1o kefalaio statistiki

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση στοιχείων, την ταξινόμησή τους και την παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή ώστε να μπορούν να αναλυθούν και να ερμηνευτούν για την εξυπηρέτηση διαφόρων σκοπών. Πληθυσμός λέγεται ένα σύνολο αντικειμένων (εμψύχων ή αψύχων) του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ώς προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Δείγμα ονομάζεται κάθε υποσύνολο του πληθυσμού. Μεταβλητή λέγεται το χαρακτηριστικό ώς πρός το οποίο εξετάζουμε έναν πληθυσμό Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εξέταση των ατόμων ενός πληθυσμού ώς πρός ένα χαρακτηριστικό τους, λέγονται παρατηρήσεις. Είδη μεταβλητών : 1. ποιοτικές μεταβλητές, ονομάζονται οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν είναι αριθμοί.

2. ποσοτικές μεταβλητές, ονομάζονται οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί, και διακρίνονται σε :  διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο «μεμονωμένες» τιμές.  συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν αποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος . ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 1. Μελετάμε τους κάτοικους μιας πόλης ως προς τις ιδιότητες : Α. ηλικία Β. επάγγελμα Γ. ύψος Δ. βάρος Ε. μορφωτικό επίπεδο Σ.Τ. εισόδημα Ποιες από τις παραπάνω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές: 2. Να βρείτε το είδος (ποιοτικές, ποσοτικές διακριτές ή ποσοτικές συνεχείς) των παρακάτω μεταβλητών : α) Το πλήθος των ορόφων που έχουν τα κτίρια μιας πόλης. β) Το θρήσκευμα των κατοίκων μιας πόλης. γ) Ο χρόνος αναμονής των πελατών σε μια τράπεζα. δ) Το επάγγελμα των κατοίκων μιας πόλης. ε) Το βάρος των μαθητών μιας τάξης. στ) Οι ενδείξεις ενός ζαριού. ζ) Το χρώμα ματιών των μαθητών μιας τάξης. η) Ο αριθμός παιδιών των οικογενειών μιας πόλης.

3. Τα αποτελέσματα των εξετάσεων των φοιτητών του Μαθηματικού τμήματος στο μάθημα της Στατιστικής ήταν τα ακόλουθα: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 9. Να βρείτε : α) Ποιος είναι ο Πληθυσμός; β) Ποια είναι τα άτομα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) Ποια είναι η μεταβλητή και σε ποια κατηγορία ανήκει; ε) Ποιες είναι οι τιμές της μεταβλητής; 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τα στατιστικά δεδομένα, αφού συλλεχτούν, πρέπει να ταξινομηθούν σε πίνακες. Πρέπει δηλαδή τα δεδομένα να τοποθετηθούν σε γραμμές και στήλες έτσι ώστε να είναι εύκολη η κατανόηση τους , η σύγκριση τους και η εξαγωγή συμπερασμάτων.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ – ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ  Συχνότητα μιας τιμής xi μιας μεταβλητής ονομάζεται το πλήθος των ατόμων του πληθυσμού (ή του δείγματος) για τα αποία η μεταβλητή παίρνει την τιμή xi και συμβολίζεται με vi . Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ενός δείγματος κ μεταβλητών είναι : v  v1  v2  ...  vk  Σχετική Συχνότητα τιμής xi μιας μεταβλητής ονομάζεται ο λόγος της συχνότητας πρός v το μέγεθος του δείγματος και συμβολίζεται με f i δηλαδή : f i  i v Ισχύει πάντα : f1  f 2  ...  f k  1 Σχετική συχνότητα % : f i % είναι η έκφραση της σχετικής συχνότητας σε ποσοστό επί v τοις εκατό : f i %  f i  100%  i  100% v Ισχύει πάντα : f1 %  f 2 %  ...  f k %  100 % ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : 22 ΠΑΟΚ, 17 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, 2 ΑΕΚ , 1 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ. i. Να βρείτε πόσοι υποστηρίζουν τον ΗΡΑΚΛΗ. ii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και σχετικών % συχνοτήτων. Λύση : i. Έστω xi η ποιοτική μεταβλητή : «Ομάδα» άρα x1 :  , x2 :  , x3 :   , x4 :  , x5 : 

και x6 :  . Τότε οι  1 , 2 ,..., 6 αντίστοιχες συχνότητες θα είναι και θα ισχύει :  1  2  3  4  5  6    22  17  3  2  1  6  50   6  5

v1 22   0,44 άρα f1 %  0,44  100  44 v 50 v 17 f2  2   0,34 άρα f 2 %  0,34  100  34 v 50 v 3 f3  3   0,06 άρα f 3 %  0,06  100  6 v 50 v 2 f4  4   0,04 άρα f 4 %  0,04  100  4 v 50 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ii. f1 

3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

v5 1   0,02 άρα f 5 %  0,02  100  2 v 50 v 5 f6  6   0,10 άρα f 6 %  0,10  100  10 v 50 Ομάδα xi Συχνότητα  i Σχετ. συχνότητα f i ΠΑΟΚ 22 0,44 ΑΡΗΣ 17 0,34 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 3 0,06 ΑΕΚ 2 0,04 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 1 0,02 ΗΡΑΚΛΗΣ 5 0,10 Σύνολο 50 1,00 f5 

Σχετ. συχνοτ. f i % 44 34 6 4 2 10 100

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ – ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω ένα δείγμα μεγέθους  και έστω x1 , x2 ,..., x οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά.  Αθροιστική Συχνότητα  i Σε ποσοτική μεταβλητή αθροιστική συχνότητα μιας τιμής xi λέγεται το άθροισμα των συχνοτήτων vi των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή.  Η Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Fi Σε ποσοτική μεταβλητή σχετική αθροιστική συχνότητα μιας τιμής xi λέγεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων f i των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή.  Σε ποσοτική μεταβλητή σχετική αθροιστική συχνότητα% μιας τιμής xi λέγεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων f i % των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή.

N1  v1

F1  f1

F1 %  f1 %

N 2  v1  v 2  N1  v 2

F2  f1  f 2  F1  f 2

F2 %  F1 %  f 2 %

...

...

...

N k  v 1  v 2  ...  v k  v

Fk  f1  f 2  ...  f k  1

Fk %  f1 %  ...  f k %

Οι Αθροιστικές συχνότητες N i και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi έχουν νόημα μόνο σε ποσοτικές μεταβλητές.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 2. Ρωτήσαμε 200 μαθητές πόσα βιβλία διάβασαν το περασμένο καλοκαίρι. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Αριθ. βιβλίων xi Συχνότητα  i 0 90 1 60 2 26 3 16 4 8 Σύνολο 200 i. Να κατασκευάσετε πινάκα κατανομής  i , f i , f i % ,  i , Fi , Fi % Με τη βοήθεια του παραπάνω πινάκα, να βρείτε ii. Πόσοι μαθητές διάβασαν το πολύ 2 βιβλία iii. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ 1 βιβλίο iv. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον 2 βιβλία v. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία vi. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 1 αλλά το πολύ 3 βιβλία Λύση : i. v  Για τις σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους f i  i και f i %  100  f i έχω : v v 90 f1  1   0,45 άρα f1 %  0,45  100  45 v 200 v 60 f2  2   0,30 άρα f 2 %  0,30  100  30 v 200 v 26 f3  3   0,13 άρα f 3 %  0,13  100  13 v 200 v 16 f4  4   0,08 άρα f 4 %  0,08  100  8 v 200 v 8 f5  5   0,04 άρα f 5 %  0,04  100  4 v 200  Για τις αθροιστικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : 1   1 και  i   i   i 1   i   i 1   i έχω :

1   1  1  90  2  1   2   2  90  60   2  150  3   2   3   3  150  26   3  176  4   3   4   4  176  16   4  192  5   4   5   5  192  8   5  200  Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : F1  f1 και f i  Fi  Fi 1  Fi  Fi 1  f i αλλά και Fi %  100Fi έχω : F1  f1  F1  0,45 άρα F1 %  0,45  100  45 F2  F1  f 2  F2  0,45  0,30  F2  0,75 άρα F2 %  0,75  100  75 F3  F2  f 3  F3  0,75  0,13  F3  0,88 άρα F3 %  0,88  100  88 F4  F3  f 4  F4  0,88  0,08  F4  0,96 άρα F4 %  0,96  100  96 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ F5  F4  f 5  F5  0,96  0,04  F5  1,00 άρα F5 %  1,00  100  100

Έτσι συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας : Αριθμό. Συχνότητα Σχετ.συχν. Σχετ.συχν. Αθρ.συχν. Αθρ.σχετ. Αθρ.σχετ. βιβλίων xi συχν. Fi συχν. Fi % i fi fi % i 0 90 0,45 45 90 0,45 45 1 60 0,30 30 150 0,75 75 2 26 0,13 13 176 0,88 88 3 16 0,08 8 192 0,96 96 4 8 0,04 4 200 1,00 100 Σύνολο 200 1,00 100 ii. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν το πολύ 2 βιβλία (δηλ. 0 ή 1 ή 2) είναι :  1   2   3   3  176 iii. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ 1 βιβλίο (δηλ. 0 ή 1) είναι : f1 %  f 2 %  F2 %  75% iv. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν τουλάχιστον 2 βιβλία (δηλ. 2 ή 3 ή 4) είναι :  3   4   5  26  16  8  50 v. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία (δηλ. 3 ή 4) είναι : f 4 %  f 5 %  8%  4%  12% vi. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 1 αλλά το πολύ 3 βιβλία (δηλ. 1 ή 2 ή 3) είναι : f 2 %  f 3 %  f 4 %  30%  13%  8%  51% 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πινάκα :

xi 1 2 3 4 Σύνολο

vi 2

fi 0,1

i

fi %

Fi %

8 8 1

100 Πανελλήνιες 2000

Λύση : Ισχύουν τα εξής :  2 2 2 f1  1  0,1   0,1  2         20 1   0,1 10 1   1  1  2 f1 %  100 f1  f1 %  100  0,1  f1 %  10 F1 %  f1 %  F1 %  10  2   1  2  8  2  2   2  6  6 3 f2  2  f2   f2   f 2  0,3  20 10 f 2 %  100 f 2  f 2 %  100  0,3  f 2 %  30 F2 %  f1 %  f 2 %  F2 %  10  30  F2 %  40  8 4 f3  3  f3   f3   f 3  0,4  20 10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

f 3 %  100 f 3  f 3 %  100  0,4  f 3 %  40  3   1   2   3   3  2  6  8   3  16 F3 %  f1 %  f 2 %  f 3 %  F3 %  10  30  40  F3 %  80  1  2  3  4  20  2  6  8  4  20   4  4

4 4 2  f4   f4   f 4  0,2  20 10 f 4 %  100 f 4  f 4 %  100  0,2  f 4 %  20  4   1   2   3   4   4  2  6  8  4   4  20 F4 %  f1 %  f 2 %  f 3 %  f 4 %  F4 %  10  30  40  20  F4 %  100 f4 

xi 1 2 3 4 Σύνολο

vi 2 6 8 4 20

fi 0,1 0,3 0,4 0,2 1

i 2 8 16 20

fi % 10 30 40 20 100

Fi % 10 40 80 100

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 4.

Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : vi xi 0 9 1 12 3 24 4 9 7 6 Συν. vi 12

xi 1 2 3 5 Συν. xi 1 2 4 6 Αθρ.

fi

fi %

fi

fi %

24

40 0,05

vi 20 10 15 5

Ni

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

fi

Fi

fi %

Fi %

7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 5.

Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : vi

xi -5 -3 0 1 Συν. xi 1 2 3 4 5 Σύνολο

fi 0,05

fi %

40 8

vi 8

fi 0,4

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

0,2

Ni

Fi

fi %

Fi %

10 0,75 90

8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ)  Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα αποτελείτε από ορθογώνιες στήλες των οποίων οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα ( οριζόντιο ραβδόγραμμα) ή στον κατακόρυφο άξονα (κατακόρυφο ραβδόγραμμα). Σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη που έχει ύψος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα.  Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς όπου σε κάθε τιμή της μεταβλητής xi αντιστοιχεί ένας κυκλικός τομέας με γωνία v i = 1,2,...,κ M i  i 3600  f i  3600 v Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών μεταβλητών, όταν οι οι διάφορες τιμές τους είναι σχετικά λίγες. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : 22 ΠΑΟΚ, 17 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, 2 ΑΕΚ , 1 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων, ραβδόγραμμα σχετικών επί τοις εκατό συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα για τα παραπάνω δεδομένα. Λύση : Τα δεδομένα προέρχονται από την άσκηση 1 (βλέπε παραπάνω) οπότε έχω τον παρακάτω πινάκα. Ομάδα xi ΠΑΟΚ ΑΡΗΣ ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ ΑΕΚ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ Σύνολο

Συχνότητα  i 22 17 3 2 1 5 50

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

Σχετ. συχνότητα f i 0,44 0,34 0,06 0,04 0,02 0,10 1,00

Σχετ. συχνοτ. f i % 44 34 6 4 2 10 100

9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

25 20 15 10 5 0

ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 360  0,44  360  158,4  50 360 360 2  2   17   0,34  360  122,4  50

1   1 

360

 22 

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 360  0,06  360  21,6  50 360 360 4  4   2  0,04  360  14,4  50 360 360 5  5   1  0,02  360  7,2  50 360 360 6  6   5  0,10  360  36  50

3  3 

360

 3

ΗΡΑΚΛΗΣ 10% ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 2% ΑΕΚ 4%

ΠΑΟΚ ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 6%

ΑΡΗΣ ΠΑΟΚ 44%

ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ ΑΕΚ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ

ΑΡΗΣ 34%

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7.

Σ’ ένα τμήμα 25 μαθητών της γ’ λυκείου δόθηκε ένα τεστ μαθηματικών από όπου προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα : 11, 17, 9, 16, 5, 19, 13, 15, 16, 15, 19, 17, 10, 20, 16, 9, 13, 9, 5, 19, 19, 15, 17, 16, 10 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων β) Α. Πόσοι μαθητές είχαν βαθμό τουλάχιστον 15 Β. Μεγαλύτερο από 13 Γ. Τι ποσοστό % μαθητών είναι κάτω από τη βάση (10) Δ. Τι ποσοστό είναι πάνω από 16 Ε. Μεταξύ 15 και 19 γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

8. Τα αποτελέσματα των εκλογών, σε ένα εκλογικό τμήμα, δίνονται από το επόμενο (ελλιπή) πινάκα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Κόμμα xi

i. ii. iii.

9.

Συχνότητα  i

Σχετική συχνότητα f i 0,15 0,30 0,35

Α Β 150 Γ Δ Σύνολο Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 2002 ) Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 400 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες : Α΄ κατηγορία : Απόφοιτοι Γυμνάσιου Β΄ κατηγορία : Απόφοιτοι Λυκείου Γ΄ κατηγορία : Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης Δ΄ κατηγορία : Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μια μόνο από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α΄ κατηγορία ανήκει το 25% των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζομένους της Δ΄ κατηγορίας είναι 18 . Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β΄ κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ΄ κατηγορίας. i. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας. ii. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 2000 )

10. Οι βαθμοί 20 φοιτητών, στην εξέταση ενός μαθήματος, που πέρασαν το μάθημα ήταν : 5 8 6 9 5 5 7 7 6 9 7 5 8 7 7 6 7 8 7 7 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. β) Πόσες βαθμολογίες ήταν άριστες ; (άριστα θεωρείται βαθμός τουλάχιστον 8 ) γ) Ποιό ποσοστό των φοιτητών έγραψε το πολύ 7 ; δ) Πόσοι φοιτητές πήραν βαθμό μεγαλύτερο από 6 αλλά μικρότερο του 8 ; ε) Να κατασκευαστεί το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

11. Ο αριθμός των μαθητών που υπάρχουν σε καθένα από τα 20 τμήματα ενός δημοτικού σχολείου είναι : 25 27 24 23 25 26 24 22 25 26 23 25 26 27 24 25 27 25 24 26 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. β) Πόσα τμήματα έχουν το πολύ 23 μαθητές ; γ) Ποιό είναι το ποσοστό των τμημάτων που έχουν τουλάχιστον 24 και το πολύ 26 μαθητές ; δ) Πόσα τμήματα έχουν τουλάχιστον 25 μαθητές ; ε) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων %.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 12. Εξετάσαμε 60 άτομα ώς πρός τον αριθμό πιστωτικών καρτών που έχουν στην κατοχή τους και τα αποτελέσματα φαίνονται στον διπλανό πίνακα. α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. β) Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα.

Αριθμός πιστωτικών καρτών xi 0

Αριθμός ατόμων vi 24

1

15

2

12

3

6

4

3

Σύνολο

60

13. Οι απουσίες των μαθητών ενός μικρού επαρχιακού σχολείου το μήνα Δεκέμβριο ήταν : 2 1 0 6 7 8 9 0 5 6 0 7 0 4 5 3 2 7 1 2 0 1 2 2 0 α) Να κατασκευάσετε πίνακα vi , f i , f i %, N i , Fi , Fi % β) Να κατασκευαστεί το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων %. γ) Πόσοι μαθητές είχαν το πολύ 4 απουσίες ; δ) Ποιό ποσοστό των μαθητών δεν απουσίασε καθόλου ; ε) Πόσοι μαθητές είχαν τουλάχιστον 2 απουσίες ; στ) Πόσοι μαθητές είχαν το πολύ 6 αλλά τουλάχιστον 3 απουσίες ;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 14. Ρωτήσαμε 200 άτομα πόσες εφημερίδες αγοράζουν την εβδομάδα και τα αποτελέσματα φαίνονται στον διπλανό πίνακα. Αριθμός Αριθμός α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών εφημερίδων ατόμων συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών xi vi συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών 0 12 αθροιστικών συχνοτήτων %. β) Με τη βοήθεια του πίνακα να βρείτε : 1 60 i) Πόσα άτομα αγοράζουν το πολύ 5 εφημερίδες 2 50 ii) Το ποσοστό των ατόμων που αγοράζουν το πολύ 2 εφημερίδες.

3 28 iii) Πόσα άτομα αγοράζουν τουλάχιστον 4 εφημερίδες 4 24 iv) Το ποσοστό των ατόμων που αγοράζουν τουλάχιστον 3 αλλά το πολύ 6 εφημερίδες 5 16 γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα σχετικών 6 8 συχνοτήτων %.

15.

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

7

2

Σύνολο

200

Ο αριθμός των παιδιών κάποιων οικογενειών φαίνεται στο παρακάτω ραβδόγραμμα : 20

13 8 4

3 1

0

1

2

3

4

1 5

6

α) Να βρείτε τις συχνότητες και το συνολικό αριθμό των οικογενειών. β) Να βρείτε τις αθροιστικές συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες και να κατασκευάσετε τον πίνακα. γ) Αν μια οικογένεια θεωρείται πολύτεκνη όταν έχει τουλάχιστον 4 παιδιά να βρείτε πόσες από τις οικογένειες του δείγματος είναι πολύτεκνες.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 100

90

80

Σχετική συχνότητα %

70

60

50 40 40

30

25

20

15 10

10

10

0 1

2

3

4

5

Μεταβλητή Xi

16. Στο παραπάνω ραβδόγραμμα αποικονίζονται οι σχετικές συχνότητες % των επιβατών είκοσι αυτοκινήτων που πέρασαν τα διόδια σε μια ώρα. α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. β) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων. γ) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων. δ) Ποιό ποσοστό των αυτοκινήτων είχε τουλάχιστον 3 επιβάτες ; 17. Ρίξαμε ένα ζάρι 40 φορές και κατασκευάσαμε τον διπλανό πίνακα. α) Να συμπληρωθούν τα κενά του πίνακα. β) Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

18. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : xi vi fi Ni Fi 0 5 1 9 2 7 3 4 Σύνολο α)Ποιό ποσοστό των απαντήσεων είναι τουλάχιστον 3; β)Πόσες παρατηρήσεις είναι το πολύ 2;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

xi 1 2 3 4 5 6 Σύνολο fi %

vi 5

Ni 13

7 25 6

Fi %

15

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 19. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : xi vi fi Ni 1 2 2 8 3 8 4 Σύνολο 20

Fi

Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : xi vi fi Ni Fi 1 8 0,4 2 10 3 0,75 4 5 Σύνολο

fi %

Fi %

fi %

Fi %

20.

90

21. Στον διπλανό πίνακα φαίνεται ο χαρακτη-ρισμός που πήραν στο πτυχείο 150 φοιτητές που αποφοίτησαν φέτος από μια σχολή.

Χαρακτηρισμός xi Άριστα

Αριθμός φοιτητών vi 15

α) Να κατασκευάσετε πίνακα σχετικών συχνο-τήτων και σχετικών συχνοτήτων %. β) Να βρείτε το ποσοστό των φοιτητών που ο χαρακτηρισμός στο πτυχείο τους ήταν Άριστα ή Λίαν Καλώς. γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα για τα παραπάνω δεδομένα.

Λίαν Καλώς

30

Καλώς

60

Σχεδόν Καλώς Σύνολο

45

22. Βαθμοί

Συχνότητα Αθροιστική

150

Σχετική Σχετική συχνότητα Συχνότητα%

συχνότητα Νi 8 24 34 50

νi fi % xi fi Fi Fi % 5 6 7 8 Άθροισμα α) Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα που έχει τους βαθμούς ενός τμήματος φοιτητών. β) Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθμό: i. το πολύ 7 ii. τουλάχιστον 6

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των τιμών μιας συνεχής μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο, τότε τα δεδομένα ταξινομούνται (ομαδοποιόυνται) σε μικρό πλήθος ομάδων, οι οποίες ονομάζονται κλάσεις, έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μια κλάση. Κεντρο K i μιας κλάσης λέγεται το μέσον κάθε διαστήματος. Για το κεντρο K i μιας κλάσης [α, β) ισχύει ότι :  Ki = 2 Όταν θέλουμε να κάνουμε τη γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα, τότε χρησιμοποιούμε το λεγόμενο ιστόγραμμα. Στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς), καθένα από τα οποία έχει βάση το πλάτος της κάθε κλάσης και ύψος ίσο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνοτήτα αυτής. Το πολύγωνο που έχει κορυφές τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων του ιστογράμματος συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων και τα μέσα δυο υποθετικών κλάσεων στην αρχή και στο τέλος με συχνότητα μηδέν, λέγεται πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Το πολύγωνο που έχει κορυφές τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων και το αριστερό άκρο της κάτω βάσης του ορθογωνίου στην αρχή του ιστογράμματος αθροιστικών συχνοτήτων, λέγεται πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. Στον πίνακα όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα (κλάσεις) στην πρώτη στήλη αντί για τη μεταβλητή xi έχουμε τα διαστήματα [α, β), δηλαδή τις κλάσεις. Τότε προσθέτουμε άλλη μια στήλη στον πίνακα με το κέντρο K i της κάθε κλάσης. Σε αυτή την περίπτωση και στον υπόλοιπο πίνακα όπου είχαμε xi βάζουμε τις τιμές των K i . ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 23. Στον παρακάτω πίνακα Δίνεται η ημερήσια δαπάνη 100 μαθητών σε ευρώ: δαπάνη σε ευρώ [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) Σύνολο i. ii. iii. iv.

Μαθητές 20 30 25 10 10 5 100

Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων με τις στήλες των x i , vi , N i , f i % , Fi % . Ποιο ποσοστό μαθητών ξοδεύει τουλάχιστον 20 ευρώ την ημέρα; Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 24. Οι μέρες καλοκαιρινών διακοπών μιας ομάδας ατόμων δίνεται στο παρακάτω πίνακα. Ημέρες [7,11) [11,15) [15,19) [19,23) [23,27

Άτομα 24 40 48 32 16

i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες vi , N i , f i % , Fi % . ii. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων. iii. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. iv. Να βρείτε : a. Το πλήθος των ατόμων που έκαναν διακοπές κάτω από 15 Ημέρες. b. Το ποσοστό των ατόμων που έκαναν διακοπές τουλάχιστον 19 Ημέρες.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ – ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Με τον όρο μέτρα θέσης εννοούμε τα μέτρα τα οποία δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή τη θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομής. Τα κυριότερα μέτρα θέσης με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι η επικρατούσα τιμή, η μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος και η διάμεσος.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ Επικρατούσα τιμή  0 μιας μεταβλητής ονομάζεται η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Αν δυο ή περισσότερες τιμές έχουν τη μέγιστη συχνότητα τότε υπάρχουν περισσότερες από μια επικρατούσες τιμές. Αν έχουμε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις, η επικρατούσα τιμή προκύπτει από το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Στο ορθογώνιο με το μεγαλύτερο ύψος, ενώνουμε το σημείο Α με το Γ και το Β με το Δ. Από το σημείο τομής της ΑΓ με την ΒΔ, φέρνουμε κάθετη στον οριζόντιο άξονα. Στο σημείο που τέμνει η κάθετη αυτή τον οριζόντιο άξονα, είναι η επικρατούσα τιμή, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

19

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η μέση τιμή (μέσος Όρος) είναι ίσως το πιο χρήσιμο μέτρο θέσης και εκφράζει το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους των παρατηρήσεων  Όταν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους δηλ. της μορφής t1 , t 2 ,..., t v , τότε για την εύρεση μέσης τιμής χρησιμοποιούμε τον τύπο : _

x

t1  t 2  ...  t v v

 Όταν οι παρατηρήσεις x1 , x2 ,...x έχουν συχνότητα  1 , 2 ,...  αντίστοιχα, τότε θα χρησιμοποιούμε τον τύπο : _ x v  x2 v2  ...  x v x 1 1 v Καλό θα είναι, αν πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε συμπληρώσουμε στον πίνακα συχνοτήτων τη στήλη xi vi .

αυτόν

τον

τύπο,

να

 Όταν γνωρίζουμε τη σχετική συχνότητα f i της παρατήρησης x i , τότε αξιοποιούμε τον τύπο : _

x  x1 f1  x2 f 2  ...  x f   Στην περίπτωση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων, ως παρατήρηση παραπάνω τύπους θα παίρνουμε την κεντρική τιμή της i-κλάσης.

xi

στους

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. Οι βαθμοί ενός μαθητή της γ΄ λυκείου στα 6 μαθήματα που έδωσε εξετάσεις είναι : 15, 16, 11, 16, 18, 14. i. Να βρείτε τη μέση βαθμολογία του μαθητή. ii. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο 7ο μάθημα (ΑΟΘ) ώστε ο μέσος όρος του να γίνει 15,5; Λύση : _ t  t  ...  t 6 15  16  11  16  18  14 90    15 i. x  1 2 v 6 6 ii. Έστω t 7 ο βαθμός που πρέπει να γράψει στο 7ο μάθημα (ΑΟΘ), τότε για την καινούρια μέση τιμή ισχύει : _ t  t  ...  t 6  t 7 90  t 7 x  15,5  1 2  15,5    15,5  90  t 7  108,5  t 7  18,5 7 7

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανομή συχνοτήτων των οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Αριθμός Αριθμός παιδιών xi οικογενειών  i 0 7 1 17 2 14 3 5 4 7 Σύνολο 50 Να βρείτε τη μέση τιμή των παιδιών που έχει κάθε οικογένεια. Λύση : _ x v  x2 v2  ...  x v Η μέση τιμή του πλήθους των παιδιών δίνεται από τον τύπο : x  1 1 v Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων θα προσθέσω μια στήλη με τα γινόμενα xi vi : Αριθμός Αριθμός παιδιών xi οικογενειών  i xi vi 0 7 0 1 17 17 2 14 28 3 5 15 4 7 28 Σύνολο ν=50 88 _ x1v1  x2 v2  ...  x5 v5 88   1,76 παιδιά. Άρα : x  v 50 3. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των υπολογιστών (laptop ή pc) που υπάρχουν στο σπίτι. Οι αθροιστικές συχνότητες % που πρόεκυψαν φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να βρείτε τη μέση τιμή των υπολογιστών που υπάρχουν σε κάθε σπίτι. Αριθμός υπολογιστών Fi % xi 0 5 1 30 2 80 3 90 4 100 Σύνολο Λύση : Από τα δεδομένα του πινάκα καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να βρούμε τις σχετικές συχνότητες f i , και μετά για να βρούμε τη μέση τιμή να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο : _

x  x1 f1  x2 f 2  ...  x f  . Από τις σχέσεις : Fi %  100Fi , F1  f1 και Fi  Fi 1  f i συμπληρώνουμε τον πινάκα :

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αριθμός υπολογιστών xi 0 1 2 3 4 Σύνολο

fi

Fi

Fi %

xi f i

0,05 0,25 0,50 0,15 0,05 1

0,05 0,30 0,80 0,95 1,00

5 30 80 95 100

0 0,25 1 0,45 0,20 1,9

_

Άρα x  x1 f1  x2 f 2  ...  x5 f 5  1,9 υπολογιστές.

4. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 40 μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Κλάσεις Συχν. […,…) i [0-2) [2-4) [4-6) [6-8) [8-10)

8 12 10 6 4

Να βρείτε τη μέση τιμή. Λύση : Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων που δίνεται θα συμπληρώσουμε δυο επιπλέον στήλες, μια με τις κεντρικές τιμές x i και μια στήλη με τα γινόμενα xi vi . Έτσι έχω : Κλάσεις […,…)

Κεντρικές τιμές x i 1 3 5 7 9

Συχν.

i

[0-2) 8 [2-4) 12 [4-6) 10 [6-8) 6 [8-10) 4 Σύνολο ν=40 _ x1v1  x2 v2  ...  x5 v5 172 Άρα : x    4,3 μουσεία. v 40

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

xi vi 8 36 50 42 36 172

22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχτεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως : η μεσαία παρατήρηση αν ν είναι περιττός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δυο μεσαίων παρατηρήσεων, όταν το ν είναι άρτιος αριθμός. Πιο συγκεκριμένα έστω t1 , t 2 ,..., t v οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά.  Αν το πλήθος ν είναι περιττός, τότε :   t v 1 (π.χ. 2,3,5,8,12   t v 1  t 51  t 3  5 ) 2

2

2

t v  t v2  Αν

το

πλήθος

t 6  t 6 2



2

2

2



ν

είναι

άρτιος,

τότε

:



2

2

2

(π.χ.

2,3,5,8,12,15

t 3  t 4 5  8 13    6,5 ) 2 2 2

Παρατήρηση : Αν ν περιττός, τότε η διάμεσος δ είναι μια από τις παρατηρήσεις, ενώ αν ν άρτιος η διάμεσος δ μπορεί να μην είναι μια από τις παρατηρήσεις.  Διάμεσος από σχετικές συχνότητες : Από τον ορισμό της διαμέσου προκύπτει ότι η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% είναι μεγαλύτερες από αυτήν. Έτσι όταν γνωρίζουμε τις σχετικές συχνότητες, για να βρούμε τη διάμεσο, υπολογίζουμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες επί τις εκατό Fi % και αν για κάποια τιμή x ισχύει F %  50% τότε

x  x 1 . Αν για καμία τιμή x i δεν ισχύει F %  50% , τότε ως διάμεσο παίρνουμε 2 την τιμή x για την οποία η F % ξεπερνά για πρώτη φορά το 50%.



 Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα Για να βρούμε τη διάμεσο σε ομαδοποιημένα δεδομένα, κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα-μα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τις εκατό Fi % .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. Επτά μπασκετμπολίστες έχουν ύψη σε cm : 210, 185, 191, 205, 201, 198 , 215. Να βρείτε το διάμεσο των υψών τους. Λύση : Πρώτα θα βάλουμε σε αύξουσα σειρά της παρατηρήσεις : 185, 191, 198, 201, 205, 210, 215 Ισχύει ν=7 (περιττός) άρα   t v 1  t 71  t 4  201cm 2

2

6. Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων : 7, 1, 8, 15, 3, 13, 6, 16. Λύση : Πρώτα θα βάλουμε σε αύξουσα σειρά της παρατηρήσεις : 1, 3, 6, 7, 8, 13, 15, 16 t v  t v  2 t 8  t 8 2 t t 7  8 15 2 2 Ισχύει ν=8 (άρτιος) άρα   2  2  4 5    7,5 2 2 2 2 2 7. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα.

vi 3 8 5 4 2 1 1 24

xi 1 2 3 4 5 6 7 Σύνολο

Λύση : Συμπληρώνουμε τον πινάκα :

i 3 11 16 20 22 23 24 24

vi 3 8 5 4 2 1 1 ν=24

xi 1 2 3 4 5 6 7 Σύνολο

t 24  t 24 2

t12  t13 2 2 1 ,..., 1 , 2 ,..., 2 , 3 , 3 ,..., 3 , 4 ,..., 4,5,...,5,6,7   t1 2 t1 3 t1 6 1 1 

Ισχύει : ν=24 άρα  

2

2



16

Άρα :  

t12  t13 3  3  3 2 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 8. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα.

vi 43 87 125 38 16 309

xi 1 2 3 4 5 Σύνολο

Λύση : Συμπληρώνουμε τον πινάκα :

xi 1 2 3 4 5 Σύνολο

vi 43 87 125 38 16 ν=309

i 43 130 255 293 309

Ισχύει : ν=309 άρα   t 3091  t155 2

1 ,..., 1 ,2,..., 2, 3 , 3 ,..., 3 ,4,...,4,5,...,5,6,7     t1 3 1 t1 3 2 t255 130    255

Άρα :   t155  3 9. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα.

xi 2 3 5 7 8 9 Σύνολο

fi 0,10 0,28 0,05 0,17 0,25 0,15 1,00

Λύση : Επειδή δεν γνωρίζουμε το μέγεθος ν του δείγματος αλλά τις σχετικές συχνότητες, θα κατασκευάσουμε πινάκα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και θα βρούμε σε ποια τιμή x i αντιστοιχεί το 50%.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

xi 2 3 5 7 8 9 Σύνολο

fi 0,10 0,28 0,05 0,17 0,25 0,15 1,00

fi % 10 28 5 17 25 15 100

Fi % 10 38 43 60 85 100

Παρατηρούμε ότι για την τιμή x4  7 η αθροιστική σχετική συχνότητα % ξεπερνά για πρώτη φορά το 50%, άρα είναι   x4    7 10. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα.

xi 0 3 6 7 8

fi % 22 28 30 12 8

Λύση : Επειδή δεν γνωρίζουμε το μέγεθος ν του δείγματος αλλά τις σχετικές συχνότητες, θα κατασκευάσουμε πινάκα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και θα βρούμε σε ποια τιμή x i αντιστοιχεί το 50%.

xi 0 3 5 7 8 Σύνολο

fi % 22 28 30 12 8 100

Παρατηρούμε ότι F2 %  50% , άρα  

Fi % 22 50 80 92 100

x 2  x3 35    4 2 2

11. Στο διπλανό πινάκα δίνονται τα ποσά σε € που ξόδεψαν 200 μαθητές ενός λυκείου, στο κυλικείο του σχολείου τους σε μια εβδομάδα. Να βρεθεί η διάμεσος.

Ποσά σε € […,…)

Συχν.

[0-2) [2-4) [4-6) [6-8) [8-10) [10-12)

10 50 60 40 30 10

i

Λύση :

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

vi , ώστε να βρούμε τις σχετικές συχνότητες και στη v συνέχεια τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi και Fi % και έπειτα συμπληρώνουμε τον πινάκα : Χρησιμοποιούμε τη σχέση f i 

Ποσά σε € […,…)

Κεντρικές τιμές x i 1 3 5 7 9 9

. . . i fi Fi Fi % [0-2) 10 0,05 0,05 5 [2-4) 50 0,25 0,30 30 [4-6) 60 0,30 0,60 60 [6-8) 40 0,20 0,80 80 [8-10) 30 0,15 0,95 95 [10-12) 10 0,05 1 100 Σύνολο 200 1 Έπειτα κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα Fi % και το αντίστοιχο πολύγωνο.

Από το παραπάνω σχήμα προσεγγιστικα προκυπτει ότι   5,4

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

27

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 12. Η εξέταση ενός δείγματος 20 υπαλλήλων μιας επιχείρησης ως πρός τον αριθμό των ημερών που απουσίασαν κατά τον μήνα Δεκέμβριο έδωσε τις παρατηρήσεις : 0, 1, 1, 3, 0, 0, 2, 4, 0, 1 1, 2, 0, 1, 3, 0, 0, 0, 0, 0 α) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β) Να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή. γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. δ) Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων.

13. Οι επιδόσεις 50 υποψηφίων για την είσοδό τους σε μια σχολή είναι : 6, 7, 8, 9, 5, 1, 4, 7, 3, 9, 2, 5, 3, 8, 6, 4, 6, 3, 0, 1, 4, 9, 0, 9, 7, 8, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 9, 2, 7, 7, 6, 8, 1, 3, α) Να κατασκευάσετε πίνακα vi , f i , f i %, N i , Fi , Fi % β) Πόσοι μαθητές έγραψαν i. το πολύ 5 ii. κάτω από 5 iii. τουλάχιστον 5 γ) Να υπολογιστούν οι παράμετροι θέσης, δ) Η σχολή αποφάσισε να πάρει το 36% των υποψηφίων, με την καλύτερη βαθμολογία. Τι βαθμό πρέπει να έχει γράψει κάποιος για να εγγραφεί; 14. Κάποιοι μαθητές ρωτήθηκαν πόσα λογοτεχνικά βιβλία διάβασε ο καθένας κατά τη διάρκεια των διακοπών και οι απαντήσεις τους ήταν : 5 μαθητές δε διάβασαν κανένα βιβλίο 25 μαθητές διάβασαν 1 βιβλίο 15 μαθητές διάβασαν 2 βιβλία 5 μαθητές διάβασαν 3 βιβλία α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη μέση τιμή γ) Να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο.

15. Ρωτήσαμε 25 καταστήματα πόσους υπαλλήλους απασχολούν και πήραμε τις εξής απαντήσεις : 9 από αυτά τα καταστήματα απασχολούν 1 υπάλληλο, 8 καταστήματα απασχολούν 2, 7 καταστήματα απασχολούν 3 υπαλλήλους και 1 κατάστημα απασχολεί 4 υπαλλήλους. α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων για το πλήθος των υπαλλήλων. β) Ποιά είναι η επικρατούσα τιμή και ποιά η διάμεσος ; γ) Πόσσους υπαλλήλους απασχολούν συνολικά τα καταστήματα ; δ) Υπολογίστε τη μέση τιμή. ε) Πώς θα γίνει η μέση τιμή αν ανοίξουν 5 νέα καταστήματα με 4 υπαλλήλους το καθένα ;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 16. Ένα δισκοπωλείο πούλησε κατά την διάρκεια των γιορτών CD τεσσάρων ειδών αξίας 15, 20, 30 και 40€ το καθένα. Οι πωλήσεις από κάθε είδος δίνονται στον παρακάτω ( ημιτελή ) πίνακα. Αξία € Κομμάτια Αθροιστική Σχετική Συχνότητα% συχνότητα νi fi % xi Νi Fi % 15 200 20 30 30 30 40 1000 Άθροισμα //////////////// /////////////// α) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Πόσα ευρώ εισέπραξε συνολικά το δισκοπολείο ; γ) Υπολογίστε τη μέση τιμή είσπραξης ανά CD. δ) Ποιά είναι η διάμεσος και ποιά η επικρατούσα τιμή ; 17. Για τον έλεγχο της κατανάλωσης καυσίμου (ίδιου τύπου) δυο αυτοκινήτων Α και Β μετρήθηκε η κατανάλωσή τους σε έξι διαδρομές για το Α και σε πέντε για το Β. Η κατανάλωση (σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα) ήταν : Για το Α : 9, 6, 7, 9, 9, 8 Για το Β : 10, 8, 7, 8, 12 α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο που αφορούν το αυτοκίνητο Α. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο που αφορούν το αυτοκίνητο Β. γ) Αν ένας πωλητής ήθελε να χρησιμοποιήσει τα παραπάνω δεδομένα για να πείσει έναν υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Α και όχι το Β ποιό μέτρο θέσης ( μέση τιμή ή διάμεσο ) θα χρησιμοποιούσε ; 18. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : xi vi fi %

x1 x2 x3

100

150 67,5

10 x4 x5 Σύνολο Να βρεθούν η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος.

19. Εξετάσαμε ένα δείγμα 50 κατοίκων μιας πόλης ως πρός τον αριθμό των πιστωτικών τους καρτών. Ορισμένα από τα αποτελέσματα φαίνονται στον διπλανό πίνακα. α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος γ) Να βρείτε τη μέση τιμή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

Fi %

Ni

Αριθμός Καρτών xi 0 1 2 3 4 Άθροισμα

400

Αιθμός κατοίκων vi 8

fi

Ni

Fi

0,4 39 0,9 50

/////////// //////////

29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 20. Μια εταιρία απασχολεί 15 υπαλλήλους εκ των οποίων οι 8 εργάζονται στο τμήμα Α και οι 7 στο τμήμα Β. Οι εβδομαδιαίοι μισθοί ( σε ευρώ ) των 8 εργαζομένων στο τμήμα Α είναι : 300, 325, 330, 305, 315, 310, 320, 315 ενώ των 7 εργαζομένων στο τμήμα Β είναι : 310, 250, 290, 340, 270, 330, 310 α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών των εργαζομένων στο τμήμα Α της εταιρίας. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών των εργαζομένων στο τμήμα Β της εταιρίας. γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών όλων των εργαζομένων στην εταιρία.

ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ – ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Τα μέτρα διασποράς μιας κατανομής εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι : το εύρος R, η διακύμανση s 2 , η τυπική απόκλιση s και ο συντελεστής μεταβολής CV. Για να κατανοήσουμε τη χρησιμότητα των μέτρων θέσης θα δώσουμε ένα παράδειγμα : Δυο μαθητές έχουν τους ακολούθους βαθμούς σε 6 μαθήματα Μαθητής Α : 10,10,10,20,20,20 Μαθητής Β : 14,16,14,16,14,16 Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι και οι δυο έχουν μ.ο. 15. Δηλαδή τα μέτρα θέσης δεν μου δίνουν κάποια πληροφορία για την ομοιομορφία των βαθμών κάθε μαθητή. Τα μέτρα διασποράς θα μας βοηθήσουν να εντοπίσουμε αυτή την ανομοιομορφία που έχουν οι βαθμοί του μαθητή Α, αλλά και την ομοιομορφία που έχουν οι βαθμοί του μαθητή Β.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΕΥΡΟΣ R  Το πιο απλό μέτρο διασποράς είναι το εύρος R που ορίζεται ως η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση. Δηλαδή : Εύρος R=Μεγαλύτερη παρατήρηση – Μικρότερη παρατήρηση π.χ. Για το παράδειγμα με τους μαθητές Α και Β ισχύει : R  20  10  10 , R  16  14  2  Σε ομαδοποιημένα δεδομένα ως εύρος R θεωρούμε τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης.  Το εύρος είναι αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 21. Να βρείτε το εύρος σε κάθε ένα από τα παρακάτω δείγματα : Β Γ Α : 2, -5, 6, 8, -12, 15 Κλάσεις xi vi 2 5 [7,12) 4 10 [12,17) 8 12 [17,22) 11 8 [22,27) Λύση : R  15  (12)  15  12  27 R  11  2  9 R  27  7  20

vi 10 18 7 5

s2

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2Α : ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ

 Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t1 , t2 ,..., tv που έχουν μέση τιμή x τότε διακύμανση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο :

x  t   x  t   2

s

2

2

1

2



 ...  x  t v



2

v

 Αν μια μεταβλητή παίρνει τιμές x1 , x2 ,..., xk με αντίστοιχες συχνότητες v1 , v2 ,..., vk που έχουν μέση τιμή x τότε διακύμανση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο :







2

v x  x1  v 2 x  x 2 s  1 v 2



2



 ...  v k x  x k



2

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 22. Να βρείτε τη διακύμανση στο δείγμα Α : 3, 9, 12, 15, 21 Λύση : 3  9  12  15  21 60 x   12 5 5 (12  3) 2  (12  9) 2  (12  12) 2  (12  15) 2  (12  21) 2 s2   5 81  9  0  9  81 180    36 5 5 23. Να βρεθεί η διακύμανση στο δείγμα του παρακάτω πίνακα.

xi 1 2 4 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

vi 5 3 1 1 31

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Λύση :

xi 1 2 4 5 Σύνολο

vi 5 3 1 1 ν=10

xi vi 5 6 4 5 20

4

Έχω : x 

x v i 1

i i

10



20 2 10

Θα συμπληρώσω τον παραπάνω πίνακα με τις κατάλληλες στήλες ώστε να υπολογίσω τον παραπάνω τύπο, έτσι έχω :

xi

vi

xi vi

x  xi

1 2 4 5 Σύνολο

5 3 1 1 ν=10

5 6 4 5 20

1 0 -2 -3

Άρα τελικά : s 2 



( x  xi ) 2 1 0 4 9

( x  xi ) 2  vi 5 0 4 9 18



2 1 4 1 xi  x vi   18  1,8  10 i 1 10

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ  Η τυπική απόκλιση συμβολίζεται με s και είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Δηλαδή : s  s 2 Αν

μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t1 , t2 ,..., tv που έχουν μέση τιμή x τότε τυπική

x  t   x  t  2

s

απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το : Αν

2

1

2



 ...  x  t v



2

v

μια μεταβλητή παίρνει τιμές x1 , x2 ,..., xk με αντίστοιχες συχνότητες v1 , v2 ,..., vk που

έχουν μέση τιμή x τότε τυπική απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το :

s





2



v1 x  x1  v 2 x  x 2 v



2



 ...  v k x  x k



2

Η τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο διασποράς το οποίο, σε αντίθεση με τη διακύμανση, εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης που εκφράζονται και οι παρατηρήσεις.  Αν ένα δείγμα εξεταζόμενο ως πρός μια ποσοτική μεταβλητή του παρουσιάζει μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s, συντελεστή μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας ονομάζεται το πηλίκο CV 

ή ό έ ή



s  100% x

Ο συντελεστής μεταβλητότητας ουσιαστικά μετράει την ομοιογένεια του πληθυσμού. Εάν η τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας είναι κάτω του 10% ο πληθυσμός του δείγματος θεωρείται ομοιογενής, δηλαδή : CV  10% ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 24. Δίνεται το δείγμα Α : 3, 9, 12, 15, 21. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής του δείγματος Α. Στη συνέχεια να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Λύση : 3  9  12  15  21 60 x   12 5 5 2 1 5 (12  3) 2  (12  9) 2  (12  12) 2  (12  15) 2  (12  21) 2 s 2   x  ti   5 i 1 5 81  9  0  9  81 180    36 άρα : s  s 2  36  6 5 5 s 6 CV    0,5  50% . Ισχύει ότι CV  10% , άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. x 12





ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 25. Οι εισπράξεις (σε χιλιάδες ευρώ) ενός δείγματος δέκα υποκαταστημάτων μιας εμπορικής επιχείρησης κατά τον μήνα Απρίλιο του 2008 ήταν : 50, 15, 15, 20, 15 30, 15, 20, 50, 50 α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των εισπράξεων. β) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον επόμενο πίνακα και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. Εισπράξεις 2 2 xi vi xi vi fi x  xi x  xi vi x  xi



15 20 30 50 Σύνολο







////////////////// //////////////////

γ) Να υπολογίσετε το εύρος. δ) Να υπολογίσετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση των εισπράξεων. ε) Είναι το δείγμα ομοιογενές ; ( Θεωρείστε ότι 226  15 ) 26. Οι ηλικίες 25 δευτεροετών φοιτητών ενός Τ.Ε.Ι. είναι : 21, 21, 21, 19, 18, 20, 19, 21, 19, 18, 19, 18, 19, 21, 21, 21, 19, 21, 20, 21, 21, 21, 21, 20, 20, α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνπτήτων. β) Να υπολογιστούν οι παράμετροι θέσεις. γ) Να υπολογιστούν οι παράμετροι διασποράς. δ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. Είναι ομοιογενής ο πληθυσμός ; ( Θεωρείστε ότι 1,2  1,1 ) 27. Δίνετε ο παρακάτω πίνακας : xi vi fi fi % Ni 1 10 2 35 3 Σύνολο ν = 50 α) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. β) Να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή, τη μέση τιμή και τη διάμεσο. γ) Να δείξετε ότι η διακύμανση είναι s 2  0,49 δ) Είναι ο πληθυσμός του πίνακα ομοιογενής ;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 28. Δίνονται τα παρακάτω δείγματα τιμών : Α : 1, 3, 4, 5, 7, Β : 3, 9, 12, 15, 21, Γ : 6, 8, 9, 10, 12, α) Υπολογίστε για το κάθε δείγμα τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. β) Οι αριθμοί του δείγματος Α πολλαπλασιασμένοι επί 3 δίνουν εκείνους του δείγματος Β. Τι σχέση παρατηρείτε ότι έχουν οι μέσες τιμές και οι τυπικές αποκλίσεις τους ; γ) Αν στους αριθμούς του δείγματος Α προσθέσουμε το 5 έχουμε τους αριθμούς του δείγματος Γ. Συγκρίνετε τις μέσες τιμές και τις τυπικές αποκλίσεις τους.

29. Οι ηλικίες 6 παιδιών είναι : 3, 3, 8, α, α + 2, 14 με   R και έχουν μέση τιμή x  8 έτη. α) Να αποδείξετε ότι α = 9. β) Να αποδείξετε ότι το δείγμα των ηλικιών δεν έιναι ομοιογενές.

30. Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης σε ένα μάθημα είναι : 12, 12, 9, 15, 12, 16, 17, 7, 19, 18, 17, Για τα δεδομένα αυτά : α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη μέση τιμή. γ) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. δ) Να βρείτε τη διάμεσο. ε) Να βρείτε τη διακύμανση.

31. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα : 1, 6, 17, 23, 16, 3, 9, 21, 12, 22, 19, 9, 8, 16, 21, 14,

15, 11, 7, 23,

22, 17, 23, 29,

28, 14, 10, 1,

2, 18, 15, 19,

25, 37, 5, 23,

20, 7, 20, 8,

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 ίσες κλάσεις. β) Να βρείτε τη μέση τιμή. γ) Να υπολογίσετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. (θεωρείστε ότι 57,6  7,6 ) δ) Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός ομοιογενής ; ε) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. στ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. ζ) Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων στα προηγούμενα ερωτήματα να βρείτε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο.

32. Οι χρόνοι σε sec που χρειάστηκαν 40 μαθητές για να τρέξουν 400m είναι οι εξής : 54,3 52 62 52,4

53,8 55,2 56 58,5

58 53,6 57,2 50 56,5 59 59,2 54 55,6 55,6 61,5 53

59,5 54,3 57,8 53 54,6 56,2 54,5 60,4 60 52,5 56,5 55 57 51,5 54,3 57,3

55,9 53,5 58,5 55,2

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 κλάσεις ίσου πλάτους.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ β) Να κατασκευάστε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. δ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. ε) Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων στα προηγούμενα ερωτήματα να βρείτε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο.

33. Δίνεται το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων : 16 14 12 10 8 6 4 2 0 15

25

35

45

55

65

α) Με βάση τα στοιχεία του ιστογραμματος συχνοτήτων να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών συχνοτήτων, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β) Ποιό ποσοστό των μεταβλητών είναι τουλάχιστον 35, και πόσες μεταβλητές είναι κάτω από 55 ; 34. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 40 παιδιά των οποίων οι ηλικίες (σε έτη) φαίνονται στο διπλανό πίνακα : α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να βρείτε τη μέση τιμή των ηλικιών. γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο F ii %. δ) Να βρείτε τη διάμεσο. ε) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή

Κλάσεις

Κεντρική τιμή Κi

[ 8 – 10 ) [ 10 – 12) [ 12 – 14) [14 – 16) Άθροισμα /////////////////////

νi

4 16 6 14 40

fi

Fi

/////

35. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζεται η πίεση όπως μετρήθηκε σε 200 ασθενείς ενός νοσοκομείου : Πίεση σε mmHg [80–100) [100– [120– [140– [160– [180– 120) 140) 160) 180) 200] Αριθμός ασθενών 22 68 82 14 10 4 α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων. β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή. γ) Να βρείτε το ποσοστό των ασθενών που έχουν υπέρταση, αν γνωρίζουμε ότι για να έχει κάποιος υπέρταση πρέπει να έχει πίεση τουλάχιστον 140 mmHg. 36. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας που παρουσιάζει τις ηλικίες των ποδοσφαιριστών μιας ομάδας : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Κλάσεις

Κεντρική τιμή Κ i

[ 16 – 20 ) [ 20 – 24 ) [ 24 – 28 ) [ 28 – 32 ) [ 32 – 36

νi 3 5

fi

fi %

32 7

] Άθροισμα //////////////////////// 25 α) Να γράψετε τον πίνακα στο τετράδιο σας και να τον συμπληρώσετε. β) Να υπολογίσετε τη μέση ηλικία των ποδοσφαιριστών. γ) Να βρείτε το εύρος των ηλικιών. δ) Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας. Είναι ομοιογενής ο πληθυσμός ; ( Θεωρείστε ότι 20,48  4,5 ) 37. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ : Κλάσεις F ii % Κεντρική τιμή Κ i ν i fi [ 1–5) 20 [ 5–9) 50 [ 9 – 13) 85 [13 – 17) 95 [17 – 21] 2 Άθροισμα //////////////////////// 1 ////////////// α) Να γράψετε τον πίνακα στο τετράδιο σας και να τον συμπληρώσετε. β) Να βρεθεί η μέση τιμή.

38. Οι βαθμοί 50 φοιτητών ενός Τ.Ε.Ι. στο μάθημα της στατιστικής ήταν : 2, 6, 6, 8, 2,

5, 5, 6, 6, 6,

5, 9, 6, 8, 6,

3, 4, 7, 5, 8,

7, 4, 9, 3, 5,

10, 8, 3, 10, 7,

4, 7, 4, 9, 9,

9, 8, 7, 10, 5, 5, 7, 7, 3, 4,

7, 5, 4, 2, 5,

α) Να κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. β) Να κατασκευάσετε το κατακόρυφο ραβδόγραμμα συχνοτήτων. γ) Να υπολογιστούν η επικρατούσα τιμή, η μέση τιμή και η διάμεσος ( παράμετροι θέσης ) δ) Να υπολογιστούν το εύρος η διακύμανση και η τυπική απόκλιση ( παράμετροι διασποράς ) ε) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός ομοιογενής ; στ) Πόσοι φοιτητές πέρασαν το μάθημα ; (βαθμός τουλάχιστον 5) ζ) Ποιό ποσοστό των φοιτητών έγραψε το πολύ 7 ; η) Πόσοι φοιτητές έγραψαν πάνω από 6 και κάτω από 9 ; θ) Πόσοι φοιτητές έγραψαν κάτω από 4 ; ι) Αν η σχολή αποφάσιζε να βραβέψει το 26% των φοιτητών με τη μεγαλύτερη βαθμολογία πόσο έπρεπε να έχει γράψει κάποιος για να βραβευτεί ; ( Θεωρείστε ότι 4,76  2,19 )

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 39. Το ποσό σε € που ξόδεψαν 25 φοιτητές σε μια καθημερινή βόλτα ήταν : 5, 8, 25, 22, 9, 36, 12, 17, 20, 55, 7, 18, 24, 9, 13, 19, 26, 21, 8, 16, 40, 32, 23, 12, 10 α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 5 ίσες κλασεις. β) Να κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων %, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %. γ) Να γίνουν το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. δ) Με τη βοήθεια των διαγραμμάτων του προηγούμενου ερωτήματος να υπολογιστούν η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος. ε) Να βρεθεί η μέση τιμή. στ) Να υπολογιστούν το εύρος η διακύμανση και η τυπική απόκλιση (παράμετροι διασποράς) ζ) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός ομοιογενής ; η) Ποιό ποσοστό των φοιτητών ξόδεψε τουλάχιστον 25 € ; θ) Πόσοι φοιτητές ξόδεψαν το πολύ 35 € ; ι) Πόσοι φοιτητές ξόδεψαν τουλάχιστον 25 € και λιγότερα από 45 € ; ( Θεωρείστε ότι 120  11 ) 40.

2 2 xi vi xi ∙ vi fi f i % N i Fi Fi % x  x i x  xi vi x  xi



1 2 3 4 5 Σύνολο







5 10 21 8 6 ////

////

///////

//////////

////////////

α) Να μεταφέρετε στο τετράδίο σας και να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο. γ) Να υπολογίσετε το εύρος, τη διακύμανση την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητότητας. (θεωρείστε ότι 1,24  1,11 ) 41.

2 xi fi f i % N i Fi Fi % x  K i K i vi K i ∙ vi x  Ki v i x  Ki



[45-55) [55-65) [65-75) [75-85) [85-95) [95105] Σύνολο







2

1 6 11 13 12 7

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

////

////

///////

//////////

//////////// 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ α) Να μεταφέρετε στο τετράδίο σας και να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο. γ) Να υπολογίσετε το εύρος, τη διακύμανση την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητότητας. (θεωρείστε ότι 168  13 ) 42. Ένας μαθητής έχει γράψει 5 διαγωνίσματα στα μαθηματικά και ο μέσος όρος των βαθμών του είναι 16. Να βρείτε ποιός πρέπει να είναι ο βαθμός του στο επόμενο διαγώνισμα , ώστε ο μέσος όρος των βαθμών του να γίνει 16,5.

43. Σε μια επιχείρηση εργάζονται 50 υπάλληλοι οι οποίοι έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.120€ Από τους 50 υπαλλήλους οι 20 έιναι γυναίκες και οι 30 άντρες. Αν ο μέσος μηνιαίος μισθός των γυναικών είναι 1.000€ να βρείτε το μέσο μηνιαίο μισθό των αντρών.

44. Το μέσο βάρος 8 ατόμων είναι 82 kg. Αν έρθουν 2 άτομα με βάρος 80 kg και βρείτε το μέσο βάρος όλων των ατόμων μαζί.

94 kg να

45. Το μέσο ύψος 7 ατόμων είναι 173 cm. Αν φύγουν 2 άτομα με ύψος 170 cm και 166 cm να βρείτε το ύψος των ατόμων που έμειναν.

46. Ο μέσος όρος του Ά τετρμήνου σε ένα τμήμα της ΄Γ τάξης στα μαθηματικά ήταν 13,5. Αν 8 από τους μαθητές είχαν μέσο όρο 15 και οι υπόλοιποι 12,3 να βρεθέι ο αριθμός των μαθητών του τμήματος.

47. Ο μέσος μηνιαίος μισθός των 20 υπαλλήλων μιας επιχείρησης είναι 530 €. Πώς θα γίνει αυτός αν : α) απολυθούν 2 υπάλληλοι που ο καθένας έπαιρνε 440 €. β) προσληφθούν 5 υπάλληλοι με μέσο μηνιαίο μισθό 440 €. γ) μειωθεί ο μισθός σε 3 υπαλλήλους κατά 60 € και ταυτόχρονα αυξηθεί σε 5 άλλους υπαλλήλους κατά 30 €.

48. Το μέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών μιας ομάδας είναι 205 cm. α)Για να «ψηλώσει» την ομάδα ο προπονητής πήρε ακόμα έναν παίκτη ύψους 216 cm Ποιό είναι το νέο μέσο ύψος της ομάδας ; β) Αν ο προπονητής ήθελε να φτάσει το μέσο ύψος της ομάδας στα 208 cm τι ύψος θα έπρεπε να έχει ο νέος παίκτης ; 49. Σε μια τάξη το μέσο ύψος των 18 αγοριών είναι 170 cm και το μέσο ύψος των κοριτσιών είναι 160 cm. Αν το μέσο ύψος όλης της τάξης είναι 166 cm να βρείτε πόσους μαθητές έχει η τάξη.

50. Μια επιχείρηση απασχολεί 20 υπαλλήλους μέσης ηλικίας 40 ετών. Να βρείτε πως θα μεταβληθεί η μέση τιμή της ηλικίας τους : α) αν πάρει πρόωρη σύνταξη ένας υπάλληλος 59 ετών. β) αν προσληφθούν 5 νέοι υπάλληλοι μέσης ηλικίας 30 ετών.

51. Στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζεται η σχετική συχνότητα % από το πρωινό ρόφημα που προτιμούν οι 200 πελάτες ενός ξενοδοχείου.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

20%

Χυμός

15%

Τσάι Γάλα Καφές

25% 40%

α) Να βρείτε πόσοι πελάτες πίνουν κάθε ρόφημα. β) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, και να υπολογίσετε τις γωνίες του κυκλικού διαγράμματος. γ) Να σχεδιάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων για τα παραπάνω δεδομένα.

52. Στον διπλανό πίνακα η συχνότητα της μεταβλητής 3 έχει «χαθεί». Να βρεθεί σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις ξεχωριστά. α) Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές.

9 β) Αν γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή είναι x   2,25 .

4 γ) Αν γνωρίζουμε ότι η διάμεσος είναι δ = 2,5.

xi 1 2 3 4 Σύνολο

53. Ο διπλανός πίνακας μας δίνει τη σχετική συχνότητα % μιας μεταβλητής. Αν γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή της μεταβλητής είναι x  5 τότε : α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας β) Να βρεθεί η διάμεσος

xi 2 4 6 8 10

vi 7 4 3

fi 0,46 0,24 0,16

54. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές α – 3β, α – β, α + β, α + 3β, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί με β > 0. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της μεταβλητής.

55. Αν οι παρατηρήσεις : α, α2 + 4, α2, 2α + 1, α–1 όπου α ένας πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε τις τιμές του α. β) Για καθεμιά απο τις παραπάνω τιμές να βρείτε τη διάμεσο

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

έχουν μέση τιμή ίση με 4,

40

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 56. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται η διάρκεια ζωής σε ώρες λειτουργίας 400 ηλεκτρικών συσκευών. Κλάσεις [ 400, 500 ) [ 500, 600 ) [ 600, 700 ) [ 700, 800 ) [ 800, 900 ) [900, 1000 ) [1000,1100) [1100, 1200) Άθροισμα

Κεντρική τιμή Κ i

νi

fi %

Νi

Fi %

16 11 124 50 268 15 48

/////////////////

//////////

////////////

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. γ) Να βρείτε τη διάμεσο. δ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

41