114

(2)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Đặt z = y ' (z là hàm theo biến x)  z ' = y '' .

Phương trình đã cho trở thành: z ' = z + x

z '− z = x .

⇔

Đây là PTVP tuyến tính cấp 1 có p ( x ) = −1, q ( x ) = x , nên nó có nghiệm tổng quát là: − p ( x ) dx   p ( x ) dx dx + C  = e  dx  x.e −  dx dx + C  = e x z=e    q ( x).e  1 1    

(  x.e

−x

)

dx + C1 = e x ( − xe − x − e − x + C1 )

= − x − 1 + C1e x .

Suy ra: y ' = − x − 1 + C1e x 

y =  ( − x − 1 + C1e x ) dx = −

x2 − x + C1e x + C2 .

2

c) Phương trình vi phân dạng F ( y , y ', y '') = 0

(3)

(Phương trình khuyết x ) Phương pháp giải: Đặt z = y ' (z là hàm theo biến y)  y '' = z '. z .

Phương trình (3) trở thành F ( y , z , z . z ') = 0 : Đây là PTVP cấp 1 của hàm z theo biến y.

Ví dụ. Giải phương trình (1 − y ) y '' + 2( y ')2 = 0

Giải:

Đặt z = y ' (z là hàm theo biến y)  y '' = z '. z .

2

Phương trình đã cho trở thành: (1 − y ) z '. z + 2 z = 0 . + Trường hợp 1: z ≡ 0  z ' = 0 , thỏa mãn phương trình, nên z ≡ 0 hay y = C là nghiệm của phương trình đã cho (C là hằng số tùy ý). + Trường hợp 2: z ≠ 0 , phương trình đã cho tương đương:

(1 − y ) z ' + 2 z = 0 ⇔ Nếu y = 1 

(1 − y )

dz = −2 z dy

dy = 0 , thỏa mãn phương trình, nên y = 0 là nghiệm của phương trình đã cho.

Nếu y ≠ 1 , phương trình đã cho tương đương

dy dz =2 z y −1 ⇔



dy dz = 2 z y −1

⇔

ln | z | = 2ln | y − 1| + ln | C1 |, C1 ≠ 0

⇔

ln | z | = ln | C1 ( y − 1) 2 |

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

115

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

⇔

dy = C1 dx ( y − 1) 2

⇔

 ( y − 1)

⇔

1 = C1 x + C2 , C1 ≠ 0 , C2 tùy ý.

1− y

⇔

y = 1−

dy

Vậy nghiệm của phương trình là:

2

=  C1 dx

1 .

C1 x + C2

y = C , C là hằng số tùy ý

1 = C1 x + C2 , C1 ≠ 0 , C2 là hằng số tùy ý.

1− y 2.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a) Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng

y '' + p ( x ) y ' + q ( x ). y = f ( x )

(4)

Nếu f ( x ) ≡ 0 thì phương trình (4) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.

Nếu f ( x ) ≠ 0 thì phương trình (4) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. b) Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ). y = 0

(5)

Định nghĩa. Giả sử y1 ( x ) , y2 ( x ) là hai nghiệm riêng của phương trình (5), ta nói y1 ( x ) và

y2 ( x ) là độc lập tuyến tính với nhau nếu

y1 ( x ) y ( x) ≠ hằng số, còn nếu 1 = hằng số thì ta nói y2 ( x ) y2 ( x )

y1 ( x ) và y2 ( x ) phụ thuộc với nhau. Định lý 1. Nếu y1 ( x ) và y2 ( x ) là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (5) thì

y = C1 y1 ( x ) + C2 y2 ( x ) là nghiệm tổng quát của phương trình (5), với C1 , C2 là 2 hằng số tùy ý.

Định lý 2. Nếu biết y1 ( x ) ≠ 0 là một nghiệm riêng của phương trình (5) thì luôn luôn tồn tại nghiệm riêng y2 ( x ) độc lập tuyến tính với y1 ( x ) có dạng − p ( x ) dx e  y2 ( x ) = y1 ( x )  2 dx y1 ( x )

Chú ý: Trong tích phân trên, hằng số cộng của tích phân bất định luôn lấy bằng 0.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

116

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Chứng minh: Ta tìm nghiệm y2 ( x ) có dạng y2 ( x ) = y1 ( x ).u ( x ) với u ( x ) ≠ C (C là hằng số). Khi đó,

y1 ( x ) và y2 ( x ) độc lập tuyến tính.

Ta có: y2′ = y1′.u + y1u '

y2′′ = y1′′.u + 2 y1′ u ′ + y1 u ′′ Thay vào phương trình (5) ta có:

y1′′.u + 2 y1′ u ′ + y1 u ′′ + p ( y1′.u + y1 u ') + qy1 u = 0

u ( y1′′ + py1′ + qy1 ) + y1 u ′′ + ( py1 + 2 y1′ ) u ′ = 0

⇔

Vì y1 ( x ) là nghiệm của phương trình (5) nên y1′′ + py1′ + qy1 = 0 .

Do đó,

y1 u ′′ + ( py1 + 2 y1′ ) u ′ = 0 .

Đặt z = u ' , ta được:

z '+ ( p + 2

y1′ )z = 0 . y1

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất, do đó z = Ce

 y′ −  p + 2 1  dx  y1  



− p ( x ) dx y1′ − p ( x ) dx −2  y dx − p ( x ) dx −2ln y Ce  e 1 = Ce  e 1= = Ce  y12

− p ( x ) dx e  Lấy C = 1 , ta chọn được u ( x) =  dx . y12

Không có phương pháp chung để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ở dạng tổng quát, nhưng nếu biết một nghiệm riêng của nó thì ta có thể tìm nghiệm tổng quát của nó bằng cách dựa vào hai định lý trên.

Ví dụ. Giải phương trình y '' +

1 1 y '− 2 y = 0 x x

Giải: Ta thấy y1 ( x ) =

1 là một nghiệm của phương trình đã cho. x

Gọi y2 ( x ) là nghiệm riêng độc lập tuyến tính với y1 ( x ) . − p ( x ) dx 1 − dx e  1 1 1 x y2 ( x ) = y1 ( x )  2 dx =  x 2 e  x dx =  x 2 e − ln x dx =  xdx = x x x 2 y1 ( x )

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

117

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = C1

1 x + C2 , C1 , C2 là các hằng số x 2

tùy ý. b) Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

y '' + p ( x ) y ' + q ( x ). y = f ( x )

(6)

Định lý 3: Nếu y là nghiệm tổng quát của phương trình (5) và Y là nghiệm riêng của (6) thì

y = y + Y là nghiệm tổng quát của (6). Định lý 4 (Nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu Y1 ( x ) là nghiệm riêng của phương trình

y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ) y = f1 ( x ) và Y2 ( x ) là nghiệm riêng của phương trình

y ''+ p ( x ) y ' + q ( x ) y = f 2 ( x ) thì Y ( x ) = Y1 ( x ) + Y2 ( x ) là nghiệm riêng của phương trình

y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) Không có cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất, nhưng nếu biết hai nghiệm riêng y1 ( x ) và y2 ( x ) độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (5) thì một nghiệm riêng của (6) tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Nghiệm đó có dạng

Y ( x ) = C1 ( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) trong đó

C1′ ( x ) y1 ( x ) + C2′ ( x ) y2 ( x ) = 0 C ′ ( x ) y ′ ( x ) + C ′ ( x ) y ′ ( x ) = f ( x )  1 1 2 2

Do đó, để tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất (6), ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm hai nghiệm riêng y1 ( x ) và y2 ( x ) độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (5).

Bước 2. Suy ra nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất (5).

Bước 3. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (6) có dạng:

Y ( x ) = C1 ( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) trong đó

C1′ ( x ) y1 ( x ) + C2′ ( x ) y2 ( x ) = 0 C ′ ( x ) y ′ ( x ) + C ′ ( x ) y ′ ( x ) = f ( x )  1 1 2 2

Bước 4. Giải hệ

C1′ ( x ) y1 ( x ) + C2′ ( x ) y2 ( x ) = 0 C ′ ( x ) y ′ ( x ) + C ′ ( x ) y ′ ( x ) = f ( x ) 1 2 2  1

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

118

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

tìm C1 ( x ), C2 ( x ) .

Thay vào Y ( x ) = C1 ( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) ta được nghiệm riêng của (6).

Bước 5. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) là

y = y +Y Ví dụ. Giải phương trình y '' +

1 1 1 y '− 2 y = 2 x x x

Giải: Phương trình thuần nhất tương ứng là: y '' +

1 1 y '− 2 y = 0 . x x

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y = C1

1 x + C2 , với C1 , C2 là các hằng số tùy x 2

ý.

Nghiệm riêng Y của phương trình y '' +

1 1 1 y ' − 2 y = 2 có dạng: x x x

1 x Y = C1 ( x ) + C2 ( x ) x 2

1  ′ ′ ( x) x = 0 C ( x ) + C 1 2  x 2 Giải hệ  1 1 1 C1′ ( x )  − 2  + C2′ ( x ) = 2 x  x  2  Suy ra:

⇔

C ′ ( x ) = − 1  1 2  1 C2′ ( x ) = 2 x 

⇔

x  C1 ( x ) = − 2  C2 ( x ) = − 1 x 

1 1 Y = − − = −1 2 2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

1 x y = C1 ( x ) + C2 ( x ) − 1 , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý. x 2 2.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng a) Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng là phương trình có dạng

y '' + py ' + qy = f ( x )

(7)

trong đó p , q là các hằng số thực, f ( x ) là hàm của biến x.

Nếu f ( x ) ≡ 0 thì phương trình (7) gọi là phương trình thuần nhất.

Nếu f ( x ) ≠ 0 thì phương trình (7) gọi là phương trình không thuần nhất. b) Đối với phương trình thuần nhất y '' + py ' + qy = 0

(8) 2 kx

Ta nhận thấy rằng khi y = e kx  y ' = ke , y '' = k e kx

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

119

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

(8) 

k 2 e kx + p.kekx + q.e kx = 0

⇔

( k 2 + pk + q ) e kx = 0

⇔

k 2 + pk + q = 0 vì e kx ≠ 0, ∀k , x ∈ ℝ .

Như vậy, nếu k là nghiệm của phương trình bậc hai k 2 + pk + q = 0 thì e kx là nghiệm của phương trình thuần nhất (8).

Phương trình k 2 + pk + q = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất (8). Thông qua phương trình này , ta có thể biết được dạng nghiệm của phương trình (8).

o Nếu phương trình k 2 + pk + q = 0 có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 thì phương trình (8) có hai nghiệm riêng là y1 = e 1 , y2 = e k x

k2 x

.

Hai nghiệm này độc lập tuyến tính vì

y1 ( x ) = e( k1 −k2 ) x không phải là hằng số. y2 ( x )

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (8) là:

y = C1 e k1 x + C2 e k2 x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý. o Nếu phương trình k 2 + pk + q = 0 có hai nghiệm thực trùng nhau k1 = k2 = k thì phương trình (8) có một nghiệm riêng là y1 = e kx . Nghiệm riêng y2 ( x ) độc lập tuyến tính với y1 ( x ) được tính theo công thức:

y2 ( x ) = u ( x ). y1 ( x ) = u ( x ).ekx kx kx 2 kx kx kx kx và u ''( x ).e + 2 ku '( x ).e + k u ( x ).e  + p u '( x ).e + ku ( x ).e  + qu ( x ).e = 0

Hay

u ''( x ).e kx + u '( x ).e kx (2 k + p ) + u ( x ).ekx ( k 2 + pk + q ) = 0

Vì k 2 + pk + q = 0 và k là nghiệm kép của phương trình k 2 + pk + q = 0 nên 2 k + p = 0 .

Do đó u ''( x ).e kx = 0 hay u ''( x ) = 0 .

Suy ra: u ( x ) = Ax + B . Ta lấy u ( x ) = x



y2 ( x ) = xekx .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (8) là:

y = ( C1 + C2 x ) e kx , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý. o Nếu phương trình k 2 + pk + q = 0 có hai nghiệm phức là k1 =α + βi , k2 =α − βi thì hai nghiệm riêng dưới dạng phức là:

y1 ( x ) = e( α+βi ) x = eαx ei βx = eαx (cos βx + i sin βx ) y2 ( x ) = e( α−βi ) x = eαx e − i βx = eαx (cos βx − i sin βx )

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

120

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Do các phần thực và phần ảo của y1 ( x ) , y2 ( x ) cũng là nghiệm của phương trình (8) nên ta chỉ lấy hai nghiệm e

αx

cos βx , eαx sin βx . Chúng độc lập tuyến tính.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (8) là:

y = eαx ( C1 cos β x + C2 sin β x ) , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Cách giải phương trình thuần nhất (8)

Bước 1. Xác định phương trình đặc trưng k 2 + pk + q = 0 .

Bước 2. Giải phương trình đặc trưng k 2 + pk + q = 0 .

(*)

- Nếu (*) có hai nghiệm k1 ≠ k2 ∈ ℝ thì NTQ của phương trình (8) là

y = C1 e k1 x + C2 e k2 x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

- Nếu (*) có nghiệm kép k1 = k2 = k thì NTQ của phương trình (8) là

y = ( C1 + C2 x ) e kx , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

- Nếu (*) có hai nghiệm phức là k1 =α + βi , k2 =α − βi thì NTQ của phương trình (8) là

y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx ) , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Ví dụ. Giải các phương trình sau

a) y ''− 6 y '+ 8 y = 0

b) y ''− 2 y '+ y = 0

c) y '' + 4 y '+ 5 y = 0

Giải: a) y ''− 6 y '+ 8 y = 0 Phương trình đặc trưng tương ứng: k 2 − 6 k + 8 = 0 ⇔

k = 3  k = 4

Suy ra NTQ của phương trình đã cho là:

y = C1 e3 x + C2 e 4 x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý. b) y ''− 2 y '+ y = 0 Phương trình đặc trưng tương ứng: k 2 − 2 k + 1 = 0 ⇔

k1 = k2 = 1

Suy ra NTQ của phương trình đã cho là:

y = ( C1 + C2 x ) e x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý. c) y '' + 4 y ' + 5 y = 0 Phương trình đặc trưng tương ứng: k 2 + 4 k + 5 = 0 ⇔

 k = −2 + i  k = −2 − i

Suy ra NTQ của phương trình đã cho là:

y = e −2 x ( C1 cos x + C2 sin x ) , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý. c) Đối với phương trình không thuần nhất y '' + py ' + qy = f ( x ) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

121

(9)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC Cách giải

Bước 1. Viết phương trình thuần nhất tương ứng:

y ''+ py ' + qy = 0

(8)

y = C1 y1 ( x ) + C2 y2 ( x )

Giải tìm NTQ của (8) dưới dạng Bước 2. Tìm nghiệm riêng Y của (9)

Cách 1: Dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange Cách 2: Sử dụng trong các trường hợp đặc biệt của f ( x )

 Trường hợp f ( x ) = Pn ( x ).e ax , trong đó Pn ( x ) là đa thức bậc n. + Nếu a không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (8) thì một nghiệm riêng của (9) có dạng

Y = ( an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 ) e ax + Nếu a là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của (8) thì một nghiệm riêng của (9) có dạng

Y = ( an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ) xe ax + Nếu a là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của (8) thì một nghiệm riêng của (9) có dạng

Y = ( an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ) x 2 e ax Trong đó, n + 1 hệ số an , an−1 ,..., a1 , a0 được xác định bằng cách - Tính Y ', Y '' - Thay Y '', Y ', Y vào phương trình (9) - Đồng nhất thức hai vế của (9) được một hệ phương trình đối với an , an −1 ,..., a1 , a0 . Giải hệ tìm chúng.

 Trường hợp f ( x ) = e ax [ Pn ( x )cos bx + Qm ( x )sin bx ] , trong đó Pn ( x ) là đa thức bậc n,

Qm ( x ) là đa thức bậc m. Đặt h = max{m, n} + Nếu a + bi không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (8) thì một nghiệm riêng của (9) có dạng

Y = ( ah x h + ah −1 x h −1 + ... + a1 x + a0 )cos bx + (bh x h + bh −1 x h −1 + ... + b1 x + b0 )sin bx  e ax + Nếu a + bi là một nghiệm của phương trình đặc trưng của (8) thì một nghiệm riêng của (9) có dạng

Y = ( ah x h + ah −1 x h −1 + ... + a1 x + a0 )cos bx + (bh x h + bh −1 x h −1 + ... + b1 x + b0 )sin bx  xe ax Trong đó, các hệ số ah , ah−1 ,..., a1 , a0 , bh , bh −1 ,..., b1 , b0 được xác định như trên Bước 3. Nghiệm tổng quát của (9): Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

y = y +Y .

122

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC Ví dụ. Giải phương trình y '' + y = 2

Giải: Phương trình thuần nhất tương ứng: y '' + y = 0

(2)

Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất: k 2 + 1 = 0 (3) ⇔

k = i  k = − i

Suy ra NTQ của phương trình (2) là:

y = C1 cos x + C2 sin x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Nghiệm riêng Y của (1) có dạng

Y = C1 ( x ) cos x + C2 ( x )sin x C ′ ( x ) cos x + C ′ ( x )sin x = 0 1 2 − C1′ ( x )sin x + C2′ ( x )cos x = 2

Giải hệ 

⇔

C ′ ( x ) = −2sin x 1  C2′ ( x ) = 2cos x

⇔

C1 ( x ) = 2 cos x C ( x ) = 2sin x  2

Y =2

Suy ra:

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là: y = C1 cos x + C2 sin x + 2 , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Ví dụ. Giải các phương trình sau

a) y ''− 2 y ' − 3 y = e 4 x c)

b) y ''− 2 y '+ y = 6 xe x d) y '' + 4 y = cos 2 x

y ''+ y ' = 4sin x

Giải: a) y ''− 2 y ' − 3 y = e

4x

(1)

Phương trình thuần nhất tương ứng: y ''− 2 y ' − 3 y = 0 Phương trình đặc trưng: k 2 − 2 k − 3 = 0 (3) ⇔

(2)

 k = −1  k = 3

Suy ra NTQ của phương trình (2) là:

y = C1 e − x + C2 e3 x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Vế phải của phương trình (1) có dạng: f ( x ) = Pn ( x ).e

ax

với Pn ( x ) = 1, n = 0 , a = 4 .

a = 4 không là nghiệm của (3) nên nghiệm riêng của (1) có dạng Y = a0 e4 x 

Y ' = 4 a0 e4 x



Y '' = 16 a0 e 4 x

Thay vào phương trình (1) ta được:

16 a0 e 4 x − 8 a0 e4 x − 3a0 e4 x = e4 x Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

123

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC



5 a0 e 4 x = e4 x



a0 =

1 5

1 Y = e4 x 5

Suy ra:

1 5

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là: y = C1 e − x + C2 e3 x + e 4 x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý. b) y ''− 2 y '+ y = 6 xe

x

(1)

Phương trình thuần nhất tương ứng: y ''− 2 y '+ y = 0 Phương trình đặc trưng: k 2 − 2 k + 1 = 0 (3) ⇔

(2)

k =1

Suy ra NTQ của phương trình (2) là:

y = ( C1 x + C2 ) e x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Vế phải của phương trình (1) có dạng: f ( x ) = Pn ( x ).e ax với Pn ( x ) = 6 x , n = 1, a = 1 .

a = 1 là nghiệm kép của (3) nên nghiệm riêng của (1) có dạng Y = ( a1 x + a0 ) x 2 e x = ( a1 x3 + a0 x 2 ) e x 

Y ' =  a1 x3 + (3a1 + a0 ) x 2 + 2 a0 x  e x



Y '' =  a1 x3 + (6 a1 + a0 ) x 2 + (6 a1 + 4 a0 ) x + 2 a0  e x

Thay vào phương trình (1) ta được:

 a1 x 3 + (6 a1 + a0 ) x 2 + (6 a1 + 4 a0 ) x + 2 a0  e x − 2  a1 x3 + (3 a1 + a0 ) x 2 + 2 a0 x  e x + ( a1 x 3 + a0 x 2 ) e x = 6 xe x 

(6 a1 x + 2 a0 ) e x = 6 xe x  a1 = 1 a = 0  0

⇔

Y = x3 e x

Suy ra:

3 x Vậy nghiệm tổng quát của (1) là: y = ( x + C1 x + C2 ) e , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

c) y '' + y ' = 4sin x

(1)

Phương trình thuần nhất tương ứng: y ''+ y ' = 0 Phương trình đặc trưng: k 2 + k = 0 (3) ⇔

(2)

k = 0  k = −1

Suy ra NTQ của phương trình (2) là: Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

124

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

y = C1 + C2 e− x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Vế phải của phương trình (1) có dạng: f ( x ) = e ax [ Pn ( x ) cos bx + Qm ( x )sin bx ] với

Pn ( x ) = 0, n = 0, Qm ( x ) = 4, m = 0 , a = 1, b = 1, h = max{m , n} = 0 . a + bi = i không là nghiệm của (3) nên nghiệm riêng của (1) có dạng

Y = ( a0 cos x + b0 sin x ) e0 x = a0 cos x + b0 sin x 

Y ' = − a0 sin x + b0 cos x



Y '' = − a0 cos x − b0 sin x

Thay vào phương trình (1) ta được:

− a0 cos x − b0 sin x − a0 sin x + b0 cos x = 4sin x  − a0 + b0 = 0 − a − b = 4  0 0



 a0 = −2  b = −2  0

⇔

Y = −2cos x − 2sin x

Suy ra:

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là: y = C1 + C2 e

−x

− 2cos x − 2sin x , với C1 , C2 là các hằng

số tùy ý. d) y ''+ 4 y = cos 2 x

(1)

Phương trình thuần nhất tương ứng: y '' + 4 y = 0 Phương trình đặc trưng: k 2 + 4 = 0 (3) ⇔

(2)

 k = 2i  k = −2i

Suy ra NTQ của phương trình (2) là:

y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Vế phải của phương trình (1) có dạng: f ( x ) = e ax [ Pn ( x ) cos bx + Qm ( x )sin bx ] với

Pn ( x ) = 0, n = 0, Qm ( x ) = 1, m = 0 , a = 1, b = 2, h = max{m, n} = 0 . a + bi = 2i là nghiệm của (3) nên nghiệm riêng của (1) có dạng

Y = ( a0 cos x + b0 sin x ) x.e0 x = ( a0 cos 2 x + b0 sin 2 x ) x 

Y ' = ( −2 a0 sin 2 x + 2b0 cos 2 x ) x + a0 cos 2 x + b0 sin 2 x



Y '' = ( −4 a0 cos 2 x − 4b0 sin 2 x ) x − 4 a0 sin 2 x + 4b0 cos 2 x

Thay vào phương trình (1) ta được: Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

125

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

( −4 a0 cos 2 x − 4 b0 sin 2 x ) x − 4 a0 sin 2 x + 4b0 cos 2 x + 4[( −2 a0 sin 2 x + 2b0 cos 2 x ) x + + a0 cos 2 x + b0 sin 2 x ] = cos 2 x

−4 a0 sin 2 x + 4b0 cos 2 x = cos 2 x

⇔



 −4 a0 = 0 4b = 1  0

⇔

a0 = 0  1  b0 = 4

Suy ra:

Y=

1 x sin 2 x 4

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là: y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x +

1 x sin 2 x , với C1 , C2 là các 4

hằng số tùy ý.

Chú ý: Đối với phương trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi cấp cao hơn hai, ta cũng có

thể tìm nghiệm một cách tương tự như đối với phương trình cấp hai.

Ví dụ. Giải các phương trình sau

b) y ( 4 ) + 2 y ''+ y = cos x

a) y ''' − 9 y ' = 0 Giải: a) y ''' − 9 y ' = 0

k = 3 Phương trình đặc trưng: k − 9 k = 0 ⇔  k = −3  k = 0 3

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = C1 e3 x + C2 e−3 x + C3 , với C1 , C2 , C3 là các hằng số tùy ý. b) y

(4)

+ 2 y '' + y = cos x

(1)

Phương trình thuần nhất tương ứng: y ( 4 ) + 2 y ''+ y = 0 Phương trình đặc trưng: k 4 + 2 k 2 + 1 = 0 ⇔

 k1 = k2 = i k = k = −i 4  3

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = C1 e3 x + C2 e−3 x + C3 , với C1 , C2 , C3 là các hằng số tùy ý.

Suy ra NTQ của phương trình (2) là:

y = (C1 + C2 x )cos x + (C3 + C4 x )sin x , với C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Nghiệm riêng của (1) có dạng Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

126

(2)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Chương VI. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Y = ( a0 cos x + b0 sin x ) x 2 1 8

Suy ra: a0 = − , b0 = 0 Do đó:

1 Y = − x 2 cos x 8

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là: y = ( C1 + C2 x )cos x + ( C3 + C4 x )sin x −

C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

127

1 2 x cos x , với 8